Culegere Alba Xi-XII

7/23/2019 Culegere Alba Xi-XII

1/62

CARMEN POPESGU

IilFORTIATIG ryAGulegere de problemepentru clasele lX-Xl


2/62

Garmen Popescu

INFORMATIGAGULEGERE DE PROBLEME

PENTRU GLASELElx-xl


3/62

Copyright 2008 @ L&S INFO-MATToate drepturile asupra acestei lucriri aparlin editurii L&S INFO-MAT.Reproducerea integrali sau pa(iali a textului din aceasti carte este posibilidoar cu acordulin scris al editurii L&S INFO-MAT.Tiparulexecutat la S.C. LuminaTipo S.R.L.Str. Luigi Galvani nr. 20 bis, Sector 2, Bucuregti,[email protected]: 2008

Descrierea CIP a Bibliotecii Nafionale a RominieiPOPESCU, CARMENInformaticl : culegere de probleme pentru clasa a IX-XI /Carmen Popescu. - Bucuregti : Editura L & S Infomat, 2008rsBN 978-97 3 -7 658-15-9004(07s.3sx076)007(07s.3)(076)37 1 .279 .8::37 3 .5

roitura L&S tnro-mnr:


4/62

Capitolul I. Algoritmi elementari........ ....................s1"1' Algoritmiliniari ..,..'...'.'..........5i.Z. Divizibititate "........... ..'.',.,.'',.....71"3. Cifrele unuinumir. ............... g1.4. Generiride giruri... ............. 161.5. Calcule de sume giproduse.. ................ lg1.6. probleme diverse ........,......22Capitolul 2. Tablouri unidimensionate .................292.1. parcurgeri (sume gi numiriri) ............... 292.2. Maxime gi minime.... ...........41. 2.9. Subgiruri de elemente ........4A2.4. Sortilri, ciutiri, interclasiri ......,............44Capitolul 3. Tablouri bidimensionale ...................493.1. parcurgeri(sume gi numiriri) ...............493.2. Maxime giminime.... ...........6g2.3. Sortiri, ciutiri, interclasdri ...................66Gapitolul 4. Figiere text......... .................69Capitolul 5. giruri de caractere............ .................g1Capitolul 6. Tipul inregistrare ........"... ...................95

3


5/62

Capitolul 7. RecursivitateGapitolul S. Backtracking ....119

8.2. Backtracking generalizat............ ......... tg3Capitolitl 9. Divide et lmpera ...............143Capitolul 10. Greedy

01

Capitolul 11. Programare dinamici147149165apitolul 12. Liste

12.1. Liste liniare simplu Tnlinfuite ............. 16512.2. Liste circulare ................. 17612.3.Listeliniaredublulnlin[uite.............12.4. Alte structuride tip listd ...-................. 179

Capitolul 1 3. Grafuri.......... 18313.1. Grafuri neorientate .................i. ......... 18313.2. Grafuriorientate ............. 186

Capitolul 14. Arbori binari 189

a


6/62

Algoritmi elemenAril.{. AEpdtnt thtilt

se dau doul numere naturale a 9i b cu cel mult trei cifre. si se afigezenumirul care are suma cifrelor mai mare.Exemplu: dac? a=321 iar b-2s3 se va afiga eet.se citegte de la tiastaturi un numir de patru cifre. se cere sd se verificedaci numirul este palindrom, adic6 daci citindu-l de la sfdrgit spre tnceputse ob[ine acelagi numir.Exemplu: 1331 este palindrom.sl se calculeze diferenfa a doui unghiur:i date In grade, minute gi secunde.Exemplu.30o 5O'. {Sr' - 10o 20, 53r' = 2Oo Zg, 52,,se dau trei numere reale a, b, c. pot reprezenta ele lungimile unuitriunghi?tn az afirmativ si se precizeze de ce tip este kiunghiul: echilateral, isoscel,dreptunghic, sau oarecare.Exemplu. (t, z, 3) -nuestetriunghi; (g, t, 5) -triunghidreptunghic;(2, 2, 2) -triunghiechilateral; (g, 6, 5) -triunghiisoscel.sd se determine ultima cifri a numirului ab, pentru a gi b numere naturalemai mici sau egale cu 32ooo, citite de la tastaiuri.Exemplu. Numirul 1245e se termini tn cifra l.sd se calculeze ultima cifri a sumei 2o + 3. + ... + 9", ftlri a calculaefectiv suma.Exemplu. Ultima cifri a sumeipentru a=2379 este 4.

3.

4.

1.

2.

5.

6.

5


7/62

7. Se citegte de la tastaturd tariful orar cu care este pldtit un inginer electronist.Se citesc de asemenea gapte numere reale care reprezintil numirul de oreefec{uate de citre inginer ln timpul unei siptiim0ni. Calculati Si afigati peecran venitul total realizat siptilm0na respectivi de cdtre inginer gtiind ci:o orele efectuate in zilele de luni-vinerise pl5tesc normal;o orele efectuate duminica se pldtesc dublu;o orele efectuate simbata se plltesc majorate cu 50%.Exemplu. Dacl tariful orar este de lo. gs RON/ora iar inginerul a lucrat luni6 ore, ma(i gi miercuri clte g ore, joi 5.5 ore, vineri 9.5 ore, simbtrtil zore, duminicd 1.5 ore, atunci inginerula realizat un venit de 1511.s2 RON( ( s+E+g+s . 5+3 . 5 ) x{0. 86+2xrl0 . 86x1. 5+1. 5x{0 . 85x2).Se consideri 3 lizi confinind fiecare un numdr precizat de sticle albe, verzi9i maro. In vederea reciclirii acestor sticle, ele trebuie mutate aStfel inc6tfiecare ladt si continl un singur tip de sticle. Presupunind ci lntr-o ladlintrd oricdte sticle, se cere si se precizeze ce tip de sticle va conline in finalfiecare ladd, astfellncdt numirul de sticle care trebuie mutate dintr-o ladl lnalta si fie minim posibil. Numirultotatde sticle nu depdgegte 2^31'Exemplu. Dacd prima ladd confine o sticli maro, 2 sticle vezi 9i r sticlemaro, a doua ladi 4 sticle maro, 5 sticle vezigi 5 sticle albe, iar a'treia ladl7 sticle verzi, 8 sticle maro gi S sticle albe, In final prima ladi contine sticlemaro, a doua albe gi a treia vezi, numdrul total de sticle ce se muti dintr-oladt ln alta fiind go. (http://acm.uva.es)

8.

Si se scrie un program care cripteazi un text citit de la tiastaturtr,transformdnd fiecaie clracter astfel: se inverseazd grupele de cOte doi bi[i aireprezentiriiln baza Z a coduluiASCII, respectiv prima grupl de doi biti cua doua grupd gi a treia cu a patra. (b,b.brb.brb2b1bo -t bsb.b7b6b,bob3b, ).Exemplu. OnD( 'x' ) =88

8816=Qt 01 10 002 -+ 01 01 00 102 = 82r.0CIIR(82)=!Rr

Unde am notat ORD - codul ISCII al caracterului, Ctn - earacterul avAnd10. ;ATXT':|i, ,*nsiderat cu 2 cirre) se poate reprezenta pe 7 biti,luna (numir lntre t gi 12) se poate reprezenta pe I bili 9i ziua (numdr intre tgi 31) se poate reprezenta pe s bi[i. Se cere:

a) Sd se scrie un program care lmpacheteazd o datii Tntr-un intreg pe 15biliastfel: primii z bili (cei mai reprezentativi) reprezinti anul, urmitorii4 luna, iar ultimii 5 (cei mai pufin semnificativi) ziua.6


8/62

b) SE se scrie un program care despacheteazi data codificati ca maisusscriind pe ecran data sub forma obignuitil.Exemplu. Data de 6 aprilr.e 2002 se codificd prin valoarea 582(ooooolo oloo o11o)

l.2 DhrLlHll&si se glseascd toate perechile l, s de cifre astfel tnclt numdrul ffi safie divizibil cu 9, unde x gi y sunt cifre citite de la tastatura (**o).Exemplu. Pentru x={ giy-1 se vOr afiga perechile (O,tt), (1,3) , 12,21,(3,1), (4,0), (4,9), (5,8) , (6,71 , (7 ,5), (8,5), (9, d).Determinafi numerele de 4 cifre, divizibile cu t5 gi pentru care sumaprimelor doud cifre este egali cu L2. cite astfel de numere existli? Dardacd se impune ca cifrele sl fie distincte doui c6te doud?Exemplu. Existi 49 de numere, un exemplu liind 8450. in al doilea caz suntdoar ze de numere.13. Si se afle toate numerele naturale20,30,18 dau restul z. mai mici decat 2ooo, care Imptrrfite laExemplu. LtL47t2rl=50 reBt 7; 1'4{.7:30=48 rest 7, t{,i.Tt1g=g0rest 7.Determinati toate numerele care au proprietatea ci impi(ind pe 80, 134sau 152 la unul dintre ele, se obfine acelagi rest, diferit de zero.Exemplu. 80:6=13 rest 2l L3{26=22 reEt 2i L52z6=25 reet 2.sd se afigeze toate numerele prime situate in intervalul [p,c], precum ginumdrul acestora, unde p gi q sunt doui numere naturale date.Exemplu.Pentrup=10 giq=25 sevorafiga numerele 11, 13, t7,tg,23.Sd se afigeze tofidivizoriicomunia doui numere.Exemplu. Divizoriicomuniai numerelor Go gi 350 sunt L,2, s,7.0.scrie[i un program care sd determine cel mai mare divizor comun a doudnumere intregi, prin algoritmul clasic al lui Euclid (cu impi(iri repetate).Dacl numerele citite nu sunt >1 se cere reintroducerea lor de la tastaturi.Exemplu. crmd,c ( 882, 2L0 0 I aL2.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

7


9/62

18' Sd se scrie un program care determini cel mai mare divizor comun a douinumere tntregi nenule a 9ib folosind urmitoarea formull:[@dda - b, b)cr'-dC+ o, = 6r-U"(+ b - a)

dacaa > bdacab > ad"aca a = b19. Sd se scrie un program care determini descompunerea in factori primi aiunui numdr natural nenul dat. Afigarea se va face in forma:

2219{3

Doul numere prime impare consecutive se numesc numere prime gemene.Determina[itoate perechile de numere prime gemene


10/62


11/62

' 3il' Se cere si se afigeze toate numerele de 3 cifre av6nd cifrele in ordinecrescitoare gi suma lor este egali cu ta.b


12/62

43' Se citegte un numdr n gi o bazi b. Sl se verifice dacd n poate fi scrierea inbazataunuinumlr.Exemplu' Numlrul 1253 poate fi considerat scris in baza a dar nu poate ficonsiderat scris in baza 6.v 4' Pentru un intreg n dat, sd se afigeze toate numerele naturale mai mici sauegale ou n a clror sumd a cifreloieste imparlExemplu. pentru n=15 se vor afiga numerele 1, 3; 5, 7, g, t o, L2, 7.t.45- se citegte de la tastaturi un numrr naturalm. sl se afigeze"cifra de rang tdat (rangul unei cifre este numlrul sdu de ordine, nur6rotano citrere oJ ndreapta la stAnga incepdnd cu o).Exemplu. Cifra de rang 2 din numirul L23ts67 este 5.

