NOIUNI INTRODUCTIVEDEFINIIA I SCOPUL GEODEZIEIGeodeziareprezintceamai complexramuratiinelor msurtorilor terestre. Geodezia are dou scopuri eseniale: scopul teoretic este acela de a determina forma i dimensiunile planetei pe care olocuim, care, de-a lungul mileniilor a reprezentat, n sine, chiar un scop filozofic; scopul practic este acela de a determina, prin intermediul diverselor sisteme de coordonate spaiale1, poziiareciproc dintre mai multepuncte ce se numesc puncte ale reelei geodezice de sprijin prin intermediul crora, sunt ulterior stabilite raporturile dintre toate entitile naturale sau construite (antropice) situate suprafa terestr i chiar ale fenomenelor terestre necesare ntocmirii planurilor i hrilor topografice care, la rndul lor, stau la baza ntocmirii hrilor tematice.Pentru realizarea scopului su teoreticgeodezia utilizeaz msurtori i determinri denaltprecizie: dedirecii azimutale, unghiuri zenitale, distane, valori aleacceleraiei gravitaionalepeanumitedirecii principale, unghiuri de deviaieaverticalei locului, coordonatei azimut astronomogeodezice, etc. i pentruaceastacolaboreazsauchiar interfercualtetiinefundamentalesau aplicative (tehnologice) dintre cele mai importante putndu-se enumera: astronomia, geofizica, fizica, geografia, tehnologiile satelitare, tehnologiile de procesare automat a datelor. Ramura care realizeaz acest scop se mai numete igeodezie teoreticsaugeodezie superioar.Aceasta determin valorile parametrilor diverilor elipsoizi de referin, utiliznd rezultatele msurtorilor geodezice, geofizice sau din determinri satelitare sau studiaz influenele exercitate de corpii cereti (Soarele, Luna, etc.) asupra micrii de rotaie a Pmntului n jurul axei sale, a micrilor scoarei terestre sau a suprafeei oceanelor i mrilor. Pentru realizarea scopului su practic geodezia stabilete normele necesare pentru executarea de msurtori i determinri de nalt precizie ce urmeaz a fi prelucrate, din punct de vedere matematic, n mod riguros,astfel nct s rezulte poziionareacorectapunctelor,attdinpunctdevedereplanimetriccti din punct devederealtimetric. nacest modafost realizatreeauageodezicde sprijin a rii noastre care include: reeauaplanimetric, pentrupoziionareapunctelor desprijinnplan bidimensional; reeaua altimetric (de nivelment), pentru poziionarea punctelor de sprijin n plan unidimensional; reeaua gravimetric.1tridimensionale (spaiul 3D), bidimensionale (spaiul 2D) sau unidimensionale (spaiul 1D) dar i n spaiul cu 4 dimensiuni, ce-a de a patra dimensiune reprezentnd-o timpul (n cazul msurtorilor repetate la anumite intervale)1Dei obinereaparametrilor acestor punctes-arealizat prinmetodei cu aparatur diferit, proiectarea lor a avut n vederepuncte comune (puncte fundamentale Laplace, puncte de ordin superior I, II i III).nmomentulactual,searenvedere omogenizareacoordonatelor spaiale tridimensionale, att din punct de vedere al sistemului de coordonate (tridimensional X, Y, Z) ct i al suprafeei de referin unic (elipsoidul de referin).Punctele acestor reele sunt utilizate, n continuare, de ctre celelalte ramuri ale tiinelor msurtorilor terestre (topografia, fotogrametria, teledetecia satelitar) pentru obinerea reprezentrii n detaliu a suprafeei terestre n planul de proieciecartografic,reprezentarecunoscutgenericsubdenumireadehart topografic.Ramura geodeziei care se ocup cu proiectarea reelelor geodezice, cu reducerea msurtorilor efectuate pe suprafaa fizic a Pmntului la alte suprafee realesauteoreticei compensareariguroasaacestorasenumetegeodezie matematic.n ordine cronologic i funcie, att de dezvoltarea tiinelor matematice ct i de evoluia diverselor tehnologii (de prelevare a datelor din teren sau de prelucrare automat a acestora)geodezia matematic