FB Bazele fizice ale mecanicii November 24, 2013 Cuprins 1 FB01. Sisteme de particule. Mecanica newtonian˘ a 2 1.1 Cinematica ............................ 2 1.1.1 Sisteme de referin¸t˘ a. Vectorul de pozi¸tie. Viteza, ac- celera¸tia .......................... 2 1.1.2 Mi¸scarearectilinie ..................... 5 1.1.3 Miscarea circular˘ a uniform˘ a ............... 6 1.1.4 Mi¸scareacircular˘ a neuniform˘ a .............. 8 1.2 Dinamica ............................. 11 1.2.1 Principiile lui Newton .................. 11 1.2.2 Principiul fundamental al dinamicii (lex secunda) ... 11 1.2.3 Principiul actiunii si reactiunii (lex tertia) ....... 12 1.2.4 Principiul superpozi¸tiei for¸telor (lex quarta) ...... 12 1.2.5 Aplica¸tii ale principiului fundamental al dinamicii (lex secunda) .......................... 13 1.2.6 Impulsul mecanic. Conservarea impulsului ....... 15 1.2.7 Momentul cinetic. Conservarea momentului cinetic .. 16 1.2.8 Lucrul mecanic, energia cinetic˘ a¸ si puterea ....... 17 1.3 Centrul de mas˘ a pentru dou˘ a corpuri .............. 18 1.4 Sisteme formate din > 3 corpuri ................ 19 1.4.1 Conservarea impulsului total al sistemului ....... 19 1.4.2 Centrul de mas˘ a al sistemului format din mai multe corpuri ........................... 21 1.4.3 Conservarea momentului cinetic total al sistemului .. 22 1.4.4 Conservarea energiei totale a sistemului ......... 23 1.5 Ciocniri elastice¸si neelastice ................... 25 1.5.1 Ciocnirea plastic˘ a unidimensional˘ a dintre dou˘ a corpuri 25 1.5.2 Ciocnirea elastic˘ a unidimensional˘ a dintre dou˘ a corpuri 26 1.5.3 Coeficien¸ti de restituire .................. 27 1
Transcript
FB Bazele fizice ale mecanicii
November 24, 2013
Cuprins
1 FB01. Sisteme de particule. Mecanica newtoniana 2
Daca asupra unui corp actioneaza simultan fortele F ( = 1) atunci fiecare
forta va crea o acceleratie a = F iar acceleratia totala va fi data de
expresia
a =
X=1
a
adica va fi datorata actiunii unei forte F egala cu rezultanta fortelor F, adica
F =
X=1
F
12
Fortele naturale cunoscute pâna acum sunt forta de atractie gravi-
tationala, fortele electromagnetice, fortele nucleare si interactiile
slabe.
1.2.5 Aplicatii ale principiului fundamental al dinamicii (lex se-
cunda)
Daca asupra unui corp actioneaza o forta F atunci
a = v
=
2r
2= F
Aceasta ecuatie vectoriala este echivalenta, daca miscarea este tridimension-
ala, cu trei ecuatii scalare care se obtin prin proiectarea ecuatiei vectoriale
pe cele trei axe de coordonate. Se obtine astfel un sistem de ecuatii difer-
entiale în care se cunosc componentele fortei pe cele trei directii si conditiile
initiale, adica pozitia si viteza la momentul initial. Daca se rezolva sistemul
de ecuatii diferentiale atunci se gasesc solutiile r = r (). Acestea conduc la
gasirea traiectoriei, vitezei si acceleratiei corpului.
Problema 1
Un corp este aruncat în sus cu viteza initiala v0 si sub unghiul fata
de orizontala. Sa se stabileasca ecuatia traiectoriei, înaltimea maxima si
distanta maxima parcursa pe orizontala. Se neglijeaza frecarile si orice alte
forte cu exceptia fortei de atractie gravitationala.
Rezolvare
Se alege un sistem de referinta cu originea în locul aruncarii, axa
axa orizontala si axa axa verticala orientata în sus. Vitezele initiale de-a
lungul celor doua axe sunt:
0 = 0 cos
si
0 = 0 sin
Deoarece asupra corpului actioneaza doar forta de atractie gravitationala,
din legea fundamentala a dinamicii obtinem
2r
2= g
sau proiectând pe cele doua axe alese
: 2
2= 0
13
:2
2= −
Întegrând în raport cu timpul cele doua ecuatii diferentiale rezulta succesiv
() = 0 cos
() = 0 sin− 22
() = 0 sin−
Eliminând timpul între ecuatiile de miscare pe cele doua axe, () si ()
obtinem
= tan− 2
220 cos2
care este ecuatia unei parabole si reprezinta ecuatia traiectoriei corpului.
Distanta parcursa pe orizontala este obtinuta facând = 0, adica
( = 0) =20sin 2
care este maxima daca unghiul de aruncare = 4. Înaltimea maxima,
max se obtine derivând în raport cu coordonata si egalând cu zero (este
chiar conditia de extrem a unei functii). În acest fel se obtine
max =202sin2
care este evident maxima daca aruncarea este perfect verticala, adica =
2.
Problema 2
Sa se determine legea de miscare a unui oscilator armonic unidimen-
sional (deplasarea se face de-a lungul axei orizontale ) ideal pentru care
conditiile initiale sunt: (0) = 0 si· (0) = 0.
Rezolvare
Fiind vorba de oscilator armonic unidimensional înseamna ca asupra cor-
pului actioneaza forta elastica de forma
() = −
unde este constanta elastica. Legea a doua a lui Newton conduce la ecuatia
= −
14
sau··+
= 0
Notatia 20 ≡ este consacrata. Ecuatia este o ecuatie diferentiala de ordinul
II, cu coeficienti constanti, omogena de tipEuler. Pentru acest tip de ecuatie
se cauta o solutie de forma
() ∼ exp()
Dupa rezolvarea ecuatiei caracteristice
2 + 20 = 0
se obtine conform cursului de matematica solutia generala
() = 1 exp(0) + 2 exp(−0)
Constantele 1 si 2 se determina din conditiile initiale (tema de seminar)
si solutia finala are forma
() = sin(0+ )
unde constantele si se determina dupa determinarea constantelor 1 si
2 (tema de seminar).
1.2.6 Impulsul mecanic. Conservarea impulsului
Din expresia matematica a principiului fundamental al dinamicii
p
= F
rezulta prin integrare între momentele 1 si 2
p2 − p1 =2Z1
F
unde p2 = p (2) si p1 = p (1). Daca sistemul este izolat, adica rezultanta
fortelor F este nula atunci impulsul se conserva, adica p2 = p1.
Sa analizam acum cele doua forte corespunzatoare interactiunii dintre
doua corpuri 1 si 2 si definitia variatiei impulsului p
= F. Avem
F12 = −F21
15
saup1
= −p2
adicap1
+
p2
= 0
De aici rezulta ca daca sistemul celor doua corpuri este izolat (singurele forte
care actioneaza asupra corpurilor sunt forte interne sistemului, adica forte
care satisfac principiul actiunii si reactiunii) atunci
(p1 + p2)
= 0
adica impulsul total al sistemului este invariant (impulsul unui sistem format
din cel putin doua corpuri izolate se conserva)
p1 + p2 =
1.2.7 Momentul cinetic. Conservarea momentului cinetic
Înmultim vectorial ecuatia matematica a principiului fundamental al dinam-
icii, a = F, la stânga cu vectorul de pozitie r si tinem cont ca acceleratia
este derivata vitezei în raport cu timpul
r×v
= r× F
În membrul stâng adunam termenul identic nul r×v (deoarece produsul
vectorial dintre doi vectori paraleli este nul) si obtinem
r
×v + r×
v
= r× F
Membrul stâng este chiar(r×v)
≡ L
, unde L = r × v este momen-
tul cinetic (sau momentul unghiular al particulei de masa care se
deplaseaza cu viteza v). Membrul drept este chiar momentul fortei F care
actioneaza asupra particulei. Prin urmare teorema variatiei momentului ci-
netic are formaL
= r× F
Daca rezultanta fortelor este nula sau daca aceasta este paralela cu vectorul
de pozitie atunci momentul cinetic se conserva, adica L= 0.
