Curs2&3 Modelare Economica 2012 - Nadia Ciocoiu

CURS 2 & 3 MODELARE ECONOMICA

Conf. dr. Nadia Ciocoiu

MODELAREA PROCESELOR ECONOMICE

CU TEHNICI DE PREVIZIUNE

Previziunea = o metodă sistematică de obţinere a unei estimări a valorii viitoare a unei variabile;

Se bazează, de obicei, pe analiza unei colecţii de observaţii privind comportamentul trecut al fenomenului /procesului / organizaţiei studiate.

Calitatea previziunilor depinde hotărâtor de cunoasterea temeinică a realitătii;

Este necesara folosirea unei metodologii complexe de previziune (o gamă cât mai largă de metode si tehnici).

Clasificarea metodelor de previziune:

de judecată - se bazează pe estimări subiective, mai degrabă decât pe date; sunt folosite pentru prognoze pe termen lung (mai ales când intervin factori ext.) sau atunci când nu există date istorice sau acestea sunt limitate;

ex: părerea experţilor, metoda Delphi, analogii istorice.

bazate pe serii de timp – în cazul în care evoluţia curentă a unui indicator depinde de nivelul anterior (în ipoteza păstrării unui comportament inerţial al fenomenului); ex: metoda mediilor mobile, metoda de ajustare, metode de decompoziţie.

cauzale – pentru care este posibilă identificarea unor relaţii funcţionale de tipul Y=f(x1, x2, …, xn) unde Y variabila dependentă este exprimată în funcţie de nivelul factorilor independenţi (x1, x2, … xn);

ex: analiza de regresie multiplă, analiza de corelaţie.

econometrice – în cazul unor ecuaţii simultane sau sisteme de ecuaţii ce descriu în formă matematică diferite legităţi economice.

Metode de previziune ce vor fi

studiate:

I. ANALIZA SERIILOR DINAMICE (CRONOLOGICE):

1. METODE DE EXTRAPOLARE

2. METODE DE DECOMPOZIŢIE (BAZATE PE DESCOMPUNEREA COMPONENTELOR)

II. ANALIZA DE REGRESIE ŞI DE CORELAŢIE

I. ANALIZA SERIILOR DINAMICE

(CRONOLOGICE)

O secvenţă de date de observaţie, în mod obişnuit ordonată în timp, este denumită serie de timp, sau serie dinamică.

Date - se referă la valori discrete măsurate la intervale egale de timp.

Metodologia care se ocupă cu analiza unor astfel de date se numeşte analiza seriilor de timp sau analiza seriilor dinamice.

Caracteristica esenţială a acestui tip de analiză este recunoaşterea implicită a importanţei ordinii de apariţie

a înregistrărilor.

Reprezentarea grafică a unei serii de timp evidenţiază cele mai importante caracteristici ale datelor acesteia: prezenţa/absenţa tendinţei, caracterul sezonier, existenţa unor discontinuităţi, etc.

ANALIZA SERIILOR DINAMICE (CRONOLOGICE) Reprezentarea grafica a seriilor de timp:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Timpul

Volu

mul van

zari

lor

Media

2. Vânzări cu trend fără

influenţe sezoniere sau ciclice 1. Vânzări relativ stabile fără trend

semnificativ şi fără influenţe

sezoniere sau ciclice

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 3 5 7 9

Timpul

Vo

lum

ul

van

zari

lor

ANALIZA SERIILOR DINAMICE (CRONOLOGICE)

Reprezentarea grafica a seriilor de timp:

0

2

4

6

8

10

1 3 5 7 9

Timpul

Vol

umul

van

zari

lor

Media

3. Vânzări cu variaţii

sezoniere fără trend

0

5

10

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Timpul

Volu

mul van

zari

lor

4. Vânzări cu trend şi variaţii

sezoniere

I.1. METODE DE EXTRAPOLARE:

sugerează dezvoltarea inerţială (prelungirea în viitor) a unor elemente ale proceselor şi fenomenelor economice;

pot fi aplicate cu rezultate bune numai dacă procesul la

care se referă prezintă un caracter de repetabilitate, cu aceeaşi intensitate a dinamicii;

