Funcii continueContinuitatea punctualIntroducere n continuitate Are sens s punem problema continuitii sau discontinuitii unei funcii ntr-un punct dac si numai dac acel punct face parte din domeniul de definiie al funciei studiate .Continuitatea unei funcii ntr-un punctnainte de a ncepe studiul continuitii vom fixa urmatoarele entiti :a). O functie realaR D f :,R D ;b). Domeniul de definitie Dfiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;c). Un punctacare apartine lui D.Ne punem urmatoarea problema: compararea comportarii functieif in jurul punctuluiacu valoarea ( ) a f.Definitia continuitatii-Fie o functieR D f :si un punctadin domeniul de definitie D,D a;-Spunem cafunctiafeste continua in punctuladacafare limita ina si:( ) ( ) a f x fa xlimAceasta egalitate se mai scrie :( ) )lim(limx f x fa x a x

Adica o functie comuta cu limita -proprietate ce va fi extinsa si la alte functii decat cea identica: contiunitatea functiilor compuse.Definitia continuitatii:-O functie R D f : este discontinua in punctulD adaca nu este continua in acest punct -Punctula x se numestepunct de discontinuitatepentru functie .Observatii:1) In punctul in care functia nu este definita nu are sens sa se puna problema continuitatii sau discontinuitatii .2). Problema continuitatii unei functii se pune numai in punctele domeniului de definitie al functiei .Definitia continuitatii utilizand sirurile:-FunctiaR D f :este continua in punctul D a daca si numai daca pentru orice sir:a xn , E xn avem ( ) ( )afxfn. Continuitate pe un interval Definitiacontinuitatii pe un interval :-Se spune ca o functieR D f :estecontinua pe un interval D I daca este continua in fiecare punct din I .-Daca functia festecontinua pe tot domeniul de definitie , atunci se spune simplu caf

este continua , fara a mai indica multimea pe care f are aceasta proprietate .-Find data o functieR D f : , multimea punctelor din Din care feste continua se numestedomeniul de continuitateal functieif. Teorema:Functiile elementare suntfunctii continue.-Functiile elementare: polinomiale , rationale , functia radical , functia putere , functia exponentiala , functia logaritmica , functiile trigonometrice directe , functiile trigonometrice inverse sunt functii continue deoarecelimita acestora intr-un punct a din domeniul de definitie se obtine inlocuind pexcua, adica( ) ( ) a f x fa xlim , ceea ce exprima faptul ca o astfel de functie este continua intr-un punct arbitrar din domeniul de definitie .Continuitate laterala Intoducerein studiul continuitatii laterale:-Fie o functieR D f :si un punct D a ;-Daca ( ) D a ; sau ( ) + ; a D atunci are senssa studiem limita la stanga , respective la dreapta , a functieifina. Definitiacontinuitatii la stanga:-Spunem ca functiafestecontinua la stanga in punctul adaca:( ) ( ) ( ) x f a f a fa xa xslim0< are sens , exista si( ) ( ) ( ) ( ) a f x f a f a fa xa xs +are sens , exista si( ) ( ) ( ) ( ) a f x f a f a fa xa xd +>lim0. Teoremacontinuitatii intr-un punct cu ajutorul continuitatii laterale:-FunctiaR D f :este continua in punctul D a daca si numai dacafeste continua la stanga si la dreaptaina:( ) ( ) ( ) a f a f a f + 0 0sau :( ) ( ) ( ) a f x f x fa xa xa xa x >lim0feste continuain b, dacafeste continua la stanga in b, adica:( ) ( ) ( ) ( ) b f x f b f b fb xb xs a x fx xx x ;b). R R f :,( ) 4 , , , 4 844162' a x fxxxx ;c). R R f :,( ) 0 , , , sin

0 10' axxx fxx . Exercitiul nr.2:Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate:a). R R f :,( ) 2 , , ,-2 52 1 52'> +a x fxx x x ;b). R R f :, ( ) 1, 1, 3 1, 112' +> ax -xxx fxx ;c).R R f : , ( )( )1 , 1 ,1 -

1 , 11 sin

' axxxxx f;d). R R f :,( )( )2 , , , 2 02221'a x fxx ex ;e). R R f :, ( ) [ ]xx f2, 3 a .f). R R f :, ( ) 1 , 1 ,2

1 , 2 2'> + ax xx x xx f. Exercitiul nr.3:Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate:a).( ) R f 1 ; 1 : , ( )( )( ]0 , 0 ; 1, 2 1 ; 0,sin 43' + ax x xx x xx f;b).[ ) { } R f 3 2 ; 2 : , ( )[ ]( ) 3 , 2 , 0, 3, 62 ; 0,1 5 0 ; 2, 13 2

