Curs5

CURS 5 Gavril MUSCĂ 1

5. MODELAREA GEOMETRICĂ Reprezentarea obiectelor reale din punct de vedere al proprietăţilor geometrice poartă numele de modelare geometrică. Modelarea geometrică reprezintă un punct de plecare atât pentru modelarea cu elemente finite cât şi pentru proiectarea planurilor de operaţii sau pentru obţinerea benzii perforate pentru comanda numerică. Sistemele PAC-PACT trebuie să asigure prin modelarea geometrică, crearea unor reprezentări pentru solide, în aşa fel încât să facă posibilă realizarea desenelor şi prelucrarea lor. Dacă în mod tradiţional reprezentarea unui obiect era sub formă de planşe, proiectarea asistată introduce conceptul de model informatic. Un astfel de model este şi modelul 3D care permite tratarea corpului ca şi cum ar exista în spaţiul real, caracterizat prin precizie şi interactivitate [4], [7], [12], [31], [32], [33], [58], [69], [78], [81], [90]. Cele mai frecvente metode PAC de prezentare a modelelor geometrice 3D sunt:

a) modelarea prin muchii (wireframe); b) modelarea prin suprafeţe (surface); c) modelarea solidă (solide).

Modelarea prin muchii constă în reprezentarea obiectului 3D printr-un schelet de linii, puncte şi curbe. Acest tip de modelare contribuie la îmbunătăţirea vizualizării, la realizarea comodă a vederilor de perspectivă şi uşurarea calculelor de determinare a distanţelor minime între muchii etc. Modelarea prin suprafeţe este mai complexă întrucât suprafeţele sunt modele 3D ce conţin informaţii despre muchiile obiectului şi spaţiile adiacente acestora. Cele mai întâlnite aplicaţii ce caracterizează acest tip de modelare sunt cele pentru obţinerea vederilor cu linii ascunse, a modelelor folosite pentru generarea codurilor CN, a găsirii intersecţiei între suprafeţe etc. Modelarea prin solide este cea mai completă din punct de vedere informatic. Această reprezentare suportă o mare varietate de informaţii conexe. Modelarea solidă este foarte mult folosită în industria automobilului şi cea aeronauticii dar câştigă teren şi în alte industrii. Sistemele de modelare a solidelor folosesc două tipuri de date:

∗ date geometrice spaţiale; ∗ date topologice.

CURS 5 Gavril MUSCĂ PTAC 2014-2015


Modelul solid, care se reduce în ultimă instanţă la reprezentarea frontierelor, conţine două categorii de specificatori, şi anume:

∗ primitive de formă; ∗ operatori pentru obţinerea formei.

Reprezentarea modelelor solide cunoaşte două variante: a) Reprezentarea frontierelor B-Rep (Boundary Representation,)

prezintă solidul ca reuniunea feţelor, capetelor şi muchiilor, deci prin reprezentarea limitelor sale spaţiale.

b) Reprezentarea CSG (Constructive Solid Geometry) asigură descrierea solidelor ca simple primitive geometrice care sunt combinate prin operaţii booleene pentru formare obiectelor complexe. Solidele astfel obţinute au o geometrie constructivă sintetizată sub forma unui arbore pentru a putea menţine primitivele componente şi operaţiile booleene folosite la obţinerea obiectului.

Generalizarea reprezentării prin solide (reprezentare volumică) a permis o mai bună viziune şi înţelegere a obiectelor concepute, dar utilizarea în fabricaţie a posibilităţilor suplimentare oferite de această nouă modalitate de reprezentare rămâne, în mare parte, să fie realizată în viitor.

5.1. Calcule geometrice specifice proiectării asistate Unul dintre aspectele importante ale concepţiei asistate (PAC/ CAD/CAO) este cel al tehnicilor grafice interactive. Orice sistem de concepţie asistată face apel la un sistem grafic. Acesta trebuie să permită introducerea-afişarea de informaţii dar şi să efectueze diverse calcule, cum ar fi: distanţe, arii perimetre, transformări geometrice şi schimbarea spaţiului de reprezentare. Pentru a înţelege mai uşor elementele amintite mai sus, sunt necesare câteva elemente de matematică, aşa cum sunt: ∗ operaţiile grafice de bază, norme, schimbarea spaţiului de reprezentare; ∗ calcule în 2D (transformări, distanţe, perimetre, caracteristici inerţiale); ∗ calcule în 3D (intersecţii, transformări geometrice, perspective). Calculele geometrice 2D sau 3D se realizează mai comod în coordonate omogene. Un obiect în spaţiul n dimensional poate fi reprezentat în spaţiul n+1 dimensional prin adăugarea unei coordonate de suplimentare (factor de scară). Reprezentarea unui vector (x, y) corespunzător unui punct din plan va fi (sx,sy,s) unde s este un scalar diferit de zero. De asemenea, se poate vorbi de o transformare inversă (o proiecţie) a unui vector în coordonate omogene în două sau trei dimensiuni (sx/s, sy/s). Utilizarea coordonatelor omogene în informatică are anumite consecinţe funcţie de modul în care se alege scalarul s. Această modalitate de reprezentare



permite exprimarea numerelor fracţionare prin componente omogene întregi dar şi eliminarea problemelor de depăşire binară. În continuare se va face o scurtă trecere în revistă a elementelor amintite, aceste elemente fiind necesare descrierii geometrice a pieselor, în special pentru realizarea tehnologiei pentru maşini-unelte cu comandă numerică.

