Clasa a XI-aANALIZA - 1Cap.III : FunctiiContinue Importantintroducere in continuitate introducere in continuitate:Are sens sa punem problema continuitatii sau discontinuitatii unei functii intr-un punct daca si numai daca acel punct face parte din domeniul de definitie al functiei studiate . Inainte de a incepe studiul continuitatii vom fixa urmatoarele entitati :a). O functie realaR D f :,R D ;b). Domeniul de definitie Dfiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de intervale ;c). Un punctacare apartine lui D.Ne punem urmatoarea problema: compararea comportarii functieif in jurul punctuluia cu valoarea( ) a f . Definitia continuitatii continuitatii:-Fie o functieR D f :si un punctadin domeniul de definitie D,D a;-Spunem cafunctiafeste continua in punctuladacafare limita ina si:( ) ( ) a f x fa xlimAceasta egalitate se mai scrie :( ) )lim(limx f x fa x a x

Adica o functie comuta cu limita -proprietate ce va fi extinsa si la alte functii decat cea identica: contiunitatea functiilor compuse. Definitia discontinuitatii discontinuitatii:-O functie R D f : este discontinua in punctulD adaca nu este continua in acest punct ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 2Cap.III : FunctiiContinue-Punctul a x se numestepunct de discontinuitatepentru functie .Observatie:1) In punctul in care functia nu este definita nu are sens sa se puna problema continuitatii sau discontinuitatii .2). Problema continuitatii unei functii se pune numai in punctele domeniului de definitie al functiei .Definitia continuitatii utilizand sirurile continuitatii utilizand sirurile:-FunctiaR D f :este continua in punctul D a daca si numai daca pentru orice sir:a xn ,E xnavem( ) ( )afxfn . Definitiacontinuitatii pe un interval continuitatii pe un interval :-Se spune ca o functieR D f :estecontinua pe un intervalD I daca este continua in fiecare punct din I .-Daca functia festecontinua pe tot domeniul de definitie , atunci se spune simplu caf

este continua , fara a mai indica multimea pe care f are aceasta proprietate .-Find data o functieR D f : , multimea punctelor din Din care feste continua se numestedomeniul de continuitateal functieif. Teorema:Functiile elementare suntfunctii continue.-Functiile elementare: polinomiale , rationale , functia radical , functia putere , functia exponentiala , functia logaritmica , functiile trigonometrice directe , functiile trigonometrice inverse sunt functii continue deoarecelimita acestora intr-un punct a din domeniul de definitie se obtine inlocuind pexcua, adica( ) ( ) a f x fa xl i m, ceea ce exprima faptul ca o astfel de functie este continua intr-un punct arbitrar din domeniul de definitie . ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 3Cap.III : FunctiiContinue Intoducerein studiul continuitatii laterale in studiul continuitatii laterale:-Fie o functieR D f :si un punct D a ;-Daca( ) D a ;sau( ) + ; a Datunci are senssa studiem limita la stanga , respective la dreapta , a functieifin a . Definitiacontinuitatii la stanga continuitatii la stanga:-Spunem ca functiafestecontinua la stanga in punctula daca:( ) ( ) ( ) x f a f a fa xa xs l i m 0< are sens , exista si( ) ( ) ( ) ( ) a f x f a f a fa xa xs +are sens , exista si( ) ( ) ( ) ( ) a f x f a f a fa xa xd +>lim 0. Teoremacontinuitatii intr-un punct cu ajutorul continuitatii laterale continuitatii intr-un punct cu ajutorul continuitatii laterale:-FunctiaR D f :este continua in punctul D a daca si numai dacafeste continua la stanga si la dreaptain a : ( ) ( ) ( ) a f a f a f + 0 0 sau : ( ) ( ) ( ) a f x f x fa xa xa xa x >lim 0