46. se citesc doui numere naturale n1 scris in baza b1, respectiv a2 scris inb;azaUz (bt,b2


13/62

il" lr*nm*Ff,eScire citite invers, sunt tot numerehlr.h-rlGwtra numerele 2, 3, s,7,7.7,,13, 17, 31, 37,

ln qrrgr.n carc afigeazd numerere naturare mai mici sau egare cu or a*, ar proprietat"i .a'.ur" ciirer;; r;;;;i;;, numdr prim.furyfu- pentru u=20 se vor afiga valorile 2,3,5, ?,7.L, L2,7.1, 116,20.5r- se citegte un numir naturar n de ra tastaturd. si se carcureze gi afigezercstul gi cdtul Impd(irii lui n ta suma cifrelor lui n.Exemplu. Pentru u=894 se obfine catul42 gi restut 12.52- si se verifice daci un numir ,, este parindrom in baza t6. Numirut esteintrodus in baza ro.Exemplu. Numirul 1112 81 este palindrom in baza 10. (1112811s=182B115)53' se di un numlr realcu cel mult z zecimale. sd se determine diferenfa dintre:ffie,r#:?flT.cifrelor ce constituie partea sa rntrealJ si suma pitrt"roiExempru. pentru numirut 123456?8 .37725gse obfine 1,02-2L9=-LL7.54. Fiind dat un numir in baza 10, se se verifice daci num5rur poate fipalindrom intr-o bazi b (2$s3d).Exemplu. Numdrur le (scris in baza ro) este parindrom in bazere 4, 13 gi2 0 (4 2 rr=22 2 a=3 3 s=2) "o).55. si se determine urtima cifri a sumei.lo+2o+...+no, pentru n numdr rntreg cititde la tastaturi. Nu se va calcula efectiv suma.Exemplu. pentru n=29 se ob[ine cifra s.56. Fiind date doui numere naturare a 9i b a ciror reprezentare binari ocupi1o biti, spunem ci a este gefur ruiu oaca pentru oriJ" pE4ie binard o a ruiapozifia corespunzitoare a rui b este o. se citegt" ,, nura, naturar care sepoate reprezenta pe re pozi[ii binare. Se cere sa'se tipareasci numirulgefitor s6i.Exemplu. Numirul n=325 are un numdr de 4O9d de gefi.57' Scrie{i un program care inverseazd ei n bifi din reprezentare a In baza z anumdruruix, care i1ce.n !e ra pozifia p (numir.nd de ra dreapta spre stSngaincepdnd cu o), llsAndu_i pe ceitatii neschimbafi.Exemplu. Pentru n=L234 = 100110100102, D=2 obtinem oo1o11oo1102= 3581s"

12


14/62

58' Si se afigeze toate numerele de a cifre egale cu de r ori produsul cifrelor.Numerere a gik (r


15/62

66. se consideri ci lntr-un orag existi n (ns100) abonafi telefonici ab cerornumere de telefon sunt formate din o cifre, prima cifrd fiind obligatoriunenuli. Presupunem cd regia RomTelecom a organizat un concurs al ciruipremiu va li oferit acelui abonat al sdu, al cirui numir de telefon respectiurmltoarele condifii:- se afld In lista celor n abonali- con{ine doar cifre pare- intre numerele care respecti primele doui condiliiva fiales numirulcare este maxim conform ordinii numerelor naturale.Datele de intrare se citesc de la tastaturi gi afigarea numirului cigtigdtor seva face pe ecran. ln cazul In care nu va exista un astfel de nnrnlr seafigeazi ,,Nu existd abonat c0gtigdtof'.Exemplu. Pentru n=rl gi lista cu numerele: 227.242, 24923, {8002{,228888, se va afiga t8oo24.Se citesc de la tastaturd n numere naturale cu cel mult noui cifre fiecare. Sise afigeze unul dintre aceste numere care are cele mai multe cifre distinctein scrierea sa. Daci existd mai multe numere cu acelagi numdr maxim decifre distincte se va afiga cel mai mic dintre ele.Exemplu. Dacd n=5 iar numerele introduse sunt 5, 999, 34, 1L, 23 atuncise va afiga numerul 23.Se citesc de la tastaturi un numir real r gi un numir natural n (ns15). Sise afigeze numdrul r cu n zecimale pe ecran in formd de pirannidd ea maijos. Pentru r=14.63 $i n=r! se va afiga-

o.369. Si se scrie un program care determinf, primele n cifre din seria fracfiei

subunitare I = o &tc,z.. .cn pentru k gim (kcnr) numere naturale citite demla tastaturd.Exemplu. Pentru k=5, m=23, gi n=5 se va afiga 0.2L739.

70. SA se afigeze toate numerele mai mici decAt 100000 egale cu sumaf actorialelor cif relor com ponente.Exemplu. Un astfel de numir este tls (tls=t t +4 ! +5 ! ),

67.

68.

14


16/62

71. se spune cd n este deosebit dac6 existil un numdr natural m astfel tnc6t,,=n+s (m) , unde s (tn) este suma cifrelor lui n. SI se scrie un frog,., a"rverifici dacl un numir r dat este deosebit.Exemplu. 1235 este deosebit (1235=1225+10).se citegte un numrr Intreg care va fl stocat Intr-o variabiri de tip rongint. sdse afigeze un mesaj corespunzitor dac6 numirur ar" ispect dL ,dear,, saude "vale".Exemplu. Numarul 2465320 are aspect de deal (urci pdni la cifra s apoicoboartr).Jrlumdrul 52108 are aspect de vale (coboari la cifra o apoi urcd).(oN1.2005, cls. v'a, propusr de prof. carmen popescu gi prof. cristinaLuca) un cdutltor de,comori a alun's in fa[a unei maii prooleiri. Dupi tungiciutiri,. a reugit str descopere un cod secret

""rear putea sa ir ilrte ,-j

construiasci o cheie pentru cufirul unei mari comori. codui ,"cret este unnumtrr lntreg cu maxim 10 cifre. Forma cheii de ra curar este ceva mai:iy93ll Ea este cgmpys.a din mai murte pttri[ere. De exempru pentru codur342784 cheia araEt astfet:333337777777777777777777777777

Se selecteazi cifrele impare din codul secrel Cu fiecare din aceste cifreimpare se formeazi un pitrat. Pe diagonala pdtratului sJ scrie un numlr decifre egal cu valoarea cifrei curente impare corespunzitoare din cod. Cifreleaflate pe aceeagi linie sunt desptr(ite printr-un sialiu. Toate cifrele dintr-unpdtrat s-unt egale. In cazul In care iodul secret nu cbn$ne nici o cifri impanase va afiga pe ecran mesajul .cufiru]. nu ae desciride,,sl se determine cheia de la e,r,fir, pornind de la codul secret definut deciutiltorul de comori. Si se afigeze cheia de la cufir.se citegte un numar natural cuprins intre r gi 2. ooo. ooo. ooo,reprezent6nd codul secret.74. sistemul zecimal de numerafie se bazeazd pe cifrele {0,1,...,9} gi numerele1, 10, 100, 1000, .... cu ajutorur cifreror gi numereror respective putemreprezenta orice numdr natural N in forma

72.

73.


17/62

U=tloh-r..51b6 = \10a + \-110a-1+-.+b210+bs 1.Exemplu. 53 816=l.lg o+3.10+ 8'1Sistemul de numerafie Fibonacci se bazeazd pe cifrele (0,1, 9i pe girulFibonacii B1=1, a,222,...,s.1=81-1*11-2 (l}3). lntr-un mod similar oricenumar naturalu poate fi reprezentat unic sub forma

!f=(coco-1-.cucr)r = cu'8a + -- + c1'5 + ca'3 + cl2 + cy7.Unde ar sunt numerele lui Fibonacci.

M =10101001a = 1.3{ + O-21, + 1.13 + 0.8 + 1'5 + 0'3 + O'2 +1.1 = 53roSi se scrie un program care:

a) transformi un numir tntreg pozitiv din sistemul zecimal Insistemul Fibonacci;b) transforml un numir din sistemul Fibonacciln sistemul zecimal.75. Scriefi cate un program pentru verificarea urmatoarelor criterii dedivizibilitate:a) Un numdr scris In baza b se divide cu b-1 daci 9i numai daca

suma cifrelor este multiplu de u-t.b) Un numir scris Tn baza b se divide cu b+1 dacd 9i numai dacediferenfa dintre suma cifrelor de ordin impar gi suma cifrelor deordin par este de b+1.c) Un numdr scris in bazab se divide cu b, b2, b3,... dacd 9i numaidaci numirul se termina cu un o, doi 0, trei 0,'..d) Un numir natural scris In bazaa se divide cu 3 daca:i. ultima cifri a numaruluieste multiplu de 3, in cazulb=3hii. suma cifrelor numeruluieste multiplu de 3, in c?ZUlb=3tr+1

diferenfa dintre suma cifrelor de ordin par 9i suma cifrclor de ordin impareste multiplu de 3,ln cazulb=3lE-1.

76. Si se afigeze primii u termeni ai urmitoarelor giruri:a) L,2, {, 8, ...{6


18/62

b) L,2,7,, L,2,3,4,3,2,7., !.,2,3,4,s,6,5,4,...c) 7,,2L, L23,432L, L2345, ...77. Sd se determine aln-lea termen algirului:7_, 7., 2, 7., 2, 3, 7., 2, 3, 4, L, 2, 3, 4, 5,

fdrd a folositipuri structurate de date.Exemplu. Al ss-lea termen al girului este to.78. sd se calculeze .,8 unde xe R. se va folosi metoda Newton. Aceastimetodi consti din urmitoarele etape:- pornind cu a6=f se genereazi urmitorul gir de numere realexan-l + -a-."" = --J:- c0nd diferenla dintre ao gi ao-, este foarte mici (mai micr decit o valoaree>0 data), procesul de generare se incheie;- la sfArgit, aa, reprezinti ridicina'pitrati a luix.

79. Si se genereze primiin termeni aigirului a" definiliastfel:Er=3ao=3ao-1+2 ( ao_2+ao-3+...+a1+1 ) .Si se giseasci o modalitate eficientd de calcul, firi utilizarea nici unui tipstructurat de date.

Exemplu. as=5?1.80. si se tipireasci termenii girului definit prin relalia de recurenfi:o) ao+r - 1 + afl (V)n 2 L ao = 1Exemplu. Pentru n=5 girul generat va fi (t, 2,5, 2G, G??, {5g330).b) xo = 2.*o-r * xn-2 (V)n > 2,*o = 0 , x1 = LExemplu. Pentru n=5 se va genera girul (0, L,2,5, :-2,29,70).81' Si se calculeze produsul primilor n termeni ai girului lui Fibonacci definit astfel:Fr = 1 Fz=l

Fn = Fr-r r Fa_e pentfU n>3.Exemplu. Pentru n=6 se ob[ine produsul 240.


19/62

82.

83.

