Cristian...

Elemente de Algebra Liniara. Note de curs

January 19, 2014

Cristian Neculaescu

ASE, Departamentul de MatematicA, ClAdirea Ciberneticii, sala 2625, Office hours:

on Monday, 15,00

E-mail address: [email protected]

URL: roedu4you.ro, math4you section

Cuprins

Prefata vi

Partea 1. Introducere în Algebra Liniara 1

Capitolul 1. Spatii si subspatii vectoriale 3

1.1. Definitii introductive 3

Diferente dintre termenii folositi 16

Schimbarea înmultirii cu scalari poate conduce la schimbarea proprietatilor spatiului 17

1.1.1. Lungimi si unghiuri 18

1.2. Proprietati 18

1.3. Exemple de spatii vectoriale 20

1.4. Exercitii 21

1.5. Reprezentari în spatii vectoriale 22

1.6. Exemple de baze standard 28

1.7. Reprezentarea vectorilor 29

1.8. Operatii cu subspatii 49

1.9. Laticea subspatiilor 56

1.10. Spatiul factor 60

1.10.1. Spatiul factor atasat unui subspatiu fixat 60

1.10.2. Familia claselor de echivalenta 62

Capitolul 2. Operatori liniari 65

2.1. Exemple de operatori liniari 65

2.2. Proprietati 65

2.3. Reprezentarea operatorilor 69

2.3.1. Reprezentarea functionalelor 71

2.4. Teoreme de izomorfism 71

2.5. Introducere În Teoria Spectrala 74

2.5.1. Decomplexificarea formei canonice complexe 92

2.5.2. Algoritm pentru aducerea unui operator la forma canonica Jordan 95

iii

iv CUPRINS

2.5.3. Exemple 97

2.6. Functionale bilinare si patratice. Forma canonica 116

Capitolul 3. Spatii vectoriale cu produs scalar 129

3.1. Ortogonalitate 135

3.2. Proiectia unui vector pe un subspatiu 139

3.3. Metoda celor mai mici patrate 141

3.3.1. Operatii cu coloane 142

3.3.2. Operatii cu linii 144

3.4. Tipuri speciale de operatori 149

3.4.1. Operatori de proiectie 149

3.4.2. Operator adjunct 151

3.4.3. Operatori izometrici, unitari, ortogonali 155

3.4.4. Operator normal 160

3.4.5. Operator autoadjunct 161

3.4.6. Operator antiautoadjunct 163

3.5. Modelul Leontief 163

3.6. Spatii vectoriale peste corpul numerelor complexe 169

Capitolul 4. Spatii afine 171

4.1. Definitii 171

4.1.1. Properties 173

Partea 2. Produse software pentru Algebra Liniara 179

Capitolul 5. Geogebra 181

Capitolul 6. CARMetal 183

Partea 3. Anexe si completari 185

Capitolul 7. Recapitulari 187

Logica binara 187

7.1. Predicate logice 192

7.2. Multimi 192

7.2.1. Operatii cu multimi 193

7.2.2. Relatii 194

CUPRINS v

7.2.3. Functii 196

7.2.4. Operatii cu functii 197

7.3. Multimi uzuale de numere 198

7.3.1. Structura zecimala a numerelor 199

7.3.2. Multimea numerelor reale 199

7.3.3. Multimea numerelor complexe 199

7.4. Cardinalitatea multimilor uzuale de numere 204

7.5. Notiuni generale despre matrici 206

7.6. Operatii cu matrici 212

7.7. Alte operatii cu matrici 213

7.8. Matrici partitionate 214

7.9. Inversa Moore—Penrose a unei matrici oarecare. Descompunerea în valori singulare (SVD) 218

7.10. Structuri algebrice 222

Capitolul 8. Tipuri de subiecte din anii anteriori 229

8.1. Subiecte cu rezolvare clasica 229

8.2. Subiecte scurte si/sau tip grila 231

8.3. Probleme din diverse materiale bibliografice 233

8.4. Structura lucrarii semestriale 234

8.5. Conditii pentru prezentarea la examen 235

8.6. Structura biletului de examen 236

Bibliografie 237

vi CUPRINS

Prefata

Partea 1

Introducere în Algebra Liniara

CAPITOLUL 1

Spatii si subspatii vectoriale

1.1. Definitii introductive

1.1.1. Definitie. (Definitia spatiului vectorial) Se dau:

• multimile:

—V 6= ∅ (elementele multimii V se numesc vectori)1;

—K 6= ∅ (elementele multimii K se numesc scalari);

• functiile:

—+K (·, ·) : K×K→ K. Functia +K este o lege de compozitie pe multimea K numita adunarea

scalarilor si va fi notata prescurtat „+";

— ·K (·, ·) : K×K→ K. Functia ·K este o lege de compozitie pe multimea K numita înmultirea

scalarilor si va fi notata prescurtat „·";

—+V (·, ·) : V×V→ V. Functia +V este o lege de compozitie pe multimea V numita adunarea

vectorilor si va fi notata prescurtat „+";

— · (·, ·) : K × V → V. Functia · este o operatie externa pe multimea V numita înmultirea

vectorilor cu scalari si va fi notata „·". Pentru fiecare α ∈ K fixat, operatia partiala V 3

x 7→ α · x ∈ V poate fi numita omotetie de parametru α. Schimbarea acestei operatii poate

conduce la schimbarea caracteristicilor spatiului vectorial —vezi a doua subsectiune)

Perechea (V,K) (împreuna cu operatiile descrise mai sus) se numeste spatiu vectorial daca sunt în-

deplinite urmatoarele conditii:

(1) (K,+K, ·K) este corp comutativ;

(2) (V,+V) este grup abelian;

(3) ∀a, b ∈ K, ∀x, y ∈ V, au loc:

(a) (a+K b) · x = a · x+V b · x (distributivitatea operatiei „·" fata de operatia „+K");

(b) a · (x+V y) = a · x+V a · y (distributivitatea operatiei „·" fata de operatia „+V");

(c) a · (b · x) = (a ·K b) · x;

(d) 1K · x = x.

1.1.2. Observatie. Distinctia între diferitele operatii notate la fel se va face din context;

1În sens riguros, elementele multimii V sunt vectori de pozitie. Denumirile „vector”, „vector de pozitie”sau „punct”trebuiefolosite atent. La sfârsitul acestei sectiuni va fi inclusa o subsectiune pe acest subiect.

3

4 1. SPATII SI SUBSPATII VECTORIALE

• Elementul 0V este elementul neutru la adunarea vectorilor si va fi notat în continuare cu 0;

• Elementul 0K este elementul neutru la adunarea scalarilor si va fi notat în continuare cu 0;

• Elementul 1K este elementul neutru la înmultirea scalarilor si va fi notat în continuare cu 1;

• Se folosesc notiuni (presupuse) cunoscute din liceu: multimile de numere (N, Z, Q, R, C) si

proprietatile lor, notiunile Algebrei de clasa a XII—a: parte stabila, operatie, monoid, grup, grup

abelian, inel, inel comutativ, corp, corp comutativ, element neutru pentru fiecare structura alge-

brica, elemente simetrizabile, simetricul unui element (fata de o operatie sau alta, atunci când

este cazul), proprietati ale lor: unicitatea elementului neutru, unicitatea elementului simetric, etc.

• Conventii de notatie: vectorii vor fi notati cu litere latine mici (a, b, c, u, v, w, x, y, z, etc),

scalarii cu litere grecesti mici (α, β, γ, δ, etc), multimile cu litere latine mari „dublate" (A, B, C,

D, K, L, M, N, R, X, V, etc) la care se vor adauga eventual indici (α0, V1, etc) si/sau supraindici

(U1, x3, y(2)4 , etc) în functie de context.

1.1.3. Exercitiu. Sa se arate ca într—un monoid cu element neutru elementul neutru este unic.

1.1.4. Exercitiu. Sa se arate ca într—un grup elementul simetric al unui element este unic.

Urmatoarele exemple listeaza câteva dintre situatiile importante în care sunt folosite spatii vectoriale.

Exemplele 2D si 3D sunt probabil printre cele mai simple, ofera intuitii vizuale si sunt folosite în multe

domenii, iar aceste caracteristici sunt si pozitive dar si negative (în acelasi timp ofera intuitii dar si limiteaza

imaginatia necesara pentru alte situatii). Exemplul Rn este mediul de lucru principal pentru acest curs,

iar ultimul exemplu se refera la o situatie speciala care nu va fi prezentata aici dar care este începutul

pentru "Teoria Codificarii".

1.1.5. Exemplu (2D). Se considera urmatoarele obiecte:

• spatiul vectorial (R2,R) (planul euclidian); în acest mediu ambient, un vector este identificat cu

vectorul de pozitie al punctului corespunzator; de exemplu, vectorul

1

2

este reprezentat prin

vectorul de pozitie cu originea în punctul O (0, 0) si vârful în punctul P1 (1, 2).

• vectorii: v1 =

1

2

, v2 =

3

1

, v1, v2 ∈ R2;

• În figura atasata, vectorii sunt reprezentati ca vectori de pozitie; de exemplu, vectorul v1 este

vectorul cu originea în O (0; 0) si cu sensul în P1 (1; 2)

• suma v1 + v2 =

1

2

+

3

1

=

4

3

= v3;

• vectorul opus lui v2 este −v2 = v4 =

−3

−1

;

1.1. DEFINITII INTRODUCTIVE 5

• înmultirea cu un scalar v6 = 2, 6 · v1;

• diferenta v1 − v2 =

1

2

− 3

1

=

−2

1

= v5;

Figura 1.1.1: Vectori si operatii cu vectori în 2D

1.1.6. Exemplu. (3D) Se considera urmatoarele obiecte:

• spatiul vectorial (R3,R) (spatiul euclidian); în acest mediu ambient, un vector este identificat cu

vectorul de pozitie al punctului corespunzator; de exemplu, vectorul

1

2

1

este reprezentat prin

vectorul de pozitie cu originea în punctul O (0, 0, 0) si vârful în punctul P1 (1, 2, 1).

• vectorii: v1 =

1

2

1

, v2 =

3

1

2

, v1, v2 ∈ R3;


• suma v1 + v2 =

1

2

1

+

3

1

2

=

4

3

3

= v3;

• vectorul opus lui v2 este −v2 = v4 =

−3

−1

−2

;• înmultirea cu un scalar v6 = 2, 6 · v1;

• diferenta v1 − v2 =

1

2

1

−

3

1

2

=

−2

1

−1

= v5;

Figura 1.1.2: Vectori si operatii vectoriale în 3D

1.1.7. Observatie. În cele doua exemple (2D si 3D) exista diverse similaritati si diferente:

• Punctele si vectorii de pozitie sunt reprezentati prin doua, respectiv trei coordonate, iar în general

reprezentarea va fi facuta prin n coordonate


• Exista o oarecare ambiguitate între notiunile "punct", "vector", "vector de pozitie". Clarificarea

acestei ambiguitati se face într—un capitol ulterior studiului spatiilor vectoriale si care este numit

"Geometrie Afina"[vezi, de exemplu, [24]]. Deocamdata este suficient sa se remarce ca, în mediul

ambient numit "spatiu vectorial", un "vector" care geometric ar avea ca origine alt punct decât

originea sistemului de coordonate nu face parte din mediul ambient.

• O dreapta în 2D poate fi reprezentata ca "multimea solutiilor ecuatiei ax+ by+ c = 0" [cu a, b, c

nu toti nuli]. Desi aceasta reprezentare ar putea fi considerata "confortabila", nu poate fi extinsa

la alte dimensiuni. În 3D, "multimea solutiilor ecuatiei ax+ by+ cz+ d = 0" [cu a, b, c, d nu toti

nuli] reprezinta un plan iar în acest context o dreapta ar putea fi reprezentata ca intersectie de

doua plane, adica "multimea solutiilor unui sistem de doua ecuatii cu trei necunoscute"; procedura

poate figeneralizata la n dimensiuni, unde o dreapta este "multimea solutiilor unui sistem de n−1

ecuatii cu n necunoscute", dar nu prea mai pare asa de confortabila.

Fie punctele P1 (1, 2) si P3 (4, 3); dreapta care trece prin ele este:x− 1

4− 1=y − 2

3− 2⇒ x− 1 = 3 (y − 2)⇒ x− 3y + 5 = 0; se observa ca "x− 3y + 5 = 0" este un

sistem de o ecuatie cu doua necunoscute, care are solutia

x = 3t− 5

y = t, t ∈ RO metoda alternativa si care are avantajul de a fi neschimbata la schimbarea numarului de

dimensiuni este urmatoarea [reprezentare parametrica]:

punctele P1 si P3 corespund vectorilor [de pozitie] v1 =

1

2

si v3 =

4

3

; dreptacare trece prin cele doua puncte este multimea vectorilor [de pozitie] de forma v(λ) = v1 +

λv2 [= v1 + λ (v3 − v1)] [= (1− λ) v1 + λv3] =

=

1

2

+ λ

4

3

− 1

2

=

3λ+ 1

λ+ 2

, λ ∈ R, care este o alta parametrizare asolutiei

x = 3t− 5

y = t, t ∈ R:

t = λ+ 2⇒ y = t = λ+ 2, x = 3t− 5 = 3 (λ+ 2)− 5 = 3λ+ 1.

Câteva puncte interesante pentru aceasta dreapta:


Figure 1. Figura 1.1.3: Puncte pe o dreapta în 2D

Punctul λ Observatii

P1 0 "originea dreptei" v1 = v(0)

P3 1 v1 + v2 = v(1)

P2 nu este pe dreapta "directia dreptei"

P4 −1 v4 = v1 − v2 = v(−1)

P71

2v7 = v(1/2) "mijlocul segmentului P1P3"

P8 −1

3

v8 = v(−1/3) "intersectia dreptei cu axa Oy"

[punctul dreptei cu prima coordonata nula]

P9 −2v9 = v(−2) "intersectia dreptei cu axa Ox"

[punctul dreptei cu a doua coordonata nula]

• În figurile 1.1.1 si 1.1.2, faptul ca punctele P3, P1 si P5 sunt coliniare nu este o coincidenta. Aceste

puncte corespund vectorilor v3 = v1 + 1 · v2, v1 + 0 · v2, v5 = v1 + (−1) · v2, care sunt de forma

v1 + λv2, asa ca sunt pe aceeasi dreapta (coliniare).

1.1.8. Exemplu. Se considera multimea

Rn = (x1, x2, · · · , xn) ; xi ∈ R, i = 1, n.

Multimea Rn este spatiu vectorial real în raport cu operatiile „pe componente”:

adunare:

(x1, x2, · · · , xn) + (y1, y2, · · · , yn)Def= (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) ,

∀ (x1, x2, · · · , xn) , (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn


(semnul + din membrul stâng se refera la adunarea elementelor din Rn iar semnele + din membrul drept

se refera la adunarea elementelor din R; se foloseste acelasi semn pentru doua operatii distincte, iar pe

parcursul textului, distinctia trebuie facuta din context)

înmultire cu scalari:

α · (x1, x2, · · · , xn)Def= (αx1, αx2, · · · , αxn) ,∀α ∈ R.

(R,+, ·) este corp comutativ (se stie din liceu); (Rn,+) este grup abelian (adunarea pe componente

este asociativa, comutativa, admite element neutru si orice element este simetrizabil, datorita propri-

etatilor adunarii pe R), elementul neutru este 0Rn = (0, 0, · · · , 0) iar simetricul lui (x1, x2, · · · , xn) este

(−x1,−x2, · · · ,−xn). Au loc proprietatile de distributivitate:

(α + β) · (x1, x2, · · · , xn) =

= ((α + β)x1, (α + β)x2, · · · , (α + β)xn) =

= (αx1 + βx1, αx2 + βx2, · · · , αxn + βxn) =

= (αx1, αx2, · · · , αxn) + (βx1, βx2, · · · , βxn) =

= α (x1, x2, · · · , xn) + β (x1, x2, · · · , xn) ,

α · ((x1, x2, · · · , xn) + (y1, y2, · · · , yn)) =

= α · (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) =

= (α (x1 + y1) , α (x2 + y2) , · · · , α (xn + yn)) =

= (αx1 + αy1, αx2 + αy2, · · · , αxn + αyn) =

= (αx1, αx2, · · · , αxn) + (αx1, αx2, · · · , αxn) =

= α · (x1, x2, · · · , xn) + α · (y1, y2, · · · , yn) ,

(α · β) · (x1, x2, · · · , xn) = ((α · β)x1, (α · β)x2, · · · , (α · β)xn) = (α · (βx1) , α · (βx2) , · · · , α · (βxn)) =

= α · (βx1, βx2, · · · , βxn) = α · (β · (x1, x2, · · · , xn)).

1.1.9. Exemplu (Spatii vectoriale peste corpuri finite). Acest exemplu foloseste Capitolele 3 si 4 din [25].

Se stie ca pentru fiecare numar prim p si pentru fiecare întreg pozitiv n, exista un unic corp finit cu pn

elemente [T. 3.3.3, [25]], notat Fpn . Daca V este o multime nevida astfel încât (V,Fpn) satisface axiomele

de spatiu vectorial, atunci structura (V,Fpn) este un spatiu vectorial peste un corp finit, structura utilizata

în "Coding Theory" si în "Cryptography". În acest context, un cod liniar de lungime m peste Fpn este un

subspatiu al spatiului(Fmpn ,Fpn

).

1.1.10. Definitie. (Definitia subspatiului) Fie (V,K) spatiu vectorial si S ⊆ V; S se numeste subspatiu

vectorial al lui (V,K) daca:


(1) ∀x, y ∈ S, x+ y ∈ S;

(2) ∀α ∈ K,∀x ∈ S, αx ∈ S.

Nu orice submultime a lui V este subspatiu: de exemplu multimea α (1, 1, 2) ; : α ∈ R este subspatiu

in R3, iar multimea (1, 1, 1) + α (1, 1, 2) ; : α ∈ R nu este subspatiu în R3.

1.1.11. Exemplu. Multimea

S =

(x1, x2, x3) ∈ R3;x2 = 0

este subspatiu vectorial al spatiului vectorial (R3,R).

Fie x, y ∈ S ⇒ x = (x1, 0, x3) si y = (y1, 0, y3); au loc:

x+ y = (x1, 0, x3) + (y1, 0, y3) = (x1 + y1, 0, x3 + y3) ∈ S,

iar pentru α ∈ R, αx = α (x1, 0, x3) = (αx1, 0, αx3) ∈ S. Din defintia subspatiului rezulta ca multimea S

este subspatiu al spatiului vectorial (R3,R). Multimea poate fi descrisa astfel:

S = α (1, 0, 0) + β (0, 0, 1) ;α, β ∈ R .

1.1.12. Definitie. (Definitia operatorului liniar) Daca (V1,K) si (V2,K) sunt spatii vectoriale (peste

acelasi corp de scalari), o functie U (·) : V1 → V2 se numeste morfism de spatii vectoriale (aplicatie

liniara, operator liniar, etc) daca:

(1) U (x+ y) = U (x) + U (y) , ∀x, y ∈ V1 ( U (·) este morfism de grupuri (este aditiv));

(2) U (αx) = αU (x) , ∀x ∈ V1, ∀α ∈ K (U (·) este omogen).

Se noteaza cu LK (V1,V2) multimea tuturor morfismelor dintre (V1,K) si (V2,K).

1.1.13. Exemplu. Fie spatiile vectoriale (R3,R) si (P2 [X] ,R) (Pn [X] este multimea tuturor polinoamelor

de grad cel mult n, în nedeterminata X si cu coeficienti reali). Functia U (·) : P2 [X] → R3 definita

prin U (P (·)) = xP (·) ∈ R3 (pentru un polinom P (X) = aX2 + bX + c ∈ P2 [X] se ataseaza vectorul

xP (·) = (a, b, c)) este morfism de spatii vectoriale.

Operatiile în (P2 [X] ,R) sunt (definitiile sunt cunoscute din liceu):

P (·) +Q (·) Def= (P +Q) (·) , unde: (P +Q) (X) = P (X) +Q (X) ,

α · P (·) Def= ((α · P ) (·)) , unde: (α · P ) (X) = α · P (X) .

P (X) = aX2 + bX + c ∈ P2 [X]⇒ U (P (·)) = (a, b, c) ∈ R3,

Q (X) = a1X2 + b1X + c1 ∈ P2 [X]⇒ U (Q (·)) = (a1, b1, c1) ∈ R3.


(P +Q) (·) este definit de:

(P +Q) (X) = (a+ a1)X2 + (b+ b1)X + (c+ c1) ∈ P2 [X]⇒

⇒ U ((P +Q) (·)) = (a+ a1, b+ b1, c+ c1) = (a, b, c) + (a1, b1, c1) = U (P (·)) + U (Q (·))

(αP ) (·) este definit de:

(αP ) (X) = αaX2 + αbX + αc⇒

⇒ U ((αP ) (·)) = (αa, αb, αc) = α (a, b, c) = αU (P (·)) .

1.1.14. Definitie. (Spatii izomorfe) Spatiile vectoriale între care exista un morfism bijectiv (izomorfism)

se numesc izomorfe. Se va nota (V1,K) ∼= (V2,K).

Intuitiv, daca doua spatii vectoriale sunt izomorfe, acest fapt ar putea fi interpretat ca o imposibilitate

de a distinge cele doua spatii, din punct de vedere al acestei structuri algebrice. Spatiile pot fi totusi

distincte din perspectiva altor structuri algebrice si/sau din motive nematematice [alte interpretari]. O

sugestie pentru asemenea situatii este studiul spatiilor (R2,R) si (C,R).

1.1.15. Exercitiu. Sa se arate ca morfismul din exemplul anterior este functie bijectiva.

1.1.16. Definitie. (Functionala liniara) Se numeste functionala liniara pe (V,K) orice operator liniar

între (V,K) si (K,K) (orice element al multimii LK (V,K)). Multimea tuturor functionalelor liniare pe

(V,K) se noteaza cu V′(= LK (V,K)) si se numeste dualul algebric al lui (V,K).

1.1.17. Exercitiu. Sa se arate ca U (·) : P2 [X] → R, definit prin U (P (·)) = P (1) este o functionala

liniara.

1.1.18. Definitie. (Combinatie liniara) Pentru p ∈ N, i = 1, p, xi ∈ V si αi ∈ K, elementul x =p∑i=1

αixi

se numeste combinatie liniara a vectorilor xi cu scalarii αi. (scalarii care participa la suma se mai numesc

ponderi iar combinatia liniara se mai numeste suma ponderata).

1.1.19. Exemplu. 2 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) este o combinatie liniara în R3; valoarea ei este (2, 3, 0).

1.1.20. Exemplu. O poza 3D care contine obiectele:

Punctele O (0, 0, 0), P1 (1, 1, 0), P2 (0, 1, 1), P3 (1, 0, 1),

Vectorii v1 =−−→OP1, v2 =

−−→OP2, v3 =

−−→OP3,

combinatiile liniare v4 = 2v1 + 2v2, v5 = 2v1 + 2v3, v6 = 2v2 + 2v3

planele (cu culori diferite):

p1 (multimea combinatiilor liniare dintre v1 si v2)




liniile:

l1: (0, 0, 0) + λ (1, 1, 0)

l2: (0, 0, 0) + λ (0, 1, 1)

l3: (0, 0, 0) + λ (1, 0, 1)

1.1.21. Exemplu. Câteva combinatii liniare speciale:

suma vectorilor: v1 + v2 = 1 · v1 + 1 · v2

diferenta vectorilor: v1 − v2 = 1 · v1 − 1 · v2

vectorul nul: 0 · v1 + 0 · v2

vectorii "asemenea" cu v: α · v

combinatii liniare cu un singur vector: αv [reprezinta o dreapta care trece prin origine] [un subspatiu

vectorial 1—dimensional]2

combinatii liniare cu 2 vectori: αv1 + βv2 [reprezinta un plan care trece prin origine] [un subspatiu

vectorial 2—dimensional]

combinatii liniare cu 3 vectori: αv1 + βv2 + γv3 [reprezinta un spatiu tridimensional care trece prin

origine] [un subspatiu vectorial 3—dimensional]

1.1.22. Definitie. (Acoperire liniara) Daca A ⊆ V este o multime oarecare de vectori, multimea

spanK (A)Def=

n∑i=1

αixi; p ∈ N, αi ∈ K, xi ∈ A, i = 1, p

este multimea tuturor combinatiilor liniare cu elemente din A.

2Pentru notiunea de dimensiune, vezi Definitia 1.5.10, pagina 26.


1.1.23. Exemplu. în spatiul vectorial (P2 [X] ,R), pentru A = 1, X,

spanRA = a · 1 + b ·X; a, b ∈ R

este multimea tuturor combinatiilor liniare cu polinoamele 1 si X si este multimea tuturor polinoamelor

de grad cel mult 1 în X (inclusiv constantele, privite ca polinoame).

1.1.24. Observatie. Multimea spanK (A) se modifica la modificarea corpului de scalari: R3 este spatiu

vectorial atât peste corpul R cât si peste corpul Q, dar structura lor ca spatii vectoriale este diferita:

aceeasi multime de vectori genereaza alte multimi de combinatii liniare

(√3, 1, 0

)∈ spanR ((1, 0, 0) , (0, 1, 0))(√

3, 1, 0)/∈ spanQ ((1, 0, 0) , (0, 1, 0))

1.1.25. Definitie. (Dependenta si independenta liniara) Multimea de vectorixi; i = 1, p

se numeste

liniar dependenta (sau multime legata) daca cel putin unul dintre vectori se poate scrie ca o combinatie

liniara a celorlalti vectori. Daca nici unul nu poate fi scris ca o combinatie liniara a celorlalti vectori,

atunci multimea de vectori se numeste liniar independenta (sau multime libera).

1.1.26. Exemplu. Multimea de vectori din R4

(1, 2, 2, 1) , (1, 3,−4, 0) , (2, 5,−2, 1)

este liniar dependenta pentru ca

(1, 2, 2, 1) + (1, 3,−4, 0) = (2, 5,−2, 1) .

Multimea de vectori din R4

(1, 2, 2, 1) , (1, 3,−4, 0) , (3, 5,−2, 1)

este liniar independenta pentru ca (de exemplu) rangul matricii care are drept coloane vectorii multimii

este egal cu numarul vectorilor (justificarea rationamentului va fi data în continuare) (rangul matricii1 1 3

2 3 5

2 −4 −2

1 0 1

este 3).

1.1.27. Observatie. (Definitii echivalente ale independentei liniare)

Familia (xi)i=1,p este liniar independenta daca si numai daca are loc una dintre afirmatiile:


(1) ∀αi ∈ K, i = 1, p,p∑i=1

αixi = 0 ⇒ α1 = · · · = αp = 0 (unic) (relatia

p∑i=1

αixi = 0 are loc numai

pentru scalari nuli);

(2) ∀αi ∈ K, i = 1, p, ((∃i0 ∈ 1, · · · , p , αi0 6= 0) ⇒p∑i=1

αixi 6= 0) (pentru orice alegere nenula de

scalari, combinatia liniara este nenula)

Demonstratie. Cele doua afirmatii se obtin una din cealalta din relatia logica (p→ q) ≡ (eq →ep)

(se recomanda recapitularea capitolului de Logica) ; echivalenta cu definitia are loc pentru ca, daca macar

un vector este combinatie liniara de ceilalti vectori, atunci exista scalarii αi ∈ K, i = 1, n, nu toti nuli,

astfel încâtn∑i=1

αixi = 0.

Procedura: Studiul dependentei liniare a unei familii de vectori

Fie o multime de vectorixi; i = 1, p

în spatiul vectorial (V,K).

Pasul 1. Se considera relatia:p∑i=1

αixi = 0,

care este privita ca o ecuatie vectoriala în necunoscutele α1,· · · ,αp.

Pasul 2. Se rezolva ecuatia de la Pasul 1, în sensul ca se afla toate solutiile ecuatiei (de fapt, pentru stabilirea

naturii familiei de vectori este suficient sa se raspunda la întrebarea: „Exista si alte solutii în afara

de solutia identic nula (αi = 0, i = 1, p)?". De obicei acest pas înseamna rezolvarea (eventual

cu discutie dupa parametrii, daca familia de vectori depinde de parametri) unui sistem liniar de

ecuatii folosind tehnicile de liceu sau Metoda pivotului.

Pasul 3. în functie de rezultatele obtinute la Pasul 2, se finalizeaza studiul cu concluzia adecvata:

• daca solutia nula este unica, multimea este liniar independenta;

• daca solutia nula nu este unica, multimea este liniar dependenta si eventual se scoate în evidenta

si o dependenta (se înlocuieste o solutie nenula în ecuatia de la Pasul 1).

(solutia nula verifica întotdeauna sistemul de pasul 1; în situatia de independenta liniara,

esential este sa se justifice faptul ca nu exista alte solutii)

1.1.28. Exemplu. Sa se studieze natura multimii de vectori:

v1 (m) = (m, 1, 1) , v2 (m) = (1,m, 1) , v3 (m) = (1, 1,m) ,m ∈ R

în spatiul (R3,R).

Se considera ecuatia (vectoriala)

α1v1 (m) + α2v

2 (m) + α3v3 (m) = 0,


cu necunoscutele α1, α2, α3, care prin înlocuire devine:

α1 (m, 1, 1) + α2 (1,m, 1) + α3 (1, 1,m) = (0, 0, 0) ,

adica (mα1 + α2 + α3, α1 +mα2 + α3, α1 + α2 +mα3) = (0, 0, 0). Se obtine sistemul algebric liniar omogen:

mα1 + α2 + α3 = 0

α1 +mα2 + α3 = 0

α1 + α2 +mα3 = 0

a carui multime de solutii este dependenta de parametrul m si este:

S (m) =

(0, 0, 0) , m ∈ R\ −2, 1

(−a− b, a, b) ; a, b ∈ R , m = 1

(a, a, a) ; a ∈ R , m = −2

în concluzie:

• pentru m ∈ R\ −2, 1 multimea de vectori este liniar independenta.

• pentru m = −2 multimea de vectori este liniar dependenta iar o dependenta liniara este v1 (−2)+

v2 (−2) + v3 (−2) = 0.

• pentru m = 1 multimea de vectori este liniar dependenta iar o dependenta liniara este −2v1 (1) +

v2 (1) + v3 (1) = 0.

Se observa ca se obtin informatii de doua tipuri:

• de tip calitativ (despre natura multimii de vectori)

• de tip cantitativ (în cazul dependentei liniare se obtine o relatie de dependenta între vectori).

1.1.29. Definitie. (Sistem de generatori) Fiind data multimea X ⊆ V, se spune ca multimea de vectorixi; i = 1, p

genereaza multimea X daca X ⊆ span

((xi)i=1,p

). Multimea de vectori

xi; i = 1, p

se mai

numeste sistem de generatori pentru multimea X. Daca multimea X nu este specificata, se subîntelege ca

X = V.

1.1.30. Exemplu. în spatiul vectorial (P2 [X] ,R), pentru A = 1, X,

spanRA = a · 1 + b ·X; a, b ∈ R

este multimea tuturor combinatiilor liniare cu polinoamele 1 si X si deci A genereaza multimea tuturor

polinoamelor de grad cel mult 1 în X.


Diferente dintre termenii folositi. Expresiile „vector”, „vector de pozitie”sau „punct”, desi sunt

uzual folosite pentru a desemna un element al unui spatiu vectorial, în sens strict au alta semnificatie.

Expresia „punct”se refera la un element al multimii V si desemneaza un loc in spatiu. Multimea V

este privita ca „spatiu afin”- o structura abstracta care nu va fi studiata în acest curs. Cu puncte se pot

face doar scaderi, iar rezultatul scaderii dintre doua puncte este un vector.

Expresia „vector”se refera la un obiect care este caracterizat de doua puncte, unul numit origine iar

celalalt vârf.

Singura expresie adecvata structurii de spatiu vectorial este cea de „vector de pozitie” si se refera la

un vector cu originea în originea sistemului de axe si cu vârful în punct.

Exemplu:

Punctele P = (2, 5) si Q = (6, 2) sunt identificate cu vectorii de pozitie ~OP si ~OQ.

Operatia P − Q are ca rezultat nu vectorul ~QP (care are ca origine Q si vârf P ) ci vectorul ~OR, cu

R = P − Q = (−4, 3). Desi vectorii ~QP si ~OR sunt congruenti, au alte origini si doar unul dintre ei (si

anume ~OR) este vector de pozitie; celalalt, vectorul ~QP , nu este element al spatiului vectorial.


Schimbarea înmultirii cu scalari poate conduce la schimbarea proprietatilor spatiului. Se

considera multimea R [X] a functiilor rationale (fractii de polinoame cu coeficienti reali).

Multimea R [X] este corp împreuna cu adunarea si înmultirea fractiilor de polinoame cu coeficienti

reali.

Structura (R [X] ,R [X]) este spatiu vectorial peste el însusi (iar în acest caz înmultirea cu scalari este

chiar înmultirea obisnuita a fractiilor de polinoame (dupa cum se va vedea în sectiunea 1.5, spatiul vectorial

este 1—dimensional)

Se considera o alta „înmultire cu scalari":

(α (X) , v (X)) 7→ α(X2)v (X) = α ∗ β : R [X]× R [X]→ R [X]

Deoarece (α + β) (X2) = α (X2) + β (X2) si (αβ) (X2) = α (X2) β (X2) si 1 ∈ R [X] cu 1 (X2) = 1,

toate axiomele sunt satisfacute.

Structura (R [X] ,R [X]) are dimensiune 1 (iar o baza este polinomul 1), deoarece v (X) = v (X)·1, ∀v ∈

R [X].

Structura (R [X] ,R [X]) cu „∗" ca înmultire cu scalari:

Se considera un vector v (X) =p (X)

q (X)cu p si q polinoame.

p (X) =n∑k=0

akXk =

[n2 ]∑i=0

a2iX2i +

[n−12 ]∑j=0

a2j+1X2j+1 = p1

(X2)

+ p2

(X2)X,

unde:

p1 (X) =

[n2 ]∑i=0

a2iXi, p2 (X) =

[n−12 ]∑j=0

a2j+1Xj.

Pentru fiecare polinom se grupeaza exponentii pari si impari ai lui X:

v (X) =p (X)

q (X)=p1 (X2) + p2 (X2)X

q1 (X2) + q2 (X2)X=

(p1 (X2) + p2 (X2)X) (q1 (X2)− q2 (X2)X)

q21 (X2)− q2

2 (X2)X2=

=p1 (X2) q1 (X2)− p1 (X2) q2 (X2)X + p2 (X2) q1 (X2)X − p2 (X2) q2 (X2)X2

q21 (X2)− q2

2 (X2)X2=

=p1 (X2) q1 (X2)− p2 (X2) q2 (X2)X2

q21 (X2)− q2

2 (X2)X2+−p1 (X2) q2 (X2) + p2 (X2) q1 (X2)

q21 (X2)− q2

2 (X2)X2X

Se observa ca polinomul v (X) =p (X)

q (X)se scrie ca o combinatie liniara a polinoamelor 1 si X cu

coeficientii (scalarii)

α1(X) =p1 (X) q1 (X)− p2 (X) q2 (X)X

q21 (X)− q2

2 (X)X


si

α2(X) =−p1 (X) q2 (X) + p2 (X) q1 (X)

q21 (X)− q2

2 (X)X,

în sensul ca

v = α1 ∗ 1 + α2 ∗X,

ceea ce arata ca 1, X este sistem de generatori. Cum familia 1, X este liniar independenta (exercitiu),

rezulta ca structurile (R[X],R[X],+, ·) si (R[X],R[X],+, ∗) sunt diferite, datorita operatiei diferite de

înmultire cu scalari.

1.1.1. Lungimi si unghiuri. Mentionam pe scurt notiunile3 care conecteaza spatiile vectoriale cu

Geometria Euclidiana, cu mentiunea ca se va reveni pe larg la acest subiect într—un capitol separat 3, pag.

129.

Pentru doi vectori x, y ∈ Rn, expresia

〈x, y〉 = x · y =n∑i=1

xiyi

este numita produsul lor scalar.

Doi vectori sunt numiti perpendiculari [se scrie x ⊥ y] daca 〈x, y〉 = 0.

Lungimea unui vector este ‖x‖ =√〈x, x〉 =

√n∑i=1

x2i .

Un vector este numit unitar sau versor daca ‖v‖ = 1. Versorul unui vector nenul v estev

‖v‖ .

Daca doi vectori sunt perpendiculari, atunci are loc Teorema lui Pitagora: v ⊥ w ⇒ ‖v + w‖2 =

‖v‖2 + ‖w‖2

Dem:n∑i=1

viwi = 0 ⇒ ‖v + w‖2 =n∑i=1

(vi + wi)2 =

n∑i=1

(v2i + w2

i + 2viwi) =n∑i=1

v2i +

n∑i=1

w2i + 2

n∑i=1

viwi =

n∑i=1

v2i +

n∑i=1

w2i = ‖v‖2 + ‖w‖2.

Obs: ‖v − w‖2 =n∑i=1

(vi − wi)2 =n∑i=1

(v2i + w2

i − 2viwi) =n∑i=1

v2i +

n∑i=1

w2i − 2

n∑i=1

viwi =n∑i=1

v2i +

n∑i=1

w2i =

‖v‖2 + ‖w‖2 = ‖v + w‖2.

[Paralelogramul format de cei doi vectori este chiar dreptunghi, asa ca cele doua diagonale sunt egale]

Pentru doi vectori nenuli oarecare, cosinusul unghiului format de cei doi vectori este cos (v, w) =

〈v, w〉‖v‖ · ‖w‖ .

1.2. Proprietati

1.2.1. Propozitie. (Reguli de calcul într-un spatiu vectorial)

(1) ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ V, au loc relatiile:

α · (x− y) = α · x− α · y, (α− β) · x = α · x− β · x;

3Este vorba despre notiunile "default", adica cele care sunt presupuse valide daca nu se specifica altfel.

1.2. PROPRIETATI 19

(2) ∀α ∈ K, α · 0V = 0V;

(3) ∀x ∈ V, 0K · x = 0V;

(4) ∀x ∈ V, (−1K) · x = −x;

(5) α · x = 0V ⇒ α = 0K sau x = 0V.

Demonstratie. Fie α, β ∈ K, x, y ∈ V alesi arbitrar;

(1) α · x = α · ((x− y) + y) = α · (x− y) + α · y ⇒ α · (x− y) = α · x− α · y; αx = ((α− β) + β)x =

(α− β)x+ βx ⇒ αx− βx = (α− β)x;

(2) α · 0V = α · (x− x) = α · x− α · x = 0V.

(3) 0K · x = (α− α) · x = α · x− α · x = 0V.

(4) 0V = 0K ·x = (1K − 1K) ·x = (1K + (−1K)) ·x = 1K ·x+ (−1K) ·x ⇒ (−1K) ·x = − (1K · x) = −x.

(5) α · x = 0V si α 6= 0 ⇒ ∃α−1 ∈ K si α−1αx = α−10V ⇒ x = 0.

Tema: Sa se studieze aceasta Propozitie ca un exercitiu teoretic.

1.2.2. Observatie. span(

(xi)i=1,n

)este subspatiu liniar.

Demonstratie. Fie v1, v2 ∈ span(

(xi)i=1,n

)si α ∈ K ⇒ ∃α1

i , α2i ∈ K, i = 1, n, astfel încât

vj =n∑i=1

αjixi, j = 1, 2; atunci v1 + v2 =n∑i=1

(α1i + α2

i )xi ∈ span(

(xi)i=1,n

)iar α · v1 =

n∑i=1

(αα1i )xi ∈

span(

(xi)i=1,n

)

1.2.3. Observatie. Fie V0 un subspatiu vectorial al spatiului (V,K). Atunci,

∀n ∈ N, ∀xi ∈ V0, ∀αi ∈ K, i = 1, n,n∑i=1

αixi ∈ V0.

(orice subspatiu contine toate combinatiile liniare ale elementelor lui)

Demonstratie. Prin inductie dupa n ∈ N: pentru n = 1, din axioma 2 a subspatiului vectorial rezulta

ca pentru orice x1 ∈ V0 si pentru orice scalar α1 ∈ K, are loc α1x1 ∈ V0. Sa presupunem ca proprietatea

are loc pentru n ∈ N si fie n + 1 vectori si scalari alesi arbitrar xi ∈ V0, αi ∈ K, i = 1, n+ 1. Atunci are

loc:n+1∑i=1

αixi =n∑i=1

αixi + αn+1xn+1

n+1∑i=1

αixi ∈ V0 (proprietatea pentru n)

αn+1xn+1 ∈ V0 (proprietatea pentru n = 1)

⇒

n+1∑i=1

αixi ∈ V0.


1.2.4. Observatie. span(

(xi)i=1,n

)=

⋂V0 subspatiuV0⊃(xi)i=1,n

V0 (este cel mai mic subspatiu liniar care contine familia

(xi)i=1,n).

Demonstratie. span(

(xi)i=1,n

)⊆


V0 pentru ca orice subspatiu care contine familia (xi)i=1,n

contine si toate combinatiile liniare ale acestei familii (Observatia (1.2.3)); incluziunea inversa rezulta din

Propozitia (1.2.2): span(

(xi)i=1,n

)este subspatiu vectorial si cum contine familia (xi)i=1,n urmeaza ca

face parte dintre subspatiile care participa la intersectie, asa ca are loc span(

(xi)i=1,n

)⊇


V0

pentru ca intersectia este inclusa în orice multime care participa la intersectie.

1.3. Exemple de spatii vectoriale

1.3.1. Exemplu. Spatiul Kn de siruri ordonate cu n componente din corpul K. Elementele multimii

Kn sunt de forma (x1, x2, · · · , xn), adunarea si înmultirea cu un scalar se face pe componente. Exemple

importante se obtin pentru K = R, K = C, K = Q si pentru corpuri finite.

1.3.2. Exemplu. Fie X 6= ∅ si fie F (X) = f (·) : X → R; f−1 (R∗) este finita [X este o multime

nevida oarecare iar F (X) este multimea functiilor definite pe X, cu valori reale, si ale carei valori sunt

nenule într—un numar finit de cazuri]. F (X) cu operatiile algebrice uzuale dintre functii este spatiu

vectorial.[Cazuri particulare interesante] X = 1, · · · , n; X = N.

1.3.3. Exemplu. Spatiul vectorial al matricilor de m linii si n coloane, cu coeficienti peste un corp fixat.

Spatiul este Mm×n (K), vectorii sunt matrice, adunarea vectorilor este adunarea matricilor, înmultirea

unui vector cu un scalar este înmultirea matricilor cu un scalar.

1.3.4. Exemplu. Spatiul vectorial al sirurilor oarecare de numere reale. Spatiul este notat RN, un vector

este un sir de numere reale înteles ca succesiunea ordonata si infinita a elementelor sirului. Adunarea

vectorilor este adunarea termen cu termen a sirurilor

(an)n∈N + (bn)n∈N = (an + bn)n∈N

(este un nou sir al carui termen general se obtine prin adunarea termenilor generali ai celor doua siruri

date) iar înmultirea unui vector cu un scalar este înmultirea sirului cu un scalar

α (an)n∈N = (αan)n∈N .

1.3.5. Exemplu. Multimea sirurilor (an)n∈N cu proprietatea ca seria∞∑n=0

a2n este convergenta [deci cu

proprietatea ca limita limn→∞

n∑k=0

a2k este finita]

1.4. EXERCITII 21

1.3.6. Exemplu. Spatiul vectorial al sirurilor Cauchy de numere rationale (un sir (an)n∈N ⊆ Q este

Cauchy daca ∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n,m ≥ nε, |an − am| < ε), cu operatiile definite ca la exemplul anterior.

1.3.7. Exemplu. Spatiul polinoamelor în nedeterminata t cu coeficienti reali, notat R [t]. Daca p(t) =

a0 + a1t+ · · ·+ antn si q(t) = b0 + b1t+ · · ·+ bnt

n sunt doua polinoame din R [t], definitiile

p(t) + q(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)tn

αp(t) = αa0 + αa1t+ · · ·+ αantn

0 = 0

dau o structura de spatiu vectorial.

1.3.8. Exemplu. Spatiul vectorial al polinoamelor în nedeterminata t, cu coeficienti reali, de grad cel

mult n, notat Rn [t].

1.3.9. Exemplu. Spatiul vectorial al tuturor functiilor f (·) : R→ R de clasa C1 si care satisfac ecuatia

diferentiala f ′ (t) + af (t) = 0, ∀t ∈ R.

1.3.10. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor indefinit derivabile D∞ (R,R).

1.3.11. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor care au domeniul [a, b] si codomeniul R,

notat F ([a, b] ,R).

1.3.12. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor din F ([a, b] ,R) care sunt lipschitziene

(functii f (·) : [a, b] → R pentru care exista kf > 0 astfel încât |f (x)− f (y)| 6 kf |x− y|, ∀x, y ∈ [a, b]),

notat L ([a, b] ,R).

1.4. Exercitii

1.4.1. Exemplu. Familia de vectori (1, 1, 1), (1, 2, 3), (3, 2, 1) genereaza spatiul R3.

1.4.2. Exercitiu. Fie (V,R) un spatiu vectorial real oarecare. Se definesc operatiile:

+ : (V× V)× (V× V)→ V× V

definita prin

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

si

· : C× (V× V)→ (V× V)

definita prin

(α + iβ) · (x, y) = (αx− βy, βx+ αy) .


Sa se arate ca (V× V,C) cu operatiile de mai sus este un spatiu vectorial complex (acest spatiu se numeste

complexificatul spatiului real (V,R) )

1.4.3. Exercitiu. Sa se arate ca multimea functiilor nederivabile pe [a, b] nu este spatiu vectorial.

1.4.4. Exercitiu. Sa se arate ca reuniunea a doua subspatii vectoriale nu este neaparat un subspatiu

vectorial.

1.4.5. Exercitiu. Sa se arate ca multimea V0 = x ∈ Rn; Ax = 0 este un subspatiu vectorial, unde

A ∈Mm×n (R).

1.4.6. Exercitiu. Fie subspatiile A = (0, a, b, 0) ; a, b ∈ R, B = (0, 0, a, b) ; a, b ∈ R. Sa se determine

A+B.

1.4.7. Exercitiu. Daca operatorul liniar U (·) : Rn → Rn are proprietatea ca U2 (·) +U (·) + I (·) = O (·),

atunci operatorul este bijectiv.

1.5. Reprezentari în spatii vectoriale

1.5.1. Propozitie. (Definitii echivalente ale bazei) Fie B o multime de vectori în (V,K). Sunt echivalente

afirmatiile:

(1) B este liniar independenta si maximala (în sensul ca orice multime liniar independenta care include

B este chiar egala cu B);

(2) B este sistem de generatori minimal (în sensul ca orice sistem de generatori inclus în B este chiar

egal cu B);

(3) B este sistem de generatori si multime liniar independenta.

Demonstratie. Se va demonstra dupa schema: (1)⇒(2)⇒(3)⇒(1).

(1)⇒(2)

Se stie ca B este liniar independenta si maximala;

["maximala în raport cu caracteristica de familie liniar independenta" înseamna: daca B ⊆ B1 si B1

liniar independenta, atunci B = B1]

["minimala în raport cu caracteristica de sistem de generatori" înseamna: daca B0 ⊆ B si B0 sistem

de generatori, atunci B = B0]

Pentru început se va studia caracteristica multimii de a fi sistem de generatori.

Presupunem prin reducere la absurd ca B nu ar fi sistem de generatori; atunci ∃v0 ∈ V \ span (B)

iar noua multime B1 = B ∪ v0 este liniar independenta (daca n-ar fi, atunci v0 ar fi combinatie liniara

1.5. REPREZENTARI îN SPATII VECTORIALE 23

de elementele lui B) si include strict multimea B, contradictie cu maximalitatea lui B (ca multime liniar

independenta). Deci multimea B este sistem de generatori.

Presupunem prin reducere la absurd ca B ca sistem de generatori nu este fiminimal. Atunci exista B0

inclus strict în B si care este sistem de generatori. Fie v1 ∈ B \B0; v1 este combinatie liniara a elementelor

din B0 (în care v1 nu se afla) deci B nu este multime liniar independenta, contradictie.

(2)⇒(3)

Cum B este sistem de generatori, sa presupunem prin reducere la absurd ca multimea B n-ar fi

liniar independenta, adica presupunem ca ar exista un vector v2 ∈ B care sa fie combinatie liniara de

ceilalti vectori; atunci noua multime B \ v2 ar fi strict inclusa în B si ar pastra proprietatea de sistem

de generatori (pentru ca fiecare vector poate fi scris ca o combinatie liniara de vectorii din B, iar în

combinatiile liniare la care participa si v2 acesta poate fi înlocuit cu o combinatie liniara din B \ v2,

obtinându—se combinatii liniare numai cu elementele lui B \ v2), contradictie.

(3)⇒(1)

Cum B este liniar independenta, daca n-ar fi maximala (ca multime liniar independenta) ar exista o

multime B′ liniar independenta si care contine B. Atunci v′ ∈ B′ \B nu este combinatie liniara de vectorii

din B (pentru ca altfel B′ n-ar fi liniar independenta) ceea ce este o contradictie cu faptul ca B este sistem

de generatori.

1.5.2. Definitie. Se numeste baza orice multime de vectori care satisface una dintre conditiile echivalente

din Propozitia anterioara. Daca pentru o baza fixata se tine cont si de ordinea vectorilor în baza, atunci

în locul cuvântului baza se va folosi cuvântul reper.

1.5.3. Definitie. Un spatiu vectorial se va numi de tip finit daca admite o baza finita si se va numi de

tip infinit în caz contrar.

1.5.4. Teorema. (Suficienta maximalitatii într—un sistem de generatori) Daca familia finita S

este sistem de generatori pentru V în care subfamilia B0 este liniar independenta, atunci exista o baza B

a lui V astfel încât

B0 ⊆ B ⊆ S.

(demonstratia va arata ca, daca familia finita S este sistem de generatori, atunci maximalitatea lui B în

S ca familie liniar independenta implica maximalitatea lui B în V ca familie liniar independenta)

Demonstratie. Se construieste inductiv o familie B cu caracteristicile:

familia B este liniar independenta,

B0 ⊆ B ⊆ S


familia B este maximala fata de proprietatile de mai sus.

Constructia familiei B se face astfel:

Initial se considera B ←− B0 (care este liniar independenta si este sau nu maximala în S cu aceasta

proprietate).

1.1. Daca B este maximala în S, atunci procedura se opreste.

1.2. Daca B nu este maximala în S, exista un vector x ∈ S \B care poate fiadaugat la B cu pastrarea

caracteristicii de liniar independenta.

2. Se adauga la familia B un vector x de tipul descris la 1.2 (B ←− B ∪ x)

3. Se repeta procedura pentru noua familie.

Datorita finitudinii familiei S, procedura se opreste dupa un numar finit de pasi.

Din procedura se obtine o familie liniar independenta notata B, care include B0, este inclusa în S si

este maximala în S ca familie liniar independenta, în sensul ca daca B ⊆ B1 ⊆ S si B1 familie liniar

independenta, atunci B = B1.

Din alegerea lui B urmeaza ca numarul de elemente din B este mai mic sau egal cu n.

Familia B este baza a spatiului:

Se presupune prin reducere la absurd ca B nu ar fibaza; atunci ∃x0 ∈ V astfel încât x0 /∈ span (B); dar

S este sistem de generatori asa ca x0 este combinatie liniara de k elemente y1, · · · , yk din S, x0 =k∑i=1

αiyi.

Daca toate elementele yi, i = 1, k ar fiîn span (B), ar urma ca si x0 ∈ span (B), asa ca printre elementele

yi ∈ S, i = 1, k exista macar unul care nu este în span (B) si care se noteaza y0; atunci B′Def= B∪y0 ⊆ S

este liniar independenta si contine strict pe B, ceea ce contrazice constructia (maximalitatea) lui B în

S.

1.5.5. Corolar. Din orice sistem finit de generatori se poate extrage o baza.

Demonstratie. Fie S sistem finit de generatori; exista macar un vector nenul (daca toti ar fi nuli,

n-ar mai fi sistem de generatori), care se noteaza cu v0. Au loc:

v0 este familie liniar independenta

v0 ⊂ S

si se aplica teorema precedenta ⇒ ∃B baza astfel încât

v0 ⊂ B ⊂ S.


1.5.6. Teorema. (Teorema schimbului, Steinitz) Fie v1, · · · , vr o familie liniar independenta si

fie u1, · · · , un un sistem de generatori. Atunci r ≤ n si, eventual cu o renumerotare a vectorilor,

v1, · · · , vr, ur+1, · · · , un este sistem de generatori (orice familie finita liniar independenta de r vectori

poate înlocui anumiti r vectori din orice sistem finit de generatori, cu pastrarea calitatii de sistem de

generatori).

Demonstratie. Inductie dupa numarul vectorilor din familia liniar independenta, j = 1, r: Pentru

j = 1, ∃αi ∈ K, i = 1, n astfel încât

v1 =

n∑i=1

αiui;

daca toti scalarii αi ar fi nuli atunci v1 ar fi nul ceea ce contrazice independenta liniara a familiei

v1, · · · , vr; deci macar un scalar este nenul si, printr—o eventuala renumeroatare a sistemului de genera-

tori, se poate presupune ca α1 6= 0; se poate scrie u1 ca o combinatie liniara de vectorii v1, u2, · · · , un:

(1.5.1) u1 =1

α1

v1 −n∑i=2

αiα1

ui.

Fie v ∈ V oarecare; ∃βi ∈ K, i = 1, n, astfel încât v =n∑i=1

βiui dar din (1.5.1) urmeaza:

v =n∑i=1

βiui = β1u1 +n∑i=2

βiui = β1

(1α1v1 −

n∑i=2

αiα1ui

)+

n∑i=2

βiui =

= β1α1v1 +

n∑i=2

(βi − αiβ1

α1

)ui,

deci v este combinatie liniara de v1, u2, · · · , un, adica v1, u2, · · · , un este un sistem de generatori.

Sa presupunem afirmatia adevarata pentru j = r − 1 ≤ n.

Daca r − 1 = n, atunci ar urma o contradictie cu faptul ca mai exista un vector, vr astfel încât

v1, · · · , vr este liniar independenta. Contradictia apare pentru ca, în situatia r − 1 = n, v1, · · · , vr−1

ar fi sistem de generatori, familie liniar independenta, iar ca familie liniar independenta nu este maximala

(i se mai poate adauga vectorul vr fara a pierde caracteristica de liniar independenta.

Asadar r − 1 < n iar v1, · · · , vr−1, ur, · · · , un este sistem de generatori ⇒

∃βi ∈ K, vr =

r−1∑i=1

βivi +

n∑i=r

βiui;

daca toti scalarii βi ∈ K, i = r, n ar fi nuli, atunci vr =r−1∑i=1

βivi contradictie cu independenta liniara a

familiei v1, · · · , vr; deci ∃i0 ∈ r, · · · , n astfel încât βi0 6= 0; se presupune printr-o renumerotare ca

βr 6= 0 si atunci ur poate fi scris ca o combinatie liniara de vectorii v1, · · · , vr−1, vr, · · · , un:

(1.5.2) ur =1

βrvr −

r−1∑i=1

βiβrvi −

n∑i=r+1

βiβrui;


din faptul ca v1, · · · , vr−1, ur, · · · , un este sistem de generatori si din (1.5.2) urmeaza ca v1, · · · , vr, ur+1, · · · , un

este sistem de generatori: ∀v ∈ V, ∃γi ∈ K, i = 1, n,

v =r−1∑i=1

γivi +n∑i=r

γiui =r−1∑i=1

γivi + γrur +n∑

i=r+1

γiui =

=r−1∑i=1

γivi + γr

(1βrvr −

r−1∑i=1

βiβrvi −

n∑i=r+1

βiβrui

)+

n∑i=r+1

γiui =

=r−1∑i=1

(γi − βiγr

βr

)vi + γr

βrvr +

n∑i=r+1

(γi − βiγr

βr

)ui,

ceea ce înseamna ca orice vector al spatiului este combinatie liniara de vectorii familiei v1, · · · , vr, ur+1, · · · , un,

adica v1, · · · , vr, ur+1, · · · , un este sistem de generatori.

1.5.7. Corolar. Într—un spatiu vectorial de tip finit, orice familie liniar independenta de vectori poate fi

completata pâna la o baza.

Demonstratie. Familia liniar independenta poate fi considerata ca fiind inclusa într-un sistem finit

de generatori (spatiul fiind de tip finit, exista un sistem de generatori finit; cu Teorema Steinitz se obtine

un sistem de generatori care contine familia liniar independenta initiala). Se aplica Teorema 1.5.4 si se

obtine o baza care contine familia liniar independenta initiala (si care poate fi considerata "o completare

pâna la o baza" a familiei liniar independente).

1.5.8. Corolar. Într-un spatiu de tip finit, numarul de vectori al oricarei familii finite liniar independente

este mai mic sau egal decât numarul de vectori al oricarui sistem finit de generatori.

Demonstratie. Se considera o familie liniar independenta B0 si un sistem de generatori S0. Din

Teorema (1.5.6) se obtine un nou sistem de generatori S cu acelasi numar de elemente ca si S0, si care

include B0. Deoarece B0 ⊆ S rezulta ca numarul de elemente din B0 este mai mic decât numarul de

elemente din S, deci si din S0.

1.5.9. Corolar. Într—un spatiu vectorial de tip finit, orice doua baze au acelasi numar de vectori.

Demonstratie. Cele doua baze pot fiprivite în acelasi timp ca familii liniar independente si ca sisteme

de generatori, si din corolarul precedent urmeaza ca cele doua numere sunt fiecare mai mic sau egal decât

celalalt, adica egale.

1.5.10. Definitie. Numarul de elemente al oricarei baze din spatiul de tip finit (V,K) se numeste dimen-

siunea spatiului si se noteaza cu dimKV.

1.5.11. Propozitie. Fiind fixata o baza într-un spatiu vectorial de tip finit, orice vector al spatiului se

poate scrie ca o combinatie liniara de vectorii bazei. Mai mult, scalarii care participa la combinatia liniara

sunt unic determinati de baza.


Demonstratie. Fie B = u1, · · · , un o baza si fie v ∈ V.

Pentru ca B este sistem de generatori, vectorul v este combinatie liniara de vectorii bazei (ceea ce

demonstreaza existenta scalarilor).

Mai mult, combinatia liniara este unica:

Presupunem ca ar exista doua combinatii liniare: ∃αi, βi ∈ K, i = 1, n, v =n∑i=1

αiui =n∑i=1

βiui. Atunci

are locn∑i=1

αiui =

n∑i=1

βiui ⇒n∑i=1

(βi − αi)ui = 0,

si cum B este liniar independenta, urmeaza ca αi = βi, ∀i = 1, n, ceea ce înseamna ca scalarii din

combinatia liniara sunt determinati unic de baza.

1.5.12. Definitie. Fiind fixate: (V,K), baza (reperul) B si vectorul v ∈ V, scalarii din propozitia ante-

rioara se numesc coordonatele vectorului v.

În continuare, pentru fiecare vector v al spatiului se va nota reprezentarea vectorului în baza B (coor-

donatele vectorului în baza B) cu [v]B. Scrierea

[v]B =

α1

α2

...

