Elemente de dinamica fluidelor reale
Un fluid este o substanţă care este continuu deformabilă atunci când
acţionează asupra lui o forţă din exterior pe unitatea de suprafaţă.
Un fluid este omogen dacă are aceleaşi proprietăţi în toate punctele. Un
fluid este izotrop dacă are aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile.
Un fluid în curgere este caracterizat atât prin distribuţia vitezelor (câmp
vectorial) cât şi prin distribuţia presiunilor (câmp scalar).Curgere în regim staţionar sau în regim permanent: viteza şi presiunea
nu depind de timp.Liniile de curent sunt traiectoriile particulelor fluidului de-a lungul
cărora vectorul viteză este tangent la linie.
Totalitatea liniilor de curent formează un tub de curent.
Fluid ideal este acel fluid incompresibil şi lipsit de vâscozitate
PROPRIETĂŢI FLUIDE
Vâscozitatea fluidelor ideale
Curgerea este laminară (în straturi paralele), adică liniile de curent sunt bine
conturate şi nu se intersectează între ele dacă fiecare particulă de fluid rămâne
mereu în interiorul aceluiaşi tub de curent iar viteza nu este prea mare.
Curgerea devine turbulentă, neregulată, se formează vârtejuri la viteze mari.
Apar forţe de frecare internă sau de viscozitate la contactul dintre straturile de
fluid.
Fenomenul de frecare apare şi între fluid şi pereţii tubului prin care curge.
Fluidul din imediata vecinătate a pereţilor are viteza cea mai mică şi încetineşte
la rândul său straturile de fluid cu care este în contact. Apariţia acestor forţe,
situate în planele de alunecare, se explică prin variaţia de viteză de deplasare
a straturilor.
η este coeficientul de vâscozitate dinamică, dependent de natura fluidului şi de
temperatură
1.Vâscozitatea fluidelor reale. Numărul lui Reynolds.
In cazul fluidelor reale aflate în mişcare apar forţe tangenţiale la straturile de fluid,
numite forţe de vâscozitate, care se opun alunecării relative a straturilor vecine de fluid.
Forţele de vâscozitate fac ca o parte din energia fluidului să se consume pentru lucrul
mecanic de frecare, ceea ce duce la încălzirea fluidului. De aceea la scierea ecuaţiei lui Bernoulli(
vezi semestrul 1) pentru fluidele reale, trebuie să se ţină seama de lucrul mecanic al forţelor de
frecare (Wr):2 2
r1 21 21 2
Wv v+ + g = + + g +p pz z
2 2 V
relaţia arată că presiunea totală se micşorează în lungul conductei, întrucât lucrul mecanic
corespunzător unităţii de volum rW > 0
V
Deci, pentru două secţiuni S1 şi S2 rezultă:2 2
1 21 21 2
v v+ + g > + + g p pz z
2 2
(1.1)
(1.2)
Forţele de vâscozitate sau, pe scurt,
vâscozitatea unui fluid se caracterizează prin
coeficientul de vâscozitate dinamică η, care poate fi
introdus astfel: fie două plăci paralele A şi B, de
suprafaţă S, între care se găseşte un strat de fluid
(fig.1) unde placa A este fixă, iar placa B se
deplasează cu viteza . Straturile de fluid se menţin
paralele şi se deplasează cu viteze de la 0 la .v
vFig.1.1
O astfel de curgere se numeşte curgere laminară. Datorită vitezei diferite între straturi,
apare un gradient de viteză perpendicular pe direcţia de curgere. Forţa necesară pentru a
menţine cuegerea cu viteza =const. este proporţională cu gradientul de viteză şi cu suprafaţa S a
plăcilor:
dv
drF
v
dvF = S
dr (1.3)
Intre forţa care întreţine curgerea şi forţa de rezistenţă existând relaţia , rezultă:F rF rF = - F
r
dv = - SF
dr (1.4)
Semnul minus arată că forţa de frecare se opune curgerii fluidului. Coeficientul de
proporţionalitate η din relaţiile de mai sus se numeşte coeficient de vâscozitate dinamică depinzând
de natura fluidului şi de temperatură.
Din relaţia (4) se observă că vâscozitatea dinamică η poate fi considerată ca fiind forţa
de frecare a unui strat, exercitată asupra altui strat, pe unitatea de suprafaţă, când gradientul
modulului vitezei în direcţia perpendiculară la suprafaţă este egal cu unitatea.
Unitatea de măsură a vâscozităţii dinamice în S.I. se poate obţine din formula (4), fiind:
Kg[ ] = = decaPoise
s m
(1.5)
Iniţial, în sistemul C.G.S., unitatea de măsură a lui η era Poise-ul:
g1 Poise= 1
s cm(1.6)
Se observă că:Kg g
= 10 = 10 Poise = 1 decaPoises m s cm
(1.7)
ceea ce justifică denumirea de decaPoise.
In practică se utilizează de multe ori noţiunea de vâscozitate cinematică:
=
(1.8)
unde ρ este densitatea fluidului.
