FORMAREA SI TRANZITAREA VIITURILOR. ____________________________________________

2.1 - Scurgerea apei la suprafaţa terenului. Formarea viiturilor

Bazinul de recepţie al râului este unitatea hidrografică la nivelul căreia se produce şi evoluează fenomenul scurgerii de suprafaţă în urma căruia apar viiturile. Elementele scurgerii şi concentrării scurgerii de suprafaţă sunt deci dependente de caracteristicile bazinului hidrografic şi de factorii de mediu din bazin: climă, sol, vegetaţie etc.

Pe teritoriul ţării noastre predomină viiturile provenite din ploi. In funcţie de distribuţia în timp şi spaţiu a precipitaţiilor, viiturile pot avea un singur maxim (viituri singulare) sau mai multe maxime, dintre care numai unul sau o parte dintre ele sunt semnificative (viituri mixte).

Datorită formelor variate ale acestor viituri, pentru calculele practice se stabilesc în secţiunile importante ale bazinelor hidrografice unde de viitură singulare tip, care au o anumită formă şi ca vârf, unul dintre debitele maxime semnificative. De altfel, cele mai importante unde de viitură care s-au înregistrat pe teritoriul ţării noastre au avut formă singulară.

O caracteristică importantă a ploilor torenţiale din România este că majoritatea au o durată mai mică de 6 (şase) ore. Pentru astfel de viituri, la care formarea, concentrarea şi propagarea scurgerii are loc într-un interval de timp relativ scurt se pretează foarte bine simularea lor printr-un model de tip şiroire, scurgerea de suprafaţă fiind componenta principală în formarea scurgerii în reţeaua hidrografică.

Modelarea procesului ploaie - scurgere prin modelul de tip şiroire se referă la evaluarea şi integrarea precipitaţiei nete.

Pentru evaluarea precipitaţiei nete se propune varianta simplificată a modelului S.S.A.R.R (Streamflow Synthesis and Reservoirs Regulation) care are la bază corelaţia dintre coeficientul de scurgere (α ),

umiditatea solului (w) şi intensitatea precipitaţiei (i p ), a cărei reprezentare grafică este o familie de curbe α=f (w ) ,

diferenţiate prin i p=const .

Aceste curbe sunt rezultatul dependenţei funcţionale între parametrii α ,w , ip potrivit ecuaţiei:

dwdt

=(1−α ) .ip−e−f (2.1)

în care "e" este intensitatea evapotranspiraţiei, iar "f" este intensitatea alimentării cu apă a stratului subteran. In timpul precipitaţiei umiditatea solului atinge la un moment dat o valoare maximă, determinată de maximizarea

parametrilor i p , e , f , pentru care rezultă

dwdt

=0, respectiv:

αmax=1−emax+ f max

ip ,max (2.2)

In această relaţie f max reprezintă capacitatea de câmp a solului, iar αmax are semnificaţia unui plafon maxim

al coeficientului de scurgere pe curba α=α(w ) , ( i p=const .).

Se observă din (2.2) că 0≤αmax≤1 . Dacă în relaţia (2.2) ne referim la valori instantanee ale parametrilor i p , e , f , rezultă că există o intensitate minimă a precipitaţiei i p ,min , pentru care coeficientul de scurgere α este nul.

Pentru calculul efectiv al variaţiei umidităţii solului în timpul precipitaţiei se scrie în diferenţe finite ecuaţia diferenţială ( ) care devine:

w i+1=w i+(1−α i) .ip , i . Δt−e i .Δt−f i . Δt (2.3)

în care indicele "i" se referă la momentul t, iar indicele "i+1", la momentul t+Δt .

Produsul i p , i. Δt exprimă precipitaţia (hi - mm ) căzută în intervalul de timp Δt . Parametrii e i şi f i au o pondere redusă în calcule în raport cu scurgerea superficială pe durata unei viituri şi din acest motiv se pot neglija.

Pe baza corelaţiei dintre umiditate şi intensitatea precipitaţiei se determină valoarea coeficientului de

scurgere la momentul t+Δt , α i+1 .

