COMPENSAREA UNEI RETELE PLANIMETRICE DE INDESIRE PRIN LUCRARI DE TRIANGULATIE TRILATERATIE GEODEZICA

A. TEMA PROIECTULUICompensarea reelelor de triangulaie/trilateraie prin metoda msurtorilor indirecte este denumit uzual i ,,compensarea grupului de puncte, deoarece a fost folosit n trecut, n mod special, la ncadrarea riguroas a unui numr de puncte noi ntr-o reea veche de un anumit ordin. Metoda mai este cunoscut i sub denumirea de ,,metoda variaiei coordonatelor.Se consider o reea de triangulaie-trilateraie geodezic format dintr-un numr de ase puncte vechi (A,B,C,D,E,F) de coordonate cunoscute i trei puncte noi (, pentru ndesirea reelei geodezice, necesare ridicrilor topografice ulterioare.(Figura 1.1).nainte de efectuarea observaiilor pe teren, n etapa de proiectare a reelei s-a avut n vedere necesitatea studierii vizibilitii ntre punctele geodezice, acestea fiind condiionate de sfericitatea Pmntului, refracia atmosferic i de obstacolele aflate pe traseul razei vizuale (relief, vegetaie, construcii .a.m.d). Pentru aplicarea principiilor trilateraiei, o condiie n plus a fost aceea ca punctele reelei ntre care se efectueaz msurtorile de distane s fie accesibile.n teren s-au efectuatobservaiile azimutale prin metoda seriilor complete, cu o staie total Leica FlexLine TS09 cu precizia de 1, direciile azimutale fiind prelucrate n staie i reduse la originea zero. n cazul msurrii distanelor, precizia determinrii este de 1mm+1,5ppm, cu limitarea la o distan maxim de 3500m.ntruct reeaua planimetric este una de ndesire, prelucrarea observaiilor geodezice se realizeaz ntr-un plan de proiecie, corespunztor sistemului naionalstereografic-1970. Coreciile necesare msurtorilor din teren se refer astfel, doar la reducerea observaiilor azimutale i a distanelor la suprafaa de referin plan. Pentru msurtorile unghiulare, acolo unde este cazul, datorit imperfeciunilor n semnalizarea punctelor geodezice, se aplic coreciile de centrare i de reducere la centrul bornei (punctul geodezic). Pentru msurtorile de distane, acestea necesit a fi corectate prin aplicarea coreciilor de reducere la elipsoid li apoi la planul de proiecie.Aceast etap preliminar de calcul al coreciilor de reducere a elementelor msurate la suprafaa de referin s-a rezolvat prin determinarea n prealabil a unor coordonate aproximative ale punctelor noi, pe baza msurtorilor din teren prelucrate n staie. Direciile azimutale i distanele reduse n planul de proiecie constituie elemente necesare etapelor ulterioare compensrii reelei, fiind n numr suplimentar n raport cu cele strict necesare i suficiente, pentru determinarea poziionrii reelei n sistemul de coordonate adoptat.

Pe astfel de elemente urmeaz s se realizeze prin procesul de prelucrare riguroas a msurtorilor geodezice, constrngeri de natur geometric i analitic (reeade tip constrns).Compensarea msurtorilor se va face prin metoda observaiilor indirecte cu avantajul scrierii fiecrei ecuaii de corecie corespunztoare fiecarei msurtori n teren. Aceast metod asigur, concomitent cu o privire de ansamblu a reelei, posibilitatea unui control sigur asupra exactitii rezolvrii, fiind uor adaptabil automatizrii n calcul.n final, dup ncheierea procesului de prelucrare, se prezinta evaluarea precizieirezultatelor obinute prin compensare.

B. DATELE PROIECTULUI

1. Figura I.1-Schia cu punctele reelei de triangulaie/trilateraie i a vizelor din reea:

2. Tabelul I.1-Coordoate rectangulare plane ale punctelor vechi, de ordin superior

Denumire punctCoordonate rectangulare plane stereo-70

X(m)Y(m)

123

A469891,696705890.82

B473979,415706412.632

C475366,385710528.389

D468980,644712515.714

E468397,436708887.202

F467157,978706721.279

3. Tabelul I.2-Directiile azimutale si distatele masurate in retea si preluate in statiePunct statiePunct vizatDirectii azimutale prelucrate in statie ij [g c cc]Erori [cc]Distanta redusa la planul de proiectie Dij [m]Erori [m]