Se considerd girul L, 2, 3, 4, 5, 10, 20, {0, ... In care termenii giruluiIncep0nd cu al gaselea se determind prin relafia a lnl =2*a tn-1]. Pentru unnumlr intreg p dat sd se determine o descompunere a lui p ca sumi determeni distincti ai girului dat.Exemplu. Pentru D=55 o descompunere este 1+{+10+{0.Una din cele mai cunoscute demonstrafiidin matematicd este demonstrafialui Cantor a faptuluicl mulfimea numerelor rationale este numlrabild.Se considerd urmitoarea modalitate de reprezentare 9i parcurgere/numirare a multimii numerelor ralionale pozitive:

Itl *lt2 t/3-/ "/il 2t2 ?t3L /,/3/t' 3/2 3134lt 4t? {/3

--+ I /4Yl fi,14

3t44t1

a) Fiind dat un numar natural n (n


20/62

86.

87.

1.5. Gabub de surne g pniduscs6 se carcureze produsur a dour numere'naturare prin adundri repetate.Exemplu. 3.9=22 (s+s+3+3+3+3+3+3+3 sau 9+9+9).Fie n valoritntregi. sf se calcureze suma algebricr a varoritor de rang imparprimut, ar treirea, ar cincirea, ...1 E-pi"iriurirtrio*"rffiiir.rit de zero.Exemptu. Daci se introduc urmdtoarele 10 numere z, _5, t?, o, 32,7.2, _6,,.4, 0, -3 se va obfine suma 75 si proousul _a5a80960.ljg: *t:., de tip Intreg. si se carcureze raportur dintre suma erementetorstrict pozitive gi produsul tuturor,"ior ",Jori.Exemplu. pentru a-5 gi numerete 9, -2,7,r1, -3 se gdsegte raportul0.01322751.sd se scrie un program_care.citegte e>0 (rear), iar apoidetermind giscrie pecran valoarea luia cu proprietatea

1*****...*1, ".EsnExemptu. Dacl e=2.5 atunci n-7 , iardaci a=5, n_g3.Pentru un a dat de ta tastaturi, sI se calculeze:

b) s = 1 - 2 + 3; { +... t nc) sr = 12 +tz +72 +.....+(rn_zfd) sz = 2 - a +d *....+ (- r)"+l . (ar)e) gcl - 7 C +rrcl -... + (-1f-,(an _ l)d

88.

89.

90.

2+3! 3+4!3+4t {+5rg) ($l+'(cl)'+...1(cBf0t 1! nth) E=1*a*., 1' - 22'--*...+ii)' g.r-t.z+1.2.3-...*1.2.3.....a

L+212+3t

t9


21/62

i) r+1+.;;"++ . . :91. Se citegte de la tastaturd un numir real x gi un numdr natural n. Sl secalculeze valorile urmitoarelor expresii

a) 1+:r*4*...*'f2.. n!b) "-*.*-*....+(-'r#L F * x2o*1.c) "-4.+-...+(-1 5 2n'+t

:

92. Pentru n gi h citite de la tastatull (n>=5, k>=3) sl se verifice egalitatea:c}-g + 3c}:l + 3cI:3 + cI:3 - cI.Exemplu. Pentru n=10 $i k=5 s ob[ine tn .ambele pi(i ale egalitlfiivaloarea zs2.93. Sd se calculeze exPresia

,. 1,*2 7.*2* 3 1*2*3*l1+ - s-i-1-+-+...- 3*3 3*5*5 3*5*7*7 3*5*7*9*9gtiind ci ea conline n frac[ii (se numird inclusiv 1).94. Si se scrie un program care citegte x (real) gicalculeazi valoarea expresiei:

(x - zXx - lXx - 8I..(x - 5l).G:IX" - 3X- - z). {x - 6s)'Se presupune ci x este diferit de 1, 3, ..., 53.Exemptu. Pentru x=1.5 se obfine valoarea 2.22288l.82.95. Sd se scrie un program pentru calcululsumei:111' $ =

"t"r..*-*;".-;'* "'* a***"'a.

::trh# o p.gr"ri" aritmetici penku care r{ia 9i primultermen se citesc96. Se dau m gi n numere naturale. Se definegte girul1 1*2 7.*2* 3 1*2*...*nEo = i'tt r-, - 3-5*z ?rooTffi


22/62

97.

98.

99.

Si se construiasci vectorul v = (vr t v21 .. ., va) gtiind .cl cele ncomponente ale vectoruluiv sunt definite astfelVt = 3zo , Vi -- Szo+E*i

unde s-a notat cu 51sufit? primilor k termeni ai girului a.se citesc 3 numere naturare n, p gi k, apoi un gir de numere naturare. citedintre acestea, impi(ite la p dau restulti.Exemplu.ln girul de numere L2,56, s4,22, g,2, {5,7g, gg,5? existe 4numere care impi(ite la s dau restul 2.se citegte n. se cere k astfer incat numirur ci si fie maxim(^*- nt )[."" - kt (" - k]JExemplu.plntru n=7 numerulcerut este k=3."tnmu$irea d /a russe" este cunoscuti inci din timpul Egiptuluiantic aieste oadunare cam ciudatd la prima vedere.se scriu deinmullitul gi inmul[itorul unul sub altul, formand sub fiecare cate ocoloand, conform regulii: se lmparte numrrul de sub deinmul[it la z,ignorand fracfiile, apoi se inmulfegte cu 2 numirul de sub inmullitor. seaplici regula, pani c6nd numirul de sub deinmul[it este r. ln final, adunimtoate numerele din coloana inmulfitorului care corespund, pe linie unornumere impare in coloana deinmulfitului.Exemplu.22 x 3g = 85545 19 1922 3811 76 76s 152 L522 3041 608 508

8s5'si se scrie un program care realizeazi tnmul{irea a doui numere folosindacest algoritm.

2t


23/62

{.6. Probleme direpe1OO. Se citegte de la tastaturi un gir de numere terminat cu numirul o care nuface parte din gir. Sd se determine c0te din elementele din girul dat sunt maimari decAt vecinii sii din gir, adicd dec0t cel precedent gi dectt cel urmitor.101. Sd se scrie un program care determini toate reprezentlirile pssibile ale unuinumir naturalca sumi de numere naturale consecutive.

Exemplu. Pentru n=50 avem 50=8+9+10+11+12 9i 50-11+12+,L3+7.4.102. Pentru mullimile A=(1,2,...,m1 9i B=11,2,-.,j.1, cu m gi n citite de latastaturi, sd se afigeze elementele mullimii

AxB={ (a,b) | ael, beB}.Exemptlu. Pentru m=3 gi n=2 aXB={ (1,1) , (7-,21 , (2,L, , (2,21 , (3,L\ ,(3,2)).

103. [n povestea "Jack 9i vrejul de fasole", Jack trebuia si ajungi In-faraUriigului, situati la x metrii deasupra pimintului, urcdnd cu vrejul de fasolecare avea proprietatea mifaculoasi de d cregte In fiecare minut cu111 ..= , -: ,:, etc. din Tnillimea lui anterioart (Tndl[imea ini[iali a vrejului este234r rn). In cdte minute ajunge Jack Tn Jara Uriaqului?Exemplu.Dacd x=300 Jack ajunge In virf dupa s98 de minute'

104. Tn fiecare zi lucritoare din sdptimintr, Pinocchio spune o minciune ln urmacireia iicreste nasulcu It cm pe zi. Sdmbita giduminica, cflnd vine Gepettoacasa, pentru a nu-l supdra, nu spune nici o minciuni, ba chiar Ii S6adenasul cu y cmlzi.ln fiecare siptimAni, singur acas6, Pinocchio continuagirul minciunilor,. Care este lungimea nasului dupa z zile, gtiind ci inifialnasulare p cm? (Zilele incep cu luni)105. Se citesc de la tastaturi numirul natural n (a


24/62


25/62

113. Afigafi urmdtorul tabet de oper{ii:1.9+ 2=?

L2-9+ 3=?123.9+ 4=?123{56789.9+10=?

(Semnele de intrebare se vor inlocui cu rezultatele operafiilor respective).,114. Se considerd n valori Tntregi. Memordnd numai c6te una, sd se determinevaloarea cea mai mare negativi gi valoarea cea mai mici pozitivl,specific0nd dacd sunt sau nu unice.

Exemplu. Pentru a=11 gi numerele 2,6,-s,9,-7,1,3;-2,55,-6, 1 se vor afigavalorile -2 gi 1, prima fiind unic6 tn timp ce l apare de z ori.115. Se consideri urmatoarea piramidi de numere:

1357 9LL13 1s L7 L9

Si se determine cu ce numlr Tncepe gi se termint linia a, cu n dat de latastaturd. Sd se verifice apoi cl suma termenilor de pe orice linie este cubperfect, iar pentru o linie data k si se aflgeze numdrul al cdrui cub este egalcu suma elementelor de pe linia tr.Exemplu. Linia a incepe cu valoarea sz gise termini cu valoarea 71. Sumatermenilor de pe linia 8 este 5L2=43.

116. Scrieli un program care va citi un Intreg 9i un caracter. Programul va afiga unromb oompus din caracterul citit de la tastaturi gi avind li[imea specificatllde Intreg. Dacd Tntregul este un numfrr par, el va fi mlrit cu r.Exemplu. Daci Tntregul este s gi caracterul este 'x', rombul va arita astfel:

xlo(xx:O(:(Irx:o(x

117. Se considert doutr mulfimi: v con{in0nd valori binare o, 1, iar cealalti oconfindnd operatori logici simbolizafi prin N (not), e (and), o (or). Din


26/62

aceste multimi se obtlne un rezultat logic astfel: se inifializeazd rezultatul curima valoare din v. in continuare se citesc varorire Jin o pana la intilnireacaracterurui #. Dac6 se citegte N, se neagi ,"=rrt"trr "rrlnt, daca se citegteA sau o, se citegte urmitoarea varoare oin v gi se racllon;uncfia, respectivdisjuncfia. SI se afigeze rezuttatui oOlinut in final.Exempru. Dacr varorire introduse tn ordine sunt 1, 1, 1, o, 1, 1 gi operatoriipunt in ordine N, A, o, o, N, u, A, o atuncirezultatulfinalva fi r.118. Afigafi urmitorut tabet de operafii:

9.9+7=?98.9+5=?

987G5432.9+0=?(Semnele de intrebare se vor Inlocui cu rezultatele operafiilor respective).119' DAndu-se trei numere in-tregi reprezentind o dati calendaristici sub formaa:1, runi, zi, si se scrie un program care stabiregte a cdta zi din an estJaceasta.Exemplu. Data de 22.03.2000 este a 82 zi din an, iar data de22.O3 .2002 este a ar zi din an (vezi probrema 26 de ra capitorur r).120. se dau z,L,areprezent0nd o datii carendaristici (corectd). sr se afigezeclte zile mai sunt pdni la sflrgitul anului.Exemplut. Dacl data calendaristicd este 22.03.z(,ozatunci pani lasfdrgitul anului mai sunt 28{ de zile.

121. scrie{i un program care sr citeascd mai murte numere intregi, pini raIntlllnirea lui zero, gi si determine cel mai mare gi cet *"i'ri" numir citit.Exemplu. Dacl numerere introduse sunt 2, g,32,5, -5, g, o atunci maximureste 32 iar minimul -s.122' D6ndu-se data c-urent6 prin trei numere iniregi (an,luni,zi) gicunoscdndu'se a cita zi a srptiminii este prima zi oin anut ,erpe"iir, sa sLdetermine a cdta zi din s6ptim0nr este z'ud oateii"rp""iir".Exemplu. Prima zi a anului 2002 afost a doua zi din siptdmind gi deci datade tr. 03 .2002 a fost o zi de luni.