16
1.2.8 Lucrul mecanic, energia cinetica si puterea
Înmultim scalar ecuatia matematica a principiului fundamental al dinamicii,
a = F, la dreapta cu vectorul de pozitie infinitezimal r si tinem cont ca
acceleratia este derivata vitezei în raport cu timpul. Obtinem
v
· r = F·r
sau
v
· r ≡ v · v ≡
µ2
2
¶= F·r
De aici, rezulta lucrul mecanic infinitezimal
= F·r = |F| · |r| · cos( este unghiul dintre rezultanta fortelor F si deplasarea infinitezimala r)
si energia cinetica a corpului de masa
= 22
Lucrul mecanic ()r→r efectuat de fortaF (rezultanta fortelor care actioneazaasupra corpului) pe toata deplasarea corpului între pozitiile r si r este
dat de integrala definita
()r→r =
rZr
F·r
Se observa ca variatia infinitezimala a lucrului mecanic este egala cu variatia
infinitezimala a energiei cinetice, adica
=
Prin integrare rezulta între pozitiile initiala si finala, rezulta
() − () =
rZr
F·r
care este teorema variatiei energiei cinetice.
Daca împartim relatia = F·r cu obtinem
= F·r
Expresia se numeste putere mecanica, adica lucrul mecanic produs în
unitatea de timp
=
= F · v
si se masoara în Watt (Joule/sec).
17
1.3 Centrul de masa pentru doua corpuri
În cazul în care corpurile care interactioneaza au mase comparabile [nu ca
la miscarea Pamântului (masa ) în jurul Soarelui (masa À )] se for-
muleaza problema celor doua corpuri. Fortele de interactiune dintre
corpuri sunt de tip gravitational, coulombian etc. Daca doua corpuri de
mase 1 si 2 interactioneaza între ele atunci putem scrie
1
2r1
2= F12
respectiv
2
2r2
2= F21
Daca înmultim prima ecuatie cu 2 si pe a doua cu 1 si scadem din a doua
ecuatie pe prima rezulta
12
∙2r2
2− 2r1
2
¸=
= (2 +1)F21
unde am folosit principiul al treilea al dinamicii, adica F12 = −F21. Dacadefinim r12 = r2 − r1, atunci obtinem
12
2 +1
2r12
2= F21
În relatia precedenta definimmasa redusa (a nu se confunda cu coeficien-
tul de frecare) a sistemului celor doua corpuri
=12
2 +1
Prin urmare
2r12
2= F21
ceea ce corespunde miscarii unui singur corp, cu masa sub actiunea fortei
F21 (practic una din cele doua forte de interactiune dintre cele doua cor-
puri). Rezolvarea sistemului de ecuatii diferentiale conduce la determinarea
lui r12 (). Dorim sa calculam însa legile de miscare pentru fiecare corp,
adica r1 (), r2 (). Pentru aceasta definim pozitia centrului de masa (CM)
al sistemului prin relatia
r =1r1 +2r2
2 +1
18
Figura 6: Centrul de masa
Daca vom considera un sistem de referinta SCM cu originea în CM atunci
r | = 0
si implicit
1 r1| +2 r2| = 0
Din figura rezulta vectorii de pozitie fata de SCM
r1| =2
2 +1
r12
respectiv
r2| = − 1
2 +1
r12
dar si fata de sistemul de referinta initial (sistemul laboratorului)
r1 = r +2
2 +1
r12
respectiv
r2 = r − 1
2 +1
r12
1.4 Sisteme formate din > 3 corpuri1.4.1 Conservarea impulsului total al sistemului
Sistemele fizice reale sunt formate din multe corpuri. Gazele reale, fluidele,
solidele etc sunt formate din foarte multe corpuri. Acestea pot avea o dis-
tributie discreta (atomi, molecule etc) sau continua (fluide, solide etc). Vom
19
Figura 7: Forte interne
considera aici un sistem discret de corpuri urmând ca în capitolul de fluide
sa studiem un sistem continuu.
Presupunem ca sistemul este alcatuit din corpuri de mase unde
= 1 . Atunci masa totala a sistemului este
=
X=1
Impulsul total al sistemului este suma vectoriala a impulsurilor corpurilor
componente, adica
P =
X=1
p
Corpurile interactioneaza atât între ele cât si cu corpuri sau câmpuri externe
sistemului. Pentru fiecare corp scriem legea a doua a lui Newton
p
= F = F
+ F
si deci
F =
X=1
F = 1
iar rezultanta tuturor fortelor care actioneaza asupra corpului este
F =
X=1
F + F = 1
20
si legea a doua a lui Newton pentru corpul devine
p
=
X=1
F + F
Orice corp interactioneaza cu toate celelalte corpuri adica sumând dupa
avem X
p
=X
X=1
F +X
F
Pe de alta parte rezultanta tuturor fortelor interne F este zero
X
X=1
F =1
2
X
X=1
(F + F) = 0
deoarece toate fortele interne respecta principiul al III-lea al dinamicii, adica
F = −F
În final avem
ÃX
p
!
=P
=X
F = F
adica legea a doua a lui Newton pentru un sistem de puncte materiale sau
legea variatiei impulsului total al sistemului
P
= F
Daca rezultanta fortelor externe este zero atunci impulsul total al sistemului
se conserva.
1.4.2 Centrul de masa al sistemului format din mai multe corpuri
Vectorul de pozitie al centrului de masa al sistemului format din
corpuri este
r =
P=1
r
P=1
21
Viteza centrului de masa se obtine derivând relatia precedenta în raport
cu timpul
r
=
P=1
r
P=1
adica
v =
P=1
v
sau
v =
X=1
v
ceea ce arata ca impulsul centrului de masa este chiar impulsul total al sis-
temului de corpuri. Acceleratia sistemului se obtine derivând relatia prece-
denta în raport cu timpul
v
=
X=1
v
≡
X=1
p
adica
a =
X=1
a = F
Din relatia precedenta rezulta ca un corp cu masa egala cu masa sistemu-
lui are o acceleratie egala cu cea generata de rezultanta fortelor exterioare
sistemului.
1.4.3 Conservarea momentului cinetic total al sistemului
Momentul cinetic total pentru sistemul de corpuri este
L =
X=1
(r × p)
Înmultind legea a doua a lui Newton pentru corpul la stânga cu r obtinem
r × p
=
X=1
(r × F) + r × F
22
iar daca efectuam suma dupa avem succesiv
L
=
X=1
µr × p
¶=
X=1
M
M =
X=1
¡r × F
¢=
X=1
M
respectiv
X=1
X=1
(r × F) =1
2
X=1
X=1
[(r × F) + (r × F)] =
=
X=1
X=1
1
2(r − r)× F ≡ 0
deoarece vectorul relativ r− r ≡ r este paralel cu forta F. În final avem
L
=
X=1
M =M
Daca momentul rezultant al fortelor externe este zero atunci momentul ci-
netic total se conserva.
1.4.4 Conservarea energiei totale a sistemului
Lucrul mecanic total efectuat asupra corpului atunci când deplasarea are
loc între r si r este dat de expresia
+
=
rZr
¡F + F
¢ ·r=
=
rZr
¡F + F
¢ ·r = rZr
p
·r =
=
rZr
p·v =
rZr
v · v =
23
=
rZr
µv
2
2
¶= ()
− ()
Efectuând sumarea dupa avem
X=1
¡ +
¢=
X=1
h()
− ()
isau
= ()
− ()
adica teorema variatiei energiei cinetice pentru un sistem de corpuri. Aici
contribuie si fortele interne, nu numai cele externe. Daca toate fortele sunt
conservative atunci sunt valabile relatiile
F = −
(r)
r≡ −∇
(r) = 1
unde (r) este energia potentiala externa corespunzatoare corpului re-
spectiv
F = − (r r)r
≡ −∇ (r r) = 1
unde (r r) este energia potentiala interna corespunzatoare interactiunii
corpurilor si . Vectorul de pozitie al centrului de masa al corpurilor si
este
R =r +r
+
Energia (r r) poate depinde de R si de vectorul de pozitie relativ
al celor doua corpuri r = r − r (rR). Se poate arata ca nu
depinde deR ci doar de r (tema de seminar). Daca interactia este izotropa
atunci (|r|) ≡ () adica energia potentiala depinde doar de modulul
vectorului de pozitie relativ al celor doua corpuri. Energia cinetica totala a
sistemului de corpuri este
() =1
2
X=1
v2 ≡
1
2
X=1
p2
Energia potentiala totala (daca fortele sunt conservative) este
() =
X=1
(r) +
1
2
X=1
X=1
()
24
Figura 8: Ciocnire plastica dintre corpuri.
