3.4.1 Analiza semnalelor n timp discret
Un semnal discret [44] este un ir de valori numerice reale sau
complexe:
(3.36)Semnalele discrete se pot obine n dou moduri: prin
modelarea matematic a unui proces discret prin eantionarea uniform
a unui semnal continuu x(t), cu perioada de eantionare Te.Cu
ajutorul valorilor amplitudinilor eantioanelor x(nTe) din figura
3.10 a se formeaz semnalul discret x[n] din figura 3.10 b, conform
conveniei:
(3.37)n domeniul timp relaia de atribuire (3.37) este echivalent
cu normarea axei timpului n raport cu perioada de eantionare, n
urma creia momentele tn = nTe R de localizare a eantioanelor
x(nTe), trec n momentele tn/Te = n Z pentru eantioanele semnalului
discret x[n] definit
Figura 3.10a. Semnalul n timp continuu b. Semnalul discret
rezultat prin eantionare
n domeniul frecven relaia de construire a secvenei discrete din
eantioanele semnalului analogic implic o normare a axei frecvenelor
n raport cu frecvena de eantionare fe=1/Te.
Fie un semnal continuu sinusoidal: (3.38)Semnalul discret
construit cu eantioanele x(nTe) va fi:
(3.39)Prin urmare, ca efect al operaiei de normare, frecvena
unghiular i frecvena f se transform n frecvenele normate
corespunztoare i f:
(3.40)Ca i semnalele analogice, semnalele discrete se clasific n
semnale discrete periodice i semnale discrete neperiodice. Aceast
clasificare este util pentru alegerea adecvat a instrumentului
matematic de analiz spectral. Un semnal discret este periodic
dac:
(3.41)unde N este cel mai mic numr ntreg i pozitiv pentru care
relaia anterioar este ndeplinit.
Fie semnalul exponenial complex analogic i semnalul exponenial
discret , obinut din eantioanele lui x(t), utiliznd normarea
frecvenei. Dac exponeniala complex analogic este totdeauna
periodic, de perioad T = 2/ = 1/f, n schimb exponeniala complex
discret este periodic doar cu o anumit condiie.
(3.42)p, N sunt numere prime ntre ele.Expresia frecvenei normate
din relaia de mai sus evideniaz faptul c semnalul exponenial
complex discret este periodic numai dac aceast frecven se exprim
printr-un numr raional al crui numitor este chiar perioada N.
Condiia (3.42) mai poate fi pus i sub forma:
(3.43)Eantionarea conduce la un semnal discret, periodic numai
dac perioada de eantionare este o fracie raional din perioada
exponenialei complexe analogice.Seria Fourier exponenial pentru un
semnal discret are urmtoarea form:
(3.44)unde = 2/N.ak reprezint coeficienii seriei Fourier
exponeniale discrete i au urmtoarea form:
(3.45)
Transformatele Fourier n timp discret direct (TFTD) i invers
(TFTDI) au urmtoarele forme de exprimare:
(3.46)
(3.47)Cele dou transformri stabilesc o coresponden biunivoc ntre
domeniile timp discret i frecven normat .Reprezentarea unui semnal
discret n domeniul frecven prin intermediul transformrii Fourier n
timp discret directe i inverse, date de relaiile anterioare ofer
avantaje importante din punct de vedere al rspunsului unui sistem
discret i al nelegerii operaiilor de filtrare. Aceast reprezentare
este dezavantajoas pentru analiza i simularea prelucrrilor numerice
realizate cu ajutorul calculatorului, din urmtoarele motive:
- este o funcie de variabil continu , fapt ce o face improprie
pentru prelucrrile numerice
- necesitatea unui numr infinit de eantioane ale semnalului x[n]
n vederea evalurii funciei de densitate spectral Este necesar deci
o reprezentare spectral care s fac posibil utilizarea metodelor
numerice de calcul. Acest lucru se realizeaz cu transformata
Fourier discret (TFD). Utilizarea TFD este util datorit existenei
unui algoritm de calcul rapid i eficient, denumit transformarea
Fourier rapid TFR. Acest algoritm permite folosirea TFD i pentru
semnalele analogice.3.4.2 Ferestre de eantionare
Discretizarea unui semnal electric real are ca rezultat o secven
finit, de N eantioane. Mrimea intervalului de timp ntre dou