a utilizat i utilizeaz urmtoarele metode de executare i prelucrare riguroas a msurtorilor geodezice:1. metoda triangulaiei(a mai fost denumit uneori geodezie geometric). Const n acoperirea teritoriului de reprezentat majoritar, printr-o reea de triunghiuri, bine conformate din punct de vedere geometric, dar i cu alte figuri geometrice (poligoanecupunct central, patrulaterecuambelediagonalevizate) ncadrul creia, prin intermediul unei aparaturi opticomecanice de nalt precizie se efectueaz msurtori de direcii azimutale dincare rezult valorile celor trei unghiuri iar, dinlocnloc, acoloundeestenecesar, seefectueazmsurtori precise de distane orizontale. Aceast metod a cunoscut cea mai larg perioad de utilizare (aproximativ ntre anii 1650 1970) i a fost aplicat pentru realizarea ambelor scopuri, mai sus amintite, ale geodeziei. n prezent este utilizat la proiectarea microreelelor de triangulaie destinate construciilor de mare ntindere sau de greutate i urmririi deplasrilor acestora n plan orizontal i vertical.2. metoda trilateraiei. Const, de asemenea, n acoperirea teritoriului de reprezentat majoritar,printr-o reea de triunghiuri, bine conformate din punct de vederegeometric, dari cualtefiguri geometrice(poligoanecupunctcentral, patrulaterecuambelediagonalevizate) ncadrul creia, prinintermediul unei aparaturi electroopticedenaltprecizieseefectueazmajoritarmsurtori de distaneiar, dinlocnloc, acoloundeestenecesar, seefectueazmsurtori precisededirecii azimutaledincare rezultvalorileunor unghiuri. Metodaa cunoscut o perioad de utilizare foarte scurt, de circa un deceniu (1970 1980).3. metodapoligonaiei. Constnacoperireateritoriului dereprezentat printr-o reeadefiguri geometricemai complexe, proiectatmai avantajosdinpunctde vedereal conformaiei sauapoziiei nteren(triunghiuri, patrulaterecuambele 2diagonalevizate, poligoanecupunctcentral)deasemenea, bineconformatedin punct de vedere geometric, n cadrul creia, prin intermediul unei aparaturi electrooptice de nalt precizie se efectueaz att msurtori de direcii, de unghiuri ct i dedistane; aceastmetodafost aplicatnultimeledecenii, atunci cnda devenit posibil compensarea n bloc a reelelor geodezice de sprijin prin utilizarea unortehnologii avansatedeprelucrareadatelor, ceeaceaconduslaobinerea unor coordonate planimetrice mai precise ale punctelor i mai important la obinerea unei omogeniti crescute a reelelor.4. metoda satelitar. Este de dat mai recent i este utilizat n geodezia geometricspaialnumiti geodezietridimensional. Constndeterminarea coordonatelorpunctelorreelei geodezicedesprijinprinintermediul tehnologiilor satelitarei areceptorilorteretri aanumiteleSistemedeNavigaieGlobalcu Satelii peplannaional sauGlobal NavigationSatelliteSystems(cuacronimul GNSS) mai cunoscut sub denumirea Global Positionong System (cu acronimul GPS) Indiferent de metoda utilizat pentru obinerea coordonatelor reelei geodezice de puncte de sprijin, se creeaz baza de date necesare desfurrii activitii celorlalte ramuri aparinndtiinelormsurtorilorterestre: topografia, topografiaaplicat (inginereasc), teledetecia(demici mediealtitudinedenumitfotogrametrie, respectiv de mare altitudine, denumit teledetecie satelitar) cartografia i cadastrul. Acestea au ca scop realizarea hrilor i planurilor de specialitate care, la rndul lor, reprezint baza teoretic pentru toate tiinele fundamentale (geografia, istoria, etc.) sau aplicative ce utilizeaz acest produs la proiectarea, exploatarea i urmrirea sau monitorizarea: construciilor de orice fel (industriale, agricole, civile, hidrotehnice, de ci de comunicaie, de mbuntiri funciare, de reele edilitare, de telecomunicaii, de transport aerian i naval, etc.), de delimitare teritorial (pornind de la cele