123. Se citegte o datl calendaristici sub forma z,L,e. Sl se afigeze data zileiurmitoare.Exempru. Ziua urmitoare datei de 28. dz.zooz este 01.03.2002.


27/62


28/62

132' o carte se pagineazi cu numere de ra t la n (eo


29/62

136. Fie funcfia lui Collatz, definiti astfel:Iut_t(n) = {z[sn+r

d.aca n eBte Dardaca n este impar

folosind aceastil funcfie se poate construi un gir de numere ce "tinde" la 1'astfel:rt6=tr, !r1=f (xq), xr=f (xl), ..., ;b-r=f (xp-z), x,,=f (rrr-t)=1.a) Se cere sa se scrie un program care determind secven[a de lungimemxima ob[inutd pentru n


30/62

1.

Tablouri unidimensionale21. Parcuqeri (sumegi numiltri)

Fiind dat un vector de numere intregi, si se determine suma erementerorpozitive din vector.Exemplu.Pentru vectorul (-L,23,2, -4,5) se va afiga ro (=23+2+5).9? ." afigeze erementere pozitive de rang impar dintr-un vector de numereintregi.sd se scrie un program care numiri erementere pozitive, negative girespectiv nule dintr-un vector, parcurgdndu_t o singur drite. - - -'Exemplu. in vectorul (-3,1,30, -1, o,-22,0,3761se gisesc 3 numerepozitive, 3 numere negative gi 2 numere nule.Se consideri un vector A cu n elemente gi dout numere reale p, e. Si sescrie un program care copiazi intr-un vector B toate elementele din a aflatein intervalul (p, e) in ordinea in care apai ere in vector.Exemplu. Daci t= (L2,-{,9,7,-s,3L,-7{,515,-33,_g) gi p=-10,Q-9 atunci B= (-4, ?, -5, -g).sr se verifice dacr u.n vector confine eremente in ordinea: negativ, negativ,pozitiv, negativ, negativ, pozitiv, ..J.Exemplu. (-L,-2,3,-5, -6,2,-g) are aspectul cerut ( _1,2,_3,-4) nuare aspectul dorit.

. Fie v un vector de numere intregi. si se construiascd un vector w, asfierincAt w[i]= numlrul de aparifii ale lui v[i] in vectorul v.Exemplu. Pentru v=(1, s,2,L,s,7,2,1,5) se obfine w=(3, 3,2,3,3,Lr213r3l .

z3.

1.

5.

6.


31/62


32/62

13. Fie dat un vector x = (x* *2i rr3e . . ., *"). sd se modifice vectorul astfelincit In final si avem:a) x = (xr,!r3r...,xo,*r)b) x = (:ro, xr, zr2, ..., xo_r)c) x = (*r, lilr x4r x3r .. ., *o, *oar).Se dd numarul natural n>l gi vectorul * = (xr, rt2t . .., xo) si se verificedaci numerele date sunt In progresie aritmetica sau geometrici gi sa se deaun mesaj corespunzator.

Exemplu. Vectorul (2,t,6,8,10) este In progresie aritmetica iar vectorul(2, t0,50, 250, 1250, 5250) este Tn progresia geometrice.DAndu-se doud numere naturale n gik, sa se memoreze in vectorulx, 2*knumere prime situate in centrul listei numerelor prime din intervalul [1,n],Tn cazul Tn care in interval este un numar par de numere prime gi respectiv2*k-1 numere din centrul listei de numere prime, In cazul in care numerulde numere prime din intervaleste impar.Exemplu. Pentru vectorul n=21, k=2 se obline x= ( 5, 7, 11, 13 ) .Si se calculeze cmrdc (\t1.tttztT3st -., r.a) .Exemplu. enmdc (2940,882,7O,182) este 14.La codificarea unuitext scris cu cel mult primele n litere mici ale altabetuluienglez, se folosesc cele mai micin numere naturale care au exact 3 divizorinaturali. Pentru litera 'a' se folosegte cel mai mic numir cu proprietatearespectivi, pentru 'b' cel mai mic numir diferit de cel folosit pentru 'a', 9i agamaideparte.a) Sd se afigeze, separate prin ctte un spatiu, cele n numere folosite lacodificare.b) Pentru un text dat de la tastaturi, se cere sd se afigeze codificareatextului, fiecare caracter fiind inlocuit cu numarul corespunzitor 9i oricedoud coduri consecutive vor fi separate printr-un spaliu.Exemplu. Pentru n=5 gi textul 'aJreaab' se va afiga a) l, 9, 25, 49,121; b) 49L2L4t9.18. CAte elemente din tabloul :!=(x1,x2,-.,xo) de numere intregi au exact kdivizori proprii.Exemplu. Pentru vectorul (1, 58{, 155,45, 102, 55, 17,31'2,125, 9rt5)gix=s se va afiga I (numerele 584, 165 gi 102 au exact 5 divizori proprii).

14.

15.

16.

17.

3t


33/62

19. C0te numere perfecte existd ln tabloul !!=(x1,rr2,-.,xo) de numere intregicitite de la tastaturi. un numir este perfect daci este egal cu sumldivizorilor sii mai micidec0t el.Exemplu. Pentru vectorul (Lo,s,6,Lz,gt2a,5,o,28) se va afiga s(deoarece G, 8128 Si 28 sunt numere perfecte).20. sa se afigeze valorile intregi p si (tr, prime intre ele astfel incatE = 3 + P +... * $,numereleintregi a.,b* i = iln-,ddndu-seqbib2bode la tastaturi.Exemplu. Pentru a=(1, s,3,6,11) gi b=(2,1,2,7,4) se obfine p={8 giQ=7'

21. Cu c6te zerouri se termina produsul elementelor :r1, i = L ,r, ale unuivector de numere intregi, firi a calcula produsul.Exemplu. Pentru vectorul x=(!2rr.5,254,525,56,125,500, 105,48,912) se va afiga t0.22. Se di un vector v cu n elemente numere intregi. Fdrd a folosi un vectorauxiliar, sE se mute la sfirgitul lui v elementele sale nule, pdstr0nd ordineacelorlaltor elemente.Exemplu. Daci inilialv=(2,3,0,9,0,0,8), in final va rezulta v=(2,3,9,8r0r0r0),23. Scriefi un program care elimind toate elementele nule dintr-un vector denumere intregi.Exemptu. Daci vectorul ini[ial BSte x=(10,0, o,3,o,5,0,9) se va oblinex= (10r 3, 5,9).

24. Se consideri un gir de n numere reale. Si se scrie un program care eliminidin gir valorile ce se afli Tn afara intervalului Ia,bl .Exemplu. Dacl vectorul inifial este ( 2, a, 4, 6, g, !0, 3,s, 2,10 ) iar a=3 gib=7 atunci vectorul rezultat va fi ({, 5,3,5).25. Se di un vector x cu n>2 componente numere intregi. Si se insereze intreoricare doui componente ale acestui vector media aritmetici a celorlaltorn-2 componente ale vectorului.Exemplu. Dacdini[ialvectoruleste (1, 2, 3, t) seobfine (1, 3.5, 2,2.5, 3, 1.5, { ) .26. Se consideri un vector A cu n componente numere intregi. SI se modificevectorul astfel Tncdt primele m componente si aparl Tn final pe ultimele npozifil, iar ultimele n-m componente si apari pe primele pozfii. Numirulnatural nenul m se citegte de la tastaturd (nr


34/62


35/62

34.

35.

36.

37.

Si se construiascl vectorul v = (vr, 'n2r . .., vo) gtiind ci vr = szo.,vr = Szo*.sr,L = L4 o..,n undesk = [r * uz *... + ukObseruafie. Se va citi de la tastaturi doar valoarea lui n.Exermplu. Pentru ns5 se va obtine vectoruly=(0. L7g751,3,0.L78776{,0. 1787818, 0 .L7 87 853, 0 .L7 87 877 Iintr-o grtdini zoologici sunt n colivil cu papagali. O maimuti juciugd treceprin fata coliviilor gi deschide toate ugile acestora. Apoi, se Intoarce giinchide ugile din doui In doui (Tncepind cu prima colivie). Jocul seu se reiamergand din treiin trei colivii, inchizdnd ugile deschise gi deschizAndu-le pecele inchise. Apoi maimuta merge din patru Tn patru, din cinci ln cinci,g.a.m.d. In final din n in n colivii, Incepind de fiecare dati cu. prima colivie.Sd se afigeze coliviile rimase deschise.Exemplu. Pentru un numir de to colivii vor rdmdne deschise coliviile2,5,t0,Se citesc de la tastaturd n numere naturale cuprinse intre o gi 9999. Sd sestabileascd dacd existll cifre care nu apar In componenfa nici unuia dintrenumerele date. Daci existd astfel de cifre, se vor afiga. Dacd nu se va afiga

Exemplu. n-5,:r= (,232,L758,1361,7812,13), se afiqeazd cifrele 0,4,5,9.Se consideri n arunciri dezar (generate aleator). Se cere:a) sa se determine de cAte ori apare fiecare fafd gi la a c6ta arunoare apareprima datil.b) si se determine toate perechile de forma (ll,Kr) cu proprietatea ceFi+Kl e6te un numar par, unde ri este numtrrul fefei, iar Kt numarul deaparitii a fefeirl.ri un vector x de numere Tntregi. Si se aflseze toate tripletele de numereconsecutive din x, Tn care altreilea numir este restul Tmpi(irii primului la aldoilea.Exemplu. Pentru vectorul (27.,7 ,L\,4,3,7.,15,7 ,3, 1) tripletele cerutesunt (15,1,31, U|,3,1), ({5,7,3) gi (7,3,tI.38. Fie un vector x de numere Intregi. Sd se afigeze toate tripletele de numereconsecutive din x, in care altreilea este media aritmetici dintre primul 9i aldoilea.Exemplu. Pentru vectorul 12, 9, 3, 6, to, 3,7, 5, 6, 5 ) tripletele cerute sunt(9,3,5), (3,7,5) gi (7,5,61.


36/62

G).

&.

41.

Fie dat un gir x cu R numere Tntregi. se cere sd se calcureze sumacomponentele avdnd toate cifrele pare.Exemplu. Pentru z=(-24,s,7g,-2,42,18) suma este 10.Fiind dat un vector de n.umere intregi, si se afigeze de cite ori gdsim doudelemente aflate pe pozifii consecutive in vector iare sa fie egale intre ele.Exemplu. Pentru vectorul (l_, z, 2, 3, tL, 4, L, s, 6, se va afiga valoarea 3.se citesc de la tastaturd cele n elemente ale unui gir dat de numere Intnegi.si se afigeze toate perechile de elemente aie girului (nu neapdratcons_ecutive) cu proprietatea ci ambele elemente ale- perechii au aceeagisurnd a cifrelor.Exemplu. Pentru vectorul (L2,9,s4,32,222,49,34,G,1,91) se vorafiga perechile ( 9, sl I gi 1222,5y .Fie un vector x de numere inhegi. si se afigeze toate perechile de numereconsecutive din x, cu proprietatea ci al doilea este egal cu suma cifrelorprimuluinumdr.Exemplu. Pentru vectorul U.24,7,L2,3,{,tl perechile cerute sunt(L24,7 r, (L2,3), ({,{).Fie un vector x de numere Intregi. sd se afigeze toate perechile de numereconsecutive din x, cu proprietatea c6 al doilea reprezinE numlrul de aparifiiale cifrei 3 tn pdtratul primului.Exemplu. Pentru vectorul (3cl,2,5,Lts6,4,0) perechile afigate vor fi(361,21, (LL56,4' , (t,0r.$i se determine numirul de cifre egale cu cifra c (datr de la tastaturd) tncadrul numiruluint cu n


37/62

47.

