În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte

Definiție formală a funcției: Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian :

G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în

mulțimea B astfel încât perechea ( x, y ) se află în F.

2. Pentru oricare două perechi ( x1 , y1 ) și ( x1, y2 ) din F avem y1 = y2.

Funcțiile pot fi definite astfel:

Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } 

Prin formulă : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției

Imaginea unei funcții   este o submulțime a lui B alcătuită din toate

valorile  . Se notează Im  sau  .

Im  sau

Im

Graficul funcției

Graficul funcției   Gf=

De exemplu:

y = ax + b y = sin x

x 4 5 6

f(x) 1 2 1

Proprietățile funcțiilor:

Injectivitate, Surjectivitate, Bijectivitate

Surjecție Injecție

Bijecție

Injectivitate:

O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu

un element diferit din codomeniu. Definiții:

1.  atunci f(x)≠f(y) sau

2.  dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai

dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcției f în cel

mult un punct.

Un exemplu este funcția  .

Deoarece pentru   x≠y avem x3 ≠ y3, înseamnă că

funcția f este injectivă.

Surjectivitate:

O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din

codomeniu un element din domeniu. Respectiv,  , atunci   astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă

dacă orice paralelă la Ox printr-un punct   de

pe Oy intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este  , f(x)=|

x|,

atunci     astfel încât f(y)=f(-y)=y

Bijectivitate:

O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă.

Respectiv, f este o bijecție dacă  ,   unic astfel încât f(x)=y. ă

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă

dacă și numai dacă orice paralelă la axa Ox printr-un

punct   de pe Oy intersectează graficul

funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este  ,

f(x)=x+3,

atunci     astfel încât f(x)=y, iar acel x

este y-3, unic.

Inversa unei funcții

O funcție   se

numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția   astfel

încât  . Atunci   se numește„inversa” funcției   și se

notează  . Funcția   este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.

Graficele funcțiilor   și   sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu

ecuația  .

Paritatea funcției

Funcția impară f(x)=x3 Funcția pară f(x)=x2

O funcție cu valori reale,   unde  , se numește „pară”

dacă  . Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție   cu valori reale se numește „impară” dacă

1.  sau

2. .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți ale funcțiilor pare

Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.

Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.

Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.

Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.

Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.

Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.

Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie

Monotonia funcției indică ce valori primește f(x) în dependență de valorile lui x.

Dacă pe un anumit interval ( , ) , < , < , atunci se poate spune că pe acest

interval funcția este crescătoare, dar în caz contrar, cînd < , > , atunci funcția este

descrescătoare.

Funcția de gradul I

Funcția de gradul I

Definiție

Fie o funcție   , aceasta se

numește funcție afină. Dacă   atunci   se numește 

funcție de gradul întâi de coeficienți  .

Dacă   atunci   se numește 

funcție liniară   .

Dacă   atunci   se numește

funcție constantă 

Pentru funcția de gradul întâi,   se numește termenul de gradul întâi , iar   , termenul liber al

funcției. O ecuație de forma   se numește ecuația atașată funcției   .

Observații

1. Funcția   se numește funcția de gradul întâi

deoarece este funcția asociată polinomului de gradul întâi cu coeficienți reali   .

2. Funcția de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienții  .

Exemple

1. Funcția   este funcție de gradul întâi cu

coeficienții  .

2. Funcția   este funcție liniară cu    .

3. Funcția   este funcție constantă când    .

Monotonia funcției de gradul întâi

Relativ la monotonia acestei funcții are loc următoarea teoremă:

Teoremă

Funcția de gradul întâi   este:

1. strict crescătoare dacă    2. strict descrescătoare dacă   

iar tabelul de variație a funcției este iar tabelul de variație a funcției este:

Ecuația de gradul I

Definiție: O ecuație este o propoziție cu o variabilă în care apare o singură dată semnul egal.

