ElementeElemente de de fizicfizicăăcuanticcuanticăă

CURSUL 11CURSUL 11

1

2

⇒

Relaţiile de nedeterminare Heisenberg trebuie priviteîn ideea că microparticulele au un caracter dual (corpuscular şi ondulatoriu).

Ele arată că este imposibil să determinăm impulsul şicoordonata simultan şi cu orice precizie dorită(ca în mecanica clasică).

Imprecizia la determinarea simultană a coordonatei şi impulsuluiare caracter principial, fiind legată de existenţa constantei lui Planck.

Noţiunea clasică de traiectorie nu are sens în mecanica cuantică.

Găsirea unei ecuaţii căreia să i se supună mişcările microparticulelor

Condiţia de normare a densităţii de probabilitate este:

( )∫∫ ==D

dVrdP 11

0

rρ

Procesul de măsurare: o interacţiune între particula supusămăsurării şi aparatul de măsură.

Aparatul de măsură produce perturbarea stării iniţiale a microparticulei.

Această interacţiune nu se poate determina exact cidoar evalua probabilistic.

Aplicaţii simple ale ecuaţiei lui Schrödinger

Groapa de potenţial dreptunghiulară

( ) [ ]( ) ( )⎩

⎨⎧

+∞∞−∈∞∈

=,0,,

,0,0lx

lxxU

U

0222

2

=+ ψψ Emdxd

h

Ecuaţia lui Schrödinger a stărilorstaţionare, pentru particula aflatăîn groapa de potenţial:

notez Emk 22 2

h=

Soluţia generală a ecuaţiei este de forma:

( ) ikxikx BeAex −+=ψ

Condiţia de continuitate în punctul x = 0 (peretele din stânga):

( ) 00 =ψ ⇒ A = – B

( ) ( ) kxiAeeAx ikxikx sin2=−= −ψ

Obs. Formulele lui Euler referitoare la exprimarea funcţiilortrigonometrice prin exponenţiale complexe

Condiţia de continuitate la peretele din dreapta, situat în punctul x = l:

0)( =lψ ⇒ 0sin2 =kliA ⇒ 0sin =kl

lnk π

= unde n = 0, 1, 2, ... este un număr întreg

Modulul vectorului de undă k nu poate lua orice valoare,ci numai anumite valori specificate de numărul întreg n.

( ) ( ) xl

niAxx nπψψ sin2==

Valoarea constantei A se găseşte din condiţia de normare a funcţiilor de undă.

Funcţia de undă (dependentă de timp) are forma:

( ) tEi

n

tEi

exl

nl

xetx⋅−⋅−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==Ψ hh

πψ sin2),(21

Această funcţie reprezintă o undă staţionară

2

22 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

lnEmk π

h⇒ 2

2

21 n

lmEn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

hπ

Energia microparticulei aflate în interiorul gropii de potenţial infinit de adânci este cuantificată.

Numărul întreg n, care cuantifică energia, se numeşte număr cuantic principal.

Barierea de potenţial de lărgime şi înălţime finită

E< U0

( ) [ ]( ) ( )⎩

⎨⎧

+∞∞−∈∈

=,0,,0

,0,0

lxlxU

xUU

Efectul tunel

02122

12

=Ψ+Ψ Em

dxd

h

( ) 022022

22

=Ψ−+Ψ UEm

dxd

h

02322

32

=Ψ+Ψ Em

dxd

h

Emk 212h

=

Se notează

( )EUm−= 022

2h

κ

( ) ( ) ( ) xikxikrd eBeAxxx 11

11111−+=Ψ+Ψ=Ψ

d se referă la unda directă (incidentă), r –la unda reflectată,iar t – la unda transmisă (refractată).

