+ All Categories
Home > Documents > Draft de carte (din 2009)

Draft de carte (din 2009)

Date post: 30-Dec-2016
Category:
Upload: lykhue
View: 251 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
267
Logic˘ a matematic˘ a George Georgescu 1 , Afrodita Iorgulescu 2 1 Universitatea din Bucure¸ sti, Catedra de Fundamentele Informaticii 2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatic˘a Economic˘a October 1, 2009
Transcript
Page 1: Draft de carte (din 2009)

Logica matematica

George Georgescu1, Afrodita Iorgulescu2

1 Universitatea din Bucuresti, Catedra de Fundamentele Informaticii2 Academia de Studii Economice, Catedra de Informatica Economica

October 1, 2009

Page 2: Draft de carte (din 2009)

2

Page 3: Draft de carte (din 2009)

3

Page 4: Draft de carte (din 2009)

4

Page 5: Draft de carte (din 2009)

5

Prefata

Logica se ocupa de legile gandirii (ratiunii) si anume de acele proprietati struc-turale formale ale gandirii care apar ın reflectarea proprietatilor lumii reale. Deciavem gandirea, realitatea si legatura dintre ele. In logica exista substituienti abstractipentru gandire, pentru realitate si pentru legatura dintre ele si anume, limbajul Lsubstituie gandirea, structura S substituie realitatea (unde S este mai mult decato colectie de lucruri susceptibile de a fi corelate, ca ınteles, diferitelor expresii dinlimbaj), iar interpretarea I substituie legatura (I este o functie).

Limbajul L este fixat, dar se considera mai multe interpretari ale lui L ın diferitestructuri; aceasta pentru ca, pe de-o parte, nu stim ın care realitate (lume) partic-ulara ne regasim cu adevarat, pe de alta parte pentru ca logicienii sunt interesatide principiile universale, care sunt adevarate ın orice lume posibila.

O teorie (ın sens tehnic) este un limbaj L ımpreuna cu o multime T de propozitiisau formule din L. In practica, o teorie este definita fie sintactic, fie semantic, adica:- T poate fi formata din toate formulele care rezulta printr-o relatie de implicaresintactica dintr-o multime de axiome sau- T poate fi formata din toate formulele care sunt adevarate ın orice interpretareconsiderata.

Scopul principal al logicii este studiul ın paralel al relatiei de implicare sintactica(formala):

p ` q (q se deduce din p conform unor reguli prestabilite)

si al relatiei de implicare semantica (reala):

p |= q (daca p este adevarata, atunci q este adevarata).

Logica clasica este bivalenta, ın sensul ca multimea valorilor de adevar aredoua elemente: adevarul si falsul. Logica propozitiilor este teoria T a tuturor for-mulelor valide (i.e. care sunt adevarate ın orice interpretare) ıntr-un limbaj Lal propozitiilor. Aceasta teorie este decidabila (exista un algoritm care, aplicatoricarei formule, ne spune daca ea este din T ). Logica predicatelor este teoria Ta tuturor formulelor valide ıntr-un limbaj L al predicatelor. Presupunand ca Lare cel putin un simbol de functie de rang cel putin 1 sau un simbol de relatie derang cel putin 2, atunci T nu este decidabila, dar este axiomatizabila (i.e. existao axiomatizare a lui T (cu axiome si reguli de inferenta) sub care formulele lui Tsunt demonstrabile).

In secolul al 19-lea apar primele sisteme de logica polivalenta.In evolutia unei teorii stiintifice se disting patru etape succesive: etapa descrip-

tiva, etapa inductiva, etapa deductiva si etapa axiomatica. Organizarea stiintei ınteorii deductive este legata de evolutia matematicii si de expansiunea metodelorsale ın celelalte stiinte.

”Eu afirm ca ın orice disciplina a naturii se gaseste de fapt numai atata adevaratastiinta cata matematica se cuprinde ın ea” (Immanuel Kant).

Page 6: Draft de carte (din 2009)

6

Logica matematica este stiinta care are ca obiect studiul formelor propozitionalesi al legilor de rationare cu expresii propozitionale, precum si metodele care permitrealizarea acestui studiu.

In studiul propozitiilor sau al expresiilor propozitionale, logica matematica esteinteresata numai de valoarea logica.

R. Descartes, prin ıncercarea de a forma o stiinta matematica generala, a stim-ulat cercetarile logice ın directia simbolismului matematic, lucru realizat partial deG. Leibniz.

La jumatatea secolului al 19-lea, George Boole si Augustus De Morgan au in-trodus metodele matematice ın logica, creand logica matematica. Calculul logical lui G. Boole este bivalent si se face dupa regulile din algebra; el sta la bazacalculatoarelor actuale.

Contributii ulterioare au adus G. Frege, G. Peano, B. Russell si Godel. Primultratat modern de logica matematica, ”Principia Mathematica” a fost scris de B.Russell si A.N. Whitehead, ıntre 1910-1913.

Intr-o etapa ulterioara apare logica polivalenta (cu mai multe valori de adevar),prin lucrarile lui J. ÃLukasiewicz si L.E. Post, apoi ale lui C.C. Chang. In taranoastra, cercetarile de logica matematica au fost initiate de Gr. C. Moisil ın 1933si cunosc ın prezent o mare dezvoltare.

Aplicatiile logicii matematice se regasesc la teoria algebrica a automatelor, laprogramarea automata, la programarea logica, la bazele de date relationale, ıninteligenta artificiala. Cercetarile contemporane tind sa extinda considerabil sferaaplicatiilor (logica fuzzy se aplica ın economie, de exemplu).

In paralel cu logica matematica, si ın stransa legatura cu ea, s-a dezvoltat alge-bra logicii matematice (teoria algebrelor Boole, teoria algebrelor MV, a algebrelorÃLukasiewicz-Moisil, etc.), care constituie ın prezent un capitol separat din algebra.

In aceasta lucrare sunt prezentate logica clasica, cu doua valori de adevar, simodelul ei algebric, algebra Boole. Algebrele logicilor cu mai multe valori suntprezentate in [29].

Lucrarea se adreseaza studentilor facultatilor de matematica informatica si in-formatica economica, dar si unui public mai larg.

Bucuresti, Septembrie 2009

Autorii

Page 7: Draft de carte (din 2009)

Contents

1 Calculul propozitiilor (Prez. neformalizata) 111.1 Propozitiile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Valorea de adevar a unei propozitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Calculul predicatelor (Prez. neformalizata) 232.1 Predicatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Valoarea de adevar a unui predicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Latici 333.1 Multimi (pre)ordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Principiul dualitatii. Diagrama Hasse . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Reprezentarea unei relatii binare pe o multime finita prin

matrice booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3 Prim (ultim) element, minorant (majorant), infimum (supre-

mum). Axioma lui Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Latici Ore si latici Dedekind. Echivalenta lor . . . . . . . . . 383.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Latici distributive. Latici marginite complementate . . . . . . 44

4 Algebre Boole 494.1 Algebre Boole: definitie, exemple, proprietati . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1 Definitia algebrei Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.2 Exemple de algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.3 Proprietati ale algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.4 Implicatia si echivalenta booleana . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 O definitie echivalenta a algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.1 Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4) . . . . . . . . . . . 564.2.2 Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7) . . . . . . . . . . . 574.2.3 Aplicatiile α si β sunt mutual inverse . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Inel Boole. Echivalenta cu algebra Boole . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Subalgebre, homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Filtre (ideale) si congruente. Algebre Boole cat . . . . . . . . . . . . 70

7

Page 8: Draft de carte (din 2009)

8 CONTENTS

4.5.1 Filtre (ideale) si sisteme deductive . . . . . . . . . . . . . . . 704.5.2 Congruente. Corespondenta filtre - congruente . . . . . . . . 714.5.3 Algebra Boole cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.4 Filtru generat de o multime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6 Teorema de reprezentare a lui Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.7 Algebre Boole atomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.8 Dualitatea algebrelor Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.9 Algebre Boole injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.10 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10.1 Multimi fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Multimi 955.1 Conceptele fundamentale ale teoriei multimilor: clasa si apartenenta;

multimea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Relatia de incluziune si relatia de egalitate ıntre clase (multimi) . . 98

5.2.1 Relatia de incluziune ıntre clase (multimi) . . . . . . . . . . . 985.2.2 Relatia de egalitate ıntre clase (multimi) . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Operatii cu multimi. Algebra Boole a multimilor . . . . . . . . . . . 1005.3.1 Reuniunea si intersectia a doua multimi. Complementara

unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.3.2 Generalizare: reuniunea si intersectia a n multimi . . . . . . 1035.3.3 Generalizare: reuniunea si intersectia unei familii de multimi 1045.3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Relatii 1076.1 Produs cartezian a doua multimi. Relatii binare . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 Produs cartezian a doua multimi . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1.2 Relatii binare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 Generalizare: Produs cartezian a n multimi (n ≥ 2). Relatii n-are . . 1096.2.1 Produs cartezian a n multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2.2 Relatii n-are (n ≥ 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Operatii cu relatii. Algebra Boole a relatiilor . . . . . . . . . . . . . 1116.3.1 Disjunctia, conjunctia si negatia unei relatii binare . . . . . . 1116.3.2 Implicatia si echivalenta relatiilor binare . . . . . . . . . . . . 1126.3.3 Algebra Boole a relatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4 Algebra relationala a relatiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4.1 Compunerea si inversarea relatiilor binare . . . . . . . . . . . 114

6.5 Baze de date relationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5.1 Reprezentarea relatiilor. Definitii . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5.2 Limbajele de prelucrare a datelor . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Page 9: Draft de carte (din 2009)

CONTENTS 9

7 Sistemul formal al calculului propozitional (L) 1217.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.2 Sintaxa si algebra calculului propozitional . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.2.1 Proprietati sintactice ale lui L . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.2.2 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 1 . . . . . . . . . . . . 1417.2.3 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 2 . . . . . . . . . . . . 1457.2.4 Prealgebre Boole. Algebrele Boole ca prealgebre Boole cat . . 149

7.3 Semantica calculului propozitional L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3.1 Multimi consistente. Teorema de completitudine extinsa (tare)159

7.4 Teorema de completitudine versus Teorema lui Stone . . . . . . . . . 1637.5 Exemple de deductii formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8 Sistemul formal al calculului cu predicate 1758.1 Structuri si limbaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2 Semantica calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3 Exemple de enunturi universal adevarate . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.4 Sintaxa calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.5 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului cu predicate . . . . . . . . 208

8.5.1 Algebre Boole monadice. Algebre Boole cilindrice . . . . . . . 2118.6 Teorema de completitudine. Modele Henkin . . . . . . . . . . . . . . 2138.7 Cum se stabileste daca o formula este teorema formala . . . . . . . . 223

9 Dimensiunea probabilista a logicii clasice 2279.1 Probabilitati pe algebre Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.1.1 Evenimente si probabilitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.1.2 Proprietati ale probabilitatilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.1.3 σ-algebre si σ-probabilitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.1.4 Teorema lui Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.1.5 Teorema Horn-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

9.2 Modele probabiliste ale calculului cu predicate . . . . . . . . . . . . 2449.2.1 Structuri probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2449.2.2 Teorema de completitudine a lui Gaifman . . . . . . . . . . . 2499.2.3 Catre o teorie a modelelor probabiliste . . . . . . . . . . . . . 251

Page 10: Draft de carte (din 2009)

10 CONTENTS

Page 11: Draft de carte (din 2009)

Chapter 1

Calculul propozitiilor(Prezentare neformalizata)

Vom face aici o prezentare neformalizata a calculului propozitiilor clasic (biva-lent), prezentarea formalizata fiind facuta mai tarziu. Se spune, echivalent, Calcululpropozitiilor (propozitional) sau Logica propozitiilor.

In calculul propozitiilor se studiaza propozitiile (=propozitii ınchise) din punctulde vedere al adevarului sau falsitatii lor, neluandu-se ın seama continutul lor.

1.1 Propozitiile

Definitie 1.1.1 Un enunt este un text lingvistic care se refera la un anumit dome-niu U , numit univers al discursului si exprima o proprietate a unui obiect ( sau aunui grup de obiecte) din universul respectiv.

Subiectul (subiectele) enuntului exprima obiectul (obiectele).Partea predicativa a enuntului exprima proprietatea.

Definitie 1.1.2 Propozitia este enuntul cu sens, ın care toate subiectele sunt de-terminate.

Vom nota propozitiile cu p, q, r, s, t, . . ..Vom nota cu P0 multimea propozitiilor initiale, date, primitive. Din propozitiile

date ın P0 se construiesc propozitii noi, compuse, cu ajutorul operatorilor logici,propozitionali (= conectorilor logici, propozitionali): ¬, ∨, ∧, →, ↔. Astfel,pentru p, q propozitii, avem urmatoarele definitii.

Definitie 1.1.3 Se numeste negatia propozitiei p, si se noteaza : ¬p (se citeste”non p”), propozitia care afirma proprietatea contrara celei exprimate de p si carese construieste lingvistic din p prin intercalarea particulei negative ”nu” ın fatapartii predicative a lui p.

11

Page 12: Draft de carte (din 2009)

12CHAPTER 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

Definitie 1.1.4 Se numeste disjunctia propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p ∨ q (se citeste ”p sau q”), propozitia care afirma ca cel putin una dinproprietatile exprimate de p si q are loc si care se construieste lingvistic alaturandtextele celor doua propozitii ın ordinea (p, q) si intercaland ıntre ele particuladisjunctiva ”sau”.

Definitie 1.1.5 Se numeste conjunctia propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p∧q (se citeste ”p si q”), propozitia care afirma ca fiecare din proprietatileexprimate de p si q are loc si care se construieste lingvistic alaturand textele celordoua propozitii ın ordinea (p, q) si intercaland ıntre ele particula conjunctiva”si”.

Definitie 1.1.6 Se numeste implicatia propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p → q (se citeste ”p implica q” sau ”daca p atunci q”), propozitia: ¬p∨q.

Definitie 1.1.7 Se numeste echivalenta propozitiilor p, q (ın aceasta ordine), si senoteaza: p ↔ q (se citeste ”p echivalent cu q” sau ” p daca si numai daca q”),propozitia: (p → q) ∧ (q → p). Deci, echivalenta este conjunctia a doua implicatiide sens contrar.

Observatii 1.1.81) Implicatia si echivalenta se definesc cu ajutorul operatorilor propozitionali

¬, ∨, ∧.2) Operatorii propozitionali afecteaza partea predicativa a enunturilor, nu si

subiectul (subiectele).3) Obiectul de studiu al calculului propozitiilor este multimea P a tuturor

propozitiilor, care se obtin plecand de la propozitiile din P0 si aplicand repetat,ın toate modurile posibile, conectorii logici ¬, ∨, ∧, →, ↔. Mai exact spus,multimea P se defineste prin recurenta astfel:(R1) Daca p ∈ P0, atunci p ∈ P .(R2) Daca p, q ∈ P , atunci ¬p, p ∨ q, p ∧ q, p → q, p ↔ q ∈ P .(R3) Orice propozitie p ∈ P se obtine aplicand regulile (R1) si (R2) de un numarfinit de ori.

4) Daca p, q sunt propozitii ın sensul logicii matematice, atunci p∨ q, p∧ q etc.sunt propozitii ın sensul logicii matematice, dar din punctul de vedere al gramaticiinu sunt propozitii, ci fraze. Deci, notiunea de propozitie cu care lucreaza calcululpropozitiilor este diferita de notiunea de propozitie din gramatica.

1.2 Valorea de adevar a unei propozitii

Logica (clasica a) propozitiilor este bivalenta, adica studiaza doar propozitiile caresunt fie adevarate, fie false, adica care au cele doua valori de adevar extreme:”adevarat” si ”fals”.

Page 13: Draft de carte (din 2009)

1.2. VALOREA DE ADEVAR A UNEI PROPOZITII 13

Observatii 1.2.11) Ipoteza este ca fiecare propozitie are o valoare de adevar. Este clar ca

propozitiile interogative (”Ce mai faci ? etc. ), cele exclamative (”Ce frumoseste afara!” etc.) precum si cele imperative (”Fii atent!” etc.) nu au valoare deadevar. Deci, doar propozitiile declarative fac obiectul studiului logiciimatematice, sunt propozitii ın sensul calculului propozitiilor.

2) Problema determinarii valorilor de adevar ale propozitiilor din multimea P0

data la ınceput nu apartine logicii matematice. De exemplu, daca o propozitiep ∈ P0 este din domeniul chimiei, atunci stabilirea valorii de adevar a propozitiei peste o problema a chimiei etc.

Nu se presupune ca am cunoaste efectiv valorile de adevar ale tuturor propozitiilordin P0.

Definitie 1.2.2 O propozitie este adevarata daca si numai daca starea de faptdescrisa de propozitie are loc.

Stabilirea adevarului unei propozitii se poate face si in raport cu adevarul altorpropozitii.

Sa definim acum valorile de adevar ale propozitiilor compuse ¬p, p∨q, p∧q, p →q, p ↔ q ın functie de valorile de adevar ale propozitiilor componente, p si q.

Definitie 1.2.3 Propozitia ¬p este adevarata daca si numai daca propozitia p estefalsa. Rezulta ca propozitia ¬p este falsa daca si numai daca propozitia p esteadevarata.

Definitie 1.2.4 Propozitia p∨q este adevarata daca si numai daca cel putin unadin propozitiile p, q este adevarata. Rezulta ca p ∨ q este falsa daca si numai dacaambele propozitii p, q sunt false.

Definitie 1.2.5 Propozitia p∧q este adevarata daca si numai daca ambele propozitiip, q sunt adevarate. Rezulta ca p ∧ q este falsa daca si numai daca cel putin unadin propozitiile p, q este falsa.

Pentru orice propozitie p ∈ P0, sa asociem 1 valorii de adevar ”adevarat” si 0valorii de adevar ”fals”, adica sa definim functia de adevar (de evaluare)

v0 : P0 −→ {0, 1}astfel: pentru orice p ∈ P0,

v0(p) ={

1, daca p este adevarata,0, daca p este falsa.

Functia de adevar v0 : P0 −→ {0, 1} se extinde (prelungeste) ın mod unic lafunctia de adevar v : P −→ {0, 1} astfel: pentru orice p, q ∈ P ,

v(¬p) ={

1, v(p) = 0,0, v(p) = 1,

Page 14: Draft de carte (din 2009)

14CHAPTER 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

v(p ∨ q) ={

1, v(p) = 1 sau v(q) = 1,0, v(p) = 0 si v(q) = 0,

v(p ∧ q) ={

1, v(p) = 1 si v(q) = 1,0, v(p) = 0 sau v(q) = 0.

Deducem ca

v(p → q) = v(¬p∨q) ={

1, v(¬p) = 1 sau v(q) = 1,0, v(¬p) = 0 si v(q) = 0.

={

1, v(p) = 0 sau v(q) = 1,0, v(p) = 1 si v(q) = 0,

si

v(p ↔ q) = v((p → q) ∧ (q → p)) ={

1, v(p → q) = 1 si v(q → p) = 1,0, v(p → q) = 0 sau v(q → p) = 0.

={

1, [v(p) = 0 si v(q) = 0] sau [v(p) = 1 si v(q) = 1],0, [v(p) = 1 si v(q) = 0] sau [v(p) = 0 si v(q) = 1].

Obtinem atunci urmatoarele tabele de adevar:

(1)v(p) v(¬p)0 11 0

(2)

v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p → q) v(p ↔ q)0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1

sau urmatoarele matrici de adevar:

v(p ∨ q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 0 1v(p)=1 1 1

v(p ∧ q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 0 0v(p)=1 0 1

v(p → q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 1 1v(p)=1 0 1

v(p ↔ q) v(q)=0 v(q)=1v(p)=0 1 0v(p)=1 0 1

Page 15: Draft de carte (din 2009)

1.2. VALOREA DE ADEVAR A UNEI PROPOZITII 15

Observatie 1.2.6 Dintr-o premiza (ipoteza) falsa, p, se poate obtine o concluzie,q, adevarata sau falsa, implicatia fiind adevarata. Deci, atentie la ipoteze.

Rezulta ca fiecarei propozitii p ∈ P ıi asociem o valoare de adevar v(p) ∈ {0, 1}dupa urmatoarele reguli:

1) Daca p ∈ P0, atunci v(p) = v0(p),2) Daca p, q ∈ P si am asociat propozitiilor p, q valorile de adevar v(p), v(q),

atunci asociem propozitiilor ¬p, p ∨ q, p ∧ q, p → q, p ↔ q valorile de adevarv(¬p), v(p∨ q), v(p∧ q), v(p → q), v(p ↔ q) date de tabelele sau matricile de maisus.

Sa definim pe multimea L2 = {0, 1} ⊆ < operatia unara ¬L2 si operatiilebinare ∨L2 , ∧L2 ,→L2 , ↔L2 astfel: pentru orice x, y ∈ L2,

¬L2xdef.= 1− x, , x ∨L2 y

def= max(x, y), x ∧L2 y

def.= min(x, y),

and

x →L2 ydef.= (¬L2x) ∨L2 y, x ↔L2 y

def.= (x →L2 y) ∧L2 (y →L2 x).

Deducem urmatoarele tabele de valori:

(3)x ¬L2x0 11 0

(4)

x y x ∨L2 y x ∧L2 y x →L2 y x ↔L2 y0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 01 0 1 0 0 01 1 1 1 1 1

Din tabelele (1), (2) si (3), (4), se vede ca functia v : P −→ L2 este un homo-morfism (adica pentru orice p, q ∈ P , v(¬p) = ¬L2v(p), v(p ∨ q) = v(p) ∨L2 v(q),si v(p ∧ q) = v(p) ∧L2 v(q); rezulta ca v(p → q) = v(p) →L2 v(q) si v(p ↔ q) =v(p) ↔L2 v(q)). Se observa ca v este surjectiv, dar nu este injectiv.

Propozitia 1.2.7 Structura L2 = (L2 = {0, 1},∨L2 ,∧L2 ,¬L2 , 0, 1) este o algebraBoole cu doua elemente, numita algebra Boole canonica.

Dem. Rutina. 2

Definitie 1.2.8O propozitie compusa p ∈ P care este adevarata independent de valorile de

adevar ale propozitiilor componente se numeste propozitie universal adevarata sautautologie.

O propozitie compusa p ∈ P care este falsa independent de valorile de adevarale propozitiilor componente se numeste contradictie sau antilogie.

Page 16: Draft de carte (din 2009)

16CHAPTER 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

Se observa ca o propozitie p ∈ P0 nu poate fi tautologie sau antilogie, caci nu estecompusa.

Exemplu 1.2.9 Exemplu de antilogie Pentru orice p ∈ P ,

p ∧ ¬p Principiul contradictiei.

Exemple 1.2.10 Exemple de tautologii Vom grupa unele exemple ın grupe sausisteme de tautologii, notate A1, A2, A3, A4, A5, sisteme corespunzatoare celormai utilizate sisteme de axiome ale sistemului formal al calculului propozitiilor.

Sa notam cu O propozitia p ∧ ¬p si cu I propozitia p ∨ ¬p, pentru orice p ∈ P .Atunci

• Sistemul A1 (∨,∧,¬,↔, O, I):(P1) p ∨ p ↔ p, p ∧ p ↔ p (idempotenta lui ∨, ∧),(P2) p ∨ q ↔ q ∨ p, p ∧ q ↔ q ∧ p, (comutativitatea lui ∨, ∧),(P3) p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r, p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r, (asociativitatea lui

∨, ∧),(P4) p ∨ (p ∧ q) ↔ p, p ∧ (p ∨ q) ↔ p, (absorbtia),(P5) p∨(q∧r) ↔ (p∨y)∧(p∨r), p∧(q∨r) ↔ (p∧y)∨(p∧r), (distributivitatea

lui ∨ fata de ∧ si invers),(P6) p∨ O ↔ p, p∧ I ↔ p,(P7) p ∨ ¬p, adica I (Principiul tertului exclus), ¬(p ∧ ¬p) adica ¬O (Prin-

cipiul contradictiei).

• Sistemul A2 (→,¬):(G1) p → (q → p),(G2) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)],(G3) (¬q → ¬p) → (p → q).

• Sistemul A3 (→,¬,∨,∧):(G1) p → (q → p),(G2) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)],(G3) (¬q → ¬p) → (p → q),(T4) p ∧ q → p,(T5) p ∧ q → q,(T6) p → p ∨ q,(T7) q → p ∨ q,(T8) (r → p) → [(r → q) → (r → (p ∧ q))],(T9) (p → r) → [(q → r) → ((p ∨ q) → r)].

• Sistemul A4 (→,∨):

Page 17: Draft de carte (din 2009)

1.2. VALOREA DE ADEVAR A UNEI PROPOZITII 17

(S1) (p ∨ p) → p,(S2) p → (p ∨ q),(S3) p ∨ q → q ∨ p,(S4) (p → q) → [(r ∨ p) → (r ∨ q)].

• Sistemul A5 (→, O):(V1) p → (q → p),(V2) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)],(V3) [(p →O) → O] → p.

Alte tautologii remarcabile sunt urmatoarele:(P8) ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q, ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q (Legile De Morgan),(P9) ¬¬p ↔ p (Principiul dublei negatii),(P10) (p → q) ↔ [(¬p ∨ q) ↔ (p ∨ ¬p)], (p → q) ↔ [(p ∧ ¬q) ↔ (p ∧ ¬p)],(P11) p ↔ p,(P12) [(p ∧ ¬q) → ¬p] ↔ (p → q), [(p ∧ ¬q) → q] ↔ (p → q) (doua din

schemele reducerii la absurd),(P13) (p → q) ↔ (¬q → ¬p) (se foloseste ın demonstratii),(P14) ¬(p → q) ↔ p ∧ ¬q (arata cum se neaga p → q),(P15) p ∧ (p → q) ↔ p ∧ q,(P16) [p → (p ∧ q)] ↔ (p → q),(P17) [(p → q) → q] ↔ p ∨ q,(P18) [p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r] (sta la baza Teoremei deductiei),(P19) p → (q → p),(P20) [(p → q) → r] → [p → (q → r)],(P21) [(p → q) → (p → r)] ↔ [p → (q → r)],(P22) (p → q) → [(r → p) → (r → q)],(P23) [p ∧ (p → q)] → q (Modus ponens).

In general, aflam daca o propozitie compusa oarecare p ∈ P este tautologie saunu cu ajutorul urmatorului algoritm:Daca propozitia p ∈ P se descompune ın propozitiile componente p1, p2, . . . , pn ∈P0, atunci vectorul (v(p1), v(p2), . . . , v(pn)) ∈ {0, 1}×{0, 1}× . . .×{0, 1} = {0, 1}n.Multimea {0, 1}n are 2n elemente. Parcurgem atunci un ciclu care genereaza cele2n elemente (vectori); pentru fiecare element (a1, a2, . . . , an) ∈ {0, 1}n calculamv(p) folosind valorile v(pi) = ai, i = 1, . . . , n si:- daca pentru un anumit element (a1, a2, . . . , an) ∈ {0, 1}n obtinem v(p) = 0, atunciciclul se opreste, cu raspunsul ”p nu este tautologie”;- daca ciclul se termina, adica daca pentru toate cele 2n elemente din {0, 1}n

obtinem v(p) = 1, atunci raspunsul este ”p este tautologie”.Daca ın algoritmul prezentat continuam sa calculam v(p) si dupa ce ıntalnim

valoarea 0, deci daca ducem ciclul pana la capat, atunci realizam tabela de adevara propozitiei date p.

Page 18: Draft de carte (din 2009)

18CHAPTER 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

Faptul ca se poate stabili algoritmic daca o propozitie oarecare este tautologiesau nu constituie o proprietate importanta, care se enunta sub forma: calcululpropozitiilor este decidabil.

Tabelele de adevar, sau matricile de adevar, constituie deci o modalitate algo-ritmica de a determina valoarea de adevar a unei propozitii compuse. Mai existasi alte modalitati, nealgoritmice, si anume bazate pe proprietati deja stabilite alealtor propozitii.

Sa definim pe multimea P o relatie binara ∼ astfel: pentru orice p, q ∈ P ,

p ∼ q daca si numai daca p ↔ q este tautologie,

deci daca si numai daca v(p ↔ q) = 1 ıntotdeauna. Vom nota astfel:

p ∼ qdef⇔ p ↔ q este tautologie, sau

p ∼ qdef⇔ v(p ↔ q) = 1.

Atunci sunt adevarate urmatoarele doua Propozitii.

Propozitia 1.2.11 Relatia ∼ este o relatie de echivalenta pe P .

Dem.(i) ∼ este reflexiva, adica pentru orice p ∈ P , p ∼ p. Intr-adevar, fie p ∈ P ,

propozitie fixata, altfel arbitrara; p ∼ pdef⇔ p ↔ p este tautologie, ceea ce este

adevarat, conform (P11). Conform Principiului Generalizarii , (PG) pe scurt,rezulta ca pentru orice p ∈ P , p ∼ p; deci (i) are loc.

(ii) ∼ este simetrica, adica pentru orice p, q ∈ P , p ∼ q implica q ∼ p. Intr-

adevar, fie p, q ∈ P propozitii fixate, altfel arbitrare; p ∼ qdef⇔ v(p ↔ q) = 1; atunci

v(q ↔ p) = 1, adica q ∼ p, deci p ∼ q implica q ∼ p. Conform (PG), pentru oricep, q ∈ P , p ∼ q implica q ∼ p, deci (ii) are loc.

(iii) ∼ este tranzitiva, adica pentru orice p, q, r ∈ P , p ∼ q si q ∼ r implicap ∼ r. Intr-adevar, fie p, q, r ∈ P propozitii fixate, altfel arbitrare; (p ∼ q si

q ∼ r)def⇔ (v(p ↔ q) = 1 si v(q ↔ r) = 1); atunci

v(p) v(q) v(p ↔ q)0 0 11 1 1

v(q) v(r) v(q ↔ r)0 0 11 1 1

Atunci obtinem:

Page 19: Draft de carte (din 2009)

1.2. VALOREA DE ADEVAR A UNEI PROPOZITII 19

v(p) v(r) v(p ↔ r)0 0 11 1 1

deci v(p ↔ r) = 1, adica p ∼ r, deci p ∼ q si q ∼ r implica p ∼ r. Conform (PG),pentru orice p, q, r ∈ P , p ∼ q si q ∼ r implica p ∼ r, deci (iii) are loc. 2

Propozitia 1.2.12 Pentru orice p, q, p′, q′ ∈ P , avem proprietatile:1) daca p ∼ q atunci ¬p ∼ ¬q,2) daca p ∼ p′ si q ∼ q′, atunci (p ∨ q) ∼ (p′ ∨ q′) si (p ∧ q) ∼ (p′ ∧ q′),3) (p ∨ ¬p) ∼ (q ∨ ¬q) si (p ∧ ¬p) ∼ (q ∧ ¬q).

Dem.1) Fie p, q ∈ P , fixate, altfel arbitrare; p ∼ q

def⇔ v(p ↔ q) = 1; atunci avem:

v(p) v(q) v(p ↔ q) v(¬p) v(¬q) v(¬p ↔ ¬q)0 0 1 1 1 11 1 1 0 0 1

adica ¬p ∼ ¬q. Rezulta, conform (PG), ca pentru orice p, q ∈ P , daca p ∼ q,atunci ¬p ∼ ¬q.

2) Fie p, q, p′, q′ ∈ P , fixate, altfel arbitrare; (p ∼ p′ si q ∼ q′)def⇔ (v(p ↔ p′) = 1

si v(q ↔ q′) = 1), adica:

v(p) v(p′) v(p ↔ p′)0 0 11 1 1

siv(q) v(q′) v(q ↔ q′)0 0 11 1 1

de unde obtinem:

v(p) v(p′) v(q) v(q′) v(p ∨ q) v(p′ ∨ q′) v((p ∨ q) ↔ (p′ ∨ q′))0 0 0 0 0 0 10 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1

adica p ∨ q ∼ p′ ∨ q′. Rezulta, conform (PG), ca pentru orice p, q, p′, q′ ∈ P ,daca p ∼ p′ si q ∼ q′, atunci (p ∨ q) ∼ (p′ ∨ q′). Analog se demonstreaza ca(p ∧ q) ∼ (p′ ∧ q′).

3) Fie p, q ∈ P , fixate, altfel arbitrare; p ∨ ¬p ∼ q ∨ ¬qdef⇔ v((p ∨ ¬p) ↔

(q ∨ ¬q)) = 1; atunci avem:

Page 20: Draft de carte (din 2009)

20CHAPTER 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

v(p) v(q) v(¬p) v(¬q) v(p ∨ ¬p) v(q ∨ ¬q) v((p ∨ ¬p) ↔ (q ∨ ¬q))0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1

adica p ∨ ¬p ∼ q ∨ ¬q. Rezulta, conform (PG), ca pentru orice p, q ∈ P , p ∨ ¬p ∼q ∨ ¬q. Restul se demonstreaza la fel. 2

Observatii 1.2.13 1) Propozitia 1.2.12 spune ca relatia∼ este o relatie de congruentape (P,∨,∧,¬).

2) In mod uzual, relatia ∼ se mai noteaza ⇔.

Deoarece ∼ este o relatie de echivalenta pe P , sa formam clasele de echivalenta;vom nota cu

_p clasa lui p, pentru orice p ∈ P , i.e.

_p= {q ∈ P | q ∼ p}.

Lema 1.2.14_p=

_q⇐⇒ p ∼ q.

Dem.=⇒:

_p=

_q implica p ∈_

q , deci p ∼ q.⇐=: p ∼ q implica

_p⊆_

q si_q⊆_

p , adica_p=

_q . Intr-adevar,

_p⊆_

q ınseamna capentru orice r, r ∈_

p→ r ∈_q . Fie r cu r ∈_

p ; deci, r ∼ p; dar p ∼ q; rezulta r ∼ q,adica r ∈_

q . 2

Fie P/∼ = {_p | p ∈ P}. Atunci sa definim pe P/∼ doua operatii binare,

∨si∧

, o operatie unara, NEG astfel: pentru orice_p ,

_q∈ P/∼,

_p

∨ _q def.

=_

p ∨ q,

_p

∧ _q def.

=_

p ∧ q,

NEG_p def.

=_¬p .

Aceste trei operatii sunt bine definite (adica nu depind de reprezentantii alesi aiclaselor), conform Propozitiei 1.2.12(1),(2). Sa consideram, de asemenea, urmatoareleelemente remarcabile din P/∼ (conform Propozitiei 1.2.12(3)):

_

Idef.= {p ∨ ¬p | p ∈ P}

si_

Odef.= {p ∧ ¬p | p ∈ P}.

Obtinem atunci urmatoarea

Page 21: Draft de carte (din 2009)

1.2. VALOREA DE ADEVAR A UNEI PROPOZITII 21

Teorema 1.2.15 Structura (P/∼,∨

,∧

, NEG,_

O,_

I ) este o algebra Boole.

Dem. Trebuie sa demonstram ca, pentru orice_p ,

_q ,

_r∈ P/∼:

(B1)_p

∨ _p=

_p ,

_p

∧ _p=

_p ,

(B2)_p

∨ _q =

_q

∨ _p ,

_p

∧ _q =

_q

∧ _p ,

(B3)_p

∨(_q

∨ _r ) = (

_p

∨ _q )

∨ _r ,

_p

∧(_q

∧ _r ) = (

_p

∧ _q )

∧ _r ,

(B4)_p

∨(_p

∧ _q ) =

_p ,

_p

∧(_p

∨ _q ) =

_p ,

(B5)_p

∨(_q

∧ _r ) = (

_p

∨ _q )

∧(_p

∨ _r ),

_p

∧(_q

∨ _r ) = (

_p

∧ _q )

∨(_p

∧ _r

),(B6)

_p

∨ _

O=_p ,

_p

∧ _

I =_p ,

(B7)_p

∨NEG

_p=

_

I ,_p

∧NEG

_p=

_

O.Vom demonstra prima egalitate din (B1):

_p

∨ _p=

_p

def∨

⇔ _p ∨ p=

_p egal. claselor⇔ p ∨ p ∼ p

def.∼⇔ (p ∨ p) ↔ p este o tautologie,

ceea ce este adevarat, conform primei tautologii (P1) din sistemul A1 de tautologii.Restul proprietatilor se demonstreaza folosind, similar, restul tautologiilor din

A1. 2

Daca ın algebra Boole P/∼ consideram submultimea P2 = {_

O,_

I }, atunci struc-tura

(P2,∨

,∧

, NEG,_

O,_

I )

este o subalgebra a algebrei Boole P/∼, deci este la randul ei o algebra Boole, sianume o algebra Boole cu doua elemente (deci izomorfa cu algebra Boole canonica,L2).

Daca facem asocierile:_

O - FALSE,_

I - TRUE,∨

- OR,∧

- AND, NEG -NOT , atunci obtinem algebra Boole cu doua elemente,

(P ′2 = {FALSE, TRUE}, OR,AND, NOT, FALSE, TRUE),

care este implementata ın limbajul PASCAL prin tipul de date BOOLEAN.

Observatii 1.2.161) Am facut o prezentare semantica, neformalizata, a calculului propozitiilor.2) Orice limba este constituita dintr-un vocabular, o gramatica si totalitatea

frazelor posibile ale limbii, construite pe baza vocabularului, cu respectarea regulilorgramaticale.

Prin analogie, vorbim de limbajul calculului propozitiilor, al carui vocabular esteformat din elementele multimii P0, din conectorii logici (∨, ∧, ¬, →, ↔) si dinparantezele rotunde stanga si dreapta, (, ), gramatica fiind data de regulile (R1) -(R3), iar rolul frazelor este jucat de propozitiile din P .

3) Semnul ∼ nu face parte din limbajul calculului propozitiilor, iar afirmatiilede forma: p ∼ q, p ∼ (q ∨ r) sunt afirmatii despre limbajul calculului propozitiilor;spunem ca aceste afirmatii fac parte din meta-limbajul calculului propozitiilor.

Page 22: Draft de carte (din 2009)

22CHAPTER 1. CALCULUL PROPOZITIILOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

Afirmatiile de forma: ”daca p ∼ q atunci ¬p ∼ ¬q” , ”daca p ∼ p′ si q ∼ q′,atunci (p∨q) ∼ (p′∨q′)” sunt afirmatii despre metalimbajul calculului propozitiilor;spunem ca ele fac parte meta-meta-limbajul calculului propozitiilor; deci, este gresitsa notam cuvintele ”daca ... atunci” cu semnul → din limbaj.

Page 23: Draft de carte (din 2009)

Chapter 2

Calculul predicatelor(Prezentare neformalizata)

Calculul predicatelor este o extensie a calculului propozitiilor. In calculul predi-catelor (logica predicatelor) se studiaza, ın afara propozitiilor, predicatele (= functiipropozitionale = propozitii variabile = propozitii deschise).

2.1 Predicatele

Definitie 2.1.1 Predicatul este enuntul cu sens care are printre subiectele sale celputin unul care este nedeterminat. Un subiect nedeterminat se numeste variabilalibera.

Predicatele se noteaza astfel:- cu P (x), daca este un predicat unar (monadic) (= cu un loc liber); x este

variabila libera.- cu P (x, y), daca este binar (= cu 2 locuri libere), cu P (x, y, z), daca este

ternar(= cu 3 locuri libere), ..., cu P (x1, x2, . . . , xn), daca este n-ar (= cu n locurilibere); daca un predicat nu este monadic, se zice ca este poliadic. x1, x2, . . . , xn

sunt variabile libere.

Exemple 2.1.2 1) Enunturile ”Socrate este muritor”, ”Platon este muritor” suntpropozitii, adevarate, iar enuntul ”x este muritor” este un predicat unar, pe care-lvom nota cu ”muritor(x)” sau cu P (x).

2) Enunturile ”3 < 5”, ”10 < 5” sunt propozitii, prima adevarata, a doua falsa,iar enuntul ”n < 5” este un predicat unar, pe care-l vom nota Q(n).

3) Enunturile ”2 ≤ 3”, ”5 ≤ 1” sunt propozitii, prima adevarata, a doua falsa,iar enuntul ”x ≤ y” este un predicat binar, pe care-l vom nota cu F (x, y).

23

Page 24: Draft de carte (din 2009)

24CHAPTER 2. CALCULUL PREDICATELOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

Observatii 2.1.31) Daca P este un predicat care contine, de exemplu, trei variabile libere, atunci

in functie de situatie, putem pune ın evidenta una, doua sau toate trei variabilele,sau chiar niciuna, ın care caz se scrie respectiv:

P (x), P (x, y), P (x, y, z), P.

2) Propozitiile pot fi considerate cazuri particulare (limita) de predicate sianume: predicate cu 0 locuri.

3) Daca ıntr-un predicat n-ar (n ≥ 1) ınlocuim toate cele n variabile libere(= subiecte nedeterminate) cu subiecte determinate(=obiecte), atunci obtinem opropozitie. Deci, ınlocuirea (=substitutia, fixarea) tuturor variabilelor libere aleunui predicat este o modalitate de trecere de la predicate la propozitii. Vom vedeaca mai exista o modalitate: cuantificarea.

4) Locul variabilelor libere nu este indiferent. De exemplu, daca P (x, y) ≡ ”x >y”, atunci P (x, y) 6↔ P (y, x).

Multimea (multimile) de obiecte (domeniul) a (ale) unui predicat

Definitie 2.1.4 Fie P (x) un predicat unar. Vom spune ca variabila libera x iavalori ın multimea D de obiecte din universul de discurs U si vom nota: x ∈ D,daca pentru orice obiect a ∈ D, P (a) este o propozitie cu sens, adevarata sau falsa.

Exemple 2.1.5(1) Daca P (x) ≡”x este muritor”, atunci propozitia ”Socrate este muritor” are

sens si este adevarata, iar propozitia ”Numarul 5 este muritor” nu are sens. Deci,D este multimea oamenilor sau multimea animalelor.

(2) Daca Q(x) ≡ ”n < 5”, atunci propozitia ”10 < 5” are sens si este falsa, iarpropozitia ”Socrate < 5” nu are sens. Deci, D este N sau Q sau <.

Definitie 2.1.6 Fie P (x1, x2, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1).(i) Vom spune ca variabilele libere x1, x2, . . . , xn iau valori ın multimea de

obiecte D din universul de discurs U(sau, echivalent, ca tuplul de variabile libere (x1, x2, . . . , xn) ia valori ın produsulcartezian D ×D × . . .×D = Dn, generat de multimea de obiecte D)si vom nota aceasta cu: xi ∈ D, i = 1, n(sau, echivalent, cu (x1, x2, . . . , xn) ∈ Dn )daca pentru orice obiecte ai ∈ D, i = 1, n(sau, echivalent, pentru orice tuplu de obiecte (a1, a2, . . . , an) ∈ Dn)avem ca P (a1, a2, . . . , an) este o propozitie cu sens, adevarata sau falsa. Vom spuneın acest caz ca predicatul P este unisort (cu un singur sort).

(ii) Vom spune ca variabilele libere x1, x2, . . . , xn iau valori respectiv ınmultimile de obiecte D1, D2, . . . , Dn din universul de discurs U(sau, echivalent, ca tuplul de variabile libere (x1, x2, . . . , xn) ia valori ın produsulcartezian D1×D2×. . .×Dn =

∏ni=1 Di, generat de multimile de obiecte D1, D2, . . . , Dn)

Page 25: Draft de carte (din 2009)

2.1. PREDICATELE 25

si vom nota aceasta cu: xi ∈ Di, i = 1, n(sau, echivalent, cu (x1, x2, . . . , xn) ∈ ∏n

i=1 Di )daca pentru orice obiecte ai ∈ Di, i = 1, n(sau, echivalent, pentru orice tuplu de obiecte (a1, a2, . . . , an) ∈ ∏n

i=1 Di)avem ca P (a1, a2, . . . , an) este o propozitie cu sens, adevarata sau falsa. Vom spuneın acest caz ca predicatul P este plurisort (cu mai multe sorturi).

Observatii 2.1.7(1) Multimea de obiecte D (multimile de obiecte D1, D2, . . . , Dn) depinde

(depind) de P :D = DP (D1 = DP

1 , . . . Dn = DPn ).

(2) Semnul ≡ din scrierea: P (x) ≡ ”x este muritor” ınseamna ca P (x) este onotatie pentru ”x este muritor”.

Predicat partial

Definitie 2.1.8 Fie P (x1, x2, x3, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1). Daca fixam(precizam) variabilele x2, x3, . . . , xn ıntr-un mod oarecare (de exemplu, prin ınlocuirealor cu obiectele a2, a3, . . . , an din multimea (multimile) de obiecte a (ale) lui P ),atunci enuntul obtinut, P (x1, a2, a3, . . . , an), este un predicat unar, continand doarvariabila x1, care se numeste predicatul partial ın raport cu x1 obtinut din P prinfixarea variabilelor x2, x3, . . . , xn.

Propozitii complexe (enunturi complexe)

Din predicate date (sau din predicate si propozitii) se construiesc propozitii com-plexe cu ajutorul operatorilor propozitionali (¬,∨,∧,→,↔) si al cuantificatorilor(∀, ∃), si anume:

(1) Fie, pentru ınceput, predicatele unare P (x) si Q(x).

Enunturile ¬P (x), P (x) ∨Q(x), P (x) ∧Q(x), P (x) → Q(x), P (x) ↔ Q(x)se construiesc lingvistic ca ın cazul propozitiilor, operatorii propozitionaliafectand partile predicative, nu si subiectele. Aceste enunturi sunt de aseme-nea predicate.

Enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x) se construiesc lingvistic astfel: se scrie ıntregtextul predicatului (enuntului) P (x) si se adauga ın fata lui textul: ”Oricarear fi x, ”, respectiv textul ”exista (cel putin un )x, astfel ıncat”. Deci, enuntul(∀x)P (x) se citeste: ”Oricare ar fi x, P (x)”, iar enuntul (∃x)P (x) se citeste:”exista x, astfel ıncat P (x)”.

Enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x) nu se mai refera la obiectul nedeterminatx, ci la multimea de obiecte D ın care variabila x ia valori, exprimand oproprietate a lui D, si anume:

”Toate obiectele din D au proprietatea P”,respectiv

Page 26: Draft de carte (din 2009)

26CHAPTER 2. CALCULUL PREDICATELOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

”exista cel putin un obiect ın D care are proprietatea P”.

Observatii 2.1.9

(1) Cuantificatorii lucreaza asupra subiectului (subiectelor) unui enunt.

(2) Prin cuantificarea predicatului unar P (x), numarul locurilor libere dinenuntul astfel obtinut s-a redus la 0. Deci, enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x)sunt propozitii, ın care x se numeste variabila legata. Deci, cuantificareaeste a doua modalitate de trecere de la predicate la propozitii.

(3) Cuantificatorii ∀ si ∃ nu sunt independenti (dupa cum nici ∨ si ∧ nu suntindependenti).

(2) Fie acum P (x, y) si Q(x, y) doua predicate binare (sau unul unar si celalaltbinar).

Constructiile lingvistice ale enunturilor:¬P (x, y), P (x, y) ∨Q(x, y), P (x, y) ∧Q(x, y), P (x, y) → Q(x, y), P (x, y) ↔Q(x, y)sunt evidente. Toate aceste enunturi sunt predicate.

Constructiile lingvistice ale enunturilor:(a) (∀x)P (x, y), (∀y)P (x, y), (∃x)P (x, y), (∃y)P (x, y),(b) (∀x)(∀y)P (x, y), (∀x)(∃y)P (x, y), (∃x)(∀y)P (x, y), (∃x)(∃y)P (x, y),(∀y)(∀x)P (x, y), (∀y)(∃x)P (x, y), (∃y)(∀x)P (x, y), (∃y)(∃x)P (x, y)sunt evidente, cele grupate ın (a) fiind predicate, cele grupate ın (b) fiindpropozitii.

(3) Constructiile propozitiilor complexe ın cazul predicatelor ternare, . . ., n-are segeneralizeaza ıntr-un mod evident.

Observatii 2.1.10(1) Fie P (x1, x2, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1). Prin o cuatificare, numarul

locurilor libere din predicat scade cu o unitate. Deci, enunturile:(∀x1)P (x1, x2, . . . , xn), (∃x1)P (x1, x2, . . . , xn), (∀x2)P (x1, x2, . . . , xn), (∃x2)P (x1, x2, . . . , xn)

s.a.m.d. sunt predicate (n− 1)-are, enunturile:(∀x1)(∀x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∀x1)(∃x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∃x1)(∀x2)P (x1, x2, . . . , xn),(∃x1)(∃x2)P (x1, x2, . . . , xn)s.a.m.d. sunt predicate (n− 2)-are, s.a.m.d., iar enunturile:(∀x1)(∀x2) . . . (∀xn)P (x1, x2, . . . , xn),(∀x1)(∀x2) . . . (∃xn)P (x1, x2, . . . , xn),..........................................................................(∃x1)(∃x2) . . . (∃xn)P (x1, x2, . . . , xn),s.a.m.d. sunt predicate 0-are, adica sunt propozitii.

Page 27: Draft de carte (din 2009)

2.1. PREDICATELE 27

Variabila care apare langa un cuantificator (= aflata ın aria de cuprindere a unuicuantificator) dispare din predicat, nu mai este libera, ci legata. Evident, aceeasivariabila nu poate fi legata de mai multe ori ıntr-un predicat.

(2) Avem deci doua modalitati de trecere de la predicate (= propozitii deschise)la propozitii (= propozitii ınchise), numite si modalitati de ınchidere a unui predi-cat:MOD1 - prin ınlocuirea tuturor variabilelor libere cu obiecte,MOD2 - prin cuantificarea (legarea) tuturor variabilelor libere.

(3) Daca D, multimea de obiecte a unui predicat unar P (x), este finita:

D = {a1, a2, . . . , an},

atunci(∀x)P (x) ↔ (P (a1) ∧ P (a2) ∧ . . . ∧ P (an)),

(∃x)P (x) ↔ (P (a1) ∨ P (a2) ∨ . . . ∨ P (an)),

adica cuantificatorul universal coincide cu o conjunctie, iar cuantificatorulexistential coincide cu o disjunctie.

(4) Rezultatul unei cuantificari nu depinde de notatia (numele) variabilei ınraport cu care se face cuantificarea, adica, de exemplu:(∃x)P (x) ↔ (∃y)P (y) si (∃y)P (x, y, z) ↔ (∃u)P (x, u, z) (este corect),dar(∃x)P (x, y) 6↔ (∃y)P (x, y) si (∃u)P (x, u, z) 6↔ (∃x)P (x, x, z) (gresit).

(5) In cazul unei cuantificari repetate nu putem ınlocui variabila unei cuan-tificari cu o variabila care intervine ın alta cuantificare. Deci,(∀x)(∃y)P (x, y, z) ↔ (∀x)(∃u)P (x, u, z) (este corect),(∀x)(∃y)P (x, y, z) 6↔ (∀x)(∃x)P (x, x, z) (este gresit).

Conventii de scriere

(1) Vom scrie: (∀x)P (x) ın loc de: ∀xP (x) si vom scrie: (∃x)P (x) ın loc de:∃xP (x). Dar scrierea: (∀)xP (x) este gresita, ca si scrierea: (∃)xP (x).

(2) Pentru a usura scrierea unei propozitii complexe, vom presupune urmatoarele:

(i) cuantificatorii (∀, ∃) au prioritate ın fata operatorilor propozitionali(leaga mai tare), ei avand aceeasi prioritate (leaga la fel de tare);

(ii) operatorii propozitionali au prioritatile urmatoare:(I): ¬ (¬ leaga cel mai tare),(II): ∧,(III): ∨,(IV): →,(V): ↔ (↔ leaga cel mai slab).

Page 28: Draft de carte (din 2009)

28CHAPTER 2. CALCULUL PREDICATELOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

2.2 Valoarea de adevar a unui predicat

Un predicat unar, P (x), poate fi adevarat, fals, sau ambivalent. La fel unpredicat n-ar (n > 1).

Definitie 2.2.1 Fie P (x) un predicat unar si D multimea sa de obiecte.Spunem ca P (x) este adevarat daca pentru orice a ∈ D, propozitia P (a) este

adevarata.Spunem ca P (x) este fals daca pentru orice a ∈ D, propozitia P (a) este falsa.Spunem ca P (x) este ambivalent daca exista a ∈ D, astfel ıncat propozitia P (a)

este adevarata si exista b ∈ D, astfel ıncat propozitia P (b) este falsa.

Exemple 2.2.2 Fie D = N si fie predicatele unare urmatoare care au pe D cadomeniu:

(1) P (n) ≡”n ≥ 0” - este un predicat adevarat;(2) P (n) ≡”n < 0” - este un predicat fals;(3) P (n) ≡”n ≥ 5” - este un predicat ambivalent.

Fie P (x) un predicat unar oarecare. Enunturile (∀x)P (x) si (∃x)P (x) suntpropozitii, a caror valoare de adevar se defineste astfel:

Definitie 2.2.3(i) Propozitia (∀x)P (x) este adevarata daca si numai daca predicatul P (x) este

adevarat; propozitia (∀x)P (x) este falsa daca si numai daca predicatul P (x) estefals sau ambivalent.

(ii) Propozitia (∃x)P (x) este adevarata daca si numai daca predicatul P (x)este adevarat sau ambivalent; propozitia (∃x)P (x) este falsa daca si numai dacapredicatul P (x) este fals.

Fie P (x1, x2, . . . , xn) un predicat n-ar (n > 1) oarecare. El poate fi adevarat,fals sau ambivalent, definitiile fiind evidente.

Exercitii(1) Fie P (x) un predicat unar. Sa se demonstreze ca urmatoarea propozitie este

ıntotdeauna adevarata:

h ≡ ”¬[(∀x)P (x)] ↔ (∃x)[¬P (x)]”.

Dem.

h ≡ ” (¬¬[(∀x)P (x)] ∨ (∃x)[¬P (x)]) ∧ (¬[(∃x)(¬P (x))] ∨ ¬[(∀x)P (x)]) ”.

Sa notam cei doi termeni ai conjunctiei astfel:

h1 ≡ ”¬¬[(∀x)P (x)] ∨ (∃x)[¬P (x)]” ↔ ”(∀x)P (x) ∨ ∃x)[¬P (x)]”,

deoarece ¬¬p ↔ p si

h2 ≡ ”¬[(∃x)(¬P (x))] ∨ ¬[(∀x)P (x)]”.

Page 29: Draft de carte (din 2009)

2.2. VALOAREA DE ADEVAR A UNUI PREDICAT 29

h este atunci adevarata daca si numai daca h1 este adevarata si h2 este adevarata.Sa notam p ≡ ”(∀x)P (x)”.

• Sa aratam ca propozitia h1 este adevarata:- daca propozitia p este adevarata, atunci h1 este adevarata;- daca propozitia p este falsa, atunci predicatul P (x) este fals sau ambivalent;rezulta ca predicatul ¬P (x) este adevarat sau ambivalent; deci propozitia (∃x)[¬P (x)]este adevarata; rezulta ca h1 este adevarata.

• Sa aratam ca propozitia h2 este adevarata:- daca propozitia p este adevarata, atunci predicatul P (x) este adevarat; atuncipredicatul ¬P (x) este fals; deci propozitia (∃x)[¬P (x)] este falsa; rezulta ca propozitia¬[(∃x)(¬P (x))] este adevarata si, deci, h2 este adevarata;- daca propozitia p este falsa, atunci propozitia ¬p este adevarata si deci h2 esteadevarata.

Deci, h este adevarata ıntotdeauna.(2) Fie P (x) un predicat unar oarecare. Sa se demonstreze ca predicatul urmator

este adevarat:H(y) ≡ ”(∀x)P (x) → P (y)”.

Dem.Conform definitiei, predicatul H(y) este adevarat daca si numai daca, pentru

orice obiect a ∈ DH (DH este domeniul lui H), H(a) este o propozitie adevarata.Fie atunci a ∈ DH un obiect oarecare, fixat, altfel arbitrar; sa aratam ca H(a) esteo propozitie adevarata:

H(a) ≡ ”(∀x)P (x) → P (a)” ↔ ”¬[(∀x)P (x)] ∨ P (a)”.

Sa notam p ≡ ”(∀x)P (x)”; atunci- daca propozitia p este adevarata, atunci P (x) este un predicat adevarat, deciP (a) este o propozitie adevarata si, prin urnare, H(a) este o propozitie adevarata;- daca propozitia p este falsa, atunci propozitia ¬p este adevarata si, deci, propozitiaH(a) este adevarata.Deci, ın ambele cazuri posibile, H(a) este o propozitie adevarata. Rezulta, conform(PG), ca pentru orice obiect a ∈ DH , propozitia H(a) este adevarata, deci H(y)este un predicat adevarat.

(3) Fie p o propozitie si Q(x) un predicat unar oarecare. Sa se demonstreze caurmatoarea propozitie este ıntotdeauna adevarata:

h ≡ ”[(∀x)(p → Q(x))] → [p → (∀x)Q(x)]”.

Dem.h ↔ ¬[(∀x)(¬p ∨Q(x))] ∨ [¬p ∨ (∀x)Q(x)]

↔ (∃x)[¬(¬p ∨Q(x))] ∨ [¬p ∨ (∀x)Q(x)]↔ (∃x)[p ∧ ¬Q(x)] ∨ [¬p ∨ (∀x)Q(x)],conform primului exercitiu, faptului ca ¬¬p ↔ p si conform legilor De Morgan.

Page 30: Draft de carte (din 2009)

30CHAPTER 2. CALCULUL PREDICATELOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

- Daca p este falsa, atunci ¬p este adevarata si deci h este adevarata.- Daca p este adevarata, atunci sa notam:

h1 ≡ ”(∃x)[p ∧ ¬Q(x)]”, h2 ≡ ”[¬p ∨ (∀x)Q(x)]”.

- daca predicatul Q(x) este adevarat, atunci propozitia (∀x)Q(x) este adevarata,deci h2 este adevarata; rezulta h adevarata;- daca predicatul Q(x) este fals, atunci predicatul ¬Q(x) este adevarat; rezulta cap∧¬Q(x) este un predicat adevarat, de unde obtinem ca h1 este adevarata, deci heste adevarata;- daca predicatul Q(x) este ambivalent, atunci predicatul ¬Q(x) este ambivalent;rezulta ca p ∧ ¬Q(x) este un predicat ambivalent, de unde obtinem ca h1 esteadevarata, deci h este adevarata.

Deci, h este ıntotdeauna o propozitie adevarata.

Definitie 2.2.4Se numeste lege logica orice enunt complex (adica format cu ajutorul operato-

rilor propozitionali (¬, ∨, ∧, →, ↔) si al cuantificatorilor (∀, ∃) din alte enunturi,numite enunturi componente) care are proprietatea ca este adevarat independentde valorile de adevar ale enunturilor componente. O lege logica care se construiestefara cuatificatori se numeste tautologie. O lege logica ın constructia careia intervinsi cuantificatorii nu are un nume special ın literatura de specialitate; noi o vomnumi tautologie cuantificata.

Un enunt complex care este fals, oricare ar fi valorile de adevar ale enunturilorcomponente, se numeste antilogie - daca nu contine cuantificatorii, si antilogie cuan-tificata - daca contine cuantificatori.

Exemple 2.2.5 Exemple de antilogii cuantificate1. (∀x)P (x) ∧ (∃x)[¬P (x)],2. (∃x)P (x) ∧ (∀x)[¬P (x)].

Exemple 2.2.6 Exemple de tautologii cuantificateVom grupa exemplele de tautologii cuantificate ın opt grupe:

(I) echivalentele cuantificatorilor:1. [(∀x)P (x)] ↔ ¬[(∃x)(¬P (x))],2. [(∃x)P (x)] ↔ ¬[(∀x)(¬P (x))],3. ¬[(∀x)P (x)] ↔ (∃x)[¬P (x)], (vezi exercitiul 1)4. ¬[(∃x)P (x)] ↔ (∀x)[¬P (x)].

(II):1. (∀x)P (x) ∨ (∃x)[¬P (x)],2. (∃x)P (x) ∨ (∀x)[¬P (x)].

(III):

Page 31: Draft de carte (din 2009)

2.2. VALOAREA DE ADEVAR A UNUI PREDICAT 31

1. ¬[(∀x)P (x) ∧ (∃x)(¬P (x))],2. ¬[(∃x)P (x) ∧ (∀x)(¬P (x))].

(IV):1. (∀x)P (x) → P (y), (vezi exercitiul 2)2. P (y) → (∃x)P (x).

(V) (o consecinta a (IV)):(∀x)P (x) → (∃x)P (x).

(VI) Fie p o propozitie si Q(x) un predicat unar:1. [(∀x)(p → Q(x))] → [p → (∀x)Q(x)], ”Regula (→ ∀)” (vezi exercitiul 3)2. [(∀x)(Q(x) → p)] → [(∃x)Q(x) → p], ”Regula (∃ →)”.

(VII):1. (∀x)[P (x) ∧Q(x)] ↔ [(∀x)P (x) ∧ (∀x)Q(x)],2. (∃x)[P (x) ∨Q(x)] ↔ [(∃x)P (x) ∨ (∃x)Q(x)],3. (∀x)[P (x) → Q(x)] → [(∀x)P (x) → (∀x)Q(x)],4. (∀x)[P (x) ↔ Q(x)] → [(∀x)P (x) ↔ (∀x)Q(x)].

(VIII):1. (∀x)(∀y)P (x, y) ↔ (∀y)(∀x)P (x, y),2. (∃x)(∃y)P (x, y) ↔ (∃y)(∃x)P (x, y),3. (∃x)(∀y)P (x, y) → (∀y)(∃x)P (x, y).

Observatie 2.2.7 Toate regulile de deductie sunt consecinte a trei reguli funda-mentale: ”modus ponens”, ”→ ∀”, ”∃ →”. Se poate arata ca pentru nevoile uneiteorii deductive ne putem rezuma doar la doua reguli: ”modus ponens” si una dincelelalte doua.

Observatie 2.2.8 Semnificatia scrierilor din matematica ∀x > 0, P (x) si ∃x >0, P (x) este urmatoarea:

∀x > 0, P (x) ≡ (∀x)(x > 0 → P (x)),

∃x > 0, P (x) ≡ (∃x)(x > 0 ∧ P (x)).

In consecinta, daca le negam, obtinem respectiv:

¬(∀x > 0, P (x)) ≡ ¬((∀x)(x > 0 → P (x)))

↔ (∃x)¬(x > 0 → P (x))

↔ (∃x)¬(¬(x > 0) ∨ P (x))

↔ (∃x)(x > 0 ∧ ¬P (x))

≡ ∃x > 0,¬P (x).

Page 32: Draft de carte (din 2009)

32CHAPTER 2. CALCULUL PREDICATELOR (PREZ. NEFORMALIZATA)

¬(∃x > 0, P (x)) ≡ ¬((∃x)(x > 0 ∧ P (x)))

↔ (∀x)¬(x > 0 ∧ P (x))

↔ (∀x)(¬(x > 0) ∨ ¬P (x))

↔ (∀x)(x > 0 → ¬P (x))

≡ ∀x > 0,¬P (x).

Calculul predicatelor prezentat se mai numeste calculul predicatelor de ordinul I.Daca variabilele libere x, y, z, . . . din predicate sunt multimi, atunci calculul pred-icatelor corespunzator se zice de ordinul II; daca ele sunt multimi de multimi,calculul se zice de ordinul III s.a.m.d.

Page 33: Draft de carte (din 2009)

Chapter 3

Latici

3.1 Multimi (pre)ordonate

Definitii 3.1.1 Fie A o multime nevida.O relatie binara R pe A se numeste relatie de ordine (partiala) daca sunt ver-

ificate urmatoarele axiome: pentru orice x, y, z ∈ A,(O1) xRx (reflexivitatea),(O2) daca xRy si yRx, atunci x = y (antisimetria),(O3) daca xRy si yRz, atunci xRz (tranzitivitatea).

Daca R mai verifica si axioma:(O4) pentru orice x, y ∈ A, xRy sau yRx (x si y sunt compatibile),atunci R se numeste relatie de ordine totala.

O relatie binara R pe A se numeste relatie de preordine daca verifica (O1) si(O3).

O pereche (A,R) se numeste- multime (partial) ordonata, daca R este o relatie de ordine (partiala) pe A,- multime total ordonata sau multime liniara (liniar ordonata) sau lant, daca Reste o relatie de ordine totala pe A,- multime preordonata, daca R este o relatie de preordine pe A.

Exemple 3.1.2(1) Multimile (R,≤), (Q,≤), (Z,≤), (N,≤) sunt lanturi.(2) Daca X este o multime nevida, atunci (P(X),⊆) este o multime ordonata;

ea este total ordonata daca si numai daca X este formata dintr-un singur element.(3) Daca X este o multime nevida, atunci (X, =) este o multime ordonata (ın

acest caz R este ∆ = {(x, x) | x ∈ X}).(4) Daca pe multimea N∗ = N\{0} definim, pentru orice x, y, x ¹ y ⇔ x | y (x

este divizibil cu y), atunci (N∗,¹) este o multime ordonata, dar nu total ordonata.

33

Page 34: Draft de carte (din 2009)

34 CHAPTER 3. LATICI

(5) Daca pe multimea C definim relatia binara ¹ astfel: pentru orice z1 =a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 ∈ C,

z1 ¹ z2 ⇔ (a1 ≤ a2, b1 ≤ b2),

atunci (C,preced) este o multime ordonata, dar nu total ordonata.

(6) Relatia x ¹ y ⇔ x | y, definita pe Z, este o relatie de preordine, care nueste relatie de ordine.

(7) Fie A multimea ofiterilor dintr-o unitate militara. Pentru x, y ∈ A, spunemca x ≤ y daca gradul lui x este mai mic sau egal cu gradul lui y. Atunci (A,≤)este o multime preordonata, care nu este ordonata.

3.1.1 Principiul dualitatii. Diagrama Hasse

Principiul dualitatii pentru multimi (pre)ordonate este urmatorul:Orice enunt cu privire la multimea (pre) ordonata (A,≤) ramane valabil daca pestetot ın cuprinsul sau schimbam relatia de (pre) ordine ≤ cu relatia de (pre) ordineinversa, ≥ (y ≥ x ⇔ x ≤ y, pentru orice x, y ∈ A). Structura (A,≥) astfel obtinutaeste tot o multime (pre) ordonata, numita duala lui (L,≤).

Diagrama HasseO relatie binara ≤ pe o multime finita A se va reprezenta grafic prin diagramaHasse astfel: elementele multimii sunt reprezentate prin puncte, iar faptul ca x < y(adica x ≤ y si x 6= y) si nu exista z cu x < z < y se reprezinta printr-o linie careleaga cele doua puncte, y fiind situat mai sus ca x:

••

x

y

Diagrama Hasse este utila pentru recunoasterea proprietatilor relatiei binare.

Exemplu de diagrama Hasse.Daca A = {a, b, c, d} si R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d)},atunci (A,R) este o multime ordonata, ce va fi reprezentata grafic de diagramaHasse din Figura 3.1.

Conventie. O relatie de (pre)ordine arbitrara pe o multime A va fi notata deacum ınainte prin ≤.

Page 35: Draft de carte (din 2009)

3.1. MULTIMI (PRE)ORDONATE 35

•a

•SS

¶¶

• •b

c d

Figure 3.1: Diagrama Hasse a multimii ordonate (A,R)

3.1.2 Reprezentarea unei relatii binare pe o multime finitaprin matrice booleana

Sa observam ca oricarei multimi finite, “concrete” {x1, x2, . . . , xn} ıi putem asociao singura multime finita, “abstracta” {1, 2, . . . , n}, abstractie facand de un izomor-fism, si ca oricarei multimi finite “abstracte” {1, 2, . . . , n} ıi putem asocia o infinitatede multimi finite “concrete” {x1, x2, . . . , xn}.

Fie o multime finita A = {x1, x2, . . . , xn} (A = {1, 2, . . . , n}) si R o relatie bi-nara pe A. Vom asocia lui R o matrice booleana MR = (mij)i,j∈{1,2,...,n} astfel:

mij =={

1, daca (xi, xj) ∈ R ((i, j) ∈ R)0, daca (xi, xj) 6∈ R ((i, j) 6∈ R).

Se observa ca multimea relatiilor binare pe o multime finita cu n elemente esteın corespondenta biunivoca cu multimea matricilor booleene de ordinul n. Deci, orelatie binara pe o multime finita cu n elemente poate fi data, alternativ, printr-omatrice booleana de ordin n.

De exemplu, relatia R, definita mai sus pe multimea A = {a, b, c, d}, areurmatoarea matrice booleana asociata:

MR =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 00 0 0 1

Conditiile (O1) - (O4) din Definitiile 1, verificate de o relatie binara R pe omultime A finita cu n elemente, pot fi reformulate echivalent pentru matriceabooleana asociata, MR, astfel:(O′1) pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , n}, mii = 1,(O′2) MR este o matrice antisimetrica (pentru orice i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, mij = 1implica mji = 0),(O′3) pentru orice i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n}, mij = 1 si mjk = 1 implica mik = 1,(O′4) pentru orice i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, mij = 1 sau mji = 1.

Exercitiu 3.1.31. Sa se scrie un program pentru determinarea tuturor relatiilor de ordine pe o

Page 36: Draft de carte (din 2009)

36 CHAPTER 3. LATICI

multime finita.2. Se da o relatie binara pe o multime finita prin matricea booleana asociata. Sa sescrie un program pentru a verifica daca relatia este de ordine, partiala sau totala,sau este o relatie de preordine.

3.1.3 Prim (ultim) element, minorant (majorant), infimum(supremum). Axioma lui Zorn

Fie (A,≤), (B,≤) doua multimi ordonate. O functie f : A → B se numesteizotona daca x ≤ y implica f(x) ≤ f(y), pentru orice x, y ∈ A.

Fie (A,≤) o multime ordonata. Un element u ∈ A se numeste prim elementsau cel mai mic element (ultim element sau cel mai mare element) daca u ≤ x(respectiv x ≤ u) pentru orice x ∈ A.

Atat primul element, cat si ultimul element, al unei multimi ordonate sunt unici(atunci cand exista). Primul element va fi notat de obicei cu 0, iar ultimul elementcu 1.

O multime ordonata cu 0 si 1 se numeste marginita.

Exemple 3.1.4 Consideram multimile ordonate din Figura 3.2. In cazul a) existaprim si ultim element (este multime ordonata marginita), ın cazul b) exista numaiultim element, iar ın cazul c) exista numai prim element.

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a)

x y

z

1

• •¶¶

SS•

x y

z

1

b)

•SS

¶¶

• •z

x y

•0

c)Figure 3.2: Exemple de multimi ordonate cu prim si/sau ultim element

Definitii 3.1.5 Fie (A,≤) o multime partial ordonata.Fie X o submultime a lui A. Un element a ∈ A este un minorant (majorant) al

lui X daca a ≤ x (respectiv x ≤ a) pentru orice x ∈ X.Sau, echivalent, fie (xi)i∈I o familie oarecare de elemente din A indexata de I,

I o multime oarecare, eventual infinita (adica un element al lui AI (adica o functief : I → A)). Se stie ca familiei (xi)i∈I ıi corespunde submultimea {xi ∈ A | i ∈ I}a lui A, iar submultimii X a lui A ıi corespunde familia particulara (x = xx)x∈X de

Page 37: Draft de carte (din 2009)

3.1. MULTIMI (PRE)ORDONATE 37

elemente din A. Un element a ∈ A este un minorant (majorant) al familiei (xi)i∈I ,daca a ≤ xi (respectiv xi ≤ a), pentru orice i ∈ I.

Exemplu 3.1.6 Consideram multimea ordonata (A = {a, b, c, d, e, f},≤) din Figura3.3, fara prim si ultim element. Daca X = {c, d}, atunci multimea minorantilor luiX este {a, b, c}, iar multimea majorantilor lui X este {d, e, f}.

• c

•SS

¶¶

• •

¶¶

SS

• •a b

d

e f

Figure 3.3: Multime ordonata

Atat multimea minorantilor, cat si multimea majorantilor, pot fi vide.

Definitie 3.1.7 Fie (A,≤) o multime partial ordonata.Fie X o submultime a lui A. Infimumul lui X este cel mai mare minorant al

lui X si se noteaza inf X. Atunci relatia a = inf X(∈ A) este caracterizata deproprietatile:(i) a este un minorant al lui X (adica a ≤ x pentru orice x ∈ X),(ii) a este cel mai mare minorant al lui X, adica, daca b este un minorant al lui X(daca b ≤ x pentru orice x ∈ X), atunci b ≤ a.

Echivalent, fie (xi)i∈I o familie oarecare de elemente din A, indexata de I (I omultime oarecare, eventual infinita). Infimumul familiei (xi)i∈I este cel mai mareminorant al ei si se noteaza infi∈I xi. Deci, un element a ∈ A este infimumulfamiliei (xi)i∈I daca verifica proprietatile:

(i) a este un minorant al familiei (xi)i∈I (adica a ≤ xi, pentru orice i ∈ I);

(ii) a este cel mai mare minorant al familiei (xi)i∈I , adica daca b este un minorantal familiei (xi)i∈I (daca b ≤ xi pentru orice i ∈ I), atunci b ≤ a.

Dual, avem urmatoarea definitie a supremumului:

Definitie 3.1.8 Fie (A,≤) o multime partial ordonata.Fie X o submultime a lui A. Supremumul lui X este cel mai mic majorant al

lui X si se noteaza sup X. Atunci relatia a = sup X(∈ A) este caracterizata deproprietatile:(i) a este un majorant al lui X (adica x ≤ a pentru orice x ∈ X),(ii) a este cel mai mic majorant al lui X, adica, daca b este un majorant al lui X(daca x ≤ b pentru orice x ∈ X), atunci a ≤ b.

Page 38: Draft de carte (din 2009)

38 CHAPTER 3. LATICI

Echivalent, fie (xi)i∈I o familie oarecare de elemente din A, indexata de I, I omultime oarecare, eventual infinita. Supremumul familiei (xi)i∈I este cel mai micmajorant al ei si se noteaza supi∈I xi. Deci, un element a ∈ A este supremumulfamiliei (xi)i∈I daca verifica proprietatile:

(i) a este un majorant al familiei (xi)i∈I (adica xi ≤ a, pentru orice i ∈ I);

(ii) a este cel mai mic majorant al familiei (xi)i∈I , adica daca b este un majorantal familiei (xi)i∈I (daca xi ≤ b pentru orice i ∈ I), atunci a ≤ b.

Observatii 3.1.91) Deci, elementul infi∈I xi al lui A este caracterizat de:

(i) infi∈I xi ≤ xi, pentru orice i ∈ I si(ii) pentru orice b ∈ A care verifica b ≤ xi pentru orice i ∈ I, avem b ≤ infi∈I xi,

iar elementul dual, supi∈I xi, al lui A este caracterizat de:(i) xi ≤ supi∈I xi, pentru orice i ∈ I si(ii) pentru orice b ∈ A care verifica xi ≤ b pentru orice i ∈ I, avem supi∈I xi ≤ b.

2) Infimumul multimii finite (familiei finite) {x1, x2, . . . , xn} = (xi)i∈{1,2,...,n} va finotat inf(x1, x2, . . . , xn) sau infi=1,n xi, iar supremumul ei va fi notat sup(x1, x2, . . . , xn)sau supi=1,n xi. Daca n = 2, infimumul familiei (multimii) {x, y} va fi notatinf(x, y), iar supremumul ei va fi notat sup(x, y).

Fie (A,≤) o multime ordonata. Un element maximal (minimal) este un elementm al lui A cu proprietatea ca m ≤ a (respectiv a ≤ m) implica a = m.

O multime ordonata poate avea mai multe elemente maximale si/sau mai multeelemente minimale.

Exemple 3.1.101) (R,≤) nu are niciun element maximal si niciun element minimal.2) In (P(X),⊆) elementele minimale sunt de forma {x}, x ∈ X, iar X este

element maximal.3) Ultimul element al unei multimi ordonate este si element maximal, iar primul

element este si element minimal. Reciproca nu este adevarata.

O multime ordonata (A,≤) se numeste inductiva daca orice parte total ordonataa sa admite un majorant.

Axioma lui Zorn: Orice multime ordonata inductiva admite un element max-imal.

3.2 Latici

3.2.1 Latici Ore si latici Dedekind. Echivalenta lor

Page 39: Draft de carte (din 2009)

3.2. LATICI 39

Definitie 3.2.1O multime ordonata L = (L,≤) se numeste latice Ore daca pentru orice doua

elemente x, y din L exista inf(x, y) si sup(x, y).

Propozitia 3.2.2 Intr-o latice Ore L, urmatoarele afirmatii sunt echivalente: pen-tru orice x, y ∈ L,

(i) x ≤ y,(ii) sup(x, y) = y,(iii) inf(x, y) = x.

Dem.(i) ⇒ (ii): Intr-adevar, presupunand ca x ≤ y, atunci deoarece avem si y ≤ y,

conform reflexivitatii lui ≤, rezulta ca y este majorant al {x, y}. Fie z un majorantoarecare al {x, y}, deci x ≤ z si y ≤ z. Deci y ≤ z, adica y este cel mai micmajorant al {x, y}, deci sup(x, y) = y.

(ii) ⇒ (i): Intr-adevar, sup(x, y) = y ınseamna printre altele ca x ≤ y si y ≤ y;deci x ≤ y.

Similar se demonstreaza ca (i) ⇔ (iii). 2

Propozitia 3.2.3 Fie L o latice Ore. Urmatoarele proprietati sunt verificate: pen-tru orice x, y, z ∈ L,

(O1) inf(x, x) = x, sup(x, x) = x (idempotenta lui inf, sup)(O2) inf(x, y) = inf(y, x), sup(x, y) = sup(y, x) (comutativitatea lui inf, sup)(O3) inf(x, y, z) = inf(x, inf(y, z)) = inf(inf(x, y), z),

sup(x, y, z) = sup(x, sup(y, z)) = sup(sup(x, y), z) (asociativitatea lui inf,sup)

(O4) inf(x, sup(x, y)) = x, sup(x, inf(x, y)) = x (cele doua proprietati de absorbtie).

Dem.(O1): Sa demonstram ca sup(x, x) = x. Fie a = sup(x, x); deci x ≤ y si pentru

orice b ∈ L care verifica x ≤ b avem a ≤ b. Dar, x ∈ L verifica x ≤ x, conformreflexivitatii; luam b = x; rezulta a ≤ x. Deci, a = x, adica sup(x, x) = x. La felse demonstreaza ca inf(x, x) = x.

(O2): Sa demonstram ca sup(x, y) = sup(y, x). Fie u = sup(x, y) si v =sup(y, x); deci avem: x ≤ u, y ≤ u si y ≤ v, x ≤ v si, pentru orice z care verificax, y ≤ z, avem u ≤ z si v ≤ z. Se observa ca u, v sunt un astfel de z, deci u ≤ v siv ≤ u, de unde obtinem u = v. La fel se demonstreaza ca inf(x, y) = inf(y, x).

(O3) Sa demonstram ca sup(x, y, z) = sup(x, sup(y, z)). Sa notam t = sup(y, z),u = sup(x, y, z), v = sup(x, t); atunci avem:(i) y, z ≤ t si pentru orice Z ∈ L cu y, z ≤ Z, avem t ≤ Z,(ii) x, y, z ≤ u si pentru orice Z ′ ∈ L cu x, y, z ≤ Z ′, avem u ≤ Z ′,(iii) x, t ≤ v si pentru orice Z ′′ ∈ L cu x, t ≤ Z ′′, avem v ≤ Z ′′.Sa aratam ca u = v:Din y, z ≤ t si t ≤ v obtinem ca y, z ≤ v; dar avem si x ≤ v. Rezulta ca x, y, z ≤ v;luam Z ′ = v ın (ii) si obtinem ca u ≤ v.

Page 40: Draft de carte (din 2009)

40 CHAPTER 3. LATICI

Din y, z ≤ u, luand Z = u ın (i), obtinem ca t ≤ u. Dar avem si ca x ≤ u;deci, x, t ≤ u; luand Z ′′ = u ın (iii), obtinem ca v ≤ u. Astfel, u = v. Restul sedemonstreaza similar. 2

Definitie 3.2.4 Fie L = (L,∧,∨) structura formata din multimea L si douaoperatii binare definite pe L. L se numeste latice Dedekind daca urmatoarele pro-prietati (axiome) sunt verificate: pentru orice x, y, z ∈ L,

(L1) x ∧ x = x, x ∨ x = x (idempotenta lui ∧, ∨)(L2) x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x (comutativitatea lui ∧, ∨)(L3) x∧ (y∧ z) = (x∧ y)∧ z, x∨ (y∨ z) = (x∨ y)∨ z) (asociativitatea lui ∧, ∨)(L4) x ∧ (x ∨ y) = x, x ∨ (x ∧ y) = x (cele doua proprietati de absorbtie).

