Electromagnetism

1

ELECTROMAGNETISM

1.1. PROBLEME REZLOVATE

1.1.1. Se consideră câmpul electric 3 4E i j k

. Să se calculeze tensiunile UAB şi UBC între punctele de coordonate A(1,2,3), B(0,-1,2) şi C(1,-2,4).

Rezultat: 10VABU şi 10VBCU

1.1.2. Să se calculeze potenţialul şi câmpul unui dipol electric (ansamblu de două sarcini electrice egale şi de semne contrare, 1 2q q q situate la distanţa l ) într-un punct P situat la distanţele 1r şi 2r de cele două sarcini. Se consideră 1 2,r r l .

Rezultat: 1 2

0 1 24P

q r rV

rr

şi

2

30

3cos 14

P

qlE

r

.

1.1.3. Un condensator plan, cu aer, are armăturile dreptunghiulare de lungime 10cml şi lăţime 5 cmb . Distanţa între armături 0,5 cmd . Condensatorul

este încărcat sub tensiunea 0 = 200VU , după care se întrerupe legătura cu sursa de tensiune şi el rămâne încărcat sub această tensiune. În aceste condiţii se cere:

a) Care este densitatea de sarcină electrică, 0 , de pe armături?b) Care este distribuţia densităţii de sarcină electrică pe armături atunci când

între armături se introduce o placă de dielectric de aceeaşi grosime d ca şidistanţa dintre armături, pe o porţiune x din lungimea armăturilor 4r ?

c) Cum variază, în funcţie de x , tensiunea între armăturile condensatorului prinintroducerea dielectricului?

d) Lucrul mecanic efectuat de forţele electrice la introducerea dielectricului.e) Forţa dezvoltată de câmpul electric pentru pătrunderea plăcii de dielectric

între armături.

Rezultat: a) 7 2

0 3,55 10 C/m ; b) 8

214,2 10C/m

0,1 3x

x

; c)

20

0,1 3xU

x

;

d)71,33 10 JL e)

8

2

5,325 10N

0,1 3F

x

.

1.1.4. În vârfurile A şi B ale unui dreptunghi din fig. 1.18 sunt plasate sarcinile

NOTE DE SEMINAR (ANUL UNIVERSITAR 2007-2008, SEMESTRUL I)

2 electrice 62 10Aq C şi 64 10Bq C . Să se calculeze:

a) intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric în vârful C al dreptunghiului;

b) lucrul mecanic efectuat la deplasarea lentă a sarcinii electrice 910 Cq din punctul C în punctul E ;

c) forţa ce acţionează asupra unei sarcini electrice 6

D 3 10 Cq situată în punctul D .

Rezultat: a) 6

C 2,88 10 V/mE ,

C 189502 VV ; b) CE 1,2556 JL ; c) D 4,89 NF .

1.1.5. Fie o sferă (în vid) cu raza 0R şi care conţine o sarcină electrică distribuită uniform cu densitatea superficială . Se cere:

a) intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric într-un punct 1P exterior sferei (situat la distanţa 1R de centrul sferei) şi într-un punct 2P interior sferei (situat la distanţa 2R de centrul sferei).

b) Aceleaşi cerinţe ca şi la subpunctul a) dacă sarcina este distribuită uniform în sfera de rază 0R cu densitatea volumetrică de sarcină .

Rezultat: a) 20

1 20 1

RE

R

, 2

1 0

0 1

V RR

, 2 0E , 2 0

0

V R

;

b) 30

1 20 13

RE

R

,

30

1

0 13

RV

R

, 2 2

03E R

,

22 2

03V R

.

1.1.6. Care sunt expresiile potenţialului electric şi intensităţii câmpului electric într-un punct P situat pe axa perpendiculară în centrul unei spire circulare de rază r , filiformă şi electrizată uniform cu densitatea liniară de sarcină electrică .

Rezultat:

3

2 2 202

P

rxE i

r x

,

2 202

P

rV

r x

1.1.7. Să se deducă expresiile câmpului electric şi ale capacităţii electrice pentru condensatorul plan în funcţie de tensiunea aplicată U , sarcina electrică q de pe o armătură şi de mărimile fizice constructive: distanţa dintre armături d , aria suprafeţei comune ale armăturilor S , permitivitatea electrică relativă a mediului dielectric aflat între armăturile condensatorului r .

Figura 1.1

A B

C D

E

20cmx

10cmy 2

y

ELECTROMAGNETISM 3

Rezultat:0 r

U qE

d S

;

0 rSCd

.

1.1.8. Să se calculeze presiunea ce ia naştere într-o placă de sticlă 6r introdusă intre armăturile unui condensator plan, aflat sub tensiunea 500VU . Distanţa dintre armături este 2mmd .

Rezultat:22,3N/mp .

1.1.9. Se cunosc conductanţa a dielectricului dintre armături, tensiunea U dintre armături şi mărimile fizice constructive ale condensatoarelor: d – distanţa dintre armături, r – raza armăturilor plane circulare, razele 1r şi 2r ale armăturilor cilindrice, l – lungimea generatoarei armăturilor cilindrice. Să se calculeze intensitatea curentului electric de conducţie ce trece prin dielectricul imperfect al unui condensator:

a) plan circular (fig. 1.2,a); b) cilindric (fig. 1.2,b).

