1

8. EVALUAREA ŞI APROXIMAREA FUNCŢIILOR

1. Evaluarea funcţiilor1.1. Evaluarea funcţiilor polinomiale şi raţionale1.2. Evaluarea funcţiilor analitice

2. Aproximarea funcţiilor2.1. Interpolarea

2.2. Aproximarea cu abatere medie pătratică minimă

2

1. Evaluarea funcţiilorEvaluarea funcţiilor reprezintă a problemă fundamentală a cal-

culului numeric. Forma sub care sunt scrise formulele matematice ce urmează a fi evaluate este esenţială întrucât două expresii care matematic sunt echivalente pot conduce la aplicarea unui algoritm numeric la rezultate numerice diferite. Utilizarea unui anumit algoritm numeric de evaluare fără o analiză prealabilă a modului de propagare a erorilor, funcţie de forma specifică a expresiei de calculat, poate produce, prin acumularea succesivă a erorilor, la rezultate inacceptabile din punct de vedere al preciziei pentru aplicaţia în cauză.

Pentru maximizarea eficienţei unui algoritm de calcul numeric ales, se impune formularea matematică optimă prealabilă a problemei de către analist.

3

1.1. Evaluarea funcţiilor polinomiale şi raţionaleClasa funcţiilor polinomiale (polinoame):

Presupunem că interesează găsirea valorii polinomului:P x a x a x a x a x an n n

n n( ) + -= + + + +− −0 1

12

11L

P a a a ann n

n n( ) + -α α α α= + + +−0 1

11L

Calculul constă dintr-o suită de operaţii în care intervine foarte des cea de ridicare la putere. În cazul în care n este mare există pericolul de a depăşi zona de memorie afectată calculului. Un mod mai convenabil de calcul îl reprezintă scrierea cu ajutorul schemei lui Horner:

ceea ce revine la evaluarea succesivă a numerelor:P a a a a an n n( ) ( (( ) ) + ) -α α α α α= + + + +K K0 1 2 1

P a P P a P P a Pn n n n0 0 1 0 1 1= = + = + =− ; ; ( )α α αK

Numerele P0, P1,...., Pn-1 reprezintă coeficienţii polinomului Q(x) obţinut prin împărţirea polinomului P(x) la binomul x - α, iar Pn este restul acestei împărţiri:

4

Avantajele utilizării schemei lui Horner pentru evaluare:• simplitatea algoritmului;• posibilitatea de eficientizare a calculului numeric prin transformarea operaţiei de ridicare la putere în operaţie de înmulţire, efectuată într-un timp mai scurt şi cu mai mare precizie.

Pentru un polinom de grad n sunt necesare n înmulţiri şi n adunări.

O funcţie raţională poate fi reprezentată ca raport a două polinoame:

P x x Q x PQ x P x P x P

nn n

n

( ) ( ( )( ) = 0

= − +⋅ + ⋅ + +− −

−

α )1

12

1L

R x P xQ x

( ) ( )( )

=P x a x a x a x aQ x b x b x b x b

n nn n

m mm m

( ) + ( ) +

-

-

= + + += + + +

−

−0 1

11

0 11

1

L

L

Pentru a calcula valoarea funcţiei R(x) în punctul x = α, o metodă se bazează pe observaţia:

Numărătorul P(α) şi numitorul Q(α) se pot calcula cu schema lui Horner, iar prin împărţire rezultă R(α).

R PQ

( ) ( )( )

ααα

=

5

Funcţia construieşte forma Horner a unui polinom sau a unei funcţii raţionale.

Dacă e este o funcţie raţională atunci atât numărătorul cât şi numitorul sunt convertite la forma Horner. Argumentul opţional var se referă la variabila polinomului sau a fracţiei raţionale. Rezultatul apelării acestei funcţii este acelaşi cu al funcţiei convert.

Utilizarea funcţiei trebuie precedată de comanda with (numapprox).

Funcţia hornerform

Sintaxe:hornerform ( e )hornerform ( e, var )

Argumente: e - expresie (polinom sau funcţie raţională );var - (opţ.) variabilă.