eantioane succesive ale semnalului analizat depinde de proprietile
i de tipul acestuia. Analiza spectral sub form digital a semnalelor
presupune, n afar de discretizarea acestora, i conversia sub form
numeric a eantioanelor prelevate din proces [30]. Punerea n eviden
a unei secvene finite a semnalului este realizat folosind ferestre
de eantionare. Ferestrele de eantionare au un rol important asupra
rezultatelor prelucrrii unui semnal. Eantionarea unui semnal real
cu ajutorul ferestrelor presupune a multiplica n domeniul timp
legea de variaie a semnalului cu relaia de definiie a ferestrei de
eantionare:
(3.52) se(n) este semnalul eantionat folosind o funcie fereastr
s(n) este semnalul eantionat original w(n) este funcia
fereastrSpectrul semnalului eantionat prin utilizarea ferestrelor
poate fi calculat ca fiind convoluia, n domeniul frecven, a
spectrului semnalului real i a spectrului ferestrei de
eantionare:
(3.53) FW() este transformata Fourier a semnalului eantionat F()
este transformata Fourier a semnalului original W() este
transformata Fourier a funciei fereastrntr-o analiz armonic se tie
c din punct de vedere practic prezint interes numai armonicile pn
la rangul 40. Pentru evidenierea acestor armonici semnalele
analizate se eantioneaz, dup cum s-a mai spus, cu o frecven de cel
puin dou ori mai mare dect frecvena armonicii de rang maxim ce
urmeaz a fi evideniat n urma analizei spectrale a semnalului,
conform teoremei eantionrii a lui Shannon:
(3.54)Semnalele reale pot conine ns componente spectrale de
frecven mai mare dect frecvena Nyquist (corespunztoare lui fe/2). n
aceste situaii apare un efect de repliere a spectrului semnalului
numit alias, care falsific msurarea. O soluie pentru evitarea
acestui fenomen const n filtrarea semnalului original cu ajutorul
unui filtru trece jos caracterizat de o frecven de tiere fe/2,
numit filtru antirepliere.Prezena componentelor spectrale ale
semnalului real de tensiune sau de curent electric, caracterizate
de o frecven inferioar sau multiplu nentreg al frecvenei
fundamentale de 50 Hz, adic subarmonici sau interarmonici, determin
de asemenea erori n procesul de analiz spectral a semnalelor.O alt
surs important de erori, care se manifest n procesul de analiz
armonic a semnalelor, este efectul de pierderi spectrale. Acest
efect exprim energia pe care o anumit component spectral a
semnalului analizat o induce n componentele spectrale cu frecvene
adiacente.Creterea duratei ferestrei de eantionare determin
reducerea erorii analizei spectrale datorat prezenei subarmonicilor
i interarmonicilor, ns nu afecteaz n nici un mod eroarea determinat
de pierderile spectrale.n majoritatea aplicaiilor, se utilizeaz
fereastra de eantionare dreptunghiular sau Dirichlet, caracterizat
de urmtoarea relaie de definiie:
(3.55)n practic, se utilizeaz de obicei ferestrele de eantionare
translate. Funcia fereast dreptunghiular (Dirichlet) translat are
urmtoarea expresie:
(3.56)Transformata Fourier a ferestrei de eantionare
dreptunghiulare este dat de urmtoarea expresie:
(3.57)n care D() reprezint nucleul Dirichlet.Pentru a se elimina
efectul de pierderi spectrale este necesar ca lungimea ferestrei de
eantionare dreptunghiulare s fie riguros egal cu perioada
semnalului de frecven fundamental, astfel nct armonicile adiacente
s nu interfereze:
(3.58)n care: f este frecvena fundamental a semnalului studiat,
fe frecvena de eantionare , N numrul de eantioane ale semnalului
eantionat, iar TW durata ferestrei de eantionare.Dac nu este
ndeplinit condiia (3.58) apare efectul de pierderi spectrale,
astfel nct energia fiecrei componente spectrale este transmis de-a
lungul ntregii axe a frecvenei, aprnd fenomenul de interferen ntre
diferite linii spectrale [10]. n reeaua de for frecvena fundamental
prezint variaii, diminuarea pierderilor spectrale impune ajustarea
duratei ferestrei de eantionare TW pentru respectarea condiiei de
mai sus.