αn

(unde scalarii αi sunt unicii scalari care participa la scrierea vectorului dat ca o combinatie liniara de

vectorii bazei) poate ficonsiderata forma matriciala a reprezentarii vectorului v în baza B, data de relatia:

v =

n∑i=1

αivi,

scrierea lor facându-se (prin conventie) pe verticala iar ordinea scalarilor fiind unic determinata de ordinea

vectorilor în baza. Trebuie remarcat ca reprezentarea unui vector depinde de baza fixata, în sensul ca

schimbarea bazei atrage schimbarea reprezentarii, cu toate ca vectorul nu se schimba (acelasi obiect fixat

se vede diferit din diferite puncte de vedere). Modul în care se petrece aceasta schimbare si legatura dintre

diferite reprezentari ale aceluiasi obiect este studiata în sectiunile urmatoare.

1.5.13. Propozitie. Orice spatiu vectorial de tip finit (V,K) cu dimKV = n este izomorf cu (Kn,K)

1.1.14.


Demonstratie. Fie (V,K) spatiu vectorial de tip finit si fie B o baza fixata în (V,K). Se considera

aplicatia ϕ (·) : V→ Kn, definita prin ϕ (v) = [v]B. Aplicatia ϕ (·) este liniara:

[v1]B =

α1

α2

...

αn

, v1 =

n∑i=1

αivi, [v2]B =

α′1

α′2...

α′n

, v2 =

n∑i=1

α′ivi ⇒

v1 + v2 =n∑i=1

αivi +

n∑i=1

α′ivi =n∑i=1

(αi + α′i) vi ⇒

[v1 + v2]B =

α1 + α′1

α2 + α′2...

αn + α′n

=

α1

α2

...

αn

+

α′1

α′2...

α′n

= [v1]B + [v2]B

deci ϕ (v1 + v2) = ϕ (v1) + ϕ (v2) (din unicitatea reprezentarii într-o baza). Analog, pentru α ∈ K are loc

αv1 =n∑i=1

(ααi) vi ⇒ [αv1]B =

αα1

αα2

...

ααn

= α

α1

α2

...

αn

= α [v1]B

deci ϕ (α · v1) = α · ϕ (v1), adica aplicatia este liniara.

Aplicatia este bijectiva: injectivitatea rezulta din proprietatea de liniar independenta a bazei (deci din

unicitatea coordonatelor) iar surjectivitatea din proprietatea de sistem de generatori a bazei.

1.6. Exemple de baze standard

În continuare se vor da exemple de baze standard (canonice) pentru diferite spatii vectoriale. În fiecare

spatiu vectorial se poate lucra cu o infinitate de baze; ca o conventie generala, daca nu se precizeaza o baza

pentru spatiul în care se lucreaza, se va presupune implicit ca se lucreaza cu baza standard (canonica).

1.6.1. Exemplu. Baza standard pentru Rn: multimea E = e1, . . . , en, unde vectorii ej, j = 1, n au

fiecare n componente, e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1); în general ej =

(δ1j, · · · , δjj, · · · , δnj), j = 1, n (δij este simbolul lui Kroneker).

1.6.2. Exemplu. Baza standard pentru R2 este (1, 0) , (0, 1).

1.6.3. Exemplu. Baza standard pentru R3 este (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1).

1.7. REPREZENTAREA VECTORILOR 29

1.6.4. Exemplu. Baza standard pentru Rn [t] (multimea polinoamelor cu coeficienti reali de grad cel mult

n) este multimea E = 1, t1, . . . , tn.

1.6.5. Exemplu. Baza standard pentru R [t] (multimea tuturor polinoamelor) este multimea E = 1, t1, . . . , tn, . . ..

1.6.6. Exemplu. Baza standard pentruMmn (R) (multimea matricilor dem linii si n coloane, cu elemente

numere reale) este multimea E = E11, . . . , Emn de matrici Eij ∈Mmn (R) cu proprietatea ca locul (i, j)

este ocupat de valoarea 1 iar celelalte locuri sunt ocupate de valoarea 0.

1.6.7. Exemplu. Baza standard pentru M3,2 (R) este multimea E = E11, E12, E21, E22, E31, E32 a

matricilor E11 =

1 0

0 0

0 0

, E12 =

0 1

0 0

0 0

, E21 =

0 0

1 0

0 0

, E22 =

0 0

0 1

0 0

, E31 =

0 0

0 0

1 0

, E32 =

0 0

0 0

0 1

.

1.7. Reprezentarea vectorilor

Fie V spatiu vectorial de tip finit peste corpul K si fie B = (e1, .., en) un reper al sau. Coordonatele

vectorilor reperului în raport cu reperul sunt:

[e1]B =

1

0

0

...

0

, [e2]B =

0

1

0

...

0

, · · · , [en]B =

0

0

...

0

1

.

1.7.1. Observatie. Între vectorii u, u1, u2 si scalarii α, β are loc relatia

u = αu1 + βu2,

daca si numai daca între coordonatele (reprezentarile) vectorilor în aceeasi baza are loc relatia

[u]B = α [u1]B + β [u2]B .

Demonstratie. Evident

Fie reperul B = (e1, .., en) si u =n∑i=1

αiei, u1 =n∑i=1

βiei, u2 =n∑i=1

γiei. Coordonatele vectorilor sunt:


[u]B =

α1

...

αn

, [u1]B =

β1

...

βn

, [u2]B =

γ1

...

γn

.Daca între vectori are loc relatia u = αu1 + βu2, atunci:n∑i=1

αiei = αn∑i=1

βiei + βn∑i=1

γiei, relatie care (din unicitatea reprezentarii într—o baza) este echivalenta

cu αi = αβi + βγi, ∀i = 1, n, adica:α1

...

αn

= α

β1

...

βn

+ β

γ1

...

γn

.

1.7.2. Observatie. Fie reperul B = (e1, .., en) fixat si fie B1 = (v1, .., vm) o familie oarecare ordonata de

vectori (este importanta ordinea vectorilor în ambele familii). Coordonatele vectorilor considerati sunt, în

reperul B, urmatoarele:

[v1]B =

α11

α21

α31

...

αn1

, [v2]B =

α12

α22

α32

...

αn2

, ..., [vm]B =

α1m

α2m

α3m

...

αnm

,

vj =n∑i=1

αijei, ∀j = 1,m

Se noteaza cu [M (B1)]B (∈ Mn×m (K)) matricea care are drept coloane coordonatele vectorilor familiei

B1 în baza B,

[M (B1)]B =

α11

α21

α31

...

αn1

α12

α22

α32

...

αn2

· · ·

· · ·

· · ·. . .

· · ·

α1m

α2m

α3m

...

αnm

.

Urmatoarele caracteristici ale familiei B1 pot fi studiate cu ajutorul acestei matrici:

(1) Vectorii sunt considerati membri ai spatiului aritmetic n—dimensional (adica numarul de linii din

matrice);

(2) Numarul vectorilor este egal cu m (numarul coloanelor);

(3) Familia B1 este liniar independenta daca si numai daca rang [M (B1)]B = m (o consecinta este ca

familia B1 nu poate filiniar independenta daca numarul ei de vectori este mai mare ca dimensiunea

spatiului);


[rangul nu poate fimai mare ca m; rangul este mai mic decât m, daca si numai daca (macar)

o coloana este combinatie liniara a celorlalte coloane, adica vectorii sunt liniar dependenti]

(4) Familia B1 este sistem de generatori daca si numai daca rang [M (B1)]B = n (o consecinta este ca

B1 nu poate fi sistem de generatori daca numarul ei de vectori este mai mic decât dimensiunea

spatiului);

[familia de vectori este sistem de generatori daca si numai daca sistemul liniar neomogen

[M (B1)]B · x = [v]B este compatibil pentru orice vector v; daca rangul matricii [M (B1)]B este

mai mic strict decât n, familiei B1 i se poate adauga un vector v astfel încât rangul noii familii sa

fie strict mai mare, iar pentru un asemenea vector rangul matricii extinse este strict mai mare ca

rangul matricii, deci sistemul atasat este incompatibil]

(5) Familia B1 este baza daca si numai daca n = m si rang [M (B1)]B = n.

[Din punctele anterioare]

În ipoteza ca familia B1 este reper, se pune problema reprezentarii vectorilor în noul reper si a gasirii

legaturii dintre vechea reprezentare si noua reprezentare. Reprezentarea noului reper în vechiul reper este

(matricial):

[M (B1)]B =

α11

α21

α31

...

αn1

α12

α22

α32

...

αn2

· · ·

· · ·

· · ·. . .

· · ·

α1n

α2n

α3n

...

αnn

.

Aceasta matrice este formata din reprezentarile vectorilor noului reper (pe coloane) în vechiul reper.

În noua reprezentare, vectorii reperului B1 vor avea coordonatele

[v1]B1 =

1

0

0

...

0

, [v2]B1 =

0

1

0

...

0

, ..., [vn]B1 =

0

0

...

0

1

,


iar vectorii reperului vechi vor avea coordonatele

[e1]B1 =

α′11

α′21

α′31

...

α′n1

, [e2]B1 =

α′12

α′22

α′32

...

α′n2

, ..., [en]B1 =

α′1n

α′2n

α′3n...

α′nn

,

ei =

n∑j=1

α′jivj

Sa notam cu [M (B)]B1 matricea care are drept coloane coordonatele vectorilor vechiului reper (B) în noul

reper (B1),

[M (B)]B1 =

α′11

α′21

α′31

...

α′n1

α′12

α′22

α′32

...

α′n2

· · ·

· · ·

· · ·. . .

· · ·

α′1n

α′2n

α′3n...

α′nn

.

Fie x un vector oarecare al spatiului; coordonatele lui în reperul B sunt

[x]B =

x1

x2

x3

...

xn

,

iar în reperul B1 sunt

[x]B1 =

x′1

x′2

x′3...

x′n

.

Legatura dintre cele doua reprezentari ale aceluiasi vector este data de relatiile:

x =n∑j=1

x′jvj =n∑j=1

x′j

(n∑i=1

αijei

)=

n∑j=1

(n∑i=1

x′jαijei

)=

=n∑i=1

(n∑j=1

x′jαijei

)=

n∑i=1

(n∑j=1

x′jαij

)ei;


dar x =n∑i=1

xiei , deci xi =n∑j=1

x′jαij, ∀i = 1, n (din unicitatea reprezentarii într-o baza). Scrierea matriciala

a acestei relatii este:

x1

x2

x3

...

xn

=

n∑j=1

x′jα1j

n∑j=1

x′jα2j

n∑j=1

x′jα3j

...n∑j=1

x′jαnj

=

α11 α12 α13 · · · α1n

α21 α22 α23 . . . α2n

α31 α32 α33 · · · α3n

......

.... . .

...

αn1 αn2 αn3 · · · αnn

x′1

x′2

x′3

...

x′3

,

deci are loc relatia:

[x]B = [M (B1)]B [x]B1

( Se mai spune ca [M (B1)]B este matricea de trecere de la B1 la B) Se observa ca matricea de trecere

de la noua baza la vechea baza are drept coloane coordonatele în baza noua pentru vectorii bazei vechi.

Analog, are loc si relatia

[x]B1 = [M (B)]B1 [x]B

(Se mai spune ca [M (B1)]B este matricea de trecere de la B la B1) ceea ce înseamna ca, pentru orice

vector x, are loc

[M (B)]B1 [x]B = ([M (B1)]B)−1 [x]B ,

adica [M (B)]B1 = [M (B1)]−1B . Schematic, aceste legaturi pot fi reprezentate în felul urmator:

B1

[M (B1)]B−−−−−−−−−−→

←−−−−−−−−−−−−−[M (B1)]−1

B

B

Daca se dau doua repere B1 si B2, amândoua raportate la reperul de referinta E, trecerea de la B1 la

B2 se face „pivotând”pe reperul de referinta: fie [M (B)]E matricea care are drept coloane coordonatele

vectorilor reperului B în baza E si [M (B1)]E matricea care are drept coloane coordonatele vectorilor

reperului B1 în baza E. Atunci

[x]B = [M (B)]−1E [x]E , [x]E = [M (B)]E [x]B


[x]B1 = [M (B1)]−1E [x]E , [x]E = [M (B1)]E [x]B1

si atunci au loc relatiile:

[x]B = [M (B)]−1E [x]E =

([M (B)]−1

E [M (B1)]E)

[x]B1

deci are loc schema desfasurata

B

[M (B)]E−−−−−−−−−−→

←−−−−−−−−−−−−[M (B)]−1

E

E

[M (B1)]−1E−−−−−−−−−−−−−−→

←−−−−−−−−−−[M (B1)]E

B1

si schema restrânsa

B

[M (B1)]−1E · [M (B)]E−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−[M (B)]−1

E · [M (B1)]E

B1

O metoda practica de realizare sistematica a calculelor necesare este metoda eliminarii a lui Gauss.

Metoda eliminarii a lui Gauss este generalizarea metodei reducerii pentru rezolvarea sistemelor de

ecuatii liniare din ciclul gimnazial. Fiind dat un sistem liniar de ecuatii, metoda alege o necunoscuta

si o ecuatie (astfel încât coeficientul necunoscutei din ecuatia aleasa sa fie nenul) si elimina necunoscuta

aleasa din toate celelalte ecuatii, folosind înmultirea ecuatiilor cu numere convenabile si adunarea între ele

a ecuatiilor (transformari elementare). Metoda se bazeaza pe principiile de lucru cu relatii de echivalenta

(egalitatea) folosite pentru ecuatii, date de compatibilitatea dintre relatia de echivalenta si structura de

spatiu vectorial; acestea sunt:

• Multiplicarea ambilor termeni ai unei egalitati cu acelasi scalar nenul nu modifica solutiile ecuatiei.

• Adunarea aceleiasi cantitati la ambii termeni nu modifica solutiile ecuatiei.

• Înlocuirea unei cantitati dintr-o ecuatie cu o cantitate egala nu modifica solutiile ecuatiei.

Aceste principii pot fi folosite pentru formularea unei proceduri sistematice de gasire a solutiilor unui

sistem de ecuatii liniare. În continuare va fi descrisa aceasta procedura.

Fie sistemul:


a11x1 + a12x2 + · · · a1jxj + · · · a1mxm = b1

a21x1 + a22x2 + · · · a2jxj + · · · a2mxm = b2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

ai1x1 + ai2x2 + · · · aijxj + · · · aimxm = bi

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

an1x1 + an2x2 + · · · anjxj + · · · anmxm = bn

în care coeficientul aij este nenul. Se alege sa se elimine necunoscuta xj din toate ecuatiile în afara de

ecuatia i (cu alte cuvinte coeficientii necunoscutei xj sa devina nuli în toate ecuatiile în afara de ecuatia

i) iar pentru ecuatia i coeficientul sa devina 1. Pentru aceasta se fac urmatoarele operatii:

• se împarte linia i la aij iar rezultatul se scrie în locul liniei i;

• pentru fiecare ecuatie k = 1, n, k 6= i, se aduna la ecuatia k ecuatia i înmultita cu −akj;

• se scrie rezultatul în locul liniei k.

În urma acestor operatii, noul sistem va contine necunoscuta xj numai în ecuatia i; calculele se sis-

tematizeaza astfel: elementul aij din vechiul sistem se va numi PIVOT iar noii coeficienti ai sistemului

se vor obtine din vechii coeficienti urmând REGULA PIVOTULUI:

(1) Locurile de indici (l, j)l=1,n l 6=i (coloana pivotului) sunt ocupate de elemente nule iar locul (i, j)

(locul pivotului) este ocupat de valoarea 1.

(2) Locurile de indici (i, k)k=1,m k 6=j (linia pivotului) sunt ocupate deaikaij(linia pivotului se împarte la

pivot).

(3) Celelalte locuri (k, l)k=1,m k 6=jl=1,n l 6=i

(nici pe linia i si nici pe coloana j) sunt ocupate cu

REGULA DREPTUNGHIULUI:

coloana j coloana l

linia i aij – – – ail

| |

linia k akj – – – akl

Pentru fiecare akl, se ataseaza dreptunghiul de vârfuri aij, ail, akj, akl (generat de pivot si de

elementul ales); noul element care ocupa locul (k, l) este obtinut cu formula: produsul pe diagonala

care contine pivotul minus produsul pe diagonala care nu contine pivotul si totul împartit la pivot.

Formula este:

a′kl =aijakl − akjail

aij,


unde a′kl înseamna noul ocupant al locului (k, l).

Toate calculele se vor pune într-un tabel iar semnificatia acestor calcule, din punct de vedere al coor-

donatelor vectorilor, este:

• Prima coloana din stânga reprezinta, la fiecare pas, vectorii bazei si ordinea vectorilor în baza.

• Prima linie reprezinta vectorii care participa la transformare, si ale caror coordonate sunt aflate

la fiecare pas.

• Coloanele (numerice) sunt coordonatele vectorilor din prima linie (dintr-un spatiu vectorial real

de dimensiune n), reprezentati pentru tabelul initial într-o baza initiala notata (ei)i=1,n, iar pentru

tabelele ulterioare în baze intermediare.

• Alegerea pivotului aij înseamna înlocuirea în baza a vectorului de baza de rang i cu vectorul

reprezentat de coloana j.

- La fiecare alegere de pivot se schimba baza si coordonatele vectorilor care sunt capete de coloana, dar

este vorba despre aceeasi vectori reprezentati altfel.

Tabelul initial (cu toate amanuntele necesare) arata în felul urmator:

v1 · · · vj · · · vm e1 · · · ei · · · en b

e1 a11 · · · a1j · · · a1m 1 · · · 0 · · · 0 b1

e2 a21 · · · a2j · · · a2m 0 · · · 0 · · · 0 b2

...... · · · ... · · · ...

... · · · ... · · · ......

← ei ai1 · · · aij ↓ · · · aim 0 · · · 1 · · · 0 bi...

... · · · ... · · · ...... · · · ... · · · ...

...

en an1 · · · anj · · · anm 0 · · · 0 · · · 1 bn

iar al doilea tabel se va obtine din primul cu regula pivotului:

v1 · · · vj · · · vm e1 · · · ei · · · en b

e1 a′11 · · · 0 · · · a′1m 1 · · · −a1jaij

· · · 0 b′1

e2 a′21 · · · 0 · · · a′2m 0 · · · −a2jaij

· · · 0 b′2...

... · · · ... · · · ...... · · · ... · · · ...

...

ei−1 a′(i−1)1 · · · 0 · · · a′(i−1)m 0 · · · −a(i−1)jaij

· · · 0 b′i−1

vjai1aij

· · · 1 · · · aimaij

0 · · · 1aij

· · · 0 biaij

ei+1 a′(i+1)1 · · · 0 · · · a′(i+1)m 0 · · · −a(i+1)jaij

· · · 0 b′i+1

...... · · · ... · · · ...

... · · · ... · · · ......

en a′n1 · · · 0 · · · a′nm 0 · · · −anjaij

· · · 1 b′n


Cu aceasta metoda se pot rezolva sistemele liniare (neomogene)

Ax = b

în modul urmator:

(1) Se formeaza tabelul initial.

(2) Se aplica metoda pivotului pâna când nu se mai poate aplica pentru nici un element.

(3) Se scrie rezultatul astfel: cu o eventuala renumerotare de necunoscute (coloane) si ecuatii (linii),

tabelul final este de forma

I... A′12 b′1

· · · · · · · · · · · · · · ·

0... 0 b′2

în care necunoscutele (ecuatiile) corespunzatoare matricii identitate I sunt necunoscutele (ecuati-

ile) principale, ecuatiile corespunzatoare liniilor de zerouri sunt ecuatiile care decid compatibil-

itatea sistemului (

b′2 = 0⇒ sistem compatibil

b′2 6= 0⇒ sistem incompatibil), necunoscutele corespunzatoare coloanelor

matricii A′12 sunt necunoscutele secundare ale sistemului iar solutia sistemului (daca este compat-

ibil) se scrie sub forma

xP = b′1 −A′12xS.

1.7.3. Exemplu. Sa se rezolve sistemele:

(1)

4x1 + 3x2 + 3x3 = 14

3x1 + 2x2 + 5x3 = 13

2x1 + x2 + 8x3 = 13

(Solutia este:

2

1

1

)

(2)

4x1 + 3x2 + 3x3 = 6

3x1 + 2x2 + x3 = 8

11x1 + 8x2 + 7x3 = 20

(Solutia este:

3α + 12

−5α− 14

α

, α ∈ R)

(3)

x1 + x2 + x3 = 10

2x1 + x2 + x3 = 16

3x1 + 2x2 + 2x3 = 24

(Nu are solutie)

1.7.4. Solutie. (1) Metoda pivotului aplicata acestui sistem are urmatoarea forma:


x1 x2 x3 | b

4 3 3 | 14

3 2 5 | 13

2 1 8 | 13

− − − −|− −

13

4

3

4| 7

2

0 −1

4

11

4| 5

2

0 −1

2

13

2| 6

− − − −|− −

1 0 9 | 11

0 1 −11 | −10

0 0 1 | 1

− − − −|− −

1 0 0 | 2

0 1 0 | 1

0 0 1 | 1

.

Solutia sistemului se citeste pe coloana b a ultimului tabel si este

x1

x2

x3

=

2

1

1

.

Matricial, operatiile pentru fiecare pivot sunt urmatoarele (folosind matrici elementare):

1

40 0

−3

41 0

−2

40 1

4 3 3 14

3 2 5 13

2 1 8 13

=

1

3

4

3

4

7

2

0 −1

4

11

4

5

2

0 −1

2

13

26

,

1 3 0

0 −4 0

0 −4

21

13

4

3

4

7

2

0 −1

4

11

4

5

2

0 −1

2

13

26

=

1 0 9 11

0 1 −11 −10

0 0 1 1

,

1 0 −9

0 1 11

0 0 1

1 0 9 11

0 1 −11 −10

0 0 1 1

=

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 1

.


Identitatea matriciala obtinuta pornind de la matricea initiala

4 3 3 14

3 2 5 13

2 1 8 13

si terminând

cu matricea finala

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 1

(folosind matrici elementare) este:

1 0 −9

0 1 11

0 0 1

1 3 0

0 −4 0

0 −4

21

1

40 0

−3

41 0

−2

40 1

4 3 3 14

3 2 5 13

2 1 8 13

=

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 1

.

Forma extinsa a tabelelor si eventuale semnificatii din punct de vedere al reprezentarilor:

| x1 x2 x3 | b | e1 e2 e3

− −|− − − − −|− − −|− − − −

e1←−

| 4 ↓ 3 3 | 14 | 1 0 0

e2 | 3 2 5 | 13 | 0 1 0

e3 | 2 1 8 | 13 | 0 0 1

− −|− − − − −|− − −|− − − −

x1 | 13

4

3

4| 7

2| 1

40 0

e2←−

| 0 -1

4↓ 11

4| 5

2| −3

41 0

e3 | 0 −1

2

13

2| 6 | −1

20 1

− −|− − − − −|− − −|− − − −

x1 | 1 0 9 | 11 | −2 3 0

x2 | 0 1 −11 | −10 | 3 −4 0

e3←−

| 0 0 1 ↓ | 1 | 1 −2 1

− −|− − − − −|− − −|− − − −

x1 | 1 0 0 | 2 | −11 21 −9

x2 | 0 1 0 | 1 | 14 −26 11

x3 | 0 0 1 | 1 | 1 −2 1


40 1. SPATII SI SUBSPATII VECTORIALE1

40 0

−3

41 0

−2

40 1

4 3 3 14 1 0 0

3 2 5 13 0 1 0

2 1 8 13 0 0 1

=

1

3

4

3

4

7

2

1

40 0

0 −1

4

11

4

5

2−3

41 0

0 −1

2

13

26 −1

20 1

1 3 0

0 −4 0

0 −4

21

13

4

3

4

7

2

1

40 0

0 −1

4

11

4

5

2−3

41 0

0 −1

2

13

26 −1

20 1

=

1 0 9 11 −2 3 0

0 1 −11 −10 3 −4 0

0 0 1 1 1 −2 1

1 0 −9

0 1 11

0 0 1

1 0 9 11 −2 3 0

0 1 −11 −10 3 −4 0

0 0 1 1 1 −2 1

=

1 0 0 2 −11 21 −9

0 1 0 1 14 −26 11

0 0 1 1 1 −2 1

Identitatea matriciala obtinuta pornind de la matricea initiala

4 3 3 14 1 0 0

3 2 5 13 0 1 0

2 1 8 13 0 0 1

si

terminând cu matricea finala

1 0 0 2 −11 21 −9

0 1 0 1 14 −26 11

0 0 1 1 1 −2 1


1 0 −9

0 1 11

0 0 1

1 3 0

0 −4 0

0 −4

21

1

40 0

−3

41 0

−2

40 1

4 3 3 14 1 0 0

3 2 5 13 0 1 0

2 1 8 13 0 0 1

=

=

1 0 0 2 −11 21 −9

0 1 0 1 14 −26 11

0 0 1 1 1 −2 1

Diverse verificari folosind valorile din tabel:

4 3 3

3 2 5

2 1 8

−11 21 −9

14 −26 11

1 −2 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 3 3

3 2 5

2 1 8

2

1

1

=

14

13

13

1.7. REPREZENTAREA VECTORILOR 414 3 3

3 2 5

2 1 8

−11

14

1

=

1

0

0

4 3 3

3 2 5

2 1 8

21

−26

−2

=

0

1

0

4 3 3

3 2 5

2 1 8

−9

11

1

=

0

0

1

(2) Metoda pivotului aplicata acestui sistem are urmatoarea forma:

x1 x2 x3 | b

4 3 3 | 6

3 2 1 | 8

11 8 7 | 20

− − − −|− −

13

4

3

4| 3

2

0 −1

4−5

4| 7

2

0 −1

4−5

4| 7

2

− − − −|− −

1 0 −3 | 12

0 1 5 | −14

0 0 0 | 0

.

Se observa ca algoritmul nu mai poate fi continuat deoarece în ultimul tabel ultima linie

(corespunzatoare necunoscutelor) este nula. Deoarece si elementul corespunzator coloanei b este

nul, rezulta ca sistemul este compatibil 1 nedeterminat.

Solutia sistemului este

x1

x2

x3

∈

12 + 3α

−14− 5α

α

; α ∈ R


42 1. SPATII SI SUBSPATII VECTORIALE1

40 0

−3

41 0

−11

40 1

4 3 3 6

3 2 1 8

11 8 7 20

=

1

3

4

3

4

3

2

0 −1

4−5

4

7

2

0 −1

4−5

4

7

2

1 3 0

0 −4 0

0 −1 1

13

4

3

4

3

2

0 −1

4−5

4

7

2

0 −1

4−5

4

7

2

=

1 0 −3 12

0 1 5 −14

0 0 0 0

Identitatea matriciala obtinuta pornind de la matricea initiala si terminând cu matricea finala


1 3 0

0 −4 0

0 −1 1

1

40 0

−3

41 0

−11

40 1

4 3 3 6

3 2 1 8

11 8 7 20

=

1 0 −3 12

0 1 5 −14

0 0 0 0

.

(3) Metoda pivotului aplicata acestui sistem are urmatoarea forma:

x1 x2 x3 | b

1 1 1 | 10

2 1 1 | 16

3 2 2 | 24

− − − −|− −

1 1 1 | 10

0 −1 −1 | −4

0 −1 −1 | −6

− − − −|− −

1 0 0 | 6

0 1 1 | 4

0 0 0 | −2

⇒ Sistemul este incompatibil.


1 0 0

−2 1 0

−3 0 1

1 1 1 10

2 1 1 16

3 2 2 24

=

1 1 1 10

0 −1 −1 −4

0 −1 −1 −6

1.7. REPREZENTAREA VECTORILOR 431 1 0

0 −1 0

0 −1 1

1 1 1 10

0 −1 −1 −4

0 −1 −1 −6

=

1 0 0 6

0 1 1 4

0 0 0 −2

Identitatea matriciala obtinuta pornind de la matricea initiala si terminând cu matricea finala


1 1 0

0 −1 0

0 −1 1

1 0 0

−2 1 0

−3 0 1

1 1 1 10

2 1 1 16

3 2 2 24

=

1 0 0 6

0 1 1 4

0 0 0 −2

Inversarea unei matrici se poate face folosind aceeasi schema, cu tabelul initial si final în forma:

A I

· · · · · ·

I A−1

1.7.5. Exemplu. Sa se inverseze matricea

2 3 −1

1 2 −1

1 1 −2

1.7.6. Solutie. Tabelul pentru aplicarea metodei pivotului este urmatorul:


2 3 −1 | 1 0 0

1 2 −1 | 0 1 0

1 1 −2 | 0 0 1

− − − −|− − − −

13

2−1

2| 1

20 0

01

2−1

2| −1

21 0

0 −1

2−3

2| −1

20 1

− − − −|− − − −

1 0 1 | 2 −3 0

0 1 −1 | −1 2 0

0 0 −2 | −1 1 1

− − − −|− − − −

1 0 0 | 3

2−5

2

1

2

0 1 0 | −1

2

3

2−1

2

0 0 1 | 1

2−1

2−1

2Ultimele trei linii si ultimele trei coloane dau matricea inversa:

2 3 −1

1 2 −1

1 1 −2

−1

=

3

2−5

2

1

2

−1

2

3

2−1

21

2−1

2−1

2


1/2 0 0

−1/2 1 0

−1/2 0 1

2 3 −1 1 0 0

1 2 −1 0 1 0

1 1 −2 0 0 1

=

1

3

2−1

2

1

20 0

01

2−1

2−1

21 0

0 −1

2−3

2−1

20 1

1 −3 0

0 2 0

0 1 1

13

2−1

2

1

20 0

01

2−1

2−1

21 0

0 −1

2−3

2−1

20 1

=

1 0 1 2 −3 0

0 1 −1 −1 2 0

0 0 −2 −1 1 1

1 0 1/2

0 1 −1/2

0 0 −1/2

1 0 1 2 −3 0

0 1 −1 −1 2 0

0 0 −2 −1 1 1

=

1 0 0

3

2−5

2

1

2

0 1 0 −1

2

3

2−1

2

0 0 11

2−1

2−1

2

Proba:

2 3 −1

1 2 −1

1 1 −2

3

2−5

2

1

2

−1

2

3

2−1

21

2−1

2−1

2

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1


Folosind aceasta metoda si acest mod de organizare a calculelor se pot efectua majoritatea cerintelor

specifice algebrei liniare, cu pastrarea semnificatiilor reprezentarilor în bazele initiale, intermediare si finale.

Suportul teoretic este oferit de

1.7.7. Teorema. (Lema substitutiei) Fie (V,K) spatiu vectorial de tip finit, V1 subspatiul generat

de sistemul ordonat de vectori liniar independenti B = (e1, · · · , em), iar v =m∑i=1

αiei ∈ V1. Daca αj 6= 0

atunci B′ = (e1, · · · ej−1, v, ej+1, · · · , em) este un nou reper al lui V1 iar legatura dintre vechile coordonate

[x]B =

γ1

...

γm

(în reperul B) si noile coordonate [x]B′ =

γ′1...

γ′m

(în reperul B′) ale unui vector oarecarex ∈ V1 este γ′j =

γjαj, γ′i =

γiαj − γjαiαj

. Reciproc, daca B′ este liniar independent, atunci αj 6= 0.

Demonstratie. Cum αj 6= 0, din relatia v =m∑i=1

αiei se poate obtine ej ca o combinatie liniara de v si

de ceilalti vectori din B: ej =v

αj−

m∑i=1,i 6=j

αiαjei ⇒ B′ este sistem de generatori pentru V1, pentru ca B este

sistem de generatori iar orice combinatie liniara care contine ej poate fi înlocuita cu o combinatie linara

de B′. Familia B′ este chiar reper, deoarece are acelasi numar de vectori ca si B, asa ca este minimala ca

sistem de generatori.

O justificare alternativa:

Fie λi astfel încâtm∑

i=1,i 6=jλiei + λjv = 0 ⇒

m∑i=1,i 6=j

λiei +m∑i=1

λjαiei = 0 ⇒m∑

i=1,i 6=j(λi + λjαi) ei + λjαjej

= 0 ⇒

λjαj = 0 (si αj 6= 0)

λi + λjαi = 0, i 6= j⇒ λi = 0, ∀i

⇒ B′ este baza în V1

Mai mult, x =m∑i=1

γiei =m∑

i=1,i 6=jγiei+γjej =

m∑i=1,i 6=j

γiei+γj

(v

αj−

m∑i=1,i 6=j

αiαjei

)=

m∑i=1,i 6=j

(γi − γj

αiαj

)ei+

γjv

αj⇒ noile coordonate sunt γ′i = γi − γj

αiαj, i 6= j, γ′j =

γjαj.

1.7.8. Exemplu. Sa se studieze natura sistemului de vectori:

v1 =

1

0

−1

, v2 =

2

1

3

, v3 =

1

1

1

, v4 =

−1

2

0

1.7.9. Solutie. Se considera sistemul vectorial în necunoscutele α1, α2, α3, α4: α1v1 + α2v2 + α3v3 +

α4v4 = 0. Trebuie aflate toate valorile scalarilor α1, α2, α3, α4 care verifica sistemul vectorial. Prin

înlocuirea în sistemul vectorial a reprezentarilor vectorilor (date în baza canonica) se obtine o noua forma:

α1 [v1]E + α2 [v2]E + α3 [v3]E + α4 [v4]E = [0]E ⇒


⇒ α1

1

0

−1

+ α2

2

1

3

+ α3

1

1

1

+ α4

−1

2

0

=

0

0

0

care este echivalenta cu un sistem liniar

omogen în necunoscutele α1, α2, α3, α4:α1 + 2α2 + α3 − α4 = 0

α2 + α3 + 2α4 = 0

−α1 + 3α2 + α3 = 0

Se rezolva acest sistem folosind metoda pivotului si cu pastrarea semnificatiilor de spatiu vectorial

(bazele în care sunt reprezentati vectorii):

| v1 v2 v3 v4 | e1 e2 e3 | b

− −|− − − − − −|− − − − −|− −

← e1 | 1 ↓ 2 1 −1 | 1 0 0 | 0

e2 | 0 1 1 2 | 0 1 0 | 0

e3 | −1 3 1 0 | 0 0 1 | 0

− −|− − − − − −|− − − − −|− −

v1 | 1 2 1 −1 | 1 0 0 | 0

← e2 | 0 1 ↓ 1 2 | 0 1 0 | 0

e3 | 0 5 2 −1 | 1 0 1 | 0

− −|− − − − − −|− − − − −|− −

v1 | 1 0 −1 −5 | 1 −2 0 | 0

v2 | 0 1 1 2 | 0 1 0 | 0

← e3 | 0 0 −3 ↓ −11 | 1 −5 1 | 0

− −|− − − − − −|− − − − −|− −

v1 | 1 0 0 −4

3| 2

3−1

3−1

3| 0

v2 | 0 1 0 −5

3| 1

3−2

3

1

3| 0

v3 | 0 0 111

3| −1

3

5

3−1

3| 0


1 0 0

0 1 0

1 0 1

1 2 1 −1 1 0 0

0 1 1 2 0 1 0

−1 3 1 0 0 0 1

=

1 2 1 −1 1 0 0

0 1 1 2 0 1 0

0 5 2 −1 1 0 1


1 −2 0

0 1 0

0 −5 1

1 2 1 −1 1 0 0

0 1 1 2 0 1 0

0 5 2 −1 1 0 1

=

1 0 −1 −5 1 −2 0

0 1 1 2 0 1 0

0 0 −3 −11 1 −5 1

1 0 −1

3

0 11

3

0 0 −1

3

1 0 −1 −5 1 −2 0

0 1 1 2 0 1 0

0 0 −3 −11 1 −5 1

=

1 0 0 −4

3

2

3−1

3−1

3

0 1 0 −5

3

1

3−2

3

1

3

0 0 111

3−1

3

5

3−1

3

Verificare:

1 2 1

0 1 1

−1 3 1

2

3−1

3−1

31

3−2

3

1

3

−1

3

5

3−1

3

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.7.10. Exemplu. Fie vectorii:

v1 =

0

2

1

, v2 (m) =

1

m

−1

, v3 (m) =

m

0

1

,m ∈ R.

Sa se discute în functie de parametrul m natura familiei de vectori.

1.7.11. Solutie. Se considera sistemul vectorial în necunoscutele α1, α2, α3: α1v1+α2v2 (m)+α3v3 (m) = 0

si cu parametrul m.

1.7.12. Observatie. Prezentarea de fata a metodei eliminarii a lui Gauss (metodei pivotului) nu este

completa: nu s—a specificat modul de abordare complet pentru situatiile când pivotul nu poate fi ales

pe diagonala principala, nu s—au prezentat aspecte legate de abordarea numerica a problemei (situatiile

când calculele implicate se efectueaza cu aproximatii), nu s—a prezentat efectuarea acestor calcule folosind

software matematic specializat (Computer Algebra Systems), nu s—au prezentat aplicatii ale acestei metode

în alte zone de interes. Speram ca toate aceste omisiuni vor fi acoperite de alte cursuri si/sau texte.

1.7.13. Exemplu (Aplicatie de tip economic preluata si adaptata dupa [[7]], page 108, Example 1). O

companie americana are profit brut de 100000 USD. Compania a acceptat sa doneze 10% din profitul net

la Crucea Rosie. Compania trebuie sa plateasca o taxa de stat de 5% din profit (dupa donatie) si o taxa

federala de 40% din profit (dupa donatie si dupa taxa de stat). Ce taxe plateste compania si cât doneaza?

Care este valoarea reala a donatiei?

1.7.14. Solutie. Fie D donatia, S taxa de stat si F taxa federala.

Profitul net este 100000− S − F


D =1

10(100000− S − F )⇒ 10D + S + F = 100000

S =5

100(100000−D)⇒ D + 20S = 100000

F =40

100(100000−D − S)⇒ 2D + 2S + 5F = 200000

⇒Se rezolva sistemul liniar:10D + S + F = 100000

D + 20S = 100000

2D + 2S + 5F = 200000

, Solutia este:

F =

11400000

319≈ 35736.67712,

S =1500000

319≈ 4702.194357,

D =1900000

319≈ 5956.112853.

Care este valoarea reala a donatiei?

Daca donatia ar finula, atunci taxele ar fimai mari: S =5

100100000 = 5000, iar F =

40

100(100000− 5000) =

38000

Diferenta dintre taxele fara donatie si taxele cu donatie este: 5000 + 38000− 1500000

319− 11400000

319=

817000

319≈ 2561.128527

Valoarea reala a donatiei este diferenta între donatia facuta si surplusul de taxe daca nu s—ar face

donatia:1900000

319− 817000

319=

1083000

319= 3394.984326

1.8. OPERATII CU SUBSPATII 49

1.8. Operatii cu subspatii

1.8.1. Propozitie. Intersectia oricarei familii de subspatii este subspatiu (si este multime nevida).

Demonstratie. Daca (V,K) este spatiu vectorial iar (Vi)i∈I sunt subspatii ale lui (V,K), atunci pentru

V0 :=⋂i∈IVi au loc:

∀i ∈ I, 0 ∈ Vi ⇒ 0 ∈ V0 (⇒ V0 6= ∅);

1. x, y ∈ V0 ⇒ ∀i ∈ I x, y ∈ Vi ⇒ ∀i ∈ I, x+ y ∈ Vi ⇒ x+ y ∈ V0

2. x ∈ V0, α ∈ K⇒ ∀i ∈ I x ∈ Vi si α ∈ K ⇒ ∀i ∈ I αx ∈ Vi ⇒ αx ∈ V0.

1.8.2. Exemplu. Se considera vectorii: v1 = (2, 2, 2), v2 = (2, 2,−1), v3 = (−3, 3, 2), v4 = (2, 5, 1) si

subspatiile V1 = span (v1, v2), V2 = span (v3, v4). Sa se descrie intersectia V1 ∩ V2.

Rezolvare:

v ∈ V1 ∩ V2 ⇒ v este simultan combinatie liniara de v1, v2 si de v3, v4 asa ca se obtine:

v = α1v1 + α2v2 = α3v3 + α4v4, de unde se obtine sistemul:2α1 + 2α2 = −3α3 + 2α4

2α1 + 2α2 = 3α3 + 5α4

2α1 − α2 = 2α3 + α4

, cu solutia:

α1 = 712α,

α2 = 76α,

α3 = −12α,

α4 = α ∈ R.Un vector v al intersectiei este:

v = 712α (2, 2, 2) + 7

6α (2, 2,−1) = α

(72, 7

2, 0)

sau

v = −12α (−3, 3, 2) + α (2, 5, 1) = α

(72, 7

2, 0).

Intersectia celor doua subspatii este:

V1 ∩ V2 =

α

(7

2,7

2, 0

); α ∈ R

= α (1, 1, 0) ; α ∈ R .

Observatii:

Sistemul

2α1 + 2α2 = −3

2α1 + 2α2 = 3

2α1 − α2 = 2

nu are solutie, asa ca v3 6∈ V1.

Sistemul

2α1 + 2α2 = 2

2α1 + 2α2 = 5

2α1 − α2 = 1


2 = −3α3 + 2α4

2 = 3α3 + 5α4

2 = 2α3 + α4


50 1. SPATII SI SUBSPATII VECTORIALE2 = −3α3 + 2α4

2 = 3α3 + 5α4

−1 = 2α3 + α4


Deoarece nu se precizeaza reperul în care sunt exprimati vectorii, se subîntelege ca reprezentarea initiala

se face în reperul E = (e1, e2, e3), unde e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). În reperul E obiectele

care apar se reprezinta astfel:

[e1]E =

1

0

0

, [e2]E =

0

1

0

, [e3]E =

0

0

1

, [v1]E =

2

2

2

, [v2]E =

2

2

−1

, [v3]E =

−3

3

2

,

[v4]E =

2

5

1

, [v]E = α

72

72

0

.

Familia B1 = (v1, v2) este liniar independenta (pentru ca matricea

2 2

2 2

2 −1

are rangul 2) si genereazaV1, asa ca B1 este reper în V1, dimensiunea lui V1 este 2, iar obiectele din V1 se reprezinta astfel:

[v1]B1 =

1

0

, [v2]B1 =

0

1

, @ [v3]B1 , @ [v4]B1 , [v]B1 = α

712

76

(vectorul v este reprezentabil înreperul B1 pentru ca, fiind în intersectie, face parte din V1).

Familia B2 = (v3, v4) este reper în V2, dimensiunea lui V2 este 2, iar obiectele din V2 se reprezinta

astfel: [v3]B2 =

1

0

, [v4]B2 =

0

1

, @ [v1]B2 , @ [v2]B2 , [v]B2 = α

−12

1

(vectorul v este reprezentabilîn reperul B2 pentru ca, fiind în intersectie, face parte din V2).

În poza se afla urmatoarele obiecte (descrise din punct de vedere al Geometriei Analitice si al Algebrei

Liniare):

Punctele: O (0, 0, 0), P1 (2, 2, 2), P2 (2, 2,−1), P3 (−3, 3, 2), P4 (2, 5, 1);

Vectorii de pozitie:−−→OP1,

−−→OP2,

−−→OP3,

−−→OP4 (vectorii v1, v2, v3, v4);

Planele: (PL1) : −x + y = 0 (subspatiul V1, de dimensiune 2), (PL2) : −x + y − 3z = 0 (subspatiul

V2, de dimensiune 2);

Dreapta de intersectie a planelor (PL1) si (PL2), (PL12) : x = (0, 0, 0)+s (1, 1, 0) (subspatiul V1∩V2 =

α (1, 1, 0) ; α ∈ R, de dimensiune 1).

Poza a fost obtinuta cu produsul software "Archimedes Geo3D, version 1.3.6", www.raumgeometrie.de.


Figure 2. Intersectia a doua subspatii

1.8.3. Definitie. Se numeste suma unei familii (Vi)i=1,k de subspatii multimea

k∑i=1

ViDef=

k∑i=1

vi; vi ∈ Vi, ∀i = 1, k

.

1.8.4. Propozitie. Suma unei familii de subspatii este un subspatiu.

Demonstratie. xj ∈k∑i=1

Vi, j = 1, 2 ⇒ ∀i = 1, k, ∃vji ∈ Vi, j = 1, 2 astfel încât xj =k∑i=1

vji ⇒

x1 + x2 =k∑i=1

(v1i + v2

i ) ∈k∑i=1

Vi.

Analog, pentru α ∈ K, αx1 =k∑i=1

(αv1i ) ∈

k∑i=1

Vi.

1.8.5. Propozitie. Suma subspatiilor coincide cu subspatiul generat de reuniunea subspatiilor

k∑i=1

Vi = span

(k⋃i=1

Vi

)

(este cel mai mic subspatiu care contine reuniunea familiei).

Demonstratie. Fie x ∈k∑i=1

Vi ⇒ ∀i ∈ I, ∃vi ∈ Vi ⊂k⋃i=1

Vi, astfel încât x =k∑i=1

vi ⇒ x ∈

span

(k⋃i=1

Vi).


Reciproc, fie x ∈ span(

k⋃i=1

Vi)⇒ ∃m ∈ N∗, ∃αj ∈ K, j = 1,m, ∃vj ∈

k⋃i=1

Vi, j = 1,m, astfel încât x

=m∑j=1

αjvj.

Pentru fiecare j = 1,m, ∃ij ∈ I, vj = uij ∈ Vij ⇒ αjuij ∈ Vij si atunci x =m∑j=1

(αjuij

)∈∑i∈IVi [pentru

doi indici j1, j2 diferiti —sau mai multi —se poate ca indicii ij1 si ij2 sa coincida iar în aceasta situatie

αj1uij1 + αj2uij2 ∈ Vij1 ].

1.8.6. Propozitie. maxi=1,k

(dimVi) ≤ dim

(k∑i=1

Vi)≤

k∑i=1

dim (Vi).

Demonstratie. Pentru prima inegalitate, are loc ∀i = 1, k, Vi ⊂k∑i=1

Vi ⇒ ∀i = 1, k, dimVi ≤

dim

(k∑i=1

Vi)⇒ max

i=1,k(dimVi) ≤ dim

(k∑i=1

Vi).

Pentru a doua inegalitate, fie câte o baza în fiecare subspatiu si fie familia obtinuta prin reunirea

lor; aceasta noua familie este sistem de generatori înk∑i=1

Vi iar numarul ei de vectori estek∑i=1

dim (Vi);

cum orice baza a subspatiului are cel mult tot atâtia vectori câti are un sistem de generatori, rezulta ca

dim

(k∑i=1

Vi)≤

k∑i=1

dim (Vi).

1.8.7. Propozitie. (Definitii echivalente pentru suma directa a doua subspatii) Fie V1 si V2

doua subspatii si V1 + V2 suma lor. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1) Orice vector al sumei admite o unica descompunere într-o suma dintre un vector din V1 si un

vector din V2.

(2) Intersectia celor doua subspatii este subspatiul nul.

(3) Dimensiunea sumei subspatiilor este egala cu suma dimensiunilor subspatiilor.

(4) Pentru orice baza B1 în V1 si orice baza B2 în V2, B1 ∪B2 este familie liniar independenta.

Demonstratie. Se va demonstra echivalenta afirmatiilor 1. si 2., 2. si 3.

1.⇔2. Fie suma V1 + V2 cu proprietatea 1. si fie x ∈ V1 ∩ V2. Pentru v ∈ V1 + V2 ∃vi ∈ Vi, i = 1, 2

asa ca v = v1 + v2 = (v1 − x) + (x+ v2) cu v1 − x ∈ V1si x+ v2 ∈ V2 deci descompunerea este unica daca

si numai daca ∀x ∈ V1 ∩ V2, x = 0.

2.⇔3. Fie câte o baza (ei)i=1,k1, (fj)j=1,k2

în fiecare subspatiu.

„⇒”Se presupune ca V1 ∩ V2 = 0. Atunci familia (ei)i=1,k1∪ (fj)j=1,k2

este baza în V1 + V2.

Familia este sistem de generatori; demonstram ca este si liniar independenta.

Fie o combinatie liniara nula

k1∑i=1

αiei +k2∑j=1

βjfj = 0⇒

⇒ x =k1∑i=1

αiei = −k2∑j=1

βjfj ∈ V1 ∩ V2 = 0


si cum (ei)i=1,k1, (fj)j=1,k2

sunt baze în V1, respectiv V2 urmeaza ca toti scalarii sunt nuli, adica familia

este liniar independenta si deci baza în V1 +V2. Dimensiunea subspatiului V1 +V2 este data de numarul

de vectori ai unei baze, asa ca dim (V1 + V2) = k1 + k2.

„⇐”Presupunem ca dim (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 si, prin reducere la absurd, ca ar exista 0 6=

x ∈ V1 ∩ V2.

Consideram câte o baza în fiecare subspatiu; familia formata din reuniunea celor doua baze este sistem

de generatori, dar nu mai este liniar independenta, pentru ca vectorul nenul x admite doua reprezentari

distincte în cele doua subspatii, asa ca reprezentarea oricarui vector al sumei poate fi modificata prin

adunarea reprezentarii lui x în V1 si scaderea reprezentarii lui x în V2. Extragerea din ea a unei baze

conduce la micsorarea stricta a numarului de vectori, deci dim (V1 + V2) < dimV1 + dimV2, contradictie

cu ipoteza. Deci intersectia contine numai elementul nul.

1.8.8. Definitie. Suma V1 + V2 a doua subspatii V1 si V2 se numeste directa daca este satisfacuta una

dintre conditiile echivalente din propozitia 1.8.7. Suma directa a doua subspatii se noteaza cu V1 ⊕ V2.

1.8.9. Definitie. Doua subspatii V1 si V2 se numesc suplementare4 în V daca V = V1 ⊕ V2.

1.8.10. Propozitie. DacaV1 este subspatiu al lui V atunci exista un subspatiuV2 astfel încâtV = V1⊕V2.

Demonstratie. Fie o baza (ei)i=1,k1a lui V1 care se completeaza la o baza a lui V cu vectorii (fj)j=1,k2

.

Atunci familia (ei)i=1,k1∪ (fj)j=1,k2

este baza în V iar subspatiul V2 = span(

(fj)j=1,k2

)este un suplement

al lui V1 în V:

x ∈ V1 ∩ V2 ⇒ vectorul x se exprima în acelasi timp ca o combinatie liniara de vectorii fiecarei

subfamilii,

x =

k1∑i=1

αiei =

k2∑j=1

βjfj

decik1∑i=1

αiei −k2∑j=1

βjfj = 0

si cum expresia de mai sus este o combinatie liniara nula a familiei (ei)i=1,k1∪ (fj)j=1,k2

care este baza,

toti scalarii sunt nuli, adica orice element al intersectiei este nul, adica suma spatiilor este directa.

1.8.11. Observatie. Din demonstratie se observa ca, datorita faptului ca o familie liniar independenta

poate ficompletata pâna la o baza în mai multe feluri, suplementul unui subspatiu (propriu)5 nu este unic.

4Terminologia folosita difera cu scoala careia îi apartine autorul. Scoala Anglo—Saxona foloseste expresia "complemen-tary subspaces", iar scoala Franceza foloseste expresia "sous—espaces supplémentaires"; mai mult, diferentele se pare ca sepastreaza si în traduceri (un text în Engleza tradus din Franceza foloseste expresia "supplementary subspaces"). Daca seiau în calcul si alte scoli (cum ar fi cea Rusa sau cea Germana), expresia folosita poate conduce la diverse confuzii care sepastreaza chiar în aceeasi limba.5Spatiul vectorial (V,K) are doua subspatii improprii: 0 (subspatiul nul) si V (tot spatiul). Fiecare subspatiu impropriuare suplement unic, si anume celalalt subspatiu impropriu.


1.8.12. Exemplu. Daca V1 = α (1, 0) ; α ∈ R, atunci familia (1, 0) poate fi completata pâna la o

baza în R2 cu fiecare dintre vectorii (0, 1), (1, 1), (1,−1) si atunci se obtine ca fiecare dintre subspatiile

V2 = α (0, 1) ; α ∈ R, V3 = α (1, 1) ; α ∈ R, V4 = α (1,−1) ; α ∈ R este câte un suplement al lui

V1 în R2: R2 = V1 ⊕ V2 = V1 ⊕ V3 = V1 ⊕ V4.

1.8.13. Observatie. Daca V1 este subspatiu în V astfel încât dimV1 = k si dimV = n, atunci orice

suplement al lui V1 în V are dimensiunea n−k. Dimensiunea suplementului se mai numeste codimensiunea

lui V1.

1.8.14. Teorema. [Definitii echivalente pentru suma directa a mai multor subspatii] Fie (Vi)i=1,k

si V =k∑i=1

Vi. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1) Fiecare vector x al sumei se descompune în mod unic sub forma: x =k∑i=1

vi, vi ∈ Vi, i = 1, k.

(2) ∀j = 1, k, Vj ∩(

k∑i=1,i 6=j

Vi

)= 0 .

(3)k∑i=1

dimVi = dimV.

(4) Pentru i = 1, k, ∀Bi baza în Vi,k⋃i=1

Bi este o familie liniar independenta.

Demonstratie. Se va demonstra „1⇒ 2”, „2⇒ 1”, „2⇒ 3”si „3⇒ 2”.

„1⇒ 2”≡ „e2⇒e1”

Se presupune prin reducere la absurd ca exista j = 1, k astfel încât Vj ∩(

k∑i=1,i 6=j

Vi

)6= 0.

Atunci ∃x ∈ Vj ∩(

k∑i=1,i 6=j

Vi

)\ 0 ⇒ x ∈ Vj si x ∈

k∑i=1,i 6=j

Vi si x 6= 0.

Atunci x =k∑

i=1,i 6=jv′i, vi ∈ Vi, i 6= j si pentru un vector oarecare al sumei v ∈

k∑i=1

Vi are loc:

v =k∑i=1

vi =k∑

i=1,i 6=jvi+vj =

(k∑

i=1,i 6=jvi − x

)+(vj + x) =

(k∑

i=1,i 6=jvi −

k∑i=1,i 6=j

v′i

)+(vj + x) =

k∑i=1,i 6=j

(vi − v′i)+

(vj + x), care este o alta descompunere pentru x, distincta de prima din cauza ca x 6= 0, contradictie cu

unicitatea descompunerii.

„2⇒ 1”≡„e1⇒e2”

Daca prin reducere la absurd doua descompuneri ar coincide,k∑i=1

vi =k∑i=1

v′i, atuncik∑i=1

(vi − v′i) = 0;

daca ∃j astfel încât vj − v′j 6= 0, atunci v′j − vj =k∑

i=1,i 6=j(vi − v′i) 6= 0 ⇒ ∃j, Vj ∩

(k∑

i=1,i 6=jVi

)6= 0

contradictie. Asadar ∀j = 1, k, vj − v′j = 0 adica cele doua descompuneri coincid.

„2⇒3”

Fie câte o baza în fiecare subspatiu; reuniunea bazelor este sistem de generatori al sumei, iar din conditia

2 rezulta independenta liniara a reuniunii de baze: daca reuniunea de baze n-ar fi liniar independenta,


atunci ar exista un indice j si un vector în Vj care sa fie suma de vectori din celelalte subspatii, adica

Vj ∩(

k∑i=1,i 6=j

Vi

)6= 0 contradictie. Urmeaza ca are loc 3.

„3⇒2”

Reuniunea bazelor este sistem de generatori al sumei si din 3 urmeaza ca este si liniar independenta

(ca fiind minimala), asa ca daca are loc Vj ∩(

k∑i=1,i 6=j

Vi

)6= 0 atunci pentru 0 6= x ∈ Vj ∩

(k∑

i=1,i 6=jVi

)si pentru v oarecare o scriere a lui v în reuniunea bazelor ar putea fimodificata prin intermediul lui x în

alta scriere distincta de prima, folosind cele doua reprezentari ale lui x în Vj si înk∑

i=1,i 6=jVi:

x =kj0∑i=1

βj0i ej0i =

k∑j=1,j 6=j0

(kj∑i=1

βji eji

), v =

k∑j=1

(kj∑i=1

αjieji

)=

kj0∑i=1

αj0i ej0i +

k∑j=1,j 6=j0

(kj∑i=1

αjieji

)=

kj0∑i=1

(αj0i − β

j0i

)ej0i +

k∑j=1,j 6=j0

(kj∑i=1

(αji + βji

)eji

), adica reuniunea familiei de baze n—ar fi liniar independenta, contradictie.

"3?4" Se presupune c dimensiunea sumei este egal cu suma dimensiunilor. Fiecare baz Biareacela inum rdevectorica idimVi.?ki=1BiestesistemdegeneratorinV.Num ruldevectoridin?ki=1Biestemaimicsauegalcusumadimensiunilor[pentruc bazelepots nufiedisjuncte], iardac arfistrictmaimic, atunci idimV arfistrictmaimic [contradic ie]Dac ?ki=1Binuesteliniarindependent , atuncideasemeneaseob ineaccea icontradic ie[dimV arfistrictmaimic dectsumadimensiunilor]nconcluzie, ?ki=1Biesteliniarindependent [ icumeste isistemdegeneratoripentruV, estechiarobaz ]”4”Sepresupunec pentruoricealegereauneibazeBinVi, ?

ki=1Biesteliniarindependent .Dac bazelesuntdisjunctedou ctedou , seob inedimV =

?ki=1dimVi.Dac prinabsurddou bazeBi1 iBi2nuarfidisjuncte, astaarnsemnac Bi1?Bi2esteobaz aluiVi1?Vi2.Vi1?Vi2?Vi1; dac oricebaz aluiVi1araveavectoridinaceast intersec ie, atunciVi1?Vi2 =

Vi1???decompletat

1.8.15. Definitie. Suma unei familii de subspatii (Vi)i=1,k se numeste directa daca este satisfacuta una

dintre conditiile echivalente din teorema 1.8.14 de mai sus. Se foloseste notatiak⊕i=1

Vi (care înseamna ca

suma subspatiilork∑i=1

Vi este directa).

1.8.16. Teorema. (Formula lui Grassmann) Pentru orice doua subspatii V1 si V2 are loc:

dimV1 + dimV2 = dim (V1 + V2) + dim (V1 ∩ V2) .

Demonstratie. Fie

V′1 suplementul direct al lui V1 ∩ V2 în V1: V1 = (V1 ∩ V2)⊕ V′1 ⇒

(V1 ∩ V2) ∩ V′1 = 0,

V′1 ⊆ V1.

V′2 suplementul direct al lui V1 ∩ V2 în V2: V2 = (V1 ∩ V2)⊕ V′2 ⇒

(V1 ∩ V2) ∩ V′2 = 0,

V′2 ⊆ V2.

De unde rezulta:

V′1 ∩ V2 = V1 ∩ V′1︸︷︷︸

=V′1

∩ V2 = (V1 ∩ V2) ∩ V′1 = 0

V′2 ∩ V1 = V2 ∩ V′2︸︷︷︸=V′2

∩ V1 = (V1 ∩ V2) ∩ V′2 = 0 .

Aratam ca are loc relatia: V1 +V2 = (V1 ∩ V2) +V′1 +V′2 = (V1 ∩ V2)⊕V′1 ⊕V′2 (suma este directa),

prin aplicarea conditiilor echivalente din Teorema 1.8.14.

Trebuie demonstrate relatiile:

∗ (V1 ∩ V2) ∩ (V′1 + V′2) = 0


x ∈ (V1 ∩ V2) ∩ (V′1 + V′2)⇒ x ∈ V1, x ∈ V2, x ∈ V′1 + V′2 ⇒

x ∈ V1, x ∈ V2, x = u1 + u2, ui ∈ V′i ⇒ u1 ∈ V′1 ⊂ V1 si

u1 = x− u2 ∈ V2 ⇒ u1 ∈ V1 ∩ V2 ∩ V′1 = 0 ⇒ u1 = 0;

analog u2 = 0 deci x = 0.