Propozitia 3.2.5 Intr-o latice Dedekind L, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:pentru orice x, y ∈ L,

(i) x ∧ y = x,(ii) x ∨ y = y.

Dem. Daca x ∧ y = x, atunci x ∨ y = (x ∧ y) ∨ y(L2)= y ∨ (y ∧ x)

(L4)= y. Daca

x ∨ y = y, atunci x ∧ y = x ∧ (x ∨ y)(L4)= x. 2

Echivalenta demonstrata ne permite sa definim urmatoarea relatie binara pe olatice Dedekind L: pentru orice x, y ∈ L,

(3.1) x ≤ y ⇔ x ∧ y = x ⇔ x ∨ y = y.

Vom arata acum ca cele doua definitii, Ore si Dedekind, ale laticilor sunt echiva-lente.

Teorema 3.2.6(1) Fie (L,≤) o latice Ore. Sa definim

Φ(L)def= (L,∧,∨),

unde pentru orice x, y ∈ L,

(3.2) x ∧ ydef= inf(x, y), x ∨ y

def= sup(x, y).

Atunci structura Φ(L) este o latice Dedekind.(1’) Fie (L,∧,∨) o latice Dedekind. Sa definim

Ψ(L)def= (L,≤),

unde pentru orice x, y ∈ L,

(3.3) x ≤ y daca si numai daca x ∨ y = y.

Page 41: Draft de carte (din 2009)

3.2. LATICI 41

Atunci relatia ≤ este de ordine, iar structura Ψ(L) este o latice Ore, unde pentruorice x, y ∈ L,

(3.4) inf(x, y) = x ∧ y, sup(x, y) = x ∨ y.

(2) Cele doua aplicatii, Φ si Ψ, sunt inverse una alteia.

Dem.(1): Cele doua operatii sunt bine definite (adica exista x ∧ y si x ∨ y pentruorice x, y ∈ L, conform definitiei laticii Ore). Trebuie sa demonstram ca celedoua operatii verifica axiomele (L1)-(L4). Intr-adevar, x ∧ x = inf(x, x) = x six∨ x = sup(x, x) = x, conform (O1) din Propozitia 3.2.3, deci (L1) este verificata.Similar, (L2)-(L4) rezulta respectiv din (O2)-(O4).

(1’):• Trebuie sa aratam ca relatia ≤ este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

≤ este reflexiva, adica pentru orice x ∈ L, x ≤ x: fie x ∈ L fixat, altfel arbitrar;x ≤ x

def⇔ x∨ x = x, ceea ce este adevarat, conform (L1). Rezulta, conform (Prin-cipiului Generalizarii), ca pentru orice x ∈ L, x ≤ x. Restul se demonstreazasimilar. Deci, (L,≤) este o multime partial ordonata.

• Trebuie sa demonstram acum ca pentru orice x, y ∈ L, sup(x, y) = x ∨ y.Fie x, y ∈ L, obiecte (elemente) fixate, altfel arbitrare; pentru a demonstra casup(x, y) = x ∨ y, trebuie sa aratam doua lucruri:

(i) x∨ y este majorant al {x, y}, adica x, y ≤ x∨ y; ıntr-adevar, x∨ (x∨ y)(L3)=

(x∨x)∨ y(L1)= x∨ y, deci x ≤ x∨ y, conform (3.3), si y∨ (x∨ y)

(L2)= (x∨ y)∨ y

(L3)=

x ∨ (y ∨ y)(L1)= x ∨ y, deci y ≤ x ∨ y.

(ii) Fie Z ∈ L astfel ıncat x, y ≤ Z, adica x∨Z = Z si y∨Z = Z, conform (3.3);

trebuie sa demonstram ca x∨y ≤ Z. Intr-adevar, (x∨y)∨Z = (x∨y)∨(x∨Z)(L3)=

x ∨ (y ∨ x) ∨ Z(L2)= x ∨ (x ∨ y) ∨ Z

(L3)= (x ∨ x) ∨ (y ∨ Z)

(L1)= x ∨ Z = Z, deci

x ∨ y ≤ Z, conform (3.3).Rezulta, conform Principiului Generalizarii, ca pentru orice x, y ∈ L, sup(x, y) =

x ∨ y.Similar se demonstreaza ca inf(x, y) = x ∧ y.

(2): Rutina. 2

Observatie 3.2.7 Relatia de ordine din Teorema 3.2.6 poate fi definita, echivalent,prin

(3.5) x ≤ y daca si numai daca x ∧ y = x,

conform Propozitiei 3.2.5.

Page 42: Draft de carte (din 2009)

42 CHAPTER 3. LATICI

Teorema precedenta arata ca cele doua definitii ale laticilor sunt echivalente. Incontinuare, vom lucra ın general cu definitia Dedekind a laticii, pe care o vomnumi pe scurt latice.

O latice (Ore) L se numeste completa daca orice familie de elemente din L(submultime a lui L, echivalent) admite infimum si supremum. Intr-o latice com-pleta L, daca (xi)i∈I este o familie de elemente din L, vom nota

i∈I

xi = infi∈I

xi,∨

i∈I

xi = supi∈I

xi.

Orice latice finita este completa.

Principiul dualitatii pentru latici rezulta din principiul dualitatii pentrumultimi ordonate:

Orice enunt cu privire la laticea (L,∧,∨) ramane valabil daca peste tot ın cuprin-sul sau schimbam pe ∧ cu ∨ si pe ∨ cu ∧. Structura (L,∨,∧) astfel obtinuta estetot o latice, numita laticea duala a lui (L,∧,∨).

Diagrama Hasse a unei latticiDiagrama Hasse permite o reprezentare grafica a unei multimi ordonate, si deci

a unei latici.

3.2.2 Exemple

Exemple 3.2.8 (Exemple de latici marginite (cu 0 si 1))1) Multimea cu 2 elemente L2 = {0, 1} si multimea cu 3 elemente L3 = {0, a, 1}

genereaza laticile liniare (adica total ordonate) L2 (vom vedea ca ea este algebraBooleana) si respectiv L3 din Figura 3.4.

••

0

1

L2

••

0

a

L3

•1

Figure 3.4: Laticile liniar ordonate L2 si L3

2) Multimea cu 4 elemente L = {0, a, b, 1} genereaza urmatoarele doua latici:

• laticea liniar ordonata (total ordonata) L4, a carei diagrama Hasse este prezen-tata ın Figura 3.5;

• laticea L2×2, ordonata neliniar ca ın diagrama Hasse din Figura 3.5 (vomvedea ca ea este o algebra Booleana):

Page 43: Draft de carte (din 2009)

3.2. LATICI 43

••

0

a

• b

•1

L4

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a b

1

L2×2

Figure 3.5: Laticea liniara L4 si laticea neliniara L2×2

sau, echivalent, cu operatiile ∧, ∨ definite astfel:

L2×2

∧ 0 a b 10 0 0 0 0a 0 a 0 ab 0 0 b b1 0 a b 1

∨ 0 a b 10 0 a b 1a a a 1 1b b 1 b 11 1 1 1 1

3) Multimea cu 5 elemente L = {0, a, b, c, 1} genereaza cele 5 latici din Figura3.6, prima liniar ordonata, celelalte patru ordonate neliniar.

••

0

a

• b

• c

•1

L5

•0

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

a

b c

1

L2,2×2

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a b

c

1

L2×2,2

••

SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a cb

1

•SS

SS

¶¶

¶¶

¶¶S

S

••

••

0

cb

a

1

Lpentagon

Figure 3.6: Laticile generate de 5 elemente

Exemple 3.2.9 (Exemple de latici nemarginite)1) Multimea ordonata (N,≤) este o latice numai cu prim element, numarul 0.2) Daca notam cu Z− multimea numerelor ıntregi care sunt mai mici sau egale

cu 0, atunci multimea ordonata (Z−,≤) este o latice numai cu ultim element,numarul 0.

Page 44: Draft de carte (din 2009)

44 CHAPTER 3. LATICI

3) Multimea ordonata (Z,≤) este o latice fara prim si ultim element.

Exemple 3.2.10 (Exemple de multimi ordonate care nu sunt latici).Multimile L60,1, L51 si L50, ordonate ca ın diagramele Hasse din Figura 3.7, nu

sunt latici, pentru ca nu exista inf{c, d} si sup(a, b). L60,1 este o multime ordonatamarginita, L51 este o multime numai cu prim element, iar L50 este o multimeordonata numai cu prim element.

SS•¶

¶•¶

¶¶

•SS

SS¶

¶• S

S•

0

a b

c d

1

L60,1

•¶¶

¶¶

•SS

SS¶

¶• S

S•

a b

c d

1

L51

SS•¶

¶•¶

¶¶

•SS

SS• •

0

a b

c d

L50

Figure 3.7: Multimi ordonate care nu sunt latici

Propozitia 3.2.11 Orice latice finita are 0 si 1 (adica este marginita).

Exista multimi ordonate finite care sunt marginite, dar nu sunt latici. De ex-emplu, multimea ordonata L60,1 din Figura 3.7.

3.2.3 Latici distributive. Latici marginite complementate

Observatii 3.2.12 Daca L = (L,∧,∨) este o latice, atunci pentru orice x, y, a, b ∈L avem:(i) x ∧ y ≤ x, x ∧ y ≤ y si x ≤ x ∨ y, y ≤ x ∨ y,(ii) x ≤ y implica x ∧ a ≤ y ∧ a si x ∨ a ≤ y ∨ a,(iii) x ≤ y, a ≤ b implica x ∧ a ≤ y ∧ b si x ∨ a ≤ y ∨ a.

Propozitia 3.2.13 Intr-o latice L cu 0 si 1 urmatoarele afirmatii sunt echivalente,pentru orice x ∈ L:

(1) x ∧ 0 = 0,(2) x ∨ 0 = x

si, dual, urmatoarele afirmatii sunt echivalente, pentru orice x ∈ L:(1’) x ∨ 1 = 1,(2’) x ∧ 1 = x.

Page 45: Draft de carte (din 2009)

3.2. LATICI 45

Dem. Intr-adevar, (1) si (2) sunt echivalente cu 0 ≤ x, iar (1’) si (2’) suntechivalente cu x ≤ 1, pentru orice x ∈ L. 2

Notatie. Conform asociativitatii operatiilor ∧, ∨ dintr-o latice, vom puteanota:

n∧

i=1

xi = x1 ∧ x2 . . . ∧ xn = x1 ∧ (x2 ∧ . . . ∧ (xn−1 ∧ xn) . . .) = inf(x1, . . . , xn),

n∨

i=1

xi = x1 ∨ x2 . . . ∨ xn = x1 ∨ (x2 ∨ . . . ∨ (xn−1 ∨ xn) . . .) = sup(x1, . . . , xn).

Propozitia 3.2.14 Intr-o latice L, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), pentru orice x, y, z ∈ L,(ii) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z), pentru orice x, y, z ∈ L,(iii) (x ∨ y) ∧ z ≤ x ∨ (y ∧ z), pentru orice x, y, z ∈ L.

Dem.(i) =⇒ (ii):

(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)(i)= [(a ∨ b) ∧ a] ∨ [(a ∨ b) ∧ c]

(L2)= [a ∧ (a ∨ b)] ∨ [(a ∨ b) ∧ c]

(L4)=

a∨ [(a∨b)∧c](L2)= a∨ [c∧ (a∨b)]

(i)= a∨ [(c∧a)∨ (c∧b)]

(L3)= [a∨ (c∧a)]∨ (c∧b)

(L2)=

[a ∨ (a ∧ c)] ∨ (c ∧ b)(L4)= a ∨ (c ∧ b)

(L2)= a ∨ (b ∧ c).

(ii) =⇒ (iii):

Deoarece z ≤ x ∨ z, rezulta (x ∨ y) ∧ z ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)(ii)= x ∨ (y ∧ z).

(iii) =⇒ (i):• Sa demonstram mai ıntai ca:

(3.6) a ∧ (b ∨ c) ≤ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Pe de o parte, avem ca:

(3.7) (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)(L2)= (a ∧ b) ∨ (c ∧ a)

(iii)

≥ [(a ∧ b) ∨ c] ∧ a.

Pe de alta parte, din (a ∧ b) ∨ c(L2)= c ∨ (b ∧ a)

(iii)

≥ (c ∨ b) ∧ a rezulta ca:

[(a∧ b)∨ c]∧ a ≥ [(c∨ b)∧ a]∧ a(L3)= (c∨ b)∧ (a∧ a)

(L1)= (c∨ b)∧ a

(L2)= a∧ (b∨ c),

adica avem:

(3.8) [(a ∧ b) ∨ c] ∧ a ≥ a ∧ (b ∨ c).

Din (3.2.2) si (3.8) rezulta (3.6).• Sa demonstram acum ca:

(3.9) a ∧ (b ∨ c) ≥ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Page 46: Draft de carte (din 2009)

46 CHAPTER 3. LATICI

Deoarece a∧ b ≤ b si a∧ c ≤ c, rezulta ca (a∧ b)∨ (a∧ c) ≤ b∨ c si de aici obtinemca:

(3.10) a ∧ [(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)] ≤ a ∧ (b ∨ c).

Pe de alta parte, deoarece a∧b ≤ a si a∧c ≤ a, rezulta ca (a∧b)∨(a∧c) ≤ a∨a(L1)= a

si de aici obtinem ca:

(3.11) a ∧ [(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)] = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).

Din (3.10) si (3.11) rezulta (3.9). 2

Definitie 3.2.15 O latice L este distributiva daca una din conditiile echivalente(i) - (iii) din Propozitia 3.2.14 are loc.

Exemple 3.2.16 (Exemple de latici distributive)(1) Orice lant (L,≤) este o latice distributiva, ın care:

x ∧ y ={

x, daca x ≤ yy, daca y ≤ x

si x ∨ y ={

y, daca x ≤ yx, daca y ≤ x.

(2) Daca X este o multime, atunci (P(X),⊆) este o latice marginita, distribu-tiva.

(3) Fie n un numar natural, n ≥ 2, si Dn multimea divizorilor naturali ai luin. Definim o relatie binara ¹ pe Dn astfel: x ¹ y ⇔ x | y (x divide pe y). Atunci(Dn,¹) este o latice marginita (cu prim element 1 si ultim element n), distributiva,ın care:x ∧ y = (x, y) (cel mai mare divizor comun al lui x si y),x ∨ y = [x, y] (cel mai mic multiplu comun al lui x si y).

(4) (Z,≤) este o latice distributiva, fara prim si ultim element.(5) Laticea marginita L2×2 din Figura 3.5 si laticile marginite din Figura 3.8

sunt distributive.

Definitie 3.2.17(i) Fie L o latice marginita. Un element a ∈ L se numeste complementat daca

exista cel putin un element b ∈ L, numit complementul lui a, astfel ıncat a ∧ b = 0si a ∨ b = 1.

(ii) O latice marginita este complementata daca orice element al sau este com-plementat (admite un complement).

Lema 3.2.18 Intr-o latice marginita, distributiva, orice element poate avea celmult un complement (altfel spus, complementul unui element, daca exista, esteunic).

Dem. Fie a ∈ L si sa presupunem ca are doi complementi, b si c, adica:a ∧ b = 0, a ∨ b = 1 si a ∧ c = 0, a ∨ c = 1.

Page 47: Draft de carte (din 2009)

3.2. LATICI 47

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

•0

d

a b

c

1

L2,2×2,2

•SSZ

ZZZ

¶¶

½½

½½• •• •¶¶Z

ZZZS

S½½

½½

L8

Figure 3.8: Latici distributive

Atunci b = b ∧ 1 = b ∧ (a ∨ c) = (b ∧ a) ∨ (b ∧ c) = 0 ∨ (b ∧ c) = b ∧ c, si analog,c = c ∧ b, deci b = c. 2

Intr-o latice distributiva cu 0 si 1, vom nota cu a− sau cu ¬a complementul luia, atunci cand exista.

Exemple 3.2.19 (Exemple de latici marginite care nu sunt distributive)(1) Consideram laticea marginita pentagon Lpentagon din Figura 3.6. Se observa

ca a si b sunt complementii lui c, deci laticea nu este distributiva, conform Lemei3.2.18.

(2) Consideram laticea marginita diamant L¦ din Figura 3.6. Se observa ca:a, b sunt complementii lui c,a, c sunt complementii lui b,b, c sunt complementii lui a,deci laticea nu este distributiva, conform Lemei 3.2.18.

Propozitia 3.2.20 Orice latice care contine laticile pentagon si diamant ca sub-latici nu este distributiva.

Fie L o latice marginita, distributiva, si fie C(L) multimea elementelor salecomplementate. Evident, {0, 1} ⊆ C(L).

Propozitia 3.2.21 Daca a, b ∈ C(L), atunci a ∧ b, a ∨ b ∈ C(L) si:

(a ∧ b)− = a− ∨ b−, (a ∨ b)− = a− ∧ b−.

Dem. Pentru a demonstra prima egalitate, este suficient sa demonstram ca:

(a ∧ b) ∧ (a− ∨ b−) = 0, (a ∧ b) ∨ (a− ∨ b−) = 1.

Intr-adevar, (a ∧ b) ∧ (a− ∨ b−) = [(a ∧ b) ∧ a−] ∨ [(a ∧ b) ∧ b−] = 0 ∨ 0 = 0 si(a ∧ b) ∨ (a− ∨ b−) = [a ∨ (a− ∨ b−)] ∧ [b ∨ (a− ∨ b−)] = 1 ∨ 1 = 1.A doua egalitate se demonstreaza similar. 2

Page 48: Draft de carte (din 2009)

48 CHAPTER 3. LATICI

Definitie 3.2.22 Fie L si L′ doua latici marginite. O functie f : L → L′ senumeste morfism de latici marginite daca urmatoarele proprietati sunt verificate:pentru orice x, y ∈ L,(a) f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y),(b) f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y),(c) f(0) = 0, f(1) = 1.

Vom nota cu Ld(0,1) categoria laticilor distributive marginite si a morfismelorde astfel de latici.

Observatie 3.2.23 Orice morfism din Ld(0,1) este o functie izotona: pentru oricex, y ∈ L,x ≤ y ⇒ x ∧ y = x ⇒ f(x) ∧ f(y) = f(x) ⇒ f(x) ≤ f(y).

Un morfism de forma f : L → L se numeste endomorfism al lui L.Un morfism din Ld(0,1) se numeste izomorfism daca este o functie bijectiva.Un izomorfism de forma f : L → L se numeste automorfism al lui L.

Exemplu 3.2.24 (Exemplu de automorfism) Fie laticea marginita L = L2,2×2,2

din Figura 3.8. Ea are doua automorfisme, f1 si f2: f1 este morfismul identic 1L,iar f2 este dat de: f2(0) = 0, f2(d) = d, f2(a) = b, f2(b) = a, f2(c) = c, f2(1) = 1.Argumentul are la baza observatia ca daca A este o latice distributiva cu 0 si 1 sif : A → A este un automorfism, atunci pentru orice x, y ∈ A, x < y daca si numaidaca f(x) < f(y).

Exercitiu 3.2.25 Sa se determine toate endomorfismele pentru laticea din exem-plul precedent.

Page 49: Draft de carte (din 2009)

Chapter 4

Algebre Boole

Teoria algebrelor Boole s-a nascut ca urmare a descoperirii analogiei perfectecare exista ıntre legile logicii si anumite reguli ale calculului algebric. Aceastadescoperire este unanim atribuita lui George Boole (An investigation into the lawsof thought, 1854).

Dintre matematicienii care au adus contributii mari la dezvoltarea teoriei al-gebrelor Boole trebuie mentionati: M.H. Stone, pentru celebra sa teorema dereprezentare (1936) si pentru teoria dualitatii algebrelor Boole (1937) si A. Tarski,care a obtinut rezultate remarcabile atat pe linia algebrica a acestui domeniu, catmai ales pe linia legaturilor sale cu logica.

Algebrele Boole constituie reflectarea algebrica a calculului propozitiilor, fiindmodele algebrice ale calculului propozitiilor. Algebrele Boole monadice si poliadicesunt modele algebrice ale calculului predicatelor.

Astazi, teoria algebrelor Boole se prezinta ca un capitol important al algebrei, desine statator, care are puternice conexiuni cu logica si care are aplicatii ın analiza,topologie, calculul probabilitatilor etc., cele mai spectaculoase aplicatii fiind ınsaın domeniul calculatoarelor electronice, deci ın informatica.

4.1 Algebre Boole: definitie, exemple, proprietati

4.1.1 Definitia algebrei Boole

Urmatoarea definitie a algebrei Boole este cel mai des ıntalnita.

49

Page 50: Draft de carte (din 2009)

50 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Definitie 4.1.1 O algebra Boole este o latice distributiva, cu prim si ultim element,complementata, adica este o structura

B = (B,∧,∨,−, 0, 1)

care verifica urmatoarele proprietati (axiome): oricare ar fi x, y, z ∈ B,(B1) x ∨ x = x, x ∧ x = x (idempotenta lui ∨, ∧),(B2) x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x (comutativitatea lui ∨, ∧),(B3) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z (asociativitatea lui

∨, ∧),(B4) x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x (absorbtia),(B5) x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z), x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) (distributivitatea

lui ∨ fata de ∧ si invers),(B6) x ∨ 0 = x, x ∧ 1 = x (adica 0 ≤ x ≤ 1),(B7) x ∨ x− = 1, x ∧ x− = 0.

Observatie 4.1.2 Se pot da si alte definitii ale algebrei Boole, echivalente cuaceasta. Se observa ca ın definitia data, setul de axiome (B1)-(B7) corespundecelor 7 tautologii din sistemul A1 de tautologii din Capitolul ”Calculul propozitiilor(prezentare neformalizata)”; deci definitii echivalente se obtin daca se considera ax-iomele corespunzatoare sistemelor A2 - A5 de tautologii, de exemplu.

Alte definitii echivalente pot fi gasite ın [40].

Exemple de definitii echivalente (a se vedea ın sectiunea urmatoare demonstratiile):

Definitie 4.1.3 [30], [29]O algebra Boole este o algebra

B = (B,→,−, 1)

de tip (2, 1, 0), verificand urmatoarele axiome: pentru toti x, y, z ∈ B,(A1) x → (y → x) = 1,(A2) [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1,(A3) (y− → x−) → (x → y) = 1,(A4) x → y = 1 si y → x = 1 implica x = y,

unde x → ydef= (x ∧ y−)− = x− ∨ y si invers, x ∧ y

def= (x → y−)−,

x ∨ ydef= (x− ∧ y−)−, 0

def= 1−.

Definitie 4.1.4 [30], [29]O algebra Boole este o algebra

B = (B,→R,−, 0)

de tip (2, 1, 0), verificand urmatoarele axiome: pentru toti x, y, z ∈ B,(A1-R) x →R (y →R x) = 0,(A2-R) [x →R (y →R z)] →R [(x →R y) →R (x →R z)] = 0,(A3-R) (y− →R x−) →R (x →R y) = 0,(A4-R) x →R y = 0 si y →R x = 0 implicax = y,

Page 51: Draft de carte (din 2009)

4.1. ALGEBRE BOOLE: DEFINITIE, EXEMPLE, PROPRIETATI 51

unde x →R ydef= (x ∨ y−)− = x− ∧ y si invers, x ∨ y

def= (x →R y−)−,

x ∧ ydef= (x− ∨ y−)−, 1

def= 0−.

Exista alte definitii ale algebrei Boole: ca algebre (B,∧,−, 1), ca algebre (B,∨,−, 0)etc. (see [40]).

4.1.2 Exemple de algebre Boole

Exemplul 1.Daca X este o multime, atunci (P(X),∩,∪, C, ∅, X) este o algebra Boole.

Exemplul 2. (Algebra Boole standard)Algebra L2 = (L2 = {0, 1} ⊂ R,∧ = min,∨ = max,−, 0, 1), cu x− = 1− x, pentrux ∈ L2, este o algebra Boole, numita algebra Boole standard.

Examplul 3. (Rombul)MultimeaL2×2 = {0, a, b, 1} ∼= L2 × L2 = L2

2 = {0, 1} × {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)},organizata ca latice ca ın diagrama Hasse din Figura 4.1 si cu negatia − definitape prima coloana a tabelei implicatiei (x− = x → 0, pentru orice x), este o algebraBoole, notata L2×2, numita si romb.

•SS

¶¶

• •¶¶

SS•

0

a b

1

Figure 4.1: Algebra Boole L2×2 (rombul)

L2×2

→ 0 a b 10 1 1 1 1a b 1 b 1b a a 1 11 0 a b 1

Exemplul 4. (Cubul)MultimeaL2×2×2 = {0, a, b, c, d, e, f, 1} ∼= L2 × L2 × L2 = L3

2 = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} ={(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)},organizata ca latice ca ın diagrama Hasse din Figura 4.2 si cu negatia definita caın prima coloana a tabelei urmatoare a implicatiei →, este o algebra Boole, notataL2×2×2, numita si cub.

Page 52: Draft de carte (din 2009)

52 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

cc

cc

cc

¡¡

¡¡

£££££££

cc

cc

cc ¡¡

¡¡

cc

cc

cc

£££££££

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

£££££££

£££££££

cc

cc

cc

••

•◦

◦◦

0

ad

e b

fc

1

Figure 4.2: Algebra Boole L2×2×2 (cubul)

L2×2×2

∨ 0 a b c d e f 10 0 a b c d e f 1a a a c c e e 1 1b b c b c f 1 f 1c c c c c 1 1 1 1d d e f 1 d e f 1e e e 1 1 e e 1 1f f 1 f 1 f 1 f 11 1 1 1 1 1 1 1 1

∧ 0 a b c d e f 10 0 0 0 0 0 0 0 0a 0 a 0 a 0 a 0 ab 0 0 b b 0 0 b bc 0 a b c 0 a b cd 0 0 0 0 d d d de 0 a 0 a d e d ef 0 0 b b d d f f1 0 a b c d e f 1

L2×2×2

→ 0 a b c d e f 10 1 1 1 1 1 1 1 1a f 1 f 1 f 1 f 1b e e 1 1 e e 1 1c d e f 1 d e f 1d c c c c 1 1 1 1e b c b c f 1 f 1f a a c c e e 1 11 0 a b c d e f 1

Exemplul 5.Alte exemple de algebre Boole sunt L2×2×2×2 etc.

Exemplul 6.Multimea evenimentelor asociate unei experiente aleatoare este o algebra Boole.

Exemplul 7.

Page 53: Draft de carte (din 2009)

4.1. ALGEBRE BOOLE: DEFINITIE, EXEMPLE, PROPRIETATI 53

Daca X este un spatiu topologic, atunci familia B(X) a partilor simultan ınchisesi deschise ale lui X formeaza o algebra Boole.

Exemplul 8.Daca (L,∧,∨, 0, 1) este o latice distributiva cu prim si ultim element, atunci multimeaC(L) a elementelor complementate ale lui L este o algebra Boole.

Exemplul 9.Orice produs direct de algebre Boole are o structura canonica de algebra Boole(operatiile se definesc pe componente). In particular, daca X este o multime nevida,atunci LX

2 = {f : X −→ {0, 1}} este o algebra Boole.

4.1.3 Proprietati ale algebrelor Boole

Propozitia 4.1.5 In orice algebra Boole B = (B,∧,∨,−, 0, 1) avem urmatoareleproprietati: pentru orice x, y, x′, y′ ∈ B,

(B8) (x ∨ y)− = x− ∧ y−, (x ∧ y)− = x− ∨ y− (legile De Morgan),(B9) (x−)− = x (Principiul contradictiei) (proprietatea de dubla negatie (DN)),(B10) x ≤ y ⇐⇒ y− ≤ x−,(B11) x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y− = 0,(B12) x ≤ y si x′ ≤ y′ implica x ∨ x′ ≤ y ∨ y′ si x ∧ x′ ≤ y ∧ y′,(B13) x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y− = 0 ⇐⇒ x− ∨ y = 1.

Dem.(B8): Pentru a demonstra prima lege De Morgan, trebuie sa demonstram ca:

(x ∨ y) ∨ (x− ∧ y−) = 1 si (x ∨ y) ∧ (x− ∧ y−) = 0.

Intr-adevar,(x ∨ y) ∨ (x− ∧ y−) = (x ∨ y ∨ x−) ∧ (x ∨ y ∨ y−) = 1 ∧ 1 = 1 si(x∨y)∧(x−∧y−) = (x∧x−∧y−)∨(y∧x−∧y−) = 0∨0 = 0. La fel se demonstreazapartea a doua a lui (B8).

(B9) este o alta interpretare a lui (B7).(B10): x ≤ y ⇔ x ∨ y = y ⇔ (x ∨ y)− = y− ⇔ x− ∧ y− = y− ⇔ y− ≤ x−,

conform (B9), (B8).(B11) ” ⇒”: x ≤ y ⇔ x ∨ y = y ⇔ (x ∨ y)− = y− ⇔ x− ∧ y− = y−; rezulta ca

x ∧ y− = x ∧ (x− ∧ y−) = 0; deci x ≤ y ⇒ x ∧ y− = 0.”⇐”: daca x ∧ y− = 0, atunci x = x ∧ 1 = x ∧ (y ∨ y−) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ y−) =(x ∧ y) ∨ 0 = x ∧ y, deci x ≤ y.

(B12): (x ≤ y si x′ ≤ y′) ⇔ (x ∨ y = y si x′ ∨ y′ = y′) ⇒ (x ∨ x′) ∨ (y ∨ y′) =(x ∨ y) ∨ (x′ ∨ y′) = y ∨ y′, adica x ∨ x′ ≤ y ∨ y′. La fel se demonstreaza partea adoua a lui (B12).

(B13): x ≤ y ⇒ x ∧ y− ≤ y ∧ y− = 0 ⇒ x ∧ y− = 0.x∧y− = 0 ⇒ y = y∨0 = y∨(x∧y−) = (x∨y)∧(y∨y−) = (x∨y)∧1 = x∨y ⇒ x ≤ y.A doua parte se demonstreaza similar. 2

Page 54: Draft de carte (din 2009)

54 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

4.1.4 Implicatia si echivalenta booleana

Definitie 4.1.6 Intr-o algebra Boole B = (B,∧,∨,−, 0, 1) se defineste operatia →,numita implicatia booleana, astfel:

x → ydef.= (x ∧ y−)− = x− ∨ y, pentru orice x, y ∈ B,

si se defineste operatia ↔, numita echivalenta booleana, astfel:

x ↔ ydef.= (x → y) ∧ (y → x), pentru orice x, y ∈ B.

Observatie 4.1.7 Algebra Boole, fiind o structura care are proprietatea dubleinegatii (DN), mai are o implicatie, →R, numita duala implicatiei →, care esteasociata lui ∨: pentru orice x, y ∈ B,

x →R ydef.= (x ∨ y−)− = x− ∧ y.

Cele doua implicatii sunt dependente una de cealalta:

x →R y = (x− → y−)−, x → y = (x− →R y−)−,

de aceea se foloseste doar →. Avem:

x− = x → 0 = x →R 1.

Lema 4.1.8 Pentru orice x, y ∈ B,

x ∧ y = 1 ⇔ (x = 1 si y = 1).

Dem. Daca x ∧ y = 1, atunci deoarece x ∧ y ≤ x, y, rezulta ca 1 ≤ x, y, decix = 1 = y. Daca x = y = 1, atunci evident, x ∧ y = 1. 2

Propozitia 4.1.9 x → y = 1 daca si numai daca x ≤ y, pentru orice x, y ∈ B.

Dem. Daca x → y = 1, adica x− ∨ y = 1, atunci y = y ∨ 0 = y ∨ (x ∧ x−) =(y ∨ x) ∧ (y ∨ x−) = (y ∨ x) ∧ 1 = y ∨ x, adica x ≤ y. Invers, daca x ≤ y, atunci1 = x− ∨ x ≤ x− ∨ y = x → y; rezulta ca x → y = 1. 2

Propozitia 4.1.10 x ↔ y = 1 daca si numai daca x = y, pentru orice x, y ∈ B.

Dem. x ↔ y = 1 ⇔ (x → y) ∧ (y → x) = 1 ⇔ (x → y = 1 si y → x = 1) ⇔ (x ≤y si y ≤ x) ⇔ x = y, conform Lemei 4.1.8. 2

Page 55: Draft de carte (din 2009)

4.2. O DEFINITIE ECHIVALENTA A ALGEBRELOR BOOLE 55

Exercitii 4.1.11(1) Sa se transcrie toate tautologiile din sistemele A2 - A5 de tautologii ın

proprietati ale algebrei booleene B si sa se demonstreze; de exemplu, (G1) devine:x → (y → x) = 1, pentru orice x, y ∈ B.

(2) De asemenea, sa se demonstreze urmatoarele proprietati: pentru orice x, y, z ∈B,(x → (x → y)) → (x → y) = 1,(x → y) → ((y → z) → (x → z)) = 1,(x ↔ y) → (x → y) = 1,(x → y) → ((y → x) → (x ↔ y)) = 1,x− ↔ y− = x ↔ y,(x ↔ y) ↔ z = x ↔ (y ↔ z).

De exemplu, a doua proprietate se demonstreaza astfel: este suficient sa demon-stram ca x → y ≤ (y → z) → (x → z). Un calcul simplu arata ca: (y →z) → (x → z) = (y− ∨ z)− ∨ x− ∨ z = (y ∧ z−) ∨ x− ∨ z = y ∨ x− ∨ z, de undex → y = x− ∨ y ≤ y ∨ x− ∨ z = (y → z) → (x → z).

(3) Sa se transcrie de asemenea tautologiile (P10)-(P24) ın proprietati ale al-gebrei Boole B si sa se demonstreze; de exemplu, (P11) devine: x ↔ x = 1 sau,echivalent, conform Propozitiei 4.1.9, x = x, pentru orice x ∈ B.

4.2 O definitie echivalenta a algebrelor Boole

Continutul acestei sectiuni este preluat din [30].In mod uzual, am vazut ca algebrele Boole sunt definite ca algebre (B,∧,∨,−, 0, 1)

de tip (2, 2, 1, 0, 0), verificand axiomele (B1) - (B7), unde: pentru orice x, y, z ∈ B,

(B1) x ∨ x = x, x ∧ x = x,(B2) x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x,(B3) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z,(B4) x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x,(B5) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z), (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z),(B6) x ∨ 0 = x, x ∧ 1 = x,(B7) x ∨ x− = 1, x ∧ x− = 0.

Prezentam o definitie echivalenta, motivata de sistemul uzual de axiome al sis-temului formal al calculului clasic al propozitiilor:

(G1) ϕ → (ψ → ϕ),(G2) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)),

Page 56: Draft de carte (din 2009)

56 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

(G3) (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ),

si anume ca algebre (B,→,−, 1) de tip (2, 1, 0), verificand axiomele (A1) - (A4),unde: pentru orice x, y, z ∈ B,

(A1) x → (y → x) = 1,(A2) [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1,(A3) (y− → x−) → (x → y) = 1,(A4) daca x → y = 1 si y → x = 1, atunci x = y.

Vom demonstra deci ın aceasta sectiune urmatoarea teorema

Teorema 4.2.1(1) Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra verificand axiomele (B1) - (B7). Sa

definimα(B) = (B,→,−, 1)

astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x → y = (x ∧ y−)− = x− ∨ y.

Atunci α(B) verifica (A1) - (A4).(1’) Invers, fie B = (B,→,−, 1) o algebra verificand axiomele (A1) - (A4). Sa

definimβ(B) = (B,∧,∨,−, 0, 1)

astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x ∧ y = (x → y−)−, x ∨ y = (x− ∧ y−)− = x− → y, 0 = 1−.

Atunci β(B) verifica (B1) - (B7).(2) Aplicatiile α si β sunt mutual inverse.

Demonstratia va fi facuta ın trei subsectiuni:1. Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4)2. Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7)3. Aplicatiile α si β sunt mutual inverse.

4.2.1 Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4)

In aceasta subsectiune, consideram structura de algebra Boole (B,∧,∨,−, 0, 1)cu axiomele (B1) - (B7) si vom demonstra ca (A1) - (A4) au loc. Pentru aceasta,sa amintim urmatoarele proprietati.

(B8) (x ∨ y)− = x− ∧ y−, (x ∧ y)− = x− ∨ y− (Legile De Morgan),

Page 57: Draft de carte (din 2009)

4.2. O DEFINITIE ECHIVALENTA A ALGEBRELOR BOOLE 57

(B9) (x−)− = x.

Sa definim o relatie binara ≤ pe B astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x ≤ y ⇐⇒ x ∧ y = x ⇐⇒ x ∨ y = y.

Atunci avem(B10) ≤ este o relatie de ordine partiala si (B,≤) este o latice, unde sup(x, y) = x∨ysi inf(x, y) = x ∧ y.

Sa definim implicatia booleana → (asociata lui ∧) astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x → y = (x ∧ y−)− = x− ∨ y.

Atunci avem(B11) x ≤ y ⇐⇒ x → y = 1.

Suntem acum ın masura sa demonstram ca (A1) - (A4) sunt ındeplinite.

Teorema 4.2.2 Axiomele (B1) - (B7) implica (A1) - (A4).

Dem.(A1): x → (y → x) = x− ∨ (y− ∨ x) = (x− ∨ x) ∨ y− = 1.(A2): [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = [x− ∨ (y− ∨ z)]− ∨ [(x− ∨ y)− ∨

(x− ∨ z)] =[x ∧ y ∧ z−] ∨ [(x ∧ y−) ∨ x− ∨ z] = [x ∧ y ∧ z−] ∨ [(x ∨ x− ∨ z) ∧ (y− ∨ x− ∨ z)] =[x ∧ y ∧ z−] ∨ [1 ∧ (y− ∨ x− ∨ z)] = [x ∧ y ∧ z−] ∨ [y− ∨ x− ∨ z] =[x ∧ y ∧ z−] ∨ [y ∧ x ∧ z−]− = 1.

(A3) (y− → x−) → (x → y) = (y ∨ x−)− ∨ (x− ∨ y) = (y− ∧ x) ∨ x− ∨ y =(y− ∨ x− ∨ y) ∧ (x ∨ x− ∨ y) = 1 ∧ 1 = 1.

(A4) daca x → y = 1 si y → x = 1, adica x ≤ y si y ≤ x, atunci x = y, conformantisimetriei lui ≤. 2

4.2.2 Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7)

In aceasta subsectiune, consideram structura (B,→,−, 1) cu axiomele (A1) -(A4) si vom demonstra ca (B1)-(B7) au loc. Pentru aceasta, vom demonstra maimulte proprietati intermediare.

Lema 4.2.3(MP) x = 1 si x → y = 1 implica y = 1.

Dem. x = 1 si x → y = 1 implica 1 → y = 1.Pe de alta parte, din (A1), avem ca y → (1 → y) = 1, prin urmare y → 1 = 1.Apoi, din (A4), obtinem ca y = 1. 2

Page 58: Draft de carte (din 2009)

58 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Propozitia 4.2.4 Urmatoarele proprietati au loc, pentru orice x, y, z ∈ B:

(A5) x → 1 = 1,(A6) x → x = 1 (reflexivitea),(A7) daca x → y = 1 si y → z = 1, atunci x → z = 1 (tranzitivitatea).

Dem. (A se vedea [6], [39]):(A5): Deoarece din (A1) avem 1 → (x → 1) = 1, rezulta, din (MP), ca x →

1 = 1.(A6): Conform (A1), x → ((x → x) → x) = 1;

conform (A2), [x → ((x → x) → x)] → [(x → (x → x)) → (x → x)] = 1.Atunci din (MP), (x → (x → x)) → (x → x) = 1.Dar, conform (A1) din nou, x → (x → x) = 1. Rezulta, din (MP) din nou, cax → x = 1.

(A7): Fie x → y = 1 si y → z = 1.Deoarece y → z = 1, rezulta, conform (A5), ca x → (y → z) = 1.Dar, conform (A2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1.Rezulta, aplicand (MP), ca (x → y) → (x → z) = 1.Deoarece x → y = 1, rezulta, prin (MP) din nou, ca x → z = 1. 2

Definitie 4.2.5 Sa definim pe B o relatie binara ≤ astfel: pentru orice x, y ∈ B,

(4.1) x ≤ y ⇐⇒ x → y = 1.

Atunci din (A6), (A4) si (A7) obtinem:

(A6’) x ≤ x, pentru orice x ∈ B, adica ≤ este reflexiva,(A4’) daca x ≤ y si y ≤ x, atunci x = y, pentru orice x, y ∈ B, adica ≤ esteantisimetrica,(A7’) daca x ≤ y si y ≤ z, atunci x ≤ z, pentru orice x, y, z ∈ B, adica ≤ estetranzitiva.

Observatii 4.2.61) Din (A6’), (A4’), (A7’), rezulta ca relatia binara ≤ pe B este o relatie de

ordine partiala.2) Proprietatea (A5) spune ca:

(A5’) x ≤ 1, pentru orice x ∈ B,adica 1 este cel mai mare element (ultimul element) al lui B.

Propozitia 4.2.7 Urmatoarele proprietati au loc, pentru orice x, y, z ∈ B:

(A8) daca x ≤ y → z, atunci x → y ≤ x → z,(A9) x ≤ y → x,(A10) x ≤ y → z ⇐⇒ y ≤ x → z,

Page 59: Draft de carte (din 2009)

4.2. O DEFINITIE ECHIVALENTA A ALGEBRELOR BOOLE 59

(A11) y → z ≤ (x → y) → (x → z),(A12) x → y ≤ (y → z) → (x → z),(A13) daca x ≤ y, atunci y → z ≤ x → z,(A14) x → (y → z) = y → (x → z),(A15) daca x ≤ y, atunci z → x ≤ z → y.

Dem. (A se vedea [6] si [39])(A8): Conform (A2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] = 1;

daca x ≤ y → z, adica x → (y → z) = 1, atunci aplicand (MP), obtinem (x →y) → (x → z) = 1, adica x → y ≤ x → z.

(A9): rezulta direct din (A1).(A10): =⇒: daca x ≤ y → z, atunci din (A8), avem x → y ≤ x → z; dar din

(A9), y ≤ x → y; atunci din (A7’), obtinem y ≤ x → z.⇐=: rezulta prin simetrie.

(A11): Din (A2), avem x → (y → z) ≤ (x → y) → (x → z).Pe de alta parte, din (A9), avem y → z ≤ x → (y → z).Rezulta, aplicand (A7’), ca y → z ≤ (x → y) → (x → z), adica (A11) are loc.

(A12) rezulta din (A11), aplicand (A10).(A13): Din (A12), x → y ≤ (y → z) → (x → z). Daca x ≤ y, adica x → y = 1,

atunci din (A5’), obtinem ca (y → z) → (x → z) = 1, adica y → z ≤ x → z.(A14) Din (A2), avem ca x → (y → z) ≤ (x → y) → (x → z).

Pe de alta parte, deoarece din (A9) avem y ≤ x → y, rezulta, din (A13), ca avem(x → y → (x → z) ≤ y → (x → z).Prin urmare, din (A7’), obtinem ca x → (y → z) ≤ y → (x → z). Prin simetrie,obtinem de asemenea ca y → (x → z) ≤ x → (y → z). Prin urmare, conform(A4’), (A14) are loc.

(A15): Daca x ≤ y, adica x → y = 1, atunci din (A5), avem ca z → (x → y) =1.Pe de alta parte, din (A2), avem ca [z → (x → y)] → [(z → x) → (z → y)] = 1.Prin urmare, aplicand (MP), obtinem (z → x) → (z → y) = 1, adica z → x ≤ z →y. 2

Propozitia 4.2.8 Urmatoarele proprietati au loc, pentru orice x, y ∈ B:

(A16) y− → x− ≤ x → y,(A17) (a) x− ≤ x → y, (b) x ≤ x− → y,(A18) (x−)− ≤ x,(A19) x ≤ (x−)−,(A20) (x−)− = x.

Dem.(A16): Urmeaza direct din (A3).(A17) (a): Din (A9), x− ≤ y− → x− si, din (A16), y− → x− ≤ x → y; prin

urmare, aplicand (A7’), obtinem x− ≤ x → y. (A17) (b) este echivalent cu (A17)(a), prin (A10).

Page 60: Draft de carte (din 2009)

60 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

(A18): Din (A9) si (A16) avem:(x−)− ≤ (((x−)−)−)− → (x−)− ≤ x− → ((x−)−)− ≤ (x−)− → x.Prin urmare, prin (A7’), obtinem (x−)− ≤ (x−)− → x, care prin (A8) ne da(x−)− → (x−)− ≤ (x−)− → x. Dar, prin (A6), (x−)− → (x−)− = 1, prin urmare,prin (A5’), obtinem (x−)− → x = 1, adica (x−)− ≤ x.

(A19): Din (A18), ((x−)−)− ≤ x−, adica ((x−)−)− → x− = 1.Pe de alta parte, din (A3), [((x−)−)− → x−] → [x → (x−)−] = 1.Prin urmare, aplicand (MP), x → (x−)− = 1, adica x ≤ (x−)−.

(A20): Din (A18), (x−)− ≤ x si din (A19), x ≤ (x−)−; prin urmare, prin (A4’),(x−)− = x. 2

Propozitia 4.2.9 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ B:

(A21) x ≤ (x → y) → y,(A22) 1 → x = x.

Dem.(A21): Din (A6’), x → y ≤ x → y este adevarata. Prin urmare, din (A10),

x ≤ (x → y) → y.(A22): Conform (A4), trebuie sa demonstram ca:

(a) x → (1 → x) = 1 si (b) (1 → x) → x = 1.Intr-adevar, (a) este adevarata conform (A1). Pentru a demonstra (b), sa ob-servam ca, din (A21), avem 1 ≤ (1 → x) → x, prin urmare, din (A5’), avem(1 → x) → x = 1, adica (b) este adevarata de asemenea. 2

Sa definim un nou element al lui B astfel:

(4.2) 0 = 1−

si sa definim doua noi operatii ∧, ∨ astfel: pentru orice x, y ∈ B,

(4.3) x ∧ y = (x → y−)−, x ∨ y = (x− ∧ y−)− = x− → y.

Propozitia 4.2.10 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ B:

(A23) x → y ≤ y− → x−,(A24) y− → x− = x → y,(A25) 0− = 1,(A26) x ≤ y ⇐⇒ y− ≤ x−,(A27) 0 ≤ x,(A28) x− = x → 0,(A29) x → x− = x− sau, echivalent, x− → x = x,(A30) x− → y = y− → x,(A31) x → y− = y → x−,

Page 61: Draft de carte (din 2009)

4.2. O DEFINITIE ECHIVALENTA A ALGEBRELOR BOOLE 61

(A32) (x → y) → x = x (conditia implicativa),(A33) x → (y → z) = (x ∧ y) → z,(A34) x ≤ y− → (x → y)−.

Dem.(A23): Din (A20) si (A16), x → y = (x−)− → (y−)− ≤ y− → x−.(A24): Din (A16), y− → x− ≤ x → y si din (A23), x → y ≤ y− → x−; prin

urmare, prin (A4’), y− → x− = x → y.(A25): 0− = (1−)− = 1, din (A20).(A26): Din (A3), (y− → x−) → (x → y) = 1 si din (A23), (x → y) → (y− →

x−) = 1.Prin urmare, aplicand (MP), daca y− ≤ x−, adica y− → x− = 1, atunci x → y = 1,adica x ≤ y sidaca x ≤ y, adica x → y = 1, atunci y− → x− = 1, adica y− ≤ x−.

(A27): Din (A26), (A25), 0 ≤ x ⇐⇒ x− ≤ 0− ⇐⇒ x− ≤ 1. Dar, din (A5’),x− ≤ 1 este adevarata, prin urmare 0 ≤ x.

(A28): Din (A24), (A25), (A22), avem x → 0 = 0− → x− = 1 → x− = x−.(A29): Din (A9), avem x− ≤ x → x−; din (A28), (A2), (A6), (A28), (A22),

avemx → x− = x → (x → 0) ≤ (x → x) → (x → 0) = 1 → x− = x−, adicax → x− ≤ x−, conform (A7’). Rezulta ca x → x− = x−, prin (A4’). Atunci saınlocuim x cu x−.

(A30): Din (A20), (A24), avem x− → y = x− → (y−)− = y− → x.(A31): Din (A20), (A24), obtinem x → y− = (x−)− → y− = y → x−.(A32): Conform (A4), trebuie sa demonstram:

(a) x → [(x → y) → x] = 1 si (b) [(x → y) → x] → x = 1.Intr-adevar, (a) rezulta din (A1). Pentru a demonstra (b), ıntai sa observam ca(x → y) → x = x− → (x → y)−, din (A24). Dar, prin (A17)(a), avem x− ≤ x → y;din (A26), (A20), avem x− ≤ x → y ⇐⇒ (x → y)− ≤ (x−)− ⇐⇒ (x → y)− ≤ x.

Acum, prin (A15), obtinem x− → (x → y)− ≤ x− → x(A29)= x. Prin urmare,

(x → y) → x ≤ x.(A33): (x ∧ y) → z = (x → y−)− → z = z− → (x → y−) = x → (z− → y−) =

x → (y → z), prin (A24), (A20), (A14), (A24).(A34): Din (A21), (A16), avem x ≤ (x → y) → y = y− → (x → y)−. 2

Propozitia 4.2.11 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ B:

(A35) (x ∧ y)− = x− ∨ y− (legea De Morgan),(A36) (x ∨ y)− = x− ∧ y− (legea De Morgan).

Dem.(A35): (x ∧ y)− = ((x → y−)−)− = x → y− si x− ∨ y− = (x−)− → y− = x →

y−, din (A20).

Page 62: Draft de carte (din 2009)

62 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

(A36): (x ∨ y)− = (x− → y)− si x− ∧ y− = (x− → (y−)−)− = (x− → y)−, din(A20). 2

Suntem acum ın masura sa demonstram ca (B1) - (B7) sunt ındeplinite.

Teorema 4.2.12 Axiomele (A1) - (A4) implica (B1) - (B7).

Dem.(B1): x ∨ x = x ⇐⇒ x− → x = x, conform (A29).

x ∧ x = x ⇐⇒ (x → x−)− = x si din (A29), (A20), (x → x−)− = (x−)− = x.(B2): x ∨ y = y ∨ x ⇐⇒ x− → y = y− → y, conform (A30).

x ∧ y = y ∧ x ⇐⇒ (x → y−)− = (y → x−)−, conform (A31).(B3): x ∨ (y ∨ z) = x ∨ (y− → z) = x− → (y− → z).

(x ∨ y) ∨ z = z ∨ (x ∨ y) = z− → (x ∨ y) = z− → (x− → y), din (B2), (A30).Dar, x− → (y− → z) = x− → (z− → y) = z− → (x− → y), din (A30), (A14).x ∧ (y ∧ z) = x ∧ (y → z−)− = (x → (y → z−))−, din (A20).(x∧ y)∧ z = z ∧ (x → y−)− = (z → (x → y−))− = (x → (z → y−))− = (x → (y →z−))−, prin (B2), (A20), (A14), (A31).

(B4): x ∨ (x ∧ y) = (x ∧ y) ∨ x = (x → y−) → x = x, din (B2), (A20), (A32).x ∧ (x ∨ y) = (x ∨ y) ∧ x = (x− → y) ∧ x = ((x− → y) → x−)− = (x−)− = x, din(B2), (A32).

Sa observam ca din (B1) - (B4), rezulta ca (B,≤) este o latice; prin urmare,x ∧ y ≤ x ≤ x ∨ y, iar a ≤ b si a′ ≤ b′ implica a ∧ a′ ≤ b ∧ b′, a ∨ a′ ≤ b ∨ b′.

(B5): Conform (A4’), trebuie sa demonstram:(a) (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z si (b) (x ∨ y) ∧ z ≤ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).Intr-adevar, pentru a demonstra (a): deoarece x ∧ z ≤ z si y ∧ z ≤ z, atunci(x∧z)∨(y∧z) ≤ z si deoarece x∧z ≤ x si y∧z ≤ y, atunci (x∧z)∨(y∧z) ≤ x∨y;astfel, (a) are loc.Pentru a demonstra (b), mai ıntai sa demonstram

(4.4) x ∨ y ≤ z → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)].

Intr-adevar, deoarece z → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)] = z → [(z → x−) → (y → z−)−](A14)=

(z → x−) → [z → (y → z−)−], atunci (4.4) este echivalent cu

(4.5) x ∨ y ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−].

Din (A34), avem

(4.6) y ≤ z → (y → z−)−.

Din (4.6), prin (A15), obtinem ca (z → x−) → y ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−]si din (A9) avem y ≤ (z → x−) → y; rezulta, prin (A7’), ca

(4.7) y ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−].

Page 63: Draft de carte (din 2009)

4.2. O DEFINITIE ECHIVALENTA A ALGEBRELOR BOOLE 63

Din (A11), avemx− → (y → z−)− ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−] si din (A9), (A16), avemx ≤ (y → z−) → x = x− → (y → z−)−.Rezulta, prin (A7’), ca

(4.8) x ≤ (z → x−) → [z → (y → z−)−].

Din (4.7) si (4.8), obtinem (4.5), deci (4.4).Acum, deoarece (4.4) ınseamna ca (x ∨ y) → (z → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)]) = 1, rezulta,prin (A33), ca[(x ∨ y) ∧ z] → [(x ∧ z) ∨ (y ∧ z)] = 1, adica (b) are loc.

(B6): x ∨ 0 = x− → 0 = (x−)− = x si x ∧ 1 = (x → 1−)− = (x → 0)− =(x−)− = x.

(B7): x ∨ x− = x− → x− = 1 si x ∧ x− = (x → x)− = 1− = 0. 2

4.2.3 Aplicatiile α si β sunt mutual inverse

Fie

(B,∧,∨,−, 0, 1) α−→ (B,→,−, 1)β−→ (B,

∧,∨

,−,0, 1)

Atunci pentru orice x, y ∈ B, avem:x

∧y = (x → y−)− = (x− ∨ y−)− = x ∧ y,

x∨

y = x− → y = (x−)− ∨ y = x ∨ y,0 = 1− = 0,deci β ◦ α = 1(B,∧,∨,−,0,1).

Invers, fie

(B,→ −, 1)β−→ (B,∧,∨,−, 0, 1) α−→ (B,⇒,−, 1)

Atunci pentru orice x, y ∈ B, avem:x ⇒ y = x− ∨ y = (x−)− → y = x → y,deci α ◦ β = 1(B,→,−,1).

Cu aceasta, demonstratia Teoremei 4.2.1 s-a terminat. 2

Observatii 4.2.13(i) Aceasta a fost o demonstratie directa ca o algebra (A,→,−, 1) cu axiomele

(A1) - (A4) este o algebra Boole. Dar exista si demonstratiile urmatoare:(ii) Din (A1), (A2), (A3), (B,→, 1) este o algebra Hilbert [6]; din (4.2), (A27),

(A20), ea este o algebra Hilbert marginita care satisface proprietatea dublei negatii((x−)− = x), prin urmare este o algebra Boole, conform [4].

(iii) Din (A12), (A21), (A6’), (A5’), (A4’), (4.1), (B,≤,→, 1) este o algebraBCK-de stanga, rasturnata [27], [28], [29]; din (A32), ea este implicativa (see[31]); prin urmare, din (4.2), (A27), (B,≤,→, 0, 1) este o algebra BCK-de stanga,rasturnata, implicativa, marginita, deci este o algebra Boole, conform [31].

Page 64: Draft de carte (din 2009)

64 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Observatie 4.2.14 Algebra Boole, avand proprietatea dublei negatii ((x−)− = x),este autoduala. De aceea, ın afara de implicatia →, mai exista si implicatia duala,→R, corespunzatoare lui ∨:

x →R y = (x ∨ y−)− = x− ∧ y,

care este legata de → prin legaturi asemanatoare celor dintre ∧ si ∨, si anume:

x → y = (x− →R y−)−, x →R y = (x− → y−)−.

In consecinta, se poate defini algebra Boole duala a algebrei (B,→,−, 1), anumealgebra (B,→R,−, 0), avand ca axiome:

(A1R) x →R (y →R x) = 0,(A2R) [x →R (y →R z)] →R [(x →R y) →R (x →R z)] = 0,(A3R) (y− →R x−) →R (x →R y) = 0,(A4R) daca x →R y = 0 si y →R x = 0, atunci x = y.

Asa cum notiunea duala filtrului este idealul, asa si notiunea duala sistemuluideductiv (fata de →) este sistemul deductiv (fata de →R).

4.3 Inel Boole. Echivalenta cu algebra Boole

Sa amintim urmatoarele definitii:Se numeste semigrup sau monoid o algebra A = (A, ∗) de tip (2), unde A 6= ∅

si operatia ∗ este asociativa. (A, ∗) se numeste semigrup comutativ sau abeliansau monoid comutativ sau abelian daca operatia ∗ este comutativa. Se numestesemigrup unitar sau monoid unitar o algebra A = (A, ∗, e) de tip (2,0), unde(A, ∗) este semigrup si e este element neutru al operatiei ∗, adica x ∗ e = e ∗ x = x,pentru orice x ∈ A.

Exemple:(Z, +, 0), (Z, ·, 1), (N, +, 0), (N, ·, 1) sunt semigrupuri comutative, unitare.

Se numeste group o algebra G = (G,+,−, 0) - ın notatie aditiva - de tip (2, 1, 0),astfel ca urmatoarele axiome sunt satisfacute: pentru toti x, y, z ∈ G,(g1) (asociativitatea) x + (y + z) = (x + y) + z,(g2) (0 este elementul neutru) x + 0 = x = 0 + x,(g3) x + (−x) = 0 = (−x) + x.

In notatie multiplicativa, un grup este o algebra G = (G, ·,−1, 1).Sa observam ca ın unele materiale grupul este definit, echivalent, ca o algebra

(G, +, 0) - ın notatia aditiva - sau o algebra (G, ·, 1) - ın notatia multiplicativa.Grupul se zice commutativ sau abelian daca:

(g0) (comutativitatea) x + y = y + x, pentru toti x, y ∈ G.

Page 65: Draft de carte (din 2009)

4.3. INEL BOOLE. ECHIVALENTA CU ALGEBRA BOOLE 65

Propozitia 4.3.1 Fie (G, +,−, 0) un group. Atunci(g4) −(−x) = x, pentru toti x ∈ G,(g5) −0 = 0.

Se numeste inel o algebra (A, +, ·,−, 0) de tip (2, 2, 1, 0), unde A 6= ∅ si:(a) (A,+,−, 0) este grup abelian,(b) (A, ·) este semigrup,(c) operatia · este distributiva fata de operatia +, adica pentru orice x, y, z ∈ A,

x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x.

Sa observam ca ın unele materiale inelul este definit, echivalent, ca o algebra(A, +, ·, 0), deoarece se considera definitia echivalenta a grupului ca o algebra(A, +, 0).

Un inel se numeste comutativ, daca si operatia de ınmultire · este comutativa.Un inel se numeste unitar, daca semigrupul (A, ·) este unitar; deci, un inel unitareste o algebra (A, +, ·,−, 0, 1).

Definitie 4.3.2 Se numeste inel boolean sau inel Boole orice inel unitar A =

(A, +, ·,−, 0, 1) cu proprietatea ca x2 = x pentru orice x ∈ A, unde x2 notatie= x · x.

Lema 4.3.3 Fie A un inel Boole. Atunci pentru orice doua elemente x, y ∈ A,avem x + x = 0 si x · y = y · x.

Dem. Din x+ y = (x+ y)2 = x2 +x · y + y ·x+ y2 = x+x · y + y ·x+ y rezultax · y + y · x = 0. Luand y = x, se obtine x + x = x2 + x2 = 0.Pentru orice z ∈ A, vom avea z + z = 0, adica z = −z. Luand z = x · y, rezultax · y = −(x · y) = y · x. 2

Teorema 4.3.41) Fie A = (A, +, ·,−, 0, 1) un inel Boole. Sa definim

β(A) = (A,∧,∨,−, 0, 1),

unde:x ∨ y

def.= x + y + x · y, x ∧ y

def.= x · y, x−

def.= x + 1.

Atunci β(A) este o algebra Boole.1’) Invers, fie A = (A,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. Sa definim:

ρ(A) = (A, +, ·,−, 0, 1),

unde:x + y

def.= (x ∧ y−) ∨ (x− ∧ y), x · y def.

= x ∧ y, −xdef.= x.

Atunci ρ(A) este un inel Boole.2) Aplicatiile β si ρ sunt mutual inverse.

Page 66: Draft de carte (din 2009)

66 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Dem. (1): Sa demonstram, de exemplu, asociativitatea operatiei ∨:(x∨y)∨z = (x+y+x·y)+z+(x+y+x·y)·z = x+y+z+x·y+y ·x+z ·x+x·y ·z =. . . = x ∨ (y ∨ z).

Vom mai demonstra ca x + 1 verifica proprietatile complementului:x∨ (x+1) = x+x+1+x · (x+1) = 2x+1+x2 +x = 0+1+ (x+x) = 1+0 = 1,

unde 2xnotatie

= x + x, six ∧ (x + 1) = x · (x + 1) = x2 + x = x + x = 0.

(1’): Sa verificam asociativitatea operatiei +:(a + b) + c = [((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b)) ∧ c−] ∨ [((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b))− ∧ c];calculam separat:((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b)) ∧ c− = (a ∧ b− ∧ c−) ∨ (a− ∧ b ∧ c−) si((a ∧ b−) ∨ (a− ∧ b))− ∧ c = ((a− ∨ b) ∧ (a ∨ b−)) ∧ c =[(a ∧ a−) ∨ (a− ∧ b−) ∨ (a ∧ b) ∨ (b ∧ b−)] ∧ c =((a ∧ b) ∨ (a− ∧ b−)) ∧ c = (a ∧ b ∧ c) ∨ (a− ∧ b− ∧ c).Inlocuind mai sus, se obtine:(a + b) + c = (a− ∧ b− ∧ c) ∨ (a− ∧ b ∧ c−) ∨ (a ∧ b− ∧ c−) ∨ (a ∧ b ∧ c).Expresia obtinuta este simetrica ın a, b, c, deci (a + b) + c = a + (b + c).

Verificarea celorlalte axiome ale inelului Boole se face similar.(2): Prin calcule. 2

Corolar 4.3.5 Algebrele Boole si inelele Boole sunt termen echivalente.

Dem. Prin Teorema 4.3.4. 2

Caz particular. Fie algebra Boole P(X) a partilor unei multimi X. Adunarea+ a inelului Boole asociat ρ(P(X)) este chiar diferenta simetrica: A4B = (A −B) ∪ (B −A), iar ınmultirea · este intersectia: A ∩B.

Exercitiu 4.3.6 Fie A = (A,+, ·,−, 0, 1) un inel comutativ si unitar. Un elemente ∈ A se numeste idempotent daca e2 = e. Sa notam cu B(A) multimea elementeloridempotente ale lui A. Pe B(A), sa definim operatia urmatoare: pentru oricee, f ∈ B(A),

e⊕ fdef.= e + f − 2(e · f).

Sa se arate ca (B(A),⊕, ·, 0, 1) este inel Boole.

4.4 Subalgebre, homomorfisme

Definitie 4.4.1 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. O submultime nevidaS a lui B se numeste subalgebra Boole (pe scurt, subalgebra) a lui B daca S esteınchisa la operatiile din B, adica daca sunt verificate axiomele urmatoare: pentruorice x, y ∈ A,

Page 67: Draft de carte (din 2009)

4.4. SUBALGEBRE, HOMOMORFISME 67

(a) x, y ∈ S implica x ∧ y ∈ S,(b) x, y ∈ S implica x ∨ y ∈ S,(c) x ∈ S implica x− ∈ S,(d) 0 ∈ S, 1 ∈ S.

Observatii 4.4.2(1) Fiecare din axiomele (a), (b), (d) rezulta din celelalte trei. Axioma (c) nu

rezulta din celelalte. Intr-adevar, consideram algebra Boole L22 si S = {(0, 0), (1, 0), (1, 1)}.

S verifica axiomele (a), (b), (d), dar nu este ınchisa la negatie.(2) Daca S este subalgebra Boole a lui (B,∧,∨,−, 0, 1), atunci (S,∧,∨,−, 0, 1)

este algebra Boole, unde am notat tot cu ∧,∨,− restrictiile operatiilor din B la S.

Exemple 4.4.3(1) Daca B = (B,∧,∨,−, 0, 1) este o algebra Boole, atunci L2 = {0, 1} ⊂ B este

subalgebra a lui B.(2) Daca B este o algebra Boole, atunci LN

2 este subalgebra a lui BN.(3) Daca X este un spatiu topologic, atunci algebra Boole B(X) a partilor lui

X care sunt simultan ınchise si deschise este subalgebra a lui P(X).(4) L3

2 = L2 × L2 × L2 = {0, a, b, c, d, e, f, 1} are urmatoarele subalgebre:S1 = {0, 1}, S2 = {0, c, d, 1}, S3 = {0, b, e, 1}, S4 = {0, a, f, 1}, S5 = L3

2.

Exercitiu 4.4.4 Sa se scrie un program pentru determinarea tuturor subalgebrelorlui Ln

2 , n ≥ 2.

Definitie 4.4.5 Fie A = (A,∧A,∨A,−A , 0A, 1A) si B = (B,∧B ,∨B ,−B , 0B , 1B)doua algebre Boole.

Un homomorfism, sau morfism, de algebre Boole sau boolean, de la A la B, esteo functie f : A −→ B care satisface proprietatile urmatoare: pentru orice x, y ∈ A,(H1) f(x ∧A y) = f(x) ∧B f(y),(H2) f(x ∨A y) = f(x) ∨B f(y),(H3) f(x−A) = f(x)−B ,(H4) f(0A) = 0B , f(1A) = 1B .

Un izomorfism de algebre Boole este un homomorfism de algebre Boole careeste bijectiv. Daca algebrele Boole A si B sunt izomorfe, atunci vom nota A ∼= B.

Un endomorfism al algebrei Boole A este un homomorfism f : A −→ A.Un automorfism al algebrei Boole A este un izomorfism f : A −→ A.

Observatii 4.4.6(i) Fiecare din cele patru axiome (H1) - (H4) este implicata de celelalte trei.

De exemplu, (H4) este implicata de (H1) - (H3): ıntr-adevar, S 6= ∅ ınseamna caexista x ∈ S, deci x− ∈ S si deci x ∧ x− = 0 ∈ S si x ∨ x− = 1 ∈ S.

(ii) Un morfism boolean f : A −→ B verifica urmatoarele proprietati legate deimplicatia si echivalenta booleana: pentru orice x, y ∈ A,f(x →A y) = f(x) →B f(y), f(x ↔A y) = f(x) ↔B f(y).

Page 68: Draft de carte (din 2009)

68 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

(iii) Orice morfism de algebre Boole este o aplicatie izotona (pastreaza ordinea),adica,

x ≤A y ⇒ f(x) ≤B f(y).

Intr-adevar, x ≤A y ⇔ x ∨A y = y implica f(x ∨A y) = f(y) = f(x) ∨B f(y), adicaf(x) ≤B f(y).

Propozitia 4.4.7 Daca f : A −→ B este un homomorfism de algebre Boole si Seste o subalgebra Boole a lui A, atunci f(S) este o subalgebra Boole a lui B. Inparticular, imaginea, f(A), a lui A prin f este o subalgebra Boole a lui B.

Dem. Imediat. 2

Vom nota cu Boole categoria algebrelor Boole si a morfismelor booleene.

Exemple 4.4.8 Exemple de morfisme booleene.(1) Fie X, Y doua multimi nevide si f : X −→ Y o functie oarecare. Functia

Φ : P(Y ) −→ P(X), definita de Φ(C) = f−1(C), pentru orice C ⊆ Y , este unmorfism boolean.

(2) Fie P(X) algebra Boole a partilor lui X. Consideram functia Φ : P(X) −→LX

2 , definita de Φ(A) = χA, pentru orice A ⊆ X (unde χA este functia caracteristicaa lui A). Atunci Φ este un izomorfism boolean.

(3) Rombul este izomorf cu L22.

(4) Cubul este izomorf cu L32.

(5) Ne propunem sa determinam automorfismele cubului.Intai, vom observa ca daca f : A −→ B este un izomorfism boolean, atunci: pentruorice x, y ∈ A,

x < y ⇐⇒ f(x) < f(y).

Atunci daca f este un automorfism al cubului, vom avea f({a, b, c}) = {a, b, c}.Rezulta ca numarul de automorfisme ale cubului este 8 (= numarul de permutariale unei multimi cu 3 elemente). Morfismul identic este unul din cele 8. Sa vedemcum se determina unul din celelalte. Presupunem ca f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a.Atunci:f(x) = f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b) = b ∨ c = z,f(y) = f(a ∨ c) = f(a) ∨ f(c) = b ∨ a = x,f(z) = f(b ∨ c) = f(b) ∨ f(c) = c ∨ a = y.Bineınteles ca f(0) = 0 si f(1) = 1.

Exercitii 4.4.9(1) Sa se determine (eventual printr-un program) toate automorfismele lui Ln

2 ,n ≥ 2.

(2) Sa se determine toate morfismele booleene de tipul: (a) f : L32 −→ L2, (b)

f : L32 −→ L2

2, (c) f : L22 −→ L3

2, (d) f : L32 −→ L3

2.

Page 69: Draft de carte (din 2009)

4.4. SUBALGEBRE, HOMOMORFISME 69

Observatie 4.4.10 Fie f : L −→ L′ un morfism din Ld(0, 1) (latici distributivecu prim si ultim element). Daca x ∈ C(L), atunci f(x) ∈ C(L′), deci putem definiC(f) = f |C(L): C(L) −→ C(L′). Atunci C(f) este un morfism boolean. AsociereaL ; C(L), f ; C(f) defineste un functor contravariant C : Ld(0, 1) −→ Boole.

Lema 4.4.11 Fie f : A −→ B un morfism boolean. Sunt echivalente afirmatiile:(1) f este injectiv,(2) Pentru orice x, y ∈ A, avem: x ≤ y ⇐⇒ f(x) ≤ f(y).

Dem.(1) ⇒ (2): Daca f(x) ≤ f(y), atunci f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y) = f(x), deci

x ∧ y = x, de unde x ≤ y. Este evident ca x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).(2) ⇒ (1): Daca F (x) = f(y), atunci f(x) ≤ f(y) si f(y) ≤ f(x), de unde x ≤ y

si y ≤ x; rezulta x = y. 2

Lema 4.4.12 Fie f : A −→ B un morfism boolean. Sunt echivalente afirmatiile:(1) f este injectiv,(2) f−1(0) = {0},(3) f−1(1) = {1}.

Dem.(1) ⇒ (3): f(x) = 1 = f(1) implica x = 1.(3) ⇒ (1): f(x) ≤ f(y) implica f(x → y) = f(x) → f(y) = 1 implica x → y = 1

implica x ≤ y. Aplicand Lema 4.4.11, rezulta ca f este injectiv.(1) ⇐⇒ (2) se demonstreaza analog. 2

Observatii 4.4.13(i) Fie A, B doua inele Boole si β(A), β(B) algebrele Boole asociate. Daca

f : A −→ B este un morfism de inele unitare, atunci

β(f) = f : β(A) −→ β(B)

este un morfism boolean.(i’) Fie A, B doua algebre Boole si ρ(A), ρ(B) inelele Boole asociate. Daca

g : A −→ B este un morfism boolean, atunci

ρ(g) = g : ρ(A) −→ ρ(B)

este un morfism de inele unitare.ρ poate fi privit ca un functor de la categoria algebrelor Boole la categoria

inelelor Boole, iar β un functor de la categoria inelelor Boole la categoria algebrelorBoole. Functorii ρ si β stabilesc un izomorfism ıntre categoria algebrelor Boole sicategoria inelelor Boole.

Page 70: Draft de carte (din 2009)

70 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

4.5 Filtre (ideale) si congruente. Algebre Boolecat

4.5.1 Filtre (ideale) si sisteme deductive

Definitie 4.5.1 Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare. O submultimenevida F a lui B se numeste filtru, daca pentru orice x, y ∈ B avem:(F1) x, y ∈ F implica x ∧ y ∈ F ,(F2) x ∈ F , x ≤ y implica y ∈ F .

Observatii 4.5.2(i) Din (F2) rezulta ca 1 ∈ F , deoarece orice x ∈ F verifica x ≤ 1.(ii) Pentru orice elemente x, y ∈ B, x, y ∈ F daca si numai daca x ∧ y ∈ F .

Dual, un ideal al lui B este o submultime nevida I a lui B pentru care:(F1’) x, y ∈ I implica x ∨ y ∈ I,(F2’) x ∈ I, x ≥ y implica y ∈ I.

Observatii 4.5.3(i’) Din (F2’) rezulta ca 0 ∈ I, deoarece orice x ∈ I verifica x ≥ 0.(ii’) Pentru orice elemente x, y ∈ B, x, y ∈ I daca si numai daca x ∨ y ∈ I.

Unui filtru F i se asociaza idealul IF = {x− | x ∈ F}, iar unui ideal I i seasociaza filtrul FI = {x− | x ∈ I}. In acest fel, filtrele lui B sunt ın corespondentabiunivoca cu idealele lui B. Conform acestei observatii, vom studia numai filtreleunei algebre Boole; proprietatile idealelor se vor obtine prin dualizare.

Definitie 4.5.4 Fie B o algebra Boole. Un →-sistem deductiv sau simplu un sis-tem deductiv cand nu este pericol de confuzie al lui B este o submultime S ⊆ Bcare satisface proprietatile:(sd1) 1 ∈ S,(sd2) x ∈ S si x → y ∈ S implica y ∈ S.

Propozitia 4.5.5 Filtrele lui B coincid cu sistemele sale deductive.

Dem.Fie F un filtru al lui B. Deci 6= F ⊆ B. Fie x ∈ F ; avem x ≤ 1, prin urmare

1 ∈ F , conform (F2). Fie acum x, x → y ∈ F . Atunci x ∧ (x → y) ∈ F , conform(F1); dar x ∧ (x → y) = x ∧ (x− ∨ y) = 0 ∨ (x ∧ y) = x ∧ y si x ∧ y ≤ y. Rezulta,aplicand (F2), ca y ∈ F . Deci, F este un sistem deductiv.

Invers, fie S un sistem deductiv al lui B. Din (sd1), avem ca 1 ∈ S, deciS este nevida. Fie x, y ∈ S. We have that y → (x → (x ∧ y)) = 1. Indeed,y → (x → (x∧ y)) = y− ∨x− ∨ (x∧ y) = (y− ∨x− ∨x)∧ (y− ∨x− ∨ y) = 1∧ 1 = 1.Dar 1 ∈ S, prin urmare y → (x → (x ∧ y)) ∈ S. Rezulta ca x → (x ∧ y) ∈ S, din

Page 71: Draft de carte (din 2009)

4.5. FILTRE (IDEALE) SI CONGRUENTE. ALGEBRE BOOLE CAT 71

(sd2). De aici rezulta ca x ∧ y ∈ S; deci (F1) are loc. Fie acum x ∈ S si x ≤ y.Atunci x → y = 1, conform Propozitiei 4.1.9. Dar 1 ∈ S, din (sd1), deci x → y ∈ S.Rezulta ca y ∈ S, din (sd2). Astfel, (F2) are loc de asemenea, deci S este un filtru.2

4.5.2 Congruente. Corespondenta filtre - congruente

Definitie 4.5.6 Fie B o algebra Boole. O relatie de echivalenta ∼ pe B se numestecongruenta a lui B daca este compatibila cu ∨, ∧, −, adica daca: pentru oricex, y, x′, y′ ∈ B,(C1) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ∨ x′) ∼ (y ∨ y′),(C2) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ∧ x′) ∼ y(∧y′),(C3) x ∼ y implica x− ∼ y−.

Observatii 4.5.7(i) Conditia (C1) sau (C2) rezulta din celelalte doua.(ii) Daca ∼ este o congruenta a lui B, atunci:(C4) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x → x′) ∼ (y → y′),(C5) x ∼ y, x′ ∼ y′ implica (x ↔ x′) ∼ (y ↔ y′).

Daca algebra Boole este definita echivalent ca o structura (B,→,−, 1), atuncicongruenta se defineste echivalent ca o relatie de echivalenta compatibila cu → sicu −.

Propozitia 4.5.8 Filtrele unei algebre Boole sunt ın corespondenta bijectiva cucongruentele sale.

Dem.• Fiecarui filtru F al lui B = (B,∨,∧,−, 0, 1) ıi asociem urmatoarea relatie

binara, ∼F , definita astfel: pentru orice x, y ∈ B,

x ∼F y ⇔ x ↔ y ∈ F.

Sa observam ca x ↔ y ∈ F ⇔ (x → y ∈ F si y → x ∈ F ).- Sa demonstram ca ∼F este o relatie de echivalenta pe B si ca este o congruenta

a lui B.Aratam ıntai ca ∼F este o relatie de echivalenta pe B:Pentru orice x ∈ B, x ∼F x rezulta din x ↔ x = 1 ∈ F .Pentru orice x, y ∈ B, x ∼F y implica y ∼F x, deoarece x ↔ y = y ↔ x.Pentru orice x, y, z ∈ B care verifica x ∼F y si y ∼F z, deci x → y ∈ F , y → x ∈ F ,y → z ∈ F , z → y ∈ F , trebuie sa aratam ca x ∼F z.Sa stabilim inegalitatea

(x → y) ∧ (y → z) ≤ x → z,

care va implica x → z ∈ F . Intr-adevar,(x → y)∧ (y → z) = (x− ∨ y)∧ (y− ∨ z) = (x− ∧ y−)∨ (y ∧ y−)∨ (x∧ z)∨ (y ∧ z) ≤

Page 72: Draft de carte (din 2009)

72 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

x− ∨ z = x → z.Analog, rezulta z → x ∈ F ; deci x ∼F z. Deci, ∼F este o relatie de echivalenta peB.

- Sa demonstram (C1): fie x ∼F y si x′ ∼F y′, deci x → y ∈ F , y → x ∈ F ,x′ → y′ ∈ F , y′ → x′ ∈ F ; se observa ca:(x → y) ∧ (x′ → y′) = (x− ∨ y) ∧ (x′− ∨ y′) ≤ (x− ∨ y ∨ y′) ∧ (x′− ∨ y ∨ y′) =(x− ∧ x′−) ∨ y ∨ y′ = (x ∨ x′) → (y ∨ y′).Folosind aceasta inegalitate, se obtine (x∨ x′) → (y ∨ y′) ∈ F si analog, (y ∨ y′) →(x ∨ x′) ∈ F , deci (x ∨ x′) ∼F (y ∨ y′); astfel, (C1) este adevarata.

- (C2) se demonstreaza similar.- Sa demonstram (C3): deoarece x ↔ y = x− ↔ y−, vom avea: x ∼F y implica

x− ∼F y−; astfel, (C3) este adevarata. Deci, ∼F este o congruenta a lui B.• Invers, fiecarei congruente ∼ a lui B ıi asociem submultimea lui B definita

astfel:F∼ = {x ∈ B | x ∼ 1}.

Sa aratam ca F∼ este un filtru al lui B.- F∼ este nevida, deorece 1 ∼ 1 implica 1 ∈ F .- Sa demonstram (F1): x, y ∈ F∼, adica x ∼ 1, y ∼ 1 implica (x∧ y) ∼ (1∧ 1 = 1),adica x ∧ y ∈ F∼;- Sa demonstram (F2): fie x ∈ F∼, x ≤ y; deci x ∼ 1 si x ∨ y = y, care implica(y = x ∨ y) ∼ (1 ∨ y = 1), adica y ∈ F∼. Deci, F∼ este un filtru al lui B.

• Daca FB este multimea filtrelor lui B si CB este multimea congruentelor luiB, atunci consideram aplicatiile:

Φ : FB −→ CB si Ψ : CB −→ FB ,

definite astfel: Φ(F ) =∼F , pentru orice F ∈ FB si Ψ(∼) = F∼, pentru orice∼∈ CB .Trebuie aratat ca Φ si Ψ sunt inverse una alteia, adica ca

Ψ(Φ(F )) = F si Φ(Ψ(∼)) =∼ .