6

1.2. Evaluarea funcţiilor analitice

Definiţie. Funcţia f : I ⊆ R → R se numeşte analitică în punctula ∈ I dacă într-o vecinătate a acestui punct, , funcţia poate

fi dezvoltată în serie de puteri (serie Taylor): x a M− <

f x f a x a f a x a f a x ai

f ai

i

i( ) ( ) +

1! ( ) ( )

2! ( ) ( )

! ( )

2( )=

−′ +

−′′ + =

−

=

∞

∑L0

7

Ordinul de trunchiere al unei dezvoltări în serie este indicat de varia-bila globală Order, cu valoarea implicită 6.

Definiţie. Suma parţială de ordinul n a seriei Taylor reprezintăpolinomul Taylor de ordin n:

P x f a x a f a x an

f a t xn

nn

ii

n( ) ( ) +

1! ( ) ( )

! ( ) ( )=

−′ + +

−=

=∑L

0

Definiţie. Diferenţa dintre funcţia f (x) şi polinomul Taylor de ordin n se numeşte restul de ordinul n al seriei Taylor

R x f x P x t xn n ii n

( ) ( ) ( ) ( )= − == +

∞

∑1

şi reprezintă eroarea de trunchiere a seriei Taylor după termenul de ordinul n.

Eroarea absolută ε(n) şi eroarea relativă εr(n) au estimările:

ε ε( ) ( ) ( ) ; ( )( )

nn r

n nt x t xP x

= =n

8

Funcţia taylorFuncţia calculează dezvoltarea în serie Taylor a unei funcţii.

Sintaxe:taylor ( f, var )taylor ( f, ec, n )

Argumente: f - funcţie; var - nume de variabilă; ec - ecuaţie;n - (opţ) număr întreg nenegativ.

Argumentul var indică variabila în funcţie de care se efectuează dez-voltarea în serie în jurul punctului 0. Argumentul ec, de forma var = a, indică punctul a în jurul căruia se efectuează dezvoltarea în serie.n specifică ordinul de trunchiere al seriei.

9

Funcţia convert

Funcţia determină polinomul Taylor din dezvoltarea în serie Taylor.

Sintaxa:convert ( expr, polynom )

Argument: expr - serie.

Rezultatul conversiei este un polinom numai dacă seria este de tip Taylor.

10

Funcţia determină dacă o anumită expresie este serie de tip Taylor.

Funcţia returnează valoarea booleană true sau false.Funcţia series returnează dezvoltarea în serie generalizată a unei

expresii date.

Funcţia type

Sintaxa:type ( expr, taylor )

Argument: expr - serie de orice tip.

11

2. Aproximarea funcţiilorFie funcţia f : [a, b] ⊆ R → R specificată printr-o tabelă de valori

discrete yi , luate într-un număr de n +1 puncte distincte xi numite noduri (puncte de reţea):

xi x0 x1 ... xn

f (xi ) y0 y1 ... yn

O astfel de funcţie poate reprezenta o mărime fizică, valorile sale provenind din măsurători experimentale. Prelucrarea numerică a unor astfel de dependenţe tabelate implică, însă, cunoaşterea valorilor funcţiei f şi pentru alte valori ale argumentului x, diferite de nodurile date.

Pot apare însă şi situaţii cum ar fi:- obţinerea unor informaţii (valori) suplimentare ale funcţiei este foarte

dificilă sau chiar imposibilă;- algoritmul de calcul al dependenţei tabelate este cunoscut, dar com-

plexitatea calculelor implicate face ineficientă utilizarea lui practică.

12

În astfel de cazuri se pune problema de a determina o funcţie de aproximare F : [a, b] → R care depinde, eventual, de un număr de parametri αj (j = 0,..., p), adică F = F (x; αj ), astfel încât:

f (x) ≅ F (x; αj )

Pentru aceasta se impune condiţia ca ”distanţa ” dintre cele două funcţii să fie cât mai mică. În funcţie de modul de definire a distanţei se disting principalele metode de aproximare a funcţiilor:• interpolarea• aproximarea cu abaterea medie pătratică minimă

2.1. InterpolareaÎn spaţiul vectorial al funcţiilor de o variabilă reală se defineşte distanţa:

d f F f x F xi ii

n ( , ) ( ) ( )

=0= −∑

Condiţia ca distanţa să fie minimă implică: f(xi) = F(xi), i = 0, 1,..., n.

13

Interpolarea liniarăFie polinomul P(x) = a x + b şi nodurile de interpolare x0 şi x1.Avem: P(x0) = y0, P(x1) = y1. Deci:

P x x xx x

y x xx x

y( ) = −−

+−−

1

0 10

0

1 01

Geometric: polinomul reprezintă ecuaţia dreptei ce uneşte două punctedin plan de coordonate (x0, y0) şi (x1, y1).