∗ V′1 ∩ ((V1 ∩ V2) + V′2) = V′1 ∩ V2 = 0.

∗ V′2 ∩ ((V1 ∩ V2) + V′1) = V′2 ∩ V1 = 0.

Asadar descompunerea sumei V1 +V2 = (V1 ∩ V2)⊕V′1⊕V′2 este directa si atunci are loc relatia dintre

dimensiuni:

dim (V1 + V2) = dim (V1 ∩ V2) + dimV′1 + dimV′2;

cum dimV′i = dimVi − dim (V1 ∩ V2) urmeaza ca

dim (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 − dim (V1 ∩ V2) ,

ceea ce încheie demonstratia.

1.9. Laticea subspatiilor

Se considera un spatiu liniar finit—dimensional (V,K), cu dimV =n, si multimea tuturor subspatiilor

liniare ale sale, notata SL (V) ⊆ P (V).

Se considera pe SL (V) operatiile:

Intersectie "∩"; proprietati ale intersectiei:

[SL (V) este parte stabila a lui P (V) în raport cu intersectia] ∀W1,W2∈SL(V), W1 ∩W2 ∈ SL (V)

[intersectia este idempotenta] ∀W∈SL(V), W ∩W = W

[intersectia este comutativa] ∀W1,W2∈SL(V), W1 ∩W2 = W2 ∩W1

[intersectia este asociativa] ∀W1,W2,W3∈SL(V), (W1 ∩W2) ∩W3 = W1 ∩ (W2 ∩W3)

[intersectia are element neutru, V] ∀W∈SL(V), V ∩W = W

[marginire cu 0V] ∀W∈SL(V), 0V ∩W = 0V

[nu exista invers în raport cu intersectia]

Suma "+"; proprietati ale sumei:

[SL (V) este parte stabila a lui P (V) în raport cu suma] ∀W1,W2∈SL(V), W1 +W2 ∈ SL (V)

[suma este idempotenta] ∀W∈SL(V), W+W = W

[suma este comutativa] ∀W1,W2∈SL(V), W1 +W2 = W2 +W1

[suma este asociativa] ∀W1,W2,W3∈SL(V), (W1 +W2) +W3 = W1 + (W2 +W3)

[suma are element neutru, 0V] ∀W∈SL(V), 0V+W = W

[marginire cu V] ∀W∈SL(V), V+W = V

1.9. LATICEA SUBSPATIILOR 57

[nu exista invers în raport cu suma]

Proprietati de întâlnire ale intersectiei si sumei:

[absorbtie] W0 ∩ (W0 +W) = W0 + (W0 ∩W) = W0

[operatiile nu sunt distributive una fata de cealalta]

∃W1,W2W3∈SL(V), W1 ∩ (W2 +W3) 6= (W1 ∩W2) + (W1 ∩W3)

de exemplu pentru 3 drepte distincte care trec prin origine si care fac parte din acelasi plan

W1 ∩ (W2 +W3) = W1 iar (W1 ∩W2) + (W1 ∩W3) = 0V

∃W1,W2W3∈SL(V), W1 + (W2 ∩W3) 6= (W1 +W2) ∩ (W1 +W3)

de exemplu pentru 3 drepte distincte care trec prin origine si care fac parte din acelasi plan

W1 + (W2 ∩W3) = W1 iar (W1 +W2)∩ (W1 +W3) = W1 +W2 = W1 +W3 = planul care le contine.

[suplementul unui element, care nu este unic] ∀W∈SL(V), ∃W′∈SL(V), W+W′ = V si W ∩W′ = 0V.

Se considera pe SL (V) relatia "⊆" [incluziune].

Incluziunea are urmatoarele proprietati:

[reflexivitate] ∀W∈SL(V), W ⊆W

[antisimetrie] ∀W1,W2∈SL(V), W1 ⊆W2 si W2 ⊆W1 ⇒ W1 = W2

[tranzitivitate] ∀W1,W2,W3∈SL(V), W1 ⊆W2 si W2 ⊆W3 ⇒ W1 ⊆W3.

Incluziunea este o relatie de ordine partiala [exista elemente care nu pot fi comparate]

e (W1 ⊆W2) ⇒ W2 ⊆W1 SAU (W1 si W2 sunt incomparabile)

Proprietati de întâlnire ale incluziunii, intersectiei si sumei:

[consistenta incluziunii fata de intersectie] W1 ⊆W2 ⇐⇒ W1 ∩W2 = W1

[consistenta incluziunii fata de suma] W1 ⊆W2 ⇐⇒ W1 +W2 = W2

∀W0∈SL(V), ∀W∈SL(V), functia W 7→ W0 ∩W este (nestrict) crescatoare (izotona) [daca W1 si W2 sunt

comparabile si W1 ⊆ W2, atunci, pentru orice W0, W1 ∩W0 si W2 ∩W0 sunt de asemenea comparabile

iar relatia de incluziune se pastreaza: W1 ∩W0 ⊆W2 ∩W0]

∀W0∈SL(V), ∀W∈SL(V), functiaW 7→W0 +W este crescatoare (izotona) [dacaW1 siW2 sunt comparabile

si W1 ⊆W2, atunci, pentru orice W0, W1 +W0 si W2 +W0 sunt de asemenea comparabile iar relatia de

incluziune se pastreaza: W1 +W0 ⊆W2 +W0]

[incluziuni de distributivitate —care pot fi stricte, datorita lipsei de distributivitate]

(W1 ∩W2) + (W1 ∩W3) ⊆W1 ∩ (W2 +W3)

W1 + (W2 ∩W3) ⊆ (W1 +W2) ∩ (W1 +W3)

[SL (V) este modulara] ∀W1,W2,W3∈SL(V) cu W1 ⊆W3, are loc: W1 + (W2 ∩W3) = (W1 +W2) ∩W3

Dem:

"⊆"


W1 ⊆W3

si

W1 ⊆W1 +W2

⇒W1 ⊆W3 ∩ (W1 +W2)

si

W2 ∩W3 ⊆W2 ⊆W1 +W2

si

W2 ∩W3 ⊆W3

⇒W2 ∩W3 ⊆W3 ∩ (W1 +W2)

⇒ W1 + (W2 ∩W3) ⊆ W3 ∩

(W1 +W2)

"⊇"

x ∈W3∩(W1 +W2)⇒

x ∈W3

si

x ∈W1 +W2

⇒

x ∈W3

si ∃x1 ∈W1,∃x2 ∈W2,

x = x1 + x2

⇒

x2 ∈W2 ∩W3 (∗)

si

x1 ∈W1

⇒ x = x1 + x2 ∈W1 + (W2 ∩W3)

(∗) deoarece x2 ∈W2 si x2 = x− x1 ∈W3, pentru ca x ∈W3 iar x1 ∈W1 ⊆W3

Def: O submultime a lui SL (V) se numeste "lant" daca este total ordonata [nu contine elemente

incomparabile]; daca lantul este finit cu k elemente, k − 1 se numeste "lungimea lantului".

Def: Pentru un element W ∈ SL (V), se numeste "înaltimea lui W" marginea superioara a lungimilor

tuturor lanturilor dintre 0V si W. Elementele de înaltime 1 se numesc "atomi" sau "puncte"

Obs: Orice submultime a unui lant este tot lant.

Obs: Orice lant din SL (V) este de lungime finita, de cel mult L (dimensiunea spatiului V)

Obs: Orice lant din SL (V), de lungime k este izomorf cu multimea 1, · · · , k [în sensul ca exista o

functie bijectiva între lant si 1, · · · , k si care pastreaza ordinea: ϕ (i) ⊆ ϕ (j) ⇐⇒ i ≤ j]

Def: Daca W1 ⊆ W2, multimea [W1,W2] = W ∈SL (V) ; W1 ⊆W ⊆W2 se numeste "intervalul

dintre W1 si W2". Se spune ca "W2 acopera W1" [sau ca "W2 este imediat superior lui W1"] daca

[W1,W2] = W1,W2 [intervalul dintre ele nu contine decât capetele] [în aceasta situatie, intervalul se

numeste "prim"].

Obs: SL (V) este un interval: SL (V) = [0V ,V].

Obs: Un interval poate avea un numar infinit de elemente [de exemplu, dacaW este un plan, intervalul

[0V ,W] contine toate dreptele planului]

Obs: Elementele unui interval nu sunt neaparat comparabile [exemplul anterior, sau [0V ,V] =

SL (V)]

Def: Doua intervale se numesc "transpuse" daca pot fiexprimate în forma [W1 ∩W2,W1] si [W2,W1 +W2],

pentru o alegere adecvata a subspatiilor W1 si W2.

Def: Doua intervale se numesc "proiective" daca exista un sir finit de intervale doua câte doua transpuse.

1.9. LATICEA SUBSPATIILOR 59

Obs: dimensiunea ca subspatiu liniar a unui element din SL (V) este o functie d (·) : SL (V) →

0, 1, · · · , L care are proprietatile:

* W1 ⊂W2 (incluziune stricta) ⇒ d (W1) < d (W2)

* daca W2 este imediat superior lui W1, atunci d (W2) = d (W1) + 1

Functia d (·) induce pe SL (V) o structura de "multime partial ordonata graduata", care satisface

"conditia Jordan—Dedekind": "Toate lanturile maximale cu aceleasi capete au aceeasi lungime finita"

Def: O functie v (·) : SL (V) → R se numeste "valuare" daca v (W1) + v (W2) = v (W1 +W2) +

v (W1 ∩W2). Valuarea se numeste "isotona" [crescatoare] daca W1 ⊆ W2 ⇒ v (W1) ≤ v (W2) si se

numeste pozitiva [strict crescatoare] daca W1 ⊂W2 ⇒ v (W1) < v (W2).

Obs: Data fiind o valuare v (·) strict crescatoare, se defineste valoarea unui interval [W1,W2] ca fiind

v ([W1,W2]) = v (W2)− v (W1).

Obs: d (·) este o valuare strict crescatoare.

Multimea SL (V) are un numar infinit de elemente (de exemplu are o infinitate de subspatii liniare de

dimensiune 1).

Obs: Daca W1 6= W2 si ambele sunt imediat superioare lui W0, atunci W1 +W2 este imediat superior

atât pentru W1 cât si pentru W2. Dual, daca W0 este imediat superior atât pentru W1 cât si pentru W2,

atunci atât W1 cât si W2 sunt imediat superioare pentru W1 ∩W2.

Obs: Functiile ϕW1 (·) : [W2,W1 +W2]→ [W1 ∩W2,W1] definita prin ϕW1 (W) = W ∩W1 si ψW2 (·) :

[W1 ∩W2,W1] → [W2,W1 +W2] definita prin ψW2 (U) = U+W sunt izomorfisme inverse unul altuia.

Mai mult, intervalele [W1 ∩W2,W1] si [W1,W1 +W2] sunt transportate în intervale izomorfe transpuse,

de ψW2 (·), respectiv de ϕW1 (·).

Obs: Intervalele proiective sunt izomorfe.

Obs: Orice subspatiu W este suma dreptelor pe care le include.

Obs: Sublaticea generata de doua subspatii W1 si W2 este W1,W2,W1 ∩W2,W1 +W2.

Obs: Sublaticea generata de trei subspatii

Obs: Daca doua subspatii W1 si W2 sunt comparabile (în sensul ca W1 ⊆W2 sau W2 ⊆W1), si daca

exista un subspatiu W0 asa ca W0 ∩W1 = W0 ∩W2 si W0 +W1 = W0 +W2, atunci W1 = W2.

Obs: În fiecare interval [W1,W2] ⊆ SL (V), pentru fiecare element al intervalului exista un suplement

relativ la interval. PentruW ∈ [W1,W2], suplementul luiW relativ la [W1,W2] este subspatiul (W′ ∩W2)+

W1.

Obs: Data fiind o valuare v (·) strict crescatoare, nici—un interval nu poate fiproiectiv cu un subinterval

propriu al sau.

Obs: Data fiind o valuare v (·) strict crescatoare, toate intervalele proiective au aceeasi valoare.


Obs: Orice valuare asociaza o unica valoare fiecarei clase de intervale proiective prime.

Obs: Daca p (W) este numarul de intervale prime ale unui lant între 0V si W, atunci p (·) este o

valuare.

Obs: Orice combinatie liniara de valuari este o valuare.

Obs: structura unei valuari: v (W) = v (0V) +∑λpp (W), unde, pentru fiecare clasa de intervale

proiective prime, λp este o valoare atasata clasei iar p (·) este numarul de intervale prime proiective cu

clasa respectiva, în orice lant maximal dintre 0V si W.

1.10. Spatiul factor

1.10.1. Spatiul factor atasat unui subspatiu fixat.

1.10.1. Observatie. Fie (V,K) un spatiu vectorial si V0 un subspatiu al sau; V0 fiind subspatiu, este si

subgrup al grupului V. Se considera pe V relatia

u v v (modV0)Def⇔ u− v ∈ V0.

Aceasta relatie este o relatie de echivalenta pe V.

Demonstratie. Reflexivitate: ∀v ∈ V, v v v (modV0), pentru ca v − v = 0 ∈ V0

Simetrie: u v v (modV0)⇒ u− v ∈ V0 subspatiu liniar⇒ v− u = − (u− v) ∈ V0 ⇒ v v u (modV0).

Tranzitivitate: u v v (modV0) si v v w (modV0) ⇒ u − v si v − w ∈ V0 ⇒ u − w = (u− v) +

(v − w) ∈ V0 ⇒ u v w (modV0).

Relatia de echivalenta „· v · (modV0)”genereaza pe V clase de echivalenta în raport cu V0 (modulo

V0); se va nota cu x (modV0) multimea tuturor elementelor lui V care sunt echivalente cu x modulo V0:

x (modV0) = v ∈ V; x v v (modV0) = x+ V0 = x+ v0; v0 ∈ V0 .

Pe parcursul acestei subsectiuni, toate clasele vor fi modulo V0 (si se va renunta la mentionarea de

fiecare data a acestui fapt).

Dimensiunea unei clase de echivalenta modulo V0 este considerata prin definitie egala cu dimensiunea

subspatiului V0.

Doua clase de echivalenta modulo V0 pot numai sa coincida sau sa fie disjuncte:

Demonstratie. ∅ 6= x ∩ y ⇐⇒ ∃z0 ∈ x ∩ y ⇐⇒ ∃v0, u0 ∈ V0, z0 = x+ v0 = y + u0.

Fie v ∈ x⇒ ∃v1 ∈ V0, v = x+ v1 ⇒ v = y + (u0 − v0 + v1) ∈ y ⇒ x ⊆ y.

Se obtine analog si ca y ⊆ x, asa ca doua clase de echivalenta modulo V0 fie sunt disjuncte fie egale.

Familia tuturor claselor de echivalenta modulo V0 formeaza o partitie a lui V:

1.10. SPATIUL FACTOR 61

Demonstratie. x ∈ V ⇒ x ∈ x [orice element apartine macar unei clase de echivalenta modulo V0],

si cum nu poate apartine mai multor clase de echivalenta, apartine exact uneia.

1.10.2. Definitie. Se numeste multime factor (multime cât) modulo V0 multimea tuturor claselor de

echivalenta modulo V0; se noteaza

V/V0 = x (modV0) ; x ∈ V

(este o multime de clase de echivalenta, deci o multime de multimi)

1.10.3. Observatie. Pentru fiecare x ∈ V fixat, functia ψx (·) : V0 → (x (modV0)) definita prin ψx (v) =

x+ v este bijectiva.

Demonstratie. Injectivitatea: fie v1, v2 ∈ V0 astfel încât ψx (v1) = ψx (v2)⇒ x+ v1 = x+ v2 ⇒ v1 =

v2.

Surjectivitatea: y ∈ x (modV0) = ∃vy ∈ V0, y = x+ vy ⇒ ψx (vy) = x+ vy = y.

1.10.4. Propozitie. Pe multimea V/V0 se poate defini o stuctura de spatiu vectorial, cu operatiile:

Adunarea claselor modulo V0: (x (modV0)) + (y (modV0))Def= x+ y (modV0)

Înmultirea claselor modulo V0 cu un scalar: α (x (modV0)) = αx (modV0)

Demonstratie. Toate clasele sunt modulo V0.

Adunarea x + yDef= x+ y este o operatie bine definita (nu depinde de reprezentanti) între clasele de

echivalenta pentru ca, daca x = x1 si y = y1, atunci x − x1 si y − y1 ∈ V0 ⇒ (x+ y) − (x1 + y1) ∈ V0

deci x+ y = x1 + y1. Asociativitatea rezulta din asociativitatea operatiei pe V: (x+ y) + z = x+ y+ z =

(x+ y) + z = x+ (y + z) = x + y + z = x + (y + z); elementul neutru este 0(= V0) iar opusul este

−x = −x.

Înmultirea unei clase de echivalenta cu un scalar: αx = αx este o operatia bine definita pentru ca,

daca x = x1 atunci x− x1 ∈ V0 deci α (x− x1) ∈ V0, adica αx = αx1.

(V/V0,K) este spatiu vectorial, deoarece au loc si proprietatile:

(α + β) x = (α + β)x = αx+ βx = αx+ βx = αx+ βx;

α (x+ y) = αx+ y = α(x+ y) = αx+ αy = αx+ αy;

α (βx) = αβx = α(βx) = (αβ)x = (αβ) x;1 · x = 1 · x = x. Deci (V/V0,K) este spatiu vectorial (cu

operatiile între clase de echivalenta definite mai sus)

1.10.5. Observatie. Functia φ (·) : V→ (V/V0) definita prin φ (x) = x este morfism (surjectiv) de spatii

vectoriale iar kerφ (·) = V0.


Demonstratie. φ (x+ y) = x+ y = x+ y = φ (x) + φ (y) iar φ (αx) = αx = αx = φ (x) deci functia

este morfism de spatii vectoriale.

Nucleul operatorului este kerφ (·) = x ∈ V; φ (x) = 0 ∈ V/V0 si este chiar V0:

x0 ∈ V0 ⇒ φ (x0) = x0 = 0⇒ V0 ⊆ kerφ (·)

φ (x) = 0⇒ x = 0⇒ x ∈ V0.

1.10.6. Definitie. Spatiul vectorial construit mai sus se numeste spatiul vectorial factor (cât) al spatiului

V în raport cu subspatiul V0.

1.10.7. Teorema. (Dimensiunea spatiului factor) Fie (V,K) un spatiu vectorial de tip finit si V0 un

subspatiu al sau. Atunci

dim (V/V0) = dimV− dimV0.

Demonstratie. Se alege o baza x1, · · · , xk în V0 si se completeaza pâna la o baza x1, · · · , xk, y1, · · · , yr

înV. Se considera familia y1, · · · , yr înV/V0; x1, · · · , xk, y1, · · · , yr este baza înV asa ca ∀v ∈ V ∃αi, βj ∈ K

astfel încât v =k∑i=1

αixi︸︷︷︸∈V0

+r∑i=1

βjyj, adica v =r∑i=1

βj yj deci y1, · · · , yr formeaza sistem de generatori în V/V0.

Fie βj ∈ K astfel încâtr∑i=1

βj yj = 0 ⇒r∑i=1

βjyj ∈ V0; daca 0 6= v0 =r∑i=1

βjyj ∈ V0, atunci din faptul ca

v0 este reprezentabil si ca o combinatie liniara de xi ar urma ca vectorii x1, · · · , xk, y1, · · · , yr accepta o

combinatie liniara nula cu coeficienti nenuli, contradictie cu calitatea de baza; asadar v0 este nul si cum

y1, · · · , yr sunt liniar independenti în V urmeaza ca toti scalarii sunt nuli. Asadar y1, · · · , yr este o baza

în spatiul factor V/V0 si dimV/V0 = r, adica dimV/V0 = dimV− dimV0.

1.10.2. Familia claselor de echivalenta. O clasa de echivalenta x = x+V0 se mai numestemultime

plata în V de baza V0 si reprezentant x, sau o translatie a lui V0.

O multime plata poate avea mai multi reprezentanti, dar o singura baza:

x+ V1 = y + V2 ⇒ x ∈ (y + V2)⇒ x+ V2 = y + V2 ⇒ x+ V2 = x+ V1 ⇒ V1 = V2

Se noteaza cu A (V) =⋃V0

subspatiu în V

(V/V0) familia tuturor multimilor plate în V (în raport cu toate

subspatiile V0)

Prin definitie, se considera dimensiunea familiei A (V) egala cu dimensiunea spatiului (V,K).

Daca dimensiunea lui (V,K) este n, atunci familia A (V) este formata din multimi plate de dimensiune

între 0 si n:

Se utilizeaza urmatoarele interpretari geometrice:

Elementele lui V corespund/coincid cu vectorii lor de pozitie

1.10. SPATIUL FACTOR 63

Multimile plate de dimensiune 0 sunt clase echivalenta modulo 0 (subspatiul nul), de forma v.

Multimile plate de dimensiune 1 sunt clase echivalenta modulo orice subspatiu 1—dimensional (drepte).

Multimile plate de dimensiune 2 sunt clase echivalenta modulo orice subspatiu 2—dimensional (plane).

Doua multimi plate x+ V1 si y + V2 se numesc paralele daca V1 ⊆ V2 sau V2 ⊆ V1.

CAPITOLUL 2

Operatori liniari

2.1. Exemple de operatori liniari

2.1.1. Exemplu. Operatorul de derivare, peste spatiul vectorial al functiilor de o variabila indefinit

derivabile:

D (·) : C∞ (R)→ C∞ (R), D (f (·)) = f ′ (·).

Operatorul de derivare este liniar:

D ((f + g) (·)) = (f + g)′ (·) = f ′ (·) + g′ (·);

D ((αf) (·)) = (αf)′ (·) = αf ′ (·).

2.1.2. Exemplu. Operatorul de integrare, peste spatiul vectorial al functiilor integrabile:

I (·) : F → F , I (f (·)) (t) =t∫a

f (τ) dτ . Operatorul este liniar, datorita proprietatilor integralei.

2.1.3. Exemplu. Fie spatiile vectoriale (R3,R) si (P2 [X] ,R) (Pn [X] este multimea tuturor polinoamelor

de grad cel mult n, în nedeterminata X si cu coeficienti reali). Functia U (·) : P2 [X] → R3 definita

prin U (P (·)) = xP (·) ∈ R3 (pentru un polinom P (X) = aX2 + bX + c ∈ P2 [X] se ataseaza vectorul

xP (·) = (a, b, c)) este morfism de spatii vectoriale.

2.2. Proprietati

2.2.1. Propozitie. (Proprietati ale operatorilor liniari) Fie U (·) : V1 → V2 Atunci au loc:

(1) U (·) liniar ⇔ ∀α, β ∈ K, ∀x1, x2 ∈ V1, U (αx1 + βx2) = αU (x1) + βU (x2)

(2) U (·) liniar ⇒

(a) U (0V1) = 0V2 ;

(b) ∀ subspatiu V01 ⊂ V1, U (V0

1) = U (v) ; v ∈ V01 este subspatiu în V2;

(c) ∀ subspatiu V02 ⊂ V2, U−1 (V0

2) = v ∈ V1; U (v) ∈ V02 este subspatiu în V1.

Nota: la punctele 2.b si 2.c se folosesc notiunile de imagine directa si de preimagine a unei

multimi printr—o functie; a se consulta Definitia 7.2.18 si Observatia 7.2.19.

Demonstratie. Fie U (·) : V1 → V2

(1) "⇒" Fie U (·) operator liniar, x1, x2 ∈ V si α, β ∈ K.

Atunci U (αx1 + βx2)aditivitate

= U (αx1) + U (βx2)omogenitate

= αU (x1) + βU (x2).

"⇐" Fie U (·) o functie care satisface relatia:65

66 2. OPERATORI LINIARI

∀α, β ∈ K, ∀x1, x2 ∈ V1, U (αx1 + βx2) = αU (x1) + βU (x2);

pentru α = β = 1, se obtine U (x1 + x2) = U (x1) + U (x2) [aditivitate],

pentru β = 0, se obtine U (αx1) = αU (x1) [omogenitate],

adica functia U (·) este operator liniar.

(2) Daca U (·) este liniar, atunci:

(a)

U (0V1) = U (x− x) = U (x)− U (x) = 0V2

(b) Fie α, β ∈ K, y1, y2 ∈ U (V01) ⇒ ∃x1, x2 ∈ V0

1 astfel încât U (xi) = yi;

V01 subspatiu⇒ αx1 + βx2 ∈ V0

1

U (·) operator liniar

⇒ U (αx1 + βx2) = αU (x1) + βU (x2) = αy1 + βy2 ∈ U (V ′1) .

(c) Fie α, β ∈ K, x1, x2 ∈ U−1 (V02) ⇒ U (x1), U (x2) ∈ V0

2 ⇒

⇒ U (αx1 + βx2) = αU (x1) + βU (x2) ∈ V02 ⇒ αx1 + βx2 ∈ U−1 (V0

2).

2.2.2. Definitie. Subspatiul U (V1) (al codomeniului) se numeste imaginea operatorului si se noteaza

ImU (·); subspatiul U−1 (0) (al domeniului) se numeste nucleul operatorului si se noteaza kerU (·).

2.2.3. Teorema. Pentru orice operator U (·) : V1 → V2, are loc: dimV1 = dim (kerU (·))+dim (ImU (·));

Demonstratie. Se considera o baza w1 = U (u1) , · · · , wk = U (uk) în ImU (·).

Se considera o baza v1, · · · , vp în kerU (·).

Atunci familia B = u1, · · · , uk ∪ v1, · · · , vp este baza în V1:

Fie x ∈ V1 ⇒ U (x) ∈ ImU (·) ⇒ ∃α1, · · · , αk scalari astfel încât U (x) =k∑i=1

αiwi =k∑i=1

αiU (ui) =

U

(k∑i=1

αiui

)Fie V1 3 u =

k∑i=1

αiui si fie x = (x− u) + u. Atunci U (x− u) = U (x) − U (u) = U (x) − U (x) = 0,

asa ca x− u ∈ kerU (·)⇒ ∃β1, · · · βp scalari astfel încât x− u =p∑j=1

βjvj.

În final se obtine ca x =p∑j=1

βjvj +k∑i=1

αiui asa ca un vector oarecare din V1 este combinatie liniara de

familia B.

Daca ar mai fi o combinatie x =p∑j=1

βjvj +k∑i=1

αiui =p∑j=1

β′jvj +k∑i=1

α′iui, atuncip∑j=1

(βj − β′j

)vj =

k∑i=1

(α′i − αi)ui ⇒

2.2. PROPRIETATI 67

⇒ 0 = U

(p∑j=1

(βj − β′j

)vj

)= U

(k∑i=1

(α′i − αi)ui)⇒ 0 =

k∑i=1

(α′i − αi)wi ⇒ α′i = αi, ∀i = 1, k

⇒ βj = β′j, ∀j = 1, p asa ca reprezentarea vectorului x este unica iar B este baza în V1. Deoarece

k = dim ImU (·), p = dim kerU (·) iar |B| = k + p, rezulta enuntul.

??? De studiat U−1 (ImU (·)).

2.2.4. Observatie. Daca între spatiile V1 si V2 exista un operator bijectiv, atunci dimensiunile spatiilor

sunt egale.

Demonstratie. Daca un operator U (·) : V1 → V2 este bijectiv, atunci kerU (·) = 0 (din in-

jectivitate) iar ImU (·) = V2 (din surjectivitate); din Teorema anterioara 2.2.3 se obtine ca dimV1 =

dim (kerU (·)) + dim (ImU (·)) = dimV2.

Urmatoarele doua propozitii arata ca inversarea si compunerea functiilor pastreaza caracteristica de

morfism de spatii vectoriale.

2.2.5. Propozitie. Fie (V1,K), (V2,K) doua spatii vectoriale peste acelasi corp si fie U (·) : V1 → V2

morfism bijectiv. Atunci functia U−1 (·) : V2 → V1 este morfism bijectiv (inversa unui morfism inversabil

este morfism) (inversa unui operator liniar inversabil este operator liniar).

Demonstratie. Se stie ca au loc

U (u+ v) = U (u) + U (v) , U (αu) = αU (u) .

Fie x, y ∈ V2 ⇒ pentru U−1 (x) = u, U−1 (y) = v, are loc U (u) = x, U (v) = y si U (u+ v) = U (u)+U (v)

⇒ U (u+ v) = x + y ⇒ U−1 (x+ y) = u + v ⇒ U−1 (x+ y) = U−1 (x) + U−1 (y) deci operatorul invers

este aditiv.

Fie α ∈ K, x ∈ V2, U−1 (x) = v ⇒ U (v) = x si are loc U (αv) = αU (v) ⇒ U (αv) = αx ⇒

αv = U−1 (αx) ⇒ αU−1 (x) = U−1 (αx).

2.2.6. Propozitie. Fie U1 (·) : V1 → V2, U2 (·) : V2 → V3 morfisme peste spatii vectoriale cu acelasi corp

K de scalari. Atunci U (·) : V1 → V3 definit prin U (v) = U2 (U1 (v)), ∀v ∈ V1 este morfism de spatii

vectoriale (calitatea de morfism se pastreaza prin operatia de compunere).

Demonstratie. Fie v1, v2 ∈ V1; are loc U (v1 + v2) = U2 (U1 (v1 + v2))aditivitatea

=lui U1(.)

U2 (U1 (v1) + U1 (v2))

aditivitatea=

lui U2(.)U2 (U1 (v1)) + U2 (U1 (v2)) = U (v1) + U (v2). Omogenitatea se demonstreaza analog.


2.2.7. Observatie. Daca domeniul si codomeniul operatorului coincid iar U (·) : V → V, atunci se

poate discuta despre puterile operatorului U (·), în sensul: U2 (·) = (U U) (·), Un (·) = (U · · · U)︸︷︷︸ (·)n ori

.

Identitatea pe V, I (·) : V→ V, I (v) = v este operator liniar.

2.2.8. Observatie. Daca p (x) =n∑k=0

akxk este un polinom oarecare (cu coeficienti reali sau complecsi),

atunci se poate vorbi despre imaginea operatorului prin polinomul p (·) (sau polinom de operator), care

este un nou operator liniar (din aplicarea Propozitiei 2.2.6) si este de forma: p (U (·)) =n∑k=0

akUk (·), unde

U0 (·) = I (·) (operatorul identitate pe V).

2.2.9. Observatie. Daca p (·) si q (·) sunt doua polinoame oarecare, atunci p (U (·))q (U (·)) = q (U (·))

p (U (·)). Asta înseamna ca, desi în general compunerea operatorilor (sau compunerea functiilor) nu este

comutativa, în cazul particular al operatorilor care sunt polinoame de acelasi operator acestia comuta.

Demonstratia se bazeaza pe observatia ca orice doua puteri ale aceluiasi operator comuta, adica relatii de

forma(Uk U j

)(·) =

(U j Uk

)(·) = Uk+j (·) si este lasata exercitiu.

2.2.10. Observatie. Relatia „∼= ”( Definitia (1.1.14)) este o relatie de echivalenta între spatii vectoriale

peste acelasi corp (este reflexiva, simetrica si tranzitiva) (aceasta relatie este definita pe o multime de

spatii vectoriale si cu ajutorul ei se pot stabili clase de echivalenta).

Demonstratie. Reflexivitatea rezulta din faptul ca operatorul identitate U (·) : V1 → V1, U (v) = v

este liniar si bijectiv, deci V1∼= V1. Simetria rezulta din Propozitia (2.2.5), pentru ca daca V1

∼= V2, atunci

∃ U (·) : V1 → V2 morfism bijectiv ⇒ U−1 (·) : V2 → V1 morfism bijectiv ⇒ V2∼= V1. Tranzitivitatea

rezulta din Propozitia (2.2.6) pentru ca, daca V1∼= V2 si V2

∼= V3 atunci exista izomorfismele U (·) : V1 →

V2 si V (·) : V2 → V3 iar noua functia (V U) (·) : V1 → V3 pastreaza prin compunere si proprietatea de

liniaritate si pe cea de bijectivitate, deci V1∼= V3.

2.2.11. Observatie. Multimea LK (V1,V2) admite împreuna cu operatiile obisnuite între functii

(U1 (·) + U2 (·)) (x)Def= U1 (x) + U2 (x) ,

(αU1 (·)) (x)Def= αU1 (x) ,

o structura de spatiu vectorial peste corpul K (Deci în particular si dualul algebric (??) este spatiu vectorial

peste corpul K).

Demonstratie. (LK (V1,V2) ,+) este evident grup (din proprietatile adunarii pe V2) si are ca element

neutru operatorul identic nul O (·) : V1 → V2, O (v) ≡ 0. Celelalte axiome sunt satisfacute evident.

2.3. REPREZENTAREA OPERATORILOR 69

2.3. Reprezentarea operatorilor

2.3.1. Observatie. Fie U (·) : V1 → V2 si Bd = (e1, .., en) un reper în domeniul operatorului. Atunci

operatorul liniar este unic determinat de (U (e1) , · · · , U (en)) (orice operator este unic determinat de

valorile pe care le ia într—un reper al domeniului). Demonstratia revine la observatia ca x ∈ V1 ⇒

∃αi ∈ K, x =n∑i=1

αiei ⇒ U (x) = U

(n∑i=1

αiei

)=

n∑i=1

αiU (ei).

Fie U (·) : V1 → V2 un operator liniar între doua spatii vectoriale de tip finit, peste acelasi corp K.

Sa presupunem ca spatiile vectoriale sunt de dimensiune n, respectiv m si sa alegem câte un reper în

fiecare spatiu, Bd = (e1, .., en) în domeniul de definitie si Bc = (f1, .., fm) în codomeniul operatorului.

Fie

U (ej) =m∑i=1

aijfi ∈ V2 , j = 1, n (reprezentarea vectoriala)

[U (ej)]Bc =

a1j

a2j

...

amj

(reprezentarea în coordonate)

reprezentarile imaginilor vectorilor bazei domeniului de definitie în baza codomeniului.

Matricea astfel obtinuta [U (·)]BdBc = [aij] i=1,nj=1,m

=[[U (e1)]Bc · · · [U (ej)]Bc · · · [U (en)]Bc

](matricea

care are drept coloane reprezentarile în codomeniu ale imaginilor reperului din domeniu) se numeste

matricea asociata lui U (·) în bazele Bd si Bc.

Reciproc, pentru fiecare matrice A ∈ Mm×n (R) si pentru fiecare alegere de baze în domeniu si în

codomeniu exista câte un operator liniar asociat, definit prin formula de mai sus. Cu alte cuvinte, functia

U (·) : Rn → Rm definita prin U (x) = Ax este operator liniar (exercitiu!).

Daca x ∈ V1 iar scrierea lui x în baza Bd este [x]Bd =

x1

...

xn

, atunci

U (x) = U

(n∑j=1

xjej

)=

n∑j=1

xjU (ej) =n∑j=1

xjm∑i=1

aijfi =

=n∑j=1

m∑i=1

aijxjfi =m∑i=1

(n∑j=1

aijxj

)fi


deci scrierea lui U (x) în baza Bc este

[U (x)]Bc =

n∑j=1

a1jxj

n∑j=1

a2jxj

...n∑j=1

amjxj

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

·

x1

x2

...

xn

=[[U (e1)]Bc · · · [U (ej)]Bc · · · [U (en)]Bc

][x]Bd ;

[U (x)]Bc = [U (·)]BdBc [x]Bd .

Matricea de reprezentare a operatorului [U (·)]BdBc este unica deoarece pentru doua matrici A si B are

loc afirmatia: daca ∀x ∈ Rn, Ax = Bx, atunci A = B.

2.3.2. Propozitie. Operatorul U (·) este bijectiv daca si numai daca matricea atasata lui pentru o alegere

oarecare a bazelor din domeniu si codomeniu este inversabila.

Demonstratie. „⇒”Daca U (·) este bijectiv, atunci din Observatia 2.2.4 cele doua spatii au aceeasi

dimensiune (deci matricea atasata este patratica) si pentru fiecare y ∈ V2 sistemul Ax = y are o unica

solutie (unicitatea din injectivitate iar existenta din surjectivitate). Se presupune prin reducere la absurd

ca matricea n-ar fi inversabila; ar urma detA = 0, adica matricea are coloanele liniar dependente. Se

considera o combinatie liniara nenula de coloanele matricii a carei valoare sa fie vectorul nul; matricial

înseamna o solutie nenula a sistemului Ax = 0, care odata cu solutia x accepta si solutii de forma αx,

α ∈ K. Aceasta este o contradictie cu faptul ca sistemul Ax = 0 are o unica solutie, contradictie care

provine din ipoteza ca matricea n-ar fi inversabila. Deci exista A−1.

„⇐”Daca matricea A este inversabila, atunci, pastrând aceeasi baza în fiecare spatiu, operatorul liniar

V (·) : V2 → V1 definit prin V (y) = A−1y este chiar functia inversa pentru U (·), adica U (·) este inversabil

deci bijectiv.

2.3.3. Definitie. Se numeste rangul operatorului U (·) rangul matricii atasate lui pentru o alegere oarecare

a bazelor.

2.3.4. Observatie. (1) Un operator este injectiv daca si numai daca rangul sau este egal cu dimen-

siunea domeniului de definitie.

(2) Un operator este surjectiv daca si numai daca rangul sau este egal cu dimensiunea codomeniului.

Demonstratie. Evident

2.4. TEOREME DE IZOMORFISM 71

2.3.5. Observatie. Schimbarea reprezentarii operatorilor la schimbarea bazei se face astfel:

[U (x)]Bc = [U (·)]BdBc [x]Bd , [U (x)]B′c = [U (·)]B′d

B′c[x]B′d

,

[x]B′d= [M (Bd)]B′d

[x]Bd , [U (x)]B′c = [M (Bc)]B′c [U (x)]Bc ,

deci

[U (x)]Bc = [M (Bc)]−1B′c

[U (x)]B′c = [U (·)]BdBc [x]Bd ⇒

[U (x)]B′c = [M (Bc)]B′c [U (·)]BdBc [x]Bd =

= [M (Bc)]B′c [U (·)]BdBc [x]Bd [M (Bd)]−1B′d

[x]B′d.

2.3.1. Reprezentarea functionalelor. Fiind fixata o baza Bd = v1, · · · , vn în (V,K) si o baza

Bc = w în (K,K), orice functionala liniara f (·) : V→ K (care este un tip particular de operator) admite

o unica reprezentare:

f (v) = f

(n∑i=1

αivi

)=

n∑i=1

αif (vi) ,

deci valoarea functionalei în v este unic determinata de valorile functionalei în vectorii bazei si de coordo-

natele vectorului. În scriere matriciala, are loc:

[f (v)]Bc =[f (v1) f (v2) · · · f (vn)

]α1

α2

...

αn

=

=[f (v1) f (v2) · · · f (vn)

][v]Bd .

Mai mult, daca pentru o baza fixata în V se noteaza cu ξi (·) : V→ K coordonata i a fiecarui vector în

baza fixata (baza în K nu se schimba), familia de functionale (ξi (·))i=1,n este o baza în V′. Aceasta baza

se numeste baza duala bazei Bd din V. Urmeaza ca pentru spatii vectoriale de tip finit spatiul este izomorf

cu dualul sau.

2.4. Teoreme de izomorfism

2.4.1. Teorema. (Teorema fundamentala de izomorfism) Fie U (·) : V1 → V2 un morfism între

doua spatii vectoriale. Atunci spatiile vectoriale V1/ kerU (·) si ImU (·) sunt izomorfe.

Demonstratie. Se defineste U (·) : V1/ kerU (·)→ ImU (·) prin U (x) = U (x);

U (·) este bine definit (definitia nu depinde de reprezentanti) pentru ca daca x = y atunci x − y ∈

kerU (·), adica U (x) = U (y).

U (·) este morfism de spatii vectoriale: aditivitatea U (x1 + x2) = U(x1 + x2

)= U (x1 + x2) =

U (x1) + U (x2) = U (x1) + U (x2);


omogenitatea U (αx) = U (αx) = U (αx) = αU (x) = αU (x).

U (·) este surjectiv: y ∈ ImU (·) ⇒ ∃xy ∈ V1, U (xy) = y ⇒ U (xy) = y.

U (·) este injectiv: U (x1) = U (x2) ⇒ U (x1) = U (x2) ⇒ x1 − x2 ∈ kerU (·) ⇒ x1 = x2.

Deci U (·) este izomorfism de spatii vectoriale

2.4.2. Teorema. (Teorema I de izomorfism) Fie (V,K) un spatiu vectorial, V1 si V2 subspatii vecto-

riale astfel încât V ⊇ V1 ⊇ V2. Atunci spatiile vectoriale ((V/V2) / (V1/V2)) si V/V1 sunt izomorfe.

Demonstratie. Se noteaza cu x = x+ V2 clasa lui x în raport cu V2 (deci elementul lui V/V2) si cu

x = x+V1 clasa lui x în raport cuV1 (deci elementul luiV/V1); se defineste functia φ (.) : (V/V2)→ (V/V1)

prin φ (x) = x. φ (·) este bine definita pentru ca x1 = x2 ⇒ x1 − x2 ∈ V2 ⇒ x1 − x2 ∈ V1 ⇒ x1 = x2.

φ (·) este morfism de spatii vectoriale pentru ca φ (x1 + x2) = φ(x1 + x2

)= x1 + x2 = x1 + x2 =

φ (x1) + φ (x2) si φ (αx) = φ (αx) = αx = αx = αφ (x).

Imφ (.) = V/V1 (functia este evident surjectiva) iar nucleul ei este V1/V2: x ∈ kerφ (.)⇔ φ (x) = 0⇔

x = 0⇔ x ∈ V1 deci x ∈ kerφ (.) daca si numai daca x = x+ V2 si x ∈ V1 adica x ∈ V1/V2 ⊆ V/V2.

Se aplica Teorema fundamentala de izomorfism si se obtine ca(V/V2)

kerφ (.)si Imφ (.) sunt izomorfe, adica

((V/V2) / (V1/V2)) si V/V1 sunt izomorfe

2.4.3. Teorema. (Teorema II de izomorfism) Fie (V,K) un spatiu vectorial, V1 si V2 subspatii

vectoriale ale lui V. Atunci spatiile vectoriale V1/ (V1 ∩ V2) si (V1 + V2) /V2 sunt izomorfe.

Demonstratie. Se defineste functia φ (·) : V1 → (V1 + V2) /V2 prin φ (x) = x = x+ V2.

Functia este morfism de spatii vectoriale: φ (x+ y) = x+ y = x + y = φ (x) + φ (y) si φ (αx) = αx =

αx = αφ (x). x ∈ kerφ (.)⇔ x ∈ V1 si x = 0 (⇒ x ∈ V2) deci kerφ (.) = V1 ∩ V2.

Fie y ∈ (V1 + V2) /V2 ⇒ ∃x1 ∈ V1, ∃x2 ∈ V2, y = x1 + x2 + V2 = x1 + V2 = x1 ⇒ φ (x1) = y ⇒

functia este surjectiva.

Din Teorema fundamentala de izomorfism urmeaza ca spatiile V1/ kerφ (.) si Imφ (.) sunt izomorfe,

adica spatiile vectoriale V1/ (V1 ∩ V2) si (V1 + V2) /V2 sunt izomorfe.

2.4.4. Corolar. Fie (V,K) un spatiu vectorial, V1 si V2 subspatii vectoriale ale lui V. Atunci

dimV1 + dimV2 = dim (V1 + V2) + dim (V1 ∩ V2) .

Demonstratie. Din Teorema II de izomorfism se stie ca spatiile vectorialeV1/ (V1 ∩ V2) si (V1 + V2) /V2

sunt izomorfe, deci au aceeasi dimensiune. Deci

dim (V1/ (V1 ∩ V2)) = dim ((V1 + V2) /V2)

2.4. TEOREME DE IZOMORFISM 73

si din corolarul anterior

dim (V1/ (V1 ∩ V2)) = dimV1 − dim (V1 ∩ V2)

iar

dim ((V1 + V2) /V2) = dim (V1 + V2)− dimV2

asa ca

dimV1 − dim (V1 ∩ V2) = dim (V1 + V2)− dimV2.

2.4.5. Corolar. Fie (V1,K), (V2,K) doua spatii vectoriale de tip finit si U (·) : V1 → V2 un morfism de

spatii vectoriale. Atunci au loc afirmatiile:

(1) dimV1 = dim (kerU (·)) + dim (ImU (·));

(2) U (·) injectiv ⇔ dimV1 = dim (ImU (·));

(3) U (·) surjectiv ⇔ dimV2 = dim (ImU (·)).

Demonstratie. 1. Se foloseste Teorema 2.4.1 si Teorema 1.10.7.

Spatiile vectoriale V1/ kerU (·) si ImU (·) sunt izomorfe, asa ca dimensiunile lor sunt egale:

dim (V1/ kerU (·)) = dim (ImU (·)). Cum dim (V1/ kerU (·)) = dim (V1)− dim (kerU (·)), se obtine:

dim (V1)− dim (kerU (·)) = dim (ImU (·))⇒ dim (V1) = dim (kerU (·)) + dim (ImU (·)).

2. U (·) injectiv ⇔ kerU (·) = 0 ⇐⇒ dim (kerU (·)) = 0 si din 1. ⇐⇒ dim (V1) = dim (ImU (·)).

3. U (·) surjectiv ⇔ ImU (·) = V2 ⇐⇒ dimV2 = dim (ImU (·)) (ultima echivalenta are loc deoarece

ImU (·) este totdeauna un subspatiu inclus în V2; daca în plus dimensiunile sunt egale, atunci ImU (·) si

V2 sunt chiar egale).

2.4.6. Teorema. (Teorema lui Sard a câtului, varianta finit—dimensionala) Fie X, Y , Z spatii vectoriale

peste acelasi corp K si fie operatorii liniari S (·) : X → Y si T (·) : X → Z. Daca S (·) este surjectiv iar

kerS (·) ⊆ kerT (·), atunci ∃ operatorul liniar unic R (·) : Y → Z astfel încât T = R S.

Demonstratie. Fie operatorii S (·) : X/ kerS (·)→ Y si T (·) : X/ kerT (·)→ Z definiti prin:

S (x) = S (x) si T (x) = T (x).

Operatorii S (·) si T (·) sunt bine definiti (Exercitiu!).

Operatorii S (·) si T (·) sunt liniari (Exercitiu!).

Operatorii S (·) si T (·) sunt injectivi (Exercitiu!).

S (·) este surjectiv (pentru ca S (·) este surjectiv) (Exercitiu!).

⇒ S (·) bijectiv ⇒ ∃S−1 (·) : Y → X/ kerS (·) bijectiv liniar.

Fie functia: P (·) : X/ kerS (·)→ X/ kerT (·) definta prin P (x) = x.


P (·) este bine definit (Exercitiu!).

P (·) este liniar (Exercitiu!).

Definim R (·) : Y → Z prin: R (·) =(T P S−1

)(·). Atunci

(R S) (x) = R (S (x)) =T(P(S−1 (S (x))

))=T (P (x)) =

T(x) = T (x).

2.4.7. Observatie. Reciproc, daca X, Y , Z spatii vectoriale peste acelasi corp K iar S (·) : X → Y si

T (·) : X → Z sunt operatori liniari astfel încât ∃ operatorul liniar R (·) : Y → Z cu T = R S, atunci

este evident ca are loc kerS (·) ⊆ kerT (·) (Exercitiu!).

2.5. Introducere În Teoria Spectrala

2.5.1. Definitie. Fie (V,K) un spatiu vectorial, V0 ⊆ V un subspatiu vectorial si U (·) : V→ V un

operator liniar. Subspatiul V0 se numeste invariant relativ la operatorul U (·) daca

U (V0) ⊆ V0.

2.5.2. Observatie. Daca un operator pe un spatiu de dimensiune n admite un subspatiu invariant de

dimensiunem, atunci matricea corespunzatoare unei alegeri de baza a spatiului pentru care primiim vectori

sunt baza a subspatiului este de forma

A11 A12

A21 A22

=

A11 A12

0 A22

∈ Mn,n (cu A21 = 0 ∈Mn−m,m).

[Daca baza este ordonata astfel încât baza subspatiului invariant este pe ultimele locuri, atunci matricea

operatorului va avea 0 pe locul A12]

Demonstratie. 1Fie (V,K) un spatiu vectorial (dimKV =n) si fie V0 un subspatiu în V (dimKV0 = m)

Se poate alege o baza a lui V în care primii m vectori sa fie o baza a lui V0:

Fie v1, v2, · · · , vm vectorii unei baze a subspatiului V0. Fie vm+1 ∈ V \ V0.

Atunci v1, v2, · · · , vm, vm+1 este o familie liniar independenta

(prin reducere la absurd: daca n-ar fi, atunci vm+1 ar o combinatie liniara de vectorii bazei lui V0,

adica ar fi în V0, contradictie cu faptul ca este din V \ V0).

Procedura se repeta de n−m ori si se obtine o baza în V în care primii m vectori sunt o baza în V0.

În aceasta baza, vectorii subspatiului se reprezinta ca o coloana în care ultimele n −m locuri sunt toate

nule.

Se obtine baza v1, v2, · · · , vm, vm+1, · · · , vn în care v1, v2, · · · , vm este baza pentru V0.

Fie U (·) : V → V pentru care U (V0) ⊆ V0 si fie fixata si în domeniu si în codomeniu baza B =

v1, v2, · · · , vm, vm+1, · · · , vn, cu caracteristicile de mai sus.

1Demonstratie completata ca urmare a unei întrebari puse de Alexandru Gradinaru, 2013—2014.

2.5. INTRODUCERE ÎN TEORIA SPECTRALA 75

Matricea care reprezinta operatorul este o matrice care are drept coloane reprezentarile imaginilor prin

operator ale vectorilor de baza din domeniu:

U(v1), U(v2), · · · , U(vm), U (vm+1) , · · · , U(vn) sunt imaginile prin operator ale vectorilor bazei, care se

reprezinta în codomeniu în raport cu aceeasi baza. Deoarece subspatiul V0 este invariant fata de operatorul

U (·), U(v1), U(v2), · · · , U(vm) ⊆ V0, adica reprezentarea fiecaruia este câte o coloana în care ultimele

n−m pozitii sunt toate nule

U (vj) =m∑i=1

aijvi; [U (vj)]B =

a1j

a2j

...

amj

0

...

0

,∀j = 1,m.

Matricea operatorului este matricea ale carei coloane sunt reprezentarile în baza B ale imaginilor prin

operator ale vectorilor bazei B. Se obtine o matrice de forma:

a11 · · · a1m a1(m+1) · · · a1n

a21 · · · a2m a2(m+1) · · · a2n

... · · · ...... · · · · · ·

am1 · · · amm am(m+1) · · · amn

0 · · · 0 a(m+1)(m+1) · · · a(m+1)n

... · · · ...... · · · · · ·

0 · · · 0 an(m+1) · · · ann

, care este de forma

A11m×m

A12m×(n−m)

0(n−m)×m

A22(n−m)×(n−m)

.

2.5.3. Observatie. Daca spatiul se poate reprezenta ca o suma directa de subspatii invariante, atunci

matricea operatorului într-o baza corespunzatoare sumei directe esteA11 0 · · · 0

0 A22 · · · 0

· · · · · · . . . · · ·

0 0 · · · Akk

Demonstratie. Pentru doua subspatii, fie V = V1 ⊕ V2 si fie o baza atasata acestei sume directe:

f1, · · · , fk1 , g1, · · · , gk2 ;


atunci ultimele k2 coordonate ale lui U (fj) sunt nule (pentru ca se exprima numai cu baza lui V1) iar

primele k1 coordonate ale lui U (gj) sunt nule (pentru ca se exprima numai cu baza lui V2). Se obtine o

forma matriciala pseudodiagonala de forma

A11 0

0 A22

.Pentru mai multe subspatii forma pseudodiagonala se obtine prin inductie.

2.5.4. Observatie. Daca un subspatiu este invariant pentru un operator liniar, de aici nu rezulta ca un

suplement al subspatiului ar fi si el invariant pentru operator. Mai mult, este posibil ca nici—un suplement

al subspatiului sa nu fie invariant pentru operator.

2.5.5. Definitie. Subspatiile invariante de dimensiune 1 se mai numesc directii invariante. Orice vector

nenul al unei directii invariante se numeste vector propriu. (un vector nenul se numeste vector propriu al

operatorului, daca operatorul transforma vectorul într-un vector coliniar cu el).

2.5.6. Observatie. Vectorii x si U (x) sunt coliniari daca si numai daca exista un scalar λ astfel încât

U (x) = λx.

Scalarul se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu.

2.5.7. Observatie. Valoarea proprie corespunzatoare unui vector propriu este unica (unui vector propriu

nu îi pot corespunde mai multe valori proprii distincte)

Demonstratie. Daca U (x) = λ1x si U (x) = λ2x cu λ1 6= λ2, atunci λ1x = λ2x ⇒ (λ1 − λ2)x = 0 ⇒

x = 0 contradictie cu conditia ca vectorul propriu sa fie nenul.

2.5.8. Observatie. Daca un vector propriu corespunde unei valori proprii, atunci orice vector coliniar cu

el corespunde aceleiasi valori proprii.

Demonstratie. Fie U (x) = λx si vectorul αx; atunci U (αx) = λ (αx) asa ca si vectorul αx este

vector propriu si are ca valoare proprie tot λ.

2.5.9. Observatie. Daca într—o familie de vectori proprii vectorii corespund la valori proprii distincte

doua câte doua, atunci familia este liniar independenta.

Demonstratie. Fie v1, · · · , vm vectori proprii si fie λ1, · · · , λm valorile proprii. Prin inductie, daca

m = 1, v1 6= 0 deci familia v1 este liniar independenta. Pentru m = 2, daca α1v1 + α2v2 = 0, atunci

0 = U (0) = U (α1v1 + α2v2) = α1U (v1) + α2U (v2) = α1λ1v1 + α2λ2v2.

Daca λ2 = 0, atunci se obtine:


α1v1 + α2v2 = 0,

α1λ1v1 + α2λ2v2 = α1λ1v1 = 0

λ1 6= 0

v1 6= 0

⇒

α1v1 + α2v2 = 0,

α1 = 0

v2 6= 0

⇒ α2 = 0.

Daca λ2 6= 0, atunci:

α1v1 + α2v2 = 0

α1λ1v1 + α2λ2v2 = 0

α1 6= 0

·λ2⇒

α1λ2v1 + α2λ2v2 = 0

α1λ1v1 + α2λ2v2 = 0

α1 6= 0

scadere⇒ α1 (λ1 − λ2) v1 = 0 ⇒ λ1 = λ2 con-

tradictie.

În general, daca afirmatia este adevarata pentru m− 1 vectori proprii corespunzatori la valori proprii

distincte, atunci pentru m vectori proprii are loc:

α1v1 + · · ·+ αmvm = 0⇒ α1λ1v1 + · · ·+ αmλmvm = 0;

daca λm = 0, α1λ1v1 + · · ·+ αm−1λm−1vm−1 = 0 si se aplica ipoteza de inductie;

daca λm 6= 0, se înmulteste prima egalitate cu λm si se scad cele doua egalitati.

Se obtine: α1 (λ1 − λm) v1 + · · ·+ αm−1 (λm−1 − λm) vm−1 = 0; se aplica ipoteza de inductie pentru cei

m− 1 vectori proprii ramasi ⇒ αj (λj − λm) = 0 ⇒ αj = 0

2.5.10. Observatie. Orice operator are cel mult n valori proprii distincte doua câte doua.

Demonstratie. La fiecare valoare proprie distincta corespunde macar un vector propriu iar familia

acestor vectori proprii este liniar independenta, deci numarul de vectori nu poate depasi dimensiunea

spatiului.

2.5.11. Observatie. Daca doi vectori proprii au aceeasi valoare proprie, atunci nu sunt neaparat coliniari

(nu fac parte neaparat din aceeasi directie invarianta).

2.5.12. Observatie. Fie λ o valoare proprie fixata. Multimea Vλ = v ∈ V; U (v) = λv a vectorilor

proprii corespunzatori valorii proprii λ formeaza un subspatiu vectorial.

Demonstratie. U (x1) = λx1 si U (x2) = λx2 ⇒ U (α1x1 + α2x2) = λ (α1x1 + α2x2) deci orice combi-

natie liniara de vectori proprii corespunzatori valorii proprii λ este vector propriu corespunzator aceleiasi

valori proprii.

2.5.13. Definitie. Subspatiul Vλ = v ∈ V; U (v) = λv se numeste subspatiul propriu al operatorului

U (·) corespunzator valorii proprii λ. Dimensiunea acestui subspatiu se numeste multiplicitatea geometrica

a valorii proprii λ.


2.5.14. Observatie. Subspatiul Vλ poate fiprivit ca nucleul operatorului liniar Nλ (·) : V→ V, Nλ (v) =

U (v)− λv.

Demonstratie. Vλ = v ∈ V; U (v) = λv = v ∈ V; U (v)− λv = 0 =

= v ∈ V; Nλ (v) = 0 = N−1λ (0) = kerNλ (·).

2.5.15. Observatie. Pentru operatorul U (·) : V→ V se fixeaza aceeasi baza B si în domeniul de definitie

si în codomeniu. Relatia U (v) = λv scrisa în baza B în care operatorul are matricea A este

A [v]B = λ [v]B ⇒ A [v]B = λIn [v]B ⇒ (A− λIn) [v]B = 0,

care este un sistem liniar omogen în necunoscutele coordonatele vectorului v si cu parametrul λ. Conditia

necesara si suficienta pentru a admite solutii nenule este ca determinantul matricii sistemului sa fie nul,

adica

det (A− λIn) = 0.

2.5.16. Definitie. 1. Ecuatia det (A− λIn) = 0 (în necunoscuta λ) se numeste ecuatia caracteristica a

operatorului U (·) / matricii A.

2. Polinomul λ 7→ det (A− λIn) se numeste polinomul caracteristic al operatorului U (·) / matricii A

si este un polinom de grad n (care este dimensiunea spatiului).

3. Valorile proprii ale operatorului/matricii sunt radacinile polinomului caracteristic. Ordinul de

multiplicitate al unei valori proprii ca radacina a polinomului caracteristic se numeste multiplicitatea

algebrica a valorii proprii.

4. Multimea radacinilor polinomului caracteristic (adica multimea valorilor proprii ale operatorului)

se numeste spectrul operatorului.

2.5.17. Observatie. Se poate folosi si forma det (λIn − A) = (−1)n · det (A− λIn), dar formele care se

obtin sunt mai complicate, din cauza semnelor de care trebuie tinut cont.

2.5.18. Observatie. Polinomul det (A− λI) este de forma:

det (A− λI) = (−1)n λn + (−1)n−1 Tr (A)λn−1 + · · ·+ det (A)

2.5.19. Observatie. Polinomul caracteristic nu depinde de baza în care a fost reprezentat operatorul.

Demonstratie. Legatura dintre matricile aceluiasi operator în doua baze distincte este B = T−1AT,

unde T este matricea de trecere dintre cele doua baze; are loc

det (T−1AT − λI) = det (T−1AT − λT−1T ) = det (T−1 (A− λI)T ) =

= detT−1 det (A− λI) detT = det (A− λI) .


2.5.20. Observatie. Rezultatul se refera la o aceeasi baza si pentru domeniu, si pentru codomeniu.

2.5.21. Exemplu. 1. Daca matricea atasata operatorului este diagonala, adica A = diag (d1, · · · , dn),

atunci polinomul caracteristic este λ 7→n∏i=1

(di − λ).

