26
CURSUL 10 ELEMENTE DE STATICA CONSTRUCTIILOR DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE UAUIM ELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu
CURSUL 10 ELEMENTE
DE STATICA CONSTRUCTIILOR DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE
UAUIM ELEMENTE DE MECANICA STRUCTURILOR
Conf. dr. ing. Mihaela Georgescu
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (1)
Mrimea eforturilor secionale variaz n lungul barei.
Variaia lor este reprezentat de diagramele de eforturi.
In raport cu o linie de referin care coincide cu axa barei, ordonatele (pozitive sau negative) ale diagramei reproduc, la o scar arbitrar, mrimea efortului secional.
Prin convenie, forele axiale i forele tietoare pozitive se reprezezint deasupra axei de referin, iar momentele ncovoietoare pozitive, sub ax.
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (2)
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (3)
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (4)
TRASAREA DIAGRAMEI DE FORE AXIALE N. In seciunea i i n orice seciune cuprins n intervalul 1 - 2 , N = 0. In seciunea
k i n orice seciune cuprins n intervalul 2 -3 = 8 tf.
TRASAREA DIAGRAMEI DE FORE TIETOARE T.
In seciunea i i n orice seciune cuprins n intervalul 1-2, T1-2 = 2 tf.
In seciunea k i n orice seciune cuprins n intervalul 2-3, T2-3 = - 6 tf.
In dreptul forei concentrate, diagrama de fore tietoare are un salt de 8 tf egal cu mrimea componentei normale a forei.
TRASAREA DIAGRAMEI DE MOMENTE NCOVOIETOARE.
In seciunea i, momentul ncovoietor are expresia (de gradul 1) Mi = 2zi ; pe intervalul 1-2 el variaz deci liniar de la M1 = 0 la M2 = 2 3 = 6 tm.
In seciunea k, momentul ncovoietor are expresia (de gradul 1) Mk = 6 zk; pe intervalul 2-3 el variaz liniar, de la M2 = 6 . 1 = 6 tm la M3 = 0.
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (5)
RELATII DIFERENTIALE INTRE INCARCARI SI EFORTURI
Un element de bar dz se afl n echilibru sub aciunea ncrcrii exterioare (p dz) (unde p reprezint intensitatea ei pe unitatea de lungime a barei) i a eforturilor secionale, ale cror mrimi N (z), T (z), M (z) variaz pe intervalul dz cu cantitile dN (z), dT (z), dM (z).
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (6)
Pentru bare drepte, din dou ecuaii de proiecii (pe direcia axei barei i pe
direcia normal la axa barei) i printr-o ecuaie de momente n raport cu centrul de greutate al seciunii din dreapta, rezult:
- N + N + dN - pt . dz = 0
- T + pn . dz + T + dT = 0
M + T . dz - M - dM = 0
de unde:
= pt = - pn = T
Pentru ncrcri normale pe bar (caz curent), pt = 0 i pn = p; de unde:
N = 0 = - p = T Rezulta:
= - p
dz
dNdz
dT
dz
dM
dz
dT
dz
dM
dz
dT
dz
Md
2
2
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (7)
CONCLUZII :
a) Pe orice tronson de bar (dreapt) nencrcat (p = 0) fora tietoare este constant (cci dT/dz = 0), iar momentul ncovoietor variaz liniar (cci dM/dz = T = const).
b) Pe orice tronson de bar cu NCRCARE UNIFORM DISTRIBUIT (p = constant) fora tietoare variaz liniar (cci dT/dz = - p = constant), iar momentul ncovietor dup o parabol de gradul 2 (cci derivata momentului, adic fora tietoare, este o funcie de gradul 1).
c) In general, gradul funciilor p, T, M crete cu o unitate de la p la T i de la T la M.