Limite: – oferă numai o imagine orientativă asupra perspectivei de evoluţie

dacă se recunoaşte faptul că viitorul NU reproduce fidel stările şi evoluţiile din trecut;

– se poate folosi cu succes numai pentru procesele economice ce evoluează fără discontinuităţi majore;

– riscul şi incertitudinea impun prelucrarea rezultatelor extrapolării cu metode adiţionale;

– pentru ca rezultatele să fie cât mai plauzibile se recomandă

operarea pe orizonturi de prognoză cât mai scurte.

Tipuri de extrapolari: 1. Extrapolarea analitică:

Utilizează drept bază informaţională iniţială un şir de date;

Seria poate fi extrapolată pe baza funcţiei matematice a evoluţiei indicatorului în timp.

Ideea de bază a acestor metode - considerarea seriei de date ca o succesiune de valori ale unei funcţii dependente de timp y=f(t), funcţie care ar urma să fie determinată cu aproximaţie prin metode matematice. Foarte recunoscute - metodele de nivelare (ajustare).

Tipul de funcţie matematică asociat seriei se identifică prin metoda diferenţelor finite

dacă momentele ti, i=1,...,m sunt ordonate aritmetic, iar diferenţele finite de ordinul 1 ale valorilor seriei (diferenţele dintre valori consecutive pentru variabila Xi), notate , sunt constante, relaţia dintre Xi şi ti este o dreaptă de forma:

Xi = a + b · ti

dacă momentele ti, i=1,...,m se succed aritmetic, iar datele formează o progresie geometrică, relaţia de legătură dintre acestea va fi o funcţie exponenţială de forma:

dacă se observă un ritm de variaţie relativ constant, după care acesta se micşorează, cu tendinţa de a se apropia de zero, se recomandă funcţia logistică: sau

ti

i baX

iX

tiiab1

kX

itbiea1

kX

Tipuri de extrapolari:

2. Extrapolarea fenomenologică:

utilizează drept bază informaţională iniţială ipoteze legate de structura fenomenului investigat.

Formal, deosebirea dintre extrapolarea analitică şi cea fenomenologică constă în modul diferit de identificare al clasei de funcţii care descrie tendinţa de variaţie a fenomenului investigat. Acest tip de extrapolare este utilizat cu precădere în cazul în care seriile de date disponibile sunt relativ scurte; se porneşte de la emiterea unor ipoteze asupra indicatorilor ce caracterizează fenomenul sau procesul.

O primă metodă constă în utilizarea experienţei empirice sau a unor rezultate deja obţinute în domeniul în care se efectuează cercetarea; există astfel, tipuri de curbe asociate unor tipuri de fenomene.

O altă metodă constă în identificarea unor legi de variaţie ale fenomenului urmărit şi în descrierea evoluţiei pe baza acestei legi.

Metode de ajustare (nivelare):

Ajustarea unei serii temporale = operatiunea de înlocuire a valorilor observate ale variabilei studiate cu alte valori. Noile valori sunt calculate prin metode adecvate cu scopul de a pune în evidenţă componentele considerate esenţiale ale seriei de date: trendul, fluctuaţiile ciclice, sezoniere si/sau neregulate.

sunt aplicabile în previziunile pe termen scurt, de pe o zi pe alta, de pe o luna pe alta, de pe un trimestru pe altul.

Cele mai utilizate:

1. metoda mediilor mobile,

2. metoda nivelării exponenţiale.

