+ All Categories
Home > Documents > Exercitii Fiabilitate

Exercitii Fiabilitate

Date post: 08-Jul-2016
Category:
Upload: sorin-miu
View: 407 times
Download: 38 times
Share this document with a friend
Description:
Fiabilitate, Facultatea de Energetica
24
Simulare LC Paul Ulmeanu 2015-16 Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 1 / 24
Transcript
Page 1: Exercitii Fiabilitate

Simulare LC

Paul Ulmeanu

2015-16

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 1 / 24

Page 2: Exercitii Fiabilitate

Enunt

Enunt

Fie un sistem este format din 6 componente binare, reparabile siindependente. Daca componenta 3 este in stare de insucces, atuncisistemul are urmatoarele taieturi minimale:K

′1 = {1̄, 5̄}; K ′

2 = {1̄, 2̄, 4̄}; K ′3 = {1̄, 4̄, 6̄}.

Daca componenta 3 este in stare de succes, atunci sistemul areurmatoarele trasee minimale: T

′′1 = {1}; T ′′

2 = {2}, T ′′3 = {4, 5},

T′′4 = {4, 6}.

Toate componentele sistemului au aceeasi probabilitate de succes p siaceeasi intensitate de defectare λ.

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 2 / 24

Page 3: Exercitii Fiabilitate

Validare solutii: inventariere nivel de succes / insucces sistem;stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate

Logica sistemului

Pe baza datelor din enunt, putem construi diagrama de decizie binara(BDD), respectiv putem construi diagramele de succes, conform celordoua cazuri din enunt

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 3 / 24

Page 4: Exercitii Fiabilitate

Validare solutii: inventariere nivel de succes / insucces sistem;stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate Cazul x3 = 1

Exemplificare: Diagrama de succes in cazul din enuntx3 = 1

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 4 / 24

Page 5: Exercitii Fiabilitate

Validare solutii: inventariere nivel de succes / insucces sistem;stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate Cazul x3 = 0

Exemplificare diagramei de succes in cazul din enunt x3 = 0

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 5 / 24

Page 6: Exercitii Fiabilitate

Validare solutii: inventariere nivel de succes / insucces sistem;stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate Cazul x3 = 0

Teorema Shannon

Functia de structura a sistemului este:ϕ(x) = x3 ? ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6)+̇x̄3 ? ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) unde vectorulde stare al sistemului este x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6).In consecinta, probabilitatea de succes a sistemului este:

P = p · P{ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6) = 1}+̇q · P{ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) = 1}

unde s-a notat q=1-p. Componentele sistemului sunt independente siidentice. Vom face apel pt. validarea solutiilor la distributia binomiala.Sistemul are 26 = 64 de stari, respectiv in 32 din acestea componenta 3(precizata in enunt) este in stare de succes, iar in restul de 32 de staricomponenta este in stare de insucces.

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 6 / 24

Page 7: Exercitii Fiabilitate

Cazul x3 = 1

Cazul x3 = 1

Dintr-un numar de 64 de stari, sistemul are 32 de stari in care componenta3 este in stare de succes (disponibila). Vom analiza aceste 32 de stari inceea ce urmeaza, din prisma componentelor 1,2,4,5 si 6 (in total cincicomponente), conform distributiei binomiale.v/v/0 exista o singura stare cu toate cele cinci componente in stare desucces (disponibile);v/iv/i exista C 1

5 = 5 stari cu patru componente in stare de succes si ocomponenta in stare de insucces.v/iii/ii exista C 2

5 = 10 stari cu trei componente in stare de succes si douacomponente in stare de insucces.

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 7 / 24

Page 8: Exercitii Fiabilitate

Cazul x3 = 1

Cazul x3 = 1 (continuare)

v/ii/iii exista C 35 = 10 stari cu doua componente in stare de succes si trei

componente in stare de insucces.v/i/iv exista C 4

5 = 5 stari cu o componenta in stare de succes si patrucomponente in stare de insucces.v/0/v exista C 5

5 = 1 stare cu toate cele cinci componente in stare deinsucces.