Rezultat: a) 2U

i rd

; b) 2

1

2

ln

lUi

rr

.

1.1.10. Să se deducă expresia intensităţii câmpului magnetic la o distanţă d de un conductor filiform rectiliniu şi infinit de lung, parcurs de un curent electric cu intensitatea I .

Rezultat: 2

IH

d

.

Figura 1.2

2r

1r

a) b)

d

l

r


4 Rezolvarea problemei 1.2.6

Folosind definiţia tensiunii electrice putem scrie

2

1 2

1

dU V V E l

, (1.1)

de unde

d 3 4 d d d 10VB

AB

A

U E l i j k xi yj zk

, (1.2)

respectiv

d 10VC

BC

B

U E l

. (1.3)

Rezolvarea problemei 1.2.8

Pentru rezolvare se vor utiliza coordonatele polare (fig. 1.3)

P rE E E

, 2 2P rE E E (1.4)

cu

r r

VE u

r

şi

1V V VE u u u

r

(1.5)

unde

1 2

0 2 0 1 0 2 1 0 1 2

1 1 1 1

4 4 4 4P q P q

q q q q r rV V V

r r r r rr

(1.6)

Dacă punctul P este situat la o distanţă suficient de mare de centrul dipolului ( r l ) se poate scrie: 1 2 cosr r l şi 2

1 2rr r . În acest fel, pentru potenţialul electric în punctul P se găseşte

2 2 3 3

0 0 0 0

cos cos cos 1

4 4 4 4

ql p p r p rV

r r r r

, (1.7)

iar pentru componentele câmpului, se găseşte:

3 3

0 0

1 2 cos 1 2 cos

4 4r

V p qlE

r r r

, (1.8)

ELECTROMAGNETISM 5

Figura 1.3

-q +ql -q +ql -q +q l

P P P

r rr1 r2

l cos

r

dd

qE

qE

PE

rE

E

PE

ru

u

ru

u

d

rurr

3 3

0 0

1 1 sin 1 sin

4 4

V p qlE

r r r

. (1.9)

Înlocuind rezultatele obţinute în relaţia (1.4) obţinem

2 2

30

2 2 2 2

3 30 0

4cos sin4

3cos cos sin 3cos 14 4

P

pE

rp p

r r

(1.10)

adică

30

2cos sin4

P r

pE u u

r

. (1.11)

Caz particular Să se calculeze potenţialele şi câmpurile dipolului electric având 610 Cq

şi 510 ml în punctele 1(0cm,10cm)P şi 2 (10cm,0cm)P (fig. 1.4). În punctul 1P , / 2 , 1 2 10cmr r r şi deci:

1 21 2

0 1 2 0

cos0V

4 4

q r r qlV

rr r

. (1.12)

În punctul 2P , şi deci:

2 20

19V

4

qlV

r

. (1.13)


6

Figura 1.4

P2(10,0) x

y P1(0,10)

l +q -q

l/2

Pentru câmp, în punctul 1P se găseşte:

1 30

1 2 cos0

4r

qlE

r

, 1 3

0

1 sin V90

4 m

qlE

r

. (1.14)

iar în punctul 2P , se găseşte:

2 30

1 2 cos180

4r

ql VE

r m

, 2 0E . (1.15)


a) Conform definiţiei capacităţii electrice putem scrie tensiunea

0 00

0 0

q SU d d

C S

, (1.16)

de unde

0 0 7 20 9 3

2003,55 10 C/m

4 9 10 5 10

U

d

, (1.17)

b) Legătura cu sursa de tensiune fiind întreruptă rezultă că, prin introducerea plăcii de dielectric, cantitatea totală de electricitate de pe armături nu se modifică ci are loc numai o redistribuire a ei. Astfel, dacă 1 este densitatea electrică pe porţiunea de armătură unde dielectricul este aerul, iar x este densitatea de electricitate pe porţiunea de armătură unde s-a introdus placa de dielectric, rezultă:

0 1 1 1 1 1 1 1x x r x r xS S S S S S S , (1.18)

adică,

ELECTROMAGNETISM 7

1 0 0

1

8 80 0 3,55 10 3,55 10

d 0,1 4 0,1 3

r x r

r

S l

S S l x x

U l

l x x x x x

, (1.19)

astfel

8

1 1

14,2 104

0,1 3x r

x

, (1.20)

Se observă că, prin introducerea plăcii de dielectric 1 variază de la 0 (pentru 0x ) până la 0 0/ / 4r pentru ( x l ), adică scade cel mult de r ori. În ceea ce priveşte x acesta de asemenea variază de la 0 0 04 (pentru

0x ) până la 0 pentru ( x l ). c) Tensiunea U este aceeaşi, atât pentru porţiunea cu dielectricul placă cât

şi pentru aceea cu aer. Deci:

01 0

0

20 20

0,1 4 0,1 3

x

r r

l lU E d d U

l x x l x x

x x x

, (1.21)

Se vede că, prin introducerea plăcii de dielectric, tensiunea xU scade de la 0 =200VU (pentru 0x ) până la 0 0/ / 4 50VrU U U (pentru x l ).

d) Din definiţia lucrului mecanic

dL F r

, (1.22)

se poate deduce că lucrul mecanic al forţelor electrice este egal cu variaţia energiei potenţiale a condensatorului. Deoarece tensiunea scade, iar sarcina totală a unei armături rămâne constantă, însemnează că energia condensatorului scade prin introducerea plăcii. Deoarece energia unui condensator are expresia:

/ 2W QU rezultă că variaţia de energie este:


8

0 0

7 30 0

1

2

1 1 203,55 10 5 10 200

2 2 0,1 3

x x x

x

W W W Q U U

S U Ux

(1.23)

adică,

8 11,775 10 10 J

0,1 3xW

x

. (1.24)

Pentru x l se obţine:

8 71,775 10 2,5 10 1,33 10 JL W , (1.25)

e) Deoarece energia condensatorului scade prin introducerea plăcii, rezultă că forţa exercitată de câmpul electric asupra plăcii de dielectric este o forţă de atracţie care tinde să introducă placa între armături. Deci, condensatorul „atrage dielectricul. Conform relaţiei dintre forţă şi energia potenţială gradF V

,

rezultă valoarea forţei:

d

d

WF

x sau

1d

d 2d d

xQUW

Fx x

, (1.26)

0 2

87 3

2 2

1 d 1 60

2 d 2 0,1 3

1 60 5,325 103,55 10 5 10 N.

2 0,1 3 0,1 3

xUF Q S

x x

x x

(1.27)

Forţa are valoarea maximă când 0x şi minimă când x l

6max 5,325 10 NF , (1.28)

7min 3,325 10 NF , (1.29)

min max

1

16F F . (1.30)

Observaţie:

ELECTROMAGNETISM 9

Dacă tensiunea dintre armăturile condensatorului ar fi fost menţinută constantă, păstrând legătura cu sursa de tensiune, atunci prin introducerea dielectricului capacitatea lui crescând, energia condensatorului 2 / 2W CU creşte. În acest caz variaţia de energie este pozitivă şi forţa care se naşte este o forţă de respingere, deci condensatorul tinde să expulzeze dielectricul.


a) Intensitatea câmpului electric în punctul C CE

se obţine prin însumarea câmpurilor produse în punctul C de sarcina Aq C AE

şi de sarcina

Bq C BE

vezi fig. 1.5.

C C A C BE E E

, (1.31)

2 2 2 cos 180C C A C B C A C BE E E E E . (1.32)

cu

2 20

1

4A

C A

qE

x y

, 2

0

1

4B

C B

qE

y

,

2 2cos

y

x y

. (1.33)

Înlocuind numeric datele problemei obţinem

62,56 10 V/mCE . (1.34)

Potenţialul electric în punctul C este

2 2

0 0

1 1

4 4A B

C C A C B

q qV V V

yx y

. (1.35)

a)

Aq

C BE

D

E

x

y

C

CE

C AE

b)

D BF

DF

D AF

Figura 1.5

Bq AqBq

Dq

AB B A


10

189502 VCV . (1.36)

b) Folosind definiţia diferenţei de potenţial se obţine:

CE C E C E A E BL q V V q V V V . (1.37)

Mai întâi se calculează potenţialul electric asemănător cu relaţia (1.35), iar rezultatul obţinut înlocuim în expresia lucrului mecanic (1.37)

2

0 02

1 1

4 4

2

A BE E A E B

q qV V V

y yx

(1.38)

de unde

229031 VEV . (1.39)

Astfel lucrul mecanic efectuat la deplasarea lentă a sarcinii electrice 910 Cq din punctul C în punctul E este

1,2556 JCE C EL q V V . (1.40)

c) Asupra sarcinii Dq acţionează două forţe vezi fig. 1.5

2 2 2 cos 180D D A D B D A D BF F F F F . (1.41)

Aplicând legea lui Coulomb

20

1

4A D

D A

q qF

y

, 2 2

0

1

4B D

D B

q qF

x y

, (1.42)

rezultă

4,89 NDF . (1.43)


Varianta I Datorită simetriei distribuţiei de sarcină, pentru orice punct de pe suprafaţa

sferei cu raza 1R se poate scrie

ELECTROMAGNETISM 11

1

202

1 02 2 2 20 1 0 1 0 1 0 1

1 d 14

4 4 4S

s R qE R

R R R R

, (1.44)

unde cu q s-a notat sarcina totală de pe sfera încărcată ( 204q R ).

