Curs 03-04 Structuri de sprijin

Structuri de sprijin Structuri de sprijin îîn ingineria geotehnicn ingineria geotehnicăă

note de cursProf. dr. ing. Anghel Stanciu

Cursul nr. 3 - 4Dimensionarea zidurilor de sprijin Dimensionarea zidurilor de sprijin –– Abordarea clasicăAbordarea clasică

IntroducereIntroducere în EUROCOD 7 (SR EN 1997în EUROCOD 7 (SR EN 1997--1/2004)1/2004)

Dimensionarea zidurilor de sprijin Dimensionarea zidurilor de sprijin –– Abordarea modernă (NP 124Abordarea modernă (NP 124--2010)2010)

Master: Inginerie GeotehnicăMaster: Inginerie GeotehnicăMaster: Inginerie GeotehnicăMaster: Inginerie Geotehnică

Dimensionarea zidurilor de sprijin Dimensionarea zidurilor de sprijin –– Abordarea modernă (NP 124Abordarea modernă (NP 124--2010)2010)

Bibliografie:1. Stanciu A., Lungu I., Fundaţii I, Editura Tehnică, Bucureşti, 2006.

2. Răileanu P. , Boţi N. , Stanciu A., Geologie Geotehnică și Fundații, Vol III, I.P. Iaşi, 1986.

3. Silion T. , Răileanu P. , Boți N. , Cijeschi M. , Mușat V. , Grecu V. , Stanciu A. , Geotehnică – Exemple de calcul, I.P. Iaşi, 1977.

4. Răileanu P. , Mușat V. , Grecu V. , Nicuță A. , Plătică D. , Boțu N. , Sfârlos D. , Geotehnică și fundații – Îndrumător de proiectare,I. P. Iași, 1991.

5. Dorobanțu S. ; Jercan S. ; Păucă C. ; Romanescu C. ; Răcănel I. ; Șovărel E. – Drumuri, Calcul și proiectare – Editura Tehnică,București, 1980.

6. Budhu M. - Foundations and earth retaining structures – John Wiley & Sons,Inc, 2008.

7. Stanciu A. , Lungu I. , Aniculaesi M. , Bejan F. - Proiectarea geotehnică după EUROCOD 7- SR EN 1997-1 ; Principii, Lucrări desusținere – Prezentare S.R.G.F., 2011.

8. Lungu D., Ghiocel D. - Metode probabilistice în calculul construcțiilor, București , 1982

Dimensionarea zidurilor de sprijin de greutate

1. Determinarea acţiunilor: împingerea activă, împingerea pasivă, greutatea proprie a zidului de sprijin

STRUCTURI DE SPRIJIN ÎN INGINERIA GEOTEHNICĂ Prof.dr.ing.Anghel Stanciu, asist.dr.ing. Mircea Aniculăesi, drd.ing. Florin Bejan, drd.ing. Ştefan Cioară 2

Moduri de cedare pentru zidurile de sprijin

(b) Cedare prin răsturnare şipierderea capacităţii portante


Verificarea zidului de sprijin

Verificarea la lunecare

( )1.25...1.50

G PavNFs

T T

µµ ⋅ +⋅= = ≥

STRUCTURI DE SPRIJIN ÎN INGINERIA GEOTEHNICĂ Prof.dr.ing.Anghel Stanciu, asist.dr.ing. Mircea Aniculăesi, drd.ing. Florin Bejan, drd.ing. Ştefan Cioară

Verificarea la răsturnare

4

Un zid de sprijin de rezistență trebuie să aibă o rezistență adecvată la lunecare. Acesta înseamnă

că, rezistența la lunecare la baza zidului trebuie să fie mai mare decât forța laterală rezultantă ce

acționează orizontal pe talpa zidului. Factorul de stabilitate la lunecare, ( )TFS , este:

( ) =Tax

TFS

P ( ) 1,5≥TFS

unde T este rezistența la lunecare pe talpa fundației și Pax este forța laterală ce acționează la

nivelul tălpii zidului de sprijin. Rezistența la lunecare este dată de expresia T=Rz·tanφ’b pentru ESA

(tensiuni efective), și T=sw·B pentru TSA (dacă talpa fundației este așezată direct pe un strat de

pământ cu granulație fină). R este forța verticală rezultantă, φ’ reprezintă unghiul de frecarea

Verificarea la lunecare

pământ cu granulație fină). Rz este forța verticală rezultantă, φ’b reprezintă unghiul de frecarea

internă dintre baza zidului de sprijin și pământ.

1 2' ' '

2 3φ φ φ= ÷b cs cs

iar B este proiecția pe orizontală a lățimii tălpii fundației, rezultă:

[ ]( )cos sin tan '( )

cos ( )sin

θ θ φθ θ

+ + −=

+ + +w s az b ax b b

Tax b w s az b

W W P PFS

P W W P


Unde Ww reprezintă greutatea zidului de sprijin, Ws - greutatea prismului de pământ ce reazemă pe

talpa fundației, Paz şi Pax reprezintă componentele verticale și orizontale a împingerii active, bθ

reprezintă înclinarea bazei față de orizontală (θb este pozitiv dacă înclinația este în sensul acelor de

ceasornic, fig 10.19). Dacă θb=0 (baza este orizontală), atunci

( ) tan '( )

φ+ += w s az b

Tax

W W PFS

P

Pentru TSA (tensiuni totale) / cos

( )(cos ( )sin

θθ θ

⇒ =+ + +

w bT

ax b w s ax b

s BFS

P W W P

Dacă θb=0 , atunci ( ) = wT

s BFS

P T

axP

Dacă rezistența terenului de fundare în stare nedrenată este inadecvată, lățimea B a zidului de sprijin

se poate mări.


Un zid de sprijin de greutate trebuie să aibă o rezistență adecvată la răsturnare. Rezistența la

răsturnare a zidului de sprijin este satisfăcută dacă forța verticală rezultantă se găsește în treimea

mijlocie a bazei. Luând momentul față de vârful consolei anterioară a fundației, forța rezultantă

verticală față de bază se găsește la

( )cos sinθ θ θ+ +=

+ + −aw w s s ax

w s az b ax b

W x W x P zx

W W P P

Unde az reprezintă punctul de aplicație a împingerii active față de vârful consolei anterioară a

fundației. Stabilitatea zidului este satisfăcută la răsturnare dacă / 3 2 / 3≤ ≤B x B ;


( / 2 ) / 6= − ≤e B x B , unde e reprezintă excentricitatea rezultantei încărcării verticale și

cosθ θ= bx x .

Dacă 0θ =b , atunci

+ + −=

+ +aw w s s az a ax

w s az

W x W x P x P zx

W W P


Un zid de sprijin de greutate trebuie să aibă o rezervă de siguranță suficient de mare în cazul

capacității portante a terenului de sub fundație. Presiunea maximă impusă pământului la baza

zidului nu trebuie să depășească capacitatea portantă admisibilă a pământului, ceea ce se poate

scrie ca:

maxσ ≤ aq

Unde maxσ reprezintă tensiunea maximă verticală impusă și aq reprezintă capacitatea portantă a

pământului.

Verificarea capacităţii portante a terenului de fundare


2

61,2 1

1 16

N M N M N ep

A W B B BB

⋅ = ± = ± = ± ⋅ ⋅

Presiunea efectivă pe teren se determină aplicând relația:

max 1 .

.

1,2

1 2

2

ef conv

ef med conv

p p p

p pp p

= ≤

+= ≤

Indiferent de forma diagramei de presiune efectivă trebuie îndeplinite condițiile


Calculul eforturilor în secţiunea cea mai solicitată


Verificarea stabilității generale a zidului de sprijin

1,25...1,50rez

răs

MFs

M= ≥

După suprafeţe cilindrice dealunecare în jurul fundaţiei, cumetoda fâşiilor, ca la taluzuri:


Luând în considerare suprafeţeplane de cedare

Schema de calcul pentru verificarea stabilităţii generale admiţând suprafeţe plane de alunecare


min 1,50p

s sadma

PF F

P= ≥ ≈

Cedarea pe sub talpa fundației a zidului de sprijin – concluzie:

Un zid de sprijin de greutate nu trebuie să fie amplasat cu fundația deasupra suprafaței de cedare, în cazul în care

suprafață de cedare cuprinde zidul de sprijin și pământul sprijinit de acesta. Se pot folosi programe de calcul pentru

determinarea factorului de stabilitate a amplasamentului pentru determinarea suprafețelor potențiale de alunecare.