1.5 Ciocniri elastice si neelastice
Procesul de interactiune, proces care are loc un timp scurt (sistem izolat de
exterior), dintre doua sau mai multe corpuri se numeste ciocnire. Deoarece
sistemul este izolat se conserva impulsul total si energia totala în procesul de
ciocnire.
1.5.1 Ciocnirea plastica unidimensionala dintre doua corpuri
Daca ciocnirea dintre doua corpuri de mase1 si2 este plastica atunci dupa
ciocnire cele doua corpuri se lipesc si rezulta un corp de masa = 1+2.
Daca vitezele celor doua corpuri înainte de ciocnire sunt v1 si v2 atunci din
conservarea impulsului rezulta viteza corpului dupa ciocnire
v =1v1 +2v2
Presupunem situatia din figura, unde trebuie ca |v1| |v2| pentru ca respec-tivele corpuri sa se ciocneasca.Energia degajata în urma ciocnirii are forma
=(1 +2)
2
∙1v1 +2v2
¸2− 1v
21 +2v
22
2=
=1
2
12 (v1 − v2)2(1 +2)
=1
2 (v1 − v2)2 ≡ 1
2 (v)
2
unde v = v1 − v2 este viteza relativa a corpurilor care se ciocnesc iar este masa redusa. În cazul în care ciocnirea nu mai este unidimensionala
[adica cele doua viteze fac unghiul între ele si (v1 − v2)2 = 21 + 22 −212 cos] se disting cazurile urmatoare.
a) Daca vitezele sunt paralele si de acelasi sens ( = 0) atunci devine
1 =1
2
12 (1 − 2)2
(1 +2)
25
Figura 9: Corpuri înainte de ciocnire.
b) Daca vitezele sunt paralele si de sens contrar ( = ) atunci devine
2 =1
2
12 (1 + 2)2
(1 +2)
c) Daca vitezele sunt perpendiculare ( = 2) atunci devine
3 =1
2
12 (21 + 22)
(1 +2)
Se observa ca exista relatia 2 3 1 adica atunci când vitezele sunt
paralele si de sens contrar se degaja cea mai mare cantitate de caldura.
1.5.2 Ciocnirea elastica unidimensionala dintre doua corpuri
Daca ciocnirea dintre doua corpuri de mase1 si2 este elastica atunci dupa
ciocnire cele doua corpuri se deplaseaza cu vitezele v01 si v
02. Daca vitezele
celor doua corpuri înainte de ciocnire sunt v1 si v2 atunci din conservarea
impulsului rezulta vitezele corpurilor dupa ciocnire
v01 =
2 (1v1 +2v2)
1 +2
− v1
respectiv
v02 =
2 (1v1 +2v2)
1 +2
− v2Presupunem situatia din figura, unde trebuie ca |v1| |v2| pentru ca respec-tivele corpuri sa se ciocneasca.Cazuri particulare
a) Initial unul din corpuri este în repaus: v2 = 0. Expresiile precedente
devin
v01 =
1−2
1 +2
v1
v02 =
21
1 +2
v1
26
b) Initial unul din corpuri este în repaus: v2 = 0 iar masele celor doua
corpuri sunt egale, 1=2. Acesta este cazul bilei de biliard care loveste o
bila identica care este în repaus. Expresiile vitezelor devin
v01 = 0
v02 = v1
c) Initial unul din corpuri este în repaus: v2 = 0 iar masele celor doua
d) Initial unul din corpuri este în repaus: v2 = 0 iar masele celor doua
corpuri satisfac relatia, 1¿2 (ciocnirea cu un perete). Expresiile vitezelor
devin
v01 = −v1v02 = 0
1.5.3 Coeficienti de restituire
În cazul ciocnirilor frontale unidimensionale care nu sunt perfect elastice se
pot defini coeficientii de restituire astfel
=02 −
01
2 − 1 1
unde 02−01 este viteza relativa a celor doua particule dupa ciocnire iar 2−1
viteza relativa a celor doua particule înainte de ciocnire. Daca ciocnirea este
perfect elastica atunci = 1 iar daca ciocnirea este perfect inelastica atunci
= 0.
1.5.4 Ciocniri speciale
O situatie de mare interes este cea reprezentata în figura urmatoare (10).
Corpul de masa1 se deplaseaza cu viteza v1 de-a lungul axei la distanta
(care se numeste parametru de ciocnire) de aceasta. În originea axei se
afla corpul de masa 2 în repaus. Când cele doua corpuri ajung la distanta 0unul de celalalt ele se pot respinge (ca în cazul nostru) sau atrage. Potentialul
corespunzator are forma
() =||
27
Figura 10: Ciocnire oblica
Ciocnirea dintre corpuri fiind elastica acestea se vor deplasa conform fig-
urii cu respectarea legii conservarii energiei si legii conservarii impulsului.
Raportul dintre vitezele corpului cu masa 1 se obtine scriind legea con-
servarii impulsului proiectata pe cele doua axe si legea conservarii energiei
(tema de seminar) si este
01
1=
1
1 +2
"cos 1 ±
µcos2 1 − 2
1 −22
21
¶12#respectiv relatia
022 =
1
2
³21 −
021
´Cazuri particulare
a) 1 este zero. În cazul cu + avem
01 = 1
02 = 0
adica nu este ciocnire, iar în cazul cu − vitezele sunt
01 =
1 −2
1 +2
1
respectiv
02 =
21
1 +2
1
b) 1 este diferit de zero. Cantitatea de sub radical
(1 2) = cos2 1 − 1 + 2
2
21
28
pozitiv definita daca 2 1. Daca 1 2 pentru ca marimea01
1sa aiba
sens fizic trebuie ca
cos2 1 >21 −2
2
21
≡ 1− 22
21
De aici rezulta ca exista o valoare maxima 1max a unghiului de împrastiere
data de expresia
cos2 1max = 1− 22
21
sau
sin 1max =2
1
De aici rezulta ca 1max ∈ [0 2]. 1max = 0 corespunde cazului 1 À 2
iar 1max = 2 corespunde cazului 1 = 2. Pentru 2 1 cantitatea
(1 2) este pozitiv definita si nu exista restrictii pentru unghiul 1.
In cazul general, daca masele sunt egale, 1 = 2, rezulta (1 2) =
cos2 1 si prin urmare01
1= cos 1
Utilizând proiectiile pe axele si ale legii conservarii impulsului si
relatia precedenta avem
1 + 2 = 2
ceea ce înseamna ca cele doua particule se deplaseaza pe traiectorii perpen-
diculare dupa ciocnire.
Daca una din particule este în repaus, atunci particula în miscare va fi
împrastiata ca în figura (11).Particula care împrastie are masa 2 si sarcina
electrica 2 si se afla în originea axelor de coordonate. Particula împrastiata
are masa 1 si sarcina electrica 1. În experimentul lui Rutherford particula
cu masa2 si sarcina electrica 2 este nucleu de Aur iar particula cu masa1
si sarcina electrica 1 este nucleu de Heliu (particula ). Forta de interactiune
dintre cele doua corpuri este de tip Coulomb
F = − 1
40
12
3r
În figura (11) unghiul este unghi de împrastiere iar valoarea sa este
tan
2=
12
80202
unde este parametrul de ciocnire iar202este energia cinetica a particulei
înainte de ciocnire (undeva foarte departe de nucleul de Aur).
29
Figura 11: Ciocnire Rutherford.
