Curs 2 statistica.ppt

7/22/2019 Curs 2 statistica.ppt

http://slidepdf.com/reader/full/curs-2-statisticappt 1/38

STATISTICĂ CURS 2

Conf.univ.dr. Mihai SACALĂ

[email protected]



2

Etapele cercetării statistice Procesul cunoaşterii statistice presupune organizarea şi parcurgerea unor etape distincte

şi succesive care includ operaţiile de observare sau culegere a datelor, de sistematizare şi prelucrare, de analiză şi interpretare a rezultatelor.

Etapele cercetării statistice sunt:

observarea statistică - etapă în care se culeg date de la

unităţile colectivităţii studiate, pentru toate caracteristicileurmărite;

prelucrarea statistică - etapă în care datele culese suntsistematizate şi sunt calculaţi indicatorii statistici primari şi derivaţi, absoluţi şi sintetici ce caracterizează fenomenul

studiat; analiza şi interpretarea rezultatelor - etapă în care sunt

verificate ipotezele, formulate concluziile şi fundamentateprocesele decizionale.



3

Principiile clasificării şi grupării

Sistematizarea datelor se realizează prin clasificare (variabilenenumerice) şi grupare (variabile numerice)

Sistematizarea presupune împărţirea datelor în grupe omogene,după unul sau mai multe criterii .

Criteriul de grupare este dat de variabila statistică

Grupările sunt simple sau combinate în funcţie de numărulcriteriilor utilizate

Gruparea datelor trebuie să se facă după principiile: omogenităţii

unicităţii

universalităţii Grupele constituite trebuie să fie deci exhaustive şi mutual

exclusive.

Rezultatul grupării datelor îl reprezintă seria de distribuţie defrecvenţe.



4

Sistematizarea datelor nenumerice Clasificarea presupune împărţirea unităţilor în categoriile variabilei nenumerice

considerate.

Prin numărarea unităţilor statistice ce se încadrează în fiecare clasă se stabileşte

frecvenţa clasei

Frecvenţa fiecărei clase, astfel determinată, se numeşte f recvenţă absolută, notată

in

,r i

,1

, unde r reprezintă numărul de clase, iar

r

i

inn

1

Se poate calcula şi frecvenţa relativă a clasei ( *i

n ), care indică proporţia din

numărul total de unităţi, care se încadrează în fiecare clasă:

n

n

n

nn

i

r

i

i

i

i

1

*

, unde1

1

*

r

i

in , iar n reprezintă volumul total al eşantionului.

Exprimată în procente, frecvenţa relativă a grupei i este:100100

1

%*

n

n

n

nn i

r

i

i

ii

.



5

Sistematizarea datelor nenumerice

Dacă variabila este măsurată pe scala nominală ordinea claselor o alege cercetătorul.

Sistematizarea datelor privind muzeele, în anul 2007 , în România, în funcţie de tipul acestora, a

dus la următoarele rezultate:

Tipul muzeului

Numărul muzeelor

(la sfârşitul anului)

( in )

Ponderea muzeelor

(*%in )

Ştiinţele naturii 44 6,6

Istoria tehnicii şi

ştiinţei 21 3,1

Istorie 117 17,5

Etnografie 115 17,2Istoria culturii 152 22,8

Artă 149 22,3

Mixte 70 10,5

Total 668 100Sursa: Anuarul Statistic al României, 2008.



6

Reprezentarea grafică a seriilor de distribuţie de

frecvenţe pentru variabile nenumerice

Diagrama prin coloane (în cazul frecvenţelor absolute)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Ştiinţele

naturii

Istoria

tehnicii şi

ştiinţei

Istorie Etnografie Istor ia

culturii

Artă Mixte

tipul de muzeu

N r . m u z e e ( f r e c v e

n t e a b s o l u t e )

Distribuţia muzeelor după tipul lor



7

Reprezentarea grafică a seriilor de distribuţiede frecvenţe pentru variabile nenumerice

Graficul „pie chart” (în cazul frecvenţelor relative).

7% 3%

18%

17%

23%

22%

10%

Ştiinţele naturii Istoria tehnicii şi ştiinţei Istorie Etnografie Istoria culturi i Artă Mixte

Structura muzeelor după tipul lor



8

Sistematizarea datelor numerice

Gruparea reprezintă sistematizarea datelordupă o variabilă numerică (discretă saucontinuă).