Metode de ajustare (nivelare):

Pentru metodele de ajustare, alegerea formei particulare (cu un singur parametru α, cu doi parametri α si β sau cu trei parametri α, β si γ) se poate face, într-un mod aproximativ, prin reprezentarea grafică a seriei de date:

- dacă pentru seria de date reprezentată se poate pune în evidenţă o tendinţă liniar crescătoare sau descrescătoare se alege modelul cu trend (cu doi parametri α si β );

- dacă pentru seria de date se pot evidenţia variaţii sezoniere se va alege modelul de ajustare cu sezonalitate (cu doi parametri α si γ);

- în situaţia în care, în mod simultan se pot observa o componentă de tip trend şi variaţii sezoniere se poate alege modelul de ajustare trend - sezonalitate (se folosesc trei

parametri α, β si γ).

1. Metoda mediilor mobile

determină previziunea pentru o perioadă de timp (zi, săptămână, lună, …, an etc.) prin medierea datelor din ultimele „n" perioade:

în care: Ft+1 - valoarea previzionată în perioada t+1; yt - valoarea realizată în perioada t; n - ordinul mediei mobile.

Adoptând ordine diferite ale mediei mobile, se poate ajunge la o corespondenţă mai apropiată sau mai îndepărtată a curbei previziunii faţă de curba evoluţiei datelor reale.

Eroarea poate fi apreciată pe baza diferenţelor dintre realitate şi previziune folosind formula erorii medii:

în care: Ft - valorile previzionate pentru perioadele t=1,...,m; yt - valorile reale disponibile; m - numărul de valori ale seriei de timp disponibile.

n

yyyF nttt

t11

1

...

nm

yF

e

m

nt

tt

2)(

2. Metoda nivelării exponenţiale (Brown)

În cazul seriilor de date pentru care nu se înregistrează trend şi variaţii ciclice sau sezoniere se poate utiliza modelul lui Brown de nivelare exponenţială primara (în jurul mediei).

Obiectivul metodei de previziune: netezirea (ajustarea) în jurul mediei vânzărilor a fluctuaţiilor întâmplătoare.

Ideea de bază: prin modelul de ajustare exponenţială propus de Brown se atribuie datelor referitoare la vânzările din trecut, ponderi invers proporţionale cu vârsta lor, considerând că, în evoluţia procesului, datele recente sunt mai valide decât cele vechi.


Presupunem ca se cunosc:

Previziunea vânzărilor în perioada (t) pentru perioada (t+1) =

Rt = Rt-1+(St - Rt-1) sau

Rt = St +(1-)Rt-1

unde = constantă de nivelare, 0 1.

Perioadele Vânzările

efective

1

2

t-2

t-1

t

S1

S2

St-2

St-1

St

t+1 ???????

Pe baza lor se calculează in perioada t

previziunea pentru perioada t+1


Concluzie:

Modelul Brown determină previziunea Rt pentru perioada (t+1) pe baza a trei valori:

Rt = · St +(1-)· Rt-1

Previziunea iniţială;

Vânzările efective din perioada curentă t;

Constanta de nivelare 0 1 => aleasă de decident.

Observaţie: Produsul informatic WINQSB foloseste ca notaţii:

Rt = St + (1-) Rt-1

Ft+1= Yt +(1-)Ft

Alegerea valorii lui alpha (α) influenteaza ajustarea oscilatiilor din seria de date reale.


Alegerea constantei de nivelare 0 1:

1. Pe baza indicatorilor erorilor de previziune (et = Yt - Ft )

Media erorilor la pătrat = MSE =

Media erorilor absolute = MAD =

Media procentuală a erorilor absolute = MAPE

Suma erorilor de previziune = CFE =

Tracking Signal (semnal de urmarire) = TS =

TS: pozitiv: există tendinţă de creştere a vânzărilor

negativ: există tendinţă de descreştere a vânzărilor

Numai dacă TS > 5 => există o tendinţă reală de creştere sau descreştere a vânzărilor

n

n

1t

2)te(

n

n

1tte

n

1tte

MAD

CFE


Alegerea constantei de nivelare 0 1:

2. Din analiza modelului R t = St + (1-) Rt-1 rezultă că dacă:

tinde spre 1 => Rt St (previziunile urmaresc oscilatiile valorilor efective)

mult mai mic decat 1 => Rt Rt-1 ... R0 media valorilor efective

3. Din analiza modelului Rt = Rt-1 + (St - Rt-1) rezultă că dacă:

Diferenţele |St - Rt-1| sunt mari, atunci se recomandă alegerea unui

mic (spre 0) pentru a nu permite transferarea fluctuaţiilor mari în

previziune.