1.6 Forte conservative
În cazul în care lucrul mecanic efectuat de o forta F pe un contur închis
oarecare este nul atunci acea forta se numeste conservativa. Matematic se
scrie expresia I
F·r =0
Utilizând teorema lui Stokes (vezi elemente de matematica) obtinemI
F·r =Z
(∇× F) · S =Z
(∇× F) · n = 0
unde este o suprafata oarecare care se sprijina pe conturul închis iar n
este versorul normalei la suprafata infinitezimala . Din relatia precedenta
rezulta
∇× F = 0adica rezultanta fortelor F se poate scrie ca fiind gradientul unei functii
scalare (vezi elemente de matematica)
F = −∇
30
unde este o functie scalara iar semnul minus este ales prin conventie.
Functia scalara se numeste energie potentiala. Integrala
I
F·r se
poate descompune în suma a doua integrale:
I12
F·r siI21
F·r a carorsuma este nula I
12
F·r+I21
F·r =0de unde rezulta ca lucrul mecanic al unei forte conservative la deplasarea
corpului între doua puncte (în cazul nostru 1 si 2) nu depinde de drumul
ales. În cazul fortelor de frecare de exemplu afirmatiile anterioare nu mai
sunt valabile: fortele de frecare nu sunt conservative si lucrul mecanic al
acestor forte depinde de drum.
Din relatia F = −∇ , prin înmultire scalara cu r si integrare între poz-
itiile r si r, rezulta
rZr
F·r = (r)− (r)
adica variatia energiei potentiale între doua puncte este egala cu lucrul mecanic
al rezultantei între acele puncte luat cu semn schimbat. Adunând variatia
energiei cinetice cu variatia energiei potentiale rezulta
(r)− (r) = () − ()
sau
(r) + () = (r) + ()
adica energia totala se conserva în cazul sistemelor conservative. Uneori
energia potentiala se noteaza cu sau .
1.6.1 Miscarea în câmp central. Legile lui Kepler
Ne propunem sa studiem acum miscarea Pamântului (care are masa ) în
jurul Soarelui (care are masa ). Forta cu care o planeta oarecare (în cazul
nostru Pamântul) este atrasa de Soare se numeste forta centrala (deoarece
dreapta suport a fortei trece tot timpul printr-un punct fix) si are forma
F = −
3r
unde = 6 67 · 10−1122 este constanta atractiei universale. Datorita
caracterului central al fortei, momentul cinetic al planetei se conserva. Într-
adevar din
L = r× p
31
derivând în raport cu timpul si tinând cont de legea a doua a lui Newton
obtinemL
=
r
× p+ r×p
=
= v×v + r×µ−
3r
¶≡ 0
deoarece produsele vectoriale dintre vectori paraleli sunt nule. Prin urmare
vectorul L este constant si deci si traiectoria în câmp central este plana (daca
nu ar fi plana atunci vectorul L care este perpendicular prin definitie asupra
lui r si p si-ar schimba directia). Din expresia F = −∇ , prin integrare
gasim energia potentiala corespunzatoare fortei conservative F = −3r,
adica
= −ZF·r =
=
Z
3r·r+
Pe de alta parte r·r =. Înlocuind si efectuând integrala, rezulta
() = −
+
La distante mari de Soare ( → ∞), putem spune ca () → 0 si atunci
constanta de integrare este nula. Prin urmare
() = −
≡
1.6.2 Vectorul Runge-Lenz-Laplace
Sa se demonstreze ca vectorul
A = v× L+ r
este un invariant daca particula se misca într-un câmp central caracterizat
de energia potentiala () = . Utilizând rezultatul obtinut sa se determine
ecuatia traiectoriei în câmpul central mentionat.
Din expresia potentialului rezulta
F =
3r
Derivând expresia vectorului A în raport cu timpul obtinem
A
=
v
× L+ v× L
+
³r
´32
Deoarece momentul cinetic se conserva rezulta ca L= 0. Pe de alta parte
sa calculam separat
¡r
¢
³r
´=
·r2 − r ·
3
unde am înmultit numaratorul si numitorul cu modulul vectorului de pozitie
. În expresia v× L vom înlocui din legea a doua a lui Newton v
=
3r
si rezultav
× L =
3r׳r× ·
r´=
=
3r׳r× ·
r´= −
·r2 − r ·
3
În obtinerea expresiei finale am folosit faptul ca
·r·r ≡ ·
De aici rezulta clar ca A= 0, adica vectorul Runge-Lenz-Laplace se conserva
în timp, adica
v× L+ r
= A0 =
Modulul vectorului Runge-Lenz-Laplace se calculeaza astfel³v× L+
r
´2= (A0)
2
În paranteza din membrul stâng avem
(v× L)2 = (v× L) · (v× L) =
= 22
În plus avem ³r
´2= 2
si
2 (v× L) · r=22
(a se verifica rezultatele precedente prin calcul la seminar). Se observa ca
(A0)2= 22 +
22
+ 2 =
33
=22
µ2
2+
¶+ 2 =
=22
+ 2
unde = 2
2+
este energia totala a corpului. Prin urmare modulul
vectorului Runge-Lenz-Laplace are forma
|A0| = ||µ22
2+ 1
¶12Înmultind scalar v× L+ r
= A0 cu vectorul de pozitie r obtinem
A0 · r =³v× L+
r
´· r =
=2
+
sau
||µ22
2+ 1
¶12 cos =
2
+
unde este unghiul dintre vectorii A0 si r. Împartind cu obtinem
||
µ22
2+ 1
¶12cos = 1 +
2
sau utilizând notatiile
=2
=
µ22
2+ 1
¶12avem
−= 1− ||
cos
care este ecuatia unei conice în coordonate polare ( se numeste parametrul
conicei iar se numeste excentricitatea conicei). Daca 0 avem
ecuatia unei hiperbole sau parabole (traiectorii deschise), daca 0 (cazul
fortei de atractie gravitationala) este posibil ca traiectoriile sa fie deschise
(hiperbole sau parabole) sau închise (elipse sau cercuri) în functie de valorile
concrete ale parametrilor.
Analiza diferitelor cazuri particulare
În cazurile în care 0, adica = − || atunci rezulta
= 1 + cos
34
cu
=2
||Exista trei cazuri diferentiate în functie de parametrul .
a) 1, conica este o elipsa sau un cerc daca = 0. Din expresia
excentricitatii, =³22
2+ 1´12
rezulta ca trebuie sa fie negativa în
cazul elipsei si trebuie sa fie negativa si egala cu = −2
22în cazul cercului.
Acestea sunt cazurile care corespund miscarii planetelor în jurul Soarelui.
Semiaxele elipsei (semiaxa mare) si (semiaxa mica) se pot determina cu
ajutorul lui si astfel
=
1− 2 =
(1− 2)12
În cazul planetelor, deoarece = − || 0, obtinem
=||2 || =
(2 ||)12
care algebric rezulta ca sunt în relatia
2 =
||
1.6.3 Legile lui Kepler
Legea întâi a lui Kepler
Traiectoria planetelor este de forma eliptica si Soarele este în unul din
focarele elipsei. Practic aceasta lege a fost analizata în paragraful precedent.
Legea a doua a lui Kepler
În planul elipsei raza vectoare matura arii egale în intervale de timp egale,
adica viteza areolara este constanta. Într-un interval de timp foarte mic
raza vectoare r trece în r+r iar aria infinitezimala maturata de raza vec-
toare este practic jumatate din aria paralelogramului determinat de produsul
vectorial dintre r si r, adica
=1
2|r× r|
Împartind cu si înmultind în membrul drept cu masa la numarator si
numitor rezulta
=
1
2
¯r× r
¯≡
2=
35
adica viteza areolara este constanta.
Legea a treia a lui Kepler
Patratul perioadei de revolutie , adica a timpului în care planeta
face o rotatie completa în jurul Soarelui este proportional cu cubul semiaxei
mari .
Aria unei elipse este = . Pe de alta parte daca integram viteza
areolara pe un interval de timp egal cu perioada de revolutie obtinem
=
Z0
=
Z0
2=
2
Înlocuind =
1−2 si =
(1−2)12 în expresia precedenta obtinem
2
3=42
|| =
În câmp gravitational || = , deci
2
3=42
=
b) = 1, conica este o parabola
c) 1, conica este o hiperbola.