123456

FA010--

P145.2789--

P254.9874--

E85.6875--

P388.4616--

D99.3744--

P1C08--

P227.93081639.070.008

P388.05083130.7560.015

E144.79591989.5190.01

F198.18723339.3540.017

A262.39712204.2510.011

B345.2757--

P2C09--

D121.5926--

P3133.40732543.8770.012

E192.06452890.040.014

F218.2919--

P1238.326--

A258.1557--

B329.844--

P3C010.5--

D125.08451481.6230.007

F275.7773--

E278.62292435.5680.012

A311.8885--

P1322.4575--

P2357.4177--

C.CUPRINSUL PROIECTULUI

Etapa 1.1.Calculul elementelor provizorii ale reelei.1.1.1 Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi.1.1.2 Calculul orientrilor i distanelor provizorii dintre punctele noi i punctele vechi i dintre punctele noi Etapa 1.2. Scrierea sistemului ecuaiilor de corecii.1.2.1 Calculul coeficienilor de direcie i de distane. 1.2.2 Scrierea sistemului ecuaiilor de corecii.Etapa 1.3. Scrierea sistemului ecuaiilor normale ale necunoscutelor.Etapa 1.4. Rezolvarea sistemului ecuaiilor normale prin metoda matricialEtapa 1.5 Calculul elementelor compensate ale reelei i verificarea compensrii. 1.5.1 Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi.1.5.2 Calculul orientrilor i a distanelor compensate.Etapa 1.6. Evaluarea preciziei rezultatelor compensrii.1.6.1 Calculul erorii medii ptratice a unitii de pondere.1.6.2 Calculul erorilor medii ptratice ale direciilor i distanelor msuratepe teren.1.6.3 Calculul erorilor medii ptratice ale coordonatelor compensate ale punctelor noi.1.6.4 Calculul elementelor elipsei erorilor i ale podarei elipsei erorilor n punctele noi. 1.6.5 Construcia grafic a podarei erorilor n punctele noi din reteaua geodezica.

1.1. Calculul elementelor provizorii ale reelei

Elementele provizorii n reea sunt reprezentate de coordonatele rectangulare plane ale punctelor noi care vor intra in compensare dup o determinare aproximativ, precum i de orientrile i distanele dintre punctele noi i cele vechi / noi, calculate din coordonatele punctelor.

1.1.1. Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi.Pentru determinarea coordonatelor rectangulare plane provizorii ale punctelor noi, se parcurg urmtoarele etape de calcul:

Calculul orientrilor i distanelor dintre punctele vechi ale reelei

ntr-o prim etap ,se calculeaz elementele iniiale de baz, reprezentate de distanele (D) i orientrile () dintre punctele vechi din reea, mrimi considerate fixe i care nu vor suferi modificri n procesul de compensare.Intre doua puncte vechi de coordonate cunoscute (A si B) se aplica urmatoarele formule de calcul ale orientarii si distantei corespunzatoare:=arctg=

unde k = 0 (cadranul I) ; k = 1 (cadranele II i III) ; k=2 (cadranul IV) .

DAB = + =-XA)2(YBYA)2 [m]

Distana (D) poate fi calculat i cu relaiile funcie de orientarea () anterior determinat, aceasta fiind i un mijloc de verificare a corectitudinii de calcul a celor dou elemente:

DAB =X AB=YAB[m]

cosABsin AB

Datele obinute se prezint n tabelul 1.3.

Tabelul I.3-Calculul orientarilor si distantelor dintre punctele vechi

Calculul unghiurilor de orientare ale staiilor de coordonate cunoscute

Staiile de coordonate cunoscute sunt reprezentate de punctele vechi din reea, din care s-au efectuat observaii azimutale spre alte puncte, noi sau vechi, ale reelei.

Pentru punctul de staie B, exist un numr de dou vize ctre punctele vechi i dou vize ctre punctele noi (figura 1.1).

n figura 1.2, se reprezint unghiul de orientare al staiei B, definit ca orientarea direciei zero a cercului orizontal (Hz).

Se observ c datorit erorilor de msurare a direciilor orizontale (o), dar i a erorilor de determinare a coordonatelor punctelor geodezice vechi (X,Y) rezultate dintr-o prelucrare anterioar, se vor obine mai multe valori apropiate ca mrime pentru unghiul de orientare al staiei B, de forma diferenelor:jo

ZBB jB j[g c cc]

unde:

B-j orientarea calculat din coordonate dintre punctul de staie i un punct vechi de coordonate cunoscute al reelei (tabelul 1.3, coloana 8);oB-j direciile azimutale medi, centrate i reduse la planul de proiecie (tabelul 1.2, coloana 3).

Figura I.2-Unghiul de orientare al punctului de statie BPentru orientarea statiei se calculeaza un unghi de orientare mediu ponderat,cu formula: [g c cc]unde: sunt ponderile,reprezentate de distantele calculate in kilometri,din coordonatele punctelor vechi (tabelul I.3,coloana 9).Rezultatele obinute pentru fiecare punct de staie se trec n tabelulI.4.

Calculul orientarrilor direciilor dintre punctele vechi i noiUnghiul de orientare mediu al staiei B ( ZB* ) se poate introduce n relaia de determinare a vizelor orientate preliminar:

unde:

oB-j direciileorizontale msurate din punctul de staie B ctre punctele noi din turul de orizont.Calculul se conducen tabelul I.4.

Tabelul I.4-Orientarea statiilor de coordonate cunoscutePunct statiePunct vizatDirectii azimutale prelucrate in statie Zij (g c cc)Unghi de orientare al statiei Zij (g c cc)Vize orientate preliminar ij=Z*i+ij (g c cc)Ponderi D*ij (km)