O ecuație de forma

ax + b = 0, x R(a,b  R, a  0) este numită ecuație de gradul I cu o necunoscută. Această

ecuație are soluția unică .

  Ecuația cu o necunoscută are forma generală S(x) =D(x), x M, unde M este mulțimea de valori necunoscuta x și care se mai numește domeniu de definiție al ecuației.

     În cazul în care mulțimea M nu este precizată, este considerată mulțimea numerelor reale.

    Necunoscuta x poate fi înlocuită (substituită),în enunțul ecuației, cu orice element din mulțimea M; ca rezultat enunțul poate exprima, sau nu, un adevăr. Acele elemente ale lui M care, introduse în enunț, în locul necunoscutei, fac ca enunțul să exprime un adevăr , se numesc soluții ale ecuației.

     Rezolvarea unei ecuații înseamnă determinarea tuturor soluțiilor sale.

     O ecuație are ,, mai mult de două soluții " în R dacă după efectuarea calculelor se obține 0 = 0. O astfel de ecuație se numește și identitate, iar mulțimea soluțiilor este R (S = R) .

     O ecuație nu are nici o soluție în R dacă după efectuarea calculelor se obține 0 = a (a  0). O astfel de ecuație are mulțimea soluțiilor vidă (S = Ø).

     Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții.

Proprietatea 1. Adunînd la (sau scazînd din) ambii membri ai unei ecuații același număr real, obținem o altă ecuație, echivalentă cu prima.

     Conform acestei proprietăți, putem trece termenii dintr-un membru in altul schimbînd semnul.

Proprietatea 2. Inmulțind (sau împărțind) ambii membri ai unei ecuații cu același număr real, diferit de zero, obținem o altă ecuație echivalentă cu prima .

Exemple:

Exemplu1:          ↔  ↔  ↔  ↔

 Exemplu 2:

↔ ↔

Funcție algebrică de gradul doi

O funcție algebrică de gradul doi, în matematică, este

o funcție polinomială de forma  ,

unde  .Graficul unei funcții de gradul doi este o parabolă a cărei axă de simetrie este paralelă cu axa Oy.

Expresia   din definiția unei funcții pătratice, este un polinom de grad 2 sau funcție polinomială de grad 2, pentru că cel mai mare exponent al variabilei   este 2.

Dacă se pune condiția ca funcția pătratică să fie egală cu zero, atunci va rezulta o ecuație pătratică. Soluțiile acestei ecuații sunt numiterădăcini pătrate ale ecuației, sau puncte de nul ale funcției.

Rădăcini

Cele două rădăcini ale ecuației de gradul al doilea  , în care   sunt:

Fie 

Dacă  , atunci există două rădăcini distincte pentru că   este un număr real

pozitiv.

Dacă  , atunci cele două rădăcini sunt egale, pentru că   este zero.

Dacă  , atunci cele două rădăcini sunt conjugate complexe, pentru că   este un

număr imaginar.

Considerând   și   sau invers, se poate da

factor comun   sub forma  .

Forme de exprimare a funcțiilor de gradul al doilea

O funcție de gradul al doilea poate fi exprimată în trei forme principale:

 se numește formă dezvoltată,

 se numește forma factorizată, în care   și   sunt

rădăcinile ecuației

 este forma canonică, în care h și k reprezintă abscisa, respectiv

ordonata punctului de extrem.

Graficul

 

 

Indiferent de forma în care este exprimată ea, graficul unei funcții de gradul al doilea este o parabolă.

Dacă  , parabola are deschiderea în sus.

Dacă  , parabola are deschiderea în jos.

Coeficientul a controlează viteza de creștere (sau descreștere) a funcției de la vârf, un a pozitiv mai mare făcând ca funcția să crească mai rapid și ca graficul să pară mai strâns.

Coeficienții b și a împreună controlează axa de simetrie a parabolei

(precum și abscisa vârfului) care este  .