2. Daca matricea atasata operatorului este superior semitriunghiulara (adica elementele de sub di-

agonala principala sunt nule), atunci polinomul caracteristic este λ 7→n∏i=1

(aii − λ) (aii sunt elementele

diagonalei principale).

3. Daca matricea atasata operatorului are forma psudodiagonala (Observatia 2.5.3)

A =

A11 0 · · · 0

0 A22 · · · 0

· · · · · · . . . · · ·

0 0 · · · App

cu Aii ∈ Mkiki si

p∑i=1

ki = n, atunci det (A− λIn) =p∏i=1

det (Aii − λIki)

(unde matricile unitate au dimensiunile corespunzatoare) (adica polinomul caracteristic este produsul

polinoamelor caracteristice ale operatorilor atasati submatricilor)

2.5.22. Observatie. Rezolvarea ecuatiei caracteristice conduce la urmatoarele situatii posibile:

(1) Toate radacinile polinomului apartin corpului de scalari si sunt distincte doua câte doua. În acest

caz, exista o baza formata din vectori proprii corespunzatori valorilor proprii, toate subspatiile

proprii sunt de dimensiune 1 iar matricea operatorului în aceasta baza este diagonala, pe diagonala

aflându-se exact valorile proprii, în ordinea data de asezarea vectorilor proprii în baza.

(2) Toate radacinile polinomului apartin corpului de scalari dar nu sunt distincte doua câte doua. În

acest caz se pune întrebarea daca dimensinea subspatiului propriu (numita dimensiunea geomet-

rica a valorii proprii) atasat unei valori proprii multiple este egala sau nu cu ordinul de multi-

plicitate (ca radacina a polinomului caracteristic) al valorii proprii (numit dimensiunea algebrica

a valorii proprii). Vor exista în continuare doua subcazuri:

(a) Toate radacinile polinomului apartin corpului de scalari dar nu sunt distincte doua câte doua

si pentru fiecare valoare proprie multipla, dimensiunile ei (geometrica si algebrica) sunt egale.

(b) Toate radacinile polinomului apartin corpului de scalari dar nu sunt distincte doua câte doua

si exista macar o valoare proprie multipla pentru care dimensiunile ei nu sunt egale.

(3) Ecuatia caracteristica nu are toate radacinile în corpul K.

Se urmareste obtinerea formei canonice Jordan pentru operatori liniari reali. Prima dificultate este

ca, desi operatorii sunt reali, în general valorile proprii pot sa nu fie reale — în general se stie doar ca

sunt complexe, iar în acest caz si vectorii proprii sunt tot cu componente complexe asa ca nu apartin


spatiului vectorial real. Pentru abordarea acestei dificultati se va alege o cale indirecta: se va porni de la

operatori oarecare (pe spatii vectoriale complexe) (cu alte cuvinte operatorul liniar real va fi considerat

ca operator liniar pe o extensie complexa a spatiului) iar în acest context se va obtine forma canonica

Jordan (prin reducere la reprezentarea unor operatori de un tip special, numiti nilpotenti); se va da o

reprezentare a operatorilor nilpotenti apoi se va încheia prin reprezentarea operatorilor pe spatii vectoriale

reale (rezultatele obtinute în context complex vor fi traduse în contextul initial printr—o procedura numita

decomplexificare).

Se considera (V,C) un spatiu vectorial de dimensiune finita peste corpul numerelor complexe. Fie U (·) :

V → V un operator si fie A matricea operatorului într-o baza; fie ecuatia caracteristica det (A− λIn) =

0 =k∏i=1

(λ− λi)ni .

2.5.23. Definitie. Operatorul U (·) : V→ V se numeste diagonalizabil daca exista o baza a spatiului V

în care matricea atasata operatorului sa fie o matrice diagonala.

2.5.24. Observatie. Operatorul care într—o baza B are matricea A este diagonalizabil ⇐⇒ ∃P matrice

inversabila (matricea de trecere de la baza B la noua baza B′) astfel încât P−1AP este o matrice diagonala.

2.5.25. Teorema. Operatorul U (·) : V→ V este diagonalizabil ⇐⇒ exista o baza pentru V formata

din vectori proprii ai lui U (·).

Demonstratie. "⇒"

Se presupune ca în baza B = v1, · · · , vn matricea operatorului este notata D si este diagonala, adica

D =

d1 0 0

0. . . 0

0 0 dn

.

În coordonate, [vk]B =

δ1k

...

δnk

(coloana k a matricii unitate, 1 pe locul k si 0 în rest) iar

[U (vk)]B =

d1 0 0

0. . . 0

0 0 dn

δ1k

...

δnk

= dk [vk]B

asa ca vectorial U (vk) = dk · vk, ceea ce înseamna ca vk este vector propriu atasat valorii proprii dk.

Cu alte cuvinte, baza în care operatorul are matrice diagonala este o baza formata din vectori proprii

ai operatorului U (·), iar scalarii corespunzatori de pe diagonala sunt valorile proprii la care corespund

vectorii proprii.

"⇐"


Daca baza B = v1, · · · , vn este o baza de vectori proprii, atunci are loc ∀k = 1, n, U (vk) = λkvk si

pentru ca B este baza se poate trece la forma matriciala [vk]B =

δ1k

...

δnk

si [U (vk)]B =

λkδ1k

...

λkδnk

.

Daca v =n∑k=1

αkvk este un vector oarecare reprezentat în baza B, atunci [v]B =

α1

...

αn

iarU (v) = U

(n∑k=1

αkvk

)=

n∑k=1

αkU (vk) =n∑k=1

αkλkvk, asa ca

[U (v)]B =

α1λ1

...

αnλn

=

λ1 0 0

0. . . 0

0 0 λn

α1

...

αn

,asa ca matricea operatorului în baza B este diagonala.

Cu alte cuvinte, daca se poate gasi o baza formata din vectori proprii, atunci în aceasta baza operatorul

are matrice diagonala iar diagonala este formata din valorile proprii la care corespund vectorii proprii din

baza.

2.5.26. Exemplu. Operatorul care în baza standard are matricea A =

4 0 1

−1 −6 −2

5 0 0

, are:

Polinomul caracteristic: λ 7→ det

4− λ 0 1

−1 −6− λ −2

5 0 0− λ

= −λ3 − 2λ2 + 29λ+ 30

Ecuatia caracteristica: −λ3 − 2λ2 + 29λ+ 30 = 0

Radacinile ecuatiei caracteristice (valorile proprii): λ1 = 5, λ2 = −6, λ3 = −1

Vectorii proprii atasati valorii proprii λ1 = 5 au drept coordonate solutiile sistemului4− λ1 0 1

−1 −6− λ1 −2

5 0 0− λ1

α1

α2

α3

=

0

0

0

, adica

(−1) · α1 + 0 · α2 + 1 · α3 = 0

(−1) · α1 + (−11) · α2 + (−2)α3 = 0

5 · α1 + 0 · α2 + (−5)α3 = 0

⇒

α1 = α

α2 = − 311α

α3 = α

, Vλ1 =

α

1

− 311

1

; α ∈ R

Vectorii proprii atasati valorii proprii λ2 = −6 sunt Vλ2 =

α

0

1

0

; α ∈ R


Vectorii proprii atasati valorii proprii λ3 = −1 sunt Vλ3 =

α−1

5

− 925

1

; α ∈ R

Se stie ca vectorii proprii corepondenti la valori proprii distincte sunt liniari independenti din 2.5.9,

asa ca daca se alege câte un vector pentru fiecare valoare proprie, se obtin 3 vectori proprii iar familia va

fi liniar independenta; cum este si maximala (spatiul în care se lucreaza este de dimensiune 3), este baza.

Daca baza este

1

− 311

1

,

0

1

0

,−1

5

− 925

1

, matricea care are drept coloane coordonatele vectorilor

este T =

1 0 −1

5

− 311

1 − 925

1 0 1

, inversa ei este T−1 =

56

0 16

− 455

1 1955

−56

0 56

iar

T−1AT =

56

0 16

− 455

1 1955

−56

0 56

4 0 1

−1 −6 −2

5 0 0

1 0 −15

− 311

1 − 925

1 0 1

=

5 0 0

0 −6 0

0 0 −1

, adica forma diag-onala.

Daca vectorii proprii ar fi fost asezati în alta ordine, B =

−1

5

− 925

1

,

1

− 311

1

,

0

1

0

, atunci T =

−1

51 0

− 925− 3

111

1 1 0

, T−1 =

−5

60 5

6

56

0 16

− 455

1 1955

iar T−1AT =

−5

60 5

6

56

0 16

− 455

1 1955

4 0 1

−1 −6 −2

5 0 0

−1

51 0

− 925− 3

111

1 1 0

=

−1 0 0

0 5 0

0 0 −6

(tot forma diagonala, dar cu ordinea în care apar valorile proprii pe diagonala principalaschimbata)

Daca s—ar fi ales alti vectori proprii, B =

11

−3

11

,

0

5

0

,−5

−9

25

, T =

11 0 −5

−3 5 −9

11 0 25

, T−1 =

566

0 166

− 4275

1

519275

− 130

0 130

iar


T−1AT =

566

0 166

− 4275

1

519275

− 130

0 130

4 0 1

−1 −6 −2

5 0 0

11 0 −5

−3 5 −9

11 0 25

=

5 0 0

0 −6 0

0 0 −1

(aceeasi forma di-agonala)

2.5.27. Teorema. (Teorema Hamilton-Cayley) Fie U (·) un operator cu matricea A într-o baza oare-

care si cu polinomul caracteristic p (λ) = det (A− λI). Atunci au loc p (A) = 0 ∈Mn×n (C) (matricea

nula) si p (U (·)) = O (·) (operatorul nul).

Demonstratie. Fie matricea A − λI; matricea este inversabila daca si numai daca λ /∈ σ (A) iar în

acest caz se considera inversa matricii:

(A− λI)−1 =1

det (A− λI)Bλ =

1

P (λ)Bλ,

unde Bλ este matricea cu elementele Aji (complementii algebrici ai matricii (A− λI)), care sunt polinoame

de grad cel mult n− 1 în λ. Atunci se poate scrie

Bλ = B0 +B1λ+ · · ·+Bn−1λn−1,

unde Bk sunt matrici patrate de ordin n. Urmeaza ca are loc

P (λ) I = (A− λI)Bλ

si rescriem aceasta relatie dupa puterile lui λ; notam P (λ) = α0 +α1λ+ · · ·+αnλn iar egalitatea anterioara

devine:

(α0 + α1λ+ · · ·+ αnλn) I = (A− λI)

(B0 +B1λ+ · · ·+Bn−1λ

n−1),

se face înmultirea în membrul drept si ordonarea dupa puterile lui λ astfel:

α0I + α1Iλ+ · · ·+ αnIλn = AB0 + (AB1 −B0)λ+ (AB2 −B1)λ2 + · · ·+

+ (ABn−1 −Bn−2)λn−1 + (−Bn−1)λn;

deoarece în cei doi membri ai egalitatii avem doua polinoame care sunt egale, coeficientii lor sunt egali.

Urmeaza ca au loc egalitatile (pe care le adunam înmultite convenabil, pentru a reduce termenii din


dreapta):

α0I = AB0

α1I = AB1 −B0 |· A (la stânga)

α2I = AB2 −B1 |· A2 (la stânga)

· · · = · · · |· · · ·

αn−1I = ABn−1 −Bn−2 |· An−1 (la stânga)

αnI = −Bn−1 |· An (la stânga)

deci

α0I = AB0

α1A = A2B1 − AB0

α2A2 = A3B2 − A2B1

· · · = · · ·

αn−1An−1 = AnBn−1 − An−1Bn−2

αnAn = −AnBn−1

si prin adunarea egalitatilor rezulta

α0I + α1A+ α2A2 · · ·+ αn−1A

n−1 + αnAn = 0,

adica P (A) = 0 (matricea nula) si evident P (U (·)) = O (·) (operatorul nul)

2.5.28. Observatie. MultimeaMn (R) a matricilor patratice de ordin n este spatiu vectorial de dimen-

siune n2, asa ca pentru o matrice A ∈ Mn (R), spanAk; k ∈ N

are dimensiune cel mult n2. Teorema

Hamilton—Cayley arata ca dim(span

Ak; k ∈ N

)≤ n+ 1. În general egalitatea nu are loc; cel mai mic

numar s pentru care puterile A0, A1, · · · , As sunt liniar dependente satisface s ≤ n + 1, iar dependenta

liniara a puterilor este de formas∑

k=0

αkAk = 0 si corespunde unui polinom m (λ) =

s∑k=0

αkλk, care este

numit polinomul minimal al matricii A.

2.5.29. Observatie. (Cel mai mare divizor comun al unor polinoame) Proprietatea care va fi

folosita la forma canonica Jordan este proprietatea 2.5.3, care poate fi vazuta în variante particulare în

2.5.1 si în 2.5.2.

Pentru doua polinoame p1 (x) si p2 (x) (cu coeficienti reali sau complecsi), cel mai mare divizor comun

al lor este un nou polinom d (x) (cu coeficienti din acelasi corp) care divide cele doua polinoame si este

de grad maxim cu aceasta proprietate. Existenta polinomului d (x) si aflarea lui poate fi obtinuta prin

factorizare (metoda limitata deoarece în general nu se poate afla efectiv factorizarea unui polinom) sau

cu algoritmul lui Euclid de aflare a celui mai mare divizor comun pentru polinoame, ca fiind ultimul rest

diferit de zero; unicitatea lui d (x) se poate obtine cu conditia suplimentara ca polinomul sa aiba coeficientul


dominant2 1. Câteva dintre proprietatile polinomului d (x) = c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·)) = gcd (p1 (·) , p2 (·))

sunt:

• daca d1 (x) |p1 (x) si d1 (x) |p2 (x) atunci d1 (x) |d (x) (daca un polinom este divizor comun al poli-

noamelor p1 (x) si p2 (x), atunci îl divide si pe cel mai mare divizor comun al lor)

• c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·)) = c.m.m.d.c. (p2 (·) , p1 (·)) (o alta formulare ar fi: prin algoritmul Euclid

se obtine acelasi rezultat, indiferent de pozitia polinoamelor)

• daca c.m.m.d.c. (p1 (·) , q (·)) = 13 atunci c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·)) = c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·) · q (·))

• d (x) este polinomul de grad minim cu proprietatea: exista polinoamele h1 (x) si h2 (x) astfel încât

are loc

(2.5.1) d (·) = h1 (·) · p1 (·) + h2 (·) · p2 (·) ;

• pentru trei sau mai multe polinoame, cel mai mare divizor comun se defineste recursiv:

c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·) , p3 (·)) =

= c.m.m.d.c. (c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·)) , p3 (·)) ,

iar proprietatea 2.5.1 poate fi extinsa la 3 polinoame astfel:

(2.5.2)

c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·) , p3 (·)) =

= c.m.m.d.c. (c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·)) , p3 (·)) =

= h′1 (·) · c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·)) + h′2 (·) · p3 (·) =

= h′1 (·) · (h′′1 (·) · p1 (·) + h′2 (·) · p2 (·)) + h′2 (·) · p3 (·) =

= h2 (·) · p1 (·) + h2 (·) · p2 (·) + h3 (·) · p3 (·) .

• pentru un numar oarecare k de polinoame, cel mai mare divizor comun al lor se defineste similar:

c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·) , · · · , pk (·)) =

= c.m.m.d.c. (c.m.m.d.c. (p1 (·) , · · · , pk−1 (·)) , pk (·))

iar proprietatea 2.5.2 se extinde pentru k polinoame astfel: ∃hi (·) polinoame, i = 1, k astfel încât

(2.5.3) c.m.m.d.c. (p1 (·) , p2 (·) , · · · , pk (·)) =k∑i=1

hi (·) · pi (·) .

2.5.30. Definitie. Un operator N (·) se numeste nilpotent daca exista r ∈ N astfel încât N r (·) = O (·)

(operatorul nul).

2Coeficientul dominant este coeficientul pe care îl are monomul cu grad maxim al polinomului. Polinoamele cu coeficientdominant 1 se mai numesc polinoame monice (monic polynomials).3Polinoamele p1 (·) si q (·) astfel încât c.m.m.d.c. (p1 (·) , q (·)) = 1 se numesc relativ prime între ele.


2.5.31. Observatie. Daca N (·) este un operator nilpotent, f 6= 0 este un vector nenul iar k + 1 =

min s;N s (f) = 0, atunci familiaf,N (f) , · · · , Nk (f)

este liniar independenta.

Demonstratie.k∑i=0

αiNi (f) = 0 | Nk (·)⇒ α0N

k (f) = 0⇒ α0 = 0;

analog prin compunere cu Nk−j (·) se obtine ca ∀j = 1, k, αj = 0.

2.5.32. Teorema. (Reducerea unui operator complex la operatori nilpotenti) Pentru fiecare λi,

se considera Vλi = ker ((U − λiI)ni (·)). Atunci au loc afirmatiile:

(1) Vλi sunt subspatii invariante ale lui U (·).

(2) V =k⊕i=1

Vλi.

(3) Restrictia, notata Uj (·), a operatorului U (·) la fiecare subspatiu Vλj , Uj (·) : Vλj → Vλj , Uj (x) =

U (x) ,∀x ∈ Vλj este de forma Uj (·) = (Nj + λjI) (·), cu Nj (·) operator nilpotent pe Vλj si I (·)

operatorul unitate pe Vλj .

Demonstratie.

(1) Fie v ∈ Vλi ; atunci are loc (U − λiIn)ni (v) = 0. Atunci

(U − λiIn)ni (U (v)) = (U − λiIn)ni ((U − λiIn + λiIn) (v)) =

= (U − λiIn) ((U − λiIn)ni (v)) + λi (U − λiIn)ni (v) =

= (U − λiIn) (0) + λi · 0 = 0⇒ U (v) ∈ Uλi

deci Vλi este subspatiu invariant al operatorului U .

(2) Are loc

P (λ) =

k∏i=1

(λ− λi)ni ,

si daca pentru j = 1, k se considera polinoamele

Pj (λ) = (λ− λj)nj , Qj (λ) =

k∏i=1,i 6=j

(λ− λi)ni ,

atunci

c.m.m.d.c. (Q1 (λ) , · · · , Qk (λ)) = 1

deci din Observatia 2.5.29 si proprietatea 2.5.3 exista polinoamele hi (λ) astfel încât sa aiba loc

k∑j=1

hj (λ) ·Qj (λ) = 1;


mai mult, are loc

P (λ) = Pj (λ) ·Qj (λ) , ∀j = 1, k;

scriind aceste relatii pentru polinoamele de operatori atasate rezulta din Teorema Hamilton-Cayley

ca

0 =P (U (·)) = Pj (U (·)) Qj (U (·))

⇒ Pj (U (·)) ((Qj (U (·))) (v)) = 0,∀v ∈ V,

⇒ (Qj (U (·))) (v) ∈ Vλj ,∀v ∈ V

sik∑j=1

hj (U (·)) Qj (U (·)) = I (·) ,

adica, tinând cont de (Observatia 2.2.9) faptul ca hj (U (·)) Qj (U (·)) = Qj (U (·)) hj (U (·)),

k∑j=1

hj (U (·)) ((Qj (U (·))) (v)) =

=k∑j=1

(Qj (U (·))) ((hj (U (·))) (v)) = v,∀v ∈ V;

cum (Qj (U (·))) (v) ∈ Vλj si Vλj este invariant la U (·) , rezulta ca

(Qj (U (·))) ((hj (U (·))) (v)) ∈ Vλj ,

asa ca orice vector al spatiului se descompune în suma de elemente din Vλj , j = 1, k, deci are loc

V =k∑i=1

Vλi .

Suma este directa: Fie vj ∈ Vλj astfel încâtk∑j=1

vj = 0; atunci au loc

Pi (U (·)) (vi) = 0

si

Qi (U (·)) (vj) = 0, ∀j = 1, k, j 6= i⇒

Qi (U (·)) (vi) = Qi (U (·))(−

k∑l=1,j 6=i

vl

)= 0;

cum polinoamele Pi (λ) si Qi (λ) sunt relativ prime între ele, din 2.5.1 exista polinoamele R1 (λ)

si R2 (λ) astfel încât

R1 (λ)Pi (λ) +R2 (λ)Qi (λ) = 1,

adica

0 = R1 (U (·)) ((Pi (U (·))) (vi)) +R2 (U (·)) ((Qi (U (·))) (vi)) = vi,


adica vi = 0; se obtine ca descompunerea este unica.

(3) Se noteaza Uj (·) : Vλj → Vλj Uj (v) = U (v) , ∀v ∈ Vλj restrictia operatorului U (·) la subspatiul

Vλj . Din definitia spatiului Vλj , are loc (U − λjI)nj (v) = 0, ∀v ∈ Vλj deci (Uj − λjI)nj (v) = 0,

∀v ∈ Vλj . Are loc Uj (·) = (Uj − λjI) (·) + λjI (·) , iar operatorul Nj = Uj − λjI este nilpotent.

2.5.33. Teorema. (Forma canonica Jordan a operatorilor nilpotenti) Fie N (·) un operator nilpo-

tent pe un spatiu vectorial V. Atunci exista o baza a spatiului în care matricea operatorului este un bloc

Jordan atasat scalarului nul.

Demonstratie. N (·) nilpotent ⇒ ∃!r ∈ N astfel încât kerN r (·) = V si kerN r−1 (·) & V (r este cel

mai mic exponent pentru care operatorul este identic nul),

rNot= min

k

dimNk (·) = dimV = n

(existenta rezulta din faptul ca operatorul este nilpotent iar unicitatea prin reducere la absurd); mai mult,

are loc x ∈ kerNk (·) ⇒ Nk (x) = 0 ⇒ N(Nk (x)

)= 0 ⇒ x ∈ kerNk+1 (·) deci:

kerN (·) ⊂ kerN2 (·) ⊂ · · · kerNk (·) ⊂ · · ·

(nucleele puterilor lui N (·) formeaza un lant, care este finit si de la rangul r încolo toti termenii sunt egali

cu spatiul) (puterile operatorului sunt operatorul nul de la rangul r, inclusiv). Rezulta ca lantul este:

0 = kerN0 (·) ⊂ kerN1 (·) ⊂ kerN2 (·) ⊂ · · · ⊂ kerN r−1 (·) ⊂6=

kerN r (·) = V

si fie

mkNot= dim kerNk (·) , k = 0, r ⇒ 0 = m0 ≤ m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ mr−1 < mr = n.

Mai mult, daca se considera sirul diferentelor dimensiunilor,

qkNot= mk −mk−1, k = 1, r,

are loc

qr ≤ qr−1 ≤ qr−2 ≤ · · · ≤ q2 ≤ q1

(va rezulta din demonstratie, în continuare). Pentru fiecare k = 1, r, are loc

kerNk (·) = kerNk−1 (·)⊕Qk,


cu Q1 = kerN (·) iar qk = dimQk,

V = kerN r (·) = kerN r−1 (·)⊕Qr,

cu

dimQr = qr = mr −mr−1Not= p1.

Se alege o baza în Qr, f1, · · · fp1 ; vectorii f1, · · · fp1 sunt liniar independenti si, mai mult, au proprietatea

ca daca αi sunt astfel încâtp1∑i=1

αifi ∈ kerN r−1 (·) ,

atunci αi = 0 (pentru ca daca ar exista scalarii αi astfel încât

p1∑i=1

αifi = v0 ∈ kerN r−1 (·) \ 0, atunci kerN r−1 (·) ∩Qr 6= 0

contradictie). Deci

V = kerN r (·) = kerN r−1 (·)⊕ Sp f1, · · · fp1 .

Se observa ca vectorii

N (f1) , · · ·N (fp1)

sunt în kerN r−1 (·) (pentru ca fi ∈ kerN r (·) ⇒ N r (fi) = 0 ⇒ N r−1 (N (fj)) = 0 ⇒ N (fj) ∈ N r−1 (·));

mai mult,p1∑i=1

αiN (fi) ∈ kerN r−2 (·)⇒

N r−2

(p1∑i=1

αiN (fi)

)= N r−1

(p1∑i=1

αifi

)= 0⇒

⇒p1∑i=1

αifi ∈ kerN r−1 (·) ⇒ αi = 0,

(deci în particular sunt liniar independenti) vectorii N (f1) , · · ·N (fp1) sunt în kerN r−1 (·) si nu sunt în

kerN r−2 (·) deciN (f1) , · · ·N (fp1) ∈ Qr−1,

dim kerN r−1 (·) = mr−1 = mr−2 + qr−1, qr−1 ≥ p1

(deci are loc si qr−1 ≥ qr)

si

V = kerN r (·) = kerN r−1 (·)⊕ Sp f1, · · · fp1 =

= kerN r−2 (·)⊕Qr−1 ⊕ Sp f1, · · · fp1 .

Fie

p2Not= qr−1 − p1


si fie

fp1+1, · · · fp1+p2

completarea sistemului liniar independentN (f1) , · · · , N (fp1) pâna la o baza a luiQr−1; sistemul de vectori

N (f1) , · · · , N (fp1) , fp1+1, · · · fp1+p2

este o baza în Qr−1 si are loc:

V = kerN r (·) = kerN r−1 (·)⊕ Sp f1, · · · fp1 =

= kerN r−2 (·)⊕Qr−1 ⊕ Sp f1, · · · fp1 =

= kerN r−2 (·)⊕ Sp N (f1) , · · · , N (fp1) , fp1+1, · · · fp1+p2 ⊕ Sp f1, · · · fp1 .

Se aplica operatorul N (·) bazei din Qr−1:

N2 (f1) , · · · , N2 (fp1) , N (fp1+1) , · · ·N (fp1+p2)

este un sistem de p1 + p2 vectori, care este liniar independent în Qr−2 (deci p1 + p2 = qr−1 ≤ qr−2) si care

se completeaza pâna la o baza în Qr−2 cu

p3Not= qr−2 − qr−1 = qr−2 − p1 − p2

vectori. În final se obtine structura:

f1, · · · fp1 baza în Qr,

N (f1) , · · · , N (fp1) , fp1+1, · · · fp1+p2 baza în Qr−1,

N2 (f1) , · · · , N2 (fp1) , N (fp1+1) , · · · , N (fp1+p2) , fp1+p2+1, · · · , fp1+p2+p3 baza în Qr−2,

.................................................................................

N r−1 (f1) , · · · , N r−1 (fp1) , Nr−2 (fp1+1) , · · · , N r−2 (fp1+p2) , · · · , fp1+···+pr−1+1, · · · , fp1+···+pr−1+pr baza în Q1.

Fiecare coloana a tabloului este câte o familie liniar independenta care determina câte un subspatiu invari-

ant al operatorului N (·); primele p1 subspatii sunt de dimensiune r, urmatoarele p2 sunt de dimensiune

r − 1, etc; ultimele pr subspatii sunt de dimensiune 1. Mai mult, ultima linie este formata din vectori

proprii (toti atasati valorii proprii nule). Întregul spatiu este suma directa de aceste subspatii pe verticala;

pentru spatiul format de prima coloana, se alege ca baza

N r−1 (f1) , N r−2 (f1) , · · · , N (f1) , f1


(în aceasta ordine); în aceasta baza restrictia operatorului la acest subspatiu este data de valorile opera-

torului în vectorii bazei:

f1 ∈ V = kerN r ⇒ N r (f1) = 0

N(N r−1 (f1)

)= N r (f1) =

0

0

...

0

0

N(N r−2 (f1)

)= N r−1 (f1) =

1

0

...

0

0

......................................................

N (f1) =

0

...

0

1

0

⇒ N |sp inv (x) =

0

0

...

0

0

1

0

...

0

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

...

0

1

0

xNot= J0 (r)x;

se obtine în final urmatoarea structura pentru matricea operatorului:

p1 cel.

de

ord. r

p2 cel.

de

ord. r − 1

...

pr cel.

de

ord. 1

J0 (r)

. . .

J0 (r)

0 0

0

J0 (r − 1)

. . .

J0 (r − 1)

0

......

...

0 0

J0 (1)

. . .

J0 (1)

2.5.34. Definitie. Se numeste celula Jordan de ordin r atasata scalarului λ o matrice r × r de forma:


Jλ (r) =

λ 1 · · · 0

0 λ. . . 0

· · · · · · . . . 1

0 0 · · · λ

.

2.5.35. Definitie. Se numeste bloc Jordan de ordin (r1, · · · , rk) atasat scalarului λ o matrice (r1 + · · ·+ rk)×

(r1 + · · ·+ rk) de forma:

Jλ (r1, · · · rk) =

Jλ (r1) 0 · · · 0

0 Jλ (r2) · · · 0

· · · · · · . . . · · ·

0 0 · · · Jλ (rk)

.

2.5.36. Definitie. Se numeste matrice Jordan atasata scalarilor (λ1, · · · , λs) si scalarilor(rλi1 , · · · rλiki

),

i = 1, s o matrice de forma:

J =

Jλ1(rλ11 , · · · , rλ1k1

)0 · · · 0

0 Jλ2(rλ21 , · · · , rλ2k2

)· · · 0

· · · · · · . . . · · ·

0 0 · · · Jλs(rλs1 , · · · , rλsks

)

.

2.5.1. Decomplexificarea formei canonice complexe. Când corpul de scalari este real, atunci

valorile proprii sunt în general complexe, deci nu fac parte din corpul de scalari; mai mult, vectorii proprii

atasati la valori proprii complexe sunt de coordonate complexe. Pentru a se obtine o forma pseudodiagonala

si în aceasta situatie se aplica urmatoarea tehnica:

Fie λ = α + iβ ∈ C \ R, β > 0 o valoare proprie complexa cu ordinul de multiplicitate m. Atunci

λ = α − iβ este valoare proprie complexa cu acelasi ordin de multiplicitate si celor doua valori proprii

trebuie sa li se ataseze un spatiu invariant real de dimensiune 2m. Acelasi operator vazut ca operator

peste un spatiu vectorial complex admite o baza Jordan în care pentru λ corespund m vectori proprii

liniar independenti f1, · · · , fm de coordonate complexe; atunci vectorii f1, · · · , fm formeaza baza Jordan

pentru λ

Av = λv ⇒ A (Re v + i Im v) = (Reλ+ i Imλ) (Re v + Im v)

⇒ Av = λv ⇒ v este vector propriu pentru λ

Baza Jordan atasata valorii proprii λ este data de relatiile:

Af 11 = λf 1

1 , · · · , Afq1 = λf q1

Af 12 = f 1

1 + λf 12 , · · · , Af

q2 = f q1 + λf q2


.........................................................

Af 1n1

= f 1n1−1 + λf 1

n1, · · · , Af qnq = f qnq−1 + λf qnq

Vectorii fkj sunt liniar independenti si formeaza o baza Jordan pentru λ. Pornind de la baza Jordan

atasata celor doua valori proprii complexe conjugate descrisa mai sus se construieste o baza în spatiul

real prin înlocuirea fiecarei perechi de vectori complecsi conjugati fkj , fkj cu perechea de vectori reali

gjk = 12

(f jk + f jk

), hjk = 1

2i

(f jk − f

jk

). Din relatiile

Af jk = f jk−1 + λf jk ,

Af jk = f jk−1 + λf jk

si din relatiile

λf + λf = (Re (λ) + i Im (λ)) (Re (f) + i Im (f)) +

+ (Re (λ)− i Im (λ)) (Re (f)− i Im (f)) =

= 2 Re (λ) Re (f)− 2 Im (λ) Im (f) = 2 (Re (λ) g − Im (λ)h) ,

λf − λf = (Re (λ) + i Im (λ)) (Re (f) + i Im (f))−

− (Re (λ)− i Im (λ)) (Re (f)− i Im (f)) =

= 2iRe (λ) Im (f) + 2i Im (λ) Re (f)

rezulta

Agjk = gjk−1 + Re (λ) gjk − Im (λ)hjk,

Ahjk = hjk−1 + Re (λ) gjk + Im (λ)hjk

asa ca înlocuirile fiecarei perechi de celule complexe (pentru λ = α + iβ) sunt: λ 0

0 λ

α β

−β α

λ 1 0 0

0 λ 0 0

0 0 λ 1

0 0 0 λ

α β 1 0

−β α 0 1

0 0 α β

0 0 −β α


λ 1 0 0 0 0

0 λ 1 0 0 0

0 0 λ 0 0 0

0 0 0 λ 1 0

0 0 0 0 λ 1

0 0 0 0 0 λ

α β 1 0 0 0

−β α 0 1 0 0

0 0 α β 1 0

0 0 −β α 0 1

0 0 0 0 α β

0 0 0 0 −β α

.................................


2.5.2. Algoritm pentru aducerea unui operator la forma canonica Jordan.

(1) Se gaseste matricea atasata operatorului în baza initiala (standard)

(2) Se rezolva (în C) ecuatia caracteristica det (A− λI) = 0 si se retin toate radacinile λj ∈ C,

j = 1, k, cu ordinele lor de multiplicitate nj,k∑j=1

nj = n.

Pentru fiecare radacina λj (de multiplicitate nj) obtinuta la pasul 2.:

(3) Se calculeaza spatiul Vλj = ker (U − λjI)nj (·).

(4) Se calculeaza restrictia Uj (·) a operatorului U (·) la subspatiul Vλj , Uj (·) : Vλj → Vλj , Uj (x) =

U (x) ,∀x ∈ Vλj .

(5) Se calculeaza operatorul nilpotent Nj (·) : Vλj → Vλj , definit prin: Nj (x) = Uj (x) − λjI (x) =

(Uj − λjI) (x), ∀x ∈ Vλj .

(6) Se calculeaza sirul de nuclee:

0 = kerN0j (·) ⊆ kerNj (·) ⊆ kerN2

j (·) ⊆ · · · ⊆ kerNrj−1j (·) ⊆ kerN

rjj (·) = Vλj ,

se calculeaza

rj = mink

dim kerNk

j (·) = dimVλj = nj

si pentru fiecare k = 1, rj, se considera descompunerea

kerNkj (·) = kerNk−1

j (·)⊕Qjk;

(7) Se calculeaza mjk = dim kerNk

j (·), k = 0, rj

(8) Se calculeaza qjk = dimQjk = mj

k −mjk−1, k = 1, rj

(9) Se calculeaza

pj1 = mjrj−mj

rj−1 = qjrj ,

pj2 = qjrj−1 − pj1,

pj3 = qjrj−2 − qjrj−1 = qjrj−2 − p

j1 − p

j2

· · ·

(10) Se alege o baza în Qjrj, notata f j1 , · · · f

j

pj1; se considera vectorii

f jpj1+1

, · · · f jpj1+pj2

care completeaza sistemul liniar independent Nj

(f j1), · · · , Nj

(f jpj1

)pâna la o baza a lui Qj

rj−1;

se continua acest procedeu pâna se obtine structura:

f j1 , · · · fj

pj1baza în Qj

r


Nj

(f j1), · · · , N

(f jpj1

), f jpj1+1

, · · · f jpj1+pj2

baza în Qjrj−1

N2j

(f j1), · · · , N2

j

(f jpj1

), Nj

(f jpj1+1

), · · · , Nj

(f jpj1+pj2

), f jpj1+pj2+1

, · · · , f jpj1+pj2+pj3

baza în Qjr−2,

.................................................................................

Nrj−1j

(f j1), · · · , N rj−1

j

(f jpj1

), N

rj−2j

(f jpj1+1

), · · · , N rj−2

j

(f jpj1+pj2

), · · · ,

· · · , f jpj1+···+pjrj−1+1

, · · · , f jpj1+···+pjrj−1+pjrj

baza în Qj1 = kerNj (·).

Baza Jordan se obtine prin ordonarea vectorilor de mai sus în felul urmator: se aleg vectorii pe

coloana, de jos în sus —pentru fiecare vector, de la exponentul maxim al operatorului la exponentul

minim —de exemplu, pentru prima coloana (primul vector, f j1 ):

Nrj−1j

(f j1), N

rj−2j

(f j1), · · · , Nj

(f j1), f j1

(11) În final se obtine în aceasta baza (de fapt reper, pentru ca ordinea vectorilor în baza este impor-

tanta) pj1 celule de ordin rj, pj2 celule de ordin rj − 1, etc.


2.5.3. Exemple.

2.5.37. Exemplu (O valoare proprie cu ordin de multiplicitate 4). Fie U (·) : R4 → R4 cu matricea în

baza canonica A =

1 1 1 0

−1 3 0 1

−1 0 −1 1

0 −1 −1 1

; sa se determine forma canonica Jordan si o baza în care este

atinsa aceasta forma.

Pasul 1: matricea operatorului este A =

1 1 1 0

−1 3 0 1

−1 0 −1 1

0 −1 −1 1

.

Pasul 2: Valorile proprii ale matricii A (din ecuatia caracteristica):

det (A− λI4) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1− λ 1 1 0

−1 3− λ 0 1

−1 0 −1− λ 1

0 −1 −1 1− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (λ− 1)4 = 0⇒ λ1 = 1, n1 = 4.

***

Cu Scientific WorkPlace 5.5 se calculeaza astfel: Compute→Matrices→Determinant de unde se obtine

valoarea determinantului:

determinant : 6λ2 − 4λ− 4λ3 + λ4 + 1

Compute→Factor de unde se obtine: = (λ− 1)4

Se poate calcula direct folosind: Compute→Matrices→Eigenvalues, de unde se obtine:

eigenvalues: 1− λ (care nu spune multiplicitatea valorii proprii).

[Pot apare confuzii generate de standardul folosit pentru reprezentarea vectorilor ca linie sau coloana]

***

Pasul 3: Calculam dimensiunea subspatiului propriu asociat valorii proprii λ = 1:

Se considera operatorul (U − λ · 1R4)4 (·) = (U − 1R4)4 (·); matricea lui este (A− I4)4.

A− I4 =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

Not.= B.


(A− I4)2 =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

2

=

−2 2 −2 2

−2 2 −2 2

2 −2 2 −2

2 −2 2 −2

= B2.

(A− I4)3 =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

3

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

= B3.

(A− I4)4 =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

4

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

= B4.

Deci Vλ1 = ker (U − λ1I)n1 (·) = ker (U − 1R4)4 (·) = R4.

Pasul 4: Restrictia U1 (·) a operatorului U (·) la subspatiul Vλ1 , U1 (·) : Vλ1 → Vλ1 , U1 (x) = U (x),

∀x ∈ Vλ1 este: U1 (·) : R4 → R4, U1 (x) = U (x) (U1 (·) coincide cu U (·)).

Pasul 5: Operatorul nilpotent N1 (·) : R4 → R4, definit prin N1 (x) = U1 (x) − λ1I4 (x) are matricea

B =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

.

Pasul 6:

Se calculeaza

r1 = mink

dim kerNk

1 (·) = dimVλ1 = n1 = 4

de unde se obtine r1 = 3.

Se calculeaza sirul de nuclee:

0 = kerN01 (·) ⊆ kerN1 (·) ⊆ kerN2

1 (·) ⊆ · · · ⊆ kerN r1−11 (·) ⊆ kerN r1

1 (·) = Vλ1 :

kerN1 (·) [Nucleul operatorului N1 (·)] este multimea solutiilor sistemului:0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

x1

x2

x3

x4

=

0

0

0

0

, adica toti vectorii de forma:

−2a+ b

−a

a

b

kerN2

1 (·) [Nucleul operatorului N21 (·)] este multimea solutiilor sistemului:

2.5. INTRODUCERE ÎN TEORIA SPECTRALA 99−2 2 −2 2

−2 2 −2 2

2 −2 2 −2

2 −2 2 −2

x1

x2

x3

x4

=

0

0

0

0

, adica toti vectorii de forma:

a− b+ c

a

b

c

.

Operatorul: Are matricea: Are nucleul: mjk qjk

N01 (·) I4 0 m1

0 = 0 ∗

N1 (·) B span

−2

−1

1

0

,

1

0

0

1

m1

1 = 2q1

1 = m11 −m1

0 =

= 2− 0 = 2

N21 (·) B2 span

1

1

0

0

,

−1

0

1

0

,

1

0

0

1

m1

2 = 3q1

2 = m12 −m1

1 =

= 3− 2 = 1

N31 (·) B3 R4 m1

3 = 4q1

3 = m13 −m1

2 =

= 4− 3 = 1

p11 = q1

3 = 1⇒ matricea Jordan are 1 celule de ordin r1 = 3

p12 = q1

2 − q13 = 0⇒ matricea Jordan are 0 celule de ordin r1 − 1 = 2

p13 = q1

1 − q12 = 2− 1 = 1⇒ matricea Jordan are 1 celule de ordin r1 − 2 = 1

Deci matricea Jordan va fi

1 1 0 | 0

0 1 1 | 0

0 0 1 | 0

− − − | −

0 0 0 | 1

.

Pasul 10 [Aflarea bazei în care este atinsa matricea Jordan]:

Pentru fiecare k = 1, r1 = 1, 3 se considera descompunerea

kerNk1 (·) = kerNk−1

1 (·)⊕Q1k;

Se afla subspatiile Q1k:

0 = kerN01 (·) ⊆ kerN1 (·) ⊆ kerN2

1 (·)

‖

kerN1 (·)⊕Q12

⊆ kerN31 (·)

‖

kerN21 (·)⊕Q1

3

= R4


kerN21 (·) = span

1

1

0

0

,

−1

0

1

0

,

1

0

0

1

kerN3

1 (·) = R4 = kerN21 (·)⊕Q1

3⇒ se completeaza baza lui kerN21 (·) pâna la o baza în R4; completarea

poate fi facuta cu orice vector din R4 \ kerN21 (·), de exemplu cu vectorul v1 =

1

0

0

0

.

Familia

1

1

0

0

,

−1

0

1

0

,

1

0

0

1

,

1

0

0

0

este liniar independenta, asa ca este o baza a lui R4 =

kerN31 (·) în care primii 3 vectori sunt o baza pentru kerN2

1 (·).

Q13 = span

1

0

0

0

.

v1 =

1

0

0

0

∈ R4 = kerN3

1 (·)⇒ N31 (v1) = 0

v1 /∈ kerN21 (·)⇒ N2

1 (v1) 6= 0

N31 (v1) = 0⇒ N2

1 (N1 (v1)) = 0⇒ N1 (v1) ∈ kerN21 (·) iar N1 (N2

1 (v1)) = 0 asa ca N21 (v1) ∈ kerN1 (·)

0 = kerN01 (·) ⊆

dim=2

kerN1 (·) ⊆dim=3

kerN21 (·)

‖dim=2

kerN1 (·)∈N2

1 (v1)

⊕Q12

⊆dim=4

kerN31 (·)

‖dim=3

kerN21 (·)

∈N1(v1)

⊕dim=1

Q13

∈v1

= R4


v1 =

1

0

0

0

,N1 (v1) =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

1

0

0

0

=

0

−1

−1

0

,N2

1 (v1) =

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

0

−1

−1

0

=

−2

−2

2

2

Vectorii v1, N1 (v1), N2

1 (v1) corespund celulei de ordin 3.

Pentru a completa baza, trebuie ales înca un vector care sa corespunda celulei de ordin 1, adica din

kerN1 (·), si care sa fie independent cu cel deja ales din kerN1 (·), adica cu N21 (v1).

kerN1 (·) = span

−2

−1

1

0

,

1

0

0

1

iar

−2

−2

2

2

= 2

−2

−1

1

0

+ 2

1

0

0

1

∈ kerN1 (·)

Se alege v2 =

1

0

0

1

Baza Jordan este J = N21 (v1) , N1 (v1) , v1, v2 =

−2

−2

2

2

,

0

−1

−1

0

,

1

0

0

0

,

1

0

0

1

Matricea operatorului nilpotent N1 (·) în aceasta baza are drept coloane reprezentarile imaginilor prin

operator ale vectorilor de baza:

N1 (N21 (v1)) = 0⇒ [N1 (N2

1 (v1))]J =

0

0

0

0

N1 (N1 (v1)) = N21 (v1)⇒ [N1 (N1 (v1))]J =

1

0

0

0


N1 (v1) = N1 (v1)⇒ [N1 (v1)]J =

0

1

0

0

N1 (v2) = 0 · v2 ⇒ [N1 (v2)]J =

0

0

0

0

Deci matricea operatorului nilpotent în baza J este

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

.

Legatura dintre operatorul nilpotent si restrictia operatorului (în acest exemplu, chiar operatorul) este

N1 (x) = U1 (x)−λ1I4 (x)⇒ U1 (x) = N1 +λ1I4 (x) deci matricea operatorului initial în baza Jordan este:0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0

+ 1 ·

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 1 0

−1 2 0 1

−1 0 −2 1

0 −1 −1 0

Bx = 0⇒

x2 + x3 = 0

−x1 + 2x2 + x4 = 0

−x1 − x3 + x4 = 0

−x2 − x3 = 0

⇒ x =

a

b

−b

a− 2b

, a, b ∈ R⇒

Matricea de trecere de la baza canonica la baza J este:

C =

−2 0 1 1

−2 −1 0 0

2 −1 0 0

2 0 0 1

⇒ C−1 =

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

iar forma Jordan este:

J = C−1AC =

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

1 1 1 0

−1 3 0 1

−1 0 −1 1

0 −1 −1 1

−2 0 1 1

−2 −1 0 0

2 −1 0 0

2 0 0 1

=

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

sau [descompunerea Jordan a matricii initiale]

2.5. INTRODUCERE ÎN TEORIA SPECTRALA 1031 1 1 0

−1 3 0 1

−1 0 −1 1

0 −1 −1 1

=

−2 0 1 1

−2 −1 0 0

2 −1 0 0

2 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

Se observa structura de celule Jordan:

1 1 0 | 0

0 1 1 | 0

0 0 1 | 0

− − − | −

0 0 0 | 1

.

Aplicatie pentru sisteme de ecuatii diferentiale:x′1

x′2

x′3

x′4

=

1 1 1 0

−1 3 0 1

−1 0 −1 1

0 −1 −1 1

x1

x2

x3

x4

Se înlocuieste matricea cu descompunerea ei Jordan:x′1

x′2

x′3

x′4

=

−2 0 1 1

−2 −1 0 0

2 −1 0 0

2 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

x1

x2

x3

x4

Se scrie sub forma:

0 −14

14

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

x′1

x′2

x′3

x′4

=

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

x1

x2

x3

x4

Se face schimbarea de variabile:y1

y2

y3

y4

=

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

x1

x2

x3

x4

⇒

y′1

y′2

y′3

y′4

=

0 −1

414

0

0 −12−1

20

1 −1 1 −1

0 12−1

21

x′1

x′2

x′3

x′4

Sistemul de ecuatii diferentiale în variabilele y este:y′1

y′2

y′3

y′4

=

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

y1

y2

y3

y4

=

y1 + y2

y2 + y3

y3

y4

Se rezolva sistemul în variabilele y:


y4 (t) = c4et, y3 (t) = c3e

t, y2 (t) = (c3t+ c2) et, y1 (t) =

(c3t2

2+ c2t+ c1

)et

y1 (t)

y2 (t)

y3 (t)

y4 (t)

=

et tet1

2t2et 0

0 et tet 0

0 0 et 0

0 0 0 et

c1

c2

c3

c4

Se obtine solutia în variabilele initiale:x1 (t)

x2 (t)

x3 (t)

x4 (t)

=

−2 0 1 1

−2 −1 0 0

2 −1 0 0

2 0 0 1

y1 (t)

y2 (t)

y3 (t)

y4 (t)

=

=

−2 0 1 1

−2 −1 0 0

2 −1 0 0

2 0 0 1

et tet1

2t2et 0

0 et tet 0

0 0 et 0

0 0 0 et

c1

c2

c3

c4

=

c4e

t − 2c1et + c3 (et − t2et)− 2tc2e

t

−c3 (t2et + tet)− c2 (et + 2tet)− 2c1et

c3 (t2et − tet)− c2 (et − 2tet) + 2c1et

2c1et + c4e

t + 2tc2et + t2c3e

t


2.5.38. Exemplu. (Doua valori proprii de multiplicitate 2) [Problema 2.23, pag. 50, [16]] Fie U (·) :

R4 → R4 cu matricea în baza canonica A =

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

; sa se determine forma canonica Jordan si

o baza în care este atinsa aceasta forma.

Pasul 1: matricea operatorului este A =

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

.

Pasul 2: Valorile proprii ale matricii A (din ecuatia caracteristica):

det (A− λI4) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−λ 2 0 −1

1 −λ 0 0

0 1 −λ 0

0 0 1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= λ4 − 2λ2 + 1 = (λ− 1)2 (λ+ 1)2

⇒ λ1 = 1, n1 = 2, λ2 = −1, n2 = 2

Pasul 3: Se calculeaza dimensiunea subspatiului propriu asociat valorii proprii λ1 = 1:

Se considera operatorul (U − λ1 · 1R4)2 (·) = (U − 1R4)2 (·); matricea lui este (A− I4)2.

A− I4 =

−1 2 0 −1

1 −1 0 0

0 1 −1 0

0 0 1 −1

Not.= B (matricea are rangul 3).

(A− I4)2 =

−1 2 0 −1

1 −1 0 0

0 1 −1 0

0 0 1 −1

2

=

3 −4 −1 2

−2 3 0 −1

1 −2 1 0

0 1 −2 1

= B2 (matricea are rangul 2) (daca se

continua ridicarea la putere a matricii B, rangul nu se mai micsoreaza).

Subspatiul Vλ1 = ker (U − λ1I)n1 (·) = ker (U − 1R4)2 (·) este multimea solutiilor sistemului:

3 −4 −1 2

−2 3 0 −1

1 −2 1 0

0 1 −2 1

x1

x2

x3

x4

=

0

0

0

0

, adica

x1 = 3a+ 2b,

x2 = 2a+ b

x3 = a

x4 = −b


cu v1 =

3

2

1

0

, v2 =

2

1

0

−1

, se obtine: Vλ1 = span (v1, v2), iar familia B1 = v1, v2 este baza a lui

Vλ1 .

Pasul 4: Se determina restrictia U1 (·) a operatorului U (·) la subspatiul Vλ1 , U1 (·) : Vλ1 → Vλ1 ,

U1 (x) = U (x), ∀x ∈ Vλ1 :

U (v1) = Av1 =

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

3

2

1

0

=

4

3

2

1

= 2v1 + (−1) v2 ⇒ [U (v1)]B1 =

2

−1

(Scalarii 2 si −1 se afla din sistemul U (v1) = av1 + bv2)

U (v2) = Av2 =

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

2

1

0

−1

=

3

2

1

0

= 1 · v1 + 0 · v2 ⇒ [U (v2)]B1 =

1

0

(Scalarii 1 si 0 se afla din sistemul U (v2) = av1 + bv2)

Se obtine U1 (·) : Vλ1 → Vλ1 , [U1 (x)]B1 =

2 1

−1 0

[x]B1 în baza B1 = v1, v2 a lui Vλ1 .

Pasul 5: Operatorul nilpotent N1 (·) : Vλ1 → Vλ1 (atasat valorii proprii λ1) este restrictia la Vλ1 a

operatorului (U − λ1I4) (·) (sau operatorul (U1 − λ1I2) (·) în Vλ1).

În baza B1 operatorul N1 (·) are matricea

2 1

−1 0

− 1 ·

1 0

0 1

=

1 1

−1 −1

.Se observa ca matricea este nilpotenta:

1 1

−1 −1

2

=

0 0

0 0

.Pasul 6: Se calculeaza sirul de nuclee:

0 = kerN01 (·) ⊆ kerN1 (·) ⊆ kerN2

1 (·) ⊆ · · · ⊆ kerN r1−11 (·) ⊆ kerN r1

1 (·) = Vλ1 :

Operatorul: Are matricea: Are nucleul: de dimensiune:

N01 (·) I2 0 0 = m1

0

N1 (·)

1 1

−1 −1

span

1

−1

1 = m11

N21 (·)

0 0

0 0

span

1

−1

, 1

0

2 = m12

Nucleul operatorului N1 (·) este multimea solutiilor sistemului:

2.5. INTRODUCERE ÎN TEORIA SPECTRALA 107 1 1

−1 −1

x1

x2

=

0

0

, adica toti vectorii de forma: x1 = a

x2 = −a

Se calculeaza

r1 = mink

dim kerNk

1 (·) = dimVλ1 = n1 = 2

de unde se obtine r1 = 2 si pentru fiecare k = 1, r1 se considera descompunerea


1 (·)⊕Q1k;


0 = kerN01 (·) ⊆ kerN1 (·) ⊆ kerN2

1 (·)

‖

kerN1 (·)⊕Q12

= R2

Se completeaza familia

1

−1

(care este baza în kerN1 (·)) pâna la o baza în kerN21 (·) = R2, de

exemplu cu vectorul [u2]B1 =

1

0

(poate fi ales orice vector din kerN21 (·) \ kerN1 (·)).

[u1]B1 = [N1 (u2)]B1 =

1 1

−1 −1

1

0

=

1

−1

∈ kerN1 (·).

Obs: daca s—ar fiales, de exemplu,

1

1

, atunci N1

1

1

=

1 1

−1 −1

1

1

=

2

−2

, careeste din kerN1 (·), dar nu chiar acelasi vector

1

−1

, ci o combinatie liniara.Baza Jordan în Vλ1 pentru operatorul N1 (·) este B∗1 = u1, u2, în care:

N1 (u1) = 0⇒ [N1 (u1)]B∗1=

0

0

N1 (u2) = u1 ⇒ [N1 (u2)]B∗1

=

1

0

Se obtine [N1 (x)]B∗1

=

0 1

0 0

[x]B∗1, adica B∗1 este baza Jordan a operatorului N1 (·) iar

0 1

0 0

este forma canonica Jordan a operatorului N1 (·).

Se repeta pasii anteriori pentru urmatoarea valoare proprie, λ2 = −1 cu ordin de multiplicitate n2 = 2:

Pasul 3: Se calculeaza dimensiunea subspatiului propriu asociat valorii proprii λ2 = −1:

Se considera operatorul (U − λ2 · 1R4)2 (·) = (U + 1R4)2 (·); matricea lui este (A+ I4)2.


A+ I4 =

1 2 0 −1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

Not.= C (matricea are rangul 3).

(A+ I4)2 =

1 2 0 −1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

2

=

3 4 −1 −2

2 3 0 −1

1 2 1 0

0 1 2 1

= C2 (matricea are rangul 2) (daca se continua

ridicarea la putere a matricii B, rangul nu se mai micsoreaza).

Subspatiul Vλ2 = ker (U − λ2I)n1 (·) = ker (U + 1R4)2 (·) este multimea solutiilor sistemului:

3 4 −1 −2

2 3 0 −1

1 2 1 0

0 1 2 1

x1

x2

x3

x4

=

0

0

0

0

, adica

x1 = 3a+ 2b,

x2 = −2a− b

x3 = a

x4 = b

cu v3 =

3

−2

1

0

, v4 =

2

−1

0

1

, se obtine: Vλ2 = span (v3, v4); familia B2 = v3, v4 este baza în Vλ2 .

Pasul 4: Se determina restrictia U2 (·) a operatorului U (·) la subspatiul Vλ2 , U2 (·) : Vλ2 → Vλ2 ,

U2 (x) = U (x), ∀x ∈ Vλ2 :

U (v3) = Av3 =

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

3

−2

1

0

=

−4

3

−2

1

= −2v1 + v2 ⇒ [U (v3)]B2 =

−2

1

(Scalarii −2 si 1 se afla din sistemul U (v3) = av3 + bv4)

U (v4) = Av4 =

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

2

−1

0

1

=

−3

2

−1

0

= −v1 + 0 · v2 ⇒ [U (v4)]B2 =

−1

0

(Scalarii −1 si 0 se afla din sistemul U (v4) = av3 + bv4)

Se obtine U2 (·) : Vλ2 → Vλ2 , [U2 (x)]B2 =

−2 −1

1 0

[x]B2 în baza B2 = v3, v4 a lui Vλ2 .

Pasul 5: Operatorul nilpotent N2 (·) : Vλ2 → Vλ2 (atasat valorii proprii λ2) este restrictia la Vλ2 a

operatorului (U − λ2I4) (·) (sau operatorul (U2 − λ2I2) (·) în Vλ2).


În baza B2 operatorul N2 (·) are matricea

−2 −1

1 0

+ 1 ·

1 0

0 1

=

−1 −1

1 1

.Se observa ca matricea este nilpotenta:

−1 −1

1 1

2

=

0 0

0 0

.Pasul 6: Se calculeaza sirul de nuclee:

0 = kerN02 (·) ⊆ kerN2 (·) ⊆ kerN2

2 (·) ⊆ · · · ⊆ kerN r1−12 (·) ⊆ kerN r1

2 (·) = Vλ2 :

Operatorul: Are matricea: Are nucleul: de dimensiune:

N02 (·) I2 0 0 = m1

0

N2 (·)

−1 −1

1 1

span

1

−1

1 = m11

N22 (·)

0 0

0 0

span

1

−1

, 1

0

2 = m12

Nucleul operatorului N2 (·) este multimea solutiilor sistemului: −1 −1

1 1

x1

x2

=

0

0

, adica toti vectorii de forma: x1 = a

x2 = −a

Se calculeaza

r2 = mink

dim kerNk

2 (·) = dimVλ2 = n2 = 2

de unde se obtine r2 = 2 si pentru fiecare k = 1, r2 se considera descompunerea


2 (·)⊕Q2k;


0 = kerN02 (·) ⊆ kerN2 (·) ⊆ kerN2

2 (·)

‖

kerN2 (·)⊕Q22

= R2

Se completeaza familia

1

−1

(care este baza în kerN2 (·)) pâna la o baza în kerN22 (·) = R2, de

exemplu cu vectorul [u4]B2 =

1

0

(poate fi ales orice vector din kerN22 (·) \ kerN2 (·)).

[u3]B2 = [N2 (u4)]B2 =

−1 −1

1 1

1

0

=

−1

1

∈ kerN2 (·).

Baza Jordan în Vλ2 pentru operatorul N2 (·) este B∗2 = u3, u4, în care:


N2 (u3) = 0⇒ [N2 (u3)]B∗2=

0

0

N2 (u4) = u3 ⇒ [N2 (u4)]B∗2

=

1

0

Se obtine [N2 (x)]B∗2

=

0 1

0 0

[x]B∗2, adica B∗2 este baza Jordan a operatorului N2 (·) iar

0 1

0 0

este forma canonica Jordan a operatorului N2 (·).