Varianta II Mai întâi considerăm o suprafaţă gaussiană de formă sferică cu raza 1R şi

concentrică cu distribuţia de sarcină (vezi fig. 1.6), aplicând teorema lui Gauss se poate scrie:

1 1

21 1 1 1 1

0

d d 4S S

qE s E s E R

(1.45)

20

1 2 20 1 0 14

q RE

R R

(1.46)

0

21 0

0 1 0 1 0 1

1 d

4 4S

s qV R

R R R

(1.47)

Pentru un punct din interiorul sferei se alege o suprafaţă gaussiană de formă sferică cu raza 2R :

2

2 2 2d 0 0S

E s E

(1.48)

2 2

2 2 20 0 0

dd

4 4R R

q R qV E R

R R

(1.49)

Pentru distribuţia volumetrică de sarcină se găseşte asemănător:

Figura 1.6

1R2R

0R

1E

1P 2P


12

1

21 1 1 1

0

d 4S

qE s E R

(1.50)

303

1 02 2 20 1 0 1 0 1

1 4

4 4 3 3

q RE R

R R R

(1.51)

Iar potenţialul electric in exteriorul sferei:

30

1

0 1 0 1

1

4 3

q RV

R R

. (1.52)

În interiorul sferei intensitatea câmpului electric nu mai este nul dup cum urmează:

2

2 32 2 2 2 2

0 0

1 4d 4

3S

qE s E R R

, (1.53)

22 2 3

0 0 03 4

q RE R

R

. (1.54)

Potenţialul electric în interiorul sferei:

32 2

2 2

0 2 0 2 0

1 1 4

4 4 3 3

q RV R

R R

. (1.55)

Dependenţa intensităţii câmpului electric şi a potenţialului electric sunt reprezentate în fig. 1.19, unde cu negru au fost reprezentate dependenţele pentru distribuţia superficială de sarcină, iar cu gri distribuţia volumică de sarcină. De

Figura 1.7

E

r0R

maxE

V

r0R

maxV

2R 1R 2R 1R

a) b)

2E 1E

1V2V

ELECTROMAGNETISM 13

observat că în cazul distribuţiei superficiale în interiorul sferei intensitatea câmpului electric este nul.


Elementul de arc de cerc d l de pe spiră (fig. 1.16) are sarcina electrică

d

d d d d2 2

q qq l r r

r

. (1.56)

Potenţialul electric în punctul P , la distanţa 2 2r x de sarcină electrică

d q este:

2 2

0

dd

4

rV

r x

. (1.57)

Pentru toată spira avem:

2

2 2 2 20 00

d4 2

r rV

r x r x

. (1.58)

Caz particular: în centrul spirei ( 0x ), 0/ 2V . Intensitatea câmpului electric se obţine cum urmează:

2 2

0

grad2

rE V V

r x

(1.59)

Figura 1.8

d l

x

i

j

k

d P

22 xr

z

y

x

r


14

2 2 2 2

00

d d 1

d 2 d2

r rE i i

x xr x r x

(1.60)

32 2 2

02

rxE i

r x

(1.61)

În cazul particular când 0x , intensitatea câmpului electric în centrul spirei, obţinem 0E

.


Problema poate fi rezolvată prin mai multe metode. Varianta I Fie condensatorul plan din fig. 1.9. Din

d

grad d dd

VE V u V E y

y

(1.62)

1

2

d

2 1

0

d dV

V

V V UV E y E

d d

(1.63)

Varianta II Alegând o suprafaţă gaussiană de forma unui paralelipiped ce conţine

armătura cu sarcina q (fig. 1.9), se poate scrie:

0

d dS S r

q qE S E S E S E

S

(1.64)

unde /q S reprezintă densitatea superficială de sarcină.

Figura 1.9

E

y

-q

+q S

d 1V

2Vu

ELECTROMAGNETISM 15

Capacitatea electrică este

0 rq SE SE SC

U U Ed d

(1.65)

Un caz particular este dat de un condensator plan umplut parţial cu dielectric, figurile 1.10,a şi 1.10,b.

În cazul reprezentat în fig. 1.10,a condensatorul este format dintr-un sistem de două condensatoare în serie având fiecare capacităţile:

01

1

SC

d

şi 0

2

2

rSCd

(1.66)

şi capacitatea echivalentă

1 2

1 2 1 2

1 1 1s

s

C CC

C C C C C

. (1.67)

În cazul din fig. 1.10,b condensatorul este format din două condensatoare legate în paralel având fiecare capacităţile

0 ( / 2)r SC

d

şi 0 / 2S

Cd

(1.68)

iar capacitatea echivalentă pC C C .


2

5

3

5 102,5 10 V/m

2 10

UE

d

(1.69)

Figura 1.10

1dd

/ 2S

C C 0r 0

b)

U

S

1C

2C

0

r 0

a)

U 2d


16

Sarcinile de polarizare de pe cele două feţe ale plăcii sunt: PS şi PS (fig. 1.11). Asupra acestor sarcini acţionează câmpul electric E

, care tinde să le

îndepărteze şi câmpul dE

din interiorul dielectricului, care tinde să le apropie. Forţa rezultantă, datorită celor două câmpuri, va fi:

P P d P dF SE SE S E E (1.70)

1 1

1 rP P P

r r r

EF S E SE SE

(1.71)

Dar,

0 1P rE (1.72)

şi atunci:

2

20

1r

r

F SE

, (1.73)

10

2

9

6,25 10 252,3 N/m

4 9 10 6p

. (1.74)


a) Din definiţia densităţii de curent

| |i

jS

(1.75)

Figura 1.11

d

U

E

P

ELECTROMAGNETISM 17

obţinem

2 2 2dS

Ui j S j r E r r

d

. (1.76)

b) Asemănător avem

.

d 2 2Slat

i j S j rl E rl

, (1.77)

unde intensitatea câmpului electric E nu mai este constantă între armături ci depinde de r .