interstatale, administrativteritoriale judeene, comunale, intravilane steti sau oreneti, pn la proprietatea privat), de desfurare a altor activiti (didactice, social-culturale, informative sau strategice militare).Baza de date teoretice geodezice este utilizat de asemenea, la scar mondial sau regional, pentru implementarea programelor satelitare care furnizeaz date cantitative i calitative privind: resursele naturale, poluarea mediuluinconjurtor,hidrometeorologice, culturile agricole, fondulforestier, etc., utilizate mpreun cu harta digital i informaia geografic la implementarea unor SistemeInformatice Geografice(cuacronimul SIG), denumite pe planmondial Geographical Informational System (cu acronimul GIS). n funcie de scopul urmrit, pe lng geodezia matematic (ce are ca scop determinarea unui numr suficient de puncte geodezice, definite ntr-un sistem de coordonate omogen, prin utilizarea uneia dintre metodele de lucru mai sus enumerate), sepot deosebi urmtoareleramuri alegeodeziei, nglobatenaa numita geodezie superioar: astronomia geodezicce se ocup cu determinarea suprafeei geoidului, a coordonatelor astronomogeodezice ale punctelor fundamentale (denumite i puncte Laplace) proiectate n cadrul reelelor geodezice de sprijin sau ale staiilor 3terestre ce recepioneaz imaginile transmise de la bordul sateliilor teretri artificiali; geodezia fizicsau gravimetria2avnd ca obiecte de cercetare, respectiv sub-domenii: originea, structura i forma Pmntului; elemente de teoria potenialului; suprafee de referin, sisteme de coordonate; potenialul perturbator; determinarea geoidului prin metode gravimetrice (determinarea parametrilor acceleraiei gravitaionalepedireciilenormaleprincipale conjugate, notaicu , respectiv ce determin poziia reciproc dintre suprafeele de referin utilizate n acest domeniu dintre care: suprafaa elipsoidului, geoidului i ceaacvasigeoidului, sferoidul denivel Bruns, Bessel, etc.); determinarea geoidului prin metode astronomo-gravimetrice; determinarea suprafeei fizice a Pmntului. geodezia elipsoidal studiaz metodele de rezolvare a problemelor geodezice pe suprafaa elipsoidului; geodeziadinamiccalculeaz orbitele satelitare determinnd n acest scop perturbaiile lor n funcie de anumii factori iar mpreun cu geodezia fizic,ofer posibilitatea determinrii formei globale a geoidului; geodezia tridimensional sau geometric spaial este cea mai nou ramur a geodeziei carei propuneunscopfoarteimportant i anume, deadetermina coordonatele punctelor reelelor geodezice de sprijin ntr-un sistem unitar, att din punct de vedere al unitii de msur ct i din punct de vedere al suprafeei de referin, aa dup cum se va studia ulterior. Un alt domeniu de cercetare geodezic l reprezint determinarea cu precizie ridicatadeplasrilor recentealescoarei terestrenplanorizontal i vertical anume acele deplasri care s-au produs n intervalul de timp dintre dou sau mai multe sesiuni de msurtori. Acest obiectiv este urmrit i n cadrul altor ramuri ale tiineiitehnicii: geologie, geomorfologie, geofizic,oceanografie, etc., care pot estima aproximativ, pe baza unor ipoteze i metode specifice de investigare, deplasrile scoarei terestre produse n intervale mult mai mari de timp (de ordinul mileniilorsauamilioanelordeani)darnucupreciziaoferitdemsurtorilei determinrile geodezice. Existena acestor preocupri comune a generat n ultimele ase decenii ample programe de observaii, studii, prelucrri i interpretri interdisciplinare, realizate prin intermediul unor importante metode de investigare: geodezice, seismice, electrometrice, tensometrice, magnetice, etc. 2 Geodezia fizic studiaz cmpul gravitii i figura Pmntului H. Mortz (1980)4PARTEA INOIUNI DE GEODEZIE FIZICCAPITOLUL IELEMENTE DE TEORIA POTENIALULUI 