Elemente de calcul în 2D Aceste calcule sunt destul de simple şi fac apel la noţiuni de geometrie plană şi de geometrie analitică. Se vor prezenta câteva calcule specifice. Transformarea coordonatelor utilizator în coordonate ecran. Una dintre facilităţile graficii asistate este aceea că permite utilizatorului să lucreze în spaţiul propriu fără să se preocupe de ecranul utilizat. În general se defineşte un spaţiu utilizator (xu,yu), caracterizat prin unităţi de măsură, origine şi limite de utilizare şi un spaţiu ecran (xe,ye) caracterizat de posibilităţile echipamentului disponibil. Se pot deduce relaţiile (5.1), (5.2) de trecere între cele două sisteme:

BxAxx

xxxxxxxxxx u

uu

ueueu

uu

eee +⋅=

−⋅−⋅

+−−

=minmax

minmaxmaxmin

minmax

minmax (5.1)

DyCyy

yyyyyyyyyy u

uu

ueueu

uu

eee +⋅=

−⋅−⋅

+−−

=minmax

minmaxmaxmin

minmax

minmax (5.2)

Calcule de intersecţie Reprezentarea grafică în plan a elementelor geometrice ca şi determinarea traiectoriei sculelor în cazul maşinilor-unelte cu comandă numerică necesită calcule ce utilizează elemente de geometrie analitică plană. Astfel de calcule sunt prezentate în cele ce urmează.

Intersecţia a două drepte: A1⋅x+B1⋅y+C1=0 A2⋅x+B2⋅y+C2=0

Determinarea punctului de intersecţie P(xi,yi) este posibilă prin rezolvarea sistemului scris anterior (5.3):

;;2121

1221

2121

2112

ABBAACACy

ABBABCBCx ii ⋅−⋅

⋅−⋅=

⋅−⋅⋅−⋅

= (5.3)

Din punct de vedere al calculului, pot apărea probleme când dreptele sunt paralele, caz în care numitorul coordonatelor xi, yi ia valori foarte apropiate de zero. Utilizarea coordonatelor omogene poate evita dezavantajul dreptelor paralele. În această situaţie, sistemul dreptelor are forma:

00

222

111

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

wCyBxAwCyBxA

(5.4)



iar punctul de intersecţie P, este reprezentat de vectorul: P( (C2⋅B1-C1⋅B2); (C1⋅A2-C2⋅A1); (A1⋅B2-A2⋅B1) )

Dacă dreptele sunt paralele, atunci cea de-a treia coordonată a vectorului precedent este nulă.

Intersecţia unui cerc cu o dreaptă: (x-xc)2+(y-yc)2=R2

A⋅x+B⋅y+C=0 Pentru ca acest sistem să aibă soluţie, este necesar ca distanţa de la centrul cercului la dreaptă să fie inferioară razei (5.5):

RBA

CyBxA cc ≤+

+⋅+⋅22

(5.5)

Relaţia precedentă se poate scrie (5.6): R2⋅(A2+B2) - (A⋅xc+B⋅yc+C)≥0 ⇒ ∆ ≥ 0 (5.6)

Dacă soluţia există, utilizând notaţiile: T1=B⋅xc-A⋅yc+∆; T2=B⋅xc-A⋅yc-∆;

se obţin punctele de intersecţie (5.7): x1=(B.T1-A.C)/(A2+B2); y1=-(A.T1+B.C)/(A2+B2) (5.7)

x2=(B.T2-A.C)/(A2+B2); y2=-(A.T2+B.C)/(A2+B2) Intersecţia dintre două cercuri:

(x-x1)2+(y-y1)2=R12 (x-x2)2+(y-y2)2=R22

Se verifică dacă cercurile nu sunt concentrice, respectiv dacă distanţa centrelor nu depăşeşte suma razelor (5.8):

( ) ( ) 212

212

210 RRyyxx +≤−+−<≤ ε (5.8) Dacă problema admite soluţii, se determină axa radicală a celor două cercuri (5.9):

2x (x1-x2)+2y (y1-y2)+x22+y22-R22-(x12+y12-R12)=0 (5.9) Utilizând (5.9) şi una dintre ecuaţiile cercurilor, se determină punctele de intersecţie cerute. Calculul perimetrelor şi ariilor. Aceste calcule sunt simple dacă este vorba despre poligoane. Astfel, dacă există un poligon cu n vârfuri (ultimul vârf confundându-se cu primul), atunci calculul perimetrelor şi ariilor se realizează cu relaţiile (5.10):

( ) ( )∑−

=++ −+−=

1

1

21

21

n

iiiii yyxxP ;

( ) nn

n

iiiii yxyxyxyxA ⋅−⋅+⋅−⋅= ∑

−

=++ 11

1

1112

1 (5.10)



Dacă se realizează calculul figurilor complexe, compuse din arce şi segmente de dreaptă, formulele anterioare pot fi folosite după poligonalizarea conturului. Calculul, în acest caz va fi aproximativ şi va depinde de precizia poligonalizării. Transformări geometrice în 2D. Transformările geometrice permit deplasarea, modificarea sau copierea unui obiect existent. Transformările vor fi prezentate sub formă matriceală. O transformare aplicată unui obiect sau unei mulţimi de obiecte poate fi constituită dintr-o reuniune de mai multe transformări sau dintr-o unică transformare. Din punct de vedere matematic acest fapt corespunde unui produs de matrice, matricea rezultată reprezentând concatenarea transformărilor. În continuare se vor prezenta transformările de bază: Translaţia: punctul P(x,y) devine P'(x',y') prin translaţie cu vectorul T(tx, ty), după relaţiile (5.11):

P'=P+T; ⇒

+=+=

y

x

tyytxx

''

(5.11)

În scriere matriceală, pentru P(x, y, 1) obţinem P'(x',y',1):

P'=P.M(T); unde

=

1010001

)(yx tt

TM (5.12)

Rotaţia în jurul originii cu un unghi α Coordonatele punctului P' sunt:

⋅+⋅=⋅−⋅=

αααα

cossin'sincos'

yxyyxx

În scriere matriceală avem:

P'=P.M(R); unde

−=

1000cossin0sincos

)( αααα

RM (5.13)

Transformarea de scară de vector E(e1,e2) poate fi scrisă:

⋅=⋅=

yeyxex

2

1

''

; sau matriceal, P'=P ⋅ M(E) unde

=

1000000

)( 2

1e

eEM

Concatenarea transformărilor Presupune multiplicarea matricelor de bază pentru a putea obţine matricea de transformare generală. Spre exemplu, dacă se doreşte realizarea unei translaţii T urmată de o rotaţie în jurul originii de unghi α, se realizează transformările:



⋅=⋅=

))(('")('αRMPP

TMPP⇒ P"=P ⋅ M(T) ⋅ M(R(α))⇒ P"=P ⋅ G (5.14)

Produsul matriceal fiind asociativ, se poate determina matricea generală a acestei transformări are forma:

⋅+⋅⋅−⋅−=

=

−⋅

=

1cossinsincos0cossin0sincos

1000cossin0sincos

1010001

αααααααα

αααα

yxyx tttt

tytxG

Un alt exemplu constă în determinarea matricei corespondente unei rotaţii de unghi α în jurul unui punct C(xc,yc). Pentru a obţine acest lucru trebuie parcurse trei etape: ∗ se realizează o translaţie -C pentru a aduce centrul de rotaţie în origine,

întrucât se cunoaşte matricea de rotaţie în jurul originii; ∗ se efectuează rotaţia în jurul originii; ∗ de efectuează translaţia C pentru a aduce centrul de rotaţie în poziţia

iniţială. Se obţine (5.15):

P'=P.T(-C).M(R).T(C) (5.15)

+−−++−−⋅=

1cossinsincos0cossin0sincos

'yyxxyx CCCCCC

PPαααα

αααα

(5.16)

Transformări geometrice în 3D. Se vor defini transformările de bază şi apoi se vor determina matricele transformărilor complexe. Transformările de bază sunt translaţiile, rotaţiile în jurul axelor de coordonate şi transformarea de scară. Pentru fiecare transformare de bază se va prezenta matricea corespunzătoare:

Translaţia caracterizată de vectorul T(tx,ty,tz):

=

1010000100001

)(

zyx ttt

TM

Rotaţia cu unghiul α în jurul axei X:



−=

10000cossin00sincos00001

)),(( αααααXRM

Rotaţia cu unghiul β în jurul axei Y:

−

=

10000cos0sin00100sin0cos

)),(( ββ

ββ

βYRM

Rotaţia cu unghiul γ în jurul axei Z:

−=

1000010000cossin00sincos

)),(( γγγγ

γZRM

Transformarea de scară de vector E(ex,ey,ez):

=

1000000000000

)(z

y

x

ee

e

EM

Matricea transformării generale dedusă din matricele transformărilor de bază se obţine prin calcule mai dificile decât în cazul 2D. Proiecţii paralele şi perspective În desenul industrial proiecţiile paralele sunt frecvent utilizate; vederile perspective sunt frecvent utilizate de arhitecţi sau pictori. Mijloacele PAC/CAD/CAO permit, în general, reprezentarea proiectivă a elementelor geometrice. O perspectivă este o transformare a unui spaţiu 3D spre alt spaţiu 3D. În general, această transformare este urmată de o proiecţie spre un spaţiu 2D (ecran) pentru a obţine vederea afişabilă a obiectului. Fig. 5.1 prezintă diferite tipuri de proiecţii plane întâlnite în CAD/CAO. În cazul proiecţiei perspective, proiecţia se obţine prin calculul intersecţiei cu un plan al dreptelor ce pleacă dintr-un centru de proiecţie şi trece prin toate punctele obiectului. În cazul unei proiecţii paralele, centrul de proiecţie se află la infinit, toate dreptele fiind paralele. Într-o astfel de situaţie, dacă toate dreptele sunt perpendiculare pe planul de vedere, este vorba despre o proiecţie



axonometrică; dacă dreptele nu sunt perpendiculare pe planul de proiecţie spunem că avem o proiecţie oblică. Există trei tipuri de proiecţii axonometrice: proiecţii izometrice, când unghiurile planului de vedere cu fiecare dintre axe sunt egale, proiecţiile dimetrice când două unghiuri ale planului de vedere cu axele sunt egale şi proiecţii trimetrice când unghiurile planului de vedere cu axele sunt diferite. În cazul proiecţiilor oblice, dreptele de proiecţie fac un unghi diferit de 90o cu planul de proiecţie. Se poate vorbi de două tipuri de proiecţii oblice: proiecţia cavalieră când unghiul dreptelor de proiecţie cu planul de vedere este 45o şi proiecţie cabinet care este un caz particular al precedentei, când a treia axă este diminuată cu un factor de 1/2. Proiecţiile perspective se disting prin tipul perspectivei utilizate. O proiecţie perspectivă reprezintă concatenarea unei transformări perspective şi a unei proiecţii. Proiecţiile perspective sunt alese în funcţie de tipul viziunii obiectului, căutându-se a se obţine viziuni realiste cât mai apropiate de vederea umană. Pentru a descrie proiecţiile se vor utiliza matrice şi vectori ca şi în cazul transformărilor geometrice. În continuare se vor prezenta diferite tipuri de proiecţii şi posibilităţile de obţinere a reprezentărilor lor matriceale.

;

1000000000100001

))0(

;

1000010000000001

))0(;

1000010000100000

))0(

==

==

==

ZM

YMXM

Fig. 5.1. Proiecţii paralele şi perspective utilizate la modelarea geometrică



Axonometriile sunt proiecţii paralele. Considerăm în primul rând proiecţiile ortografice pe planele X=0, Y=0, Z=0. Matricele de proiecţie se deduc uşor. O proiecţie ortografică pe un plan X=p, Y=p sau Z=p se obţine printr-o translaţie:

=

⋅

==

100010000100000

100010000100001

1000010000100000

)(

pp

pXM

Izometriile, dimetriile şi trimetriile sunt obţinute prin combinaţii de rotaţii urmate de o proiecţie la infinit. Dacă se consideră că proiecţia se face pe un plan Z=0, se poate defini o rotaţie de unghi β în jurul axei Y, urmată de o rotaţie de unghi α în jurul axei X. Matricea corespunzătoare acestor două rotaţii este următoarea:

⋅⋅−

⋅⋅

=

=

−⋅

−

=

10000coscossincossin0sincos00cossinsinsincos

10000cossin00sincos00001

10000cos0sin00100sin0cos

αβαββαα

αβαββ

αααα

ββ

ββ

M

Realizându-se proiecţia pe planul Z=0, se obţine matricea:

⋅−

⋅

=

⋅=

100000cossinsin00cos000sinsincos

1000000000100001

' βαβα

αββ

MM

Dacă se consideră versorii unitari ai axelor X, Y, transformările lor sunt:

u'x=[ 1 0 0 1 ] . M' = [ cosβ sinβ.sinα 0 0 ] u'y=[ 0 1 0 1 ] . M' = [ 0 cosα 0 0 ]

O dimetrie este obţinută aplicând acelaşi factor de reducere componentelor versorilor ux şi uy pentru a obţine u'x=u'y. Această condiţie se va reduce la:

α

αβ 2

22

sin1sinsin−

= (5.17)



O izometrie se obţine aplicând acelaşi factor de reducere pentru ux,uy şi uz pentru obţinerea valorilor u'x, u'y, u'z. Cunoscând că u'x=u'y=u'z se obţin valorile 2/1sin;3/1sin == βα . Proiecţii oblice Într-o proiecţie oblică, dreptele de proiecţie fac un unghi diferit de 90o cu planul de proiecţie. Dacă se consideră o proiecţie pe planul XOY, px şi py fiind componentele versorului axei Z, vectorul [0 0 1 1] se transformă în [px py 0 1]. Matricea utilizată în acest caz are forma (5.18):

=

10000000100001

yx ppM (5.18)

În cazul unei proiecţii oblice de tip cavalier, px=cos 45o şi py=sin45o. În cazul unei proiecţii oblice de tip cabinet, px=1/2⋅cos45o şi py=1/2⋅sin45o. Proiecţia perspectivă O proiecţie perspectivă reprezintă concatenarea unei transformări perspective şi a unei proiecţii pe planul de vedere. Dacă se consideră că proiecţia se realizează totdeauna pe planul Z=0, proiecţia perspectivă se va obţine calculând intersecţiile P'(x',y',z') a razelor ce pleacă din punctul V(0,0,v) spre toate punctele obiectului P(x,y,z), cu planul Z=0. Se obţine (5.19):

;1/

1';1/

1' yvz

yvz

vyxvz

xvz

vxzz

z

zz

z ⋅+−

=⋅−−

=⋅+−

=⋅−−

= (5.19)

Matricea proiecţiei perspective are forma:

−=

1000/110000100001

zPERS vM

În mod asemănător, o transformare perspectivă din două sau din trei puncte de vedere prezintă matricele M2, M3:

;

1000/1100/1010/1001

;

10000100/1010/1001

32

−−−

=

−−

=z

y

x

y

x

vvv

Mvv

M

Modele matematice nu sunt utilizate în cazul modelării geometrice decât pentru caracterizarea curbelor şi suprafeţelor complexe. Întrucât piesele întâlnite în industrie au forme complexe, reprezentarea informatică a acestor piese trebuie să permită calcule pentru prelucrarea şi gestionarea



facilă a informaţiei. Numeroase tipuri de curbe şi suprafeţe pot fi reprezentate prin ecuaţii algebrice. Dar, suficient de multe curbe şi suprafeţe, foarte utile pentru concepţia curbelor şi suprafeţelor în domeniile aeronauticii, construcţiei de autoturisme, prelucrarea materialelor plastice etc., nu pot fi caracterizate de o astfel de ecuaţie. De aceea, realizatorii sistemelor de proiectare asistată au căutat reprezentări economice şi performante pentru elementele geometrice complexe. Aceste reprezentări trebuie să prezinte câteva elemente fundamentale, care să permită: ∗ Controlul local şi global al formei. Modificările formei sunt realizate

plecând de la punctele de control (puncte ce definesc poligonul de control care are influenţă asupra întregii curbe sau suprafeţe).

∗ Calitatea racordării diferitelor zone ale suprafeţei sau curbei. Una dintre calităţile esenţiale ale modelării este de a obţine o curbă sau o suprafaţă care să nu oscileze în jurul punctelor de control.

∗ Continuitatea. În situaţia când forma este descrisă de mai multe curbe sau suprafeţe, proiectantul poate dori ca în punctele de contact, acestea să fie tangente (continuitate de primul ordin) sau chiar să aibă aceeaşi curbură în aceste puncte (continuitate de ordinul doi).

Forma parametrică este cea mai utilizată pentru modelarea curbelor sau suprafeţelor. Această formă permite reprezentarea unei curbe cu ajutorul unui parametru şi a unei suprafeţe prin doi parametri. Un punct curent, reprezentat printr-un vector poate fi de forma P(u)= [x(u), y(u), z(u)] pentru o curbă şi de forma P(u,v)= [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] pentru o suprafaţă.

5.2. Curbe şi suprafeţe utilizate în proiectarea asistată Din analiza desenelor pieselor mecanice se poate aprecia că acestea nu oferă o descriere completă a elementelor de reprezentat. Astfel, la reprezentarea suprafeţelor cu precizie ridicată, există dificultăţi apreciabile întrucât geometria lor este fondată pe elemente de tip dreaptă şi cerc; definirea racordărilor suprafeţelor este realizată de o manieră adesea imprecisă, vagă, iar realizarea practică a acestor suprafeţe este lăsată în seama operatorilor cu înaltă calificare, ca modelori şi ajustori de matriţe. Reprezentarea suprafeţelor complexe este de cele mai multe ori făcută prin reprezentări desenate ale diferitelor secţiuni. Traseele reprezentate sunt de tip şablon, realizarea modelelor concrete prin copiere se face cu o precizie redusă a interpolării, care este lăsată de cele mai multe ori în grija operatorilor experimentaţi. În scopul utilizării maşinilor-unelte cu comandă numerică la realizarea suprafeţelor complexe, a devenit de mare actualitate problema definirii complete şi precise a tuturor suprafeţelor de executat prin