Din definiţia tensiunii electrice avem

dU E l

(1.78)

de unde

2 2

1 1

2

1

dd ln

2 2

r r

r r

i r i rU E r

l r l r

. (1.79)

Exprimând intensitatea curentului electric obţinem

2

1

2

ln

lUi

rr

. (1.80)


Varianta I Fie dl

un element de lungime de pe conductorul parcurs de curentul

electric de intensitate I , vezi fig. 1.12 . Aplicând expresia legea Biot-Savart-Laplace

2

d

4

I l rH

r

(1.81)

se obţine

2

dsin

4

I lH

r

(1.82)


18

r

Figura 1.12

P

dl

dl

I

dH

Pentru a introduce variabila se fac următoarele înlocuiri

ctgl d ; 2d dsin

dl

;

sin

dr

(1.83)

care conduc la

0

sin d4 2

I IH

d d

. (1.84)

Varianta II Considerăm un contur închis sub forma unui cerc de rază d, cu centrul

pe conductor şi perpendicular pe conductor (fig. 1.14). Teorema lui Ampere se scrie:

0 0 0d 2 2B l B d I H d I

(1.85)

2

IH

d

(1.86)

Observaţie: Expresia / 2H I d poate fi găsită ca un caz particular al expresiei

câmpului magnetic generat de un curent care trece printr-un conductor rectiliniu finit (fig. 1.13).

În acest caz

ELECTROMAGNETISM 19

I

r

dl

H

H

Figura 1.14

dl r

Figura 1.13

d

2l

I

1lP

2

1

2

1

2

1

sin d cos d4 4

I IH

d d

(1.87)

1 2(sin sin )4

IH

d

(1.88)

Dar

11

2 21

sinl

l d

, 2

22 22

sinl

l d

(1.89)

astfel, se obţine

1 2

2 2 2 21 2

4

I l lH

d l d l d

. (1.90)

Se observă că pentru conductorul infinit de lung 1l şi 2l , iar

2

IH

d

. (1.91)


20 1.2. INTENSITATEA ŞI POTENŢIALUL

CÂMPULUI ELECTRIC

1.2.1. Să se deducă expresia intensităţii câmpului electric într-un punct P situat la distanţa r de o linie infinită încărcată uniform cu sarcină electrică cu densitatea liniară , vezi figura 1.15.

Rezultat: 02

PEr

.

1.2.2. Să se deducă expresia potenţialului electric într-un punct P situat la distanţa r de o linie infinită încărcată uniform cu sarcină electrică cu densitatea liniară . Se consideră potenţialul de referinţă nul la distanţa

0r de linia considerată.

Rezultat: P

0 0

ln2

rV

r

1.2.3. Un punct P se află la distanța 1 50cmd de o sarcină punctiformă, 80μCq și la distanța 1 50cmd de un conductor liniar uniform încărcat cu

densitatea liniară de sarcină 6 C/cm Să se calculeze potențialul electric și intensitatea câmpului electric în punctul P.

d l

A

d

xl

d PE

r

B

d

d PyE

Figura 1.15

d PxE

R

P

ELECTROMAGNETISM 21

1.2.4. Care sunt expresiile potenţialului electric şi intensităţii câmpului electric într-un punct P situat pe axa perpendiculară în centrul unei spire circulare (figura 1.16) de rază r , aflat la distanţa x faţă de centrul spirei, filiformă şi electrizată uniform cu densitatea liniară de sarcină electrică . Folosind rezultatele obţinute să se verifice relaţia între intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric

E V

.

Rezultat:

3

2 2 202

P

rxE i

r x

,

2 202

P

rV

r x

,

PP

dVE i

dx

.

1.2.5. Să se calculeze potenţialul şi intensitatea câmpului electric într-un punct M situat pe axa perpendiculară în centrul unui disc circular (aflat la distanţa y faţă de centrul discului) din material dielectric încărcat uniform cu densitatea superficială de sarcină electrică

2q R ( R este raza discului, figura 1.17).

Rezultat: 2 2

02MV R y y

,

2 20

12

M

yE

y R

.