A. Dacă variabila este discretă şi cu un număr redus de valori distincte (max. 10)sistematizarea datelor se face prin grupareape variante, obţinându-se o serie de

distribuţie de frecvenţe pe variante. Frecvenţa grupelor se stabileşte prin

numărarea unităţilor care iau aceeaşi valoare.



9


Gruparea a 50 de manageri ai unor firme de IT, în funcţie de numărul de deplasări în

străinătate, în interes de serviciu, în luna mai 2007, se prezintă astfel:

Număr deplasări Număr manageri

0 3

1 16

2 19

3 7

4 4

5 1

Total 50

O serie de distribuţie de frecvenţe pentru o variabilă discretă poate fi prezentată şi suburmătoarea formă:

r

r

... n nn

... x x x X

21

21:

.



10


Reprezentarea grafică a unei serii de distribuţie de frecvenţe alcătuită după o variabilă numerică

discretă cu număr redus de valori distincte este poligonul frecvenţelor:

0

123456789

10111213141516

17181920

0 1 2 3 4 5

Nr. deplasari

n r . m a n a g e r i

Distribuţia managerilor în funcţie de numărul de deplasări (poligonul frecvenţelor)



11


B. Dacă variabila numerică este discretă şi are un număr mare de valori distincte sau este continuă sistematizareapresupune gruparea pe intervale de variaţie

Se obţine o serie de distribuţie de frecvenţe pe intervale.

Intervalul de variaţie reprezintă un şir de valori ale variabileistudiate delimitat prin limita inferioară şi limita superioară.

Intervalele de variaţie pot fi de mărime egală sau neegală.

Pentru gruparea pe intervale de variaţie se recomandăutilizarea unui număr moderat de grupe (5-10 grupe).

Numărul intervalelor depinde de numărul unităţilor statistice.

Un număr mare de date necesită un număr mai mare de intervale degrupare. Ca un principiu general, o distribuţie de frecvenţe trebuie săcuprindă cel puţin 5 intervale de grupare, dar nu mai mult de 15.



12

Alcătuirea intervalelor de variaţie

A. Determinarea numărului de intervale

Pentru alegerea numărului de intervale (r ) se poate utiliza şi relaţia:

nr 10log322,31 ,

unde n reprezintă volumul colectivităţii.

B. Stabilirea mărimii intervalului (h ) de variaţie

- se recomandă utilizarea intervalelor de mărime egală

r

x x

r

Ah

minmax

- mărimea intervalului se recomandă a se rotunji la o valoare convenabilă.

Prin sistematizarea datelor pe intervale de gru pare se pierde din exactitatea informaţiei,dar se câştigă pe linia condensării datelor şi descoperirii trăsăturilor esenţiale.

În prelucrările ulterioare, când trebuie să ataşăm fiecărei unităţi statistice o valoareconcretă şi această valoare va fi, sub anumite presupuneri, centrul intervalului de grupare.



13

Alcătuirea intervalelor de variaţie

C. Sabilirea intervalelor

Punctul de plecare în alcătuirea intervalelor de grupare se alege, convenabil, 0sau un număr întreg mai mic sau egal decât xmin.

Limitele intervalelor de grupare trebuie stabilite cu acurateţe, respectând

precizia datelor (cu acelaşi număr de zecimale, dacă valorile sunt de această

manieră).

Se stabilesc intervalele de grupare pornind de la xmin (sau de la o valoare puţinmai mică):

xmin xmin+h

xmin+h xmin+2h.....................................................

xmin + (r — 1 )h xmin + r h

Frecvenţa fiecărui interval in (numită frecvenţă absolută) se obţine prin

numărarea unităţilor care se încadrează în fiecare grupă Dacă există grupe cu frecvenţă nulă, ori multe grupe cu o singură observaţie,

poate fi necesară revizuirea mărimii intervalelor sau a numărului de intervale.



14

Exemplu

Tabelul statistic ce se obţine prin gruparea datelor pe intervale de variaţie este:

Intervale de variaţie a vechimii în activitate

(ani)

Număr salariaţi

in

0-5 5

5-10 8

10-15 17

15-20 20

20-25 14

25-30 10

30 şi peste 6TOTAL 80

Notă: limita superioară este inclusă în interval



15

Seria de distribuţie de frecvenţe pe intervale

În cazul seriilor de distribuţie de frecvenţe pe intervale se mai determină:

1. Centrul de interval = valoarea situată la jumătatea distanţei dintre limitele intervalului şi esteconsiderat reprezentativ pentru datele din interiorul intervalului:

2inf

i

ii

h x x sau

2

supinf ii

i

x x x

, r i ,1 .