Se asambleaza în baza initiala din R4 rezultatele obtinute pentru cele doua valori proprii:

Pentru λ1:

v1 =

3

2

1

0

, v2 =

2

1

0

−1

, B1 = v1, v2 baza a lui Vλ1 , [u1]B1 =

1

−1

, [u2]B1 =

1

0

, B∗1 =

u1, u2 baza Jordan în Vλ1

Pentru λ2:

v3 =

3

−2

1

0

, v4 =

2

−1

0

1

, B2 = v3, v4 este baza în Vλ2 , [u3]B2 =

−1

1

, [u4]B2 =

1

0

,B∗2 = u3, u4 baza Jordan în Vλ2

Baza Jordan a operatorului initial U (·) este:

u1 = 1 · v1 − 1 · v2 =

3

2

1

0

−

2

1

0

−1

=

1

1

1

1

u2 = 1 · v1 + 0 · v2 =

3

2

1

0

u3 = (−1) · v3 + 1 · v4 = −

3

−2

1

0

+

2

−1

0

1

=

−1

1

−1

1


u4 = 1 · v3 + 0 · v4 =

3

−2

1

0

Matricea de trecere:

1 3 −1 3

1 2 1 −2

1 1 −1 1

1 0 1 0

, inversa:

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

,

Proba:

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 3 −1 3

1 2 1 −2

1 1 −1 1

1 0 1 0

=

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1

Alt mod de a scrie relatia:

1 3 −1 3

1 2 1 −2

1 1 −1 1

1 0 1 0

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

=

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Utilizare în ecuatii diferentiale:

x1 = 2x2 − x4

x2 = x1

x3 = x2

x4 = x3

Forma matriciala:x1

x2

x3

x4

=

0 2 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

x1

x2

x3

x4

⇒ cu forma canonica Jordan:

x1

x2

x3

x4

=

1 3 −1 3

1 2 1 −2

1 1 −1 1

1 0 1 0

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

x1

x2

x3

x4


⇒

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

x1

x2

x3

x4

=

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

x1

x2

x3

x4

Schimbare de variabile:

y1

y2

y3

y4

=

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

x1

x2

x3

x4

⇒

⇒

y1

y2

y3

y4

=

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

x1

x2

x3

x4

⇒ sistemul initial devine:y1

y2

y3

y4

=

1 1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1

y1

y2

y3

y4

=

y1 + y2

y2

y4 − y3

−y4

⇒

⇒ decuplare dupa valorile proprii: y1

y2

=

y1 + y2

y2

si y3

y4

=

y4 − y3

−y4

Se rezolva sistemele: y1

y2

=

y1 + y2

y2

⇒ y2 = k2et, y1 = y1 + y2 = y1 + k2e

t ⇒ y1 · e−t − y1 · e−t = k2 ⇒

⇒ (y1 · e−t)′t = k2 ⇒ y1 · e−t = k2t+ k1 ⇒ y1 = (k2t+ k1) et y3

y4

=

y4 − y3

−y4

⇒ y4 = k4e−t ⇒ y3 = −y3 + k4e

−t ⇒ y3 · et + y3 · et = k4 ⇒

⇒ (y3et)′t = k4 ⇒ y3e

t = k4t+ k3 ⇒ y3 = (k4t+ k3) e−t

Se obtine solutia în forma matriciala:y1

y2

y3

y4

=

(k2t+ k1) et

k2et

(k4t+ k3) e−t

k4e−t

=

et t · et 0 0

0 et 0 0

0 0 e−t t · e−t

0 0 0 e−t

k1

k2

k3

k4


dar

y1

y2

y3

y4

=

−1

40

3

4

1

21

4

1

4−1

4−1

41

40 −3

4

1

21

4−1

4−1

4

1

4

x1

x2

x3

x4

, de unde:

x1

x2

x3

x4

=

1 3 −1 3

1 2 1 −2

1 1 −1 1

1 0 1 0

y1

y2

y3

y4

, asa ca se obtine:

x1

x2

x3

x4

=

1 3 −1 3

1 2 1 −2

1 1 −1 1

1 0 1 0

et t · et 0 0

0 et 0 0

0 0 e−t t · e−t

0 0 0 e−t

k1

k2

k3

k4

=

=

k1e

t + k4 (3e−t − te−t) + k2 (3et + tet)− k3e−t

k1et − k4 (2e−t − te−t) + k2 (2et + tet) + k3e

−t

k2 (et + tet) + k1et − k3e

−t + k4 (e−t − te−t)

k1et + k3e

−t + tk2et + tk4e

−t

∂

∂t(2e−t − te−t) = e−t (t− 3)

∂

∂t(2et + tet) = et (t+ 3)


2.5.39. Exemplu (Doua valori proprii, una cu multiplicitate 2). Fie operatorul U (·) care în baza standard

are matricea A =

1 −1 −1

−3 −4 −3

4 7 6

∈ M3×3 (R). Sa se aduca la forma canonica Jordan si sa se gaseasca

baza Jordan.

Valorile proprii ale matricii sunt solutiile ecuatiei caracteristice: det (A− λI3) = 0⇒ − (−λ− 1) (λ− 2)2 =

0

Pentru λ1 = −1, subspatiul vectorilor proprii corespunzator este V1 = x ∈ R3; (A− λI3)x = 0 =

α (0,−1, 1) ; α ∈ R iar dimensiunea algebrica a valorii proprii si dimensiunea geometrica sunt ambele 1.

Pentru λ2 = 2, subspatiul vectorilor proprii corespunzator este V2 = α (1, 0,−1) ; α ∈ R si se observa

ca dimensiunea algebrica a valorii proprii este 2 iar dimensiunea geometrica este 1, asa ca operatorul nu

este diagonalizabil.

Se considera operatorul N2 (·) care în baza standard are matricea B2 = A− 2I3 =

−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

.Nucleul lui N2 (·) este kerN2 (·) = V2 = α (1, 0,−1) ; α ∈ R

Operatorul N22 (·) are matricea B2

2 =

−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

2

=

0 0 0

9 18 9

−9 −18 −9

si nucleul kerN2

2 (·) = α (1, 0,−1) + β (0, 1,−2) ; α, β ∈ R.

Operatorul N32 (·) are matricea B3

2 =

−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

3

=

0 0 0

−27 −54 −27

27 54 27

iar nucleul lui este kerN3

2 (·) = kerN22 (·), asa ca sirul de nuclee

kerN2 (·) ⊆ kerN22 (·) = kerN3

2 (·) · · · se stabilizeaza la exponentul 2.

0 ⊆ kerN2 (·) ⊆ kerN22 (·) = kerN3

2 (·)

||

kerN2 (·)3N2(v0)

⊕Q22

3v0

Se alege un suplement Q22 al lui kerN2 (·) în kerN2

2 (·), de exemplu Q22 = β (0, 1,−2) ; β ∈ R si o

baza în Q22, de exemplu v

0 = (0, 1,−2).

Atunci N2 (v0) =

−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

0

1

−2

=

1

0

−1

∈ kerN2 (·)


baza Jordan este (0,−1, 1) , (1, 0,−1) , (0, 1, 2), matricile de trecere dintre baza standard si noua baza

sunt C =

0 1 0

−1 0 1

1 −1 −2

si C−1 =

0 1 0

−1 0 1

1 −1 −2

−1

=

−1 −2 −1

1 0 0

−1 −1 −1

.Matricea operatorului în baza Jordan este

C−1AC =

−1 −2 −1

1 0 0

−1 −1 −1

1 −1 −1

−3 −4 −3

4 7 6

0 1 0

−1 0 1

1 −1 −2

=

−1 0 0

0 2 1

0 0 2

În noua baza, matricea este de tip Jordan formata din doua blocuri

−1 | 0 0

− − − −

0 | 2 1

0 | 0 2

Se observa:

operatorul N2 (·) are matricea

−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

operatorul N2 (·) nu este operator nilpotent;

operatorul N2 (·) este invariant la nucleul maximal kerN22 (·) care are baza (1, 0,−1) , (0, 1,−2),

pentru ca:−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

1

0

−1

=

0

0

0

= 0 · (1, 0,−1) + 0 · (0, 1,−2) si

−1 −1 −1

−3 −6 −3

4 7 4

0

1

−2

=

1

0

−1

= 1 · (1, 0,−1) + 0 · (0, 1,−2).

Se poate vorbi despre restrictia operatorului N2 (·) la kerN22 (·), N r

2 (·) : kerN22 (·) → kerN2

2 (·) iar

matricea operatorului N2 (·) în baza (1, 0,−1) , (0, 1,−2) este

0 1

0 0

.Operatorul N r

2 (·) este nilpotent, pentru ca

0 1

0 0

2

=

0 0

0 0

.


2.6. Functionale bilinare si patratice. Forma canonica

2.6.1. Definitie. Fie (V1,K) si (V2,K) doua spatii vectoriale peste acelasi corp de scalari. Se numeste

functionala biliniara orice functie B (·, ·) : V1 × V2 → K liniara în fiecare variabila. Daca în plus V1 =

V2 = V si are loc relatia B (x, y) = B (y, x) , ∀ (x, y) ∈ V×V, atunci se spune ca functionala biliniara este

simetrica.

2.6.2. Definitie. Fie Ek =(ek1, · · · , eknk

)baze fixate ale spatiilor (Vk,K), k = 1, 2 si B (·, ·) : V1×V2 → K

o functionala biliniara. Matricea AB (E1, E2) =(B(e1i , e

2j

))i=1,n1j=1,n2

se numeste matrice asociata functionalei

biliniare corespunzatoare bazelor E1, E2.

2.6.3. Propozitie. Fie Ek =(ek1, · · · , eknk

)baze fixate ale spatiilor (Vk,K), k = 1, 2. O functionala

biliniara B (·, ·) : V1 × V2 → K este unic si complet determinata de matricea AB (E1, E2) asociata. În

acest caz avem B (x, y) = [x]TE1 ·AB (E1, E2) · [y]E2 .

Demonstratie. Vectorii x ∈ V1 si y ∈ V2 se reprezinta unic în bazele alese prin [x]E1 =

ξ1

...

ξn1

,

[y]E2 =

η1

...

ηn2

si din liniaritatea în fiecare variabila rezulta:B (x, y) = B

(n1∑i=1

ξie1i ,

n2∑j=1

ηje2j

)=

n2∑j=1

B

(n1∑i=1

ξie1i , e

2j

)ηj =

=

[B

(n1∑i=1

ξie1i , e

21

)· · · B

(n1∑i=1

ξie1i , e

2n2

) ]η1

...

ηn2

=

=

[n1∑i=1

ξiB (e1i , e

21) · · ·

n1∑i=1

ξiB(e1i , e

2n2

) ]

η1

...

ηn2

=

=[ξ1 · · · ξn1

]B (e1

1, e21) · · · B

(e1

1, e2n2

)· · · · · · · · ·

B(e1n1, e2

1

)· · · B

(e1n1, e2n2

)

η1

...

ηn2

=

= [x]TE1 · AB (E1, E2) · [y]E2 . Relatia B (x, y) =n1∑i=1

n2∑j=1

ξiηjB(e1i , e

2j

)exprima evident dependenta

reprezentarii de cele doua baze. Unicitatea reprezentarii este evidenta.

2.6. FUNCTIONALE BILINARE SI PATRATICE. FORMA CANONICA 117

2.6.4. Observatie. Daca se considera operatorul liniar U (·) : V2 → Kn1 definit prin U (y) = AB (E1, E2) ·

[y]E2 si functionala liniara fa (·) : V1 → K cu a ∈Kn1 fixat (fa (·) ∈ (V1)′) definita prin fa (x) = [x]TE1 a,

functionala biliniara poate fi privita ca o compunere: B (x, y) = fU(y) (x).

2.6.5. Propozitie. Fie spatiile (Vk,K), k = 1, 2 si B (·, ·) : V1 × V2 → K o functionala biliniara.

Pentru bazele Ek (vechea baza) si Fk (noua baza) al spatiului Vk, cu k = 1, 2, avem AB (F1, F2) =

(M (F1))TE1AB (E1, E2) (M (F2))E2 . Am notat cu (M (Fk))Ek matricele de trecere (coloanele sunt reprezen-

tarile vectorilor noii baze în vechea baza), k = 1, 2.

Demonstratie. Legatura dintre coordonatele în vechea baza si coordonatele în noua baza este data

de [x]E1 = (M (F1))E1 [x]F1 pentru x ∈ V1 si [y]E2 = (M (F2))E2 [y]F2 pentru y ∈ V2. Atunci

B (x, y) = [x]TE1 ·AB (E1, E2) · [y]E2 =

=((M (F1))E1 [x]F1

)TAB (E1, E2)

((M (F2))E2 [y]F2

)=

= [x]TF1

((M (F1))TE1AB (E1, E2) (M (F2))E2

)[y]F2 .

Folosind unicitatea reprezentarii B (x, y) = [x]TF1 ·AB (F1, F2) · [y]F2 obtinem relatia din enunt.

2.6.6. Observatie. Este interesant de remarcat ca membrul drept depinde de vechile baze E1 si E2 dar

membrul stâng nu depinde (adica indiferent de unde s-ar porni, se ajunge în acelasi loc). Mai mult, rangul

matricei ce reprezinta o functionala biliniara nu depinde de bazele alese pentru reprezentare.

2.6.7. Observatie. Matricea AB (E,E) a unei functionale biliniare simetrice B (·, ·) : V× V→ K într-o

baza E arbitrara este simetrica [adica AB (E,E) = (AB (E,E))t —matricea este egala cu transpusa ei].

Reciproca este adevarata.

2.6.8. Observatie. Oricarei functionale B (·, ·) : V × V → K biliniare i se poate asocia o functionala

biliniara simetrica Bs (·, ·) : V× V→ K prin Bs (x, y) =1

2[B (x, y) +B (y, x)].

2.6.9. Definitie. Pentru o functionala biliniara simetrica, se numeste nucleu multimea

kerB (·, ·) = x ∈ V; B (x, y) = 0, ∀y ∈ V

Daca kerB (·, ·) = 0 functionala biliniara simetrica se numeste nedegenerata.

2.6.10. Observatie. Nucleul unei functionale biliniare simetrice este subspatiu vectorial.

2.6.11. Propozitie. O functionala biliniara simetrica este nedegenerata daca si numai daca matricea

atasata pentru o alegere de baze este inversabila.

Demonstratie. FieE1, E2 doua baze arbitrare ale spatiului V pe care este definita functionala biliniara

simetrica B (·, ·). Atunci avem B (x, y) = [x]TE1 ·AB (E1, E2) · [y]E2 . AB (E1, E2) este nesingulara daca si


numai daca sistemul [x]TE1 ·AB (E1, E2) = [0]E1 are ca unica solutie vectorul x = 0 (sistemul este de tip

Cramer ce admite numai solutia banala). Fie x ∈ V o solutie a sistemului [x]TE1 ·AB (E1, E2) = [0]E. Rezulta

B (x, y) = 0, ∀y ∈ V si prin urmare x ∈ kerB (·, ·). Reciproc daca x ∈ kerB (·, ·) prin particularizarea

vectorului y obtinem ca x este o solutie a sistemului [x]TE1 · AB (E1, E2) = [0]E1 . Am demonstrat ca

kerB (·, ·) =x ∈ V; [x]TE1 ·AB (E1, E2) = [0]E1

. Concluzia devine banala.

2.6.12. Definitie. Se numeste functionala patratica o functie Q (·) : V→ K, definita pe spatiul vectorial

(V,K), pentru care exista o functionala biliniara simetrica B (·, ·) : V × V→ K astfel încât Q (x) =

B (x, x), ∀x ∈ V. Daca este data functionala patratica Q (·), atunci functionala biliniara B (x, y)Def=

1

2[Q (x+ y)−Q (x)−Q (y)], unde B (·, ·) : V×V→ K, se numeste functionala biliniara simetrica polara.

2.6.13. Observatie. Asocierea functionala patratica —functionala biliniara simetrica precizata în definitie

este o bijectie. Forma matriciala gasita pentru functionale biliniare se particularizeaza si în cazul functio-

nalelor patratice: Q (x) = [x]TEAQ (E) [x]E =n∑

i,j=1

B (ei, ej)xixj unde am definit matricea AQ (E) =

AB (E,E), care este o matrice simetrica.

2.6.14. Definitie. Fie Q (·) : V→ R o functionala patratica reala.

(1) Q (·) este pozitiv definita daca Q (x) > 0, ∀x ∈ V, x 6= 0.

(2) Q (·) este negativ definita daca Q (x) < 0, ∀x ∈ V, x 6= 0.

(3) Q (·) este semipozitiv definita daca Q (x) > 0, ∀x ∈ V.

(4) Q (·) este seminegativ definita daca Q (x) 6 0, ∀x ∈ V.

(5) Q (·) este nedefinita daca ∃x, y ∈ V, Q (x) > 0 si Q (y) < 0.

Daca reusim sa punem în evidenta o baza F a spatiului V pe care este definita functionala patratica

Q (·) cu proprietatea ca matricea AQ (F ) este diagonala atunci spunem ca am adus forma patratica la

forma canonica. Citirea proprietatilor din definitia precedenta se face pe forma canonica, prin studierea

semnului elementelor de pe diagonala matriceiAQ (F ). O problema importanta este aceea a existentei unei

baze cu proprietatile cerute. Raspunsul la aceasta prima problema este afirmativ. O a doua problema

este construirea efectiva a unei astfel de baze. Se cunosc mai multe metode dintre care detaliem în

continuare doua. Prima dintre ele pune accentul pe manipularea formei algebrice Q (x) =n∑

i,j=1

αijξiξj,

iar a doua pe forma matriceala Q (x) = [x]TEAQ (E) [x]E. Avem doua fete ale aceleiasi medalii deoarece

AQ (E) = (αij)i,j=1,n si [x]E =[ξ1 · · · ξn

]T. Am considerat n = dimV si E o baza fixata. Vom folosi

si în continuare notatiile.


2.6.15. Teorema. (Metoda Gauss de aducere la forma canonica) Fie Q (·) : V → R, Q (x) =

n∑i,j=1

αijξiξj = [x]TEAQ (E) [x]E o functionala patratica, unde [x]E =

ξ1

...

ξn

si AQ (E) = (αij)i,j=1,n.

Atunci exista o baza F a lui V în care matricea functionalei este diagonala.

Demonstratie. Demonstratia o vom face prin inductie în raport cu dimensiunea spatiului vectorial

V.

Daca dimV = 1 forma patratica are forma canonica, cu F = E.

Consideram afirmatia adevarata pentru dimV = k si o vom proba pentru dimV = k + 1. În mod

necesar se realizeaza unul dintre urmatoarele doua cazuri:

(1) ∃i ∈ 1, · · · , k + 1 astfel încât aii 6= 0

(2) ∀i ∈ 1, · · · , k + 1 , aii = 0.

În cazul 2 se disting doua situatii: prima în care functionala patratica este identic nula si a doua în care

exista ai0j0 6= 0. În prima situatie AQ (E) e matricea nula, forma patratica este adusa la forma canonica,

iar F ≡ E. A doua situatie se reduce la cazul 1 prin transformarea de coordonate:ξi0 = ηi0 + ηj0

ξj0 = ηi0 − ηj0ξk = ηk, ∀k ∈ 1, · · · , k + 1 \ i0, j0

care este specifica unei schimbari de baza. Transformarea provoaca aparitia unui element nenul pe locul

ai0i0 :

Q (x) =

k+1∑i,j=1

aijξiξj =

k+1∑i,j=1

a′ijηiηj, cu a′i0i0

= 2ai0j0 6= 0

deci prin aceasta transformare cazul 2. este redus la cazul 1 (exista si alte posibilitati de reducere a cazului

2. la cazul 1). Baza E1 în care [x]E1 =[η1 · · · ηk+1

]Tse deduce din

(M (E1))E = (βij) , βij =

1 pentru i = j; i, j /∈ j0

1 pentru i 6= j; i, j ∈ i0, j0

−1 pentru i = j = j0

0 în rest.

,

relatie care a asigurat legatura [x]E = (M (E1))E1 [x]E1 . Baza E1 va lua locul bazei E pentru continuarea

rationamentului.

În cazul 1 notam cu i0 unul din indicii pentru care ai0i0 6= 0. Atunci Q (x) =k+1∑i,j=1

aijξiξj =


= ai0i0ξ2i0

+ ξi0

(k+1∑

j=1,j 6=i0ai0jξj +

k+1∑j=1,j 6=i0

aji0ξj

)+

k+1∑i,j=1,i,j 6=i0

aijξiξj =

= ai0i0

ξ2i0

+ 2ξi0

(k+1∑

j=1,j 6=i0

ai0jai0i0

ξj

)+

(k+1∑

j=1,j 6=i0

ai0jai0i0

ξj

)2−

−ai0i0

(k+1∑

j=1,j 6=i0

ai0jai0i0

ξj

)2

+k+1∑

i,j=1,i,j 6=i0aijξiξj =

= ai0i0

(ξi0 +

k+1∑j=1,j 6=i0

ai0jai0i0

ξj

)2

+k+1∑

i,j=1,i,j 6=i0

(aij −

ai0iai0jai0i0

)ξiξj.

Fie transformarea de coordonate: ηi0 = ξi0 +

k+1∑j=1,j 6=i0

ai0jai0i0

ξj

ηi = ξi, pentru i 6= i0.

(determinantul matricei transformarii este nenul asa ca transformarea este o schimbare de baza). Atunci

Q (x) = ai0i0η2i0

+k+1∑

i,j=1,i,j 6=i0

a′ijηiηj

adica matricea atasata functionalei liniare are elementele liniei si coloanei i0 nule (în afara locului (i0, i0),

ocupat de ai0i0). Baza E1 = (e1i )i=1,k+1 în care [x]E1 =

[η1 · · · ηk+1

]Tse deduce din

(M (E1))E =

1 0 · · · 0 · · · 0

0 1 · · · 0 · · · 0

......

. . .... · · · ...

−ai01ai0i0

−ai02ai0i0

· · · 1 · · · −ai0,k+1ai0i0

...... · · · ...

. . ....

0 0 · · · 0 · · · 1

relatie care a asigurat legatura [x]E = (M (E1))E [x]E1 . Spatiul V se descompune în suma (directa)

dintre doua subspatii, primul corespunzator coordonatei i0 (spatiu 1-dimensional) si al doilea corespun-

zator celorlalte coordonate (spatiu k-dimensional). Conform ipotezei de inductie pentru subspatiul vec-

torial span(

(e1i )i=1,k+1,i 6=i0

), de dimensiune k, exista baza (fi)i=1,k+1,i 6=i0 pentru care

k+1∑i,j=1,i,j 6=i0

a′ijηiηj =

k+1∑i=1,i 6=i0

a′′iiζ2i . Alegem fi0 = e1

i0si F = (fi)i=1,k+1. Rezulta

Q (x) =k+1∑i=1

a′′iiζ2i = [x]TF AQ (F ) [x]F

unde [x]F =[ζ1 · · · ζk+1

]Tcu AQ (F ) matrice diagonala.


2.6.16. Exemplu. Sa se discute dupa parametrul λ natura functionalei patratice Q(x) = ξ21 + 6ξ2

2 + 3ξ23 +

4ξ1ξ2 + 6λξ1ξ3.

2.6.17. Solutie. Se aduce functionala patratica la forma canonica folosind Metoda Gauss: Q(x) = ξ21 +

6ξ22 + 3ξ2

3 + 4ξ1ξ2 + 6λξ1ξ3 =

= ξ21 + 2ξ1 (2ξ2 + 3λξ3) + (2ξ2 + 3λξ3)2 − (2ξ2 + 3λξ3)2 + 6ξ2

2 + 3ξ23 =

= (ξ1 + 2ξ2 + 3λξ3)2 − 4ξ22 − 9λ2ξ2

3 − 12λξ2ξ3 + 6ξ22 + 3ξ2

3 =

= (ξ1 + 2ξ2 + 3λξ3)2 + 2ξ22 + (3− 9λ2) ξ2

3 − 12λξ2ξ3 =

= (ξ1 + 2ξ2 + 3λξ3)2 + 2 (ξ22 − 2 · 3λξ2ξ3 + 9λ2ξ2

3)− 18λ2ξ23 + (3− 9λ2) ξ2

3 =

= (ξ1 + 2ξ2 + 3λξ3)2 + 2 (ξ2 − 3λξ3)2 + 3 (1− 9λ2) ξ23 ⇒

λ −∞ −13

13

+∞

1− 9λ2 −−− 0 + + + 0 −−−

Q (x) nedefsemi

poz defpoz def

semi

poz defnedef

Transformarea de coordonate este:

ζ1 = ξ1 + 2ξ2 + 3λξ3

ζ2 = ξ2 − 3λξ3

ζ3 = ξ3

(matricea atasata transformarii este nesin-

gulara pentru orice λ). Scrisa echivalent avem [x]E = (M (F ))E [x]F unde [x]E =

ξ1

ξ2

ξ3

, [x]F =

ζ1

ζ2

ζ3

,

iar (M (F ))E =

1 −2 −9λ

0 1 3λ

0 0 1

. Alegem f1 = e1, f2 = −2e1 + e2, f3 = −9λe1 + 3λe2 + e3. Am notat

cu E = (e1, e2, e3) si F = (f1, f2, f3) baza initiala si respectiv cea corespunzatoare formei canonice.

2.6.18. Teorema. (Metoda Jacobi de aducere la forma canonica) Fie baza initiala E = e1, · · · , en

în V, [x]E =

x1

...

xn

si o functionala patratica Q (·) : V → R, Q (x) =n∑

i,j=1

αijxixj = [x]TEAE [x]E o

functionala patratica, unde AE este matricea functionalei patratice, AE = (aij)i,j=1,n.

Daca determinantii ∆0 = 1 si ∆k = det (aij)i,j=1,k pentru k = 1, n sunt toti nenuli,

Atunci exista o baza F a lui V în care

Q (x) =n∑k=1

∆k−1

∆k

ξ2k,


unde [x]F =

ξ1

...

ξn

.

Demonstratie. Fie functionala biliniara simetrica atasata functionalei patratice Q (·), B (x, y) =

1

2[Q (x+ y)−Q (x)−Q (y)] = [x]TEAE [y]E.

Are loc: aij = B (ei, ej) = B (ej, ei)

Cautam o baza F = (f1, · · · , fn) astfel încât pentru fiecare k ∈ 1, . . . , n, fk =k∑j=1

γjkej.

Dezvoltat, forma cautata este (matricea atasata este triunghiulara):

f1 = γ11e1,

f2 = γ12e1 + γ22e2,

f3 = γ13e1 + γ23e2 + γ33e3,

· · ·

fk =k∑j=1

γjkej

· · ·

fn =k∑j=1

γjnej.

Pentru obtinerea formei canonice se fixeaza conditiile:

B (ei, fk) = 0, pentru i = 1, · · · , (k − 1)

B (ek, fk) = 1

În aceste conditii Q (x) = B (x, x) = [x]TF AF [x]F =n∑k=1

γkkξ2k. Am folosit

AF = (M (F ))TEAE (M (F ))E =

=

γ11 0 · · · 0

γ12 γ22 · · · 0

......

. . ....

γ1n γ2n · · · γnn

AE

γ11 γ12 · · · γ1n

0 γ22 · · · γ2n

......

. . ....

0 0 · · · γnn

=

γ11 0 · · · 0

0 γ22 · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · γnn

.

Pentru k = 1:

B (e1, f1) = 1 ⇐⇒ γ11B (e1, e1) = 1⇒ γ11 =1

B (e1, e1)[B (e1, e1) = ∆1 6= 0]

Pentru k = 2: B (e1, f2) = 0

B (e2, f2) = 1⇒

γ12B (e1, e1) + γ22B (e1, e2) = 0

γ12B (e2, e1) + γ22B (e2, e2) = 1

Sistemul are determinantul ∆2 6= 0 deci este Cramer

În general sistemul de ordin k este:


B (ei, fk) = 0, i = 1, (k − 1)

B (ek, fk) = 1⇒

B

(ei,

k∑j=1

γjkej

)= 0, i = 1, (k − 1)

B

(ek,

k∑j=1

γjkej

)= 1

⇒

⇒

k∑j=1

γjkB (ei, ej) = 0, i = 1, (k − 1)

k∑j=1

γjkB (ek, ej) = 1

sistem care este Cramer si care are determinantul ∆k 6= 0. Coeficientii γik se obtin în mod unic ca

solutii ale acestui sistem Cramer.

Necunoscuta γkk se obtine din formulele Cramer ca fiind raportul dintre doi determinanti, la numitor

fiind ∆k iar la numarator determinantul obtinut din ∆k prin înlocuirea ultimei coloane cu coloana terme-

nilor liberi, adica

0

...

0

1

de dimensiune k. Prin dezvoltare dupa ultima coloana se obtine determinantul

∆k−1, asa ca γkk =∆k−1

∆k

.

2.6.19. Exemplu. Sa se discute dupa parametrul λ natura functionalei patratice Q(x) = x21 +6x2

2 +3x23 +

4x1x2 + 6λx1x3.

2.6.20. Solutie. Matricea functionalei patratice este: A =

1 2 3λ

2 6 0

3λ 0 3

.Functionala biliniara atasata este:

B (x, y) =1

2[Q (x+ y)−Q (x)−Q (y)] = xtAy [forma matriciala]

= x1y1 + 6x2y2 + 3x3y3 + 2x1y2 + 2x2y1 + 3λx1y3 + 3λx3y1 [forma algebrica]

Baza initiala este cea standard. Se cauta noua baza de forma:f1 = γ11e1,

f2 = γ12e1 + γ22e2,

f3 = γ13e1 + γ23e2 + γ33e3,

astfel încât pentru fiecare k = 1, 2, 3 sa fie satisfacut sistemul:

B (ei, fk) = 0, i = 1, (k − 1)

B (ek, fk) = 1

Se aduce functionala patratica la forma canonica folosind Metoda Jacobi. ∆0 = 1, ∆1 = 1, ∆2 =∣∣∣∣∣∣ 1 2

2 6

∣∣∣∣∣∣ = 2, ∆3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3λ

2 6 0

3λ 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 (1− 9λ2). Pentru λ ∈±1

3

metoda nu poate fi aplicata. Pentru


λ /∈±1

3

Q(x) = 1

1ζ2

1 + 12ζ2

2 + 26(1−9λ2)

ζ23 . Baza F a fost cautata astfel încât (M (F ))E =

γ11 γ12 γ13

0 γ22 γ23

0 0 γ33

sa satisfaca urmatoarele conditii:

(1) γ11 = 1, cu solutia γ11 = 1.

(2)

γ12 + 2γ22 = 0

2γ12 + 6γ22 = 1, cu solutia

γ12 = −1

γ22 = 12

.

(3)

γ13 + 2γ23 + 3λγ33 = 0

2γ13 + 6γ23 = 0

3λγ13 + 3γ33 = 1

, cu solutia

γ11 = 3λ

9λ2−1

γ12 = −λ9λ2−1

γ13 = −13(9λ2−1)

.

Alegem f1 = e1, f2 = −e1 + 12e2, f3 = 3λ

9λ2−1e1 + −λ

9λ2−1e2 + −1

3(9λ2−1)e3. Am notat cu E = (e1, e2, e3)

si F = (f1, f2, f3) baza initiala si respectiv cea corespunzatoare formei canonice. Natura formei patratice

este precizata în tabelul urmator:

λ −∞ −13

13

+∞

1− 9λ2 −−− 0 + + + 0 −−−

Q (x) nedef ? poz def ? nedef

Studiul complet include si decizia pentru valorile ±1

3si se ia folosind alta metoda (de exemplu Gauss).

2.6.21. Teorema. (Teorema de inertie Sylvester) Numarul de coeficienti strict pozitivi, strict negativi

si nuli din forma canonica a functionalei patratice nu depinde de metoda folosita pentru aducerea la forma

canonica.

Demonstratie. Fie Q (x) =p1∑i=1

α+i ζ

2i −

q1∑j=1

α−j ζ2j =

p2∑i=1

β+i δ

2i −

q2∑j=1

β−j δ2j doua scrieri ale functionalei

patratice în forma canonica în bazele F1 = f 11 , · · · , f 1

n si F2 = f 21 , · · · , f 2

n, unde pentru scrierea

j, primii pj coeficienti sunt strict pozitivi, urmatorii qj coeficienti sunt negativi si ultimii n − (pj + qj)

coeficienti sunt nuli. Am impus aceste conditii pentru a înlesni scrierea. Conditiile pot fi usor ridicate.


Fie V1 = span(f 1

1 , · · · , f 1p1

), V2 = span

(f 2p2+1, · · · f 2

n

); atunci v ∈ V1 ∩ V2 ⇒ [v]F1 =

ζ1

...

ζp1

0

...

0

0

...

0

iar

[v]F2 =

0

...

0

δp2+1

...

δp2+q2

δp2+q2+1

...

δn

, deci are loc:

Q (v) =p1∑i=1

α+i ζ

2i ≥ 0 si α+

i > 0,∀i = 1, p1

Q (v) = −q2∑j=1

β−j δ2j ≤ 0 si β−j > 0,∀j = 1, q2

⇒ Q (v) = 0, deci v = 0, adica V1 ∩ V2 = 0.

⇒ dim (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 = p1 + (n− p2) ≤ n⇒ p1 ≤ p2; analog urmeaza ca p2 ≤ p1, ceea

ce înseamna ca p1 = p2. Egalitatea q1 = q2 se demonstreaza analog.


10

105

10

50

0

5 x

5

0z

y

10

5105

10

x2

12+y2

22+z2

32= 9

105

10

00

5

10

5

5

10

05y

z

10

10

5x

x2

12+y2

22− z2

32= 9

10

5

5

10

0

x0

5

10

5

10

0

5

10

10

5

z

y


x2

12− y2

22− z2

32= 9


2.6.22. Observatie. Daca matricea A cu componente reale este simetrica (A = At), atunci valorile ei

proprii sunt reale iar vectorii ei proprii sunt vectori cu componente reale.

Demonstratie. Fie λ ∈ C o valoare proprie si u un vector propriu asociat (cu componente complexe).

Daca u =

z1

...

zn

∈ Cn, atunci u =

z1

...

zn

(vectorul de componente conjugatele complexe ale vechilorcomponente), ut =

[z1 · · · zn

]

iar utu =[z1 · · · zn

]z1

...

zn

= z1z1 + · · · znzn, care este un numar real pozitiv.

Are loc Au = λu si prin transpunere

Din Au = λu prin transpunere ⇒ (Au)t = (λu)t ⇒ utAt = λut ⇒ utA = λut

Din utA = λut prin conjugare complexa ⇒ (utA) = (λut) ⇒ utA = λut

Se obtine:

utAu = (utA)u = λutu

si

utAu = ut (Au) = ut (λu) = λutu

asa ca λutu = λutu

Cum utu este un numar real strict pozitiv, se obtine λ = λ, adica λ este numar real (partea lui

imaginara este nula).

Cum det (A− λI) = 0 este o ecutie polinomiala de ordin n, rezulta ca o matrice simetrica are n valori

proprii reale (nu neaparat distincte).

Din faptul ca (A− λI)u = 0 este un sistem liniar omogen nedeterminat în necunoscuta u, rezulta ca

solutiile lui sunt de componente reale, adica vectorii proprii sunt de componente reale.

CAPITOLUL 3

Spatii vectoriale cu produs scalar

3.0.23. Definitie. Fie V un spatiu vectorial real. O aplicatie 〈·, ·〉 : V×V→ R se numeste produs scalar

real daca

ps1: [simetrie] ∀x, y ∈ V, 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ;

ps2: [aditivitate] ∀x, y, z ∈ V, 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 ;

ps3: [omogenitate] ∀x, y ∈ V, ∀α ∈ R, 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 ;

ps4: [definire pozitiva si nedegenarare] ∀x ∈ V, 〈x, x〉 ≥ 0 si 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0.

Daca pe spatiul vectorial V s-a definit un produs scalar real atunci spunem ca V este un spatiu euclidian.

În acest context se numeste:

lungimea unui vector (sau norma euclidiana) x ∈ V numarul real ‖x‖ =√〈x, x〉,

masura unghiului a doi vectori x, y ∈ V numarul real ^ (x, y) ∈ [0, π] ce verifica relatia cos^ (x, y) =

〈x,y〉‖x‖·‖y‖ .

Doi vectori x, y ∈ V se numesc ortogonali daca 〈x, y〉 = 0 si notam acest fapt prin x ⊥ y.

3.0.24. Exemplu. Pe Rn produsul scalar standard este 〈x, y〉 =n∑i=1

xiyi = xTy [de fapt, 〈x, y〉 =

[x]TE [y]E = [y]TE [x]E].

3.0.25. Exemplu. Pentru spatiul vectorial F (X) cu X finita, functia 〈f (·) , g (·)〉 =∑x∈X

f (x) g (x) este

un produs scalar [datorita definitiei multimii F (X), suma este finita deci nu sunt probleme de existenta].

3.0.26. Observatie. Daca V este spatiu vectorial real cu produs scalar în care exista macar 2 vectori

liniar independenti, atunci:

∀x, y ∈ V ∃wx,y ∈ V astfel încât 〈wx,y, wx,y〉 = 1 si 〈wx,y, x− y〉 = 0.

[Daca spatiul vectorial real este macar de dimensiune 2, atunci pentru fiecare 2 vectori exista macar

un vector care este ortogonal cu diferenta lor]

Demonstratie. Fie a, b ∈ V liniar independenti.

Daca x = y, atunci w =a√〈a, a〉

satisface enuntul.

Daca x 6= y se considera multimea α (x− y) ; α ∈ R (subspatiul liniar generat de vectorul x − y);

fie z ∈ V \ α (x− y) ; α ∈ R (un asemenea vector exista, pentru ca în V exista macar 2 vectori liniar

independenti).

129

130 3. SPATII VECTORIALE CU PRODUS SCALAR

Se cauta un vector v = z + α (x− y) astfel încât 〈v, x− y〉 = 0 ⇐⇒ 〈z + α (x− y) , x− y〉 = 0 ⇐⇒

〈z, x− y〉+ α 〈x− y, x− y〉 = 0 ⇐⇒ α = − 〈z, x− y〉〈x− y, x− y〉 ⇒ v = z − 〈z, x− y〉

〈x− y, x− y〉 (x− y); au loc:

v 6= 0 si w =v

〈v, v〉 satisface enuntul.

3.0.27. Observatie. Un produs scalar real pe (V,R) este orice functionala biliniara simetrica a carei

functionala patratica atasata este strict pozitiv definita. Într-un spatiu vectorial real fixat se poate alege

în mai multe moduri o functionala biliniara simetrica a carei functionala patratica atasata este strict

pozitiv definita. Masurarile geometrice rezultate vor fi dependente de aceasta alegere, asa ca lungimea

unui vector, unghiul dintre doi vectori, distanta dintre doi vectori nu vor fi definite univoc.

3.0.28. Definitie. Fie V un spatiu vectorial complex. O aplicatie 〈·, ·〉 : V × V → C se numeste produs

scalar complex daca

ps1: [hermitic—simetrie] ∀x, y ∈ V, 〈x, y〉 = 〈y, x〉;

ps2: [aditivitate în prima variabila] ∀x, y, z ∈ V, 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉;

ps3: [omogenitate în prima variabila] ∀x, y ∈ V, ∀α ∈ C, 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉;

ps4: [definire pozitiva si nedegenarare] ∀x ∈ V, 〈x, x〉 ≥ 0 si 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0.

Daca pe spatiul vectorial complex V s-a definit un produs scalar complex atunci spunem ca V este un

spatiu unitar.

3.0.29. Exemplu. Pe Cn produsul scalar standard este 〈x, y〉 =n∑i=1

xiyi = x∗y, cu x∗ = xT (adjuncta sau

adjuncta hermitica1) [De fapt, 〈x, y〉 = [x]∗E [y]E].

3.0.30. Observatie. Daca pe C2 s—ar utiliza produsul scalar real 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 [fara conjugare

complexa] atunci s—ar obtine vectori nenuli de lungime nula: 〈(1, i) , (1, i)〉 = 1− 1 = 0.

3.0.31. Exemplu. Pe spatiul vectorialMm×n (K), cu K = R sau C, se poate defini produsul scalar Frobe-

nius: 〈A,B〉 = Tr (B∗A) =n∑l=1

(m∑k=1

alkblk

)[vezi Definitia 7.6.5 si demonstratia la Observatia 7.6.6]; acest

produs scalar

3.0.32. Observatie. Din simetria si aditivitatea produsului scalar real se obtine:

〈x+ y, x+ y〉 − 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 2 〈x, y〉 [sau 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 2 〈x, y〉+ 〈y, y〉]

Din hermitic—simetria si aditivitatea produsului scalar complex se obtine:

〈x+ y, x+ y〉 − 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 〈x, y〉+ 〈x, y〉 = 2 Re (〈x, y〉).

1Exprimarea "matrice adjuncta" se poate referi la doua situatii care nu au legatura între ele: adjuncta în sens de "matricetranspusa de conjugate complexe" sau "transpusa matricii cofactorilor" (care apare la inversarea unei matrici patratice) (vezisi definitiile 7.5.5 si 7.5.6). Este o situatie nefericita în care aceeasi denumire este folosita pentru doua situatii distincte, iardistinctia va trebui facuta din context.

3. SPATII VECTORIALE CU PRODUS SCALAR 131

Demonstratie. Pentru produsul scalar real:

〈x+ y, x+ y〉−〈x, x〉−〈y, y〉 = 〈x, x+ y〉+〈y, x+ y〉−〈x, x〉−〈y, y〉 = 〈x+ y, x〉+〈x+ y, y〉−〈x, x〉−

〈y, y〉 =

= 〈x, x〉+ 〈y, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, y〉 − 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 2 〈x, y〉.

Pentru produsul scalar complex:

〈x+ y, x+ y〉−〈x, x〉−〈y, y〉 = 〈x, x+ y〉+〈y, x+ y〉−〈x, x〉−〈y, y〉 = 〈x+ y, x〉+〈x+ y, y〉−〈x, x〉−

〈y, y〉 =

= 〈x, x〉+ 〈y, x〉 + 〈x, y〉+ 〈y, y〉 − 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 〈x, x〉 + 〈y, x〉 + 〈x, y〉 + 〈y, y〉 − 〈x, x〉 − 〈y, y〉 =

〈x, y〉+ 〈x, y〉.

Indiferent daca spatiul vectorial este un spatiu euclidian sau un spatiu unitar:

se numeste lungimea unui vector x ∈ V numarul real ‖x‖ =√〈x, x〉.

Din 3.0.32 se obtin relatiile:

[pentru produs scalar real] ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2 〈x, y〉+ ‖y‖2 si ‖x− y‖2 = ‖x‖2 − 2 〈x, y〉+ ‖y‖2.

[pentru produs scalar complex] ‖x+ y‖2 = ‖x‖2+2 Re (〈x, y〉)+‖y‖2 si ‖x− y‖2 = ‖x‖2−2 Re (〈x, y〉)+

‖y‖2.

Doi vectori x, y ∈ V se numesc ortogonali daca 〈x, y〉 = 0 si notam acest fapt prin x ⊥ y.

3.0.33. Observatie. Produsul scalar complex are în a doua variabila proprietatile:

〈x, y + z〉 = 〈y + z, x〉 = 〈y, x〉+ 〈z, x〉 = 〈y, x〉+ 〈z, x〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 [aditivitate]

〈x, αy〉 = 〈αy, x〉 = α 〈y, x〉 = α〈y, x〉 = α 〈x, y〉 [conjugat—omogenitate]

Asta înseamna ca pentru fiecare x ∈ V, functia y 7→ 〈x, y〉 este aditiva si conjugat—omogena [se mai

numeste conjugat—liniaritate]

Produsul scalar complex este liniar în prima variabila si conjugat—liniar în a doua variabila [se mai

numeste functionala sesquiliniara2]

Un produs scalar complex pe (V,C) este orice functionala sesquiliniara a carei functionala hermitic—

patratica atasata este strict pozitiv definita. O functionala sesquiliniara a carei functionala hermitic—

patratica atasata este strict pozitiv definita se poate alege în mai multe moduri într-un spatiu vectorial

complex fixat. Masurarile geometrice rezultate vor fi dependente de aceasta alegere, asa ca lungimea unui

vector, distanta dintre doi vectori nu vor fi definite univoc.

3.0.34. Definitie. Doua spatii vectoriale (peste acelasi corp) cu produse scalare (V1, 〈·, ·〉1) si (V2, 〈·, ·〉2)

se numesc izometric izomorfe daca exista o bijectie U (·) : V1 → V2 cu proprietatile:

1. U (·) ∈ L (V1,V2) (U (·) este morfism de spatii vectoriale)

2Prefixul "sesqui" se refera la "o data si jumatate" sau3

2.


2. 〈x, y〉1 = 〈U (x) , U (y)〉2 (este izometrie) sau

2’. 〈x, x〉1 = 〈U (x) , U (x)〉2 (conditia 2’. poate înlocui conditia 2. din cauza observatiei 3.0.32)

3.0.35. Observatie. (〈x, y〉1 = 〈U (x) , U (y)〉2) ⇐⇒ (〈x, x〉1 = 〈U (x) , U (x)〉2)

Demonstratie. "⇒" se considera x = y

"⇐" se foloseste 〈x+ y, x+ y〉 − 〈x, x〉 − 〈y, y〉 = 2 〈x, y〉

3.0.36. Observatie. Exista spatii vectoriale X si exista produse scalare definite pe X 〈·, ·〉1 si 〈·, ·〉2astfel încât structurile (X, 〈·, ·〉1) si (X, 〈·, ·〉2) nu sunt izomorfe [ca o conditie necesara, spatiul vectorial

X trebuie sa fie de tip infinit] [J. Rätz]

3.0.37. Observatie. Într—un spatiu vectorial cu produs scalar (real sau complex) ∀x ∈ V, 〈u, x〉 = 〈v, x〉

⇒ u = v.

Demonstratie. Se alege x = u− v si se obtine 〈u− v, u− v〉 = 0 ⇐⇒ u− v = 0 ⇐⇒ u = v.

3.0.38. Observatie. În R2 cu produsul scalar standard, operatorul U (x) =

0 1

−1 0

x1

x2

are pro-prietatea:

〈U (x) , x〉 = 〈(x2,−x1) , (x1, x2)〉 = 0.

3.0.39. Teorema. (1) Într—un spatiu vectorial cu produs scalar (real sau complex), pentru un oper-

ator U (·) : V→ V, ∀x, y ∈ V, 〈U (x) , y〉 = 0 ⇒ U (·) = O (·) [operatorul nul].

(2) Într—un spatiu vectorial cu produs scalar complex, pentru un operator U (·) : V → V, ∀v ∈ V,

〈U (v) , v〉 = 0 ⇒ U (·) = O (·) [operatorul nul].

(3) Proprietatea 2. în general nu are loc pe un spatiu vectorial cu produs scalar real.

Demonstratie. 1. Se foloseste Obs. 3.0.37: ∀x, y ∈ V, 〈U (x) , y〉 = 0 ⇒ U (x) = 0, ∀x ∈ V ⇒

U (·) = O (·)

2. Fie v = αx+ y, cu x, y ∈ V si α ∈ C. Atunci:

0 = 〈U (v) , v〉 = 〈U (αx+ y) , αx+ y〉 = 〈αU (x) + U (y) , αx+ y〉 =

= 〈αU (x) , αx〉+ 〈αU (x) , y〉+ 〈U (y) , αx〉+ 〈U (y) , y〉 = |α|2 〈U (x) , x〉+α 〈U (x) , y〉+ α 〈U (y) , x〉+

〈U (y) , y〉 =

= α 〈U (x) , y〉+ α 〈U (y) , x〉

pentru α = 1, 〈U (x) , y〉+ 〈U (y) , x〉 = 0

pentru α = i, i 〈U (x) , y〉 − i 〈U (y) , x〉 = 0⇒ 〈U (x) , y〉 − 〈U (y) , x〉 = 0

⇒ ∀x, y ∈ V, 〈U (x) , y〉 = 0 si din punctul 1. ⇒ U (·) = O (·).

3. Un exemplu este cel de mai sus.

3. SPATII VECTORIALE CU PRODUS SCALAR 133

3.0.40. Propozitie. Daca V este un spatiu euclidian sau un spatiu unitar atunci au loc

(1) ∀x, y ∈ V, |〈x, y〉| 6 ‖x‖ · ‖y‖ (inegalitatea Cauchy—Buniakovski—Schwarz), iar |〈x, y〉| = ‖x‖ · ‖y‖

⇔ vectorii x si y sunt liniar dependenti (i.e. sunt coliniari);

(2) Functia ‖·‖ : V→ [0,∞) are proprietatile:

(a) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V, ‖x‖ = 0⇔ x = 0.

(b) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ , ∀x ∈ V, ∀α - scalar.

(c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x, y ∈ V (inegalitatea triunghiului).

[orice functie cu aceste proprietati se numeste norma pe V;

(3) ‖x± y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 ± 2 Re 〈x, y〉, iar pentru x ⊥ y avem ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 (teorema lui

Pitagora).

Demonstratie. 1. Evident inegalitatea Cauchy—Buniakovski este adevarata pentru 〈x, y〉 = 0.

Pentru un spatiu euclidian:

〈x+ λy, x+ λy〉 ≥ 0,∀λ ∈ R,∀x, y ∈ V ⇔ 〈x, x〉+ 2λ 〈x, y〉+ λ2 〈y, y〉 ≥ 0,∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ V

⇒ ∆ = 4(〈x, y〉2 − 〈x, x〉〈y, y〉

)≤ 0,∀x, y ∈ V.

Se observa ca daca x0 si y0 sunt astfel încât ∆ = 0, atunci ecuatia de gradul 2 în λ are o solutie dubla

λ0 si deci are loc: 〈x0, x0〉+ 2λ0 〈x0, y0〉+ λ20 〈y0, y0〉 = 0, adica 〈x0 + λ0y0, x0 + λ0y0〉 = 0 de unde rezulta

ca x0 + λ0y0 = 0, adica vectorii x0 si y0 sunt liniar dependenti.

Pentru un spatiu unitar:

〈x+ λy, x+ λy〉 ≥ 0,∀λ ∈ C,∀x, y ∈ V ⇔ 〈x, x〉+ λ 〈x, y〉+ λ〈x, y〉+ |λ|2 〈y, y〉 ≥ 0,∀λ ∈ C,∀x, y ∈ V

Se alege λ = t 〈x,y〉|〈x,y〉| , cu t ∈ R arbitrar ⇒ 〈x, x〉+ 2t |〈x, y〉|+ t2 〈y, y〉 ≥ 0,∀t ∈ R, ∀x, y ∈ V

⇒ ∆ = 4(|〈x, y〉|2 − 〈x, x〉〈y, y〉

)≤ 0,∀x, y ∈ V.

Se observa ca daca x0 si y0 sunt astfel încât ∆ = 0, atunci ecuatia de gradul 2 în t are o solutie

dubla t0 si pentru λ0 = t0〈x,y〉|〈x,y〉| deci are loc: 〈x0, x0〉 + λ0 〈x0, y0〉 + λ0〈x0, y0〉 + λ2

0 〈y0, y0〉 = 0, adica

〈x0 + λ0y0, x0 + λ0y0〉 = 0 de unde rezulta ca x0 + λ0y0 = 0, adica vectorii x0 si y0 sunt liniar dependenti.

〈x, x〉+ λ 〈x, y〉+ λ〈x, y〉+ |λ|2 〈y, y〉 = 〈x, x〉+ λ〈x, y〉+ λ(〈x, y〉+ λ 〈y, y〉

)2. Functionala patratica atasata formei biliniare ce defineste produsul scalar este ‖x‖ =

√〈x, x〉.

Trebuie verificate proprietatile:

a. ‖x‖ ≥ 0,∀x ∈ V, ‖x‖ = 0⇔ x = 0.

b. ‖αx‖ = |α| ‖x‖ , ∀x ∈ V, ∀α - scalar.

c. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x, y ∈ V (inegalitatea triunghiului).


Primele doua conditii sunt imediate. Folosind 〈x, y〉 + 〈y, x〉 = 2 Re 〈x, y〉 ≤ 2 |〈x, y〉| ≤ 2 ‖x‖ ‖y‖,

inegalitatea triunghiului rezulta

‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 Re 〈x, y〉 ≤

≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2 .

3.0.41. Observatie. Într-un spatiu euclidian din inegalitatea Cauchy—Buniakovski—Schwarz urmeaza ca<x,y>‖x‖‖y‖ ∈ [−1, 1] .

[Relatii într—un paralelogram]

3.0.42. Observatie. cos (x, y) = <x,y>‖x‖‖y‖ si ‖x− y‖

2 = 〈x− y, x− y〉 = ‖x‖2 − 2 〈x, y〉+ ‖y‖2 ⇒

⇒ ‖x− y‖2 = ‖x‖2−2 cos (x, y) ·‖x‖·‖y‖+‖y‖2 (Teorema cosinusului; Teorema Pitagora generalizata)

3.0.43. Observatie. Are loc identitatea paralelogramului

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2) , ∀x, y ∈ V.

Demonstratie. ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉+ 〈x− y, x− y〉 =

= 2 ‖x‖2 + 2 ‖y‖2 + 2 Re 〈x, y〉 − 2 Re 〈x, y〉 = 2 ‖x‖2 + 2 ‖y‖2.

3.0.44. Observatie. Paralelogramul format de vectorii x, y este dreptunghi ⇐⇒ ‖x+ y‖ = ‖x− y‖.

Demonstratie. ‖x+ y‖ = ‖x− y‖ ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x− y‖2 ⇐⇒ ‖x‖2 − 2 〈x, y〉 + ‖y‖2 =

‖x‖2 + 2 〈x, y〉+ ‖y‖2 ⇐⇒ 4 〈x, y〉 = 0 ⇐⇒ x ⊥ y.

3.0.45. Observatie. Pentru p ∈ [1,∞), functiile ‖x‖p =

(n∑k=1

|xk|p)1/p

sunt norme.

Daca p 6= 2, norma ‖x‖p nu provine de la un produs scalar (nu exista nici—un produs scalar a carui

norma atasata sa fie ‖·‖p cu p 6= 2).

[Demonstratia se bazeaza pe observatia ca orice norma care provine de la un produs scalar satisface

regula paralelogramului; normele ‖·‖p cu p 6= 2 nu satisfac identitatea paralelogramului —demonstratie

prin contraexemple]. Are loc o afirmatie mai tare:

O norma provine de la un produs scalar daca si numai daca satisface identitatea paralelogramului.

3.0.46. Observatie (Identitati polare; reconstructia produsului scalar din norma). Daca V este un spatiu

vectorial real normat iar norma provine de la un produs scalar, atunci produsul scalar (real) de la care

provine norma este:

〈x, y〉 =1

4

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2) ;

3.1. ORTOGONALITATE 135

Daca V este un spatiu vectorial complex normat iar norma provine de la un produs scalar, atunci

produsul scalar (complex) de la care provine norma este:

〈x, y〉 =1

4

(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i ‖x+ iy‖2 − i ‖x− iy‖2) .

3.0.47. Observatie. Daca x, y 6= 0 atunci vectorii x+ y si x− y sunt ortogonali ⇐⇒ ‖x‖ = ‖y‖.

Demonstratie. (x+ y) ⊥ (x− y) ⇐⇒ 〈x+ y, x− y〉 = 0 ⇐⇒ ‖x‖2 − ‖y‖2 = 0 ⇐⇒ ‖x‖ =

‖y‖.

3.0.48. Observatie (Determinantul Gram este patratul ariei paralelogramului format de vectori).

∣∣∣∣∣∣〈x, x〉〈x, y〉〈y, x〉〈y, y〉

∣∣∣∣∣∣ =

‖x‖2 ‖y‖2 sin2 (x, y).

3.0.49. Definitie. Pentru orice doi vectori se numeste distanta dintre vectori lungimea diferentei:

d (x, y) = ‖x− y‖ .

3.0.50. Observatie. Distanta dintre doi vectori are proprietatile:

(1) d (x, y) ≥ 0; d (x, y) = 0⇔ x = y.

(2) d (x, y) = d (y, x), ∀x, y ∈ V.

(3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), ∀x, y, z ∈ V.

3.0.51. Observatie (Caracterizare a mijlocului/mediei). Daca x, y, m ∈ V satisfac:

‖m− x‖ = ‖y −m‖ =1

2‖x− y‖ ,

atunci m =x+ y

2.

Demonstratie. ‖x− y‖2 +‖(x−m)− (m− y)‖2 = ‖(x−m) + (m− y)‖2 +‖(x−m)− (m− y)‖2 =

[aplic regula paralelogramului pentru vectorii (x−m) si (m− y)]

= 2(‖x−m‖2 + ‖m− y‖2) = ‖x− y‖2

⇒ ‖(x−m)− (m− y)‖2 = 0 ⇒ x−m = m− y ⇒ m =x+ y

2.

3.1. Ortogonalitate

Ne vom limita prezentarea la spatii euclidiene.

3.1.1. Observatie. Daca vectorii (xi)i=1,k sunt ortogonali doi câte doi, atunci are loc Teorema lui Pitagora

generalizata: ∥∥∥∥∥k∑i=1

xi

∥∥∥∥∥2

=k∑i=1

‖xi‖2 .


Demonstratie.∥∥∥∥ k∑i=1

xi

∥∥∥∥2

=

⟨k∑i=1

xi,k∑j=1

xj

⟩=

k∑i=1

k∑j=1

〈xi, xj〉 =k∑i=1

〈xi, xi〉 =k∑i=1

‖xi‖2.

3.1.2. Observatie (Varianta a Teoremei Pitagora generalizata). Daca vectorii (xi)i=1,k sunt ortogonali

doi câte doi iar α1, · · · , αk scalari, atunci are loc:∥∥∥∥∥k∑i=1

αixi

∥∥∥∥∥2

=k∑i=1

|αi|2 ‖xi‖2 .

3.1.3. Observatie. Orice familie de vectori nenuli si ortogonali doi câte doi este liniar independenta.

3.1.4. Definitie. O familie de vectori vii∈I dintr—un spatiu euclidian se numeste familie ortogonala daca

〈vi, vj〉 = 0, ∀i 6= j, i, j ∈ I.

Daca, în plus, ‖vi‖ = 1, ∀i ∈ I familia se numeste ortonormata.

O baza se numeste ortonormala daca este familie ortonormata.

3.1.5. Observatie. Coordonatele unui vector într—o baza ortogonala satisfac relatia: xk =〈x, vk〉‖vk‖2 ;

Coordonatele unui vector într—o baza ortonormala satisfac relatia: xk = 〈x, vk〉.

3.1.6. Definitie. Doua submultimi A, B ale lui V se numesc ortogonale si se noteaza cu A ⊥ B daca

∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x ⊥ y.

Se numeste complement ortogonal al unei multimi de vectori A si se noteaza A⊥ multimea A⊥ =

span

( ⋃B⊥A

B

)= v ∈ V; 〈v, x〉 = 0, ∀x ∈ A .

3.1.7. Propozitie. Într—un spatiu euclidian V sunt adevarate afirmatiile:

(1) A ⊥ B si x ∈ A ∩B ⇒ x = 0;

(2) span ai|i ∈ I ⊥ B ⇔ ai ⊥ y, ∀i ∈ I, ∀y ∈ B;

(3) A⊥ este subspatiu vectorial si A ⊥ A⊥;

(4) Daca A este subspatiu vectorial a lui V atunci dimA⊥ = dimV− dimA si V = A⊕ A⊥;

(5) Daca A si B sunt subspatii vectoriale ale lui V pentru care dimA + dimB = dimV si A ⊥ B

atunci V = A⊕B, B = A⊥ si A = B⊥;

(6) Daca A este subspatiu vectorial a lui V atunci(A⊥)⊥

= A; în general,(A⊥)⊥

= span (A);

(7) A ⊆ B ⇒ B⊥ ⊇ A⊥ si A⊥ = (span (A))⊥.

Demonstratie. (1) ∃x ∈ A ∩B ⇒ 〈x, x〉 = 0⇒ x = 0.

(2) ”⇐”Fie x ∈ span ai|i ∈ I arbitrar. Atunci x =∑

j∈J⊆Iξjaj (unde J este o multime finita de

indici) si 〈x, y〉 =∑

j∈J⊆Iξj 〈aj, y〉 = 0, ∀y ∈ B.

”⇒”Se obtine prin particularizarea vectorului din span ai|i ∈ I.