1.2.6. Un conductor foarte lung este uniform încărcat cu densitatea liniară de sarcină 1 10 mC/m . Un alt conductor liniar de lungime 10cml este adus cu capătul mai apropiat la distanţa 0 20cmy de primul conductor, perpendicular pe acesta şi în acelaşi plan, capătul mai îndepărtat va fi astfel la distanţa

0 30cmy l . Să se calculeze forţa ce acţionează asupra celui de al doilea

Figura 1.16

dl

xi

j

k

d P

22 xr

z

y

x

rM

x

z

y

d d dq l P

Figura 1.17

d l

R

d PP

r y


22 conductor dacă acesta este încărcat neuniform cu densitatea liniară de sarcină

22 ( ) ( )y a y l y unde [0, ]y l şi

32 μC/ma .

Rezultat: 5,79mNF ,

1.2.7. Se consideră câmpul electric 3 4E i j k

. Să se calculeze tensiunile

ABU şi BCU între punctele de coordonate 1,2,3A , 0, 1,2 B şi 1, 2,4C .

Rezultat: 10VABU şi 10VBCU

1.2.8. Să se calculeze potenţialul şi câmpul unui dipol electric (ansamblu de două sarcini electrice egale şi de semne contrare, 1 2q q q situate la distanţa l ) într-un punct P situat la distanţele 1r şi 2r de cele două sarcini. Se consideră 1 2,r r l .

Rezultat: 1 2

0 1 24P

q r rV

rr

şi 2

30

3cos 14

P

qlE

r

.

1.2.9. În vârfurile A şi B ale unui dreptunghi din figura 1.18 sunt plasate sarcinile electrice

62 10Aq C şi 64 10Bq C . Să se calculeze:

a) intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric în vârful C al dreptunghiului;

b) lucrul mecanic efectuat la deplasarea lentă a sarcinii

910 Cq din punctul C în E ; c) forţa ce acţionează asupra unei sarcini

electrice 6

D 3 10 Cq situată în punctul D (se neglijează forţele gravitaţionale).

Rezultat: a) 6

C 2,88 10 V/mE , 4

C 18,95 10 VV ; b) CE 1,25 JL ;

c) D 4,89 NF .

1.2.10. Fie o sferă (în vid) cu raza 0R şi care conţine o sarcină electrică distribuită uniform cu densitatea superficială . Se cere:

a) intensitatea câmpului electric şi potenţialul electric într-un punct 1P exterior sferei (situat la distanţa 1R de centrul sferei) şi într-un punct 2P interior sferei (situat la distanţa 2R de centrul sferei),

b) aceleaşi cerinţe ca şi la subpunctul a) dacă sarcina este distribuită uniform în sfera de rază 0R cu densitatea volumetrică de sarcină ,

c) să se reprezinte grafic intensitate câmpului electric şi potenţialul electric în cele două cazuri.

Figura 1.18

A B

C D

E

20cmx x = 20 cm

10 cmy 2

y

ELECTROMAGNETISM 23

Rezultat: a) 20

1 20 1

RE

R

, 21 0

0 1

V RR

, 2 0E , 2 0

0

V R

;b) 30

1 20 13

RE

R

,

30

1

0 13

RV

R

, 2 2

03E R

, 2

2 2

03V R

.

1.3. CAPACITATEA CONDENSATOARELOR

1.3.1. Să se deducă expresia câmpului electric şi a capacităţii electrice pentru condensatorul plan în funcţie de sarcina electrică de pe o armătură q şi de mărimile fizice constructive ce caracterizează condensatorul (distanţa dintre armături d , aria suprafeţei comune a armăturilor S şi permitivitatea electrică a mediului aflat între armături 0 ).

Rezultat:0

qE

S

, 0SCd

.

1.3.2. Să se deducă expresia capacităţii electrice pentru condensatorul sferic în funcţie de mărimile fizice constructive: raza sferei interioare 1R , raza sferei exterioare 2R şi permitivitatea electrică absolută a dielectricului aflat între armături .

Rezultat: 1 2

2 1

4q R R

CU R R

.

1.3.3. Un condensator plan, cu aer, are armăturile dreptunghiulare de lungime

Figura 1.19

E

r0R

maxE

V

r0R

maxV

2R 1R 2R 1R

a) b)

2E1E

1V

2V


24 10cml şi lăţime 5 cmb . Distanţa între armături 0,5 cmd . Condensatorul

este încărcat sub tensiunea 0 = 200 VU , după care se întrerupe legătura cu sursa de tensiune şi el rămâne încărcat sub această tensiune. În aceste condiţii se cere:

a) Care este densitatea de sarcină electrică, 0 , de pe armături? b) Care este distribuţia densităţii de sarcină electrică pe armături atunci

când între armături se introduce o placă de dielectric de aceeaşi grosime d ca şi distanţa dintre armături, pe o porţiune x din lungimea armăturilor

4r ? c) Cum variază, în funcţie de x , tensiunea între armăturile condensatorului

prin introducerea dielectricului? d) Lucrul mecanic efectuat de forţele electrice la introducerea dielectricului. e) Forţa dezvoltată de câmpul electric pentru pătrunderea plăcii de

dielectric între armături.

Rezultat: a) 7 2

0 3,55 10 C/m ; b) 8

214,2 10C/m

0,1 3x

x

; c)

20

0,1 3xU

x

;

d) 71,33 10 JL e)

8

2

5,325 10N

0,1 3F

x

.