aşchiere. Problema fiind destul de dificilă, se apreciază volumul mare de abordări şi bogăţia referinţelor bibliografice în domeniu; acest lucru este cu atât mai interesant cu cât există multe contingenţe cu problemele reprezentării în grafica asistată. Aplicaţiile industriale direct interesate de problema amintită sunt diverse şi deosebit de spectaculoase. Modele şi metodele de reprezentare matematică sunt utile descrierii obiectelor cu formă complicată aşa cum sunt aeronavele, corpurile vapoarelor, elicele de turbină, caroseriile autoturismelor etc. În această ordine de idei, trebuie remarcate preocupările lui Paul de Casteljau, matematician la Citröen, care a realizat lucrări remarcabile în domeniu, începând cu 1958 dar publicarea acestora a fost posibilă în 1985. În 1964, James Ferguson, de la Boeing a publicat studii complete asupra suprafeţelor definite parametric, în care fiecare curbă este definită parametric printr-o expresie de gradul trei şi din condiţiile de limită impuse acesteia. O variantă de abordare a lucrărilor de la firma Citroen a fost semnalată la Renault. Între primele lucrări abordate în Franţa se pot cita preocupările cercetătorilor de la facultatea din Orsay, J.M. Brun şi M. Theron (1945). Preocupările în domeniu au plecat de la cerinţe practice. Formularea unei astfel de cerinţe1 i-a permis lui Steven A. Coons, cadru didactic la MIT în 1960, să aducă importante contribuţii în acest domeniu. În maniera tradiţională, desenele pieselor mecanice nu dau o descriere completă a obiectelor pe care le reprezintă. Suprafeţele care cereau o precizie ridicată erau definite prin dimensiuni însoţite de toleranţe; geometria lor era fondată pe folosirea dreptei şi cercului iar degajările şi racordările erau determinate de o manieră mai mult sau mai puţin precisă, şi câteodată implicită. Execuţia acestor suprafeţe era lăsată la iniţiativa profesioniştilor înalt calificaţi: modelori, turnători sau ajustori de matriţe. Când se punea problema prelucrării altor forme complicate, acestea erau reprezentate prin trasarea diferitelor secţiuni, şi reproduse prin copierea modelelor derivate din trasare printr-o interpolare lăsată în grija operatorilor foarte experimentaţi. În astfel de situaţii sunt frecvente conflictele de producţie cauzate în special de dificultăţile de control. Astfel de situaţii, creează probleme frecvente proiectanţilor caroseriilor de autoturisme, întrucât coincidenţa modelului realizat, cu cel desenat, nu pot să coincidă, dintr-un număr foarte mare de cauze. Informatica şi comanda numerică au

1 Pe macheta unei caroserii de autoturism se trasează linii, drepte sau curbe, formând un caroiaj. Dacă cele patru laturi ale unui petic astfel definit sunt exprimate prin curbe parametrice definite, să se determine punctele interne ale peticului, asigurându-se racordarea tangenţială cu zonele vecine.



înregistrat succese notabile în rezolvarea acestor probleme prin transmisia modelului numeric al suprafeţei, direct din atelierul de proiectare spre compartimentul de desen, de fabricaţie şi spre cel de control [14], [15], [16], [21], [51]. Înaintea utilizării comenzii numerice pentru conducerea alezoarelor, strungurilor, maşinilor de frezat, de rectificat, a maşinilor de electro-eroziune sau de sudură, devenise indispensabilă dispunerea unei definiţii complete şi precise a tuturor suprafeţelor de realizat. Această chestiune a presupus un volum foarte mare de lucru. Problemele puse de introducerea concepţiei şi fabricaţiei asistate PAC sunt de mai multe tipuri, şi prin urmare există o mare diversitate a soluţiilor oferite. Într-o manieră schematică, se pot distinge trei categorii principale de probleme în definirea suprafeţelor:

∗ combinaţii booleene; ∗ recopierea unei machete; ∗ aproximarea punctelor măsurate prin curbe sau suprafeţe.

O formă constituită prin combinarea booleană a solidelor clasice precum paralelipipedele rectangulare, cilindri, conuri de revoluţie, sfere şi suprafeţe toroidale, aproximează întregul solid. Între programele de calcul ce pot realiza modelarea solidului se pot menţiona, ACAD-Release12, programul APT sau versiunea primitivă a programului EUCLID produs de Datavision. Aspectul tehnologic ce rezultă din acest tip de modelare se referă la stabilirea zonelor de prelucrat, definite pe feţele solidelor ce compun piesa şi limitate de intersecţiile solidelor acestora. Dacă se doreşte definirea unui obiect materializat printr-o machetă tridimensională, dar care nu este cunoscută, şi încă cu o aproximare impusă, trebuie definită o reţea de curbe, sau de secţiuni plane sau linii principale. Problema este aceea a defini punctele din interiorul machetei şi de a realiza apoi interpolarea punctelor intermediare pentru definirea geometrică completă a obiectului în relief, printr-o expresie matematică, necesară prelucrării sau desenării. Această metodă este convenabilă pentru obiectele care joacă un rol tehnologic şi ale căror machete trebuie să fie reproduse cu o precizie impusă. Pentru obiectele care au o funcţie estetică, nu este necesară o asemenea exigenţă. Dacă pe o machetă, se măsoară coordonatele tridimensionale ale punctelor, cu o spaţiere aleasă în funcţie de gradul mai mic sau mai mare de regularitate al suprafeţei, definirea unei suprafeţe sau familii de suprafeţe conţinând aceste puncte sau trecând cât mai apropiat de acestea, necesită soluţii particulare. Pentru aceasta se utilizează procese de interpolare specifice, care vor fi prezentate în continuare.