48.

49.

50.

considerdnd ci cifrere a doud numere sunt memorate tn doi vectori x,respectiv y sd se calculeze: a) diferenfa celor doui numere; b) proOusuicelor doul numere.Exemplu. Numerele zss gi 12G se pot memora astfel: (5,3,2), respectiv(6,2,1). Aceasti scriere inversi a cifrelor poate ujura foarte multcalculele. se va obfine diferenfa 109 (atentie se va ,cao"" cel mai micnumdr din cel mai mare) gi produsul 296l,0.se consideri doi vectori binari x=(n1,:r2,...,xo) gi y= (yt,!2,-.,yo)reprezentdnd scrierea in baza doi a doui numere intregi. s} sE carcutezeliafigeze suma gi diferen[a binari acestor numere. (Nu sE va fotosiscrierea Inbaza ro a numereloi!) 'Exemplu.in cazul vectorilor x= ( 1, !-, 7., O, 7., O, L,0 ), y= (L, L,0, O ) sumabinard 6ste x+y=(L,L,L,L,0,1,1,0), iar diferen[a Oinara este x_y==(t, 7., 0, 7., !. r1, 1, O ).Numerele de la t la n sunt agezate in ordine crescitoare pe circumferinfaunui cerc, astfel incat n ajunge lingi 1. Tncepind cu numiiul s, se eliminidin cerc numerele din r in k, dupa fiecare eliminare cercul stEngandu-se.Care va fi numirul ce va rdm0ne ultimul?

Exemplu. Daci vectorul inilial este ( 1, z, 3, t, s, 6, 7,g, 9, 10 ) iar k=3, s=1se vor elimina pe rdnd numerele 3, 6, 9, 2,1 , L,8, 5, 1o gi rimine numdrul l.Aceeagi problemi ca la problema anterioari dar numerele nu se elimini, cidoar se marcheazi, pini unul din ele va fi marcat de z ori. c6te numere aurimas nemarcate?Exemplu. Daci vectorul inifial este ( 1, 2, g, 4, 5, 6, 7, g, 9,10 ), pasul estek=4 hr E=1, s vor marca pe rAnd numerele 1, g,2,5, 10 deci vor ramane5 numere nemarcate.Fie un vector x de numere Intregi. sd se formeze un vector y de numereintregi, in care v[i] si fie reprezentarea in bazaz a numiruluix[i].Exemplu, v= ( 12 I A' 3' L4, 6 I 2L) =2y= ( 1100, 1ooo, 11, 11L0, 110, 10101 ),si se transforme un numir din baza 10 in baza 1G, cifrele numirului inbaza te memordndu-se intr-un vector.Exemplu. Pentru n=1L224 se ob[ine vectorul cu resturile impirlirilor(2,l,t,13,8), decinumirulln baza 1o este 28D8.se citegte de la tastaturl un, numir natural n. se cere s6 se'afigezeurmdtoarele valori:

(n) = (e, + r[e, + 1]..(e. + r)ng(r) = :_- _ (n, - r[p, - rl..(p, - r)D1D2" 'P'

51.

52.

53.

3F


38/62

54.

o(n) = Pi'*' - 1 Pi'*t - 1 o:'.t-+Dr-1 pr-1 "'e.-1unde n = pi'pi,. . .pi" este descompunerea in factori primi a luin.Exemplu. Pentru n=177.2 gisim r=15, g=2180, o=9GOo.Se di un gir de n cifre a=(ar), 1


39/62

59. Se considerl girul t, 2,!., 3,2,7., 4,2,2, s,4,3,2,L,5,2,2,3,3,3,.... obfinut din girur numereror naturare prin inrocuireafiecirui numdr naturar.printr-un grup de numere, dupr urmrtoarere reguri:numlrul prim 9 este inlocuit prin numerele D, D-1, p-21 . . . 1 3, 2, 1,iarnumlrulcompus k este inlocuit prin tr urmat de tolilivizorii sdi proprii, undivizor a repetandu-se de a ori. DAndu-se numirul natural n se cere sd setipireascd primele n numere din giruldatExemplu.Dacd n=10 girul generat va fi (1, 2,7.,3, 2,L, 4,2,2,51.De la tastraturl se citesc cele u elemente ale unuigir de numere. si se scrieun program care interschimbS dou6 secvenfe de lungimi r,1 gi r.2 care incepdin pozifiile Dl, respectiv pz. Elementele care nu sunt cuprinse ln cele doulsecvenfe pot fi mutate astfel incat interschimbarea sd se poatil face. Nu sevor folosi vectori auxiliari.Exemptu. Pentru n=9, girul L,L.2,4,5,6,1i3.19,. 14.e2, r.L=2, 92=6,t 2=3, rezultatul este 1,qzrg, l, 5, 2, 3, g.Considerlm girul de numere naturale:7.i 7.,7,t 2rLi L,2, L,!i L,L, Lr2,2rLi 3,Lr 2r2, L,Lt

60.

61.

definit astfet:- primul grup (subgir) este format dintr-un singur r;- plec6nd de la ultimul grup cunoscut, urmdtorul grup se construiegte prinindicarea perechilor de forma (factor de repetifie, numir care se iepLtalreferitoare la conlinutul grupului de la care s-d plecat. Astfel, din giupui7.,7.,L,2,2,L se obfine g,!.,2,2,L,7. deoarece apar in ordine g de1,2de2gi1de1.Si se genereze primele n componente ale giruluidefinit astfel.62. CAnd dorim si listitm o broguri cu mai multe foitndoite la mijloc ordinea delistare este alta dec6t de obicei. o astfel de brogurd are patru pagini pefoaie, cu doui pe faft gi doud pe spate. cdnd ag-ezim toaie aceste foi'tnordine gi Indoim teancul ln doui, paginile apar In ordinea corect6, ca Intr-ocarte obignuitii. Problema cere sd se scrie un program care, citind numirulde pagini ce trebuiesc tipdrite, genereazi orOinei de tipirire. Eventualelepagini goale ce trebuie str fie adiugate se vor adiuga la sfargitul ct(ii.Exemptu. Pentru n=10 psgina[ia este urmitoarea:

foaia 1: fafa: -, 1; spatele: 2, -;loaia2= fa[a: 10, 3; spatele:4, 9foaia 3: fa[a: 8, S, spatele: 6, 7.


40/62

63. Pe un traseu circurar se gisesc n depozite de morcovi. se dau distanferedintre doui depozite consecutive (L->'2,2_)3, ..., r_1-),,, ,,_>1). Fiecaredintre depozite confine o anumite cantitate de morcovi (posibir zero).Numdrul totar de moicovi din cere i oepozite ajung unui iepurag exact citoatd parcurge tot .traseul .o singuri dati. SJ consioeia "a pentruparcurgerea unui km iepuragur are nevoie s5 minance ,n ,or*, pentru aavea energie suficienti...repuragur poate minca oricafi moicovi. si sedetermine de ra ce depozit giin cL oii"a" va preca iepuilquilstfer inc0t ersi poati reveni la loculde piecare. ' -Exemplu. Pentru n=5, distantele (12, 3,6L,10,4) gi numirul de morcovidin depozite (o , zo ,40 , o, 30 ) se va preca de ra depozitur 3 spre depozitur2, sau de la depozitul s spre depozitul t.Un numir de n (n


41/62

66.

s sg scrie un progftrT, care citegte de ra tastaturd numirur de copii careyor si191ce-acest joc Ai numdrul d-e pagi aijocutui gi affeizj ;;piiffi;;spus PAS. Daci un copil spune pAS -de mai muite oil, et se'va afiga osingurd datd.Exemplu. Pentru n=10 (copiii) 9i numirul de pagi np=50 se va afigavaloarea 2 (doicopii nu au spus pAS gi anume z gi ai.

'(oNl 2006, clasa a V-a) La un concurs de desene pe calculator participi nelevi, numerotafi de la r la n. Elevii se prezinti rh ordinea 1, 2, 3,..., n.Fiecare elev prezinti cite un desen care este evaluat gi comisia ii acordi un?rn"lei. Agryla este o 9tgOe. [n funcfie de acest pu;ctaj 9i de punctajeteacordate pini in momentul respectiv, se stabilegte un ctasament provizoriu.Fiecare concurent este anun[at imediat dupi [rezentarea desenului siu,care este locul pe care Il ocupi ln clasamentul provizoriu. Desenele suntevaluate astfellncdt nu existi doui lucriricu acelagi punctaj.cunoscandu-se numirul n de elevi.gi locurile anun{ate de comisie pentrufiecare elev (in ordinea prezentirii In concurs), scriefi un program caredetermini: clasamentul final at elevilor gi care dinke coniurengi au condus inclasarnent cel mai mult timp (rnai multe etape).se citegte de la tastaturi numdrul natural n reprezentind numirul de elevidin concurs gi apoi, n numere naturale reprezentdnd locurile in clasamentanun[ate de comisie pentru cei n elevi, in ordinea prezentirii (Intai pentruelevul 1, apoi pentru elevul z, ...)s.e vor scrie pe ecran numerele de ordine ale elevilor, IncepAnd cu primulclasat apoi numirulde ordine'al elevului ce a ocupat primul loc cel mii multtimp. Dacd sunt mai mul{i elevi tn aceasti situ4ie, se vor afiga numerele deordine ale acestora, separate prin spafiu, indiferent de ordinei lor.Restriclii gi obiseruafii :n este un numir natural; 1


42/62

Pe prima rinie este afigat crasamentur finar, iar pe a doua rinie sunt afigateumerele de ordine arsceror doi il;;;;I.au condus in crasament cere maiulte etape: erevurz a condus i; "l#il;'ii., i* erevurl in etapere 4 si s.lntrare3111

22 taxime gi minime

ExplicalieDupd primulelev clasamentul este 1Dupd aldoilea elev clasamentuleste 2 1Dupi altreilea elev clasamentuleste i 2 tFiecare elev a condus un numir maximde etape, adici o etapi, gi oe aCeea ie'atrgeazd numerele de ordine ale tuturorconcurenfilor

legire32LL23

67.

68.