Infiltațiile

Un zid de sprijin de greutate trebuie să aibă o protecție adecvată față de infiltrațiile de apă subterană. Presiunea apei din

pori și gradientul hidraulic maxim dezvoltat în infiltrații nu trebuie să influențeze unul din cele patru criterii de stabilitate

discutate mai sus, respectiv nu trebuie să apară lichefierea, ceea ce este dată de max cri i< . De obicei,

max / ( )cr si i FS≤

Unde FS este fctorul de siguranță pentruinfiltrații și convențional este mai mare ca 3.Pentru a împiedica cedarea datorită


Pentru a împiedica cedarea datorităinfiltrațiilor, trebuie realizate drenuri(verticale/înclinate) adecvate în umpluturadin spatele zidului de sprijin pentru a disiparepede presiunea apei din pori în exces. Sepreferă în umplutură pământuri cugranulație mare datorită caracteristicilorsuperioare de drenaj în comparație cupământurile cu granulație fină.

EXEMPLUL 1

Se cunosc: - Natura pământului din spatele zidului de sprijin și din fundație, praf nisipos

- Forma și dimensiunile zidului de sprijin au fost alese inițial pe baza cataloagelor tip

3 221 , c=10kPa, =20kN/m , 14 , 300 .

3 ap kPaϕ γ δ ϕ= = = =� �


EXEMPLUL 1

Stabilirea solicitărilor- Greutatea totală a zidului de sprijin (pe 1m lungime):

1

2

3

4

1,00 4,50 1,00 24 108

14,50 1,50 1,00 24 81

23,30 0,50 1,00 24 39,6

1 2,652,65 1,00 24 28,09

2 32,65

(3,50 ) 1,50 1,00 24 157,80

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ ⋅ =

G kN

G kN

G kN

G kN

G kN 10

∑5

6

27

2,65(3,50 ) 1,50 1,00 24 157,80

31 3,50

3,50 1,00 24 492 3

10,30 1,00 24

2

= − ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ ⋅ =

G kN

G kN

G

8

9

10

1,08

1 0,50,5 1,00 24 1

2 31

0,80 0,80 18 1,00 19 1,9720,80 4,50 1,00 19 68, 4

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

�

kN

G kN

G tg kN

G kN

10

1

535,95ii

G G kN=

= =∑


EXEMPLUL 1


EXEMPLUL 1

Dreapta suport a greutății G se găsește față de punctul A la distanța xG care se determină cu relația:

10

110

1

i ii

G

ii

G xx

G

=

=

⋅=∑

∑10

1

1 2,65108 3,2 81 1,75 39,6 2,65 28,09( 3,5) 157,80 1,75

3 3ii

G=

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +∑

2 0,3 2 0,5 249 3,5 1,08 1(1 ) 1,97(3,7 0,8) 68,4 4,1 1379,61

3 3 3 3 3kN m+ ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅

1379,612,57

535,94Gx m= =


EXEMPLUL 1

•Împingerea pământului pe paramentul abcd (ipoteza lui Coulomb)zona 1 ( )

1 1 1 2 108 81 189G G G kN− = + = + =4,5 2 4,5

108( 0,5) 81 2973 3 3 1,57 189 189I IGx m

−

+ + ⋅ ⋅= = =

1 90θ = �

•Greutatea zidului de sprijin până la nivelul secțiunii I-I

(față de punctul B)

sin sin90θ �

10,645aK =

1 1

1 1

1 1

1 1

1 c 1

2 21

11

sin sin9018,5 26 0,645 62,93

cos cos141

0,5 18,5 5,26 0,645 1602

5,261,75

3 3

cos 160,61cos14 155,84

sin 160,61sin14 38,86

a a

a a

Ha a

Va a

P h K kPa

P h K kN

hz m

P P kN

P P kN

θγδ

γ

δ

δ

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = =

= = =

= = =

�

�

�

�


EXEMPLUL 1

zona 2 ( )2 108θ = �

2

2 2

1 1 22

2 2

2 c 2

0,471

sin 5,26 18 sin1086,18

sin( ) 18 sin(108 18 )

sin sin10818,6 18 0,471 50,82

cos cos14

a

ech

a ech a

K

hh m

P h K kPa

γ θγ θ β

θγδ

=

⋅= ⋅ = ⋅ =+ +

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

�

� �

�

�

2 d 2 2

sin sin108( ) 18(2,65 6,18) 0,471 72,83a ech aP h h K kPa

θγδ

= ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ =�

�2 2

2

2 1

2 2

2 2

d 2 2

2 22

2

c d 22

c d

( ) 18(2,65 6,18) 0,471 72,83cos cos14

21 2,6 18(1 ) 0,5 18 2,65 0,471(1 ) 168,50

2 2,65

2 2 50,82 70,83 2

3 50,82 70,83

a ech a

echa a

a a

a a

P h h K kPa

hP h K kN

h

P P hz

P P

γδ

γ

= ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ =

⋅= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + =

+ ⋅ += ⋅ = ⋅+ +

�

2 2

2 2

2

2

,651,25

3

sin(90 ) 168,80sin(90 14 108 ) 11,75

cos(90 ) 168,80cos(90 14 108 ) 168,09

Va a

Ha a

m

P P kN

P P kN

δ θ

δ θ

=

= + − = + − = −

= + − = + − =

� � � �

� � � �


EXEMPLUL 1

- Împingerea pământului pe paramentul ab

1

1

1

0,645

sin sin 9018 4,76 0,645 57,07

cos cos14

a

ab ab a

K

P h K kPaθγδ

=

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =�

�

1

2 210,5 18 4,76 0,645 131,52

24,76

1,583 3

a ab a

ab

P h K kN

hz m

γ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = =

1

1

1,583 3

131,52sin14 31,85

131,52cos14 127,75

Va

Ha

z m

P kN

P kN

= = =

= =

= =

�

�


EXEMPLUL 1


1

1 2 2

21 2

4,50 535,94 2,57 38,86 4,50 1552,24

3,5( 1,50) (3,5 ) ( )

3 3155,84(1,75 1,50) 11,75(3,5 1,25 / 3) 168,09(1,25 3,5 / 3) 566,51

Vs G a

H V Hr a a a

M G x P kN m

zM P z P P z

kNm

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

= + + + + − =

= + + + + − =

1552,24= = > = ÷

1. Verificarea la răsturnare (față de punctul A)

1552,242,74 1,3 1,5

566,51r sF F= = > = ÷

1 2 155,84 168,09 323,93H H Ha aR P P kN= + = + =

1 2 535,94 38,86 11,75 563,05V V Va aR G P P kN= + + = + − =

2 2 2 2323,93 563,05 649,58H VR R R kN= + = + =

2. Verificarea la alunecare


R - rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra zidului de sprijin.Se determină componentele normale și respectiv paralele cu planul tălpii fundației a

rezultantelor încărcărilor și

EXEMPLUL 1

HR VR

1 1cos( ) sin( ) 563,05 0,948 323,93 0,316 636,13

3 3V HN R arctg R arctg kN= + = ⋅ + ⋅ =

1 1sin( ) cos( ) 563,05 0,316 323,93 0,948 129,16

3 3V HT R arctg R arctg kN= − + = − ⋅ + ⋅ =

017 636,13N tg N tgµ δ⋅ ⋅ ⋅017 636,131,505 1,3 1,5

129,16sl s

N tg N tgF F

T T

µ δ⋅ ⋅ ⋅= = = = > = ÷


EXEMPLUL 1

0 193,110,30

636,13

Me m

N= = =

20 1 2

3,5 3,5 2,65 3,5( )

2 2 3 2 3

3,5 3,5 2,65 3,5 1,25535,94 (2,57 ) 38,86 11,75

2 2 3 2 3

439,47 102,33 25,46 516,34

V V VG a a

zM G x P P

kN m

= − ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + =

= − ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + =

= − − + = − ⋅

636,13N

1,2

6 636,13 6 0,301 1

3,69 3,69

N ep

B B

⋅ ⋅ = ⋅ ± = ⋅ ±

1 256,50 300ap kPa p kPa= < =

2 88,30 300ap kPa p kPa= < =


EXEMPLUL 1

2157,35 45 / 4500kPa R daN cm kPaσ = < = =

0

0

1,21 1

189 31,85 220,85

180(1,57 1,25) 31,85 1,73 127,75 1,58 86,26

0,39

220,85 6 0,39(1 ) (1 )

2,5 2,5

VI I aN G P kN

M kN m

Me m

NN G e

b bσ

−= + = + == − − − ⋅ + ⋅ = ⋅

= =

⋅ ⋅= ± = ±

3. Verificarea presiunilor în secțiunea I-I

0 0 0H VM M M= +

0 1 1 2 2

1 3,5 1 3,51,5 597,39 112,06 709,45

2 3 2 3H H H

a aM P z P z kNm = ⋅ + + ⋅ + ⋅ − ⋅ = + =

21

22

157,35 45 / 4500

19,33 45 / 4500

c

c

kPa R daN cm kPa

kPa R daN cm kPa

σσ

= < = =

= < = =

4. Stabilirea presiunilor pe teren la nivelul tălpii fundației


EXEMPLUL 2

Se cunosc: - Natura pământului din rambleu caracterizat prin :