Cazurile b) si c) nu corespund planetelor dar corespund unor comete
si unor corpuri lansate de pe Pamânt si care în functie de valorile specifice
parametrilor pot avea astfel de traiectorii.
1.6.4 Viteze cosmice
Vrem sa exprimam energiile în coordonate polare care se definesc astfel:
= cos = sin
Derivând în raport cu timpul obtinem
· =
· cos −
· sin
· =
· sin +
· cos
Energia cinetica a particulei în coordonate polare este
=
∙³ ·´2+³ ·´2¸
2=
2
∙·2
+ 2·2¸
36
Daca este planul miscarii atunci momentul cinetic constant este orientat
de-a lungul axei si are valoarea
= h· −
·i= 2
· =
Înlocuind· = 2 în energia totala = + obtinem
=
2
∙· +
2
22
¸− ||
De aici efectuând calcule simple rezulta
· =
∙2
[ − ()]
¸12unde
() = − ||+
2
22
se numeste energie potentiala efectiva care este compusa din energia
potentiala centrifuga 2
22si energia potentiala care corespunde fortei
centrale de atractie − ||. Au sens fizic doar situatiile în care
≥ ()
Prin anularea derivatei energiei potentiale efective în raport cu modulul vec-
torului de pozitie se obtine valoarea lui pentru care energia potentiala
efectiva este extrema (maxima sau minima)
=2
||si corespunzator valoarea minima (în acest caz) a energiei potentiale efective
()|min = () = − ||2
22
De aici rezulta ca au sens fizic situatiile pentru care
≥ ()|min = − ||222
La înaltimi nu prea mari în comparatie cu raza Pamântului (¿ =
6400) si în cazul în care forta centrifuga F=2
2r este egala cu forta
37
de atractie gravitationala F = −3r este îndeplinita conditia de satelit
artificial al Pamântului ¯2
2r
¯=
¯−
3r
¯unde = + ( fiind altitudinea satelitului, ¿ ). De aici rezulta
2 =
2 = 0
sau
= (0)12
0 = 981 sec2
care este prima viteza cosmica, adica viteza minima pe care trebuie sa o
aiba un corp ca sa poata deveni satelit artificial într-o zona nu foarte departe
de suprafata Pamântului. Acelasi rezultat se obtine daca se pune conditia ca
energia totala sa fie egala cu energia potentiala minima, adica
= − ||2
22
Înlocuind expresia precedenta în expresia energiei totale
=
2
·r2 − ||
=
22 − ||
si tinând cont ca în aceasta situatie = 2
|| , obtinem
− ||2
22=
22 − ||
2
||
unde = . Efectuând calculele algebrice simple reobtinem
2 =||
|| =
adica
= (0)12
0 = 981 sec2
Numeric
= (0)12= 7 9 sec
A doua viteza cosmica este viteza minima pentru ca un corp sa paraseasca
zona de atractie a Pamântului; aceasta situatie este echivalenta cu o traiecto-
rie parabolica a corpului, adica = 0 (deoarece în acest caz excentricitatea
este = 1). De aici rezulta simplu ca
22 =
||
38
sau
= (20)12
0 = 981 sec2
Numeric
= (20)12= 11 2 sec
Daca viteza de lansare este atunci traiectoria este tot deschisa dar
este hiperbolica.
1.6.5 Miscarea sub actiunea unor tipuri de forte
a) În cazul în care forta care actioneaza asupra unui corp este constanta,
miscarea este rectilinie uniforma (forta nula) sau uniforma variata si am
analizat în paragrafele precedente miscarea aceasta.
b) În cazul în care forta depinde de modulul vitezei corpului (în general
în cazul fortelor de contact), adica F = F() avem
v
= F()
În caz unidimensional, la deplasarea unui corp mic într-un fluid cu vâscoz-
itate, forta care depinde de viteza joaca rol de forta de frecare si are forma
() = − ≥ 0. Legea a doua a lui Newton conduce la ecuatia difer-entiala
= () = −
Ecuatia diferentiala obtinuta este cu variabile separabile (se pot separa în cei
doi membri ai ecuatiei viteza si timpul) si avem
= −
care integrata în ambii membri conduce la solutia
ln = −
+
sau daca se tine cont de conditiile initiale
(0) = 0 (0) = 0
la legea vitezei
() = 0 exp
µ−
¶≡ 0 exp
µ−
¶≡ 0 exp
µ−
¶39
Figura 12: Variatia exponentiala a vitezei () = 0 exp¡−
¢pentru
diferite valori ale lui
al carei grafic este reprezentat în figura (12) pentru diferite valori ale lui
adica practic ale lui .Observam ca viteza tinde catre zero exponential dacaeste foarte mare (tinde catre infinit). Acest infinit se interpreteaza însa ca
trebuie sa treaca un timp suficient de mare fata de timpul specific problemei
sau asa numitul timp de relaxare, adica = astfel încât exponentiala sa
fie practic nula. Presupunând ca la momentul initial avem (0) = 0, atunci
integrând legea vitezei obtinem legea de miscare
() = 0 + 0
∙1− exp
µ−
¶¸Se observa ca dupa un timp suficient de lung coordonata tinde catre o valoare
constanta, numita valoare asimptotica iar atunci practic viteza este nula. În
figura (13) este reprezentata coordonata () pentru diferite valori ale lui
si 0 = 0.Daca se dezvolta în serie Taylor exponentiala din legea vitezei (si
se retin termenii pâna la cel liniar în timp) si legea de miscare (si se retin
termenii pâna la cel patratic în timp) se obtin legile corespunzatoare miscarii
rectilinii uniform variate (adica legile în cazul actiunii unei forte constante).
Tema: Sa se studieze aceeasi problema daca () = −2 ≥ 0.c) În cazul unidimensional în care forta depinde pozitie, adica = ()
am studiat deja situatia când () = −, adica am studiat cazul oscila-
torului armonic unidimensional ideal. Este însa interesant si util de studiat
cazul general care cuprinde forte gravitationale, electrice, elastice. Principiul
al doilea al dinamicii are forma unidimensionala
= ()
40
Figura 13: Legea de miscare () = 0 + 0£1− exp ¡−
¢¤pentru diferite
valori ale lui =
Înmultim convenabil expresia precedenta cu = si obtinem
=
µ2
2
¶= ()
sau
µ2
2
¶= ()
sau
=
Întegrând în ambii membri obtinem
()−0 =
Z0
()
În cazul unidimensional si al unei traiectorii deschise expresia F = −∇ =
−∇, devine
()= −
de unde rezulta
()−0 =
−Z0
()
Combinând obtinem conservarea energiei totale în caz unidimensional
()−0 = − () +0
41
Figura 14: Dependenta energiei potentiale în functie de pozitia . Diferite
cazuri de echilibru
sau
() + () = 0 +0 = =
De aici rezulta
() = − ()
sau deoarece
() =2
2=
³ ·´2
2
³ ·´2
2= − ()
de unde
= ±
∙2 [ − ()]
¸12Separând variabilele si întegrând rezulta
()− 0 = ±Z0
∙2 [ − ()]
¸−12
Dupa integrare se obtine în final legea de miscare ().
Tema: Sa se calculeze () daca () =22. În cazul unei depen-
dente a energiei potentiale ca aceea din figura (14) se pot face analize intere-
sante.Deoarece energia cinetica este pozitiv definita si () = − ()
rezulta din figura ca regiunile interzise din punct de vedere fizic sunt regiunile
42
pentru care ∈ (1 2) ∪ (3 ∞) deoarece în aceste regiuni () 0
( este energia totala a particulei). Punctele 1 2 3 se numesc puncte
de întoarcere deoarece în aceste puncte energia totala este egala cu energia
potentiala deci energia cinetica este zero adica are loc o oprire a corpului
si apoi o întoarcere a sa. În regiunea ∈ (1 2) punctul este punct
de echilibru instabil. În regiunea ∈ (2 3) punctul este punct de
echilibru stabil iar în regiunea ∈ (4 ∞) punctul este de echilibru
indiferent.