2. Frecvenţa absolută cumulată crescător a unei grupe ( F ci) = numărul unităţilor statistice care au

valoarea variabilei mai mică sau egală cu limita superioar ă a intervalului

i

k

k ci n F

1.

3. Frecvenţa relativă cumulată crescător a unei grupe (*

ci F ) = procentul unităţilor statistice care au

valoarea variabilei mai mică sau egală cu limita superioară a grupei:

i

k

k ci n F

1

**

.

4. Frecvenţe absolute şi relative cumulate descrescător = numărul sau procentul unităţilorstatistice care au valoarea variabilei mai mare sau egală cu limita inferioară a intervalului

r

ik

k di n F ,

r

ik

k di n F **

.



16

Seria de distribuţie de frecvenţe pe intervale

Frecvenţele absolute, relative şi cumulate oferă o imagine de ansamblu asupratendinţei de distribuţie a valorilor în colectivitate, asupra normalităţii, simetriei oriasimetriei repartiţiei de frecvenţe.

Intervale devariaţie

a vechimii înactivitate

(ani)

Număr

salariaţi

in

Pondereasalariaţilor

*%in

Centrulde

interval

i x

ci F di F *ci F

*di F

0-5 5 6,25 2,5 5 80 6,25 1005-10 8 10 7,5 13 75 16,25 93,75

10-15 17 21,25 12,5 30 67 37,5 83,75

15-20 20 25 17,5 50 50 62,5 62,520-25 14 17,5 22,5 64 30 80 37,525-30 10 12,5 27,5 74 16 92,5 2030-35 6 7,5 32,5 80 6 100 7,5

TOTAL 80 100 - - - - -




17

Reprezentarea grafică a seriilor de distribuţie defrecvenţe pe intervale

O serie de distribuţie de frecvenţe pe intervale de variaţie sereprezintă grafic cu ajutorul histogramei şi a poligonuluifrecvenţelor.

Datele cantitative se pot reprezenta grafic utilizând histograma

frecvenţelor absolute sau relative, construită într-un sistem decoordonate rectangulare.

Pe abscisă sunt reprezentate intervalele de variaţie, iar peordonată sunt reprezentate frecvenţele.

Histograma se construieşte prin ridicarea unor dreptunghiuri,

fiecare dreptunghi fiind de lăţime egală cu mărimea intervaluluide grupare şi de înălţime egală cu frecvenţa intervalului



18

Histograma

0

2

4

6

8

10

12

14

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Intervale

F r e c v

e n t e

0

5

10

15

20

25

30

35

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 3 7 40 43 46

Intervale

F r e c v

e n t e

set mic de date set mare de date



19

Distribuţia normală

Distribuţia normală, perfect simetrică, în forma clopotului luiGauss-Laplace este foarte rar întâlnită în practică, fiind de fapto distribuţie teoretică de referinţă în analiza statistică.



20

Distribuţii asimetrice

În cele mai multe cazuri, distribuţiile de frecvenţe empirice au

tendinţă de normalitate, dar un anumit grad de asimetrie



21

Distribuţia în formă de J

Distribuţia în formă de J este o distribuţie profund asimetrică, în care frecvenţa maximă se întâlneşte în primul ori în ultimulinterval, pentru ca apoi frecvenţele să descrească spre zero



22

Distribuţia în formă de U

Distribuţia în formă de U este o distribuţie cu frecvenţemaxime în ambele intervale extreme de variaţie şi cu frecvenţăminimă în jurul intervalului central

Este firesc, aşadar, ca analiza statistică să înceapă cu vizualizarea, pe calegrafică, a tendinţei de distribuţie a valorilor în colectivitatea cercetată.



23

În cazul seriilor de distribuţie de frecvenţe pe intervale se mai

determină:

1. Centrul de interval = valoarea situată la jumătatea distanţei dintrelimitele intervalului şi este considerat reprezentativ pentru datele dininteriorul intervalului:

2inf

iii

h x x

2

supinf ii

i

x x x

, r i ,1 .

2. Frecvenţa absolută cumulată crescător a unei grupe (F ci ) =

numărul unităţilor statistice care au valoarea variabilei mai mică sauegală cu limita superioară a intervalului

i

k

k ci n F

1.



24

3. Frecvenţa relativă cumulată crescător a unei grupe (*

ci F ) = procentul

unităţilor statistice care au valoarea variabilei mai mică sau egală cu limita superioarăa grupei:

i

k k c i

n F

1

**

.