@.

si se determine erementere cu numir maxim de divizori gi erementere cunumir minim de divizori dintr-un vector * oe numli. intr"gi.'' -'Exemplu' Pentru vectorur x=(59, 74g,Ls,665,L2,4,7,gg,6g,74)componentere cu numir minim de divizori (z) sunt ,, iii L, ", numdrmaxim de divizori este numirul T4s (1,2 divizori).se dd un vector cu n componente numere intregi. si se determine diferentamaximi dintre doui eremente consecutive are aiestuivector. '--Exemplu. Daci x=(15,36,94,L5,64,92,245,::L,26O,33,55)diferenfa maximi este zlg.Ddndu-se un vector cu n componente numere intregi, si se determine ceremai mici trei varori oozitive gi cere mai mari trei va]ori n"grtir" Nu se vafolosi nici o metodd de sortaie;i;,;; vor modifica varorire componenterordin vector.Exemplu. Daci vectorul dat este (-37 ,-76,9L, -3, -6, _L4, 4L, _27,atunci cele mai mici trei valori pozitivetreivalori negative: -1{, -6, _3.70. Se dau coordonatele a n puncte in plan (xr,yr), i = ili. Si se afigezelungimea cerui mai rung segment avdnd capetere in murtimea ctatd de punctegi coordonatele capetelor alestui setment.Exemplu. Daci punctele sunt (1, g) , (4,5), (4,2) , (4,9), (3,9) atuncisegmentur de rungime maximi va avea capetere de coordonate G,2,espectiv (3,9) giva avea lungimea 7.07.

87, 94, -55, -1g, -g0, 93,5L, -49, -45, 51, 62, 3g)sunt: 39, 41, 51 iar cele mai mari

4l


43/62

72.

71. Se introduc Qaractere de la tastaturl, acestea fiind''memorate Intr-un vector.Sl se afigeze perechea sau perechile de elemente egal depirtate de centrua cdror sumi a codurilorescrr este maximi.Exemplu. Dacd se introduc caracterele (A,C,B,E, z,7.,El se va afigaperechia (8, zl .se citesc vectoriiA cu ! elemente gi a cu m elemente. si se determine careelemente din e sunt mai mici decAt toate elementele din a.Exemplu: Dacl a= (4,O,L,9,s,!L,3,43,6,20) gi b=(9, g,6,g,g,g,6,9), atunci numlrul ciutat este 4, deoarece valorile 4,1,5 gi g sunt maimicidecAt toate elementele luil.Si se determine vectorul y cu componentele y1,L = L2,. . . r n, unde yieste pozifia valorii minime din girul rrlr!!111ro . .7 r!1.Exemplu. Pentru vectorul x= ( 9, { t 3, 8, 5, L, 5, 2, 7, 7.ol se odline vectoruly= (5, 5, 6, 6, 6, 6,8 r8, 9, 10).Fie un vector x de numere tntregi. Si se determine un numir p, care si fiecel mai mare numlr prim din cadrulvectorului. Dacl nu existi numere primein vectorul* atuncip va fi egal cu 0. Daci D nu este 0, atunci si se imparti(ca numere intregi) toate componentele luix la suma cifrelor luip.Exemplu. DacI inifial :r.(9, 4, 62,81,31, 74, 697,26,L2,35L, atuncip=31 iar vectorul Va deveni *=(2,1,15, 20,7 ,7.8,L71,6,3,87! .Se considerd un gir de n numere reale. SI se scrie programul caredetermini elementul maxim din subgirul format din termenii de rang impar aigirului inifial gi elementul minim din subgirul format din termenii de rang parai girului inifial precum gi rangurile pe care apar aceste elemente [n gir.Si se determine cel maimic numlr prim aflat pe pozifii pare in vector. Dacenu existi un astfel de numir se va afiga un mesaj corespunzitor.Se consideri un gir cu n numere naturale. Se cere sl se afigeze un numdrdin gir care are In scrierea sa c6t mai multe cifre distincte. Dacd exist5 maimulte numere cu aceastii proprietate se va afiga primuld,intre ele.Exemplu. Pentru rr=(54, L2221 ,L23,33,9{} numarulcerut este 123.D6ndu-se girul x cu n componente reale, si se determine gi sd se afigezegirul u definit prin:

,"*(xrlx, , o,j = [r) daca i egte par(x +x +... + x ,i=1,2,...tt,daca i este irtrarExemplu. Daci x=(10r 6,37,73,93,97,70r 93r53,91) se oblineY= ( 10 r 7,O, L7 . 5555, 7 3, 31 . 8, 87, 15 .L428, 93, 52 . 1444, 93 | .

73.

74.

75.

76.77.

78.

".={


44/62

79. si se scrie un program care carculeazi maximuldintre erementere pare arenur vector de numere intregi.Exemplu. Elementul . maxim par din vectorul (zz,ss,sL,Lg,32,L7,, L4, 66,7 0,33) este 94.Sedi ne N gi vectorii *=(*r,*r,-x") gi !=(y*yr,_v").Sisecalculeze vectorul c astfel:

daca xoy. < 0daca xryl = o, i=lr 2r_.rn.daca xry, ) 0

80.

Il1*1, -IfrrYl )

81.Exemplu. Dacd x=(5, _2,3,6,-{,g,_2,10,-3) gi y=(2,-3,_5, 7, 9, 0, -4, O,-10 ) atunci c= (_1, _4, 2, _{, L. 6, 9, -4,10, _10 ) .Si se calculeze:

[(x, +x, 1...+x.)l1zr=lo[,*"(v. l,lv.., l,-lr" l)

daca x,daca x.daca x,

< 1r.=Yr)Yr

82.

pentru L=L,2,'..1n1 unde n e N gi xi R,yr R se citesc de ratastaturi.2.3 $ubgiruri de elemente

se d5 un $ir de numere- Gisi[i un subgir de rungime maximS care rncepe gise sf6rgegte cu acelagi numir.'Exemplu. Pentru vectorul (57,55, 24,9,s0,74,3,98, 4,a6,1g,7s,88, 85, 29, 88, L6, 82) secvenfa ceruti este (g6, lg,zs,aJ,',ral.Fie v un vector format din n numere ?ntregi, n


45/62

85.

86.

87.

Exemplu. Daci x= (2,7,3,9,10, 4,5, 8, 5,7.,91 atunci giill y= (9, 10, {)este subgir al lui x dary= (4,5,6,9) nu este subgir al lui x.Se di un vector de numere intregi. Se cere sa se afigeze subsecventapalindromici de lungime maxime. (elementele subsecventei sunt el6menteconsecutive in vector).Exgmplu.Daci vectorul dat este (L, L2, 37., 7.2, !., 5, 7.3, 27, 4, 4, 27, !3,9,'26,9,L3,27,tLI atunci secventa palindromici de lungima maximd este11,27, L3, 9,26, 9, L3, 27, 41.Fie un tablou a : array[o. .rl - 1] cu elemente de tip Tntreg cuproprietatea a[o] < aF] < ... s a[n - r]. Un platou este o subsecvenfimaximali de elemente consecutive in tablou care con[in aceeagi valoare.Lungimea unui platou este numirul de elemente ce compun platoul. Sd sescrie un program care aflgeazi lungimea p a celui mai lung platou.Exemptu. Pentru a=(2, 4, 4, ll , 5, 6, 8, 8, 8, 8, g, g, Lo,t{, 7-4, L5, L6, 7.6, 7.6, L7 ) cel miri lung platou lncepe Tn pozilia z 9iare lungimea l.Se considerd un gir de n numere naturale mai mici decat 32OOO. Se cere sdse determine o succesiune cu numdr maxim de elemente din gir, care areproprietatea ce fiecare componenttr a succesiunii are acelagi numir de cifredistincte in scrierea sa.Exemptu. Pentru vectorul ( 5 5, 8, 37, g 49, 26, 22L3, 7-57, 38, 2 ) secventaceruti este (37 ,949,261 .Pentru un vector x de n numere intregi dat, si se afigeze o secvenli (daciexisti) de elemente consecutive din vector pentru care Suma elementelor sedivide cu n.Exemplu. Pentru vectorul (89,54, t|,63,96,L7,98,6,55,50) cea mailungi secvenld care indeplinegte condifia cerutl este ( 63,96, L7 ,98,61 .

2.4. Sorttrl, clutiri, interclasiri89. Scrieti un program care verifici daci o valoare x se gasegte sau nu printre

cele n elemente ale unui gir dat, afigdnd un mesaj corespunzitor. Valorilelui n gi x, precum gi elementele girului se citesc de la tastaturi. Se vorconsidera urmitoarele situafii: ia) Se considerd girul nesortat;b) girul se considerl sortat iar ciutiarea se va face folosind algoritmul decdutiare binar6.

88.


46/62

Exemplu. a) Dacdgirul este (5, 70, !, 7, g, g, L, 5,55, 19) atunci x=33 nu(2,3, 6, g , lg,23, SS, g7 ,102, atunci x=87 Se gdsegte$' si se scrie un program care verifici daci un numir a citit de la tastaturi seisegte printre, erementere oe pe pozitiire pare ,r" unri vector x. se voronsidera urmdtoarele cazuri..a) se va t'?:- : g",tare..binari, presupundnd ci vectorur este sortatrescStor iar numerere din vector sunt distincte ooui cate ooua;b) vectorur nu este sortat crescStor, deci se va face o cdutare secven{iar5.91. Se dau m, n c r gi mulfimile a = {a1, a2,..., a.} gia=15.,5a,_.,bn}memorate ca vectori. s5 se scrie cSte un program care carcureazi:a) C=A.Bib) C=AUBc) C=A_B

Vectoriia gia se considerd nesortafi.Exemplu. Dacd A= (L,s, 2, g, L2) gi B=15, 3, l, 6, 33, gg, .2, G')atuncia) c=1s,12); b) c=(1, s,2,g,L2,3,4,6,33,99,64); c) c= {L,2,g1.ffl""r:Hlilenlele vectorului x=(:r17,.21-.,no) de numere intregi suntFtrH*, in vectorut x=(5, Lo,t,7,s,8,L,5,ss,.Ls) sunt s numereSe dau doui mulfimi prin intermediul a doi-vectori, x gi y, cu n (1Srr


47/62

Exemplu. Daci numele elevilor sunt ('trIorLn', 'Emtlia', 'Eduard','41:Lne', fiarius'), lndl[imile lor sunt (130,133,130,145,123) iar greutdfilelor sunt (30,25,29,31,25) atunci elevii se vor afiga in ordinea A1lna,EmLlLa, FlorLn, Eduard, MarLue.96. Se citesc de la tastaturd n numere naturale. Se cere sd se sorteze girul Tnordinea crescitoare a numirului de aparifii a cifrei t in reprezentarea inbaza z a numerelor. ln cazul ln care doul numere au acelagi numir de cifreegale cu 1 in reprezentarea lor binard atunci ele vor apdrea Tn ordinea incare sunt citite de la tastaturi.Exemplu. Vectorul (5,?2,7!,L,7.4,L3,57,82,35) va fi dupd sortare132, 7., 5, Ll, ].3, 67, 82, 35, 7 Ll .97. Se dd un vector x cu n componente lntregi distincte. Si se ordonezecrescitor elementele situate intre elementul minim gi elementul maxim (sauinvers, Tntre elementul maxim 9i cel minim, daci maximul precede minimul Invector) gi sd se afigeze vectorul rezultat ln urma prelucririi.Exemplu. Pentru 1= (45r 95,L2,31,?,7,54,26,2{,92,532, 14,453) seobline ;= ( 45, 95, L2, 3 l, ?, 24, 26, 82, L5tL, 532, 7'4, 453 )'98. Se citesc n numere intregi. Si se afigeze cel mai mare numir ob[inut dinprima cifri a fiecirui numir.Exemplu. goo, 255, 75 => 912.gg, Fiind dat vectorul x cu n elemente Intregi, sd se afigeze in ordinea crescitoarea elementelor componentele distincte gifrecventele lor de aparitie.Exemplu.Dacd n=5, 1= (45r -gO, 45,2, t15,2) atunci se va afiga:

Elernentul -90 aPare o datS;Elementul 2 aPare de 2 orilElementul 45 aPare de 3 ori'

1OO. Un copil doregte si construiascd un zid cu cele n turnuri ale sale de tndl[imidiferite, astfel TncAt turnurile ce ocupd pozifii pare In zid si fie mai Inalte decitturnurile vecine. Scrieli un program care si-l ajute si sl construiasci acestzid.Exemplu. Fie n=7 9i Tnillimile turnurilor: L,7,2,6,11,3,5' O solutie aproblemei este girul: L, 5, 2, 6,3,7, tL-

101 . Construifi un algoritm care determini 9i afigeazl cel ma.i mare numdr care sepoate foima avinO exact aceleagi cifre ca gi un numdr natural n citit de latastaturd (n


48/62

1V2. Se considerd tipulculoare definit prin:tlEe Culoare=(rogu, galben, atbastru);gi un tablou u;array[l. .n] of culoare. Se presupune n>1. Se cere sdse scrie un program care afigeazd tabrour u 'cu varorire rearanjate prininterschimiri astfer rncit erementere egare cu gax.ben sd se giseascd dupielementele egale cu rogu gi inaintea cltor egate cu albasrru.EXemplU. DaCi VeCtOfUl eSte x= (albastru, ro'u, ro'u, galben, ro'u,albastru) se obfine :r= (ros[e rosu, rosu, ga].ben, albaEtru,albastru).

103' DAndu'se un vector cu maxim 1oo de numere naturare, si se rocarizezeelementul maxim gitoate elementele dinaintea lui si se orooneze crescdtor,iar cele de dupi el, descrescdtor.Exemplu. Dacd vectorul ini{ial este ( 3, J., g , 4, Loo ,2 ,36, L, t,9 , s) dupdsortare se va obfine (L,3 , l, g , LOO ,36 , g , s , 4,2 ,7., .

1014. se di un gir de numere, scrise intr-o ordine aleatoare. Ele reprezintdrezultatele pa(iale ale unor opeiafii de adunare ", nurer" naturare. printrenumere se glsegte gi numirul de ia care s-a plecat inifial. Si se reconstituieexercifiul folosind numerele date.Exemplu. Daci numerere date sunt L2, 5, 23 atunci exercifiur esteurmltorul: 6+ 6=L2: tz+!L=4.

105. Se dau m, n e lu gi mul[imile x = k1, x2,..., *o.] gi y={yr,yz ,._,yolmernorate ca vectori. si se scrie cite un program care calculeazdintersecfia celor doui mul{imi. Cei doi vectori s" "6n.iJ"ia sorta[i crescitor.'06. si se ordoneze crescitor un vector conform urmitoarelor reguli:- se ordoneazi crescitor prima treime a vectorului folosind inse(ia directd;- se ordoneazi crescitor a doua treime a vectorului folosind metoda bulelor;- se ordoneazS descrescitor ultima treime a vectorului folosind selecfia direct6;- se intercraseazi cere trei segmente sortate are vectorurui.

Se vor folosi maxim doivectori.Exemplu. Dact inifial vectorul era e,,5,2, 4,3 , g , 6 ,7 ,7.s ,g, 3, 19 ) dupdcele trei sortiri intermediare vectorul va fi (L,2,4,s,3,6,7,g,L5,13,8,3) iar dupd interclasarea celor trei secven(e (L,2,3,3,4r5,6,7 r9, 9r 13,15).'97- se di un vector cu elemente avand doar valorile L, 2,3. vectorul seconsideri ordonat "partial": primele k-1 pozifii sunt ocupate de elementeegale cu r, poziliile de la * la 1-1 de elemenie egale cu z, pozifiire de la r


49/62

la m-1 de elemente egale cu 3, iar pozi[iile de la n la n de elementeneordonate (1


50/62

1.

Thblouri bidimensionale3.1. Parculgeri (sume gi numiriri)

:f,"ff' doud matrice cu m tinii gi n cotoane. si se verifice dacd ete suntse citegte de ra tastaturi o matrice A cu m rinii gi n coroane. sd se afigeze:a) produsurerementeror pozitive afrate pe rinii pare gi coroane impare.b) suma elementelor positive impare din matrice.c) numirur erementeror positive, negative gi respective nure din matrice.d) erementere afrate pe rinii impare gi coroane divizibire cu 3.Si se construiascd

:-T:!ri9"j cu.n tinii 9i n coloane ce se compteteazd cuermenii girurui rui Fibonacci. compretarea'se va face in oroinea liniarizirii peinii a matricei. Nu se vor folosi ,tr,].irri O. date auxiliare.(t r z\Exemplu. Pentru n=3 se va afiga matricea I s ; ; Ise d5 un tabrou binimensionar cu m ,,r,, !:t, ;;:l,r*.n


51/62

7.

Se citegte o matrice A cu m linii gi n coloane, confin0nd caracterele .0,,.1 , , ..., .9 , . Se se afigeze numerele ce se obfin din cifrele fiecirei linii.(r1r rgr'1,,2r\L'0' ,4, ,0' ,r, )

Se di o matrice cu n linii gin coloane cu componente intregi. Si se verificedaci tabloul este simetric fafi de diagonala secundari.(ts 8 1\Exemplu. Matricea I ,t e 8 I este simetrici fafd de diagonalatt[14 35 4s )secundari.Se dau doua matrici e gi s binare, cu aceleagi dimensiuni, fiecare linie dinele reprezentdnd un numdr ln baza z. Sd se construiascd matricea c astfelincAt linia i si reprezinte suma liniilor t din matricile e gi a (ca suml a doudnumere in baza z).ln caz de depigire a dimensiunii matricei c, aceasta seva suplimenta cu o coloani.Exemplu. Daci A

(oc = lr['111100000011

(t 1oo1'\ (o o11o)=lo o 1 o tl si B=11 1 1 o ol atunci[r11rr) [oo1rr)r\'1.,) ,

(roo) (:.to'l (roo)lo o olgia=lo o olatuncls=lo o ol['rr) [orr) [orr)

er\ hs2tL ss)::l*=r=,r=lo u.:::::l7 ,) [.s 6 7 I 2 3 4)

Se dau doui matrici e gi s binare, cu aceleagi dimensiuni, fiecare linie dinele reprezentind un numdr Tn baza Z. Si se costruiasci rnatricea C astfelinc6t linia i si reprezinte cea mai mici, Tn ordine lexicograficd, dintre liniilet din matricile e gi s.Exemplu. Daci I =

9. Se considerd un tabel r de dimensiune mor 9i numdrul natural h (1


52/62

11.

12.

Fie e o matrice pdtratici de dimensiune n, cu eremente numere intregi. inrecare rinie, s5 se schimbe rntr" "r" "i"mentere care se ,ffi p" diagonararincipald cu cele aflate pe-oiajil;;;rrdari. si se oetermine maximurlementeror din marrice d-.rriri.o i" ciTJathte pe diagonare,se citegte de ra tastaturr o matrice cu m rinii gi n coroane cu erementeumere intregi. si se memoreze Intr-un vector b sumere etementetor de pe*:?:""i':'. a matricii (brrr v;;p;;;;;;; suma erementeror de pe rinia t inh z s\Exemplu. Pentru matricea f l u , f r" va obfine vectorul b= (G, Ls,24r(., , t):5Jr: verifice daci o matrice pdtratici e de ordinurn este matrice distanfd,

|.",, ' ola.. = o]"., = .r,[".r*ar*)ar*Vi,J e G, L * ivieilfvL j e :"nVL j,ke ilE

(orz\Exemptu.Matricea I r o, I esteo matricedistanfi.[z , o)t3' Pqi]"t' un program care verificd daci Intr-o matrice A cu m rinii gi n coloaneliniile r,r gi r.2 sunt identice sau nu.z 3 l)5 5 ,l2 3 o ltiniitelgi3suntidentice.31tr)'14. si se permute circurar spre dreapta fiecare rinie i a unei matrice pdtrate eu un numdr de pozifii egar cu numdrur de varori p"* J" pe coroana i aatricei.(z 1sExemplu. Matricea Jes 2I[30 o

,r) (r, s rs)zfdevinelz os zl.rJ (.r o ,o)

tl


53/62

15, Fie a, o matrice cu n linii gi n coloane, cu numere reale gi un vector v cu ncomponente reale. Sd se determine dacd acest vector apare ca linie inmatricear 9i, [n caz afirmativ, sl se afigeze numirul acestei linii.(r 3 o , r)Exemplu. Oaca r = lz i : :_ a I iar v=(5,2,L,t7,G) atunci se va[s 2 t 47 6)afiga valoarea a.16. Si se verifice dacl o matrice pitrati e de ordinul n este pitrat magic saunu. O matrice pttratd este pitrat magic dacd sumele de pe fiecare linie,coloani 9i de pe cele doud diagonale sunt egale.17. O metodl foarte simpl! de generare a unui pitrat magic consti Incompletarea pe r6nd cu valorile 7.,2,...,12 astfel:- se plaseazi t in centrul ultimeicoloane;- se merge in linie oblici, dreapta-jos, cu numirul urmitor; daci se iesetlin pitfut prin partea dreapt6, se merge in partea opusi, Tn stlnga linieiunde trebuia ilepus numdrul, iar daci se iese prin partea de jos apdtratului, se merge in partea de sus a coloanei unde trebuia depusnumirul;- dupi ce se completeazx un grup de n numere, se merge cu o cisutispre stdnga, pe aceeagi linie, pentru a se repeta apoi pasul z gi agenera urmitorul gruP de lr numere.Si se scrie un program care implementeazi acest algoritm.Exemplu. Pentru a-5 se obfine in final urmdtorul pitrat magic:

1110423L7181.2552125 1913 7 '.2 2L20 1{ 89 3 22 1515

18. Se citegte de la tastaturi o matrice a cu n linii 9i n coloane cu elementenumere Tntregi. Si se copieze intr-un vector elementele pozitive aflatedeasupra diagLnalei principale In matrice, apoisi se tipireascd vectorul.(t s -3)Exemptu.Pentru matricea | - I 7 2 | se obtinevectorul (5,21'[ro 33 e )19. Se dau matricele A(m,n), B(m,1), C(k,n), D(k,1), tn,n,k,1>0,unde au fost specificate in paranteze dimensiunile fieclrei matrice. Sd se


54/62

se afigeze matricea M(m+k,n+I), formatd astfel20' :;,'ff#n1?f,;5111?[?i de ordinurn. si se senereze vectorurx av6nd n

iidaca)"r, ,I"rr.in caz conlrar

genereze gi si,=[^ a)[c o)'

t,xtit = jIo

21. se dd o matrice A cu m rinii gi n coroane cu eremente 0 gi 1. si se scrie unrogram care si se_{1Seze toate perechire de rinii Jomjeientare dinatrice. Doui riniise numesc compteinentare oaci suma componenteror dee aceeagicoloani este x..