Definirea numerică a formei unui obiect nu este decât o etapă a unui proces general supus multor restricţii; spre exemplu, definirea suprafeţelor trebuie să răspundă unor exigenţe legate de aspectul estetic, de cerinţele impuse de înaintarea în medii fluide sau de mecanica mediilor continuii. Alegerea punctelor măsurate trebuie realizată în aşa fel încât să permită un câştig de timp dar şi aplicarea unor procedee matematice cunoscute. Pentru că un sistem PAC-PACT este făcut pentru a fi pus la dispoziţia operatorilor, fie ei proiectanţi sau operatori, care prin formarea lor şi prin exerciţiul profesiei şi-au dezvoltat o bună cunoaştere a geometriei spaţiului, trebuie avut în vedere că aceştia nu au totdeauna suficiente cunoştinţe matematice. Este deci favorabil ca un sistem să fie fondat pe o teorie matematică uşor de asimilat de utilizatori. După câteva tentative de reprezentare cu ajutorul seriilor Fourier sau cu ajutorul formelor carteziene (5.20):

y=f(x); f(x,y)=0; (5.20) reprezentarea universal folosită în momentul actual este cea a funcţiilor parametrice polinomiale raţionale sau nonraţionale, tratate de Isaac Schonberg după 1940, dar asupra cărora atenţia industriei n-a fost prea mult atrasă, pentru că nu existau încă mijloace de calcul atât de rapide pentru a justifica o aplicaţie practică. Sub forma sa cea mai simplă, reprezentarea unui arc de curbă definită în raport cu parametrul u∈[0,1], se exprimă printr-o cubică (5.21). Mărimile si reprezintă vectorii ce leagă vârfurile Si ale unui poligon de o origine arbitrară O (fig. 5.2), Bi sunt funcţiile lui Bernstein de gradul trei.

ii

ii

ii

i

ii

iii

uuii

s

uuCsuBsuP

−

=

−

==

−⋅⋅−⋅

⋅=

=−⋅⋅⋅=⋅=

∑

∑∑3

3

0

33

03

3

03,

)1()!3(!

!3

)1()()( (5.21)

Punctele Si sunt numite poli, definesc poligonul de control al curbei şi sunt situate în spaţiul cartezian cu două sau trei dimensiuni. Linia frântă care le leagă aminteşte forma curbei. Se observă, în particular, că arcul de curbă este tangent în originea sa P(0) la prima latură a poligonului, şi la ultimul, în extremitatea sa P(1). Curbura în aceste puncte depinde de primele şi ultimele două vârfuri.

Fig. 5.2. Curbă cubică



În 1964, James Ferguson, de la Boeing, a publicat, în Journal of the Association for Computing Machinery (JACM), un studiu asupra suprafeţelor parametrice în care un arc de curbă parametrică, limitat de valorile 0 şi 1 ale parametrului, şi de grad 3, este definit prin condiţiile limită (5.22):

P(0); P(1); dP(0)/du; dP(1)/du (5.22) Arcul de curbă este reprezentat prin:

∑=

⋅=3

0)(

i

ii uauP (5.23)

unde coeficienţii ai au forma (5.24).

[ ]

[ ] )1()0()1()0(2

)1()0(4)0()1(3

)0();0(

3

2

10

dudP

dudPPPa

dudP

dudPPPa

dudPaPa

++−=

−−−=

==

(5.24)

Problema cea mai importantă rezidă din faptul că nu există nici o lege pentru stabilirea numărului de puncte necesare definirii curbei; într-o astfel de situaţie se poate urmări legea progresivităţii valorilor de măsurare. Operatorul are, în interiorul unor limite, deplina libertate să ia o decizie arbitrară. Soluţia cea mai simplă este de a alege valorile care formează o progresie aritmetică. Această metodă dă satisfacţie chiar în cazul în care curba variază de o manieră puţin regulată. Dacă această metodă, şi altele care relevă acelaşi principiu, nu dau satisfacţie, operatorul poate să aleagă şi alte valori, pentru punctele limită, dar şi pentru punctele care joacă un rol important asupra formei curbei. Cu cât numărul punctelor de trecere este mai mare, cu atât timpul şi preţul de calcul creşte mai repede. Metoda UNISURF (RENAULT) pentru definirea unei curbe, permite o reprezentare cu ajutorul funcţiilor Bernstein, dar utilizând considerente geometrice. Astfel, se pleacă de la considerentul că pentru a defini o curbă, ale cărei extremităţi sunt definite de punctele PA(0,0,0) şi PB(1,1,1). Utilizând condiţiile de continuitate şi tangenţă în punctele extreme, un punct P al acestei curbe este definit prin trei funcţii polinomiale care depind de acelaşi parametru u∈[0,1].

( )( )

( )

==⋅+⋅−==⋅+⋅−==

=3

3

232

231

3233

)(uufz

uuufyuuuufx

uP (5.25)



Printr-o transformare liniară, cubul unitate devine un paralelipiped oarecare, situat într-un referenţial ortonormat OXYZ, şi care constituie el însuşi un referenţial Oxyz, particular curbei, ai cărui vectori unitari sunt respectiv a1, a2 şi a3 şi a cărui origine O’ este legată de O printr-un vector a0, un punct P al curbei fiind definit prin (5.26):

P(u) = a0 + a1 ⋅ f1(u) + a2 ⋅ f2(u) + a3 ⋅ f3(u) (5.26) Pentru reprezentarea paralelipipedului în care se înscrie curba, se pot utiliza vectorii a1, a2 şi a3 având o origine comună. Poligonul constituit din vârfurile vectorilor amintiţi poartă numele de poligon caracteristic. Pentru a creşte varietatea curbelor, se utilizează vectorii şi funcţiile suplimentare, impunând acestora din urmă condiţii analoage celor precedente. Forma generală a funcţiei de interpolare de rang i, care aparţine unei familii de m+1 funcţii de grad m, este dată de:

)!()!1()!1(

)!(!!)1()1()(

0

11

0, iji

jjmj

mCCufm

j

jiij

jm

m

j

jimi −⋅−

−⋅

−⋅−=−= ∑∑

=

+−−

=

+ (5.27)

În mod normal nu există limite teoretice privind gradul acestor funcţii dar, în aplicaţiile tehnice, sunt rare situaţiile în care gradul acestor funcţii depăşeşte 8. Câteva proprietăţi interesante ale funcţiilor f sunt prezentate în continuare:

∗ Curba este situată în interiorul poliedrului convex care conţine vârfurile poligonului caracteristic. Dacă această curbă este plană, poliedrul se reduce la un poligon plan.