Diferenţele |St - Rt-1| sunt mici, atunci se recomandă alegerea unui

mare (care tinde spre 1) pentru a permite previziunii să reacţioneze rapid la eventualele schimbări.

4. Prin simulare (testari succesive) pe baza unui criteriu specificat de decident.


Etape de lucru:

Obţinerea datelor privind vânzările produsului în perioadele trecute

Analiza datelor pe baza reprezentării grafice

Alegerea modelului de previziune

Definirea parametrilor modelului: perioada sau perioadele pentru care se va face previziunea, alegerea constantei de nivelare, determinarea previziunii iniţiale

Realizarea previziunii cu un produs informatic:

WINQSB/Forecasting and Linear Regression/Time Series Forecasting/

Single Exponential Smoothing

Excel (Data Analysis/ Exponential Smoothing)

Analiza influenţei constantei de nivelare asupra previziunii Interpretarea economică a rezultatelor.

Aplicatie practica (de aprofundat la seminar!!)

Luna Actual Data

Forecast by SES

1 21.00

2 22.00 21.00

3 16.00 21.30

4 18.00 19.71

5 19.00 19.20

6 14.00 19.14

7 18.00 17.60

8 20.00 17.72

9 18.40

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Timpul

Va

nza

ril

e

Date reale Estimatii alfa=0,3

Media Estimatii alfa =0,9

Alpha = 0.3 F(0) = 21

CFE = -8.66 MAD = 2.29

MSE = 9.12 MAPE = 14.08 Trk.Signal = -3.78

3. Algoritmul Holt-Winters

în situaţia în care, în mod simultan se pot observa o componentă de tip

trend şi variaţii sezoniere se poate alege modelul de ajustare trend-

sezonalitate Holt-Winters.

Necesita trei ecuatii (Ft, Tt, St) si 3 parametrii (α, β, γ) .

In functie de tipul de sezonalitate exista modele aditive si multiplicative. Ex: daca vanzarile de jucarii au un varf in fiecare decembrie, cu o crestere de

100000 lei fata de luna decembrie din anul anterior, atunci previziunea tb sa

creasca in luna decembrie cu aceasta valoare, iar modelul este aditiv.

Daca se cunoaste ca exista o crestere de 40% a vanzarior in luna decembrie fata

de restul anului, atunci modelul este multiplicativ.

Rezolvarea se poate face cu ajutorul produsului informatic WINQSB/

Forecasting/ Times Series Forecasting/ Holt-Winters Multiplicative

Algorithm sau WINQSB/ Forecasting/ Times Series Forecasting/ Holt-

Winters Additive Algorithm

Modelul aditiv Modelul multiplicativ

timp

valoare

timp

valoare

3. Algoritmul Holt-Winters

3. Algoritmul Holt-Winters Aplicatie practica

Anul Trimestrul I Trimestrul II Trimestrul III Trimestrul IV

2008 4000 4200 5600 5900

2009 5200 5700 7200 9500

2010 4750 5200 6900 9500

2011 5900 6300 8250 ?

2012 ? ? ?

O firma comercializează produse de sticlărie pentru menaj;

pe baza datelor din ultimii 3 ani asupra volumului (mil. u.m.)

de vânzări trimestriale (tabelul 1) se cere să se efectueze

prognoza acestui indicator pentru următoarele 4 trimestre

pentru fundamentarea planului curent de investiţii.