123456

AB08.0829638878.0829638874.12089

C36.65868.0832791544.741879157.174905

P267.9915-76.07428585-

P182.6278-90.71058585-

P397.7135-105.7962859-

E121.36788.082073166129.44987323.348301

F173.14248.08212547181.22452552.857075

Media Z*A8.082785851

BC079.3074277379.307427734.343172

P268.4577-147.7653888-

P194.2846-173.5922888-

A128.77579.30796389208.08296394.12089

Media Z*B79.30768877

CD0180.7924269180.79242696.687836

P313.1157-193.9076654-

P237.1284-217.9203654-

P147.5242-228.3161654-

A63.9502180.7916792244.74187927.174905

B98.5157180.7917277279.30742774.343172

Media Z*C180.7919654

DF0280.5986591280.59865916.074339

E9.2553280.599131289.8544313.675082

P338.3941280.5988736318.9929736-

P258.9152-339.5140736-

C100.1935280.5989269380.79242696.687836

Media Z*D280.5988736

ED089.8544310189.854431013.675082

F177.057389.85323478266.91053482.495492

A239.596589.85337317329.44987323.348301

P1283.259289.8537453373.1129453-

P2320.1317-9.985445302-

P3382.6772-72.5309453-

Media Z*E89.8537453

FA0381.2245255381.22452552.857075

P145.2789-26.50295835-

P254.9874-36.21145835-

E85.6875381.223034866.910534782.495492

P388.4616-69.68565835-

D99.3744381.224259180.598659146.074339

Media Z*F381.2240583

Calculul unghiurilor de orientare ale staiilor de coordonate necunoscute Pentru orientarea staiilor de coordonate necunoscute, se folosesc vizele orientate din exterior, adic vizele de la punctele vechi ale reelei.Se calculeaz unghiul de orientare individual pentru fiecare viz primit din exterior, cu relaia:

,

unde - orientarea dintre punctul nou i cel vechi, preluat din calculul orientrii staiilor decoordonate cunoscute (tabelul I.4,coloana 5).

Se calculeaz un unghi de orientare mediu, ca medie aritmetic a unghiurilor de orientare individuale :

unde cu p s-a notat numrul de vize din punctul nou de staie P ctre punctele vechi.

Calculul orientarilor directiilor din punctele noi ale retelei Cu ajutorul unghiului de orientare mediu se calculeaza orientarile interioare din punctul de statie nou spre toate vizele din teren:

Pentru vizele dintre punctele noi si vechi se vor calcula orientarile medii,intre cele interioare si cele exterioare,iar pentru vizele dintre punctele dintre punctele noi,media intre orientarile interioare directe si cele rezultate din orientarile inverse:

.

Calculele se prezinta in tabelul I.5.

Tabelul I.5-Orientarea statiilor de coordonate necunoscute

Punct statie Punct vizatDirectii azimutale prelucrate in statie ij (g c cc)Unghi de orientare al statiei Zij (g c cc)Vize orientate preliminarVize orientate medii *ij (g c cc)

int ij (g c cc)ext ij (g c cc)

1234567

P1C028.3161654128.3158087428.3161654128.31598707

P227.9308-56.24660874-56.24649747

P388.0508-116.3666087-116.3660872

E144.795928.3170453173.1117087173.1129453173.112327

F198.187228.31575835226.5030087226.5029583226.5029835

A262.397128.31348585290.7129087290.7105859290.7117473

B345.275728.31658877373.5915087373.5922888373.5918988

Media (Zp1*)28.31580874

P2C017.9203654117.9203862117.9203654117.92037581

D121.592617.92147357139.5129862139.5140736139.5135299

P3133.4073-151.3276862-151.326726

E192.064517.9209453209.9848862209.9854453209.9851658

F218.291917.91955835236.2122862236.2114583236.2118723

P1238.326-256.2463862-256.2464975

A258.155717.91858585276.0760862276.0742859276.075186

B329.84417.92138877347.7643862347.7653888347.7648875

Media (Zp2*)17.92038621

P3C0393.9076654393.9080657393.9076654393.9078656

D125.0845393.9084736118.9925657118.9929736118.9927696

F275.7773393.9083583269.6853657269.6856583269.685512

E278.6229393.9080453272.5309657272.5309453272.5309555

A311.8885393.9077859305.7965657305.7962859305.7964258

P1322.4575-316.3655657-316.3660872

P2357.4177-351.3257657-351.326726

Media (Zp3*)393.9080657

Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi ale retelei

Pentru calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noi se aplica metoda radierii din punctele vechi:

Intre variantele alese,perechile de coordonate(X,Y) nu trebuie sa difere intre ele decat in limitele aproximatiei cerute,functie de dimensiunule retelei considerate (in cazul retelei de triangulatie-trilateratie geodezica de indesire de pana la 10-20cm). In final,coordonatele provizorii ale punctului nou rezulta prin metoda aritmetica a sirurilor de valori obtinute prin metoda radierii (tabelul I.6).

Tabelul I.6-Calculul coordonatelor provizorii ale punctelor noiPunct statiePunct vizatDirectii azimutale ij (g c cc)Distanta redusa la planul de proiectie D*ij (m)Orientare *ij (g c cc)Coordonate relativeCoordonate absolute provizorii

X*ij (m)Y*ij (m)X (m)Y (m)

123456789

AP182.62782204.25190.7117320.4592180.832470212.1554708071.652

E283.25921989.519373.11231814.695-815.515470212.1319708071.687

F45.27893339.35426.50293054.1331350.389470212.1118708071.6685

P1------470212.133708071.6692

EP2320.13172890.049.98512854.564451.436471252.0001709338.6387

P127.93081639.0756.24641039.8841266.961471252.0177709338.6302

P3357.41772543.877351.32671835.886-1760.917471251.985709338.6227

P2------471252.0009709338.6305

DP338.39411481.623318.9927435.496-1416.174469416.1401711099.5396

P188.05083130.756116.3660-796.0123027.870469416.1209711099.5394

E382.67722435.56872.53091018.5982212.340469416.0346711099.542

P3------469416.0985711099.5403

Observatie:Coordonatele punctului P3 se calculeaza inainte de cele ale punctului P2.