1. Noiuni de teoria cmpurilor1.1. Cmpul gravitiiUnpunct material situat pesuprafaaPmntului estesupusaciunii mai multor fore: fora de atracie sau gravitaia, notat cu F, ndreptat spre centrul de mas al Pmntului, fora centrifug, notat cuq , forele de atracie exercitate de alte corpuri cereti3. Componenta acestor fore este gravitatea4 notat cug.Spaiul n care aceste fore i exercit aciunea se numete cmpul gravitii sau cmpul gravific terestru.1.1.1. Fora de atracie (gravitaia)Potrivit legii atraciei universale a lui Newton, fora de atracie reciproc F, dintre dou mase punctiforme, m1 i m2, situate la distana d este:022 1ddm m G F(1.1)unde d0 este versorul direciei care unete masele m1 i m2, iar este un coeficient de proporionalitate denumit constanta atraciei universale. Exprimat n Sistemul Internaional de uniti de msur (SI), G (6.672 t4,1) 10-14 m3 s-2 kg-1, valoare recomandat la nivelul anului 1980 Asociaia Internaional de Geodezie (AIG).Constanta atraciei universale este numeric egal cu fora cu care se atrag ntreeledoucorpuri cumasaegalcuunitatea5, situatereciproclaodistan egal cu unitatea.Fora de atracie exercitat de Pmnt asupra unui astfel de punct poate fi evaluat, aproximativ, cu relaia: RMG F2 (1.2)3 dintre care a Soarelui datorit masei sale i a Lunii, datorit proximitii 4 mai intuitiv denumit greutate5noiunile de mas egal cu unitatea ipunct materialsunt convenionale dar utile n raionamente,deoarece indic diferenele de ordin de mrime dintre masa unui punct geodezic i masa Pmntului5unde:M este masa Pmntului: M 5,97 1024 kg;R este raza Pmntului;GM este constanta gravitaional geocentric: GM (39.860.047 t5) 107 m3 s-2.1. n ipoteza formei sferice a Pmntului, cu raza R 6.378 103 m, corespunztor latitudinii medii, notat cu de 450, densitatea medie6, acceptat n unele calcule, este: 5,50 103 kg m-3 5,50 g/cm3;2. n ipoteza formei elipsoidice a Pmntului, densitatea medie, acceptat n unele calcule, referit la figura nr. 1.1, este: 5,52 103 kg m-3 5,52 g/cm3Caracterul aproximatival formulei (1.2)decurgedinimpreciziacucarese cunosc sau se pot determina elementele componente, remarc valabil ipentru densitatea medie, care este funcie de mai muli parametri dintre care i de adncimea fa de suprafaa terestr (n prezentulsuport de curs nu se dezvolt probleme legate de fizica Pmntului: Formare i micarea Pmntului ca planet a Sistemului Solar, structura intern a Pmntului, etc.).Pentru a putea exprima maiexact fora de atracie, se consider un punct atrasP(x, y, z)situatpesuprafaaPmntului, demasegalcuunitateai un punct curent atractivA(a, b, c), denumit i punct surs, demasm, situat la deprtarea de primul. ntr-un sistemde coordonate cartezian ortogonal tridimensional X, Y, Z (figura nr. 1.2) expresia forei de atracie este:02 mG - f (1.3)unde 0este versorul vectorului de poziie. figura nr. 1.1 figura nr. 1.2Componentele forei de atracie f(fx, fy, fz) vor fi:6 n literatura de specialitate se mai noteaz i cu 63 2zz3 2yy3 2xxa - zm Ga - z mG - Z) , f cos( f fa - ym Ga - y mG - Y) , f cos( f fa - xm Ga - x mG - X) , f cos( f f (1.4)unde:2 2 2) c - z ( ) b - y ( a) - (x + + (1.5)Pentru stabilirea influenei de atracie a ntregului glob terestru asupra punctului P, va trebui pus n eviden variaia densitii pentru fiecare element de volum, notat cu dv:dvdm) c b, , a ( (1.6)Expresia cutat se obine prin integrare din relaia (1.3):v dlG - d mG - F0v0v2 (1.7)inndcont de:dc db da dv (1.8)componentele pe axele de coordonate vor fi:dv a) - (zG - Fdv a) - (yG - Fdv a) - (xG - Fv3zv3yv3x (1.9)1.1.2. Fora centrifugDatorit micrii Pmntului n jurul axei sale, punctul P este supus unei fore centrifuge(figuranr. 