Denitia si legatura cu morsmele aneExemple

Grupul izometriilor si subgrupurile sale importanteDescompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale fata de hiperplane

Curs 4

Izometrii

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Curs 4

1 Denitia si legatura cu morsmele ane

2 Exemple

3 Grupul izometriilor si subgrupurile sale importante

4 Descompunerea unei izometrii in produse de simetrii ortogonale

fata de hiperplane

Denitia izometriilor

Denition

Fie E1 =(E1,−→E1,Φ1

)si E2 =

(E2,−→E2,Φ2

)doua spatii ane

euclidiene si d1 : E1 × E1 → R, d2 : E2 × E2 → R functiile distante

corespunzatoare. O aplicatie f : E1 → E2 se numeste izometrie

daca

d1 (A,B) = d2 (f (A), f (B)) , ∀A,B ∈ E1.

Exercitiu Demonstrati, folosind denitia, ca orice translatie a unui

spatiu an euclidian este o izometrie.

Consecinta1 Orice izometrie intre doua spatii ane euclidiene este

o aplicatie injectiva.

Consecinta2 Urma−→f :−→E1 →

−→E2 a oricarei izometrii pastreaza

normele vectorilor: ‖ −→u ‖1=‖−→f (u) ‖2, ∀u ∈

−→E1.

Ultima consecinta ne sugereaza sa studiem legatura intre izometrii

si morsmele ane cu aplicatia liniara asociata ortogonala.

Theorem

O aplicatie f : E1 → E2 intre doua spatii ane euclidiene este

izometrie daca si numai daca f este morsm an cu aplicatia liniara

asociata−→f :−→E1 →

−→E2 ortogonala.

Proposition

Orice izometrie transforma subspatii ane in subspatii ane de

aceeasi dimensiune nita.

Corolar O izometrie pastreaza relatia a intre si raportul simplu a trei

puncte. Prin urmare orice izometrie transforma drepte ane in drepte

ane, semidrepte in semidrepte, segmente in segmente, plane in plane,

semiplane in semiplane, semispatii in semispatii.

Denition

Numim gura a unui spatiu an orice submultime nevida F ⊂ E . Doua

guri F1,F2 ⊂ E se numesc congruente daca exista o izometrie

f : E → E cu proprietatea f (F1) = f (F2). Notam F1 ≡ F2.

Relatia de congruenta pe multimea gurilor unui spatiu an este o relatie

de echivalenta.

Exemple

Teorema de caracterizare a izometriilor ne ofera o serie de exemple,

pornind de la aplicatiile ortogonale cunoscute.

Orice translatie tu : E → E este o izometrie, deoarece este

morsm an cu urma aplicatia identitate Id−→E

care evident este

aplicatie ortogonala. Translatiile nu au puncte xe.

Exemple

Denition

Fie En =(E ,−→E ,Φ

)un spatiu an euclidian si

E1 =(E1,−→E1,Φ|E1×E1

)un subspatiu a.e. al sau. Simetria lui E

fata de E1, paralela cu(−→E1)⊥

se numeste simetria ortogonala a lui

E fata de E1.

Simetria ortogonala a lui En fata de E1 are ca urma simetria

ortogonala a spatiului liniar−→E fata de

−→E1. Stim ca S−→

E1:−→E1 →

−→E1

este o aplicatie ortogonala, deci obtinem o izometrie.

Simetria ortogonala

Simetria ortogonala

Notam simetria ortogonala a spatiului a.e. E fata de E1 prin

SE1 : E → E . Ea asociaza ecarui punct P ∈ E punctul P ′,simetricul lui P fata de E1, obtinut astfel. Se considera E2subspatiul an normal prin P la E1 si Q = E2 ∩ E1. (Amdemonstrat in primul curs ca intersectia a doua subspatii a.e.

normale e formata dintr-un singur punct). Q se numeste proiectia

ortogonala a lui P pe E1.Punctul P ′ ∈ E2 este unic determinat de conditia ca punctul Q sa

e mijlocul segmentului [PP ′].In cazul in care E1 este un hiperplan observam ca E1 este

hiperplanul mediator al segmentului [PP ′].