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 8 / 24

Page 9: Exercitii Fiabilitate

Cazul x3 = 1

Cazul x3 = 1: validare

Total stari (in cazul x3 = 1):cazul v/v/0: una stare de succescazul v/iv/i: cinci stari, toate de succes ;cazul v/iii/ii: zece stari, toate de succes ;cazul v/ii/iii : zece stari, din care una de insucces (!1, !2, !4, 5, 6), restul denoua vor fi de succes;cazul v/i/iv: cinci stari, din care doua de succes, respectiv (1, !2, !4, !5, !6)si (!1, 2, !4, !5, !6) ;cazul v/0/v: o stare de insucces.P{ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6) = 1} = p5 + 5 ·p4 ·q+ 10 ·p3 ·q2 + 9p2 ·q3 + 2p ·q4

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 9 / 24

Page 10: Exercitii Fiabilitate

Cazul x3 = 1 Compararea solutiilor in cazul x3 = 1

Solutia 1 dezvoltata cf. BDD:P{ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6) = 1} = p + q · p + q2 · p · (p + q · p)Solutia 2 validata pe analiza combinatorica a starilor (fara BDD):P{ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6) = 1} = p5 + 5 ·p4 ·q+ 10 ·p3 ·q2 + 9p2 ·q3 + 2p ·q4Inlocuind q = 1− p se obtine acelasi polinom atat in solutia 1 cat si insolutia 2:P{ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6) = 1} = 2p + p2 − 5p3 + 4p4 − p5

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 10 / 24

Page 11: Exercitii Fiabilitate

Cazul x3 = 0

Cazul x3 = 0

Se pot analiza cele 32 de stari, facind apel la diagrama desenata deja(slide 5) Total stari (in cazul x3 = 0):cazul v/v/0: una stare de succescazul v/iv/i: cinci stari, toate de succes ;cazul v/iii/ii: zece stari, din care una de insucces (!1, 2, 4, !5, 6) ;cazul v/ii/iii : zece stari, din care cinci de succes: (1, 2, !4, !5, !6),(1, !2, 4, !5, !6), (1, !2, !4, 5, !6), (1, !2, !4, !5, 6) respectiv (!1, !2, 4, 5, !6) ;cazul v/i/iv: cinci stari, din care una de succes, respectiv (1, !2, !4, !5, !6) ;cazul v/0/v: o stare de insucces.P{ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) = 1} = p5 + 5 · p4 · q + 9 · p3 · q2 + 5p2 · q3 + p · q4

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 11 / 24

Page 12: Exercitii Fiabilitate

Cazul x3 = 0 Comparare solutiilor in cazul x3 = 0

Solutia 1 dezvoltata cf. BDD:P{ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) = 1} = p + q · p(p + q · p2)Solutia 2 validata pe analiza combinatorica a starilor (fara BDD):P{ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) = 1} = p5 + 5 · p4 · q + 9 · p3 · q2 + 5p2 · q3 + p · q4Inlocuind q = 1− p se obtine acelasi polinom atat in solutia 1 cat si insolutia 2: P{ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) = 1} = p + p2 − 2p4 + p5

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 12 / 24

Page 13: Exercitii Fiabilitate

Probabilitatea de succes a sistemului

Probabilitatea de succes a sistemului

P = p · P{ϕ(x1, x2, 1, x4, x5, x6) = 1}+̇q · P{ϕ(x1, x2, 0, x4, x5, x6) = 1}

Rezulta:P = p6 + 6p5q + 15p4q2 + 18p3q3 + 7p2q4 + pq5

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 13 / 24

Page 14: Exercitii Fiabilitate

Frecventa asteptata de intrerupere a nivelului de succes alsistemului

Frecventa asteptata de intrerupere a nivelului de succes alsistemului

Fie intensitatea de reparare a unei componente µ = λp/qν = 6λp6 + 6p5q(5λ− µ) + 15p4q2(4λ− 2µ) + 18p3q3(3λ− 3µ) +7p2q4(2λ− 4µ) + pq5(λ− 5µ)Inlocuind µ = λp/q, se obtine: ν = 6λp4q2 + 26λp3q3 + 9λp2q4 + λpq5

Total stari critice sistem: 42 = 6 + 26 + 9 + 1din care: 6 stari critice (vi/iv/ii); 26 stari critice (vi/iii/iii); 9 stari critice(vi/ii/iv), respectiv o stare critica (vi/i/v).