Funcţia F poartă numele de funcţie de interpolare, iar punctele xi se numesc noduri de interpolare.

14

Polinomul de interpolare al lui Lagrange

Abaterea Δ = | f(x) -P(x) | depinde de intervalul [xi , xi+1] şi de valoarea f''(x) (curbura funcţiei f(x)).

Definiţie. Se numeşte polinomul de interpolare Lagrangepolinomul de grad cel mult n, cu proprietatea Ln (xi) = yi (i = 0,..., n):

L x x x x x x x x xx x x x x x x x

yni i n

i i i i i i ni

n

i( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=− − − −− − − −

⋅− +

− +=∑ 0 1 1

0 1 10

L L

L L

15

Cazuri particulare:1) Pentru n = 1 (două puncte de tabelare) polinomul Lagrange se

reduce la ecuaţia dreptei y = L1(x) care trece prin cele două puncte:

y x xx x

y x xx x

y=−−

+−−

1

0 10

0

1 01

2) Pentru n = 2 (trei puncte de tabelare) polinomul lui Lagrange se reduce la ecuaţia parabolei y = L2(x) care trece prin cele trei puncte:

y x x x xx x x x

y x x x xx x x x

y x x x xx x x x

y=− −− −

+− −− −

+− −− −

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

1 2

0 1 0 20

0 2

1 0 1 21

0 1

2 0 2 12

Polinomul lui Lagrange coincide cu funcţia f numai în nodurile de interpolare, dar între noduri se pot înregistra abateri mari de la valorile funcţiei.

L xx xx x

ynj

i jjj i

n

i

n

i( ) ( )( )

=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅

=≠

=∏∑

00

16

Eroarea produsă la interpolarea cu acest polinom are expresia:

εξ

ξn

n

n nx fn

x x x x x x x x( ) ( )( )!

( )( ) ( ), ( , )( )

0 0=+

− − − ∈+1

11L

Dacă funcţia f are proprietatea , ∀x∈(x0 , xn ), atunci ( )( +1)f x Mn ≤

( ) ( )!

( x ) ( ) 0εn nx Mn

x x x≤+

− −1

L

Se consideră cazul unei funcţii f pentru care, pe lângă valorile în nodurile de interpolare, este cunoscut şi graficul său (fără valori). Acesta evidenţiază discontinuităţi ale derivatei funcţiei în anumite noduri: xi1 , xi2 ,..., xi m .

În astfel de situaţii pentru ca eroarea să fie cât mai mică se recomandă a se aplica interpolarea pe porţiuni:

17

L x

L x x x xL x x x x

L x x x x

n

n i

n i i

nm

i m n

( )

( ), [ , ] ( ), [ , ] ( ), [ , ]

00

1

=

∈∈

∈

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

1

1 2LLLLLLLL

în care este un polinom de interpolare Lagrange pentru punctele de interpolare din intervalului [xi k-1 , xi k ].

Condiţia care se impune este ca Ln (x) să fie funcţie continuă în punctele xi1 , .., xi m. .

L xnk ( )

Problema interpolării inverse constă în găsirea argumentului pentru care polinomul lui Lagrange are o anumită valoare.

xy yy y

xj

i jjj i

n

i

n

i=−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⋅

=≠

=∏∑

( )( )

00

18

Funcţia interp

Funcţia determină polinomul de interpolare al lui Lagrange.Sintaxa:

interp ( x, y, var )Argumente: x - listă / vector cu nodurile de interpolare; y - listă /

vector cu valorile funcţiei în nodurile de interpolare; var - nume variabilă.

19

2.2. Aproximarea cu abatere medie pătratică minimăFie spaţiul L2 [a, b] al funcţiilor f : [a, b]⊂ R → R de pătrat integrabil

pe intervalul [a, b]. Se consideră distanţa dintre funcţiile f şi F definită sub forma:

[ ]d f Fb a

x f x F x xa

b

( , ) = 1 ( ) ( ) ( ) d−

⋅ −∫α 2

în care funcţia pondere α > 0 (în particular α = 1).

Definiţie. Aproximarea realizată pe baza definiţiei distanţei pre- cedente poartă numele de aproximare cu abatere medie pătratică ponderată minimă.