4. Frecvenţe absolute şi relative cumulate descrescător = numărul sauprocentul unităţilor statistice care au valoarea variabilei mai mare sau egală culimita inferioară a intervalului

r

ik

k di n F ,

r

ik

k di n F **

.



25

Exemplu

Frecvenţele absolute, relative şi cumulate oferă o imagine de ansamblu asupratendinţei de distribuţie a valorilor în colectivitate, asupra normalităţii, simetriei ori

asimetriei repartiţiei de frecvenţe.

Intervale de

variaţie

a vechimii înactivitate

(ani)

Număr

salariaţi

in

Ponderea

salariaţilor *%i

n

Centrul

de

interval

i x

ci F di F *ci F

*di F

0-5 5 6,25 2,5 5 80 6,25 100

5-10 8 10 7,5 13 75 16,25 93,75

10-15 17 21,25 12,5 30 67 37,5 83,75

15-20 20 25 17,5 50 50 62,5 62,5

20-25 14 17,5 22,5 64 30 80 37,5

25-30 10 12,5 27,5 74 16 92,5 20

30-35 6 7,5 32,5 80 6 100 7,5

TOTAL 80 100 - - - - -




26

Exemplu

distributia salariatilor in functie de vechimea in activitate

5

8

17

20

14

10

6

0

5

10

15

20

25

2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5

nr.ani

n r . s l a r i a t i



27

Exemplu

poligonul frecventelor

0

5

10

15

20

25

-2,5 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

nr.ani

n r . s l a r i a t i



28

Curbele cumulative ale frecvenţelor

curbele cumulative ale frecventelor

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25 30 35

Fci

Fdi



29

Măsuri statistice descriptive pentru date univariate

Pentru o variabilă numerică, folosind indicatorii statistici,

putem analiza trei proprietăţi majore:

1. Tendinţa centrală

2. Variabilitatea

3. Forma distribuţiei

Precizări • Dacă indicatorii statistici descriptivi sunt calculaţi pentru o colectivitate

generală se numesc parametri şi se notează, de regulă, cu litere greceşti .

• Indicatorii descriptivi determinaţi pentru un eşantion se numesc estimatori şi

se notează, de regulă, cu litere romane.• În cercetarea statistică, folosim, în general, eşantioane şi folosim indicatorii

descriptivi în scopul estimării parametrilor colectivităţii generale.

• Vor fi explicaţi, în continuare, indicatorii statistici descriptivi ce caracterizeazăeşantioanele, precizând simbolurile şi formulele utilizate în determinareaaceloraşi indicatori pentru colectivitatea generală.



30

Măsurarea tendinţei centrale

Indicatorii tendinţei centrale = indicatori sintetici cuajutorul cărora urmărim să exprimăm printr-o singură valoare ceea este tipic , esenţial , stabil într-o serie de date numerice.

Deoarece nivelurile individuale, înregistrate pentru fiecare unitate statistică înparte, se manifestă sub influenţa factorilor esenţiali (sistematici) şi neesenţiali(întâmplători), în procesul de prelucrare a datelor se impune eliminareainfluenţelor întâmplătoare şi exprimarea, într-o singură valoare numerică, aaspectelor tipice, reprezentative pentru seria de date.

Indicatorii tendinţei se clasifică, în funcţie de modulde determinare, în:

- indicatori medii de calcul:

media aritmetică, media armonică, media pătratică, media geometrică

- indicatori medii de poziţie:

modul, mediana



31

Măsurarea tendinţei centrale

Indicatorii fundamentali ai tendinţei centrale sunt:

1. media aritmetică ( )

2. mediana (Me)

3. modul (Mo)

Aceşti indicatori au o putere cu atât mai mare de caracterizare a tendinţeicentrale cu cât se determină pe baza unor date mai omogene.

1. Media aritmetică (average, mean, în engl.)

- este indicatorul cel mai utilizat pentru caracterizarea

tendinţei centrale a datelor numerice - reprezintă valoarea care, înlocuind toţi termenii unei serii,nu modifică suma acestora

- se calculează ca suma valorilor raportată la numărul lor.

x



32

Media aritmetică

Formula de calcul a mediei este:

- pentru eşantion - estimator

- pentru colectivitatea generală – parametru

- Dacă datele au fost sistematizate într-o serie de distribuţie de frecvenţe, în carevalorile/centrele intervalelor de variaţie apar cu frecvenţele ,

se determină media ca medie aritmetică ponderată:

n

x

x

n

i

i 1

N

x

N

i

i 1

r

i

i

r

i

ii

n

n x

x

1

1

r i xi ,1, in



33

Media aritmetică

Exemplu

Vechimea în muncă a fost înregistrată pentru cinci salariaţi ai unei firme şianume: 7, 5, 6, 7 şi 8 ani. Vechimea medie este:

6,65

33

5

87657x

ani.