1.3.a), careacioneaznplanul paralelului derazr al acestuia (figura nr. 1.3.b). Particulariznd formula cunoscut din mecanic, n funcie de viteza liniar pe traiectorie, v, de masa egal cu unitatea a punctului, se obine:02rrvq (1.10)7figura nr. 1.3.a figura nr. 1.3.bUtiliznd relaia de legtur dintre viteza liniar i viteza unghiular,notat cu : r v, rezult:r r q02 (1.11)Valoarea recomandat de AIG pentru este de: 7.292.11510-11rad s-1la nivelul anului 1980.Din relaia (1.11) se observ c fora centrifug este variabil pe suprafaa Pmntului avnd o valoare maxim pentru punctele dispuse pe cercul ecuatorial i minim (nul) la pol, unde r 0. Pentru a exemplifica ordinul de mrime, la nivelul ecuatorului, raportul dintre cele dou fore studiate este: 3001Fq .Componentele forei centrifuge ) q , q , q ( qz y xvor fi:2 22 22 2 rzr Z) , q cos(ryr Y) , q cos( rxr X) , q cos( z q q y q q x q qzyx (1.12)1.1.3. Gravitatea (greutatea)Dupcums-aartatanterior,gravitateaestecomponentatuturorforelor care acioneaz asupra punctului P (figura nr. 1.4) dar vom lua n considerare numai pe cele principale:q F g + (1.13)8figura nr. 1.4Considernd c punctele au masa egal cu unitatea, gravitatea este numeric egal cu acceleraia sa. Unitatea de msur n sistemulCGS este galul(cms-2)7. Deoarece la pol mrimea gravitii este aproximativ egal cu 983 gal, iar la ecuator cu978gal, rezultndovariaiemultpreanesemnificativ, ngeodeziafizicse opereaz cu miligali (1 mgal 10-3 gal), instrumentele de msur avnd o precizie de ordinul a t 0,01 mgal i mai bun.Deoarece relaiile (1.12) se conserv i la trecerea pe cele trei axe, se obin componentele gravitii ) g , g , g ( gz y x:2v3x x xx dv a) - (xG - q F g + + 2v3y y yy dv a) - (yG - q F g + + 2v3z z zz dv a) - (zG - q F g + + (1.14)1.2. Potenialul gravitiiPentrudescriereaunui cmpdeforeseutilizeazofuncieintrodusde Laplacedenumit potenial, care poate fi definitatt matematic, ct i prin semnificaiile sale fizice. Matematic se definete potenialul unui cmp de fore ca funcia ale crei derivate pariale sunt componentele cmpului pe direciile axelor de coordonate.1.2.1. Potenialul de atracie (newtonian)Potenialul cmpului gravitii, numit i potenialul de atracie sau potenial newtonianareexpresiamatematiccompletncazul unui corpsolid, devolum notat cu v: + + v2 2 2) c - z ( ) b - y ( a) - (xdc db da ) c , b , a (G ) z , y , x ( V (1.15)Dac inem cont de expresiile (1.5) i (1.8) rezult:ldmGldvG Vv (1.16)7 denumire adoptat spre cinstirea memoriei marelui nvat Galileo Galilei9Potenialul V este o funcie continu n ntreg spaiu i tinde ctre 0 la infinit la fel ca i funcia 1cnd. Prinparticularizare, ncazul punctului atras, demasegalcuunitatea, potenialul de atracie al unui punct surs de mas m, situat la distana , va fi:m GV(1.17)Din definiia (1.15) se observ c apartenena funcieiV la un anumit punct P(x, y, z), precum i rolul punctului surs A(a, b, c).Derivata parial n raport cu x a funciei V este:dv1GxVv ,_

Deoarece a - x 1-xl 1-1x2 2 ,_

(1.18)(1.19)se obine: X) , F ( cos F F dva - xG -xvxv (1.20)n mod analog rezult:Z) , F ( cos F FzvY) , F ( cos F Fyvzy (1.21)Cnd sunt ndeplinite relaiile (1.20) i (1.21) se consider c F este gradient de V:V F sau Vgrad F (1.22)unde cu este notat operatorul lui Hamilton:kzjyix ++ (1.23)1.2.2. Potenialul forei centrifugePotenialuldin care deriv fora centrifug este reprezentat de urmtoarea funcie:( )2 22y x2Q + (1.24)Se observ c:z y xqzQ; qyQ; qxQ (1.25)adic:Q Q grad q (1.26)Pornind de la relaiile (1.10), (1.22), mpreun cu (1.26) se obine expresia matematic a potenialului cmpului gravitii:gradQ gradV W gradW g + (1.27)sau:( )2 22Vy x2dvG Q V W + + + (1.28)10CAPITOLUL IISUPRAFEE DE REFERIN ECHIPOTENIALEMsurtorile geodezice se realizeaz pe suprafaa Pmntuluicare, att din punct de vedere geometric ct i fizic,este o suprafacomplexideloc neted. Larndul su, acest corpceresc areodensitateinterioarvariabildeoarece dispunerea maselor este neomogen, aa cum s-a vzut anterior. Pentru obinerea unor coordonate unitare ale punctelor reelei geodezice de sprijin, aceste msurtoritrebuie referite la o suprafa unic, care, pe de-o parte, s aproximeze(prin uniformizare)ct mai bine suprafaa terestricreia, pe de alt parte, s i se cunoasc dimensiunile. 