( ) ( ) xikt eAxx 1

333 =Ψ=Ψ

( ) xkxk eBeAx 22122

−+=Ψ

Condiţiile de continuitate în punctele x = 0 şi x = l ale funcţiilor de undă şi ale derivatelor acestora:

( ) ( )00 21 Ψ=Ψ

( ) ( )ll 32 Ψ=Ψ

0

2

0

1

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

xx dxd

dxd

lxlx dxd

dxd

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ 32

( ) ( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=−

=++=+

−

−

likll

likll

eAikeBeABABAik

eAeBeABABA

122

122

31222

222111

322

2211

,,

,

κκ

κκ

κκ

Pentru studiul efectului tunel ne interesează să exprimăm doarraportul dintre amplitudinea undei transmise în mediul IIIşi amplitudinea undei incidente din mediul I

( ) ( ) ll

lik

eikeikeik

AA

22

1

212

212

21

1

3 4κκ κκ

κ−−+

=−

−

Definim transparenţa barierei de potenţial:

∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

1

3

1

3

2

1

3

AA

AA

AAD

Obs.Este necesară şi conjugarea complexă a raportului amplitudinilor.

Efectul tunel se produce dacă 2κ2 l » 1

( )ll eDe

kkD 22 2

02

221

22

22

2116 κκ

κκ −− ≡

+=

Transparenţa barierei scade exponenţialcu lăţimea acesteia şi cu energia microparticulei.

Cu efectul tunel pot fi explicate o serie de fenomene(emisia la rece a electronilor din metale, dezintegrarea α , reacţiile termonucleare) sau funcţionarea unor dispozitivesemiconductoare (diode tunel).

Stern şi Gerlach au efectuat următoarea experienţă:

Spinul particulelor cuantice

Un electron posedă: - un moment cinetic orbital lr

- un moment magnetic μr

Atomi monovalenţi (H, Li, Ag)

Ca rezultat al experienţei, ei au obţinut pe ecran două pete distincte. S-a emis ipoteza că electronul, în afară de momentul cinetic orbital, mai posedă şi un moment cinetic propriu, numit momentul de spinsau spinul.

Apariţia celor două pete pe ecran se explică prin interacţiuneadintre câmpul magnetic extern B şi momentul magnetic despin, asociat momentului cinetic de spin al electronului.

Vectorul moment de spin al electronului are 2 posibilităţide a se orienta în spaţiu, deci are 2 proiecţii pe direcţia inducţieicâmpului magnetic exterior (luată pe direcţia axei Oz)

hr ss = hh

21

±== sz ms

s -numărul cuantic de spinμs - numărul cuantic al proiecţiei vectorului de spin pe axa Oz

Momentul cinetic total jr

slj rrr+=

Starea unei microparticule se poate preciza prin cunoaştereaunui set complet de observabile (poziţie, energie, momente cinetice,moment de spin, ...).

Funcţia de stare (funcţia de undă) a particulei cuantice este o funcţiede forma

( ) ( )rmsmlmjnrsmnjsljrr

...,,,,,,, Ψ≡Ψ=Ψ

Particulele cu spin semiîntreg s = ,...25,

23,

21

se numesc fermioni

Fermionii se supun statisticii Fermi – Dirac şi satisfac cerinţeleprincipiului de excluziune al lui Pauli

Particulele cu spin întreg (s = 0, 1, 2, ...) se numesc bosoni

Bosonii se supun statisticii Bose – Einstein şi nu sesupun cerinţelor principiului de excluziune al lui Pauli.

Exemple de fermioni: electronul (e-), pozitronul (e+), protonul (p), neutronul (n), neutrino (ν), etc.

Exemple de bosoni: fotonul (γ ), mezonii (π şi K), etc.

25

BIBLIOGRAFIE

M. CRISTEA, D. POPOV, F. BARVINSCHI, I. DAMIAN, I. LUMINOSU, I. ZAHARIE – “Fizica. Elemente fundamentale” , Ed. Politehnica, Timisoara, 2009

I. LUMINOSU – “Fizica. Elemente fundamentale” Ed.Politehnica, Timisoara, 2004

S. PRETORIAN, M. COSTACHE, V. CHIRITOIU – “Fizica. Elemente fundamentale. Aplicatii”, Ed. Politehnica, Timisoara, 2006

Luminosu I., Pop N., Chiritoiu V., COSTACHE Marius – “Fizica.Teorie, probleme si teste grila” , Ed. Politehnica, Timisoara, 2010