feste continuain b, dacafeste continua la stanga in b, adica:( ) ( ) ( ) ( ) b f x f b f b fb xb xs a x fx xx x ;ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 7Cap.III : FunctiiContinueb). R R f :,( ) 4 , ,, 4 8441 62' a x fxxxx ;c). R R f :,( ) 0 , ,, s i n 0 10' axxx fxx . Exercitiul nr.2:Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate:a). R R f :,( ) 2 , ,,-2 52 1 52'> +a x fxx x x ;b). R R f :,( ) 1 , 1 , 31 , 112' +> ax - xxx fxx ;c). R R f :,( )( )1 , 1,1 - 1, 11 s i n ' axxxxx f ;ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 8Cap.III : FunctiiContinued). R R f :,( )( )2 , ,, 2 02221'a x fxx ex ;e). R R f :,( ) [ ]xx f2 ,3 a.f). R R f :,( ) 1 , 1,2 1, 2 2'> + ax xx x xx f . Exercitiul nr.3:Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate:a). ( ) R f 1 ; 1 :,( )( )( ]0 , 0 ; 1 , 2 1 ; 0 ,s i n 43' + ax x xx x xx f ;b). [ ) { } R f 3 2 ; 2 :, ( )[ ]( ) 3 , 2 , 0 ,3 , 62 ; 0 , 1 5 0 ; 2 , 13 2 2 ' + + a a axxxxxxx f;c). R R f :,( ) 2 , 2,3 2, 21 '+ axxxx f ;ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 9Cap.III : FunctiiContinued). R R f :,( ) 0 , 0 , 10 , s i n ' axxxxx f ;e). R R f :,( ) 0 , 0 , 10 , 1s i n' axxxxx f ;f). R R f :,( ) 1 ,1 ,1 ,1112'>axxxex fxx ;g). R R f :,( ) 2 , 2 , 02 ,3 121 ' ++axxx fx ;h). R R f :,( ) 1 , 1 ,1 ,1 11'> +axxxx ex fxx ;i). ( ) R f ; 1 :, ( )( )( )1 ,1 ,21 1 ,21 1 ; 1 ,11 s i n 2'> ax xxxxxx f.ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 10Cap.III : FunctiiContinue Exercitiul nr.4:(Ganga)Determinati parametrul realm , astfel incat functia f sa fie continua in punctulaunde :a). ( )[ ]( ]1 ,2 ; 1 ,3 31 ; 0 , 1' + + ax m xx xx f ;b). ( ) 2 ,2 ,2 , 2'> + ax m xxm xx f ;c). ( )( )0 , 0 ,,s i n*x1'+ ax mR xe xx fx ;d). ( ) 1 ,1 ,1 , 23 32'> + + axm xxm x xx f ;e). ( ) 0 ,0 , , * 2' ax mR x xx f ;f). ( ) 1 ,1 , 31 , 1 x1-2 ' + + + ax m xm xx m xx f ;i). ( )( )3 ,3 , 23 ,392 ' > + + ax m xxxx mx f ;j). ( ) 2 ,2 ,2 2 , 1 3 2'> + + axm x xx m m xx f ;k). ( )( )5 ,5 , 1 3 -5 ,52 52' +> ax m xxxx mx f ;l). ( ) 1 ,1 , 3 2 1 ,12'< + + ax m xxm xx f ;ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 12Cap.III : FunctiiContinuem). ( )( )1 , 1 , 1 2 1 ,3 41 s i n 2 ' + >+ ++ ax m xxx xx mx f ;n). ( )( )0 , 0 ,0 ,11' +>+ ax e xxm xx fx . Exercitiul nr.5:(Ganga) Determinati parametrii reali b a, , astfel incat functia f sa fie continua in punctele indicate :a). R R f :, ( )21, 21,321,21,1 30'< > +xx xx bx a xx f;b). R R f :, ( )( )0 ,0 ,0 , 20 ,2 1 l n 02'< + >+xxb a x xxxa xxx f. Exercitiul nr.6:(Ganga)Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 13Cap.III : FunctiiContinuea). R R f :, ( )'< >0 , 10 , 00 , 1xxxx f;( functia signum (semn))b). R R f :, ( )'0 , 00 ,1s i nxxxx f;c). [ ) R f ; 0 :,( ) [ ] x x f ; ( functia parte intreaga )d). R R f :, ( )'0 , 00 ,1 xxxx f. Exercitiul nr.7:(Ganga)Sa se precizeze punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :a). R R f :,( )'> +1 , 31 , 52xxxx f ;b). R R f :, ( )'0 , 00 ,1s i n1 xxx xx f;c). R R f :,( )' < +2 , 12 , 3xx - xx f ;d). R R f :, ( )'0 , 00 ,1o sxxxcx f;e). [ ] R f 1 ; 0 :,( ) [ ] x x f 3 ;ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 14Cap.III : FunctiiContinuef). R R f :,( )' Q R xQ xx f,0,1 . Exercitiul nr.8:(Ganga)Sa se studieze continuitatea laterala pentru functiile si punctele indicate :a). R R f :,( ) 1 ,1 , 1 31 , 32'> + ax xxx xx f ;b). R R f :,( ) [ ] x x f 3 ,21t a ;c). R R f :,( ) 1 ,1 , 1 1 , 11'axxex fx ;d). R R f :,( ) 1 ,1 , 1 3 -1 , 5 32 ' + > ax xxx xx f ;e). R R f :,( ) 0 ,0 , 1 20 , 12'< + + ax x -xx xx fContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 15Cap.III : FunctiiContinuef). R R f :, ( )( )2 , 2 , 22 s i n12 , 22 , 21'axxxxxex fx ;g). [ ] R f 3 ; 1 :,( ) [ ] 2 ,2 axx f ;h). R R f :,( )( )1 ,1 , 1 l n1 , 11 21' + 1 , 01 ,1 2 2xxxx f ;c). ( ) [ ] x x f ;d).( )'0 , 10 ,s i n xxxxx f;e).( )' Q R xxQ x xx f,2 , 3 ;f). ( )x ex fxsin+ ;g).( )12 xx f;h). ( )'< +0 ,10 ,2 x xxx fx ;i). ( )' < 1 , 21 , 3 2 x xx xx f ;ContinuitateClasa a XI-aANALIZA - 23Cap.III : FunctiiContinuej).( )'2 , 32 ,41 2 ,21 2xxxxxx f. Exercitiul nr.2:Sa se arate ca ecuatiile de mai jos admit cel putin o radacina in intervalul indicat :a). [ ] 1 ; 1 - ,0 12 5 +x x b). ( ) [ ] 1 ; 0 ,0 1 + x e xx c). [ ] ; 0,0 cos 2 sin x x d). 0,0 5 73 13> + xx x e). [ ] 1 ; 0 ,237473

,_

+

,_

x x f). ( ) [ ] 1 ; 0,sin cos 1 x x x g).,_

+2; 0,0 lnx x x h). ( ) 1 ; 0 ,0 1 2 xxx i).N nxx xn *,2; 0, 0 1 sin

,_

j). [ ] 3;4, 22x x k). [ ] 2 ; 2, 42 x l). [ ] 0 ; 1, 12 + +x x m). [ ] 2 ; 0,1 x .Continuitate