1.1.2.Calculul orientarilor si distantelor provizorii dintre punctele noi si punctele vechi si punctele noi

Pe baza coordonatelor cunoscute (X,Y) ale punctelor vechi (A,B,...,F) si a coordonatelor provizorii ale punctelor noi ( se calculeaza mai intai orientarile provizorii ale dirctiilor,folosind relatiile:

,

unde k=0 (cadranul I);k=1 (cadranele II si III); k=2 (cadranul IV),iar punctele ,isi ,,j sunt puncte noi. Distantele provizorii dintre punctele noi si vechi,respectiv dintre punctele noi, se obtin prin formulele cunoscute, din coordonate:

[m].

Operatiile de calcul se efectueaza in tabelul I.7.

Tabelul I.7-Calculul si verificarea coeficientilor de directie si de distante

1.2.Formarea si scrierea sistemului ecuatiilor de corectii1.2.1.Calculul coeficientilor de directie soi de distante Coeficientii de directie si de distante reprezinta coeficientii necunoscutelor din ecuatiile de corectii si exprima variatia orientarii,respectiv distantei,in functie de variatiile coordonatelor rectangulare plane (coeficientul a, pe X si coeficientul b; pe axa Y). Unitatea de masura in care se vor exprima coeficientii necunoscutelor trebuie sa fie in concordanta cu cea a termenilor liberi si a ponderilor,care se vor stabili pentru marimile directiilor si distantelor masurate. Astfel,pentru calculul coeficientilor de directie,formulele practice vor include factorul ) ,care reprezinta coeficientul de transformare din radiani in secunde centezimale,astfel incat expresia finala va fi in secunde centezimale pe unitatea de metru: ; ,unde=(200/). Pe baza acestor formule,se calculeaza coeficientii de directie si (i-punct nou,j-punct vechi sau nou), in acelasi tabel cu calculul orientarilor si distantelor provizorii (tabelul I.7,coloanele 8si 9). Controlul calculului coeficientilor de directie se face cu relatia:= -tgIn cazul distantelor ,coeficientii exprimati functie de variatia pe cele doua axe de coordonate,reprezinta valorile subunitare ale functiilor trigonometrice sinus si cosinus,exprimate pri formulele (tabelul I.7,coloanele 10 si 11): = = = = Controlul calculului coeficienilor de distane se face cu relaia :

-j = (tabelul 1.7, coloana 13).La ntocmirea sistemului de ecuaii ale coreciilor se va avea n vedere ca n cazul n care aceti coeficieni au fost obinui pentru direcia invers (j-i) fa de cea pentru care se scrie ecuaia (i-j), s se opereze schimbarea de semn: ai-j = - aj-i i bi-j = - bj-i, respectiv i .

1.2.2. Calculul termenilor liberi,a ponderilor si scrierea sistemului ecuatiilor de corectiiNumrul ecuaiilor de coreciieste egal cu numrul direciilor i distanelor msurate n cadrul reelei (r). Notnd cu N i P numrul punctelor noi i respectiv al staiilor din reea, numrul general de necunoscute este 2N+ P, fiind format din coreciile dx i dy pentru fiecare punct nou i coreciile pentru fiecare punct de staie.Pentru ecuaiile de corecie ale direciilor azimutale se grupeaz ecuaiile n jurul fiecrui punct staionat. Astfel, pentru exemplificare, se ia n considerare punctul de staie i, pentru care este necesar s se scrie cele n ecuaii corespunztoare fiecrei direcii msurate de aceeai precizie.

Direciile centrate i reduse la planul de proiecie (oij) urmeaz a fi corectate n procesul de prelucrare cu ajutorul coreciilor (vij) : ij = oij + vij , j = Valoarea definitiv a orientrii unei direcii va rezulta pe de o parte din suma valorilor definitive ale unghiului de orientare al staiei i a direciei azimutale, iar pe de alt parte din valoarea provizorie a orientrii la care se adaug o corecie (d), obinut prin compensare: ij = Zi + ij = oij + dijn relaia de mai sus, valoarea definitiv a unghiului de orientare n staie se poate considera: Zi = Zoi + dziunde Zoi este valoarea provizorie a unghiului de orientare, iar dzi este o corecie (necunoscut), ce va fi determinat n procesul de compensare. Putem scrie acum: (Zoi + dzi) + (oij + vij) = oij + dij,relaie din care putem extrage expresia termenului liber : lij = (oij - oij ) - Zoi = Zoij - Zoi Calculul diferenelor (oij- oij), ce reprezint mrimile irului de valori ale unghiului de orientare al staiei i (Zoij), se efectueaz n tabelul 1.8, coloana 6. ntruct, din punct de vedere practic se convine ca suma termenilor liberi ai ecuaiilor de ecorecii scrise pentru fiecare staie s fie zero ([l]i = 0), unghiul de orientare provizoriu Zoi rezult ca medie aritmetic a respectivelor mrimi : Zoi = .Valorile obinute se trec pe linia sum a tabelului 1.8, n coloana 6.Termenii liberi ai ecuaiilor de corecii devin astfel diferenele dintre unghiurile de orientare individuale i unghiul de orientare mediu provizoriu (tabelul 1.6, coloana 13), exprimate n secunde centezimale. n mod evident, suma algebric a termenilor liberi n fiecare staie trebuie s verifice condiia: [l] = 0.n cazul distanelor, ecuaiile de corecii se scriu o singur dat pentru fiecare distan msurat, ntruct distana dintre dou puncte este unic. Ecuaia aferent acestui tip de msurtori este dedus din egalitatea: unde: distan msurat i redus la planul de proiecie; corecia aferent distanei msurate; distana provizorie calculat din coordonatele provizorii; corecia ce va fi determinat prin compensare.