Sa observam ca F 7→ ∼F 7→ F∼F si ∼ 7→ F∼ 7→ ∼F∼ .Atunci

F∼F = {x | x ∼F 1} = {x | x ↔ 1 ∈ F} = {x | x ∈ F} = F.

Vom demonstra ca ∼ = ∼F∼ , unde pentru x, y ∈ B,x ∼F∼ y este echivalent cu x → y ∈ F∼ si y → x ∈ F∼.- daca x ∼ y, atunci (x → y) ∼ (y → 1), deci (x → y) ∼ 1 si, analog, (y → x) ∼ 1.Rezulta x → y ∈ F∼ si y → x ∈ F∼, deci x ∼F∼ y.- daca x → y ∈ F∼ si y → x ∈ F∼, deci (x → y) ∼ 1 si (y → x) ∼ 1, rezulta ca(x ∧ y = x ∧ (x → y)) ∼ (x ∧ 1 = x) si, analog, (x ∧ y) ∼ y, deci x ∼ y. 2

Exercitiu 4.5.9 Fie algebra Boole P(X), cu X infinita. Sa se arate ca partilecofinite (= partile ce au complementarele finite) formeaza un filtru si sa se determinecongruenta asociata.

Page 73: Draft de carte (din 2009)

4.5. FILTRE (IDEALE) SI CONGRUENTE. ALGEBRE BOOLE CAT 73

4.5.3 Algebra Boole cat

Fie F un filtru al algebrei Boole B si ∼F relatia de congruenta asociata lui Fprin Propozitia precedenu a. Deoarece ∼F este o relatie de echivalenta pe B, saformam clasele de echivalenta: fie x/F clasa de echivalenta a lui x ∈ B, adica

x/F = {y ∈ B | y ∼F x}.Fie B/F = B/∼F multimea cat, adica multimea tuturor claselor de echivalenta:

B/F = {x/F | x ∈ B}.Daca x/F ∈ B/F si y/F ∈ B/F , atunci x/F = y/F ⇔ x ∼F y.

Sa definim pe multimea cat, B/F , urmatoarele operatii, notate tot cu ∨,∧,−:pentru orice x/F , y/F ∈ B/F ,

x/F ∨ y/F = (x ∨ y)/F , x/F ∧ y/F = (x ∧ y)/F , (x/F )− = (x−)/F .

Conform proprietatilor congruentei ∼F , cele trei operatii sunt bine definite (adicanu depind de reprezentantii claselor).

Sa definim de asemenea elementele:

0/F = {x ∈ B | x ∼F 0} ∈ B/F ,

1/F = {x ∈ B | x ∼F 1} = {x ∈ B | x ↔ 1 ∈ F} = {x ∈ B | x ∈ F} = F ∈ B/F .

Atunci avem urmatorul rezultat:

Propozitia 4.5.10 Structura (B/F ,∨,∧,−, 0/F , 1/F ) este o algebra Boole, nu-mita algebra Boole cat a lui B prin filtrul F .

Dem. Trebuie demonstrat ca pentru orice x/F , y/F ∈ B/F , avem:(B1) x/F ∨ x/F = x/F , x/F ∧ x/F = x/F , etc.Sa demonstram prima egalitate din (B1). Fie x/F ∈ B/F , element fixat, altfelarbitrar; sa demonstram ca x/F ∨ x/F = x/F . Intr-adevar, x/F ∨ x/F =x/F ⇔ (x ∨ x)/F = x/F ⇔ (x ∨ x) ∼F x ⇔ (x ∨ x) ↔ x ∈ F ; dar x ∨ x = x,conform (B1) din definitia algebrei Boole B; deci x ↔ x ∈ F ⇔ 1 ∈ F , ceea ceeste ıntotdeauna adevarat. Rezulta, conform Principiului Generalizarii, (PG), capentru orice x/F ∈ B/F , x/F ∨ x/F = x/F este adevarata. La fel se demonstreazarestul proprietatilor. 2

Sa observam ca daca F = B, atunci B/F = B/B = {B} este o algebra Boolecu un singur element.

Corolar 4.5.11 Surjectia canonica p : B −→ B/F , definita astfel: pentru oricex ∈ B,

p(x) = x/F ,

este un homomorfism de algebre Boole.

Page 74: Draft de carte (din 2009)

74 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Propozitia 4.5.12 Fie F un filtru al algebrei Boole B si fie B/F algebra Boolecat. Fie

∼U un filtru al algebrei Boole cat si fie

U = p−1(∼U) = {x ∈ B | p(x) ∈∼U}.

Atunci U este filtru al algebrei Boole B si F ⊆ U .

Dem.U 6= ∅: ∼

U este filtru, deci∼U 6= ∅. Atunci exista x = p(x) ∈∼U , deci x ∈ U si deci

U 6= ∅.(F1): Fie x, y ∈ U . Atunci p(x), p(y) ∈∼U . Cum

∼U este filtru, rezulta ca

p(x) ∧ p(y) = p(x ∧ y) ∈∼U , conform (F1). Deci, x ∧ y ∈ U .

(F2): Fie x ∈ U si x ≤ y. Atunci p(x) ∈∼U si p(x) ≤ p(y). Cum∼U este filtru,

rezulta ca p(y) ∈∼U , din (F2). Atunci y ∈ U .F ⊆ U : Fie x ∈ F , deci x ↔ 1 ∈ F , pentru ca x ↔ 1 = (x → 1) ∧ (1 → x) =

1 ∧ x = x. Rezulta ca x ∼F 1, deci p(x) = x = 1 ∈∼U . Atunci x ∈ U . 2

Observatie 4.5.13

U = F ⇐⇒∼U= {1} = {F}.

Invers, avem urmatorul rezultat.

Propozitia 4.5.14 Fie F,U filtre ale algebrei Boole B astfel ıncat F ⊆ U . Fie∼U= p(U), unde p : B −→ B/F . Atunci

∼U este filtru al algebrei Boole cat B/F .

Dem.∼U 6= ∅: U este filtru, deci U 6= ∅; deci exista x ∈ U si x = p(x) ∈ p(U) =

∼U .

Rezulta ca∼U 6= ∅.

(F1): Fie x = p(x), y = p(y) ∈∼U . Deci x, y ∈ U si U fiind filtru, rezulta din(F1) ca x ∧ y ∈ U . Atunci x ∧ y = p(x) ∧ p(y) = p(x ∧ y) ∈∼U .

(F2): Fie x = p(x) ∈∼U si p(x) = x ≤ y = p(y). Deci x ∈ U si x ≤ y. Cum U

este filtru, rezulta din (F2) ca y ∈ U . Atunci y = p(y) ∈∼U . 2

Observatie 4.5.15

Daca F este ultrafiltru, atunci B/F

izo.∼= L2 = {0, 1}.Fie B o algebra Boole si F,U filtre ale lui B, cu F ⊆ U . Atunci

- B/F este algebra Boole cat cu pF : B −→ B/F si∼U= pF (U),

- (B/F )/∼U

este algebra Boole cat diferita de {0, 1} ⇐⇒ U nu este ultrafiltru.

Atunci putem enunta urmatoarea teorema.

Page 75: Draft de carte (din 2009)

4.5. FILTRE (IDEALE) SI CONGRUENTE. ALGEBRE BOOLE CAT 75

Teorema 4.5.16 Fie F, U filtre ale algebrei Boole B cu F ⊆ U si fie∼U= pF (U) = {pF (x) | x ∈ U},

unde pf : B −→ B/F este surjectia canonica, definita astfel: pF (x) = x/F .Fie algebra Boole cat (B/F )∼

Usi algebra Boole cat B/U cu pU : B −→ B/U ,

definita astfel: pU (x) = x/U .Atunci

(B/F )/∼U

izo.∼= B/U .

Dem. Fie f, g doua aplicatii definite astfel:

(x/F )/∼U

f↪→g←↩ x/U .

Avemx/F = {y ∈ B | y ∼F x} = {y ∈ B | y ↔ x ∈ F},

(x/F )/∼U

= {y/F | y/F ∼∼U

x/F } = {y/F | y/F ↔ x/F ∈∼U} = {y/F | (y ↔ x)/F ∈∼U= pF (U)}.x/U = {y ∈ B | y ∼U x} = {y ∈ B | y ↔ x ∈ U}.

f este injectiva: Presupunem ca x/U = y/U . Sa demonstram ca

(4.9) (x/F )/∼U

= (y/F )/∼U

.

Dar x/U = y/U ⇐⇒ x ∼U y ⇐⇒ y ↔ x ∈ U ⊇ F . Atunci:- daca y ↔ x ∈ F , atunci y ∼F x, deci y/F = x/F si atunci (4.9) are loc.- daca y ↔ x ∈ U \ F , atunci (y ↔ x)/F = pF (y ↔ x) = pF (y) ↔ pF (x) = y/F ↔x/F ∈∼U . Rezulta ca y/F ∼∼

Ux/F , deci (4.9) are loc.

f este surjectiva: Fie x/U ∈ B/U . Exista x ∈ B, astfel ıncat pU (x) = x/U . Decix/F ∈ B/F , prin urmare exista y = (x/F )/∼

U∈ (B/F )/∼

Usi f(y) = f((x/F )/∼

U) =

x/U . 2

Propozitia 4.5.17 Fie f : B −→ B′ un morfism boolean.(1) f−1(1) = {x ∈ B | f(x) = 1} este un filtru al lui B;(2) f(B) este o subalgebra a lui B′, izomorfa cu B/f−1(1).

Dem.(1): Imediat.(2): Notam F = f−1(1) si definim functia g : B/F −→ f(B), pentru orice

x ∈ B, prin:g(x/F ) = f(x).

Definitia lui g nu depinde de reprezentanti: x/F = y/F implica x ↔ y ∈ F implicaf(x) ↔ f(y) = f(x ↔ y) = 1 implica f(x) = f(y).O verificare simpla arata ca g este morfism boolean. Conform implicatiilor:g(x/F ) = 1 implica f(x) = 1 implica x ∈ F implica x/F = 1/F ,rezulta ca g este injectiva. Surjectivitatea lui g este evidenta. 2

Page 76: Draft de carte (din 2009)

76 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Exercitiu 4.5.18 Fie f : B −→ B′ un morfism boolean surjectiv. Daca F este unfiltru al lui B, atunci f(F ) este un filtru al lui B′; daca G este un filtru al lui B′,atunci f−1(G) este un filtru al lui B. Filtrele lui B′ sunt ın corespondenta biunivocacu filtrele lui B ce includ pe f−1(1).

Exercitiu 4.5.19 Fie F, G doua filtre ale lui B astfel ıncat F ⊆ G. Atunci G/F ={x/F | x ∈ G} este un filtru al lui B/F si algebrele Boole (B/F )/(G/F ) si B/Gsunt izomorfe.

4.5.4 Filtru generat de o multime

Lema 4.5.20 Orice intersectie de filtre este un filtru.

Daca X este o submultime a lui B, atunci filtrul generat de X este intersectiafiltrelor ce includ pe X. Cu alte cuvinte, filtrul generat de X este cel mai mic filtru(ın sensul incluziunii) ce include pe X. Vom nota cu [X) filtrul generat de X.

Observatie 4.5.21 Un filtru F este filtrul generat de X daca el verifica :(a) X ⊆ F ,(b) G filtru, X ⊆ G =⇒ F ⊆ G.Este evident ca filtrul generat de multimea vida este {1}.

Propozitia 4.5.22 Daca X 6= ∅, atunci

[X) = {a ∈ B | ex. n ∈ N∗ si x1, . . . , xn ∈ X, x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a}.

Dem. Fie F multimea din dreapta. Aratam ca F este filtru. Daca a, b ∈ F , atunciexista x1, . . . , xn, y1, . . . , ym ∈ X astfel ıncat x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a, y1 ∧ . . . ∧ ym ≤ b.Rezulta x1 ∧ . . . xn ∧ y1 ∧ . . .∧ ym ≤ a∧ b, deci a∧ b ∈ F . Axioma (F2) este evidentverificata. Se observa ca X ⊆ F . Presupunem ca G este un filtru ce include pe X.Daca a ∈ F , atunci exista x1, . . . , xn ∈ X astfel ıncat x1 ∧ . . . ∧ xn ≤ a. Atuncix1, . . . , xn ∈ G, deci x1 ∧ . . . ∧ xn ∈ G, de unde a ∈ G. A rezultat F ⊆ G. Deci,[X) = F . 2

Vom nota cu [x) filtrul generat de {x}; [x) se va numi filtrul principal generatde x.

Corolar 4.5.23 [x) = {a | x ≤ a}.

Corolar 4.5.24 [{x1, . . . , xn}) = [x1 ∧ . . . ∧ xn).

Corolar 4.5.25 Daca F este un filtru si x ∈ B, atunci

[F ∪ {x}) = {a | ex. e ∈ F, e ∧ x ≤ a}.

Page 77: Draft de carte (din 2009)

4.6. TEOREMA DE REPREZENTARE A LUI STONE 77

Lema 4.5.26 Intr-o algebra Boole finita orice filtru este principal.

Observatie 4.5.27 Sa determinam congruenta asociata unui filtru principal [x):a ∼[x) b ⇐⇒ a → b ∈ [x), b → a ∈ [x)

⇐⇒ x ≤ a → b, x ≤ b → a⇐⇒ x ∧ a ≤ b, x ∧ b ≤ a⇐⇒ a ∧ x = b ∧ x.

Exercitiu 4.5.28 Sa se determine toate filtrele cubului, congruentele si algebreleBoole cat corespunzatoare.

Observatie 4.5.29 Intr-o algebra Boole definita echivalent ca o structura

B = (B,→,−, 1),

notiunea naturala este de sistem deductiv, nu de filtru. Daca S este un sistemdeductiv al lui B, atunci algebra Boole cat este definita echivalent astfel:

(B/F ,→,−, 1/F = F ),

undex/f → y/f

def.= (x → y)/F , (x/F )−

def.= (x−)/F ,

1/F = {x ∈ B | x ∼F 1} = 1/F = F.

4.6 Teorema de reprezentare a lui Stone

Scopul acestei sectiuni este de a demonstra ca orice algebra Boole este izomorfacu o algebra Boole ale carei elemente sunt parti ale unei multimi. Acest rezul-tat ocupa un loc central ın teoria algebrelor Boole si are numeroase aplicatii ınlogica, topologie, calculul probabilitatilor, etc. Instrumentul principal folosit ındemonstratie va fi conceptul de ultrafiltru.

Fie B = (B,∨,∧,−, 0, 1) o algebra Boole.

Definitie 4.6.1 Un filtru F al lui B este propriu daca F 6= B.

Observatie 4.6.2 F este propriu daca si numai daca 0 6∈ F . Intr-adevar, dacaprin absurd 0 ∈ F , atunci deoarece orice element x ∈ B verifica 0 ≤ x, ar rezultaca x ∈ F , deci B ⊆ F ; cum avem si F ⊆ B, am avea F = B: contradictie.

Multimea filtrelor proprii ale lui B este ordonata ın raport cu incluziunea.

Definitie 4.6.3 Un ultrafiltru sau filtru maximal este un element maximal al multimiifiltrelor proprii, adica este un filtru propriu U al lui B cu proprietatea ca pentruorice filtru propriu F , daca U ⊆ F , atunci U = F .

Page 78: Draft de carte (din 2009)

78 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Exemple 4.6.4(1) Daca X este o multime nevida si x ∈ X, atunci Ux = {A ⊆ X | x ∈ A} este

un ultrafiltru ın P(X).(2) Daca B = Ln

2 si e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1),atunci filtrele principale [e1), [e2), . . . , [en) sunt ultrafiltrele lui B.

In cazul algebrelor Boole infinite, demonstrarea existentei ultrafiltrelor (alteledecat cele din exemplul (1)) impune invocarea axiomei lui Zorn. Urmatorul rezultatpoarta numele de Teorema de existenta a ultrafiltrului.

Teorema 4.6.5 (Teorema de existenta a ultrafiltrului)Pentru orice filtru propriu F , exista un ultrafiltru U astfel ıncat F ⊆ U .

Dem. Fie∑

multimea filtrelor proprii ale lui B ce includ pe F . Evident, F ∈ ∑.

Vom arata ca (∑

,⊆) este inductiv ordonata. Fie (Fi)i∈I o familie total ordonatade filtre din

∑: pentru orice i, j ∈ I, Fi ⊆ Fj sau Fj ⊆ Fi. Notam G =

⋃i∈I Fi.

Vom demonstra ca G este un filtru propriu. Daca x, y ∈ G, atunci exista i, j ∈ I,astfel ıncat x ∈ Fi si y ∈ Fj . Putem presupune, de exemplu, ca Fi ⊆ Fj . Atuncix, y ∈ Fj , deci x ∧ y ∈ Fj ⊆ G. A doua proprietate din definitia filtrului se verificaimediat. Atunci G este un majorant al familiei (Fi)i∈I si (

∑,⊆) este inductiva.

Aplicand axioma lui Zorn, rezulta existenta unui ultrafiltru U ce include pe F . 2

Corolar 4.6.6 Daca x 6= 0, atunci exista un ultrafiltru U astfel ıncat x ∈ U .

Dem. Se aplica Propozitia 4.6.5 filtrului F = [x). 2

Definitie 4.6.7 Un filtru propriu F al lui B se numeste filtru prim daca pentruorice x, y ∈ B,

x ∨ y ∈ F implica x ∈ F sau y ∈ F.

Propozitia 4.6.8 Fie F un filtru propriu al lui B. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:(i) F este ultrafiltru,(ii) F este filtru prim,(iii) Pentru orice x ∈ B, avem x ∈ F sau x− ∈ F ,(iv) Algebra Boole cat B/F este izomorfa cu algebra Boole canonica, L2 = {0, 1}.Dem.

(i) =⇒ (ii): Presupunem prin absurd ca F nu este prim, deci exista x, y ∈ Bastfel ıncat x ∨ y ∈ F , dar x, y 6∈ F . Atunci incluziunile stricte:

F ⊂ [F ∪ {x}) si F ⊂ [F ∪ {y})arata ca filtrele [F ∪ {x}), [F ∪ {y}) nu sunt proprii, deci contin pe 0. FolosindCorolarul 4.5.25, din 0 ∈ [F ∪{x}) rezulta existenta unui element a ∈ F astfel ıncata ∧ x = 0. Analog, exista b ∈ F cu b ∧ y = 0. Atunci

0 = (a ∧ x) ∨ (b ∧ y) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ y) ∧ (x ∨ b) ∧ (x ∨ y).

Page 79: Draft de carte (din 2009)

4.6. TEOREMA DE REPREZENTARE A LUI STONE 79

Cum a ∨ b, a ∨ y, x ∨ b ∈ F (din a, b ∈ F ) si x ∨ y ∈ F (prin ipoteza), rezulta ca0 ∈ F : contradictie. Deci, F este prim.

(ii) =⇒ (iii): Din x ∨ x− = 1 ∈ F .(iii) =⇒ (i): Presupunem prin absurd ca exista un filtru propriu G astfel ıncat

F ⊂ G. Atunci exista x ∈ G si x 6∈ F . Folosind ipoteza (iii), x− ∈ F ⊆ G, deci0 = x ∧ x− ∈ G: contradictie. Deci, F este ultrafiltru.

Echivalenta (i) ⇐⇒ (iv) este lasata ca exercitiu. 2

Exercitiu 4.6.9 Un filtru propriu F este ultrafiltru daca si numai daca pentruorice x, y ∈ B, avem x → y ∈ F sau y → x ∈ F .

Suntem acum ın masura sa demonstram Teorema de reprezentare a lui Stone.

Teorema 4.6.10 (Teorema de reprezentare a lui Stone)Pentru orice algebra Boole B, exista o multime nevida X si un homomorfism

de algebre Boole injectiv, d : B −→ P(X).

Dem. Vom nota cu X multimea tuturor ultrafiltrelor lui B, iar d : B −→ P(X)este functia definita astfel: pentru orice x ∈ B,

d(x) = {U ∈ X | x ∈ U}.

Pentru orice x, y ∈ B si pentru orice ultrafiltru U , avem echivalentele:U ∈ d(x ∨ y) ⇐⇒ x ∨ y ∈ U

⇐⇒ x ∈ U sau y ∈ U (U este prim)⇐⇒ U ∈ d(x) sau U ∈ d(y)⇐⇒ U ∈ d(x) ∪ d(y).

U ∈ d(x ∧ y) ⇐⇒ x ∧ y ∈ U⇐⇒ x ∈ U si y ∈ U (U este filtru)⇐⇒ U ∈ d(x) si U ∈ d(y)⇐⇒ U ∈ d(x) ∩ d(y).

U ∈ d(x−) ⇐⇒ x− ∈ U⇐⇒ x 6∈ U (Propozitia 4.6.8 (iii))⇐⇒ U 6∈ d(x)⇐⇒ U ∈ Cd(x).

Am demonstrat ca:d(x ∨ y) = d(x) ∪ d(y); d(x ∧ y) = d(x) ∩ d(y); d(x−) = Cd(x),ceea ce arata ca d este un morfism boolean. Daca x 6= 0, atunci exista un ultrafiltruU astfel ıncat x ∈ U (Corolarul 4.6.6), deci U ∈ d(x) si d(x) 6= ∅. Am aratat cad(x) = ∅ implica x = 0, deci d−1(∅) = {0}. Aplicand Lema 4.4.12, d este injectiv.2

Cum P(X) si LX2 sunt algebre Boole izomorfe, teorema de reprezentare a lui

Stone capata si urmatoarea forma:

Page 80: Draft de carte (din 2009)

80 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Teorema 4.6.11 Pentru orice algebra Boole, exista o multime nevida si un mor-fism boolean injectiv d : B −→ LX

2 .

Observatie 4.6.12 Deoarece d : B −→ d(B) ⊆ P(X) este o bijectie (era injectie siacum este si surjectie), rezulta ca Teorema lui Stone se poate enunta si astfel: ”Oricealgebra Boole este isomorfa cu o subalgebra a unei algebre Boole de multimi”.

Observatii 4.6.13(1) Teorema 4.6.10 reduce calculul boolean ıntr-o algebra Boole oarecare la

calculul cu multimi.(2) Teorema 4.6.11 reduce calculul boolean ıntr-o algebra Boole oarecare la:

(a) ıntai, la calculul ın LX2 ,

(b) apoi, calculul ın LX2 se reduce la calculul ın L2 (operatiile se fac pe componente).

4.7 Algebre Boole atomice

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. Un element nenul a al lui B senumeste atom daca 0 ≤ y ≤ a implica y = 0 sau y = a.

Algebra Boole B se numeste atomica daca pentru orice element x 6= 0, existaun atom a, astfel ıncat a ≤ x.

Exemple 4.7.1(1) In algebra Boole P(X), atomii sunt {x}, x ∈ X. Evident, P(X) este

atomica.(2) In Ln

2 , atomii sunt e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1).

Lema 4.7.2 Orice algebra Boole finita este atomica.

Dem. Orice sir strict descrescator a0 > a1 > . . . > an > . . . > 0 este finit. 2

Propozitia 4.7.3 Daca B este o algebra Boole atomica si (ai)i∈I este multimeaatomilor sai, atunci ∨i∈Iai = 1.

Dem. Presupunem prin absurd ca exista un majorant b al familiei (ai)i∈I diferitde 1: ai ≤ b < 1 pentru orice i ∈ I. Atunci b− 6= 0 si cum B este atomica, existaun atom aj (j ∈ I) astfel ıncat aj ≤ b−. Cum aj ≤ b, rezulta aj ≤ b ∧ b− = 0:contradictie. 2

O familie (ei)i∈I de elemente din B se numeste partitie daca:(1) ei ∧ ej = 0, pentru orice i 6= j,(2) ∨i∈Iei = 1.

Exemplu 4.7.4 Daca B este atomica, atunci multimea {ai}i∈I a atomilor lui Bformeaza o partitie. Conditia (2) este data de Propozitia 4.7.3, iar (1) rezulta directdin definitia atomului.

Page 81: Draft de carte (din 2009)

4.7. ALGEBRE BOOLE ATOMICE 81

Fie a 6= 0 ın B. Notam

B(a) = {x ∈ B | x ≤ a}.Observam ca B(a) este ınchisa la ∨ si ∧. Pentru orice x ∈ B(a), notam x∼a =x− ∧ a, introducand astfel o operatie unara ∼ = ∼a pe B(a).

Lema 4.7.5 (B(a),∧,∨,∼, 0, a) este o algebra Boole.

Dem. Daca x ∈ B(a), atunci x ∧ x∼ = 0 si x ∨ x∼ = a. 2

Propozitia 4.7.6 Fie a1, . . . , an ∈ B si f : B −→ B(a1) × . . . × B(an) functiadefinita, pentru orice x ∈ B, de:

f(x) = (x ∧ a1, . . . , x ∧ an).

Atunci(a) f este injectiva ⇐⇒ ∨n

i=1ai = 1,(b) f este surjectiva ⇐⇒ ai ∧ aj = 0, pentru orice i 6= j,(c) f este bijectiva ⇐⇒ {a1, . . . , an} este o partitie,(d) f este morfism boolean.

Dem.(a) =⇒: Din f(∨n

i=1ai) = (a1, . . . , an) = f(1) rezulta ∨ni=1ai = 1.

⇐=: Presupunem ∨ni=1ai = 1. Atunci

f(x) = f(y) implica x ∧ ai = y ∧ ai, i = 1, . . . , n, implicax = x ∧ (∨n

i=1ai) = ∨ni=1(x ∧ ai) = ∨n

i=1(y ∧ ai) = y ∧ (∨ni=1ai) = y,

deci f este injectiva.(b) =⇒: Fie i, j ∈ I distincti; notam c = ai ∧ aj si definim

xk =

c, daca k = ic− ∧ aj , daca k = j

0, daca k 6= i, j.

Atunci (x1, . . . , xn) ∈ B(a1) × . . . × B(an), deci exista x ∈ B astfel ıncat f(x) =(x1, . . . , xn). Pe componentele i si j vom avea ai∧x = c si aj ∧x = c−∧aj . Atuncic ≤ x si c ≤ aj , de unde c ≤ x∧ aj = c− ∧ aj ≤ c−. Rezulta c = 0, deci ai ∧ aj = 0pentru orice i 6= j.⇐=: Presupunem ai∧aj = 0, pentru i 6= j. Fie (x1, . . . , xn) ∈ B(a1)× . . .×B(an),deci xi ≤ ai, i = 1, . . . , n.Notam x = x1 ∨ . . . ∨ xn. Pentru orice i = 1, . . . , n, avem:

x ∧ ai = (∨nj=1xj) ∧ ai = ∨n

j=1(xj ∧ ai) = xi,

pentru ca xj ∧ ai = 0 pentru j 6= i (pentru ca xj ∧ ai ≤ aj ∧ ai = 0) si xi ∧ ai = xi.Se deduce ca f(x) = (x ∧ a1, . . . , x ∧ an) = (x1, . . . , xn), deci f este surjectiva.(c): Din (a) si (b).(d): Exercitiu. 2

Page 82: Draft de carte (din 2009)

82 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Corolar 4.7.7 Daca {a1, . . . , an} este o partitie, atunci morfismul f din Propozitia4.7.6 este un izomorfism boolean.

Propozitia 4.7.8 Daca B este o algebra Boole finita, atunci exista un numarnatural n astfel ıncat B si Ln

2 sunt izomorfe.

Dem. Daca B este finita, atunci B este atomica. Fie a1, . . . , an atomii lui B. Cum{a1, . . . , an} este o partitie, avem B ∼= ∏n

i=1 B(ai). Daca a este un atom, atunciB(ai) = {0, a}, deci B(ai) ∼= L2, pentru orice i = 1, . . . , n. Am obtinut B ∼= Ln

2 . 2

Corolar 4.7.9 Doua algebre Boole finite, de acelasi ordinal, sunt izomorfe.

Dem. Daca B1∼= B2 si B1

∼= Ln2 , B2

∼= Lm2 , atunci n = m si B1

∼= B2. 2

Propozitia 4.7.10 Fie B o algebra Boole completa si (ai)i∈I o partitie ın B.Atunci functia f : B −→ ∏

i∈I B(ai), definita de f(x) = (x ∧ ai)i∈I , este unizomorfism boolean.

Dem. Analog cu demonstratia Propozitiei 4.7.6 si a Corolarului 4.7.7. 2

Propozitia 4.7.11 Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:(1) B este o algebra Boole completa si atomica,(2) B este izomorfa cu o algebra Boole de forma P(X).

Dem.(1) =⇒ (2): Analog cu demonstratia Propozitiei 4.7.8, aplicandu-se Propozitia4.7.10.(2) =⇒ (1): P(X) este completa si atomica. 2

4.8 Dualitatea algebrelor Boole

Fie B o algebra Boole, Spec(B) multimea ultrafiltrelor sale si d : B −→P(Spec(B)) morfismul lui Stone: d(x) = {P ∈ Spec(B) | x ∈ P}.Lema 4.8.1 Pentru orice x, y ∈ B, avem:(i) d(x ∨ y) = d(x) ∪ d(y),(ii) d(x ∧ y) = d(x) ∩ d(y),(iii) d(x−) = Cd(x),(iv) d(0) = ∅, d(1) = Spec(B).

Dem. Vezi demonstratia Teoremei de reprezentare a lui Stone. 2

Fie F(B) multimea filtrelor lui B. Pentru orice F ∈ F(B), notam

d(F ) = {P ∈ Spec(B) | F ⊆ P}.

Este evident ca d(x) = d([x)), pentru orice x ∈ B.

Page 83: Draft de carte (din 2009)

4.8. DUALITATEA ALGEBRELOR BOOLE 83

Propozitia 4.8.2 {d(F ) | F ∈ F(B)} este familia multimilor ınchise ale uneitopologii pe B.

Dem. Fie (Fi)i∈I ⊆ F(B) si F1, F2 ∈ F(B). Atunci(1) ∩i∈Id(Fi) = d(

∨i∈I Fi), unde

∨i∈I Fi este filtrul lui B generat de ∪i∈IFi;

(2) d(F1) ∪ d(F2) = d(F1 ∩ F2);(3) d(0) = ∅, d(1) = Spec(B).

Fie P ∈ Spec(B). (1) rezulta din echivalenta

(1′) Fi ⊆ P, i ∈ I ⇐⇒∨

i∈I

Fi ⊆ P,

iar (2) rezulta din echivalenta

(2′) F1 ∩ F2 ⊆ P ⇐⇒ (F1 ⊆ P sau F2 ⊆ P ).

Vom demonstra (2’). Daca F1, F2 6⊆ P , atunci exista x ∈ F1 \P si y ∈ F2 \P , decix ∨ y 6∈ P (P fiind filtru prim). Dar x ∨ y ∈ F1 ∩ F2, deci F1 ∩ F2 6⊆ P .Implicatia cealalta este evidenta.Egalitatile (3) sunt evidente. Proprietatile (1) - (3) nu exprima altceva decat ca{d(F ) | F ∈ F(B)} sunt ınchise la topologia pe Spec(B). 2

Observatie 4.8.3 Topologia definita de Propozitia 4.8.2 poarta numele de topolo-gia lui Stone.

Propozitia 4.8.4(1) Pentru orice x ∈ B, d(x) este o multime ınchisa si deschisa a lui Spec(B).(2) {d(x) | x ∈ B} este baza de deschisi (sau de ınchisi).

Dem.(1): Din Cd(x) = d(x−).(2): Pentru orice filtru F , avem F =

∨{[x) | x ∈ F}, de unde

d(F ) = d(∨{[x) | x ∈ F}) = ∩x∈F d(x).

2

Propozitia 4.8.5 Pentru orice x ∈ B, d(x) este o multime compacta.

Dem. Consideram o acoperire deschisa a lui d(x): d(x) ⊆ ∪i∈Id(xi). Asadar,pentru orice P ∈ Spec(B), x ∈ P implica existenta unui i ∈ I astfel ıncat xi ∈ P .Fie X = {x} ∪ {x−i | i ∈ I} si F = [X), filtrul generat de X. Presupunem, prinabsurd, ca F este propriu, deci exista U ∈ Spec(B), F ⊆ U (Propozitia 4.6.5).Atunci x−i ∈ U pentru orice i ∈ I si x ∈ U implica existenta unui j ∈ I astfel ıncatxj ∈ U : contradictie, deci 0 ∈ F . Tinand seama de Propozitia 4.5.22, exista J ⊆ Ifinita, astfel ıncat

0 = x ∧∧{x−j | j ∈ J}.

Page 84: Draft de carte (din 2009)

84 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

De aici se deduce ca x ≤ ∨j∈J xj , de unde

d(x) ⊆ d(∨

j∈J

xj) =⋃

j∈J

d(xj).

Rezulta ca d(x) este compacta. 2

Propozitia 4.8.6 Spec(B) este spatiu compact si separat.

Dem. Fie P1, P2 ∈ Spec(B), P1 6= P2, deci exista x ∈ P1 si x 6∈ P2. ConformPropozitiei 4.6.8, x− ∈ P , de unde P1 ∈ d(x), P2 ∈ d(x−) si d(x)∩ d(x−) = ∅. Amdemonstrat ca Spec(B) este separat.Compacitatea rezulta din Propozitia 4.8.5 (Spec(B) = d(1)). 2

Un spatiu topologic este zero-dimensional daca partile sale ınchise si deschiseformeaza o baza.

Un spatiu compact, separat si zero-dimensional se numeste spatiu boolean.

Propozitia 4.8.7 Pentru orice algebra Boole B, Spec(B) este un spatiu boolean.

Fie f : A −→ B un morfism boolean si Spec(f) : Spec(B) −→ Spec(A) definitaastfel: pentru orice P ∈ Spec(B),

Spec(f)(P ) = f−1(P ).

Propozitia 4.8.8 Spec(f) este o functie continua.

Dem. Pentru orice y ∈ A, avem:(Spec(f))−1(dA(y)) = {P ∈ Spec(B) | f−1(P ) ∈ dA(y)}

= {P ∈ Spec(B) | y ∈ f−1(P )}= {P ∈ Spec(B) | f(y) ∈ P}= dB(f(y)).

Daca Boole este categoria algebrelor Boole si SBoole este categoria spatiilorbooleene si a functiilor continue, atunci asocierea B 7→ Spec(B), f 7→ Spec(f)defineste un functor contravariant Spec : Boole −→ SBoole.

Fie acum X un spatiu boolean si T (X ) algebra Boole a partilor ınchise si de-schise ale lui X . Daca g : X −→ Y este un morfism din SBoole (= aplicatie con-tinua), atunci consideram functia T (g) : T (Y ) −→ T (X), definita de T (g)(D) =g−1(D), pentru orice D ∈ T (Y ). Asocierea X 7→ T (X ), g 7→ T (g) defineste unfunctor contravariant T : SBoole −→ Boole. 2

Propozitia 4.8.9 Pentru orice B ∈ Boole, algebrele Boole B si T (Spec(B)) suntizomorfe.

Dem. Consideram morfismul lui Stone dB : B −→ T (Spec(B)) (x 7→ dB(x)). dB

este un morfism boolean injectiv. A ramas de aratat surjectivitatea lui dB .

Page 85: Draft de carte (din 2009)

4.8. DUALITATEA ALGEBRELOR BOOLE 85

Fie D ∈ T (Spec(B)), deci D este o parte a lui Spec(B) ınchisa si deschisa. CumD este ınchisa ın spatiul Spec(B) compact si separat, rezulta ca D este compacta.D fiind deschisa si {dB(x) | x ∈ B} fiind baza a lui Spec(B), exista o familie (xi)i∈I

ın B astfel ıncat D =⋃

i∈I dA(xi). Atunci exista J ⊆ I finita, astfel ıncat

D =⋃

i∈J

dA(xi) = dB(∨

i∈J

xi)

si dB este surjectiv. 2

Propozitia 4.8.10 Pentru orice X ∈ SBoole, spatiile booleene X si Spec(T (X))sunt homeomorfe.

Dem. Pentru orice x ∈ X, Ux = {D ∈ T (X) | x ∈ D} este un ultrafiltrual lui T (X ). Consideram functia ϕX : X −→ Spec(T (X)) definita de ϕX(x) =Ux, pentru orice x ∈ X. Pentru a arata ca ϕX este homeomorphism, parcurgemurmatorii pasi:a) ϕX este injectiva.Daca x, y ∈ X, x 6= y, atunci exista D1, D2 ∈ T (X), x ∈ D1, y ∈ D2 si D1∩D2 = ∅.Atunci D1 ∈ Ux, D2 ∈ Uy si D2 6∈ Ux, deci ϕX(x) = Ux 6= Uy = ϕX(y).b) ϕX este surjectiva.Fie U ∈ Spec(T (X)). Daca {D1, . . . , Dn} ∈ U , atunci

⋂ni=1 Di ∈ U , deci

⋂ni=1 Di 6=

∅ (pentru ca U este filtru propriu ın T (X )). Atunci U are proprietatea intersectieifinite, deci

⋂{D | D ∈ U} 6= ∅, deoarece X este compact.Fie x, y ∈ ⋂{D | D ∈ U}, x 6= y, deci exista D1, D2 ∈ T (X), x ∈ D1, y ∈ D2,

D1 ∩ D2 = ∅. Dar CD1 ∪ CD2 = X ∈ U , deci CD1 ∈ U sau CD2 ∈ U , pentru caU este un filtru prim in T (X ). S-a obtinut x 6∈ D1 sau y 6∈ D2: contradictie, decimultimea

⋂{D | D ∈ U} are un singur element x. Atunci avem x ∈ D daca sinumai daca D ∈ U , de unde Ux = U . Am demonstrat ca ϕX(x) = U , deci ϕX esteinjectiva.c) ϕX este continua.Pentru orice D ∈ T (X) avem:

ϕ−1X (d(D)) = {x | Ux ∈ d(D)} = {x | D ∈ Ux} = {x | x ∈ D} = D.

d) ϕX este aplicatie deschisa.Pentru orice D ∈ T (X), vom demonstra ca

{Ux | x ∈ D} = {U ∈ Spec(T (X)) | D ∈ U}.

Daca D ∈ U ∈ Spec(T (X)), atunci U = Ux, cu⋂{D′ | D′ ∈ U} = {x}. Rezulta

D ∈ Ux si deci x ∈ D. Implicatia cealalta este evidenta. Am demonstrat ca

ϕX(D) = {Ux | x ∈ D} = d(D),

deci ϕX este aplicatie deschisa. 2

Page 86: Draft de carte (din 2009)

86 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Propozitia 4.8.11 Daca f : A −→ B este un morfism boolean, atunci urmatoareadiagrama este comutativa:

A

?f T (Spec(f))

B

-∼= dAT (Spec(A))

T (Spec(B))-?

∼= dB

Dem. Pentru orice x ∈ A, au loc urmatoarele egalitati:T (Spec(f))(dA(x)) = {P ∈ Spec(B) | Spec(f)(P ) ∈ dA(x)}

= {P ∈ Spec(B) | f−1(P ) ∈ dA(x)}= {P ∈ Spec(B) | x ∈ f−1(P )}= dB(f(x)).

2

Propozitia 4.8.11 spune ca D : idBoole −→ T ◦ Spec este izomorfism functorial.

Propozitia 4.8.12 Daca g : X −→ Y este un morfism din SBoole, atunciurmatoarea diagrama este comutativa:

X

?g Spec(T (g))

Y

-∼= ϕXSpec(T (X))

Spec(T (Y ))-?

∼= ϕY

Dem. Pentru orice x ∈ X, urmatoarele egalitati sunt adevarate:Spec(T (g))(ϕX(x)) = (T (g))−1(ϕX(x))

= {D ∈ T (Y ) | T (g)(D) ∈ ϕX(x)}= {D ∈ T (Y ) | g−1(D) ∈ Ux}= {D ∈ T (Y ) | x ∈ g−1(D)}= ϕY (g(x)). 2

Propozitia 4.8.12 spune ca ϕ : idSBoole −→ Spec ◦T este izomorfism functorial.

Insumand toate rezultatele din acest paragraf, putem formula urmatoarea teo-rema:

Teorema 4.8.13 (Dualitatea Stone)Categoriile Boole si SBoole sunt duale.

Page 87: Draft de carte (din 2009)

4.9. ALGEBRE BOOLE INJECTIVE 87

4.9 Algebre Boole injective

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare.

Lema 4.9.1 Intersectia unei familii de subalgebre ale lui B este o subalgebra a luiB.

Dem. Direct din definitia subalgebrei. 2

Daca X ⊆ B, atunci subalgebra generata de X este intersectia tuturor subalge-brelor lui B ce includ pe X.

Lema 4.9.2 Fie A o subalgebra a lui B si b 6∈ A. Atunci

A(b) = {(a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) | a1, a2 ∈ A}

este subalgebra lui B generata de A ∪ {b}.Dem. Fie x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) si y = (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−). Atunci

x ∨ y = [(a1 ∨ a′1) ∧ b] ∨ [(a2 ∨ a′2) ∧ b−] ∈ A(b).

Daca a ∈ A, atunci

a ∨ x = [a ∧ (b ∧ b−)] ∨ x = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b−) ∨ (a1 ∨ b) ∨ (a2 ∨ b−) =

[(a1 ∨ a2) ∧ b] ∨ [(a2 ∨ a) ∧ b−] ∈ A(b).

Conform acestei observatii,

x− = (a−1 ∨ b−) ∧ (a−2 ∨ b) = (a−1 ∧ a−2 ) ∨ [(a−1 ∧ b) ∨ (a−2 ∧ b−)] ∈ A(b),

deoarece a−1 ∧a−2 ∈ A si (a−1 ∧b)∨(a−2 ∧b−) ∈ A(b). Rezulta ca A(b) este subalgebrasi restul demonstratiei este evident. 2

Propozitia 4.9.3 (Sikorski)Fie A o subalgebra a lui B, b 6∈ A, C o algebra Boole completa si h : A −→ C un

morfism boolean. Atunci exista un morfism boolean h∼ : A(b) −→ C care extindepe h. h∼(b) poate fi orice element c ∈ C cu proprietatea urmatoare:

(4.10)∨{h(a) | a ∈ A, a ≤ b} ≤ c ≤

∧{h(a) | a ∈ A, b ≤ a}

Dem. Se stabileste imediat inegalitatea∨{h(a) | a ∈ A, a ≤ b} ≤

∧{h(a) | a ∈ A, b ≤ a},

deci exista un element c cu proprietatea (4.10).

Page 88: Draft de carte (din 2009)

88 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Daca x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−), atunci vom pune

(4.11) h∼(x) = [h(a1) ∧ c] ∨ [h(a2) ∧ c−],

c fiind un element ce verifica (4.10). Aratam ca h∼ : A(b) −→ C este bine definita.Anume, vom arata ca

x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) = (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−)

implica[h(a1) ∧ c] ∨ [h(a2) ∧ c−] = [h(a′1 ∧ c] ∨ [h(a′2) ∧ c−].

Inegalitatea:

(4.12) (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) ≤ (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−) = (a′1 ∨ a′2) ∧ (a′1 ∨ b−) ∧ (a′2 ∨ b)

implica inegalitatile:

(4.13) a1 ∧ b ≤ a′1 ∨ a′2, a′1 ∨ b−, a′2 ∨ b

a2 ∧ b− ≤ a′1 ∨ a′2, a′1 ∨ b−, a′2 ∨ b.

De aici rezulta:

(4.14) h(a1) ∧ c ≤ h(a′1) ∨ h(a′2), h(a′1) ∨ c−, h(a′2) ∨ c

h(a2) ∧ c− ≤ h(a′1) ∨ h(a′2), h(a′1) ∨ c−, h(a′2) ∨ c.

De exemplu,a1 ∧ b ≤ a′1 ∨ b− =⇒ (a1 ∧ b) ∧ (a′1 ∨ b−)− = 0

=⇒ a1 ∧ a′−1 ∧ b = 0=⇒ b ≤ (a1 ∧ a′−1 )−

=⇒ c ≤ h((a1 ∧ a′−1 )−) = (h(a1) ∧ h(a′−1 ))−

=⇒ h(a1) ∧ h(a′−1 ) ∧ c = 0=⇒ h(a1) ∧ c ∧ (h(a′1) ∨ c−)− = 0=⇒ h(a1) ∧ c ≤ h(a′1) ∨ c−.

Inegalitatile (4.14) implica

[h(a1) ∧ c] ∨ [h(a2) ∧ c−] ≤ [h(a′1) ∧ c] ∧ [h(a′2) ∧ c−].

Inegalitatea inversa rezulta analog.Aratam acum ca h∼ este morfism boolean.

Daca x = (a1 ∧ b) ∨ (a2 ∧ b−) si y = (a′1 ∧ b) ∨ (a′2 ∧ b−), atunci

x ∨ y = [(a1 ∨ a′1) ∧ b] ∨ [(a2 ∨ a′2) ∧ b−],

decih∼(x ∨ y) = [h(a1 ∨ a′1) ∧ c] ∨ [h(a2 ∨ a′2) ∧ c−]

Page 89: Draft de carte (din 2009)

4.9. ALGEBRE BOOLE INJECTIVE 89

= [(h(a1) ∨ h(a′1)) ∧ c] ∨ [(h(a2) ∨ h(a′2)) ∧ c−]= [(h(a1) ∧ c) ∨ (h(a2) ∧ c−)] ∨ [(h(a′1) ∧ c) ∨ (h(a2) ∧ c−)]= h∼(x) ∨ h∼(y).

Rezulta ca h∼(x1∨ . . .∨xn) = h∼(x1)∨ . . .∨h∼(xn) pentru orice x1, . . . , xn ∈ A(b).Observand ca

x− = (a−1 ∧ a−2 ) ∨ (a−1 ∧ b) ∨ (a−2 ∧ b−),

vom aveah∼(x−) = h∼(a−1 ∧ a−2 ) ∨ h∼(a−1 ∧ b) ∨ h∼(a−2 ∧ b−)

= ((h(a1))− ∧ (h(a2))−) ∨ (h(a−1 ) ∧ c) ∨ (h(a−2 ) ∧ c−)= [(h(a1) ∨ h(a2)) ∧ (h(a1) ∨ c−) ∧ (h(a1) ∧ c)]−

= [(h(a1) ∧ c) ∨ (h(a2) ∧ c−)]−

= (h∼(x))−.Am demonstrat ca h∼ este morfism boolean si restul este evident. 2

Definitie 4.9.4 O algebra Boole C se numeste injectiva daca pentru orice algebraBoole B, pentru orice subalgebra A a lui B si pentru orice morfism boolean f :A −→ C, exista un morfism boolean g : B −→ C care extinde pe f :

A ⊆ B

BBBBBN

££

£££°

C

f g

Propozitia 4.9.5 (Sikorski)Orice algebra Boole completa C este injectiva.

Dem. Consideram diagrama ın Boole:

A ⊆ B

BBBBBNC

f

Fie∑

multimea perechilor (D, h) astfel ıncat D este subalgebra a lui B careinclude pe A si h : D −→ C este un morfism boolean care extinde pe f :

A ⊆ ⊆ BD

?h

ZZ

ZZ~f

C

Page 90: Draft de carte (din 2009)

90 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Daca (D,h), (E, u) ∈ ∑, definim (D,h) ¹ (E, u) daca urmatoarea diagrama

este comutativa:

A ⊆ ⊆ E ⊆ BD

?h

ZZ

ZZ~

½½

½½=f u

C

Se demonstreaza usor ca (∑

,¹) este inductiv ordonata, deci, conform axiomeilui Zorn, admite un element maximal (D, h). Presupunem ca D 6= B, deci existaa ∈ B\D. Consideram D(a) si aplicam Propozitia 4.9.3: exista un morfism booleanh∼ : D(a) −→ C care extinde pe h. Aceasta contrazice maximalitatea lui (D,h),ceea ce arata ca D = B. 2

Lema 4.9.6 Fie in Boole diagrama comutativa:

C B-f

ZZ

ZZ~

½½

½½=1C g

C

Daca B este algebra Boole completa, atunci si C este completa.

Dem. Pentru o familie de elemente (xi)i∈I , vom arata ca∨

C

xi = g(∨

B

f(xi)).

Este evident ca xi = g(f(xi)) ≤ g(∨

B f(xi)) pentru orice i ∈ I. Daca y ∈ C sixi ≤ y, pentru orice i ∈ I, atunci f(xi) ≤ f(y), i ∈ I in B, deci

∨B f(xi) ≤ f(y).

Se obtineg(

B

f(xi)) ≤ g(f(y)) = y.

2

Propozitia 4.9.7 (Halmos)Orice algebra Boole injectiva C este completa.

Dem. Fie d : C −→ LX2 morfismul lui Stone. C se identifica cu o subalgebra a lui

LX2 . Conform injectivitatii, rezulta un morfism boolean g : LX

2 −→ C astfel ıncatg ◦ d = 1C . LX

2 este completa si se plica apoi Lema 4.9.6. 2

Teorema 4.9.8 (Sikorski-Halmos)O algebra Boole este injectiva daca si numai daca este completa.

Dem. Din Propozitiile 4.9.5 si 4.9.7. 2

Page 91: Draft de carte (din 2009)

4.10. FILTRE FUZZY ALE UNEI ALGEBRE BOOLE 91

4.10 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole

Incepem ın aceasta sectiune discutia asupra unui domeniu extrem de cercetatın ultimii ani: multimi fuzzy, structuri fuzzy, logici fuzzy. Totul a pornit de la L.Zadeh prin anii ’60 [51]. A se vedea de asemenea [43].

4.10.1 Multimi fuzzy

Observatii 4.10.1 Sa amintim ca:(1) Structura ({0, 1}, min, max, 1− x, 0, 1) este o algebra Boole, anume algebra

Boole canonica.(2) Structura ([0, 1], min,max, 0, 1) este o latice completa.(3) {0, 1} ⊂ [0, 1].

Fie E 6= ∅. Stim ca (P(E),∩,∪,CE , ∅, E) este o algebra Boole.• Exista o bijectie ıntre P(E) si {0, 1}E = 2E = {f | f : E −→ {0, 1}}, care

asociaza fiecarei submultimi A ⊆ E (A ∈ P(E)) functia caracteristica χA : E −→{0, 1}, definita astfel: pentru orice x ∈ E,

χA(x) ={

1, if x ∈ A,0, if x 6∈ A.

Vom identifica A cu χA, deci P(E) cu 2E .

Observatie 4.10.2 ∅(x) = 0, E(x) = 1 pentru orice x ∈ E.

Definitie 4.10.3 Se numeste submultime fuzzy sau multime fuzzy a lui E oricefunctie µ : E −→ [0, 1].

Vom nota submultimile fuzzy ale lui E cu∼A,

∼B, ... si vom nota cu

∼P (E)

multimea lor, adica∼P (E) = [0, 1]E .

Exemplu 4.10.4 χA este o submultime fuzzy a lui E, deci χA ∈∼P (E).

Prin identificarea A ↔ χA, rezulta ca

{0, 1}E = P(E) ⊂∼P (E) = [0, 1]E ,

deoarece {0, 1} ⊂ [0, 1].Sa remarcam ca ∅(x) = 0 si X(x) = 1, pentru orice x ∈ X.

• Sa definim o relatie de incluziune ¹ pe∼P (E) prin: pentru orice

∼A,

∼B∈

∼P (E),

∼A¹

∼B

def.⇐⇒ ∼A (x) ≤∼

B (x), pentru orice x ∈ E.

Page 92: Draft de carte (din 2009)

92 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

Este usor de verificat ca aceasta relatie este o relatie de ordine pe∼P (E) si ca

ea generalizeaza relatia de incluziune ⊆ pe P(E), adica:

pentru orice A,B ∈ P(E), A ¹ B ⇐⇒ A ⊆ B.

• Sa definim operatiile⋃

,⋂

pe∼P (E) prin: pentru orice

∼A,

∼B∈

∼P (E) si orice

x ∈ E,

(∼A

⋃ ∼B)(x)

def.= max(

∼A (x),

∼B (x)),

(∼A

⋂ ∼B)(x)

def.= min(

∼A (x),

∼B (x)).

Se observa ca⋃

,⋂

generalizeaza pe ∪,∩ pe P(E), adica:

pentru A, B ∈ P(E), A⋃

B = A ∪B, A⋂

B = A ∩B.

Observatii 4.10.5(i) Structura (

∼P (E),

⋂,⋃

, ∅, E) este latice distributiva, marginita, unde pentruorice

∼A,

∼B∈

∼P (E),

∼A

⋂ ∼B=

∼A ⇐⇒ ∼

A¹∼B .

(ii) Laticea (∼P (E),

⋂,⋃

, ∅, E) are laticea (P(E),∩,∪, ∅, E) ca sublatice.

Definitie 4.10.6 Caracteristica este o functie

χ : P(E) −→∼P (E),

definita astfel: pentru orice A ∈ P(E),

χ(A) = χA : E −→ {0, 1},

care este tocmai functia caracteristica a lui A.

Invers, avem urmatoarea definitie:

Definitie 4.10.7 Pentru orice t ∈ [0, 1], nivelul de fuzificare de grad t este o functie

Ut :∼P (E) −→ P(E),

definita astfel: pentru orice∼A∈

∼P (E),

Ut(∼A) = {x ∈ E |∼A (x) ≥ t},

care se numeste submultimea nivel a lui∼A.

Page 93: Draft de carte (din 2009)

4.10. FILTRE FUZZY ALE UNEI ALGEBRE BOOLE 93

4.10.2 Filtre fuzzy ale unei algebre Boole

Fie B = (B,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole ın aceasta sectiune.

Definitie 4.10.8 O submultime fuzzy µ a lui B se numeste filtru fuzzy al lui Bdaca verifica:(FF1) min(µ(x), µ(y)) ≤ µ(x ∧ y), pentru orice x, y ∈ B,(FF2) µ pastreaza ordinea, adica:x ≤ y implica µ(x) ≤ µ(y), pentru orice x, y ∈ B.

Legatura ıntre filtrele si filtrele fuzzy ale lui B este data de urmatoarele douateoreme.

Teorema 4.10.9 Fie ∅ 6= F ⊆ B o submultime a lui B. Atunci F este un filtru allui B daca si numai daca functia caracteristica χF este un filtru fuzzy al lui B.

Dem.=⇒: Presupunem ca F este filtru al lui B, deci satisface (F1), (F2). Sa demon-

stram ca χF este filtru fuzzy al lui B, deci ca satisface (FF1) si (FF2).(FF1): Fie x, y ∈ B:

- daca x, y ∈ F , atunci din (F1) rezulta ca x∧y ∈ F , deci χF (x∧y) = 1; dar x, y ∈ Fimplica χF (x) = 1 = χF (y). Rezulta ca min(χF (x), χF (y)) = 1 ≤ χF (x ∧ y) = 1.- daca x 6∈ F sau y 6∈ F , atunci χF (x) = 0 sau χF (y) = 0, si prin urmaremin(χF (x), χF (y)) = 0 ≤ χF (x ∧ y).Deci, conditia (FF1) este ındeplinita.

(FF2): Presupunem x ≤ y:- daca y ∈ F , atunci χF (y) = 1, deci χF (x) ≤ χF (y) = 1.- daca y 6∈ F , atunci din (F2) rezulta ca x 6∈ F (caci daca x ∈ F , din x ≤ y rezultaconform (F2) ca y ∈ F ). Deci, χF (x) = 0 = χF (y) si prin urmare χF (x) = 0 ≤χF (y) = 0.Deci, conditia (FF2) este ındeplinita.

⇐=: Presupunem ca χF este filtru fuzzy al lui B, deci satisface (FF1) si (FF2).Sa demonstram ca F este filtru al lui B, adica ca satisface (F1) si (F2).

(F1): Presupunem x, y ∈ F ; rezulta ca χF (x) = 1 = χF (y), si deci conform(FF1), avem min(χF (x), χF (y)) = 1 ≤ χF (x ∧ y). Rezulta ca χF (x ∧ y) = 1 adicax ∧ y ∈ F . Deci, conditia (F1) este ındeplinita.

(F2): Presupunem x ∈ F (adica χF (x) = 1) si x ≤ y. Conform (FF2), obtinemca χF (x) = 1 ≤ χF (y), deci χF (y) = 1 adica y ∈ F . Astfel, conditia (F2) esteındeplinita. 2

Teorema 4.10.10 Fie µ : B −→ [0, 1] o submultime fuzzy a lui B. Atunci µ esteun filtru fuzzy al lui B daca si numai daca submultimea sa de nivel Ut(µ) este unfiltru al lui B sau este vida, pentru orice t ∈ [0, 1].

Dem.

Page 94: Draft de carte (din 2009)

94 CHAPTER 4. ALGEBRE BOOLE

=⇒: Fie µ un filtru fuzzy al lui B, adica (FF1) si (FF2) au loc. Fie t ∈ [0, 1]astfel ıncat Ut(µ) 6= ∅. Sa aratam ca Ut(µ) este filtru al lui B, adica (F1) si (F2)sunt ındeplinite.

(F1): Fie x, y ∈ Ut(µ); deci µ(x), µ(y) ≥ t. Din (FF1) rezulta ca t ≤ min(µ(x), µ(y)) ≤µ(x ∧ y), deci µ(x ∧ y) ≥ t; prin urmare x ∧ y ∈ Ut(µ). Deci (F1) este ındeplinita.

(F2): Fie x ∈ Ut(µ) si x ≤ y. Deci µ(x) ≥ t. Rezulta din (FF2) ca t ≤ µ(x) ≤µ(y), si de aici avem µ(y) ≥ t, adica y ∈ Ut(µ). Astfel, (F2) are loc.

⇐=: Presupunem ca pentru orice t ∈ [0, 1], Ut(µ) este filtru al lui B, adica (F1),(F2) au loc, sau Ut(µ) = ∅. Sa aratam ca µ este filtru fuzzy al lui B, adica ca (FF1)si (FF2) au loc.

(FF1): Sa presupunem prin absurd ca exista x, y ∈ B astfel ıncat min(µ(x), µ(y)) >µ(x ∧ y). Sa luam atunci

t0 =µ(x ∧ y) + min(µ(x), µ(y))

2∈ [0, 1].

Deci µ(x ∧ y) < t0 < min(µ(x), µ(y)) ≤ µ(x), µ(y). Rezulta ca x, y ∈ Ut0(µ) six ∧ y 6∈ Ut0(µ), de unde din (F1) rezulta ca Ut0(µ) nu este filtru: contradictie.Deci, (FF1) are loc.

(FF2): Sa presupunem prin absurd ca exista x, y ∈ B astfel ıncat x ≤ y siµ(x) > µ(y). Sa luam atunci

t1 =µ(y) + µ(x)

2∈ [0, 1].

Deci µ(y) < t1 < µ(x). Rezulta x ∈ Ut1(µ) si y 6∈ Ut1(µ), de unde conform (F2)obtinem ca Ut1(µ) nu este filtru: contradictie. Deci (FF2) are loc. 2

Page 95: Draft de carte (din 2009)

Chapter 5

Multimi. Operatii cumultimi. Algebra Boole amultimilor

5.1 Conceptele fundamentale ale teoriei multimilor:clasa si apartenenta; multimea

Am folosit ın aceasta sectiune lucrarile [46] si [?].In consideratiile matematice, ca si ın viata de toate zilele, intervin frecvent

diverse colectii (ansmbluri) de obiecte grupate la un loc pe baza anumitor pro-prietati comune. In matematica, asemenea colectii (ansambluri, grupuri, totalitati)de obiecte sunt numite clase, sau ın situatii speciale multimi.

Obiectele care compun o clasa se numesc elementele clasei respective.Daca obiectul A este un element al clasei B, spunem ca A apartine lui B (sau

ca B contine pe A) si notam:

A ∈ B (sau, dual, B 3 A, respectiv).

In caz contrar, spunem ca A nu apartine lui B (sau, dual, ca B nu contine pe A)si notam:

A 6∈ B (sau B 63 A, respectiv),

sau, folosind simbolul negatiei logice:

¬(A ∈ B) (sau ¬(B 3 A), respectiv).

95

Page 96: Draft de carte (din 2009)

96 CHAPTER 5. MULTIMI

Semnul ”∈” a fost introdus ın matematica de matematicianul si logicianulGiuseppe Peano (1858 - 1932), ca scriere stilizata a primei litere ”ε” (epsilon)din cuvantul grecesc ”εστι” (este) si se numeste simbolul relatiei de apartenenta.

Elementele unei clase se gasesc deci ın relatie de apartenenta cu clasa respectiva.Notiunile de clasa si apartenenta au devenit conceptele fundamentale ale matem-

aticii contemporane. Matematicianul Georg Cantor (1845 - 1918), de la universi-tatea din Halle, este creatorul teoriei multimilor.

In aceasta teorie, ideea de ”element” comporta o anumita relativitate: fiecareobiect, ın functie de context, poate fi privit atat ca element al unei clase, cat si ca oclasa, formata, la randul ei, din alte elemente. Totul depinde de ”pozitia” pe careo ocupa obiectul respectiv ın relatia de apartenenta. Daca, de exemplu, B ∈ Csi A ∈ B, atunci ın primul context B este un element al clasei C, iar ın cel de-aldoilea context, B este o clasa care contine elementul A.

Exemplu 5.1.1 Clasa N a tuturor natiunilor din Europa este formata din obiectenumite ”natiuni”. La randul ei, fiecare natiune este o clasa formata din indiviziumani, avand anumite caracteristici comune; un roman, de exemplu, este un ele-ment al clasei numita ”natiunea romana”, care la randul ei este un element al claseiN .

Observatie 5.1.2 Un roman nu este un element al clasei N , deoarece nu estenatiune.

Avand ın vedere relativismul atributului de ”element”, este natural sa gandimtoate obiectele ca fiind clase.

Vom accepta ca exista o clasa, si numai una, care prin definitie nu contine niciun element. Aceasta clasa se numeste clasa vida si se noteaza cu ∅. Clasa ∅ estedeci unica clasa caracterizata de proprietatea:

x 6∈ ∅, oricare ar fi clasa x

sau, ın limbaj simbolic,(∀x)[¬(x ∈ ∅)].

Libertatea fara margini de a concepe clase poate sa conduca la niste ”totalitati”abstracte extrem de ”mari”. Putem concepe, de exemplu, clasa P a tuturor claselorposibile. Aceasta clasa prezinta ”extravaganta” (proprietatea) ca se contine si pesine ca element, adica P ∈ P, deoarece P este o clasa.

Pe de alta parte, clasele cu care ın mod curent avem de-a face nu prezintaasemenea ”extravagante”.

Exemplu 5.1.3 Clasa N a natiunilor Europei nu se contine ca element:

N 6∈ N

deoarece N nu este o natiune.

Page 97: Draft de carte (din 2009)

5.1. CONCEPTELE FUNDAMENTALE ALE TEORIEI MULTIMILOR: CLASA SI APARTENENTA; MULTIMEA97

Exista deci clase care se contin ca element (cum este clasa P) si exista clasecare nu se contin ca element (cum este clasa N - si acesta este cazul frecvent).

Aceasta constatare a permis lui Bertrand Russel sa construiasca celebrul para-dox din teoria multimilor, care ıi poarta numele, si pe care l-a publicat ın 1903. (Unpardox este o opinie (absurda), contrara adevarului ındeobste acceptat.) Paradoxullui Russel (numit si paradoxul multimilor) consta ın urmatorul rationament:

Sa notam cu R clasa formata din toate clasele ne-”extravagante” (adica care nuse contin pe sine ca element). Daca acceptam caR (clasa lui Russel) este un ”obiectlogic”, atunci ın mod obligatoriu clasa R, la randul ei, trebuie sa fie ”extravaganta”sau ne-”extravaganta”, adica avem alternativa:

a) R ∈ R sau b) R 6∈ R;

- daca se realizeaza (a), atunci conform definitiei lui R, avem R 6∈ R; deci amdemonstrat implicatia:

daca R ∈ R, atunci R 6∈ R;

- daca se realizeaza (b), ınseamna ca R este o clasa ne-”extravaganta” si, prinurmare, conform definitiei clasei R, avem R ∈ R; deci am demonstrat implicatia:

daca R 6∈ R, atunci R ∈ R.

Aceasta dubla implicatie contradictorie se numeste paradoxul lui Russel.

Ulterior, multe alte paradoxuri au fost construite.Teoria multimilor conceputa de Cantor a fost deci subminata de descoperirea

paradoxurilor. ”Criza paradoxurilor”, declansata la ınceputul secolului 20 de notiunilede clasa si apartenenta a declansat marea criza a fundamentelor matematicii, prob-lemele careia nu sunt rezolvate complet nici ın zilele noastre.

Investigatiile legate de fundamentarea riguroasa a logicii, teoriei multimilor, ar-itmeticii, geometriei au fost puternic impulsionate. In deceniile urmatoare, logicasi matematica s-au imbogatit cu idei si rezultate noi. In particular, a devenit clartuturor, ca, pentru a salva teoria multimilor (si implicit fundamentarea matematiciipe aceasta baza), obiectele primitive - clasele - si relatia primitiva - apartenenta- trebuie supuse anumitor ıngradiri. Astfel, au aparut diversele sisteme axiomat-ice ale teoriei multimilor, menite sa confere teoriei create de Cantor o baza logicacorespunzatoare exigentelor moderne si sa solutioneze, ıntre altele, problema para-doxurilor.

Cel mai important sistem axiomatic este sistemul Newman - Godel - Bernays(GB), elaborat esentialmente de P. Bernays ıntre 1937 - 1954, dupa sistemul propusın 1925 de John von Neuman si perfectionat ın 1940 de Kurt Godel. Preluand ideealui von Neuman, Bernays introduce distinctia ıntre clasele generale si o categorieparticulara de clase, pe care le numeste multimi, si anume:

Definitie 5.1.4 Se numesc multimi, clasele particulare caracterizate de propri-etatea ca sunt elemente ale altor clase (pot figura ın partea stanga a relatiei ”∈”).

Page 98: Draft de carte (din 2009)

98 CHAPTER 5. MULTIMI

Cu alte cuvinte, o clasa A este multime daca exista o alta clasa B, astfel ıncatA ∈ B.

Totalitatea multimilor formeaza o clasa, notata M si numita univers (= clasatuturor multimilor), care nu este multime. Orice multime A verifica A ∈M.

Prin urmare, orice multime este o clasa, dar nu orice clasa este multime,deoarece nu despre orice clasa se poate arata ca este element al unei clase. Fiecareclasa este formata din multimi (elementele sale), dar clasa ınsasi nu este obligatoriumultime.

Aceasta distinctie simpla, dar decisiva, asigura eliminarea tuturor paradoxurilorcunoscute. In particular, despre clasa R a lui Russel se arata ca nu este multime,ci o clasa propriu-zisa, si ca urmare posibilitatea (a): R ∈ R este eliminata.

In sistemul axiomatic (GB), clasa vida, ∅, este o multime, multimea vida. Deciavem:(i) M 6= ∅,(ii) ∅ ∈ M.

5.2 Relatia de incluziune si relatia de egalitateıntre clase (multimi)

Pornind de la obiectele primitive (initiale): clasa si multimea si de la relatia prim-itiva ıntre clase: relatia de apartenenta, se obtin si alte relatii ıntre clase (multimi),numite relatii derivate:

- relatia de incluziune,- relatia de egalitate.

5.2.1 Relatia de incluziune ıntre clase (multimi)

Definitie 5.2.1 Daca A si B sunt doua clase (multimi) cu proprietatea ca oriceelement al clasei A este si element al clasei B, von spune ca clasa (multimea) Aeste inclusa ın clasa (multimea) B sau, dual, ca clasa (multimea) B include clasa(multimea) A si vom nota:

A ⊆ B sau B ⊇ A.

Prin urmare,

A ⊆ Bdef.↔ (∀x)[(x ∈ A) → (x ∈ B)].

Daca A ⊆ B, spunem ca A este o subclasa (submultime) sau parte a lui B sau,dual, ca B este o supraclasa (supramultime) a lui A.

Page 99: Draft de carte (din 2009)

5.2. RELATIA DE INCLUZIUNE SI RELATIA DE EGALITATE INTRE CLASE (MULTIMI)99

Observatii 5.2.21. Relatia ”⊆” a fost definita cu ajutorul relatiei ”∈” si al operatorilor logici →

si ∀.2. Multimea vida, ∅, este parte a oricarei multimi sau clase: oricare ar fi

multimea A, avem ∅ ⊆ A.3. Oricare ar fi multimea A, avem A ⊆M si A ∈M.4. Incluziunea nu este singura relatie matematica reductibila la apartenenta.

In matematica, exista o varietate infinita de relatii: egalitatea obiectelor matemat-ice, diversele relatii de echivalenta, ordonarea numerelor, divizibilitatea numerelorıntregi, ordonarile obiectelor nenumerice, morfismele, izomorfismele etc. Contributiarevolutionara a lui Cantor ın dezvoltarea matematicii moderne consta tocmai ındescoperirea faptului ca toate relatiile matematice sunt reductibile la relatia deapartenenta.

5.2.2 Relatia de egalitate ıntre clase (multimi)

Relatia de egalitate ıntre clase (multimi) se defineste pornind de la notiuneagenerala de egalitate ın matematica. Relatia de egalitate se noteaza cu semnul ”=”si intervine ın aproape toate teoriile matematice.

Definitie 5.2.3 Spunem ca doua obiecte matematice x si y, apartinand unei teoriimatematice date, sunt egale (si scriem x = y) daca ın cadrul teoriei respective nuputem face nici o distinctie ıntre obiectele x si y, adica din punctul de vedere alacelei teorii ele coincid.

Fiecare teorie matematica dispune de propria sa relatie de ”egalitate”:- egalitatea numerelor ıntregi, reale etc.- egalitatea polinoamelor,- egalitatea functiilor,- egalitatea punctelor geometrice etc.

Toate aceste ”egalitati” au proprietatea de a fi:- reflexive (orice x, x = x),- simetrice (orice x,y, daca x = y, atunci y = x,- tranzitive (orice x,y,z, daca x = y si y = z, atunci x = z,adica sunt relatii de echivalenta. Deci, ın fiecare teorie matematica, egalitatea apareca cea mai fina relatie de echivalenta a teoriei respective (adica relatia de egalitateimplica orice alta relatie de echivalenta).

Sa definim egalitatea claselor.

Definitie 5.2.4 Daca A si B sunt doua clase (multimi) cu proprietatile:(i) un element oarecare x apartine lui A daca si numai daca el apartine lui B si(ii) o clasa oarecare K contine pe A daca si numai daca ea contine si pe B,atunci spunem ca ele sunt egale si notam aceasta

A = B.

Page 100: Draft de carte (din 2009)

100 CHAPTER 5. MULTIMI

Deci,

A = Bdef.↔ (i) ∧ (ii),

unde:(i) (∀x)[(x ∈ A) ↔ (x ∈ B)],(ii) (∀K)[(K 3 A) ↔ (K 3 B)].

- Conditia (i) spune ca cele doua clase (multimi) trebuie sa fie formate dinaceleasi elemente, adica cele doua clase trebuie sa aiba aceeasi extensiune.

- Conditia (ii) spune ca cele doua clase (multimi) nu pot intra, una fara alta, ıncomponenta altei clase, adica cele doua clase trebuie sa aiba aceeasi intensiune.

Observatii 5.2.51) Practic, A = B ↔ (i).2) Relatia de egalitate este definita cu ajutorul relatiei de apartenenta si cu

ajutorul operatorilor logici ↔ si ∀.3) A = B ↔ [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)].

Intr-adevar,A = B ↔ (∀x)[(x ∈ A) ↔ (x ∈ B)]

↔ (∀x)[((x ∈ A) → (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ B) → (x ∈ A))]↔ [(∀x)[((x ∈ A) → (x ∈ B))] ∧ [(∀x)((x ∈ B) → (x ∈ A))]↔ [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)],

conform tautologiei cuantificate VII (1).4) ⊆ este o relatie de ordine (partiala).

Din acest punct se poate trece la construirea treptata a teoriei multimilor, in-troducand multimea cu un element, {a} (singleton-ul), multimea cu doua elemente,{a, b}, perechea ordonata (a, b), reuniunea si intersectia claselor (multimilor), com-plementara unei clase (multimi), produsul cartezian, relatiile binare, functiile etc.

5.3 Operatii cu multimi. Algebra Boole a multimilor

Definitie 5.3.1 Vom numi multime totala multimea tuturor obiectelor cu careavem de-a face la un moment dat. Vom nota cu E multimea totala.

Deci E ∈M.Fie acum A si B doua submultimi (parti) ale lui E.

Definitie 5.3.2 A este inclusa strict daca si numai daca A este inclusa ın B siA 6= B. Deci, daca notam incluziunea stricta: A ⊂ B, atunci avem:

A ⊂ Bdef.↔ (A ⊆ B si A 6= B).

Page 101: Draft de carte (din 2009)

5.3. OPERATII CU MULTIMI. ALGEBRA BOOLE A MULTIMILOR 101

5.3.1 Reuniunea si intersectia a doua multimi. Complemen-tara unei multimi

Definitie 5.3.3 Se numeste reuniunea multimilor A,B, si se noteaza: A ∪ B,multimea elementelor care apartin cel putin uneia din multimile A, B:

A ∪B = {x ∈ E | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} ⊆ E.

Deci x ∈ A ∪B ↔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B).

Definitie 5.3.4 Se numeste intersectia multimilor A,B, si se noteaza: A ∩ B,multimea elementelor comune lui A si B (care apartin atat lui A cat si lui B):

A ∩B = {x ∈ E | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} ⊆ E.

Deci x ∈ A ∩B ↔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).

Doua multimi se zic disjuncte daca A ∩B = ∅.Definitie 5.3.5 Se numeste complementara multimii A ın raport cu E, si se noteaza:CEA, multimea elementelor lui E care nu apartin lui A:

CEA = {x ∈ E | x 6∈ A} = {x ∈ E | ¬(x ∈ A)}.

Sa notam cu P(E) multimea tuturor submultimilor (partilor) multimii E:

P(E) = {A | A ⊆ E}.

Observatii 5.3.6(1) A ⊆ E ↔ A ∈ P(E).(2) ∅ ∈ P(E).(3) E ∈ P(E).

Teorema 5.3.7 Structura

(P(E),∩,∪,CE , ∅, E)

este o algebra Boole, numita algebra Boole a multimilor.

Dem. Trebuie sa demonstram ca pentru orice A,B, C ∈ P(E), avem:(M1) A ∪A = A, A ∩A = A (idempotenta lui ∪,∩),(M2) A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A (comutativitatea lui ∪,∩),(M3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociativitatea lui∪,∩),(M4) A ∪ (A ∩B) = A, A ∩ (A ∪B) = A (absorbtia),

Page 102: Draft de carte (din 2009)

102 CHAPTER 5. MULTIMI

(M5) A ∪ (B ∩C) = (A ∪ b) ∩ (A ∪C), A ∩ (B ∪C) = (A ∩ b) ∪ (A ∩C) (distribu-tivitatea),(M6) A ∪ ∅ = A, A ∩ E = A,(M7) A ∪CEA = E, A ∩CEA = ∅.

Sa demonstram de exemplu prima egalitate din (M1): pentru orice A ∈ P(E),A ∪A = A.Fie A ∈ P(E) multime fixata, altfel arbitrara. Sa notam Q(A) ≡ ”A ∪ A = A”(am notat cu Q(A) propozitia A ∪ A = A) si sa aratam ca propozitia Q(A) esteadevarata.

Dar A ∪A = Adef.=↔ (∀x)[x ∈ A ∪A ↔ x ∈ A]. Sa notam

R(x) ≡ ”[x ∈ A ∪A ↔ x ∈ A]”.

DeciA ∪A = A

def.=↔ (∀x)R(x).

Propozitia Q(A) (din calculul propozitiilor de ordinul II) este adevarata dacasi numai daca propozitia (∀x)R(x) (din calculul propozitiilor de ordinul I) esteadevarata daca si numai daca predicatul R(x) este adevarat daca si numai dacapentru orice obiect a ∈ DR, propozitia R(a) (din calculul propozitiilor de ordinulI) este adevarata.

Intr-adevar, fie a ∈ DR obiect (element) fixat, altfel arbitrar. Sa demonstramca R(a) este o propozitie adevarata:R(a) este propozitie adevarata daca si numai daca ”a ∈ A ∪ A ↔ a ∈ A” estepropozitie adevarata daca si numai daca, din definitia lui ∪, ”(a ∈ A ∨ a ∈A) ↔ a ∈ A” este propozitie adevarata daca si numai daca ”(p ∨ p) ↔ p” estepropozitie adevarata, unde p ≡ ”a ∈ A” (am notat cu ”p” propozitia ”a ∈ A”).Dar ”(p ∨ p) ↔ p” este prima tautologie din (P1) a sistemului de tautologii A1

a calculului propozitiilor, deci este adevarata. Rezulta ca propozitia R(a) esteadevarata. Conform PG (Principiul generalizarii), rezulta ca pentru orice a ∈ DR,propozitia R(a) este adevarata, adica propozitia Q(A) este adevarata.

Aplicand ınca odata PG, rezulta ca pentru orice A ∈ P(E), propozitia Q(A)este adevarata.

La fel se demonstreaza (M2) - (M7), folosind respectiv tautologiile (P2) - (P7)din sistemul de tautologii A1. 2

Corolar 5.3.8 Submultimea P2 = {∅, E} ⊆ P(E) este ınchisa la ∪,∩,CE, decistructura

(P2,∩,∪,CE , ∅, E)

este o subalgebra Boole a algebrei Boole P(E), deci este o subalgebra Boole (cudoua elemente).

Urmatoarele proprietati sunt de asemenea adevarate:(M8) CE(A ∪B) = CEA ∩CEB, CE(A ∩B) = CEA ∪CEB (legile De Morgan),

Page 103: Draft de carte (din 2009)

5.3. OPERATII CU MULTIMI. ALGEBRA BOOLE A MULTIMILOR 103

(M9) CE(CEA) = A,(M10) CE∅ = E, CEE = ∅,(M11) A ⊆ B ⇔ (CEA) ∪B = E, A ⊆ B ⇔ A ∩ (CEB) = ∅.

Exercitii Sa se scrie echivalentele celorlalte tautologii din sistemele A3 - A5.• Mai general, avem urmatoarea definitie:

Definitie 5.3.9 Se numeste camp de multimi orice multime nevida C de submultimiale unei multimi fixate E (multimea totala) astfel ıncat C este ınchisa fata de re-uniunea, intersectia si complementara de multimi, adica:a) daca A,B ∈ C, atunci A ∪B ∈ C,b) daca A, B ∈ C, atunci A ∩B ∈ C,c) daca A ∈ C, atunci CEA ∈ C.

Observatie 5.3.10 Din regulile de Morgan pentru multimi, rezulta ca (a) si (c)implica (b), si ca (b) si (c) implica (a). De aceea, ın definitia unui camp de multimieste suficient sa luam conditia (c) ımpreuna cu una din conditiile (a), (b).

Exemple 5.3.11(1) P(E) este un camp de multimi, pentru orice E.(2) Pentru orice multime E, clasa compusa din toate submultimile finite ale lui

E si din complementarele acestora este un camp de multimi.

Propozitia 5.3.12 Orice camp de multimi C este o algebra Boole, anume

(C,∩,∪,CE , ∅, E).

Sa remarcam ca algebra Boole C este o subalgebra a algebrei Boole P(E).

5.3.2 Generalizare: reuniunea si intersectia a n multimi

Daca A1, A2, . . . , An ⊆ E, atunci prin definitie:

∪ni=1Ai = A1∪. . .∪An

def.= {x ∈ E | (x ∈ A1)∨. . .∨(x ∈ An)} = {x ∈ E | (∃i)x ∈ Ai}

∩ni=1Ai = A1∩. . .∩An

def.= {x ∈ E | (x ∈ A1)∧. . .∧(x ∈ An)} = {x ∈ E | (∀i)x ∈ Ai}.

Propozitia 5.3.13 Reuniunea si intersectia finita au urmatoarele proprietati:(1) (∪n

i=1Ai) ∩ B = ∪ni=1(Ai ∩ B), (∩n

i=1Ai) ∪ B = ∩ni=1(Ai ∪ B) (distributivitatea

generalizata (finita)),(2) CE(∪n

i=1Ai) = ∩ni=1CEAi, CE(∩n

i=1Ai) = ∪ni=1CEAi (legile De Morgan gen-

eralizate (finite)).