Coeficientul b singur este înclinația parabolei la intersecția cu axa Oy.

Coeficientul c controlează înălțimea parabolei, adică locul în care ea intersectează axa Oy.

Vârful

Vârful unei parabole este punctul în care ea atinge maximul sau minimul, fiind astfel punctul de

extrem. Dacă funcția este scrisă în formă canonică, vârful este  . Forma generală

se poate transforma în

și deci vârful parabolei are coordonatele

Dacă ecuația este în forma factorizată

media celor două rădăcini,

este abscisa vârfului, care are, deci, coordonatele

Vârful este punct de maxim dacă   și punct de minim dacă  .

Dreapta verticală

care trece prin vârf este axa de simetrie a parabolei.

Puncte de maxim și de minim

În analiza matematică, coordonatele vârfului, ca punct de extrem al funcției, se pot obține aflând rădăcina derivatei:

ceea ce dă

cu valoarea corespunzătoare

și deci coordonatele vârfului pot fi exprimate:

Ecuație algebrică de gradul al doileaÎn matematică, ecuația algebrică de gradul al doilea este o ecuație polinomială de gradul doi.

Gradul ecuației este dat de gradul polinomului, iar soluțiile ecuației algebrice sunt numite rădăcini. Ecuația de gradul doi se numește și ecuație pătratică.  Un tip de ecuație asemănător celei de gradul doi este cea de gradul patru cu termeni de grad impar lipsă denumită ecuație bipătratică.

Forma generală a ecuației de gradul doi este:

unde: x este variabila, iar a, b, și c constantele (a ≠ 0). Dacă constanta a = 0, atunci ecuația devine o ecuație liniară. Constantele a, b, și c sunt denumite astfel:

a, coeficientul termenului pătratic

b, coeficient termenului liniar

c, termen constant sau termen liber

Forma canonică

Împărțind ecuația inițială prin a, rezultă: 

În această ecuație echivalentă, dacă se notează:   și   se obține forma canonică sau forma normală a ecuației de gradul doi:

 (ecuația este completă sub forma canonică)

Cazuri particulare

ecuație incompletă pur pătratică : 

ecuație incompletă fără termen liber : 

ecuație incompletă pur pătratică fără termen liber :[4] 

Rezolvarea ecuației de gradul II

Rădăcinile ecuației algebrice de gradul doi se obțin cu ajutorul formulei:

, unde x

reprezintă abscisa punctelor de intersecție

al graficului funcției corespunzătoare

ecuației cu axa Ox.

   Teorema lui Viete: Dacă și sînt soluțiile ecuației a +bx+c=0 , a≠0,

Atunci + = -

=

Existența soluțiilor reale ale ecuației de gradul II, plecum și numărul lor depend de semnul

discriminantului ∆= - 4ac al acestei ecuații.

1. Dacă ∆<0, ecuația nu are soluții reale. Prin urmare, S=Ø.

2. Dacă ∆=0, mulțimea soluțiilor ecuației conține un unic element: x= - . Deci, S= {- }.

3. Dacă ∆>0, mulțimea soluțiilor ecuației conține două elemente:

Astfel , S= { }

Funcţia radical de ordinul n.

Definiţie:

a) Funcţia f: R → R, f(x)= , n N*, se numeşte funcţia radical de ordin impar.

b) Funcţia f: [0,+ ) → [0,+ ), f(x)= n N*, se numeşte funcţia radical de ordin par.