Termenii liberi ai ecuaiilor de corecii de distane se vor calcula n secunde, pentru omogenizarea ecuaiilor de distane cu cele ale direciilor, astfel:= Sistemul iniial al ecuaiilor de corecii va cpta forma general: - dzi + dij + lij = vij , cu ponderea pi, pentru ecuaiile de direcii; + = , cu ponderea , pentru ecuaiile de distane; Variaiile orientrii diji ale distanei se vor exprima funcie de variaia n mrimile coordonatelor rectangulare dx i dy. Acestea sunt necunoscute care se vor determina prin operaia de compensare i care adugate coordonatelor provizorii ale punctelor noi conduc la obinerea coordonatelor definitive (compensate) ale acestor puncte: XP = XPo + dxP YP = YPo + dyP n funcie de caracterul variaiei orientrii (d) se pot ntlni urmtoarele tipuri de ecuaii ale coreciilor pentru direcii : pentru o direcie msurat din punct vechi (i) ctre punct vechi (j):- dzi + lij = vij , cu pij ; (d = 0) pentru o direcie msurat din punct vechi (i) ctre punct nou (j):- dzi + aij dxj + bij dyj + lij = vij , cu pij pentru o direcie msurat din punct nou (i) ctre punct vechi (j):- dzi - aij dxi - bij dyi + lij = vij, cu pij pentru o direcie msurat din punct nou (i) ctre punct nou (j):- dzi + aij dxj + bij dyj - aij dxi - bij dyi + lij = vij , cu pijSe are n vedere ca atunci cnd vizele sunt inversate fa de cazul n care au fost calculai aceti coeficieni de direcie, s se aplice schimbarea de semn: aij = - aji ; bij = - bji. n procesul compensrii, observaiile azimutale efectuate ntr-un punct de staie (i) sunt de aceeai precizie, astfel c ponderile ecuaiilor de corecii vor fi egale ntre ele xi se vor calcula invers proportional cu patratul erorii medii patratice de determinare a directiilor in statie: pi = 1/Pentru cazul distanelor, tipurile de ecuaii de corecii ntlnite pot fi : pentru o distan msurat din punct nou (i) ctre punct vechi (j):

, cu Pentru o distan msurat din punct nou (i) ctre punct nou (j):

, cu

Se are n vedere ca atunci cnd vizele sunt inversate fa de cazul n care au fost calculai aceti coeficieni de distane, s se aplice schimbarea de semn: = - ; = - . Pentru msurtorile de distane, relaia cu care se determin ponderile fiecrei distane msurate, ce intr n calculul de compensare, este dat de formula:=1/, unde = reprezinta eroarea medie patratica de determinare a distantei Dij. n concluzie, sistemul iniial al ecuaiilor de corecii conine un numr de r = 65 ecuaii i 15+65 =80 necunoscute (dz1, dz2, ,dz9,, dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3, v1, v2, , v65), toate aceste elemente fiind centralizate n tabelul 1.8.

Tabelul I.8-Calculul coeficientilor, termenilor liberi si ponderilor sistemului ecuatiilor de corect

Pentru formarea modelului functional matriceal ponderat:+=,cu pondere (+=,cu pondere ),se vor grupa elementele componente ale matricelor astfel: Matricea coeficientilor sistemului ecuatiilor de corectii

matricea- vector a parametrilor necunoscuti(corectiile unghiurilor de orientare alestatiilor si a coordonatelor rectangulare plane ale punctelor noi)

matricea vector a termenilor liberi ai sistemului ecuatiilor de corectii:

matricea vector a corectiilor marimilor masurate:

matricea ponderilor ecuatiilor de corectii:

1.3 Scrierea sistemuli ecuaiilor normale ale necunoscutelor

n sistemul ecuaiilor de corecii, mrimile coreciilor (v) fiind mici, asemntoare erorilor, li se poate aplica principiul de minim:

Deoarece suma considerat este o funcie de mrimile necunoscutelor (dx, dy, dz), prin anularea derivatei de ordinul nti a funciei, se ajunge la condiiile de minim reprezentnd lema lui Gauss:

unde cu A,B,....,O s-au notat coeficienii ecuaiilor de corecii. Prin nlocuirea coreciilor (v) cu expresiile lor din ecuaiile de corecii, se ajunge la un sistem de 15 ecuaii cu 15 necunoscute, care reprezint sistemul ecuaiilor normale ale necunoscutelor.

n acest sistem, coeficienii de pe diagonala principal sunt totdeauna ptratici, iar coeficienii dreptunghiulari, pozitivi sau negativi, sunt simetrici n raport cu diagonala principal. n acest caz, determinantul sistemului este ntotdeuna diferit de zero (D, sistemul admind soluii unice. Rezolvarea sistemului se va efectua n continuare, prin metoda matriceal, procedeul inversrii matricei.In acest sens,sistemul ecuatiilor normale ale necunoscutelor se va scrie sub forma matriceala,astfel:

sau

nlocuind produsul matricial ( cu matricea normal ( i produsul matricial ( cu matricea-vector (, sistemul ecuaiilor normale se va rescrie sub forma:

sau

unde matricile componente ale sistemului se obin prin operaiile de transpunere i nmulire matricial, folosind funciile specifice programului de calcul Microsoft Excel (TRANSPOSE, MMULT): matricea coeficienilor ecuaiilor normale ale necunoscutelor ( tabelul I.9) matricea-vector a termenilor liberi din ecuaiile normale ale necunoscutelor ( tabelul I.10, coloana 16).