- Natura terenului de fundare caracterizat :

- Platforma din spatele zidului de sprijin poartă o suprasarcină de 23,4kN/m corespunzătoare convoiului A30, clasa E de încărcare- Forma și dimensiunile zidului de sprijin au fost alese inițial pe baza cataloagelor tip

330 , c=0kPa, =18kN/m , 20ϕ γ δ= =� �

322 ; c=13 kPa; =19 kN/m ; 13 ; 0,35; 200ap kPaϕ γ δ µ= = = =� �


EXEMPLUL 2


EXEMPLUL 2

Stabilirea solicitărilor- Greutatea totală a zidului de sprijin (pe 1m lungime):

1

2

3

4

5

0, 60 0, 50 1, 00 24 7, 20

10, 50 0, 50 1, 00 24 3, 00

21 3, 70

3, 70 1, 00 24 32,862 51,10 3, 20 1, 00 24 84, 48

2, 59 0, 50 1, 00 24 31, 08

G kN

G kN

G kN

G kN

G kN

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ = 11

376,77G G kN= =∑5

6

7

10,10 0, 50 1, 00 24 0, 60

21

0,80 2, 36 1, 00 24 22

G kN

G

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

8

9

10

11

2, 66

2,80 1,80 1, 00 24 120, 96

1 2,802,80 1, 00 24 18,82

2 51

0, 50 0,50 1, 00 19 2, 3820, 75 3, 70 1, 00 19 52, 73

kN

G kN

G kN

G kN

G kN

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

1

376,77ii

G G kN=

= =∑


EXEMPLUL 2


EXEMPLUL 2

Dreapta suport a greutății G se găsește față de punctul A la distanța xG care se determină cu relația:

11

111

1

i ii

G

ii

G xx

G

=

=

⋅=∑

∑

11

∑11

1

7,20 2,05 3,00 2,516 32,86 1,50 84,48 2,30 31,082,305 0,60 0,976

22,66 3,06 120,96 1,40 18,82 1,866 2,38 2,68 52,73 3,225 788,36

788,362,09

370,77

i ii

G

G x

kN m

x m

=

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

= =

∑


EXEMPLUL 2

•Împingerea pământului pe paramentul abcdzona 1 (θ1=90o ;ϕ1=30o; δ1=2ϕ1/3 =20o; β=0; Ka1=0.297)

•Greutatea zidului de sprijin până la nivelul secțiunii I-I

(față de punctul B)

1 2 3 4 10 7,20 3,00 32,86 84,48 2,38 129,92

7,20 1,04 3,00 1,506 32,86 0,49 84,48 1,29 2,38 1,67 141,061,08

129,92 129,92I I

I I

G

G G G G G G kN

x m−

− = + + + + = + + + + =⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

( )

11

1 1

11 1 1 1

1

11 1 1 1 1

1

1 1 1

sin 23,4 sin901,3

sin( ) 18 sin(90 0)

sin sin 9018 1,30 0,297 7,39

cos cos 20

sin sin9018 (4,20 1,30) 0,297 31,29

cos cos 20

1

2

o

ech o

o

aa ech a o

o

ac ech a o

a

qh m

p h K kPa

p h h K kPa

P h

θγ θ β

θγδ

θγδ

γ

= ⋅ = ⋅ =+ +

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

= 2 11

1

2 1 2 1,301 18 4,20 20,297 1 76,34

2 4,20ech

a

hK kN

h

⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =


EXEMPLUL 2

zona 2 (θ=109o ;ϕ2=22o; δ2=13o; β=0; Ka2=0.293)

1

1 1

1 1

2 7,39 31,29 4,201,67

7,39 31,29 3

cos 76,34 cos 20

sin 76,34 sin 20

H oa a

V oa a

z m

P P

P P

δδ

⋅ += ⋅ =+

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = ⋅

1 1 22

sin 23,4 18 4,2 sin1095,21

sin( ) 19 sin(109 0)

o

ech o

q hh m

γ θγ θ β

+ ⋅ + ⋅= ⋅ = ⋅ =+ +

( )

22 2

22 2 2 2

2

22 2 2 2 2

2

sin( ) 19 sin(109 0)

sin sin10919 5,21 0,293 28,14

cos cos13

sin sin10919 (2,36 5,21) 0,293

cos cos13

ech o

o

ac ech a o

o

ad ech a o

p h K kPa

p h h K

γ θ βθγδ

θγδ

+ +

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

2 222 2 2 2

2

40,89

21 1 2 5,211 19 2,36 0,293 1 83,95

2 2 2,36ech

a a

kPa

hP h K kN

hγ

=

⋅ ⋅ = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =


EXEMPLUL 2

- Împingerea pământului pe paramentul ab

2

2 2 2 2

2

2,28 14 40,89 2,361,11

28,14 40,89 3

cos(90 ) 83,95cos(90 13 109 ) 83,49

83,95 sin(90 13 109 ) 8,77

H o o o oa a

V o o oa

z m

P P kN

P kN

δ θ

⋅ += ⋅ =+

= ⋅ + − = + − =

= ⋅ + − = −

( )' 1sin sin 9018 (1,30 3.70) 0,297 28.44

o

p h h K kPaθγ= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =( )' 1

1 1 11

'2 211 1 1

1

2

sin sin 9018 (1,30 3.70) 0,297 28.44

cos cos 20

21 1 2 1,301 18 3,70 0,297 1 62,31

2 2 2,70

2 7,39 28,44 3,701,49

7,39 28,44 3

cos 20

ab ech a o

echa a

H oa a

p h h K kPa

hP h K kN

h

z m

P P

θγδ

γ

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

⋅ += ⋅ =+

= ⋅ = 62,31 0,939 58,55

sin 20 62,31 0,342 21,31V oa a

kN

P P kN

⋅ =

= ⋅ = ⋅ =


EXEMPLUL 2


1. Verificarea eforturilor in secțiunea I-I

129,92 21,31 151,23

1,84 1,84129,92 1,08 21,31 0,75 58,55

2 2

20,79 35,59 87,24 30,86

VI I a

o

N G P kN

M

kN m

−= + = + =

= − − − + +

= − − + = ⋅

121

1

30,860,20

151,23

6 151,23 60,201 1

1,84 1,84

135,8

o

I

c

Me m

N

N e

b b

kPa R

σ

σ

= = =

⋅ = ± = ±

= < 2

2

45 /

28.59 c

daN cm

kPa Rσ=

= <


R - rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra zidului de sprijin.Se determină componentele normale și respectiv paralele cu planul tălpii fundației a

rezultantelor încărcărilor și

EXEMPLUL 2

HR VR

2. Verificarea la alunecare

1 2

1 2

71,74 83,49 155,23

376,77 26,11 8,77 394,11

1 1cos sin 394,11 0,980 155,23 0,196 416,67

= + = + =

= + − = + − =

= + = ⋅ + ⋅ =

Ha a

Va a

V H

R P P kN

R G P P kN

N R arctg R arctg kNcos sin 394,11 0,980 155,23 0,196 416,675 5

1 1sin cos 394,11 0,196 1

5 5

= + = ⋅ + ⋅ =

= − + = − ⋅ +

V H

V H

N R arctg R arctg kN

T R arctg R arctg 55,23 0,980 74,88

0,35 416,671,94 1,3 1,5

74,88

µ

⋅ =

⋅ ⋅= = = > = ÷s

kN

NFs n

T


EXEMPLUL 2

3. Stabilirea presiunilor pe teren la nivelul tălpii fundației

12

71,74 3,75 26,11 2,20 83,48 0,83 8,77 1,78 376,77 0,69

269,02 57,44 69,29 15,61 259,97 36,51

36,510,09

416,67

6 416,67 60,901 1

2,85 2,85

o

o

M

kN m

Me m

N

N ep

b b

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ == − + + − = ⋅

= = =

⋅ = ± = ±

12

1

2

1 12,85 2,85

173,9 200

118.5a

pb b

p kPa p kPa

p kP

= ± = ±

= < == 200aa p kPa< =


Se cere dimensionarea zidului de sprijin de rambleu din figura de mai jos, cunoscându-se: 024φ = , 0=c , 02 / 3 16δ φ= = , 318 /γ = kN m , 24 /=convp daN cm , 1,00=eh m , 324 /γ =b kN m ,

0,35=f .

