ECUAŢIA DE GRADUL ECUAŢIA DE GRADUL DOIDOI

2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

Forma generalForma generalăă2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

20 0, , ; 0b ax c a c R a 20 0, , ; 0c ax bx a b R a

20 0, ; 0b c ax a R a

Forme particulareForme particulare

Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ

Relaţiile lui Viète Relaţiile lui Viète 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

1 2

1 2

bx xa

cx xa

bSacPa

22 21 2 1 2 1 2

23 31 2 1 2 1 2 1 2

24 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

2

3

2

( ) ( ) 4

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

FORMULE UTILE !FORMULE UTILE !2 2 21 2

3 3 31 2

4 4 2 2 21 2

21 2

21 2

2

3

( 2 ) 2

4

4

x x S P

x x S PS

x x S P P

x x S P

x x S P

François VièteFrançois Viète (1540 – 1608) (1540 – 1608)

François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei

mederne.

Date numerele reale x1 şi x2 calculăm

este ecuaţia care are ca soluţii numerele date.

1 2 1 2,S x x P x x

02 PSxx

Formarea ecuaţiei de gradul doi Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile

unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei

Descompunerea trinomului în factori liniari

212 xxxxacbxax

02 cbxax

Semnul soluţiilor ecuaţiei de Semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doi

00

00

00

00

Dacă:

00

0

Dată ecuaţia

Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul cui putem stabili farcui putem stabili farăă a rezolva ecuaţia dacă soluţiile a rezolva ecuaţia dacă soluţiile xx11 şi x şi x22 au acelaşi semn sau semne contrare ? au acelaşi semn sau semne contrare ?

ÎNTREBARE ?ÎNTREBARE ?

2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a

Semnul numSemnul număărulruluui i

Semnul numSemnul număărulruluui i

RĂSPUNS CORECT !RĂSPUNS CORECT !

PP

SS

Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şi depind de semnul numarelor P şi SS

!!! !!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de ecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelor semnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S

ΔΔ > 0 > 0 ( ( + + ))

P < 0P < 0 ( ( – – ))

S > 0S > 0 ++

S = 0 S = 0 00

S < 0S < 0 – –

P = 0P = 0 S > 0S > 0 ++

S < 0S < 0 – –

P > 0P > 0 ( ( + + ))

S > 0S > 0 ++

S < 0S < 0 – –

ΔΔ = 0 = 0P > 0P > 0( ( + + ))

S > 0S > 0 ++

S < 0S < 0 – –

P = 0P = 0 S = 0S = 0 00

ΔΔ < 0 < 0 -- --

1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x

1 2 1 2, , 0x x R x x

1 2,x x R

Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi

EXERCITIIEXERCITII

1. 1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile:

2 5 0x x

2 7 3 0x x

23 7 2 0x x

23 5 2 0x x

ecuaţia are soluţii de semne opuse

ecuaţia are soluţii de acelaşi semn

ecuaţia are soluţii de semne opuse

ecuaţia are soluţii de acelaşi semn

1 1 20 ,x x x

1 20 , 0x x

1 1 20 ,x x x

1 20 , 0x x

SOLUŢIE CORECTĂ ?!SOLUŢIE CORECTĂ ?!

2 05 0

0P

x xS

2 07 3 0

0P

x xS

2 03 7 2 0

0P

x xS

2 03 5 2 0

0P

x xS

22. . Să se determine parametrul m pentru care soluţiile ecuaţiei sunt:

ambele pozitive de semne opuse ambele negative egale

EXERCIŢIIEXERCIŢII

2 2 3 0,x x m m R

m - ∞ 3 4 + ∞ΔΔ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - -

- PP - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + SS - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

SOLUŢIESOLUŢIE

ambele pozitive ΔΔ > 0 , P > 0 , S > 0 > 0 , P > 0 , S > 0 m

de semne opuse ΔΔ > 0 , P < 0 > 0 , P < 0 m ( - ∞. 3)

ambele negative ΔΔ > 0 , P < 0 , S < 0 > 0 , P < 0 , S < 0 m ( 3, 4)

egale negative ΔΔ = 0 , P > 0 , S < 0 = 0 , P > 0 , S < 0 m = 4

33. . Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei

după valorile parametrul real m.

Algoritm de lucru:Algoritm de lucru:calculăm ΔΔ, SS şi PPstabilim semnele acestor numere într-un tablou comunanalizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei

EXERCITIIEXERCITII

2 3 2 1 0,x x m m R

Fie ecuaţia

determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă: soluţii reale pozitivesoluţii reale de semne opuse

Test de autoevaluareTest de autoevaluare

2 2 0,x x m m R