Funcţia f: [0,+ ) → [0,+ ),

f(x)= n N*

f: R → R,

f(x)= , n N*

Intersecţia cu axele

de coordonate Ox şi OyO(0,0) O(0,0)

Paritate Nu f(-x)=-f(x) funcţie impară

Simetria graficului Gf Nu Gf simetric faţă de O

Convexitate şi concavitate Concavă pe [0,+ )Convexă pe (- ,0]

Concavă pe [0,+ )

Puncte remarcabile pe

graficul funcţiei(0,0), (1,1) (-1,-1), (0,0), (1,1)

Monotonia funcţiei x - 1 + x - -1 0 1 +

0 ↑ ↑ 1 ↑ ↑ + - ↑ - 1 ↑ 0 ↑ 1 ↑ +

Strict crescătoare pe [0,+ ) Strict crescătoare pe R

Semnul funcţieix 0 + x - 0 +

0+ + + + + + + + + - - - - - 0 + + + + +

Continuitate Gf este o curbă continuă Gf este o curbă continuă

Bijectivitate Da Da

Funcţia inversăf-1: [0,+ ) → [0,+ ),

f-1(x) = x2n

f: R → R,

f-1(x) = x2n+1

     

Ecuații Iraționale

Ecuația care conține necunoscuta sub radical se numește ecuație irațională.

Ecuațiile iraționale au formele: ;

Ecuația   este echivalentă cu sistemul

f(x) = [g(x)]2n,g(x)  0.

Iar ecuația este echivalentă cu ecuația f(x) = [g(x)]2n+1

Exemplul 1. Să se rezolve ecuațiile

Rezolvare. a) Se observă ca membrul din dreapta ecuației este negativ, pe cînd cel din stînga, fiind un radical de ordinul doi, poate primi doar valori nenegative. Așadar ecuația nu are soluții.

b) Cum suma a două expresii, valorile cărora sunt numere negative, este egal cu zero, rezultă că ambele expresii concomitent sunt egale cu zero. Așadar, ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații

x - 2 = 0,

x + 2 = 0,

care este incompatibil. Prin urmare, ecuația nu are soluții.

c) Domeniul valorilor admisibile (concis DVA) al ecuației se determină din sistemul (expresiile ce se conțin sub semnul radicalului de ordinul doi urmează a fi nenegative)

3 - x і 0,

x - 5 і 0.

Evident sistemul nu are soluții, și, prin urmare, ecuația enunțată la fel nu are soluție.

d) DVA al ecuației x = 4 se determină rezolvînd sistemul

Cum x = 4 este unica valoare admisibilă a ecuației, rămîne de verificat, dacă ea este sau ba soluție a ecuației. Introducînd în ecuație x = 4 se obține egalitatea numerică justă 0 = 0 și, prin urmare, x = 4 este unica soluție a ecuației date.

e) DVA al ecuatiei x О [2;4] se determina din sistemul de inecuatii

x - 2 і 0,

x + 7 і 0,

4 - x і 0.

Se observă că în DVA are loc inegalitatea  , și cum  , rezultă că ecuația inițială nu are soluții.

f) Ecuația se rezolvă astfel

(4x2 - 9)  = 0   Ы

4x2-9 = 0,

 = 0,

x і 1,

  Ы 

x = -3/2,

x = 3/2,

x = 1,

x і 1,

  Ы  x = 3/2,

x = 1.

Una din metodele standarde de rezolvare a ecuațiilor irationale constă în raționalizarea ei , adică în eliberarea succesivă de radicali pe calea ridicării la o anumită putere a ambelor părți ale ecuației. Ținem să menționăm , că dacă n este un număr natural impar, ecuațiile f(x) = g(x) si (f(x))n = (g(x))n sunt echivalente, iar dacă n este un număr natural par, ecuația (f(x))n = (g(x))n este o consecință a ecuației f(x) = g(x) (adică la ridicarea la putere pară pot apărea soluții străine), și, prin urmare, este necesară verificarea soluțiilor obținute

Funcţia exponenţială Definiţie. Fie a>0, a≠1. Funcţia

se numeşte funcţia exponenţială de bază a. Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei exponenţiale este o curbă exponenţială.

y ya > 1 a < 0

x x

y

0 < a < 1

x Proprietăţi 1) f(0)=a0=1, graficul funcţiei taie axa Oy în punctul (0,1). 2) Funcţia exponenţială este convexă. 3) Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare; dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare. 4) Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1; x<0 atunci f(x)<1; 0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1; x<0 atunci f(x)>1. 5) Funcţia exponenţială este bijectivă.