Împingerea pământului este determinată grafic. Schema de încărcare a zidului și diagramele de

presiuni sunt:

Pentru paramentul BC:

21 12 cos87 /

cos

αδ

⋅ ⋅ ⋅= =⋅a

cC

p Pp kN m

h

EXEMPLUL 3

cosδ⋅Ch

223,1 /= =BB C

C

hp p kN m

h

Pentru paramentul DE:

22 2

22 2

2 cos86,9 /

cos

2 cos61,8 /

cos

αδαδ

= =

= =

aD

D

aE

C

Pp kN m

h

Pp kN m

h

36STRUCTURI DE SPRIJIN ÎN INGINERIA GEOTEHNICĂ

Prof.dr.ing.Anghel Stanciu, asist.dr.ing. Mircea Aniculăesi, drd.ing. Florin Bejan, drd.ing. Ştefan Cioară

EXEMPLUL 3



EXEMPLUL 3



Față de punctul A

17

16053,7 /= =∑sA i iAM G x kNm m

2

11842,6 /= =∑rA ai iAM P d kNm m

EXEMPLUL 3


6053,73,27 1,5

1842,6= = >srAF

Față de punctul M (verificarea stabilității la răsturnare a elevației:

12

13216,9 /= =∑sM i iMM G x kNm m

1 1 /=rM a MM P d Nm m

3216,911,05 1,5

291,2= = >srMF



Rezultă un coeficient de siguranță la lunecare pe talpă:

Verificarea la lunecare pe talpă

EXEMPLUL 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

17

0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 2 01

17

0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 2 01

cos sin cos sin cos cos sin cos sin

1702,3 /

cos cos cos cos cos sin sin sin sin

466,9 /

α α δ α δ α δ α δ

α α δ α δ α δ α δ

= + + + + + + + −

=

= + + + − − + − −

=

∑

∑

i a a a a a a a a

i a a a a a a a a

N G P P P P

N kN m

T G P P P P

T kN m

Rezultă un coeficient de siguranță la lunecare pe talpă:

0,35 1702,31,33 1,3

446,9

⋅= = >slF



EXEMPLUL 3

Verificarea eforturilor

17 2

0 0 0 01 1

2max

2min

2m

372,8 /0,219

1702,3 /

4,02 / 1,2

2,42 / 0

3,22 /

= + =⇒ = =

=

= <

= >

= <

∑ ∑i i ai i

conv

ed conv

M G x P d kNm m Me m

NN kN m

p daN cm p

p daN cm

p daN cm p

La rostul elevaţie-fundaţie

( ) ( )12

1 0 1 1 0 2 1 01

12

01 01 1 1011

011

1

21 11max,min 1max

1 1

cos sin cos cos sin 1148,4 /

78,48 /

0,068

61 2,38 /

α αα α δ α δ= + + + + =

= + =

= =

= ± ⇒ = <

∑

∑

os

i a a

i i a

cbeton

N G P P kN m

M G x P d kNm m

Me m

N

N ep p daN cm R

B B

La rostul elevaţie-fundaţie



Dimensionarea zidurilor din beton armat

În acest caz pe lângă calculele de proiectare specificezidurilor din beton simplu este necesară dimensionareaarmăturii necesară asigurării rezistenţei proprii a ziduluide sprijin ca element de beton armat zidului de sprijin.


EXEMPLUL 4

Să se proiecteze un zid de sprijin de rambleu, din elemente prefabricate din beton armat cunoscând:- înălţimea rambleului hr=2,40 m;- natura pământului din rambleu şi terenul de fundare caracterizat prin : γ=18,2 kN/m3, φ=31°, μ=0,5, pa=400kPa- platforma din spatele zidului poartă o suprasarcină q=23,4 kN/m corespunzătoare convoiului A30;- nivelul posibil al infiltraţiilor se poate afla deasupra tălpii elementului prefabricat.

Se vor folosi elemente prefabricate în unghi, cu lungimea de 1m, conform figurii, având prevăzute în spatelelor umpluturi drenate în vederea evacuării apelor de infiltraţie


EXEMPLUL 4


EXEMPLUL 4

Greutatea totală a zidului

STABILIREA SOLICITĂRILOR

1

2

3

4

2,62 0,25 1,00 24 15,72

10,10 2,62 1,00 24 3,14

2

10,50 0,08 1,00 24 0,48

2

10,80 0,08 1,00 24 0,77

2

0,08 0,35 1,00 24 0,67

G kN

G kN

G kN

G kN

G kN

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

11

111

1

15,72 0,73 3,14 0,55 0,48 0,33 0,77 1,12 0,67 0,67

98,62

11,88 0,82 0,96 1,55 1,20 1,53 50,30 1,25 3,60 1,38 9,90 0,25

98,62

98,100,99

i ii

G

ii

G x

x

G

m

=

=

⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+

= =

∑

∑

Centrul de greutate

5

6

7

0,08 0,35 1,00 24 0,67

1,65 0,30 1,00 24 11,88

0,20 0,20 1,00 24

G kN

G kN

G

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

8

9

10

11

0,96

0,20 0,25 1,00 24 1,20

0,80 2,62 1,00 24 50,30

10,50 0,08 1,00 18 3,60

2

0,50 1,10 1,00 18 9,90

kN

G kN

G kN

G kN

G kN

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ =11

1

98.62 ii

G G kN=

= =∑

98,100,99

98,62m= =


EXEMPLUL 4

Împingerea pământului pe paramentul AC

STABILIREA SOLICITĂRILOR

( )

( )

( )

0,286

1 sin 23,4 0,50 18,201,785

sin 18,2

sin

sin

sin9018,2 3,20 1,785 0,286

sin20

a

ech

ac ech a

ac

K

q hh m

P h h K

P

γ θγ θ β

θγδ

=

+ ⋅ + ⋅= ⋅ = =+

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

�

�

VERIFICAREA LA RĂSTURNARE

( )

s

90,62 0,99 19,28 1,65 129,44

52,98 1,35 0,20 60,93

129,442,12 > n 1,30 1,50

60,93

s

r

s

M kN m

M kN m

n

= ⋅ + ⋅ = ⋅

= ⋅ − = ⋅

= = = −

VERIFICAREA LA ALUNECARE

98,62 12,98 117,9 avN G P kN= + = + =( )

2

2

18,2 3,20 1,785 0,286sin20

211

2

1 2 1,78518,2 3,20 0,286 1

2 3,20

ac

echa a

a

P

hP h K

h

P

γ

= ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

�

56,38

2 9,89 27,61 3,201,35

9,89 27,61 3

sin 56,38 sin20 19,28

cos 56,38 cos20 52,98

av a

ah a

z m

P P kN

P P kN

δ

δ

=

⋅ += ⋅ =+

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

�

�

98,62 12,98 117,9

52,98

117,9 0,51,11 1,3 1,5

52,98

av

ah

N G P kN

T P kN

NFs Fs

T

µ

= + = + =

= =

⋅ ⋅= = = < = −


EXEMPLUL 4

2 2

sin sin9018,2 1,10 1 21,30

cos cos20

1 118,20 1.10 1 11,01

2 2

11,10 0,36

3

pD ED p

ED p

P h K kPa

Pp h K kN

z m

θγδ

γ

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ =

�

�

LUREA ÎN CONSIDERARE A REZISTENŢEI PASIVE A PĂMÂNTULUI DIN FAŢA ZIDULUI DE

SPRIJIN KP=1STABILIREA PRESIUNILOR PE TEREN

( )( )

98,62 0,99 0,825 19,28 0,825

52,98 1,35 0,20 28,75

117,9

0,24

e

e

M

kNm

M kNm

Me m

M

= − ⋅ − − ⋅+ ⋅ − =

=

⇒ = =

sin 11,01 sin20 3,76

cos 11,01 cos20 10,34

' 117,9 3,76 11

pv p

ph p

pv

P P kN

P P kN

N N P

δ

δ

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= − = − =

�

�

4,14

' 52,98 10,34 42,59

' 114,14 0,51,34 1,3 1,5

' 42,59

ph

kN

T T P

NFs Fs

T

µ

= − = − =

⋅ ⋅= = = > = −

1

1,2

2

133,81 6 117,9 6 0,241 1

1,65 1,65 9,09 ac

p kPaN ep p

B B p kPa

=⋅ = ± = ± ≤ =


pac – presiunea acceptabilă pe talpa fundaţiei (presiunea convenţională, presiunea plastică –STAS 3300-2/85)

EXEMPLUL 4

Se calculează ca o consolă verticală încastrată în fundaţie, supusă la presiunea laterală a împingerii pământului.