1.7 Oscilatii
1.7.1 Oscilatii armonice libere
Oscilatorul armonic este important în foarte multe domenii din fizica: mecanica,
electrodinamica, mecanica cuantica etc. Procese complicate de vi-
bratii se pot descrie aproximativ prin oscilatori armonici deoarece la echili-
bru fortele care actioneaza au rezultanta nula si atunci
F = −∇ = 0
Daca dezvoltam în serie Taylor potentialul avem
() = 0 + 1+ 22
2!+
dar pe de alta parte deoarece F (0) = 0, rezulta ca 1 = 0 si avem
() = 0 + 22
2!+
de unde, în caz unidimensional (pentru simplitate) obtinem
= − (∇) = −
= −
³0 + 2
2
2!+
´
= −2
Marimea 2 se noteaza de obicei cu si se numeste constanta elastica.
Versorul i este orientat de-a lungul axei si vectorial avem
F = − (∇) i = −i
Deoarece ∇×F = 0 rezulta ca forta F este conservativa si energia totala seconserva
+ =2
2+
2
2= =
43
Figura 15: Oscilator armonic unidimensional orizontal.
Figura 16: Asupra oscilatorului actioneaza si o forta în sens invers fortei
elastice .
1.7.2 Oscilatii armonice amortizate
Lasat liber în pozitia asupra oscilatorului actioneaza si forta f care este o
forta de frânare proportionala cu viteza corpului
f = −vLegea a doua a lui Newton se scrie vectorial astfel
v
= −i− v
sau proiectata pe axa
= −−
adica pastrând ca variabila doar pe
2
2= −−
44
Figura 17: Conditiile initiale sunt: (0) = 0 si· (0) = 0 0.
Împartind cu masa si notând
20 =
2 =
ecuatia diferentiala de ordinul doi cu coeficienti constanti si omogena devine
··+ 2
·+ 20 = 0
Cautam o solutie de forma
() = exp ()
Deoarece exp () este nenula rezulta urmatoarea ecuatie caracteristica
2 + 2+ 20 = 0
care are solutiile
12 = − ±q2 − 20
a) Daca 2 20 solutiile sunt imaginare
b) Daca 2 = 20 exista o singura solutie
c) Daca 2 20 solutiile sunt reale.
Solutia generala a ecuatiei diferentiale este de forma
() = exp (1) + exp (1)
unde constantele si se determina din conditiile initiale, (0) = 0 si· (0) = 0 0.
În cazul a) are loc o slaba atenuare a oscilatiilor conform figurii (17)În
45
cazul acesta solutia are forma
() = exp (1) + exp (1) =
=
∙ exp
µ
q20 − 2
¶+ exp
µ−q20 − 2
¶¸exp (−)
Notam
Ω2 = 20 − 2
si tinem cont de relatiile lui Euler
exp (±) = cos ± sin
obtinând forma generala a solutiei
() = exp (−) [1 cosΩ+1 sinΩ]
unde 1 1 sunt reali. Se mai poate scrie relatia precedenta si astfel
() = exp (−) cos (Ω− )
unde si se determina în functie de 1 1:
=¡21 +2
1
¢12 tan =
1
1
În figura (17) amplitudinile si +1 se ating la momentele si +1 =
+ = +2Ω. Din expresia () = exp (−) cos (Ω− ) rezulta
+1= exp
µ2
Ω
¶care logaritmata conduce la expresia
ln
+1= =
2
Ω
care se numeste decrement logaritmic.
b) Daca 2 = 20 , adica 1 = 2 = − exista o singura solutie generalacare are forma
() = [+] exp (1)
si care este reprezentata prin linie continua în figura (18). Daca în cazul
oscilatiilor atenuate forta de frecare continua sa creasca atunci deja ampli-
tudinea a doua este mai mica si corpul nu mai depaseste pozitia de echilibru
ci chiar se va opri în aceasta pozitie. Acesta este cazul 2 = 20.
46
Figura 18: Solutiile () în cazurile b) si c).
c) Daca 2 20 solutiile sunt reale si exponentiale, adica
() =
∙ exp
µ
q2 − 20
¶+ exp
µ−q2 − 20
¶¸exp (−)
si corpul se întoarce în pozitia de echilibru mult mai lent decât în cazul
anterior al atenuarii critice.
Sa analizammodul de variatie în timp al energiei totale. Înmultim ecuatia
·· = −−
· cu
· si obtinem dupa calcule algebrice simple
···+
· = − ·
·
adica
"
·2
2+
2
2
#= −
³ ·´2
0
ceea ce înseamna ca energia totala scade continuu în cazul unor astfel de
sisteme fizice si energia este transformata complet în caldura prin frecare.
2 FB.05. Mecanica fluidelor
2.1 Generalitati ale fluidelor
2.1.1 Variabile care caracterizeaza fluidul
Mecanica fluidelor se ocupa cu studiul miscarii lichidelor si gazelor. Un fluid
este un mediu continuu adica fiecare element mic de volum este suficient
de mare astfel încât sa fie format dintr-un numar mare de molecule. Prin
urmare un element de volum de fluid este suficient de mic în raport cu corpul
47
dar mare în raport cu distantele intermoleculare. Densitatea de fluid se
defineste astfel
= lim∆→0
∆
∆
unde densitatea poate depinde de vectorul de pozitie al particulei de masa
∆ si timp, adica (x ). Importante sunt urmatoarele marimi care carac-
terizeaza fluidul:
• Densitatea de masa, (x)• Viteza de curgere, v (x)• Presiunea fluidului, (x)• Temperatura fluidului, (x)
unde x reprezinta setul de coordonate carteziene ( ) iar este timpul.
Descrierea unui fluid se face determinând viteza v (x) si doua dintre celelalte
marimi, de exemplu (x) si (x).
Analiza fluidelor se poate face si fara implicarea directa a ecuatiilor de
miscare. În acest caz proprietatile fluidului sunt dependente de anumite
functii diferentiale ale vitezei de curgere:
- câmp solenoidal (divergenta nula):
∇ · v =0 v =∇×C (1)
pentru orice câmp vectorial C, care se numeste potential vector.
- câmp irotational (rotorul nul):
∇× v =0 v =∇Φ (2)
pentru orice câmp scalar Φ, care se numeste potential scalar. Daca un fluid
este solenoidal si irotational în acelasi timp, atunci potentialul scalar Φ sat-
isface ecuatia Laplace:
∇2Φ = 0 (3)
Daca rotorul vitezei de curgere este diferit de zero adica:
∇× v = ω (4)
ω se numeste functie de vârtej (sau vorticitate) si este extrem de
importanta pentru studiul fluidelor. Functia ω este o masura a rotatiei locale
a fluidului în vecinatatea unui punct (aceasta rotatie este diferita de rotatia
globala a fluidului).
48
Linia de curent este o curba care are aceeasi directie ca si viteza de
curgere v (x). Daca o particula introdusa în fluid are la un moment dat
aceeasi viteza cu cea a fluidului din imediata vecinatate a particulei, atunci
se poate defini o traiectorie a particulei prin sistemul de ecuatii:
x
= v (x) (5)
sau
=
=
Într-o curgere stationara (nu exista marimi fizice care depind explicit de
timp, adica = 0) particula urmareste fidel linia de curent.
• Descrierea Euler
În aceasta descriere x si sunt variabile independente, v sunt functii
de x si iar derivatele lor se exprima prin derivate partiale! De exemplu,
acceleratia se defineste astfel:
a (x)=v (x)
(6)
• Descrierea Lagrange
În aceasta abordare fluidul este descris în functie de elementele sale con-
stitutive. Diferitele elemente ale fluidului depind de exemplu de pozitie care
este etichetata sa zicem prin litera r. Variabilele independente sunt în acest
caz eticheta particulei si timpul; pozitia particulei este o variabila depen-
denta, x (r ).