Exemplu. pentru A =

Exemptu. in matricea( 1, 3 ) gi respectiv (2 , S) .

t2 9 225 6 7 3 543 5 11152397 010 3 4

se obfine x= ( 0, 1, 0, 1, 1) .

0010101100l_0101

0101100t10

L00t01x. x.10liniile complementare sunt

22. Se dd un tablou bidimensional a cu rn linii gi n coloane (1Sm,n


55/62

26 9{3151111911L2Se dau doui matrice A gi B cu m linii gi n coloane fiecare. Si 5e schimbeliniile celor doui matrice intre ele daci primele doui elemente ale lor suntegale. [n caz contrar, liniile matricelor rim6n neschimbate. Si se afigezematricele ob{inute.Exemplu. m=3, n=5,

a)t, I,r);.l,,=[:,u) [r'

(tr=le[,,

s\ (t,, l,r=lt,u) [,u

234789L2 13 t4

5677 1,L L215 L7 18

rezulti (t z 3 {e=ls z L1, L2I[11 L2 13 Lt

s 6 z e\7 L tol.15 L7 18")Se di o matrice pitraticd de ordinul n. Se consideri ci diagonalele Tmpartmatricea in I zone: nord, Sud, est gi vest (elementele de pe diagonald nu facparte din nicio zond).a) si se calculeze suma elementelor de sub diagonala principalS,exclusiv diagonala.b) sa se calculeze suma elementelor de deasupra diagonalei

secundare, exclusiv diagonala.c) Si se calculeze suma elementelor din nord.d) Si se calculeze produsul elementelor din sud.e) Si se calculeze media aritmetici a elementelor din vest'f) SI se calculeze numirulelementelor nule din est.g) sd se obfini simetrica matricei iniliale fa!6 de diagonala principali.h) sd se ob[ini simetrica matricei inifiale fali de diagonala secundari.D Se se ob[ini simetrica matricei iniliale fali de o axd orizontali cetrece prin centrul matricei.j) si se oblina simetrica matricei iniliale fafa de o axi verticali cetrece prin centrul matricei.


56/62

26' Fiind datd o matrice cu rn rinii gin coroane cu eremente numere tntregi, soriefi;p,,[fl.r, care stabiteete de cdte ori .pr," o r.6;;";;i; x ca element atExemplu. pentru m=4, n=6, x=3 gi matriceaafigeazd valoarea 4.n. Si se verifice dacd existi o valoare comunacoloanelor unei matrice A cu m riniiii " cotoane.

(tlrl8[10935 2231571,0 364198

tuturor liniilor, respectiv

e\,l,lt"e)(t 4 s e)

Exemptu. in matricea l t 7 I s l'dr'rruea i.s 1o , ,l numirul 3 este comun tuturorcotoaneror iar numdrur r Jil.;;,rt*,, riniiror.4. se di o matrice A cu m rinii gin coroane. si se afigeze matricea obfinutd dinn prin eliminarea liniilor gi coloanelor la intersecfia carora se a1d un numirnaturar ar cirui scriere in baza z are cer pufin douJ cirre egate cu r.(z o I r.6Exemptu.Dacdinifiat o=i:: s 8 2lu 1 o e

I[4 2 L6 12 Si 3 gicoloanete 2 gi 4)se ob[ine matricea e = (2 t ,)[4 1G e)'4 se di un gir x de numere intregi de dimensiune N x u. si se genereze omatrice n' e M(u x r) astfer inc6t erementere matricei sd reprezintex[1] z


57/62

30. se di un gir de numere intregi x de dimensiune u x u. si se genereze o. matrice A e M(N x N) astfel incAt elementele matricei si reprezintex[1I x[2] x[4]elementele vectoruluix scrise in urmltoarea ordine: xl3l xt5lxIGI

Exemplu. Pentru n=3 gix=(1, s,9,9,4,7,G,10,3) se obline matricea(t s e)ls o rl.ttU 10 3)31. $tiind ci girulx:4r2, 6r213, gr2r4, gr3, !0r2r5, ...

este ob{inut din girul numerelor naturale prin eliminarea numerelor prime giscrierea dupi fiecare numir compus a divizorilor sii proprii, si se generezeurmitoarea matricea de ordinuln:

!,=

32. Se dau numerele.naturale m gi n. Sd se formeze matricea A cu m linii gi ncoloane completind elementele in ordinea liniilor cu elementele girului:7., 7.r2r4, 3rgr27, trllrt6t 5r25rL25r ...

Se observi cd girul este ob[inut din girul numerelor naturale prin lnlocuireafiecdrui numir par p cu o secvenli formati din numerele 1, p, n2 gi a fieciruinumir impar L>t cu o seo/enfi formati din numerele i, i2, i3.

33. Se dau numerele naturale m gi n. Si se forrneze matricea A cu nr linii gi ncoloane cu elementele preluate din girulL, 2r2, 7.r2131 4rlLrIr4, 7.r213rlLr5, 6r5r6r6r6r6, 7.r2,3rlr5r6r7, grgrg,grgrgrgrg, !.r2r...

56


58/62


59/62

37. Afi jucat vreodatd minesweeper? Scopul jocului este de a afla unde suntpozifionate minele de pe o tabli de dimensiune mxn. Pentru a vi ajuta,atunci cind dafi click pe o clsuti, se afigeaztr numirul de mine aflate incdsulele adiacente cu aceea cisu[i. De exemplu, pentru urmitoarea tabldde joc pe care se gisesc doui mine (reprezentate cu *):*. * 211*. matricea cu numere de sprijin este 2 3 * 1.1*2L

Fiind dati o matrice de dimensiune mxIr in care sunt reprezentate cu *minele 9i cu . cisufele libere, se cere sd se afigeze matricea oblinutdlnlocuind fiecare punct din matricea datd cu numirul de mine din cisuteleadiacente.38. Se considerd tabelul T cu n linii 9i coloane, cu elemente 0 gi 1. Alctrtui{i unprogram In cadrul cdruia se determini toate perechile (i, j), unde i estenumirul liniei iar j numirul coloanei cu proprietatea ci toate elementele dinlinia t sunt o iar cele din coloana J (cu exceplia elementului de pe linia r)sunt toate r. Pot exista mai multe astfel de solu[ii?Exemplu.ln matricea

01100011L001111

1100000011singura pereche este ( 2, 3 ) .

39. Fiind dat un cub de dimensiune n in care elementele sunt numere de la r lan3, si se determine elementele care sunt agezate pe cele patru diagonale 9isuma elementelor de pe fiecare diagonalfi,Exemplu. Daci numerotalm 'straturile" cubului de sus In jos lncepind cu tiar valorile din fiecare slrat sunt:(t 2 3) (ro 11 12) (rt 20 2t)stratull: ll s s l;stratul z:ln 1,L rs l;stratul A:lzz 23 ,ul[z"r) [.r.Lzr") [rt26rr)atunci cele patru diagonale sunt: diagonala 1: 1, !4, 27 (suma 42);diagonala 2: s, LiL, 25 (suma lz); diagonala 3: 9, Ll, 19 (suma 42);diagonala 4i 7 , Lt,21 (suma {2).40. lmaginea codificatl a unui perete avariat se reprezintd sub forma uneimatrice cu m linii gi n coloane cu elemente O 9i 1, 1 reprezentdnd pereteintact, iar o perete avariat. Refacerea acestui perete se faee prin plasarea peverticall a unor blocuri de inillimi k' k=l'""m' 9i li[ime f in locurileavariate.

58


60/62


61/62

Exemplu. Pentru n=4, A =oblin vectot'ii x=(5, 1, 8, 38,9,10).

b) folosind vectorii x gi v si se calculeze suma celor doui matrice;c) folosind vectorii x gi v sa se calculeze produsul celor doui matrice.Obseruafie. La punctele b) gi c) nu se vor reconstitui cele doui matrice caapoisd se lucreze cu acestea!44. Fie a matrice A cu n linii 9in coloane reprezentind o populalie de virugi careevolueazi astfel:a) un virus moare cand are mai pufin de doi vecini (de plictiseald) saumaimult de g vecini (sufocat);

b) un virus apare intr-un loc liber daci are 2 vecini sau a vecini;c) un virus triiegte cel mult s generalii, dupi care moare de bdtrinefe.Sd se afigeze configurafia populaliei de virugi dupd k generalii.ExemPlu. Pentru rrr=f,, rr=1, ls={

generalia a lV-a va avea configuratia

(t 2 3 r)ls 6 7 slB=l lse18 9 5 2ltl[10 I s L)y=(1,2,3,4,5,6,7,

(s 1 8 3\lt t 2 ,"1lr 2 6 -rl[, 11 -z , ),4,2,LL,6,-2,91

45. Sd se cripteze un text alfanumeric (con[inAnd litere mari, spafiu, virguld,punct gi asterisc) cu ajutorul urmitoarei matrice de criptare:VUIJPEiIABCDFGHIKMNOARS,TWXYZ*

60


62/62

tf6.

criptarea redizandu'se pe grupe de z caractere, prin inrocuirea caractereroruccesive n1, trrz din text-cU perechea'de caracter@ c1, c2 determinatiionform regulilor:a) daci n1, m2 apar ca vdrfuri opuse ate unui dreptunghi in cadrurmatricei m1 gi n2 vor fi rnrocuite cu caracterere corespunzdtoarecerorrarte doui varfu ri_a re d reptu n g n i ri i, in1"i.'iirJr". ]r,gonom etricde exemplu BR)Do, nc)eoi;-- '-'b) dacd mr, m2 apar pe aceeagi linie, cr gi c2 se obfin printr_o deplasareciclicl la dreapta (de exemitu aD)BF, o, reN);c) daci ml gim2 se glsesc pe aceeagi coloani, c1 gi c2 se ob[in printr-odeplasare ciclici in jos (rnu_>ou); 'd) daci nq, m, coincid, ere rim6n nemodificate in textur criptat;e) daci textur confine un numSr impar de caractere, urtimur se grupeazicu blancul. Yrr.r'|sr s'Exemplu. Textul .**AcEsTA EsrE IrN ExE![prru sr![prJu. **, secodifi ci astfel . * *BDFZvGE,rzNirrowgr.zKEprr, EK. Epirtl. Jir., .Pentru codificarea unui text format din litere mici se folosesc doui tablouribidimensionale 5x5, generate prin program.

abcdefshijkLmnporgtuvw:ryz

L23{s67891011 L2 13 1,4 1s15 L7 18 19 202L 22 23 24 25codificarea se rearizeazr caracter dupr caracter astfet:- caracterul _din .linia i 9i coloana j se codificl prin elementulcorespunzdtor din tabloul de numere intregi;' dupi efectuarea acestei codificdri, rinia i din tabrour de numere sepermuti circular spre dreapta cu i pozifii, apoi coloana j ctin acelagitabel se permuti circular in sus cu 3 poziiii;sl se scrie un.program. care, pe-ntru orice text dat confindnd doar caracteremici ale arfabeturui-engrez, si'afig"i" .rccesiunea

Date post:	11-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	sergiu-jugarean
View:	312 times
Download:	0 times

Culegere Alba Xi-XII

Documents