Conducerea societăţii este interesată în efectuarea prognozei

pentru următoarele 4 trimestre.

3. Algoritmul Holt-Winters Aplicatie practica (WINQSB)

Quarter Actual

Data x(t) F(t) T(t) S(t) Forecast

f(t+h)

Formula de calcul pentru

f(t+h)

1 4000,0000 0 0 0,8122

2 4200,0000 0 0 0,8528

3 5600,0000 0 0 1,1371

4 5900,0000 4925,0000 0 1,1980

5 5200,0000 5072,7500 29,5500 0,8761 4000,0000 = [4925+1·0]·0,8122 6 5700,0000 5260,4630 61,1826 0,9220 4351,2000 = [5072,75+1·29,55]·0,8528 7 7200,0000 5422,6950 81,3925 1,1943 6051,0080 ........ 8 9500,0000 5746,6880 129,9125 1,3345 6593,7300 9 4750,0000 5831,1450 120,8214 0,8576 5148,2150

10 5200,0000 5920,7480 114,5778 0,9089 5487,8360 11 6900,0000 6009,5550 109,4236 1,1804 7207,7780 12 9500,0000 6218,9490 129,4177 1,3924 8165,8770 13 5900,0000 6401,4840 140,0413 0,8768 5444,4530 14 6300,0000 6580,5230 147,8406 0,9234 5945,5590 15 8250,0000 6754,4200 153,0521 1,1927 7942,4090 16 9618,2310 =[6754,42+1·153,0521]·1,3924

17 6190,8710 = [6754,42+2·153,0521]·0,8768

18 6661,2880 = [6754,42+3·153,0521]·0,9234 19 8786,4180 = [6754,42+4·153,0521]·1,1927

3. Algoritmul Holt-Winters Aplicatie practica

c=4

Alpha=0,1

Beta=0,2

Gamma=0,3

F(0)=4925

T(0)=0

S(1)=0,8122

S(2)=0,8528

S(3)=1,1371

S(4)=1,1980

Algoritmul multiplicativ Holt-Winters:

F(t) = α x(t)/S(t-c) + (1- α )[F(t-1)+T(t-1)]

T(t) = β [F(t)-F(t-1)] + (1- β)T(t-1)

S(t) = γ x(t)/F(t) + (1- γ)S(t-c)

Previziunea: f(t+h) = [F(t)+hT(t)]S(t+h-c) for h=1,2,..., c

f(t+h) = [F(t)+hT(t)]S(t+h-2c) for h=c+1,c+2,..., 2c

f(t+h) = [F(t)+hT(t)]S(t+h-3c) for h=2c+1,2c+2,..., 3c

etc.

unde: c este lungimea ciclului de sezonalitate, (c=4)

α, β, γ sunt constante de ajustare , 0 ≤ α ≤ 1, 0 0 ≤ β ≤ 1, 0 ≤ γ ≤ 1

Fie m media pentru primul ciclu, de la t=1 la c=4.

Valorile iniţiale sunt: F(0)= m, T(0)=0, S(t) = x(t)/m pentru t=1,…,4.

Pentru exemplificare:

S(1) = x(1)/m= 4000/4925=0,8122

F(5) = x(5)/S(1) + (1-)[F(4)+T(4)] = 0,1·5200/0,8122 + 0,9·[4925+0]=5072,75

T(5) = β[F(5)-F(4)] + (1- β)T(5)= 0,2·[5072,75-4925] + 0,8·0 = 29,55

S(5) = γ x(5)/F(5) + (1- γ )S(1) = 0,3·5200/5072,75 + 0,7·0,8122 = 0,8761

în care la prima iteraţie S(1)=0,8122, T(0)=0

I.2. METODE DE DECOMPOZITIE:


Trendul (Tt) defineşte tendinţa generală a

evoluţiei fenomenului indicatorului Yt

desfăşurată pe o perioadă lungă de timp.