Aplicatia PrE1 : E → E1 ⊂ E ce asociaza ecarui P proiectia sa

ortogonala pe E1 se numeste proiectia ortogonala a lui E pe E1.Observam ca SE1 = 2PrE1 − IdE si ca toate punctele lui E1 sunt

xe pentru SE1 .Fie A ∈ E1 xat arbitrar. Atunci

SE1(P) = A+S−→E1

(−→AP), ∀P ∈ E ⇔

−−−−−−−−−→SE1(P)SE1(R) = S−→

E1(−→PR), ∀P,R ∈ E .

Simetria ortogonala

Rotatia in plan

Fie planul an euclidian orientat E2, Ω un punct din E si

α ∈ (−π, π].

Denition

Se numeste rotatie de centru Ω si unghi α aplicatia RΩ,α : E → Edenita astfel: RΩ,α(Ω) = Ω si pentru orice punct P ∈ E , P 6= Ω,

RΩ,α(P) = P ′, unde P ′ este unic determinat de conditiiled(Ω,P) = d(Ω,P ′),

]o

(−→ΩP,−−→ΩP ′

)= α.

Observam ca urma lui RΩ,α este rotatia geometrica de unghi α in

planul vectorial−→E , Rα :

−→E →

−→E si aceasta este o aplicatie

ortogonala.Singurul punct x al unei rotatii este centrul sau (atunci candα 6= 0).

RΩ,α(P) = Ω+Rα(−→ΩP), ∀P ∈ E ⇔

−−−−−−−−−−−→RΩ,α(P)RΩ,α(S) = Rα(

−→PS), ∀P,S ∈ E .

Rotatia in plan

Rotatia in spatiu

Intr-un spatiu a.e. trei dimensional orientat E3 se considera o

dreapta ana orientata d si α ∈ (−π, π]. Consideram a ∈−→d

orientat pozitiv, nenul. Denim rotatia in jurul dreptei d de

unghi α aplicatia Rd ,α : E → E denita prin

Rd ,α(A) = A, ∀A ∈ d , Rd ,α(P) = P ′, P /∈ d ,

unde P ′ e unic determinat astfel: se considera π planul prin P

normal dreptei d si Ω = d ∩ π; e b =−→ΩP ∈ −→π si

c = a× b ∈ −→π ; se orienteaza planul π astfel incat b, c este o

baza pozitiva in −→π ; in π se aplica lui P rotatia de centru Ω si unghi

orientat α, obtinandu-se astfel punctul P ′.

Urma rotatiei Rd ,α este rotatia geometrica a lui−→E in jurul lui a, de

unghi orientat α, studiata in primul semestru Ra,α :−→E →

−→E .

RΩ,α(P) = Ω+Ra,α(−→ΩP), ∀P ∈ E ⇔

−−−−−−−−−−−→RΩ,α(P)RΩ,α(S) = Ra,α(

−→PS), ∀P,S ∈ E .

Se observa ca toate punctele xe ale acestei izometrii sunt punctele

dreptei d , numita si axa de rotatie.

Rotatia in spatiu

Grupul izometriilor

Propozitie

O izometrie intre doua spatii ane de aceeasi dimensiune nita este

o bijectie.

Deoarece multimea morsmelor ane bijective ale unui spatiu an

are structura de grup, numit grupul an GA(E ), si multimea

aplicatiilor ortogonale ale spatiului liniar director−→E are tot

structura de grup, O(−→E ), se obtine:

Theorem

Multimea izometriilor unui spatiu an euclidian nit dimensional Enare structura de grup in raport cu compunerea functiilor. Notam

acest grup cu GI(En) sau Izo(En).

Reformuland, am obtinut ca multimea izometriilor unui spatiu an

euclidian nit dimensional En este un subgrup al grupului an GA(En).Putem enunta un rezultat mai general, cand nu impunem ca dimensiunea

spatiului an sa e nita. Multimea izometriilor bijective ale unui spatiu

an este un subgrup al grupului an.

Grupul ortogonal

Amintim ca multimea aplicatiilor liniare ortogonale ale unui spatiu

liniar de dimensiune n, de exemplu−→E , formeaza un grup in raport

cu compunerea functiilor, grup pe care il vom nota O(−→E ).

Acest grup este izomorf cu grupul matricilor ortogonale de ordin n,cu elemente reale, numit grupul ortogonal de ordin n.