Tabelul I.9-Matricea coeficientilor ecuatiilor normale ale necunoscutelor

1.4 Rezolvarea sistemului ecuaiilor normale prin metoda matricial n cazul msurtorilor indirecte ponderate, sistemul ecuaiilor normale se rezolv prin nmulirea la stnga cu inversa matricei coeficienilor ecuaiilor normale ale necunoscutelor:

sau

De aici rezult in final, matricea-vector a parametrilor necunoscui:

sau

unde matricea coeficienilor de pondere ai necunoscutelor, calculat cu ajutorul programului Microsoft Excel ( tabelul I.10, coloanele 1-15), prin utilizarea funciei specifice de inversare a matricei (MINVERSE):

Valorile necunoscutelor (i= 1...9) s-au obinut n secunde centezimale, iar necunoscutele ( j= 1.....3) s-au obinut n metri ( tabelul I.10, coloana 17) pe baza relaiei matriciale de mai sus, avnd n vedere modul de definire al coeficienilor, ponderilor i termenilor liberi din sistemul ecuaiilor de corecii.Tabelul I.10-Rezolvarea sistemului ecuatiilor normale ale necunoscutelor

1.5. Calculul coordonatelor compensate ale retelei si verificarea compensarii1.5.1.Calculul coordonatelor compensateale punctelor noiCoordonatelerectangulareplanecompensatealepunctelornoiseobinprinnsumarea algebrica coordonatelorprovizorii cu mrimilenecunoscutelor(coreciilor):Xi=Xio+dxi ;Yi=Yio+dyi;undei = 1,3

Calculele se efectueaza in tabelul I.11.Tabelul I.11-Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noiNr. PctCoordonate provizoriiCorectiiCoordonate compensate

X (m)Y (m)dx (m)dy (m)X (m)Y (m)

1234567

P1470212.133708071.6692-0.009-0.009470212.124708071.661

P2471252.0009709338.63050.008-0.009471252.009709338.621

P3469416.0985711099.54030.006-0.014469416.105711099.527

1.5.2Calculul orientrilori a distanelor compensate1.5.2.1. Calculul valorilor compensate aleunghiurilor deorientare alestaiilorPe baza mrimilor coreciilor unghiurilor de orientare ale staiilor, se calculeaz unghiurilede orientarecompensatealestaiilor,adicorientrilecompensatealedireciilorde origine:

iZi =Zo

+dzi;undei = 1,9

Calculele se conducntabelulI.12. Tabelul I.12-Calculul unghiurilor de orientare compensate ale statiilorNr statieUnghi de orientare al statiei provizoriu ZI (g c cc)Corectie dzi (cc)Unghi de orientare al statiei compensat Zi (g c cc)

1234

A8.0833-0.0268.0833

B79.30730.47679.3073

C180.79200.577180.7920

D280.59830.195280.5983

E89.8532-1.49489.8530

F381.2242-0.650381.2241

P128.3158-1.13328.3157

P217.9205-0.97117.9204

P3393.9081-0.657393.9080

1.5.2.2. Calculul coreciilor direciilor azimutalei aledistanelormsuratePrin nlocuirea valorilor necunoscutelor dz,dx i dy n sistemul ecuaiilor de corecii,se obin mrimile coreciilor direciilor azimutale i ale distanelor msurate (tabelul1.13,coloana5).

Vr-1=Br-nXn-1+Lr-1 sau V65-1=B65-15X15-1 +L65-1

Pentru verificarea compensrii se calculeaz suma ptratelor coreciilor, funcie direct demrimile acestora:[pvv]33.202681360Care trebuie sa fie egala cu suma produselor dintre ponderi, corectii si termenii liberi:[pvl]33.202681360Pe baza valorilor provizorii ale direciilor azimutale (centrate i reduse la planul de proiecie)i ale coreciilor rezultate prin compensare,se obin valorile compensate ale direciilor azimutale, folosind expresia:(tabelul I.13,coloana 6)Cu ajutorul direciilor azimutale compensate i a unghiului de orientare compensate al staiei,se calculeaz orientrile compensate ale direciilor pentru fiecare staie n parte :ij =Zi +ij(tabelul 1.13,coloana 7)

Tabelul I.13-Calculul si verificarea orientarilor compensate

Distanele compensate rezult din aplicarea coreciilor specifice la distanele msurate:Tabelul I.14-Calculul si verificarea distantelor compensate

Nr ecPct statiePct vizatDistante masurate Dij (m)Corectii Vij (m)Distante compensate Dij (m)Distante din coordonate compensate Dij (m)Diferente de distante (mm)

12345678

57P1P21639.07-0.00028171639.06971639.06970.00

58P33130.756-0.00221843130.75383130.75380.00

59E1989.5190.00369251989.52271989.52270.00

60F3339.3540.00794083339.36193339.36190.00

61A2204.2510.00385442204.25492204.25490.00

62P2P32543.8770.00377872543.88082543.88080.00

63E2890.040.00561902890.04562890.04560.00

64P3D1481.6230.00213881481.62511481.62510.00

65E2435.5680.01530422435.58332435.58330.00

Pentru controlul final al compensrii se calculeaz orientrile i distanele dintre punctele noi compensate i punctele vechi, cu relaiile cunoscute(tabelul 1.15, coloanele 7-8): ,unde k=0 (cadranul I); k=1 (cadranele II si III); k=2 (cadranul IV)Tabelul I.15-Calculul orientarilor si distantelor din coordonate compensate