Reducerea pierderilor spectrale poate fi realizat prin
utilizarea altor tipuri de ferestre de eantionare cu rezoluie
crescut, cum ar fi ferestrele n , : funciile fereastr Hanning,
Hamming, Blackman.
(3.59)Pentru = 2 se obine fereastra Hanning. Forma acestei
ferestre translate este definit prin urmtoarea ecuaie:
(3.60)Transformata Fourier a ferestrei de eantionare Hanning
poate fi exprimat sub forma:
(3.61)n funcie de nucleul Dirichlet D().Funcia fereastr Hamming
translat poate fi privit ca o fereastr Hanning modificat, de
tipul:
(3.62)
Fereastra Hamming translat, caracterizat de valoarea rezult:
(3.63)Fereastra de eantionare Blackman translat are urmtoarea
relaie de definiie:
(3.64)n analiza armonic se mai folosesc i ferestrele de
eantionare Bartlett, Blackman Harris, Gauss etc.Aadar transformata
Fourier nu poate fi utilizat direct la analiza armonic a sistemelor
electrice de putere, datorit erorilor mari, n special a erorii de
faz [28]. De aceea se aplic ferestrele de eantionare care vin s
mbunteasc precizia de calcul a transformatei Fourier.Pentru a
ilustra aceasta voi considera un exemplu. Fie un semnal compus din
11 componente armonice. Amplitudinile sunt msurate din reeaua
electric de putere iar fazele sunt date n mod arbitrar n tabelul
3.1.Frecvena fundamentalei este de 50 Hz, frecvena de eantionare
este 3000 Hz, iar numrul de eantioane este 1024. Expresia
semnalului este:
(3.65)unde n = 0,N-1.Tabelul 3.1Parametrii componentelor
armonice
n tabelul 3.2 sunt prezentate rezultatele obinute cu ajutorul
transformatei Fourier rapide i a ferestrelor de interpolare Hanning
i Blackman Harris. Tabelul 3.2Comparaie ntre TFR i ferestrele de
eantionare
Din acest tabel se poate vedea c erorile obinute cu TFR sunt
destul de mari i fazele rezultate sunt cu totul nefolositoare. n
acelai timp se vede c ferestrele de interpolare au crescut precizia
foarte mult. Cu fereastra Blackman Harris se obine precizia cea mai
ridicat, mai ales n calculul fazelor.Ferestrele de eantionare
asigur acurateea msurrilor armonicilor, ceea ce este esenial n
urmrirea i controlul acestora n reeaua de for. Deci amplitudinile i
fazele armonicilor de orice ordin pot fi msurate exact.Transformata
wavelet n analiza regimului deformant. Analiza multirezolutie
Analiza Fourier clasic are la baz metode numerice de o convergen
lent, nepermind analiza simultan necesar n timp i n frecven a
semnalelor. Deci atunci cnd se ntlnesc semnale nestaionare se
folosesc tehnici de procesare diferite de analiza Fourier. Una din
aceste tehnici este cea bazat pe transformata wavelet. Aceasta a
devenit un instrument puternic de procesare a semnalelor n
comunicaii, tehnica sunetelor, tehnica imaginilor, medicin, radar,
sonar etc [61]. n domeniul electroenergeticii transformata wavelet
are aplicaii n: msurarea direct a valorilor efective i a puterilor
analiza fenomenelor tranzitorii pentru sistemele de protecii cu
relee analiza calitii energiei privind perturbaiile armonice.S
considerm urmtorul semnal deformat:
(3.66)Semnalul este staionar i are trei componente de frecvene
50 Hz, 100 Hz i 150 Hz. Variaia n timp a semnalului ct i diagrama
spectral a acestui semnal sunt date n figura 3.12. Semnalul x(t)
este un semnal deformat staionar care cuprinde cele trei componente
armonice n orice moment de timp.Considerm acum un semnal deformat
nestaionar:
(3.67)Semnalul este constituit din trei componente spectrale.