O(n) =A ∈Mn(R) | AAt = AtA = In

.

Izomorsmul este functia ce asociaza ecarei aplicatii ortogonale

matricea sa in raport cu o baza ortonormata xata in−→E .

Grupul O(−→E ) are ca subgrup multimea rotatiilor SO(

−→E ) (a

aplicatiilor ortogonale de specia I), subgrup izomorf cu grupul

ortogonal special SO(n), unde

SO(n) = A ∈ O(n) | detA = 1 .

Denition

O izometrie f : E → E ce admite un punct x Ω ∈ E ( f (Ω) = Ω)

se numeste centro-izometrie de centru Ω. Mutimea

centro-izometriilor cu centrul Ω se noteaza cu GI(En,Ω).

De exemplu rotatia in plan este o centro-izometrie.

Proposition

Multimea centro-izometriilor GI(En,Ω) este un subgrup al lui

GI(En), grup izomorf cu O(n).

Izomorsmul cautat este ξ : GI(En,Ω)→ O(−→E ), ξ(f ) =

−→f , deci

functia ce asociaza ecarei izometrii urma sa.

Aceasta functie ne ofera un morsm de grupuri intre GI(En) si

O(−→E ), mai exact, pentru orice izometrii f , g are loc

−−→f g =

−→f −→g . In plus compunerea a doua aplicatii ortogonale

este ortogonala. Daca dorim sa obtinem un izomorsm de grupuri,

avem nevoie de conditia suplimentara f (Ω) = Ω.

Deplasari

Proposition Pentru ecare Ω ∈ E , orice izometrie a lui E se descompune inmod unic in produsul dintre o centro-izometrie de centru Ω si o translatie.

Denition

Se numeste deplasare (miscare) o izometrie cu aplicatia liniara asociata o

aplicatie ortogonala de specia I:−→f ∈ SO(

−→E ).

Se numeste antideplasare o izometrie cu aplicatia liniara asociata o aplicatieortogonala de specia a II-a.Notam multimea deplasarilor cu D(En).

Translatiile si rotatiile (in planul E2 si spatiul E3) sunt deplasari, cat si simetriaortogonala fata de o dreapta ana in E3. Simetria ortogonala fata de unhiperplan este o antideplasare.

Proposition Multimea deplasarilor unui spatiu an este un subgrup al grupuluiizometriilor.

Multimea deplasarilor cu un punct x este un subgrup al lui D(En), izomorf cu

SO(−→E ).

Ecuatiile unei izometrii

Theorem

Fie En un spatiu an euclidian n dimensional si o aplicatie

f : E → E . O conditie necesara si sucienta pentru ca f sa e o

izometrie este existenta unui reper ortonormat

R = O; e1, e2, · · · , en astfel incat pentru un punct P cu

coordonatele (x1, x2, · · · , xn) in reperul R, coordonatele(y1, y2, · · · , yn) ale lui f (P) in acelasi reper sa e de forma:

y i =n∑

j=1

aijxj + bi , i ∈ 1, n, si

n∑k=1

aki akj = δij . (1)

Reformulam (1) in scriere matriciala:

Y = AX + B, A ∈ O(n),

unde X =

x1

x2

· · ·xn

, Y =

y1

y2

· · ·yn

, B =

b1

b2

· · ·bn

, A =(aij)∈ O(n).

Descompunerea unei izometrii in produs de simetrii

Theorem

Orice izometrie a unui spatiu an euclidian n-dimensional se poate

descompune in produs de cel mult n + 1 simetrii ortogonale fata de

hiperplane.

De exemplu, orice translatie tu : E → E se poate scrie ca produsul

a doua simetrii ortogonale fata de doua hiperplane paralele

H1 ‖ H2, cu u ∈(−→H1

)⊥si reciproc.

Particularizam acest rezultat pentru o translatie in plan.

tu = Sd2 Sd1 , u ⊥−→d , ‖ u ‖= 2d(d1, d2).

Orice rotatie de centru Ω si unghi α in plan este produsul dintre

doua simetrii ortogonale fata de doua drepte concurente in Ω si

reciproc.

RΩ,α = Sd2 Sd1 , d1 ∩ d2 = Ω , α = 2]o (d1, d2) .