Fig.nr.1 - Corelaţiile dintre coeficientul de scurgere,

umiditate şi intensitatea precipitaţiei

Pentru evaluarea umidităţii iniţiale a solului ( la momentul t = 0 ) se recurge la o relaţie de forma:

w0= ∑1

5↔10

h j . rj

(2.4)

în care h j este precipitaţia în mm produsă în ziua j, anterioară momentului de formare a viiturii (primele cinci sau zece zile anterioare numărate în sens invers scurgerii timpului), iar "r" este un parametru specific bazinului

hidrografic (rmediu≃0 ,90 ).

Variaţia în timp a intensităţii precipitaţiilor i p , i rezultă din măsurătorile de precipitaţii pe durata ploii care determină viitura.

Pentru integrarea precipitaţiei (determinarea hidrografului de debite al viiturii) se foloseşte ecuaţia integrală de convoluţie:

Q( t )=∫0

T

q( t ) .hn( t ) .dt (2.5)

în care T este durata hidrografului Q( t ) , q ( t ) este funcţia hidrografului unitar, iar hn( t ) este precipitaţia netă (mm):

hn( t )=α( t ) .h ( t ) (2.6)

Funcţia hidrografului unitar are expresia:

q ( t )= 1k .Γ 2(n )

e− tk tkn−1

(2.7)

Ordonatele hidrografului unitar q(t) sunt definite de funcţia de repartiţie Γ2 , iar n şi k sunt parametrii care se calculează pe baza măsurătorilor de precipitaţii care au determinat formarea unor viituri înregistrate, minimizând expresia:

E=∑1

nv

∑1

nq

(Q c−Qm )2

, (2.8)

prin corecţii succesive ale coeficienţilor de scurgere pe curbele S.S.A.R.R (fig.nr.1.2). Deoarece condiţiile în care se produce scurgerea apei la suprafaţa terenului nu pot fi reconstituite în totalitate apar unele diferenţe între hidrograful înregistrat şi cel reconstituit. S-au folosit următoarele notaţii:

nv - numărul de viituri înregistrate luate în considerare;

nq - numărul ordonatelor al hidrografului de debite al viiturii luate în considerare în calcul;

Qc - valori ale debitului calculate prin simularea hidrografului viiturii;

Qm - valori ale debitului măsurate pe hidrograful viituri înregistrate.

Fig.nr.2 – Reconstituirea unui hidrograf de viitură înregistrat prin simularea scurgerii de suprafaţă.

2.2 – Caracteristicile viiturilor. Reconstituirea hidrografului de debite al viiturilor.

Parametrii caracteristici care definesc o undă de viitură singulară sunt următorii:

- durata viiturii, T (ore);

- timpul de creştere a viiturii, t c (ore);

- timpul de descreştere, td (ore);

- debitul maxim al viiturii, Qmax (mc/s);

- volumul ( stocul ) viiturii, W (mc):

W=∫0

T

Q( t ).dt (2.9)

- coeficientul de formă a viiturii, γ :

γ= WQmax .T (2.10)

- stratul echivalent al scurgerii corespunzător volumului viiturii, h (mm), care reprezintă înălţimea stratului de apă scurs dacă volumul viiturii s-ar repartiza uniform pe întreaga suprafaţă a bazinului hidrografic:

h(mm)= W

103 .F (2.11)

în care s-a notat cu F - suprafaţa bazinului hidrografic măsurată în km2. Pentru calculele practice de tranzitare a undelor de viitură în reţeaua hidrografică este nevoie de

reconstituirea hidrografelor de viitură de anumite caracteristici, fapt ce este posibil prin schematizarea sa analitică. Hidrograful de debite al viiturii singulare tip este format din patru segmente de parabolă (fig.nr.1) delimitate de

următoarele puncte: A(0,0 ) , B( t1 ,Q1) , C (T cr ,Qmax ), D( t2 ,Q2) , E (T ,0 ). Acesta se poate reconstitui pe baza

caracteristicilor sale (Qmax , T ,T cr , γ ), prin exprimarea funcţiilor ce descriu aceste segmente de curbă. Pentru deducerea acestor funcţii este necesar să se respecte condiţiile de continuitate în punctele de legătură ale segmentelor de curbă:

F1( t k )=F2( t k ) (2.12)

( dF1

dt )t=tk

= ( dF2

dt )t=t

k (2.13)

în care F1 şi

F2 sunt funcţiile ce descriu arcele de curbă vecine, iar t k este abscisa în punctul de legătură.