Prima component (fundamentala) se afl n intervalul de timp t1 = 0
300 ms, a doua component se afl n intervalul de timp t2 = 300 600
ms, i a treia component n intervalul de timp t3 = 600 1000 ms. n
acest caz componentele spectrale nu apar tot timpul. n figura 3.13
se ilustreaz variaia n timp a semnalului nestaionar ct i diagrama
spectral a acestui semnal (obinut cu transformata Fourier).Fcnd o
comparaie ntre diagramele spectrale ale semnalelor deformate x(t) i
x(t) se observ c acestea sunt aproape identice, avnd aceleai
componente frecveniale. i totui semnalele sunt diferite: primul
conine toate componentele de frecven la orice moment de timp, pe
cnd al doilea conine componentele spectrale la intervale diferite
de timp. Rezult deci c transformata Fourier ne d coninutul spectral
al semnalului, dar nu ne d informaii cu privire la intervalul de
timp cnd apar aceste frecvene. Figura 3.13 Variaia n timp a unui
semnal nestaionar deformat. Diagrama spectral
Figura 3.12 Variaia n timp a unui semnal staionar deformat.
Diagrama spectral
Rezult necesitatea unor instrumente de analiz mai rafinate n
anumite intervale de timp sau n benzi de frecven limitate.
Transformata Fourier pe termen scurt TFTS (STFT =
Short-Time-Fourier-Transform) introdus de Gabor i transformatele de
tip wavelet sunt extrem de utilizate n prelucrarea semnalelor prin
tehnologii moderne.Analiza multirezoluie [30] se realizeaz prin
nlocuirea semnalului de analizat, la o anumit scar (scal), prin cea
mai bun aproximare a sa, care poate fi atins la acea scar
specificat. Prin deplasarea dinspre scrile nalte ctre cele fine, se
realizeaz o operaie de mrire ajungndu-se la reprezentri din ce n ce
mai exacte ale semnalului. Analiza este fcut prin determinarea
variaiilor care apar la trecerea de la o scar la alta. Acestea sunt
aa numitele detalii care permit, prin adugarea la reprezentarea
existent, o descriere mai bun a semnalului.MRA (multiresolution
analysis) este desemnat s dea o rezoluie bun n timp i slab n
frecven pentru frecvenele nalte, respectiv o rezoluie bun n frecven
i slab n timp pentru frecvenele joase. Aceasta are sens cnd
semnalul analizat are componente de frecvene nalte pentru durate
scurte de timp i componente de frecvene joase pe durate lungi de
timp ca n figura 3.22.Figura 3.22 Semnal deformat tranzitoriu
Funciile care permit realizarea rezoluiei variabile n
timp-frecven cu respectarea limitei de incertitudine sunt pachetele
wavelet. Tehnica bazat pe transformata wavelet reprezint o unealt
efectiv pentru analiza fenomenelor tranzitorii n sistemele de for,
permind extragerea detaliilor. Descompunerea semnalelor [31] are
abilitatea de a detecta i localiza evenimente tranzitorii, de a
identifica i localiza factorii ce afecteaz calitatea energiei
electrice. Consumatorii deformani trebuie mai nti detectai,
localizai i apoi clasificai. Pentru a realiza aceasta este necesar
o evaluare n timp real. Problemele legate de consumatorii
deformani, de calitatea energiei electrice trebuie analizate
simultan att n domeniul timp ct i n domeniul frecven. Fie semnalul
nestaionar din figura 3.27 care are componentele de frecvene 30 Hz,
20 Hz, 10 Hz i 5 Hz la momente de timp diferite. Figura 3.27 Semnal
nestaionar
Figura 3.28 ilustreaz TWC pentru semnalul dat. n acest caz axele
timp i frecven sunt nlocuite cu translaie i scal. Oricum translaia
este strict legat de timp deoarece ne indic unde este localizat
undina mam. n figura 3.28 scala cea mai mic corespunde frecvenei
cele mai nalte, iar scala cea mai larg corespunde frecvenei cele
mai joase.