∗ Dacă se realizează o translaţie şi/sau o rotaţie a poligonului caracteristic, forma acestuia şi a curbei nu se schimbă.

∗ Primele derivate în punctele limită A şi B sunt proporţionale, respectiv egale cu m.a1 şi m.am.

Întrucât cea mai comodă formă de reprezentare a unei curbe este cea parametrică, se utilizează în mod curent reprezentarea sub forma unor polinoame parametrice de ordinul 3. Formularea unei astfel de probleme poate fi întâlnită sub forma: dacă se cunosc punctele PA(xA,yA,zA) şi PB(xB,yB,zB) precum şi tangentele în aceste puncte TA(lA,mA,nA) şi respectiv TB(lB,mB,nB) să se determine coordonatele punctului curent de pe această curbă P(x,y,z) şi tangenta T(l,m,n). Dacă t∈[0,1] este un parametru real, ecuaţiile parametrice ale punctului curent şi tangentei în acest punct au forma (5.28):



zzz

yyy

xxx

zzzz

yyyy

xxxx

ctbtanctbtamctbta

dtctbtatzdtctbtatydtctbtatx

+⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=

232323

)()()(

2

2

2

23

23

23

(5.28)

Întrucât aceste ecuaţii au formă asemănătoare, se poate utiliza forma generală (5.29):

ctbtatKdtctbtatK

+⋅⋅+⋅⋅=+⋅+⋅+⋅=

23)()(

2

23

(5.29)

În continuare se vor prezenta cele mai cunoscute forme de reprezentare a curbelor parametrice de ordin 3. Metoda Hermite asigură trecerea riguroasă a curbei prin punctele impuse dar se constată că, la un număr mare de puncte, curba poate prezenta oscilaţii nedorite. Acest inconvenient nu dispare decât înlocuind arcul de curbură unic prin arce de grad mai mic, puse cap la cap. Această reprezentare presupune cunoaşterea punctelor prin care trece curba precum şi a tangentelor în aceste puncte. Definirea condiţiei iniţiale pentru o curbă are forma (5.30):

BA

BA

BA

BA

BA

BA

nznzmymy

xxzxzzyxyyxxxx

============

)1()0()1()0()1()0()1()0()1()0()1()0(

⇒

BzzzAz

ByyyAy

BxxxAx

BzzzzAz

ByyyyAy

BxxxxAx

ncbancmcbamc

cbaczdcbazdydcbaydxdcbaxd

=+⋅+⋅==+⋅+⋅==+⋅+⋅==+++==+++==+++=

232323

(5.30)

sau, sub formă generală, relaţiile de condiţie pot fi (5.31):

B

A

B

A

TcbaTc

PdcbaPd

=+⋅+⋅=

=+++=

23

(5.31)

Sub formă matriceală, relaţia precedentă devine (5.32):

⋅

=

dcba

TTPP

B

A

B

A

0123010011111000

(5.32)

Prin rezolvarea acestei ecuaţii matriceale se obţine (5.33):



⋅

−−−

−

=

B

A

B

A

TTPP

dcba

000101001233

1122

⇒ [ ] [ ] [ ]hh GMC ⋅= (5.33)

Sub forma generală, matricea K devine (5.34):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]hh GMTCT

dcba

ttttK ⋅⋅=⋅=

⋅= 1)( 23 (5.34)

Prin înlocuire, pentru fiecare dintre coordonate se obţin relaţiile (5.35):

[ ]

⋅

−−−

−⋅=

B

A

B

AXX

ttttx

000101001233

11221)( 23 (5.35)

Spre deosebire de forma Hermite, forma Bézier are în intervalul de control al parametrului t∈[0,1], un număr de 4 puncte de control. Primul şi ultimul punct servesc pentru definirea capetelor intervalului, iar punctele suplimentare determină împreună cu capetele direcţia tangentelor, ca în fig. 5.3. Condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească curba se pot scrie:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) mzzdtdzzzz

myydtdyyyy

mxxdtdxxxx

mzzdtdzzzz

myydtdyyyy

mxxdtdxxxx

FBB

FBB

FBB

AEA

AEA

AEA

⋅−===

⋅−===

⋅−===

⋅−===

⋅−===

⋅−===

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1(

)0()0()0(

)0()0()0(

)0()0()0(

unde m reprezintă un factor de formă. Dacă se consideră m=3 (forma Bézier normală), se obţine (5.36):

[ ] [ ] [ ]bhbh

B

F

E

A

B

A

B

A

GMG

PPPP

TTPP

⋅=⇒

⋅

−−

=

3300003310000001

(5.36)



În relaţia precedentă, [Mhb] este matricea de trecere de la forma Hermite la forma Bézier. Matricea folosită pentru calcul coordonatelor curbei Bézier se obţine astfel:

K(t)=[T]⋅[C]=[T]⋅[Mh]⋅[Mhb]⋅[Gb] ⇒ K(t)= [T]⋅[MB]⋅[Gb]

sau sub formă extinsă (5.37):

[ ]

⋅

−−

−−

⋅=

B

F

E

A

PPPP

ttttK

0001003303631331

1)( 23

(5.37) Pentru ca mai multe porţiuni de curbă Bézier alăturate să determine o curbă continuă, în punctele intermediare trebuie să existe continuitatea primei derivate, deci punctele ce determină direcţiile tangentelor în aceste puncte trebuie să fie coliniare. Curbele B-Spline folosesc o mulţime de n puncte de control, dar curba nu trece, în general, prin acestea. Pentru calculul coordonatelor punctelor intermediare se utilizează o relaţie asemănătoare celei folosite pentru curbele Bézier (5.38):

Ki,i+1(t) = [T] ⋅ [Ms] ⋅ [Gs] i,i+1 (5.38)