Pentru reprezentarea segmentului de curbă AB se propune o funcţie de forma:

Q=Q1( tt1 )m

, t∈[ 0 , t1 ] (2.14) în care exponentul m se determină din condiţia ca segmentul de hidrograf de pe această porţiune să respecte coeficientul de formă al hidrografului general, respectiv:

∫0

t1

Q .dt=γ .Q1 . t1 (2.15)

din care rezultă:

m=1−γγ (2.16)

Fig.nr.1–Schema de reconstituire a hidrografului de debite pentru o viitură singulară tip

Pentru segmentul de curbă BC se propune o funcţie de forma:

Q=Qmax( t−t1'

T cr−t1' )

α

, (2.17)

în care s-a introdus parametrul t1' <t1 , în scopul eliminării unei nedeterminări în aplicarea condiţiilor de continuitate

în punctul B. Tangentele la cele două curbe în punctul B au expresiile:

( dF AB

dt )t=t1

=Q 1 .1−γγ

.1t1 (2.18)

( dFBC

dt )t=t1

=Qmax .α .( t1−t 1'

T cr−t 1' )

α−1

.1

T cr−t 1'

(2.19)

Parametrul Q1 din expresia (16) poate fi înlocuit cu o expresie obţinută din condiţia ca punctul B(Q1 , t1 ) să se găsească pe curba BC, respectiv:

Q1=Qmax .( t1−t1'

T cr−t1' )

α

(2.20)

Din aplicarea condiţiei de continuitate (13) rezultă expresia exponentului:

α=(1− t1'

t1 ) .1−γγ (2.21)

Pentru aplicarea condiţiilor de continuitate în punctul D este necesar să fie determinată mai întâi funcţia care descrie segmentul de curbă DE. Pentru această porţiune de hidrograf se propune o funcţie de forma:

Q=Q2 . ( T−tT−t2 )

n

, (2.22)

în care n se determină din condiţia ca pe această porţiune coeficientul de formă să fie acelaşi ca al hidrografului general:

∫t2

T

Q .dt=γ .Q2(T−t2) (2.23)

După efectuarea operaţiilor rezultă că:

n=1−γ

γ (2.24)

Pentru segmentul de curbă CD se propune următoarea formă a funcţiei:

Q=Qmax ( t2' −t

t2' −T cr

)β

(2.25)

Dacă se pune condiţia ca punctul D( t2 ,Q2 ) să fie pe segmentul de curbă CD se obţine:

Q2=Qmax ( t2' −t 2

t2' −T cr

)β

(2.26)

Expresiile tangentelor la curbele CD şi DE în punctul de abscisă t2 , cu considerarea expresiei (26) sunt

următoarele:

( dFCD

dt )t=t2

=Qmax . β .( t 2' −t2

t 2' −T cr

)β−1

.1

t 2' −T cr (2.27)

( dFDE

dt )t=t2

=Qmax .( t 2' − t2

t 2' −T cr

)β

1−γγ

.1

T−t2 (2.28)

Din aplicarea condiţiei de continuitate (13) rezultă expresia parametrului β :

β=1−γγ

.t2' −t2

T−t2 (2.29)

Pentru reconstituirea hidrografului este necesar să se precizeze parametrii t1 , t1' , t2 , t2