( ) ( )

2 21

sin sin9018,2 1,785 2,50 0,286 23,73

sin sin20

21 1 2 1,7851 18 2,50 0,286 1 39,49

2 2 2,50

aB ech AB a

echa AB a

AB

P h h K kPa

hP h K kPa

h

θδδ

γ

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + =

CALCULUL ZIDULUI DE FRONT

ÎMPINGEREA ACTIVĂ PE PARAMENTUL AB

1 39,492 9,89 23,72 2,501 1,08

9,89 23,72 3

AB

VaP

z m

= ⋅⋅ += ⋅ =+

1

sin20 13,50

39,49 cos20 37,11 Ha

kN

P kN

=

= ⋅ =

�

�

( )

1 2

1

1 1

15,72 3,14 18,86

37,11

1 0,12 0,925 23,14

Ha

H Va a a a

N G G kN

T P kN

M P z P kNm−

= + = + =

= =

= ⋅ + − ⋅ =

SECŢIUNEA a-a

20 0

2 20

Aria de armătură

2,26 % 0,15

4,8 7 10 / ; 5,49

a a

a aef

MB

b h R

A b h cm m A cm

µ

µ φ

−= = ⇒ =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⇒ =


EXEMPLUL 4

CALCULUL TĂLPII DE FUNDAŢIE

a)a) CCălcâiulălcâiul se calculează cu o consolă încastrată la faţa interioară a zodului de front (b-d), supusă lapresiunea dirijată în sus, diminuată cu greutatea proprie şi greutatea drenului de deasupra.Extremitatea călcâiului este supusă împingerii pământului pe înălţimea BC

1

16,89 sin20 5,7756,38 39,49 16,89

16,89 cos20 15,87

2 23,73 27,16 0,70

BC

BC

BC

Ha

a a aVa

PP P P

P

= ⋅ == − = − = = ⋅ =

⋅ +

�

�

6 7 8 9 10 1

2 23,73 27,16 0,700,34

23,73 27,16 3

20,40 0,70 0,675 0,40 0,8 0,80 0,11 19,34

3 BC BC

BC

V Vb d a a p

z

M G G G G G P P M−

⋅ += ⋅ =+

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − =

4

2

2 2

Armarea: OB37 Beton: C20/25

19,34 101,578 % 0,1

100 35

0,10100 35 3,5 5 10 / 3,92

100a aef

kNm

B

A cm m A cm

µ

φ

⋅= = ⇒ =⋅

= ⋅ ⋅ = ⇒ ⇒ =


EXEMPLUL 4

CALCULUL TĂLPII DE FUNDAŢIE

b)b) RebordulRebordul – se calculează ca o consolă încastrată pe faţa exterioară a zidului de front (a-c) şi estesupus la o presiune de jos în sus (distribuţia trapezoidală a reacţiunii) micşorată cu greutatearebordului şi a pământului de deasupra.

6 3 11 20,50

0,25 0,25 16,42 3

: 37, 250

a c pM G G G M kNm

Armarea OB B

− = ⋅ + ⋅ + ⋅ − = −

4

2

2 2a ef

16,42 101,34 % 0,10

100 35

0,10100 35 3,5 5 10 / 3,92

100a

B

A cm m A cm

µ

φ

⋅= = ⇒ =⋅

= ⋅ ⋅ = ⇒ ⇒ =


EXEMPLUL 4


REACŢIE TIPICĂ LA “APARENTA”

COMPLEXITATE A EUROCODULUI 7

Proiectarea sProiectarea structuritructurilorlor de sprijin de sprijin îîn ingineria geotehnicn ingineria geotehnică după ă după EUROCOD 7EUROCOD 7

SR EN 1997


Bibliografie: 1. Prof. dr. ing. A. Stanciu;Conf. dr. ing. I. Lungu;

dr. ing. M. Aniculaesi; drd. ing. F. Bejan -PROIECTAREA GEOTEHNICĂ DUPĂ EUROCOD 7 - SR EN 1997-1 ; Principii, Lucrări de susținere – Prezentare S.R.G.F., 2011

52











METODA REZISTENȚELOR ADMISIBILE

PRESCRIPȚII ȘI NORME

1906-1920

1880

Lemn

Metal

IPOTEZE FUNDAMENTALE

Beton armat

M.R.A. a fost elaborată în a doua jumătatea a sec. XIX (1852) de: Navier și D.I. Juravski

1

2 IPOTEZA SECȚIUNILOR PLANE (secțiunile plane înainte de deformare rămân plane și după deformare)

MATERIALELE SE COMPORTĂ ELASTIC ÎN TIMPUL EXPLOATĂRII



REZISTENȚELE ADMISIBILE 238 : 0,5 1250a c

daNOL

cmσ σ= ⋅ =EFORTURILE EFECTIVE

<=>

REZISTENȚA LA RUPERECOEFICIENT DE SIGURANȚĂ (UNIC)

Metoda rezistențelor admisibile (MRA) a fost folosită la noi până în anul 1950. De atunci, în domeniulconstrucțiilor civile și industriale s-a trecut la utilizarea metodei de calcul la rupere. Totuși, calculul podurilor deșosea și cale ferată, precum și cel al construcțiilor hidrotehnice de beton simplu și armat a continuat să se facăpe baza principiilor metodei rezistențelor admisibile .

2rămân plane și după deformare)

( )σ

( )aσ

aσ =

a)Pentru metal – M.R.A. =>

Ca limită a exploatării normale și garantarea securității construcției


lipsa de justificare științifică a coeficientului de siguranță;neglijarea proprietăților plastice ale materialelor prin calculul eforturilorunitare numai în stadiul elastic;

OBSERVATII :

limita de curgere

coeficient de siguranta implicitcc

ass cc

σσσ−

= −

b)Pentru beton/beton armat – cedarea se datorează nu numai depășirii stadiului elastic ci și atingerii stadiului de rupere (stadiul III)

σ σ

CRITICI:



bσ

a

n

σ a

n

σ a

b

En

E=

Stadiul I Stadiul II Stadiul III

bσ

x


Prin coeficient de asigurare unic, cu valoare neexplicitată, se urmărește

Să se acopere toate abaterile de la ipotezele medii sau idealela stabilirea : solicitărilor ( eforturile unitare )

Fixarea REZISTENȚELOR ADMISIBILE

- Variația rezistențelor materialelor în raport de calitate- Micile erori în executarea elementelor



- Micile erori în executarea elementelor- Depășirea încărcărilor prevăzute în norme- Schimbarea condițiilor de exploatare- Lipsa de concordanță a ipotezelor de calcul cu comportareareală a elementelor de construcții

as

R

cσ =

cs – coeficient de siguranță implicit (unic) în locul unei funcții de mai multe variabile

METODA DE CALCUL LA RUPERERenunță la principiul specific M.R.A.

EFORTURILE UNITARE EFECTIVE REZISTENȚELE ADMISIBILE<=>

σ = N

A

MRA

N

Nr

MCRΔL

L

N

1 1



ε ∆= L

L

σr

σc

σσ = curg

admsc

implicit

ΔL

Nr

Nc

= curgcap

s

NN

c

explicit

Curba caracteristică a oțelului

SECȚIUNEA 1-1

N

(A)

c a pN σ a d m

în tabele

METODA DE CALCUL LA RUPERE

RESTRICȚIA

≤ curgere

s

NS

c σ σ≤ef ad

>=<

SOLICITAREASOLICITAREACAPACITATEA

PORTANTĂCAPACITATEA

PORTANTĂ

COEFICIENTUL DE SIGURANȚĂ

(explicit)

COEFICIENTUL DE SIGURANȚĂ

(explicit)

Ncap

Mcap

Tcap

N/A – compresiune

N/A ±M/W – compresiune excentrică

T/A – forfecare

cs - implicit

compresiune Ncompresiune N

încovoiere M

RESTRICȚIA



ObservațieCoeficientul de siguranță explicit (cs), dat în tabele trebuie să acopere:

- DEPĂȘIREA ÎNCĂRCĂRILOR / SUPRAÎNCĂRCĂRI- VARIABILITATEA REZISTENȚELOR MATERIALELOR

(explicit)(explicit)

forfecare T

încovoiere M

forfecare T







Să se analizeze în repartiția normală rezistențele de rupere la compresiune ale unui beton dacă rezultatele încărcărilor la compresiune pe 171 cuburi cu latura 20 cm la 28 zile de la turnare (marca) sunt cele din tabelul și figura următoare.Datele încercărilor sunt grupate pe 14 intervale de mărimea Δ=15 daN/cm2. Frecvențele absolute, relative și relative cumulate ale datelor din fiecare interval sunt consemnate în coloanele 4,5 și 6 din tabel.