Page 104: Draft de carte (din 2009)

104 CHAPTER 5. MULTIMI

5.3.3 Generalizare: reuniunea si intersectia unei familii demultimi

Definitie 5.3.14 Fie E multimea totala si fie I o multime nevida, eventual infinita.Daca fiecarui i ∈ I ıi este asociata o singura multime Ai ⊆ E, atunci spunem caavem o familie de multimi (submultimi ale lui E) indexata de multimea I si notamcu:

(Ai)i∈I .

Daca (Ai)i∈I este o familie de multimi, atunci prin definitie:

∪i∈IAidef.= {x ∈ E | exista i ∈ I, astfel ıncat x ∈ Ai} = {x ∈ E | (∃i)x ∈ Ai},

∩i∈IAidef.= {x ∈ E | pentru orice i ∈ I, x ∈ Ai} = {x ∈ E | (∀i)x ∈ Ai}.

Propozitia 5.3.15 Reuniunea si intersectia oarecare au urmatoarele proprietati:(1) (∪i∈IAi) ∩ B = ∪i∈I(Ai ∩ B), (∩i∈IAi) ∪ B = ∩i∈I(Ai ∪ B) (distributivitateageneralizata (oarecare)),(2) CE(∪i∈IAi) = ∩i∈ICEAi, CE(∩i∈IAi) = ∪i∈ICEAi (legile De Morgan gener-alizate (oarecare)).

Dem. Vom demonstra succint, pentru exemplificare, ultima proprietate:x ∈ CE(∩i∈IAi) ↔ x 6∈ ∩i∈IAi ↔ ¬(x ∈ ∩i∈IAi) ↔ ¬((∀i)x ∈ Ai) ↔ (∃i)¬(x ∈Ai) ↔ (∃i)(x 6∈ Ai) ↔ (∃i)(x ∈ CEAi) ↔ x ∈ ∪i∈ICEAi,conform tautologiei cuantificate I (3).

Similar se demonstreaza restul proprietatilor. 2

5.3.4 Exemple

Vom ıncheia acest capitol cu cateva exemple ilustrative de utilizare a simbolis-mului logic (fara a ne preocupa de valoarea de adevar a enunturilor) [46].

Exemplul 1. Enuntul:E ≡” Daca clasa x apartine clasei y si clasa y nu apartine clasei x, atunci clasele xsi y sunt distincte”se scrie simbolic: E ≡ ”[(x ∈ y) ∧ (y 6∈ x)] → (x 6= y)”.

Exemplul 2. Enuntul:F ≡ ” Daca clasele x si y sunt distincte, atunci: fie exista o clasa u, astfel ıncatu nu este element al lui x si este element al lui y, fie exista u, astfel ıncat u esteelement al lui x si nu este element al lui y”se scrie simbolic astfel:F ≡ ”(x 6= y) → {(∃u)[(u 6∈ x) ∧ (u ∈ y)] ∨ (∃u)[(u ∈ x) ∧ (u 6∈ y)]}.

Exemplul 3. Enuntul:G ≡ ”Oricare ar fi clasele x si y, exista o clasa z, astfel ıncat oricare ar fi clasa u,

Page 105: Draft de carte (din 2009)

5.3. OPERATII CU MULTIMI. ALGEBRA BOOLE A MULTIMILOR 105

avem: u ∈ z daca si numai daca u ∈ x sau u ∈ y”se scrie simbolic:G ≡ ”(∀x)(∀y)(∃z)(∀u)[(u ∈ z) ↔ (u ∈ x) ∨ (u ∈ y)]”.

Exemplul 4. Invers, sa se scrie ın limbaj uzual enunturile urmatoare scrisesub forma simbolica:K ≡ ”(∃x)(∀y)¬(y ∈ x)”,L ≡ ”(∀x)(∃y)(∀u)[(u ∈ y) ↔ (u = x)]”,M ≡ ”(u = r ∪ {r}) ↔ (∀z)[(z ∈ u) ↔ (z ∈ r) ∨ (z = r)].

K ≡ ”Exista o clasa x, care nu contine niciun element”L ≡ ”Pentru orice clasa x, exista o clasa y, cu proprietatea ca orice element al luiy este egal cu x”,M ≡ ” Clasele u si r ∪ {r} sunt egale daca si numai daca oricare ar fi z, avem:z ∈ u daca si numai daca z ∈ r sau z = r”.

Page 106: Draft de carte (din 2009)

106 CHAPTER 5. MULTIMI

Page 107: Draft de carte (din 2009)

Chapter 6

Relatii. Operatii cu relatii.Algebra Boole a relatiilor.Algebra relationala arelatiilor.Baze de date relationale

In matematica, o anumita categorie de enunturi joaca un rol important; acesteenunturi se numesc relatii, cele mai utilizate fiind relatiile binare. Vom ıncepe cuo categorie de relatii particulare, cu o structura foarte simpla si care se numescproduse carteziene (sau produse directe). Sectiunea are 5 parti:5.1 Produs cartezian a doua multimi. Relatii binare5.2 Generalizare: Produs cartezian a n multimi (n ≥ 2). Relatii n-are5.3 Operatii cu relatii. Algebra Boole a relatiilor5.4 Algebra relationala a relatiilor5.5 Baze de date relationale

6.1 Produs cartezian a doua multimi. Relatii binare

6.1.1 Produs cartezian a doua multimi

107

Page 108: Draft de carte (din 2009)

108 CHAPTER 6. RELATII

Definitie 6.1.1(i) Fie D1, D2 doua multimi, distincte sau nu. Se numeste produs cartezian

al multimilor D1, D2 multimea, notata D1 × D2, care are drept elemente toateperechile ordonate (x, y), cu x ∈ D1 si y ∈ D2, si numai pe acestea:

D1 ×D2 = {(x, y) | (x ∈ D1) ∧ (y ∈ D2)}.

(i’) Daca D1 = D2 = D, atunci D ×D se mai noteaza D2.

Definitie 6.1.2(i) Se numeste diagonala produsului cartezian D1×D2, multimea notata ∆D1×D2

definita astfel:

∆D1×D2 = {(x, y) | (x ∈ D1) ∧ (y ∈ D2) ∧ (x = y)}

= {(x, x) | (x ∈ D1) ∧ (x ∈ D2)} = {(x, x) | x ∈ D1 ∩D2} ⊆ D1 ×D2.

(i’) Se numeste diagonala produsului cartezian D ×D (sau relatia identica dinD), multimea notata ∆D definita astfel:

∆D = {(x, x) | x ∈ D} ⊆ D ×D.

Propozitia 6.1.3 Daca Card(D1) si Card(D2) sunt finite, atunci

Card(D1 ×D2) = Card(D1) · Card(D2),

unde Card(D) este numarul elementelor multimii D (cardinalul lui D).

• Proprietati ale produsului cartezian a doua multimi

1. Daca D1 = ∅ sau D2 = ∅, atunci D1 ×D2 = ∅.2. Daca D1, D′

1, D2, D′2 sunt nevide, atunci

D1 ×D2 = D′1 ×D′

2 ↔ (D1 = D′1) ∧ (D2 = D′

2).

3. (D1 ∪D′1)×D2 = (D1 ×D2) ∪ (D′

1 ×D2),D1 × (D2 ∪D′

2) = (D1 ×D2) ∪ (D1 ×D′2).

4. (D1 ∩D′1)×D2 = (D1 ×D2) ∩ (D′

1 ×D2),D1 × (D2 ∩D′

2) = (D1 ×D2) ∩ (D1 ×D′2).

5. (D1 ∪D′1)× (D2 ∪D′

2) = (D1 ×D2) ∪ (D1 ×D′2) ∪ (D′

1 ×D2) ∪ (D′1 ×D′

2).6. (D1 ∩D′

1)× (D2 ∩D′2) = (D1 ×D2) ∩ (D1 ×D′

2) ∩ (D′1 ×D2) ∩ (D′

1 ×D′2).

6.1.2 Relatii binare

Page 109: Draft de carte (din 2009)

6.2. GENERALIZARE: PRODUS CARTEZIAN A N MULTIMI (N ≥ 2). RELATII N -ARE109

Definitie 6.1.4(i) Fie D1 si D2 doua multimi oarecare, distincte sau nu. Se numeste relatie

binara (sau simplu relatie) ıntre D1 si D2 orice submultime R a produsului cartezianD1 ×D2. D1 si D2 se numesc domeniile lui R.

(i’) Daca D1 = D2 = D, se numeste relatie binara (sau relatie) ıntre elementelemultimii D (sau pe multimea D) orice submultime R a produsului cartezian D2.

Observatii 6.1.51. Diagonala ∆D1×D2 este o relatie binara ıntre D1 si D2, iar ∆D este o relatie

binara pe D.2. Daca x, y sunt in relatia binara R, atunci vom scrie echivalent:

xRy, (x, y) ∈ R, R(x, y) − predicat binar

3. Toate elementele unei multimi A au o proprietate comuna, P , si anume aceeade a apartine acelei multimi; propozitia ”a ∈ A” afirma proprietatea P a lui a (aare proprietatea P ). Scriem, echivalent:

a ∈ A ↔ P (a)

• Functii (aplicatii) unare (de o variabila)

Definitie 6.1.6 Fie A, B doua multimi oarecare.(i) O functie definita pe A cu valori ın B este o relatie binara Γ ıntre A si B

(adica Γ ⊆ A×B), cu proprietatea ca pentru orice x ∈ A, exista un element y ∈ Bsi numai unul, astfel ıncat (x, y) ∈ Γ.

O functie Γ ⊆ A×B se noteaza prin f : A −→ B, x 7−→ f(x), simbolul f avandsemnificatia urmatoare: fiecarui element x ∈ A ıi corespunde un singur element,f(x) ∈ B, astfel ıncat (x, f(x)) ∈ Γ.

A se numeste domeniul de definitie al functiei f : A −→ B, B se numestedomeniul valorilor lui f .

(i’) Daca A = B si f : A −→ A, atunci f se numeste operatie unara pe A.

6.2 Generalizare: Produs cartezian a n multimi(n ≥ 2). Relatii n-are

6.2.1 Produs cartezian a n multimi

Definitie 6.2.1(i) Fie D1, D2, . . ., Dn n multimi, distincte sau nu (n ≥ 2). Se numeste produs

cartezian al multimilor Di, i = 1, n multimea, notata D1 × D2 × . . . × Dn sau

Page 110: Draft de carte (din 2009)

110 CHAPTER 6. RELATII

ınca∏n

i=1 Di, care are drept elemente toate n-uplele ordonate (x1, x2, . . . , xn), cuproprietatea xi ∈ Di, i = 1, n:

n∏

i=1

Di = D1 ×D2 × . . .×Dn = {(x1, x2, . . . , xn) | (x1 ∈ D1) ∧ . . . ∧ (xn ∈ Dn)}

= {(x1, x2, . . . , xn) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, xi ∈ Di︸ ︷︷ ︸P (i)

}.

(i’) Daca D1 = D2 = . . . = Dn = D, atunci D ×D × . . . ×D se mai noteaza Dn,numindu-se puterea naturala a multimii D.

Produsul cartezian a n multimi (finit) mai poate fi definit echivalent astfel:

Definitie 6.2.2 Fie D1, D2, . . ., Dn n multimi, distincte sau nu (n ≥ 2). Senumeste produs cartezian al multimilor Di, i = 1, n multimea, notata D1×D2×. . .×Dn sau ınca

∏ni=1 Di, care are drept elemente toate functiile f : {1, 2, . . . , n} −→⋃n

i=1 Di, cu proprietatea ca avem f(i) ∈ Di, pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , n}:n∏

i=1

Di = {f : {1, 2, . . . , n} −→n⋃

i=1

Di | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, f(i) ∈ Di}.

Observatii 6.2.31. In aceasta sectiune, scrierea i = 1, n este echivalenta cu scrierea i ∈ {1, 2, . . . , n}.2. Cele doua definitii 6.2.1 si 6.2.2 sunt echivalente, pentru ca tuplurile (n-

uplele) (x1, x2, . . . , xn), cu xi ∈ Di, i = 1, n, sunt ın corespondenta bijectiva cufunctiile f : {1, 2, . . . , n} −→ ⋃n

i=1 Di, cu f(i) = xi ∈ Di, i = 1, n.3. (D1 ×D2) ×D3 ' D1 × (D2 ×D3) ' D1 ×D2 ×D3, unde ' ınseamna ca

multimile respective sunt izomorfe (adica exista o bijectie ıntre ele).

Propozitia 6.2.4 Pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n}, functia πj :∏n

i=1 Di −→ Dj,definita de:

πj((x1, x2, . . . , xn)) = xj

este surjectiva, si se numeste proiectia canonica a lui∏n

i=1 Di.

6.2.2 Relatii n-are (n ≥ 2)

Definitie 6.2.5(i) Fie D1, D2, . . . , Dn o lista finita de multimi oarecare, distincte sau nu,

n ≥ 2. Se numeste relatie n-ara ıntre multimile D1, . . . , Dn orice submultime R aprodusului cartezian

∏ni=1 Di. Multimile D1, . . ., Dn se numesc domeniile lui R.

n se numeste aritatea lui R.(i’) Daca D1 = D2 = . . . = Dn = D, se numeste relatie n-ara ıntre elementele

multimii D (sau pe multimea D) orice submultime R a produsului cartezian Dn.

Page 111: Draft de carte (din 2009)

6.3. OPERATII CU RELATII. ALGEBRA BOOLE A RELATIILOR 111

Observatii 6.2.61. Elementele unei relatii sunt tupluri (n-upluri) sau, echivalent, sunt functii.2. Daca x, y, z sunt ın relatia ternara R, vom scrie echivalent:

(x, y, z) ∈ R, R(x, y, z) − predicat ternar

Exemple de relatii ternare1) S(x, y, z) ≡ ”x + y = z”2) P (x, y, z) ≡ ”x · y = z”

• Functii de n variabile (n ≥ 1)

Definitie 6.2.7 Fie D1, D2, . . . , Dn si B n + 1 multimi, distincte sau nu, n ≥ 1.(i) O functie de n variabile este o functie unara f :

∏ni=1 Di −→ B, adica este

o relatie binara Γ, Γ ⊆ (D1 ×D2 × . . .×Dn)× B cu proprietatea ca pentru oriceX = (x1, x2, . . . , xn) ∈ ∏n

i=1 Di, exista un element y = f(X) ∈ B si numai unulastfel ıncat

(X, y) = ((x1, x2, . . . , xn), y) ∈ Γ.

(i’) Daca D1 = D2 = . . . = Dn = B = D, atunci o functie f : Dn −→ D senumeste operatie n-ara pe D.

(i”) Operatiile zero-are sau nulare pe D 6= ∅ se definesc ca fiind elementelemultimii D.

Observatie 6.2.8 Echivalent, o functie de n variabile este o relatie (n + 1)-ara Γ,Γ ⊆ D1 × D2 × . . . × Dn × B cu proprietatea ca pentru orice (x1, x2, . . . , xn) ∈∏n

i=1 Di, exista un element y = f(x1, x2, . . . , xn) ∈ B si numai unul astfel ıncat

(x1, x2, . . . , xn, y) ∈ Γ.

6.3 Operatii cu relatii. Algebra Boole a relatiilor

In cele ce urmeaza, vom lucra numai cu relatii binare pe E, generalizarea la alterelatii binare sau la relatii n-are fiind evidenta.

6.3.1 Disjunctia, conjunctia si negatia unei relatii binare

Fie R si S doua relatii binare pe E (adica R, S ⊆ E ×E).

Definitie 6.3.1 Numim disjunctia (reuniunea) relatiilor R, S, si notam R∨

S,relatia care corespunde reuniunii lor luate ca multimi:

R∨

S = {(x, y) ∈ E × E | (x, y) ∈ R ∨ (x, y) ∈ S}.

Page 112: Draft de carte (din 2009)

112 CHAPTER 6. RELATII

Definitie 6.3.2 Numim conjunctia (intersectia) relatiilor R, S, si notam R∧

S,relatia care corespunde intersectiei lor luate ca multimi:

R∧

S = {(x, y) ∈ E × E | (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ S}.

Definitie 6.3.3 Numim negatia (complementara) relatiei R, si notam R, relatiacare corespunde complementarei ei ın raport cu E × E luata ca multime:

R = {(x, y) ∈ E × E | (x, y) 6∈ R} = {(x, y) ∈ E × E | ¬((x, y) ∈ R)}.

6.3.2 Implicatia si echivalenta relatiilor binare

Fie R si S doua relatii binare pe E.

Definitie 6.3.4 Spunem ca relatia R implica relatia S, si notam R =⇒ S, dacaori de cate ori avem xRy, avem si xRy, deci daca R ⊆ S ca multimi.

Definitie 6.3.5 Spunem ca relatia R este echivalenta cu relatia S, si notam R ⇐⇒S, daca R =⇒ S si S =⇒ R, deci daca R = S ca multimi.

Observatii 6.3.61. Implicatia relatiilor este o relatie de ordine partiala pe multimea relatiilor

binare pe E.2. Echivalenta relatiilor este o relatie de echivalenta pe multimea relatiilor

binare pe E.

Exemple 6.3.7• Pentru numere:

”<”∨

”=” ⇐⇒ ”≤”,”>”

∨”=” ⇐⇒ ”≥”,

”≤”∧

”≥” ⇐⇒ ”=”,”≥”

∧”6=” ⇐⇒ ”>”,

”≤”∧

”6=” ⇐⇒ ”<”.

” < ” ⇐⇒ ”≥” (negatia relatiei < este ≥),” > ” ⇐⇒ ”≤” (negatia relatiei > este ≤),” = ” ⇐⇒ ”6=” (negatia relatiei = este 6=).

”=” =⇒ ”≤”,”=” =⇒ ”≥”,”<” =⇒ ”≤”,”>” =⇒ ”≥”,”<” =⇒ ”6=”,”>” =⇒ ”6=”.

Page 113: Draft de carte (din 2009)

6.3. OPERATII CU RELATII. ALGEBRA BOOLE A RELATIILOR 113

• Pentru multimi:”⊆”

∧”⊇” ⇐⇒ ”=”.

” ∈ ” ⇐⇒ ”6∈” (negatia lui ∈ este 6∈),” 6∈ ” ⇐⇒ ”∈” (negatia lui 6∈ este ∈),” = ” ⇐⇒ ”6=” (negatia lui = este 6=).

”=” =⇒ ”⊆”.

6.3.3 Algebra Boole a relatiilor

Definitie 6.3.8 Se numeste relatia vida, si se noteaza V , relatia care corespundemultimii vide, ∅ ⊆ E × E, adica relatia cu proprietatea ca oricare x, y din E, nuavem xV y.

Definitie 6.3.9 Se numeste relatia totala, si se noteaza T , relatia care corespundemultimii totale, E × E ⊆ E × E, adica este relatia cu proprietatea ca oricare x, ydin E, avem xTy.

Propozitia 6.3.10 Fie RE multimea tuturor relatiilor binare pe E (adica RE =P(E × E)). Atunci structura (RE ,

∧,∨

,−, V, T ) este o algebra Boole, numita al-gebra Boole a relatiilor.

Proof. Trebuie sa demonstram ca pentru orice R, S,Q ∈ RE , avem:(R1) R

∨R ⇐⇒ R, R

∧R ⇐⇒ R (idempotenta lui

∨,∧

),(R2) R

∨S ⇐⇒ S

∨R, R

∧S ⇐⇒ S

∧R (comutativitatea lui

∨,∧

),(R3) R

∨(S

∨Q) ⇐⇒ (R

∨S)

∨Q, R

∧(S

∧Q) ⇐⇒ (R

∧S)

∧Q (asociativitatea

lui∨

,∧

),(R4) R

∨(R

∧S) ⇐⇒ R, R

∧(R

∨S) ⇐⇒ R (absorbtia),

(R5) R∨

(S∧

Q) ⇐⇒ (R∨

S)∧

(R∨

Q, R∧

(S∨

Q) ⇐⇒ (R∧

S)∨

(R∧

Q (dis-tributivitatea),(R6) R

∨V ⇐⇒ R, R

∧T ⇐⇒ R (V este prim element, T este ultim element:

V =⇒ R =⇒ T ),(R7) R

∨R ⇐⇒ T , R

∧R ⇐⇒ V (R este complementul lui R ),

ceea ce se demonstreaza similar cu modul cum am demonstrat ca (P(E),∩,∪, CE , ∅, E)este o algebra Boole (algebra Boole a multimilor), de data aceasta folosind predicatebinare, nu unare. 2

Urmatoarele proprietati sunt de asemenea adevarate, pe langa multe altele:pentru orice doua relatii binare R, S pe E,(R8) R

∨S ⇐⇒ R

∧S, R

∧S ⇐⇒ R

∨S (legile De Morgan),

(R9) R ⇐⇒ R (legea dublei negatii).

Observatie 6.3.11 Echivalenta relatiilor joaca, ın algebra Boole a relatiilor, acelasirol pe care-l joaca egalitatea multimilor ın algebra Boole a multimilor.

Page 114: Draft de carte (din 2009)

114 CHAPTER 6. RELATII

6.4 Algebra relationala a relatiilor

6.4.1 Compunerea si inversarea relatiilor binare

Fie R si S doua relatii binare pe E.

Definitie 6.4.1 Se numeste compusa (produsul) relatiilor R, S, si se noteaza R◦S,relatia binara care are drept elemente toate acele (si numai acele) perechi ordonate(x, y) pentru care exista cel putin un t astfel ıncat (x, t) ∈ R si (t, y) ∈ S:

R ◦ S = {(x, y) ∈ E × E | (∃t)((x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ S)}.

Definitie 6.4.2 Se numeste inversa (transpusa) (simetrica) relatiei R, si se noteazaR−1, relatia binara care are drept elemente toate perechile ordonate obtinute prin”inversarea” perechilor din R, adica (x, y) ∈ R−1 ↔ (y, x) ∈ R:

R−1 = {(x, y) ∈ E × E | (y, x) ∈ R}.

Exemple 6.4.3• Pentru numere:

”=” ◦ ”≤” ⇐⇒ ”≤”,”≤” ◦ ”=” ⇐⇒ ”≤”,”≥” ◦ ”=” ⇐⇒ ”≥”,”<” ◦ ”<” ⇐⇒ ”<”.

• Pentru multimi:”=” ◦ ”∈” ⇐⇒ ”∈”,”∈” ◦ ”=” ⇐⇒ ”∈”,”=” ◦ ”=” ⇐⇒ ”=”,”⊆” ◦ ”⊆” ⇐⇒ ”⊆”,”=” ◦ ”⊆” ⇐⇒ ”⊆”,”⊆” ◦ ”=” ⇐⇒ ”⊆”.

Sa demonstram, de exemplu, ca ”=” ◦ ”∈” ⇐⇒ ”∈” pentru multimi:(X, Y ) ∈ ”=” ◦ ”∈”↔ (∃T )[X = T∧T ∈ Y ] ↔ (∃T )[X ∈ Y ] ↔ X ∈ Y ↔ (X,Y ) ∈”∈”.

Propozitia 6.4.4 Produsul are urmatoarele proprietati: pentru orice R, S, Qrelatii binare pe E,

0) R ◦ ∆E ⇐⇒ R ⇐⇒ ∆E ◦ R (∆E este element neutru pentru compunerearelatiilor),1) (R ◦ S) ◦Q ⇐⇒ R ◦ (S ◦Q) (asociativitatea compunerii),2) R ◦ (S

∨Q) ⇐⇒ (R ◦ S)

∨(R ◦Q),

3) R ◦ (S∧

Q) ⇐⇒ (R ◦ S)∧

(R ◦Q),

Page 115: Draft de carte (din 2009)

6.4. ALGEBRA RELATIONALA A RELATIILOR 115

4) (R∨

S) ◦Q ⇐⇒ (R ◦Q)∨

(S ◦Q),5) (R

∧S) ◦Q ⇐⇒ (R ◦Q)

∧(S ◦Q).

Dem.

0): R ◦ ∆E ⇐⇒ R ınseamna, conform definitiei lui ⇐⇒, ca R ◦ ∆E = R, iarR ◦ ∆E = R ↔ (∀x)(∀y)[(x, y) ∈ R ◦ ∆E ↔ (x, y) ∈ R] ≡ (∀x)(∀y)P (x, y), undeam facut notatia P (x, y) ≡ [(x, y) ∈ R ◦∆E ↔ (x, y) ∈ R].Dar Propozitia (∀x)(∀y)P (x, y) este adevarata daca si numai daca predicatul P (x, y)este adevarat, iar P (x, y) este un predicat adevarat daca si numai daca pentru oricepereche de obiecte (a, b) ∈ DP , propozitia P (a, b) este adevarata.Dar P (a, b) ≡ [(a, b) ∈ R ◦∆E ↔ (a, b) ∈ R].Fie perechea de obiecte (a, b) ∈ DP , fixata, altfel arbitrara; sa demonstram caP (a, b) este o propozitie adevarata:ıntr-adevar, (a, b) ∈ R ◦∆E ↔(∃t)[(a, t) ∈ R ∧ (t, b) ∈ ∆E ] ↔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, b) ∈ ∆E ] ↔ (a, b) ∈ R,pentru ca din definitia lui ∆E rezulta ca t = b, pentru ca propozitia “(b, b) ∈ ∆E”este adevarata (este I) si deoarece p ∧ I ↔ p, unde p ≡ (a, b) ∈ R, conform (P6)din sistemul A1 de tautologii. Rezulta ca (a, b) ∈ R ◦∆E ↔ (a, b) ∈ R, deoarecedaca p ↔ q si q ↔ r, atunci p ↔ r, pentru orice p, q, r propozitii. Deci, P (a, b) estepropozitie adevarata.Rezulta, conform Principiului Generalizarii, ca pentru orice obiecte a, b, P (a, b)este propozitie adevarata. Deci, R ◦∆E ⇐⇒ R este adevarata.Remarca. O demonstratie mai scurta este urmatoarea (sa lucram doar cu predi-cate):(x, y) ∈ R ◦∆E ↔ (∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ ∆E ] ↔ (x, y) ∈ R.

La fel se demonstreaza ca ∆E ◦R ⇐⇒ R este adevarata.

1): (R ◦ S) ◦Q ⇐⇒ R ◦ (S ◦Q) ınseamna (R ◦ S) ◦Q = R ◦ (S ◦Q) si(R ◦ S) ◦Q = R ◦ (S ◦Q) ↔ (∀x)(∀y)[(x, y) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (x, y) ∈ R ◦ (S ◦Q)] ≡(∀x)(∀y)P (x, y),unde am facut notatia P (x, y ≡ [(x, y) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (x, y) ∈ R ◦ (S ◦Q)].Propozitia (∀x)(∀y)P (x, y) este adevarata daca si numai daca pentru orice obiectea, b, propozitia P (a, b) este adevarata.Fie a, b obiecte fixate, altfel arbitrare; sa demonstram ca propozitia P (a, b) esteadevarata, adica ca propozitia (a, b) ∈ (R ◦ S) ◦ Q ↔ (a, b) ∈ R ◦ (S ◦ Q) esteadevarata:ıntr-adevar, (a, b) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (din definitia lui ◦)(∃t)[(a, t) ∈ R ◦ S ∧ (t, b) ∈ Q] ↔ (din definitia lui ◦)(∃t)[(∃z)[(a, z) ∈ R ∧ (z, t) ∈ S] ∧ (t, b) ∈ Q] ↔ (pentru ca (t, b) nu depinde de z)(∃t)(∃z)[[(a, z) ∈ R ∧ (z, t) ∈ S] ∧ (t, b) ∈ Q] ↔ (din tautologia cuantificata VIII.2si (P3), asociativitatea lui ∧)(∃z)(∃t)[(a, z) ∈ R ∧ [(z, t) ∈ S ∧ (t, b) ∈ Q]] ↔ (pentru ca (a, z) nu depinde de t)

Page 116: Draft de carte (din 2009)

116 CHAPTER 6. RELATII

(∃z)[(a, z) ∈ R ∧ (∃t)[(z, t) ∈ S ∧ (t, b) ∈ Q]] ↔ (din definitia lui ◦)(∃z)[(a, z) ∈ R ∧ (z, b) ∈ S ◦Q] ↔ (din definitia lui ◦)(a, b) ∈ R ◦ (S ◦Q).Deci, P (a, b) este propozitie adevarata. Rezulta, conform Principiului Gener-alizarii, ca pentru orice a, b, propozitia P (a, b) este adevarata, deci (R ◦S) ◦Q ⇐⇒R ◦ (S ◦Q).Remarca. O demonstratie mai scurta este urmatoarea (sa lucram doar cu predi-cate):(x, y) ∈ (R ◦ S) ◦Q ↔ (∃t)[(x, t) ∈ R ◦ S ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ . . . ↔ (x, y) ∈ R ◦ (S ◦Q).

La fel se demonstreaza (2) - (3).

4): (x, y) ∈ (R∨

S) ◦Q ↔ (din definitia lui ◦ si∨

)(∃t)[(x, t) ∈ R ∪ S ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ (din definitia lui ∪)(∃t)[[(x, t) ∈ R ∨ (x, t) ∈ S] ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ (din distributivitate)(∃t)[[(x, t) ∈ R∧ (t, y) ∈ Q]∨ [(x, t) ∈ S∧ (t, y) ∈ Q]] ↔ (din tautologia cuantificataVII.2)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ Q] ∨ (∃t)[(x, t) ∈ S ∧ (t, y) ∈ Q] ↔ (din definitia lui ◦)[(x, y) ∈ R ◦Q] ∨ [(x, y) ∈ S ◦Q] ↔ (din definitia lui ∪)(x, y) ∈ (R ◦Q) ∪ (S ◦Q) ↔ (din definitia lui

∨)

(x, y) ∈ (R ◦Q)∨

(S ◦Q).

(5) se demonstreaza similar. 2

Corolar 6.4.5 Fie RE multimea tuturor relatiilor binare pe E. Atunci structura

(RE , ◦, ∆E)

este semigrup cu unitate (monoid), adica:- ◦ este asociativa si- R ◦∆E ⇐⇒ ∆E ◦R ⇐⇒ R, pentru orice R ∈ RE.

Dem. Evident, conform Propozitiei 6.4.4,(0), (1). 2

Propozitia 6.4.6 Inversa are urmatoarele proprietati: pentru orice R, S relatiibinare pe E,

0) (R−1) ⇐⇒ (R)−1,1) (R−1)−1 ⇐⇒ R,2) (R

∧S)−1 ⇐⇒ R−1

∧S−1,

3) (R∨

S)−1 ⇐⇒ R−1∨

S−1,4) Daca R ⇐⇒ S, atunci R−1 ⇐⇒ S−1,5) (R ◦ S)−1 ⇐⇒ S−1 ◦R−1.

Dem.

Page 117: Draft de carte (din 2009)

6.4. ALGEBRA RELATIONALA A RELATIILOR 117

0): (x, y) ∈ (R−1) ↔ (din definitia lui −)¬[(x, y) ∈ R−1] ↔ (din definitia lui −1)¬[(y, x) ∈ R] ↔ (din definitia lui −)(y, x) ∈ R ↔ (din definitia lui −1

(x, y) ∈ (R)−1.

1): (x, y) ∈ (R−1)−1 ↔ (y, x) ∈ R−1 ↔ (x, y) ∈ R.

2): (x, y) ∈ (R∧

S)−1 ↔ (y, x) ∈ R∧

S ↔ (y, x) ∈ R∩S ↔ (y, x) ∈ R∧(y, x) ∈S ↔(x, y) ∈ R−1 ∧ (x, y) ∈ S−1 ↔ (x, y) ∈ R−1 ∩ S−1 ↔ (x, y) ∈ R−1

∧S−1.

3), 4) se demonstreaza similar.

5): (x, y) ∈ (R ◦ S)−1 ↔ (y, x) ∈ R ◦ S ↔ (∃t)[(y, t) ∈ R ∧ (t, x) ∈ S] ↔(∃t)[(t, y) ∈ R−1 ∧ (x, t) ∈ S−1] ↔ (∃t)[(x, t) ∈ S−1 ∧ (t, y) ∈ R−1] ↔ (x, y) ∈S−1 ◦R−1. 2

Urmeaza un rezultat care contine ın el definitia algebrei relationale.

Propozitia 6.4.7 Fie RE multimea tuturor relatiilor binare pe E. Atunci struc-tura

Relb = (RE ,∧

,∨

,−, V, T, ◦,−1, ∆E)

de tipul (2, 2, 1, 0, 0, 2, 1, 0) este o algebra relationala, adica:

(rel1) (RE ,∧

,∨

,−, V, T ) este o algebra Boole,(rel2) (RE , ◦, ∆E) este semigrup cu unitate (monoid),(rel3) (R

∨S) ◦Q ⇐⇒ (R ◦Q)

∨(S ◦Q), pentru orice R, S ∈ RE,

(rel4) (R∨

S)−1 ⇐⇒ R−1∨

S−1, pentru orice R,S ∈ RE,(rel5) (R ◦ S)−1 ⇐⇒ S−1 ◦R−1, pentru orice R, S ∈ RE,(rel6) (R−1)−1 ⇐⇒ R, pentru orice R ∈ RE,(rel7) R ◦ (R−1 ◦ S) =⇒ S, pentru orice R, S ∈ RE.

Dem.(rel1): rezulta din Propozitia 6.3.10;(rel2): rezulta din Corolarul 6.4.5;(rel3): rezulta din Propozitia 6.4.4 (4);(rel4): rezulta din Propozitia 6.4.6 (3);(rel5): rezulta din Propozitia 6.4.6 (5);(rel6): rezulta din Propozitia 6.4.6 (1);(rel7): (x, y) ∈ R ◦ (R−1 ◦ S) ↔ (prin definitia lui ◦)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, y) ∈ (R−1 ◦ S)] ↔ (prin definitia lui −)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ ¬[(t, y) ∈ R−1 ◦ S]] ↔ (prin definitia lui ◦)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ ¬[(∃z)((t, z) ∈ R−1 ∧ (z, y) ∈ S)]] ↔ (prin tautologia cuantificata

Page 118: Draft de carte (din 2009)

118 CHAPTER 6. RELATII

I.4)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (∀z)(¬[(t, z) ∈ R−1 ∧ ¬((z, y) ∈ S)])] ↔ (prin legile De Morgan)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (∀z)[(t, z) ∈ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S]] ↔(∃t)(∀z)[(x, t) ∈ R ∧ [(t, z) ∈ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S]] → (prin tautologia cuantificataVIII.3)(∀z)(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ [(t, z) ∈ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S]] ↔ (conform distributivitatii lui∨, ∧)(∀z)(∃t)[[(x, t) ∈ R ∧ (t, z) ∈ (R−1)] ∨ [(x, t) ∈ R ∧ (z, y) ∈ S]] → (conform (G4):p ∧ q → p)(∀z)(∃t)[[(x, t) ∈ R ∧ (t, z) ∈ (R−1)] ∨ (z, y) ∈ S] ↔(∀z)[(∃t)[(x, t) ∈ R ∧ (t, z) ∈ (R−1)] ∨ (z, y) ∈ S] ↔ (prin definitia lui ◦)(∀z)[(x, z) ∈ R ◦ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S].

Dar, (x, z) ∈ R ◦ (R−1) ↔ (∃m)[(x, m) ∈ R ∧ (m, z) ∈ R−1] ↔(∃m)[(x,m) ∈ R ∧ ¬((m, z) ∈ R−1)] ↔(∃m)[(x,m) ∈ R ∧ ¬((z, m) ∈ R)] ↔(∃m)[(x,m) ∈ R ∧ (z,m) ∈ R].Atunci daca z = x, rezulta ca [(x,m) ∈ R∧ (x,m) ∈ R] ↔ [(x,m) ∈ R

∧R = V ] si

(x,m) ∈ V este un predicat ıntotdeauna fals, adica (x, z) nu apartine lui R◦ (R−1).

Rezulta ca (∀z)[(x, z) ∈ R ◦ (R−1) ∨ (z, y) ∈ S] implica ca (x, y) ∈ S, deci amdemonstrat ca:(x, y) ∈ R ◦ (R−1 ◦ S) → (x, y) ∈ S, adica (rel7) este adevarata. 2

6.5 Baze de date relationale

Am folosit ın aceasta sectiune [3].

6.5.1 Reprezentarea relatiilor. Definitii

• Uneori (ın teoria bazelor de date relationale), relatiile sunt reprezentate subforma unor tabele, ın care fiecare rand (linie) reprezinta un n-uplu, iar fiecarecoloana reprezinta un domeniu din cele n ale produsului cartezian (definitia 1 (6.2.1)a produsului cartezian finit). In acest caz, coloanelor 1, 2, . . . , n, respectiv domeni-ilor corespunzatoare D1, D2, . . . , Dn, li se asociaza nume: A1, A2, . . . , An, numiteatribute:

A1 A2 . . . Aj . . . An

Page 119: Draft de carte (din 2009)

6.5. BAZE DE DATE RELATIONALE 119

i

x11 x12 . . . x1j . . . x1n

...... . . .

... . . ....

xi1 xi2 . . . xij . . . xin

...... . . .

... . . ....

xm1 xm2 . . . xmj . . . xmn

j

Definitie 6.5.1(i) O relatie R ımpreuna cu multimea atributelor sale se numeste schema relationala.(ii) Multimea tuturor schemelor relationale corespunzatoare unei aplicatii se

numeste schema bazei de date relationale.(iii) Continutul curent al relatiilor la un moment dat se numeste baza de date

relationala.

Daca relatia n-ara este R, cu atributele A1, A2, . . . , An, atunci schema relationalase noteaza: R(A1, A2, . . . , An).

Exemplu 6.5.2 Schema relationala R(A,B, C), unde R = {(a, b, c), (d, a, f)} sereprezinta astfel:

A B C

ia b cd a f

j

• Alteori, relatiile sunt reprezentate, echivalent, printr-o multime de functii def-inite pe multimea atributelor, cu valori ın reuniunea domeniilor, cu proprietateaca valoarea corespunzatoare fiecarui atribut sa apartina domeniului asociat aceluiatribut (definitia a 2-a (6.2.2) a produsului cartezian finit):

R = {f : {A1, A2, . . . , An} →n⋃

j=1

Dj | ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, f(Aj) ∈ Dj}.

Exemplu 6.5.3 Pentru relatia R din Exemplul precedent, avem, echivalent:

R = {f1, f2}, cu f1 : {A,B,C} →3⋃

j=1

Dj , f2 : {A,B, C} →3⋃

j=1

Dj ,

f1(A) = a, f1(B) = b, f1(C) = c,

f2(A) = d, f2(B) = a, f2(C) = f.

Page 120: Draft de carte (din 2009)

120 CHAPTER 6. RELATII

• Trecerea de la un mod de definire a relatiei la celalalt se face relativ simplu:- O relatie ın sensul multime de tupluri se transforma ıntr-o relatie ın sensulmultime de functii asociind fiecarui domeniu D1, D2, . . . , Dn al produsului cartezian∏n

j=1 Dj cate un nume (= atribut): A1, A2, . . . , An respectiv si definind pentrufiecare tuplu:

ti = (xi1, xi2, . . . , xij , . . . , xin) ∈n∏

j=1

Dj

functia

fi : {A1, A2, . . . , Aj , . . . , An} →n⋃

j=1

Dj

care verifica:

fi(Aj) = xij ∈ Dj , pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n}, i ∈ {1, 2, . . . ,m},

unde m este numarul tuplurilor (n-uplelor).- O relatie ın sensul multime de functii se transforma ıntr-o relatie ın sensul multimede tupluri impunand o relatie de ordine totala pe multimea atributelor (printr-o corespondenta cu multimea {1, 2, . . . , n}) si asociind apoi fiecarei functii tuplulobtinut din valorile functiei respective ın ordinea A1, A2, . . . , An a atributelor.

Din punctul de vedere al bazelor de date, cea de-a doua definitie, ca multime defunctii, este de preferat, deoarece permite prelucrarea informatiilor corespunzatoareunui atribut fara a cunoaste pozitia acelui atribut ın relatie, aceasta permitand omai mare independenta de reprezentare a datelor.

6.5.2 Limbajele de prelucrare a datelor

Pentru acest model de baza de date, cel relational, limbajele de prelucrare adatelor se pot ımparti ın doua mari categorii:I - limbaje algebrice, ın care cererile sunt exprimate prin operatiile ce trebuie aplicaterelatiilor existente ın baza de date pentru a obtine raspunsul;II - limbaje cu calculul predicatelor, ın care cererile sunt exprimate sub forma unormultimi de tupluri - sau de functii - pentru care se specifica proprietatile pe caretrebuie sa le ındeplineasca sub forma unor predicate. Aceasta categorie de limbajese divide ın doua subcategorii, ın functie de obiectele cu care lucreaza predicatele,si anume:- limbaje cu calcul pe tupluri, adica obiectele sunt tupluri (Calcul de ordinul I);- limbaje cu calcul pe domenii, adica obiectele sunt domeniile diferitelor atributeale relatiilor (Calcul de ordinul II).

Page 121: Draft de carte (din 2009)

Chapter 7

Sistemul formal al calcululuipropozitional (L)

In acest capitol este studiat calculul propozitional clasic (L) prin trei dintre di-mensiunile sale: sintaxa, semantica si algebra. Fiecare dintre cele trei componenteeste analizata atat ın sine cat si ın relatie cu celelalte doua. La nivelul acestui ma-terial, cunoasterea logicii propozitionale este realizata prin relatia ternara stabilitaıntre sintaxa, semantica si algebra.

Prima sectiune a capitolului contine cateva exemple de descompunere ale unortexte ın propozitii elementare si reprezentarea lor simbolica cu ajutorul conectorilorpropozitionali ”si”, ”sau” , ”non” si ”implica”. Acest exercitiu de reprezentaresimbolica este o prima sugestie asupra trecerii de la limbajul natural la limbajulformal al logicii propozitionale.

Sectiunea 2 ıncepe cu definirea limbajului lui L. Constructia re la baza unalfabet ın care apar numai doi conectori primari: implicatia (→) si negatia (¬).

Prin inductie, sunt definite enunturile lui L: ele sunt formatiuni de simboluri cetraduc propozitii din limbajul natural. Conjunctia (∧), disjunctia (∨) si echivalentalogica (↔) sunt conectori derivati, definiti cu ajutorul implicatiei si negatiei.

Pasul urmator este ımbogatirea limbajului L cu o structura logica. Pornindde la trei axiome si o singura regula de deductie (modus ponens), se definescdemonstratiile formale si deductia din ipoteze. La capatul demonstratiilor formalestau teoremele formale.

Subsectiunea 1 cuprinde unele proprietati sintactice ale lui L. Teorema deductieieste folosita ca instrument principal ın stabilirea celor mai importante teoremeformale.

In Subsectiunea 2 este descris modul cum se realizeaza trecerea de sintaxa luiL la algebra Boole. Factorizand multimea enunturilor lui L printr-o relatie deechivalenta canonica (definita in termenii echivalentei logice), se obtine o algebraBoole, numita algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L. Prin aceasta constructie,

121

Page 122: Draft de carte (din 2009)

122CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

conectorii sunt convertiti ın operatii booleene, iar stabilirea teoremelor formale sereduce la un calcul algebric. Din acest moment, se poate urmari cum, pas cu pas,se traseaza o paralela algebrica la sintaxa lui L.

Semantica lui L este tratata in Sectiunea 3. Se defineste notiunea de inter-pretare si valoarea de adevar a unui enunt ıntr-o interpretare. Prin Teorema decompletitudine, enunturile universal adevarate (= enunturile adevarate ın orice in-terpretare) sunt puse fata ın fata cu teoremele formale. Demonstratia Teoremei decompletitudine este de natura algebrica. Ideea acestei demonstratii este folosireaTeoremei de reprezentare a lui Stone pentru a obtine interpretari.

In Subsectiunea 1 este reluata sintaxa lui L, prin studiul multimilor consistentede enunturi. Sunt definite notiunile de model si de deductie semantica. Teoremade completitudine extinsa, demonstrata ın aceasta sectiune, stabileste echivalentadintre deductia formala si deductia semantica. Demonstratia Teoremei de com-pletitudine extinsa se bazeaza pe proprietatile multimilor maximal consistente deenunturi.

Sectiunea 4 contine o demonstratie a Teoremei de reprezentare a lui Stone pebaza Teoremei de completitudine.

Sectiunea 5 contine exemple de deductii formale.

7.1 Introducere

Calculul propozitional studiaza urmatorii conectori:- conjunctia (si), notata ∧,- disjunctia (sau), notata ∨,- negatia (non), notata ¬,- implicatia (daca ... atunci ...), notata →,- echivalenta logica (daca si numai daca), notata ↔.

In exemplele urmatoare, vom prezenta descompunerea unor texte ın unitati log-ice si reprezentarea lor simbolica cu ajutorul acestori conectori.

Exemplul 1.De te-ating, sa feri ın laturiDe hulesc, sa taci din gura,Ce mai vrei cu-a tale sfaturiDaca stii a lor masura ?(M. Eminescu, Glossa)

Daca notam:p1 ≡ ”te-ating”p2 ≡ ”sa feri ın laturi”q1 ≡ ”hulesc”q2 ≡ ”sa taci din gura”

Page 123: Draft de carte (din 2009)

7.1. INTRODUCERE 123

r1 ≡ ”ce mai vrei cu-a tale sfaturi”r2 ≡ ”stii a lor masura”

atunci strofa de mai sus se va scrie simbolic:

(p1 → p2) ∧ (q1 → q2) ∧ (r2 → r1)

Exemplul 2.Imbraca-te ın doliu, frumoasa BucovinaCu cipru verde-ncinge antica fruntea taC-acum din pleiada-ti auroasa si seninaSe stinse un luceafar, se stinse o lumina,Se stinse-o dalba stea !(M. Eminescu, La mormantul lui Aron Pumnul)

Daca notam:p1 ≡ ”ımbraca-te ın doliu, frumoasa Bucovina”p2 ≡ ”cu cipru verde-ncinge antica fruntea ta”q1 ≡ ”acum din pleiada-ti auroasa si senina se stinse un luceafar”q2 ≡ ”(acum din pleiada-ti auroasa si senina) se stinse o lumina”q3 ≡ ”(acum din pleiada-ti auroasa si senina) se stinse-o dalba stea”

atunci se obtine scrierea simbolica a textului precedent:

(q1 ∧ q2 ∧ q3) → (p1 ∧ p2)

Exemplul 3.Nu era azi, nici maine, nici ieri, nici totdeaunaCaci unul erau toate si totul era una.(M. Eminescu, Rugaciunea unui dac)

Cu notatiile:p1 ≡ ”era azi”p2 ≡ ”(era) maine”p3 ≡ ”(era) ieri”p4 ≡ ”(era) dintotdeauna”q1 ≡ ”unul erau toate”q2 ≡ ”totul era una”

strofa capata forma simbolica:

(q1 ∧ q2) → (¬p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ∧ ¬p4)

Exemplul 4.Ca de-i vreme rea sau bunaVantu-mi bate, frunza-mi suna

Page 124: Draft de carte (din 2009)

124CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Si de-i vreamea buna, reaMie-mi curge Dunarea.(M. Eminescu, Revedere)

Notam:p ≡ ”vremea era rea”q ≡ ”(vremea) era buna”p1 ≡ ”vantu-mi bate”q1 ≡ ”frunza-mi suna”r ≡ ” mie-mi curge Dunarea”

Atunci strofa se reprezinta simbolic prin:

((p ∨ q) → (p1 ∧ q1)) ∧ ((q ∨ p) → r)

Exemplul 5.Timpul mort si-ntinde trupul si devine vesnicieCaci nimic nu se ıntampla ın ıntinderea pustieSi ın noaptea nefiintei totul cade, totul taceCaci ınsine ımpacata reıncep-eterna pace.(M. Eminescu, Scrisoarea I)

In acest caz, vom nota:p1 ≡ ”timpul mort si-ntinde trupul”p2 ≡ ”devine vesnicie”p3 ≡ ”se ıntampla ın ıntinderea pustie”q1 ≡ ”ınnoaptea nefiintei totul cade”q2 ≡ ”(ın noaptea nefiintei) totul tace”q3 ≡ ”ınsine ımpacata reıncepe-eterna pace”

Rezulta urmatoarea scriere simbolica a strofei:

(¬p3 → (p1 ∧ p2)) ∧ (q3 → (q1 ∧ q2))

Exemplele de mai sus ne dau o idee despre modul ın care un text scris ın limbajnatural poate capata o ınfatisare simbolica ın calculul propozitional.

Teza fundamentala a calculului propozitional este existenta a doua valori deadevar: 1 (= adevarul) si 0 (= falsul). Conectorilor ∧,∨,¬,→,↔ le corespundoperatiile algebrice pe multimea L2 = {0, 1}, notate tot ∧,∨,¬,→,↔ si definiteprin tabele.

Se observa ca am considerat pe L2 structura canonica de algebra Boole.Atunci teza bivalentei valorilor de adevar este completata prin ipoteza ca actiunea

conectorilor calculului propozitional se face conform regulilor calculului boolean.De aici se poate ıncepe formalizarea calculului propozitional. Limbajul sau

formal trebuie sa contina simboluri pentru cei cinci conectori, iar enunturile vor

Page 125: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 125

fi construite prin aplicarea unor reguli de combinare a simbolurilor ın raport cuconectorii.

Unii conectori vor fi alesi ca simboluri primare si vor fi inclusi ın alfabetulsistemului formal. Ceilalti conectori vor fi definiti cu ajutorul primilor.

Alegerea axiomelor si regulilor de deductie este un act capital. In primul rand,ele trebuie sa asigure corectitudinea sistemului formal si, daca este posibil, com-pletitudinea sa. Pentru calculul propozitional, aceste deziderate vor fi ındeplinite.

In sectiunea urmatoare, vom construi limbajul calculului propozitional cu implicatiasi negatia drept conectori primari. Axiomatizarea aleasa va pune ın evidenta rolulimplicatiei ın definirea mecanismului inferential al sintaxei calculului propozitional.

7.2 Sintaxa si algebra calculului propozitional

In aceasta sectiune, vom studia sintaxa si algebra calculului propozitional L.Intai este prezentata constructia limbajului lui L: pornind de la o lista de sim-boluri primitive (= alfabet), sunt definite prin recurenta enunturile. Acestea suntreprezentari formalizate ale propozitiilor din limbajul natural. Urmeaza introduc-erea structurii logice a limbajului lui L. Trei axiome si o regula de deductie (modusponens) asigura definirea prin inductie a teoremelor formale si a deductiei formale.Cu aceasta este pus la punct mecanismul inferential al lui L.

In subsectiunea 2.1, sunt demonstrate unele proprietati sintactice. Teoremadeductiei este folosita ın stabilirea unor teoreme formale si a unor reguli de deductiederivate.

Subsectiunea 2.2 contine constructia unei algebre Boole asociate sistemului for-mal L (algebra Lindenbaum-Tarski). Algebra Lindenbaum-Tarski este definitapornind de la structura logica a lui L. Proprietatile sintaxei lui L sunt traduse ıntermeni booleeni, ceea ce permite prelucrarea lor algebrica. Cititorul este ındemnatsa urmareasca paralelismul perfect ıntre notiunile si rezultatele din sintaxa si corespondentiilor algebrici (obtinuti prin trecerea la algebra Lindenbaum-Tarski). Aceasta relatieıntre cele doua dimensiuni ale lui L (sintaxa si algebra) va fi completata ın sectiunileurmatoare prin adaugarea componentei semantice.

Definitie 7.2.1 Alfabetul sistemului formal al calculului propozitional este formatdin urmatoarele simboluri:1) variabile propozitionale, notate: u, v, w, ... (eventual cu indici); multimea lor,notata V , este presupusa a fi infinita,2) simboluri logice (conectori):

¬: simbolul de negatie (va fi citit ”non”),→: simbolul de implicatie (va fi citit ”implica”),

3) parantezele (, ), [, ].

Pornind de la aceste simboluri primitive, vom construi cuvintele (asamblajele):

Page 126: Draft de carte (din 2009)

126CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Definitie 7.2.2 Un cuvant este un sir finit de simboluri primitive, scrise unul dupaaltul.

Exemplu u → ¬v, ¬(u → ¬v) → w, u → uv¬Intuitia ne spune ca primele doua cuvinte ”au sens”, pe cand cel de-al treilea

nu. Din multimea cuvintelor le vom selecta pe acelea care ”au sens”, ”sunt bineformate”, notiune precizata astfel:

Definitie 7.2.3 Se numeste enunt orice cuvant ϕ care verifica una din conditiileurmatoare:(i) ϕ este o variabila propozitionala,(ii) exista un enunt ψ astfel ıncat ϕ = ¬ψ,(iii) exista enunturile ψ, χ astfel ıncat ϕ = ψ → χ.

Variabilele propozitionale se vor numi enunturi atomice sau elementare.Vom nota cu E multimea enunturilor.

Observatie 7.2.4 Definitia conceptului de enunt este data prin inductie. Momen-tul initial al definitiei prin inductie este dat de conditia (i), iar trecerea ”de la k lak + 1” este asigurata de (ii) si (iii).

Pentru ϕ, ψ ∈ E, introducem abrevierile:ϕ ∨ ψ = ¬ϕ → ψ (disjunctia lui ϕ si ψ),ϕ ∧ ψ = ¬(ϕ → ¬ψ) (conjunctia lui ϕ si ψ),ϕ ↔ ψ = (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) (echivalenta logica a lui ϕ si ψ).

Observatii 7.2.5(1) In prezentarea sistemului formal al calculului propozitional am considerat

negatia si implicatia drept conectori primitivi (initiali). Conectorii derivati ∨ (sau),∧ (si), ↔ (echivalent) au fost introdusi prin prezentarile de mai sus.

(2) Exista prezentari ale sistemului formal al calculului propozitional (echiva-lente cu cea de mai sus) care folosesc alti conectori primitivi.

In continuare, vom ımbogati limbajul calculului formal cu o structura logica:teoremele formale si deductia formala. Aceste doua componente ale structurii logicea lui L sunt definite pe baza axiomelor lui L si a unei reguli de deductie (modusponens).

Definitie 7.2.6 O axioma a sistemului formal al calculului propozitional este unenunt care are una din formele urmatoare:(G1) ϕ → (ψ → ϕ)(G2) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))(G3) (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ),unde ϕ, ψ, χ sunt enunturi arbitrare.

Definitie 7.2.7 O teorema formala sau pe scurt teorema este un enunt ϕ careverifica una din conditiile urmatoare:

Page 127: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 127

(T1) ϕ este o axioma,(T2) exista un enunt ψ astfel ıncat ψ si ψ → ϕ sunt teoreme.

Conditia (T2) se scrie prescurtat:ψ, ψ → ϕ

ϕ

si se numeste regula de deductie modus ponens (m.p.).Vom nota cu T multimea teoremelor, iar faptul ca ϕ este o teorema va fi notat

cu` ϕ.

Observatii 7.2.8(i) Deci, T ⊆ E.(ii) Deci, multimea T a teoremelor este obtinuta din axiome, prin aplicarea

regulii de deductie m.p..(iii) Deci, avem:

` (a1), ` (a2), ` (a3).

Definitia conceptului de teorema formala fost data prin inductie: axiomele (G1) -(G3) corespund momentului zero al inductiei, iar ”trecerea de la k la k + 1” esterealizata prin modus ponens.

Definitie 7.2.9 O demonstratie formala a unui enunt ϕ este un sir finit de enunturiψ1, . . . , ψn astfel ıncat ψn = ϕ si pentru orice 1 ≤ i ≤ n se verifica una din conditiileurmatoare:(1) ψi este o axioma,(2) exista doi indici k, j < i astfel ıncat ψk = ψj → ψi.

Conditia (2) se mai scrie:

ψj , ψk = ψj → ψi

ψi

si se numeste tot modus ponens.Se observa ca proprietatile (1), (2) nu exprima altceva decat conditiile (T1),

(T2), deci ` ϕ daca si numai daca exista o demonstratie formala ψ1, . . . , ψn a lui ϕ.n se numeste lungimea demonstratiei formale. O teorema poate avea demonstratiiformale de lungimi diferite.

• Generalizare Deductia formala din ipoteze este introdusa prin definitiaurmatoare:

Page 128: Draft de carte (din 2009)

128CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Definitie 7.2.10 Fie Σ o multime de enunturi (Σ ⊆ E) si ϕ un enunt (ϕ ∈ E).Vom spune ca enuntul ϕ este dedus din ipotezele Σ, si vom nota

Σ ` ϕ,

daca una din conditiile urmatoare este verificata:(D1) ϕ este o axioma,(D2) ϕ ∈ Σ,(D3) exista un enunt ψ astfel ıncat ψ si ψ → ϕ sunt deduse din ipotezele Σ.

Conditia (D3) se mai scrie:Σ ` ψ, ψ → ϕ

Σ ` ϕ

si se numeste tot modus ponens.Definitia de mai sus este tot de tip inductiv: (D1) si (D2) constituie momentul

zero al inductiei, iar (D3) constituie trecerea ”de la k la k + 1”.

Definitie 7.2.11 O Σ-demonstratie formala a lui ϕ este un sir de enunturi ψ1, . . . , ψn

astfel ıncat ψn = ϕ si pentru orice 1 ≤ i ≤ n este verificata una din conditiile:(1) ψi este o axioma,(2) ψi ∈ Σ,(3) exista doi indici k, j < i astfel ıncat ψk = ψj → ψi.

Prin compararea conditiilor (D1) - (D3) din Definitia 7.2.10 cu conditiile (1) - (3)din Definitia 7.2.11, rezulta ca Σ ` ϕ daca si numai daca exista o Σ-demonstratieformala a lui ϕ.

Observatii 7.2.12(i) Daca Σ = ∅, atunci ∅ ` ϕ ⇐⇒ ` ϕ.(ii) Daca ` ϕ, atunci Σ ` ϕ pentru orice Σ ⊆ E.

Cu aceasta, descrierea sintactica a sistemului formal al calculului propozitionaleste ıncheiata. Vom nota cu L acest sistem logic.

Observam ca toata prezentarea s-a desfasurat la nivel simbolic: pornind de la omultime de simboluri, am definit enunturile, dupa care am introdus structura logicaa lui L: axiomele si teoremele, si apoi deductia sintactica (inferenta sintactica).

7.2.1 Proprietati sintactice ale lui L

In aceasta subsectiune, vom prezenta unele proprietati sintactice ale lui L, ceamai importanta dintre ele fiind teorema deductiei. Folosind acest rezultat, vomstabili cele mai semnificative teoreme formale ale lui L.

Page 129: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 129

Propozitia 7.2.13 Fie Σ,∆ ⊆ E si ϕ ∈ E.(i) daca Σ ⊆ ∆ si Σ ` ϕ, atunci ∆ ` ϕ,(ii) daca Σ ` ϕ, atunci exista Γ ⊆ Σ finita, astfel ıncat Γ ` ϕ,(iii) daca Σ ` χ pentru orice χ ∈ ∆ si ∆ ` ϕ, atunci Σ ` ϕ.

Dem.(i): Demonstratia se face prin inductie asupra conceptului Σ ` ϕ. Daca Σ ` ϕ,

atunci este verificata una din conditiile (D1) - (D3). Le vom lua pe rand:- daca ϕ este o axioma, atunci ∆ ` ϕ,- daca ϕ ∈ Σ, atunci ϕ ∈ ∆, deci ∆ ` ϕ,- daca Σ ` ψ si Σ ` (ψ → ϕ), atunci conform ipotezei inductiei, ∆ ` ψ si ∆ ` (ψ →ϕ), deci ∆ ` ϕ.

(ii): Demonstratia se face tot prin inductie:- daca ϕ este axioma, atunci ∅ ` ϕ si ∅ ⊆ Σ este finita,- daca ϕ ∈ Σ, atunci luam Γ = {ϕ},- daca Σ ` ψ si Σ ` (ψ → ϕ), atunci conform ipotezei inductiei, exista Γ1, Γ2 ⊆ Γfinite, astfel ıncat Γ1 ` ψ, Γ2 ` (ψ → ϕ); luam Γ = Γ1 ∪ Γ2 si aplicam (i).

(iii): Exercitiu. 2

Propozitia 7.2.14 (Principiul identitatii)Pentru orice enunt ϕ, ` (ϕ → ϕ).

Dem. Urmatoarea lista de enunturi este o demonstratie formala a lui ` (ϕ → ϕ):ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ) (G1)[ϕ → ((ϕ → ϕ) → ϕ)] → [(ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ)] (G2)(ϕ → (ϕ → ϕ)) → (ϕ → ϕ) m.p.ϕ → (ϕ → ϕ) (G1)ϕ → ϕ m.p.

2

Observatie 7.2.15 Principiul identitatii in forma ` ¬ϕ → ¬ϕ conduce la ` ϕ∨¬ϕ(Principiul tertului exclus).

Propozitia 7.2.16 (Principiul tertului exclus)Pentru orice ϕ,

` (ϕ ∨ ¬ϕ).

Dem. ϕ ∨ ¬ϕ = ¬ϕ → ¬ϕ si ` (¬ϕ → ¬ϕ), conform Principiului identitatii. 2

Teorema 7.2.17 (Teorema deductiei)Daca Σ ⊆ E si ϕ, ψ ∈ E, atunci:

Σ ` (ϕ → ψ) ⇐⇒ Σ ∪ {ϕ} ` ψ.

Page 130: Draft de carte (din 2009)

130CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Dem.(=⇒): Se aplica Propozitia 7.2.13, (i) si modus ponens.(⇐=): Prin inductie, dupa modul cum este definit Σ ∪ {ϕ} ` ψ. Consideramurmatoarele cazuri:- (1) ψ este o axioma.Cum ` ϕ si ψ → (ϕ → ψ), conform (G1), atunci ` (ϕ → ψ) prin m.p., deciΣ ` (ϕ → ψ).- (2) ψ ∈ Σ ∪ {ϕ}, cu doua subcazuri:

(a) ψ ∈ Σ: din Σ ` ψ, Σ ` ψ → (ϕ → ψ) se deduce Σ ` ϕ → ψ,(b) ψ ∈ {ϕ}: se aplica Principiul identitatii: Σ ` ϕ → ϕ.

- (3) Exista α ∈ E astfel ıncat Σ ∪ {ϕ} ` α si Σ ∪ {ϕ} ` α → ψ. Aplicand ipotezainductiei, rezulta Σ ` (ϕ → α) si Σ ` (ϕ → (α → ψ)). De asemenea,

Σ ` (ϕ → (α → ψ)) → ((ϕ → α) → (ϕ → ψ)) (G2)Aplicand de doua ori m.p., se obtine Σ ` (ϕ → ψ).

In demonstratia de mai sus a implicatiei (⇐=), cazurile (1) si (2) reprezintamomentul zero al inductiei, iar cazul (3) constituie trecerea ”de la k la k + 1”. 2

Observatie 7.2.18 In demonstrarea Principiului identitatii si a Teoremei deductiei,nu au intervenit decat axiomele (G1), (G2) si m.p.. Aceasta arata ca cele douarezultate sunt valabile ın orice sistem logic ın care apar (G1), (G2) si modus po-nens.

Teorema deductiei este un instrument eficace ın stabilirea teoremelor formale.Aceasta afirmatie va fi probata prin demonstratiile propozitiilor urmatoare.

Propozitia 7.2.19

` (ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)).

Dem. Vom aplica succesiv m.p. si apoi Teorema deductiei:{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ϕ{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ϕ → ψ{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ψ m.p.{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` ψ → χ{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` χ m.p.{ϕ → ψ,ψ → χ} ` ϕ → χ Teorema deductiei{ϕ → ψ} ` (ψ → χ) → (ϕ → χ) Teorema deductiei

` (ϕ → ψ) →((ψ → χ) → (ϕ → χ)) Teorema deductiei.

2

Privind ultimele cinci randuri ale demonstratiei precedente, ideea ei devinetransparenta. Prin aplicarea repetata a Teoremei deductiei, totul se reduce la astabili deductia formala

{ϕ → ψ,ψ → χ, ϕ} ` χ,

ceea ce este foarte usor. Aceasta observatie este utila si ın obtinerea demonstratiilorpropozitiilor urmatoare.

Page 131: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 131

Corolar 7.2.20

` ϕ → ψ, ` ψ → χ implica ` ϕ → χ.

Dem. Din Propozitia 7.2.19, aplicand de doua ori modus ponens. 2

Observatie 7.2.21 Din Corolarul 7.2.20, se deduce urmatoarea regula de deductiederivata:

(R1) ϕ → ψ, ψ → χ

ϕ → χ

In stabilirea teoremelor formale, este mai eficient sa aplicam (R1) ın loc dePropozitia 7.2.19. Acelasi lucru este valabil si ın cazul regulilor de deductie derivatedin alte teoreme formale.

Propozitia 7.2.22

` (ϕ → (ψ → χ)) → (ψ → (ϕ → χ)).

Dem. Aplicam m.p. si apoi Teorema deductiei:{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ϕ{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ϕ → (ψ → χ){ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ψ → χ m.p.{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` ψ{ϕ,ψ, ϕ → (ψ → χ)} ` χ m.p.{ψ,ϕ → (ψ → χ)} ` ϕ → χ Teorema deductiei{ϕ → (ψ → χ)} ` ψ → (ϕ → χ) Teorema deductiei

` (ϕ → (ψ → χ)) →(ψ → (ϕ → χ)) Teorema deductiei.

2

Observatie 7.2.23 Propozitia 7.2.22 corespunde urmatoarei reguli de deductiederivata:

(R2) ϕ → (ψ → χ)

ψ → (ϕ → χ)

Propozitia 7.2.24` ϕ → (¬ϕ → ψ).

Page 132: Draft de carte (din 2009)

132CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Dem. Aplicam m.p. si apoi Teorema deductiei:{ϕ,¬ϕ} ` ¬ϕ → (¬ψ → ¬ϕ) (G1){ϕ,¬ϕ} ` ¬ϕ{ϕ,¬ϕ} ` ¬ψ → ¬ϕ m.p.{ϕ,¬ϕ} ` (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ) (G3){ϕ,¬ϕ} ` ϕ → ψ m.p.{ϕ,¬ϕ} ` ϕ{ϕ,¬ϕ} ` ψ m.p.{ϕ} ` ¬ϕ → ψ Teorema deductiei

` ϕ → (¬ϕ → ψ) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.25

` ¬ϕ → (ϕ → ψ).

Dem. Din Propozitia 7.2.24, conform (R2). 2

Exercitiu 7.2.26 Sa se demonstreze Propozitia 7.2.25 ın acelasi mod ca Propozitia7.2.24, folosind Teorema deductiei.

Propozitia 7.2.27

` ¬¬ϕ → ϕ.

Dem. Aplicam m.p. si apoi Teorema deductiei:{¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → (¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ) (G1){¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ{¬¬ϕ} ` ¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ m.p.{¬¬ϕ} ` (¬¬¬¬ϕ → ¬¬ϕ) → (¬ϕ → ¬¬¬ϕ) (G3){¬¬ϕ} ` ¬ϕ → ¬¬¬ϕ m.p.{¬¬ϕ} ` (¬ϕ → ¬¬¬ϕ) → (¬¬ϕ → ϕ) (G3){¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ϕ m.p.{¬¬ϕ} ` ϕ m.p.

` ¬¬ϕ → ϕ Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.28

` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ).

Dem. Aplicam m.p. si Teorema deductiei:

Page 133: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 133

{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ϕ Propozitia 7.2.27{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ϕ m.p.{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ϕ → ψ{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ψ m.p.{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬ψ{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬ψ → (ψ → ¬¬ψ) Propozitia 7.2.25{ϕ → ψ,¬ψ,¬¬ϕ} ` ¬¬ψ m.p. de doua ori{ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬¬ϕ → ¬¬ψ Teorema deductiei{ϕ → ψ,¬ψ} ` (¬¬ϕ → ¬¬ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) (G3){ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬ψ → ¬ϕ m.p.{ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬ψ{ϕ → ψ,¬ψ} ` ¬ϕ m.p.{ϕ → ψ} ` ¬ψ → ¬ϕ Teorema deductiei

` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.29

` ϕ → ¬¬ϕ.

Dem.{ϕ,¬¬¬ϕ} ` ¬¬¬ϕ → ¬ϕ Propozitia 7.2.27{ϕ,¬¬¬ϕ} ` ¬¬¬ϕ{ϕ,¬¬¬ϕ} ` ¬ϕ m.p.{ϕ} ` ¬¬¬ϕ → ¬ϕ Teorema deductiei{ϕ} ` (¬¬¬ϕ → ¬ϕ) → (ϕ → ¬¬ϕ) (G3){ϕ} ` ϕ → ¬¬ϕ m.p.{ϕ} ` ϕ{ϕ} ` ¬¬ϕ m.p.

` ϕ → ¬¬ϕ Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.30

` (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ.

Dem.

Page 134: Draft de carte (din 2009)

134CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ϕ Propozitia 7.2.27{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬¬ϕ{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ϕ m.p.{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ϕ → ¬ϕ{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬ϕ m.p.{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ϕ → (¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ)) Propozitia 7.2.24{ϕ → ¬ϕ,¬¬ϕ} ` ¬(ϕ → ϕ) m.p. de doua ori{ϕ → ¬ϕ} ` ¬¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ) Teorema deductiei{ϕ → ¬ϕ} ` (¬¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ)) →

((ϕ → ϕ) → ¬ϕ) (G3){ϕ → ¬ϕ} ` (ϕ → ϕ) → ¬ϕ m.p.{ϕ → ¬ϕ} ` ϕ → ϕ Propozitia 7.2.13{ϕ → ¬ϕ} ` ¬ϕ m.p.

` (ϕ → ¬ϕ) → ¬ϕ Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.31` ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ)).

Dem.{ϕ,ϕ → ψ} ` ψ m.p.{ϕ} ` (ϕ → ψ) → ψ Teorema deductiei{ϕ} ` ((ϕ → ψ) → ψ) → (¬ψ → ¬(ϕ → ϕ)) Propozitia 7.2.28{ϕ} ` ¬ψ → ¬(ϕ → ϕ) m.p.

` ϕ → (¬ψ → ¬(ϕ → ψ)) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.32` ϕ → (ϕ ∨ ψ).

Dem. Este transcrierea Propozitiei 7.2.24. 2

Propozitia 7.2.33` ψ → (ϕ ∨ ψ).

Dem. ` ψ → (ϕ ∨ ψ) se scrie echivalent ` ψ → (¬ϕ → ψ), pentru care avemdemonstratia formala:{ψ,¬ϕ} ` ψ{ψ} ` ¬ϕ → ψ Teorema deductiei

` ψ → (¬ϕ → ψ) Teorema deductiei.2

Propozitia 7.2.34

` (ϕ → χ) → [(ψ → χ) → ((ϕ ∨ ψ) → χ)].

Page 135: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 135

Dem.{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬ϕ → ψ{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ϕ → χ{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬ϕ → χ (R1){ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → ¬¬ϕ Prop. 7.2.28{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬¬ϕ → ϕ Prop. 7.2.27{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → ϕ (R1){ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ϕ → χ{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → χ (R1){ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` (¬χ → χ) → (¬χ → ¬¬χ) Prop. 7.2.28{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬χ → ¬¬χ m.p.{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` (¬χ → ¬¬χ) → ¬¬χ Prop. 7.2.30{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬¬χ m.p.{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` ¬¬χ → χ Prop. 7.2.27{ϕ → χ, ψ → χ,¬ϕ → ψ} ` χ m.p.{ϕ → χ, ψ → χ} ` (¬ϕ → ψ) → χ T. deductiei{ϕ → χ} ` (ψ → χ) → ((¬ϕ → ψ) → χ) T. deductiei

` (ϕ → χ) →[(ψ → χ) → ((¬ϕ → ψ) → χ)] T. deductiei.

2

Observatie 7.2.35 Propozitia 7.2.34 implica regula deductiei derivata:

(R3) ϕ → χ, ψ → χ

(ϕ ∨ ψ) → χ

Propozitia 7.2.36` (ϕ ∧ ψ) → ϕ.

Dem.` ϕ → (¬ϕ → ¬ψ Propozitia 7.2.24` ¬ϕ → (ϕ → ¬ψ) (R2)` (¬ϕ → (ϕ → ¬ψ)) → (¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ϕ) Propozitia 7.2.28` ¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ϕ m.p.` ¬¬ϕ → ϕ Propozitia 7.2.27` ¬(ϕ → ¬ψ) → ϕ (R1).

Am obtinut exact ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ. 2

Propozitia 7.2.37` (ϕ ∧ ψ) → ψ.

Page 136: Draft de carte (din 2009)

136CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Dem.` ¬ψ → (ϕ → ¬ψ) (G1)` (¬ψ → (ϕ → ¬ψ)) → (¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ψ) Propozitia 7.2.28` ¬(ϕ → ¬ψ) → ¬¬ψ) m.p.` ¬¬ψ → ψ Propozitia 7.2.27` ¬(ϕ → ¬ψ) → ψ (R1).

Ultima teorema formala este chiar ` (ϕ ∧ ψ) → ψ. 2

Propozitia 7.2.38

` (χ → ϕ) → [(χ → ψ) → (χ → (ϕ ∧ ψ))].

Dem.{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` χ{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` χ → ϕ{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ϕ m.p.{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ψ analog{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ψ → ¬¬ψ Prop. 7.2.29{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ¬¬ψ m.p.{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ϕ → (¬¬ψ → ¬(ϕ → ψ)) Prop. 7.2.25{χ → ϕ, χ → ψ, χ} ` ¬(ϕ → ψ) m.p. de doua ori{χ → ϕ, χ → ψ} ` χ → ¬(ϕ → ψ) T. deductiei{χ → ϕ} ` (χ → ψ) → (χ → ¬(ϕ → ψ)) T. deductiei

` (χ → ϕ) →[(χ → ψ) → (χ → ¬(ϕ → ψ))] T. deductiei.

2

Observatie 7.2.39 Propozitiei 7.2.38 ıi este asociata urmatoarea regula de deductiederivata:

(R4) χ → ϕ, χ → ψ

χ → (ϕ ∧ ψ)

Propozitia 7.2.40` (ϕ ∧ ψ) → (ψ ∧ ϕ).

Dem.` (ϕ ∧ ψ) → χ Propozitia 7.2.37` (ϕ ∧ ψ) → ϕ Propozitia 7.2.36` (ϕ ∧ ψ) → (ψ ∧ ϕ) (R4).

2

Propozitia 7.2.41` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)).

Page 137: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 137

Dem.{ϕ,ψ} ` ϕ{ϕ,ψ} ` ψ{ϕ,ψ} ` ψ → ¬¬ψ Propozitia 7.2.29{ϕ,ψ} ` ¬¬ψ m.p.{ϕ,ψ} ` ϕ → (¬¬ψ → ¬(ϕ → ¬ψ)) Propozitia 7.2.31{ϕ,ψ} ` ¬(ϕ → ¬ψ) m.p. de doua ori

` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) Teorema deductiei de doua ori.2

Propozitia 7.2.42

` [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)] → ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ).

Dem.` (ϕ ∧ χ) → ϕ Propozitia 7.2.36` ψ → (ϕ ∨ ψ) Propozitia 7.2.33` (ϕ ∧ χ) → (ϕ ∨ ψ)` (ϕ ∧ χ) → χ (R1)` (ϕ ∧ χ) → (ϕ ∨ ψ) ∧ χ (R4)` (ψ ∧ χ) → (ϕ ∨ ψ) ∧ χ analog` [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)] → ((ϕ ∨ ψ) ∧ χ) (R3).

2

Propozitia 7.2.43

` (χ → θ) → [(ϕ → (ψ → χ)) → (ϕ → (ψ → θ))].

Dem.{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ϕ → (ψ → χ){χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ϕ{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ψ → χ m.p.{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` ψ{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` χ m.p.{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` χ → θ{χ → θ, ϕ → (ψ → χ), ϕ, ψ} ` θ m.p.

Se aplica apoi Teorema deductiei de patru ori. 2

Propozitia 7.2.44

` (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ ∧ ψ) → χ).

Dem.{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ϕ ∧ ψ{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ϕ m.p.{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ψ analog{ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` ϕ → (ψ → χ){ϕ → (ψ → χ), ϕ ∧ ψ} ` χ m.p. de doua ori.

Page 138: Draft de carte (din 2009)

138CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Se aplica apoi Teorema deductiei de doua ori. 2

Propozitia 7.2.45

` [(ϕ ∧ ψ) → χ] → [ϕ → (ψ → χ)].

Dem.{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ϕ{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ψ{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ϕ → (ψ → (ϕ ∧ ψ)) Propozitia 7.2.41{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` ϕ ∧ ψ m.p. de doua ori{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` (ϕ ∧ ψ) → χ{(ϕ ∧ ψ) → χ, ϕ, ψ} ` χ m.p.

Se aplica apoi Teorema deductiei de trei ori. 2

Propozitia 7.2.46

` (ϕ ∨ ψ) → (χ → [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)]).

Dem. Conform Teoremei deductiei, se reduce la a demonstra:

{ϕ ∨ ψ, χ} ` ¬(ϕ ∧ χ) → (ψ ∧ χ),

ceea ce este totuna cu

{ϕ ∨ ψ, χ} ` ¬¬(ϕ → ¬χ) → ¬(ψ → ¬χ).

Aplicand Teorema deductiei, se reduce la a demonstra:

{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬(ψ → ¬χ).

{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬¬(ϕ → ¬χ){¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ϕ → ¬χ Prop. 7.2.27, m.p.{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` χ → ¬ϕ (G3), m.p.{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬ϕ → ψ{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` χ → ψ (R1){¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` χ{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ψ m.p.{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ψ → (χ → ¬(ψ → ¬χ)) Prop. 7.2.31{¬ϕ → ψ, χ,¬¬(ϕ → ¬χ)} ` ¬(ψ → ¬χ) m.p. de doua ori.

2

Propozitia 7.2.47

` [(ϕ ∨ ψ) ∧ χ] → [(ϕ ∧ χ) ∨ (ψ ∧ χ)].

Dem. Din Propozitia 7.2.46, cu ajutorul Propozitiilor 7.2.44 si 7.2.45. 2

Page 139: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 139

Propozitia 7.2.48 Pentru orice enunturi ϕ si ψ, avem:

(1) ` (ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ si (2) ` ψ → (ϕ ∨ ¬ϕ)

Dem. Pentru (1) avem urmatoarea demonstratie formala:` ϕ → (¬ϕ → ψ) Propozitia 7.2.24` (ϕ → (¬ϕ → ψ)) → ((ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ) Propozitia 7.2.44` (ϕ ∧ ¬ϕ) → ψ m.p.

Conform Principiului identitatii, {ψ} ` ¬ϕ → ¬ϕ, de unde, prin Teorema deductiei,` ψ → (¬ϕ → ¬ϕ), adica (2). 2

Propozitia 7.2.49` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ).

Propozitia 7.2.50

` (ϕ → ϕ′) → [(ψ → ψ′) → ((ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′))].

Dem.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ϕ → ϕ′) → [(ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ)] P. 7.2.19{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ → ϕ′

{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ) m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ′ → ψ{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ → ψ m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ϕ → ψ) → [(ψ → ψ′) → (ϕ → ψ′)] P. 7.2.19{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` (ψ → ψ′) → (ϕ → ψ′) m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ψ → ψ′

{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′, ϕ′ → ψ} ` ϕ → ψ′ m.p.{ϕ → ϕ′, ψ → ψ′} ` (ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′) T.d.{ϕ → ϕ′} ` (ψ → ψ′) → ((ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′)) T.d.{∅} ` (ϕ → ϕ′) → [(ψ → ψ′) → ((ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′))] T.d.

2

Corolar 7.2.51

` (ϕ → ϕ′), ` (ψ → ψ′) implica ` (ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′).

Dem. Din Propozitia 7.2.50, aplicand de doua ori modus ponens. 2

Observatie 7.2.52 Din Corolarul 7.2.51, se deduce urmatoarea regula de deductiederivata:

(RX) ϕ → ϕ′, ψ → ψ′

(ϕ′ → ψ) → (ϕ → ψ′)

Page 140: Draft de carte (din 2009)

140CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Propozitia 7.2.53 Fie Γ ⊆ E si ϕ ∈ E. AtunciΓ ` ϕ daca si numai daca exista γ1, . . . γn ∈ Γ, astfel ıncat

(7.1) `n∧

i=1

γi → ϕ.