'. Din analiza unor

hidrografe tip rezultă că punctele de inflexiune se realizează practic pentru t1≈(0 ,90÷0 ,95)T cr , pentru ramura

crescătoare a hidrografului şi la t2≈T cr+(T cr−t1) , pentru ramura descrescătoare. Pentru compatibilitatea

condiţiilor de continuitate se recomandă ca valorile parametrilor t1' , t2

' să fie apropiate de valorile parametrilor

t1 , t2 , respectiv t1'≈(0 ,95÷0 ,99) t1 şi t2

'≈t2+(0 ,01÷0 ,05 )( t2−T cr ) .In concluzie, expresiile funcţiilor care descriu hidrograful de debite al viiturii singulare tip sunt

următoarele:

Q=Qmax( t1−t1'

T cr−t1' ) (1−

t1'

t1).1−γγ

. ( tt1 )1−γγ

; t∈[ 0 , t1 ] (2.30)

Q=Qmax ( t−t1'

T cr−t1' ) (1−

t1'

t1).1−γγ

; t∈[ t1 , T cr ] (2.31)

Q=Qmax ( t2' −t

t2' −T cr

)1−γγ

.t2' −t2T−t2

; t∈[Tcr , t2 ] (2.32)

Q=Qmax ( t2'−t2

t2' −T cr

)1−γγ

.t2' −t2T−t2 . ( T−t

T−t 2 )1−γγ

; t∈[ t2 ,T ]

(2.33)

Fig.nr.2 – Reconstituirea unui hidrograf de debite pentru diferiţi coeficienţi de formă.

Reconstituirea hidrografului de debite al viiturii se face automat, într-un proces iterativ prin care se urmăreşte respectarea coeficientului de formă dat.

In fig.nr.2 se dau câteva hidrografe reconstituite pe baza aceloraşi caracteristici Qmax , T , T cr , diferenţiate prin

valoarea coeficientului de formă γ .

2.3 – Determinarea parametrilor scurgerii în albiile râurilor. Modelul mişcării nepermanente.

Scurgerea apei în albia râurilor poate fi simulată prin modelul mişcării nepermanente, care corespunde, calitativ situaţiei reale de desfăşurare a fenomenului. Calculele de mişcare nepermanentă se fac de obicei pentru albii cu “pat fix”, cu toate că în realitate, la tranzitarea viiturilor au loc numeroase fenomene morfologice, unele cu caracter ireversibil. Considerarea albiilor cu “pat mobil” se face de obicei atunci când se urmăreşte evoluţia albiei din punct de vedere al stabilităţii, evaluarea adâncimilor de afuiere sau exploatarea rezervelor minerale pentru necesităţi de construcţie.

2.3.1 – Tranzitarea viiturilor în albia râurilor

2.3.1.1 – Ecuaţiile mişcării.Condiţii iniţiale şi la limită de integrare

Curgerea apei în albia râurilor în perioada apelor mari este nepermanentă, gradual variată şi lent variabilă: ea este descrisă de sistemul de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale:

(2.34)

în care z este cota suorafeţei libere a apei, v , viteza medie de curgere a apei în secţiune, iar este panta

hidraulică locală: . Aceste ecuaţii scrise cu variabilele şi sunt cunoscute sub denumirea de

ecuaţiile Saint – Venant. Pentru a introduce variabilele şi se are în vedere că:

(2.35)

(2.36)

(2.37)

In aceste condiţii sistemul de ecuaţii (11.11) devine:

(2.38)

ecuaţiile sistemului fiind neliniare, de tip hiperbolic.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii (11.15) trebuie cunoscute condiţiile iniţiale:

; şi (2.39)

şi condiţiile la limită (de margine) pentru capetele sectorului de calcul şi , care pot fi de forma:

; sau (2.40)

; , sau

2.3.1.2 – Integrarea numerică a ecuaţiilor mişcării

Pentru integrarea numerică a sistemului de ecuaţii diferenţiale ale mişcării se împarte tronsonul de canal

sau râu de lungime , în sectoare de calcul ; ( numărătoarea este făcută din amonte către aval ),

la capetele cărora urmează să se calculeze valorile funcţiilor şi la intervale de timp egale ( fig.nr.11.4 ).