3.1. ORTOGONALITATE 137

(3) Fie x, y ∈ A⊥. Atunci x =∑

j∈J1-finitaξjbj si y =

∑j∈J2-finita

ξjbj unde pentru fiecare a ∈ A avem

∀j ∈ J1, 〈a, bj〉 = 0 si ∀j ∈ J2, 〈a, bj〉 = 0. Rezulta astfel ca x + y =∑

j∈J1∪J2-finitaξjbj ∈ A⊥ si

αx =∑

j∈J1-finita(αξj) bj ∈ A⊥ pentru orice scalar α ∈ R.

(4) Fie (e1, e2, ..., ep) o baza a subspatiului vectorialA pe care o completam la o bazaE = (e1, e2, ..., em)

a spatiului vectorial V.

Fie y ∈ A⊥ ⊆ V arbitrar si y =m∑i=1

ξiei descompunerea lui y în baza E. Sistemul

〈e1, y〉 = 〈e2, y〉 = ... = 〈ep, y〉 = 0,

care caracterizeaza relatia A ⊥ A⊥ conform celui de al doilea punct al propozitiei, se scrie

〈e1, e1〉 ξ1 + 〈e1, e2〉 ξ2 + ...+ 〈e1, ep〉 ξp + ...+ 〈e1, em〉 ξm = 0

〈e2, e1〉 ξ1 + 〈e2, e2〉 ξ2 + ...+ 〈e2, ep〉 ξp + ...+ 〈e2, em〉 ξm = 0

...

〈ep, e1〉 ξ1 + 〈ep, e2〉 ξ2 + ...+ 〈ep, ep〉 ξp + ...+ 〈ep, em〉 ξm = 0

.

Deoarece matricea functionalei biliniare ce defineste produsul scalar asociata bazei e1, e2, ..., ep

este nesingulara, sistemul este compatibil dem−p ori nedeterminat. Vom avea dimA⊥ = m−p =

dimV− dimA.

(5) Folosind prima afirmatie avem A∩B = 0 si din dimA+ dimB = dimV rezulta ca V = A⊕B.

Deoarece B este un subspatiu vectorial a lui A⊥ cu dimB = dimV− dimA = dimA⊥ rezulta ca

B = A⊥.

(6) Este o consecinta a punctelor precedente.

(7) Este o consecinta a punctelor precedente.

3.1.8. Observatie. x ∈ A si x ⊥ A ⇒ 〈x, x〉 = 0 ⇒ x = 0.

3.1.9. Observatie. Evident A⊥ = x; x ⊥ A.

3.1.10. Observatie. 1. Doua subspatii vectoriale sunt ortogonale daca si numai daca fiecare vector al

unei baze din primul subspatiu este ortogonal pe fiecare vector al unei baze din cel de-al doilea subspatiu.

2. Suma a doua subspatii vectoriale ortogonale este directa. Suma unei familii oarecare de subspatii

vectoriale ortogonale doua câte doua este directa.

3. Un sistem ortogonal de vectori, ce nu contine vectorul nul, este format cu vectori liniar independenti.

Dimensiunea spatiului dimV este numarul maxim de vectori, nenuli, ortogonali;


3.1.11. Teorema. (Teorema de ortogonalizare Gram—Schmidt) Fie V un spatiu euclidian cu dimV = n.

Fie E = (vi)i=1,n o baza si fie Vk = span (v1, · · · , vk). Exista o baza F = (fi)i=1,n cu proprietatile:

(1) ∀k ∈ 1, . . . , n , span (f1, · · · , fk) = Vk.

(2) ∀k ∈ 1, . . . , n− 1 , fk+1 ⊥ Vk.

Demonstratie. Fie f1 = v1; f2 este un vector din V2 care este ortogonal pe f1: u2 = α21f1 + v2,

〈f1, f2〉 = 0 ⇒ 〈f1, α21f1 + v2〉 = 0 ⇒ α2

1 〈f1, f1〉+ 〈f1, v2〉 = 0

⇒ α21 = − 〈f1,v2〉〈f1,f1〉 ⇒ f2 = v2 − 〈f1,v2〉‖f1‖2

f1 = v2 − 〈v1,v2〉‖v1‖2v1 [cum v1 este vector în baza E, este nenul, asa

ca norma sa este nenula]

f3 este un vector din V3 ortogonal cu f1 si cu f2:

f3 = α31f1 + α3

2f2 + v3,

〈f1, f3〉 = 0

〈f2, f3〉 = 0⇒

〈f1, α31f1 + α3

2f2 + v3〉 = 0

〈f2, α31f1 + α3

2f2 + v3〉 = 0⇒

⇒

〈f1, f1〉α3

1 +

=0︷︸︸︷〈f1, f2〉α3

2 + 〈f1, v3〉 = 0

〈f2, f1〉︸︷︷︸=0

α31 + 〈f2, f2〉α3

2 + 〈f2, v3〉 = 0⇒

α31 = − 〈f1,v3〉‖f1‖2

α32 = − 〈f2,v3〉‖f2‖2

Prin inductie se afla la fel toti vectorii fi, i = 1, n. Mai mult, pentru ca pentru fiecare i, fi si vi sunt în

pozitia de perpendiculara, respectiv oblica fata de subspatiul generat de v1, · · · , vi−1, urmeaza ca are loc

‖fi‖ ≤ ‖vi‖.

Inductia se organizeaza dupa dimensiunea spatiului.

Daca E = (e) este o baza a spatiului euclidian V, cu e 6= 0, atunci evident F = E este un sistem

ortogonal.

Pentru k ∈ 1, . . . , n− 1 arbitrar, daca E = (e1, e2, . . . , ek+1) este o baza a spatiului euclidian V

atunci vom arata ca exista F = f1, f2, . . . , fk+1 o baza ortogonala a spatiului V.

Conform ipotezei de inductie exista f1, f2, . . . , fk sistem ortogonal, format cu vectori nenuli, pentru

care span e1, e2, . . . , ek = span f1, f2, . . . , fk.

Fie fk+1 = ek+1 −k∑j=1

εjfj, unde scalarii ε1, . . . , εn se determina din conditiile 〈fk+1, fj〉 = 0, ∀j = 1, k.

Obtinem fk+1 = ek+1 −n∑j=1

〈ek+1,fj〉〈fj ,fj〉 fj.

Evident F = f1, f2, . . . , fk+1 este un sistem ortogonal, format cu vectori nenuli. Rezulta F este liniar

independent. Familia F este si sistem de generatori pentru V (span (F ) = V = span (E)).

Mai mult, pentru ca pentru fiecare i ∈ 2, . . . , n, fi si ei sunt în pozitia de perpendiculara, respectiv

oblica fata de subspatiul generat de e1, · · · , ei−1, urmeaza ca are loc ‖fi‖ ≤ ‖ei‖.

3.1.12. Observatie. Am demonstrat ca orice spatiu euclidian admite o baza ortogonala, baza ce poate fi

ortonormala.

3.2. PROIECTIA UNUI VECTOR PE UN SUBSPATIU 139

3.2. Proiectia unui vector pe un subspatiu

Fie V0 un subspatiu vectorial, f1, · · · , fk o baza notata B0 a lui V0 si v un vector oarecare, în general

care nu apartine lui V0. Exista o proiectie astfel încât V = p (V)⊕ ker p (·) si în plus V = p (V) ⊥ ker p (·).

Vectorul v se descompune într-un vector din V0 care este "proiectia ortogonala a lui v pe V0" notata PrV0v,

si un vector ortogonal pe V0, care este „perpendiculara din v pe V0”si care este v−PrV0 v. Se cere sa se

gaseasca efectiv aceasta descompunere.

Au loc:(v − Pr

V0v

)⊥ V0

PrV0v ∈ V0

⇒

⟨v − Pr

V0v, fj

⟩= 0, ∀j = 1, k

PrV0v =

k∑i=1

αifi.

Se afla coeficientii αi din conditia ca vectorul v−PrV0v sa fie ortogonal pe V0, adica pe fiecare dintre fi.

⟨v − Pr

V0v, fj

⟩= 0, ∀j = 1, k ⇒⟨

v −k∑i=1

αifi, fj

⟩= 0, ∀j = 1, k ⇒

k∑i=1

αi 〈fi, fj〉 = 〈v, fj〉 , ∀j = 1, k.

Ultima relatie este un sistem liniar neomogen în necunoscutele α1, · · · , αk si care are matricea〈f1, f1〉〈f1, f2〉 · · · 〈f1, fk〉

〈f2, f1〉〈f2, f2〉 · · · 〈f2, fk〉

· · · · · · · · · · · ·

〈fk, f1〉〈fk, f2〉 · · · 〈fk, fk〉

.

Aceasta matrice este nesingulara pentru ca reprezinta matricea în baza f1, · · · , fk a restrictiei functionalei

pozitiv definite care determina produsul scalar la subspatiul V0. Deci sistemul este compatibil determinat

si admite o unica solutie

α1

...

αk

, care este chiar reprezentarea în baza f1, · · · , fk (a subspatiului vectorial

V0, de dimensiune k) a proiectiei ortogonale a vectorului v pe subspatiul V0:

[PrV0v

]B0

=

α1

...

αk

(∈ V0) ,

[PrV0v

]E

=k∑i=1

αi [fi]E (∈ V0 ⊂ V) .

Vectorul v − PrV0v se va reprezenta în baza canonica astfel:

[v − Pr

V0v

]E

=k∑i=1

αi [fi]E − [v]E .


3.2.1. Observatie. Are loc Teorema lui Pitagora:

‖v‖2 =

∥∥∥∥PrV0v

∥∥∥∥2

+

∥∥∥∥v − PrV0v

∥∥∥∥2

,

pentru ca vectorii PrV0v si v − Pr

V0v sunt perpendiculari.

3.2.2. Observatie. Lungimea perpendicularei este mai mica sau egala decât lungimea oricarei oblice.

Demonstratie. Orice oblica este de forma v − v0, cu v0 ∈ V0. Din faptul ca v − PrV0v este ortogonal

pe V0 urmeaza ca este ortogonal pe fiecare vector din V0, deci pe v0. Atunci au loc relatiile:

v − v0 =

(v − Pr

V0v

)+

(PrV0v − v0

)PrV0v − v0 ∈ V0(

v − PrV0v

)⊥(

PrV0v − v0

)

T. P.⇒ ‖v − v0‖2 =

∥∥∥∥PrV0v − v0

∥∥∥∥2

+

∥∥∥∥v − PrV0v

∥∥∥∥2

⇒

⇒∥∥∥∥v − Pr

V0v

∥∥∥∥ ≤ ‖v0 − v‖

adica lungimea oricarei oblice este mai mare decât lungimea perpendicularei

3.2.3. Teorema. Pentru fiecare v ∈ V si pentru fiecare V0 subspatiu al lui V, functia f (·) : V → R,

definita prin f (u) = ‖u− v‖ are un unic minim pe V0.

Demonstratie. Evaluam minu∈V0

f (u). Daca v ∈ V0, atunci minimul este nul, este atins chiar în v si este

unic; pentru v /∈ V0 si u ∈ V0, u− v este o oblica din v si deci este mai lunga decât perpendiculara din v

‖u− v‖ ≥∥∥∥∥PrV0v − v

∥∥∥∥ ,deci

∀u ∈ V0, f (u) ≥ f

(PrV0v

)asa ca

minu∈V0

f (u) = f

(PrV0v

)= ‖u‖ ,

adica pentru v fixat si u ∈ V0, valoarea minima a expresiei ‖u− v‖ este chiar lungimea perpendicularei

din v pe V0 si este atinsa într-un singur punct din V0, care este chiar piciorul perpendicularei din v pe

V0.

3.2.4. Definitie. Se numeste distanta de la un subspatiu V0 la un vector v si se noteaza d (v,V0) =∥∥∥∥v − PrV0v

∥∥∥∥.

3.3. METODA CELOR MAI MICI PATRATE 141

3.3. Metoda celor mai mici patrate

Pentru prezentarea acestei metode se va adopta o terminologie care provine din Statistica / Biostatistica

/ Econometrie, cu precizarea legaturilor cu Algebra Liniara.

Estimari

Y variabila "raspuns/dependenta/prezisa" Y = Xi· · β

X matricea "datelor observate/variabilelor explicative" [n× p]

X =[X·1 X·2 · · · X·p

][X·j este coloana j a matricii X]

p numarul de variabile explicative [coloane ale matricii X]

X·j o coloana [contine n observatii pentru aceeasi variabila]

n numarul de observatii

Xi· observatia i [linia i a matricii X]

xij observatia i asupra variabilei explicative j

β parametri necunoscuti β =

β1

...

βp

β =

β1

...

βp

ε o eroare aleatoare care reprezinta discrepanta aproximarii ε

ε = Y −X · β =

ε1

...

εn

; εi = yi −Xi· · β εi = yi −Xi· · β

Datele sunt prezentate tabelar:

Observatia Raspunsul Predictori

Numarul Y termenul liber X·1 X·2 · · · X·p

1 y1 1 x11 x12 · · · x1p

2 y2 1 x21 x22 · · · x2p

3 y3 1 x31 x32 · · · x3p

......

......

......

...

n yn 1 xn1 xn2 · · · xnp

Se încearca explicarea raspunsului observat în termeni de predictori observati3; pentru asta se foloseste

o matrice X [descrisa mai sus] care contine observatiile. Desi liniile si coloanele matricii X sunt vectori,

semnificatiile lor sunt distincte, asa ca aceleasi operatii algebrice vor însemna altceva.

3Trebuie notata diferenta dintre "ceea ce se observa ca se întâmpla" si "ceea ce se întâmpla" —este o diferenta conceptualacare se pare ca a fost inclusa în modelare pentru prima data în cadrul Mecanicii Cuantice [diferenta dintre realitate siobservarea realitatii]


3.3.1. Operatii cu coloane. Coloanele X·j =

x1j

x2j

x3j

...

xnj

, pentru fiecare j, contin instante diferite ale

aceluiasi obiect (valori diferite de acelasi tip si masurate la fel); sunt realizari diferite ale aceleiasi variabile

explicative j.

Coloanele pot fi privite ca observatii imperfecte ale aceleiasi "valori perfecte" (care poate sau nu sa fie

unica).

Matricea de observatii este o "linie de coloane":

X =

1 x11 x12 · · · x1p

1 x21 x22 · · · x2p

1 x31 x32 · · · x3p

......

......

...

1 xn1 xn2 · · · xnp

=[X·0 X·1 X·2 · · · X·p

]; X·0 =

1

...

1

Not= i.

XT =

XT·0

XT·1...

XT·p

XT ·X =

XT·0

XT·1...

XT·p

[X·0 X·1 X·2 · · · X·p

]=[XT·j1 ·X·j2

]j1,j2=0,p

Conceptual, atâta vreme cât Y va fi"explicat" în termeni de X·j [de fapt Y va fiproiectat pe subspatiul

generat de X·j], vectorii Y si X·j trebuie sa faca parte din acelasi spatiu [de dimensiune (mai mare sau)

egala cu numarul de observatii, n]

Mai întâi trebuie sa fie mai multe observatii decât variabile explicative: p+ 1 < n

Se noteaza cu Sc "spatiul coloanelor"; Y , X·j ∈ Sc, j = 0, p iar Span X·j; j = 0, p ⊆ Sc

Proprietati ale vectorului n—dimensional i:

iT1×n· in×1

=[1 · · · 1

]·

1

...

1

= n [scalar]


in×1· iT

1×n=

1

...

1

· [ 1 · · · 1

]=

1 · · · 1

1. . . 1

1 · · · 1

n×n de 1

[matrice patratica de dimensiune n cu elemente 1]

X·j =1

n

n∑i=1

xij [scalar, media vectorului X·j]n∑i=1

xij = iT ·X·j = nX·j ⇒ X·j =1

n

(iT ·X·j

)si iT ·X·j = nX·j

X·j...

X·j

= i · X·j = i · 1

n

(iT ·X·j

)=

1

ni · iT · X·j [vector n dimensional cu scalarul X·j pe fiecare

componenta]

x1j − X·j

x2j − X·j

x3j − X·j...

xnj − X·j

= X·j − i · X·j =

[In −

1

ni · iT

]X·j = M0 ·X·j [vectorul n—dimensional al deviatiilor de

la medie ale vectorului X·j]

[poate fi scris si ca X·j − X·j daca se foloseste o conventie folosita în diverse limbaje de programare,

si anume ca adunarea unui vector cu un scalar înseamna adunarea scalarului la fiecare componenta a

vectorului]

Matricea M0 = In−1

ni · iT transforma un vector într—un nou vector ale carui componente sunt vechile

componente din care se scade media vechilor componente) [operatorul de deviatie de la medie]

Proprietati ale operatiilor cu i si cu M0:

• M0 este folosit mai ales în calcularea sumelor de patrate ale deviatiilor

• M0 =

1− 1

n· · · − 1

n

− 1

n

. . . − 1

n

− 1

n· · · 1− 1

n

n×n

[elementele pe diagonala sunt 1 − 1

n, iar în afara diagonalei sunt

− 1

n]

• detM0 = 0 [de exemplu se aduna toate liniile la linia 1; se obtine linia 1 nula] asa ca rank (M0) < n

• M0 = (M0)T [M0 este matrice simetrica]

• M0 · i = 0 [vector n—dimensional].

Dem: M0 · i =

(In −

1

ni · iT

)· i = i− 1

ni · iT · i = i− 1

ni ·n = i− i = 0 [vector n—dimensional].

• iT ·M0 = 0T ⇒ scalarul zero 0 = 0T ·X·j =(iT ·M0

)·X·j = iT · (M0 ·X·j) [suma deviatiilor de

la medie este zero]


• M0 ·M0 = M0 (M0 este idempotenta)

Dem:

M0 ·M0 =

(In −

1

ni · iT

)·(In −

1

ni · iT

)=

= In −1

ni · iT − 1

ni · iT +

(1

ni · iT

)(1

ni · iT

)=

= In −1

ni · iT − 1

ni · iT +

1

n2i ·(iT i)

=n

· iT =

= In −1

ni · iT − 1

ni · iT +

1

ni · iT = M0.

• Pentru coloana j:n∑i=1

(xij − X·j

)2= XT

·j ·M0 ·X·j

Dem:n∑i=1

(xij − X·j

)2=(X·j − X·j

)T · (X·j − X·j) = (M0 ·X·j)T · (M0 ·X·j) = XT·j ·M0 ·M0 ·

X·j = XT·j ·M0 ·X·j

• Pentru doua coloane distincte j1 si j2:n∑i=1

(xij1 − X·j1

) (xij1 − X·j2

)= XT

·j1 ·M0 ·X·j2

Dem:n∑i=1

(xij1 − X·j1

) (xij2 − X·j2

)=(X·j1 − X·j1

)T ·(X·j2 − X·j2) = (M0 ·X·j1)T ·(M0 ·X·j2) =

XT·j1 ·M0 ·M0 ·X·j2 = XT

·j1 ·M0 ·X·j2• Matricea de observatii premultiplicata cu M0 da o noua matrice în care din fiecare coloana se

scade media coloanei:

Dem: M0 ·X = M0 ·[X·1 X·2 · · · X·p

]=[M0 ·X·1 M0 ·X·2 · · · M0 ·X·p

]=

=[X·1 − X·1 X·2 − X·2 · · · X·p − X·p

]• Premultiplicarea cuM0 micsoreaza rangul initial al matriciiX, deoarece rank (M0 ·X) ≤ min (rank (M0) , rank (X))

iar rank (M0) < n.

• (M0 ·X)T · (M0 ·X) = XT ·M0 ·X este matricea de covariante (pe coloane)

3.3.2. Operatii cu linii. Liniile sunt: Xi· =[

1 xi1 xi2 · · · xip

](pot ficonsiderate ca reprezinta

un individ)

Xi·, i = 1, n este dintr—un spatiu de dimensiune p + 1 (de indivizi) (n indivizi de dimensiune p + 1)

care fac parte dintr—un spatiu al liniilor notat Sl.

XTi· =

1

xi1...

xip


XTi· ·Xi· =

1

xi1

xi2...

xip

·[

1 xi1 xi2 · · · xip

]=

1 xi1 xi2 · · · xip

xi1 x2i1 xi1xi2 · · · xi1xip

xi2 xi2xi1 x2i2 · · · xi2xip

......

......

...

xip xipxi1 xipxi2 · · · x2ip

matricea de observatii X =

1 x11 x12 · · · x1p

1 x21 x22 · · · x2p

1 x31 x32 · · · x3p

......

......

...

1 xn1 xn2 · · · xnp

=

X1·

X2·...

Xn·

(coloana de linii);

XT =[XT

1· XT2· · · · XT

n·

]

XT ·X =[XT

1· XT2· · · · XT

n·

]X1·

X2·...

Xn·

=

n∑i=1

XTi· ·Xi·

dim (Span X·j; j = 0, p) [⊆ Sc] = dim (Span Xi·; i = 1, n) [⊆ Sl]

o observatie completa este linia Oi =[yi Xi·

];

Y =

y1

y2

y3

...

yn

, β =

β0

β1

β2

...

βp

, ε =

ε1

ε2

ε3

...

εn

si:

Y = β0 · 1+ β1X·1 + β2X·2 + · · ·+ βpX·p + ε =[X·1 X·2 · · · X·p

]· β + ε =

= X · β + ε =

X1·

X2·...

Xn·

· β + ε =

X1· · β

X2· · β...

Xn· · β

+ ε

Y −Xβ = ε[Y X

] 1

−β

= ε

Când modelul este privit din perspectiva coloanelor, se obtine câte o unitate de masura distincta pentru

fiecare βj, asa ca interpretarea coeficientilor β ca scalari este fortata (interpretare de combinatie liniara)

Eroarea esteE (β) = εT ε = (Y −Xβ)T (Y −Xβ)[=(Y T − βTXT

)(Y −Xβ) = Y TY − Y TXβ − βTXTY + βTXTXβ = Y TY − 2Y TXβ + βTXTXβ

]


produsul Y T

1×n· Xn×(p+1)

· β(p+1)×1

dimensiune 1︸︷︷︸are dimensiune 1 asa ca este egal cu transpusul lui: Y TXβ = βTXTY

[= Y TY − 2Y TXβ + βTXTXβ

]Y −Xβ =

[yi 1 Xi·

]·

1

−β0

−β

= [Oi]i=1,n ·

1

−β0

−β

(Y −Xβ)T (Y −Xβ) =

O ·

1

−β0

−β

T

·

O ·

1

−β0

−β

=

1

−β0

−β

T

· OT · O ·

1

−β0

−β

, cuβ0 ∈ 0, 1

Pentru β0 = 1:

(Y −Xβ)T (Y −Xβ) =

1

−1

−β

T

·OT ·O ·

1

−1

−β

=

−1

1

β

T

·OT ·O ·

−1

1

β

Se rezolva problema de minimizare: min

βE (β) = E

(β)(iar β este solutia problemei)

β este astfel încât e ⊥ X · β ⇐⇒(Y −Xβ

)⊥ X · β ⇐⇒

(Y −Xβ

)TXβ = 0 ⇐⇒ Y TXβ −

βTXTXβ = 0 ⇐⇒(Y TX − βTXTX

)β = 0

O posibila solutie este Y TX − βTXTX = 0 ⇐⇒ XTY = XTXβ

O formula de update [[20], (A− 66)]: la cele n cazuri existente se adauga un nou caz (o noua linie)

X(n+1)·.[(XTX

)±XT

(n+1)·X(n+1)·

]−1

=(XTX

)−1∓[

1

1±X(n+1)· · (XTX)−1 ·XT(n+1)·

] (XTX

)−1XT

(n+1)··X(n+1)··(XTX

)−1

XT·j =

[x1j x2j x3j · · · xnj

]

XT =

1T

XT·1

XT·2...

XT·p

=

1 1 1 · · · 1

x11 x21 x31 · · · xn1

x12 x22 x32 · · · xn2

......

......

...

x1p x2p x3p · · · xnp

,


XT

(p+1)×n· Xn×(p+1)

(p+1)×(p+1)

=

1 1 1 · · · 1

x11 x21 x31 · · · xn1

x12 x22 x32 · · · xn2

......

......

...

x1p x2p x3p · · · xnp

·

1 x11 x12 · · · x1p

1 x21 x22 · · · x2p

1 x31 x32 · · · x3p

......

......

...

1 xn1 xn2 · · · xnp

=

nn∑i=1

xi1n∑i=1

xi2 · · ·n∑i=1

xipn∑i=1

xi1n∑i=1

x2i1

n∑i=1

xi1xi2 · · ·n∑i=1

xi1xipn∑i=1

xi2n∑i=1

xi2xi1n∑i=1

x2i2 · · ·

n∑i=1

xi2xip

......

......

...n∑i=1

xipn∑i=1

xipxi1n∑i=1

xipxi2 · · ·n∑i=1

xipxip

=

=

1T

XT·1

XT·2...

XT·p

·[1 X·1 X·2 · · · X·p

]=

1T ·1 1T ·X·1 1T ·X·2 · · · 1T ·X·p

XT·1 · 1 XT

·1 ·X·1 XT·1 ·X·2 · · · XT

·1 ·X·p

XT·2 · 1 XT

·2 ·X·1 XT·2 ·X·2 · · · XT

·2 ·X·p...

......

......

XT·p · 1 XT

·p ·X·1 XT·p ·X·2 · · · XT

·p ·X·p

=

=[XT

1· XT2· XT

3· · · · XTn·

]

X1·

X2·

X3·...

Xn·

=

n∑i=1

XTi· ·Xi·

β =(XTX

)−1XTY (în ipoteza ca matricea XTX este inversabila)

XTj1·Xj2 = XT

j2·Xj1 este produsul scalar

Ranguri:

rank (AB) ≤ min rank (A) , rank (B)

rank(XTX

)= rank

(XXT

)= rank (X)

Exemplu:


X =

1972 737.1 1185.9

1973 812.0 1326.4

1974 808.1 1434.2

1975 976.4 1549.2

1976 1084.3 1718.0

1977 1204.4 1918.3

1978 1346.5 2163.9

1979 1507.2 2417.8

1980 1667.2 2633.1

T

=

=

1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

737.1 812.0 808.1 976.4 1084.3 1204.4 1346.5 1507.2 1667.2

1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718.0 1918.3 2163.9 2417.8 2633.1

XTX =

35141 244 2.005× 107 3.231 2× 107

2.005× 107 1.2300× 107 1.9744× 107

3.2312× 107 1.9744× 107 3.1715× 107

det

35141 244 2.005× 107 3.231 2× 107

2.005× 107 1.2300× 107 1.9744× 107

3.2312× 107 1.9744× 107 3.1715× 107

= 4.6064× 1017 6= 0 (inversabila)

35141 244 2.005× 107 3.231 2× 107

2.005× 107 1.2300× 107 1.9744× 107

3.2312× 107 1.9744× 107 3.1715× 107

−1

=

5.8389× 10−7 4.5206× 10−6 −3.4091× 10−6

4.5206× 10−6 1.5291× 10−4 −9.9802× 10−5

−3.4091× 10−6 −9.9802× 10−5 6.5636× 10−5

Y =

4.50

6.44

7.83

6.25

5.50

5.46

7.46

10.28

11.77

3.4. TIPURI SPECIALE DE OPERATORI 149

β =(XTX

)−1XTY =

−6.9004× 10−4

−2.943 5× 10−2

2.2791× 10−2

Semnificatie:

variabila explicata (Discount Rate) este explicata folosind variabilele explicative Year, Consumption,

GNP;

Se obtine "explicatia":

DiscountRate = (−6.9004× 10−4) ·Y ear+ (−2.943 5× 10−2) ·Consumption+ (2.2791× 10−2) ·GNP

[Nu se discuta adecvarea economica, calitatea explicarii, etc]

3.4. Tipuri speciale de operatori

3.4.1. Operatori de proiectie.

3.4.1. Definitie. Fie V = V1 ⊕V2; pentru fiecare x ∈ V, ∃!x1 ∈ V1 si ∃!x2 ∈ V2 astfel încât x = x1 + x2.

Vectorul x1 va fi numit proiectia lui x pe V1 în directia V2.

3.4.2. Definitie. Un operator liniar p (·) : V → V se numeste proiectie (proiector) daca p (p (x)) =

p (x) , ∀x ∈ V [proprietate de idempotenta].

3.4.3. Teorema. Pentru un operator p (·) care este proiectie are loc: V = p (V)⊕ ker p (·).

Demonstratie. Fie v ∈ V⇒ v = p (v) + v − p (v), cu p (v) ∈ p (V) si p (v − p (v)) =

= p (v)− p2 (v) = p (v)− p (v) = 0 deci v − p (v) ∈ ker (p (.)); asadar V = p (V) + ker p (.). Suma este

directa pentru ca v ∈ p (V) ∩ ker p (·) ⇒ 0 = p (v) si ∃u, v = p (u) ⇒ 0 = p (v) = p2 (u) = p (u) = v deci

p (V ) ∩ ker p (·) = 0

3.4.4. Propozitie. Fie p (·) : V→ V un operator de proiectie. Atunci:

(1) x ∈ Im p (·) = p (V) ⇐⇒ x este nul sau este vector propriu corespunzator valorii proprii 1;

(2) x ∈ ker p (·) ⇐⇒ x este nul sau este vector propriu corespunzator valorii proprii 0;

[structura spectrala a unei proiectii este: valorile proprii sunt numai 0 si 1 (cu diverse grade de

multiplicitate) iar vectorii proprii sunt vectorii din imaginea operatorului (pentru valoarea proprie

1) si din nucleu (pentru valoarea proprie 0)]

Demonstratie. Din Teorema anterioara se stie ca

x = 0⇒ p (0) = 0⇒ 0 ∈ p (V)

0 6= x ∈ p (V) ⇐⇒ p (x) = p (p (x))⇒ p (x) ∈ p (V)

p (x) = 0 sau p (x) 6= 0.


p (x) 6= 0⇒ p (x) este vector propriu atasat valorii proprii 1.

x 6= 0 si p (x) = 0 ⇒ x ∈ ker p (·) si p (x) = 0 = 0 · x ⇒ x este vector propriu atasat valorii proprii

0.

3.4.5. Propozitie. Daca p (·) : V→ V este proiectie, atunci si (1V − p) (·) : V→ V este tot proiectie.

Mai mult, ker (1V − p) (·) = Im p (·) si Im (1V − p) (·) = ker p (·).

Demonstratie. x ∈ ker (1V − p) (·)⇒ x− p (x) = 0⇒ x = p (x) ∈ Im p (·).

x ∈ Im p (·)⇒ ∃y, x = p (y)⇒ p (x) = p (p (y)) = p (y) = x⇒ x− p (x) = 0⇒ x ∈ ker (1V − p) (·)

x ∈ Im (1V − p) (·)⇒ ∃y, x = (1V − p) (y) = y − p (y)⇒ p (x) = p (y)− p (p (y)) = p (y)− p (y) = 0⇒

p (x) = 0⇒ x ∈ ker p (·).

x ∈ ker p (·)⇒ p (x) = 0⇒ x = x− p (x) = (1V − p) (x)⇒ x ∈ Im (1V − p) (·).

3.4.6. Definitie. O proiectie se numeste ortogonala daca în plus are loc p (V ) ⊥ ker p (·).

3.4.7. Exemplu. Pentru fiecare α ∈ R fixat, operatorul pα (·) : R2 → R2 definit prin pα (x) =

0 0

α 1

x1

x2

este o proiectie:

pα (x) =

0 0

α 1

x1

x2

=

0

x2 + αx1

0 0

α 1

0 0

α 1

=

0 0

α 1

, asa capα (pα (x)) =

0 0

α 1

0 0

α 1

x1

x2

=

0 0

α 1

x1

x2

= pα (x).

Nucleul:

0 0

α 1

x1

x2

=

0

0

⇒ αx1 + x2 = 0⇒ ker pα (·) = span (1, α)

Imaginea:

0 0

α 1

x1

x2

=

y1

y2

⇒ y1 = 0 (conditia de compatibilitate)⇒ Im pα (·) = span (0, 1)

pα ((0, β)) =

0 0

α 1

0

β

=

0

β

(proiectia nu schimba vectorii din imagine)proiectia pα (·) este ortogonala ⇐⇒ α = 0.


3.4.2. Operator adjunct.

3.4.8. Definitie. Fie doua spatii vectoriale de tip finit cu produse scalare X si Y, si un operator liniar

U (·) : X→ Y între cele doua structuri. Se numeste operatorul adjunct operatorului U (·) operatorul liniar

U∗ (·) : Y→ X cu proprietatea:

〈U (x) , y〉Y = 〈x, U∗ (y)〉X ,∀x ∈ X,∀y ∈ Y.

3.4.9. Observatie. Unicitatea operatorului adjunct:

Operatorul adjunct este unic, deoarece daca doi operatori U∗1 (·) si U∗2 (·) ar satisface relatia, s—ar obtine

〈x, U∗1 (y)〉X = 〈x, U∗2 (y)〉X, ∀x ∈ X,∀y ∈ Y; din observatia 3.0.37, pagina 132 se obtine ca U∗1 (y) = U∗2 (y),

∀y ∈ Y, adica U∗1 (·) = U∗2 (·).

Existenta operatorului adjunct:

Se considera câte o baza ortonormala BX, BY în fiecare dintre spatiile X, Y, si matricea A atasata

operatorului U (·) în aceste baze.

Se considera matricea A∗ = AT , care se numeste matricea adjuncta [sau Hermitic—adjuncta] a matricii

A [matricea adjuncta este matricea obtinuta prin transpunerea matricii initiale si conjugarea complexa a

fiecarui element al matricii]

Operatorul liniar de la Y la X care în aceleasi alegeri de baze are matricea A∗ este chiar operatorul

adjunct [U∗ (·) : Y→ X, [U∗ (y)]BX = A∗ [y]BY]

În cazul în care spatiile X si Y sunt de tip real, matricea adjuncta este chiar matricea transpusa.

3.4.10. Observatie.

Proprietati ale matricii adjuncte A∗:

O∗ = O [adjuncta matricii nule este matricea nula]

I∗ = I [adjuncta matricii identitate este matricea identitate]

(A+B)∗ = A∗ +B∗

(αA)∗ = αA∗

(AB)∗ = B∗A∗

(A∗)∗ = A

Daca A este patratica, atunci: detA∗ = detA

[determinantul matricii adjuncte este conjugatul complex al determinantului matricii]

(A−1)∗

= (A∗)−1 [daca A este inversabila, atunci si A∗ este inversabila,

iar inversa adjunctei este adjuncta inversei]


Proprietati ale operatorului adjunct U∗ (·) :

O∗ (·) = O (·) [adjunctul operatorului nul este operatorul nul]

I∗ (·) = I (·) [pentru X = Y, adjunctul operatorului identitate este operatorul identitate]

(U1 + U2)∗ (·) = U∗1 (·) + U∗2 (·)

(αU)∗ (·) = αU∗ (·)

(U1 U2)∗ (·) = (U∗2 U∗1 ) (·)

(U∗)∗ (·) = U (·)

(U−1)∗

(·) = (U∗)−1 (·) [daca U (·) este inversabil, atunci si U∗ (·) este inversabil

iar inversul adjunctului este adjunctul inversului]

3.4.11. Observatie (Legaturi dintre nucleele si imaginile operatorilor).

1. kerU∗ (·) = (ImU (·))⊥

2. kerU (·) = (ImU∗ (·))⊥

3. ImU (·) = (kerU∗ (·))⊥

4. ImU∗ (·) = (kerU (·))⊥

Demonstratie. Se observa mai întâi ca toate multimile care apar sunt subspatii vectoriale ale spatiilor

corespunzatoare:

kerU (·) si ImU∗ (·) sunt subspatii în X, iar kerU∗ (·) si ImU (·) sunt subspatii în Y.

Se mai observa si ca, daca X0 este subspatiu în X, atunci(X⊥0)⊥

= X0.

Cu aceste observatii se constata ca afirmatiile 1. si 3. se obtin una din alta prin ortogonalitate, la fel

ca si 2. si 4.

Folosind ca (U∗)∗ (·) = U (·), se constata ca afirmatia 2. este afirmatia 1. pentru operatorul adjunct.

Ramâne de demonstrat afirmatia 1.

y ∈ (ImU (·))⊥ ⇐⇒ y ⊥ ImU (·) ⇐⇒ ∀x ∈ X, 〈y, U (x)〉Y = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ X, 〈U∗ (y) , x〉X = 0 ⇐⇒

U∗ (y) = 0 ⇐⇒ y ∈ kerU∗ (·).

3.4.12. Exercitiu. Pe R3 se considera functionala biliniara 〈(x1, x2, x3) , (y1, y2, y3)〉R3 = 10x1y1 +3x1y2 +

3x2y1 + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + x3y3.

(1) Sa se arate ca 〈·, ·〉R3 defineste un produs scalar pe R3.

(2) Folosind acest produs scalar, sa se determine lungimile vectorilor x = (1, 2, 1) si y = (1, 1, 1) si

cosinusul unghiului dintre x si y.

(3) Sa se gaseasca un vector perpendicular pe x si pe y (în raport cu produsul scalar de la 1.)


(4) Sa se gaseasca (cu procedeul Gram—Schmidt) o baza ortonormata pornind de la baza canonica.

(5) Fie U (·) ∈ L (R2,R3) definit prin U (x1, x2) = (x1, x1 + x2, 4x2 − x1). Sa se determine adjunctul

operatorului U (·), daca pe R2 se considera produsul scalar uzual, iar pe R3 se considera produsul

scalar de la punctul 1.

3.4.13. Solutie. (1) 〈(x1, x2, x3) , (y1, y2, y3)〉R3 = [x]TE3

10 3 0

3 2 1

0 1 1

[y]E3 .

Matricea care defineste produsul scalar pe R3 este simetrica, iar cu metoda Jacobi ∆0 = 1,

∆1 = 10, ∆2 = 11, ∆3 = 20− 10− 9 = 1;determinantii sunt toti strict pozitivi, asa ca functionala

patratica atasata este strict pozitiv definita.

[x]E3 =

1

2

1

; 〈x, x〉R3 =

1

2

1

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

1

2

1

= 35

‖x‖ =√〈x, x〉R3 =

√35

[y]E3 =

1

1

1

; 〈y, y〉R3 =

1

1

1

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

1

1

1

= 21

‖y‖ =√〈y, y〉R3 =

√21

〈x, y〉R3 =

1

2

1

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

1

1

1

= 27

cos (x, y) =〈x, y〉R3‖x‖ ‖y‖ =

27√35√

21=

27

7√

15

〈x, z〉R3 = 0 ⇐⇒

1

2

1

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

z1

z2

z3

= 16z1 + 8z2 + 3z3 = 0

〈y, z〉R3 = 0 ⇐⇒

1

1

1

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

z1

z2

z3

= 13z1 + 6z2 + 2z3 = 0

16z1 + 8z2 + 3z3 = 0

13z1 + 6z2 + 2z3 = 0, solutia este:

z1 = 2α,

z2 = −7α,

z3 = 8α.

(2) e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

f1 = e1,


f2 = αe1 + e2 astfel încât 〈f1, f2〉R3 = 0⇒ α = −〈e1, e2〉R3〈e1, e1〉R3

= − 3

10

〈e1, e2〉R3 =

1

0

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

0

1

0

= 3

〈e1, e1〉R3 =

1

0

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

1

0

0

= 10

f2 = − 3

10(1, 0, 0) + (0, 1, 0) =

(− 3

10, 1, 0

)f3 = αf1+βf2+e3, astfel încât

〈f1, f3〉R3 = 0

〈f2, f3〉R3 = 0⇐⇒

α 〈f1, f1〉R3 + β 〈f1, f2〉R3 = −〈f1, e3〉R3

α 〈f2, f1〉R3 + β 〈f2, f2〉R3 = −〈f2, e3〉R3⇐⇒

10α = 0

11

10β = −1

⇒ α = 0, β = −10

11

〈f1, f2〉R3 =

1

0

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

− 3

10

1

0

= 0

〈f1, e3〉R3 =

1

0

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

0

0

1

= 0

〈f2, f2〉R3 =

− 3

10

1

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

− 3

10

1

0

=11

10

〈f2, e3〉R3 =

− 3

10

1

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

0

0

1

= 1

⇒ f3 = −10

11

(− 3

10, 1, 0

)+ (0, 0, 1) =

(3

11,−10

11, 1

)

〈f1, f1〉R3 =

1

0

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

1

0

0

= 10⇒ u1 =1√10

(1, 0, 0)


〈f2, f2〉R3 =

− 3

10

1

0

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

− 3

10

1

0

=11

10⇒ u2 =

√10

11

(− 3

10, 1, 0

)

〈f3, f3〉R3 =

3

11

−10

11

1

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

3

11

−10

11

1

=1

11⇒ u3 =

√11

(3

11,−10

11, 1

)

[U (x)]E3 =

1 0

1 1

−1 4

[x]E2

Operatorul adjunct este definit prin:

〈U (x) , y〉R3 = 〈x, U∗ (y)〉R2 ⇐⇒

⇐⇒ [U (x)]TE3

10 3 0

3 2 1

0 1 1

[y]E3 = [x]TE2 [U∗ (y)]E2 ⇐⇒

⇐⇒ [x]TE2

1 0

1 1

−1 4

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

[y]E3 = [x]TE2 [U∗ (y)]E2 , ∀x ∈ R2, ∀y ∈ R3 ⇐⇒

⇐⇒ [U∗ (y)]E2 =

1 0

1 1

−1 4

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

[y]E3 =

13 4 0

3 6 5

[y]E3

1 0

1 1

−1 4

T

=

1 1 −1

0 1 4

,

1 0

1 1

−1 4

T

10 3 0

3 2 1

0 1 1

=

1 1 −1

0 1 4

10 3 0

3 2 1

0 1 1

=

13 4 0

3 6 5

⇒ U∗ (y) = (13y1 + 4y2, 3y1 + 6y2 + 5y3).

3.4.3. Operatori izometrici, unitari, ortogonali.

3.4.14. Definitie. Un operator liniar U (·) : X→ Y este numit izometrie daca

∀x ∈ X, ‖U (x)‖Y = ‖x‖X .


[pastreaza lungimile]

3.4.15. Observatie. O izometrie este functie injectiva [deoarece U (x) = 0 ⇒ ‖U (x)‖Y = 0 ⇒ ‖x‖X =

0⇒ x = 0 asa ca nucleul operatorului este 0]

3.4.16. Observatie. Conditia de izometrie este echivalenta cu pastrarea produsului scalar:

〈U (x1) , U (x2)〉Y = 〈x1, x2〉X ,∀x1, x2 ∈ X.

Demonstratie. ‖U (x1 − x2)‖Y = ‖x1 − x2‖X ⇒

⇒ 〈x1 − x2, x1 − x2〉 = 〈U (x1 − x2) , U (x1 − x2)〉 = 〈U (x1)− U (x2) , U (x1)− U (x2)〉 ⇒

⇒ 〈x1, x1〉 − 〈x1, x2〉 − 〈x2, x1〉 + 〈x2, x2〉 = 〈U (x1) , U (x1)〉 − 〈U (x1) , U (x2)〉 − 〈U (x2) , U (x1)〉 +

〈U (x2) , U (x2)〉 ⇒

⇒ 〈x1, x2〉 = 〈U (x1) , U (x2)〉 [deci din noua conditie rezulta conditia din definitie]

Reciproc, din noua conditie rezulta conditia de definitie cu x1 = x2.

3.4.17. Observatie. Un operator U (·) : X→ Y este izometric daca si numai daca U∗U = IX.

Demonstratie. U∗U = IX ⇒

⇒ ∀x ∈ X, 〈x, x〉 = 〈(U∗U) (x) , x〉 = 〈U (x) , U (x)〉 ⇒ ‖x‖ = ‖U (x)‖.

Reciproc, daca operatorul este izometric, atunci cu observatia anterioara 〈x1, x2〉 = 〈U (x1) , U (x2)〉 =

〈(U∗U) (x1) , x2〉, ∀x1, x2 ∈ X ⇒

⇒ (U∗U) (x1) = x1, ∀x1 ∈ X ⇒ U∗U = IX.

3.4.18. Observatie. Reformulare: o matrice este izometrica daca si numai daca coloanele ei formeaza o

familie ortonormata.

3.4.19. Observatie. Daca o functie (nu neaparat liniara) f (·) : X→ Y satisface conditiile: f (0) = 0 si

‖x1 − x2‖ = ‖f (x1)− f (x2)‖ [este izometrica: pastreaza distantele], ∀x1, x2 ∈ X, atunci f (·) este liniara.

Mai mult, functia f (·) este si izometrie.

Demonstratie. Liniaritatea:

a) Aditivitatea:

Fie x1, x2 ∈ X; din relatia∥∥∥∥x1 + x2

2− x1

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥x2 −x1 + x2

2

∥∥∥∥ =1

2‖x1 − x2‖,

folosind ‖x1 − x2‖ = ‖f (x1)− f (x2)‖,

se obtine:∥∥∥∥f (x1 + x2

2

)− f (x1)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥f (x2)− f(x1 + x2

2

)∥∥∥∥ =1

2‖f (x1)− f (x2)‖.

Din "Caracterizarea mijlocului" rezulta f(x1 + x2

2

)=f (x1) + f (x2)

2(ecuatia functionala Jensen).


Pentru x2 = 0 ⇒ f(x1

2

)=

1

2f (x1)

⇒ f (x1) + f (x2)

2= f

(x1 + x2

2

)=

1

2f (x1 + x2)⇒ f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) (aditivitate)

b) Omogenitate:

Din aditivitate rezulta f (αx) = αf (x) pentru orice α ∈ Q (pentru orice scalar rational).

Fie α ∈ R si fie (αn)n∈N un sir de numere rationale care tinde la α.

Are loc:

‖f (αx)− αf (x)‖ ≤ ‖f (αx)− f (αnx)‖+ ‖f (αnx)− αf (x)‖ = ‖αx− αnx‖+ ‖αnf (x)− αf (x)‖ =

= |α− αn| ‖x‖+|α− αn| ‖f (x)‖ = |α− αn| (‖x‖+ ‖f (x)‖), ∀n ∈ N. Pentru ca αn → α si (‖x‖+ ‖f (x)‖)

este un numar fixat, se obtine ca f (αx) = αf (x) (omogenitate)

2. Din relatia initiala cu x2 = 0 se obtine ‖x‖ = ‖f (x)‖ si cum f (·) este operator liniar rezulta ca este

si izometrie.

3.4.20. Observatie. O functie (nu neaparat liniara) f (·) : X→ X care satisface ‖x1 − x2‖ = ‖f (x1)− f (x2)‖

mai este numit miscare rigida si este de forma f (x) = f (0) + T (x), cu T (·) operator izometric.

3.4.21. Definitie. Un operator liniar U (·) : X→ Y este numit unitar daca este izometric si inversabil.

Daca, în plus, spatiile sunt reale, atunci operatorul mai este numit si ortogonal.

3.4.22. Observatie. O izometrie (între spatii de tip finit) este operator unitar daca si numai daca dimX =

dimY.

Demonstratie. Daca este izometrie atunci este injectiv, si cum dimensiunile spatiilor sunt egale, este

chiar bijectiv.

Reciproc, daca izometria este inversabila, atunci dimensiunile spatiilor trebuie sa fie egale.

3.4.23. Observatie. Câteva proprietati ale operatorilor unitari:

Daca U (·) este unitar, atunci U−1 (·) = U∗ (·).

Daca U (·) este unitar, atunci U−1 (·) = U∗ (·) este si el tot unitar.

Operatorii unitari sunt acei operatori care transforma o baza ortonormala într-o alta baza ortonormala.

Compunerea a doi operatori unitari (când compunerea are sens) este tot operator unitar.

Determinantul matricii unui operator unitar este de modul complex 1 [|detA| = 1; în general, deter-

minantul matricii unui operator unitar este un numar complex; daca operatorul este ortogonal, atunci

determinantul este numar real si detA = ±1]


3.4.24. Propozitie. Daca A = (aij)i,j=1,n este matricea operatorului unitar corespunzatoare bazei canon-

ice (ei)i=1,n, atunci are loc

ATA = AAT = In(operatorul este inversabil si A−1 = AT

).

[coloanele matricii formeaza o familie ortonormata]

Demonstratie. Din definitie rezulta ca

δij = 〈ei, ej〉 = 〈U (ei) , U (ej)〉 =

= 〈coli (A) , colj (A)〉 =⟨lini(AT), colj (A)

⟩⇒ ATA = In.

3.4.25. Observatie.

‖U (x)‖ = ‖x‖ (conserva norma);

‖U (x)− U (y)‖ = ‖x− y‖ (conserva distanta);

cos (U (x) , U (y)) = cos (x, y) (conserva unghiul).

3.4.26. Propozitie. Orice valoare proprie a unui operator unitar este numar real sau complex de modul

unitar [chiar daca operatorul este ortogonal, valorile proprii pot fi complexe].

Demonstratie. 〈U (x1) , U (x2)〉 = 〈λx1, λx2〉 = λλ 〈x1, x2〉 = 〈x1, x2〉 ,∀x1, x2 vectori proprii atasati

valorii proprii λ ⇒ λλ = 1, adica |λ| = 1

3.4.27. Observatie. Exista o baza ortonormala formata din vectori proprii în care matricea este de tip

cosα1 sinα1

− sinα1 cosα1

. . .

cosαm sinαm

− sinαm cosαm

±1

. . .

±1


Geometric, aceasta structura înseamna rotatii (fara omotetii) în planele ortogonale corespunzatoare valo-

rilor proprii complexe; directiile corespunzatoare valorilor proprii reale combinate doua câte doua formeaza

plane ortogonale în care se realizeaza rotatii de 0 sau de 180, la care pentru cazul impar se adauga o

simetrie sau o identitate pe ultima directie.

3.4.28. Exemplu. Fie operatorul Uα (·) : R2 → R2, definit prin Uα (x) =

cosα − sinα

sinα cosα

x1

x2

.(1) Operatorul Uα (·) este o rotatie în plan de unghi α [în sens trigonometric]

Cazuri particulare: Uπ/2 (·) de matrice

0 −1

1 0

[rotatie de 90], Uπ/4 (·) de matrice

√

2

2−√

2

2√2

2

√2

2

[rotatie de 45]

Uα (x) =

cosα − sinα

sinα cosα

x1

x2

=

x1 cosα− x2 sinα

x2 cosα + x1 sinα

.Operatorul este izometrie [pastreaza lungimile]:∥∥∥∥∥∥ x1 cosα− x2 sinα

x2 cosα + x1 sinα

∥∥∥∥∥∥ =√

(x1 cosα− x2 sinα)2 + (x2 cosα + x1 sinα)2 =

=√x2

1 cos2 α + x22 sin2 α− 2x1x2 sinα cosα + x2

2 cos2 α + x21 sin2 α + 2x1x2 sinα cosα =

=√x2

1 + x22 = ‖x‖, deci ‖Uα (x)‖ = ‖x‖.

Unghiul dintre vectorul x si vectorul U (x) este α:

cos (x, U (x)) =〈x, U (x)〉‖x‖ ‖U (x)‖ =

x1 (x1 cosα− x2 sinα) + x2 (x2 cosα + x1 sinα)

x21 + x2

2

=

=x2

1 cosα− x1x2 sinα + x22 cosα + x1x2 sinα

x21 + x2

2

= cosα⇒ (x, U (x)) = α.

(2) Familia v1, v2 [de vectori formata din coloanele matricii] este ortonormata:

v1 =

cosα

sinα

, v2 =

− sinα

cosα

,〈v1, v1〉 = 〈v2, v2〉 = cos2 α + sin2 α = 1, 〈v1, v2〉 = − sinα cosα + sinα cosα = 0.

(3) Operatorul este inversabil [deci este operator unitar; deoarece matricea are numai elemente reale,

este operator ortogonal]: cosα − sinα

sinα cosα

−1

=

cosα sinα

− sinα cosα

=

cos (−α) sin (−α)

sin (−α) cos (−α)

⇒ U−1α (·) = U−α (·).

(4) Polinomul caracteristic este P (λ) = det

cosα− λ − sinα

sinα cosα− λ

= (cosα− λ)2 + sin2 α = λ2 −

2 sinα cosαλ+1, cu radacinile complexe λ1 = cosα+ i sinα, λ2 = cosα− i sinα, ambele de modul

complex 1.

3.4.29. Observatie. Daca un operator U (·) : R2 → R2 este ortogonal iar matricea are determinant 1,

atunci operatorul este o rotatie.


Demonstratie. Fie A =

a b

c d

matricea operatorului;Determinantul trebuie sa fie 1, asa ca ad− bc = 1.

Coloanele trebuie sa fie ortogonale, asa ca ab+ cd = 0

Coloanele trebuie sa fie de lungime 1, asa ca a2 + c2 = 1, b2 + d2 = 1

Matricea inversa este matricea transpusa, asa ca

a b

c d

a c

b d

=

a2 + b2 ac+ bd

ac+ bd c2 + d2

=

1 0

0 1

Din

a b

c d

−1

=

d −b

−c a

se obtine c = −b, a = d ⇒ A =

a b

−b a

, cu a2 + b2 = 1. Se

considera α astfel încât cosα = a si atunci sinα = b, iar forma generala este A =

cosα − sinα

sinα cosα

.

3.4.30. Observatie. În cazul în care determinantul este −1, atunci din

a b

c d

−1

= −

d −b

−c a

seobtine a = −d, b = c ⇒ A =

a b

b −a

, cu −a2 − b2 = −1. Se considera β astfel încât cos β = a ⇒

sinβ = b ⇒ A =

cos β sin β

sin β − cos β

.3.4.4. Operator normal.

3.4.31. Definitie. Operatorul liniar U (·) este numit normal daca

(U U∗) (·) = (U∗ U) (·)

(operatorul comuta cu adjunctul sau) [pentru ca operatiile de compunere sa aiba sens, operatorul trebuie

sa aiba ca domeniu si codomeniu acelasi spatiu].

3.4.32. Propozitie. Orice vector propriu al unui operator normal, atasat valorii proprii λ, este vector

propriu al operatorului adjunct, atasat valorii proprii λ.

Demonstratie. Pentru x 6= 0 vector propriu al operatorului [U (x) = λx], are loc

U (U∗ (x)) = U∗ (U (x)) = U∗ (λx) = λU∗ (x) ,

ceea ce înseamna ca si U∗ (x) este vector propriu al operatorului U (·) , atasat valorii proprii λ, adica

operatorul U∗ (·) transforma vectorii proprii ai operatorului U (·) corespunzatori valorii proprii λ tot în

vectori proprii de acelasi tip.


Mai mult, pentru orice doi vectori proprii x si y are loc

〈U∗ (x) , y〉 = 〈x, U (y)〉 = 〈x, λy〉 =⟨λx, y

⟩,

adica U∗ (x) = λx

3.4.33. Teorema. (Structura unui operator normal real) Exista o baza ortonormala de vectori

proprii în care matricea operatorului este de forma

σ1 τ1

−τ1 σ1

. . .

σm τm

−τm σm

λm+1

. . .

λr

în care λj = σj + iτj, j = 1,m sunt valorile proprii complexe iar λm+1, · · ·λn sunt cele reale, numarul de

aparitii al fiecarei valori proprii fiind egal cu ordinul ei de multiplicitate.

3.4.34. Observatie. Operatorul normal reprezinta o transformare formata din rotatii cu omotetii în m

plane ortogonale doua câte doua si (numai) omotetii în celelalte r −m directii ortogonale.

3.4.35. Observatie. Matricea σj τj

−τj σj

=√σ2j + τ 2

j

σj√σ2j+τ2j

τj√σ2j+τ2j

− τj√σ2j+τ2j

σj√σ2j+τ2j

reprezinta o omotetie de coeficient

√σ2j + τ 2

j si o rotatie de unghi arccos

(τj√σ2j+τ2j

).

3.4.5. Operator autoadjunct.

3.4.36. Definitie. Operatorul liniar U (·) : V→ V este numit autoadjunct daca

U (·) = U∗ (·) .


[Daca V este spatiu vectorial real, operatorul autoadjunct mai este numit operator simetric; daca V este

spatiu vectorial complex, operatorul autoadjunct mai este numit operator hermitic]

3.4.37. Propozitie. Matricea unui operator liniar autoadjunct într-o baza ortonormata a unui spatiu real

este simetrica.

Demonstratie. Fie x =n∑i=1

xiei, y =n∑j=1

yjej si A = (aij)i,j=1,n . Au loc:

U (ei) =n∑k=1

akiek, deci

〈U (x) , y〉 =

⟨U

(n∑i=1

xiei

),n∑j=1

yjej

⟩=

n∑i=1

n∑j=1

xiyj 〈U (ei) , ej〉 =

=n∑i=1

n∑j=1

xiyj

⟨n∑k=1

akiek, ej

⟩=

n∑i=1

n∑j=1

xiyjaji si analog,

〈x, U (y)〉 =

⟨n∑i=1

xiei, U

(n∑j=1

yjej

)⟩=

n∑i=1

n∑j=1

xiyj 〈ei, U (ej)〉 =

=n∑i=1

n∑j=1

xiyj

⟨ei,

n∑k=1

akjek

⟩=

n∑i=1

n∑j=1

xiyjaij si din relatia

〈U (x) , y〉 = 〈x, U∗ (y)〉 ,∀x, y ∈ Rn

urmeaza ca aij = aji, adica matricea este simetrica (A = AT )

3.4.38. Teorema. Valorile proprii ale unui operator real simetric sunt reale.

Demonstratie. Av = λv prin înmultire la stânga cu v ⇒ vTAv = vTλv = λvTv

Av = λv prin conjugare complexa ⇒ Av = λv si apoi dupa înmultire la stânga cu vT ⇒ vTAv =

vT λv = λvT v

dar(vTAv

)T= vTAT

(vT)T

= vTAv ⇒ λ ‖v‖2 = λ ‖v‖2 ⇒ λ = λ

3.4.39. Teorema. Vectorii proprii asociati la valori proprii distincte ale unui operator real simetric sunt

ortogonali doi câte doi.

Demonstratie.

Av1 = λ1v1 ⇒ vT2 Av1 = λ1vT2 v1

Av2 = λ2v2 ⇒ vT1 Av2 = λ2vT1 v2

vT2 Av1 =(vT1 Av2

)TvT2 v1 = vT1 v2

λ1 6= λ2

⇒ vT1 v2 = 0

3.4.40. Observatie. Exista o baza ortonormala formata din vectori proprii în care matricea unui operator

simetric este diagonala de valori proprii (pentru ca un operator simetric este un operator normal fara valori

proprii complexe). Geometric, operatorul simetric reprezinta omotetii pe directii ortogonale.

3.5. MODELUL LEONTIEF 163

3.4.41. Propozitie. Pe un spatiu vectorial complex, un operator este hermitic daca si numai daca ∀x ∈ V,

〈x, U (x)〉 ∈ R.

Demonstratie. 〈x, U (x)〉 ∈ R ⇐⇒ 〈x, U (x)〉 = 〈x, U (x)〉 = 〈U (x) , x〉 = 〈x, U∗ (x)〉 ⇐⇒ U (·) =

U∗ (·) [ultima echivalenta se obtine cu aplicarea Teoremei 3.0.39, punctul 2., pagina 132]

3.4.6. Operator antiautoadjunct.

3.4.42. Definitie. Operatorul liniar U (·) se numeste antiautoadjunct daca

U (·) = −U∗ (·) .

3.4.43. Propozitie. Un operator antiautoadjunct are numai valori proprii pur imaginare.

Demonstratie. Din U∗ (·) = −U (·) rezulta ca λ = −λ, adica partea reala a valorii proprii este

nula

3.4.44. Observatie. Celulele matricii în baza canonica Jordan reala capata forma speciala

0 τj

−τj 0

,care din punct de vedere geometric înseamna omotetii si rotatii de 90 în plane ortogonale doua câte doua.