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (8)
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (9)
d) PENTRU NCRCRI DISTRIBUITE, VARIAIA FOREI TIETOARE ntre dou
seciuni este egal cu aria diagramei de ncrcri (cci dT = - pdz); la ncrcri pozitive (de sus n jos), fora tietoare scade (cci dT < 0).
e) INCRCRILE CONCENTRATE marcheaz un salt n diagrama T.
f) PENTRU NCRCRI DISTRIBUITE, variaia MOMENTULUI NCOVOIETOR ntre dou seciuni este egal cu aria diagramei de fore tietoare (cci dM = Tdz); pe tronsoanele cu for tietoare pozitive momentul ncovoietor crete (cci dM > 0).
g) CUPLURI CONCENTRATE marcheaz un SALT n diagrama M.
h) PANTA TANGENTEI ntr-un punct la DIAGRAMA T este egal, n valoare absolut, cu mrimea ncrcrii (cci panta e dat de derivata funciunii, iar dT/dz = - p). PANTA TANGENTEI la DIAGRAMA M este egal cu mrimea forei tietoare, cci dM.dz = T).
i) Unui SALT N DIAGRAMA DE FORE TIETOARE (deci unei ncrcri-for concentrate) i corespunde un VRF (variaie brusc a tangentei) n diagrama M.
DIAGRAME DE EFORTURI SECTIONALE (10)
j) Deoarece pentru ncrcri pozitive (de sus n jos) derivata a
doua a momentului ncovoietor este negativ cci d2M/dz = -p
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (1.1)
1. GRINDA SIMPLU REZEMAT NCRCAT CU FORE CONCENTRATE
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (1.2)
DIAGRAMA DE FORE TIETOARE. Pe intervalele A - B, B - C, C - D, nencrcate, fora tietoare are valori
constante:
TAB = 6,4 tf, TB = 6,4 - 6 = 0,4 tf TCD = - 3,6 tf;
n seciunile A, B, C, D diagrama prezint salturi n sensul i de mrimea forelor concentrate.
DIAGRAMA DE MOMENTE NCOVOIETOARE.
Momentul ncovoietor - integral pozitiv - variaz liniar, cu pante diferite, egale cu valoarea forei tietoare, pe cele trei intervale cuprinse ntre forele concentrate. Diagrama este nchis de un contur poligonal cu vrfuri n dreptul punctelor de aplicaie a forelor concentrate exterioare:
MA = 0 MB = 6,4 . 2 = 12,8 tm MC = 3,6 . 4 = 14,4 tm MD = 0
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (1.3)
Se pot verifica, pe cele trei intervale, pantele diagramei de momente:
- pe intervalul A - B 12,8/2 = 6,4 = TAB;
- pe intervalul B - C (14,4 - 12,8)/4 = 0,4 = TBC;
- pe intervalul C - D 14,4/4 = 3,6 = TCD
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (2.1)
2. GRINDA SIMPLU REZEMAT NCRCAT CU FORE DISTRIBUITE UNIFORM
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (2.2)
DIAGRAMA DE FORE TIETOARE. Pe intevalele A - B i C - D, nencrcate, fora tietoare are valori constante:
TAB = 4,8 tf TCD = - 3,2 tf
Pe intevalul B - C, cu ncrcare uniform distribuit, fora tietoare variaz liniar de la TB = 4,8 tf la TC = - 3,2 tf, scznd cu o cantitate egal cu rezultanta pachetului de fore distribuite.
DIAGRAMA DE MOMENTE NCOVOIETOARE.
Pe intevalele AB i CD, cu fora tietoare constant, momentul ncovoietor variaz liniar: pe intervalul A - B de la MA = 0 la MB = 4,8 . 2 = 9,6 tm, iar pe intervalul C-D de la MC = 3,2 . 4 = 12,8 tm la MD = 0.
Pe intevalul B - C, cu for tietoare liniar, momentul ncovoietor variaz parabolic de la MB = 9,6 tm la MC = 12,8 tm, cu valoarea maxim n seciunea E n care se anuleaz fora tietoare; poziia seciunii E rezult n baza relaiei defereniale dT/dz = - p
4,8 /BE = 2, de unde BE = 2,4 m
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (2.3)
In seciunile B i C liniile drepte care nchid diagrama pe tronsoanele marginale sunt tangente la parabol, cci n imediata vecintate a acestor seciuni fora tietoare (deci panta tangentei la diagrama de momente) nu se modific.