Daca un element de fluid are viteza v (r ) atunci acceleratia acestuia
este:
a =
µv (r)
¶r=
(7)
• Concepte de baza
Deoarece exista doua abordari ale studiului fluidelor, adica descrierile
Euler si Lagrange, este necesar sa se stabileasca relatia dintre acestea. Acest
lucru este însa extrem de dificil de realizat. Sa analizam conceptul de derivata
si sa consideram o functie care caracterizeaza fluidul, (x); aceasta poate
reprezenta, de exemplu, densitatea, temperatura, componente ale vitezei de
curgere etc.). Derivata partiala
reprezinta modul de schimbare al lui
în timp dar pentru valori fixate ale lui x. Putem însa calcula modul
49
de schimbare al lui si raportat la miscarea fluidului. Aceasta derivata se
numeste derivata Lagrange, derivata convectiva sau derivata mobila;
definitia acesteia este:
(x)
≡ (x )
+ (v ·∇) (x ) (8)
Termenul al doilea din membrul drept al expresiei (8) se numeste termen
convectiv.
Într-o curgere stationara¡
≡ 0¢ relatia,
(v ·∇) (x ) = 0 (9)
este echivalenta cu a spune ca functia (x) este constanta de-a lungul
liniei de curent dar nu în întregul fluid!
Daca, (x)
= 0 (10)
atunci se spune ca (x) este constanta pentru un element particular
de fluid.
2.2 Ecuatia de continuitate
Una din ecuatiile fundamentale ale mecanicii fluidelor este cea care exprima
legea conservarii masei de fluid. Daca presupunem ca orice functie care carac-
terizeaza fluidul este continua atunci este valabila ecuatia de continuitate:
(x )
+∇· (v (x )) = 0 (11)
Daca se utilizeaza identitatea unde intervin un scalar si un vector A
∇· (A) = ∇ ·A+A ·∇ (12)
si definitia (8) rezulta:
(x)
+ (x ) (∇ · v) = 0 (13)
Daca este îndeplinita conditia,
∇ · v =0 (14)
fluidul se numeste incompresibil. Vectorul j = v se numeste densitate
de flux de masa. Directia sa este cea de miscare a fluidului si reprezinta
cantitatea de fluid care traverseaza în unitatea de timp unitatea de arie a
suprafetei perpendiculara pe directia vitezei.
50
2.3 Fluide ideale
Proprietatile fluidului ideal sunt:
a) are vâscozitate zero.
b) temperatura nu depinde de timp si este aceeasi pentru orice element
de fluid.
c) este incompresibil.
d) densitatea de masa nu depinde de timp si este aceeasi pentru orice
element de fluid.
Studiul unui fluid ideal presupune neglijarea schimburilor de caldura (ter-
moconductie zero) si a frecarii interne între diferite straturi de fluid (vâsco-
zitate zero). Asta presupune o miscare adiabatica peste tot în fluid adica
entropia fiecarei regiuni este constanta¡= 0
¢. Aceasta miscare se nu-
meste izoentropica. Daca notam cu entropia unitatii de masa de fluid
atunci conform celor discutate avem
[ (x )]
+∇· (v (x )) = 0
unde v (x ) este densitatea de flux de entropie iar ecuatia de continuitate
pentru entropie este
+ (v ·∇) = 0
2.4 Ecuatia Euler
Aceasta ecuatie este valabila pentru un fluid ideal si a fost obtinuta de Euler
în 1755. Ecuatia are forma
v (x)
= −1
∇ (x)
∇ · v (xt) = 0 (15)
iar daca fluidul este în câmp gravitational (g este acceleratia gravitationala)
are forma
v (x)
+ [v (x) ·∇]v (x) = −1
∇ [ (x)] + g
Utilizând gradientul contractiei simple dintre doi vectori A si B:
∇ (A ·B) = (B ·∇)A+ (A ·∇)B+A× (∇×B) +B× (∇×A) (16)
51
care pentru A = B = v devine
1
2∇ (v · v) = (v ·∇)v + v× (∇× v)
adica
(v ·∇)v =12∇ (v · v)− v× (∇× v)
si expresia g = −∇ unde este potentialul gravitational, din (15) obtinem:
v (x)
−∇× (∇× v (x)) = −∇
∙ (x)
+1
2v2 +
¸≡ −∇ (x)
(17)
unde (x) este "entalpia" fluidului. Daca nu se considera influenta gravi-
tatiei atunci ecuatia Euler devine
v (x)
+∇
µ1
2v2¶−∇× (∇× v (x)) = −∇ (x) (18)
unde (x) este entalpia unitatii de masa de fluid. ∇ (x) poate fi obtinut
în acest caz din principiul al doilea al termodinamicii pentru procese izoen-
tropice ale unitatii de masa de fluid ( = 1), adica
(x) = + ; = 0
Prin urmare
(x) = = (1)
sau
∇ (x) = (1)∇
2.5 Ecuatia Bernoulli
În caz stationar ecuatia Euler (17) devine
−∇× (∇× v (x)) = −∇∙ (x)
+1
2v2 +
¸≡ −∇ (x) (19)
Daca înmultim scalar la stânga ecuatia (19) cu v (x) obtinem:
[v (x) ·∇] (x) = 0 (20)
care conform (9) concluzioneaza ca marimea fizica
(x) = (x)
+1
2v2 + =
52
= (x) +1
2v2 +
este constanta de-a lungul liniei de curent. Pentru un fluid ideal stationarhv(x)
= 0
iecuatia (18) devine:
∇× (∇× v (x)) =∇ (x) +∇µ1
2v2¶
(21)
De aici, daca înmultim scalar la stânga ecuatia (21) cu v (x), rezulta ca
1 (x) ≡ (x)
+1
2v2 =
care se numeste ecuatia Bernoulli. Daca nu se neglijeaza câmpul gravitational
atunci ecuatia Bernoulli devine
(x) ≡ (x)
+1
2v2 + =
adica de-a lungul unei linii de curent marimea (x) = . Relatia
anterioara se mai poate scrie daca se considera axa ca axa verticala astfel:
(x) +
2v2 + = (22)
În ecuatia Bernoulli, (x) reprezinta presiunea statica dintr-o zona de fluid
delimitata de un volum infinitezimal care este datorata actiunii fortelor
cu care restul de fluid actioneaza asupra zonei respective,
2v2 este presiunea
dinamica care este asociata fortelor care determina miscarea fluidului iar
este presiunea de pozitie si ea este asociata fortelor conservative externe
fluidului. Reamintim ca g = −∇ unde este potentialul gravitational.
Elementar, ≡ .
• Ecuatia Bernoulli pentru curgeri irotationalePentru un fluid irotational si stationar, din (2, 21) se obtine:
∇ (x) = 0 (23)
adica "entalpia" este constanta în tot fluidul.
• Ecuatia pentru vorticitate (vârtej)Aplicând operatorul rotor ecuatiei (17), tinând cont de definitia (4) si de
identitatea (16) se obtine:
ω (x)
= (ω (x) ·∇)v (x) (24)
53
Figura 19: Curgerea printr-un orificiu de arie 1.
2.5.1 Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli. Formula lui Torricelli
Sa analizam curgerea de fluid dintr-un vas care are suprafata superioara
de arie 2 în contact direct cu aerul a carui presiune este 0 [vezi figura
(19)].Curgerea de fluid are loc printr-un orificiu de arie 1 practicat în peretele
lateral al vasului. Ne intereseaza viteza de curgere prin orificiul 1 aflat la
înaltimea 1. Vasul este umplut pâna la înaltimea 2 1. Utilizam ecuatia
lui Bernoulli (22), adica
(x) +
2v2 + =
astfel
0 +
2v21 + 1 =
= 0 +
2v22 + 2
De aici rezulta1
2v21 + 1 =
1
2v22 + 2
sau
v21 = v22 + 2 (1 − 2)
Din ecuatia de continuitate avem
11 = 22
54
Înlocuind obtinem viteza prin orificiul de arie 1
1 =22
1=
⎛⎜⎝ 2
1−³12
´2⎞⎟⎠12
Daca 1 ¿ 2 atunci se obtine formula lui Torricelli
1 ≈ (2)12
2.6 Hidrostatica
Pentru un fluid care se gaseste în repaus (v (x) = 0) din ecuatia Euler avem
1
∇ [ (x)] = g
ecuatie care descrie echilibrul mecanic al fluidului. Daca fortele exterioare
(aici e vorba de greutate) sunt nule atunci ∇ [ (x)] = 0 si deci presiuneaeste aceeasi în orice punct din interiorul fluidului care este practic legea
lui Pascal: În orice punct din interiorul unui fluid, presiunea se transmite
în toate directiile, cu aceeasi intensitate. Relatia vectoriala precedenta este
echivalenta cu sistemul
∇ [ (x)] = 0
∇ [ (x)] = 0
∇ [ (x)] = −care integrate conduc la solutia
() = − +
Suprafata libera a fluidului în repaus este la înaltimea iar pe suprafata
libera este aplicata o presiune exterioara peste tot cu conditia () = 0.