2.1. Suprafee de nivel. Suprafee echipotenialeLa nceputurile ei, geodezia a utilizat suprafeele de nivel doar pentru definirea altitudinii punctelor, definindu-le ca fiind locul geometric al punctelor cu altitudine egal. O astfel de definiie este incomplet att timp ct nu definete i suprafaa de referin a sistemului de altitudini. Acest neajuns este, oarecum rezolvat dac, studierea suprafeelor de nivel se face n raport de caracteristicile lor dinamice, dintre care, se ia n considerare potenialul.2.1.1. Potenialul suprafeelor de nivelFiecrui punct, notat deexemplu, cuP, aflat ndomeniul deaciuneal gravitii, icorespunde o valoare a potenialuluigravitii, notat cu W(P).Loculgeometric al punctelor care au aceeai valoare a potenialului gravitii se numete suprafa de nivel8. Ecuaia suprafeei de nivel este: W constant(2.1)motiv pentru care se denumete suprafa echipotenial.Derivata potenialului W dup o direcie oarecare, notat cu s, exprimat prin intermediul gradientului este: ( ) g , s cos g s g s gradW sdsdW (2.2)8 denumirea de suprafa de nivel i aparine lui Laplace11Dac direcia vectoruluiseste considerat de-a lungul suprafeei echipoteniale, conform figurii nr. 2.6 atunci:0 dW = sau( )C t tan cons z y, , x W = =, expresiareprezentndecuaiasuprafeei echipoteniale i( ) 0 g , s cos i relaia (2.2) devine:( ) 0 g , s cos g s (2.3)Din (2.3) rezult c, ntotdeauna, vectorul gravitii ntr-un punct este perpendicular pe suprafaa de nivel pe care este poziionat.Pentru orice direcie s, potenialul gravitii va avea expresia:( ) g , s cos g gdsdWs (2.4)figura nr. 2.1. Seciune prin suprafee de nivelfigura nr. 2.2. Suprafaa de nivel. Linii de forDeoarecesuprafeeledenivel sunt echipoteniale, diferenadepotenial dintre dou suprafee este o mrime constant i decicreterea de potenial(de lucru mecanic) nu depinde de drumul parcurs, notat cu 1, respectiv cu 2 n figura nr. 2.1. pentru trecerea unui punct de pe o suprafa de nivel pe alta. Prin urmare, suma creterilor de potenial pe un contur nchis, indiferent de sensul de parcurgere este nul:0 dW (2.5)Oalt direcie important pentru geodezie este direcia h, paralel cu direcia gravitii (deci de asemenea perpendicular pe suprafaa de nivel):( ) 1 h , g cos t (2.6)Pentru deprtarea dintre suprafeele de nivel se alege sensul cresctor spre exteriorul suprafeei Pmntului (sensul invers forei gravitaionale g), drept urmare din relaia (2.6) se va lua varianta cu semnul negativ, iar din relaia (2.2) rezult:gdW- dh saudhdW- g sau g -dhdW (2.7)(2.8)undedh este distana dintre suprafeele de nivelcaracterizate prin potenialulW respectiv dW W+ .Relaia(2.7) definetegravitateacafiindgradientul vertical negatival potenialului gravitii. Ambeleilustreazlegturainseparabildintre concepia geometric, mrimea h i concepia dinamic, potenialul W, n domeniul 12geodeziei i mai mult, c msurtorile geodezice sunt referite, majoritar la mrimi cu caracter dinamic: suprafee de nivel, direcia normalei la suprafaa de nivel. Se nelegedeceH. Brunsastabilit cscopul geodeziei constndeterminarea suprafeelor de nivel ale cmpului gravitii.Deoarece, ntre dou suprafee de nivel, valoarea lui g nu poate fi infinit, din relaia (2.8) rezult c nici distana ntre acestea nu poate fi niciodat egal cu zero i de asemenea, c suprafeele de nivel nu se ating i nu se ntretaie niciodat. Din variaiamrimii lui culatitudinea: ecuatorg