La determinarea valorii momentului ncovoietor maxim, particip reaciunea VA = 4,8 tf i pachetul de fore uniform distribuite pe distana BE = 2,4 m:
Mmax = 4,8 . 4,4 - 2 . 2,4 . 2,4/2 = 15,36 tm
Se poate urmri, pe intevalul B - C corespondena ntre fora tietoare i panta tangentei la parabola-moment; n valoare absolut, ambele scad de la B la E i cresc de la E la C.
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (3.1)
3. GRINDA CU CONSOLE NCRCAT CU FORE CONCENTRATE
n paralel cu diagrama de momente ncovoietoare, este trasat si deformata (din
ncovoiere) a barei.
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (3.2)
DIAGRAMA DE FORE TIETOARE. Pe intervalele A - B, B - C, C - D, D - E, nencrcate, fora tietoare are valori
constante:
TAB = 6 tf, TBC = 6 - 8 = -2 tf, TDE = 2 tf
n seciunile A, B, C, D diagrama prezint salturi n sensul i de mrimea forelor concentrate.
DIAGRAMA DE MOMENTE NCOVOIETOARE.
Momentul ncovoietor - parial pozitiv, parial negativ - variaz liniar, cu pante diferite, egale cu valoarea forei tietoare, pe cele patru intervale cuprinse ntre forele concentrate:
MA = 0; MB = 6 4 = 24 tfm; MC = 6 6 - 8 . 2 = 20 tfm;
MD = - 2 2 = - 4 tfm
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (3.3)
De semnul momentului ncovoietor, deci de poziia diagramei (deasupra sau
dedesubtul axei de referin) este legat sensul curburii barei deformate. Conform conveniei precizate, pe zonele cu momente ncovoietoare pozitive (reprezentate sub linia de referin a diagramei) convexitatea barei se afl la partea inferioar, n timp ce pe zonele cu momente ncovoietoare negative (reprezentate deasupra liniei de referin a diagramei) convexitatea barei se afl la partea superioar; seciunile cu moment ncovoietor nul (n care se schimb semnul momentului ncovoietor, deci semnul curburii) corespund inflexiunilor barei deformate.
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (4.1)
4. GRINDA CU CONSOLE NCRCAT CU FORE DISTRIBUITE UNIFORM
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (4.2)
DIAGRAMA DE FORE TIETOARE Fora tietoare variaz liniar de la TA = 8 tf la TB, st = 8 - 3 . 6 = - 10 tf, pe
intervalul A - B i de la TB, dr = 2 . 3 = 6 tf la TC = 0 pe intervalul B - C.
Diagrama este nchis de dou tronsoane liniare paralele (cu panta egal cu mrimea constant a ncrcrii), ntrerupte, n dreptul reazemului B, de un salt n sensul i cu mrimea reaciunii VB.
DIAGRAMA DE MOMENTE NCOVOIETOARE
Momentul ncovoietor variaz parabolic de la MA = 0 la MB = 8 . 6 - 3 . 6 . 3 = -6 tm pe intervalul A - B i de la MB = - 3 . 2 . 1 = - 6 tm la MC = 0 pe intervalul B - C.
Convexitatea ambelor parabole este orientat n sensul forelor. In seciunea D, de anulare a forei tietoare, se atinge valoarea maxim a momentului ncovoietor pozitiv:
Mmax = 8 + 3 = = 10,67 tm;
n reazemul B se atinge valoarea maxim a momentului ncovoietor negativ.
3
8
3
8
3
82
1
3
32
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (5.1)
5. GRINDA SIMPLU REZEMAT NCRCAT CU O FOR CONCENTRAT LA JUMTATEA DESCHIDERII
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (6.1)
6. GRINDA SIMPLU REZEMAT NCRCAT CU FORE UNIFORM DISTRIBUITE
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (7.1)
7. CONSOLA NCRCAT CU O FOR CONCENTRAT
APLICATII PRIVIND TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECTIONALE (8.1)
8. CONSOLA NCRCAT CU FORE UNIFORM DISTRIBUIT