EXEMPLUL 1



p X Xx m K σ= + ⋅Factorul K pentru calculul fractililor

definiți prin probabilitatea ( )pP X x p≤ =

px



2/21( )

2y

Yf y eπ

−= ⋅⋅

Valorile densității de repartițienormală (Gauss)

( ) ( )Y Yf y f y= −Observație :

68

2/21( )

2

yy

YF y e dyπ

−

−∞

= ⋅⋅ ∫

Valorile funcției de repartițienormală (Gauss)

( ) 1 ( )Y YF y F y− = −Observație :

69

Media, abaterea standard și coeficientul de variație ale rezistențelor la compresiune ale betonului

EXEMPLUL 1

70

Media, abaterea standard și coeficientul de variație ale rezistențelor la compresiune ale betonului se calculează cu formulele următoare :

2

171

1 212

1712

1 2

270,22 /171 1

( )2

( )1

36,27 / ( ) ( )171 2

0,134

i xij

Xjx

y

Y

j xj

X Y Y

Xx

x

x myx

m daN cm

f y e

x m

daN cm F y f y dy

Vm

σ

π

σπ

σ

=

−

∞=

−∞

− == =

⇒ = ⋅ −

= = = ⋅

= =

∑

∑∫


Ordonatele funcției au fost calculate direct iar ordonatele funcției s-au obținut din tabel.

În virtutea condiției de echiprobabilitate prin care se face schimbarea de variabile și coordonatele

Ordonatele densității de repartiție și funcției de repartiție ale variabilei adimensionale normalrepartizată sunt determinate în tabel, coloanele 8 și 9, pentru abscisele din coloana 7 atabelului.

x

X

x my

σ−=

EXEMPLUL 1

( )Yf y ( )YF y

21

21

( )2

y

Yf y eπ

−= ⋅

71

În virtutea condiției de echiprobabilitate prin care se face schimbarea de variabile și coordonatele funcției de repartiție a rezistenței aleatoare X sunt transcrise în coloana 11 a tabelului .

( ) ( )X YF x F y=

21

21( )

2

X

X

x m

X

X

f x e σ

π σ

−− = ⋅

⋅

2

21122

1 1( )

2 2

X

X

x my

Yf y e e σ

π π

−− − = ⋅ = ⋅

Ordonatele densității de repartiție normală a variabilei X se determină din ordonatele densității de repartiție normală a variabilei Y, coloana 8 din tabel.


EXEMPLUL 1

În figură sunt comparate frecvențele relative ale valorilor variabilei situate în intervalul degrupare i având valoarea centrală xi, pe de o parte din histograma frecvențelor relativeadimensionale fi și pe de altă parte din densitatea de repartiție normală dimensională .În acest scop ordonatele densității dimensionale în punctele trebuie înmulțitecu mărimea Δ a intervalului de grupare întrucât

( )2 2i i X iP x X x f x∆ ∆ − < < + = ∆

Fractilii xp ai rezistenței la compresiune pe cub se calculează cu formula :

( )Xf x( )Xf x , ( )i X ix f x

72

Fractilii xp ai rezistenței la compresiune pe cub se calculează cu formula :

20,001

20,00135

20,01

20,05

20,10

20,150

3.090 158,15 /

3 161,41 /

2,326 185.85 /

2 197,68 /

1,281 223,76 /

223,95 /

X X

X X

X X

X X

X X

X X

x m daN cm

x m daN cm

x m daN cm

x m daN cm

x m daN cm

x m daN cm

σ

σ

σ

σ

σ

σ

= − ⋅ =

= − ⋅ =

= − ⋅ =

= − ⋅ =

= − ⋅ =

= − =

(1 )p X X X Xx m K m K Vσ= + ⋅ = ⋅ + ⋅


EXEMPLUL 1

Dacă marca se definește cu probabilitatea 5% de a exista valori mai mici decât ea, atunci valoarea mărcii caracteristice a betonului analizat este:

Valoarea medie a rezistențelor la compresiune ale betonului este cu circa 37% mai mare decât marca caracteristică .

2 20,05 197,68 / 200 /x daN cm daN cm= ≈

2270,22 /Xm daN cm=0,05x

Omogenitatea rezistențelor la compresiune ale betonului este bună fiind caracterizată prin coeficientul de variație

73

13,4%xV =


























ZIDURI DE SPRIJIN - STĂRI LIMITĂ ULTIME STĂRI LIMITĂ ULTIME –– S.L.U.S.L.U.

răsturnare lunecare capacitate portantă

răsturnare lunecare capacitate portantă

((SLCPSLCP 1)1)

((SLCPSLCP 1)1)((SLCPSLCP 2)2)

((SLCPSLCP 2)2)

cedare în structură cedare în structură



Valoarea de calcul a efectului rezisten ţei

























Tipul lucrării

Condiţia

Fundaţie de suprafaţă

Fundaţie solicitată

transversal

Fundaţie pe taluz sau în apropiere de taluz

STAREA LIMITĂ DE CAPACITATE PORTANTĂ

Condiţia generală pentru(GS)

Condiţia RmQ ⋅≤

STAS 3300/1-85 STAS 3300/2-85

N.P. 112-04

Forma particulară a condiţiei generale pentru SLCP.1 SLCP.2 SLCP.3

( )0,9 ' ' crV L B p≤ ⋅ NT ⋅⋅≤ µ8,0 sr MM ⋅≤ 8,0





















Acţiuni asupra zidului de sprijin de greutate



Acţiuni asupra zidului de sprijin de beton armat



Efectul consolei posterioare la zidurile de sprijin din beton armat

plan virtual plan virtual

2450 φθ −<=

h

b



Distribuția presiunilor din împingerea activă a pământului – pa

Ua

P’a2

Pa1

δ

θθ

β

δ

θ

θ

Zid de sprijin de greutate

din beton sau zidărie

Presiunea din împingerea pământului

totală

Presiunea din suprasarcină

Presiunea din împingerea

pământului efectivă

Presiunea apei

H

bt b bh

Uah

Uav

P’a2h

P’a2v

Pa1v

Pa1h

N.A.S.

suprasarcina q

B

U

Forța verticală din subpresiunea

apei

Presiunea din rezistența pasivă

a pământului

θ

δPp

Pph

Ppv

uppsauu −=−= '' σσ

acaqawa KcKqKdp ⋅−⋅+⋅⋅= '1 γγ

( )ww dHu −⋅= γ

• În cazul în care suprafaţa de rupere nu esteplană, se pot folosi relaţiile (Anexa C – capitolul C2– procedeu numeric pentru obţinerea presiunii dinîmpingerile activă şi pasivă):

B

( )[ ] ( ) acaqwawa KcKdqKudHp ⋅−⋅⋅++⋅−−⋅= '' 2 γγ γ



Ua

P’a2

Pa1

δ

θθ

β

δ

θ

θ

Zid de sprijin de greutate

din beton sau zidărie

Presiunea din împingerea pământului

totalăH

bt b bh

Uah

Uav

P’a2h

P’a2v

Pa1v

Pa1h

N.A.S.

suprasarcina q

δPp

Pph

Ppv

Împingerea activă a pământului Împingerea activă a pământului –– PPaa

Presiunea din suprasarcină

Presiunea din împingerea

pământului efectivă

Presiunea apei

B

U

Forța verticală din subpresiunea

apei

Presiunea din rezistența pasivă

a pământului

θ

δ

( )[ ] ( ) acaqwawa KcKdqKudHp ⋅−⋅⋅++⋅−−⋅= '' 2 γγ γ

( )δθ +⋅= tan,1,1 hava PP

( )δθ +⋅= tan'' ,2,2 hava PP

( )δθ +⋅= tanahav UU

acaqawa KcKqKdp ⋅−⋅+⋅⋅= '1 γγ

( )ww dHu −⋅= γ



Diagramele de presiuni din împingerea activă a pământului Diagramele de presiuni din împingerea activă a pământului (teoria Rankine)

)2/45(2 φ−= tgK a

aaaaz KcKqKzp ⋅⋅−⋅+⋅⋅= 2γ2

21 22

2a a a

cP H K c H Kγ

γ= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +



Valori limită ale presiunii pământurilor

(1) EsteEste indicatindicat ca valorile limită ale presiunii pământului asupra unui perete vertical sub efectul

greutăţii volumice a pământului γ, al suprasarcinii uniforme verticale (q) şi a coeziunii

pământului (c) să se calculeze după cum urmează:

- Starea limită activă:

(pozitivă pentru deplasarea pământului în jos)

�� = �� ∙ � + � − 2�� = �� ∙ �� + �

- Starea limită pasivă:

(2) RelaţiileRelaţiile anterioareanterioare sese potpot aplicaaplica fiefie înîn termenitermeni dede eforturieforturi efective,efective, fiefie înîn termenitermeni dede eforturieforturi

totaletotale ,, dupădupă cumcum esteeste adecvatadecvat..