Dem.=⇒: Daca Γ ` ϕ, atunci conform Propozitie 7.2.13 (ii), exista γ1, . . . , γn ∈ Γ,

astfel ıncat

(7.2) {γ1, . . . , γn} ` ϕ

Aplicand de n ori Teorema deductiei, obtinem:

(7.3) ` γ1 → (γ2 → . . . → (γn → ϕ) . . .).

Tinand cont de Propozitia 7.2.44, obtinem (7.1).⇐=: Daca (7.1) are loc, cu γ1, . . . , γn ∈ Γ, atunci conform Propozitiei 7.2.45,

deducem (7.3). Din Teorema deductiei aplicata ın sens invers, obtinem (7.2), deciΓ ` ϕ. 2

Propozitia precedenta arata cum deductia formala poate fi exprimata ın ter-menii unor teoreme formale. In cazul unor sisteme logice (de exemplu, logicamodala), este convenabil ca notiunea de deductie sa fie introdusa prin conditia dinPropozitia 7.2.53.

Definitie 7.2.54 O multime nevida Σ de enunturi se numeste sistem deductivdaca, pentru orice enunt ϕ, Σ ` ϕ implica ϕ ∈ Σ.

Cu alte cuvinte, un sistem deductiv este o multime de enunturi ınchisa ladeductii.

Lema 7.2.55 Daca Σ este o multime de enunturi, atunci sunt echivalente urmatoarele:(a) Σ este un sistem deductiv,(b) Σ contine multimea teoremelor formale si α, α → β ∈ Σ implica β ∈ Σ.

Dem.(a) =⇒ (b): Daca ` ϕ, atunci Σ ` ϕ, deci ϕ ∈ Σ. Presupunem ca α, α → β ∈ Σ,

deci Σ ` α, Σ ` α → β, de unde Σ ` β, conform m.p. Rezulta β ∈ Σ.(b) =⇒ (a): Σ este o multime nevida. Presupunem Σ ` ϕ. Conform Propozitiei

7.2.13 (ii), exista σ1, . . . , σn ∈ Σ astfel ıncat {σ1, . . . , σn} ` ϕ. Aplicand Teoremadeductiei, obtinem:

` σ1 → (. . . → (σn → ϕ) . . .).

Cum σ1, . . . , σn ∈ Σ, rezulta ϕ ∈ Σ. 2

Vom nota cu D(Σ) sistemul deductiv generat de Σ, adica intersectia sistemelordeductive ce includ pe Σ. Se poate arata ca

D(Σ) = {ϕ ∈ Σ | Σ ` ϕ}.

Page 141: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 141

Exercitiu 7.2.56 Fie Σ, Σ1, Σ2 ⊆ E. Sa se arate ca:(a) D(Σ) = {ϕ ∈ E | exista σ1, . . . , σn ∈ Σ, ` ∧n

i=1 σi → ϕ}.(b) Σ ⊆ D(Σ).(c) Σ1 ⊆ Σ2 implica D(Σ1) ⊆ D(Σ2).(d) D(D(Σ)) = D(Σ).(e) D(Σ) =

⋃{D(Γ) | Γ ⊆ E, Γ finita}.

Consideram functia D(·) : P(E) −→ P(E), definita de asocierea Σ 7−→ D(Σ).Conform proprietatilor (b) - (d) din Exercitiul 7.2.56, D(·) este un operator deınchidere. Pentru orice familie (Σi)i∈I de parti ale lui E, notam

i∈I

Σi =⋂

i∈I

Σi,∐

i∈I

Σi = D(⋃

i∈I

Σi).

Familia sistemelor deductive ale lui L este o latice completa ın raport cu operatiileinfinite

∏si

∐introduse mai sus.

Lema 7.2.57 Fie Γ ⊆ E si ϕ,ψ ∈ E. Atunci:

Γ ` (ϕ ∧ ψ) ⇐⇒ Γ ` ϕ si Γ ` ψ.

Dem. Prezentam demonstratia pentru cazul particular Γ = ∅.=⇒: Presupunem ` ϕ si ` ψ. Conform Propozitiei 7.2.41, avem ` ϕ → (ψ →

(ϕ ∧ ψ)), de unde rezulta, aplicand m.p. de doua ori, ca ` (ϕ ∧ ψ).⇐=: Rezulta din Propozitiile 7.2.36 si 7.2.40. 2

7.2.2 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 1

Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului propozitional L este o algebra Booleasociata ın mod canonic lui L. Ca multime, ea se obtine prin factorizarea lui E lao relatie de echivalenta definita prin conectorul ↔. Conectorii ∨,∧ si ¬ definescpe multimea cat operatii booleene. Proprietatile sintactice ale lui L se reflecta ınproprietati ale algebrei Lindenbaum-Tarski, realizandu-se trecerea de la sintaxa laalgebra. Urmand aceasta cale, o problema de sintaxa poate fi convertita ıntr-oproblema de algebra; pe drumul invers, o solutie a problemei algebrice poate fitransportata ıntr-o solutie a problemei sintactice.

Sa definim, pe multimea E a enunturilor lui L, o relatie binara ∼ astfel:

ϕ ∼ ψdef.⇔ ` (ϕ ↔ ψ).

Observatie 7.2.58 Conform Lemei 7.2.57, ϕ ∼ ψ daca si numai daca (` ϕ → ψsi ` ψ → ϕ).

Page 142: Draft de carte (din 2009)

142CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Lema 7.2.59 Relatia ∼ este o relatie de echivalenta pe E.

Dem. Vor trebui verificate urmatoarele conditii:(1) ` α ↔ α, pentru orice α ∈ E,(2) ` α ↔ β ⇐⇒ ` β ↔ α, pentru orice α, β ∈ E,(3) ` α ↔ β, ` β ↔ γ =⇒ ` α ↔ γ, pentru orice α, β, γ ∈ E.

(1) rezulta din Principiul identitatii si observatia precedenta;(2) rezulta din observatia precedenta;(3) rezulta din (R1) si observatia precedenta. 2

Consideram multimea cat E/∼. Clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E va fi notataϕ.

Fie ϕ si ψ doua enunturi ale lui L. Daca ` ϕ ↔ ψ, atunci spunem ca ϕ si ψ suntechivalente logic. Echivalenta logica a doua enunturi este traducerea ın limbajulformal a ideii de echivalenta a doua propozitii din limbajul natural. In alti termeni,conectorul ↔ este corespondentul formal al lui ⇔ (”daca si numai daca”).

Definitia relatiei de echivalenta ∼ porneste tocmai de la aceasta observatie:doua enunturi echivalente logic vor fi identificate prin ∼. O clasa de echivalentastrange la un loc toate enunturile echivalente logic.

Definim relatia binara ≤ pe E/∼:

ϕ ≤ ψdef.⇔ ` ϕ → ψ.

Este necesar sa verificam independenta de reprezentanti:

(` ϕ → ϕ′, ` ϕ′ → ϕ, ` ψ → ψ′, ` ψ′ → ψ) =⇒ (` ϕ → ψ ⇐⇒` ϕ′ → ψ′).

=⇒: Presupunem ca ` ϕ → ψ. Din ` ϕ′ → ϕ, ` ϕ → ψ si ` ψ → ψ′ rezulta,aplicand (R1), ca ϕ′ → ψ′.⇐=: Similar.

Lema 7.2.60 Relatia ≤ este o relatie de ordine pe E/∼.

Dem. Este necesar sa verificam conditiile urmatoare:(1) ` ϕ → ϕ, oricare ϕ ∈ E,(2) ` ϕ → ψ, ` ψ → ϕ =⇒ ` ϕ ∼ ψ, pentru orice ϕ,ψ ∈ E,(3) ` ϕ → ψ, ` ψ → χ =⇒ ` ϕ → χ, pentru orice ϕ,ψ, χ ∈ E.Ele rezulta din Principiul identitatii si din (R1). 2

Chiar prin definitie, relatia de ordine ≤ din Lema 7.2.60 este o reflectare al-gebrica a conectorului →. In acest fel, stabilirea unoe teoreme formale ale lui Lrevine la verificarea unor inegalitati booleene.

Propozitia 7.2.61 (E/∼,≤) este o latice distributiva, ın care pentru orice ϕ,ψ ∈E:

(1) inf(ϕ, ψ) = ϕ ∧ ψ, (2) sup(ϕ, ψ) = ϕ ∨ ψ.

Page 143: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 143

Dem.Demonstram ıntai (1), ceea ce revine la a verifica conditiile urmatoare:

(i) ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ, ` (ϕ ∧ ψ) → ψ,(ii) daca ` χ → ϕ si ` χ → ψ, atunci χ → (ϕ ∧ ψ).Conditia (i) rezulta din Propozitiile 7.2.36, 7.2.37, iar (ii) din (R4).

Demonstram acum (2), ceea ce revine la a verifica conditiile urmatoare:(iii) ` ϕ → (ϕ ∨ ψ), ` ψ → (ϕ ∨ ψ),(iv) daca ` ϕ → χ si ` ψ → χ, atunci ` (ϕ ∨ ψ) → χ.Se folosesc Propozitiile 7.2.32, 7.2.33 si (R3). Rezulta ca (E/∼,≤) este o latice, ıncare

ϕ ∧ ψ = ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ = ϕ ∨ ψ.

Distributivitatea rezulta din Propozitiile 7.2.42, 7.2.46. 2

Observatii 7.2.62(1) Sa punem

¬ϕdef.= ¬ϕ.

Atunci definitia operatiei ¬ nu depinde de reprezentanti.(2) Conform Propozitiei 7.2.48, avem

ϕ ∧ ¬ϕ ≤ ψ ≤ ϕ ∨ ¬ϕ,

pentru orice ϕ, ψ ∈ E. Atunci ϕ ∧ ¬ϕ este primul element al laticii E/∼, iar ϕ ∨ ¬ϕeste ultimul element. Vom nota

0 = ϕ ∧ ¬ϕ, 1 = ϕ ∨ ¬ϕ

(este evident ca definitiile nu depind de reprezentanti).

Propozitia 7.2.63 Structura (E/∼,∧,∨,¬,0,1) este o algebra Boole, numita al-gebra Lindenbaum-Tarski asociata sistemului formal L.

Dem. Conform Propozitiei 7.2.61, (E/∼,∧,∨) este o latice distributiva. Conformobservatiilor precedente, ϕ∧¬ϕ = 0 si ϕ∨¬ϕ = 1, deci orice element ϕ al lui E/∼admite pe ¬ϕ drept complement. 2

Observatie 7.2.64 Daca notam p : E −→ E/∼ surjectia canonica (p(ϕ) = ϕ, pen-tru orice ϕ ∈ E), atunci pentru orice ϕ, ψ ∈ E, sunt verificate conditiile urmatoare:(a) p(ϕ ∨ ψ) = p(ϕ) ∨ p(ψ),(b) p(ϕ ∧ ψ) = p(ϕ) ∧ p(ψ),(c) p(¬ϕ) = ¬p(ϕ),(d) p(ϕ → ψ) = p(ϕ) → p(ψ),(e) p(ϕ ↔ ψ) = p(ϕ) ↔ p(ψ),unde

ϕ → ψdef.= ϕ → ψ, ϕ ↔ ψ

def.= ϕ ↔ ψ.

Egalitatile (a) - (c) sunt chiar definitiile operatiilor din E/∼. (d) revine la a arata ca` (ϕ → ψ) ↔ (¬ϕ∨ψ) (exercitiu), iar (e) rezulta din (b) si (d). Cele cinci egalitatide mai sus arata modul ın care conectorii sunt convertiti ın operatii booleene.

Page 144: Draft de carte (din 2009)

144CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Lema 7.2.65 Pentru orice ϕ ∈ E,

` ϕ ⇐⇒ ϕ = 1.

Dem. Trebuie sa demonstram:

` ϕ ⇐⇒` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ϕ).

=⇒: Presupunem ca ` ϕ. Cum ` ϕ → ((ϕ ∨ ¬ϕ) → ϕ), conform (G1), rezulta` (ϕ ∨ ¬ϕ) → ϕ; totodata, are loc ` ϕ → (ϕ ∨ ¬ϕ), deci ` ϕ ↔ (ϕ ∨ ¬ϕ).⇐=: Presupunem ca ϕ ↔ (ϕ∨¬ϕ). Conform ` ϕ∨¬ϕ (Principiul tertului exclus),rezulta, aplicand m.p., ca ` ϕ. 2

Observatie 7.2.66 Lema 7.2.65 ofera o metoda algebrica pentru a verifica dacaun enunt este teorema formala.Exemplu. Sa se arate ca:

` [α → (β → γ)] → [(α → (γ → δ)) → (α → (β → δ))].

Notand a = α, b = β, c = γ, d = δ, conform Lemei 7.2.65, este suficient sa stabilimidentitatea booleana:

[a → (b → c)] → [(a → (c → d)) → (a → (b → d))] = 1,

ceea ce este echivalent cu

a → (b → c) ≤ (a → (c → d)) → (a → (b → d)).

Dar, un calcul boolean ın algebra Lindenbaum-Tarski E/∼ ne da:

(a → (c → d)) → (a → (b → d)) = (a− ∨ c− ∨ d)− ∨ a− ∨ b− ∨ d =

(a ∧ c ∧ d−) ∨ a− ∨ b− ∨ d = a− ∨ b− ∨ c = a → (b → c),

ceea ce termina verificarea.

• Generalizare.

Vom generaliza constructia de mai sus, pornind cu o multime Σ de enunturi sidefinind algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui Σ.

Fie Σ o multime de enunturi ale lui L (Σ ⊆ E). Sa definim pe E urmatoarearelatie binara:

ϕ ∼Σ ψdef.⇔ Σ ` (ϕ ↔ ψ)

⇔ (Σ ` ϕ → ψ si Σ ` ψ → ϕ).

Procedand analog ca mai sus, se poate arata ca ∼Σ este o relatie de echivalentape E si ca E/∼Σ are o structura canonica de algebra Boole (= algebra Lindenbaum-Tarski a lui Σ). Notam cu ϕ/Σ clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E. Atunci:

ϕ/Σ ∨ ψ/Σdef.= (ϕ ∨ ψ)/Σ, ϕ/Σ ∧ ψ/Σ

def.= ϕ ∧ ψ)/Σ,

Page 145: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 145

¬(ϕ/Σ)def.= (¬ϕ)/Σ,

ϕ/Σ → ψ/Σdef.= (ϕ → ψ)/Σ, ϕ/Σ ↔ ψ/Σ

def.= (ϕ ↔ ψ)/Σ,

ϕ/Σ ≤ ψ/Σ ⇔ Σ ` ϕ → ψ,

0 = (ϕ ∧ ¬ϕ)/Σ, 1 = (ϕ ∨ ¬ϕ)/Σ,

ϕ/Σ = 1 ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Daca Σ = ∅, atunci ∼Σ=∼ si obtinem algebra Lindenbaum-Tarski E/∼ a lui L.

7.2.3 Algebra Lindenbaum-Tarski - varianta 2

Aceasta subsectiune contine constructia unei algebre Boole echivalente asociatecanonic sistemului formal L. Constructia ın aceasta varianta este preluata din [30].

• Sa definim, pe multimea E a enunturilor lui L, o relatie binara ∼ astfel:

ϕ ∼ ψdef.⇔ ` ϕ ↔ ψ.

Lema 7.2.67(` ϕ si ` ψ) =⇒ ` ϕ ↔ ψ.

Dem.` ϕ ↔ ψ

def.↔⇐⇒` (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) Lema 4.1.8⇐⇒ ` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ.Prin ipoteza, avem ` ϕ si, conform (a1), avem ` ϕ → (ψ → ϕ); atunci aplicandmodus ponens, rezulta ` ψ → ϕ. Similar, prin ipoteza avem ` ψ si, conform (a1),avem ` ψ → (ϕ → ψ); atunci aplicand modus ponens, rezulta ` ϕ → ψ.Deci, rezulta ` ϕ ↔ ψ. 2

Observatii 7.2.68(i) Conform Lemei 4.1.8,

ϕ ∼ ψ daca si numai daca (` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ),

deoarece ϕ ∼ ψ ⇐⇒` ϕ ↔ ψ ⇐⇒` (ϕ → ψ ∧ ψ → ϕ) ⇐⇒ (` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ).(ii) Avem ` (ϕ ∧ ψ) → (ϕ ↔ ψ).

Amintim ca relatia ∼ este o relatie de echivalenta pe E, conform Propozitiei7.2.59. Clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E va fi notata ϕ, deci

ϕ = {ψ ∈ E | ψ ∼ ϕ}.

Fie multimea cat E/ ∼, adica :

E/ ∼= {ϕ | ϕ ∈ E}.

Page 146: Draft de carte (din 2009)

146CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Propozitia 7.2.69ϕ = ψ ⇐⇒ ϕ ∼ ψ.

Dem.=⇒: Deoarece ϕ ∈ ϕ si ϕ = ψ, rezulta ca ϕ ∈ ψ, deci ϕ ∼ ψ.⇐=: Fie χ ∈ ϕ, adica χ ∼ ϕ; dar, prin ipoteza, ϕ ∼ ψ; rezulta, prin tranzi-

tivitatea lui ∼, ca χ ∼ ψ, adica χ ∈ ψ. Deci, ϕ ⊆ ψ. Similar se demonstreaza caψ ⊆ ϕ. Deci, ϕ = ψ. 2

Propozitia 7.2.70 Pentru orice ϕ,ψ, ϕ′, ψ′ ∈ E,

(i) daca ϕ ∼ ϕ′ si ψ ∼ ψ′, atunci (ϕ → ψ) ∼ (ϕ′ → ψ′),(ii) daca ϕ ∼ ψ, atunci ¬ϕ ∼ ¬ψ,(iii) (ϕ → ϕ) ∼ (ψ → ψ).

Dem.

(i): Ipoteza este urmatoarea: (ϕ ∼ ϕ′ si ψ ∼ ψ′)def.∼⇐⇒

(` ϕ ↔ ϕ′ si ` ψ ↔ ψ′)def.↔⇐⇒

(` (ϕ → ϕ′) ∧ (ϕ′ → ϕ) si ` (ψ → ψ′) ∧ (ψ′ → ψ) Lema 4.1.8⇐⇒(` ϕ → ϕ′ si ` ϕ′ → ϕ) si (` ψ → ψ′ si ` ψ′ → ψ), iar concluzia ce trebuiedemonstrata este urmatoarea:

(ϕ → ψ) ∼ (ϕ′ → ψ′)def.∼⇐⇒

` (ϕ → ψ) ↔ (ϕ′ → ψ′)def.↔⇐⇒

` [(ϕ → ψ) → (ϕ′ → ψ′)] ∧ [(ϕ′ → ψ′) → (ϕ → ψ)] Lema 4.1.8⇐⇒(a) ` (ϕ → ψ) → (ϕ′ → ψ′) si (b) ` (ϕ′ → ψ′) → (ϕ → ψ).

Conform ipotezei, din ` ϕ′ → ϕ si ` ψ → ψ′, rezulta, aplicand regula (RX), ca` (ϕ → ψ) → (ϕ′ → ψ′), adica (a).Similar, conform restului ipotezei, adica din ` ϕ → ϕ′ si ` ψ′ → ψ, rezulta,aplicand (RX), ca ` (ϕ′ → ψ′) → (ϕ → ψ), adica (b).Rezulta ca (ϕ → ψ) ∼ (ϕ′ → ψ′).

(ii): ϕ ∼ ψdef.∼⇐⇒ ` ϕ ↔ ψ

def.↔⇐⇒ ` (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) Lema 4.1.8⇐⇒ ` ϕ → ψ si` ψ → ϕ si¬ϕ ∼ ¬ψ

def.∼⇐⇒ ` ¬ϕ ↔ ¬ψdef.↔⇐⇒ ` (¬ϕ → ¬ψ)∧(¬ψ → ¬ϕ) Lema 4.1.8⇐⇒ ` ¬ϕ → ¬ψ

si ` ¬ψ → ¬ϕ.Conform Propozitiei 7.2.49, avem ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ); deoarece avem prinipoteza ` ϕ → ψ, rezulta, aplicand modus ponens, ca ` ¬ψ → ¬ϕ.Similar, conform Propozitiei 7.2.49, avem ` (ψ → ϕ) → (¬ϕ → ¬ψ); deoareceavem prin ipoteza ` ψ → ϕ, rezulta, aplicand modus ponens, ca ` ¬ϕ → ¬ψ.Rezulta ca ¬ϕ ∼ ¬ψ.

Page 147: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 147

(iii): Conform Propozitiei 7.2.14, avem ` ϕ → ϕ si ` ψ → ψ. De aici, aplicandLema 7.2.67, rezulta ` (ϕ → ϕ) ↔ (ψ → ψ) adica (ϕ → ϕ) ∼ (ψ → ψ), conformdefinitiei lui ∼. 2

Definim pe E/∼ operatia binara →, operatia unara ¬ si constanta 1 astfel:

ϕ → ψdef.= ϕ → ψ, ¬ϕ

def.= ¬ϕ, 1

def.= ϕ → ϕ.

Atunci conform Lemei 7.2.70, definitiile nu depind de reprezentanti (adica dacaψ ∈ ϕ ⇐⇒ ψ ∼ ϕ, atunci ¬ψ ∼ ¬ϕ si deci ¬ψ = ¬ϕ, etc.).

Amintim urmatorul rezultat cu o alta demonstratie.

Lema 7.2.71` ϕ ⇐⇒ ϕ = 1.

Dem. Avem:ϕ = 1 ⇐⇒ϕ = ϕ → ϕ ⇐⇒ϕ ∼ (ϕ → ϕ) ⇐⇒` ϕ ↔ (ϕ → ϕ)

Def.↔⇐⇒` (ϕ → (ϕ → ϕ)) ∧ ((ϕ → ϕ) → ϕ) Lema 4.1.8⇐⇒(a) ` ϕ → (ϕ → ϕ) si (b) ` (ϕ → ϕ) → ϕ.

=⇒: Deoarece, prin ipoteza, avem ` ϕ si, conform Propozitiei 7.2.14, avem` ϕ → ϕ, rezulta, aplicand Lema 7.2.67, ca ` ϕ ↔ (ϕ → ϕ), adica ϕ = 1.

⇐=: Prin ipoteza, avem ϕ = 1; dar, conform Propozitiei 7.2.14, avem (c)` ϕ → ϕ; aplicand modus ponens lui (b) si (c), rezulta ` ϕ. 2

Corolar 7.2.72ϕ ∨ ¬ϕ = 1.

Dem. Din Propozitia 7.2.16 si Lema 7.2.71. 2

Teorema 7.2.73 Structura(E/ ∼,→,¬,1)

este o algebra Boole, numita algebra Lindenbaum-Tarski asociata sistemului formalL.

Dem. Trebuie sa verificam: pentru orice ϕ, ψ, χ ∈ E/ ∼,(A1’) ϕ → (ψ → ϕ) = 1,(A2’) (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) = 1,(A3’) (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ) = 1,(A4’) ϕ → ψ = 1 = ψ → ϕ implica ϕ = ψ.

Page 148: Draft de carte (din 2009)

148CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

(A1’): ϕ → (ψ → ϕ) = 1 ⇐⇒ ϕ → (ψ → ϕ) = 1 Lema 7.2.71⇐⇒ ` ϕ → (ψ → ϕ),ceea ce este adevarat, conform Observatiei 7.2.8 referitoare la (a1).

(A2’), (A3’): se demonstreaza similar, folosind axiomele (a2), (a3) respectiv.

(A4’): ϕ → ψ = 1 = ψ → ϕ ⇐⇒ϕ → ψ = 1 = ψ → ϕ

Lema 7.2.71⇐⇒` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ

Lema 4.1.8⇐⇒` (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ) ⇐⇒` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ϕ ∼ ψ

Prop. 7.2.69=⇒ (dar de fapt sunt echivalente)

ϕ = ψ. 2

Observatie 7.2.74 Daca notam p : E −→ E/ ∼ surjectia canonica (p(ϕ) = ϕ,pentru orice ϕ ∈ E), atunci pentru orice ϕ,ψ ∈ E, sunt verificate conditiileurmatoare:(a) p(ϕ ∨ ψ) = p(ϕ) ∨ p(ψ),(b) p(ϕ ∧ ψ) = p(ϕ) ∧ p(ψ),(c) p(¬ϕ) = ¬p(ϕ),(d) p(ϕ → ψ) = p(ϕ) → p(ψ),(e) p(ϕ ↔ ψ) = p(ϕ) ↔ p(ψ),(f) p(0) = 0, p(1) = 1,

unde

ϕ ∨ ψdef.= ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ

def.= ϕ ∧ ψ, ϕ ↔ ψ

def.= ϕ ↔ ψ, 0

def.= ¬1 = ϕ ∧ ¬ϕ.

Cele cinci egalitati de mai sus arata modul ın care conectorii sunt convertiti ınoperatii booleene.

• GeneralizareFie Σ o multime de enunturi ale lui L (Σ ⊆ E). Sa definim pe E urmatoarea relatiebinara:

ϕ ∼Σ ψdef.⇔ Σ ` (ϕ ↔ ψ)

⇔ (Σ ` ϕ → ψ si Σ ` ψ → ϕ).

Procedand analog ca mai sus, se poate arata ca ∼Σ este o relatie de echivalentape E. Daca notam cu ϕ/Σ clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ E si cu E/ ∼Σ= {ϕ/Σ |ϕ ∈ E} si daca definim urmatoarele operatii pe E/ ∼Σ:

ϕ/Σ → ψ/Σdef.= (ϕ → ψ)/Σ, ¬(ϕ/Σ)

def.= (¬ϕ)/Σ, 1

def.= (ϕ → ϕ)/Σ,

atunci structura(E/ ∼Σ,→,¬,1)

Page 149: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 149

este o algebra Boole, numita algebra Lindenbaum-Tarski a lui Σ.Daca Σ = ∅, atunci ∼Σ=∼ si obtinem algebra Lindenbaum-Tarski E/ ∼ a lui

L.Generalizarea Lemei 7.2.71 este:

Σ ` ϕ ⇐⇒ ϕ/Σ = 1.

7.2.4 Prealgebre Boole. Algebrele Boole ca prealgebre Boolecat

Continutul acestei subsectiuni este preluat din [30].Studiul multimilor prebooleene (preboolean sets) [41], [44], al prealgebrelor Nel-

son si ÃLukasiewicz [38], al S-prealgebrelor [26] si al prealgebrelor Hilbert [6], a con-dus la introducerea [30] notiunii de prealgebra Boole, asociata definitiei echivalentea algebrei Boole, cu axiomele (A1) - (A4), prezentata anterior, si la factorizareaprealgebrei Boole pentru a obtine algebra Boole, urma nd ındeaproape lucrarea [6].

Prealgebre Boole

Definitie 7.2.75 Structura X = (X,→,−, D) este numita o prealgebra Boole daca∅ 6= D ⊆ X si → este o operatie binara pe X, − este o operatie unara pe X, astfelıncat pentru orice x, y, z ∈ X avem:

(1) x → (y → x) ∈ D,(2) [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] ∈ D,(3) (y− → x−) → (x → y) ∈ D,(4) daca x ∈ D si x → y ∈ D, atunci y ∈ D.

Observatii 7.2.761) Structura (X,→, D) cu axiomele (1), (2), (4) este o prealgebra Hilbert (a se

vedea [6]).2) Axioma (4) este corespondentul algebric al regulii de deductie logica modus

ponens.3) Calculul propozitional clasic L = (E,→,¬, T ) este un exemplu de prealgebra

Boole, unde E este multimea enunturilor, T este multimea teoremelor formale.4) Algebrele Boole, definite ca algebre (B,→,−, 1) satisfacand axiomele (A1) -

(A4), definesc prealgebra Boole (B,→,−, D), unde luam D = {1}, conform (MP).5) Data o algebra Boole B = (B,→,−, 1) si un sistem deductiv (= filtru) F al

lui B, atunci (B,→,−, F ) este o prealgebra Boole (a se vedea [26]).

Fie (X,→,−, D) o prealgebra Boole ın aceasta sectiune.

Propozitia 7.2.77 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y, z ∈ X:

Page 150: Draft de carte (din 2009)

150CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

(5) daca y ∈ D, atunci x → y ∈ D,(6) x → x ∈ D (reflexivitatea),(7) daca x → y ∈ D si y → z ∈ D, atunci x → z ∈ D (tranzitivitatea).

Dem. (A se vedea [6], [39]):(5): Fie y ∈ D; deoarece din (1) y → (x → y) ∈ D, rezulta din (4) ca x → y ∈ D.(6): Din (1), x → ((x → x) → x) ∈ D; din (2), [x → ((x → x) → x)] → [(x →

(x → x)) → (x → x)] ∈ D.Atunci din (4), (x → (x → x)) → (x → x) ∈ D.Dar, din (1) din nou, x → (x → x) ∈ D. Rezulta, din (4) ca x → x ∈ D.

(7): Fie x → y ∈ D si y → z ∈ D.Deoarece y → z ∈ D, atunci din (5) obtinem x → (y → z) ∈ D.Dar, din (2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] ∈ D.Rezulta, din (4), ca (x → y) → (x → z) ∈ D.Deoarece x → y ∈ D, atunci din (4) din nou, obtinem ca x → z ∈ D. 2

Definitie 7.2.78 Sa definim pe X o relatie binara ≤ astfel: pentru toti x, y ∈ X,

x ≤ y ⇐⇒ x → y ∈ D.

Atunci din (6) si (7) obtinem:

(6’) x ≤ x, pentru orice x, adica ≤ este reflexiva,(7’) daca x ≤ y si y ≤ z, atunci x ≤ z, adica ≤ este tranzitiva.

Observatii 7.2.791) Din (6’), (7’), rezulta ca relatia binara ≤ pe X este o cvasi-ordine (preordine).2) Proprietatea (5) spune:

(5’) Daca y ∈ D, atunci x ≤ y, pentru toti x ∈ X,adica fiecare element al lui X precede toate elementele lui D.

Propozitia 7.2.80 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y, z ∈ X:

(8) daca x ≤ y → z, atunci x → y ≤ x → z,(9) x ≤ y → x,(10) x ≤ y → z ⇐⇒ y ≤ x → z,(11) y → z ≤ (x → y) → (x → z),(12) x → y ≤ (y → z) → (x → z),(13) daca x ≤ y, atunci y → z ≤ x → z,(14) x → (y → z) ≤ y → (x → z),(15) daca x ≤ y, atunci z → x ≤ z → y.

Dem. (A se vedea [6] si [39])

Page 151: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 151

(8): Din (2), [x → (y → z)] → [(x → y) → (x → z)] ∈ D;daca x ≤ y → z, adica x → (y → z) ∈ D, atunci din (4), obtinem (x → y) → (x →z)inD, adica x → y ≤ x → z.

(9): Rezulta direct din (1).(10): =⇒: daca x ≤ y → z, atunci din (8), avem x → y ≤ x → z; dar din (9),

y ≤ x → y; atunci aplicand (7’), obtinem y ≤ x → z.⇐=: rezulta prin simetrie.

(11): Din (2), avem [x → (y → z)] ≤ [(x → y) → (x → z)].Pe de alta parte, din (9), avem y → z ≤ x → (y → z).Prin urmare, aplicand (7’), obtinem y → z ≤ (x → y) → (x → z), adica (11) areloc.

(12): rezulta din (11), aplicand (10).(13): Din (12), x → y ≤ [(y → z) → (x → z)], adica (x → y) → [(y →

z) → (x → z)] ∈ D. Daca x ≤ y, adica x → y ∈ D, atunci din (4), obtinem ca(y → z) → (x → z) ∈ D, adica y → z ≤ x → z.

(14): Din (2), avem [x → (y → z)] ≤ [(x → y) → (x → z)].Pe de alta parte, deoarece conform (9), y ≤ x → y, atunci din (13), avem(x → y → (x → z) ≤ y → (x → z).Prin urmare, aplicand (7’), obtinem ca [x → (y → z)] ≤ y → (x → z).

(15): Daca x ≤ y, adica x → y ∈ D, atunci din (5), avem z → (x → y) ∈ D.Pe de alta parte, din (2), avem [z → (x → y)] → [(z → x) → (z → y)] ∈ D.Prin urmare, aplicand (4), obtinem (z → x) → (z → y) ∈ D, adica z → x ≤ z → y.2

Propozitia 7.2.81 Urmatoarele proprietati au loc, pentru toti x, y ∈ X:

(16) y− → x− ≤ x → y,(17) (a) x ≤ x− → y, (b) x− ≤ x → y,(18) (x−)− ≤ x,(19) x ≤ (x−)−,(20) x → y ≤ y− → x−.

Dem.(16): Rezulta direct din (3).(17) (a): Din (9), x− ≤ y− → x− si, din (16), y− → x− ≤ x → y; prin urmare,

aplicand (7’), obtinem x− ≤ x → y.(17) (b) este echivalent cu (17) (a), din (10).

(18): Din (9) si (16), avem:

(x−)− ≤ (((x−)−)−)− → (x−)− ≤ x− → ((x−)−)− ≤ (x−)− → x.Prin urmare, aplicand (7’), obtinem (x−)− ≤ (x−)− → x care, aplicand (8), ne da[(x−)− → (x−)−] ≤ [(x−)− → x], adica [(x−)− → (x−)−] → [(x−)− → x] ∈ D.Dar, din (6), (x−)− → (x−)− ∈ D, prin urmare, aplicand (4), obtinem (x−)− →x ∈ D, adica (x−)− ≤ x.

Page 152: Draft de carte (din 2009)

152CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

(19): Din (18), ((x−)−)− ≤ x−, adica ((x−)−)− → x− ∈ D.Pe de alta parte, din (3), [((x−)−)− → x−] → [x → (x−)−] ∈ D.Prin urmare, aplicand (4), x → (x−)− ∈ D, adica x ≤ (x−)−.

(20): Deoarece, din (19), y ≤ (y−)−, atunci din (13), avem x → y ≤ x → (y−)−.Pe de alta parte, deoarece, din (18), (x−)− ≤ x, atunci din (11), avem x → (y−)− ≤(x−)→(y−)−.Prin urmare, aplicand (7’), obtinem x → y ≤ (x−)− → (y−)−.Dar, din (16), (x−)− → (y−)− ≤ y− → x−.Prin urmare, aplicand (7’) din nou, obtinem x → y ≤ y− → x−. 2

Algebrele Boole ca prealgebre Boole cat,adica ca algebre “tip Lindenbaum-Tarski”

Definitie 7.2.82 Fie X = (X,→,−, D) o prealgebra Boole.Sa definim o relatie binara ∼ pe X astfel: pentru toti x, y ∈ X,

x ∼ y ⇐⇒ x ≤ y si y ≤ x ⇐⇒ x → y ∈ D si y → x ∈ D.

Propozitia 7.2.83 Relatia binara ∼ pe X este o relatie de echivalenta.

Dem.· relexivitatea: pentru toti x ∈ X, x ∼ x ⇐⇒ x ≤ x, care este adevarata

din (6’).· simetria: pentru toti x, y ∈ X, x ∼ y implica y ∼ x; este evident.· tranzitivitatea: fie x, y, z ∈ X astfel ıncat x ∼ y si y ∼ z, adica

(x → y ∈ D si y → x ∈ D) si (y → z ∈ D si z → y ∈ D), sau, echivalent,(x → y ∈ D si y → z ∈ D) si (z → y ∈ D si y → x ∈ D), care implica, conform(7), ca x → z ∈ D si z → x ∈ D, adica x ∼ z. 2

Lema 7.2.84 Urmatoarele proprietati ale lui ∼ au loc: pentru orice x, y, x′, y′ ∈X,

(a) x ∼ x′ si y ∼ y′ implica (x → y) ∼ (x′ → y′),(b) x ∼ y implica x− ∼ y−,(c) D este o clasa de echivalenta.

Dem.(a): Fie x ∼ x′ si y ∼ y′, adica (x ≤ x′ si x′ ≤ x) si (y ≤ y′ si y′ ≤ y).

Dar, y ≤ y′ implica, prin (13), x → y ≤ x → y′ si x′ ≤ x implica, prin (11),x → y′ ≤ x′ → y′. Prin urmare, aplicand (7’), x → y ≤ x′ → y′. Similar,x′ → y′ ≤ x → y. Prin urmare, (x → y) ∼ (x′ → y′).

(b): Fie x ∼ y, adica x → y ∈ D si y → x ∈ D.Deoarece x → y ∈ D si, din (20), (x → y) → (y− → x−) ∈ D, rezulta, din (4), cay− → x− ∈ D.

Page 153: Draft de carte (din 2009)

7.2. SINTAXA SI ALGEBRA CALCULULUI PROPOZITIONAL 153

Similar, y → x ∈ D si (y → x) → (x− → y−) ∈ D implica, prin (4), ca x− → y− ∈D. Prin urmare, x− ∼ y−.

(c): Este suficient sa demonstram ca x, y ∈ D implica x ∼ y. Intr-adevar,x ∈ D implica, prin (5), ca y → x ∈ D si similar, y ∈ D implica x → y ∈ D. Prinurmare, x ∼ y. 2

Deoarece ∼ este o relatie de echivalenta pe X, fie | x | clasa de echivalenta a luix ∈ X:

| x |= {y ∈ X | y ∼ x}si fie B = X/ ∼ multimea cat, adica multimea tuturor claselor de echivalenta:

B = X/ ∼= {| x | | x ∈ X}.

Lema 7.2.85 Pentru toti x, y ∈ X,

| x |=| y | ⇐⇒ x ∼ y.

Dem.=⇒: Deoarece x ∈| x | si | x |=| y |, rezulta ca x ∈| y |, adica x ∼ y.⇐=: Fie z ∈| x |, adica z ∼ x; deoarece x ∼ y, din tranzitivitate obtinem ca

z ∼ y, adica z ∈| y |. Prin urmare, | x |⊆| y |. Similar, | y |⊆| x |. Prin urmare,| x |=| y |. 2

Definitie 7.2.86 Sa definim pe multimea cat B = X/ ∼ de mai sus o relatiebinara ≤ astfel: pentru toti | x |, | y |∈ B,

| x | ≤ | y | ⇐⇒ x ≤ y ⇐⇒ x → y ∈ D.

Lema 7.2.87 Relatia binara ≤ pe multimea cat B = X/ ∼ este o relatie de ordine.

Dem.· reflexivitatea: pentru toti | x |∈ B, | x | ≤ | x |⇐⇒ x ≤ x, care are loc conform

(6’).· antisimetria: fie | x |, | y |∈ A astfel ıncat | x | ≤ | y | si | y | ≤ | x |, adica

x → y ∈ D si y → x ∈ D, adica x ∼ y; prin urmare, din Lema 7.2.85, | x | = | y |.· tranzitivitatea: fie | x |, | y |, | z |∈ B astfel ıncat | x | ≤ | y | si | y | ≤ | z |,

adica x ≤ y si y ≤ z. Atunci aplicand (7’), x ≤ z, adica | x | ≤ | z |. 2

Sa definim pe multimea cat B = X/ ∼ operatia binara →, operatia unara − siconstanta 1 astfel: pentru orice | x |, | y |∈ B,

| x | → | y | def.= | x → y |, | x |− def.

= | x− |, 1def.= D.

Din Lema 7.2.84, definitiile sunt bune (adica nu depind de reprezentanti).

Page 154: Draft de carte (din 2009)

154CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Lema 7.2.88

| x | = 1 ⇐⇒ | x | = D ⇐⇒ x ∈ D.

Dem. Sa observam ca | x | = D ınseamna x ∼ y for all y ∈ D, adica (x → y ∈ Dsi y → x ∈ D), pentru toti y ∈ D.

=⇒: y ∈ D si y → x ∈ D implica, prin (4), ca x ∈ D.⇐=: Fie x ∈ D; trebuie sa demonstram ca | x |= D.

· | x |⊆ D: fie y ∈| x |, adica y ∼ x, adica (y → x ∈ D si x → y ∈ D). Deoarecex ∈ D, rezulta, din (4), ca y ∈ D.· D ⊆| x |: fie y ∈ D; atunci din (5), x → y ∈ D. Dar, x ∈ D implica, prin (5), cay → x ∈ D de asemenea. Prin urmare, x ∼ y, care implica y ∈| x |. 2

Teorema 7.2.89 Algebra cat (B = X/ ∼,→,−, 1) este o algebra Boole, pe care onumim algebra “tip Lindenbaum-Tarski” a lui X .

Dem. Trebuie sa verificam ca pentru toti | x |, | y |, | z |∈ B,

(A1) | x |→ (| y |→| x |) = 1,(A2) [| x |→ (| y |→| z |)] → [(| x |→| y |) → (| x |→| z)] = 1,(A3) (| y |−→| x |−) → (| x |→| y |) = 1,(A4) daca | x |→| y |= 1 =| y |→| x |, atunci | x |=| y |.Intr-adevar,

(A1): | x |→ (| y |→| x |) =| x → (y → x) |= 1, din (1) si din Lema 7.2.88.(A2): rezulta similar din (2) si Lema 7.2.88.(A3): rezulta similar din (3) si Lema 7.2.88.(A4): Fie | x |→| y |= 1 =| y |→| x |, adica | x → y |= D si | y → x |= D,

sau, equivalent, prin Lema 7.2.88, x → y ∈ D si y → x ∈ D, adica x ∼ y, careınseamna, prin Lema 7.2.85, | x |=| y |. 2

Observatii

(i) La nivel de logica algebrica, avem calculul propozitional clasic L, din care,prin factorizarea Fac1, obtinem algebra Lindenbaum-Tarski, care este o algebraBoole. O alta factorizare, Fac2, printr-un sistem deductiv (filtru) de data aceasta,a algebrei Lindenbaum-Tarski, ne conduce la o alta algebra Boole, algebra Boolecat.

La nivel de algebra logicii, avem prealgebra Boole, care modeleaza calcululpropozitional clasic L, din care, prin factorizarea Fac1′, obtinem algebra “tipLindenbaum-Tarki”, care este o algebra Boole. Prin alta factorizare, sa o numimFac2′, a acestei algebre Boole printr-un sistem deductiv (filtru), obtinem o algebraBoole cat. Prin urmare, putem scrie:

Page 155: Draft de carte (din 2009)

7.3. SEMANTICA CALCULULUI PROPOZITIONAL L 155

Logica algebrica: L Fac1=⇒ algebra Lindenbaum−TarskiFac2=⇒ algebra Lindenbaum−Tarski cat

Algebra logicii: prealgebra BooleFac1′=⇒ algebra Boole

Fac2′=⇒ algebra Boole cat

(ii) Urmatoarele probleme deschise apar:a) Sa se studieze factorizarea Fac1′ similar cu Fac1.b) Sa se studieze ın paralel compunerea celor doua factorizari la cele doua nivele:Fac2 ◦ Fac1 si Fac2′ ◦ Fac1′.c) Sa se defineasca si sa se studieze pe prealgebra Boole notiunile corespunzatoarenotiunilor din calculul propozitional clasic L.d) Sa se defineasca notiunea analoaga de prealgebra Boole pentru calculul cu pred-icate clasic.

7.3 Semantica calculului propozitional L

Pana acum am dezvoltat sistemul L la nivel sintactic, fara a atribui enunturilorvalori de adevar. Acest lucru va fi realizat ın sectiunea de fata prin notiunea deinterpretare.

Definitie 7.3.1 O interpretare a lui L este o functie oarecare h : V −→ L2.

Propozitia 7.3.2 Pentru orice interpretare h : V −→ L2, exista o functie unicah∼ : E −→ L2, care satisface proprietatile urmatoare:(a) h∼(x) = h(x), pentru orice x ∈ V ,(b) h∼(¬ϕ) = ¬h∼(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E,(c) h∼(ϕ → ψ) = h∼(ϕ) → h∼(ψ), pentru orice ϕ,ψ ∈ E.

Dem. Definitia lui h∼ se face prin inductie, urmarind clauzele (a) - (c). Demon-strarea unicitatii lui h∼ se face tot prin inductie. Fie g : E −→ L2, astfel ıncat:(a’) g(x) = h(x), pentru orice x ∈ V ,(b’) g(¬ϕ) = ¬g(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E,(c’) g(ϕ → ψ) = g(ϕ) → g(ψ), pentru orice ϕ,ψ ∈ E.Vom arata ca pentru orice α ∈ E,

h∼(α) = g(α).

Distingem trei cazuri pentru α:- α ∈ V : g(α) = h(α) = h∼(α).- α = ¬ϕ: g(α) = ¬g(ϕ) = ¬h∼(ϕ) = h∼(¬ϕ) = h∼(α), pentru ca g(ϕ) = h∼(ϕ)(ipoteza inductiei).

Page 156: Draft de carte (din 2009)

156CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

- α = ϕ → ψ: g(α) = g(ϕ) → g(ψ) = h∼(ϕ) → h∼(ψ) = h∼(α), pentru cag(ϕ) = h∼(ϕ) si g(ψ) = h∼(ψ) (ipoteza inductiei). 2

Consecinte imediate. Pentru orice ϕ,ψ ∈ E,(d) h∼(ϕ ∨ ψ) = h∼(ϕ) ∨ h∼(ψ),(e) h∼(ϕ ∧ ψ) = h∼(ϕ) ∧ h∼(ψ),(f) h∼(ϕ ↔ ψ) = h∼(ϕ) ↔ h∼(ψ).

Observatie 7.3.3 Daca h : V −→ L2 este o interpretare, atunci exista un unicmorfism boolean h : E/∼ −→ L2 care face comutativa diagrama urmatoare:

V ↪→ −→ E/∼E

?h∼

ZZ

ZZ~

½½

½½=h h

p

L2

h este definit de: h(ϕ) = h∼(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E.

O interpretare asociaza variabilelor propozitionale valori ın algebra Boole L2 ={0, 1}. Conform Propozitiei 7.3.2, o interpretare h se extinde ın mod unic la ofunctie h∼ definita pe E astfel ıncat conectorii ¬,→,∨,∧,↔ sunt pransportati ınoperatiile booleene corespunzatoare (ın termeni algebrici, functia h din Observatia7.3.3 este un morfism boolean). Putem spune ca h∼ transforma structura logica alui L ın structura logica a lui L2.

Definitie 7.3.4Enuntul ϕ este adevarat ın interpretarea h : V −→ L2 daca h∼(ϕ) = 1.Enuntul ϕ este fals ın interpretarea h daca h∼(ϕ) = 0.Un enunt ϕ este universal adevarat daca este adevarat ın orice interpretare;

acest lucru se noteaza|= ϕ.

Observatie 7.3.5 Interpretarea unui enunt este valoarea 0 sau 1 obtinuta atuncicand tuturor variabilelor propozitionale ce intra ın componenta sa le atribuim valoridin L2. Un enunt universal adevarat ϕ va avea valoarea 1 pentru orice valori dinL2 luate de variabilele propozitionale ce apar ın ϕ.

• Generalizare

Definitie 7.3.6 O interpretare h : V −→ L2 este un model al lui Σ ⊆ E dacah∼(σ) = 1 pentru orice σ ∈ Σ. Notam faptul ca h este un model al lui Σ astfel:

h |= Σ.

Page 157: Draft de carte (din 2009)

7.3. SEMANTICA CALCULULUI PROPOZITIONAL L 157

Definitie 7.3.7 Fie Σ ⊆ E si ϕ ∈ E. Spunem ca ϕ se deduce semantic din ipotezeleΣ daca h∼(ϕ) = 1, pentru orice model h al lui Σ. Se noteaza acest lucru astfel:

Σ |= ϕ.

Propozitia 7.3.8 Pentru orice enunt ϕ al lui L, are loc urmatoarea proprietate:

` ϕ =⇒ |= ϕ.

Dem. Vom arata ca daca ` ϕ, atunci h∼(ϕ) = 1 pentru orice interpretare h :V −→ L2. Se procedeaza prin inductie asupra modului ın care a fost definit ` ϕ.

Consideram ıntai cazul axiomelor:(G1): ϕ este de forma α → (β → α).

h∼(ϕ) = h∼(α) → (h∼(β) → h∼(α)) = ¬h∼(α) ∨ ¬h∼(β) ∨ h∼(α) = 1.

(G2): ϕ este de forma (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)).Daca notam a = h∼(α), b = h∼(β), c = h∼(γ), atuncih∼(ϕ) = (a → (b → c)) → ((a → b) → (a → c)) = 1,dupa cum arata o simpla verificare ın L2.(G3): ϕ este de forma (¬α → ¬β) → (β → α).Este suficient sa probam ca (a− → b−) → (b → a) = 1 in L2.

Presupunem acum ca ` ϕ a fost obtinut prin m.p. din ` ψ, ` ψ → ϕ. Ipotezainductiei conduce la h∼(ψ) = 1 si h∼(ψ → ϕ) = 1. Atunci

1 = h∼(ψ) → h∼(ψ) = 1 → h∼(ϕ) = h∼(ϕ)

si demonstratia s-a ıncheiat. 2

Corolar 7.3.9 Pentru orice enunt ϕ, nu putem avea ` ϕ si ` ¬ϕ.

Dem. Daca ar exista un enunt ϕ astfel ıncat ` ϕ si ` ¬ϕ, atunci pentru oriceinterpretare h am avea h∼(ϕ) = 1 si ¬h∼(ϕ) = h∼(¬ϕ) = 1: contradictie. 2

Conform Lemei 7.2.57 si Corolarului 7.3.9, pentru niciun enunt ϕ, nu putemavea ` ϕ ∧ ¬ϕ. Atunci Corolarul 7.3.9 exprima noncontradictia sistemului formalL: prin demonstratii formale nu se poate ajunge la contradictii.

Teorema 7.3.10 (Teorema de completitudine a lui L)Pentru orice enunt ϕ, avem:

` ϕ ⇐⇒ |= ϕ.

Dem.=⇒: Conform Propozitiei 7.3.8.⇐=: Presupunem ca 6` ϕ ( ϕ nu este teorema formala). Trecand la alge-

bra Lindenbaum-Tarski E/∼ si aplicand Lemma 7.2.65, rezulta ϕ 6= 1. Aplicam

Page 158: Draft de carte (din 2009)

158CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Teorema de reprezentare a lui Stone pentru algebra Boole E/∼. Atunci exista omultime nevida X si un morfism boolean injectiv d : E/∼ −→ LX

2 . Din injectivi-tatea lui d rezulta ca d(ϕ) 6= 1 in LX

2 , deci exista x ∈ X astfel ıncat d(ϕ)(x) 6= 1 inL2.

Consideram proiectia πx : LX2 −→ L2 definita prin πx(f) = f(x), pentru orice

f ∈ LX2 . πx este morfism boolean. Sa luam interpretarea h data de compunerea

urmatoarelor morfisme booleene:

V ⊆ Ep−→ E/∼

d−→ LX2

πx−→ L2

adica h = πx ◦ d ◦ p.Vom stabili ca pentru orice α ∈ E:

(7.4) h∼(α) = d(α)(x).

Demonstram (7.4) prin inductie asupra enuntului α:- α ∈ V :h∼(α) = h(α) = πx(d(p(α)) = d(α)(x).- α = ¬β:Ipoteza inductiei functioneaza pentru β, deci h∼(β) = d(β)(x). Atunci

h∼(α) = ¬h∼(β) = ¬d(β)(x) = (¬d(β))(x) = d(¬β)(x) = d(¬β)(x) = d(α)(x).

- α = β → γ:Ipoteza inductiei functioneaza pentru β si γ, deci h∼(β) = d(β)(x) si h∼(γ) =d(γ)(x). Atunci

h∼(α) = h∼(β) → h∼(γ) = d(β)(x) → d(γ)(x) =

(d(β) → d(γ))(x) = d(β → γ)(x) = d(β → γ)(x) = d(α)(x).

Proprietatea (7.4) a fost demonstrata.Aplicand (7.4) pentru α = ϕ, rezulta h∼(ϕ) = d(ϕ)(x) 6= 1, deci 6|= ϕ. 2

Comentarii(i) De fapt, completitudinea lui L este exprimata numai prin implicatia ”|=

ϕ =⇒` ϕ”. In cele mai importante texte de logica, prin teorema de completitudinea lui L, este desemnata echivalenta din Teorema 7.3.10.

(ii) Studierea unei teorii stiintifice are ca scop determinarea propozitiilor val-abile ale teoriei. La nivelul sistemului logic, propozitiile din teorie sunt reprezen-tate de enunturi. Pentru sistemul logic L, au fost definite doua clase remarca-bile de enunturi: teoremele formale (notiune sintactica) si enunturile universaladevarate (notiune semantica). Ambele notiuni candideaza la a reprezenta ın sis-temul logic propozitiile valabile (adevarate) din logica propozitionala neformalizata.Enunturile universal adevarate sunt mai aproape de ceea ce ıntelegem noi ın mod

Page 159: Draft de carte (din 2009)

7.3. SEMANTICA CALCULULUI PROPOZITIONAL L 159

obisnuit prin propozitie adevarata. Teorema formala este un concept mai sofisti-cat; ea traduce ın plan formal ideea de propozitie a carei valabilitate a fost stabilitaprintr-o demonstratie.

Compararea teoremelor formale si a enunturilor universal adevarate apare cao problema naturala. Teorema de completitudine stabileste echivalenta celor douatipuri de enunturi. Luate separat, fiecare din cele doua implicatii ce compun Teo-rema de completitudine are o semnificatie profunda.

Implicatia ”` ϕ =⇒|= ϕ” ne arata ca demonstratiile formale produc enunturiuniversal adevarate. In particular, de aici rezulta noncontradictia lui L.

Implicatia reciproca ”|= ϕ =⇒` ϕ” ne arata ca structura logica a lui L (definitade cele trei axiome si de regula de deductie m.p.) este capabila sa asigure demonstratiiformale pentru toate enunturile universal adevarate.

De asemenea, Teorema de completitudine ne da un procedeu comod de verificarea faptului ca un enunt este o teorema formala (procedeu ce poate fi programat).

(iii) Demonstratia prezentata mai sus este de natura algebrica. Ideea funda-mentala este trecerea la algebra Lindenbaum-Tarski si invocarea Teoremei lui Stonepentru gasirea interpretarii necesare ın demonstratie. Aceasta trecere prin algebraarunca o lumina mai completa asupra relatiei dintre sintaxa si semnatica, care arede fapt si un substrat algebric. Pe scurt, sistemul formal L a fost analizat dinperspectiva relatiei tripartite:

sintaxa semanticaZ

ZZ

Z

½½

½½

algebra

7.3.1 Multimi consistente. Teorema de completitudine ex-tinsa (tare)

Teorema de completitudine, demonstrata ın sectiunea precedenta, exprima orelatie profunda ıntre sintaxa si semantica. Un al doilea mod de a pune fata ınfata sintaxa si semantica lui L, ıl reprezinta problema compararii deductiei formale(sintactice) cu deductia semantica. Teorema de completitudine extinsa, prezen-tata ın aceasta sectiune, este un raspuns definitiv la aceasta problema. Stabilindechivalenta dintre deductia sintactica si deductia semantica, ea ıntareste consider-abil relatia dintre cele doua dimensiuni ale lui L.

Teorema de completitudine extinsa poate fi obtinuta printr-o metoda algebricaasemanatoare ce cea din cazul Teoremei 7.3.10. Ideea principala este aplicareaTeoremei de reprezentare a lui Stone pentru algebra Lindenbaum-Tarski asociataunei multimi de enunturi.

Page 160: Draft de carte (din 2009)

160CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

In sectiunea de fata, vom prezenta o demonstratie directa, bazata pe multimilemaximal consistente.

Studiul multimilor consistente are un interes ın sine. Ele sunt acele multimide enunturi din care nu se pot deduce contradictii. Multimile maximal consistentesunt contrapartea sintactica a ultrafiltrelor din algebra Boole. Ele au proprietatisintactice remarcabile, ceea ce permite constructia unor interpretari prin care sedemonstreaza Teorema de completitudine extinsa.

Definitie 7.3.11O multime Σ de enunturi este inconsistenta daca Σ ` ϕ, pentru orice enunt ϕ

al lui L.O multime Σ de enunturi este consistenta daca nu este inconsistenta.

Propozitia urmatoare arata ca multimile consistente sunt acele multimi deenunturi din care nu se deduc formal contradictii.

Propozitia 7.3.12 Fie Σ o multime de enunturi. Sunt echivalente urmatoarele:(1) Σ este inconsistenta,(2) exista ϕ ∈ E, astfel ıncat Σ ` (ϕ ∧ ¬ϕ),(3) exista ϕ ∈ E, astfel ıncat (Σ ` ϕ si Σ ` ¬ϕ),(4) pentru orice ϕ ∈ E, Σ ` ¬(ϕ → ϕ),(5) exista ϕ ∈ E, astfel ıncat Σ ` ¬(ϕ → ϕ).

Dem.(1) =⇒ (2): Evident.(2) =⇒ (3): Rezulta din Σ ` (ϕ ∧ ¬ϕ) → ϕ, Σ ` (ϕ ∧ ¬ϕ) → ¬ϕ si m.p.

(Propozitiile 7.2.36, 7.2.37).(3) =⇒ (4): Conform Propozitiei 7.2.31, avem ` ϕ → (¬ϕ → ¬(ψ → ψ)) pentru

orice ψ ∈ E. Presupunand Σ ` ϕ si Σ ` ¬ϕ, rezulta Σ ` ¬(ψ → ψ), prin aplicareade doua ori a m.p..

(4) =⇒ (5): Evident.(5) =⇒ (1): Fie ϕ ∈ E cu Σ ` ¬(ϕ → ϕ) si ψ ∈ E. Conform (G1),

Σ ` (ϕ → ϕ) → (¬ψ → (ϕ → ϕ)).

Dar Σ ` ϕ → ϕ, deci Σ ` ¬ψ → (ϕ → ϕ). Conform Propozitiei 7.2.28,

Σ ` (¬ψ → (ϕ → ϕ)) → (¬(ϕ → ϕ) → ¬¬ψ).

Aplicand de doua ori m.p., Σ ` ¬¬ψ. Insa Σ ` ¬¬ψ → ψ (Propozitia 7.2.27), deciΣψ pentru orice ψ ∈ E. Atunci Σ este inconsistenta. 2

Propozitia 7.3.13 Fie Σ ⊆ E si ϕ ∈ E.Σ ∪ {ϕ} este inconsistenta daca si numai daca Σ ` ¬ϕ.

Page 161: Draft de carte (din 2009)

7.3. SEMANTICA CALCULULUI PROPOZITIONAL L 161

Dem.Daca Σ ∪ {ϕ} este inconsistenta, atunci Σ ∪ {ϕ} ` ¬ϕ, deci prin Teorema

deductiei, Σ ` ϕ → ¬ϕ. Aplicand Propozitia 7.2.30 si m.p., rezulta Σ ` ¬ϕ.Reciproc, presupunem ca Σ ` ¬ϕ, de unde Σ ∪ {ϕ} ` ¬ϕ si Σ ∪ {ϕ} ` ϕ.

Conform Propozitiei 7.2.27, avem Σ ∪ {ϕ} ` ϕ → (¬ϕ → ψ), de unde prin m.p.obtinem Σ ∪ {ϕ} ` ψ pentru orice ψ ∈ E. 2

Corolar 7.3.14 Σ ∪ {¬ϕ} este inconsistenta ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Dem. Se foloseste faptul ca Σ ` ϕ ⇐⇒ Σ ` ¬¬ϕ. 2

Corolarul precedent caracterizeaza deductia formala din ipoteze ın termeni demultimi inconsistente.

Exemplu 7.3.15 ∅ este o multime consistenta (conform Corolarului 7.3.9), iar Eeste inconsistenta.

Observatie 7.3.16 Daca Σ este consistenta, atunci sistemul deductiv D(Σ) gen-erat de Σ este consistent.

Definitie 7.3.17 O multime consistenta ∆ este maximal consistenta daca pentruorice multime consistenta Σ avem: ∆ ⊆ Σ implica ∆ = Σ.

Cu alte cuvinte, multimile maximal consistente sunt elementele maximale ale fam-iliei multimilor consistente.

Propozitia 7.3.18 Pentru orice multime consistenta Σ, exista o multime maximalconsistenta ∆, astfel ıncat Σ ⊆ ∆.

Dem. Fie familia de multimi A = {Γ ⊆ E | Γconsistenta si Σ ⊆ Γ}. Evident caΣ ∈ A. Vom arata ca (A,⊆) este inductiv ordonata.Fie (Γi)i∈I o familie total ordonata de multimi din A: pentru orice i, j ∈ I, Γi ⊆ Γj

sau Γj ⊆ Γi. Vom arata ca Γ0 =⋃

i∈I Γi este un majorant al familiei (Γi)i∈I . Inprimul rand trebuie demonstrat ca Γ0 ∈ A.Presupunem prin absurd ca Γ0 este inconsistenta, deci exista ϕ ∈ E astfel ıncat Γ0 `¬(ϕ → ϕ). Conform Propozitiei 7.2.13 (ii), exista o multime finita {ψ1, . . . , ψn} ⊆Γ0, astfel ıncat

{ψ1, . . . , ψn} ` ϕ.

Observam ca exista indicii i1, . . . , in ∈ I, astfel ıncat ψ1 ∈ Γi1 , . . . , ψn ∈ Γin . Cum(Γi)i∈I este total ordonata, va exista k ∈ {i1, . . . , in}, astfel ıncat toti Γi1 , . . . , Γin

sunt inclusi in Γk. Atunci {ψ1, . . . , ψn} ⊆ Γk, deci Γk ` ¬(ϕ → ϕ): aceastacontrazice consistenta lui Γk, deci Γ0 este consistenta. Cum Σ ⊆ Γ0, rezulta caΓ0 ∈ A. Este evident ca Γ0 este majorant al familiei (Γi)i∈I .Aplicarea axiomei lui Zorn asigura existenta unui element maximal ∆ al lui (A,⊆),deci a unei multimi maximal consistente ∆ ce include pe Σ. 2

Page 162: Draft de carte (din 2009)

162CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Observatie 7.3.19 Se va observa o asemanare ıntre demonstratia propozitiei prece-dente si demonstratia urmatorului rezultat de la algebre Boole: “orice filtru propriuse scufunda ıntr-un ultrafiltru”. Ambele demonstratii fac apel la axioma lui Zorn.

Propozitia 7.3.20 Orice multime maximal consistenta ∆ are urmatoarele pro-prietati:(i) ∆ este sistem deductiv (∆ ` ψ =⇒ ψ ∈ ∆),(ii) daca ϕ ∨ ψ ∈ ∆, atunci ϕ ∈ ∆ sau ψ ∈ ∆,(iii) pentru orice ψ ∈ E, ψ ∈ ∆ sau ¬ψ ∈ ∆,(iv) pentru orice ψ, χ ∈ E, are loc echivalenta:

ψ → χ ∈ ∆ ⇐⇒ (¬ψ ∈ ∆ sau χ ∈ ∆).

Dem.(i): Presupunem prin absurd ca exista ψ ∈ E astfel ıncat (∆ ` ψ si ψ 6∈ ∆).

Atunci ∆ ⊂ ∆ ∪ {ψ}, de unde, conform maximalitatii lui ∆, rezulta ca ∆ ∪ {ψ}este inconsistenta. Aplicand Propozitia 7.3.13, rezulta ∆ ` ¬ϕ, ceea ce contraziceconsistenta lui ∆.

(ii) Presupunem prin absurd ca exista ϕ,ψ ∈ ∆, astfel ıncat ϕ ∨ ψ ∈ ∆, ϕ 6∈ ∆si ψ 6∈ ∆. Ca mai sus, se deduce ca ∆ ∪ {ϕ}, ∆ ∪ {ψ} sunt inconsistente, deci∆ ` ¬ϕ si ∆ ` ¬ψ (conform Propozitiei 7.3.13). Conform Propozitiei 7.2.31, avem

` ¬ϕ → (¬ψ → ¬(¬ϕ → ψ)),

de unde prin m.p. obtinem ca ∆ ` ¬(¬ϕ → ψ). Aceasta ultima proprietate spuneca ∆ ` ¬(ϕ ∨ ψ), ceea ce contrazice consistenta lui ∆.

(iii) Rezulta din (ii) si din ` ψ ∨ ¬ψ.(iv) Rezulta din (iii) si din: ` ϕ → ψ ⇐⇒` ¬ϕ ∨ ψ. 2

Propozitia precedenta pune ın evidenta proprietati remarcabile ale multimilormaximal consistente (analoge cu cele ale ultrafiltrelor din algebra Boole). Acesteproprietati vor fi folosite ın constructia modelului din propozitia urmatoare.

Propozitia 7.3.21 Orice multime consistenta Σ admite un model.

Dem. Fie ∆ o multime maximal consistenta astfel ıncat Σ ⊆ ∆. Consideraminterpretarea h definita, pentru orice x ∈ V , prin:

h(x) ={

1, daca x ∈ ∆,0, daca x 6∈ ∆.

Pentru orice ϕ ∈ E, avem echivalenta

(7.5) h∼(ϕ) = 1 ⇐⇒ ϕ ∈ ∆.

Demonstrarea lui (7.5) se face prin inductie relativ la ϕ:- daca ϕ ∈ V : (7.5) este chiar definitia lui h.- daca ϕ = ¬α: folosind ipoteza inductiei si Propozitia 7.3.20 (iii),

h∼(ϕ) = 1 ⇐⇒ h∼(α) = 0 ⇐⇒ α 6∈ ∆ ⇐⇒ ϕ ∈ ∆.

Page 163: Draft de carte (din 2009)

7.4. TEOREMA DE COMPLETITUDINE VERSUS TEOREMA LUI STONE163

- daca ϕ = α → β: din ipoteza inductiei si Propozitia 7.3.20 (iii) si (iv), obtinem:h∼(ϕ) = 1 ⇐⇒ h∼(α) → h∼(β) = 1

⇐⇒ h∼(α) = 0 sau h∼(β) = 0 (suntem in L2)⇐⇒ α 6∈ ∆ sau β ∈ ∆⇐⇒ ¬α ∈ ∆ sau β ∈ ∆⇐⇒ α → β ∈ ∆⇐⇒ ϕ ∈ ∆.

Folosind (7.5) si Σ ⊆ ∆, rezulta ca h∼(σ) = 1, pentru orice σ ∈ Σ. 2

Teorema 7.3.22 (Teorema de completitudine extinsa)Fie Σ ⊆ E si ϕ ∈ E.

Σ ` ϕ ⇐⇒ Σ |= ϕ.

Dem.=⇒: Prin inductie asupra modului de definire a notiunii Σ ` ϕ.⇐=: Daca Σ 6` ϕ, atunci Σ∪{¬ϕ} este consistenta (Corolarul 7.3.14). Aplicand

Propozitia 7.3.20, Σ ∪ {¬ϕ} admite un model h. Atunci h este un model al lui Σsi h∼(ϕ) = 0, deci Σ 6|= ϕ. 2

Observatii 7.3.23(1) Teorema de completitudine extinsa stabileste echivalenta ıntre inferenta sin-

tactica si cea semantica.(2) Pentru Σ = ∅, se obtine Teorema de completitudine

` ϕ ⇐⇒ |= ϕ,

demonstrata intr-o sectiune precedenta.(3) Teorema de completitudine este un caz particular al Teoremei de completi-

tudine extinse, iar aceasta s-a obtinut aplicand Propozitia 7.3.21. La randul ei,Propozitia 7.3.21 poate fi demonstrata plecand de la Teorema de completitudine.Pentru a proba aceasta afirmatie, sa consideram o multime consistenta Σ. Fieϕ ∈ Σ. Atunci {ϕ} este o multime consistenta, deci conform Propozitiei 7.3.13,6` ¬ϕ. Aplicand Teorema de completitudine, rezulta 6|= ¬ϕ, deci exista o structurade ordinul I A astfel ıncat A 6|= ¬ϕ. Prin urmare, A |= ϕ, pentru orice ϕ ∈ Σ, deciA |= Σ.

7.4 Teorema de completitudine versus Teoremalui Stone

Am vazut ca Teorema de completitudine (extinsa) poate fi dedusa folosind Teo-rema lui Stone.

Page 164: Draft de carte (din 2009)

164CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Vom da acum o demonstratie a Teoremei de reprezentare a lui Stone folosindTeorema de completitudine extinsa. Amintim ıntai Teorema de reprezentare a luiStone ın urmatoarea forma:

Teorema 7.4.1 (Teorema de reprezentare a lui Stone)Pentru orice algebra Boole B, exista o multime nevida X si un morfism boolean

injectiv d : B −→ LX2 .

Dem.(a) Consideram sistemul formal al calculului propozitional L, ın care multimea

V a variabilelor este B:V = B.

Cu notatia uzuala, E este multimea enunturilor, E/∼ este algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L si p : E −→ E/∼ este surjectia canonica.

Se poate arata, imitand demonstratia Propozitiei 7.3.2, ca exista un morfismboolean surjectiv f : E/∼ −→ B, astfel ıncat urmatoarea diagrama este comuta-tiva:

B E/∼-p |B

ZZ

ZZ~

½½

½½=1B f

B

AtunciF = f−1(1) = {ϕ | f(ϕ) = 1}

este un filtru propriu ın E/∼, deci putem considera algebra Boole cat (E∼)/F .Pentru orice ϕ,ψ ∈ E, are loc echivalenta urmatoare:

ϕ/F = ψ/F ⇐⇒ f(ϕ) = f(ψ).

Atunci functia λ : (E/∼)/F −→ B definita de

λ(ϕ/F ) = f(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E

este un izomorfism boolean.(b) Fie F un filtru propriu ın E/∼ (eventual cel de la (a)) si fie ∆ = p−1(F ). ∆

este un sistem deductiv consistent ın L si pentru orice ϕ,ψ ∈ E au loc echivalentele:

ϕ/F = ψ/F ⇐⇒ ϕ ↔ ψ ∈ F ⇐⇒ ϕ ↔ ψ ∈ F ⇐⇒ϕ ↔ ψ ∈ ∆ ⇐⇒ ∆ ` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ ϕ/∆ = ψ/∆,

unde ϕ/∆ este clasa de echivalenta a lui ϕ ın raport cu ∼∆.Daca E/∆ = E/∼∆ este algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui ∆, atunci echivalentelede mai sus spun ca functia Φ : (E/∼)/F −→ E/∆, definita prin Φ(ϕ/F ) = ϕ/∆pentru orice ϕ ∈ E, este un izomorfism boolean.

Page 165: Draft de carte (din 2009)

7.5. EXEMPLE DE DEDUCTII FORMALE 165

(c) Presupunem ca ∆ este o multime consistenta (eventual cea de la punctul(b)) si X este multimea modelelor lui ∆:

X = {h : V −→ L2 | h |= ∆}.

Conform Teoremei de completitudine extinsa (presupusa anterior demonstrata),X 6= ∅. Pentru orice ϕ,ψ ∈ E, avem echivalentele:

ϕ/∆ = ψ/∆ ⇐⇒ ∆ ` ϕ ↔ ψ⇐⇒ ∆ |= ϕ ↔ ψ⇐⇒ h∼(ϕ ↔ ψ) = 1, pentru orice h ∈ X,⇐⇒ h∼(ϕ) ↔ h∼(ψ) = 1, pentru orice h ∈ X,⇐⇒ h(ϕ) = h(ψ), pentru orice h ∈ X.

Definim functia λ : E/∆ −→ LX2 prin: λ(ϕ/∆)(h) = h∼(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E si

h ∈ X. Echivalentele de mai sus arata ca functia λ este bine definita si ca ea esteinjectiva. Este usor de vazut ca λ este morfism boolean. In consecinta, λ este unmorfism boolean injectiv.

Asambland pasii (a), (b), (c), vom obtine Teorema lui Stone.Consideram compunerea morfismelor booleene (toate injective) de la acesti treipasi:

B∼=−→ (E/∼)/F

Φ↪→ E/∆

λ↪→ LX

2 .

Am obtinut un morfism boolean injectiv d : B ↪→ LX2 . 2

Observatie 7.4.2 In demonstratia Teoremei lui Stone si cea a Teoremei de com-pletitudine extinsa, s-a folosit axioma lui Zorn. Intr-o axiomatizare a teoriei multimilorfara axioma lui Zorn, enunturile celor doua teoreme apar ca proprietati echivalente.

7.5 Exemple de deductii formale

Exemplele prezentate ın aceasta sectiune vor avea ca punct de plecare propozitiiformulate ın limbajul natural. Acestea vor fi trecute ın limbajul formal si apoi vorfi prelucrate conform mecanismului inferential al lui L.

Exemplu 7.5.1 Se considera propozitiile:(a) Cuget, deci exist.(b) Cuget, deci daca exist, nu ma duc la cursul de logica.(c) Cuget, deci nu ma duc la cursul de logica.Vrem sa aratam ca din primele doua propozitii se deduce a treia.

Vom nota:p ≡ ”cuget”q ≡ ”exist”r ≡ ”nu ma duc la cursul de logica”.

Page 166: Draft de carte (din 2009)

166CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Atunci cele trei propozitii (a) - (c) se vor scrie simbolic astfel:(a): p → q(b): p → (q → r)(c): p → rDaca Σ = {p → q, p → (q → r)}, atunci trebuie sa aratam ca Σ ` p → r.Prezentam mai jos demonstratia formala a lui Σ ` p → r:

(1) Σ ` p → (q → r)(2) Σ ` (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (G2)(3) Σ ` (p → q) → (p → r) m.p., (1), (2)(4) Σ ` p → q(5) Σ ` p → r m.p., (3), (4).

Exemplu 7.5.2 Se considera propozitiile:(a) Daca are mintea limpede, atunci studentul Tica va ajunge un informaticianbun, prin urmare el merge des la plimbare.(b) Daca studentul Tica nu va ajunge un informatician bun, atunci el nu are mintealimpede.(c) El merge des la plimbare.Aratam ca din (a) si (b) se deduce (c).

Sa notam:p ≡ ”el merge des la plimbare”q ≡ ”are mintea limpede”r ≡ ”studentul Tica va ajunge un informatician bun”.Cele trei propozitii (a) - (c) se reprezinta atunci simbolic astfel:(a): (q → r) → p(b): ¬r → ¬q(c): pDaca Σ = {(q → r) → p,¬r → ¬q}, atunci trebuie sa aratam ca Σ ` p. Aceastadecurge din Σ-demonstratia urmatoare:

(1) Σ ` ¬r → ¬q(2) Σ ` (¬r → ¬q) → (q → r) (G2)(3) Σ ` q → r m.p., (1), (2)(4) Σ ` (q → r) → p(5) Σ ` p m.p., (3), (4).

Exemplu 7.5.3 Se considera propozitiile:(a) Iar ın lumea cea comuna a visa e un periculCaci de ai cumva iluzii, esti pierdut si esti ridicul.(M. Eminescu, Scrisoarea a II-a)(b) Daca nu esti pierdut, atunci nu ai iluzii.(c) Daca nu esti ridicul, atunci nu ai iluzii.(d) In lumea cea comuna a visa e un pericul.

Page 167: Draft de carte (din 2009)

7.5. EXEMPLE DE DEDUCTII FORMALE 167

Vrem sa aratam ca din propozitiile (a) - (c) se deduce (d).

Notam:q ≡ ”ın lumea cea comuna a visa e un pericul”r ≡ ”ai (cumva) iluzii”s1 ≡ ”esti pierdut”s2 ≡ ”esti ridicul”.Atunci (a) - (d) au scrierea simbolica:(a): (r → (s1 ∧ s2)) → q(b): ¬s1 → ¬r(c): ¬s2 → ¬r(d): qDaca Σ = {(r → (s1 ∧ s2)) → q,¬s1 → ¬r,¬s2 → ¬r}, atunci Σ-demonstratiaurmatoare va stabili ca Σ ` q:

(1) Σ ` (r → (s1 ∧ s2)) → q(2) Σ ` (r → s1) → ((r → s2) → (r → (s1 ∧ s2))) lista(3) Σ ` ¬s1 → ¬r(4) Σ ` (¬s1 → ¬r) → (r → s1) (G3)(5) Σ ` r → s1 m.p., (3), (4)(6) Σ ` ¬s2 → ¬r(7) Σ ` (¬s2 → ¬r) → (r → s2) (G3)(8) Σ ` r → s2 m.p., (6), (7)(9) Σ ` (r → s2) → (r → (s1 ∧ s2)) m.p., (2), (5)(10) Σ ` r → (s1 ∧ s2) m.p., (8), (9)(11) Σ ` q m.p., (1), (10).

Exemplu 7.5.4 Se considera propozitiile:(a) Daca nu dau pe la curs, deoarece explicatiile nu ma conving, atunci nu stiu ces-a predat ora trecuta.(b) Sunt sigur pe ce stiu, caci dau pe la curs si explicatiile profesorului nu maconving.(c) Daca stiu ce s-a predat ora trecuta, atunci sunt sigur pe ce stiu.

Vrem sa aratam ca ultima propozitie se deduce din primele doua.

Notam:p ≡ ”stiu ce s-a predat ora trecuta”q ≡ ”dau pe la curs”r ≡ ”explicatiile profesorului ma conving”s ≡ ”sunt sigur pe ce stiu”.

Atunci propozitiile (a) - (c) se scriu astfel:(a): (¬r → ¬q) → ¬p(b): (q ∧ ¬r) → s(c): p → s.

Page 168: Draft de carte (din 2009)

168CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Vom nota Σ = {(¬r → ¬q) → ¬r, (q ∧ ¬r) → s} si vom demonstra ca Σ ` p → s.

( 1) Σ ` (¬r → ¬q) → ¬p( 2) Σ ` ((¬r → ¬q) → ¬p) → (¬¬p → ¬(¬r → ¬q)) lista( 3) Σ ` ¬¬p → ¬(¬r → ¬q) m.p., (1), (2)( 4) Σ ` p → ¬¬p lista( 5) Σ ` p → ¬(¬r → ¬q) (3), (4)( 6) Σ ` p → (¬r ∧ q) idem (5)( 7) Σ ` (¬r ∧ q) → (q ∧ ¬r) lista( 8) Σ ` p → (q ∧ ¬r) (6), (7)( 9) Σ ` (q ∧ ¬r) → s(10) Σ ` p → s (8), (9)

Exemplu 7.5.5 Se considera propozitiile:(a) Daca nu ploua, atunci ın cazul cand ies la plimbare, nu trec pe la cafenea.(b) Daca nu ploua, atunci ies la plimbare.(c) Trec pe la cafenea.(d) Ploua.Vom demonstra ca din primele trei propozitii se deduce (d).

Notam:ϕ ≡ ”ploua”ψ ≡ ”ies la plimbare”χ ≡ ”trec pe la cafenea”.Atunci propozitiile (a) - (d) se scriu astfel:(a): ¬ϕ → (ψ → ¬χ)(b): ¬ϕ → ψ(c): χ(d): ϕsi multimea de ipoteze este Σ = {¬ϕ → (ψ → ¬χ),¬ϕ → ψ, χ}. Prezentam oΣ-demonstratie ca Σ ` ϕ.

(1) Σ ` ¬ϕ → (ψ → ¬χ)(2) Σ ` ¬ϕ → ψ(3) Σ ` χ(4) Σ ` (¬ϕ → (ψ → ¬χ)) → ((¬ϕ → ψ) → (¬ϕ → ¬χ)) (G2)(5) Σ ` (¬ϕ → ψ) → (¬ϕ → ¬χ) m.p., (1), (4)(6) Σ ` ¬ϕ → ¬χ m.p., (2), (5)(7) Σ ` (¬ϕ → ¬χ) → (χ → ϕ) (A3)(8) Σ ` χ → ϕ m.p., (6), (7)(9) Σ ` ϕ m.p., (3), (8)

Exemplu 7.5.6 Fie X atacantul echipei de fotbal U ce joaca ın Cupa U.E.F.A. siY finantatorul lui U.

Se considera propozitiile urmatoare:(a) X ısi va cumpara un castel ın Scotia, pentru ca Y ıi va da un milion de dolari,

Page 169: Draft de carte (din 2009)

7.5. EXEMPLE DE DEDUCTII FORMALE 169

deoarece U va castiga Cupa U.E.F.A..(b) Daca U va castiga Cupa U.E.F.A., atunci X va locui ın Scotia, deoarece ısi vacumpara un castel ın Scotia.(c) Daca Y nu ıi va da un milion de dolari, atunci U nu va castiga Cupa U.E.F.A..(d) X nu va locui ın Scotia.Vrem sa demonstram ca propozitiile (a) - (d) constituie o multime de premize dincare poate fi dedusa propozitia ”U nu va castiga Cupa U.E.F.A.”.