Problema Să se ordoneze crescător numerele:

R. Fie funcţia exponenţială

f este funcţie strict crescătoare, are baza 3>1. Funcţie strict crescătoare: x1<x2=>f(x1)<f(x2) Ordonăm crescător exponenţii şi din monotonie obţinem ordonarea puterilor:

Ecuaţii exponenţiale

Definiţie. O ecuaţie în care necunoscuta este la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială. Tipuri de ecuaţii exponenţiale:

Ecuaţia are soluţie dacă b>0. Prin logaritmarea ambilor membrii ai ecuaţiei se obţine:

care este ecuaţie algebrică şi de aici obţinem soluţia. Problema Să se rezolve ecuaţia: 2x=8 R. log22x=log28 =>x=3.

Din injectivitatea funcţiei exponenţiale se obţine ecuaţia echivalentă: f(x)=g(x), ecuaţie algebrică. Problema Să se rezolve ecuaţia:

R.

Ecuaţiile de acest tip se rezolvă prin substituţie. Notăm af(x)=y>0 şi se obţine ecuaţia de gradul II c1y2+c2y+c3=0.

Problema Să se rezolve ecuaţia

R. Notăm 2x=y şi se obţine ecuaţia de gradul II 3y2-2y+2=0 cu soluţiile

Revenim la substituţie şi se rezolvă ecuaţiile:

Funcţia logaritmică Definiţie. Fie a∈R,a>0,a≠0 şi b∈R,b>0. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv b, exponentul la care trebuie ridicat numărul a, numit bază, pentru a obţine numărul b.

Logaritmul numărului b în baza a se notează . Proprietăţile logaritmilor

1.

, identitatea logaritmică fundamentală;

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.  , formula de schimbare a bazei logaritmului;

9.

10. Definiţie. Fie a∈R,a>0,a≠0.

Funcţía se numeşte funcţia logaritmică. Graficul funcţiei logaritmice

          

          

Proprietăţile funcţiei logaritmice

1. ; 2. Dacă a>0 funcţia logaritmică este strict crescătoare; 0<a<1 funcţia logaritmică este strict descrescătoare;

3. Dacă a>0, x<1, atunci ;

a>0, x>1, atunci ;

0<a<1, x<1, atunci ;

0<a<1, x>1, atunci ; 4. Funcţia logaritmică este bijectivă; 5. Funcţia logaritmică este inversabilă şi inversa ei este funcţia exponenţială.

Exemple de rezolvări ale ecuațiilor logaritmice

Exercitiul 1

Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei 

Punem conditiile de existenta:

Ecuatia se scrie astfel:

Exercițiul 2

Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia 

Punem conditiile de existenta:

Pentru rezolvare avem:

care are o singura solutie acceptabila si anume x=9.

Exerciuțiul 3

Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei 

Proprietăţile şi graficul funcţiei sinus

Sinus este o funcţie periodică, cu perioada principală   - verificaţi voi ca 

, aşadar este suficient să reprezentăm graficul pe intervalul  , deoarece el se va repeta pe restul intervalelor.

Este o funcţie impară, adică  , ceea ce înseamnă că graficul funcţiei este simetric în raport cu originea axelor (O) – un prim indiciu despre cum ar arăta graficul.

Ştim, de asemenea, că funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus nu pot lua decât valori între -1 şi

1, deci imaginea funcţiei   este   – aşadar graficul funcţiei este mărginit între dreptele de ecuaţie y = -1 şi y = 1.

Observaţie: Dacă dăm mai multe valori funcţiei (urmăriţi tabelul de valori de mai jos), vom

observa că funcţia creşte pe intervalul  , descreşte pe intervalul   şi creşte din nou

pe intervalul  .