Din punct de vedere practic, definiţia de mai sus implică cunoaşterea expresiei analitice a funcţiei f. Dacă f este cunoscută doar prin valorile yi în n +1 puncte xi (i = 0,..., …, n) din intervalul [a, b], atunci distanţa se poate defini:

20

[ ]d f Fn

f x F xi ii

n( , ) = 1

+1 ( ) ( )−

=∑ 2

0

Definiţie. Aproximarea realizată pe baza definiţiei distanţei de mai sus, în care funcţia F este un polinom Fm de grad m, cel mult egal cu n, poartă numele de metoda celor mai mici pătrate (Gauss).

Metoda are două deosebiri esenţiale faţă de interpolare şi anume: - nu implică identificarea polinomului Fm cu funcţia f în punctele xi ;

- gradul polinomului Fm este cel mult egal cu numărul punctelor xi .Condiţia care se impune este ca abaterea medie pătratică

[ ]S f x F xi m ii

n= ( ) ( )−

=∑ 2

0

să fie minimă.Din punct de vedere geometric, condiţia este echivalentă cu cerinţa

ca aria porţiunii haşurate să fie minimă.

21

Cel mai simplu caz al metodei celor mai mici pătrate îl reprezintă regresia liniară. Ea constă în alegerea polinomului de aproximare sub forma unei funcţii de gradul întâi F(x) = a⋅ x + b, numită dreapta de regresie.

22

Din condiţia ca abaterea

[ ]S y ax bi ii

n= − −

=∑ 2

0

să fie minimă, prin anularea derivatelor parţiale ale lui S, se pot obţinecoeficienţii:

23

a s t n ts n s

b s t s ts n s

=− +− +

=−

− +1 1 1 2 21

1 1 2

12

2

1

12

2

( ) ( )

; ( )

unde: s x s x t y t x yii

n

ii

n

ii

n

ii

n

10

22

01

02

0= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑ ; ; ; i

Regresia polinomialăÎn locul funcţiei liniare se alege un polinom de grad m >1, de forma:

F x a x a x a x am im

im

m i m( ) = 1 21

1+ + + +−+L

Din condiţia ca abaterea (funcţionala):

[ ]S y a x a x a x ai im

im

m i mi

n= − − − − −−

+=∑ 1 2

11

2

0L

să fie minimă, prin anularea derivatelor sale parţiale, se obţine un sistem de ecuaţii liniare, de ordinul (m+1), cu necunoscutele aj, numit sistem normal:

24

x x x n

x x x x

x x x x

x x x x

aa

aa

y

x y

x y

x y

im

iim

iim

i

im

iim

ii

ii

i

im

ii

m

iim

iim

i

im

ii

m

iim

iim

i

m

m

ii

i ii

im

ii

im

ii

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑∑

∑∑

−

+

− − −

− + +

−

+⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

1

1 2

2 1 2 2 1

2 2 1 1

1

2

1

1

1L

L

M M O M ML

L

M M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Matricea sistemului are o structură de benzi, în sensul că elementele de pe diagonala principală şi, respectiv, de pe codiagonale, sunt egale între ele. Este o matrice Toeplitz.

Pentru rezolvarea sistemului se poate aplica fie una dintre metodele generale (Gauss, Gauss-Jordan etc.), fie metoda specială Levinson (mai eficientă) dedicată sistemelor cu matrice Toeplitz.

Soluţia sistemului furnizează valorile coeficienţilor aj (j = 1,..., m+1) şi polinomul de aproximare este astfel determinat.

25

Funcţia fit

Funcţia determină polinomul de aproximare prin metoda celor mai mici pătrate.Sintaxa:

fit [ leastsquare [ lista, ec, par ] ] ( date )Argumente: lista - listă de variabile; ec - curba de regresie;

par - (opţ.) mulţime de parametri; date - listă de liste.

Argumentul ec reprezintă expresia curbei de regresie, care trebuie săfie liniară în coeficienţii necunoscuţi, indicaţi, eventual, de argumentul par.

Argumentul lista conţine, sub forma unei liste, variabilele folosite în expresia curbei de regresie.

Argumentul date conţine o listă de liste cu valori corespondente ale variabilelor; ordinea listelor trebuie să fie aceeaşi cu cea a variabilelor din argumentul lista.

Utilizarea funcţiei trebuie precedată de comanda with (stats).

26