Fig.nr.2.1 – Schemă pentru calculul numeric

Fie şi valorile acestor funcţii calculate în nodurile , la momentele . Se

adoptă o schemă de calcul implicită pentru care derivatele parţiale ale funcţiilor necunoscute şi pot

fi aproximate cu expresii care includ valorile acestor funcţii în nodurile reţelei de calcul la momentele şi .

Pentru sectorul de calcul aceste derivate se aproximează cu relaţiile:

(2.41)

Pentru sectorul de calcul derivatele parţiale se exprimă cu acelaşi tip de relaţii, dar se scriu cu indicii corespunzători acestui sector de calcul.

Prin înlocuirea expresiilor (11.18) în sistemul de ecuaţii (11.15), pentru sectorul de calcul se obţin ecuaţiile mişcării în diferenţe finite pe acest sector:

(2.42)

în care s-au făcut următoarele notaţii:

; ; (2.43)

Mărimile barate reprezintă valori medii pe sectorul de calcul , iar este un parametru de pondere

care poate lua valori cuprinse în intervalul .

Dacă se adună ecuaţiile în diferenţe finite (11.19) se obţine pentru parametrul următoarea expresie:

(2.44)

Dacă în sistemul de ecuaţii diferenţiale (11.15) se înlocuiesc derivatele parţiale ale funcţiilor şi

cu expresiile aproximative (11.18) scrise pentru sectorul de calcul se obţine sistemul de ecuaţii în diferenţe finite:

(2.45)

Dacă se scad ecuaţiile (11.22) se obţine o altă expresie care conţine parametrul :

(2.46)

Prin adunarea ecuaţiilor (11.21) şi (11.23) se obţine:

(2.47)

care este un sistem de ecuaţii cu tot atât necunoscute , în care coeficienţii au următoarele expresii:

(2.48)

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii (11.24) se consideră relaţia de recurenţă:

(2.49)

în care coeficienţii şi se determină din condiţia ca soluţia (11.26) să verifice sistemul de ecuaţii (11.24). Se obţine:

(2.50)

Ultima ecuaţie a sistemului de ecuaţii algebrice (11.24) permite calculul explicit al coeficienţilor şi :

(2.51)

cu ajutorul cărora pot fi determinaţi toţi coeficienţii , , i=1,2,...,n-1, în baza relaţiilor (11.27).

Soluţiile sistemului de ecuaţii Q( s , t ) , z ( s , t ) se dau prin valori discrete Qi , j , zi , j , determinate pentru

fiecare profil transversal în parte la diverse momente.

2.3.1.3 – Date de bază necesare integrării ecuaţiilor mişcării

Fig.nr.2.2 – Schema pentru reprezentarea albiei râului

Condiţia la limită de integrare în secţiunea iniţială (s=0 ) este reprezentată de hidrograful de debite al

viiturii , care se dă prin caracteristicile sale Qmax ,

T cr , T , γ şi se reconstituie prin puncte, la intervale

de timp egale ΔT , conform relaţiilor de la paragraful 2.1. Acesta permite determinarea debitului în secţiunea iniţială (secţiunea amonte), valoare cu ajutorul căreia se

determină succesiv, din amonte către aval debitele în secţiunile în baza relaţiilor (…..).

Pentru momentele de calcul t j ale soluţiei numerice, determinate la intervale de timp Δt , debitele în

secţiunea iniţială se determină prin interpolare, între mărimile T k−1 şi

T k .

Condiţia la limită din aval (s=L ) este dată de relaţia dintre debitul de apă şi cota suprafeţei libere a apei

Q=Q (z ), stabilită pe baza ecuaţiei lui Chezy, cu panta longitudinală a ultimului tronson de calcul Δsn−1, n .

Din condiţia la limită în secţiunea aval se determină la fiecare moment de calcul t j , cota

zn , j=f (Qn, j) ,

iar în baza relaţiilor ( ) se determină succesiv, din aval către amonte, cotele apei

Caracteristicile mişcării Bi=Bi (zi , k )k=1 , p ,

ωi=ωi( zi , k )k=1, p , K i=K i( zi , k )k=1, p , necesare

calculului numeric în fiecare secţiune de calcul i se determină pe baza profilelor transversale topografice ridicate în albiile minoră şi majoră.

a) Date de intrare

Modelul de calcul prezentat stă la baza multor programe de calcul, realizate de specialiştii în domeniu.