1.6. Evaluarea preciziei rezultatelor compensriiEtapa de evaluare a preciziei rezultatelor obinute prin prelucrarea msurtorilor geodezice, se constituie din calculul erorilor medii ptratice denumite i erori post-compensare, spre deosebiredecele obinute pentru fiecare tip de msurtori executate direct pe teren, nainte de prelucrarea lor n reea, numite erori ante-compensare.1.6.1. Calculul erorii medii ptratice a unitii de ponderePentru caracterizarea general a preciziei reelei de triangulaie-trilateraie, se calculeaz mai nti eroarea unitii de pondere, cu relaia :=0.812954unde: r este numrul ecuaiilor de corecii iniiale (netransformate) sau numrul direciilor i a distanelor msurate (r = 65); n este numrul necunoscutelor (2N+P), cu N = 3 (numrul punctelor noi din reea) i P = 9 (numrul punctelor staionate pe teren).

1.6.2. Calculul erorilor medii ptratice ale direciilor i distanelor msurate direct pe terenCu ajutorul erorii medii ptratice a unitii de pondere (), se pot calcula erorile medii ptratice ale direciilor i distanelor msurate direct pe teren, n fiecare staie, cu formula:

()i=

()i= / Rezultatele obinute se exprim n secunde centesimale n cazul direciilori respectiv n milimetri cazul distanelor (tabelul I.16).Tabelul I.16-Erorile medii patratice ale elementelor masurate pe teren

Nr. crtDirectii azimutale masurate in statieEroarea medie patratica a directiilor masurate in statie (S)i (cc)Distante masurateErorile medii patratice ale distantelor masurate (SD)i (m)

12345

1A6.593698289P1-P20.006205834

2B7.3694275P1-P30.011635938

3C7.3694275P1-E0.007757292

4D6.981562894P1-F0.013187397

5E6.593698289P1-A0.008533021

6F7.757292105P2-P30.009308751

7P16.205833684P2-E0.010860209

8P26.981562894P3-D0.005430104

9P310.86020895P3-E0.009308751

1.6.3. Calculul erorilor medii ptratice ale coordonatelor compensate ale punctelor noiErorile medii ptratice ale mrimilor compensate ale necunoscutelor (dx,dy) reprezint erorile de determinare a celor mai probabile valori ale coordonatelor punctelor noi, numite coordonate compensate (X,Y). Astfel, erorile medii ale abscisei i ale ordonatei punctelor noi sunt calculate cu relaiile:

Pentru punctul P1:;; Pentru punctul P2:;; Pentru punctul P3:;;

unde este eroarea unitii de pondere i Q11, Q22, ... , Q66 coeficienii de pondere ptratici ai celor ase necunoscute (dx1, dy1, dx2, dy2 ,dx3, dy3). Coeficienii de pondere ptratici ai necunoscutelor s-au calculat anterior, la rezolvarea sistemului ecuaiilor normale prin metoda matricial, fiind reprezentai de elementele diagonalei principale a matricei (tabelul 1.10,coloanele 1-15).Pe baza erorilor n poziia punctului de-a lungul axelor de coordonate (sx,sy), se calculeaz eroarea total n poziia punctului cu formula: sP = -pentru punctele P1, P2 i P3 n tabelul 1.17Tabelul I.17.-Erorile medii patratice ale coordonateor compensate ale punctelor noiPunctEroarea medie patraticaEroarea totala

Sx (m)Sx (mm)Sy (m)Sy (mm)St (mm)

123456

P10.0057018855.7018847330.0055088395.5088390967.928354034

P20.0067476686.7476679120.007790657.79065004910.30656346

P30.0083372788.3372776520.0046563094.6563091199.549419525

Dac erorile sx i sy pot fi pozitive i negative, eroarea total este evident pozitiv. Dezavantajul erorilor medii ptratice const n faptul c, ele nu permit cunoaterea direciilor de-a lungul crora erorile sunt maxime i minime, respectiv mrimile acestora. Acest lucru se poate cunoate cu ajutorul elipsei erorilor i a podarei elipsei erorilor.1.6.4. Calculul elementelor elipsei erorilor i ale podarei elipsei erorilor pentru punctele noiSe calculeaz orientrile direciilor reciproc perpendiculare de-a lungul crora erorile vor fi maxime i minime, cu ajutorul ecuaiei trigonometrice : pentru punctul P1: [g c cc],

pentru punctu1P2: [g c cc],

pentru punctul P3: [g c cc],

unde k = 0 (cadranul I) ; k = 1 (cadranele II i III) ; k=2 (cadranul IV)Din ecuaiile trigonometrice de mai sus rezult cele dou soluii i + 100g (tabelul 1.18), unghiul de orientare fiind considerat de la sistemul de axe n care a fost determinat punctul nou, mai precis de la axa X.n continuare, se calculeaz mrimile semiaxelor elipselor de eroare. Mai nti coeficientul (q): pentru punctul P1: q1 =

pentru punctul P2: q2 =

pentru punctul P3: q3 =

iar pe baza lui, mrimile semiaxelor elipsei erorilor: pentru punctul P1: A1 = [m]B1= [m] pentru punctul P2: A2 = [m]B2 = [m] pentru punctul P3: A3 = [m]B3 = [m]Pentru verificarea modului de calcul al orientarii semiaxei mari a elipsei erorilor, se pot obtine marimile semiaxelor elipsei si prin intermediul relatiilor functie de orientarea elipsei,dupa care se efectueaza controlul egalitatii cu marimile determinate anterior: ; ;