Prin urmare
() = (− ) + 0 (25)
adica presiunea scade cu cresterea lui , adica cea mai mare presiune este
pentru = 0. Expresia dependentei presiunii de pozitie (25) este legea fun-
damentala a hidrostaticii. Daca fluidul este si în echilibru termic atunci
temperatura este constanta si din principiul I al termodinamicii avem
Φ = − +
55
sau
Φ =1
sau deoarece g este de-a lungul lui în sens invers acesteia
∇Φ = 1
∇ = g ≡ −∇ ()
echivalenta cu
∇ (Φ+ ) = 0
de unde rezulta
Φ+ =
Aici este energia potentiala gravitationala a unitatii de masa de fluid.
2.6.1 Formula barometrica
Daca densitatea nu mai este constanta atunci integrarea ecuatiei
()
= −
conduce la dependenta presiunii de pozitie (temperatura fiind constanta).
Din ecuatia de stare a gazului perfect = rezulta densitatea =
conduce la ecuatia diferentiala
()
= − ()
Prin separarea variabilelor, integrarea în ambii membri conduce laZ ()
()= −
Z
adica
ln () = −
+
Daca (0) = 0 atunci
() = 0 exp³−
´
care se numeste formula barometrica si reprezinta dependenta de înaltime
(altitudine) a presiunii.
56
2.6.2 Legea lui Arhimede
Un corp solid scufundat într-un fluid este împins de jos în sus, pe verticala,
de o forta ascensionala (denumita si forta arhimedica), egala cu greutatea
volumului de fluid dezlocuit de acel corp.
F = −g
Important este de mentionat faptul ca o "forta arhimedica" poate actiona
asupra unui corp care se gaseste într-un fluid si pe alte directii decât cea
verticala. De exemplu, daca un corp se gaseste într-un fluid care executa
o miscare de rotatie în jurul unei axe verticale atunci asupra corpului va
actiona forta centrifuga care va avea rol de forta gravitationala. Acceleratia
centrifuga joaca acum rolul de acceleratie gravitationala si în anumite conditii
poate aparea forta arhimedica de forma
F = −a = −2r
2.7 Potentiale complexe
Uneori în probleme se utilizeaza potentialul complex. Din (14) rezulta
componentele vitezei exprimate astfel:
=
= −
(26)
unde se numeste functie de curent. Din (2) rezulta:
=Φ
=
Φ
(27)
Diferentiala functiei de curent se scrie atunci:
=
+
≡ Φ
− Φ
(28)
Integrând (28) obtinem:
( ) = −Z
0
Φ
+
Z0
Φ
+ (29)
Conditiile (26) si (27) reprezinta de fapt conditiile Cauchy-Riemann care
exprima faptul ca functia complexa () = Φ ( ) + ( ) este analitica
de variabila complexa = + . Prin alegerea unui potential Φ adecvat
57
problemei se obtine functia de curent si astfel se poate calcula potentialul
de complex:
() = Φ ( ) + ( ) = (−1)12 (30)
=
Φ
+
(31)
2.8 Fluide cu vâscozitate
• Ecuatia Navier-Stokes
v (x)
+ (v (x) ·∇)v (x)− ∇2v (x) = −1
∇ (x) + g
∇ · v (x) = 0 (32)
unde este coeficientul de vâscozitate cinematica. Ecuatia (32) a fost dedusa
de Navier în 1822 si independent de Stokes în 1845. O marime importanta
în analiza fluidelor cu vâscozitate este numarul Reynolds care se defineste
astfel:
=
(33)
unde si sunt viteza de curgere tipica respectiv lungimea pe care variaza
semnificativ diferitele marimi ce caracterizeaza fluidul iar este vâscozitatea
cinematica. Termenul (v (x) ·∇)v (x) se numeste termen inertial (T.I.)iar ∇2v (x) termen de vâscozitate (T.V.). Se observa ca:
|||| '
( 2)
(2)' () (34)
Pentru numere Reynolds mari se neglijeaza efectul de vâscozitate cu exceptia
frontierelor fluidului si neglijând turbulentele si instabilitatile de curgere.
Exista si alte ecuatii diferentiale cu derivate partiale de tip Navier-Stokes.
Un exemplu îl reprezinta ecuatia distributiei de temperatura în curgerea unui
fluid vâscos incompresibil:
∙ (x)
+ (v (x) ·∇) (x)
¸− ∇2 (x) = (x) (35)
În cazul curgerii plane a fluidului functia (x) are expresia:
(x) = 2
"µ
¶2+
µ
¶2+1
2
µ
+
¶2#(36)
58
Figura 20: Straturi paralele în curgere.
În expresiile (35) si (36) coeficientii au urmatoarele semnificatii: este
densitatea fluidului, este caldura specifica la presiune constanta a acestuia,
este conductivitatea termica iar = este coeficientul de vâscozitate.
• Ecuatia pentru vorticitate (vârtej)
Ecuatia pentru vorticitate în cazul fluidelor cu vâscozitate este analoga
ecuatiei (24):
ω (x)
= (ω (x ) ·∇)v (x) + ∇2ω (x) (37)
numai ca în plus apare ultimul termen care este specific vâscozitatii.
• Ecuatia Poiseuille-Hagen
În realitate fluidele sunt vâscoase din cauza frecarii interne dintre stra-
turile de fluid alaturate care se deplaseaza unele în raport cu altele. Fortele
de frecare care apar sunt tangentiale si tind sa reduca viteza relativa dintre
particule sau straturile de fluid. În figura (20) sunt reprezentate doua stra-
turi de fluid care se deplaseaza cu viteze diferite: stratul superior are viteza
mai mare.Expresia fortei de frecare este
=
unde este suprafata comuna a straturilor, este vâscozitatea dinamica
care se masoara în Poise ( · ) dupa numele fizicianului francez JeanLouis Marie Poiseuille care a avut studii în domeniul fizicii fluidelor.
59
Figura 21: Curgere printr-o conducta orizontala.
În cazul curgerii printr-o conducta orizontala ca în figura (21) expresia
fortei de frecare devine:
= 2
Forta de frecare este echilibrata de forta generata de diferenta de presiuni,
= 2 (2 − 1) ≡ 2∆. Integrând ecuatia
2
+ 2∆ = 0
obtinem
()− (0) = −2∆
4
unde (0) este viteza de-a lungul axei cilindrului iar () = 0 este viteza la
marginea cilindrului. De aici avem
(0) =2∆
4
si prin urmare obtinem:
() =2∆
4− 2∆
4≡ 2∆
4
µ1− 2
2
¶adica o dependenta parabolica a vitezei de raza conform figurii (21). Deb-
itul volumic infinitezimal este dat de expresia
= () ≡ () 2 =
60
=2∆
4
µ1− 2
2
¶2
Integrând pe intervalul ∈ (0 ) avem
=4∆
8
care este ecuatia Poiseuille-Hagen.
Referinte
[1] Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stocker, Classical Mechanics,
Springer Verlag Inc., 2004.
[2] Uliu Florea, Curs de fizica pentru ingineri, Craiova, 1982.
[3] Negrea Marian, Iulian Petrisor, Culegere de probleme de medii deforma-
bile, Craiova, 2005.
[4] Dumitru Luca si Cristina Stan, Mecanica clasica, Iasi si Bucuresti, 2003.
[5] L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fluid Mechanics, second edition, Pergamon