Notam:p ≡ ”U va castiga Cupa U.E.F.A.”q ≡ ”Y ıi va da un milion de dolari”r ≡ ”X ısi va cumpara un castel ın Scotia”s ≡ ”X va locui ın Scotia”.Atunci cele patru propozitii (a) - (d) se reprezinta simbolic astfel:(a): p → (q → r)(b): p → (r → s)(c): ¬q → ¬p(d): ¬s.Notand Σ = {p → (q → r), p → (r → s),¬q → ¬p,¬s}, rezolvarea problemeirevine la a stabili ca Σ ` ¬p. Pentru aceasta, avem nevoie de urmatoarea lema:

Lema 7.5.7 Daca α, β, γ, δ sunt enunturi oarecare ale lui L, atunci

` (α → (β → γ)) → [(α → (γ → δ)) → (α → (β → δ))].

Dem. Aplicand de mai multe ori Teorema deductiei, aceasta este echivalent cu aarata ca

∆ = {α → (β → γ), α → (γ → δ), α, β} ` δ.

Prezentam mai jos o demonstratie a lui ∆ ` δ:

∆ ` α∆ ` α → (β → γ)∆ ` β → γ m.p.∆ ` β∆ ` γ m.p.∆ ` α → (γ → δ)∆ ` γ → δ m.p.∆ ` δ m.p..

2

Demonstratia lemei fiind terminata, trecem la a stabili ca Σ ` ¬p. Prezentammai jos o Σ-demonstratie:

Page 170: Draft de carte (din 2009)

170CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

( 1) Σ ` p → (q → r)( 2) Σ ` p → (r → s)( 3) Σ ` (p → (q → r)) →

[(p → (r → s)) → (p → (q → s))] Lema( 4) Σ ` (p → (r → s)) → (p → (q → s)) m.p., (1), (3)( 5) Σ ` p → (q → s) m.p., (2), (4)( 6) Σ ` (p → (q → s)) → ((p → q) → (p → s)) (G2)( 7) Σ ` (p → q) → (p → s) m.p., (5), (6)( 8) Σ ` ¬q → ¬p( 9) Σ ` (¬q → ¬p) → (p → q) (G3)(10) Σ ` p → q m.p., (8), (9)(11) Σ ` p → s m.p., (7), (10)(12) Σ ` (p → s) → (¬s → ¬p) lista(13) Σ ` ¬s → ¬p m.p., (11), (12)(14) Σ ` ¬s(15) Σ ` ¬p m.p., (13), (14).

Exemplu 7.5.8 Se considera propozitiile urmatoare:(a) In cazul ca iau examenul de logica, ma voi duce la munte, fiindca merit.(b) Daca iau examenul de logica si merit, atunci voi fi fericit.(c) Daca nu merit, atunci nu iau examenul sau nu ma duc la munte.(d) Ma voi duce la munte.Fie Σ multimea de premize formata din propozitiile (a) - (d). Vom demonstra caΣ ` ”Daca iau examenul, atunci voi fi fericit.”Pentru aceasta, vom nota:p ≡ ”iau examenul”q ≡ ”merit”r ≡ ”ma voi duce la munte”s ≡ ”voi fi fericit”si obtinem urmatoarea reprezentare simbolica:(a): p → (q → r)(b): (p ∧ q) → s(c): ¬q → (¬p ∨ ¬r)(d): r

Va trebui sa aratam ca Σ ` p → s. Pentru aceasta, avem nevoie de urmatorulrezultat.

Lema 7.5.9 Pentru orice enunturi α, β, avem

` (¬α ∨ ¬β) → ¬(α ∧ β)

Prezentam o Σ-demonstratie pentru Σ ` p → s.

Page 171: Draft de carte (din 2009)

7.5. EXEMPLE DE DEDUCTII FORMALE 171

( 1) Σ ` p → (q → r)( 2) Σ ` (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (G2)( 3) Σ ` (p → q) → (p → r) m.p., (1), (2)( 4) Σ ` ¬q → (¬p ∨ ¬r)( 5) Σ ` (¬p ∨ ¬r) → ¬(p ∧ r) Lema( 6) Σ ` ¬q → ¬(p ∧ r) (R1), (4), (5)( 7) Σ ` (¬q → ¬(p ∧ r)) → ((p ∧ r) → q) (G3)( 8) Σ ` (p ∧ r) → q m.p., (6), (7)( 9) Σ ` ((p ∧ r) → q) → (r → (p → q)) lista(10) Σ ` r → (p → q) m.p., (8), (9)(11) Σ ` r(12) Σ ` p → q m.p., (10), (11)(13) Σ ` (p ∧ q) → s(14) Σ ` ((p ∧ q) → s) → (p → (q → s)) lista(15) Σ ` p → (q → s) m.p., (13), (14)(16) Σ ` (p → (q → s)) → ((p → q) → (p → s)) (G2)(17) Σ ` (p → q) → (p → s) m.p., (15), (16)(18) Σ ` p → s m.p., (12), (17)

Exemplu 7.5.10 Consideram propozitiile urmatoare:(a) Daca nu am chef si ımi displace materia predata, atunci nu ma duc la curs.(b) Nu ımi displace materia predata, pentru ca am chef.(c) Ma duc la curs, daca ni se dau subiectele de examen.(d) Daca nu ma duc la curs, atunci ni se dau subiectele de examen.(e) Imi displace materia predata.Vrem sa aratam ca textul format din aceste cinci propozitii este inconsistent.

Vom nota:p ≡ ”ımi displace materia predata”q ≡ ”am chef”r ≡ ”ma duc la curs”s ≡ ”ni se dau subiectele de examen”.Atunci propozitiile (a) - (e) se reprezinta simbolic astfel:(a): (¬q ∧ p) → ¬r(b): q → ¬p(c): s → r(d): ¬r → s(e): p.Vrem sa aratam ca urmatoarea multime de enunturi este inconsistenta:

{(¬q ∧ p) → ¬r, q → ¬p, s → r,¬r → s, p}.

Acest lucru este echivalent cu a arata ca Σ ` ¬p, unde:

Σ = {(¬q ∧ p) → ¬r, q → ¬p, s → r,¬r → s}.

Page 172: Draft de carte (din 2009)

172CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Prezentam mai jos o Σ-demonstratie pentru Σ ` ¬p:

( 1) Σ ` (¬q ∧ p) → ¬r( 2) Σ ` ((¬q ∧ p) → ¬r) → (p → (¬q → r)) lista( 3) Σ ` p → (¬q → r) m.p., (1), (2)( 4) Σ ` q → ¬p( 5) Σ ` (q → ¬p) → (p → ¬q) lista( 6) Σ ` p → ¬q m.p., (4), (5)( 7) Σ ` (p → (¬q → r)) → [(p → ¬q) → (p → ¬r)] (G2)( 8) Σ ` (p → ¬q) → (p → ¬r) m.p., (3), (7)( 9) Σ ` p → ¬r m.p., (6), (8)(10) Σ ` (p → ¬r) → (r → ¬p) lista(11) Σ ` r → ¬p m.p., (9), (10)(12) Σ ` s → r(13) Σ ` s → ¬p (R1), (11), (12)(14) Σ ` (r → ¬p) → [(s → ¬p) → ((r ∨ s) → ¬p)] lista(15) Σ ` (s → ¬p) → ((r ∨ s) → ¬p) m.p., (13), (14)(16) Σ ` (r ∨ s) → ¬p m.p., (13), (15)(17) Σ ` ¬r → s(18) Σ ` r ∨ s este chiar (17)(19) Σ ` ¬p m.p., (16), (18)

Exemplu 7.5.11 U si V sunt doua echipe de fotbal din campionatul intern, iar Xeste antrenorul lui U.

Sa se arate ca textul format din urmatoarele propozitii este inconsistent.(a) Daca U bate V, atunci merge ın cupele europene pentru ca va avea mai multepuncte.(b) Daca U bate V, atunci X va fi bucuros, pentru ca U va merge ın cupele eu-ropene.(c) Daca portarul lui U se va ınsanatosi, atunci U va bate V.(d) Daca portarul se va ınsanatosi, atunci U va avea mai multe puncte.(e) Portarul lui U se va ınsanatosi.(f) X nu va fi bucuros.

Notam:α ≡ ”U bate V”β ≡ ”U va merge ın cupele europene”γ ≡ ”U va avea mai multe puncte”δ ≡ ”X va fi bucuros”ε ≡ ”Portarul lui U se va ınsanatosi”Atunci propozitiile date au urmatoarea reprezentare simbolica:(a): α → (γ → β)(b): α → (β → δ)(c): ε → α(d): ε → γ

Page 173: Draft de carte (din 2009)

7.5. EXEMPLE DE DEDUCTII FORMALE 173

(e): ε(f): ¬δ.Fie

Σ = {α → (γ → β), α → (β → δ), ε → α, ε → γ, ε}.Daca demonstram ca Σ ` δ, atunci propozitiile (a) - (f) sunt contradictorii. Prezentammai jos o demonstratie pentru Σ ` δ:

( 1) Σ ` ε( 2) Σ ` ε → α( 3) Σ ` ε → γ( 4) Σ ` α m.p., (1), (2)( 5) Σ ` γ m.p., (1), (3)( 6) Σ ` α → (γ → β)( 7) Σ ` γ → β m.p., (4), (6)( 8) Σ ` α → (β → δ)( 9) Σ ` β → δ m.p., (4), (8)(10) Σ ` γ → δ (R1), (7), (9)(11) Σ ` δ m.p., (5), (10).

Page 174: Draft de carte (din 2009)

174CHAPTER 7. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI PROPOZITIONAL (L)

Page 175: Draft de carte (din 2009)

Chapter 8

Sistemul formal al calcululuicu predicate

Teoriile matematice studiaza proprietati ale structurilor matematice.O structura este definita ca o multime nevida (universul structurii), ınzestrata

cu operatii, relatii si constante verificand anumite axiome. Elementele universuluistructurii vor fi numite indivizi. Daca operatiile si relatiile actioneaza asupra indi-vizilor, iar constantele desemneaza anumiti indivizi privilegiati, atunci este vorbade o structura de ordinul I.

Atunci cand exista si operatii si relatii ce actioneaza asupra multimilor de in-divizi, iar unele constante sunt multimi de indivizi, avem de-a face cu structuri deordinul II. Analog, putem avea structuri de ordinul III, IV, etc. Exista cazuri candtrebuie sa consideram structuri formate din mai multe universuri, cu operatii sirelatii ce opereaza cu indivizi din universuri diferite. Asemenea structuri, numitemultisortate, sunt folosite ındeosebi ın informatica teoretica.

In acest capitol, sunt considerate numai structuri de ordinul I. Doua struc-turi sunt de acelasi tip τ (= similare) (de aceeasi signatura τ), daca exista ocorespondenta bijectiva ıntre operatiile, relatiile si constantele lor, iar acestea o-pereaza ın acelasi mod asupra indivizilor celor doua structuri. Proprietatile struc-turilor (de ordinul I), ce se pot exprima ın termeni de indivizi, de operatii, derelatii si de constante, folosind conectorii propozitionali si cuantificatorii ”exista”si ”oricare”, se numesc proprietati de ordinul I.

Unei clase formate din structuri de acelasi tip τ ıi vom asocia un limbaj formal(Lτ = limbajul calculului cu predicate), ın care proprietatile de ordinul I sunttraduse prin formule si enunturi. O lista de axiome si de reguli de deductie definestestructura logica a lui Lτ .

Teoremele formale si deductia formala sunt definite recursiv, plecand de la axi-ome si aplicand, cu fiecare pas, cate o regula de deductie.

Insiruirea acestor pasi defineste o constructie simbolica numita demonstratie

175

Page 176: Draft de carte (din 2009)

176 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

formala. Tot la nivel formal, se defineste si un concept de deductie din ipoteze.Considerand la start axiomele si o multime de enunturi (ipoteze formale) si aplicandapoi succesiv cate o regula de deductie, obtinem niste enunturi numite concluziiformale. Procedeul recursiv de trecere de la ipoteze formale la concluzii formaleeste tocmai deductia formala din ipoteze. Limbajul si structura logica constituiesintaxa lui Lτ .

Intuitiv, o teorie este o multime de asertiuni ce pot fi valabile sau nu ın struc-turile considerate. La nivel formal, o teorie (de ordinul I) este o multime de enunturiale lui Lτ .

Semantica lui Lτ ıncepe cu notiunea de interpretare, pe baza careia este definitavaliditatea enunturilor lui Lτ ıntr-o structura de ordinul I. Se ajunge la notiuniletarskiene de model al unui enunt si de model al unei teorii. De aici se obtineconceptul de deductie semantica, introdus tot de Tarski. O teorema centrala asupracalculului cu predicate arata ca orice teorie consistenta ıntr-un limbaj numarabiladmite un model cel mult numarabil. Rezultatul, demonstrat de Henkin ın [21],are drept consecinta Teorema de completitudine extinsa: deductia sintactica esteechivalenta cu deductia semantica. Ca un caz particular, se obtine Teorema decompletitudine a lui Godel [19]: teoremele formale ale lui Lτ coincid cu enunturileuniversal adevarate.

Echivalentele exprimate prin cele doua teoreme de completitudine:

teoreme formale ⇐⇒ enunturi universal adevarate

deductia formala ⇐⇒ deductia semantica

stabilesc o legatura puternica ıntre sintaxa si semantica lui Lτ . Aceasta permiteun transfer de proprietati ıntre sintaxa si semantica, avand drept rezultat un plusde cunoastere pentru ambele planuri. Aceasta idee ne da o sugestie sumara asuprasubiectelor de studiu ın teoria modelelor, una din principalele ramuri ale logiciimatematice [2], [5].

Scopul acestui capitol este de a prezenta sintaxa si semantica lui Lτ si de ademonstra cele doua teoreme de completitudine mentionate mai sus.

In Sectiunea 1, este definita notiunea de structura de ordinul I si este construitlimbajul formal Lτ , asociat clasei structurilor de ordinul I ce au aceeasi signatura.

Sectiunea 2 se ocupa cu semantica lui Lτ . Sunt definite interpretarile lui Lτ

ın structuri de ordinul I, valorile formulelor si enunturilor lui Lτ relative la inter-pretare, enunturile universal adevarate, etc. si sunt demonstrate unele proprietatiale deductiei semantice.

Sectiunea 3 contine unele exemple de enunturi universal adevarate.In Sectiunea 4, este continuata constructia sintaxei lui Lτ , prin precizarea axi-

omelor si regulilor de deductie si prin definirea teoremelor formale si a deductieiformale. Sunt prezentate unele exemple de teoreme formale si unele proprietatisintactice ale lui Lτ .

Page 177: Draft de carte (din 2009)

8.1. STRUCTURI SI LIMBAJ 177

O analiza sumara a algebrei Lindenbaum-Tarski asociata lui Lτ se gaseste ınSectiunea 5.

Sectiunea 6 este consacrata celor doua rezultate principale ale capitolului: Teo-rema de completitudine (Godel) si Teorema de completitudine extinsa (Henkin).Este expusa ın detaliu metoda constantelor, prin care Henkin a demonstrat ın [21]aceste doua teoreme.

Capitolul se ıncheie cu o sectiune 7 asupra unor exemple.Continutul acestui capitol este preluat din [15], [16].

8.1 Structuri si limbaj

In aceasta sectiune vom introduce structurile de ordinul I si vom construi unlimbaj formal Lτ asociat clasei structurilor de ordinul I ce au signatura fixata.Pornind de la un alfabet format din variabile, simboluri de operatii, de relatii side constante, simboluri logice (conectori si cuantificatori), simbolul de egalitate sidin paranteze, sunt definite prin inductie termenii, formulele si enunturile lui Lτ .Alegerea simbolurilor de operatii, de relatii si de constante reflecta signatura struc-turilor fixate.

Incepem cu cateva exemple de structuri.

Exemplu 8.1.1 Notiunea de latice se poate defini ın doua moduri:(i) ca o structura partial ordonata (L,≤), ın care exista sup(x, y) si inf(x, y) pentruorice x, y ∈ L;(ii) ca o structura algebrica (L,∨,∧), ın care ∨,∧ sunt doua operatii binare (pe L),asociative, comutative, idempotente si care verifica proprietatea de absorbtie.

Exemplu 8.1.2 Laticea cu prim si ultim element este structura algebrica de forma(L,∨,∧, 0, 1), unde (L,∨,∧) este o latice, iar 0 si 1 sunt doua constante din Ldesemnand primul, respectiv ultimul element.

Exemplu 8.1.3 Graful este o structura de forma G = (X, R), unde X este multimeanodurilor, iar R este o relatie binara pe X ce defineste arcele: x → y daca xRy.

Exemplu 8.1.4 Inelul unitar este o structura de forma (A, +, ·, 0, 1), ın care +, ·sunt operatii binare, iar 0, 1 sunt constante, ce verifica anumite axiome.

Se observa ca la aceste structuri apare o multime de baza (= universul struc-turii), ımpreuna cu operatii, relatii sau constante. Pornind de la aceasta observatie,se degaja notiunea generala de structura de ordinul I.

Definitie 8.1.5 O structura de ordinul I este de forma:

A = (A, (fi)i∈I , (Rj)j∈J , (ck)k∈K),

Page 178: Draft de carte (din 2009)

178 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

unde:- A este o multime nevida, numita universul structurii,- fi : Ani −→ A este o operatie ni-ara, pentru orice i ∈ I (ni ≥ 1 este ordinul sauaritatea lui fi),- Rj ⊆ Amj este o relatie mj-ara pe A, pentru orice j ∈ J (mj ≥ 1 este ordinul sauaritatea lui Rj),- ck ∈ A este o constanta, pentru orice k ∈ K.

O structura de acelasi tip cu A are forma:

B = (B, (f ′i)i∈I , (R′j)j∈J , (c′k)k∈K),

unde: - B este o multime nevida, numita universul structurii,- f ′i : Bni −→ B este o operatie ni-ara,- R′j ⊆ Bmj este o relatie mj-ara pe B,- c′k ∈ B este o constanta,pentru orice i ∈ I, j ∈ J , k ∈ K.

Tipul sau signatura structurilor A, B este:

τ = ((ni)i∈I ; (mj)j∈J ; (0)k∈K).

Structura A va fi notata de acum ınainte

A = (A, (fAi )i∈I , (RAj )j∈J , (cAk )k∈K).

Observatii 8.1.6(1) In forma (i), laticile sunt structuri de tipul (∅; 2; ∅), iar ın forma (ii), de tipul

(2, 2; ∅; ∅).(2) Laticile cu prim si ultim element au tipul (2, 2; ∅; 0, 0).(3) Grafurile sunt de tipul (∅; 2; ∅).(4) Inelele unitare au tipul (2, 2; ∅; 0, 0).(5) In mod obisnuit, ∅ nu se mai scrie si se foloseste doar separatorul virgula.

Vom considera acum si alte exemple de structuri. 1

Exemplu 8.1.7 Spatiul vectorial peste un corp K este o structura de forma (E, +, 0, ·),unde + este o operatie (interna) pe E, 0 este o constanta, iar · este o operatie ex-terna: · : K×E −→ E ((α, x) ∈ K×E 7→ α ·x ∈ E), verificand axiomele cunoscute(nu amintim axiomele spatiului vectorial).

Exemplu 8.1.8 Spatiul metric este o pereche (X, d), unde X 6= ∅ si d : X2 −→R+, astfel ıncat pentru orice x, y, z ∈ X, urmatoarele conditii sunt ındeplinite:(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,(ii) d(x, y) = d(y, x),(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

1Vom folosi =⇒ si ⇐⇒ ca prescurtare pentru ”daca ... atunci”, respectiv pentru ”daca sinumai daca”.

Page 179: Draft de carte (din 2009)

8.1. STRUCTURI SI LIMBAJ 179

Exemplu 8.1.9 Spatiul topologic este o pereche (X,D), unde X 6= ∅ si D ⊆ P(X),astfel ıncat:(i) ∅, X ∈ D,(ii) (Ai)i∈I ⊆ D =⇒ ⋃

i∈I Ai ∈ D,(iii) A, B ∈ D =⇒ A ∩B ∈ D.

Observatii 8.1.10 Structurile din Exemplele 8.1.1 - 8.1.4 se ıncadreaza ın definitiastructurilor de ordinul I, ın timp ce structurile din Exemplele 8.1.7, 8.1.8, 8.1.9 nuse ıncadreaza ın aceasta definitie.

In structurile din Exemplele 8.1.7, 8.1.8, avem operatii externe, iar ın structuradin Exemplul 8.1.9, D este o relatie unara pe P(X).

Structurile din Exemplele 8.1.7, 8.1.8 conduc la ideea de structura multisortata,iar cea din Exemplul 8.1.9 la ideea de structura de ordinul II.

Toate structurile considerate de noi ın continuare vor fi de ordinul I.

Fiecarei clase de structuri de un tip fixat τ ıi vom asocia un limbaj de ordinul I, ıncare sa poata fi exprimate (la nivel simbolic) proprietati ale structurilor considerate.

Sa consideram clasa structurilor de ordinul I, de o signatura fixata

τ = ((ni)i∈I ; (mj)j∈J ; (0)k∈K).

Alfabetul limbajului de ordin I Lτ , asociat acestor structuri, este format dinurmatoarele simboluri primitive:(1) o multime infinita de variabile: x, y, z, v, w, . . . ; notam cu V multimea vari-abilelor,(2) simboluri de operatii: fi, pentru orice i ∈ I (fiecarui fi ıi este atasat numarulnatural ni, numit ordinul lui fi),(3) simboluri de relatii (predicate): Rj , pentru orice j ∈ J (fiecarui Rj ıi este atasatnumarul natural mj , numit ordinul lui Rj),(4) simboluri de constante: ck, pentru orice k ∈ K,(5) simbolul de egalitate: =,(6) conectorii: →, ¬,(7) cuantificatorul universal: ∀,(8) paranteze: (,),[,].

Pentru comoditate, vom spune uneori:- ”operatii” ın loc de ”simboluri de operatii”,- ”relatii”, ın loc de ”simboluri de relatii”,- ”constante”, ın loc de ”simboluri de constante”.

Definitie 8.1.11 Termenii lui Lτ se definesc prin inductie astfel:(t1) variabilele si simbolurile de constante sunt termeni,

Page 180: Draft de carte (din 2009)

180 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

(t2) daca f este un simbol de operatie n-ara si t1, . . . , tn sunt termeni, atuncif(t1, . . . , tn) este termen.

Definitie 8.1.12 Formulele atomice ale lui Lτ se definesc prin urmatoarele douaconditii:(fa1) daca t1, t2 sunt termeni, atunci t1 = t2 este o formula atomica,(fa2) daca R este un predicat m-ar si t1, . . . , tm sunt termeni, atunci R(t1, . . . , tm)este o formula atomica.

Definitie 8.1.13 Formulele lui Lτ se definesc prin inductie astfel:(f1) formulele atomice sunt formule,(f2) daca ϕ este formula, atunci ¬ϕ este formula,(f3) daca ϕ,ψ sunt formule, atunci ϕ → ψ este formula,(f4) daca ϕ este formula si x este variabila, atunci ∀xϕ este formula.

Fie Form(Lτ ) multimea formulelor lui Lτ .

Pentru orice formule ϕ si ψ, introducem abrevierile (formulele derivate) urmatoare:ϕ ∨ ψ: pentru ¬ϕ → ψ,ϕ ∧ ψ: pentru ¬(ϕ → ¬ψ),ϕ ↔ ψ: pentru (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ),∃xϕ: pentru ¬∀x¬ϕ.

Notatie 8.1.14t ∈ Lτ : t este un termen al lui Lτ ,ϕ ∈ Lτ : ϕ este o formula a lui Lτ .

Exemple 8.1.15(i) In cazul structurii din Exemplul 8.1.1 (i):

- limbajul asociat are un singur predicat binar, ≤, iar o structura are forma A =(A,≤A),- termenii sunt dati numai de variabile, iar formulele atomice sunt de forma:x = y, x ≤ y, . . .

(ii) In cazul structurii din Exemplul 8.1.1 (ii):- limbajul asociat are doua simboluri de operatii binare,

∨,∧

, iar o structura estede forma A = (A,

∨A,∧A),

- termenii sunt de forma:· x, y, z, . . . (variabilele),· x

∨y, x

∧y, . . . , (x

∨y)

∨z, . . . , (x

∧y)

∧z, . . .,

· (x∨

y)∧

z, . . . , (x∧

y)∨

z, . . .,· ..................- formulele atomice sunt de forma:· x = y,· x

∨y = z, x

∧y = z,

· (x∨

y)∨

z = ((x∧

z)∨

z)∧

y, etc.

Page 181: Draft de carte (din 2009)

8.1. STRUCTURI SI LIMBAJ 181

Vom defini acum prin inductie:FV (t) = multimea variabilelor termenului t,FV (ϕ) = multimea variabilelor libere ale formulei ϕ.

FV (t) se defineste prin inductie astfel:- daca t este variabila x, 2 atunci FV (t) = {x},- daca t este constanta c, atunci FV (t) = ∅,- daca t este f(t1, . . . , tn), atunci FV (t) =

⋃ni=1 FV (ti).

FV (ϕ) se defineste prin inductie astfel:- daca ϕ este t1 = t2, atunci FV (ϕ) = FV (t1) ∪ FV (t2),- daca ϕ este R(t1, . . . , tm), atunci FV (ϕ) =

⋃mj=1 FV (tj),

- daca ϕ este ¬ψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ),- daca ϕ este α → β, atunci FV (ϕ) = FV (α) ∪ FV (β),- daca ϕ este ∀xψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ) \ {x}.

Consecinte imediate.- daca ϕ este α ∧ β, α ∨ β, α ↔ β, atunci FV (ϕ) = FV (α) ∪ FV (β),- daca ϕ este ∃xψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ) \ {x}.

Observatii 8.1.16(1) Cand scriem FV (t) = {x}, etc. a nu se confunda = cu simbolul de egalitate

(notat bolduit, =).(2) FV (t) ⊆ V , FV (ϕ) ⊆ V .

Definitii 8.1.17Daca x ∈ FV (ϕ), atunci x se va numi variabila libera a lui ϕ; ın caz contrar, x

se va numi variabila legata.O formula fara variabile libere se va numi enunt.

Observatie 8.1.18 Exista cazuri cand o variabila are unele aparitii libere, iar al-tele legate. Fie ϕ(x, y, u) formula (∀x(x · y = y + u)) → (∃y(x · y ≤ y + u)). Vomınlatura excesul de paranteze, scriind aceasta formula astfel:

∀x(x · y = y + u) → ∃y(x · y ≤ y + u)

Prima subformula, ∀x(x · y = y + u), contine pe x ca variabila legata, ın timpce a doua subformula, ∃y(x · y ≤ y + u), contine pe x ca variabila libera. Deci, ınformula ϕ(x, y, u), x este variabila libera.

2Vom folosi ”este”, sau ”:”, sau ”=” pentru notatii, ca de exemplut este x, saut: x, saut = x.

Page 182: Draft de carte (din 2009)

182 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Notatie 8.1.19 Daca FV (ϕ) ⊆ {x1, . . . , xn}, atunci vom nota ϕ(x1, . . . , xn).

Definitie 8.1.20 Fie ϕ o formula, x o variabila, astfel ıncat ϕ(x), si t un termen.Formula ϕ(t), obtinuta din ϕ prin substitutia lui x cu t, se defineste astfel:

- daca y este o variabila a lui t, se ınlocuieste y cu o variabila v ce nu apare ın ϕ(x)sau ın t ın toate aparitiile legate ale lui y ın ϕ,- se ınlocuieste apoi x cu t.

Exemplu 8.1.21 Fie formula ϕ(x): ∃y(x = y) si termenul t: y + z, unde ”:”ınseamna ”notatie pentru”. Atunci:- ∃y(x = y) ↔ ∃v(x = v),- ϕ(t): ∃v(y + z = v).

Proprietatile structurilor ce se pot exprima ın limbajul Lτ se numesc proprietatide ordinul I.

Exemple 8.1.22 Fie Lτ un limbaj cu un singur predicat binar R. Structurile suntde forma A = (A,RA), cu RA relatie binara pe A. Urmatoarele proprietati suntde ordinul I:

(a) R este reflexiva: ∀xR(x, x)(b) R este simetrica: ∀x∀y(R(x, y) ↔ R(y, x))(c) R este antisimetrica: ∀x∀y(R(x, y) ∧R(y, x) → x = y)(d) R este tranzitiva: ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧R(y, z) → R(x, z))(e) R este relatie de echivalenta:∀xR(x, x) ∧ ∀x∀y(R(x, y) ↔ R(y, x)) ∧ ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧R(y, z) → R(x, z))(f) R este relatie de ordine partiala:α: ∀xR(x, x) ∧ ∀x∀y(R(x, y) ∧ R(y, x) → x = y) ∧ ∀x∀y∀z(R(x, y) ∧ R(y, z) →R(x, z))(g) R este relatie de ordine totala (= A este lant) (notand cu α enuntul de la (f)):α ∧ ∀x∀y(R(x, y) ∨R(y, x))(h) A este o latice:Consideram enunturile:β1: ∀x∀y∃z[(R(x, z) ∧R(y, z)) ∧ ∀u[(R(x, u) ∧R(y, u)) → R(z, u)]],β2: ∀x∀y∃z[(R(z, x) ∧R(z, y)) ∧ ∀u[(R(u, x) ∧R(u, y)) → R(u, z)]].β1 exprima faptul ca orice pereche de elemente admite supremum, iar β2 exprimafaptul ca orice pereche de elemente admite infimum.Atunci proprietatea de a fi latice este data de enuntul: α ∧ β1 ∧ β2

(i) A este o latice cu prim element:α ∧ β1 ∧ β2 ∧ ∃x∀yR(x, y)(j) A este o latice cu ultim element:α ∧ β1 ∧ β2 ∧ ∃x∀yR(y, x)(k) Orice lant este o latice:α ∧ ∀x∀y(R(x, y) ∨R(y, x)) → (α ∧ β1 ∧ β2)(l) Intr-o latice cu 0, 1, orice element este complementat (proprietate de ordinul I

Page 183: Draft de carte (din 2009)

8.2. SEMANTICA CALCULULUI CU PREDICATE 183

falsa):(α ∧ β1 ∧ β2) → ∀x∃y[(x

∨y = 1) ∧ (x

∧y = 0)]

Intrebare: Ce este ın neregula la exemplul (l)?

8.2 Semantica calculului cu predicate

Formulele si enunturile sunt formatiuni simbolice, construite din alfabetul luiLτ . In aceasta sectiune, vom defini validitatea formulelor si enunturilor prin inter-mediul notiunii de interpretare. Vrem sa vedem ce ınseamna a interpreta limbajulLτ ıntr-o structura data. Prin alegerea alfabetului lui Lτ , exista o corespondenta bi-univoca ıntre simbolurile de operatii, de relatii si de constante si operatiile, relatiilesi constantele acestei structuri. Atunci putem considera ca operatiile, relatiile siconstantele unei structuri A reprezinta interpretarea simbolurilor de operatii, derelatii si de constante ın A. Pana aici totul este deja continut ın modul cum a fostconstruit limbajul. A ramas sa interpretam variabilele lui Lτ ın A. Prin definitie,variabilele vor fi interpretate prin elemente ale lui A. Atunci o interpretare va fio functie de la multimea variabilelor la universul structurii. Prin inductie, suntdefinite: valoarea unei formule relativ la o interpretare, valoarea unui enunt ıntr-ostructura, notiunea de enunt universal adevarat, model al unei teorii, etc. Pe langavaliditatea formulelor si enunturilor, semantica lui Lτ mai studiaza si deductia se-mantica, definita cu ajutorul notiunii de model. In cele ce urmeaza vom formulaın termeni precisi aceste notiuni si idei.

FieA o structura corespunzatoare limbajului Lτ . Daca f (respectiv R, respectivc) este un simbol de operatie (respectiv un simbol de relatie, respectiv un simbol deconstanta), atunci vom nota cu fA (respectiv RA, respectiv cA) operatia (respectivrelatia, respectiv constanta) corespunzatoare din A.

Definitie 8.2.1 O interpretare (sau evaluare) a lui Lτ ın A este o functie s : V −→A. Astfel, o variabila v ∈ V este interpretata prin elementul s(v) al lui A.

Definitie 8.2.2 Pentru orice termen t si pentru orice interpretare s, definim prininductie elementul tA(s) ∈ A:· daca t este variabila v, atunci tA(s) = s(v),· daca t este constanta c, atunci tA(s) = cA,· daca t este f(t1, . . . , tn), atunci tA(s) = fA(tA1 (s), . . . , tAn (s)).Elementul tA(s) al lui A se numeste valoarea de adevar a termenului t ın inter-pretarea s.

Definitie 8.2.3 Pentru orice formula ϕ si pentru orice interpretare s, vom definivaloarea de adevar a lui ϕ ın interpretarea s

‖ϕ(s)‖ = ‖ϕ(s)‖A ∈ L2 = {0, 1} :

Page 184: Draft de carte (din 2009)

184 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

- pentru formule atomice:· daca ϕ este t1 = t2, atunci

‖ϕ(s)‖ ={

1, daca tA1 (s) = tA2 (s),0, daca tA1 (s) 6= tA2 (s).

· daca ϕ este R(t1, . . . , tm), atunci

‖ϕ(s)‖ = 1 ⇐⇒ (tA1 (s), . . . , tAm(s)) ∈ RA.

- pentru formule oarecare, prin inductie:· pentru formule atomice a fost definit,

· daca ϕ este ¬ψ, atunci ‖ϕ(s)‖ = ¬‖ψ(s)‖,

· daca ϕ este α → β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ → ‖β(s)‖,

· daca ϕ este ∀xψ, atunci ‖ϕ(s)‖ =∧

a∈A ‖ψ(s[xa])‖,

unde s[xa] : V −→ L2 este interpretarea definita de:

s[xa](v) ={

a, daca v = x,s(v), daca v 6= x.

Consecinta imediata:· daca ϕ este α ∨ β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ ∨ ‖β(s)‖,· daca ϕ este α ∧ β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ ∧ ‖β(s)‖,· daca ϕ este α ↔ β, atunci ‖ϕ(s)‖ = ‖α(s)‖ ↔ ‖β(s)‖,· daca ϕ este ∃xψ, atunci ‖ϕ(s)‖ =

∨a∈A ‖ψ(s[xa])‖.

In sectiunea precedenta, prin constructia lui Lτ s-a trecut de la structuri lalimbaj: proprietatile de ordinul I ale structurilor sunt reprezentate simbolic prinformule si enunturi. Conform definitiilor precedente, drumul invers, de la limbaj lastructuri, este realizat prin corespondentele urmatoare:f 7→ fA : de la simboluri de operatii la operatii ale lui AR 7→ RA : de la simboluri de relatii la relatii ale lui Ac 7→ cA : de la simboluri de constante la constante ale lui Av 7→ s(v) : de la variabile la indivizi ai lui At 7→ tA(s) : de la termeni la indivizi ai lui Aϕ 7→ ‖ϕ(s)‖ : de la formule la valori de adevar.

Prin functia ‖·‖A, conectorii→, ¬, ∨, ∧, ↔ sunt transformati ın operatiile booleenecorespunzatoare, iar cuantificatorii ∀ si ∃ ın operatiile infimum si supremum (cu Aca multime de indici).

Lema 8.2.4 Fie s1, s2 doua interpretari. Pentru orice termen t, avem:

s1 |FV (t)= s2 |FV (t)=⇒ tA(s1) = tA(s2).

Page 185: Draft de carte (din 2009)

8.2. SEMANTICA CALCULULUI CU PREDICATE 185

Demonstratie. Prin inductie, dupa modul de definire al termenului t:· daca t este variabila sau constanta, atunci afirmatia este imediata,· daca t este f(t1, . . . , tn), atunciFV (t) =

⋃ni=1 FV (ti), s1 |FV (t)= s2 |FV (t)

=⇒ s1 |FV (ti)= s2 |FV (ti), i = 1, . . . , n=⇒ tAi (s1) = tAi (s2), i = 1, . . . , n=⇒ tA(s1) = fA(tA1 (s1), . . . , tAn (s1)) = fA(tA1 (s2), . . . , tAn (s2)) = tA(s2). 2

Lema precedenta arata ca valoarea tA(s) a termenului t ın interpretarea s de-pinde numai de restrictia lui s la FV (t).

Propozitia 8.2.5 Pentru orice formula ϕ si pentru orice interpretari s1, s2, avem:

s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)=⇒ ‖ϕ(s1)‖ = ‖ϕ(s2)‖.Demonstratie. Prin inductie dupa ϕ:

· daca ϕ este de forma t1 = t2, atunci FV (ϕ) = FV (t1) ∪ FV (t2),s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)

=⇒ s1 |FV (tj)= s2 |FV (tj), j = 1, 2,=⇒ tAj (s1) = tAj (s2), j = 1, 2 (conform Lemei 8.2.4).Rezulta‖ϕ(s1)‖ = 1 ⇐⇒ tA1 (s1) = tA2 (s1) ⇐⇒ tA1 (s2) = tA2 (s2) ⇐⇒ ‖ϕ(s2)‖ = 1,de unde ‖ϕ(s1)‖ = ‖ϕ(s2)‖.

· daca ϕ este de forma R(t1, . . . , tm), atunci FV (ϕ) =⋃m

j=1 FV (tj), decis1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)

=⇒ s1 |FV (tj)= s2 |FV (tj), j = 1, . . . , m,=⇒ tAj (s1) = tAj (s2), j = 1, . . . ,m.Rezulta‖ϕ(s1)‖ = 1 ⇐⇒ (tA1 (s1), . . . , tAm(s1)) ∈ RA

⇐⇒ (tA1 (s2), . . . , tAm(s2)) ∈ RA

⇐⇒ ‖ϕ(s2)‖ = 1.

· daca ϕ este de forma α → β, atunci FV (ϕ) = FV (α) ∪ FV (β),s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ)

=⇒ s1 |FV (α)= s2 |FV (α), s1 |FV (β)= s2 |FV (β)

=⇒ ‖α(s1)‖ = ‖α(s2)‖, ‖β(s1)‖ = ‖β(s2)‖ (ipoteza inductiei)

=⇒ ‖ϕ(s1)‖ = ‖ϕ(s2)‖.

Page 186: Draft de carte (din 2009)

186 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

· daca ϕ este de forma ¬ψ, atunci se procedeaza analog.

· daca ϕ este de forma ∀xψ, atunci FV (ϕ) = FV (ψ) \ {x}.Fie a ∈ A.Daca s1 |FV (ϕ)= s2 |FV (ϕ), atunci s1[xa] |FV (ψ)= s2[xa] |FV (ψ).

Conform ipotezei inductiei, ‖ψ(s1[xa])‖ = ‖ψ(s2[xa])‖, deci

‖ϕ(s1)‖ =∧

a∈A ‖ψ(s1[xa])‖ =∧

a∈A ‖ψ(s2[xa])‖ = ‖ϕ(s2)‖. 2

Conform lemei precedente, valoarea de adevar a unei formule ϕ ıntr-o inter-pretare s depinde numai de restrictia lui s la FV (ϕ).

Notatie 8.2.6 Daca {x1, . . . , xn} contine variabilele ce apar ıntr-un termen t,atunci notam t(x1, . . . , xn). Reamintim ca ϕ(x1, . . . , xn) ınseamna FV (ϕ) ⊆ {x1, . . . , xn}.

Definitie 8.2.7 Fie t(x1, . . . , xn) un termen, ϕ(x1, . . . , xn) o formula si a1, . . . , an ∈A. Definim

tA(a1, . . . , an) = tA(s) ∈ A, ‖ϕ(a1, . . . , an)‖ = ‖ϕ(s)‖ ∈ L2,

unde s : V −→ A este o interpretare ce verifica s(xi) = ai, i = 1, . . . , n.

Conform Lemei 8.2.4 si Propozitiei 8.2.5, definitiile lui tA(a1, . . . , an) si ‖ϕ(a1, . . . , an)‖sunt corecte (depind numai de conditia s(ai) = ai, i = 1, . . . , n).

Notatie 8.2.8

A |= ϕ[a1, . . . , an]def.⇔ ‖ϕ(a1, . . . , an)‖ = 1.

Folosind aceasta notatie, transcriem unele proprietati din definitia ‖ · ‖.· daca ϕ(x1, . . . , xn) este t1(x1, . . . , xn) = t2(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ tA1 (a1, . . . , an) = tA2 (a1, . . . , an).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este R(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (tA1 (a1, . . . , an), . . . , tAm(a1, . . . , an)) ∈ RA.

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ¬ψ(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ A 6|= ψ[a1, . . . , an].

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) → β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] ⇔ A |= β[a1, . . . , an]).

Page 187: Draft de carte (din 2009)

8.2. SEMANTICA CALCULULUI CU PREDICATE 187

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) ∨ β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] sau A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) ∧ β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] si A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este α(x1, . . . , xn) ↔ β(x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ (A |= α[a1, . . . , an] ⇔ A |= β[a1, . . . , an]).

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ∀xψ(x, x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ pentru orice a ∈ A, A |= ψ[a1, . . . , an].

· daca ϕ(x1, . . . , xn) este ∃xψ(x, x1, . . . , xn), atunci

A |= ϕ[a1, . . . , an] ⇔ exista a ∈ A, A |= ψ[a1, . . . , an].

Notiunea ”A |= ϕ[a1, . . . , an]” poate fi definita ın mod direct, fara a face apella ‖ · ‖A. Definitia este prin inductie, constand ın echivalentele de mai sus.

Observatie 8.2.9 Daca ϕ este un enunt, atunci ‖ϕ(s)‖ nu depinde de inter-pretarea s; ın acest caz, notam ‖ϕ‖ = ‖ϕ(s)‖. De asemenea,

A |= ϕ ⇔ ‖ϕ‖ = 1.

Definitii 8.2.10Daca A |= ϕ, spunem ca enuntul ϕ este adevarat ın A sau ca A este model

pentru ϕ.Daca Γ este o multime de enunturi, atunci spunem ca A este model al lui Γ,

daca A este model pentru orice ϕ ∈ Γ; notam aceasta cu

A |= Γ.

Daca ϕ(x1, . . . , xn) este o formula, atunci A este model al lui ϕ(x1, . . . , xn), sinotam aceasta scriind:

A |= ϕ(x1, . . . , xn),

dacaA |= ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn).

Prin definitie, o teorie este o multime de formule ale lui Lτ . Daca Σ este oteorie, atunci A este model 3 al lui Σ, si notam aceasta scriind

A |= Σ,

3In matematica, notiunea de model are mai multe sensuri. Prin model matematic al uneisituatii concrete se ıntelege, de obicei, un ansamblu de notiuni si de relatii ce dau o reprezentarematematica a acelei situatii. In acest caz, este realizata o trecere de la concret la abstract.Notiunea de model al unei teorii este asociata unui traseu invers. Teoria este un concept al uneilumi simbolice (sintaxa), iar un model al sau apartine lumii reale a structurilor.

Page 188: Draft de carte (din 2009)

188 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

daca A este model pentru fiecare ϕ ∈ Σ.Conventie: Pentru orice structura A,

A |= ∅.

Definitia notiunii ”A |= Σ” a fost data de A. Tarski. Ea sta la baza teorieimodelelor, una din principalele ramuri ale logicii matematice.

In rezolvarea unor probleme din logica predicatelor, se impune sa largim lim-bajul Lτ , prin adaugarea unor constante noi. Vom prezenta ın continuare catevarezultate simple legate de acest procedeu.

Fie C o multime de constante noi (distincte de constantele lui Lτ ).Consideram limbajul Lτ (C), obtinut din Lτ prin adaugarea constantelor din C.O structura a lui Lτ (C) este de forma (A, ac)c∈C , unde A este o structura core-spunzatoare lui A si ac ∈ A, pentru orice c ∈ C (ac este interpretarea constanteic ∈ C). Daca c = {c1, . . . , cn}, atunci o structura pentru L(c1, . . . , cn) va fi deforma (A, a1, . . . , an), unde ai este interpretarea lui ci, i = 1, . . . , n.

Lema 8.2.11 Pentru orice termen t(x1, . . . , xn) al lui Lτ si pentru orice a1, . . . , an ∈A,

t(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = tA(a1, . . . , an).

Demonstratie. Prin inductie asupra lui t:· t este x: t(c)(A,a) = a = tA(a),· t este o constanta d din Lτ : t(c)(A,a) = dA = tA(a),· t este f(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)):t(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = f(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn))= f (A,a1,...,an)(t1(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an), . . . , tm(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an))= fA(tA1 (a1, . . . , an), . . . , tAm(a1, . . . , an))= tA(a1, . . . , an),ipoteza inductiei fiind: tj(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = tAj (a1, . . . , an), j = 1, . . . , m. 2

Propozitia 8.2.12 Pentru orice formula ϕ(x1, . . . , xn) a lui Lτ si pentru oricea1, . . . , an ∈ A,

(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn) ⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].

Demonstratie. Prin inductie dupa ϕ:· daca ϕ este t1(x1, . . . , xn) = t2(x1, . . . , xn), atunci:(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn) ⇐⇒ t1(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an) = t2(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an)

⇐⇒ tA1 (a1, . . . , an) = tA2 (a1, . . . , an)⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].· daca ϕ este R(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)), atunci:(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn)⇐⇒ (t1(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an), . . . , tm(c1, . . . , cn)(A,a1,...,an)) ∈ R(A,a1,...,an)

⇐⇒ (tA1 (a1, . . . , an), . . . , tAm(a1, . . . , an)) ∈ RA

Page 189: Draft de carte (din 2009)

8.2. SEMANTICA CALCULULUI CU PREDICATE 189

⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].· daca ϕ este ¬α: (exercitiu, folosind inductia).· daca ϕ este α → β: (exercitiu, folosind inductia).· daca ϕ(x1, . . . , xb) este ∀xψ(x, x1, . . . , xn).Ipoteza inductiei: pentru orice constante c, c1, . . . , cn si pentru orice a, a1, . . . , an ∈A:

(A, a, a1, . . . , an) |= ψ(c, c1, . . . , cn) ⇐⇒ A |= ψ[a, a1, . . . , an].

Atunci(A, a1, . . . , an) |= ϕ(c1, . . . , cn)⇐⇒ pentru orice a ∈ A, (A, a1, . . . , an) |= ψ(x, c1, . . . , cn)[a] (ipoteza inductiei)⇐⇒ pentru orice a ∈ A, A |= ψ(a, a1, . . . , an) (ipoteza inductiei)⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an]. 2

Un caz special ıl constituie extinderea limbajului Lτ cu simboluri de constantepentru elementele unei structuri date.

Fie A o structura si C = {ca | a ∈ A} cu ca 6= cb pentru a 6= b. O structura pen-tru Lτ (C) este de forma (B, ba)a∈A, cu ba ∈ B, pentru orice a ∈ A. In particular,(A, a)a∈A este o structura pentru Lτ (C).

Vom identifica constanta ca cu a, deci pe C cu A. Atunci limbajul Lτ (C)se va nota cu Lτ (A). Conform Propozitiei 8.2.12, pentru ϕ(x1, . . . , xn) ∈ L sia1, . . . , an ∈ A, avem

(A, a)a∈A |= ϕ(ca1 , . . . , can) ⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].

Cu identificarea ca ↔ a, echivalenta se scrie

(A, a)a∈A |= ϕ(a1, . . . , an) ⇐⇒ A |= ϕ[a1, . . . , an].

Conform acestei echivalente, este natural sa scriem A |= ϕ(a1, . . . , an) ın loc deA |= ϕ[a1, . . . , an] sau de echivalentul sau (A, a)a∈A |= ϕ(a1, . . . , an).

Definitie 8.2.13Enuntul ϕ este universal adevarat (si notam aceasta cu: |= ϕ) daca A |= ϕ,

pentru orice structura A (de un tip fixat τ).Formula ϕ(x1, . . . , xn) este universal adevarata daca enuntul ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn)

este universal adevarat.

Exemplu 8.2.14 Fie Lτ limbajul egalitatii: fara operatii, predicate si constante.Structurile corespunzatoare sunt exact multimile.- pentru n ≥ 1, consideram enuntul σn definit de:

∃x1 . . . ∃xn[∧

1≤i<j≤n ¬(xi = xj) ∧ ∀y(∨n

i=1 y = xi)].

Page 190: Draft de carte (din 2009)

190 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Atunci pentru orice multime A:A |= σn ⇐⇒ cardinalul lui A este n (| A |= n).- A are cel mult n elemente ⇐⇒ A |= ∨n

k=1 σk.- A are cel putin n elemente ⇐⇒ A |= ¬∨n−1

k=1 σk (n ≥ 2).

Exemplu 8.2.15 Fie Lτ limbajul teoriei grafurilor: cu un singur predicat binar,R. Fie urmatorul graf simetric G = (X, R):

ZZZ

½½½

b•

a•

d•

c•

X = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, d), (d, c)}.

Vrem sa vedem daca

G |= ∀x∃y∀z(R(x, z) ∨R(y, z)).

Aceasta este echivalent cu a arata ca urmatoarele patru afirmatii sunt adevarate:(1) G |= ∃y∀z(R(a, z) ∨R(y, z))(2) G |= ∃y∀z(R(b, z) ∨R(y, z))(3) G |= ∃y∀z(R(c, z) ∨R(y, z))(4) G |= ∃y∀z(R(d, z) ∨R(y, z)).Analizam (1): are loc daca una din urmatoarele afirmatii este adevarata:(1a) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(a, z))(1b) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(b, z))(1c) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(c, z))(1d) G |= ∀z(R(a, z) ∨R(d, z)).De exemplu, (1b) are loc daca urmatoarele patru afirmatii sunt adevarate:(1ba) G |= (R(a, a) ∨R(b, a))(1bb) G |= (R(a, b) ∨R(b, b))(1bc) G |= (R(a, c) ∨R(b, c))(1bd) G |= (R(a, d) ∨R(b, d)).Se observa ca toate aceste afirmatii sunt adevarate.

Exemplu 8.2.16 Fie G = (X, R) un graf simetric. Pentru x ∈ X, gradul lui xeste

deg(x) =| {y ∈ X | xRy} | .Pentru orice n ≥ 1, notam cu ϕn(x) urmatoarea formula:

∃x1 . . . ∃xn[∧n

i=1 xRxi ∧ ∀y(∧n

i=1 ¬(y = xi) → ¬R(x, y))].

Page 191: Draft de carte (din 2009)

8.2. SEMANTICA CALCULULUI CU PREDICATE 191

Formula ϕn(x) exprima faptul ca ”x are gradul n”. Iata si alte trei exemplificaride formalizare a unor proprietati de ordinul I:

- gradul lui x este cel mult n:∨n

k=1 ϕk(x).

- gradul lui x este cel putin n + 2: ¬∨n+1k=1 ϕk(x).

- exista un x astfel ıncat gradul sau sa fie mai mare ca 5 si mai mic ca 8:

∃x(ϕ6(x) ∨ ϕ7(x)).

Exemplu 8.2.17 Un monoid este o structura de forma A = (A, +, 0), unde + esteo operatie binara, asociativa si 0 este element neutru.

Limbajul monoizilor va avea un simbol de operatie binara, +, si o constanta, 0.

A monoid ⇐⇒ A |= ∀x∀y∀z(x+(y+z) = (x+y)+z)∧∀x(x+0 = 0+x = x).

Ordinul unui element a ∈ A este cel mai mic n astfel ıncat na = 0; daca nuexista un asemenea n, atunci ordinul lui a este ∞.

Formula

ordn(x) : ¬(x = 0) ∧ ¬(2x = 0) ∧ . . . ∧ ¬((n− 1)x = 0) ∧ (nx = 0)

exprima faptul ca ordinul lui x este n.Observam ca ”ordinul lui x este finit” nu este proprietate de ordinul I. Ea s-ar

putea exprima ca o ”disjunctie infinita”:∨∞

n=1 ordn(x). O asemenea formula arpresupune un limbaj ce admite disjunctii si conjunctii infinite.

• Vom defini acum notiunea de deductie semantica (ın sensul lui Tarski).

Definitie 8.2.18 Fie Σ o multime de formule si ϕ o formula a lui Lτ .Spunem ca ϕ se deduce semantic din ipotezele Σ (si notam: Σ |= ϕ) daca ϕ esteadevarata ın orice model A al lui Σ:

A |= Σ =⇒ A |= ϕ.

Observatie 8.2.19 Cum A |= ∅ pentru orice structura A (prin conventie), rezultaca:

∅ |= ϕ ⇐⇒|= ϕ.

Observatie 8.2.20Σ ⊆ ∆, Σ |= ϕ =⇒ ∆ |= ϕ.

Propozitia 8.2.21

Page 192: Draft de carte (din 2009)

192 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Σ |= ϕ(x1, . . . , xn), Σ |= ϕ(x1, . . . , xn) → ψ(x1, . . . , xn)

Σ |= ψ(x1, . . . , xn)

Demonstratie. Fie A |= Σ. Conform ipotezei,

A |= ϕ(x1, . . . , xn), A |= ϕ(x1, . . . , xn) → ψ(x1, . . . , xn).

Fie a1, . . . , an ∈ A. AtunciA |= ϕ(a1, . . . , an) siA |= ϕ(a1, . . . , an) → ψ(a1, . . . , an),deci A |= ψ(a1, . . . , an). Am demonstrat ca A |= ψ(x1, . . . , xn). 2

Propozitia 8.2.22

Σ |= ϕ(x1, . . . , xn)

Σ |= ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn)

Teorema 8.2.23 (Teorema deductiei semantice)Fie Σ o multime de formule, ϕ un enunt si ψ o formula. Atunci are loc

urmatoarea echivalenta:

Σ |= ϕ → ψ ⇐⇒ Σ ∪ {ϕ} |= ψ.

Demonstratie.=⇒: Din Σ |= ϕ → ψ avem Σ ∪ {ϕ} |= ϕ → ψ. Cum Σ |= ϕ, rezulta Σ |= ψ (cf.Propozitiei 8.2.12).⇐=: Vom presupune ψ = ψ(x1, . . . , xn). Trebuie sa aratam ca:

A |= Σ =⇒ A |= ϕ → ψ(x1, . . . , xn).

Fie A |= Σ. Vrem sa aratam ca A |= ϕ → ψ(x1, . . . , xn), adica

A |= ∀x1 . . . ∀xn (ϕ → ψ(x1, . . . , xn)).

Fie a1, . . . , an ∈ A; aratam ca

A |= ϕ → ψ(a1, . . . , an).

Aceasta este echivalent cu

A |= ϕ =⇒ A |= ψ(a1, . . . , an).

Presupunem A |= ϕ, de unde A |= Σ ∪ {ϕ}. Conform ipotezei, A |= ψ(x1, . . . , xn),deci A |= ψ(a1, . . . , an). 2

Page 193: Draft de carte (din 2009)

8.3. EXEMPLE DE ENUNTURI UNIVERSAL ADEVARATE 193

Observatie 8.2.24 Implicatia =⇒ este adevarata pentru cazul cand ϕ este o for-mula arbitrara. Implicatia ⇐= nu este adevarata ın general:∅ ∪ {x = y} |= (x = z): pentru ca A |= (x = y) =⇒ A |= (x = z).Nu avem ınsa ∅ |= (x = y) → (x = z). Intr-adevar, daca ar fi asa, atunci am aveaA |= (x = y) =⇒ x = z pentru orice structura A. Atunci

A |= ∀x∀y∀z(x = y → x = z),

ceea ce nu este adevarat.

Exercitii 8.2.25

Σ |= ϕ → ψ(1)

Σ |= ∀xϕ → ∀x ψ

Σ |= ϕ → ψ(2)

Σ |= ∃xϕ → ∃x ψ

Σ |= ϕ ↔ ψ(3)

Σ |= ∀xϕ ↔ ∀x ψ

Σ |= ϕ ↔ ψ(4)

Σ |= ∃xϕ ↔ ∃x ψ

Exercitiu 8.2.26 Fie CS(Σ) = {ϕ | ϕ formula, Σ |= ϕ}. Atunci pentru oriceformula α,

Σ |= α ⇐⇒ CS(Σ) |= α.

8.3 Exemple de enunturi universal adevarate

In aceasta sectiune vom prezenta o lista de enunturi universal adevarate, precumsi unele enunturi ce nu sunt universal adevarate. Atunci cand nu se precizeaza, seva presupune ca ‖ · ‖ = ‖ · ‖A, unde A este o structura oarecare.

Exemplu 8.3.1

|= ∀x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)).

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:- ‖∀x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x))‖ = 1- ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ → (‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖) = 1

Page 194: Draft de carte (din 2009)

194 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

- ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ ≤ ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖- ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ ∧ ‖∀xϕ(x)‖ ≤ ‖∀xψ(x)‖-

∧a∈A ‖ϕ(a) → ψ(a)‖ ∧∧

a∈A ‖ϕ(a)‖ ≤ ∧a∈A ‖ψ(a)‖

-∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∧ (‖ϕ(a)‖ → ‖ψ(a)‖)) ≤ ∧a∈A ‖ψ(a)‖.

Pentru a stabili aceasta ultima inegalitate, este suficient sa aratam ca pentru oricea ∈ A avem

‖ϕ(a)‖ ∧ (‖ϕ(a)‖ → ‖ψ(a)‖) ≤ ‖ψ(a)‖.Ori, ın orice algebra Boole avem: x ∧ (x → y) = x ∧ y ≤ y.

Exemplu 8.3.2

6|= (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)) → ∀x(ϕ(x) → ψ(x)).

Consideram un limbaj cu un singur predicat, <, si cu doua constante, 2, 3.Fie structura A = ({1, 2, . . . , n, . . .}, <, 2, 3) si formulele:ϕ(x) : x = 2,ψ(x) : x ≥ 3, (x ≥ 3 este abrevierea lui ¬(x < 3)).Considerand interpretari ın structura A mentionata, avem:‖ ∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ = ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖ =

(∧∞

n=1 ‖n = 2‖) → (∧∞

n=1 ‖n ≥ 3‖) = 0 → 0 = 1.

‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ =∧∞

n=1 ‖n = 2 → n ≥ 3‖ =∧∞

n=1(‖n = 2‖ → ‖n ≥ 3‖) = 0.Rezulta:‖(∀xϕ(x) → ∀xψ(x)) → ∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ =‖∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ → ‖∀x(ϕ(x) → ψ(x))‖ = 1 → 0 = 0.

Exemplu 8.3.3

|= (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)) → ∃x(ϕ(x) → ψ(x)).

Este echivalent cu a demonstra:(∧

a∈A ‖ϕ(a)‖) → (∧

b∈A ‖ψ(b)‖) ≤ ∨a∈A(‖ϕ(a)‖ → ‖ψ(a)‖)

ceea ce este echivalent cu:(∨

a∈A ¬‖ϕ(a)‖) ∨ (∧

b∈A ‖ψ(b)‖) ≤ ∨a∈A(¬‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(a)‖)

ceea ce este echivalent cu:∨a∈A(¬‖ϕ(a)‖ ∨∧

b∈A ‖ψ(b)‖) ≤ ∨a∈A(¬‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(a)‖).

Aceasta din urma inegalitate este evidenta.

Page 195: Draft de carte (din 2009)

8.3. EXEMPLE DE ENUNTURI UNIVERSAL ADEVARATE 195

Exemplu 8.3.4

6|= ∃x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x)).

Consideram limbajul cu un singur predicat binar < si cu constantele 1, 2.Luam tot structura A = ({1, 2, . . . , n, . . .}, <, 1, 2) si formulele:ϕ(x) : x ≥ 1,ψ(x) : x = 2.‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ =

∨n≥1(‖n ≥ 1‖ → ‖n = 2‖) = 1;

‖∀xϕ(x)‖ =∧

n ‖n ≥ 1‖ = 1; ‖∀xψ(x)‖ =∧

n ‖n = 2‖ = 0;

‖∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ = ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∀xψ(x)‖ = 1 → 0 = 0;‖∃x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∀xψ(x))‖ =‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ → ‖∀xϕ(x) → ∀xψ(x)‖ = 1 → 0 = 0.

Exemplu 8.3.5

|= (∃xϕ(x) → ∃xψ(x)) → ∃x (ϕ(x) → ψ(x)).

‖∃xϕ(x) → ∃xψ(x)‖ = (∨

a∈A ‖ϕ(a)‖) → (∨

b∈A ‖ψ(b)‖) =

(∧

a∈A ¬‖ϕ(a)‖) ∨∨b∈A ‖ψ(b)‖ =

∨b∈A((

∧a∈A ¬‖ϕ(a)‖) ∨ ‖ψ(b)‖) ≤

∨b∈A(¬‖ϕ(b)‖ ∨ ‖ψ(b)‖) = ‖∃x(ϕ(x) → ψ(x))‖.

Exemplu 8.3.6

6|= ∃x (ϕ(x) → ψ(x)) → (∃xϕ(x) → ∃xψ(x)).

Consideram limbajul ce are o operatie binara, +, un predicat binar, <, si o con-stanta, 1.Structura este A = (N∗,+, <, 1), iar formulele:ϕ(x) : ∃y(x = y + y) (x este par),ψ(x) : x < 1.‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ =

∨n(¬‖n este par‖ ∨ ‖n < 1‖) = 1;

‖∃xϕ(x) → ∃xψ(x)‖ = ‖∃x(x este par)‖ → ‖∃x(x < 1)‖ = 1 → 0 = 0;‖∃x (ϕ(x) → ψ(x))‖ → ‖∃xϕ(x) → ∃xψ(x)‖ = 1 → 0 = 0.

Exemplu 8.3.7

|= ∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∃xψ(x)).

Page 196: Draft de carte (din 2009)

196 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

- ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x)) → (∀xϕ(x) → ∃xψ(x))‖ = 1,- ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x))‖ ≤ ‖∀xϕ(x)‖ → ‖∃xψ(x)‖,- ‖∀xϕ(x)‖ ∧ ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x))‖ ≤ ‖∃xψ(x)‖.Demonstram ultima inegalitate:‖∀xϕ(x)‖ ∧ ‖∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x))‖ =

∧a∈A ‖ϕ(a)‖ ∧ (

∨b∈A(‖ϕ(b)‖ ↔ ‖ψ(b)‖)) =

∨b∈A[(

∧a∈A ‖ϕ(a)‖) ∧ (‖ϕ(b)‖ ↔ ‖ψ(b)‖)] ≤

∨b∈A[‖ϕ(b)‖ ∧ (‖ϕ(b)‖ → ‖ψ(b)‖)] =

∨b∈A(‖ϕ(b)‖ ∧ ‖ψ(b)‖) ≤

∨b∈A ‖ψ(b)‖ = ‖∃xψ(x)‖.

Exemplu 8.3.8

6|= (∀xϕ(x) → ∃xψ(x)) → ∃x (ϕ(x) ↔ ψ(x)).

Fie Lτ limbajul egalitatii, ımbogatit cu constantele 1, 2 si A = N.Consideram formulele:ϕ(x) : x = 1,ψ(x) : x = 2.‖∀x(x = 1) → ∃x(x = 2)‖ = ‖∀x(x = 1)‖ → ‖∃x(x = 2)‖ = 0 → 1 = 1;‖∃x(x = 1 ↔ x = 2)‖ = 0.

Exemplu 8.3.9

|= (∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)) → ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)).

‖∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)‖ = ‖∀xϕ(x)‖ ∨ ‖∀xψ(x)‖ =

(∧

a∈A ‖ϕ(a)‖) ∨ (∧

b∈A ‖ψ(b)‖) =∧

a,b∈A(‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(b)‖) ≤∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∨ ‖ψ(a)‖) = ‖∀x(ϕ(x) ∨ ψ(x))‖.

Exemplu 8.3.10

6|= ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) → (∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)).

Se considera un limbaj cu o operatie binara, +, A = (N, +).Consideram formulele:ϕ(x) : x = 2x, (2x este termenul x + x)

Page 197: Draft de carte (din 2009)

8.3. EXEMPLE DE ENUNTURI UNIVERSAL ADEVARATE 197

ψ(x) : ¬(x = 2x).‖∀x[(x = 2x) ∨ (x 6= 2x)]‖ = 1;‖∀x(x = 2x)‖ = 0, ‖∀x(x6=2x)‖ = 0.Deci,‖∀x[(x = 2x) ∨ (x6=2x)] → [∀x(x = 2x) ∨ ∀x(x6=2x)]‖ = 1 → (0 ∨ 0) = 1 → 0 = 0.

Exemplu 8.3.11

|= ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) → (∃xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)).

‖∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x))‖ =∧

a∈A(‖ϕ(a)‖ ∧ ‖ψ(a)‖) ≤ ∧a∈A[

∨b∈A(‖ϕ(b)‖ ∧ ‖ψ(a)‖)] =

∧a∈A[(

∨b∈A ‖ϕ(b)‖) ∧ ‖ψ(a)‖] = (

∨b∈A ‖ϕ(b)‖) ∨ (

∧a∈A ‖ψ(a)‖) =

‖∃xϕ(x)‖ ∨ ‖∀xψ(x)‖ = ‖∃xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)‖.Exemplu 8.3.12

6|= (∃xϕ(x) ∨ ∀xψ(x)) → ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)).

Luam un limbaj cu un predicat binar, <, si doua constante, 2, 3. A = (N, <, 2, 3).‖∃x(x = 2) ∨ ∀x(x < 3)‖ = ‖∃x(x = 2)‖ ∨ ‖∀x(x < 3)‖ = 1 ∨ 0 = 1.‖∀x[(x = 2) ∨ (x < 3)]‖ = 0.Rezulta:6|= (∃x(x = 2) ∨ ∀x(x < 3)) → ∀x((x = 2) ∨ (x < 3)).

Exemplu 8.3.13

|= ∃x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ↔ (∃xϕ(x) ∨ ∃xψ(x)).

Exemplu 8.3.14

|= ∃x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) → (∃xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)).

Exemplu 8.3.15

6|= (∃xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)) → ∃x (ϕ(x) ∧ ψ(x)).

6|= (∃x(x = 2) ∧ ∃x(x = 3)) → ∃x ((x = 2) ∧ (x = 3))(se ia limbajul egalitatii, ımbogatit cu doua constante, 2, 3 si A = (N, 2, 3)).

Exemplu 8.3.16

|= ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) → (∀xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)).

Revine la inegalitatea:∧a∈A(‖ϕ(a)‖∧‖ψ(a)‖) ≤ (

∧a∈A ‖ϕ(a)‖)∧(

∨b∈A ‖ψ(b)‖) =

∧a∈A(‖ϕ(a)‖∧∨

b∈A ‖ψ(b)‖).

Page 198: Draft de carte (din 2009)

198 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Exemplu 8.3.17

6|= (∀xϕ(x) ∧ ∃xψ(x)) → ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)).

Se considera un limbaj cu un predicat binar, <, si cu constantele 2, 3. A = (N∗, <, 2, 3).6|= (∀x(x ≥ 1) ∧ ∃x(x = 2)) → ∀x ((x ≥ 1) ∧ (x = 2)).

Exemplu 8.3.18

|= ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ↔ (∀xϕ(x) ∧ ∀xψ(x)).

Exemplu 8.3.19

|= ∀x1 . . . ∀xn∀y1 . . . ∀ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∨ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn) ∨ ∀y1 . . . ∀ymψ(y1, . . . , ym)].

Exemplu 8.3.20

|= ∃x1 . . . ∃xn∃y1 . . . ∃ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∃x1 . . . ∃xnϕ(x1, . . . , xn) ∧ ∃y1 . . . ∃ymψ(y1, . . . , ym)].

Exemplu 8.3.21

|= ∀x1 . . . ∀xn∃y1 . . . ∃ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∨ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn) ∨ ∃y1 . . . ∃ymψ(y1, . . . , ym)].

Exemplu 8.3.22

|= ∃x1 . . . ∃xn∀y1 . . . ∀ym [ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ψ(y1, . . . , ym)] ↔

[∃x1 . . . ∃xnϕ(x1, . . . , xn) ∧ ∀y1 . . . ∀ymψ(y1, . . . , ym)].

8.4 Sintaxa calculului cu predicate

In prima sectiune a acestui capitol a fost definit limbajul formal al lui Lτ (aso-ciat structurilor de ordinul I avand o signatura fixata). Formulele si enunturile luiLτ sunt expresia simbolica a proprietatilor de ordinul I. Aceasta sectiune continuaconstructia sintaxei lui Lτ : sunt precizate axiomele si regulile sale de deductie siapoi se definesc teoremele formale si deductia formala din ipoteze. Sunt prezentatemai multe exemple de demonstratii formale ın Lτ si cateva proprietati sintactice.

Page 199: Draft de carte (din 2009)

8.4. SINTAXA CALCULULUI CU PREDICATE 199

Axiomele calculului cu predicate sunt:(G1) - (G3): axiomele calculului propozitional,(G4): ∀x(ϕ → ψ) → (ϕ → ∀xψ), daca x 6∈ FV (ϕ),(G5): ∀xϕ(x, y1, . . . , yn) → ϕ(t, y1, . . . , yn), unde t este un termen oarecare,(G6): x = x,(G7): x = y → (t(v1 . . . x . . . vn) = t(v1 . . . y . . . vn)),(G8): x = y → (ϕ(v1 . . . x . . . vn) → ϕ(v1 . . . y . . . vn)).

(G6) - (G8) se numesc axiomele egalitatii.Calculul cu predicate are doua reguli de deductie:

ψ, ψ → ϕ: m.p.

ϕ

ϕ: Principiul generalizarii PG

∀xϕ

• Vom defini acum teoremele formale.

Definitie 8.4.1 Teoremele formale ale lui Lτ se definesc prin inductie astfel:· axiomele sunt teoreme formale,· daca ψ, ψ → ϕ sunt teoreme formale, atunci ϕ este teorema formala (m.p.),· daca ϕ este teorema formala, atunci ∀xϕ este teorema formala PG.

Momentul zero al acestei definitii prin inductie este precizat de axiome, iar pa-sul inductiei este asigurat de cele doua reguli de deductie (m.p. si PG).

Faptul ca ϕ este o teorema formala va fi notat astfel:

` ϕ.

Asadar, teoremele formale se obtin plecand de la axiome si aplicand de un numarfinit de ori m.p. sau PG.

Pentru comoditate, vom spune teorema ın loc de teorema formala.

• Vom defini acum demonstratiile formale.

Definitii 8.4.2O demonstratie formala a lui ϕ este un sir finit de formule ψ1, . . . , ψn, astfel

ıncat ψn = ϕ si, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem una din situatiile:· ϕi este axioma,

Page 200: Draft de carte (din 2009)

200 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

· exista j, k < i, astfel ıncat ψk = ψj → ψi,· exista j < i si x ∈ V , astfel ıncat ψi = ∀xψj .

Numarul n se numeste lungimea demonstratiei formale.

Comparand definitiile teoremelor formale si ale demonstratiilor formale, se ob-serva ca:

` ϕ ⇐⇒ (ϕ admite o demonstratie formala).

Observatie 8.4.3 Axiomele calculului propozitional si regula de deductie modusponens sunt prezente si la calculul cu predicate. Atunci orice teorema formala acalculului propozitional va fi si teorema formala a calculului cu predicate.

Urmeaza exemple de demonstratii formale.

Propozitia 8.4.4` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀y∀xϕ(x, y).

Demonstratie. Scriem demonstratia formala a formulei de mai sus:

` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀yϕ(x, y) (G5)` ∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y) (G5)` ∀x∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y) calc. prop.` ∀x(∀x∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y)) PG` ∀x(∀x∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y)) → (∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y)) (G4)` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y) m.p.` ∀y(∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y)) PG` ∀y(∀x∀yϕ(x, y) → ∀xϕ(x, y)) → (∀x∀yϕ(x, y) → ∀y∀xϕ(x, y)) (G4)` ∀x∀yϕ(x, y) → ∀y∀xϕ(x, y) m.p.

2

Propozitia 8.4.5` ∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ).

Demonstratie.

( 1) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xϕ calc. prop.( 2) ` ∀xϕ → ϕ (G5)( 3) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ϕ calc. prop.( 4) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → (ϕ → ψ) analog cu (3)( 5) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ψ (3), (4) + calc. prop.( 6) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ψ] PG( 7) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ψ] →[∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xψ] (G4)( 8) ` ∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xψ m.p., (6), (7)( 9) ` [∀xϕ ∧ ∀x(ϕ → ψ) → ∀xψ] →[∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ)] calc. prop.(10) ` ∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ) m.p., (8), (9).

2

Page 201: Draft de carte (din 2009)

8.4. SINTAXA CALCULULUI CU PREDICATE 201

Propozitia 8.4.6` ∀xϕ ↔ ¬∃x¬ϕ.

Demonstratie.

` ϕ → ¬¬ϕ calc. prop.` ∀x(ϕ → ¬¬ϕ) PG` ∀x(ϕ → ¬¬ϕ) → (∀xϕ → ∀x¬¬ϕ) Propozitia 8.4.5` ∀xϕ → ∀x¬¬ϕ m.p.` ∀x¬¬ϕ → ∀xϕ analog` ∀xϕ ↔ ∀x¬¬ϕ din ultimele doua` ∀x¬¬ϕ ↔ ¬¬∀x¬¬ϕ calc. prop.` ∀xϕ ↔ ¬¬∀x¬¬ϕ din ultimele doua.

Prin definitie, ¬∃x¬ϕ este chiar ¬¬∀x¬¬ϕ. 2

Propozitia 8.4.7` ∀x(ϕ ↔ ψ) → (∀xϕ ↔ ∀xψ).

Demonstratie.

` (ϕ ↔ ψ) → (ϕ → ψ) calc. prop.` ∀x[(ϕ ↔ ψ) → (ϕ → ψ)] PG` ∀x[(ϕ → ψ) → (ϕ → ψ)] → [∀x(ϕ ↔ ψ) → ∀x(ϕ → ψ)] Propozitia 8.4.5` ∀x(ϕ ↔ ψ) → ∀x(ϕ → ψ) m.p.` ∀x(ϕ → ψ) → (∀xϕ → ∀xψ) Propozitia 8.4.5` ∀x(ϕ ↔ ψ) → (∀xϕ → ∀xψ) m.p.` ∀x(ϕ ↔ ψ) → (∀xψ → ∀xϕ) analog` ∀x(ϕ ↔ ψ) → [(∀xϕ → ∀xψ) ∧ (∀xψ → ∀xϕ)] din ultimele doua,

care este exact ceea ce trebuia demonstrat. 2

Propozitia 8.4.8

` (ϕ → ∀xψ) → ∀x(ϕ → ψ), daca x 6∈ FV (ϕ).

Demonstratie.

` (ϕ → ∀xψ) ∧ ϕ → ∀xψ calc. prop.` ∀xψ → ψ (G5)` (ϕ → ∀xψ) ∧ ϕ → ψ m.p.` (ϕ → ∀xψ) → (ϕ → ψ) calc. prop.` ∀x[(ϕ → ∀xψ) → (ϕ → ψ)] PG` ∀x[(ϕ → ∀xψ) → (ϕ → ψ)] → [(ϕ → ∀xψ) → ∀x(ϕ → ψ)] (G4)` (ϕ → ∀xψ) → ∀x(ϕ → ψ) m.p..

2

Propozitia 8.4.9

` ∀x(ϕ → ψ) ↔ (∃xϕ → ψ), daca x 6∈ FV (ψ).

Page 202: Draft de carte (din 2009)

202 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Demonstratie.

( 1) ` (ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) calc. prop.( 2) ` ∀x[(ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)] PG( 3) ` ∀x[(ϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ)] →[∀x(ϕ → ψ) → ∀x(¬ψ → ¬ϕ)] Propozitia 8.4.5( 4) ` ∀x(ϕ → ψ) → ∀x(¬ψ → ¬ϕ) m.p.( 5) ` ∀x(¬ψ → ¬ϕ) → (¬ψ → ∀x¬ϕ) (G4)( 6) ` ∀x(ϕ → ψ) → (¬ψ → ∀x¬ϕ) din (4), (5), calc. prop.( 7) ` (¬ψ → ∀x¬ϕ) → (¬∀x¬ϕ → ¬¬ψ) calc. prop.( 8) ` ∀x(ϕ → ψ) → (¬∀x¬ϕ → ¬¬ψ) din (6), (7)( 9) ` ∀x(ϕ → ψ) ∧ ∃xϕ → ¬¬ψ din (8)(10) ` ¬¬ψ → ψ(11) ` ∀x(ϕ → ψ) ∧ ∃xϕ → ψ din (10)(12) ` ∀x(ϕ → ψ) → (∃xϕ → ψ) din (11)(13) ` (∃xϕ → ψ) → (¬ψ → ∀x¬ϕ) calc. prop. + def. lui ∃xϕ(14) ` (∃xϕ → ψ) ∧ ¬ψ → ∀x¬ϕ calc. prop.(15) ` ∀x¬ϕ → ¬ϕ (G5)(16) ` (∃xϕ → ψ) ∧ ¬ψ → ¬ϕ calc. prop.(17) ` (∃xϕ → ψ) → (¬ψ → ¬ϕ) calc. prop.(18) ` (¬ψ → ¬ϕ) → (ϕ → ψ)(19) ` (∃xϕ → ψ) → (ϕ → ψ) din (17), (18)(20) ` ∀x[(∃xϕ → ψ) → (ϕ → ψ)] →[(∃xϕ → ψ) → ∀x(ϕ → ψ)] (G4)(21) ` ∀x[(∃xϕ → ψ) → (ϕ → ψ)] din (19), prin PG(22) ` (∃xϕ → ψ) → ∀x(ϕ → ψ) m.p..

Din (12) si (22), rezulta Propozitia 8.4.9. 2

Corolar 8.4.10

` ∀x(ϕ → ∃xψ) ↔ (∃xϕ → ∃xψ),

` ∀x(ϕ → ∀xψ) ↔ (∃xϕ → ∀xψ).

Demonstratie. Din Propozitia 8.4.9, pentru ca x nu apare libera ın ∃xψ si ∀xψ.2

Propozitia 8.4.11

` ∀x(ϕ ∧ ψ) ↔ (∀xϕ ∧ ∀xψ).

Demonstratie.

Page 203: Draft de carte (din 2009)

8.4. SINTAXA CALCULULUI CU PREDICATE 203

( 1) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ∀xϕ calc. prop.( 2) ` ∀xϕ → ϕ (G5)( 3) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ (1) si (2)( 4) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ψ analog( 5) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ ∧ ψ calc. prop.( 6) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ ∧ ψ] PG( 7) ` ∀x[∀xϕ ∧ ∀xψ → ϕ ∧ ψ] → [∀xϕ ∧ ∀xψ → ∀x(ϕ ∧ ψ)] (G4)( 8) ` ∀xϕ ∧ ∀xψ → ∀x(ϕ ∧ ψ) m.p.( 9) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → (ϕ ∧ ψ) calc. prop.(10) ` (ϕ ∧ ψ) → ϕ(11) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → ϕ din (9), (10)(12) ` ∀x[∀x(ϕ ∧ ψ) → ϕ] PG(13) ` ∀x[∀x(ϕ ∧ ψ) → ϕ] → [∀x(ϕ ∧ ψ) → ∀xϕ] (G4)(14) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → ∀xϕ m.p.(15) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → ∀xψ analog(16) ` ∀x(ϕ ∧ ψ) → (∀xϕ ∧ ∀xψ) din (14), (15).

Din (8), (16), rezulta Propozitia 8.4.11. 2

Propozitia 8.4.12` ϕ(t) → ∃xϕ(x).

Demonstratie.

` ∀x¬ϕ(x) → ¬ϕ(t) (G5)` ¬¬ϕ(t) → ¬∀x¬ϕ(x) calc. prop.` ϕ(t) → ¬¬ϕ(t) calc. prop.` ϕ(t) → ¬∀x¬ϕ(x) calc. prop..

2

Propozitia 8.4.13(i) ` x = y → y = x,(ii) ` (x = y) ∧ (y = z) → (x = z),(iii) ` (x = y) → (ϕ(x) ↔ ϕ(y)).

Demonstratie.(i):` x = y → (x = z → y = z) (G8)` x = z → (x = y → y = z) calc. prop.` x = x → (x = y → y = x) luand mai sus z = x` x = x (G6)` x = y → y = x m.p..

(ii):` x = y → y = x (i)` y = x → (y = z → x = z) (G6)` x = y → (y = z → x = z) calc. prop.` (x = y) ∧ (y = z) → x = z calc. prop..