Inversul vâscozităţii dinamice dă fluiditatea:
1 = (1.9)
Unităţile de măsură se pot găsi uşor pentru fiecare dintre aceste mărimi.
Gazele au o vâscozitate mult mai mică decât lichidele, dar nu zero.De exemplu, la
t=20C, şi .-7
aer
Kg = 181 10
m s
_
-7
ap
Kg = 10050 10
m s
Dacă viteza unui fluid care curge într-o conductă depăşeşte o anumită valoare critică (ce
depinde de proprietăţile fluidului şi diametrul tubului) curgerea nu mai este laminară. In interiorul
fluidului se formează vârtejuri, care produc o mare rezistenţă la curgere. O curgere de acest tip se
numeşte turbulentă. Experienţa arată că mişcarea unui fluid printr-un tub sau o conductă este laminară
sau turbulentă în funcţie de valoarea unei expresii care depinde de patru parametri, numită numărul
lui Reynolds, şi definită:
R
v D = N
(1.10)
unde ρ este densitatea fluidului, v este viteza medie de înaintare, η-vâscozitatea, iar D-diametrul
tubului. Numărul lui Reynolds este o mărime adimensională. Experinţa arată că dacă NR<2000,
curgerea este laminară, iar pentru NR>3000, curgerea este turbulentă. In regiunea de tranziţie curgerea
este instabilă şi poate trece de la un tip la altul.
REZOLVARE
Condiţia de curgere laminară este ca NR<2000. Din , rezultă că:R
D v = _ 2000N
D _ 2000 v
Dar2
Q 4Qv = =
S D
Din aceste două relaţii rezultă:4Q
D _ 2000
PROBLEMA 1
Prin secţiunea transversală a unui tub trec într-o secundă 200 cm3 de apă.
Vâscozitatea dinamică a apei fiind egală , să se calculeze pentru ce valoare
limită a diametrului tubului mişcarea apei va fi laminară.
-3 Kg 10m s
www.imt.ro/Microdiag/pics/Canal%2520drept%2520Fluid%2520Laminar%2520Viscosity.jpg&imgrefurl=http://www.imt.ro/Microdiag/rezultate.html&usg=__gs_Jr8f1elNJzx
fJqYXj_xG1Wic=&h=672&w=894&sz=79&hl=en&start=21&sig2=OhqLevYZFlsKhul4LUk2QA&zoom=1&tbnid=LxNFFEMRmnmybM:&tbnh=110&tbnw=146&ei=ed6OTfq6
N5DRsgaz6ayKCg&prev=/search%3Fq%3Daplicatii%2Bvascozitate%26hl%3Den%26sa%3DX%26biw%3D1319%26bih%3D693%26tbm%3Disch&itbs=1
2.Curgerea laminară a fluidelor reale prin conducte. Legea lui Poiseulle.
Să considerăm o conductă orizontală, de secţiune circulară constantă, prin care se
deplasează un fluid real, în mişcare laminară. Considerăm coaxial cu conducta, un tub de curent
cilindric, de rază r şi lungime l (fig.2).
Fig. 2.1
Asupra bazelor acestui tub acţionează forţele de presiune determinate de presiunile p1 şi
p2. Pe suprafaţa laterală a tubului de curent se exercită forţele de frecare internă. La echilibru, când
luidul se mişcă cu o anumită viteză, putem scrie:
2
1 2
dv( - ) = - 2 r lp p r
dr (2.1)
unde s-a ţinut seama de faptul că mişcarea fluidului are o simetrie axială, adică v=v(x,r). Din
expresia anterioară rezultă că:
p-dv = r dr
2 l
(2.2)
Considerând vâscozitatea dinamică η constantă, integrăm:
0 R
v r
p- dv = r dr
2 l
(2.3)
şi obţinem: 2 22 2
2
p p R rv = ( - ) = (1- )R r
4 l 4 l R
(2.4)
Se observă că într-o curgere
laminară printr-o conductă orizontală, de
secţiune constantă, viteza este distribuită sub
forma unui paraboloid de revoluţie (fig.2.2).
Fig. 2.2
Viteza fluidului are valoarea maximă pe axul conductei (pentru r=0) dată de
exepresia:
max
2 p R = v
4 l
(2.5)
Debitul volumic al fluidului prin
conductă se poate determina cu ajutorul
schemei din figura 2.3. Considerăm o
secţiune inelară de grosime dr, situată la
distanţa r faţă de axa conductei, pentru care
viteza v este aproximativ constantă.
Fig. 2.3
Prin integrarea debitului volumic elementar
se obţine debitul volumic total prin conductă:
v = v dS = v 2 r drdQ (2.6)
R
4
v
0
p = 2 v r dr = Q R
8 l
(2.7)
Această relaţie, cunoscută sub denumirea de legea lui Poiseuille, arată că debitul
volumic este proporţional cu diferenţa de presiune Δp pe unitatea de lungime a conductei şi
cu puterea a patra a razei conductei.