Această componentă poate fi relevată ca

unică, în cazul seriilor ale căror diferenţe

finite sunt constante, sau ca o componentă

fundamentală ce poate fi izolată de celelalte

componente, în cazul seriilor de timp

decompozabile. Identificarea trendului se

poate efectua reprezentând grafic, la scară

termenii seriei sau analitic, prin încercarea

mai multor funcţii dintre care se alege cea

cu un indicator de eroare minim – de

exemplu, “deviaţia standard minimă” adică

diferenţa între valorile reale ale seriei

introduse în calculator şi valorile ajustate cu

funcţiile matematice menţionate.

Variaţia ciclică (Ct) se

manifestă prin oscilaţii relativ

ample ale indicatorului sau

fenomenului analizat, iar durata

ciclului se poate observa în

perspectiva mai multor ani.

Oscilaţiile sunt generate de

alternanţa perioadelor de

creştere, cu perioadele de

stagnare, precum şi de alte

cauze generale sau locale.

Se determină prin metodele

indexării.


Variaţia sezonieră (St) apare ca

urmare a influenţelor sezonale din

timpul perioadei previzionate. Are

oscilaţie mai frecventă decât

componenta ciclică. Uneori variaţia

sezonieră este generată de

anotimpuri şi comportamentul

oscilant în funcţie de acestea sau de

obiceiuri, tradiţii sau fenomene

sociale.

Se determină prin metodele

indexării.

Variaţia aleatoare (Rt) se

produce fără a avea cauze

speciale care să o determine în

mod previzibil sau cauzal şi fără

posibilitatea de a i se atribui un

model de repetare sistematică.


Dupa prognozare izolata cele 4 elemente se compun in forma aditiva sau

multiplicativa.

- în formă aditivă: unde T, S, C, R sunt exprimate ca valori

absolute;

- în formă multiplicativă: unde T, S, C, R sunt exprimate ca %

sau proporţii.

Alegerea unei anumite forme este influenţată de modul de variaţie a factorilor

ciclici şi sezonieri la modificările valorilor seriei dinamice:

modelul aditiv: când factorii componenţi sunt independenţi (ex.: mărimea

variaţiei sezoniere nu e afectată de valoarea tendinţei); variaţiile sezoniere şi

cele ciclice nu sunt proporţionale cu mărimea valorilor din seria de date (în

această situaţie, amplitudinea variaţiilor sezoniere este aproximativ constantă

în timp).

modelul multiplicativ: utilizat în mod frecvent când caracteristicile

interacţionează (în care variaţiile sezoniere cresc proporţional cu trendul).

ttttt RSCTY

ttttt RSCTY

II. ANALIZA DE REGRESIE

ŞI DE CORELAŢIE

Analiza regresiei =

o clasă de metode prin care,

folosind o ecuaţie de regresie

determinată pe baza unor date

experimentale, pot fi estimate

(previzionate) valorile unor

variabile dependente Y,

presupunând cunoscute ori

previzionate valorile

variabilelor independente X (x1,

x2, …, xn).

Analiza corelaţiei =

evaluarea gradului de

interdependenţă (asociere)

între variabilele considerate

într-un model de regresie, în

particular între variabila

dependentă Y şi cele

independente X (obiectiv care

se realizează prin estimarea

coeficienţilor de corelaţie şi a

coeficientului de determinare).


ŞI DE CORELAŢIE

Pentru a aprecia semnificaţia estimatorilor (a si b):

• pentru un set de date de volum n ≤ 30 se aplică testul Student cu n-2 grade

de libertate;

• pentru n ≥ 30 se aplică testul Z al distribuţiei normale.