3.5. Modelul Leontief

Modelul4 din aceasta sectiune a fost dezvoltat de Wassily Leontief la sfârsitul deceniului 3, secolul

XX si a fost motivul pentru care Wassily Leontief a primit Premiul Nobel în Stiinte Economice în 1973.

Printre numele alternative folosite pentru a semnaliza utilizarea acestui model, se numara: "Modelul

Input—Output", "Analiza Input—Output", "Analiza Interindustriala", "Balanta legaturilor dintre ramuri",

etc. Toate aceste nume se refera la diverse variante statice si/sau dinamice care au în comun anumite

caracteristici. În continuare vor fi prezentate exemple si rezultate de Algebra Liniara folosite în unele

dintre aceste variante.

3.5.1. Exemplu (Un model Leontief închis). [preluat dupa [2]]

Trei firme (de servicii de tâmplarie (T), instalatii electrice (E) si instalatii sanitare (S)) stabilesc de

comun acord sa faca schimb de servicii pe o perioada determinata (10 saptamâni). Activitatea necesara

este prezentata în tabel:

4Aceasta sectiune foloseste foarte mult cartea [6], în care pot figasite multe dintre detaliile care lipsesc din aceasta prezentare.


servicii

efectuate de:

T E S

saptamâni T 2 1 6

de activitate E 4 5 1

la: S 4 4 3

10 10 10Din motive legate de legislatie, taxe si impozite, fiecare este obligat sa declare, sa primeasca si sa

plateasca sume rezonabile corespunzatoare activitatilor desfasurate. Valoarea/pretul câte unei saptamâni

de activitate pentru fiecare trebuie sa fie în jur de 1000Euro, iar firmele cad de acord sa—si ajusteze valorile

asa încât fiecare sa plateasca exact cât primeste (sistem de barter —schimb în natura —în trei: de fapt,

fiecare plateste cu serviciul pe care—l ofera serviciile pe care le primeste). Notam cu pT , pE, pS pretul

primit de fiecare firma pentru o saptamâna de servicii.

Conditia de echilibru cere ca totalul primit de fiecare sa fie egal cu totalul platit de fiecare. Se obtine

sistemul:2pT + pE + 6pS = 10pT ,

4pT + 5pE + 1pS = 10pE,

4pT + 4pE + 3pS = 10pS.

Prima ecuatie se refera la T iar interpretarea ei este: în perioada data firma T este platita pentru

activitatea ei 10pT (membrul drept) si are de plata 2 saptamâni de activitate catre ea însasi la pretul pT ,

1 saptamâna de activitate catre E la pretul pE si 6 saptamâni de activitate catre S la pretul pS, care dau

un total de 2pT + pE + 6pS (membrul stâng).

Solutia sistemului este:

pT =

31

32pE,

pE = pE,

pS =9

8pE.

Printre solutiile posibile se numara:

pE = 1000⇒

pT =

31

32· 1000 = 968.75

pE = 1000

pS =9

8· 1000 = 1125

PT = 1000⇒

pT = 1000

pE = 1032.3

pS = 1161.3


Sistemul se poate scrie ca

210

110

610

410

510

110

410

410

310

pT

pE

pS

=

pT

pE

pS

.

Matricea E =

2

10

1

10

6

104

10

5

10

1

104

10

4

10

3

10

s—a obtinut prin împartirea fiecarei coloane la suma ei si este unexemplu de matrice input—output sau matrice de schimb.

Modelul Leontief utilizeaza date observationale referitoare la o anumita regiune geografica (stat, regiune,

continent, mondial, etc). Activitatea regiunii este descompusa în industrii sau activitati industriale dis-

tincte, care într—o perioada fixata de timp produc si consuma bunuri. Aceeasi industrie produce bunuri

prin consumul de bunuri produse celelalte industrii, inclusiv ea însasi. Aceasta informatie despre productie

si consum a aceleiasi liste de industrii (indexata de la 1 la n) este strânsa într—un tabel de tranzactii in-

terindustriale. Linia i0 se refera la industria i0 si descrie descompunerea/distributia cantitatii productiei

industriei i0 din punct de vedere al industriilor care consuma aceasta productie, asa ca elementul pe locul

(i0, j) este cantitatea de produs finit (output) produs de industria i0 si consumat de industria j. Coloana

j0 descrie cantitatile consumate de industria j0, descompuse/distribuite dupa industriile producatoare.

Fiecare industrie poate consuma o parte din ceea ce produce, iar cantitatile respective au indici (i0, i0).

Sursa: Fig 1.1, pag. 3, [6]

Se observa ca productia unei industrii este descompusa pentru început în doua categorii, dupa motivul

pentru care este achizitionata cantitatea respectiva: "Final Demand" [consum care nu conduce la productia

altor bunuri] si "Producers as consumers" [consum care conduce la productia altor bunuri]. Mai departe,

fiecare dintre aceste doua categorii este descompusa în alte componente.


Un exemplu de organizare a datelor (date referitoare la 2005 pentru legaturile Input—Output dintre

regiunile Japoneze) poate fi gasit la adresa:

http://www.meti.go.jp/english/statistics/tyo/tiikiio/index.html

Din documentele disponibile la aceasta adresa se poate remarca, de exemplu, ca datele referitoare

la 2005 au fost asamblate pentru prezentare în martie 2010 (ceea ce ar trebui sa fie o sugestie despre

complexitatea si necesarul de efort al unei asemenea sarcini, în viata reala).

3.5.2. Definitie. O matrice patratica cu elemente pozitive se numeste productiva daca ∃v0 >6=

0 astfel

încât

v0 >6=Av0.

(relatia „u >6=v”între doi vectori u si v va fi numita „inegalitate tare între vectori”si înseamna ca fiecare

coordonata a vectorului u este strict mai mare decât coordonata corespunzatoare a vectorului v)

3.5.3. Teorema. Valoarea absoluta a oricarei valori proprii a unei matrici productive este strict subuni-

tara.

Demonstratie.

Av = λv ⇒ λvi =n∑j=1

aijvj ⇒ |λ| |vi| ≤n∑j=1

aij |vj| ⇒

|λ| v0i

∣∣∣ viv0i ∣∣∣ ≤ n∑j=1

aijv0j

∣∣∣ vjv0j ∣∣∣⇒⇒ |λ| v0

i

∣∣∣ viv0i ∣∣∣ ≤ maxj

∣∣∣ vjv0j ∣∣∣ n∑j=1

aijv0j < max

j

∣∣∣ vjv0j ∣∣∣ v0i ⇒

|λ| v0i

∣∣∣ viv0i ∣∣∣ < maxj

∣∣∣ vjv0j ∣∣∣ v0i ∀i = 1, n⇒

daca se alege în locul lui i indicele în care membrul drept atinge maximul, fie acesta r, relatia devine:

|λ| v0r

∣∣∣∣vrv0r

∣∣∣∣ < ∣∣∣∣vrv0r

∣∣∣∣ v0r ⇒ |λ| < 1.

3.5.4. Teorema. Daca A este productiva, atunci exista (I − A)−1 si este cu elemente pozitive (nestrict).

Demonstratie. Are loc relatia

(I − A)(I + A+ A2 + · · ·Am

)= I − Am+1

si din teorema precedenta urmeaza ca limm→∞

Am+1 = 0 (matricea nula), deci prin trecere la limita relatia

devine

(I − A)(I + A+ A2 + · · ·Am + · · ·

)= I,

deci exista (I − A)−1 = I + A+ A2 + · · ·Am + · · · .


3.5.5. Exemplu. Modelul lui Leontieff

Ax+ y = x,

unde A este o matrice productiva care reprezinta matricea coeficientilor tehnologici (coeficientul din pro-

ductia de bun j consumat pentru producerea unei unitati de bun i) , x este un vector coloana al nivelurilor

de productie iar y este vectorul coloana al cererii finale. Relatia se mai scrie

y = (I − A)x

si din teoremele anterioare ∃ (I − A)−1 si are loc

x = (I − A)−1 y = (I + A+ A2 + · · ·Am + · · · ) y =

= y + Ay + A2y + · · ·Amy + · · · ,

relatie interpretabila astfel: pentru obtinerea unei productii finale nete y trebuie produsa cantitatea Ay

intermediara necesara producerii lui y, pentru care trebuie produs A2y necesar lui Ay, · · · . Productia

totala x a fost descompusa în productie finala y si în productii intermediare Amy date de matricile de

consumuri intermediare Am.

Problema caracterizarii matricilor productive admite si o reciproca:

3.5.6. Teorema. Daca pentru matricea patratica pozitiva A matricea (I − A)−1 exista si este pozitiva,

atunci A este productiva.

Demonstratie. Fie v >6=

0 ⇒ x = (I − A)−1 v >6=

0 ⇒ x − Ax = v >6=

0 ⇒ x >6=Ax ⇒ A este

productiva

3.5.7. Observatie. Transpusa unei matrici productive este tot productiva.

3.5.8. Teorema. (Perron-Frobenius) Fie A o matrice reala pozitiva. Atunci:

(1) Daca toate elementele matricii A sunt strict pozitive, atunci exista o valoare proprie de modul

maximal care este reala, strict pozitiva si careia i se poate asocia un vector propriu cu toate

elementele strict pozitive;

(2) Daca A este nenula, are o valoare proprie reala strict pozitiva, de modul maximal, careia i se

poate asocia un vector propriu (nenul) de elemente pozitive (sau nule).


Demonstratie. (1) Fie λM o valoare proprie de modul maximal si fie v un vector propriu asociat

valorii proprii λM . Are loc Av = λMv, adica pe coordonaten∑j=1

aijvj = λMvi, ∀i = 1, n, deci

|λM | |vi| ≤n∑j=1

|aijvj| ≤n∑j=1

|aij| |vj| , ∀i = 1, n;

fie p =

|v1|...

|vn|

= |v| ; cum aij > 0, are loc

|λM | p ≤ Ap;

presupunem prin reducere la absurd ca ∃k ∈ 1, · · · , n astfel încât

|λM | |vk| <n∑j=1

akj |vj|

si fie z = (A− |λM | I) p; are loc z > 0 ⇒ Az >6=

0 si Ap >6=

0 ⇒ ∃ε > 0,

Az >6=εAp >

6=0;

dar

Az = A (A− |λM | I) p = A2 − |λM |Ap

deci

A2p = Az + |λM |Ap >6=εAp+ |λM |Ap = (ε+ |λM |)Ap;

cu B = 1ε+|λM |A >

6=0, are loc

BAp >6=Ap

si deci are loc prin recurenta

BkAp >6=Ap;

din faptul ca λM este valoare proprie de modul maximal, urmeaza ca B are toate valorile proprii

de modul subunitar, deci limm→∞

Bm = 0 (matricea nula de ordin n); prin trecere la limita, rezulta

ca 0 >6=Ap contradictie cu existenta indicelui k, asa ca are loc

|λM | p = Ap

(2) Se aplica 1. pentru matricea A+ εU, cu U matricea de ordin n care are toate elementele 1, dupa

care se trece la limita

3.6. SPATII VECTORIALE PESTE CORPUL NUMERELOR COMPLEXE 169

3.6. Spatii vectoriale peste corpul numerelor complexe

Scopul acestei sectiuni este sa rezume caracteristicile spatiilor vectoriale de tip finit peste C, reprezen-

tate ca (Cn,C). Peste tot în aceasta sectiune bara orizontala deasupra unui obiect se refera la conjugatul

complex [sau la enumerare: 1, n reprezinta toate numerele de la 1 la n].

Daca z = (z1, · · · , zn) ∈ Cn, atunci z = (z1, · · · , zn) [vectorul conjugat este conjugatul componentelor]

Daca u, v ∈ Cn, atunci u+ v = u+ v

Daca α ∈ C si z ∈ Cn, atunci αz = αz

Produsul scalar nu poate fi extins la C în aceeasi forma deoarece (1, i) · (1, i) = 1 · 1 + i · i = 0, asa ca

daca s—ar folosi aceeasi forma de produs scalar ca pe R s—ar obtine vectori nenuli de lungime nula.

Forma folosita este 〈u, v〉 =n∑i=1

uivi (functionala sesquiliniara), pentru care

〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉

〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉

〈αu, v〉 = α 〈u, v〉

〈u, αv〉 = α 〈u, v〉

〈u, v〉 = 〈v, u〉

‖u‖2 = 〈u, u〉 =n∑i=1

uiui ∈ R+ si ‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 0.

Matrici cu elemente complexe:

Daca A = (aij)i=1,m,j=1,n atunci A = (aij)i=1,m,j=1,n [conjugata complexa a matricii este matricea care

are drept componente conjugatele complexe ale componentelor matricii initiale]

A+B = A+ B [conjugarea complexa a sumei este suma conjugatelor complexe]

αA = αA [conjugarea complexa a produsului cu un scalar este produsul cu scalarul conjugat complex

al matricei conjugata complex]

A = A [conjugata complexa a conjugatei complexe este matricea initiala]

AT = AT [conjugata complexa a transpusei este transpusa conjugatei complexe]

A∗ = AT se numeste adjuncta matricii A

o matrice se numeste hermitica (autoadjuncta) daca A = A∗

Daca A este matrice cu componente reale, atunci A∗ = AT

(A+B)∗ = A∗ +B∗

(αA)∗ = αA∗

(A∗)∗ = A

〈u, v〉 = uT v


〈Au, v〉 = 〈u,A∗v〉

CAPITOLUL 4

Spatii afine

[24], [35]

4.1. Definitii

4.1.1. Definitie. Fie un spatiu vectorial (V,K). Multimea A este numita spatiu afin peste V daca exista

o functie (notata aditiv) + : A× V→ A astfel încât (P,~v) 7→ P + ~v ∈ A are proprietatile:

(1) P +~0 = P

(2) P + (~v + ~w) = (P + ~v) + ~w

(3) ∀P,Q ∈ A, ∃!~vP,Q ∈ V, P + ~vP,Q = Q [vectorul ~vP,Q este notat−→PQ]

(A,V,K)

• Un spatiu afin este o actiune tranzitiva a grupului aditiv al spatiului vectorial

• Dimensiunea spatiului afin este prin definitie dimensiunea spatiului vectorial atasat.

Observatii:

• Semnul "+" poate avea semnificatii diferite:

α + β adunarea a doi scalari din K

~v + ~w adunarea a doi vectori din V

P + ~v functia care defineste structura afina [adunarea dintre un punct si un vector de pozitie]

• În contextul grupurilor, functiile care satisfac 1. si 2. sunt numite "actiuni" iar cele care satisfac

si 3. sunt numite "actiuni tranzitive"

• Aplicatia A 3 Q 7→ −→PQ ∈ V este o bijectie.

• Spatiul afin standard atasat unui spatiu vectorial este A = V with vector addition as the affi ne

mapping.

—the set V has elements

—as a vector space, an element is a vector

—as an affi ne space, an element is a point

—the vector ~0 is the origin of the affi ne space [?]

—any point P may be seen as the "position vector"−→OP , with O = ~0.

—the relation P +−→PQ = Q may be seen as

−→OP +

−→PQ =

−→OQ

— for each point P , the set−→PQ of all vectors with origin in P is a vector space.

171

172 4. SPATII AFINE

4.1.2. Definitie. [Affi ne subspace] [linear subvarieties] [linear varieties] If (V0,K) is a vector subspace of

(V,K) and B ⊆ A, then (B,V0,K) is an affi ne subspace of (A,V,K) if: ∀P ∈ B, ∀~v ∈ V0, P + ~v ∈ B and

∀P,Q ∈ B, −→PQ ∈ V0.

• affi ne straight lines: Affi ne subspace of dimension 1

• affi ne plane: Affi ne subspace of dimension 2

• affi ne hyperplane: Affi ne subspace of dimension A− 1

• Notation: ∀P ∈ A, ∀V0 vector subspace of V, P + [V0] = Q ∈ A; Q = P + ~v, ~v ∈ V0 [B is the

linear variety through P directed by V0] [V0 is the direction of B]

4.1.3. Definitie. [The linear variety generated by a finite number of points]

For P1, · · · , Pn ∈ A, the linear variety generated by the points, denoted by 〈P1, · · · , Pn〉, is the smallest

linear variety containing the points.

The dimension of the linear subspace⟨−−→P1P2, · · · ,

−−→P1Pr

⟩is the dimension of the linear variety. When

the dimension of⟨−−→P1P2, · · · ,

−−→P1Pr

⟩is maximal, which means r − 1, the set of points is called affi nely

independent.

4.1.4. Definitie. [The sum of two linear varieties] L1 + L2 is the smallest linear variety containing both

varieties.

4.1.5. Definitie. Two linear varieties P+[V1] and Q+[V2] are called "parallel" when V1 ⊆ V2 or V2 ⊆ V1

4.1.6. Definitie. [Affi ne Frames] An affi ne frame on (A,V,K) is a set R = P, (e1, · · · , en), where P ∈ A

(is called "origin") and (e1, · · · , en) is an ordered basis of (V,K).

4.1.7. Definitie. [Affi ne coordinates] Given (A,V,K) and R, ∀Q ∈ A ∃!q1, · · · , qn ∈ K,−→PQ =

n∑i=1

qiei

Notation: [Q]R = (q1, · · · , qn)

4.1.8. Definitie. Barycenter: Given r points P1, P2, · · · , Pr, the barycenter G is:

G = P1 +1

r

(−−→P1P1 +

−−→P1P2 + · · ·+−−→P1Pr

)For two points, G is the midpoint G = P1 +

1

2

(−−→P1P1 +

−−→P1P2

)4.1.9. Definitie. Collinear points? P , Q, R are collinear when the linear variety generated by them,

〈P,Q,R〉 has dimension 1 (it is a straight line). The linear subspace⟨−→PQ,−→PR⟩has dimension 1.

4.1.10. Definitie. Simple ratio: Consider three collinear points A, B, C ∈ A. The simple ratio λ =

(A,B,C) is the unique scalar λ such that−→AB = λ · −→AC

4.1. DEFINITII 173

4.1.1. Properties. Prop: [Properties of affi ne spaces]

• P + ~v = P + ~w ⇒ ~v = ~w [we may cancel/reduce points] [for any fixed P ∈ A, the function

V 3 ~v 7→ P + ~v ∈ A is injective]

Proof: Denote by Q = P +~v = P + ~w. Then the vectors both satisfy condition 3, which means

that ~v and ~w satisfy the property of−→PQ. Since the vector

−→PQ is unique, we have ~v = ~w.

• P + ~v = Q + ~v ⇒ P = Q [we may cancel/reduce vectors] [for any fixed ~v ∈ V, the function

A 3 P 7→ P + ~v ∈ A is injective]

Proof: From 2., P = P +~0 = P + (~v − ~v) = (P + ~v) + (−~v) = (Q+ ~v) + (−~v) = Q+ (~v − ~v) =

Q+~0 = Q

• −→PQ = ~0 ⇐⇒ P = Q [the null vector is any vector which has the same origin and end—point]

Proof: From 3., if P = Q then P +−→PP = P and since

−→PP is unique and ~0 also satisfies the

relation,−→PP = ~0.

If−→PQ = ~0, then P +~0 = Q and from 1. P = Q.

• −→PQ = −−→QP [the negative vector means the vector with the opposed direction]

Proof: since P +−→PQ = Q and Q +

−→QP = P , it follows P +

(−→PQ+

−→QP)

= P which means

that−→PQ+

−→QP = ~0.

• −→PQ +−→QR =

−→PR [Chasles’identity] [vector addition satisfies the parallelogram law] [Axiom [Aff

1] in [24], page 98]

Proof: P +−→PQ = Q, Q +

−→QR = R, P +

−→PR = R ⇒

(P +−→PQ)

+−→QR = Q +

−→QR = R ⇒

P +(−→PQ+

−→QR)

= R ⇒ −→PQ+−→QR =

−→PR.

• ∀P ∈ A, ∀~v ∈ V, ∃!Q ∈ A, −→PQ = ~v [surjectivity]

Proof: For Q = P + ~v, we have−→PQ = ~v.

• −→PQ =−→PR⇒ Q = R [injectivity]

Proof: P +−→PQ = Q, P +

−→PR = R; if

−→PQ =

−→PR then P +

−→PQ = P +

−→PR ⇒ Q = R.

• Previous surjectivity and injectivity for the mapping P 7→ −→PQ are the axiom [Aff 2] in [24], page

98.

• −→PQ =−→RS ⇒ −→PR =

−→QS [parallels between parallels are equal]

Proof:

P +−→PQ = Q

R +−→RS = S

P +−→PR = R

Q+−→QS = S

−→PR =

−→PQ+

−→QR =

−→QR +

−→RS =

−→QS.

174 4. SPATII AFINE

Prop: If (B,V0,K) is an affi ne subspace of (A,V,K), then ∀P ∈ B, P + [V0] = B.

Proof:

P: Consider B = P + [V0]. Then:

• Q ∈ P + [V0] ⇐⇒ −→PQ ∈ [V0]

• Q ∈ P + [V0]⇒ Q+ [V0] = P + [V0]

• Q,R ∈ P + [V0]⇒ −→QR ∈ [V0]

P: For P1, · · · , Pn ∈ A, 〈P1, · · · , Pn〉 = P1 +⟨−−→P1P2, · · · ,

−−→P1Pr

⟩Proof:

P1 +⟨−−→P1P2, · · · ,

−−→P1Pr

⟩is a linear variety which contains all the points Pk and which is contained in

each linear variety which contains the points.

the dimension of⟨−−→P1P2, · · · ,

−−→P1Pr

⟩is the dimension of the linear variety; when this dimension is

maximal (r − 1) the points are called affi nely independent.

P: [Intersection of two linear varieties]

(P + [V1]) ∩ (Q+ [V2]) 6= ∅ ⇐⇒ −→PQ ∈ V1 + V2

Proof: R ∈ (P + [V1]) ∩ (Q+ [V2]) ⇐⇒

⇐⇒ ∃v1 ∈ V1 such that R = P + v1 and ∃v2 ∈ V2 such that R = Q+ v2 ⇐⇒

⇐⇒ −→PR ∈ V1 and

−→QR ∈ V2 ⇒

−→PQ =

−→PR +

−→RQ ∈ V1 + V2

Conversely, if−→PQ ∈ V1 + V2 then ∃v1 ∈ V1 and ∃v2 ∈ V2 such that

−→PQ = v1 + v2 ⇒

⇒ Q = P +−→PQ = P + v1 + v2 so that P + v1 = Q+ (−v2) ∈ (P + [V1]) ∩ (Q+ [V2])

P:

R ∈ (P + [V1]) ∩ (Q+ [V2])⇒ (P + [V1]) ∩ (Q+ [V2]) = R + [V1 ∩ V2]

Proof: Since R ∈ (P + [V1])∩ (Q+ [V2]), we have P + [V1] = R+ [V1] and Q+ [V2] = R+ [V2] ,so that

(P + [V1]) ∩ (Q+ [V2]) = (R + [V1]) ∩ (R + [V2]) = R + [V1 ∩ V2]

P:

(P + [V1]) + (Q+ [V2]) = P +[V1 + V2 +

⟨−→PQ⟩]

Proof:

P: [Grassmann Formulas]

Consider L1 = P + [V1], L2 = Q+ [V2]

If L1 ∩ L2 6= ∅, then dim (L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim (L1 ∩ L2)

If L1 ∩ L2 = ∅, then dim (L1 + L2) = dimL1 + dimL2 − dim (V1 ∩ V2) + 1

Proof:

P:

If L1||L2 and L1 ∩ L2 6= ∅,then L1 ⊆ L2 or L2 ⊆ L1

4.1. DEFINITII 175

Proof:

P: [Parallels between parallels are equal]

Consider two parallel straight lines r and s cut by two parallel straight lines r′ and s′. Denote their

intersections A = r′ ∩ s, B = s′ ∩ s, C = r ∩ r′, D = r ∩ s′. Then −→AB =−−→CD and

−→AC =

−−→BD.

Proof:

Change of an affi ne frame: Consider two frames R = P, (e1, · · · , en) and R′ = P ′, (f1, · · · , fn).

[P ′]R =

p1

...

pn

, [fj]R =

a1j

...

anj

X ∈ A, [X]R =

x1

...

xn

, [X]R′ =

y1

...

yn

−−→PX =

n∑i=1

xiei

−−→P ′X =

n∑j=1

yjfj

−−→PP ′ =

n∑i=1

piei

fj =n∑i=1

aijei

−−→P ′X =

n∑j=1

yjfj =n∑j=1

yj

(n∑i=1

aijei

)=

n∑j=1

n∑i=1

yjaijei =n∑i=1

(n∑j=1

yjaij

)ei

−−→P ′X =

−−→P ′P +

−−→PX = −

n∑i=1

piei +n∑i=1

xiei =n∑i=1

(xi − pi) ei

⇒ ∀i = 1, n, xi − pi =n∑j=1

aijyj ⇒

⇒

x1

...

xn

=

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

· · · · · · · · ·

an1 · · · ann

y1

...

yn

+

p1

...

pn

[X]R = A [X]R′ + [P ′]R

Equations of a linear variety

Consider:

• an affi ne space (A,V,K) with affi ne frame R = P, (e1, · · · , en),

• a linear variety L = Q+[V0], withQ = (q1, · · · , qn) and (v1, · · · , vr) a basis ofV0, and vj =n∑i=1

aijei,

j = 1, r;

176 4. SPATII AFINE

[vj]R =

a1j

...

anj

, j = 1, r

We have X = (x1, · · · , xn) ∈ L ⇐⇒ ∃λj ∈ K s.t. xi = qi +r∑j=1

λjaij, ∀i = 1, n

[X]R = [Q]R +r∑j=1

λj [vj]R

Equation of a Straight Line:

[X]R = [Q]R + λ [v]R

Lines:

[A]R =

a1

...

an

, [B]R =

b1

...

bn

For λ = 1, Q = A and [B]R = [A]R + [v]R ⇒ [v]R = [B]R − [A]R

So, for the line: [X]R = [A]R + λ ([B]R − [A]R), we have:

The segment AB = X ∈ A; [X]R = [A]R + λ ([B]R − [A]R) , λ ∈ [0, 1]

The line AB = X ∈ A; [X]R = [A]R + λ ([B]R − [A]R) , λ ∈ R

The half—line [AB = X ∈ A; [X]R = [A]R + λ ([B]R − [A]R) , λ ∈ [0,∞)

The half—line [BA = X ∈ A; [X]R = [A]R + λ ([B]R − [A]R) , λ ∈ (−∞, 1]

Ex: A =

1

2

1

, B =

3

3

2

,x = 2λ+ 1

y = λ+ 2

z = λ+ 1

⇒

x = 3− 2z

y = 3− z

z = z

Barycenter: Given r points P1, P2, · · · , Pr, the barycenter G is:

G = P1 +1

r

(−−→P1P1 +

−−→P1P2 + · · ·+−−→P1Pr

)Remark:

1

r

(−−→P1P2 + · · ·+−−→P1Pr

)=−−→P1G⇒

−−→P1P2 + · · ·+−−→P1Pr = r · −−→P1G⇒

⇒ −−→P1G+(−−→P1G−

−−→P1P2

)+ · · ·

(−−→P1G−

−−→P1Pr

)= 0⇒

⇒ −−→P1G+(−−→P2P1 +

−−→P1G

)+ · · ·

(−−→PrP1 +

−−→P1G

)= 0⇒

⇒ −−→P1G+−−→P2G+ · · · −−→PrG = 0 or

−−→GP1 +

−−→GP2 + · · ·+−−→GPr = 0

P: The barycenter is the unique point X such that−−→XP1 +

−−→XP2 + · · ·+−−→XPr = 0

4.1. DEFINITII 177

Proof:

1. G satisfies the relation:

G+−−→GPj = Pj

For j = 2, r,−−→GPj =

−−→GP1 +

−−→P1Pj

−−→GP1 +

−−→GP2 + · · ·+−−→GPr =

−−→GP1 +

(−−→GP1 +

−−→P1P2

)+ · · ·+

(−−→GP1 +

−−→P1Pr

)=

= r · −−→GP1 +−−→P1P2 + · · ·+−−→P1Pr = r · −−→GP1 + r · −−→P1G =

2. G is unique:

If−−→P1G+

−−→P2G+ · · · −−→PrG = 0 and

−−→XP1 +

−−→XP2 + · · ·+−−→XPr = 0, then, by adding them:(−−→

XP1 +−−→P1G

)+(−−→XP2 +

−−→P2G

)+ · · ·+

(−−→XPr +

−−→PrG

)= 0⇒

⇒ r · −−→XG = 0⇒ −−→XG = 0

Remark: we also have G = Pi +1

r

(−−→PiP1 + · · ·+−−→PiPr

)For two points, G is the midpoint G = P1 +

1

2

(−−→P1P1 +

−−→P1P2

)

If [Pj]R =

p1j

...

pnj

, then G =

g1

...

gn

, with gi =1

r

∑rj=1 pij

Remark: Consider three collinear points A, B, C ∈ A.

• −→AB = (A,B,C) · −→AC

• B = A+−→AB = A+ (A,B,C) · −→AC

• If (A,B,C) = λ, then:

—(A,C,B) =1

λ

—(B,A,C) =λ

λ− 1

—(B,C,A) =λ− 1

λ

—(C,A,B) =1

1− λ—(C,B,A) = 1− λ

• The line segment AB =X ∈ A; X = A+ λ

−→AB, λ ∈ [0, 1]

• C ∈ AB ⇐⇒ 0 < (A,C,B) < 1

• C ∈ AB ⇐⇒ (C,A,B) < 0

P: Consider three non—collinear points A, B, C ∈ A, and G their barycenter (centroid/geometric

center). Then the straight line joining A and G meets BC in the midpoint A′ of the points B, C.

Moreover, (A,G,A′) =2

3. [AA′ is called "median"]

Proof:

Thales’Theorem: Consider three parallel straight lines r, s, t that meet two concurrent straight lines

in A, A′ (on r), in B, B′ (on s), in C, C ′ (on t). Then (A,B,C) = (A′, B′, C ′).

178 4. SPATII AFINE

Proof:

Menelaus’Theorem: If a straight line meets the sides of a triangle ABC at P , Q, R, respectively, then

(P,A,B) · (Q,B,C) · (R,C,A) = 1.

Proof:

Ceva’s Theorem: Consider a triangle ABC and three points on its edges PA ∈ [BC], PB ∈ [AC],

PC ∈ [AB]. The straight lines APA, BPB, CPC are concurrent in a point P ⇐⇒ (PA, B, C) · (PB, C, A) ·

(PC , A,B) = −1.

Proof:

Pappus Theorem:

Proof:

Desargue Theorem:

Proof:

?Routh’s Theorem:

Proof:

?van Obel’s Theorem:

Proof:

Bib:

Partea 2

Produse software pentru Algebra Liniara

CAPITOLUL 5

Geogebra

181

CAPITOLUL 6

CARMetal

Produsul software CARMetal, versiunea 3.7.5, disponibil la adresa http://db-maths.nuxit.net/CaRMetal/,

a fost folosit pentru a genera unele dintre vizualizarile incluse în text.

183

Partea 3

Anexe si completari

7

Recapitulari

Logica binara

Logica matematica binara se ocupa de operatii cu enunturi logice si de evaluarea valorii lor de adevar;

se considera numai enunturi logice cu o valoare de adevar din doua posibile. Desi aceasta conventie este

restrictiva, nu este scopul prezentarii de fata sa includa alte situatii, cum ar fienunturile logice "Eu mint",

sau "Acest enunt este fals". Prezentarea de mai jos se refera doar la acele enunturi carora li se poate atasa

o valoare de adevar. Nu sunt incluse comenzile (enunturile imperative), interogatiile, exclamatiile, ci doar

enunturile de tip declarativ.

7.0.11. Definitie. (OPERATII CU ENUNTURI LOGICE):

(1) NEGATIA LOGICA (NON):

p ep

0 1

1 0

Ex:

p: "2 + 3 = 5" ⇒ ep: "2 + 3 6= 5".

p: "Ioana are o casa" ⇒ ep: " Ioana nu are o casa".

(2) CONJUNCTIA LOGICA (SI):

p q p ∧ q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Ex:

p: "Ioana are o casa", q: "Ioana are o asigurare de casa" ⇒ p ∧ q: "Ioana are o casa si o

asigurare de casa"

p: "2 este numar natural", q: "2 este numar întreg" ⇒ p ∧ q: "2 este si numar natural si

întreg"

În limbaj formal: (2 ∈ N) ∧ (2 ∈ Z)⇒ 2 ∈ N ∩ Z (2 face parte din intersectia multimilor)187

188 7. RECAPITULARI

(3) DISJUNCTIA LOGICA (SAU) (SAU INCLUSIV):

p q p ∨ q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Ex:

p: "Ioana are o casa", q: "Ioana are o masina" ⇒ p ∨ q: "Ioana are o casa sau o masina"

(4) (SAU EXCLUSIV):

p q p∨q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Este mai rar folosit si poate fi descris cu ajutorul celorlalti conectori.

Ex:

p: "Ioana are o casa", q: "Ioana are o masina"⇒ p∨q: "Ioana are fie o casa, fie o masina (dar

nu ambele)"

(5) IMPLICATIA LOGICA (Daca—Atunci):

(a) Din adevar implica numai adevar

(b) Din fals implica orice.

Din definitie rezulta urmatoarea tabla de adevar pentru implicatia logica:

p q p→ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Pentru structura p→ q, se mai folosesc denumirile: p: "ipoteza", q: "concluzie".

Ex:

p: "Ioana are o casa", q: "Ioana are o masina" ⇒ p→ q: "Daca Ioana are o casa, atunci are

o masina".

LOGICA BINARA 189

(6) ECHIVALENTA LOGICA (Daca—si—numai—daca):

p q p↔ q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Echivalenta logica poate fi definita folosind ceilalti conectori: p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)

Ex:

p: "Ioana are o masina", q: "Ioana are carnet de conducere" ⇒ p ↔ q: "Ioana are o masina

daca si numai daca are carnet de conducere"

7.0.12. Definitie. [Tautologie] Un enunt logic este numit "tautologie" daca este adevarat indiferent de

valoarea de adevar a enunturilor componente.

Ex: p: "Ioana are o masina" ⇒ p∨ep: "Ioana are o masina sau nu" este o tautologie.

7.0.13. Definitie. [Enunturi echivalente] Doua enunturi logice se numesc "echivalente" daca p ↔ q este

o tautologie.

7.0.14. Definitie. [Enunturi mai puternice] Se spune despre un enunt logic p ca "este mai tare decât" un

enunt logic q daca p→ q este tautologie si q → p nu este tautologie.

Ex: Pentru orice doua enunturi p, q, enuntul p ∧ q este mai tare decât enuntul q.

Exercitiu: Sa se decida daca pentru enunturile "(p ∧ q)→ r" si "p→ r" se poate afirma ca unul dintre

ele este mai puternic decât celalalt.

7.0.15. Definitie. [Contradictie] Un enunt logic este numit "contradictie" daca este fals indiferent de

valoarea de adevar a enunturilor componente.

Ex: p: "Ioana are o masina" ⇒ p∧ep: "Ioana are o masina si nu are" este o contradictie.

Toate enunturile logice pot fiexprimate folosind enunturi descriptive si conectorii logici e, ∨, ∧. Se vor

prezenta pe scurt proprietatile acestor conectori logici si legaturile dintre ei si alte operatii logice.

7.0.16. Observatie. (PROPRIETATI ALE CONECTORILOR e, ∨, ∧) (Pot fi verificate cu

table de adevar):

(1) e (ep) ≡ p (principiul tertului exclus)

Dem: tabla de adevar

190 7. RECAPITULARI

(2) p ∨ q ≡ q ∨ p (comutativitate)


(3) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (asociativitate)


(4) p ∨ 1 ≡ 1 (proprietatea de ultim element)


(5) p ∨ 0 ≡ p (proprietatea de element neutru)


(6) p ∨ p ≡ p (idempotenta)


(7) p ∧ q ≡ q ∧ p (comutativitate)


(8) p ∧ p ≡ p (idempotenta)


(9) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (asociativitate)


(10) p ∧ 0 ≡ 0 (proprietatea de prim element)


(11) p ∧ 1 ≡ p (proprietatea de element neutru)


(12) e (p ∨ q) ≡ep∧eq (Regulile lui DeMorgan)


Ex: Sa se afle negatia enuntului logic "În vacanta merg la mare sau la munte". Se noteaza p:

"În vacanta merg la mare" si q: "În vacanta merg la munte"; enuntul initial este p ∨ q. Negatia

este e (p ∨ q) ≡ep∧eq, care poate fi tradusa: "În vacanta nu merg nici la mare si nici la munte".

(13) e (p ∧ q) ≡ep∨eq


(14) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributivitatea conjunctiei fata de disjunctie)


(15) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)


LOGICA BINARA 191

7.0.17. Teorema. [Reducerea disjunctiei exclusive la e, ∨, ∧]

p∨q ≡ (p ∨ q)∧e (p ∧ q) ≡ (p∧eq) ∨ (q∧ep) .

Demonstratie. Tabla de adevar.

7.0.18. Teorema. [Reducerea echivalentei la implicatie]

p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p) .

Demonstratie. Tabla de adevar.

7.0.19. Teorema. (Reducerea implicatiei logice la operatii elementare)

p→ q ≡ep ∨ q.

Demonstratie. Prin tabla de adevar.

7.0.20. Teorema. (Negarea implicatiei logice)

e (p→ q) ≡ p∧eq.

Demonstratie. e (p→ q) ≡e (ep ∨ q) ≡e (ep)∧eq ≡ p∧eq.

Ex: p: "Mi—e foame", q: "Manânc" ⇒ p → q: "Daca mi—e foame, manânc" ⇒ e (p→ q) ≡ p∧eq:

"Mi—e foame si nu manânc".

Un raspuns frecvent întâlnit la întrebarea "Cum se neaga "Daca mi—e foame, manânc"?" este r: "Daca

nu mi—e foame, nu manânc".

Se observa ca r ≡ (ep)→ (eq) iar tabla de adevar arata ca cele doua enunturi logice spun altceva:

p q p→ q e (p→ q) (ep)→ (eq)

0 0 1 0 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

1 1 1 0 1

Se mai observa ca r ≡ (ep) → (eq) ≡ (eep) ∨ (eq) ≡ p∨eq ≡ q → p asa ca r spune, de fapt, acelasi

lucru ca si enuntul: "Daca manânc, mi—e foame".

7.0.21. Teorema. (Principiul demonstratiei prin reducere la absurd)

p→ q ≡ (eq)→ (ep).

Demonstratie. p→ q ≡ep ∨ q ≡ q∨ep ≡e (eq)∨ep ≡ (eq)→ (ep).

192 7. RECAPITULARI

7.1. Predicate logice

7.1.1. Definitie. Se numeste predicat logic orice functie p (·) : D → P (multimea propozitiilor) (orice

functie care are drept codomeniu multimea propozitiilor) (domeniul poate fi privit ca multimea de para-

metri ai predicatului)

Predicatele logice pot fiprivite si ca reformulari ale unor constructii de tip "daca—atunci": a spune "un

patrat este un dreptunghic" este acelasi lucru cu "daca x este un patrat, atunci x este un dreptunghi" sau

"orice patrat este un dreptunghi". Formularea "x este un dreptunghi" este un predicat p (x) unde x este

o figura geometrica.

7.1.2. Definitie. Afirmatia "pentru orice valoare posibila a lui x, are loc p (x)" se formalizeaza prin

"∀x, p (x)" iar semnul "∀" se numeste "cuantificator logic universal".

7.1.3. Definitie. Afirmatia "exista o valoare posibila a lui x, pentru care are loc p (x)" se formalizeaza

prin "∃x, p (x)" iar semnul "∃" se numeste "cuantificator logic existential".

7.1.4. Definitie. Afirmatia "exista o unica valoare posibila a lui x, pentru care are loc p (x)" se formal-

izeaza prin "∃!x, p (x)" si are semnificatia

∃!x, p (x) ≡ (∃x, p (x)) ∧ ((p (x1) ∧ p (x2))→ x1 = x2) .

Negatii ale enunturilor logice obtinute din predicate cu cuantificatori:

e (∀x, p (x)) ≡ ∃x, ep (x) ,

e (∃x, p (x)) ≡ ∀x, ep (x)

7.1.5. Exemplu. Negatia enuntului logic: „Toti oamenii sunt muritori”este: "Exista oameni nemuritori",

deoarece structura este e (∀x p (x)) ≡ ∃xep (x).

7.1.6. Exemplu. Negatia enuntului logic: „Orice e nervos, tipa" este "exista oameni nervosi si care nu

tipa", deoarece structura este e (∀x (p (x)→ q (x))) ≡ ∃x (p (x)∧eq (x)).

7.1.7. Observatie. Cuantificatorii logici (existential si universal) nu comuta:

∀x ∃yx p (x, y) 6= ∃y∀xp (x, y)

7.2. Multimi

Printre caracteristicile secolelor XIX si XX în matematica se numara si definitivarea constructiei

matematicii ca sistem axiomatic. Una dintre constatari este ca, axiomatic vorbind, totul porneste de

7.2. MULTIMI 193

la notiunea de multime. Notiunea însasi de multime nu poate fi definita. De altfel, pentru orice stiinta se

ridica întrebarea: „Ce notiuni foloseste acea stiinta dar nu le poate defini riguros?”. Pentru matematica,

raspunsul este: „Notiunea de multime”. În general, raspunsurile posibile pentru aceasta întrebare sunt

consecinte ale ciclului de rezultate teoretice obtinute de Kurt Gödel în prima jumatate a secolului XX,

despre incompletitudinea unui sistem axiomatic. În esenta si fara a se intra în mai multe detalii, s—a

stabilit ca orice sistem axiomatic este incomplet sau contradictoriu; asta înseamna, printre altele, ca orice

stiinta necontradictorie trebuie sa se astepte la probleme indecidabile si sa aiba maturitatea de a le depasi.

7.2.1. Operatii cu multimi. Operatiile cu multimi vor fiprezentate pentru o multime nevida fixata

Ω si submultimi ale ei. Multimea fara elemente este notata ∅ (multimea vida).

7.2.1. Definitie. Operatiile de baza cu multimi sunt: reuniune, intersectie, complementara. Relatia dintre

o multime si elementele ei este cea de apartenenta. Relatia de baza între multimi este incluziunea.

Reuniune: A ∪B = x ∈ Ω; x ∈ A ∨ x ∈ B

Intersectie: A ∩B = x ∈ Ω; x ∈ A ∧ x ∈ B

Complementara: CΩA = x ∈ Ω; x ∈ A ∧ x 6∈ Ω

Incluziune: A ⊆ B ⇐⇒ (∀x ∈ A, x ∈ B)

Egalitate: A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧B ⊆ A)

Multimea partilor: P (Ω) = A; A ⊆ Ω

7.2.2. Observatie. Fie A, B, C ∈ P (Ω). Prin CA se va întelege complementara multimii A fata de Ω.

Operatiile cu multimi au urmatoarele proprietati:

(1) A ∪ A = A (idempotenta reuniunii);

(2) A ∪ Ω = Ω (proprietatea de ultim element a reuniunii);

(3) A ∩ A = A (idempotenta intersectiei);

(4) A ∩ Ω = A (proprietatea de element neutru a intersectiei);

(5) A ∪ ∅ = A (proprietatea de element neutru a reuniunii);

(6) A ∩ ∅ = ∅ (proprietatea de prim element a intersectiei);

(7) A ∪B = B ∪ A (comutativitatea reuniunii);

(8) A ∩B = B ∩ A (comutativitatea reuniunii);

(9) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C = A ∪B ∪ C (asociativitatea reuniunii);

(10) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C = A ∩B ∩ C (asociativitatea intersectiei);

(11) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributivitatea reuniunii fata de intersectie);

(12) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (distributivitatea intersectiei fata de reuniune);

194 7. RECAPITULARI

(13) A ∪ (A ∩B) = A;

(14) A ∩ (A ∪B) = A;

(15) A ∪ CA = Ω;

(16) A ∩ CA = ∅;

(17) CCA = A;

(18) C (A ∪B) = CA ∩ CB; C(⋃i∈IAi

)=⋂i∈ICAi (relatiile lui DeMorgan);

(19) C (A ∩B) = CA ∪ CB; C(⋂i∈IAi

)=⋃i∈ICAi (relatiile lui DeMorgan);

(20) A \B = A ∩ CB (diferenta a doua multimi);

7.2.3. Definitie. Multimile A si B se numesc disjuncte daca A ∩B = ∅.

7.2.4. Definitie. Se numeste produs cartezian a doua multimi A si B multimea:

A×B = (a, b); a ∈ A ∧ b ∈ B.

7.2.5. Observatie. Alte proprietati:

(1) A \ (B ∪ C) = (A \B) \ C;

(2) A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);

(3) (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);

(4) (A ∩B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩B;

(5) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C);

(6) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C);

(7) A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C);

7.2.2. Relatii.

7.2.6. Definitie. Fie X, Y doua multimi. Se numeste relatie (corespondenta) binara între multimile X

si Y orice triplet R = (X, Y,GR), unde GR este o submultime a produsului cartezian, GR ⊆ X × Y . X

se numeste domeniul de definitie al relatiei, Y se numeste codomeniul relatiei iar GR se numeste graficul

relatiei. Multimea

DR = x ∈ X; ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ GR ⊆ X

se numeste domeniul (efectiv) al relatiei R. Multimea

ImR = y ∈ Y ; ∃x ∈ X, (x, y) ∈ GR ⊆ Y

7.2. MULTIMI 195

se numeste imaginea relatiei. Relatia R−1 = (Y,X,GR−1) definita prin

GR−1 = (y, x) ; (x, y) ∈ GR ⊆ Y ×X

se numeste relatia inversa relatiei R. Relatia ∆X = (X,X,G∆X) definita prin G∆X

= (x, x) ; x ∈ X ⊆

X ×X se numeste relatia identitate pe X.

7.2.7. Definitie. Fie X, Y , Z trei multimi si relatiile R1 = (X, Y,GR1), R2 = (Y, Z,GR2). Relatia

R = (X,Z,GR) definita prin:

GR = (x, z) ; x ∈ X, z ∈ Z si ∃y ∈ Y a.î. (x, y) ∈ GR1 si (y, z) ∈ GR2

se numeste compunerea relatiilor R1 si R2 si se noteaza R2 R1 (R2 R1 = R).

7.2.8. Observatie. Operatia de compunere a relatiilor este asociativa dar nu este comutativa.

7.2.9. Definitie. R = (X,X,GR) se numeste relatie de preordine daca are proprietatile:

(1) Reflexivitate: G∆X⊆ GR (∀x ∈ X, (x, x) ∈ GR);

(2) Tranzitivitate: (x, y), (y, z) ∈ GR ⇒ (x, z) ∈ GR.

7.2.10. Definitie. R = (X,X,GR) se numeste relatie de echivalenta daca este relatie de preordine

si are în plus proprietatea de simetrie: GR−1 ⊆ GR ((x, y) ∈ GR ⇒ (y, x) ∈ GR). Multimea x =

y ∈ X; (x, y) ∈ GR se numeste clasa de echivalenta a lui x în raport cu relatia R. Multimea claselor de

echivalenta (multimea cât a lui X în raport cu R) se noteaza cu X/R.

7.2.11. Observatie. Daca R este o relatie de echivalenta pe X si x este clasa de echivalenta a unui

element, atunci:

(1) x ∈ x, ∀x ∈ X;

(2) (x, y) ∈ R⇔ x = y;

(3) (x, y) /∈ R⇔ x ∩ y = ∅.

7.2.12. Definitie. R = (X,X,GR) se numeste relatie de ordine (preferinta) daca este relatie de preordine

si în plus are proprietatea de antisimetrie: GR ∩ GR−1 = G∆X((x, y) ∈ GR si (y, x) ∈ GR ⇒ x = y).

Relatia de ordine se numeste totala daca ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ GR sau (y, x) ∈ GR (GR ∪ GR−1 = X ×X)

si se numeste partiala daca nu este totala. Perechea (X,R) se numeste multime ordonata (de relatia de

ordine R). O multime ordonata se numeste inductiv ordonata daca orice submultime total ordonata a sa

este majorata.

7.2.13. Observatie. (Lema lui Zorn) Orice multime inductiv ordonata are un element maximal.

196 7. RECAPITULARI

7.2.14. Observatie. Daca R este relatie de ordine pe X, atunci R−1 este tot relatie de ordine pe X (se

mai numeste relatia de ordine duala relatiei R).

Demonstratie. Reflexivitatea: x ∈ X ⇒ (x, x) ∈ GR ⇒ (x, x) ∈ GR−1 ;

Tranzitivitatea: Fie (x, y) ∈ GR−1 si (y, z) ∈ GR−1 ⇒ (y, x) ∈ GR si (z, y) ∈ GR ⇒ (z, x) ∈ GR ⇒

(x, z) ∈ GR−1 ;

Antisimetria: (x, y) ∈ GR−1 si (y, x) ∈ GR−1 ⇒ (x, y) ∈ GR si (y, x) ∈ GR ⇒ x = y

7.2.15. Definitie. Fie X o multime ordonata si A ∈ P (X).

• A se numeste majorata (minorata) daca ∃a ∈ X astfel încât (x, a) ∈ GR ((a, x) ∈ GR) ∀x ∈ A.

Elementul a se numeste majorant (minorant) al multimii A.

• Daca multimea majorantilor (minorantilor) lui A este minorata (majorata) atunci minorantul

majorantilor (majorantul minorantilor) este unic si se numeste supremul (infimul) multimii A (se

noteaza supA, respectiv inf A).

• a ∈ X se numeste maximal (minimal) daca ∀x ∈ X, (a, x) ∈ R ((x, a) ∈ R) ⇒ x = a.

• Daca A = X este majorata (minorata), atunci majorantul (minorantul) este unic si se numeste

ultim element (prim element).

7.2.3. Functii.

7.2.16. Definitie. O relatie R = (X, Y,GR) se numeste de tip functie (functionala) daca are proprietatile:

(1) ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y , (x, y) ∈ GR;

(2) (x, y1) ∈ GR si (x, y2) ∈ GR ⇒ y1 = y2.

7.2.17. Observatie. Doua relatii sunt egale daca cele doua triplete sunt egale, adica daca domeniile,

codomeniile si graficele sunt egale.

7.2.18. Definitie. Fie f (·) : X → Y o functie. Pentru A ⊆ X, multimea

f (A) = f (x) ; x ∈ A ⊆ Y

se numeste imaginea directa a multimii A prin functia f (·) iar pentru B ⊆ Y multimea

f−1 (B) = x; f (x) ∈ B ⊆ X

se numeste preimaginea multimii B prin functia f (·).

7.2.19. Observatie. Fie f (·) : X → Y o functie. Au loc urmatoarele afirmatii:

7.2. MULTIMI 197

(1)

∀A ∈ P (X) , ∀B ∈ P (Y ) , f (A) ⊆ B ⇔ A ⊆ f−1 (B)

(2)

∀A ∈ P (X) , f(f−1 (A)

)⊆ A ⊆ f−1 (f (A))

(3)

∀A ∈ P (X) , ∀B ∈ P (Y ) , f(A ∩ f−1 (B)

)= f (A) ∩B

(4)

∀ (Bi)i∈I ⊆ P (Y ) , f−1

(⋃i∈IBi

)=⋃i∈If−1 (Bi)

(5)

∀ (Bi)i∈I ⊆ P (Y ) , f−1

(⋂i∈IBi

)=⋂i∈If−1 (Bi)

(6)

∀B ∈ P (Y ) , f−1 (CB) = Cf−1 (B)

(7)

∀ (Ai)i∈I ⊆ P (X) , f

(⋃i∈IAi

)=⋃i∈If (Ai)

(8)

∀ (Ai)i∈I ⊆ P (X) , f

(⋂i∈IAi

)⊆⋂i∈If (Ai)

Demonstratie. Exercitiu.

7.2.4. Operatii cu functii. Ca regula generala, cu doua (sau mai multe) functii se pot efectua oper-

atii algebrice în anumite conditii iar rezultatul operatiei este o noua functie. Conditiile sunt urmatoarele:

• Functiile trebuie sa aiba acelasi codomeniu; operatiile algebrice care pot fi efectuate cu functii

sunt corespondentele operatiilor algebrice care pot fi efectuate cu elementele codomeniului co-

mun. Rezultatul operatiei dintre functii este o noua functie care are drept codomeniu codomeniul

comun al celor doua functii. Daca functiile au drept codomenii multimi diferite, operatia nu se

poate efectua (eventual se poate face mai întâi, în conditii specifice, o operatie de transformare a

codomeniilor)

• Daca functiile au acelasi domeniu de definitie atunci rezultatul operatiei dintre functii este o

noua functie care are drept domeniu de definitie domeniul de definitie comun al functiilor. Daca

domeniile de definitie sunt diferite, se poate eventual defini rezultatul operatiei ca o functie care

are drept domeniu de definitie partea comuna a domeniilor de definitie ale functiilor participante

la operatie (intersectia domeniilor); daca nu au parte comuna, operatia nu poate fi definita.

198 7. RECAPITULARI

Exemple:

Daca f (·) , g (·) : D → R sunt doua functii cu codomeniul real definite pe aceeasi multime D, cu aceste

doua functii se pot efectua operatiile care pot fi efectuate cu numere reale: adunare, înmultire, scadere,

împartire. Se obtin urmatoarele functii—rezultat:

• Functia—suma s (·) : D → R, s (·) := (f + g) (·), definita prin s(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈ D.

• Functia—produs p (·) : D → R, p (·) := (fg) (·), definita prin p(x) = f(x)g(x) ∀x ∈ D.

• Functia—diferenta (f − g) (·) : D → R, definita prin (f − g)(x) := f(x)− g(x) ∀x ∈ D

• Functia—cât h (·) : D1 → R, definita prin h (x) := f(x)g(x)∀x ∈ D1 pe multimea D1 = x ∈ D|g(x) 6=

0.

Existenta unei structuri de ordine pe codomeniul comun al functiilor permite extinderea relatiei de

ordine si la functii; daca f (·) , g (·) : D → R sunt doua functii cu codomeniul real definite pe aceeasi

multime D, atunci se spune ca f (·) ≤ g (·) daca are loc f (x) ≤ g (x) ∀x ∈ D; se obtine astfel o relatie

de ordine între functii, care pierde din caracteristicile initiale ale relatiei dintre elemente (noua relatie

nu mai este totala, în sensul ca pentru doua functii se poate întâmpla sa nu fie comparabile, chiar daca

elementele codomeniului sunt toate comparabile). De asemenea, se extind la functii notiunile de maxim,

minim, modul:

h (·) : D → R, h(x) := max(f(x), g(x)) (maximul a doua functii), k (·) : D → R, k(x) := min(f(x), g(x))

(minimul a doua functii), |f | (·) : D → R, |f | (x) := |f (x)| (modulul unei functii).

7.3. Multimi uzuale de numere

Multimea Definitia Denumirea

N 1, 2, · · · , n, · · · naturale

Z 0, 1,−1, 2,−2, · · · , n,−n, · · · întregi

Qab; a ∈ Z, b ∈ N∗

rationale

R Se va defini ulterior reale

C a+ bi; a, b ∈ R complexe

N ⊂6=Z ⊂6=Q ⊂6=R ⊂6=C

−3 ∈ Z \ N, −3

2∈ Q \ Z,

√2 ∈ R \ Q.

Demonstratie: Presupunem prin reducere la absurd ca√

2 ∈ Q. Atunci exista a, b ∈ N astfel încât√

2 =a

b⇒ 2b2 = a2 ⇒ a este multiplu de 2 ⇒ a = 2k ⇒ 2b2 = 4k2 ⇒ b2 = 2k2 ⇒ b este multiplu de 2 ⇒

fractiaa

bse poate simplifica prin 2. Deci, daca

√2 ar fi rational, atunci ar fi o fractie simplificabila prin 2

de oricâte ori, ceea ce este o contradictie

7.3. MULTIMI UZUALE DE NUMERE 199

7.3.1. Structura zecimala a numerelor. Fractii zecimale:

Fractii Cu numar finit de zecimale 1, 2

zecimale Cu numar infinit de zecimale periodice simple 0, (3)

periodice mixte 0, 2 (3)

neperiodice π

Fie a ∈ 0, 1, · · · , 9. Atunci numarul x = 0, (a) =a

9:

Dem:

x = 0, (a) = 0, aaaaaaaa · · · = 1

10· (a, (a)) =

1

10· (a+ 0, (a)) =

=1

10· (a+ x) ⇒ 10x = a+ x ⇒ 9x = a ⇒ x =

a

9.

Analog, 0, (a1 · · · ak) =a1 · · · ak10k − 1

=a1 · · · ak99 · · · 9︸︷︷︸k ori

Numerele irationale se reprezinta ca fractii zecimale neperiodice: structura lor zecimala nu se repeta.

Câteva numere irationale:

π = 3, 141592653589793238462643383279502 884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

e = 2, 718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427

ln 2 = 0, 693147180559945309417232121458176568075500134360 2552541206800094933936219696947156058633269964186875

7.3.2. Multimea numerelor reale.

• Pe multimea numerelor rationale se considera multimea sirurilor Cauchy. Doua siruri Cauchy

rationale (pn)n∈N si (qn)n∈N sunt echivalente daca sirul—diferenta (pn − qn)n∈N tinde la 0, limn→∞

(pn − qn) =

0. Un numar real este o clasa de echivalenta formata din toate sirurile Cauchy de numere rationale

echivalente cu un sir Cauchy fixat. Detaliile acestei constructii fac parte din cursul de Analiza.

• Structura (R,+) este grup abelian cu element nul 0.

—Structura (Z,+) este subgrup în structura (R,+);

—Structura (Z,+) este grup ciclic, în sensul ca este generata de un singur element, elementul

1 (sau −1).

—Structura (Z,+) este cel mai mic subgrup în (R,+) care contine 1.

7.3.3. Multimea numerelor complexe. Informatiile si rezultatele din aceasta subsectiune sunt

rezumate din [1]1 si din [18].

Se considera multimea R2 împreuna cu operatiile:

adunare: (x1, y1) +c (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

înmultire: (x1, y1) ·c (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

1Lucrarea poate fi consultata atât pentru detalii de demonstatii cât si pentru exemple de exercitii de liceu (inclusiv la nivelde olimpiada).

200 7. RECAPITULARI

[se face distinctie între operatiile de adunare si înmultire pe R, notate + respectiv ·, si noile operatii,

notate +c si ·c]

7.3.1. Observatie (Proprietati ale operatiilor de adunare si înmultire). (1) Doua elemente (x1, y1)

si (x2, y2) sunt egale ⇐⇒ x1 = x2 si y1 = y2.

(2) Adunarea +c:

(a) este comutativa,

(b) este asociativa,

(c) are elementul (0, 0) ca element neutru,

(d) orice element (x, y) are invers fata de adunare (opus), care este elementul (−x,−y).

(3) Înmultirea ·c:

(a) este comutativa,

(b) este asociativa,

(c) are elementul (1, 0) ca element neutru,

(d) orice element z = (x, y) 6= (0, 0) are invers fata de înmultire, care este elementul z−1 =(x

x2 + y2,− y

x2 + y2

).

(4) Înmultirea este distributiva fata de adunare.

(5) Structura C = (R2,+c, ·c) este un corp comutativ (este identificat ca si "corp al numerelor com-

plexe").