Volumul de fluid care străbate în timpul t o secţiune a conductei va fi:
4
v
pV = t = tQ R
8 l
(2.8)
relaţie ce poate fi folosită la determinarea lui η.
PROBLEMA 2Cum poate fi folosită relaţia (2.8) la determinarea practică a vâscozităţii dinamice (η)?
REZOLVARE
Determinarea vâscozităţii dinamice se poate face cu vâscozimetrul Ostwald (fig.2.4).
Fig.2.4
Deoarece diferenţa de presiune se micşorează pe
durata curgerii lichidului din volumul V, nu se poate folosi direct
formula (2.8). Se poate însă determina vâscozitatea dinamică η a
unui lichid prin compararea cu a altui lichid, considerat etalon.
Pentru aceasta se compară timpul de curgere al lichidului etalon
cu cel al lichidului de studiat. Scriind relaţia (2.8) pentru lichidul
etalon (η1) şi pentru lichidul probă (η2) şi făcând raportul lor se
obţine:
p = g h
2 2
1 1
tp =
tp
Deoarece lichidele au densităţi diferite rezultă pentru vâscozitate relaţia:1 21 2
= g h , = g hp p
222 1
11
t =
t
sau pentru vâscozitatea relativă22 2
r
11 1
t = =
t
3.Mişcarea corpurilor rigide prin fluidele reale.
Experimental s-a pus în evidenţă faptul că un corp care se mişcă într-un fluid vâscos este
supus unei forţe care se opune mişcării. Sub o formă generală, forţa de frecare cu care acţionează
fluidul asupra corpului poate fi scrisă astfel:
r = -ksf(v)F (3.1)unde k este o constantă ce depinde de densitatea fluidului, S este aria maximă a secţiunii transversale
a corpului, iar este o funcţie de viteza relativă a corpului faţă de fluid.f(v)
Constanta k poate fi considerată ca fiind
constantă pentru o formă geometrică dată, pentru valori ale
numărului Reynolds cuprinse într-un domeniu mare. Ca
exemplu în acest sens, în figura 3.1 se indică valorile lui k
(ân funcţie de densitatea fluidului) pentru diferite obstacole
cu simetrie de revoluţie, toate de acelaşi diametru, valabile
pentru intervalul 5000<NR<50000. Fig. 3.1
In cazul vitezelor mici, f(v)=v. Un caz particular, deosebit de interesant din punct de vedere practic,
este cel studiat de către Stokes şi anume mişcarea unei sfere omogene printr-un fluid vâscos. In
această situaţie, forţa de frecare este:r = - 6 r vF (3.2)
unde r este raza sferei, -viteza ei relativă, iar η este vâcozitatea dinamică a fluidului.
In cazul corpurilor care se deplasează cu viteze medii prin fluid, funcţia din formula
(3.1) are forma f(v)=v2 , iar la viteze supersonice f(v)=v3.
v
PROBLEMA 3
Să se folosească formula (3.2) pentru determinarea vâscozităţii dinamice (η) a unui lichid.
REZOLVARE
In acest sens se dă drumul într-un lichid unui corp sferic cu densitatea (fig.3.2)c l >
Fig.3.2
Mişcarea sferei este accelerată până este îndeplinită condiţia:
3 3
c l
4 4 r r g = g + 6 r v,
3 3
când mişcarea sferei devine uniformă.
Măsurând viteza de deplasare, vâscozitatea lichidului se calculează
cu formula:
2
c l
2 g r = ( - )
9 v
Acest invelis poliuretanic bicomponent este proiectat sa fie aplicat prin
pulverizare. Inainte de utilizare componentele A si B trebuie sa fie
omogenizate si incalzite separat pentru a obtine o vascozitate potrivita a
amestecului si a pulverizarii. Diagrama de mai sus prezinta profilul
vascozitate-temperatura.http://www.rasini-poliuretanice.ro/catalog-produse/kryptanate-%E2%80%93-invelis-hibrid-
poliuretan-poliuree-pentru-protectia-metalelor/
http://www.google.com/search?hl=en&biw=1319&bih=693&site=search&tbm=isch&sa=1&q=visc
ozity&aq=f&aqi=&aql=&oq=
http://www.google.com/search?hl=en&tbm=isch&sa=X&ei=vOKOTb_BG4jxsgaZrLD-
CQ&ved=0CDQQvwUoAQ&q=viscosity+modeling+shaking&spell=1&biw=1319&bih=693
Tectonic plate motion (arrows) and viscosity arising from global mantle flow simulation. Plate
boundaries, which can be seen as narrow red lines are resolved using an adaptively refined
mesh with 1km local resolution. Shown are the Pacific and the Australian tectonic plates and
the New Hebrides and Tonga microplates. (Credit: Georg Stadler, UT Austin)
Computer models shake up plate
tectonics
http://www.futurity.org/earth-environment/computer-models-shake-up-plate-tectonic/