Page 204: Draft de carte (din 2009)

204 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

(iii):` x = y → y = x (i)` y = x → (ϕ(y) → ϕ(x)) (G8)` x = y → (ϕ(y) → ϕ(x)) calc. prop.` x = y → (ϕ(x) → ϕ(y)) (G8)` x = y → [(ϕ(x) → ϕ(y)) ∧ (ϕ(y) → ϕ(x))] calc. prop..

2

Propozitia 8.4.14` ∀xϕ(x) → ∃xϕ(x).

Demonstratie.` ∀xϕ(x) → ϕ(x) (G6)` ϕ(x) → ∃xϕ(x) Propozitia 8.4.12` ∀xϕ(x) → ∃xϕ(x) calc. prop..

2

Propozitia 8.4.15

∀x∃y(x = y).

Demonstratie.

` x = y → ∃y(x = y) Propozitia 8.4.12` x = x → ∃y(x = y) punand termenul x ın loc de y` x = x (G6)` ∃y(x = y) m.p..

2

Propozitia 8.4.16

` ∀x∀y∃z [(x = z) ∧ (z = y)].

Demonstratie.

` (x = z) ∧ (z = y) → ∃z [(x = z) ∧ (z = y)] Propozitia 8.4.12` (x = z) ∧ (z = z) → ∃z [(x = z) ∧ (z = y)] luam termenul z` (x = z) ∧ (z = z)` ∃z [(x = z) ∧ (z = y)] m.p..

2

Propozitia 8.4.17

ϕ → ψ

∀xϕ → ∀xψ

Page 205: Draft de carte (din 2009)

8.4. SINTAXA CALCULULUI CU PREDICATE 205

Demonstratie. Din Propozitia 8.4.5. 2

Propozitia 8.4.18

ϕ → ψ

∃xϕ → ∃xψ

Demonstratie.

` ϕ → ψ ipoteza` ¬ψ → ¬ϕ calc. prop.` ∀x¬ψ → ∀x¬ϕ Propozitia 8.4.17` ¬∀x¬ϕ → ¬∀x¬ψ calc. prop.

Ultima formula este chiar ` ∃xϕ → ∃xψ. 2

• Vom defini acum deductia formala din ipoteze.

Definitie 8.4.19 Fie Σ o multime de formule si ϕ o formula. Definim notiunea

Σ ` ϕ: formula ϕ se deduce (formal) din ipotezele Σ

prin urmatoarele clauze:(a) ϕ este axioma,(b) ϕ ∈ Σ,(c) exista o formula ψ, astfel ıncat Σ ` ψ, Σ ` ψ → ϕ, adica:

Σ ` ψ,ψ → ϕm.p.

Σ ` ϕ

(d) exista ψ si x, astfel ıncat Σ ` ψ si ϕ este ∀xψ, adica:

Σ ` ψPG

Σ ` ∀xψ

Page 206: Draft de carte (din 2009)

206 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Notiunea ”Σ ` ϕ” a fost definita prin inductie:- momentul zero al inductiei este precizat de (a) si (b),- pasul inductiei (trecerea de la k la k + 1) este realizat prin aplicarea conditiilor(c) si (d).

Observatie 8.4.20∅ ` ϕ ⇐⇒ ` ϕ.

• Vom defini acum Σ-demonstratiile formale.

Definitii 8.4.21O Σ-demonstratie formala a lui ϕ este un sir finit de formule ψ1, . . . , ψn, astfel

ıncat ψn = ϕ si, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem una din situatiile:· ϕi este axioma,· ϕi ∈ Σ,· exista j, k < i, astfel ıncat ψk = ψj → ψi,· exista j < i si x ∈ V , astfel ıncat ψi = ∀xψj .

Numarul n se numeste lungimea Σ-demonstratiei formale.

Comparand definitiile deductiilor formale si ale Σ-demonstratiilor formale, seobserva ca:

Σ ` ϕ ⇐⇒ (ϕ admite o Σ− demonstratie formala).

Definitie 8.4.22 Daca ϕ(1, . . . , xn) este o formula, atunci ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn)se numeste ınchiderea sa universala.

Propozitia 8.4.23

Σ ` ϕ(x1, . . . , xn) ⇐⇒ Σ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn).

Demonstratie.=⇒: Se aplica PG de n ori.⇐=:Σ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ∀x2 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn)Σ ` ∀x2 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ∀x3 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn). . .Σ ` ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ϕ(x1, . . . , xn).Conform calculului propozitiilor, rezulta:Σ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ϕ(x1, . . . , xn).AtunciΣ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) prin ipotezaΣ ` ∀x1 . . . ∀xn ϕ(x1, . . . , xn) → ϕ(x1, . . . , xn) mai susΣ ` ϕ(x1, . . . , xn) m.p..

Page 207: Draft de carte (din 2009)

8.4. SINTAXA CALCULULUI CU PREDICATE 207

2

Conform propozitiei precedente, studiul deductiei formale din ipoteze poate firedus la enunturi.

Propozitia 8.4.24(a) Σ ` ϕ,Σ ⊆ ∆ =⇒ ∆ ` ϕ,(b) Σ ` ϕ ⇐⇒ exista Σ0 ⊆ Σ, Σ0 finita, Σ0 ` ϕ.

Demonstratie. Prin inductie dupa ϕ. 2

Teorema 8.4.25 (Teorema deductiei)Fie Σ o multime de formule, ϕ un enunt si ψ o fomula. Atunci

Σ ` ϕ → ψ ⇐⇒ Σ ∪ {ϕ} ` ψ.

Demonstratie.=⇒: Aplicand Propozitia 8.4.24, (a) si m.p..⇐=: Prin inductie asupra modului cum este definit Σ∪ {ϕ} ` ψ. Totul decurge caın cazul calculului propozitional, adaugandu-se situatia: ψ = ∀xα, Σ ∪ {ϕ} ` α:

Σ ∪ {ϕ} ` α =⇒ Σ ` ϕ → α ipoteza inductiei=⇒ Σ ` ∀x(ϕ → α) PG=⇒ Σ ` ∀x(ϕ → α) → (ϕ → ∀xα) (G4), ϕ fiind enunt=⇒ Σ ` ϕ → ∀xα m.p.=⇒ Σ ` ϕ → ψ conform notatiei.

2

Definitie 8.4.26 O multime Σ de formule (teorie) se numeste inconsistenta, dacaΣ ` ϕ, pentru orice formula ϕ. In caz contrar, Σ se numeste consistenta.

Urmatoarele rezultate asupra teoriilor consistente si teoriilor maximal consis-tente se demonstreaza la fel ca analoagele lor din cazul calculului propozitional.

Propozitia 8.4.27 Pentru orice teorie Σ, sunt echivalente urmatoarele afirmatii:(1) Σ este inconsistenta,(2) exista o formula ϕ, astfel ıncat Σ ` ϕ ∧ ¬ϕ,(3) exista o formula ϕ, astfel ıncat Σ ` ϕ si Σ ` ¬ϕ,(4) pentru orice formula ϕ, Σ ` ¬(ϕ → ϕ),(5) exista o formula ϕ, astfel ıncat Σ ` ¬(ϕ → ϕ).

Propozitia 8.4.28 Fie Σ o teorie si ϕ o formula a lui Lτ . Atunci(a) Σ ∪ {ϕ} este inconsistenta ⇐⇒ Σ ` ¬ϕ,(b) Σ ∪ {¬ϕ} este inconsistenta ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Page 208: Draft de carte (din 2009)

208 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Definitie 8.4.29 O teorie ∆ se numeste maximal consistenta daca este un elementmaximal ın multimea teoriilor consistente ale lui Lτ (ordonata de incluziune).

Cu alte cuvinte, o teorie consistenta ∆ este maximal consistenta daca prin adaugareaunor formule noi la ∆ se obtine o teorie inconsistenta.

Propozitia 8.4.30 Orice teorie consistenta se poate scufunda ıntr-o teorie maxi-mal consistenta.

Propozitia 8.4.31 Fie Σ o teorie maximal consistenta. Atunci(1) Σ ` ϕ ⇐⇒ ϕ ∈ Σ,(2) Σ ` ϕ ∨ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ sau Σ ` ψ),(3) Pentru orice formula ϕ, avem: Σ ` ϕ sau Σ ` ¬ϕ.

Observatie 8.4.32 Fie Σ o teorie si ϕ,ψ doua formule ale lui Lτ . Atunci

Σ ` ϕ ∧ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ si Σ ` ψ).

Propozitia 8.4.33 Daca Σ este o teorie consistenta, atunci sunt echivalente:(1) Σ este maximal consistenta,(2) pentru orice formule ϕ,ψ, Σ ` ϕ ∨ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ sau Σ ` ψ),(3) pentru orice formula ϕ, Σ ` ϕ sau Σ ` ¬ϕ.

8.5 Algebra Lindenbaum-Tarski a calculului cupredicate

Sectiunea 5 studiaza algebra Lindenbaum-Tarski asociata calculului cu predi-cate. Multimea formulelor lui Lτ este factorizata printr-o relatie de echivalentacanonica, iar multimea cat obtinuta este ınzestrata cu o structura de algebra Boole.Operatiile acestei algebre Boole se obtin din conectorii propozitionali ai lui Lτ :disjunctia, conjunctia si negatia. Implicatia si echivalenta logica din sintaxa lui Lτ

sunt traduse algebric prin implicatia booleana, respectiv prin echivalenta booleanadin algebra Lindenbaum-Tarski. Pana aici totul se produce ın mod analog algebreiLindenbaum-Tarski a calculului propozitional. In sectiune se analizeaza modul ıncare cuantificatorii lui Lτ actioneaza ın algebra Lindenbaum-Tarski. Astfel, se de-gaja notiunile de cuantificator existential si de cuantificator universal ıntr-o algebraBoole, apoi notiunea de algebra Boole monadica si de algebra Boole cilindrica. Al-gebrele Boole cilindrice sunt structurile algebrice asociate calculului cu predicate.Multe din proprietatile sintactice si semantice ale lui Lτ pot fi formulate si demon-strate ın contextul algebrelor Boole cilindrice (vezi monografia [23]).

Page 209: Draft de carte (din 2009)

8.5. ALGEBRA LINDENBAUM-TARSKI A CALCULULUI CU PREDICATE209

Fie Form(Lτ ) multimea formulelor lui Lτ . Urmatoarea relatie binara, ∼, peForm(Lτ ):

ϕ ∼ ψ ⇐⇒` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ (` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ)

este o relatie de echivalenta (se demonstreaza exact ca la calculul propozitional).Fie B = Form(Lτ )/ ∼ multimea cat; pentru ϕ ∈ Form(Lτ ), notam cu ϕ clasa

sa de echivalenta. Definim urmatoarele operatii pe multimea B:

ϕ ∨ ψdef.= ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ

def.= ϕ ∧ ψ,¬ϕ

def.= ¬ϕ, 0

def.= ϕ ∧ ¬ϕ, 1

def.= ϕ ∨ ¬ϕ.

La fel ca ın cazul calculului propozitiilor, se poate arata ca definitiile acestor operatiinu depind de reprezentanti si ca structura

B = (B = Form(Lτ )/ ∼,∨,∧,¬,0,1)

este o algebra Boole, numita algebra Lindenbaum-Tarski a lui Lτ .La fel ca ın cazul calculului propozitional, sunt valabile echivalentele urmatoare:

· ` ϕ → ψ ⇐⇒ ϕ ≤ ψ,· ` ϕ ⇐⇒ ϕ = 1.

Consideram functia surjectiva p : Form(Lτ ) −→ B, p(ϕ) = ϕ, pentru oriceϕ ∈ Form(Lτ ). Functia p are proprietatile urmatoare:· p(ϕ ∨ ψ) = p(ϕ) ∨ p(ψ), p(ϕ ∧ ψ) = p(ϕ) ∧ p(ψ), p(¬ϕ) = ¬p(ϕ),· p(ϕ → ψ) = p(ϕ) → p(ψ), p(ϕ ↔ ψ) = p(ϕ) ↔ p(ψ),· p(ϕ) ≤ p(ψ) ⇐⇒ ` ϕ → ψ,· p(ϕ) = 1 ⇐⇒ ` ϕ.

Functia p duce operatiile logice ın operatii booleene. In mod natural, se puneproblema care este comportamentul functiei p fata de cuantificatori.

Propozitia 8.5.1

∀xϕ(x) =∧

v∈V

ϕ(v), ∃xϕ(x) =∨

v∈V

ϕ(v).

Demonstratie. A proba prima formula este echivalent cu:

(a) ∀xϕ(x) ≤ ϕ(v), pentru orice v ∈ V ,

(b) daca ψ ≤ ϕ(v), pentru orice v ∈ V , atunci ψ ≤ ∀xϕ.

Avem:(a): rezulta folosind axioma (G5): ` ∀xϕ → ϕ(v), pentru orice v ∈ V .

(b): Presupunem ψ ≤ ϕ(v), v ∈ V , deci ` ψ → ϕ(v), v ∈ V . Alegem ovariabila v ce nu apare ın ψ sau ın ∀xϕ(x).

Page 210: Draft de carte (din 2009)

210 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

` ψ → ϕ(v)` ∀v(ψ → ϕ(v)) PG` ∀v(ψ → ϕ(v)) → (ψ → ∀vϕ(v)) (G4)

(i) ` ψ → ∀vϕ(v) m.p..De asemenea,

` ∀vϕ(v) → ϕ(x) (G5)` ∀x[∀vϕ(v) → ϕ(x)] PG` ∀x[∀vϕ(v) → ϕ(x)] → (∀vϕ(v) → ∀xϕ(x)) (G4)

(ii) ` ∀vϕ(v) → ∀xϕ(x) m.p..

Din (i) si (ii) rezulta: ` ψ → ∀xϕ(x), adica ψ ≤ (∀xϕ(x)).

A doua relatie rezulta din prima, folosind egalitatile de Morgan:

(∃xϕ) = (¬∀x¬ϕ) = ¬ (∀x¬ϕ) = ¬∧

v∈V

(¬ϕ(v)) =∨

v∈V

(ϕ(v)).

2

Observatie 8.5.2 Folosind functia p, egalitatile din Propozitia precedenta se scriu:

p(∀xϕ) =∧

v∈V

p(ϕ(v)), p(∃xϕ) =∨

v∈V

p(ϕ(v)).

Notam Sent(Lτ ) multimea enunturilor lui Lτ . Atunci

Sent(Lτ )/ ∼= {ϕ | ϕ ∈ Sent(Lτ )}este o subalgebra Boole a lui B = Form(Lτ )/ ∼.

Definitie 8.5.3 O submultime Σ a lui Form(Lτ ) se numeste teorie a lui Lτ .

Vom generaliza acum constructia de mai sus, definind algebra Lindenbaum-Tarski a unei teorii.

Fie Σ o teorie a lui Lτ . Consideram relatia binara ∼Σ pe Form(Lτ ) definitaastfel:

ϕ ∼Σ ψ ⇐⇒ Σ ` ϕ ↔ ψ ⇐⇒ (Σ ` ϕ → ψ, Σ ` ψ → ϕ).

Atunci ∼Σ este o relatie de echivalenta. Fie BΣ = Form(Lτ )/ ∼Σ multimea cat.Notam cu ϕ/Σ clasa de echivalenta a lui ϕ ∈ Form(Lτ ). BΣ devine algebra Boolefata de operatiile:

ϕ/Σ ∨ ψ/Σdef.= (ϕ ∨ ψ)/Σ, ϕ/Σ ∧ ψ/Σ

def.= (ϕ ∧ ψ)/Σ,

¬(ϕ/Σ)def.= (¬ϕ)/Σ, 1

def.= (ϕ ∨ ¬ϕ)/Σ, 0

def.= (ϕ ∧ ¬ϕ)/Σ.

BΣ = (BΣ,∨,∧,¬,0,1) se numeste algebra Lindenbaum-Tarski a teoriei Σ.

Page 211: Draft de carte (din 2009)

8.5. ALGEBRA LINDENBAUM-TARSKI A CALCULULUI CU PREDICATE211

Observatie 8.5.4B = B∅

Propozitia 8.5.1 se poate extinde cu usurinta la algebra Lindenbaum-Tarski BΣ.In algebra Lindenbaum-Tarski BΣ, au loc echivalentele urmatoare:

ϕ/Σ ≤ ψ/Σ ⇐⇒ Σ ` ϕ → ψ,

ϕ/Σ = 1 ⇐⇒ Σ ` ϕ.

Aceste echivalente traduc ın limbaj algebric proprietati ale deductiei formale. Princea de a doua echivalenta, a demonstra ca Σ ` ϕ se reduce la un calcul boolean.

8.5.1 Algebre Boole monadice. Algebre Boole cilindrice

In mod natural, se pune acum problema definirii algebrelor corespunzatoare cal-culului cu predicate. Ele vor avea ca prototip algebra Lindenbaum-Tarski a lui Lτ .Primul pas va fi obtinerea unei notiuni de cuantificator (existential si universal) peo algebra Boole oarecare.

Fie A = (A,∨,∧,¬, 0, 1) o algebra Boole oarecare.

Definitie 8.5.5Un cuantificator existential pe A este o functie ∃ : A −→ A, astfel ıncat:

· ∃(0) = 0,· x ≤ ∃(x),· ∃(x ∧ ∃(y)) = ∃(x) ∧ ∃(y).

Dual, un cuatificator universal pe A este o functie ∀ : A −→ A, astfel ıncat:· ∀(1) = 1,· x ≥ ∀(x),· ∀(x ∨ ∀(y)) = ∀(x) ∨ ∀(y).

Daca ∃ este un cuantificator existential pe A, atunci ∀(x) = ¬∃(¬x) definesteun cuantificator universal pe A; daca ∀ este un cuantificator universal pe A, atunci∃(x) = ¬∀(¬x) defineste un cuantificator existential pe A.

Definitie 8.5.6 O algebra Boole monadica este o structura (A, ∃), unde A este oalgebra Boole si ∃ este un cuantificator existential pe A.

Consideram algebra Lindenbaum-Tarski B si o variabila oarecare x ∈ V . Definimoperatia unara ∃x : B −→ B prin:

∃x(ϕ)def.= ∃xϕ, pentru orice ϕ ∈ Form(Lτ ).

Page 212: Draft de carte (din 2009)

212 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Observatie 8.5.7 Operatia ∃x este bine definita:

` ϕ ↔ ψ =⇒ ` ∃xϕ ↔ ∃xψ.

Propozitia 8.5.8 ∃x este un cuantificator existential pe B.

Demonstratie. Cele trei relatii:· ∃x(0) = 0,· ϕ ≤ ∃x(ϕ),· ∃x(ϕ ∧ ∃x(ψ)) = ∃x(ϕ) ∧ ∃x(ψ)

sunt echivalente cu :· ` (ϕ ∧ ¬ϕ) ↔ ∃x(ϕ ∧ ¬ϕ), (putem lua pe ϕ = enunt)· ` ϕ → ∃xϕ,· ` ∃x(ϕ ∧ ∃xψ) ↔ (∃xϕ ∧ ∃xψ. 2

Observatie 8.5.9 Cuantificatorul universal ∀x asociat lui ∃x este:

∀x(ϕ)def.= ∀xϕ.

Definitia cuantificatorului existential (respectiv universal) pe o algebra Booleoarecare a fost obtinuta ın mod independent de A. Tarski si de P. Halmos. Celetrei axiome simple ce definesc cuantificatorul existential (respectiv universal) por-nesc din analiza proprietatilor operatiilor unare ∃x (respectiv ∀x) ale algebreiLindenbaum-Tarski B.

Actiunea cuantificatorului existential asupra formulelor lui Lτ este reflectataın algebra Lindenbaum-Tarski B prin operatiile unare (∃x)x∈V . Atunci struc-turile algebrice ale lui Lτ vor fi algebre Boole ınzestrate cu familii de cuantificatoriexistentiali.

Definitie 8.5.10 Fie I o multime nevida. Se numeste I-algebra Boole cilindrica ostructura

(A, (∃i)i∈I , E)

unde:· A este o algebra Boole,· ∃i este cuantificator existential pe A, pentru orice i ∈ I,· E este o functie E : I2 −→ A, numita egalitate pe A,astfel ıncat urmatoarele conditii sunt ındeplinite:

(C1) ∃i ◦ ∃j = ∃j ◦ ∃i, pentru orice i, j ∈ I,(C2) E(i, i) = 1, i ∈ I,(C3) E(i, j) = ∃k[E(i, k) ∧ E(k, j)], pentru k 6= i, j din I,(C4) ∃i[E(i, j) ∧ x] ∧ ∃i[E(i, j) ∧ ¬x] = 0, pentru i 6= j ın I.

Page 213: Draft de carte (din 2009)

8.6. TEOREMA DE COMPLETITUDINE. MODELE HENKIN 213

Exemplu 8.5.11 Fie E0 : V −→ B, data de E0(x, y) = (x = y), pentru oricex, y ∈ V . Atunci

(B, (∃x)x∈V , E0)

este o V -algebra Boole cilindrica.

Notiunea de I-algebra Boole cilindrica este generalizarea structurii din Exemplul8.5.11. In interpretare, I reprezinta multimea variabilelor, (∃i)i∈I familia cuantifi-catorilor existentiali, iar E reflecta predicatul de egalitate.

Exemplul urmator ındeparteaza notiunea de algebra cilindrica de sintaxa luiLτ .

Exemplu 8.5.12 Fie X, I doua multimi nevide si F (XI , L2) multimea functiilorp : XI −→ L2.

Pentru i ∈ I si p : XI −→ L2, definim functia ∃i(p) : XI −→ L2 prin:

∃i(p)(x) =∨{p(y) | y ∈ XI , y |I\{i}= x |I\{i}}, pentru orice x ∈ XI .

In felul acesta, obtinem o functie ∃i : F (XI , L2) −→ F (XI , L2). ∃i este un cuan-tificator existential pe algebra Boole F(XI , L2).

De asemenea, definim E0(i, j) : XI −→ L2 prin:

E0(i, j)(x) ={

1, daca xi = xj ,0, daca xi 6= xj .

Se obtine o functie E0 : I2 −→ F (XI , L2) : (i, j) 7→ E0(i, j).Atunci

(F(XI , L2), (∃i)i∈I , E0)

este o I-algebra Boole cilindrica.

Observatie 8.5.13 Algebrele cilindrice sunt structuri algebrice ce provin din sin-taxa calculului cu predicate. Ele au fost definite si studiate de A. Tarski, de eleviisai L. Henkin si J.D. Monk si de numerosi alti cercetatori [23]. Algebrele poliadice,introduse de P. R. Halmos [20], constituie un al doilea tip de structuri algebricece au ca prototip algebra Lindenbaum-Tarski a lui Lτ . Intre algebrele cilindrice sialgebrele poliadice exista o legatura puternica (vezi [12]), multe din proprietatileunora putand fi transferate celorlalte structuri. Cu toate acestea, teoriile lor s-audezvoltat separat si, cel mai adesea, cu tehnici diferite.

8.6 Teorema de completitudine. Modele Henkin

Page 214: Draft de carte (din 2009)

214 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Completitudinea calculului cu predicate apare ca problema ın monografia luiHilbert si Ackermann din 1928 [24]. Prima demonstratie a teoremei de completi-tudine pentru calculul cu predicate a fost obtinuta de Godel ın teza sa de doctoratdin 1929 si publicata apoi ın [19]. Godel a demonstrat ıntai completitudinea cal-culului cu predicate fara egalitate, apoi a extins rezultatul si pentru limbaje cuegalitate. Limbajele considerate de Godel erau numarabile si nu contineau sim-boluri de operatii. In [19], este obtinuta si teorema de compacitate, ca un corolaral teoremei de completitudine. Demonstratia originara a teoremei de completitu-dine (bazata pe aducerea enunturilor la forma normala Skolem) are ın prezent maimult un interes istoric. Teorema de completudine a lui Godel stabileste echivalentateoremelor formale cu enunturile universal adevarate. In lucrarea [21], Henkindemonstreaza (pentru limbaje de orice cardinal) urmatorul rezultat: orice teorieconsistenta a lui Lτ admite un model. O consecinta imediata a sa este teorema decompletitudine extinsa, ce afirma echivalenta deductiei formale ın Lτ cu deductiasemantica. Teorema de completitudine a lui Godel este un caz particular al teore-mei de completitudine extinsa.

In aceasta sectiune, prezentam ın detaliu demonstratia data de Henkin pentruteorema de completitudine extinsa. Metoda folosita de Henkin ın demonstratie(cunoscuta sub numele de metoda constantelor) este un instrument eficace pen-tru constructii de modele ale teoriilor consistente (vezi discutia din [22]). Ea a fostfolosita apoi cu succes ın demonstrarea unor teoreme de completitudine pentru altesisteme logice (intuitionist, modal, temporal, etc.), ca si a unor teoreme importanteale teoriei modelelor (teorema de omitere a tipurilor, teoreme de interpolare de tipCraig, teoreme ale celor doi cardinali, etc.) (vezi [2], [5], [37]).

Fie Lτ un limbaj de ordinul I. Prin definitie, cardinalul lui Lτ este:

| Lτ |=| Form(Lτ ) |=| Sent(Lτ ) | .

Observatie 8.6.1 Presupunem ca V este numarabila si ca multimile de operatii,de relatii si de constante sunt cel mult numarabile. Atunci

| Lτ |=| Form(Lτ ) |=| Sent(Lτ ) |= ω,

unde ω este cardinalul multimilor numarabile. Spunem ca Lτ este limbaj numarabil.

Fie C o multime de constante noi si Lτ (C) limbajul obtinut din Lτ prin adaugareaconstantelor din C.

Observatie 8.6.2 Daca | Lτ |=| C |, atunci | Lτ (C) |=| Lτ |=| C |.

Lema 8.6.3 Fie ϕ(x) o formula ın Lτ , c o constanta din C si ϕ(c) enuntul dinLτ (C) obtinut prin ınlocuirea lui x cu c. Atunci pentru orice teorie T a lui Lτ ,avem:

T ` ϕ(c) ın Lτ (C) ⇐⇒ T ` ∀xϕ(x) ın Lτ .

Page 215: Draft de carte (din 2009)

8.6. TEOREMA DE COMPLETITUDINE. MODELE HENKIN 215

Demonstratie.=⇒: Daca α1(c), . . . , αn(c) = ϕ(c) este o demonstratie formala a lui ϕ(c) din T ınLτ (C), atunci α1(x), . . . , αn(x) este o demonstratie formala a lui ϕ(x) din T ın Lτ .Atunci T ` ϕ(x) ın Lτ , deci T ` ∀xϕ(x).⇐=: Daca T ` ∀xϕ(x) ın Lτ , atunci T ` ∀xϕ(x) ın Lτ (C). Cum ` ∀ϕ(x) → ϕ(c),rezulta T ` ϕ(c) ın Lτ (C). 2

Lema 8.6.4 Daca T este o teorie consistenta ın Lτ , atunci T este consistenta siın Lτ (C).

Demonstratie. Presupunem ca T nu este consistenta ın Lτ (C), deci existaϕ(c1, . . . , cn) ∈ Lτ (C), astfel ıncat

T ` ϕ(c1, . . . , cn) ∧ ¬ϕ(c1, . . . , cn), c1, . . . , cn ∈ C.

Conform Lemei 8.6.3,

T ` ∀x1 . . . ∀xn(ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ¬ϕ(x1, . . . , xn)),

deci:T ` ϕ(x1, . . . , xn) ∧ ¬ϕ(x1, . . . , xn) ın Lτ ,

ceea ce contrazice consistenta lui T . 2

O teorie ınchisa este formata numai din enunturi.In continuare, vom considera numai teorii ınchise.

Definitie 8.6.5 Fie T o teorie consistenta ın Lτ (C). T se numeste teorie Henkin,daca pentru orice formula ϕ(x) a lui Lτ (C), cu cel mult o variabila libera x, existac ∈ C, astfel ıncat

T ` ∃xϕ(x) → ϕ(c).

Observatie 8.6.6 Implicatia

T ` ϕ(c) → ∃xϕ(x)

are loc ıntotdeauna.

Pentru a da o interpretare notiunii de teorie Henkin, vom gandi o formula ϕ(x)ca pe o ”ecuatie” ın x. Atunci enuntul ∃xϕ(x) va semnifica existenta ”solutiilor”lui ϕ(x), iar ϕ(c) va ınsemna ca ”c este o solutie” a lui ϕ(x).

Atunci conditia T ` ∃xϕ(x) → ϕ(x) din definitia teoriei Henkin se interpreteazaastfel: daca ın ipotezele T ecuatia ϕ(x) admite solutie, atunci o solutie a sa poatefi aleasa din multimea C.

Lema 8.6.7 Fie Lτ un limbaj de ordinul I si C o multime de constante, astfelıncat | Lτ |=| C |. Daca T este o teorie consistenta ın Lτ , atunci exista o teorieHenkin T ın Lτ (C), cu T ⊆ T .

Page 216: Draft de carte (din 2009)

216 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Demonstratie. Vom face demonstratia numai pentru limbaje numarabile:

| LPC |=| C |=| Lτ (C) |= ω.

Fie C = (cn)n<ω o enumerare a lui C, cu n 6= m =⇒ cn 6= cm.Fie (ϕn(xn))n<ω o enumerare a formulelor lui Lτ (C) cu cel mult o variabila

libera. Construim prin inductie:· un sir de teorii (Tn)n<ω ale lui Lτ (C), cu T0 = T ,· un sir de constante din C: (en)n<ω,cu proprietatile:(i) Tn este consistenta ın Lτ (C),(ii) Tn+1 = Tn ∪ {∃xnϕn(xn) → ϕn(en)},unde en este o constanta din C ce nu apare ın Tn si

xn ={

variabila libera a lui ϕn, daca exista,orice variabila, daca ϕn nu are variabile libere.

Vom lua definitia prin recurenta a teoriilor Tn ca fiind data de (ii). Ramane saaratam ca daca Tn este consistenta, atunci si Tn+1 este consistenta.

Presupunem prin absurd ca teoria

Tn ∪ {∃xnϕn(xn) → ϕn(en)}este inconsistenta ın Lτ (C), deci, aplicand Propozitia 8.4.28, rezulta

Tn ` ¬(∃xnϕn(xn) → ϕn(en)).

AtunciTn ` ∃xnϕn(xn) ∧ ¬ϕn(en),

deci Tn ` ∃xnϕn(xn) si Tn ` ¬ϕn(en).Lema 8.6.3 implica Tn ` ∀xn¬ϕn(xn), deci Tn ` ¬∃xnϕn(xn): contradictie cufaptul ca Tn este consistenta.

Constructia prin inductie s-a terminat. Fie T =⋃

n<ω Tn. Se verifica usor ca T

este consistenta. Sa aratam ca T este teorie Henkin.Fie ϕ(x) ∈ Lτ (C) cu cel mult o variabila libera x, deci exista n cu ϕ(x) =

ϕn(xn):∃xϕ(x) → ϕ(en) = ∃xnϕn(xn) → ϕn(en) ∈ Tn+1 ⊆ T .

Atunci T ` ∃xϕ(x) → ϕ(en) si T este o teorie Henkin. 2

Lema 8.6.8 Fie T ⊆ T ′, T este teorie Henkin, T ′ este consistenta. Atunci T ′ esteteorie Henkin.

Demonstratie. Direct din definitie. 2

Fie C o multime de constante de acelasi cardinal cu limbajul Lτ si Lτ (C)limbajul obtinut din Lτ prin adjunctionarea constantelor din C.

Page 217: Draft de carte (din 2009)

8.6. TEOREMA DE COMPLETITUDINE. MODELE HENKIN 217

Fixam o teorie Henkin maximal consistenta ın Lτ (C).Pe multimea C, consideram relatia binara:

c ≈ ddef.⇔ (c = d) ∈ Σ ⇔ Σ ` (c = d).

Lema 8.6.9 ≈ este o relatie de echivalenta.

Demonstratie. Aratam ca relatia ≈ este reflexiva, simetrica si tranzitiva.· c ≈ c: Σ ` c = c.· c ≈ d =⇒ d ≈ c:Daca c ≈ d, atunci Σ ` c = d. Deoarece ` c = d → d = c, se obtine Σ ` d = c,deci d ≈ c.· c ≈ d, d ≈ e =⇒ c ≈ e:Intr-adevar, (c ≈ d, d ≈ e) implica (Σ ` c = d, Σ ` d = e) implica Σ ` (c = d)∧(d= e); dar avem si ` [(c = d)∧(d = e)] → (c = e); rezulta Σ ` (c = e), deci c ≈ e. 2

Vom considera multimea cat A = C/ ≈; c≈ va fi clasa de echivalenta a lui c ∈ C.

Lema 8.6.10 Fie t(x1, . . . , xn) un termen al lui Lτ si c1, . . . , cn ∈ C. Atunci

` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x).

Demonstratie. Fie ϕ(x) formula din Lτ (C): t(c1, . . . , cn) = x.` ϕ(t(c1, . . . , cn)) → ∃xϕ(x)` t(c1, . . . , cn) = t(c1, . . . , cn) → ∃x(t(c1, . . . , cn) = x)` t(c1, . . . , cn) = t(c1, . . . , cn)` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x). 2

Lema 8.6.11 Fie t(x1, . . . , xn) un termen al lui Lτ si c1, . . . , cn ∈ C constante.Atunci exista d ∈ C, astfel ıncat:

Σ ` t(c1, . . . , cn) = d.

Demonstratie. Conform Lemei 8.6.10, ` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x).Σ este o teorie Henkin, deci exista d ∈ C astfel ıncat:

Σ ` ∃x(t(c1, . . . , cn) = x) → (t(c1, . . . , cn) = d).

Prin m.p., rezulta:

Σ ` t(c1, . . . , cn) = d. 2

Vom organiza acum A ca o structura pentru Lτ .Fie f un simbol de operatie n-ara. Definim operatia n-ara fA pe A astfel:

Page 218: Draft de carte (din 2009)

218 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

fA(c≈1 , . . . , c≈n ) = d≈def.⇔ Σ ` f(c1, . . . , cn) = d.

Pentru orice c1, . . . , cn ∈ C, exista d ∈ C, astfel ıncat Σ ` f(c1, . . . , cn) = d(conform Lemei 8.6.11). 2

Lema 8.6.12 fA este bine definita.

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca:

(ci ≈ di, i = 1, . . . , n) si c ≈ d) =⇒ (Σ ` f(c1, . . . , cn) = c ⇔ Σ ` f(d1, . . . , dn)= d).

Anume vom arata ca:(ci ≈ di, i = 1, . . . , n) si (c ≈ d ) si (Σ ` f(c1, . . . , cn) = c) implica Σ `f(d1, . . . , dn) = d.Intr-adevar,(Σ ` ci = di, i = 1, . . . , n) si (Σ ` (c = d)) si (Σ ` f(c1, . . . , cn) = c) implica:

Σ ` (f(c1, . . . , cn) = c) ∧∧ni=1(ci = di) ∧ (c = d).

Dar,

` (f(c1, . . . , cn) = c) ∧∧ni=1(ci = di) ∧ (c = d) → (f(d1, . . . , dn) = d),

deci, prin m.p., rezulta

Σ ` f(d1, . . . , dn) = d. 2

Fie R un simbol de relatie n-ara. Definim relatia n-ara RA pe A astfel:

RAdef.= {(c≈1 , . . . , c≈n ) | Σ ` R(c1, . . . , cn)}.

Lema 8.6.13 RA este bine definita.

Trebuie sa aratam ca:

ci ≈ di, i = 1, . . . , n =⇒ (R(c1, . . . , cn) ∈ Σ ⇔ R(d1, . . . , dn) ∈ Σ).

Anume vom arata ca:(Σ ` ci = di, i = 1, . . . , n si Σ ` R(c1, . . . , cn)) implica Σ ` R(c1, . . . , cn)∧∧n

i=1(ci

= di).

Dar,

R(c1, . . . , cn) ∧∧ni=1(ci = di) → R(d1, . . . , dn),

Page 219: Draft de carte (din 2009)

8.6. TEOREMA DE COMPLETITUDINE. MODELE HENKIN 219

de unde, prin m.p., rezulta

` R(d1, . . . , dn).

2

Fie d o constanta a lui Lτ . Conform Lemei 8.6.11, exista c ∈ C, cu Σ ` d = c.Definim

dA = c≈def.⇔ (d = c) ∈ Σ.

Lema 8.6.14 Definitia lui dA este corecta.

Demonstratie. Daca c1, c2 ∈ C, Σ ` d = c1, Σ ` d = c2, atunci Σ ` (d = c1)∧ (d= c2). Cum` (d = c1) ∧ (d = c2) → (c1 = c2), rezulta Σ ` (c1 = c2), deci c≈1 = c≈2 . 2

Daca c ∈ C, atunci punem cA = c≈.In acest fel, am obtinut o structura A a limbajului Lτ (C).

Lema 8.6.15 Daca t(x1, . . . , xn) este un termen si c, c1, . . . , cn ∈ C, atunci:

tA(c≈1 , . . . , c≈n ) = c≈ ⇐⇒ Σ ` t(c1, . . . , cn) = c.

Demonstratie. Prin inductie, dupa modul de formare a termenului t.Tratam numai pasul inductiei.Fie t = f(t1(x1, . . . , xn), . . . , tm(x1, . . . , xn)) si presupunem ca echivalenta are

loc pentru termenii t1, . . . , tm. Conform Lemei 8.6.11, exista d1, . . . , dm ∈ C, Σ `ti(c1, . . . , cn) = di, pentru i = 1, . . . ,m. Din ipoteza inductiei,

tAi (c≈1 , . . . , c≈n ) = d≈i , i = 1, . . . , m.

AtuncitA(c≈1 , . . . , c≈n ) = c≈ ⇐⇒ fA(tA1 (c≈1 , . . . , c≈n ), . . . , tAm(c≈1 , . . . , c≈n )) = c≈

⇐⇒ fA(d≈1 , . . . , d≈m) = c≈

⇐⇒ Σ ` (d1, . . . , dm) = c (conform definitiei lui fA)⇐⇒ Σ ` f(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn)) = c (α)⇐⇒ Σ ` t(c1, . . . , cn) = c,

unde (α) rezulta astfel:Σ ` ti(c1, . . . , cn) = di, i = 1, . . . , m implica echivalenta urmatoareΣ ` f(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn)) = c ⇐⇒ Σ ` f(d1, . . . , dm) = c. 2

Lema 8.6.16 Pentru orice formula ϕ(x1, . . . , xn) ∈ L si pentru orice c1, . . . , cn ∈C, avem:

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ ⇐⇒ Σ ` ϕ(c1, . . . , cn).

Page 220: Draft de carte (din 2009)

220 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Demonstratie. Dupa modul de formare a formulei ϕ.

· ϕ este de forma t1(x1, . . . , xn) = t2(x1, . . . , xn):Conform Lemei 8.6.11, exista di ∈ C, cu Σ ` ti(c1, . . . , cn) = di, i = 1, 2. AplicandLema 8.6.15, obtinem:

d≈i = tAi (c≈1 , . . . , c≈n ), i = 1, 2.

In acest caz,

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ tA1 (c≈1 , . . . , c≈n ) = tA2 (c≈1 , . . . , c≈n )⇐⇒ d≈1 = d≈2⇐⇒ Σ ` d1 = d2

⇐⇒ Σ ` t1(c1, . . . , cn) = t2(c1, . . . , cn).

Ultima echivalenta rezulta din Σ ` di = ti(c1, . . . , cn), i = 1, 2 si din axiomeleegalitatii.

· ϕ este de forma R(t1, . . . , tm), cu ti = ti(x1, . . . , xn), i = 1, . . . ,m:Conform Lemei 8.6.11, exista d1, . . . , dm ∈ C, cu

(*) Σ ` ti(c1, . . . , cn) = di, 1 = 1, . . . , m.

Aplicand Lemma 8.6.15, obtinem:

d≈i = tAi (c≈1 , . . . , c≈n ), i = 1, . . . , m.

Atunci

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ (tA1 (c≈1 , . . . , c≈n ), . . . , tAm(c≈1 , . . . , c≈n )) ∈ RA

⇐⇒ (d≈1 , . . . , d≈m) ∈ RA

⇐⇒ R(d1, . . . , dm) ∈ Σ (conform definitiei lui RA)⇐⇒ R(t1(c1, . . . , cn), . . . , tm(c1, . . . , cn)) ∈ Σ conform (*)⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

· ϕ este de forma ¬ψ(x1, . . . , xn):Ipoteza inductiei este:

A |= ψ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ ψ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

Atunci

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ A 6|= ψ[c≈1 , . . . , c≈n ]⇐⇒ ψ(c1, . . . , cn) 6∈ Σ⇐⇒ ¬ψ(c1, . . . , cn) ∈ Σ (Σ este maximal consistenta)⇐⇒ ψ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

· ϕ este de forma ψ1 ∨ ψ2: exercitiu !

Page 221: Draft de carte (din 2009)

8.6. TEOREMA DE COMPLETITUDINE. MODELE HENKIN 221

· ϕ(x1, . . . , xn) este ∃xψ(x, x1, . . . , xn):

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ exista c≈ ∈ A, A |= ψ[c≈, c≈1 , . . . , c≈n ]⇐⇒ exista c ∈ C, ψ(c, c1, . . . , cn) ∈ Σ (ipoteza inductiei)⇐⇒ Σ ` ∃xψ(x, c1, . . . , cn) (Σ este teorie Henkin)⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

2

Observatie 8.6.17 Conform Propozitiei 8.6.16, pentru orice enunt ϕ ∈ Lτ (C),are loc echivalenta

A |= ϕ ⇐⇒ ϕ ∈ Σ,

de unde rezultaA |= Σ.

A se numeste modelul Henkin asociat teoriei Σ. Il vom mai nota si AΣ.

Teorema 8.6.18 Daca T este o teorie consistenta, atunci ea admite un model.

Demonstratie. Fie T o teorie consistenta a lui Lτ . Fie C o multime de constantenoi, cu | C |=| Lτ |. Conform Lemei 8.6.7, exista o teorie Henkin T , astfel ıncatT ⊆ T . Fie Σ o teorie maximal consistenta a lui Lτ (C), cu T ⊆ Σ. Σ este o teorieHenkin (conform Lemei 8.6.8).

Consideram modelul Henkin A, asociat lui Σ. Conform Propozitiei 8.6.16, pen-tru orice formula ϕ(x1, . . . , xn) ∈ L si c1, . . . , cn ∈ C:

A |= ϕ[c≈1 , . . . , c≈n ] ⇐⇒ ϕ(c1, . . . , cn) ∈ Σ.

Cum T ⊆ Σ, rezulta de aici ca A |= T . 2

Teorema 8.6.18 este valabila pentru limbaje de orice cardinal infinit. Cu exceptiaLemei 8.6.7, toti pasii necesari obtinerii Teoremei 8.6.18 au fost demonstrati ın cazulgeneral. Lema 8.6.7 a fost demonstrata numai pentru limbaje numarabile, pentrua evita folosirea inductiei transfinite.

Teorema 8.6.19 (Teorema de completitudine extinsa)Fie Σ o teorie si ϕ o formula a lui Lτ . Atunci

Σ ` ϕ ⇐⇒ Σ |= ϕ.

Demonstratie.=⇒: Prin inductie, ın raport cu definitia notiunii ”Σ ` ϕ”.⇐=: Presupunem Σ 6` ϕ, deci Σ∪{¬ϕ} este consistenta. Fie A |= Σ∪{¬ϕ}; atunciA |= Σ si A 6|= ϕ. Rezulta Σ 6|= ϕ. 2

Corolar 8.6.20 (Teorema de completitudine)Pentru orice formula ϕ a lui Lτ , are loc echivalenta urmatoare:

` ϕ ⇐⇒ |= ϕ.

Page 222: Draft de carte (din 2009)

222 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Demonstratie. Luam Σ = ∅. 2

Observatie 8.6.21 Se verifica usor ca reciproca Teoremei 8.6.18 este adevarata:daca o teorie admite un model, atunci ea este consistenta.

Observatie 8.6.22 Daca Σ este o teorie Henkin si AΣ este modelul sau Henkin,atunci

| AΣ |≤| C |=| Lτ (C) |=| Lτ | .

Corolar 8.6.23 (Teorema Lovenheim-Skolem) Orice teorie consistenta T ıntr-unlimbaj numarabil admite un model cel mult numarabil.

Demonstratie. Din Teorema 8.6.18 si din observatia precedenta. 2

Corolar 8.6.24 (Teorema de compacitate)O teorie T admite un model daca si numai daca orice parte finita a sa admite

un model.

Demonstratie. Se aplica Teorema 8.6.18, plus observatia: T este consistenta dacasi numai daca orice parte finita a sa este consistenta. 2

Corolar 8.6.25 Daca T are modele finite suficient de mari, atunci T admite unmodel infinit.

Demonstratie. Fie C = {cn | n < ω} o multime numarabila de constante noi.Consideram teoria lui Lτ (C):

Σ = T ∪ {¬(cn = cm) | n < m < ω}.

Orice submultime finita Σ′ a lui Σ are un numar finit de constante din C; fie elecontinute ın {c0, . . . , cm}. Fie A′ |= T cu | A′ |≥ m+1. Atunci exista a0, . . . , am ∈A′, distincte, deci (A′, a0, . . . , am) |= Σ′. Punand am+1, am+2, . . . arbitrare, esteevident ca

(A′, a0, . . . , am, am+1, . . .) |= Σ′.

Conform Teoremei de compacitate, Σ admite un model

(B, b0, . . . , bm, . . .) |= Σ,

cu (bm) distincte doua cate doua.Deci, B |= T si | B |≥ ω. 2

Observatie 8.6.26 Teorema de completitudine extinsa (Teorema 8.6.19) a fostdemonstrata pe baza Teoremei 8.6.18, iar Teorema de completitudine a rezultat caun caz particular al Teoremei 8.6.19. La randul ei, Teorema 8.6.18 poate fi obtinutadin Teorema de completitudine.

Pentru a proba aceasta afirmatie, sa consideram un enunt ϕ al unei teorii con-sistente T . Atunci {ϕ} este o multime consistenta, deci, aplicand Propozitia 8.4.28,

Page 223: Draft de carte (din 2009)

8.7. CUM SE STABILESTE DACA O FORMULA ESTE TEOREMA FORMALA223

6` ¬ϕ. Conform Teoremei de completitudine, 6|= ¬ϕ, deci exista o structura A astfelıncat A 6|= ¬ϕ. Rezulta A |= ϕ pentru orice ϕ ∈ T , deci A |= T .

In demonstratia celor trei rezultate (Teorema 8.6.18, Teorema 8.6.19 si Coro-larul 8.6.20) a fost invocata axioma alegerii (ın forma sa echivalenta, cunoscutasub numele de axioma lui Zorn). Intr-o axiomatizare a teoriei multimilor (de ex-emplu, Zermelo-Fraenkel) fara axioma alegerii, aceste trei rezultate devin enunturiechivalente logic.

8.7 Cum se stabileste daca o formula este teoremaformala

Exista trei moduri ın care putem stabili ca o formula este teorema formala:· pe cale sintactica: construind o demonstratie formala a formulei;· pe cale algebrica: prin trecerea la algebra Lindenbaum-Tarski;· pe cale semantica: calculand ‖ϕ‖ ıntr-o structura A oarecare.

Vom exemplifica pe cateva cazuri:

1. Care din urmatoarele enunturi este teorema formala ?(a) ∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y),(b) ∀y∃xϕ(x, y) → ∃x∀yϕ(x, y).

Solutie: Vom arata ca (a) este o teorema formala.· sintactic:` ∀yϕ(x, y) → ϕ(x, y) axioma` ∃x∀yϕ(x, y) → ∃xϕ(x, y) (Exercitiul 8.2.25(2))` ∀y[∃x∀yϕ(x, y) → ∃xϕ(x, y)] PG` ∀y[∃x∀yϕ(x, y) → ∃xϕ(x, y)] →[∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y)] axioma` ∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y) m.p..

· algebric:p(∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y)) = p(∃x∀yϕ(x, y)) → p(∀y∃xϕ(x, y)) =

[∨

u∈V

∧v∈V p(ϕ(u, v))] → [

∧w∈V

∨z∈V p(ϕ(w, z))] =

∧u[(

∧v p(ϕ(u, v))) → ∧

w

∨z p(ϕ(w, z))] =

∧u

∧w[(

∧v p(ϕ(u, v))) → (

∨z p(ϕ(w, z))] =

∧u,w[(¬∧

v p(ϕ(u, v))) ∨∨z p(ϕ(w, z))] =

∧u,w[

∨v ¬p(ϕ(u, v)) ∨∨

z p(ϕ(w, z))] =

Page 224: Draft de carte (din 2009)

224 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

∧u,w

∨v,z[¬p(ϕ(u, v)) ∨ p(ϕ(w, z))] = 1,

deoarece∨

v,z[¬p(ϕ(u, v)) ∨ p(ϕ(w, z))] = 1.

· semantic:Fie A o structura ın care calculam ‖ · ‖.‖∃x∀yϕ(x, y) → ∀y∃xϕ(x, y)‖ = ‖∃x∀yϕ(x, y)‖ → ‖∀y∃xϕ(x, y)‖ = 1⇐⇒‖∃x∀yϕ(x, y)‖ ≤ ‖∀y∃xϕ(x, y)‖⇐⇒∨

a∈A

∧b∈A ‖ϕ(a, b)‖ ≤ ∧

d∈A

∨c∈A ‖ϕ(c, d)‖

⇐⇒∧b∈A ‖ϕ(a, b)‖ ≤ ∨

c∈A ‖ϕ(c, d)‖, pentru orice a, d ∈ A.Ultima inegalitate este evidenta.

Solutie: Vom arata ca (b) nu este teorema formala.Fie Lτ limbajul egalitatii, A structura: A = {α, β}, cu α 6= β si ϕ(x, y) formula:x = y. Atunci‖∀y∃x(x = y)‖ =

∧b∈A

∨a∈A ‖a = b‖ =

(‖α = α‖ ∨ ‖α = β‖) ∧ (‖β = α‖ ∨ ‖β = β‖) = (1 ∨ 0) ∧ (0 ∨ 1) = 1.

‖∃x∀y(x = y)‖ =∨

a∈A

∧b∈A ‖a = b‖ =

(‖α = α‖ ∧ ‖α = β‖) ∨ (‖β = α‖ ∧ ‖β = β‖) = (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0.Atunci‖∀y∃xϕ(x, y) → ∃x∀yϕ(x, y)‖ = ‖∀y∃x(x = y)‖ → ‖∃x∀y(x = y)‖ = 1 → 0 = 0.Rezulta ca (b) nu este teorema formala.

2. Care din urmatoarele enunturi este teorema formala ?(a) ∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z),(b) ∀y∀z∃xϕ(x, y, z) → ∀z∃x∀yϕ(x, y, z).

Solutie: Demonstram ca (a) este teorema formala.

· sintactic:

Page 225: Draft de carte (din 2009)

8.7. CUM SE STABILESTE DACA O FORMULA ESTE TEOREMA FORMALA225

` ∀yϕ(x, y, z) → ϕ(x, y, z) axioma` ∃x∀yϕ(x, y, z) → ∃xϕ(x, y, z) (Exercitiul 8.2.25(2))` ∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀z∃xϕ(x, y, z) (Exercitiul 8.2.25(1))` ∀y[∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀z∃xϕ(x, y, z)] PG` ∀y[∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀z∃xϕ(x, y, z)] →[∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z)] axioma` ∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z) m.p..

· algebric:p(∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z)) =p(∀z∃x∀yϕ(x, y, z)) → p(∀y∀z∃xϕ(x, y, z)) =[∧

w

∨u

∧v p(ϕ(u, v, w))] → [

∧v′

∧w′

∨u′ p(ϕ(u′, v′, w′))] =∧

v′,w′ [(∧

w

∨u

∧v p(ϕ(u, v, w)) → ∨

u′ p(ϕ(u′, v′, w′))] = . . . = 1.

· semantic:‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z) → ∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ =‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖ → ‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ =

(∧

c∈A

∨a∈A

∧b∈A ‖ϕ(a, b, c)‖ → (

∧b′∈A

∧c′∈A

∨a′∈A ‖ϕ(a′, b′, c′)‖).

Trebuie sa aratam ca:∧c

∨a

∧b ‖ϕ(a, b, c)‖ ≤ ∧

b′∧

c′∨

a′ ‖ϕ(a′, b′, c′)‖,

ceea ce este echivalent cu

∧c

∨a

∧b ‖ϕ(a, b, c)‖ ≤ ∨

a′ ‖ϕ(a′, b′, c′)‖, pentru orice b′, c′ ∈ A.

Aceasta ultima inegalitate este usor de probat.

Solutie: Demonstram ca (b) nu este teorema formala.Consideram un limbaj cu un singur predicat n-ar, +, unde ϕ(x, y, z) este x + y =z si A = (N, +). Atunci

‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z) → ∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖ =‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ → ‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖.

Dar,‖∀y∀z∃xϕ(x, y, z)‖ =

∧n,p∈N

∨m∈N ‖m + p = n‖ = 1 si

‖∀z∃x∀yϕ(x, y, z)‖ =∧

p

∨n

∧m ‖m + p = n‖.

Facem p = 0 si calculam termenul corespunzator din intersectia ”dupa p”:

∨n

∧m ‖m + 0 = n‖ =

∨n

∧m ‖m = n‖ = 0,

deoarece pentru orice n,∧

m ‖m = n‖ = 0.Prin urmare, 1 → 0 = 0, deci (b) nu este teorema formala.

Page 226: Draft de carte (din 2009)

226 CHAPTER 8. SISTEMUL FORMAL AL CALCULULUI CU PREDICATE

Exercitiu 8.7.1 Fie Q1, Q2, Q3 ∈ {∃, ∀} si τ o permutare a {1, 2, 3}. Sa sedetermine care din enunturile:

Q1x Q2y Q3z ϕ(x, y, z) → Qτ(1)x Qτ(2)y Qτ(3)z ϕ(x, y, z)

este teorema formala.

Page 227: Draft de carte (din 2009)

Chapter 9

Dimensiunea probabilista alogicii clasice

Evenimentul si probabilitatea sunt notiunile pe care este construita teoria proba-bilitatilor. Este acceptata ipoteza ca multimea evenimentelor asociate unei experientealeatoare are o structura de algebra Boole. Atunci probabilitatile vor fi functii def-inite pe algebra Boole si luand valori ın intervalul [0,1] (le vom numi probabilitatialgebrice).

Un alt punct de vedere este identificarea unui eveniment cu enuntul ce-l descrie.In aceasta situatie, probabilitatile vor fi functii definite pe multimi de enunturi(le vom numi probabilitati logice). Probabilitatea logica apare ca un nou tip desemantica: ın loc sa consideram valorea de adevar a unui enunt, vom evalua prob-abilitatea sa. Axiomele probabilitatii exprima un ”comportament” ın raport cuoperatiile logice ale sistemului logic considerat. Pentru calculul propozitional, ax-iomele probabilitatii logice sunt inspirate din cunoscuta definitie a probabilitatii alui Kolmogorov si au ın vedere conectorii propozitionali. In cazul calculului cu pred-icate, este necesar ca axiomele probabilitatii sa fie ımbogatite cu cerinte referitoarela comportamentul fata de cuantificatori. O definitie satisfacatoare a probabilitatiilogice pentru calculul predicatelor a fost data de Gaifman ın lucrarea [11]. Printrealte rezultate, aceasta lucrare contine si o importanta teorema de completitudine.Teorema de completitudine a lui Gaifman a deschis calea catre o teorie a modelelorprobabiliste. Contributii remarcabile la dezvoltarea teoriei modelelor probabilisteau adus Scott si Krauss ın lucrarea [48]. Modelarea multimilor de evenimenteprin structura de algebra Boole presupune considerarea experientelor aleatoare ceurmeaza legile logicii clasice. Schimband sistemul logic, vom avea alte structurialgebrice pentru multimile de evenimente. Tipul de algebra va fi dat de algebraLindenbaum-Tarski a logicii considerate. Pentru fiecare caz ın parte, este necesaradefinirea unei notiuni adecvate de probabilitate. Asadar, fiecarui sistem de logicaıi corespunde o ”teorie a probabilitatilor”.

227

Page 228: Draft de carte (din 2009)

228 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Urmatoarele doua sectiuni reprezinta o introducere ın teoria probabilitatilorpentru calcul propozitional, respectiv pentru calculul cu predicate. Pe langa definitiilesi proprietatile fundamentale ale probabilitatilor definite pe algebre Boole, ın Sectiunea1, sunt demonstrate doua teoreme clasice: teorema lui Caratheodory si teoremaHorn-Tarski. Ele vor fi folosite ın Sectiunea 2 ın demonstrarea unor rezultate im-portante asupra structurilor Gaifman probabiliste. Cele cateva rezultate asuprastructurilor probabiliste demonstrate ın Sectiunea 2 constituie o introducere ıntr-oteorie a modelelor probabiliste, un domeniu de mare adancime al logicii.

In acest capitol am folosit bibliografia [1], [10], [11], [14], [18], [25], [32], [48],[50].

9.1 Probabilitati pe algebre Boole

In aceasta sectiune sunt introduse doua notiuni de probabilitate:- probabilitatea logica, definita pe multimea enunturilor logicii propozitionale cla-sice,- probabilitatea algebrica, definita pe o algebra Boole oarecare.

Prin trecere la algebra Lindenbaum-Tarski, o probabilitate logica se trans-forma ıntr-o probabilitate algebrica. Astfel, studiul probabilitatilor logice se reducela studiul probabilitatilor algebrice. Acesta este motivul pentru care ın aceastasectiune ne ocupam numai de probabilitati definite pe algebre Boole. Subsectiunea1 contine unele identitati satisfacute de aceste probabilitati, ın timp ce Subsectiunea2 contine cateva proprietati simple ale σ-algebrelor si σ-probabilitatilor. In subsectiunileurmatoare sunt demonstrate doua teoreme de prelungire: teorema lui Caratheodorysi teorema Horn-Tarski.

9.1.1 Evenimente si probabilitati

Constructia teoriei probabilitatilor porneste cu doua notiuni fundamentale: eveni-mentul si probabilitatea. Evenimentele sunt asociate unor experiente aleatoare.Vom face ipoteza ca experientele aleatoare considerate urmeaza legile logicii clasice.In tratarea celor doua notiuni fundamentale pot fi adoptate doua puncte de vedere.

(I) Multimea B a evenimentelor asociate unei experiente aleatoare areo structura de algebra Boole. In cest caz, a evalua “probabilitatea” realizariiunui eveniment din B revine la a da o functie de la B ın R+. Aceasta functie,numita probabilitate, va fi supusa unor conditii ce exprima comportamentul saufata de operatiile booleene ale lui B. Mai general, vom considera probabilitatidefinite pe algebre Boole oarecare.

Fie B = (B,∨,∧,−, 0, 1) o algebra Boole oarecare. Elementele lui B se vor numievenimente.

Page 229: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 229

Definitie 9.1.1 O probabilitate pe algebra Boole B este o functie m : B −→ R+

cu proprietatile urmatoare:(P1) m(1) = 1,(P2) pentru orice x, y ∈ B, daca x ∧ y = 0, atunci m(x ∨ y) = m(x) + m(y).

Probabiliatea m este strict pozitiva daca m(x) > 0 pentru orice x ∈ B \ {0}.Observatie 9.1.2 Conform teoremei de reprezentare a lui Stone, exista o multimenevida X si un morfism boolean injectiv d : B −→ P(X). Atunci evenimentele seidentifica cu parti ale lui X. Pe aceasta cale, se ajunge la modelul ansamblist alteoriei probabilitatilor.

(II) Evenimentele sunt identificate cu enunturi ın logica propozitiilorclasica, iar probabilitatile vor fi functii definite pe multimi de enunturi.

Fie L sistemul formal al calculului propozitional si E multimea enunturilor sale.

Definitie 9.1.3 O probabilitate pe L este o functie µ : E −→ R+ cu proprietateaca pentru orice ϕ,ψ ∈ E, urmatoarele conditii sunt satisfacute:(i) ` ϕ implica µ(ϕ) = 1,(ii) ` ¬(ϕ ∧ ψ) implica µ(ϕ ∨ ψ) = µ(ϕ) + µ(ψ).

O functie m : B −→ [0, 1] ce verifica axioma (P2) se numeste masura pe B.O probabilitate pe L se mai numeste si probabilitate logica, ın timp ce o

probabilitate pe o algebra Boole se mai numeste probabilitate algebrica.

Lema 9.1.4 Daca µ este o probabiliate logica, atunci(a) µ(¬ϕ) = 1− µ(ϕ),(b) ` ϕ ↔ ψ implica µ(ϕ) = µ(ψ).

Dem.(a): In L, avem urmatoarele teoreme formale: ` ϕ∨¬ϕ si ` ¬(ϕ∧¬ϕ). Conform

axiomelor (i) si (ii), µ(ϕ∨¬ϕ) = 1 si µ(ϕ∨¬ϕ) = µ(ϕ) + µ(¬ϕ), de unde µ(¬ϕ) =1− µ(ϕ).

(b): Presupunem ` ϕ ↔ ψ, deci ` ϕ → ψ si ` ψ → ϕ. Atunci ` ¬ϕ ∨ ψ si` ¬(¬ϕ ∧ ψ), de unde 1 = µ(¬ϕ ∨ ψ) = µ(¬ϕ) + µ(ψ) = 1 − µ(ϕ) + µ(ψ), deciµ(ϕ) = µ(ψ). 2

Fie E/∼ = {ϕ | ϕ ∈ E} algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L. Vom stabilio relatie ıntre probabilitatile logice si probabilitatile definite pe algebra Boole E/∼.

Fie µ : E −→ R+ o probabilitate logica. Consideram functia mµ : E/∼ −→ R+

definita prin mµ(ϕ) = µ(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E. Lema 9.1.4(b) ne asigura ca mµ

este bine definita. Este usor de observat ca mµ este o probabilitate pe E/∼.Reciproc, fie m : E/∼ −→ R+ o probabilitate pe algebra Boole E/∼. Putem

defini o functie µm : E −→ R+ prin µm(ϕ) = m(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E. Atunciµm o probabilitate logica.

Functiile µ 7→ mµ si m 7→ µm sunt inverse una celeilalte. Prin urmare, studiulprobabilitatilor logice se reduce la studiul probabilitatilor definite pe algebre Boole.

Page 230: Draft de carte (din 2009)

230 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

9.1.2 Proprietati ale probabilitatilor

Fie B o algebra Boole si m : B −→ R+ o probabilitate pe B.

Notatie 9.1.5 Pentru x, y ∈ B, vom nota

x− ynotatie= x ∧ y− = (x−)− ∧ y− = (y ∨ x−)− = y →R x.

Propozitia 9.1.6 Pentru orice x, y ∈ B, urmatoarele proprietati sunt verificate:(1) m(x−) = 1−m(x),(2) m(0) = 0,(3) m(x− y) = m(x)−m(x ∧ y),(4) daca y ≤ x, atunci m(x− y) = m(x)−m(y),(5) daca y ≤ x, atunci m(y) ≤ m(x),(6) 0 ≤ m(x) ≤ 1,(7) m(x ∨ y) = m(x) + m(y)−m(x ∧ y) si m(x ∧ y) = m(x) + m(y)−m(x ∨ y),(8) m(x → y) = 1−m(x) + m(x ∧ y),(9) m(x ↔ y) = 1−m(x)−m(y) + 2m(x ∧ y).

Dem.(1): Din x ∨ x = 1, x ∧ x− = 0 rezulta 1 = m(x ∨ x−) = m(x) + m(x−).(2): Din (1).(3): Din x = (x− y) ∨ (x ∧ y) si x− y) ∧ (x ∧ y) = 0.(4): Din (3).(5): Din (4).(6): Din (5).(7): Observam ca x ∨ y = x ∨ (y − x) si x ∧ (y − x) = 0. Atunci m(x ∨ y) =

m(x) + m(y − x) = m(x) + m(y)−m(x ∧ y). Partea a doua urmeaza imediat.(8): Aplicand succesiv (7), (1) si (3), obtinem: m(x → y) = m(x− ∨ y) =

m(x−) + m(y)−m(x− ∧ y) = 1−m(x) + m(y)−m(y − x) = 1−m(x) + m(y)−(m(y)−m(x ∧ y)) = 1−m(x) + m(x ∧ y).

(9): Se aplica (7), (8) si proprietatea (x → y) ∨ (y → x) = 1: m(x ↔ y) =m((x → y) ∧ (y → x)) = m(x → y) + m(y → x) − m((x → y) ∨ (y → x)) =[1−m(x) +m(x∧ y)] + [1−m(y) +m(x∧ y)]− 1 = 1−m(x)−m(y) + 2m(x∧ y).2

Propozitia 9.1.7 Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B. Atunci

(1) m(∨ni=1xi) = Σn

i=1m(xi)−Σ1≤i<j≤nm(xi∧xj)+Σ1≤i<j<k≤nm(xi∧xj∧xk)−. . .+(−1)n−1m(x1∧x2∧. . .∧xn),

(2) m(∧ni=1xi) = Σn

i=1m(xi)−Σ1≤i<j≤nm(xi∨xj)+Σ1≤i<j<k≤nm(xi∨xj∨xk)−. . .+(−1)n−1m(x1∨x2∨. . .∨xn).

Corolar 9.1.8 Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B astfel ıncat xi ∧ xj = 0 pentru orice i 6= j.Atunci

m(∨ni=1xi) = Σn

i=1m(xi).

Page 231: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 231

Propozitia 9.1.9 Fie m : B −→ [0, 1] o functie oarecare. Atunci sunt echivalenteafirmatiile urmatoare:(1) m este o probabilitate,(2) m verifica urmatoarele conditii:

(a) m(0) = 0, m(1) = 1,(b) pentru orice x, y ∈ B, m(x) + m(x → y) = m(y) + m(y → x).

Dem.(1) =⇒ (2): Egalitatea m(x) + m(x → y) = m(y) + m(y → x) rezulta din

Propozitia 9.1.6(8).(2) =⇒ (1): Tinand cont ca x → (x∧ y) = x → y = (x∨ y) → y, prin aplicarea

lui (b) rezulta

m(x∧y)+1 = m(x∧y)+m((x∧y) → x) = m(x)+m(x → (x∧y)) = m(x)+m(x → y),

m(y)+1 = m(y)+m(x → (x∨y)) = m(x∨y)+m((x∨y) → y) = m(x∨y)+m(x → y).

Deducem ca m(x ∨ y) + m(x ∧ y) = m(x) + m(y), deci m este o probabilitate peB. 2

Observatie 9.1.10 Propozitia precedenta arata ca probabilitatile pe algebra Boolepot fi definite folosind numai implicatia →. Egalitatea (b) din Propozitia 9.1.9poate fi folosita pentru introducerea unui concept de probabilitate pentru alte sis-teme logice (intuitionism, logici fuzzy, etc.)

Amintim operatiile de inel boolean ale lui B: x + y = (x − y) ∨ (y − x) six · y = x ∧ y.

Propozitia 9.1.11 Fie x1, x2, . . . , xn ∈ B. Atunci

m(x1+. . .+xn) = Σni=1m(xi)−2Σ1≤i<j≤nm(xi·xj)+22Σ1≤i<j<k≤nm(xi·xj ·xk)−. . .+(−2)n−1m(x1·. . .·xn).

Dem. Pentru n = 2, avem m(x+y) = m((x−y)+(y−x)) = m(x−y)+m(y−x) =m(x) −m(x ∧ y) + m(y) −m(x ∧ y) = m(x) + m(y) − 2m(x · y). Se procedeazaapoi prin inductie. 2

Presupunem ca algebra Boole B este finita si ca At(B) = {a1, . . . , an} estemultimea atomilor lui B. Orice element x ∈ B se scrie sub forma

x = ∨{a ∈ At(B) | a ≤ x}.

Cum orice doi atomi distincti sunt disjuncti, aplicand Corolarul 9.1.8, rezulta

m(x) = Σ{m(a) | a ∈ At(B), a ≤ x}.

Atunci probabilitatea m este determinata de restrictia sa m |At(B) la multimeaatomilor lui B.

Page 232: Draft de carte (din 2009)

232 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Presupunem ca atomii a1, . . . , an sunt “egal probabili”: m(a1) = . . . = m(an).Atunci

1 = m(1) = m(∨ni=1ai) = Σn

i=1m(ai),

deci m(ai) = 1n , pentru orice i = 1, . . . , n.

Daca x ∈ B si card{a ∈ At(B) | a ≤ x} = m, atunci m(x) = mn . Se obtine

definitia probabilitatii ın sens clasic.

9.1.3 σ-algebre si σ-probabilitati

Lema 9.1.12 Fie B o algebra Boole. Sunt echivalente afirmatiile urmatoare:(i) Pentru orice X ⊆ B numarabila, exista supX,(ii) Pentru orice X ⊆ B numarabila, exista inf X.

O σ-algebra este o algebra Boole ce verifica conditiile echivalente din Lema 9.1.12.

Fie F un filtru al unei algebre Boole B si p : B −→ B/F morfismul canonic. Fse numeste σ-filtru daca pentru orice submultime numarabila X a lui B, X ⊆ Fimplica supX ∈ F .

Daca B este o σ-algebra si F este un σ-filtru, atunci B/F este o σ-algebra.Fie B1 si B2 doua σ-algebre. Un morfism boolean f : B1 −→ B2 se numeste

σ-morfism daca pentru orice submultime numarabila X a lui B1, avem f(sup X) =sup f(X). Daca f : B1 −→ B2 este σ-morfism, atunci f(inf X) = inf f(X), pentruorice X ⊆ B1 numarabila. Daca F este un σ-filtru al unei σ-algebre B, atuncip : B −→ B/F este un σ-morfism.

Exemple 9.1.13(a) Fie Lω1ω logica infinitara ce admite disjunctii si conjunctii cel mult numarabile.

Algebra Lindenbaum-Tarski a logicii Lω1ω este o σ-algebra.(b) Daca (X,O) este un spatiu topologic, atunci σ-corpul de parti generat de

familia O a multimilor deschise este σ-algebra multimilor boreliene.

O multime E a unei algebre Boole B se numeste disjuncta daca orice doua ele-mente diferite ale sale sunt disjuncte. O algebra Boole B satisface conditia lantuluinumarabil daca orice submultime disjuncta a sa formata din elemente nenule estecel mult numarabila.

Propozitia 9.1.14 Daca B este o algebra Boole, atunci sunt echivalente afirmatiileurmatoare:(a) B satisface conditia lantului numarabil;(b) Pentru orice E ⊆ B, exista D ⊆ E cel mult numarabila astfel ıncat D si E auaceeasi multime de majoranti.

Page 233: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 233

Dem.(a) =⇒ (b): Fie E ⊆ B si I idealul generat de E:

I = {b ∈ B | exista b1, . . . , bn ∈ E, b ≤ b1 ∨ . . . ∨ bn}.Se observa ca E si I au aceiasi majoranti. Aplicand axioma lui Zorn, putem gasi omultime F ⊆ I maximala ın raport cu urmatoarele proprietati: F este disjuncta si0 6∈ F . Este evident ca orice majorant al lui I este si majorant al lui F .

Vom demonstra si afirmatia reciproca. Presupunem prin absurd ca exista unmajorant b0 al lui F care nu este majorant al lui I. Atunci exista b1 ∈ I, b1 6≤ b0,de unde rezulta b1− b0 = b1∧ b−0 ∈ I si b1− b0 6= 0. Pentru orice b ∈ F , b ≤ b0, decib∧(b1−b0) = 0. De asemenea, b1−b0 6∈ F (altfel, b1−b0 = (b1−b0)∧(b1−b0) = 0).Prin urmare, F ∪{b1−b0} este disjuncta si F ⊂ F ∪{b1−b0} ⊆ I, ceea ce contrazicemaximalitatea lui F . Rezulta ca I si F au aceiasi majoranti.

Conform (a), F este cel mult numarabila: F = {f1, f2, . . . , fn, . . .}. Cum F ⊆ I,pentru orice n exista bn

1 , . . . , bnjn∈ E astfel ıncat

fn ≤ bn1 ∨ . . . ∨ bn

jn.

Multimea D =⋃∞

n=1{bn1 , . . . , bn

jn} ⊆ E este numarabila si D,F au aceiasi majoranti.

Rezulta ca multimile E, I, F si D au aceiasi majoranti.(b) =⇒ (a): Fie E o multime disjuncta de elemente nenule. Conform (b), exista

D ⊆ E cel mult numarabila avand aceiasi majoranti ca E. Presupunem ca existax ∈ E \D. Pentru orice a ∈ D, a∧x = 0, deci a ≤ x−. Atunci x− este un majorantal lui D, dar nu al lui E. Contradictia obtinuta ne arata ca E = D. 2

Corolar 9.1.15 Orice σ-algebra B ce satisface conditia lantului numarabil estecompleta.

Dem. Fie E ⊆ B. Atunci exista D ⊆ E cel mult numarabila astfel ıncat D si E auaceeasi multime de majoranti. Cum sup D exista ın B, este clar ca sup E = sup D.2

Propozitia 9.1.16 Fie m o probabilitate strict pozitiva pe algebra Boole B. AtunciB satisface conditiile lantului numarabil.

Dem. Fie E ⊆ B o multime disjuncta. Putem presupune ca 0 6∈ E. Pentru oricenumar natural n ≥ 1, notam

En = {x ∈ E | m(x) ≥ 1n}.

Cum m este strict pozitiva, rezulta E = ∪∞n=1En. De asemenea, card(En) ≤ n pen-tru orice n ≥ 1. Intr-adevar, daca ar exista n+1 elemente distincte x1, . . . , xn+1 ∈En, atunci

m(∨n+1i=1 xi) = Σn+1

i=1 m(xi) ≥ n + 1n

> 1.

Asadar, fiecare multime En este finita, deci E = ∪∞n=1En este cel mult numarabila.2

Page 234: Draft de carte (din 2009)

234 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Corolar 9.1.17 Fie m o probabilitate strict pozitiva pe σ-algebra B. Atunci B esteo algebra Boole completa.

Dem. Se aplica Propozitia 9.1.16 si Corolarul 9.1.15. 2

Notatie 9.1.18 Fie (xn) un sir ın algebra Boole B si x ∈ B. Atunci notam:(xn) ↑ atunci cand sirul (xn) este crescator,(xn) ↓ atunci cand sirul (xn) este descrescator,xn ↑ x atunci cand sirul (xn) este crescator si ∨∞n=1xn = x,xn ↓ x atunci cand sirul (xn) este descrescator si ∧∞n=1xn = x.

Un sir (xn) se numeste disjunct daca {xn | n ≥ 1} este o multime disjuncta.

Definitie 9.1.19 Fie B o σ-algebra. O functie m : B −→ R+ se numeste σ-probabilitate daca:(1) m(∨∞n=1xn) = Σ∞n=1(xn), pentru orice sir disjunct (xn) din B,(2) m(1) = 1.

Orice σ-probabilitate este o probabilitate. Daca B este o algebra Boole finita,atunci cele doua notiuni sunt echivalente.

Propozitia 9.1.20 Fie m o probabilitate pe σ-algebra B. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:(a) m este o σ-probabilitate,(b) Pentru orice sir crescator (xn) din B,

m(∨∞n=1xn) = limn→∞

m(xn),

(c) Pentru orice sir descrescator (xn) din B,

m(∧∞n=1xn) = limn→∞

m(xn),

(d) Pentru orice sir (xn) din B, daca xn ↑ 1, atunci

limn→∞

m(xn) = 1,

(e) Pentru orice sir (xn) din B, daca xn ↓ 0, atunci

limn→∞

m(xn) = 0.

Dem.(a) =⇒ (b): Fie (xn) un sir crescator. Formam sirul (yn) punand:

y1 = x1, y2 = x2 − x1, ..., yn+1 = xn+1 − xn, ... .Se observa ca (yn) este un sir disjunct si ca ∨∞n=1xn = ∨∞n=1yn. m este o σ-probabilitate, deci

m(∨∞n=1xn) = m(∨∞n=1yn) = Σ∞n=1m(yn) = limn→∞

[m(y1) + . . . + m(yn)] =

Page 235: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 235

limn→∞

[m(x1) + m(x2)−m(x1) + . . . + m(xn)−m(xn−1)] = limn→∞

m(xn).

(b) =⇒ (a): Fie (xn) un sir disjunct. Consideram sirul: yn = ∨ni=1xi, n =

1, 2, . . . . m fiind probabilitate, m(yn) = Σni=1m(xi), pentru orice numar natural

n ≥ 1. Se observa ca (yn) este un sir crescator si ∨∞n=1m(yn) = ∨∞n=1m(xn), deci

m(∨∞n=1xn) = m(∨∞n=1yn) = limn→∞

m(yn) = limn→∞

Σni=1m(xi) = Σ∞n=1m(xn).

Demonstrarea echivalentelor (b) ⇐⇒ (c) ⇐⇒ (d) ⇐⇒ (e) nu ridica probleme.2

Exercitiu 9.1.21 Fie m o σ-probabilitate definita pe σ-algebra B.(i) F = {x ∈ B | m(x) = 1} este un σ-filtru propriu al lui B.(ii) Daca p : B −→ B/F este σ-morfismul canonic, atunci exista o unica σ-probabilitate µ pe B/F astfel ıncat µ ◦ p = m.

9.1.4 Teorema lui Caratheodory

Fie A o σ-algebra. O multime nevida M ⊆ A se numeste monotona daca pentruorice sir (xn) de elemente ale lui M , au loc proprietatile urmatoare:(xn) ↑ implica ∨∞n=1xn ∈ M ,(xn) ↓ implica ∧∞n=1xn ∈ M .

Lema 9.1.22(i) Orice intersectie de σ-subalgebre ale lui A este o σ-subalgebra.(ii) Orice intersectie de multimi monotone este monotona.

Fie X ⊆ A. Vom nota:S(X)= intersectia σ-subalgebrelor lui A ce includ pe X;M(X)= intersectia multimilor monotone ce includ pe X.

S(X) se numeste σ-subalgebra a lui A generata de X, iar M(X) se numestemultimea monotona generata de X.

Propozitia 9.1.23 Daca B este o subalgebra Boole a σ-algebrei A, atunci S(B) =M(B).

Dem. Este evident ca B ⊆ M(B) ⊆ S(B). Daca notam

M ′ = {x ∈ A | x ∈ M(B), x− ∈ M(B)},

atunci M ′ este monotona si B ⊆ M ′ ⊆ M(B), deci M ′ = M(B), de unde rezultaca M(B) este inchisa la complement. Pentru a ∈ M(B),

Ma = {x | x ∈ M(B), a ∧ x ∈ M(B)}

Page 236: Draft de carte (din 2009)

236 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

este monotona si B ⊆ Ma ⊆ M(B), deci Ma = M(B). Rezulta ca M(B) esteinchisa la ∧. Am aratat ca M(B) este subalgebra Boole a lui A. Cum M(B) estesi monotona, rezulta ca este o σ-subalgebra a lui A. Atunci S(B) ⊆ M(B), deciS(B) = M(B). 2

Lema 9.1.24 Fie B o subalgebra Boole a unei σ-algebre A si fie m o probabilitatepe B. Sunt echivalente afirmatiile urmatoare:(a) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↑ si x = ∨Axn ∈ B implica m(x) = limn→∞m(xn).(b) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↓ si x = ∧Axn ∈ B implica m(x) = limn→∞m(xn).(c) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↑ 1 implica limn→∞m(xn) = 1.(d) Pentru orice (xn) ⊆ B, (xn) ↓ 0 implica limn→∞m(xn) = 0.

O probabilitate m : B −→ [0, 1] ce verifica proprietatile echivalente (a)-(d) senumeste continua pe B.

Observatie 9.1.25 Fie m o probabilitate definita pe o σ-algebra B. ConformPropozitiei 9.1.20, m este o σ-probabilitate daca si numai daca m este continua peB.

In aceasta sectiune vom prezenta o demonstratie a urmatoarei teoreme a luiCaratheodory.

Teorema 9.1.26 (Teorema lui Caratheodory)Fie B o subalgebra Boole a unei σ-algebre A si m : B −→ [0, 1] o probabilitate

continua. Atunci exista o unica σ-probabilitate m : S(B) −→ [0, 1] astfel ıncatm |B= m.

Demonstratia Teoremei 9.1.26 se bazeaza pe o serie de leme, prezentate ın contin-uare.