Indicii i, i+1 indică faptul că relaţia este folosită pentru aproximare între punctele de control Pi, Pi+1 cu i∈[2,n-2], iar matricele Spline [Ms] şi [Gs]i,i+1 au forma (5.39):

Fig. 5.4. Suprafaţă bicubică Bezier

Fig. 5.3. Curbă cubică Bézier



[ ] [ ]

=

−−

−−

=

+

+

−

+

2

1

1

1,;

0141030303631331

61

i

i

i

i

iiss

PPP

P

GM (5.39)

Plecând de la constatarea că o curbă spline nu poate reprezenta cu precizie satisfăcătoare o conică, s-au determinat forme raţionale care să depăşească acest inconvenient. Coordonatele unui punct de pe o astfel de curbă rezultă din:

( )∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅= m

imii

m

imiii

tBw

tBwstP

0,

0,

)(

)(

În relaţia precedentă, si reprezintă vârfurile poligonului caracteristic, wi ponderile acestor vârfuri iar Bi,m(t) polinoamele lui Bernstein. O astfel de curbă este cunoscută sub acronimul NURBS2. De o mare importanţă practică sunt şi modelele de definire a suprafeţelor. Problemele legate de definirea, desenul prelucrarea şi controlul suprafeţelor complexe din industria caroseriilor pentru autoturisme, a aripilor pentru avioane, a elicelor pentru avioane, elicoptere, ventilatoare au impus cercetări, ale căror rezultate sunt prezentate în cele ce urmează. Folosind definiţia a două familii de curbe în spaţiu, se poate obţine definiţia unei suprafeţe biparametrice. Forma generală a expresiei unei coordonate în funcţie de parametrii t∈[0,1] şi s∈[0,1] este: K(s,t)=[S]⋅[C]⋅[T]T unde [T]T este transpusa matricei [T], iar [C] are forma (5.40):

[ ]

=

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

C (5.40)

Similar definirii curbelor 3D, se pot defini suprafeţe 3D, sub formele Hermite, Bézier şi B-Spline. O suprafaţă bicubică de tip Hermite se defineşte pe baza a 4 puncte în spaţiu, notate P00, P01, P10, P11, corespunzător valorilor extreme ale

2NURBS = Non Uniform Rational Base Splines.

Fig. 5.5. Suprafaţa B-Spline



parametrilor s∈[0,1] şi t∈[0,1], precum şi prin câte 3 tangente la suprafaţă în fiecare dintre aceste puncte. Pentru calculul punctelor de pe suprafaţă, procedându-se la fel ca în cazul curbelor 3D, se obţine (5.41):

K(s,t)=[S]⋅[MH]⋅[T]T unde [MH]=[Mh]⋅[Qh]⋅[MH]T (5.41)

Pentru definirea suprafeţelor Bezier se folosesc cele 4 puncte de control, corespunzătoare valorilor extreme ale parametrilor s, t şi în plus alte 12 puncte de control cu ajutorul cărora se precizează tangentele la suprafaţă în primele 4 puncte. Geometria unei suprafeţe Bezier este caracterizată prin coordonatele a 16 puncte de control. Matricea de geometrie Bézier are forma (5.42):

[ ]

=

11110101

11110101

10100000

10100000

PPPPPPPPPPPPPPPP

Q

ss

tststt

tststt

ss

b (5.42)

punctele fiind definite ca în fig. 5.4. Relaţia folosită pentru determinarea coordonatelor corespunzătoare perechii de parametri (s, t) este (5.43):

K(s,t)=[S]⋅[Mb]⋅[Qb]⋅[Mb]T⋅[T]T (5.43)

O suprafaţă bicubică sub forma B-Spline este definită prin 16 puncte de control, matricea de calcul generală fiind de forma (5.44):

[ ] [ ] [ ]TTs

jijijijis TMQsMStsK ⋅⋅⋅⋅= ++++

,1;,1,1;1,][][),( (5.44)

Matricea de geometrie B-Spline are forma (5.45):

[ ]

=

+++++−+

+++++−+

++−

+−+−−−−

++++

2,21,2,21,2

2,11,1,11,1

2,1,,1,

2,11,1,11,1

,1;,1,1;1,

jijijiji

jijijiji

jijijiji

jijijiji

jijijiji

PPPPPPPPPPPP

PPPP

Qs (5.45)

Această matrice este exprimată în raport cu punctele Pi,j, unde i, j∈[2, n-2], notarea fiind în conformitate cu fig. 5.5. Calcularea punctelor curente utilizează matricele prezentate anterior, plecând de la mulţimea punctelor cunoscute. O astfel de suprafaţă nu trece prin toate punctele de control cunoscute. Această modelare se utilizează frecvent pentru definirea grafică PAC-PACT. Pentru definirea suprafeţelor, considerarea unui număr de patru puncte apropiate defineşte un "petic"-carou. În cazul reprezentărilor zonelor de colţ ale suprafeţelor se utilizează carouri triunghiulare. Modelele matematice aplicate curbelor şi suprafeţelor constituie un element de bază a



sistemelor de proiectare asistată specializat pentru aplicaţii ce tratează probleme de suprafeţe (caroserii). Coordonata curentă a unui punct aparţinând unei suprafeţe definite prin petice cu patru vârfuri este:

( ) )()(, ,,0 0

tBsBstsP njmi

m

i

n

jij ⋅⋅= ∑∑

= = (5.46)

unde i parcurge mulţimea vârfurilor caracteristice parametrului s, j mulţimea vârfurilor parametrului t iar si,j reprezintă un vector ce defineşte succesiv colţurile peticului de aproximare. În acelaşi mod în care o curbă este definită prin intermediul unui poligon caracteristic, o suprafaţă este definită printr-o reţea caracteristică. Modelele prezentate se pot aplica numai pentru curbe şi suprafeţe. Eforturile depuse pentru modelarea solidelor trebuie continuate pentru a realiza o modelare cu adevărat utilă proceselor de proiectare asistată şi proceselor de fabricaţie asistată.


Date post:	16-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	ioana-alexandra
View:	214 times
Download:	0 times

Curs5

Documents