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 14 / 24

Page 15: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum

Factorii de importanta structurali Birnbaum

Sistemul are cinci trasee minimale, si anume:T1 = {1}; T2 = {2, 3}; T3 = {4, 5}; T4 = {2, 5, 6}; T5 = {3, 4, 6}.Aceste trasee se pot valida pe diagrama de decizie binara.

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 15 / 24

Page 16: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 1

Vectorii critici asociati comp. 1

Pe baza lor, se deduc urmatoarele stari critice / vectori critici:Comp. 1: 1,2,!3 ,4 ,!5 ,6Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,4 ,!5 ,!6Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,!6Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,!4 ,!5 ,6Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,!4 ,!5 ,!6Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,!6Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,5 ,6

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 16 / 24

Page 17: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 1

Vectorii critici asociati comp. 1

Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,5 ,!6Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,!5 ,6Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,!5 ,!6Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,4 ,!5 ,6Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,4 ,!5 ,!6Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,5 ,6Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,5 ,!6Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,!5 ,6Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,!5 ,!6Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 1 esteIϕB (1) = 16/25 = 0.5

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 17 / 24

Page 18: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 2

Vectorii critici asociati comp. 2

Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,4 ,!5 ,!6Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,5 ,6Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,5 ,!6Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,6Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,!6Comp. 2: !1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,6Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 2 esteIϕB (2) = 6/25 = 0.1875

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 18 / 24

Page 19: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 3

Vectorii critici asociati comp. 3

Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,4 ,!5 ,6Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,4 ,!5 ,!6Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,!4 ,5 ,!6Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,6Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,!6Comp. 3: !1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,6Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 3 esteIϕB (3) = 6/25 = 0.1875

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 19 / 24

Page 20: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 4

Vectorii critici asociati comp. 4

Comp. 4: !1 ,2 ,!3 ,4 ,5 ,!6Comp. 4: !1 ,!2 ,3 ,4 ,5 ,6Comp. 4: !1 ,!2 ,3 ,4 ,5 ,!6Comp. 4: !1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,6Comp. 4: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,6Comp. 4: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,!6Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 4 esteIϕB (4) = 6/25 = 0.1875

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 20 / 24

Page 21: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 5

Vectorii critici asociati comp. 5

Comp. 5: !1 ,2 ,!3 ,4 ,5 ,6Comp. 5: !1 ,2 ,!3 ,4 ,5 ,!6Comp. 5: !1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,6Comp. 5: !1 ,!2 ,3 ,4 ,5 ,!6Comp. 5: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,6Comp. 5: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,!6Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 5 esteIϕB (5) = 6/25 = 0.1875

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 21 / 24

Page 22: Exercitii Fiabilitate

Factorii de importanta structurali Birnbaum Vectorii critici ai comp. 6

Vectorii critici asociati comp. 6

Comp. 6: !1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,6Comp. 6: !1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,6Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 6 esteIϕB (6) = 2/25 = 0.0625

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 22 / 24

Page 23: Exercitii Fiabilitate

Validare vectori critici

Validare vectori critici

Comp. vi/iv/ii vi/iii/iii vi/ii/iv vi/i/v TOTAL

1 2 8 5 1 16

2 1 4 1 0 6

3 1 4 1 0 6

4 1 4 1 0 6

5 1 4 1 0 6

6 0 2 0 0 2

TOTAL 6 26 9 1 42

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 23 / 24

Page 24: Exercitii Fiabilitate

Verificare factori de imp. structurala Birnbaum

Se verifica ca termenii si puterile sumei de mai jos corespund exact cutabelul prezentat:ν = 6λp4q2 + 26λp3q3 + 9λp2q4 + λpq5

De asemenea, daca se insumeaza factorii de importanta structuralaBirnbaum calculati se obtine 1.3125 = 42/25.

Paul Ulmeanu Simulare LC 2015-16 24 / 24


Recommended