Tabelul I.18.-Calculul elementelor elipselor erorilor in punctele noiPunctOrientarile semiaxelor elipsei erorilorCoeficientul qSemiaxa mare a elipsei erorilor ASemiaxa mica a elipsei erorilor B

(g c cc)+100 (g c cc)(m)(mm)(m)(mm)

12345678

P129.4735129.47355.98324E-060.0057645145.7645141720.0054432695.443268692

P2123.004223.00393.35964E-050.0079511657.9511652910.006557766.557760361

P312.2476112.24768.57522E-050.0084496548.4496536870.0044491314.449130908

Pentru constructia podarei generat de elipsa erorilor, se calculeaz razele vector ale podarei, cu ajutorul semiaxelor elipsei i pentru diferite valori ale unghiului , fcut de semiaxa mare cu raza vector, cu relaia:

S = , [ 0g , 400g ]Calculele pentru fiecare punct nou (P1, P2 i P3), cu valori ale unghiului din 10g n 10g, se efectueaz n tabelul 1.16. Podara fiind simetric fa de axele elipsei erorilor, calculul razelor vector se execut numai pentru unghiurile primului cadran i sunt exprimate n milimetri.Tabelul I.19.-Calculul razelor vector ale podarei elipsei erorilorPunctUnghi (g)Punctul P1 Raze vector S (mm)Punctul P2 Raze vector S (mm)Punctul P3 Raze vector S (mm)

12345

105.7645141727.9511652918.449653687

2105.7568667157.919992998.37459608

3205.7346151837.8288246928.152858775

4305.6997845957.6846728087.794941894

5405.6555900587.4990862067.319059763

6505.6061929017.2878409166.752459303

7605.5563566117.0702868766.133740902

8705.5110119996.8681186855.516366027

9805.4747590266.7033390474.972153161

10905.4513560996.5953742484.588851029

111005.4432686926.5577603614.449130908

1.6.5. Construcia grafic a podarei elipsei erorilor n punctele noiConstrucia grafic a podarei elipsei erorilor, numit i curba pedal sau curba erorilor medii ptratice, se face la o scar supraunitar, n cazul de fa 3:1, pe baza orientrilor semiaxelor elipsei de eroare i ale datelor tabelului 1.16 , n urmtoarea succesiune : se consider pe plan punctul nou determinat i se duc axele sistemului iniial X,Y n care a fost determinat punctul ; cu ajutorul unghiurilor de orientare i + 100g, msurate fa de axa X, se duc axele XA i YA, care corespund direciilor de-a lungul crora erorile sunt maxime i minime. De-a lungul acestor axe, ncepnd din origine, se iau segmentele care corespund semiaxelor elipsei erorilor (A i B), obinndu-se punctele 1 pe axa XA, i 11, pe axa YA ; se aplic fa de axa XA, unghiurile (10g, 20g,, 90g) iar pe direciile obinute se aplic lungimile razelor vector (tabelul 1.16), obinndu-se punctele 2,3,,10 ; se unesc punctele principale 1 i 11 cu punctele intermediare 2,3,,10 printr-o curb plan, obinndu-se curba podar pentru primul cadran. n celelalte cadrane, construcia grafic a podarei se face pe baza simetriei, n raport cu axele XA i YA ;Reprezentarea grafic a podarelor elipselor erorilor se realizeaz ntr-un program de grafic pe calculator (figura 6.1 pentru punctul P1 , figura 6.2 pentru punctul P2 i figura 6.3 pentru punctul P3).Configuraia podarei elipsei erorilor este n funcie de configuraia elipsei erorilor, de raportul celor dou semiaxe. Cnd raportul este egal cu unitatea (A/B = 1), elipsa i podara degenereaz ntr-un cerc de eroare. Pe msur ce raportul crete, aria podarei difer tot mai mult de aria elipsei. De asemenea, pentru elipse de aceeai arie, dar de configuraie diferit, din cauza raportului semaixelor, ariile podarelor difer sensibil (Nistor Gh).Prin msurare grafic, n progranul de grafic, se pot determina sau doar verifica, mrimile erorilor medii ale coordonatelor compensate ale punctului, de-a lungul axelor de coordonate. Astfel, pentru eroarea sx, sy se msoar segmentul ntre origine i punctul unde podara intersecteaz axa X i punctul unde podara intersecteaz axa Y. Aria podarei elipsei erorilor caracterizeaz domeniul de situare a poziiei probabile a punctului nou cu o probabilitate mai mare dect n cazul n care se consider aria elipsei erorilor:- Ae = AB (aria elipsei)

-Ap = (aria podarei)

Astfel vom obtine:-pentru punctul P1:=108.06 ; =108.22 ;-pentru punctul P2:=178.08 ; =181.22 ;-pentru punctul P3:=122.45 ; =144.28 ; In final,pentru o apreciere globala a rezultatelor compensarii retelei de triangulatie-trilateratie geodezica in pozitionarea planimetrica a punctelor noi,se prezinta o schita a retelei,pe care s-au evidentiat cu un anumit factor de exagerare,podarele elipselor erorilor in punctele noi (figura I.6).