Toate aceste programe utilizează practic aceiaşi bază de date, însă numărul de fişiere de date de intrare şi

organizarea acestora diferă.

Baza de date pentru programul de calcul realizat de autor (“NEPER”) cuprinde trei fişiere de date de

intrare:

a1) PROFLONG.DAT, în care se înscriu elementele profilului longitudinal al sectorului pe care se

efectuează calculul. Acesta cuprinde numărul profilelor transversale prin care se este descrisă albia râului, numărul

de profile intermediare suplimentare determinate prin interpolare, numărul de intervale de timp la care se înscriu

datele în fişierele de rezultate, intervalul de timp de calcul, durata totală de calcul, un număr limitat de coeficienţi

care impune scrierea în fişierele de rezultate, denumirea profilelor transversale, distanţele parţiale dintre profile,

coduri pentru evidenţierea secţiunilor de confluenţă.

a2) AFLUENT.DAT în care se înscriu hidrografele viiturilor, pe râul principal, în secţiunea amonte a

tronsonului de calcul şi pe afluenţi. Datele sunt în corelaţie cu codurile pentru evidenţierea secţiunilor de confluenţă

din fişierul PROFLONG.DAT: pentru un cod anume din fişierul PROFLONG.DAT se înscrie un pachet de date ce

descrie hidrografele viiturilor pe râul principal şi pe afluenţi. Alt cod decât cel anterior semnifică absenţa

hidrografelor de debite în secţiune (nod). Acest fişier de date de intrare conţine: decalajul de timp faţă de momentul

iniţial de calcul, cu care îşi face apariţia viitura în secţiunea de confluenţă, durata hidrografului de debite, intervalul

de timp ΔT la care sunt reconstituite debitele hidrografului, debitele efective ale hidrografului reconstituit.

Numărul de puncte prin care se înscriu hidrografele viiturilor pe afluenţi trebuie să fie egale cu numărul de

puncte prin care se înscrie hidrograful amonte. Se pot introduce tot atâţia afluenţi cât nodurile de calcul (inclusiv

cele intermediare).

a3) PROF. DAT cuprinde elementele profilelor transversale. Datorită diferenţei relativ mari de rugozitate

între albia minoră şi cea majoră, o parte dintre aceste elemente se înscriu separat pentru cele două albii.

Datele care se înscriu sunt următoarele: denumirea profilului, numărul de puncte prin care se descrie

( acelaşi pentru albia minoră şi cea majoră), rugozităţile albiei minore şi albiei majore, cotele punctelor prin care se

descriu profilele ( comune pentru cele două albii), distanţe cumulate pentru albia minoră, distanţe cumulate pentru

albia majoră.

b) Date de ieşire (rezultate)

Rezultatele integrării ecuaţiilor mişcării se dau sub forma unor matrici care cuprind valorile Qi , j şi

zi , j în

fiecare profil transversal, la diverse momente t j considerate. Scrierea acestor date este compatibilă cu structura

datelor de intrare pentru subprogramele de prelucrare grafică.

Fişierele de rezultate cuprind următoarele:

b1) REZQ.DAT cuprinde valorile Qi , j în profilele transversale, la momente de calcul

t j considerate.

b2) REZZ.DAT cuprinde valorile zi , j în profilele transversale, la momente de calcul

t j considerate.

b3) RZQ.DAT conţine parametrii de evaluare a profilului longitudinal: indicatorul profilului transversal,

distanţe cumulate din amonte către aval, debite maxime în profilele transversale, cote maxime ale apei în profilele

transversale, cotele talvegului în profilele transversale, adâncimi maxime de apă, viteze maxime în secţiunile

profilelor transversale.

Opţional se întocmesc şi alte fişiere de rezultate în raport cu prezenţa în nodurile de calcul a unor lucrări care au influenţă asupra parametrilor de scurgere a apei în albia râului (acumulări laterale, derivaţii etc).