Coeficientul de corelaţie (R) – măsoară „puterea” relaţiei de dependenţă liniară

intre variabile printr-o valoare numerică între –1 şi 1;

– Dacă R = 0 nu există corelaţie de tip liniar între Y şi X (dar pot exista alte tipuri de

dependenţă, de exemplu, neliniară)

– Dacă R > 0 şi apropiat de valoarea 1, atunci creşterile factorului X vor determina

creşteri ale variabilei Y

– Dacă R < 0 şi apropiat de -1, atunci scăderi ale factorului X vor determina scăderi

pentru Y.

Coeficientul de determinare (R2) măsoară cat din variaţia lui Y poate fi

atribuită cunoaşterii factorilor Xi şi a relaţiei Y = f(X).

De ex. o valoare R2=0.76 indică că aproximativ 76% din variaţia totală a variabilei

Y poate fi explicată prin variabilele dependente X incluse în model (o valoare 0.8

este considerată acceptabilă).

Coeficientul corectat de determinare (Ṝ2) se foloseşte atunci când numărul de

observări este egal cu numărul coeficienţilor estimaţi. In cazul regresiei

multiple, R2 sau Ṝ2 reprezintă o măsură a efectului combinat al ansamblului

variabilelor independente asupra variabilei dependente.


ŞI DE CORELAŢIE

2R


ŞI DE CORELAŢIE

Aplicatie practica

in Excel: Tools > Data

Analysis/Regression

in WINQSB/Forecasting/

Linear regression


ŞI DE CORELAŢIE

Luna Nr agenti Vanzari

1 10 1215

2 15 1251

3 18 1305

4 17 1383

5 16 1280

6 18 1450

7 20 1540

8 21 1750

9 23 1835

10 23 1923

11 24 2050

12 22 1950


ŞI DE CORELAŢIE REGRESIE LINIARA (VANZARI IN FUNCTIE DE LUNA)

Regression Statistics

Multiple R 0,9608

R Square 0,9231 Adjusted R

Square 0,9154 Standard

Error 89,1866

Observations 12

ANOVA

df SS MS F Significance

F

Regression 1 954166,161 954166,161 119,957 0,00000069

Residual 10 79542,506 7954,251

Total 11 1033708,667

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper

95% Lower

95,0% Upper 95,0%

Intercept 1046,712 54,891 19,069 0,000 924,408 1169,016 924,408 1169,016

X Variable 1 81,685 7,458 10,952 0,000 65,068 98,303 65,068 98,303

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15

Y

X Variable 1

X Variable 1 Line Fit Plot

Y

Predicted Y


ŞI DE CORELAŢIE REGRESIE MULTIPLA (VANZARI IN FUNCTIE DE LUNA SI NR. AGENTI)

Regression Statistics

Multiple R 0,9634

R Square 0,9281 Adjusted R

Square 0,9121

Standard Error 90,869

Observations 12

ANOVA

df SS MS F Significance

F

Regression 2 959393,36 479696,68 58,09 7,162E-06

Residual 9 74315,31 8257,26

Total 11 1033708,67

Coefficients Standard

Error t Stat P-

value Lower 95% Upper

95% Lower

95,0% Upper

95,0%

Intercept 887,555 207,707 4,273 0,002 417,688 1357,422 417,688 1357,422

X Variable 1 68,242 18,526 3,684 0,005 26,334 110,151 26,334 110,151

X Variable 2 13,033 16,380 0,796 0,447 -24,022 50,087 -24,022 50,087


ŞI DE CORELAŢIE

Din regresia liniara rezulta: ecuatia de regresie are

forma: Y= 1046,712+81,685·X, de unde rezulta ca

vânzarile pentru luna 13 sunt Y(13)=

1046,712+81,685·(13)=2108,621

Din regresia multipla rezulta: ecuatia de regresie

are forma: Y= 887,555+68,242·X1 + 13,033 ·X2

Date post:	12-Jul-2016
Category:	Documents
Upload:	manea-cristi
View:	244 times
Download:	2 times

Curs2&3 Modelare Economica 2012 - Nadia Ciocoiu

Documents