(pozitivă pentru deplasarea pământului în sus)

�� = �� ∙ � + � + 2�� = �� ∙ �� + �



Valorile coeficienţilor împingerilor active și pasive pot fi determinați din nomograme (Anexa C - capitolul C1 – din S.R.E.N – 1997/1-2004)

pentru KKaa (C1.1 – C1.4) şi pentru KKpp (C2.1 – C2.4)



MişcăriMişcări necesare pentru mobilizarea necesare pentru mobilizarea presiunilor limită presiunilor limită ale ale pământurilorpământurilor

Valori ale raportului va/h Valori ale raportului vp/h









Exemplu de calcul – Zid de sprijin de beton armatSituaţia de proiectare Situaţia de proiectare –– PE TERMEN LUNGPE TERMEN LUNG

b

ts

x

H 2 3

Umplutură din nisip


0'

36'

/180

3

==

=

k

k

k

c

mkN

ϕγ

50.0

95.1

30.0

25.0

7.2

0.3

mx

mb

mt

mt

mB

mH

b

s

======

∆Hb

B argilă

tb

dren

x

d 1

0' =kc

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ3/25

50.0

30.0

50.0

mkN

md

mH

mx

ck ==

=∆=

γ



∆Hb

B argilă

tb

ts

dren

x

d

H 2 3

1





∆Hb

B argilă

tb

ts

dren

x

d

H 2 3

1



3/25

50.0

30.0

50.0

95.1

30.0

25.0

7.2

0.3

mkN

md

mH

mx

mb

mt

mt

mB

mH

ck

b

s

=

==∆

======

γParametri geometrici Abatere dimensională (excavare suplimentară) ∆� = min�10%�, 0.5"� = min�10% × 3; 0.5"� = 0.3" Înălţimea de calcul a excavaţiei �& = � + ∆� = 3 + 0.3 = 3.3" Lăţimea consolei posterioare ' = ( − �) − * = 2.7 − 0.25 − 0.5 = 1.95

∆� = min�10%�, 0.5"� = min�10% × 3; 0.5"� = 0.3"�& = � + ∆� = 3 + 0.3 = 3.3"Lăţimea consolei posterioare ' = ( − �) − * = 2.7 − 0.25 − 0.5 = 1.95

Acţiuni Acţiuni verticale cu valori caracteristice şi momente (efecte ale acţiunilor) generate de greutatea proprie a zidului de sprijin:

- greutatea fundaţiei -./1 = �/ × ( × �' = 25 × 2.7 × 0.3 = 20.3 /0"

- greutatea elevaţiei zidului -./2 = �/ × �� + & − �' � × �) = 25 × �3.0 + 0.5 − 0.3� ×0.25 = 20 /0"

- greutatea umpluturii de pe consola posterioară -./3 = / × ' × �� + & − �' � = 18 ×1.95 × �2.7 + 0.5 − 0.3� = 112.3 /0" -./ = 2 -./ = -./1 + -./2 + -./3 = 152.6 /0"







Proprietăţile materialului Factorii parţiali din seturile pentru material 451526: 8 = 9 11.25:; � = 9 11.25: �; = 9 11.4:

În condiţii nedrenate Unghiul de frecare internă de calcul a umpluturii

8& = ��−1 =��8/ �8 > = ��−1 ?��360�9 11.25: @ = 9 3630.2:0

Coeziunea de calcul efectivă a umpluturii �′& = �′/� = 09 11.25: = 900: /B�

Rezistenţa de calcul la forfecare în condiţii nedrenate a argilei �′;& ,C = �′;/ ,C�; = 459 11.4: = 9 4532.1: /B�

Lăţimea minimă a consolei posterioare pentru starea Rankine

'"D� = �� + &� × 9450 − 8&2 : = �3 + 0.5� × E450 − 9 3630.2:02 F = 91.782.01: "

∆Hb

B argilă

tb

ts

dren

x

d

H 2 3

1



0'

36'

/180

3

==

=

k

k

k

c

mkN

ϕγ

1.4'"D� = �� + &� × 9450 − 8&2 : = �3 + 0.5� × E450 − 9 3630.2:0

2 F = 91.782.01: "

În condiţii drenate Unghiul de frecare internă de calcul a argilei efectiv

8′&,C = ��−1 4�� G8′/,CH8 6 = ��−1 =�� G260H9 11.25: > = 9 2621.3:0

Coeziunea efectivă de calcul a argilei �′&,C = �′/,C� = 59 11.25: = 4546 /B�

Conform BS EN 1997-1 Anexa Naţională permite ca 8�I,& să poată fi selectat direct. Pentru aceasta se recomandă a se folosi valoarea cea mai mică a lui 8& şi 8�I,/ respectiv 8�I,&,C = min�8&,C , 8�I,/,C� = 92020:0

Pentru beton turnat la faţa locului / = 1 şi �&,C = / × 8�I,&,C = 1 × 92020:0 = 92020:0

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ



Efectele acţiunilor Factori parţiali din seturile 9J1J2:

. = 91.351 : K = 91.51.3: .,C�I = 911:

Încărcarea verticală de calcul la talpa fundaţiei - nefavorabilă (capacitate portantă) L& = . × -./ + K × KK/ L& = . × -./ + K × KK/ = 91.351 : × 152.6 + 91.51.3: × 22 = 9 239181.2: /0"

- favorabilă (lunecare pe talpă) L&,C�I = .,C�I × -./ = 911: × 152.6 = 9152.6152.6: /0"

coeficientul de împingere activă pentru umplutură

�� = 1 − sin�8& �1 + sin�8& � = 1 − sin�9 3630.2:0�1 + sin�9 3630.2:0� = 9 0.260.331:

Împingerea pământului de calcul pe planul virtual şi momentele destabilizatoare de calcul

din umplutură B�& 1 =N.×�� ×/ ×��+&�22 O = P91.351 :×18×�2.7+0.5�22 Q = 938.636.5: /0"

5&1 = B�& 1 × 9�+&2 : = 938.636.5: × 92.7+0.52 : = 945.142.6: /0""

∆Hb

B argilă

tb

ts

dren

x

d

H 2 3

1



Structuri de sprijin in ingineria geotehnica - note de curs

Prof. dr.ing. Anghel Stanciu

B�& 1 =N 2 O = P 1 2 Q = 938.636.5: "momentul 5&1 = B�& 1 × 9�+&2 : = 938.636.5: × 92.7+0.52 : = 945.142.6: /0""

din suprasarcină B�&2 = RK × �� × �K/ × �� + &�S =NK = 91.51.3: × 9 0.260.331: × 10 × �2.7 + 0.5�O= 913.615.1: /0"

momentul 5&2 = B�& 2 × 9�+&2 : = 923.926.4: × 92.7+0.52 : = 945.142.6: /0""

Forţa orizontală de calcul din împingerea pământului

�T& = 2 B�& D = B�& 1 + B�& 2 = 938.636.5: +2D=1 913.615.1: = 952.351.6: /0"

Momentul total de calcul destabilizator

5T&,&)� = 2 5&D2

D=1 = 5&1 + 5&2 = 945.142.6: + 945.142.6: = 968.969 : /0""



Rezistenţele terenului de fundare

Factorii parţiali din setul 4U1U16: Uℎ = 911: şi UI = 911:

Rezistenţa de calcul la lunecare în condiţii nedrenate

�U& = 4�;& ,C × (Uℎ 6 = ?45 × 2,7911: @ = 9121,586,8 : /0"

Rezistenţa de calcul la lunecare în condiţii drenate (ignorând adeziunea, aşa cum este cerut de EN 1997-1)

�U& = =L&,C�I × ��G�&,C&� HUℎ > = E9152.6152.6: × �� 92020:0911: F = 955.555.5: /0"

ts

Umplutură


∆Hb

B argilă

tb

dren

x

d

H 2 3

1


din nisip

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ



Capacitatea portantă în condiţii nedrenate momentul de calcul stabilizator din greutate proprie şi suprasarcină 5T& ,)�' = . × 5T/,)��' + K × KK/ × �(+*�2 = . × 5T/,)��' + K × KK/ × �(+*�2 = 91.351 : × 233.6 + 91.51.3: × 22 ×�2.7+0.5�2 = 9368.1279.3: /0""

Excentricitatea încărcării

W( =4(2 − 5T& ,)�' − 5T& ,&)�L& 6 = ?2.72 − 9368.1279.3: − 968.969 :9 239181.2: @= 9 0.10.19: "

Încărcarea verticală este în interiorul sâmburelui central W( ≤ ( 6⁄ = 0.45"

Lăţimea efectivă este (′ = ( − 2W( = 2.7 − 2 9 0.10.19: = 9 2.52.32: " şi J′ = (′ = 9 2.52.32: "

Pentru coeziune

D� = Z12 ?[1 − �T&J′ × �;& ,C @\ = ]12 E_1 − 968.969 :9 2.52.32: × 9 4532.1:Fa = 90.870.78:D� = Z12 ?[1 − �T&J′ × �;& ,C @\ = b]]12 E_1 − 968.969 :9 2.52.32: × 9 4532.1:Fc = 90.870.78:

Suprasarcina totală la nivelul tălpii fundaţiei este �I/,' = /,C × �& − ∆�� = 22 × �0.5 − 0.3� = 4.4/B�

Capacitate portantă a terenului de fundare este �;d� = R�e + 2� × �;& ,C × D� + �I/ ,' S = N�e + 2� × 9 4532.1: × 90.870.78: + 4.4O = 9204.8133 :

Valoarea de calcul a capacităţii portante

�U& = �;d�UI = 9204.8133 :911: = 9204.8133 : /B� kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ



Capacitatea portantă în condiţii drenate Factorii de capacitate portantă în condiţii drenate

0� = fW�etan �8&,C�� =�� 9450 + 8&,C2 :>2i =b]]]W�etan 9 2621.3:0�

jkl�� E450 + 9 2621.3:0

2 Fmno2

ca = 911.97.3 :

0� = R�0� − 1� × cot�8&,C �S =r�911.97.3 : − 1� × cot 9 2621.3:0s= 922.316.1: 0 = R2�0� − 1� × tan�8&,C �S =r2 × �911.97.3 : − 1� × tan 9 2621.3:0s= 910.594.91 : Factorii de înclinare în condiţii drenate (pentru lungimea efectivă t′ = ∞ ")

Exponentul "( = 92+(′t′ :91+(′t′ : = 922:

D =P1 − = �T& >Q" ( =v1 − E 952.351.6: Fw922:= 90.64:

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ

"( = 91+(′t′ : = 922:D� =P1 − = �T&L& + J′ × �′&,C × �x�G8&,C&� H>Q" ( =v1 − E 952.351.6:

9 239181.2: + 9 2.52.32: × 954: × �x� 49 2621.3:06Fw922:= 90.640.56:

D� =PD� − = �1 − D� �L& + J′ × �′&,C × �x�G8&,C&� H>Q" ( =b]]]90.640.56: −

jkl =1 − 90.640.56:>

9 239181.2: + 9 2.52.32: × 954: × �x� 49 2621.3:06mno

ca = 90.610.49:

D =P1 − = �T&L& + J′ × �′&,C × �x�G8&,C&� H>Q" (+1= v1 − E 952.351.6:9 239181.2: + 9 2.52.32: × 954: × �x� 49 2621.3:06Fw922:+1 = 90.520.42:



Suprasarcina efectivă la nivelul tălpii fundaţie �′I/,C = /,C × �& − ∆�� = 22 × �0.5 − 0.3� = 4.4/B�

Capacitatea portantă din contribuţiile:

suprasarcină �;d� 1 =�0� × D� × � ′ I/ ,C�=�911.97.3 : × 90.640.56: × 4.4�= 933.618 : /B�

coeziune �;d� 2 = �0� × D� × �′ &,C � = �922.316.1: × 90.610.49: × 954:� = 9 6831.7: /B�

greutate proprie a pământului

�;d� 3 =N0 × D × �/,C&� − - × (′2 O= P910.594.91 : × 90.520.42: × �22 − 9.81 × 9 2.52.32:2 Q = 983.529.2: /B�

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ

�;d� 3 =N0 × D × �/,C&� − - × (′2 O= P910.594.91 : × 90.520.42: × �22 − 9.81 × 2.322 Q = 983.529.2: /B�

Capacitatea portantă totală a terenului de fundare

�;d� = 2 �;d� D = �;d� 1 + �;d� 2 + �;d� 3 =3D=1 933.618 : + 9 6831.7: + 983.529.2: = 9185.178.8 : /B�

Valoarea de calcul a capacităţii portante �U& = �;d�UI = 9185.178.8 :911: = 9185.178.8 : /B�



Rezistenţa la răsturnare în condiţii nedrenate şi în condiţii drenate Valoarea caracteristică a momentului stabilizator (în care se ignoră contribuţia suprasarcinii care este o acţiune variabilă favorabilă) 5T/,)��' = ∑ 5/ = 5/1 + 5/2 + 5/3

- momentul de la baza elevaţiei 5/1 = -./1 × (2 = 27.3 × 2.72 = 27.3 /0""

- momentul generat de greutatea elevaţiei zidului de sprijin 5/2 = -./2 × 9�)2 + *: = 20 × 90.252 + 0.5: = 12.5 /0""

- momentul generat de greutatea umpluturii 5/3 = -./3 × 9'2 + �) + *: = 112.3 × 91.952 + 0.25 + 0.5: = 193.8 /0"" 5T/,)��' = 2 5/ = 5/1 + 5/2 + 5/3 = 27.3 + 12.5 + 193.8 = 233.6 /0""

- Momentul de stabilitate de calcul numai din greutatea proprie 5T&,)�' = .,C�I × 5T/,)�' = 911: × 233.6 = 9233.6233.6: /0""

∆Hb

B argilă

tb

ts

dren

x

d

H 2 3

1





Verificări SLU-GEO

Pentru lunecare în condiţii nedrenate

�T& = 952.351.6: /0" şi �U& = 9121,586,8 : /0"

Gradul de utilizare ΛGEO ,1 = �T&�U& = 952.351.6:9121,586,8 : = 9~��: %

Pentru lunecare în condiţii drenate

�T& = 952.351.6: /0" şi �U& = 955.555.5: /0"

Gradul de utilizare ΛGEO ,1 = �T&�U& = 952.351.6:955.555.5: = 9�~��: %

Pentru capacitate portantă în condiţii nedrenate

presiunea de calcul �T& = L&(′ = 9 239181.2:9 2.52.32: = 995.478 : /B� şi capacitatea portantă în condiţii

nedrenate �U& = 9204,8133 : /B�

Λ = = 95.4 = 9~�: % 0'

36'

/180

3

==

=

k

k

c

mkN

ϕγ

( )Abordarea de calcul 1

combinaţia 1

combinaţia 2

nedrenate �U& = 9204,8133 : /B�

Gradul de utilizare ΛGEO ,1 = �T&�U& = 995.478 :9204,8133 : = 9~��: %

Pentru capacitate portantă în condiţii drenate

presiunea de calcul �T& = L&(′ = 9 239181.2:9 2.52.32: = 995.478 : /B� şi capacitatea portantă în condiţii

drenate �U& = 9185.178.8 : /B�

Gradul de utilizare ΛGEO ,1 = �T&�U& = 995.478 :9185.178.8 : = 9��: %

Pentru răsturnare atât în condiţii nedrenate cât şi în condiţii drenate

5T&,&)� = 968.969 : /0"" şi 5T& ,)�' = 9233.6233.6: /0""

Gradul de utilizare ΛGEO ,1 = 5T& ,&)�5T& ,)�' = 968.969 :9233.6233.6: = 9��: %

Proiectarea este inaccpetabilă dacă gradul de utilizare este >100%

3/25

50.0

30.0

50.0

95.1

30.0

25.0

7.2

0.3

mkN

md

mH

mx

mb

mt

mt

mB

mH

ck

b

s

==

=∆======

γ

0' =kc

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ

133







Pentru lunecare în condiţii nedrenate

�T& = 51.6 /0" şi �U& = 86,8 /0"

Gradul de utilizare ΛGEO ,3 = �T&�U& = 51.686,8 = ��%

Pentru lunecare în condiţii drenate

�T& = 51.6 /0" şi �U& = 55,5 /0"

Gradul de utilizare ΛGEO ,3 = �T&�U& = 51.655,5 = ��%

Pentru capacitate portantă în condiţii nedrenate

�T& = 85.5/B� şi �U& = 132,8/B�

Gradul de utilizare ΛGEO ,3 = �T&�U& = 85.5132,8 = �~%

Abordarea de calcul 3

∆Hb

B argilă

tb

ts

dren

x

d

H 2 3

1



0'

36'

/180

3

==

=

k

k

k

c

mkN

ϕγ

�T& = 85.5/B� �U& = 132,8/B�Gradul de utilizare ΛGEO ,3 = �T&�U& = 85.5132,8 = �~%

Pentru capacitate portantă în condiţii drenate

�T& = 85.5/B� şi �U& = 83.9/B�

Gradul de utilizare ΛGEO ,3 = �T&�U& = 85.583.9 = ��%

Pentru răsturnare atât în condiţii nedrenate cât şi în condiţii drenate 5T&,&)� = 69 /0"" şi 5T&,)�' = 233.6 /0""

Gradul de utilizare ΛGEO ,3 = 5T& ,&)�5T& ,)�' = 69233.6 = ��%

Proiectarea este inaccpetabilă dacă gradul de utilizare este >100%

kPac

kPac

mkN

fk

fcv

fk

fu

fk

5'

20'

26'

45

/22

,

0,

0,

,

3,

=

=

=

=

=

ϕ

ϕ

γ



Date post:	25-Oct-2014
Category:	Documents
Upload:	bejan-florin
View:	1,218 times
Download:	61 times

Curs 03-04 Structuri de sprijin

Documents