Figura 3.28 TWC pentru un semnal nestaionar [95]Figura 3.29 TWC
pentru un semnal nestaionar (imagine rotit) [95]
Deci componenta de frecven 30 Hz apare la scala cea mai mic la o
translaie ntre 0 i 30. Urmeaz componenta de 20 Hz la o scal mai
larg i aa mai departe. Componenta de 5 Hz apare la sfritul axei de
translaie, la scala cea mai larg.n timp ce transformata TFTS are
rezoluie constant la toate momentele de timp i la toate frecvenele,
TWC are o rezoluie bun n timp i slab n frecven n cazul frecvenelor
nalte, respectiv rezoluie slab n timp i bun n frecven n cazul
frecvenelor joase. Figura 3.29 este obinut prin rotirea figurii
3.28 cu un anumit unghi, pentru a pune n eviden mai bine
proprietile de rezoluie.n figura 3.30 este reprezentat: un semnal
deformat, nestaionar semnalul obinut prin aplicarea transformatei
wavelet direct i invers pentru semnalul iniial diferena dintre
semnalul iniial i cel obinut dup cele dou transformriDup cum se
observ din figur prin reconstrucia semnalului (dup aplicarea celor
dou transformri) se obine exact semnalul iniial, eroarea fiind
aproape zero.De aici rezult precizia crescut a transformatei
wavelet pentru semnale deformate nestaionare.Figura 3.30 Comparaie
ntre semnalul iniial i cel obinut prin transformri
Transformata wavelet este util nu numai n analiza semnalelor
nestaionare ci i n analiza semnalelor deformate staionare. Prin
analiza multirezoluie semnalul iniial poate fi descompus n mai
multe semnale: unul dintre ele este versiunea atenuat (lin sau de
aproximare) a acestuia, iar celelalte sunt versiunile de detaliu
care pot fi analizate separat. Localizarea n timp a perturbaiilor
devine n felul acesta foarte simpl. Aceast simplitate constituie
marele avantaj al utilizrii transformatei wavelet ortogonale.
a)b)
The detail coefficients of the signal are: (d1) that includes
the frequency band (2500-5000Hz) (d2) that includes the frequency
band (1250-2500Hz) (d3) that includes the frequency band
(625-1250Hz) (d4) that includes the frequency band (312.5-625Hz)
(d5) that includes the frequency band (156.25-312.5Hz)The
approximate coefficient signal (a5) includes the frequency band
(78.125-156.25Hz).The approximation indicates the low frequency in
the spectrum (the 3rd harmonic). The detail d5 includes the 5th
harmonic, d4 includes the 7th, 9th, 11th harmonics, d3 includes
13th, 15th, 17th, 19th, 21st, 23rd harmonics etc. Higher frequency
bands of wavelet decomposition contain several harmonic components
than the lower frequency bands. As it can be seen in the Fig. 9,
the good time localization is at low scale and good frequency
localization at high scales.