1.3.4. Să se calculeze presiunea ce ia naştere într-o placă de sticlă 6r introdusă intre armăturile unui condensator plan, aflat sub tensiunea 500VU . Distanţa dintre armături este 2mmd .

Rezultat:22,3N/mp .

1.4. GRUPAREA CONDENSATOARELOR

1.4.1. Spaţiul dintre armăturile unui condensator cu aer ( , 1,00054r aer ) având capacitatea electrică 0 25μFC este umplut parţial cu un dielectric (glicerină -

, 40r glicerină ) având volumul egal cu o fracţiune 40%f din volumul total în două moduri ca în figura 1.20. În figura 1.20a grosimea dielectricului reprezintă o fracţiune f din distanţa dintre armături iar în figura 1.20b suprafaţa dielectricului reprezintă o fracţiune f din suprafaţa unei armături. Să se calculeze:

ELECTROMAGNETISM 25

a) capacitatea condensatorului nou obţinut în cazul a) aC , b) capacitatea condensatorului nou obţinut în cazul b) bC , c) pentru ce valoare a lui f valoarea raportului dintre cele două capacităţi

/b aC C este maximă.

Rezultat: fie ,

,

40r glicerină

r aer

n

a) 0 40,98μF

1 /a

CC

f f n

;

b) 0[1 ( 1)] 0,41mFbC C f n ; c) 50%f .

1.4.2. Se consideră gruparea de condensatoare din figura 1.21 cu capacităţile egale 2μFC . Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele:

a) E şi G , b) F şi B , c) C şi F , d) E şi C , e) A şi G .

Rezultat: a) ( ) 1,75μFe EGC ; b) ( ) 1,86μFe FBC ; c) ( ) 1,75μFe CFC ; d)

( ) 1,86μFe ECC ; e) ( ) 1,33μFe AGC .

1.4.3. În circuitul cu condensatoare din figura 1.22 se cunosc: 250VU ,

1 7 FC , 2 4 FC , 3 1 FC şi 4 2 FC . Se cere: a) capacitatea echivalentă a celor patru condensatoare, b) sarcinile electrice de pe armăturile condensatoarelor, c) tensiunile la bornele condensatoarelor,

Figura 1.20

d

fd

S

fS

a) b)

2μF 2μF

2μF

2μF

2μF 2μF

2μF

A B C

E G F

Figura 1.21


26 d) energiile înmagazinate în condensatoare.

Rezultat: a) 2,80 FeC ; b) 4

1 7 10 Cq , 4

2 6 10 Cq , 4

3 4 10 Cq q ; c)

1 100VU , 2 150VU , 3 100VU , 4 50VU ; d) 2

1 3,5 10 JW ,

22 4,5 10 JW , 3

3 5 10 JW , 3

4 2,5 10 JW .

1.5. LEGILE LUI KIRCHHOFF PENTRU CONDENSATOARE

1.5.1. Să se rezolve problema 1.4.3 folosind legile lui Kirchhoff pentru condensatoare şi să se compare rezultatele obţinute cu cele de la problema amintită.

1.5.2. Se consideră gruparea de condensatoare din figura 1.23 cu capacitățile

1 15μFC , 2 5μFC , 3 10μFC și 4 30μFC iar tensiunea electromotoare a surselor 1 30 VE , 2 10 VE și 3 10 VE . Să se calculeze:

a) sarcina electrică de pe armăturile condensatoarelor,

b) tensiunea electrică la bornele fiecărui condensator,

c) tensiunea electrică între cele două noduri ale rețelei,

d) energia electrică înmagazinată în câmpul electric dintre armăturile fiecărui condensator.

Rezultat: a) 1 120 Cq , 2 40 Cq ,

+

A

B

U

C1

C2

C4

C3

2Y

+

+

++

Figura 1.22

1Y

3E

1E

2E

2C3C

4C

Figura 1.23

1C

ELECTROMAGNETISM 27

3 80 Cq (semnele pot fi altele, în funcție de cum s-a ales semnul pentru încărcarea

condensatoarelor); b) 1 8VU , 2 8VU , 3 8VU și 4 4VU c) 1 0,96mJW ,

2 0,32mJW , 3 0,64mJW și 4 0,48mJW .

1.5.3. În circuitul din figura 1.24 se cunosc: 1 200VE , 2 500VE , 1 4mFC , 2 14mFC , 3 2mFC , 4 5mFC și 5 1mFC . Să se afle:

a) capacitatea echivalentă a circuitului în absența sursei 1E , b) scrieți legile lui Kirchhoff pentru rețeaua

de condensatoare în prezența ambelor surse,

c) sarcina electrică pe fiecare condensator în prezența ambelor surse,

d) tensiunea electrică între punctele A și B în prezența ambelor surse,

e) energia electrică înmagazinată în întreaga rețea de condensatoare,

1.6. REZOLVĂRI LEGILE LUI KIRCHHOFF PENTRU CONDENSATOARE


a) Având în vedere că în rețeaua de condensatoare se află mai multe surse nu putem evalua capacitatea echivalentă a condensatoarelor (capacitatea echivalentă depinde de poziția sursei în circuit). Astfel pentru a evalua sarcina electrică pe armăturile condensatoarelor vom utiliza legile lui Kirchhoff pentru condensatoare:

1

0k

ki

q

, (1.92)

1E

A

B

3C

1C

4C 2E

2C

5C

Figura 1.24

3E

1E

2E

2 2,C q

3 3,C q

4 1,C qFigura 1.25

A

B

1 1,C q

1 2


28

1 1

n mj

iji j

qE

C . (1.93)

Pentru a aplica legile lui Kirchhoff trebuie stabilit numărul de noduri, ochiuri și ramuri. În cazul, figura 1.25, nostru avem 2 noduri (punctele A și B ), 3 ramuri (din nodul A putem ajunge în nodul B pe trei porțiuni de circuit) și 3 ochiuri (dintre care sunt numai 2 independente). La aplicarea legilor trebuie să ținem cont de următoarele reguli:

1º- prima lege se aplică numai de n-1 ori (n- numărul de noduri în rețea), astfel în cazul nostru prima lege o vom aplica numai într-un singur nod (nu contează nodul pe care îl alegem);

2º- cea de a doua lege aplicăm de atâtea ori câte ochiuri independente (fundamentale) avem în rețea; în cazul nostru avem 2 asemenea ochiuri (de fapt dacă notăm cu ofn - numărul de ochiuri fundamentale, rn - numărul de ramuri și nn - numărul de noduri atunci avem ( 1) 3 (2 1) 2of r nn n n )

3º- dacă pe aceeași ramură se află mai multe condensatoare fiecare se va încărca cu aceeași sarcină ( în cazul nostru de exemplu 1C și 4C sunt practic legate în serie) și se va indica pe desen semnul sarcinilor pe armăturile fiecărui condensator. (De obicei se ține cont de polaritatea surselor pentru stabilirea semnelor dar sunt situații în care nu putem stabili cu exactitate, la o primă analiză, polaritatea exactă. În aceste situații se pune o anumită polaritate pentru fiecare condensator și la rezultat dacă se obține valoarea numerică a sarcinii electrice cu semnul minus însemnă că acel condensator de fapt se încarcă cu

polaritate inversă.)

iE

iE iE

jC

j

j

q

C

j

j

q

C

a) b)

Figura 1.26

ELECTROMAGNETISM 29

4º- la aplicarea legilor trebuie să avem grijă la semnul fiecărui termen, sumele fiind sume algebrice, astfel:

- la prima lege sarcina se ia cu semnul primei armături întâlnite, plecând din nodul considerat de a lungul unei ramuri;

- la cea de a doua lege se alege un sens de parcurgere a ochiului, vezi , iar în funcție de acest sens se stabilesc semnele pentru tensiunile electromotoare și pentru căderile de tensiune (t.e.m. se ia cu semnul + dacă prin sursă trecem de la - la +, iar căderea de tensiune pe un condensator se ia cu + dacă prima armătură întâlnită are sarcina +, Eroare! Fără sursă de referință.)

Aplicăm cele două legi ale lui Kirchhoff pentru condensatoare în nodul A și în ochiurile 1 și 2 cum urmează:

1 2 3A: 0q q q , (1.94)

1 1 31 2

1 4 3

1: q q q

E EC C C

, (1.95)

2 33 2

2 3

2: q q

E EC C

. (1.96)

Dacă înlocuim numeric valorile se obține un sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute,

1 2 3

1 1 3

2 3

0

2015 5 10

025 10

q q q

q q q

q q

. (1.97)

În mod normal toate mărimile se înlocuiesc în sistem internațional dar în acest caz pentru a scurta scrierea expresiilor nu mai înlocuim capacitatea electrică în SI cu observația că toate sarcinile electrice le vom obține în C . Rezolvarea numerică a sistemului (1.97) conduce la soluțiile: 1 120 Cq , 2 40 Cq ,

3 80 Cq (semnele pot fi altele, în funcție de cum s-a ales semnul pentru


30

încărcarea condensatoarelor, în cazul nostru semnele minus arată că cele două condensatoare 2 și 3 se încarcă de fapt cu polaritate inversă).

b) Pentru a calcula tensiune la bornele fiecărui condensator folosim relația de definiție a capacității unui condensator, astfel

, 1,4ii

i

qU i

C , (1.98)

unde înlocuind valorile obținute la punctul a) avem următoarele tensiuni: 1 8VU , 2 8VU , 3 8VU și 4 4VU .

c) Energia electrică înmagazinată în fiecare condensator este

2

, 1,42

ii

i

qW i

C , (1.99)

unde înlocuind valorile obținute la punctul a) avem următoarele valori pentru energia înmagazinată: 1 0,96mJW , 2 0,32mJW , 3 0,64mJW și

4 0,48mJW .

Date post:	17-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	anna-pintea
View:	24 times
Download:	0 times

Electromagnetism

Documents