In cele ce urmeaza, B este o subalgebra Boole a σ-algebrei A si m : B −→ [0, 1]este o probabilitate continua pe B.

Lema 9.1.27 Fie doua siruri (an), (bn) ın B si c ∈ A astfel ıncat an ↑ c si bn ↑ cın A. Atunci limn→∞m(an) = limn→∞m(bn).

Dem. Din c = ∨∞n=1an = ∨∞n=1bn rezulta ak = ∨∞n=1(ak ∧ bn), pentru orice k ≥ 1.Atunci (ak ∧ bn)n ↑ ak, deci

m(ak) = limn→∞

m(ak ∧ bn) ≤ limn→∞

m(bn).

Aceasta inegalitate are loc pentru orice n ≥ 1, deci

limk→∞

m(ak) ≤ limn→∞

m(bn).

2

Consideram multimea

F = {∨∞n=1an | (an) ⊆ B}.

Page 237: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 237

F este o sublatice a lui A si B ⊆ F . Pentru orice x ∈ F , putem gasi un sir (an) ⊆ Bastfel ıncat an ↑ x. Definim functia π : F −→ [0, 1] prin

π(x) = limn→∞

m(an), daca x ∈ F si (an) ⊆ B astfel ıncat an ↑ x.

Lema 9.1.28 Functia π are proprietatile urmatoare:(e) Pentru orice a ∈ B, π(a) = m(a).(f) Pentru orice x, y ∈ F , π(x ∨ y) = π(x) + π(y)− π(x ∧ y).(g) Daca x, y ∈ F si x ≤ y, atunci π(x) ≤ π(y).(h) Daca (xn) ⊆ F , x ∈ F si xn ↑ x, atunci limn→∞ π(xn) = π(x).

Dem. Vom demonstra numai (f) si (h).(f): Fie x, y ∈ F si (an), (bn) ın B astfel ıncat an ↑ x si bn ↑ y. Atunci

(an ∨ bn) ↑ (x ∨ y) si (an ∧ bn) ↑ (x ∧ y), deci

π(x∨y) = limn→∞

m(an∨bn) = limn→∞

[m(an)+m(bn)−m(an∧bn)] = π(x)+π(y)−π(x∧y).

(h): Fie (xn) ⊆ F si x ∈ F astfel ıncat xn ↑ x. Pentru orice n ≥ 1, consideramsirul (amn)n ⊆ B astfel ıncat amn ↑ xm. Daca m ≤ n, atunci amn ≤ xm ≤ xn, deci∨n

m=1amn ≤ ∨nm=1xm ≤ xn. Notand bn = ∨∞m=1amn, avem ∨n

m=1amn ≤ bn ≤ xn.Se observa ca sirul (bn) ⊆ B este crescator.Fie m ≤ n. Atunci amn ≤ bm ≤ xn. Rezulta

∨∞n=mamn ≤ ∨∞n=mbn ≤ ∨∞n=mxn,

de unde se obtine xm ≤ ∨∞n=1bn ≤ x. Ultima inegalitate este valabila pentru oricem ≥ 0, deci

x = ∨∞m=1xm ≤ ∨∞n=1bn ≤ x.

Atunci x = ∨∞n=1bn, rezultand bn ↑ x. Am aratat ca π(x) = limn→∞m(bn).Pentru m ≤ n, avem amn ≤ bn ≤ xn, de unde m(amn) ≤ m(bn) ≤ m(xn). Dinaceste inegalitati rezulta, pentru orice m ≥ 1:

limn→∞

m(amn) ≤ limn→∞

m(bn) ≤ limn→∞

m(xn).

Aceste ultime inegalitati se mai scriu:

π(xm) ≤ π(x) ≤ limn→∞

m(xn),

de unde, prin trecerea la limita dupa m:

limm→∞

π(xm) ≤ π(x) ≤ limn→∞

m(xn).

S-a obtinut ca π(x) = limn→∞m(xn). 2

Consideram functia π∗ : A −→ [0, 1] definita astfel:

π∗(u) = inf{π(x) | x ∈ F, u ≤ x}.

Page 238: Draft de carte (din 2009)

238 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Lema 9.1.29 Functia π∗ are proprietatile urmatoare:(i) Pentru orice x ∈ F , π∗(x) = π(x).(j) Pentru orice u1, u2 ∈ A, u1 ≤ u2 implica π∗(u1) ≤ π∗(u2).(k) Daca u1, u2 ∈ A, atunci π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2) ≤ π∗(u1) + π∗(u2)(ın particular π∗(u) + π∗(u−) ≥ 1, pentru orice u ∈ A).(l) Daca (un) ⊆ A, u ∈ A si un ↑ u, atunci limn→∞ π∗(un) = π∗(u).

Dem. Vom trata numai punctele (k) si (l).(k): Fie ε > 0. Din definitia operatiei inf, exista x1, x2 ∈ F , astfel ıncat x1 ≥ u1,

x2 ≥ u2 siπ∗(u1) +

ε

2≥ π(x1), π∗(u2) +

ε

2≥ π(x2).

Adunand aceste inegalitati si tinand cont de Lema 9.1.28 (f), (g), vom avea

π∗(u1)+π∗(u2)+ε ≥ π(x1)+π(x2) = π(x1∨x2)+π(x1∧x2) ≥ π∗(u1∨u2)+π∗(u1∧u2).

Cum ε > 0 este arbitrar, π∗(u1) + π∗(u2) ≥ π∗(u1 ∨ u2), π∗(u1 ∧ u2).(l): Fie ε > 0. Consideram un sir de numere reale strict pozitive (εn) astfel

ıncat Σn→∞εn = ε. Conform definitiei operatiei inf, pentru orice numar naturaln ≥ 1 exista xn ∈ F astfel ıncat xn ≥ un si π∗(un) + εn ≥ π(xn) = π∗(xn). Prininductie dupa n, vom demonstra urmatoarea inegalitate:

(9.1) π(∨nk=1xk) ≤ π∗(un) + Σn

k=1εk.

Pentru n = 1, se aplica definitia lui π∗.Presupunem inegalitatea adevarata pentru n; sa demonstram ca este adevaratapentru n + 1; ıntr-adevar,tinand cont de Lema 9.1.28(f) si de ipoteza inductiei, obtinem:

π(∨n+1k=1xk) = π(∨n

k=1xk) + π(xn+1)− π(xn+1 ∧ ∨nk=1xk) ≤

≤ π∗(un) + Σnk=1εk + π∗(un+1) + εn+1 − π(xn+1 ∧ ∨n

k=1xk).

Dar un ≤ un+1 ≤ xn+1 si un ≤ xn ≤ ∨nk=1xk, deci un ≤ xn+1 ∧ ∨n

k=1xk ∈ B, deunde rezulta π∗(un) ≤ π(xn+1 ∧ ∨n

k=1xk). Se obtine

π(∨n+1k=1xk) ≤ π∗(un) + ∨n+1

k=1εk + π∗(un+1)− π∗(un) = π∗(un+1) + Σn+1k=1εk,

ceea ce termina inductia.Trecand la limita ın inegalitatea (9.1) si tinand cont de Lema 9.1.28 (h), vom avea

π∗(∨∞n=1un) ≤ π∗(∨∞n=1xn) = π(∨∞n=1xn) = limn→∞

π(∨nk=1xk) ≤ lim

n→∞π∗(un) + ε.

Cum ε > 0 a fost ales arbitrar, π∗(∨∞n=1un) ≤ limn→∞ π∗(un). Insa u = ∨∞n=1un,deci are loc inegalitatea

π∗(u) ≤ limn→∞

π∗(un).

Page 239: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 239

Pentru orice n ≥ 1, un ≤ u implica π∗(un) ≤ π∗(u), de unde limn→∞ π∗(un) ≤π∗(u). Atunci

π∗(u) = limn→∞

π∗(un).

2

NotamC = {u ∈ A | π∗(u) + π∗(u−) = 1}.

Se observa ca 0, 1 ∈ C si ca C este ınchisa la complement.

Lema 9.1.30 C este o σ-subalgebra a lui A si π∗ |C este o σ-probabilitate pe C.

Dem. Fie u1, u2 ∈ A. Conform Lemei 9.1.29(k), avem:

(9.2) π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2) ≤ π∗(u1) + π∗(u2),

(9.3) π∗((u1 ∨ u2)−) + π∗((u1 ∧ u2)−) ≤ π∗(u−1 ) + π∗(u−2 ).

Presupunem ca u1, u2 ∈ C, deci π∗(u1) = π∗(u−1 ) = 1 and π∗(u2) + π∗(u−2 ) = 1.Adunand (9.2) si (9.3), se obtine:

[π∗(u1 ∨ u2) + π∗((u1 ∨ u2)−)] + [π∗(u1 ∧ u2) + π∗((u1 ∧ u2)−)] ≤ 2.

Conform Lemei 9.1.29(k), π∗(u1∨u2)+π∗((u1∨u2)−) ≥ 1 si π∗(u1∧u2)+π∗((u1∧u2)−) ≥ 1, deci π∗(u1∨u2)+π∗((u1∨u2)−) = 1 si π∗(u1∧u2)+π∗((u1∧u2)−) = 1.Aceste egalitati arata ca u1 ∨ u2, u1 ∧ u2 ∈ C. Pana acum, am aratat ca C este osubalgebra Boole a lui A.Fie (un) un sir crescator ın C. Aplicand Lema 9.1.29(h), π∗(∨∞n=1un) = limn→∞ π∗(un).Fie k ≥ 1. Atunci (∨∞n=1un)− ≤ uk, deci

π∗((∨∞n=1un)−) ≤ π∗(u−k ) = 1− π∗(uk).

Trecand la limita ın aceasta inegalitate, rezulta

π∗((∨∞n=1un)−) ≤ 1− limk→∞

π∗(uk) = 1− π∗(∨∞k=1uk).

A rezultatπ∗((∨∞n=1un)−) + π∗(∨∞n=1un) ≤ 1.

Cum inegalitatea inversa este valabila ıntotdeauna, rezulta:

π∗(∨∞n=1un) + π∗((∨∞n=1un)−) = 1.

Deci, ∨∞n=1un ∈ C, ceea ce arata ca C este o σ-algebra.Daca u1, u2 ∈ C, atunci (9.2) devine egalitate. Intr-adevar, daca (9.2) ar fi oinegalitate stricta, atunci prin adunarea termen cu termen a inegalitatilor (9.2) si

Page 240: Draft de carte (din 2009)

240 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

(9.3) am obtine ın partea dreapta un numar real > 1. Aceasta este o absurditate,deci

π∗(u1 ∨ u2) + π∗(u1 ∧ u2) = π∗(u1) + π∗(u2).

Rezulta ca π∗ |C este o probabilitate pe σ-algebra C. Conform Lemei 9.1.29(l), π∗ |C este continua. Aplicand Propozitia 9.1.20, rezulta ca π∗ |C este o σ-probabilitate. 2

Demonstratia Teoremei 9.1.26Pastrand notatiile de mai sus, B ⊆ C si C este o σ-subalgebra a lui A, deci

S(B) ⊆ C. Atunci π∗ |S(B) este o σ-probabilitate pe S(B), ce extinde pe m.A ramas sa demonstram unicitatea lui π∗ |S(B). Fie m1,m2 doua σ-probabilitati

pe S(B) astfel ıncat m1 |B= m2 |B= m. Consideram multimea

K = {a ∈ S(B) | m1(a) = m2(a)}.Fie (an) ⊆ K si a ∈ A astfel ıncat an ↑ a. Atunci m1(ak) = m2(ak), pentru oricenumar natural k ≥ 1. m1,m2 fiind continue, rezulta

m1(a) = limk→∞

m1(ak) = limk→∞

m2(ak) = m2(a),

ceea ce arata ca a ∈ K. Deci K este monotona si B ⊆ K, ceea ce implica S(B) =M(B) ⊆ K. Rezulta K = S(B) si m1 = m2. 2

9.1.5 Teorema Horn-Tarski

In aceasta subsectiune vom demonstra urmatoarea teorema a lui Horn-Tarski[25].

Teorema 9.1.31 Fie A = (A,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole si B o subalgebra a sa.Orice probabilitate pe B se poate extinde la o probabilitate pe A.

Pentru a demonstra aceasta teorema, vom stabili o serie de leme.

Fie A = (A,∧,∨,−, 0, 1) o algebra Boole. Fixam o subalgebra B a lui A si oprobabilitate m : B −→ [0, 1].

• Definim doua functii mi : B −→ [0, 1] si me : B −→ [0, 1] astfel: pentru oricea ∈ A,

mi(a)def.= sup{m(x) | x ∈ B, x ≤ a}, me(a)

def.= inf{m(y) | y ∈ B, y ≥ a}.

Daca a ∈ B, atunci mi(a) = me(a) = m(a).

Lema 9.1.32 Daca x, y ∈ A si x ∧ y = 0, atunci

mi(x) + mi(y) ≤ mi(x ∨ y) ≤ mi(x) + me(y) ≤ me(x ∨ y) ≤ me(x) + me(y).

Page 241: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 241

Dem. Vom demonstra succesiv aceste patru inegalitati.(a) mi(x) + mi(y) ≤ mi(x ∨ y):

Fie a, b ∈ B cu a ≤ x, b ≤ y. Deci, a ∨ b ∈ B, a ∧ b = 0 si a ∨ b ≤ x ∨ y, de underezulta

m(a) + m(b) = m(a ∨ b) ≤ mi(x ∨ y).

Prin urmare,

mi(x) + mi(y) = sup{m(a) | a ∈ B, a ≤ x}+ sup{m(b) | b ∈ B, b ≤ y} =

= sup{m(a) + m(b) | a, b ∈ B, a ≤ x, b ≤ y} ≤ mi(x ∨ y).

(b) mi(x ∨ y) ≤ mi(x) + me(y):Fie a, t ∈ B, cu a ≤ x ∨ y si y ≤ t. Atunci a ≤ x ∨ t = t− → y, deci a ∧ t− ≤ x,ceea ce conduce la

m(a) = m((a ∧ t−) ∨ (a ∧ t)) = m(a ∧ t−) + m(a ∧ t) ≤ mi(x) + m(t),

de unde deducem

m(a) ≤ inf{mi(x) + m(t) | t ∈ B, t ≥ y} =

= mi(x) + inf{m(t) | t ∈ B, t ≥ y} = mi(x) + me(y).

In concluzie,

mi(x ∨ y) = sup{m(a) | a ∈ B, a ≤ x ∨ y} ≤ mi(x) + me(y).

(c) mi(x) + me(y) ≤ me(x ∨ y):Fie u, v ∈ B cu u ≤ x si v ≥ x ∨ y. Din x ∧ y = 0, rezulta y ≤ x− ≤ u−, deciy ≤ v ∧ u−. Cum v ∧ u− ∈ B, se obtine

m(u) + me(y) ≤ m(u) + m(v ∧ u−) = m(u ∨ (v ∧ u−)) = m(v),

ceea ce implica

mi(x) + me(y) = sup{m(u) | u ∈ B, u ≤ x}+ me(y) =

sup{m(u) + me(y) | u ∈ B, u ≤ x} ≤ inf{m(v) | v ∈ B, v ≥ x ∨ y} = me(x ∨ y).

(d) me(x ∨ y) ≤ me(x) + me(y):Pentru orice u, t ∈ B cu u ≥ x, t ≥ y, au loc inegalitatile me(x ∨ y) ≤ m(u ∨ t) ≤m(u) + m(t), deci

me(x ∨ y) ≤ inf{m(u) + m(t) | u, t ∈ B, u ≥ x, t ≥ y} =

= inf{m(u) | u ∈ B, u ≥ x}+ inf{m(t) | t ∈ B, t ≥ y} = me(x) + me(y).

2

Page 242: Draft de carte (din 2009)

242 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Corolar 9.1.33 Daca x ∈ B, y ∈ A si x ∧ y = 0, atunci

mi(x ∨ y) = m(x) + mi(y), me(x ∨ y) = m(x) + me(y).

Corolar 9.1.34 Daca x, y ∈ A, x ∨ y ∈ B si x ∧ y = 0, atunci

m(x ∨ y) = mi(x) + me(y).

Corolar 9.1.35 Daca x ∈ A, atunci

mi(x) + me(x−) = me(x) + mi(x−) = 1.

Lema 9.1.36 Fie a, b ∈ A si x, y ∈ B astfel ıncat a ≤ x, b ≤ y si x ∧ y = 0.Atunci

(i) mi(a ∨ b) = mi(a) + mi(b), (ii) me(a ∨ b) = me(a) + me(b).

Dem.(i): Fie u ∈ B cu u ≤ a ∨ b. Din x ∧ y = 0, rezulta b ≤ y ≤ x−, deci

u ≤ a ∨ b ≤ a ∨ x− = x → a. Atunci u ∧ x ≤ a, deci u ∧ x ≤ u ∧ a. Cum a ≤ x,rezulta u ∧ x = u ∧ a.Analog se arata ca u ∧ y = u ∧ b.Se observa ca u = (u ∧ x) ∨ (u ∧ y) si ca u ∧ x, u ∧ y ∈ B, deci

m(u) = m(u ∧ x) + m(u ∧ y) ≤ mi(a) + mi(b).

Atuncimi(a ∨ b) = sup{m(u) | u ∈ B, u ≤ a ∨ b} ≤ mi(a) + mi(b).

Inegaliatea inversa a fost stabilita ın Lema 9.1.32, deci (i) este adevarata.(ii): Demonstratie similara. 2

• Pentru orice z ∈ A, fie B[z] subalgebra lui A generata de B ∪ {z}. Este usorde observat ca:

B[z] = B[z−] = {x ∈ A | exista a, b ∈ B, astfel ıncat x = (a ∧ z) ∨ (b ∧ z−)}.

Lema 9.1.37 Fie e1, e2 ∈ B[z] cu proprietatea ca e1 ∧ e2 = 0. Atunci existaaj , bj ∈ B (j = 1, 2), astfel ıncat ej = (aj ∧ z) ∨ (bj ∧ z−) (j = 1, 2) si a1 ∧ a2 =b1 ∧ b2 = 0.

Dem. Conform ipotezei, exista cj , dj ∈ B astfel ıncat ej = (cj ∧ z) ∨ (dj ∧ z−)(j = 1, 2). Din e1 ∧ e2 = 0, se deduce c1 ∧ c2 ∧ z = d1 ∧ d2 ∧ z− = 0. Notam

a1notatie

= c1 ∧ c−2 , a2notatie

= c−1 ∧ c2, b1notatie

= d1 ∧ d−2 , b2notatie

= d−1 ∧ d2.

Atunci a1 ∧ z = (c1 ∧ c2 ∧ z) ∨ (c1 ∧ c−2 ∧ z) = c1 ∧ (c1 ∨ c−2 ) ∧ z = c1 ∧ z. Analog,b1 ∧ z− = d1 ∧ z−. Rezulta e1 = (c1 ∧ z)∨ (d1 ∧ z−) = (a1 ∧ z)∨ (b1 ∧ z−). In mod

Page 243: Draft de carte (din 2009)

9.1. PROBABILITATI PE ALGEBRE BOOLE 243

analog, se arata ca e2 = (a2 ∧ z) ∨ (b2 ∧ z−). Egalitatile a1 ∧ a2 = b1 ∧ b2 = 0 suntevidente. 2

• Fixam z ∈ A si definim functiile ν∗ : A −→ [0, 1] si ν∗ : A −→ [0, 1] astfel:pentru orice e ∈ A,

ν∗(e)def.= mi(e ∧ z), ν∗(e)

def.= me(e ∧ z).

Lema 9.1.38 ν∗ |B[z] si ν∗ |B[z] sunt masuri pe algebra Boole B[z].

Dem.(i) ν∗ |B[z] este o masura pe algebra Boole B[z]:

Fie e1, e2 ∈ B[z] cu e1∧e2 = 0. Conform Lemei 9.1.37, exista aj , bj ∈ B astfel ıncatej = (aj ∧ z) ∨ (bj ∧ z−) (j = 1, 2) si a1 ∧ a2 = b1 ∧ b2 = 0. Atunci ej ∧ z = aj ∧ z(j = 1, 2). Aplicand Lema 9.1.36, rezulta:

ν∗(e1 ∨ e2) = mi((e1 ∨ e2)∧ z) = mi((e1 ∧ z)∨ (e2 ∧ z)) = mi((a1 ∧ z)∨ (a2 ∧ z)) =

= mi(a1 ∧ z) + mi(a2 ∧ z) = mi(e1 ∧ z) + mi(e2 ∧ z) = ν∗(e1) + ν∗(e2).

(ii) Se demonstreaza similar ca ν∗ |B[z] este o masura pe B[z]. 2

• Consideram functiile m : B[z] −→ [0, 1] si m : B[z] −→ [0, 1] definite astfel:pentru orice e ∈ B[z],

m(e)def.= mi(e ∧ z) + me(e ∧ z−), m(e)

def.= me(e ∧ z) + mi(e ∧ z−).

Lema 9.1.39 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:(i) m si m sunt probabilitati pe algebra Boole B[z];(ii) m |B= m |B= m;(iii) m(z) = mi(z) si m(z) = me(z).

Dem.(i): Amintim ca B[z] = B[z−]. Conform Lemei 9.1.38, m si m sunt masuri pe

algebra Boole B[z]. Aplicand Corolarul 9.1.35, obtinem:m(1) = mi(z) + me(z−) = 1 si m(1) = me(z) + mi(z−) = 1, deci m si m suntprobabilitati.

(ii): Fie a ∈ B. Conform Corolarului 9.1.34, m(a) = mi(a∧ z) + me(a∧ z−) =m(a) si, analog, m(a) = m(a).

(iii): Evident. 2

Demonstratia Teoremei 9.1.31:Consideram multimea F a perechilor (C, µ), unde C este o subalgebra a lui A astfelıncat B ⊆ C ⊆ A si µ : C −→ [0, 1] este o probabilitate.

Sa definim o relatie binara¹ pe F astfel: pentru orice doua perechi (C1, µ1), (C2, µ2) ∈F ,

(C1, µ1) ¹ (C2, µ2)def.⇐⇒ C1 ⊆ C2 si µ2 |C1= µ1.

Page 244: Draft de carte (din 2009)

244 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

¹ este o relatie de ordine pe F . Se poate arata usor ca multimea ordonata (F ,¹)este inductiva, deci conform axiomei lui Zorn, exista un element (C0, µ0) maximalın (F ,¹). Daca C0 = A, atunci µ0 este o probabilitate pe A ce extinde pe m. Dacaexista z ∈ A\C0, atunci conform Lemei 9.1.39, exista o probabilitate µ′0 : C[z] −→[0, 1] ce extinde pe µ0. Datorita maximalitatii lui (C0, µ0), rezulta C[z] = A, µ′0este o probabilitate pe A si µ′0 |A= m. 2

Propozitia 9.1.40 Fie B o subalgebra a lui A si z ∈ A. Daca m este o probabil-itate pe B si r ∈ [0, 1], atunci afirmatiile urmatoare sunt echivalente:(i) m se poate extinde la o probabilitate m′ pe B[z] astfel ıncat m′(z) = r;(ii) m(z) ≤ r ≤ m(z).

Dem.(i) =⇒ (ii): Imediat.(ii) =⇒ (i): Daca m(z) ≤ r ≤ m(z), atunci exista θ ∈ [0, 1] astfel ıncat

r = (1− θ) ·mi(z) + θ ·me(z).

Consideram functia m′ : B[z] −→ [0, 1] definita astfel: pentru orice a ∈ B[z],

m′(a)def.= (1− θ) ·m(a) + θ ·m(a).

Conform Lemei 9.1.39, m′ este o probabilitate pe B[z], m′ extinde pe m si

m′(z) = (1− θ) ·m(z) + θ ·m(z) = (1− θ) ·mi(z) + θ ·me(z) = r.

2

9.2 Modele probabiliste ale calculului cu predicate

In aceasta sectiune sunt considerate probabilitati definite pe multimi de enunturiale calculului cu predicate (= probabilitati logice). Ele extind notiunea de teorieconsistenta a calculului cu predicate. Conditia lui Gaifman permite definireanotiunii de structura probabilista si de model al unei probabilitati logice. Teo-rema de completitudine a lui Gaifman (orice probabilitate logica admite un modelprobabilist) reprezinta varianta probabilista a teoremei de completitudine a luiHenkin (orice teorie admite un model). Ultima subsectiune contine versiuni proba-biliste ale unor rezultate din teoria clasica a modelelor (teorema lantului elementar,prezervarea substructurilor, teorema de consistenta a lui Robinson).

9.2.1 Structuri probabiliste

Fie L calculul cu predicate de ordinul I si C multimea constantelor sale. Notamcu E multimea enunturilor lui L si cu E0 multimea enunturilor fara cuantificatori.

Page 245: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 245

Fie U o multime nevida astfel ıncat C ⊆ U . Atunci L(U) va fi limbajul obtinutdin L prin adaugarea constantelor din U \C. Vom nota cu E(U) multimea constan-telor lui L(U) si cu E0(U) multimea enunturilor lui L(U) ce nu au cuantificatori.

Fie D ⊆ E cu proprietatile urmatoare:- D contine teoremele formale ale lui L,- D este ınchisa la conectorii ∨,∧,¬,→.

Daca E/∼ = {ϕ | ϕ ∈ E} este algebra Lindenbaum-Tarski asociata lui L, atunciD/∼ = {ϕ | ϕ ∈ D} este o subalgebra Boole a lui E/∼.

Definitie 9.2.1 O functie m : D −→ [0, 1] se numeste probabilitate pe D dacapentru orice ϕ,ψ ∈ E sunt satisfacute urmatoarele conditii:(P1) ` ϕ implica m(ϕ) = 1,(P2) daca ` ¬(ϕ ∧ ψ), atunci m(ϕ ∨ ψ) = m(ϕ) + m(ψ).

Urmatorul rezultat este o varianta a Lemei 9.1.4:

Lema 9.2.2 Fie m o probabilitate pe D si ϕ,ψ ∈ D. Atunci(a) m(¬ϕ) = 1−m(ϕ);(b) Daca ` ϕ ↔ ψ, atunci m(ϕ) = m(ψ).

Fie m o probabilitate pe D. Conform Lemei 9.2.2, putem defini o functie∼m:

D/∼ −→ [0, 1] astfel: pentru orice ϕ ∈ D,

∼m (ϕ)

def.= m(ϕ).

Atunci∼m este o probabilitate pe algebra Booloe D/∼.

Propozitia 9.2.3 Orice probabilitate m : D −→ [0, 1] se poate extinde la o proba-bilitate µ : E −→ [0, 1].

Dem. Conform Teoremei Horn-Tarski, probabilitatea∼m: D/∼ −→ [0, 1] se poate

extinde la o probabilitate µ′ : E/∼ −→ [0, 1]. Daca p : E −→ E/∼ este surjectiacanonica, atunci µ = µ′ ◦ p este o probabilitate pe E si µ |D= m. 2

O functie f : E −→ L2 se numeste interpretare booleana a lui L daca pentruorice ϕ,ψ ∈ E, avem

f(ϕ∨ψ) = f(ϕ)∨f(ψ), f(ϕ∧ψ) = f(ϕ)∧f(ψ), f(¬ϕ) = ¬f(ϕ), f(ϕ → ψ) = f(ϕ) → f(ψ).

Lema 9.2.4 Fie T ⊆ E si h = 1 : T −→ L2 functia constanta (h(ϕ) = 1, pentruorice ϕ ∈ T ). Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) T este consistenta,(ii) Exista o interpretare booleana

∼h: E −→ L2 a lui L astfel ıncat

∼h|T = h.

Observatie 9.2.5 Lema 9.2.4 arata ca o teorie consistenta poate fi gandita cao interpretare booleana a lui L. Atunci notiunea de probabilitate introdusa deDefinitia 9.2.1 este o varianta probabilista a notiunii de teorie consistenta.

Page 246: Draft de carte (din 2009)

246 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Fie M o structura de ordinul I pentru limbalul L. Amintim ca o interpretare alui L in M poate fi considerata ca o functie ‖ · ‖M : E(M) −→ L2 cu proprietatileurmatoare:- ‖ · ‖M duce operatiile logice ∨,∧,¬,→ ale lui E(M) ın operatiile algebrice core-spunzatoare din L2;- pentru orice enunt al lui E(M) de forma ∃xϕ(x), avem

‖∃xϕ(x)‖M =∨

a∈M

‖ϕ(a)‖M.

Aceasta ne sugereaza conceptul de structura probabilista ın sensul lui Gaifman [11]:

Definitie 9.2.6 O structura probabilista este o pereche (U,m), unde U este omultime nevida astfel ıncat C ⊆ U si m : E(U) −→ [0, 1] este o probabilitatece satisface urmatoarea conditie, numita conditia lui Gaifman:

(G) Pentru orice formula ϕ(x) a lui L(U),

m(∃xϕ(x)) = sup{m(∨ni=1ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U}.

Lema 9.2.7 Conditia lui Gaifman (G) este echivalenta cu fiecare din urmatoareletrei proprietati:(G1) Pentru orice formula ϕ(x) a lui L(U),

m(∀xϕ(x)) = inf{m(∧ni=1ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U}.

(G2) Pentru orice formula ϕ(~x) = ϕ(x1, . . . , xm) a lui L(U),

m(∃~xϕ(~x)) = sup{m(∨ni=1ϕ(~ai)) | ~a1, . . . , ~an ∈ Um}.

(G3) Pentru orice formula ϕ(~x) = ϕ(x1, . . . , xm) a lui L(U),

m(∀~xϕ(~x)) = inf{m(∧ni=1ϕ(~ai)) | ~a1, . . . , ~an ∈ Um}.

Dem. Vom demonstra numai ca (G) =⇒ (G1):Este cunoscut ca ` ∀xϕ(x) ↔ ¬∃x¬ϕ(x). Aplicand Lema 9.2.2, rezulta:

m(∀xϕ(x)) = m(¬∃x¬ϕ(x)) = 1−m(∃x¬ϕ(x)) =

= 1− sup{m(∨ni=1¬ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U} =

= inf{1−m(∨ni=1¬ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U} =

= inf{m(∧ni=1ϕ(ai)) | a1, . . . , an ∈ U}.

2

O interpretare ‖ · ‖M ıntr-o structura de ordinul I M este determinata ın modunic de restrictia sa la multimea E0(M). Un rezultat similar se poate stabili si ıncazul structurilor probabiliste.

Page 247: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 247

Teorema 9.2.8 Consideram o pereche (U,m), unde U este o multime nevida sim : E0(U) −→ [0, 1] este o probabilitate. Atunci exista o unica probabilitate m′ :E(U) −→ [0, 1], ce extinde pe m, si verifica conditia lui Gaifman.

Dem. Pentru orice V ⊆ U , notam cu∑

n(V ) (respectiv∏

n(V )) multimea for-mulelor lui L(V ) ın forma normala prenex cu cel mult n blocuri de cuantificatoriastfel ıncat primul bloc este ∃ (respectiv ∀). Daca ϕ ∈ ∑

(V ), atunci ¬ϕ esteechivalenta cu o formula din

∏n(V ). Este cunoscut ca orice formula din L(V ) este

logic echivalenta cu o formula dintr-un∑

n(V ) sau∏

n(V ) (pentru un n ≥ 0).Vom demonstra teorema numai ın cazul cand limbajul L(U) este numarabil.• Vom demonstra mai ıntai unicitatea lui m′:

Fie m′1,m′

2 doua extensii ale lui m ce verifica conditia (G). Vom demonstra capentru orice n ≥ 0, urmatoarele egalitati sunt adevarate:

m′1 |∑n(V )∩E(U)= m′

2 |∑n(V )∩E(U),

m′1 |∏n(V )∩E(U)= m′

2 |∏n(V )∩E(U) .

Procedam prin inductie dupa n.- Pentru n = 0, avem

∑0(V ) =

∏0(V ) = E0(V ) si m′

1 |E0(V )= m′2 |E0(V )= m.

- Vom arata cum se face trecerea de la n la n + 1. Fie ϕ = ∃~xψ(~x) ∈ ∑n+1(V ) ∩

E(U), cu ψ(~x) ∈ ∏n(V ) si ~x = (x1, . . . , xk). Ipoteza inductiei ne spune ca pentru

orice ~aj ∈ Uk, j = 1, . . . , s,

m′1(∨s

j=1ψ(~aj)) = m′1(∨s

j=1ψ(~aj)).

Atunci prin aplicarea conditiei (G2), rezulta:

m′1(ϕ) = sup{m′

1(∨sj=1ψ(~aj)) | ~a1, . . . , ~as ∈ Uk} =

= sup{m′2(∨s

j=1ψ(~aj)) | ~a1, . . . , ~as ∈ Uk} = m′2(ϕ).

Mai sus am folosit faptul ca o disjunctie de formule din∏

n(V ) este logic echivalentacu o formula din

∏n(V ).

• Acum vom demonstra existenta lui m′:Notam cu U multimea structurilor de ordinul I ale lui L care au pe U ca univers.Pentru orice ϕ ∈ E(U), notam

M(ϕ)notatie

= {A ∈ U | A |= ϕ}.Atunci pentru orice ϕ,ψ ∈ E(U), avem:

M(ϕ ∨ ψ) = M(ϕ) ∪M(ψ), M(ϕ ∧ ψ) = M(ϕ) ∩M(ψ), M(¬ϕ) = U \M(ϕ).

Prin urmare, B = {M(ϕ) | ϕ ∈ E0(U)} este o subalgebra a algebrei Boole P(U).Familia B = {M(ϕ)}ϕ∈E0(U) formeaza o baza de deschisi ai unei topologii pe U .

Spatiul topologic obtinut este homeomorf cu spatiul Boole asociat algebrei BooleE0(U)/∼. Multimile M(ϕ), ϕ ∈ E0(U) sunt simultan ınchise si deschise.

Page 248: Draft de carte (din 2009)

248 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Functia µ : B −→ [0, 1], definita de µ(M(ϕ)) = m(ϕ), pentru orice ϕ ∈ E0(U),este o probabilitate pe algebra Boole B.

Vom arata ca µ este o probabilitate continua pe B. Consideram ın B un sir(Xn) astfel ıncat Xn ↓ ∅. Multimile Xn fac parte din baza {M(ϕ) | ϕ ∈ E0(U)} aspatiului U , deci sunt simultan ınchise si deschise. Din compacitatea lui U si din⋂∞

i=1 Xi = ∅ rezulta existenta unui n0 ≥ 1 astfel ıncat⋂n0

i=1 Xi = ∅, deci Xn = ∅pentru orice n ≥ n0. Atunci limn→∞ µ(Xn) = 0, deci µ este continua.

Fie B σ-algebra de parti ale lui U generata de algebra Boole B. Aplicandteorema lui Carathedory, rezulta existenta unei σ-probabilitati µ∗ : B −→ [0, 1], ceextinde pe µ.

Vom arata ca M(ϕ) ∈ B, pentru orice ϕ ∈ E(U). Procedam prin inductie dupacomplexitatea enuntului ϕ:- daca ϕ ∈ E0(U), atunci M(ϕ) ∈ B ⊆ B.- Presupunem ca ϕ = ϕ1 ∨ ϕ2 si M(ϕ1),M(ϕ2) ∈ B. Atunci M(ϕ) = M(ϕ1) ∪M(ϕ2) ∈ B.- Cazul ϕ = ¬ψ si M(ψ) ∈ B este evident.- Presupunem ca ϕ = ∃xψ(x) si M(ψ(a)) ∈ B, pentru orice a ∈ U . Tinand cont caU este numarabil, rezulta

M(ϕ) = ∪a∈UM(ψ(a)) ∈ B.

Pentru orice ϕ ∈ E(U), vom defini

m∗(ϕ) = µ∗(M(ϕ)).

Atunci functia m∗ : E(U) −→ [0, 1] este o probabilitate ce extinde pe M.A ramas sa mai aratam ca m∗ satisface conditia (G). Consideram enuntul

∃xϕ(x) in L(U). Atunci

M(∃xϕ(x)) = ∪a∈UM(ϕ(a)).

Multimea M(∃xϕ(x)) este compacta ın U , deci exista a1, . . . , an ∈ U astfel ıncat

M(∃xϕ(x)) = ∪ni=1M(ϕ(ai)).

Ultima egalitate implica:

m∗(∃xϕ(x)) = µ∗(M(∃xϕ(x))) = µ∗(∪ni=1M(ϕ(ai))) =

= µ∗(M(∨ni=1ϕ(ai)) = m∗(∨n

i=1ϕ(ai)).

De aici rezulta:

m∗(∃xϕ(x)) = sup{m∗(∨ni=1ϕ(bi)) | b1, . . . , bn ∈ U}.

2

Page 249: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 249

Observatie 9.2.9 Am vazut ca orice probabiliate µ : D −→ [0, 1] induce o prob-abilitate

∼µ: D/∼ −→ [0, 1]. Functia µ 7→∼

µ stabileste o corespondenta biunivocaıntre probabilitatile definite pe multimea de enunturi D si probabilitatile definitepe algebra Boole D/∼.

Pe baza Observatiei 9.2.9, teoria modelelor probabiliste poate fi dezvoltata folosindnumai probabilitati definite pe algebra Boole.

9.2.2 Teorema de completitudine a lui Gaifman

Fie L un limbaj de ordinul I, C multimea constantelor sale, E multimea enunturilor,E0 multimea enunturilor fara cuantificatori, etc.

Notiunile de probabilitate µ : D −→ [0, 1] si de structura probabilista (U,m),introduse ın sectiunea precedenta, reprezinta contrapartea probabilista a notiunilorde teorie a lui L si de structura de ordinul I. In mod natural, se pune problema tra-ducerii ın limbaj probabilistic a altor concepte si proprietati ale logicii predicatelor.

Sa ıncepem cu notiunea de model al unei teorii. Fie T ⊆ E o teorie a lui L sif : T −→ L2 functia f(ϕ) = 1 pentru orice ϕ ∈ T . Atunci o structura de ordinul IM este un model al lui T daca si numai daca restrictia lui ‖ · ‖M la T coincide cuf . Aceasta observatie conduce la urmatoarea definitie.

Definitie 9.2.10 Fie µ : D −→ [0, 1] o probabilitate pe D ⊆ E. O structuraprobabilista (U,m) este un model al lui µ daca m |D= µ. In acest caz, vom scrie

(U,m) |= µ.

Teorema 9.2.11 (Teorema de completitudine a lui Gaifman [11])Orice probabilitate µ : D −→ [0, 1] admite un model.

Dem. Fie C0 = C. Pentru orice enunt ϕ ∈ E de forma ∃xψ(x), vom considerao noua constanta aϕ, astfel ıncat, daca ϕ 6= χ, atunci aϕ 6= aχ. Notam cu C1

multimea acestor constante noi. Procedand la fel pentru limbajul L(C1), se obtineo noua multime C2, astfel ıncat C2 ∩C0 = ∅, C2 ∩C1 = ∅. Prin inductie, se obtineun sir de multimi

C0, C1, . . . , Cn, . . . ,

disjuncte doua cate doua. Notam

U = ∪∞n=0Cn.

In limbajul L(U), luam urmatoarea multime de enunturi

E′ = {∃xψ(x) → ψ(aϕ) | ϕ = ∃xψ(x) ∈ E(U)}.

Consideram algebra Lindenbaum-Tarski B = E(U)/∼ si subalgebra B′ a lui Bgenerata de multimea X = {σ | σ ∈ D ∪ E′}.

Page 250: Draft de carte (din 2009)

250 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Teorema 9.2.11 va fi demonstrata prin ınsumarea urmatorilor pasi.

(1) Elementele lui B′ au forma (σ1 ∧ ψ1) ∨ . . . ∨ (σn ∧ ψn), unde, pentru oricei = 1, . . . , n, σi ∈ D si ψi = ∧j∈Jψij , astfel ıncat fiecare enunt ψij este ın E′ saueste negatia unui element al lui E′.

Fie F filtrul lui B generat de multimea {ϕ | ϕ ∈ E′}.

(2) Daca σ ∈ E si σ ∈ F , atunci σ = 1.Din σ ∈ F , rezulta existenta enunturilor τ1, . . . , τn ∈ E′ astfel ıncat ∧n

i=1τi ≤ σ.Atunci exista numerele naturale k1, . . . , kn ≥ 1, constantele a1 ∈ Ck1 , . . . , an ∈ Ckn

si enunturile ϕi = ∃xiψ(xi), i = 1, . . . , n astfel ıncat τi = ∃xiψ(xi) → ψi(ai) siai = aϕi , pentru orice i = 1, . . . , n.

Putem presupune ki ≤ kn, i = 1, . . . , n (eventual printr-o renumerotare), deciconstanta an nu apare ın σ si nici ın τ1, . . . , τn−1.

Din inegalitatea ∧ni=1τi ≤ σ, se obtine ` ∧n

i=1τi → σ, deci {τ1, . . . , τn} ` σ.Rezulta ca {¬σ, τ1, . . . , τn} este o multime inconsistenta, deci ∆ ` ¬τn, unde ∆ ={¬σ, τ1, . . . , τn−1}.

Atunci ∆ ` ¬(∃xnψn(xn) → ψn(an), de unde rezulta ∆ ` ∃xnψn(xn)∧¬ψn(an),deci ∆ ` ∃xnψn(xn) si ∆ ` ¬ψn(an). Cum constanta an nu apare ın enunturileteoriei ∆, din ∆ ` ¬ψn(an) rezulta ∆ ` ∀xn¬ψn(xn). Prin urmare, ∆ ` ¬∃xnψn(xn),ceea ce arata ca ∆ este inconsistenta. Procedand analog din aproape ın aproape,ın final rezulta ca {¬σ} este inconsistenta, deci ` σ. In concluzie, σ = 1.

(3) Pentru orice σ1, σ2 ∈ E, σ1/F = σ2/F daca si numai daca σ1 = σ2.Afirmatia (3) rezulta astfel:σ1/F = σ2/F ⇐⇒ (σ1 ↔ σ2) ∈ F ⇐⇒ σ1 ↔ σ2 ∈ F ⇐⇒ σ1 ↔ σ2 = 1 ⇐⇒ σ1 =σ2, conform (2).

(4) Daca σ ∈ E′, atunci σ/F = 1/F (ın algebra Boole B/F ).Intr-adevar, daca σ ∈ E′, atunci σ ∈ F , deci σ/F = 1/F .

Aplicand (1) si (4), rezulta ca pentru orice ϕ ∈ B′ exista un enunt ψ ∈ D astfelıncat σ/F = ψ/F .

Definim functia µ′ : B′/F −→ [0, 1] prin µ′(ϕ/F ) = µ(ϕ), unde ϕ ∈ B′ si ψ ∈ D

cu ϕ/F = ψ/F .Sa aratam ca functia µ′ este bine definita. Daca ϕi/F = ψi/F cu ϕi ∈ B′ si

ψi ∈ D pentru i = 1, 2, atunci

ϕ1/F = ϕ2/F =⇒ ψ1/F = ψ2/F =⇒ ψ1 = ψ2 =⇒` ψ1 ↔ ψ2 =⇒ µ(ψ1) = µ(ψ2),

conform (3) si conform Lemei 9.2.2(b).Se observa ca mu′ este o probabilitate pe subalgebra B′ a lui B. Conform

Teoremei Horn-Tarski, µ′ se poate extinde la o probabilitate µ∗ : B/F −→ [0, 1].

Page 251: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 251

Definim functia m∗ : E(U) −→ [0, 1] punand, pentru orice ψ ∈ E(U),

m∗(ψ) = µ∗(ψ/F ).

Este evident ca m∗ este o probabilitate pe E(U).Aratam ca m∗ verifica conditia (G). Fie ϕ = ∃xψ(x) ∈ E(U) si τ = ∃xψ(x) →

ψ(aϕ) ∈ E′. Atunci

m∗(τ) = m∗(∃xψ(x) → ψ(aϕ)) = µ∗(τ /F ) = µ∗(1/F ) = 1,

de unde rezultam∗(∃xψ(x)) ≤ m∗(ψ(aϕ)).

Atunci

m∗(∃xψ(x)) = m∗(ψ(aϕ)) = sup{m∗(∨ni=1ψ(ai)) | a1, . . . , sn ∈ U},

deci m∗ satisface conditia lui Gaifman.Daca ϕ ∈ D, atunci m∗(ϕ) = µ∗(ϕ/D) = µ′(ϕ/F ) = µ(ϕ). In concluzie, (U,m∗)

este un model al lui µ. 2

9.2.3 Catre o teorie a modelelor probabiliste

In aceasta subsectiune, vom prezenta cateva elemente ale teoriei modelelor prob-abiliste. Notiuni si rezultate ale teoriei modelelor vor fi traduse ın notiuni si rezul-tate ale teoriei modelelor probabiliste.

Fie L un limbaj de ordinul I si C multimea constantelor sale. Daca U este omultime de constante astfel ıncat C ⊆ U , atunci L(U) va fi limbajul obtinut din Lprin adaugarea constantelor din U \C. Vom nota cu E (respectiv E(U)) multimeaenunturilor lui L (respectiv L(U)) si cu B (respectiv B(U)) algebra Lindenbaum-Tarski E/∼ (respectiv E(U)/∼). Clasa de echivalenta a unui enunt ϕ va fi notatacu [ϕ].

Pentru a evita unele complicatii de scriere, ın aceasta sectiune vom lucra nu-mai cu probabilitati pe algebre Boole (conform Observatiei 9.2.9, acest lucru esteposibil). Atunci o probabilitate pe L este o probabilitate µ pe o subalgebra a luiB. Vom nota cu dom(µ) domeniul de definitie al lui µ. In contextul precizat, ostructura probabilista este o pereche (U, u), unde C ⊆ U si u este o probabilitatepe algebra Boole B(U) ce satisface conditia lui Gaifman:(G) Pentru orice enunt ∃xϕ(x) al lui L(U),

u([∃xϕ(x)]) = sup{u(∨ni=1[ϕ(ai)]) | a1, . . . , an ∈ U}.

Conditiile (G1) - (G3) din Lema 9.2.7 se rescriu ıntr-un mod evident.Daca µ este o probabilitate pe L si (U, u) este o structura probabilista, atunci

(U, u) este un model al lui µ daca u |dom(µ)= µ. In acest caz, vom nota

(U, u) |= µ.

Page 252: Draft de carte (din 2009)

252 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Fie (U, u) o structura probabilista, ϕ un enunt al lui L(U) si r ∈ [0, 1]. Vomspune ca (U, u) satisface perechea (ϕ, r) si notam

(U, u) |= (ϕ, r)

daca u([ϕ]) = r. O pereche (ϕ, r), cu ϕ ∈ E si r ∈ [0, 1], este consistenta cu oprobabilitate µ pe L daca exista un model al lui µ ce satisface (ϕ, r).

Lema 9.2.12 Presupunem ca µ este o probabilitate pe L, ϕ ∈ E si r ∈ [0, 1].Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) (ϕ, r) este consistenta cu µ;(ii) µi([ϕ]) ≤ r ≤ µe([ϕ]).

Dem.(i) =⇒ (ii): Presupunem ca exista un model (U, u) al lui µ astfel ıncat (U, u) |=

(ϕ, r). Atunci pentru orice ψ ∈ E, din [ψ] ∈ dom(µ) si ` ψ → ϕ rezulta µ([ψ]) =u([ψ]) ≤ u([ϕ]) = r. Aceasta arata ca µi([ϕ]) ≤ r si, ın mod analog, se arata car ≤ µe([ϕ]).

(ii) =⇒ (i): Conform Propozitiei 9.1.40, exista o probabilitate η pe L cu propri-etatea ca η extinde pe µ, [ϕ] ∈ dom(η) si η([ϕ]) = r. Teorema de completitudinea lui Gaifman asigura existenta unui model U, u) al lui η, deci u([ϕ]) = η([ϕ]) = r.Prin urmare, (U, u) |= (ϕ, r). 2

Fie (U, u) si (V, v) doua structuri probabiliste astfel ıncat U ⊆ V . Spunem ca(U, u) este o substructura a lui (V, v) si notam

(U, u) ⊆ (V, v),

daca pentru orice ϕ ∈ E0(U) avem u([ϕ]) = v([ϕ]). (U, u) este o substructuraelementara a lui (V, v) daca pentru orice ϕ ∈ E(U) avem u([ϕ]) = v([ϕ]); ın acestcaz, notam

(U, u) ≺ (V, v).

Lema 9.2.13 Fie (U, u) o substructura a lui (V, v). Atunci:(i) pentru orice enunt existential ϕ al lui L(U), u([ϕ]) ≤ v([ϕ]);(ii) pentru orice enunt universal ϕ al lui L(U), v([ϕ]) ≤ u([ϕ]).

Dem. Se aplica conditiile (G) si (G1). 2

Fie λ ≥ 1 un ordinal. Consideram o familie (Uα, uα)α<λ de structuri proba-biliste indexata de ordinalii α < λ. Spunem ca (Uα, uα)α<λ este:- un lant de structuri probabiliste, daca (Uα, uα) ⊆ (Uβ , uβ), pentru orice ordinaliα < β < λ,- un lant elementar de structuri probabiliste, daca (Uα, uα) ≺ (Uβ , uβ), pentru oriceordinali α < β < λ.

Daca U este o multime de constante cu C ⊆ U , atunci vom nota

B0(U) = {[ϕ] | ϕ ∈ E0(U)}.

Page 253: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 253

B0(U) este o subalgebra a lui B(U).Fie (Uα, uα)α<λ un lant de structuri probabiliste si

(9.4) U = ∪α<λUα.

Consideram functia m : B0(U) −→ [0, 1] definita prin

m([ϕ]) = uα([ϕ]),

daca ϕ ∈ E0(U)∩E(Uα) = E0(Uα), cu α < λ. m este unica probabilitate pe B0(U)cu proprietatea ca m |B0(Uα)= uα |B0(Uα), pentru orice α < λ. Conform Teoremei9.2.8, exista o unica probabilitate m∗ pe B(U) ce satisface conditia lui Gaifmansi extinde pe m. Notam u = m∗. Atunci u este unica probabilitate pe B(U) cesatisface conditia lui Gaifman si u |B(Uα)= uα, pentru orice α < λ. Structuraprobabilista (U, u) se numeste reuniunea lantului (Uα, uα)α<λ.

Propozitia 9.2.14 Fie (Uα, uα)α<λ un lant elementar de structuri probabiliste si(U, u) reuniunea sa. Atunci pentru orice ordinal α < λ,

(Uα, uα) ≺ (U, u).

Dem. Este suficient sa demonstram ca pentru orice ordinal α < λ si pentru oricenumar natural m ≥ 1 sunt adevarate urmatoarele proprietati:(a) Daca ϕ ∈ ∑

m(Uα) ∩ E(Uα), atunci u([ϕ]) = uα([ϕ]);(b) Daca ϕ ∈ ∏

m(Uα) ∩ E(Uα), atunci u([ϕ]) = uα([ϕ]).

Procedam prin inductie dupa m:- Pentru m = 0, avem

∑0(Uα) =

∏0(Uα) = E0(Uα) si proprietatile (a), (b) rezulta

chiar din definitia reuniunii unui lant de structuri probabiliste.- Sa aratam cum se realizeaza pasul m → m+1. Presupunem ca ϕ ∈ ∑

m+1(Uα)∩E(Uα), deci ϕ = ∃x1 . . . ∃xkψ(x1, . . . , xk), cu ψ(x1, . . . , xk) ∈ ∏

m(Uα). Pentrusimplitatea argumentatiei, vom trata numai cazul k = 1, deci ϕ = ∃xψ(x), cuψ(x) ∈ ∏

m(Uα). u si uα satisfac conditia lui Gaifman, deci

u([ϕ]) = sup{u(∨ni=1[ψ(ai)]) | a1, . . . , an ∈ U},

uα([ϕ]) = sup{uα(∨ni=1[ψ(ai)]) | a1, . . . , an ∈ Uα}.

Pentru orice a1, . . . , an ∈ Uα, enuntul ∨ni=1[ψ(ai)]) este logic echivalent cu un enunt

din∏

m(Uα) ∩ E(Uα), deci, conform ipotezei inductiei,

uα(∨ni=1[ψ(ai)]) = u(∨n

i=1[ψ(ai)]).

Deoarece Uα ⊆ U , se obtine inegalitatea

uα([ϕ]) ≤ u([ϕ]).

Page 254: Draft de carte (din 2009)

254 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

Fie ε > 0. Conform definitiei operatiei sup, exista a1, . . . , an ∈ U astfel ıncat

u([ϕ]) ≤ u(∨ni=1[ψ(ai)]) + ε.

Insa, conform (9.4), exista un ordinal β cu proprietatea ca α ≤ β < λ si a1, . . . , an ∈Uβ . Din ipoteza inductiei, rezulta

(Uα, uα) ≺ (Uβ , uβ),

deci

u([ϕ]) ≤ u(∨ni=1[ψ(ai)]) + ε = uβ(∨n

i=1[ψ(ai)]) + ε ≤ uβ([ϕ]) + ε = uα([ϕ]) + ε.

Cum ε a fost arbitrar, u([ϕ]) ≤ uα([ϕ]), deci u([ϕ]) = uα([ϕ]) si demonstratia lui(a) este terminata.

Cazul (b) se trateaza ın mod analog. 2

Fie (U, u) o substructura a lui (V, v). Spunem ca (V, v) este o extensie existentialaa lui (U, u) si notam

(U, u) ≺∀ (V, v)

daca u([ϕ]) = v([ϕ]) pentru orice enunt existential ϕ al lui L(U). Se observa ca(V, v) este o extensie existentiala a lui (U, u) daca si numai daca u([ϕ]) = v([ϕ])pentru orice enunt universal ϕ al lui L(U).

Un enunt bazic este un enunt atomic sau negatia unui enunt atomic. Vom notacu D(U) multimea enunturilor bazice ale lui L(U).

Propozitia 9.2.15 Daca (U, u) ⊆ (V, v), atunci urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente:(i) (U, u) ≺∀ (V, v);(ii) Exista o extensie (W,w) a lui (V, v) astfel ıncat (U, u) ≺ (W,w).

Dem.(i) =⇒ (ii): Presupunem ca (U, u) ≺∀ (V, v). Vom demonstra ca exista o prob-

abilitate η pe L(V ) astfel ıncat:(a) B(U) ⊆ {[ϕ] | ϕ ∈ D(V )} ⊆ dom(η);(b) η extinde pe u;(c) η([ϕ]) = v([ϕ]), pentru orice ϕ ∈ D(V ).

Fie ϕ ∈ E(U), a1, . . . , an ∈ V \ U si ψ(a1, . . . , an) ∈ D(V ) astfel ıncat ` ϕ ↔ψ(a1, . . . , an). Rezulta ` ϕ ↔ ∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn). Cum ∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)este un enunt universal ın L(U), au loc urmatoarele egalitati:

u([ϕ]) = u([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = v([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = u([ψ(a1, . . . , an)]).

Page 255: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 255

Consideram un enunt ϕ ∈ D(V ) astfel ıncat [ϕ] 6∈ B(U). Vom demonstrainegalitatile urmatoare:

(9.5) ui([ϕ]) ≤ v([ϕ]) ≤ ue([ϕ]).

Enuntul ϕ ∈ D(V ) este de forma ϕ(a1, . . . , an), cu a1, . . . , an ∈ V \U . Fie ψ ∈ E(U)astfel ıncat ` ψ → ϕ(a1, . . . , an). Rezulta ` ψ → ∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn) si` ∀x1 . . . ∀xnϕ(x1, . . . , xn) ↔ ϕ(a1, . . . , an), deci

u([ϕ]) ≤ u([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = v([∀x1 . . . ∀xnψ(x1, . . . , xn)]) = v([ϕ]).

Rezulta prima din inegalitatile (9.5); a doua se demonstreaza ın mod analog.Conform Propozitiei 9.1.40, exista o probabilitate µ pe subalgebra B(U)[[z]]

generata de B(U) ∪ {[z]} astfel ıncat µ extinde pe u si u([ϕ]) = v([ϕ]).Folosind consideratiile precedente, printr-un proces de inductie transfinita, se

obtine constructia unei probabilitati ce satisface conditiile (a) - (c).Aplicand teorema de completitudine a lui Gaifman, rezulta existenta unei struc-

turi probabiliste (W,w) cu proprietatile din (ii).

(ii) =⇒ (i): Evident. 2

Consideram o structura probabilista (U, u), un enunt ϕ ∈ E(U) si un numarreal r ∈ [0, 1]. Definim

(U, u) |=∗ (ϕ, r)def.⇐⇒ u([ϕ]) ≥ r,

µ∀def.= {(ψ, µi([ψ])) | ψ este un enunt universal ın L}.

Teorema 9.2.16 Fie µ o probabilitate pe L si (U, u) o structura probabilista.Atunci (U, u) poate fi scufundata ıntr-un model (V, v) al lui µ daca si numai daca(U, u) |=∗ µ∀.

Dem. Presupunem (U, u) ⊆ (V, v) si (V, v) |= µ. Fie ϕ un enunt universal ın L.Pentru orice enunt ψ cu proprietatea ca [ψ] ∈ dom(µ) si ` ψ → ϕ, avem

µ([ψ]) = v([ψ]) ≤ u([ψ]) ≤ u([ϕ]).

Rezulta µi([ϕ]) ≤ u([ϕ]), deci (U, u) |=∗ µ∀.Reciproc, presupunem ca (U, u) |=∗ µ∀. Fie [ϕ] ∈ dom(µ) si ψ ∈ D(U) astfel

ıncat ` ψ ↔ ϕ. Vom demonstra ca

(9.6) µ([ϕ]) = u([ψ]).

Fie ~a = (a1, . . . , an) vectorul constantelor din U \C ce apar ın ψ. Din ` ϕ ↔ ψ(~a),rezulta ` ¬ϕ ↔ ¬ψ(~a), deci ` ϕ ↔ ∀~xψ(~x) si ` ¬ϕ ↔ ∀~x¬ψ(~x).

Insa ∀~xψ(~x) este un enunt universal, deci

(U, u) |=∗ (∀~xψ(~x), µi([∀~xψ(~x)])),

Page 256: Draft de carte (din 2009)

256 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

ceea ce se mai scrieu([∀~xψ(~x)]) ≥ µi([∀~xψ(~x)]).

Din conditia (G1), se obtine

u([ψ(~a)]) ≥ u([∀~xψ(~x)]),

deciu([ψ(~a)]) ≥ µi([∀~xψ(~x)]) = µi([ϕ]).

Analog, din(U, u) |=∗ (∀~x¬ψ(~x), µi([∀~x¬ψ(~x)])),

rezultau([¬ψ(~a)]) ≥ µi([¬ψ]).

Se stie ca µi([¬ϕ]) + µe([ϕ]) = 1, deci 1− u([ψ(~a)]) ≥ 1− µe([ϕ]).Am stabilit inegalitatea:

µi([ϕ]) ≤ u([ψ(~a)]) ≤ µe([ϕ]).

Dar [ϕ] ∈ dom(µ), deciµi([ϕ]) = µ([ϕ]) = µe([ϕ]),

deciµ([ϕ]) = u([ψ]).

Fie acum ϕ ∈ D(U) astfel ıncat [ϕ] 6∈ dom(µ). Vom demonstra ca µ poate fiextinsa la o probabilitate η astfel ıncat [ϕ] ∈ dom(η) si η([ϕ]) = u([ϕ]). ConformPropozitiei 9.1.40, este suficient sa aratam ca

(9.7) µi([ϕ]) ≤ u([ϕ]) ≤ µe([ϕ]).

Daca ϕ = ϕ(~a), cu ~a = (a1, . . . , an) din U \ C, atunci ϕ(~a),¬ϕ(~a) ∈ D(U) si` ϕ(~a) ↔ ∀~xϕ(~x), ` ¬ϕ(~a) ↔ ∀~x¬ϕ(~x).

Observam ca(U, u) |=∗ (∀~xϕ(~x), µi([∀~xϕ(~x)])),

deciu([ϕ]) = u([∀~xϕ(~x)]) ≥ µi([∀~xϕ(~x)]) = µi([ϕ]).

Analog, avem u([¬ϕ]) ≥ µi([¬ϕ]), deci u([ϕ]) ≤ µe([ϕ]).Folosind cele demonstrate mai sus, prin inductie transfinita, putem defini o

probabilitate ε pe L(U) astfel ıncat:· dom(µ) ∪ {[ϕ] | ϕ ∈ D(U)} ⊆ dom(ε);· ε extinde pe µ;· ε([ϕ]) = u([ϕ]), pentru orice ϕ ∈ D(U).

Page 257: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 257

In final, aplicand Teorema de completitudine a lui Gaifman, gasim un model(V, v) al lui ε, deci (V, v) |= µ si (U, u) ⊆ (V, v). 2

O probabilitate µ pe L este pastrata de substructurile probabiliste daca U, u) ⊆(V, v) si V, v) |= µ implica (U, u) |= µ.

Corolar 9.2.17 Fie µ o probabilitate pe L. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) µ este pastrata de substructurile probabiliste;(ii) Pentru orice structura probabilista (U, u), (U, u) |=∗ µ∀ implica (U, u) |= µ.

Fie (U, u) si (V, v) doua structuri probabiliste. Spunem ca (U, u) si (V, v) suntechivalente elementar daca u |B= v |B . In acest caz, vom nota

(U, u) ≡ (V, v).

Propozitia 9.2.18 Daca (U, u) ≡ (V, v), atunci exista o structura probabilista(W,w) astfel ıncat (U, u) ≺ (W,w) si (V, v) ≺ (W,w).

Dem. Prin definitia notiunii de structura probabilista, C ⊆ U si C ⊆ V . Putempresupune U ∩ V = C. B(U) si B(V ) sunt subalgebre ale lui B(U ∪ V ).

Consideram ϕ(~a) ∈ E(U), ψ(~b) ∈ E(V ), cu ~a = (a1, . . . , an) ın U \ C si ~b =(b1, . . . , bm) ın V \ C. Presupunem ca ` ϕ(~a) ↔ ψ(~b) ın L(U ∪ V ). Se observa ca` ϕ(~a) ↔ ∀~xϕ(~x) ın L(U) si ` ψ(~b) ↔ ∀~yψ(~y) in L(V ), deci` ∀~xϕ(~x) ↔ ∀~yψ(~y) ın L(U ∪ V ).Insa, ∀~xϕ(~x) si ∀~yψ(~y) sunt enunturi ın L, deci ` ∀~yψ(~y) ↔ ∀~yψ(~y) in L.Deoarece (U, u) ≡ (V, v), rezulta

u([ϕ(~a)]) = u([∀~xϕ(~x)]) = v([∀~yψ(~y)]) = v([ψ(~b)]).

Fie [ϕ] 6∈ B(U), cu ϕ = ϕ(~a), unde ~a = (a1, . . . , an) este format cu elemente dinU \C. Vom arata ca exista o probabilitate µ pe L(U∪V ) astfel ıncat B(U)∪{[ϕ]} ⊆dom(µ) ⊆ B(U ∪ V ).

Conform Propozitiei 9.1.40, este suficient sa stabilim urmatoarea inegalitate ınalgebra Boole B(U ∪ V ):

(9.8) ui([ϕ]) ≤ v([ϕ]) ≤ ue([ϕ]).

Fie ` ψ → ϕ(~a) in L(U), cu ψ ∈ E(U). Deoarece ` ϕ(~a) ↔ ∀~xϕ(~x) si ∀~xϕ(~x) ∈E, avem

u([ψ]) ≤ u([∀~xϕ(~x)]) = v([∀~xϕ(~x)]) = v([ϕ]),

de unde rezulta ui([ϕ]) ≤ v([ϕ]).Inegalitatea a doua din (9.8) se demonstreaza analog.Folosind consideratiile de mai sus, prin inductie transfinita se construieste o

probabilitate µ′ pe L(U ∪ V ) astfel ıncat urmatoarele proprietati sunt ındeplinite:· B(U) ∪B(V ) ⊆ dom(µ′) ⊆ B(U ∪ V ),

Page 258: Draft de carte (din 2009)

258 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

· µ′ |B(U)= u si µ′ |B(V )= v.Aplicand Teorema de completitudine a lui Gaifman, se obtine o structura proba-bilista (W,w) astfel ıncat (U, u) ≺ (W,w) si (V, v) ≺ (W,w).

Fie L′ o expansiune a limbajului L. Atunci B(L) este o subalgebra a lui B(L′).Daca (U ′,m′) este o structura probabilista pentru limbajul L′, atunci notam

(U ′,m′)[Lnotatie

= (U ′,m′ |B(U)).

(U ′,m′)[L este o structura probabilista pentru limbajul L.

Consideram trei limbaje de ordinul I: L, L1, L2 cu L = L1 ∩ L2. Daca C, C1,C2 sunt multimile de constante ale celor trei limbaje, atunci C = C1 ∩ C2.

Vom nota cu B, B1, B2 algebrele Lindenbaum-Tarski ale limbajelor L, L1, L2

respectiv. Daca U este o multime astfel ıncat C, C1, C2 ⊆ U , atunci B(U), B1(U),B2(U) vor fi algebrele Lindenbaum-Tarski corespunzatoare limbajelor L(U), L1(U),L2(U), iar B0

1, B02 vor fi subalgebrele lui B1, B2, formate din clasele de echivalenta

ale enunturilor fara cuantificatori din L1, L2 respectiv.

Teorema 9.2.19 Fie µ, µ1, µ2 trei probabilitati pe limbajele L, L1, L2 respectiv,astfel ıncat µi |dom(µi)∩B= µ, pentru i = 1, 2. Atunci exista o structura probabilista(A,m) pentru limbajul L1 ∪ L2 astfel ıncat, pentru i = 1, 2,

(A,m)[Li = µi.

Dem. Conform Teoremei de completitudine a lui Gaifman, exista doua structuriprobabiliste (U0, u0) si (V0, v0), pentru L1 si L2 respectiv, astfel ıncat (U0, u0) |= µ1

si (V0, v0) |= µ2. De aici rezulta

(U0, u0)[L ≡ (V0, v0)[L.

Vom arata ca exista o probabilitate µ′ pe L(U ∪ V ) astfel ıncat urmatoarele douaconditii sunt verificate:· B(U0) ∪B2(V0) ⊆ dom(µ′) ⊆ B2(U0 ∪ V0),· µ′ |B(U0)= v0 si µ′ |B2(V0)= v1.

Intai, vom demonstra:

(9.9) u0 |B(U0)∩B2(V )= v0 |B(U0)∩B2(V ) .

Consideram enunturile α(~a) si β(~b) astfel ıncat :· α(~a) este un enunt ın L(U0) si ~a = (a1, . . . , an) este un vector cu elemente ınU0 \ C;· β(~b) este un enunt ın L2(V0) si ~b = (b1, . . . , bn) este un vector cu elemente ınV0 \ C;

Page 259: Draft de carte (din 2009)

9.2. MODELE PROBABILISTE ALE CALCULULUI CU PREDICATE 259

· ` α(~a) ↔ β(~b) ın L2(U0 ∪ V0).

Observam ca ` α(~a) ↔ ∀~xα(~x) ın L(U0) si ` β(~b) ↔ ∀~yβ(~y) ın L2(V ), deci` ∀~xα(~x) ↔ ∀~yβ(~y) ın L2. Insa ∀~xα(~x) ∈ E, de unde rezulta

[∀~yβ(~y)] = [∀~xα(~x)] ∈ B.

Tinand cont ca(U0, u0)[L ≡ (V0, v0)[L,

au loc urmatoarele egalitati:

u0([α(~a)]) = u0([∀~xα(~x)]) = v0([∀~yβ(~y)]) = v0(β(~y)]).

In acest fel, am demonstrat egalitatea (9.9).Fie [ϕ] ∈ B(U0) ⊆ B2(U0 ∪ V0) astfel ıncat [ϕ] 6∈ B2(V0) ⊆ B2(U0 ∪ V0). Vom

demonstra ca ın algebra Boole B2(U0 ∪ V0) au loc inegalitatile urmatoare:

(9.10) (v0)i([ϕ]) ≤ u0([ϕ]) ≤ (v0)e([ϕ]).

Fie ψ un enunt ın L2(V0) astfel ıncat ` ψ → ϕ ın L2(U0 ∪ V0). Atunci ϕ = ϕ(~a),ψ = ψ(~b), unde ~a este un vector cu elemente din U0 \ C si ~b este un vector cuelemente din V0 \ C. Atunci ` ϕ ↔ ∀~xϕ(~x), ` ψ ↔ ∀~yψ(~y), ∀~xϕ(~x) ∈ E si ∀~yψ(~y)este un enunt din L2. Rezulta:

v0([ψ(~b)]) = v0([∀~yψ(~y)]) ≤ v0([∀~xϕ(~x)]) = u0([∀~xϕ(~x)]) = u0(ϕ(~a0]).

De aici se obtine prima inegalitate din (9.10). A doua inegalitate se demonstreazaın mod analog.

Aplicand Propozitia 9.1.40, rezulta existenta unei probabilitati µ1 ce verificaproprietatile urmatoare:· B2(V0) ∪ {[ϕ]} ⊆ dom(µ1) ⊆ B2(U0) ∪ V0),· µ1 |B2(V0)= v0,· µ1([ϕ]) = u0([ϕ]).

Folosind acest rezultat si aplicand inductia transfinita, se obtine probabilitateaµ′.

Aplicand lui µ′ Teorema de completitudine a lui Gaifman, se obtine o structuraprobabilista (V1, v1) astfel ıncat U0 ∪V0 ⊆ V1, v1 |B(U0)= u0 |B(U0) si v1 |B2(V0)= v.

Atunci (V1, v1)[B(U0) ≡ (U0, u0). Aplicand din nou procedeul de mai sus, gasimo structura probabilista (U1, u1) astfel ıncat V1 ⊆ U1, u1 |B1(U0)= u0 si u1 |B(V1)=v1 |B(V1).

Prin inductie, se construiesc doua lanturi elementare de modele probabiliste:

(U0, u0) ≺ (U1, u1) ≺ . . . ≺ (Un, un) ≺ . . .

(V0, v0) ≺ (V1, v1) ≺ . . . ≺ (Vn, vn) ≺ . . .

Page 260: Draft de carte (din 2009)

260 CHAPTER 9. DIMENSIUNEA PROBABILISTA A LOGICII CLASICE

pentru L1 si L2 respectiv, astfel ıncat urmatoarele proprietati sunt ındeplinite:· V1 ⊆ U1 ⊆ V2 ⊆ U2 ⊆ . . . ⊆ Un ⊆ Vn+1 ⊆ Un+1 ⊆ . . .,· vn+1([ϕ]) = un([ϕ]), pentru orice ϕ ∈ E(Un),· un+1([ϕ]) = vn+1([ψ]), pentru orice ψ ∈ E(Vn+1).

Fie A =⋃∞

n=0 Un =⋃∞

n=0 Vn si (A, u) =⋃∞

n=0(Un, un), (B, v) =⋃∞

n=0(Vn, vn).Conform Propozitiei 9.2.14, pentru orice n ≥ 0 avem

(Un, un) ≺ (A, u), (Vn, vn) ≺ (B, v),

deci(A, u)[L ≡ (B, v)[L.

Fie∼B algebra Lindenbaum-Tarski a limbajului (L1 ∪ L2)(A) si

∼B0 subalgebra

sa formata din clasele enunturilor fara cuatificatori. Atunci putem defini o prob-abilitate w :

∼B0−→ [0, 1] astfel ıncat w |B0

1= u |B0

1si w |B0

2= v |B0

2. Aplicand

Teorema 9.2.8, exista o probabilitate m :∼B−→ [0, 1] ce extinde pe w si verifica

conditia lui Gaifman. Conform partii de unicitate din Teorema 9.2.8, m |B1= u |B1

si m |B2= v |B2 .Structura probabilista (A,m) satisface conditiile cerute. 2

Rezultatul precedent este corespondentul probabilistic al teoremei de consistentaa lui Robinson din teoria clasica a modelelor.

Page 261: Draft de carte (din 2009)

Bibliography

[1] M.A. Amer, Probability, logic and measures on epimorphic images of co-products of measurable spaces, Reports Math. Logic, 28, 1994, 29-52.

[2] J. Barwise (Editor), Handbook of Mathematical logic, North-Holland, 1977.

[3] O. Basca, Baze de date, Editura All, 1997.

[4] D. Busneag, Contributions to the study of Hilbert algebras (in Romanian),Ph.D. Thesis, Univ. of Bucharest, 1985.

[5] C.C. Chang, H.J. Keisler, Model Theory (editia a treia), 1990.

[6] A. Diego, Sur les algebres de Hilbert, Ph. D. Thesis, Collection de Logiquemath., Serie A, XXI, Gauthier-Villars, 1966 (traduction faites d’apres laThese edi’ee en langue espagnole sous le titre: Sobre Algebras de Hilbert,parue dans la Collection Notas de Logica Matematica, Univ. Nacional delSur, Bahia Blanca, 1961).

[7] A. Dumitriu, Logica polivalenta, Ed. enciclopedica Romana, 1971.

[8] Gh. Enescu, Logica si Adevar, Ed. politica, 1967.

[9] Gh. Enescu, Teoria sistemelor logice, Ed. stiint. si encicl., 1976.

[10] J.E. Fenstad, Representation of probabilities defined on first order lan-guages, in J.N. Crosley (ed.), Set, Models and Recursion Theory, North Hol-land, 1967.

[11] H. Gaifman, Concerning measures on first order calculi, Israel J. Math., 2,1964, 1-18.

[12] B.A. Galler, Cylindric and polyadic algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 8,1959, 176-183.

[13] G. Georgescu, Elemente de Logica Matematica, Academia militara, 1978.

[14] G. Georgescu, Some model theory for probability structures, Reports Math.Logic, 35, 2001, 103-113.

261

Page 262: Draft de carte (din 2009)

262 BIBLIOGRAPHY

[15] G. Georgescu, Sistemul formal al calculului cu predicate (I), Revista delogica http://egovbus.net/rdl, 20.10.2008, 1-33.

[16] G. Georgescu, Sistemul formal al calculului cu predicate (II), Revista delogica http://egovbus.net/rdl, 20.10.2008, 1-19.

[17] G. Georgescu, Un semestru de logica, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, 19.11.2007, 1-5.

[18] S. Givant, P. Halmos, Introduction to Boolean Algebras, Springer, 2008.

[19] K. Godel, Die Vollstandigkeit der Axiome des logish Functionenkalkuls,Monat. fur Mathematik und Physik, 37, 1930, 349-330.

[20] P.R. Halmos, Algebraic logic, Chelsea Publ. Comp., New York, 1962.

[21] L. Henkin, The Completeness of First-order Functional Calculus, J. Symb.Logic, 14, 1949, 159-166.

[22] L. Henkin, The Discovery of My Completeness Proofs, Bull. Symb. Logic,vol.2, no. 2, 1996, 127-158.

[23] L. Henkin, J.D. Monk, A. Tarski, Cylindric Algebras, I, II, North-Holland, 1971, 1985.

[24] D. Hilbert, W. Ackermann, Grundzugen der theoretischen Logik, Hei-delberg, Springer-Verlag, 1928.

[25] A. Horn, A. Tarski, Measures in Boolean algebras, Trans. Amer. Math.Soc., 64, 1948, 467-497.

[26] A. Iorgulescu, S-prealgebras, Discrete Mathematics, 126, 1994, 415-419.

[27] A. Iorgulescu, On BCK algebras - Part I.a: An attempt to treat unitarilythe algebras of logic. New algebras, J. of Universal Computer Science, Vol.13, 11, 2007, 1628-1654.

[28] A. Iorgulescu, On BCK algebras - Part I.b: An attempt to treat unitarilythe algebras of logic. New algebras, J. of Universal Computer Science, toappear.

[29] A. Iorgulescu, Algebras of logic as BCK algebras, Editura Academiei deStudii Economice, Bucuresti, 2008.

[30] A. Iorgulescu, Asupra algebrelor Booleene, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, 25.01.2009, 1-25.

[31] K. Iseki, S. Tanaka, An introduction to the theory of BCK-algebras, Math.Japonica 23, No.1, 1978, 1-26.

Page 263: Draft de carte (din 2009)

BIBLIOGRAPHY 263

[32] J. ÃLos, E. Marczewski, Extensions of measures, Fund. Math., 36, 1949,267-276.

[33] R.C. Lynden, Notes on Logic, D. Van Nostrand, 1967.

[34] Mihaela Malita, Mircea Malita, Bazele inteligentei artificiale, Ed.tehnica, 1987.

[35] Gr.C. Moisil Incercari vechi si noi de logica neclasica, Ed. stiint., 1965.

[36] Gr.C. Moisil, Elemente de logica matematica si de teoria multimilor, Ed.stiint., 1968.

[37] J.D. Monk, Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1978.

[38] A. Monteiro, Construction des algebres de ÃLukasiewicz trivalentes dans lesalgebres de Boole Monadiques-I, Notas de Logica Mat. 11, 1974.

[39] T. Ogasawara, Relation between intuitionistic logic and lattice, Journal ofthe Hiroshima University, Serie A, Vol. 9, 1939, 157-164.

[40] R. Padmanabhan, Sergiu Rudeanu, Axioms for lattices and Boolean al-gebras, World Scientific, Singapore, 2008.

[41] D. Ponasse, Problemes d’universalite s’introduissant dans l’algebrisationde la logique mathematique, These presente a la Faculte des Sciences del’Universite de Clermont Ferrand, 1961.

[42] D. Ponasse, Logique mathematique, O.C.D.L., Paris, 1967.

[43] D. Ponasse, Algebres floues et algebres de Lukasiewicz, Rev. Roum. Math.Pures Appl., Tome XXIII, No. 1, 1978, 103-111.

[44] D. Ponasse, J.C. Carrega, Algebre et topologie booleennes, Masson,Paris, 1979.

[45] C. Popovici, S. Rudeanu, H. Georgescu, Bazele informaticii, Vol. II,Univ. Bucuresti, Fac. de matematica, 1991.

[46] M. Reghis, Elemente de teoria multimilor si de logica matematica, Ed. Facla,1981.

[47] S. Rudeanu, Elemente de logica matematica, Revista de logicahttp://egovbus.net/rdl, 1-23.

[48] D. Scott, P. Krauss, Asigning probabilities to logical formules, in: Hin-takka and Suppes (eds), Aspects of Inductive Logic, North Holland, 1966.

[49] N. Tandareanu, Introducere ın programarea logica, Limbajul PROLOG,Ed. INTARF, Craiova, 1994.

Page 264: Draft de carte (din 2009)

264 BIBLIOGRAPHY

[50] D.A. Vladimirov, Boolean Algebras in Analysis, Kluwer, 2002.

[51] L.A. Zadeh, Fuzzy sets, Inform. Control 8, 1965, 338-353.

[52] H. Wang, Studii de Logica matematica, Ed. stiint., 1972.

Page 265: Draft de carte (din 2009)

Index

Σ-demonstratie formala, 146ϕ se deduce (sintactic) din ipotezele Σ,

145tA(s), 123ınchiderea universala, 146

variabila legata, 121

algebra Boole monadica, 151algebra Lindenbaum-Tarski, 149algebra Lindenbaum-Tarski a teoriei Σ,

150axiomele calculului cu predicate, 138

cuantificator existential, 151cuatificator universal, 151

deductie semantica, 131demonstratie formala, 139

enunt, 121enunt universal adevarat, 129evaluare (interpretare), 123

formula universal adevarata, 129

I-algebra Boole cilindrica, 152interpretare(evaluare), 123

limbaj numarabil, 154

model Henkin asociat teoriei Σ, 161multime consistenta de formule, 147multime inconsistenta de formule, 147multime maximal consistenta, 147

proprietati de ordinul I, 122

regulile de deductie ale calculului cu pred-icate, 139

teorema formala, 139teorie, 127teorie ınchisa, 155teorie a lui Lτ , 150teorie Henkin, 155

variabila libera, 121

265

Page 266: Draft de carte (din 2009)

266 INDEX

Page 267: Draft de carte (din 2009)

List of Figures

3.1 Diagrama Hasse a multimii ordonate (A,R) . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Exemple de multimi ordonate cu prim si/sau ultim element . . . . . 363.3 Multime ordonata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Laticile liniar ordonate L2 si L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Laticea liniara L4 si laticea neliniara L2×2 . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Laticile generate de 5 elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7 Multimi ordonate care nu sunt latici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 Latici distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1 Algebra Boole L2×2 (rombul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Algebra Boole L2×2×2 (cubul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

267


Recommended