M edia aritmetică pune în balanţă toate valorile individuale:

5 6 7 8

x =6 6 ani



34

Media aritmetică

Media aritmetică este afectată de orice valoare sau valori extreme.

Exemplu

Datele pentru vechimea în muncă a 10 salariaţi sunt: 5, 4, 5, 5, 6, 6, 4 şi 20,atunci vechimea medie este:

ani6,610

204...45x

0 5 10 15

= 6,6 ani 20

ani1,59

46...45x

x



35

Exemplu

Se cunoaşte distribuţia de frecvenţe a 50 de firme referitor la procentul din venituricheltuit cu cercetarea-dezvoltarea:

Grupa

Intervalul de variatie pentru

procentul din venituri

cheltuit cu cercetarea-dezvoltarea

Nr firme

in

Centrul de interval

i x ii n x Fci

1 sub 6,25 4 5,70 22,8 4

2 6,25 - 7,35 12 6,80 81,6 16

3 7,35 - 8,45 14 7,90 110,6 30

4 8,45 - 9,55 7 9,00 63 37

5 9,55 - 10,65 7 10,10 70,7 44

6 10,65 - 11,75 3 11,20 33,6 47

7 11,75 - 12,85 0 12,30 0 47

8 12,85 şi peste 3 13,40 40,2 50

Total 50 - 422,5



36

ExempluSe observă că pentru primul, respectiv ultimul interval de variaţie nu s-au precizatambele limite, ceea ce ar putea sugera că seria de date negrupate conţine valoriextreme.

Pentru a putea calcula media şi aceasta să fie neafectată de aceste valori seprocedează la fixarea limitelor inferioară, respectiv superioară pentru acesteintervale.

Limitele se determină astfel încât toate intervalele să aibă aceeaşi mărime, adică

1,10.astfel intervalele devin:5,15-6,25, respectiv 12,85-13,95.

Media va fi:.45,8

50

5,422

1

1

r

i

i

r

i

ii

n

n x

x

Rezultatul arată că procentul mediu cheltuit pentru reclamă şi publicitate de o firmădin cele 50 luate în studiu este 8,45.

După cum se observă, unele firme cheltuie un procent mai mic pentru cercetare-dezvoltare (sub 6,25), iar altele alocă un procent mai mare. Procentul alocat diferăde la o firmă la alta sub acţiunea factorilor sistematici, dar şi întâmplători, careinfluenţează într-un sens sau în altul. Dacă toţi factorii ce influenţează procentulalocat ar acţiona în mod egal şi constant asupra tuturor firmelor, atunci sumaalocată de o firmă pentru cercetare-dezvoltare ar fi de 8,45% din venituri.



37

Media aritmetică

Particularităţi în calculul mediei

1. Dacă toate nivelurile variabilei sunt egale (cu o constantă) atuncimedia este egală cu constanta, adică:

dacă x 1 = x 2 = ... = x n = a, atunci x = a.

2. Media poate fi sau nu egală cu o valoare individuală înregistrată şiare unitatea de măsură a variabilei studiate.

3. Media se poate determina şi dacă se cunoaşte doar suma valorilorşi numărul de unităţi din colectivitate (dacă se cunosc veniturile

totale ale unei familii şi numărul de persoane se poate calculavenitul mediu pe o persoană din familie).

4. Media se situează întotdeauna între valoarea minimă ( x min) şivaloarea maximă ( x max ) a variabilei



38

Media aritmetică

5. Media poate fi determinată şi prin utilizarea frecvenţelor relative:

100

1

*%

r

i

ii n x

x .

6. Dacă o serie statistică este alcătuită din m serii componente, pentru care s-au

calculat mediile parţiale m,1, j x j , atunci media întregii serii poate fi calculată

ca o medie aritmetică ponderată din mediile parţiale

m

j

j

m

j

j j

n

n x

x

1

1

unde jn reprezintă volumul seriei componente j m,1 j .

Date post:	09-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	goia-nicu
View:	217 times
Download:	0 times

Curs 2 statistica.ppt

Documents