2 ' + + a a axxxxxxx f;c). R R f :, ( ) 2 , 2 , 3 2 , 21

'+ axxxx f;d). R R f :, ( ) 0 , 0, 10, sin

' axxxxx f;e). R R f :, ( ) 0, 0,1 0, 1sin' axxxxx f;f). R R f :, ( ) 1, 1, 1, 1112'>axxxex fxx ;g). R R f :, ( ) 2, 2,02,3 121 ' ++axxx fx ;h).R R f : , ( ) 1, 1,1, 1 11'> +axxxx ex fxx ;i).( ) R f ; 1 : , ( )( )( )1, 1, 21 1,21 1 ; 1, 11 sin 2'> ax xxxxxx f. Exercitiul nr.4:Determinati parametrul real m , astfel incat functia f sa fie continua in punctul a unde :a).( )[ ]( ]1 ,2 ; 1,3 31 ; 0,1' + + ax mxx xx f;b).( ) 2 ,2,2,2'> + ax mxxm xx f;c).( )( )0 ,0,, sin*x1' + ax mR x e xx fx ;d).( ) 1 ,1, 1,23 32'> + + axm xxmx xx f;e).( ) 0 ,0,, * 2' ax mR x xx f;f).( ) 1 ,1, 31, 1 x1-2 ' + + + ax mxmxx mxx f;i).( )( )3 ,3,23,392 ' > + + ax mxxxx mx f;j).( ) 2 ,2,2 2,1 32'> + + axmx xx m mxx f;k).( )( )5 ,5,1 3 -5, 5252' +> ax mxxxx mx f;l).( ) 1 ,1,3 21, 12'< + + ax mxxmxx f;m).( )( )1 ,1,1 21,3 41 sin 2 ' + >+ ++ ax mxxx xx mx f;n).( )( )0 ,0,0, 11' +> + ax e xx mxx fx . Exercitiul nr.5: Determinati parametrii realib a,, astfel incat functia f sa fie continua in punctele indicate :a). R R f :, ( )21, 21,3 21, 21,1 30 '< > +xx xx bx axx f;b). R R f :, ( )( )0, 0, 0, 2 0, 2 1 ln 02'< + >+xxb ax xxxaxxx f. Exercitiul nr.6:Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :a). R R f :, ( )'< >0,10,0 0,1 xxxx f;( functia signum (semn))b). R R f :, ( )'0,00, 1sinxxxx f;c).[ ) R f ; 0 : , ( ) [ ] x x f ; ( functia parte intreaga )d). R R f :, ( )'0,00,1

xxxx f.

Exercitiul nr.7:Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :a). R R f :, ( )'> +1 ,31, 52xxxx f;b). R R f :, ( )'0, 0 0, 1sin1 xxx xx f;c). R R f :, ( )' < +2 ,12,3xx -xx f;d). R R f :, ( )'0, 0 0, 1osxxxcx f;e).[ ] R f 1 ; 0 : , ( ) [ ] x x f 3 ;f). R R f :, ( )' Q R xQ xx f,0,1 . Exercitiul nr.8:Sa se studieze continuitatea laterala pentru functiile si punctele indicate :a). R R f :, ( ) 1 ,1, 1 31, 32'> + ax xxx xx f;b). R R f :, ( ) [ ] x x f 3 ,21t a ;c). R R f :, ( ) 1 ,1,1 1,11'axxex fx ;d). R R f :, ( ) 1 ,1, 1 3 -1, 5 32 ' + > ax xxx xx f;e). R R f :, ( ) 0 ,0 , 1 2 0, 12'< + + ax x-xx xx ff). R R f :, ( )( )2 ,2 ,22 sin12, 22, 21'axxxxxex fx ;g).[ ] R f 3 ; 1 : , ( ) [ ] 2 ,2 axx f;h). R R f :, ( )( )1 ,1 , 1 ln1 , 11 21' + 1, 0 1, 1 2 2xxxx f;c).( ) [ ] x x f ;d).( )'0, 10, sin

xxxxx f;e).( )' Q R xxQ x xx f, 2

,3 ;f).( )x ex fxsin+ ;g).( )12 xx f;h).( )'< +0,10,2 x xxx fx ;i).( )' < 1, 2 1,3 2x xx xx f;j).( )'2,3 2, 41

2,21 2xxxxxx f. Exercitiul nr.2:Sa se arate ca ecuatiile de mai jos admit cel putin o radacina in intervalul indicat :a).[ ] 1;1 -, 0 12 5 +x x b).( ) [ ] 1 ; 0, 0 1 + x e xx c).[ ] ; 0,0 cos 2 sin x xd).0, 0 5 73 13> + xx x e).[ ] 1 ; 0, 237473

,_

+

,_

x x f).( ) [ ] 1 ; 0,sin cos 1 x x x g).,_

+2; 0,0 lnx x xh).( ) 1 ; 0, 0 1 2 xxx i). N nxx xn *,2; 0, 0 1 sin

,_

j).[ ] 3;4, 22x xk).[ ] 2 ; 2, 42 x l).[ ] 0 ; 1, 12 + +x x m).[ ] 2 ; 0,1 x.