Studiind acelaşi tabel de valori, găsim valoarea maximă şi cea minimă: 1 pentru   

şi -1 pentru  . Funcţia se anulează în  . k este un număr întreg.

Având la dispoziţie toate aceste informaţii, putem trasa graficul, care va arăta cam aşa:

Proprietăţile şi graficul funcţiei cosinus

Cosinus este o funcţie periodică, cu perioada principală   - verificaţi voi

că  , aşadar şi aici este suficient să reprezentăm graficul pe

intervalul  , deoarece el se va repeta pe restul intervalelor.

Este o funcţie pară, adică  , ceea ce înseamnă că graficul funcţiei este simetric în raport cu axa ordonatelor Oy - adică îndoind foaia în două după axa Oy ar trebui ca partea din stânga a graficului să se suprapună pe partea din dreapta a graficului.

După cum am menţionat şi mai sus, imaginea funcţiei   este   – aşadar graficul funcţiei este mărginit între dreptele de ecuaţie y = -1 şi y = 1.

Observaţie: Dacă dăm mai multe valori funcţiei (urmăriţi tabelul de valori de mai jos), vom

observa că funcţia descreşte pe intervalul  , creşte pe intervalul  .

Pe acelaşi tabel de valori din referat, găsim valoarea maximă şi cea minimă: 1

pentru   şi -1 pentru  .

Funcţia se anulează în  , cu k număr întreg.

A venit momentul acum să vedem care e diferenţa dintre graficele funcţiilor sinus şi

cosinus, căci ambele sunt sinusoide: există un decalaj de   între ele:

 Proprietăţile şi graficul funcţiei tangentă

Dacă funcţiile sinus şi cosinus aveau ca domeniu de definiţie mulţimea numerelor reale, la

funcţia tangentă domeniul nu mai este întreaga mulţime, deoarece   şi

atunci  trebuie să fie diferit de 0, adică  . Dreptele de

ecuaţie  constituie asimptotele verticale ale graficului funcţiei noastre, deoarece,

spre exemplu în  avem:

Imaginea funcţiei este, de data asta, întreaga mulţime a numerelor reale, deci funcţia nu mai este mărginită, din moment ce există puncte în care ea tinde la infinit.

Tangenta este şi ea o funcţie periodică, de data asta cu perioada principală  ,

deoarece   pentru orice x din domeniul de definiţie.

Din definiţia tangentei   se poate deduce că aceasta este o funcţie impară,

deoarece este raportul dintre o funcţie impară şi una pară, aşadar avem   şi, în consecinţă, graficul va fi simetric în raport cu originea axelor.

Conform valorilor din tabelul de mai jos, pe o perioadă (spre exemplu, pe intervalul  ) funcţia tangentă este strict crescătoare. Pentru  , unde k este număr întreg, deoarece în acele puncte se anulează funcţia sinus.

Proprietăţile şi graficul funcţiei cotangentă

Nici cotangenta nu are ca domeniu de definiţie întreaga mulţime a numerelor reale,

căci  , aşadar trebuie să excludem valorile lui x pentru care funcţia sinus se

anulează. În consecinţă, domeniul de definiţie va fi  .

Tot din definiţie deducem că aceasta este o funcţie impară, deoarece este raportul dintre o

funcţie impară şi una pară, aşadar avem   şi, în consecinţă, graficul va fi simetric în raport cu originea axelor.

Conform valorilor din tabelul de mai jos, pe o perioadă (spre exemplu, pe intervalul  )

funcţia cotangentă este strict descrescătoare. Pentru  , unde k este număr întreg, deoarece în acele puncte se anulează funcţia cosinus.

Formule trigonometrice

1.(a, b - catetele, c - ipotenuza triunghiului dreptunghic,  - unghiul, opus catetei a).

2.3.

4.

5.

6.

7.8.9.

10.11.12.

13.

14.15.16.

17.

18.19.20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.