(6) Multimea R×0 ⊆ R2 este parte stabila a lui R2 în raport cu fiecare dintre operatiile de adunare

+c si de înmultire ·c. Structura (R× 0,+c, ·c) este subcorp pentru structura (R2,+c, ·c).

(7) Se considera structurile (R,+, ·) (structura obisnuita de numere reale) si (R× 0,+c, ·c). Functia

f (·) : R→ R × 0 definita prin f (x) = (x, 0) este bijectiva si este morfism de corpuri (deci

izomorfism de corpuri), adica are proprietatile:

(a) f (x) +c f (y) = f (x+ y),

(b) f (x) ·c f (y) = f (x · y)

Din acest motiv, "se identifica" elementul (x, 0) cu x ∈ R ["(x, 0) = x"]

(8) Elementul (0, 1) se numeste "unitatea imaginara" si se noteaza cu i [(0, 1) = i]2

(9) Se observa ca (y, 0)·c(0, 1) = (y · 0− 0 · 1, y · 1 + 0 · 0) = (0, y), si atunci se poate scrie y·ci = (0, y)

[elementul (0, y) se numeste "numar pur imaginar"]

(10) Distinctia dintre operatiile + si +c respectiv · si ·c se va face din context (nu va mai fi facuta prin

simboluri distincte).

(11) Un numar complex este (x, y) = (x, 0)+c (0, y) = x+c i ·c y (forma algebrica a numarului complex)

2Se pare ca notatia i pentru√−1 a fost folosita pentru prima data de matematicianul elvetian Leonhard Euler în 1777.


(a) z = (x, y) = x+ iy

(b) Elementul x este numit "partea reala a numarul complex z" [x = Re (z)]

(c) Elementul y este numit "partea imaginara a numarului complex z" [y = Im (z)]

(12) Proprietati ale unitatii imaginare i:

(a) i0 = 1, i1 = i,

(b) (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)⇒ i2 = −1

(i) se mai spune si ca i este solutie complexa a ecuatiei polinomiale x2 + 1 = 0

(ii) se mai scrie si ca i =√−1, dar în folosirea acestei scrieri trebuie facuta o distinctie

legata de semnul "√·", si anume ca o data cu aceasta notatie apare si un concept nou:

"radical complex", care este diferit de "radical real".

(iii) Definitia radicalului real este: Dat fiind a ∈ R+, se numeste radical [real] un numar

b ∈ R+ astfel încât b2 = a.

[unicitate] Se constata ca pentru fiecare a ∈ R+ nu pot exista mai multi radicali reali

distincti [radicalul real este unic], deoarece daca a = b21 = b2

2 atunci (b1 − b2) (b1 + b2) =

0 si cum numerele b1 si b2 sunt ambele reale pozitive, b1 + b2 ≥ 0 si b1 + b2 = 0 ⇐⇒

b1 = b2 = 0, asa ca b1 + b2 > 0 deci b1 = b2 este singura posibilitate.

(c) i3 = −i, i4 = 1, i−1 =1

i= i3 = −i.

(d) pentru n ∈ N∗, i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, i−n = (−i)n.

(13) Proprietati ale puterilor întregi ale numerelor complexe:

(a) pentru z = 0 si n ∈ N∗, 0n = 0.

(b) pentru z 6= 0, z0 = 1, z1 = z, pentru n ∈ N∗, zn = z · · · · z︸︷︷︸n ori

,1

z= z−1, z−n = (z−1)

n.

(c) ∀n,m ∈ Z, zn · zm = zn+m,zn

zm= zn−m, (zn)m = znm, (z1z2)n = zn1 z

n2 ,(z1

z2

)n=zn1zn2.

7.3.2. Definitie. Daca z = a + bi este un numar complex, numarul z = a − bi se numeste conjugatul

complex al lui z.

7.3.3. Observatie (Proprietati al conjugatului complex). (1) (z) = z

(2) z ∈ R ⇐⇒ z = z

(3) ∀z ∈ C, zz ∈ R+

(4) z1 + z2 = z1 + z2

(5) z1z2 = z1z2

(6) ∀z 6= 0, z−1 = z−1

(7) ∀z2 6= 0,(z1

z2

)=z1

z2

(8) Re (z) =z + z

2, Im (z) =

z − z2i

.

202 7. RECAPITULARI

7.3.4. Definitie. Daca z = a+ bi este un numar complex, modulul lui este: |z| =√a2 + b2

7.3.5. Observatie (Proprietati ale modulului unui numar complex). (1) |z| ∈ R+; |z| = 0 ⇐⇒

z = 0.

(2) |z| = |−z| = |z|

(3) zz = |z|2

(4) |z1 · z2| = |z1| · |z2|

(5) |z−1| = |z|−1

(6)

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

(7) Re (z), Im (z) ∈ [− |z| , |z|]

(8) |z| ≤ |Re (z)| + |Im (z)| [în membrul stâng modulul este complex iar în membrul drept modulele

sunt reale]

(9) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

(10) ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|

7.3.6. Definitie. Pentru z = a + bi ∈ C, perechea (a, b) se numeste imaginea geometrica a numarului

complex z.

7.3.7. Observatie (Interpretari în termeni geometrici). (1) Multimea R2 a tuturor perechilor (a, b)

se numeste planul complex.

(2) Axele de coordonate se numesc axa reala si axa imaginara.

(3) Numarul complex z poate fi identificat cu vectorul de pozitie al punctului (a, b).

(4) Modulul |z| este lungimea vectorului de pozitie [se mai numeste raza polara a punctului (a, b)].

(5) Adunarea numerelor complexe corespunde adunarii vectorilor de pozitie.

(6) Înmultirea cu un numar real a unui numar complex corespunde înmultirii cu un scalar a vectorului

de pozitie.

(7) Unghiul dintre axa reala pozitiva si vectorul de pozitie al punctului (a, b) 6= (0, 0) da argumentul

numarului complex (nenul). Determinarea acestui unghi se face folosind functii trigonometrice

si inversele lor, si are de depasit doua dificultati: prima este legata de periodicitatea functiilor

trigonometrice iar a doua este legata de domeniul/codomeniul functiilor inverse ale celor trigono-

metrice [desi functia tangenta tan (·) este definita pe domeniul R \ 2k + 1

2π; k ∈ Z, pentru a fi

inversabila trebuie considerata doar pe(−π

2,π

2

)].

(a) Prima dificultate este rezolvata prin introducerea a doua notiuni: Arg (z) (argumentul numaru-

lui complex) si arg (z) (valoarea principala a argumentului numarului complex), legate în-

tre ele de relatia Arg (z) = arg (z) + 2kπ; k ∈ Z, care mai este folosita si în forma


Arg (z) = arg (z) + 2kπ, k ∈ Z [importanta distinctiei dintre Arg (·) si arg (·) se va vedea

ulterior, la extinderea în complex a functiilor uzuale reale]

(b) A doua dificultate este rezolvata prin definirea atenta a valorii principale a argumentului,

pentru fiecare situatie importanta: se folosesc functiile tan (·) : (−π, π) → R si arctan (·) :

R→ (−π, π) iar functia arg (·) : C \ 0 → (−π, π] este definita astfel:

arg (a+ bi) =

arctan

(b

a

), a > 0, b ∈ R

arctan

(b

a

)+ π, a < 0, b > 0

arctan

(b

a

)− π, a < 0, b < 0

π

2, a = 0, b > 0

−π2, a = 0, b < 0

π, a < 0, b = 0.

(8) Modulul r = |z| si argumentul ϕ = arg (z) al numarului complex (perechea (r, ϕ)) se numesc

coordonatele polare ale numarului complex.

(9) Date fiind coordonatele polare r si ϕ ale numarului complex z, forma algebrica z = a + bi se

gaseste cu formulele: a = r cosϕ,

b = r sinϕ.

(10) Forma trigonometrica a unui numar complex z = a+bi este z = |z|·(cosϕ+ i sinϕ) [= |z| · (cos arg (z) + i sin arg (z)) = |z| · (cosArg (z) + i sinArg (z))],

iar printre motivele pentru care aceasta forma alternativa este utila sunt formule cum ar fi:

(a) z1 = r1 (cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = r2 (cosϕ2 + i sinϕ2)⇒ z1z2 = r1r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2))

[de fapt arg (z1 + z2) = arg (z1) + arg (z2) , arg (z1) + arg (z2)− π, arg (z1) + arg (z2) + π ∩

(−π, π]]

(b) [Formula lui DeMoivre]: z = r (cosϕ+ i sinϕ)⇒ zn = rn (cosnϕ+ i sinnϕ)

(c) z1 = r1 (cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = r2 (cosϕ2 + i sinϕ2)⇒ z1

z2

=r1

r2

(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2))

(11) Radical complex:

(a) [Radacina complexa de ordin n a unui numar complex]: z = r (cosϕ+ i sinϕ) ⇒ n√z =

n√r

(cos

ϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπ

n

), k = 0, n− 1

(b) [Radacina complexa de ordin n a unitatii]: n√

1 =

(cos

2kπ

n+ i sin

2kπ

n

), k = 0, n− 1

(c) [Radacina complexa de ordin 2 dintr—un numar complex]: z = a+bi = a±|b| i =

(√|z|+ Re (z)

2±√|z| − Re (z)

2

)2

.

7.3.8. Observatie. Desi multimea numerelor complexe este gasita ca fiind similara altor multimi/structuri,

similaritatile nu sunt "perfecte", în sensul ca, de exemplu, înmultirea unui numar complex cu un numar

204 7. RECAPITULARI

complex nu—si gaseste corespondent (canonic) în planul complex [exista interpretari în contexte particu-

lare]. Aceasta observatie ar trebui sa îndemne la precautii atunci când sunt folosite reprezentari considerate

similare cu C (cum ar fimultimea R2 sau planul complex).

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ

Forma exponentiala:

z = |z| · eiϕ

7.4. Cardinalitatea multimilor uzuale de numere

7.4.1. Definitie. O multime se numeste numarabila daca exista o bijectie între ea si multimea numerelor

naturale. (Definitie echivalenta: o multime se numeste numarabila daca poate fi pusa sub forma unui sir

în care orice termen sa poata fi atins dupa un numar finit de pasi)

• N este o multime numarabila, pentru ca poate fi pusa sub forma:

N = 0, 1, 2, · · · , n, · · · , în care fiecare termen poate fi atins dupa un numar finit de pasi (se

construieste un sir care contine toate elementele multimii si în care indicele fiecarui element este

finit)

7.4.2. Observatie. Pot ficonstruite modalitati „proaste”de numarare: daca aceleasi elemente ale sirului

sunt puse astfel încât mai întâi se numara toate numerele pare si apoi toate numerele impare, la cele impare

nu se ajunge dupa un numar finit de pasi, deci desi multimea este numarabila, procedeul de numarare este

gresit.

• Z este o multime numarabila: elementele multimii pot fi puse sub forma unui sir, astfel:

a0 = 0, a1 = 1, a2 = −1, a3 = 2, a4 = −2, · · ·

Z = 0, 1,−1, 2,−2, · · · , n,−n, · · ·

(se alterneaza numerele întregi negative cu cele întregi pozitive).

• Multimea Q este numarabila: Un procedeu adecvat de numarare este cel al lui Cantor:

Este clar ca daca se reuseste numararea adecvata a numerelor rationale pozitive, procedeul

poate fi folosit si pentru numararea adecvata a numerelor rationale negative si folosind procedeul

de numarare a numerelor întregi (alternarea numerelor pozitive cu cele negative) se obtine o

numarare adecvata a multimii Q.

Procedeul de numarare al lui Cantor (pentru numerele rationale pozitive):

Se organizeaza numerele rationale pozitive într—un tabel în care linia i este ocupata de fractiile

cu numaratorul i iar coloana j de fractiile cu numitorul j; se obtine un tablou cu un numar infinit

de linii si de coloane, dar cu diagonalele secundare finite.

7.4. CARDINALITATEA MULTIMILOR UZUALE DE NUMERE 205

1

1

1

2

1

2

6

1

3· · · 1

n· · ·

3

2

1

5

2

2

2

3· · · 2

n· · ·

4

3

1

3

2

3

3· · · 3

n· · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·m

1

m

2

m

3· · · m

n· · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Diagonalele sunt:1

1

1

2

1

23

2

1

6

1

35

2

24

3

1

· · ·

Numararea pe aceste diagonale secundare duce la atingerea fiecarui termen dupa un numar

finit de pasi.

• Multimea R nu este numarabila:

Demonstratie:

Demonstram ca intervalul [0, 1] (⊂ R) nu este numarabil, prin reducere la absurd: presupunem

ca ar fi numarabil. Atunci ar exista un sir astfel încât [0, 1] = x1, x2, · · · , xn, · · · .

Construim sirul de intervale închise (Ik)k∈N astfel:

1) sectionam intervalul [0, 1] în trei intervale [0, 1] =[0, 1

3

]∪[

13, 2

3

]∪[

23, 1]închise si de lungimi

egale iar dintre acestea alegem ca I1 un interval care nu contine x1. Deci dupa alegere se obtine

intervalul I1 cu proprietatile:

a) I1 = [a1, b1] ⊂ [0, 1] (I1 este un interval închis, inclus în [0, 1]).

b) b1 − a1 = 13.

c) x1 6∈ I1.

2) Pentru fiecare k > 1 aplicam intervalului Ik−1 procedura de la pasul 1) (cu intervalul Ik−1

în locul intervalui [0, 1]) pentru a obtine intervalul Ik cu urmatoarele proprietati:

a) Ik = [ak, bk] ⊂ Ik−1 (Ik este un interval închis, inclus în Ik−1)

b) bk − ak = bk−1−ak−13

.

c) xk 6∈ Ik.

Se obtine astfel sirul de intervale (Ik)k>0 cu urmatoarele proprietati:

a) toate elementele sirului sunt intervale închise, incluse în [0, 1] iar sirul este descrescator (în

sensul ca Ik ⊂ Ik−1)

b) lungimea intervalului Ik este 13k.

c) xj 6∈ Ik ∀j = 1, k

Din aceste proprietati se observa ca marginile intervalelor formeaza doua siruri (ak)k>0 cresca-

tor si (bk)k>0 descrescator, toate elementele sirului (ak)k>0 fiind mai mici decât toate elementele

206 7. RECAPITULARI

sirului (bk)k>0. Pentru ca cele doua siruri sunt monotone si marginite, sunt convergente la limitele

notate a, respectiv b si are loc a ≤ b. Se obtine ca intersectia⋂k>0

Ik = [a, b] (deci, în particular,

nevida) iar orice element al acestei intersectii nu poate fi membru al sirului (xn)n>0 (din con-

structia sirului de intervale). Asadar a fost gasit macar un element din [0, 1] care nu este element

al sirului, contradictie cu presupunerea ca [0, 1] s—ar putea scrie sub forma unui sir, în care fiecare

termen sa poata fi atins dupa un numar finit de pasi.

Rezulta ca multimea R nu este numarabila.

• Multimea tuturor sirurilor infinite de 0 si 1 este nenumarabila.

Demonstatie:

Presupunem ca multimea poate fi pusa sub forma unui sir s1 = (sn1 )n∈N, s2 = (sn2 )n∈N, · · · de

siruri de 0 si 1. Se construieste sirul s = (sn)n∈N astfel: sn =

0, daca snn = 1

1, daca snn = 0. Sirul s este un

nou sir de 0 si 1, contradictie.

• Nota: (R,Q) este spatiu vectorial de dimensiune egala cu cardinalitatea lui R.

7.5. Notiuni generale despre matrici

7.5.1. Definitie. Se numestematrice (engl. matrix, pl. matrices) o functie care are ca domeniu de definitie

un produs cartezian I×J si care asociaza fiecarei perechi (i, j) ∈ I×J câte o expresie (matematica) (orice

reprezentare dreptunghiulara de expresii matematice).

7.5.2. Observatie. Multimile I si J sunt privite traditional ca multimi finite de indici (pot fi considerate

si infinite; când va fi cazul, se va face distinctia în context); reprezentarea acestor functii se face tabelar,

dar exista si alte conventii.

Prin conventie multimea I indexeaza liniile iar J indexeaza coloanele.

O matrice cu m linii si n coloane se mai numeste matrice de tip (m,n).

Matricile de tip (m, 1) sau (1, n) se mai numesc vectori (coloana, respectiv linie).

Pentru fiecare alegere posibila a indicilor de linie si de coloana (i, j) se mai numeste loc (pozitie,

celula) al (a) matricii; valoarea care se afla pe un loc se mai numeste intrare (trebuie facuta distinctie

între locul (i, j) si elementul aij care ocupa locul, adica între argument si valoarea din codomeniu atasata

argumentului).

Operatiile cu matrici care vor fidescrise în continuare nu au întodeauna sens pentru expresii matematice

oarecare; de obicei, diverse operatii se efectueaza numai asupra unor anumite tipuri de matrici iar diferenta

se face din context.

7.5. NOTIUNI GENERALE DESPRE MATRICI 207

7.5.3. Definitie. Se numeste submatrice a unei matrici restrictia matricii la o submultime de indici: daca

A = (aij)i∈I,j∈J si I0 ⊆ I, J0 ⊆ J , atunci A0 = (aij)i∈I0,j∈J0 este o submatrice a lui A (orice restrictie a

functiei care defineste matricea). Exemplu: A (i|j) este submatricea obtinuta din matricea initiala A prin

îndepartarea liniei i si coloanei j.

Operatii standard cu matrici: Adunare, scadere, înmultire a doua matrici (în cazul particular al în-

multirii unei matrici linie cu o matrice coloana, operatia se mai numeste si produs scalar), înmultirea unei

matrici cu o expresie.

Fie A = (aij)i=1,n,j=1,m o matrice;

7.5.4. Definitie. AT = (aji)i=1,n,j=1,m se numeste transpusa lui A (engl. transpose of A) (este matricea

care are drept coloane liniile matricii A).

7.5.5. Definitie. Pentru matrici cu elemente numere complexe, adjuncta hermitica (transpusa hermitica,

transpusa conjugata, etc.) (engl. Hermitian transpose, conjugate transpose, adjoint, Hermitian adjoint,

etc) a unei matrici este matricea care se obtine din matricea initiala prin transpunere si trecere la conjugata

complexa pentru elementele matricii initiale.

7.5.6. Definitie. Adjuncta (adjuncta clasica) (engl. adjugate, classical adjoint) (a) unei matrici este

transpusa matricii cofactorilor.

7.5.7. Definitie. Cofactorul (engl. cofactor) locului (i, j) al matriciiA este numarulAij = (−1)i+j detA (i|j).

A−1 =1

detAAdjugateA

7.5.8. Definitie. In = (δij)i=1,n,j=1,n se numeste matrice identitate (engl. identity matrix);

0n,m = (0)i=1,n,j=1,m se numeste matrice nula (engl. null matrix);

matrice patratica ( engl. square matrix): n = m (numarul de linii si de coloane este egal);

diagonala principala a unei matrici patratice: locurile (i, i), i = 1, n; prin extindere, diagonala princi-

pala a unei matrici oarecare este formata din locurile (i, i), i = 1,min (n,m)

matrice simetrica ( engl. symmetric matrix): A = AT (nu poate fi decât patratica);

Matrice diagonala (engl. diagonal matrix): (di · δij)i=1,n,j=1,n (elemente oarecare pe diagonala princi-

pala, zero în rest);

matrice superior(inferior) triunghiulara ( engl.upper(lower) triangular matrix): o matrice patratica

pentru care elementele sub (peste) diagonala principala sunt nule;

matrice strict superior (inferior) triunghiulara ( engl. strictly upper (lower) triangular matrix): o

matrice patratica pentru care elementele sub (peste) diagonala principala sunt nule, inclusiv diagonala

principala.

208 7. RECAPITULARI

Matrice ortonormala pe coloane (engl. column orthonormal matrix):

ATA = I

Matrice ortonormala (engl. orthonormal matrix):

A patratica si ATA = I

Rangul unei matrici (engl. rank of a matrix): dimensiunea maxima a unei submatrici patratice a

matricii, care are determinantul nenul (numarul maxim de coloane care, privite ca vectori coloana într—un

spatiu vectorial, formeaza un sistem liniar independent).

Matrice inversa a lui A (engl. the inverse matrix of A): o matrice B care satisface relatiile: AB =

BA = I.

Matrice patratica inversabila (nesingulara) (engl. nonsingular matrix): matrice de rang maxim (echiv.

matrice pentru care exista o matrice inversa);

Matrice de rang maxim (engl. full rank): matrice pentru care RangA = min n,m;

Urma unei matrici patratice A (engl. trace of matrix A): suma elementelor de pe diagonala principala

a unei matrici patratice.

7.5.9. Observatie. (1) A superior triunghiulara ⇒ AT inferior tringhiulara.

(2) Daca o matrice A ∈Mn,n (R) este strict superior (inferior) triunghiulara, atunci An = 0.

7.5.10. Observatie. Daca exista matricea inversa, este unica; de obicei se noteaza cu A−1.

Demonstratie. Din AB1 = B1A = I si AB2 = B2A = I rezulta ca B1 si B2 au aceleasi dimensiuni

iar B1 = B1I = B1 (AB2) = (B1A)B2 = IB2 = B2.

7.5.11. Definitie. 1n este o matrice coloana de dimensiune n si cu toate elementele egale cu 1.

enij este matricea patratica de dimensiune n care are pe locul (i, j) valoarea 1 si 0 în rest

7.5.12. Observatie. Se observa ca

enijenkl =

0 daca j 6= k

enil daca j = k.

T nij (a) = In + aenij se numeste matrice elementara (transformare elementara), pentru i 6= j; înmultirea la

stânga a unei matrici (nu neaparat patratice, de dimensiune (n,m)) cu matricea elementara T nij (a) are ca

rezultat o noua matrice (tot de dimensiune (n,m)), ale carei linii corespund cu liniile vechii matrici, mai

putin linia i care este înlocuita cu valoarea obtinuta prin adunarea la vechea linie i a liniei j înmultita cu


a (liniai + a · liniaj → liniai). T nij (a)A este rezultatul operatiei elementare (între linii): se aduna la linia

i linia j înmultita cu a si rezultatul se scrie pe linia i (operatie de atribuire).

7.5.13. Exemplu. T 424 (a) =

1 0 0 0

0 1 0 a

0 0 1 0

0 0 0 1

;

T 424 (a)·A =

1 0 0 0

0 1 0 a

0 0 1 0

0 0 0 1

a11 a12 a13 a14 a15

a21 a22 a23 a24 a25

a31 a32 a33 a34 a35

a41 a42 a43 a44 a45

=

a11 a12 a13 a14 a15

a21 + aa41 a22 + aa42 a23 + aa43 a24 + aa44 a25 + aa45

a31 a32 a33 a34 a35

a41 a42 a43 a44 a45

ATmij (a) este rezultatul operatiei elementare (între coloane): se aduna la coloana j coloana i înmultita

cu a.

T 432 (a) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 a 1 0

0 0 0 1

;

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

1 0 0 0

0 1 0 0

0 a 1 0

0 0 0 1

=

a11 a12 + aa13 a13 a14

a21 a22 + aa23 a23 a24

a31 a32 + aa33 a33 a34

7.5.14. Observatie. Proprietati ale matricilor elementare:

(1) detT nij (a) = 1,

(2) T nij (a)T nij (b) =(In + aenij

) (In + benij

)= In + (a+ b) enij = T nij (a+ b) (produsul a doua matrici

elementare este tot o matrice elementara) (proprietate de parte stabila),

(3) T nij (0) = In este element neutru

T nij (a)T nij (−a) = T nij (0) = In (T nij (a) este nesingulara cu inversa T nij (−a)) (cu alte cuvinte, trans-

formarile elementare sunt reversibile).

(4)

1 01n

0n1 T nij (a)

= T n+1i+1j+1 (a)

7.5.15. Definitie. Se numeste matrice de transformare orice produs finit de matrice elementare.

7.5.16. Definitie. Qnij, i < j (matrice de permutare) (permutation matrix) este matricea obtinuta din

matricea unitate In prin permutarea între ele a liniei i si a liniei j (poate fiprivita si ca matricea obtinuta

din matricea unitate prin permutarea între ele a coloanelor i si j).

210 7. RECAPITULARI

7.5.17. Observatie. QnijA este matricea care are aceleasi linii ca matricea initiala A, dar liniiile i si j

sunt schimbate între ele.

7.5.18. Observatie. AQnij este matricea care are aceleasi coloane ca matricea initiala, dar coloanele i si

j sunt schimbate între ele.

7.5.19. Definitie. Rnij, i < j este este matricea obtinuta din matricea unitate In prin permutarea între

ele a liniei i si a liniei j, linia j fiind cu semn schimbat (elementul de sub diagonala principala este −1)

(poate fi privita si ca matricea obtinuta din matricea unitate prin permutarea între ele a coloanelor i si j,

cu elementul de sub diagonala principala de valoare −1).

7.5.20. Observatie. Qnij = T nij (−1)T nji (1)T nij (−1) In (deci Qn

ij este matrice de transformare), adica se fac

succesiv urmatoarele operatii asupra matricii identitate:

(1) se scade din linia i linia j si se pune rezultatul în locul liniei i,

(2) se aduna la linia j linia i si se pune rezultatul în locul liniei j,

(3) se scade din linia i linia j si se pune rezultatul în locul liniei i.

7.5.21. Observatie. Rnij = T nji (−1)T nij (1)T nji (−1)(deci Rn

ij este matrice de transformare), adica se fac

succesiv urmatoarele operatii asupra matricii identitate:

(1) se scade din linia j linia i si se pune rezultatul în locul liniei j,

(2) se aduna la linia i linia j si se pune rezultatul în locul liniei i,

(3) se scade din linia j linia i si se pune rezultatul în locul liniei j.

7.5.22. Exemplu. Qn23 =

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

;

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

=

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

a41 a42 a43

;

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

=

a11 a13 a12 a14

a21 a23 a22 a24

a31 a33 a32 a34

;


R423 =

1 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

;

1 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43

=

a11 a12 a13

a31 a32 a33

−a21 −a22 −a23

a41 a42 a43

;

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

1 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

=

a11 −a13 a12 a14

a21 −a23 a22 a24

a31 −a33 a32 a34

;

7.5.23. Observatie. Exista o matrice de transformare care transforma

a1

a2

...

an

6= 0Rn în

1

0

...

0

(= en1 ).

7.5.24. Teorema. Fie A = (aij)i=1,n,j=1,m o matrice nenula. Atunci exista r ∈ N ∩ [1,min n,m] si o

matrice de transformare U (de dimensiune n) astfel încât UA =

0 .. 0 1 b1j1+1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. b1m

0 .. 0 0 .. 0 1 b2j2+1 .. .. .. .. .. .. .. b2m

0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 1 b3j3+1 .. .. .. .. b3m

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 1 brjr+1 .. brm

0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 0 .. .. 0

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 0 .. 0 0 .. .. 0

cu 1 ≤ j1 < · · · < jr; o matrice de forma de mai sus se numeste matrice scara (esalon) (de fapt, forma

în scara pe linie a matricii initiale) (engl. row echelon form); se caracterizeaza prin urmatoarele: primele

j1 − 1 coloane sunt identic nule, submatricea formata din coloanele j1 + 1 pâna la j2 − 1 si liniile 2 pâna

la n este submatrice nula, etc (elementele unitare, deci nenule de pe locurile (1, j1), · · · , (r, jr) formeaza o

pseudodiagonala (scara), iar elementele la stânga si sub aceasta pseudodiagonala sunt nule) (numarul de

zerouri de la începutul fiecarei linii creste strict odata cu indicele de linie).

212 7. RECAPITULARI

Demonstratie. Prin inductie dupa dimensiunile matricii: presupunem rezultatul adevarat pentru

orice matrice de tip (n0,m0) cu n0 < n, m0 < m; fie j1 prima coloana a matricii A care are macar un

element nenul. Exista o transformare elementara care aduce elementul nenul pe linia 1, anuleaza toate

celelalte elemente ale coloanei j1 si transforma elementul nenul în 1. Submatricea obtinuta prin înlaturarea

coloanelor 1− j1 si liniei 1 este de dimensiuni (n− 1,m− j1) si conform ipotezei de inductie poate fiadusa

la o forma esalon qed.

7.5.25. Observatie. matricea A si orice matrice esalon a ei au acelasi rang.

7.5.26. Observatie. O alta forma de tip esalon este forma esalon redusa pe linie (reduced row echelon

form), care are urmatoarele proprietati:

(1) Numarul de zerouri de la începutul fiecarei linii creste odata cu indicele liniei.

(2) Primul element nenul al fiecarei linii este egal cu 1.

(3) Fiecare coloana care contine prima valoare nenula a unei linii are celelalte elemente nule.

7.6. Operatii cu matrici

7.6.1. Definitie. Produs matricial (product of matrices) pentru matrici compatibile din punct de vedere

al produsului matricial, i.e. numarul de coloane al primei matrici este egal cu numarul de linii al celei de—a

doua matrici (engl. commensurate matrices):

A = (aij)i=1,n,j=1,m , B = (bjl)j=1,n,l=1,p , C = AB,

C = (cil)i=1,n,l=1,p , cil =m∑j=1

aijbjl, ∀i = 1, n, l = 1, p

7.6.2. Definitie. Multiplicare cu un scalar (engl. scalar multiplication):

A = (aij)i=1,n,j=1,m , λ ∈ C, C = λA, C = (cij)i=1,n,j=1,m

cij = λaij, ∀i = 1, n, j = 1,m

7.6.3. Definitie. Suma matriciala (engl. sum of matrices):

A = (aij)i=1,n,j=1,m , B = (bij)i=1,n,j=1,m , C = A+B

C = (cij)i=1,n,j=1,m , cij = aij + bij, ∀i = 1, n, j = 1,m

7.6.4. Definitie. Transpunere (engl. transpose):

A = (aij)i=1,n,j=1,m , C = A′ = AT = tA

C = (cij)i=1,n,j=1,m , cij = aji, ∀i = 1, n, j = 1,m

7.7. ALTE OPERATII CU MATRICI 213

7.6.5. Definitie. Urma (Trace) unei matrici patratice:

Tr (A) =

n∑i=1

aii

7.6.6. Observatie. Daca A ∈Mn,m (R) si B ∈Mm,n (R), atunci Tr (AB) = Tr (BA).

Demonstratie. Pentru A = (aij)i=1,n,j=1,m, B = (bij)i=1,m,j=1,n,

AB = (cij)i=1,n,j=1,n, cu cij =m∑k=1

aikbkj, iar

BA = (dij)i=1,m,j=1,m, cu dij =n∑k=1

akibjk;

Tr (AB) =n∑l=1

cll =n∑l=1

(m∑k=1

alkbkl

)=

m∑k=1

(n∑l=1

alkbkl

)=

m∑k=1

dkk = Tr (BA)

7.6.7. Definitie. Se numeste determinantul matricii patratice A, numarul

det (A) =∑σ∈Sn

ε (σ)∏n

k=1akσ(k)

7.6.8. Observatie. detA =n∑k=1

aikδik (dezvoltarea determinantului dupa linia i)=n∑k=1

akjδkj(dezvoltarea

determinantului dupa coloana j), unde:

7.6.9. Definitie. complementul algebric al locului (pozitiei) (i, k) este: δik = (−1)i+k dik

7.6.10. Definitie. minorul locului (pozitiei) (i, k) se noteaza dik si este determinantul submatricii obtinute

prin eliminarea liniei i si coloanei k.

7.6.11. Definitie. Se numeste permanentul matricii patratice A, numarul

Permanent (A) =∑σ∈Sn

∏nk=1akσ(k)

7.7. Alte operatii cu matrici

7.7.1. Definitie. Produs între elementele matricilor (engl. element product)

A. ∗B = C, cij = aijbij, ∀i = 1, n, j = 1,m

7.7.2. Definitie. Împartire între elementele matricilor (engl. element division):

A.÷B = C, cij =aijbij, ∀i = 1, n, j = 1,m

7.7.3. Definitie. Conditie logica (engl. logical condition):

A. ≤ B = C, cij =

1, aij ≤ bij

0, aij 6≤ bij

, ∀i = 1, n, j = 1,m

214 7. RECAPITULARI

7.8. Matrici partitionate

7.8.1. Definitie. Produs Kronecker (produs direct): A⊗ B = (aijB) (rezultatul este o matrice obtinuta

astfel: fiecare loc al matricii A este ocupat de elementul de pe locul (i, j) înmultit cu matricea B)

7.8.2. Definitie. Suma directa (engl. direct sum):A⊕B =

A 0

0 B

7.8.3. Observatie. (produsul a doua matrici partitionate) Pentru A =

A11 A12

A21 A22

, B =

B11 B12

B21 B22

obtinem

AB =

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

Demonstratie. Pentru A = (aij)i=1,n,j=1,m, B = (bjk)j=1,m,k=1,p; produsul este C = (cik)i=1,n,k=1,p,

unde cik =m∑j=1

aijbjk. Partitionarea matricii A este: A11 =(a11ij

)i=1,n1,j=1,m1

, A12 =(a12ij

)i=1,n1,j=m1+1,m

,

A21 =(a21ij

)i=n1+1,n,j=1,m1

, A22 =(a22ij

)i=n1+1,n,j=m1+1,m

Analog se descrie partitionarea matricii B: B11 =

(b11jk

)j=1,m1,k=1,p1

, B12 =(b12jk

)i=1,m1,j=p1+1,p

,

B21 =(b21jk

)j=m1+1,m,k=1,p1

, B22 =(b22jk

)j=m1+1,m,k=p1+1,p

Din cik =

m∑j=1

aijbjk =m1∑j=1

aijbjk +m∑

k=m1+1

aijbjk rezulta:

∗ (cik)i=1,n1,k=1,p1=

(m1∑j=1

aijbjk +m∑

j=m1+1

aijbjk

)i=1,n1,k=1,p1

=

=

(m1∑j=1

a11ij b

11jk +

m∑j=m1+1

a12ij b

21jk

)i=1,n1,k=1,p1

⇒ (cik)i=1,n1,k=1,p1= A11B11 + A12B21

∗ (cik)i=1,n1,k=p1+1,p =

(m1∑j=1

aijbjk +m∑

j=m1+1

aijbjk

)i=1,n1,k=p1+1,p

=

=

(m1∑j=1

a11ij b

12jk +

m∑j=m1+1

a12ij b

22jk

)i=1,n1,k=p1+1,p

⇒ (cik)i=1,n1,k=p1+1,p = A11B12 + A12B22

∗ (cik)i=n1+1,n,k=1,p1=

(m1∑j=1

aijbjk +m∑

j=m1+1

aijbjk

)i=n1+1,n,k=1,p1

=

=

(m1∑j=1

a21ij b

11jk +

m∑j=m1+1

a22ij b

21jk

)i=n1+1,n,k=1,p1

⇒ (cik)i=n1+1,n,k=1,p1= A21B11 + A22B21

∗ (cik)i=n1+1,n,k=p1+1,p =

(m1∑j=1

aijbjk +m∑

j=m1+1

aijbjk

)i=n1+1,n,k=p1+1,p

=

=

(m1∑j=1

a21ij b

12jk +

m∑j=m1+1

a22ij b

22jk

)i=n1+1,n,k=p1+1,p

⇒ (cik)i=n1+1,n,k=p1+1,p = A21B12 + A22B22

7.8. MATRICI PARTITIONATE 215

Am demonstrat ca AB =

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22

A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

7.8.4. Observatie. Consideram A11 A12

A21 A22

A22 −A12

−A21 A11

=

A11A22 − A12A21 A12A11 − A11A12

A21A22 − A22A21 A22A11 − A21A12

Daca A11 si A12 comuta are loc: A11 A12

A21 A22

A22 −A12

−A21 A11

=

A11A22 − A12A21 0

A21A22 − A22A21 A22A11 − A21A12

Daca A21 si A22 comuta avem: A11 A12

A21 A22

A22 −A12

−A21 A11

=

A11A22 − A12A21 A12A11 − A11A12

0 A22A11 − A21A12

7.8.5. Observatie. det

A11 0

A21 I

= detA11, det

I 0

A21 A11

= detA11.

Demonstratie. Se dezvolta determinantul dupa coloanele (respectiv liniile) corespunzatoare matricii

unitate; când s—au terminat, ceea ce ramâne este detA11


A11 0

0 A22

= detA11 detA22.

Demonstratie. Se observa ca are loc relatia: A11 0

0 I

I 0

0 A22

=

A11 0

0 A22

si prin trecere la determinanti se obtine ca

det

A11 0

0 A22

= det

A11 0

0 I

det

I 0

0 A22

= detA11 detA22.


A11 0

A21 A22

= detA11 detA22.

216 7. RECAPITULARI

Demonstratie. Se observa ca A11 0

A21 A22

=

A11 0

A21 I

I 0

0 A22

,asa ca

det

A11 0

A21 A22

= det

A11 0

A21 I

det

I 0

0 A22

= detA11 detA22.


I A12

A21 A22

= det (A22 − A21A12).

Demonstratie. Se observa ca

det

I A12

0 A22 − A21A12

= det

I 0

−A21 I

det

I A12

A21 A22

= det

I A12

A21 A22

si se obtine det

I A12

A21 A22

=

det (A22 − A21A12)

7.8.9. Observatie. DacaA =

A11 A12

A21 A22

siA11 sunt patratice inversabile, are loc: detA = detA11 det(A22 − A21A

−111 A12

)

Demonstratie.

A11 A12

A21 A22

=

A11 0

0 I

I A−111 A12

A21 A22

⇒⇒ det

A11 A12

A21 A22

= detA11 det(A22 − A21A

−111 A12

)

7.8.10. Observatie. Pentru o matrice

In1 B

C D

, se obtine prin transformari elementare I B

0 D − CB

.

Demonstratie. Evidentn2∏i=1

n1∏k=1

T(n1+i,k) (−cik) =

In1 0

−C In−n1

. Rezulta In1 0

−C In−n1

In1 B

C D

=

In1 B

−C + C D − CB

=

I B

0 D − CB

7.8.11. Exemplu.

1 0 0 0

0 1 0 0

−a31 0 1 0

0 0 0 1

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

=

7.8. MATRICI PARTITIONATE 217

=

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 a32 a33 − a13a31 a34 − a31a14

a41 a42 a43 a44

;

1 0 0 0

0 1 0 0

0 −a32 1 0

0 0 0 1

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 a32 a33 − a13a31 a34 − a31a14

a41 a42 a43 a44

=

=

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 0 a33 − a13a31 − a23a32 a34 − a31a14 − a32a24

a41 a42 a43 a44

;

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−a41 0 0 1

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 0 a33 − a13a31 − a23a32 a34 − a31a14 − a32a24

a41 a42 a43 a44

=

=

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 0 a33 − a13a31 − a23a32 a34 − a31a14 − a32a24

0 a42 a43 − a13a41 a44 − a14a41

;

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 −a42 0 1

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 0 a33 − a13a31 − a23a32 a34 − a31a14 − a32a24

0 a42 a43 − a13a41 a44 − a14a41

=

=

1 0 a13 a14

0 1 a23 a24

0 0 a33 − a13a31 − a23a32 a34 − a31a14 − a32a24

0 0 a43 − a13a41 − a23a42 a44 − a14a41 − a24a42

.

Se observa ca:a33 − a13a31 − a23a32 a34 − a31a14 − a32a24

a43 − a13a41 − a23a42 a44 − a14a41 − a24a42

=a33 a34

a43 a44

−a31 a32

a41 a42

a13 a14

a23 a24

.

Forma transformarii:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 −a42 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−a41 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 −a32 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

−a31 0 1 0

0 0 0 1

=

218 7. RECAPITULARI

=

1 0 0 0

0 1 0 0

−a31 −a32 1 0

−a41 −a42 0 1

7.8.12. Observatie. Daca A =

A11 A12

A21 A22

, C = A22−A21A−111 A12 si A11 sunt patratice si nesingulare,

atunci se obtine

A−1 =

A−111 + A−1

11 A12C−1A21A

−111 −A−1

11 A12C−1

−C−1A21A−111 C−1

.

Demonstratie. Fie B =

B11 B12

B21 B22

= AD. Obtinem

B11 = A11

(A−1

11 + A−111 A12C

−1A21A−111

)− A12C

−1A21A = I

B12 = −A11A−111 A12C

−1 + A12C−1 = −A12C

−1 + A12C−1 = 0

B21 = A21

(A−1

11 + A−111 A12C

−1A21A−111

)− A22C

−1A21A−111 = 0

B22 = −A21A−111 A12C

−1 + A22C−1 =

(−A21A

−111 A12 + A22

)C−1 = I

pentru D =

A−111 + A−1

11 A12C−1A21A

−111 −A−1

11 A12C−1

−C−1A21A−111 C−1

.Rezulta B = AD =

I 0

0 I

si A−1 = D.

7.8.13. Observatie. A = (A1 A2) ⇒ AT =

AT1

AT2

A =

A11 A12

A21 A22

⇒ AT =

AT11 AT21

AT12 AT22

7.9. Inversa Moore—Penrose a unei matrici oarecare. Descompunerea în valori singulare

(SVD)

7.9.1. Definitie. Daca A ∈M(m,k) (R), A− ∈M(k,m) (R) se numeste inversa generalizata a lui A în sens

Moore—Penrose daca satisface urmatoarele conditii:

(1) AA−A = A

(2) A−AA− = A−

(3) AA− si A−A sunt simetrice

7.9.2. Observatie. Inversa Moore—Penrose este unica.

7.9. DESCOMPUNEREA îN VALORI SINGULARE (SVD) 219

Demonstratie. Fie B− care satisface si ea (i), (ii), (iii). Atunci:

A− = A−AA− = (A−A)TA− = AT (A−)

TA− = (AB−A)

T(A−)

TA− = AT (B−)

TAT (A−)

TA− = AT (B−)

T(A−A)

TA− =

AT (B−)TA−AA− = AT (B−)

TA− =

= (B−A)TA− = B−AA− = B− (AA−)

T= B− (A−)

TAT = B−AB− (A−)

TAT = B− (AB−)

T(A−)

TAT =

B− (B−)TAT (A−)

TAT = B− (B−)

T(AA−A)

T=

= B− (B−)TAT = B− (AB−)

T= B−AB− = B−.

7.9.3. Observatie. Fie A ∈ M(m,k) (R); atunci AT(k,m)

A(m,k)

∈ M(k,k) (R) este simetrica si pozitiv semi-

definita.

Demonstratie. A ∈M(m,k) (R), x ∈ Rk (vector coloana)⇒ Ax ∈ Rm (vector coloana) si (Ax)T Ax =<

Ax,Ax >≥ 0 ⇔ xT(ATA

)x ≥ 0 adica ATA ∈ M(k,k) (R) este pozitiv semidefinita; pentru ca

(ATA

)T=

AT(AT)T

= ATA, rezulta ca matricea ATA este si simetrica.

7.9.4. Observatie. Daca produsul dintre o matrice si transpusa ei este matricea nula atunci matricea

este nula.

Demonstratie. Diagonala pricipala a produsului este suma patratelor elementelor fiecarei linii din

matricea initiala.

7.9.5. Teorema. (Aflarea SVD si a inversei generalizate) Orice matrice A ∈ M(m,k) (R) de rang r poate

fi descompusa într—un produs A(m,k)

= U(m,r)· D

(r,r)· V T

(r,k)(eng. SVD=Singular Value Decomposition), unde:

(1) D este matrice diagonala (r, r) cu elementele pe diagonala principala strict pozitive descrescatoare

(d11 ≥ d22 ≥ · · · ≥ drr > 0)

(2) U si V sunt matrici ale caror coloane sunt vectori ortonormali, de dimensiuni respectiv (m, r) si

(k, r) (i.e. UT

(r,m)· U

(m,r)= V T

(r,k)· V

(k,r)= Ir

(r,r)iar U

(m,r)· UT

(r,m)= Im, UT

(r,m)· U

(m,r)= Ir).

(3) Mai mult, inversa generalizata în sens Moore—Penrose a matricii A este A−(k,m)

= V(k,r)

D−1

(r,r)UT

(r,m), unde

V ∈M(k,r), D ∈M(r,r), U ∈M(m,r).

Demonstratie. Fie A ∈ M(m,k) (R); atunci AT(k,m)

A(m,k)

∈ M(k,k) (R) este simetrica si pozitiv semi-

definita. ∃W ∈M(k,k) (R) astfel încât

W T(ATA

)W

este diagonala (admite o baza ortonormala formata din vectori proprii în care matricea atasata este diag-

onala) (mai mult, se poate presupune ca pe diagonala principala valorile proprii, care sunt toate pozitive,

sunt ordonate descrescator), deci W T(ATA

)W = G. Fie r rangul matricii ATA (i.e. matricea ATA are

exact r valori proprii strict pozitive iar celelalte sunt nule); atunci G = diag (gii)i=1,k iar g11 ≥ · · · ≥ grr >

220 7. RECAPITULARI

0 = gr+1r+1 = · · · = gkk; deci G =

G1 0

0 0

, W =

[W1(k,r)

W2(k,k−r)

],

Ir 0(r,k−r)

0(k−r,k) Ik−r

= Ik = W TW =

W T1

(r,k)

W T2

(k−r,k)

[W1(k,r)

W2(k,k−r)

]=

=

W T1 W1(r,r)

W T1 W2

(r,k−r)

W T2 W1

(k−r,r)W T

2 W2(k−r,k−r)

(asa ca W T1 W1(r,r)

= Ir),

Ik = WW T =

[W1(k,r)

W2(k,k−r)

] W T1

(r,k)

W T2

(k−r,k)

= W1(k,r)

W T1

(r,k)

+ W2(k,k−r)

W T2

(k−r,k)

(asa ca W1(k,r)

W T1

(r,k)

= Ik − W2(k,k−r)

W T2

(k−r,k)

),

iar

W T1

W T2

(ATA) [W1 W2] =

G1 0

0 0

⇔W T

1

(ATA

)(r,k)

W T2

(ATA

)(k−r,k)

[W1 W2] =

G1 0

0 0

⇔W T

1

(ATA

)W1

(r,r)

W T1

(ATA

)W2

(r,k−r)

W T2

(ATA

)W1

(k−r,r)W T

2

(ATA

)W2

(k−r,k−r)

=

G1(r,r)

0(r,k−r)

0(k−r,k)

0(k−r,k−r)

⇔

W T1

(ATA

)W1

(r,r)

= G1(r,r)

W T1

(ATA

)W2

(r,k−r)= 0

(r,k−r)

W T2

(ATA

)W1

(k−r,r)= 0

(k−r,k)

W T2

(ATA

)W2

(k−r,k−r)= 0

(k−r,k−r)

; în particular W T2

(ATA

)W2

(k−r,k−r)= 0

(k−r,k−r), i.e. (AW2)T AW2

(k−r,k−r)= 0

(k−r,k−r)⇒

AW2 = 0(m,k−r) (produsul dintre matrice si transpusa ei este matricea nula ⇒ matricea este nula)

Se definesc:

D(r,r)

=√G1 (i.e. D =

(√gii)i=1,r

este matrice diagonala care are ca elemente valori strict pozitive si

descrescatoare).

V = W1(k,r)

U(m,r)

= AVD−1

Din rationamentele de mai sus rezulta:

V TV = W T1 W1 = Ir,

7.9. DESCOMPUNEREA îN VALORI SINGULARE (SVD) 221

UTU = (AVD−1)TU = (D−1)

TV TATAVD−1 =

= D−1(W T

1 ATAW1

)D−1 = D−1G1D

−1 = diag(√

giigii√gii)i=1,r

= Ir,

UDV T = (AVD−1)DW T1 = AW1W

T1 = A

(Ik − W2

(k,k−r)W T

2(k−r,k)

)=

= A−=0(m,k−r)︷︸︸︷A W2

(k,k−r)W T

2(k−r,k)

= A− 0(m,k−r) WT2

(k−r,k)

= A− 0(m,k) = A care stabileste descompunerea.

Matricea V D−1UT satisface:

1) A(V D−1UT

)A =

(UDV T

) (V D−1UT

) (UDV T

)=

= UD(V TV

)D−1

(UTU

)DV T = UDIrD

−1IrDVT = UDV T = A

2)(V D−1UT

) (UDV T

) (V D−1UT

)= V D−1

(UTU

)D(V TV

)D−1UT =

= V D−1IrDIrD−1UT = V D−1UT = A−

3)(UDV T

) (V D−1UT

)= UD

(V TV

)D−1UT = UDIrD

−1UT = UUT

⇒((UDV T

) (V D−1UT

))T=(UUT

)T= UUT (matricea este simetrica)

3’)(V D−1UT

) (UDV T

)= V D−1IrDV

T = V V T

⇒((V D−1UT

) (UDV T

))T=(V V T

)T= V V T (matricea este simetrica)

Din 1), 2), 3), 3’) rezulta ca V D−1UT satisface relatiile care definesc inversa Moore—Penrose; cum

matricea care satisface aceste relatii este unica, rezulta A− = V D−1UT .

7.9.6. Observatie. Daca A este simetrica, atunci U este linie de vectori proprii ai lui A corespunzatori

la valori proprii nenule, asa ca ATU = UD1, cu D1 matrice diagonala (r, r) cu valori proprii nenule, în

ordine descrescatoare. În acest caz, V = ATUD−1 = UD1D−1. Cum elementele matricilor D si D1 sunt

identice mai putin eventual semnul, coloanele matricilor U si V sunt fie egale (pentru radacini pozitive) fie

cu semn invers (pentru radacini negative). Asadar, daca A este pozitiv semidefinita, are o descompunere

SVD A = UDUT cu U cu coloane ortogonale iar D pozitiv diagonala.

7.9.7. Observatie. Daca A este patratica si nesingulara, are loc: A− = A−1 (inversa generalizata în sens

Moore—Penrose coincide cu inversa obisnuita a matricii)

Demonstratie. A patratica si nesingulara⇒ ∃A−1⇒ AA−A = A|·A−1 la stânga⇒ A−A = I; analog

AA−A = A| · A−1 la dreapta ⇒ AA− = I deci A− satisface relatiile care definesc A−1, care este unica

matrice care satisface relatiile; rezulta ca A− = A−1.

7.9.8. Observatie. Sistemul de ecuatii A(m,k)

x(k,1)

= y(m,1)

are o solutie ⇔ y(m,1)

= A(m,k)

A−(k,m)

y(m,1)

; mai mult,

multimea plana a tuturor solutiilor este multimea vectorilor x(k,1)

= A−(k,m)

y(m,1)

+ [Ik − A−(k,m)

A(m,k)

] z(k,1)∀z ∈ Rk.

Demonstratie. Ax = y| · A− la stânga ⇒ A−Ax = A−y| · A la stânga ⇒ AA−Ax = AA−y ⇒ Ax =

AA−y deci daca sistemul este compatibil atunci y = AA−y.

222 7. RECAPITULARI

Reciproc, daca y = AA−y atunci x = A−y este solutie a sistemului: A (A−y) = AA−y = y, deci

sistemul este compatibil.

Mai mult, pentru z ∈ Rk, are loc: A (A−y + [I − A−A]z) = AA−y+A[I−A−A]z = y+Az−AA−Az =

y + Az − Az = y.

7.9.9. Observatie. AA− si A−A sunt idempotente.

Demonstratie. AA−A = A| · A− la dreapta ⇒ (AA−)2

= AA−

AA−A = A| · A− la stânga ⇒ (A−A)2

= A−A

7.10. Structuri algebrice

7.10.1. Definitie. Fiind data o multime nevida M , este numita lege de compozitie pe M orice functie

ϕ (·, ·) : M ×M →M . [orice functie care asociaza oricarei perechi de elemente din M un element din M ]

[functia ϕ (·, ·) mai este numita operatie algebrica sau operatie binara]

Legile de compozitie pot fi notate cu diverse simboluri: x ∗ y, x y, x∆y, x+ y (notatie aditiva), x · y

(notatie multiplicativa), etc. Orice exprimare prescurtata despre o lege de compozitie va subîntelege toate

elementele din definitie.

7.10.2. Definitie. Fiind data o multime nevida M , o submultime a sa H si o lege de compozitie ϕ (·, ·)

pe M , multimea H este numita parte stabila a lui M în raport cu ϕ (·, ·) daca: ∀x, y ∈ H, ϕ (x, y) ∈ H.

[rezultatul operatiei dintre doua elemente din H nu paraseste multimea H]

7.10.3. Definitie. O operatie binara ∗ este numita asociativa daca: ∀x, y, z ∈M , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

[expresia x ∗ y ∗ z are acelasi rezultat, indiferent de ordinea în care se fac operatiile]

7.10.4. Definitie. O operatie binara este numita comutativa daca ∀x, y ∈M , x ∗ y = y ∗ x.

7.10.5. Definitie. Un element e ∈M este numit neutru pentru legea ∗ daca: ∀x ∈M , x ∗ e = e ∗ x = x.

Despre o lege ∗ se spune ca are element neutru pe M daca: ∃e ∈M , ∀x ∈M , x ∗ e = e ∗ x = x.

7.10.6. Observatie. O lege de compozitie, daca are element neutru, atunci acesta este unic. [o lege nu

poate avea mai multe elemente neutre]

Demonstratie. Se presupune ca pentru legea ∗ ar exista doua elemente neutre, e si f . Atunci:

I. [e este element neutru] ∀x ∈M , x ∗ e = e ∗ x = x si

II. [f este element neutru]∀x ∈M , x ∗ f = f ∗ x = x.

Din I., cu x = f se obtine: f ∗ e = e ∗ f = f , iar

din II., cu x = e se obtine: e ∗ f = f ∗ e = e

7.10. STRUCTURI ALGEBRICE 223

Din cele doua relatii se obtine:

e = e ∗ f = f , asa ca, daca ar exista doua elemente neutre, acestea ar fi egale.

7.10.7. Definitie. Fie ∗ o lege asociativa si cu element neutru pe M . Un element x ∈ M este numit

simetrizabil în raport cu legea ∗ daca: ∃x′ ∈ M , x ∗ x′ = x′ ∗ x = e. [elementul x′ mai este numit si

simetricul lui x în raport cu ∗ si este dependent de x —se schimba la schimbarea lui x]

7.10.8. Observatie. Simetricul unui element x în raport cu legea ∗, daca exista, este unic. [un element

nu poate avea mai multe simetrice]

Demonstratie. Din definitie, legea ∗ este asociativa si cu element neutru.

Se presupune ca pentru x ∈M ar exista doua simetrice în raport cu legea ∗:

x ∗ x′ = x′ ∗ x = e si

x ∗ x′′ = x′′ ∗ x = e. Atunci:

x′ = x′ ∗ e = x′ ∗ (x ∗ x′′) = (x′ ∗ x) ∗ x′′ = e ∗ x′′ = x′′,

asa ca cele doua elemente simetrice sunt egale.

7.10.9. Observatie. Fie x ∈ M un element simetrizabil. Atunci si simetricul lui x, x′ ∈ M , este

simetrizabil, iar simetricul lui este x: (x′)′ = x.

Demonstratie. Daca ar exista, elementul (x′)′ ar trebui sa satisfaca relatia: (x′)′ ∗ x′ = x′ ∗ (x′)′ = e

[I].

Din definitia simetrizabilitatii lui x se stie ca elementul x′ exista si satisface relatia: x ∗ x′ = x′ ∗ x = e

[II].

Din relatia [II], se constata ca, daca în [I] se înlocuieste (x′)′ cu x, relatia este satisfacuta.

Deci exista un element (si anume x) care satisface definitia simetrizabilitatii lui x′. Cum acest element

este unic, se obtine ca (x′)′ = x.

7.10.10. Observatie. Fie x, y ∈ M doua elemente simetrizabile. Atunci si elementul x ∗ y ∈ M este tot

simetrizabil, iar simetricul lui este (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′.

Demonstratie. Daca elementul (x ∗ y) ∈ M ar fi simetrizabil, ar trebui sa existe un element (x ∗ y)′

care sa satisfaca relatia:

(x ∗ y) ∗ (x ∗ y)′ = (x ∗ y)′ ∗ (x ∗ y) = e.

Daca în aceasta relatie se înlocuieste (x ∗ y)′ cu (y′ ∗ x′), se constata:

(x ∗ y) ∗ (y′ ∗ x′) = ((x ∗ y) ∗ y′) ∗ x′ = (x ∗ (y ∗ y′)) ∗ x′ = (x ∗ e) ∗ x′ = x ∗ x′ = e,

(y′ ∗ x′) ∗ (x ∗ y) = y′ ∗ (x′ ∗ (x ∗ y)) = y′ ∗ ((x′ ∗ x) ∗ y) = y′ ∗ (e ∗ y) = y′ ∗ y = e,

224 7. RECAPITULARI

asa ca elementul (y′ ∗ x′) satisface relatia din definitia simetrizabilitatii lui (x ∗ y).

Din unicitate se obtine ca (x ∗ y)′ = (y′ ∗ x′).

7.10.11. Definitie. Se considera o lege ∗ pe multimea M . Perechea (M, ∗) este numita monoid daca

legea ∗ este asociativa si cu element neutru.

7.10.12. Definitie. Se considera o lege ∗ pe multimea M . Perechea (M, ∗) este numita grup daca (M, ∗)

este monoid în care orice element este simetrizabil.

7.10.13. Observatie (Reguli de calcul într—un grup). Într—un grup (M, ∗) urmatoarele reguli sunt ade-

varate:

(1) x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z [simplificare la stânga]

(2) y ∗ x = z ∗ x⇒ y = z [simplificare la dreapta]

(3) Ecuatia a ∗ x = b are solutia x = a′ ∗ b, care este unica.

(4) Ecuatia x ∗ a = b are solutia x = b ∗ a′, care este unica.

Demonstratie. 1.

2.

3.

4.

7.10.14. Definitie. Se considera un grup (M, ∗). O submultime a luiM , ∅ 6= H ⊆M este numita subgrup

al lui M daca H este parte stabila a lui M si H contine, odata cu un element x, si simetricul acestuia:

(1) ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H;

(2) ∀x ∈ H, x′ ∈ H.

7.10.15. Observatie. Daca H este subgrup al lui (M, ∗), atunci:

(1) e ∈ H;

(2) (H, ∗|H) este grup.

Demonstratie. 1.

2.

7.10.16. Definitie. Se considera doua grupuri (M, ∗) si (N, ). O functie f (·) : M → N este numita:

(1) Morfism de grupuri (de la (M, ∗) la (N, )), daca ∀x, y ∈ M , f (x ∗ y) = f (x) f (y) [functia

"transporta" rezultatul operatiilor din domeniu în rezultatul operatiilor din codomeniu].


(2) Izomorfism de grupuri, daca f (·) este morfism si este bijectiva [functia "transporta biunivoc"

rezultatul operatiilor din domeniu în rezultatul operatiilor din codomeniu].

Daca M = N si ∗ = , atunci un morfism (izomorfism) mai este numit si endomorfism

(automorfism).

7.10.17. Observatie. Daca f (·) este morfism de la (M, ∗) la (N, ), atunci:

(1) f (eM) = eN [eM este elementul neutru al grupului (M, ∗) iar eN este elementul neutru al grupului

(N, )]

(2) f (x′) = (f (x))′ [în membrul stâng simetricul este în (M, ∗) iar în membrul drept simetricul este

în (N, )]

(3) Daca f (·) este izomorfism de la (M, ∗) la (N, ), atunci f−1 (·) este izomorfism de la (N, ) la

(M, ∗).

Demonstratie. 1.

2.

3.

7.10.18. Definitie. Se considera multimea A împreuna cu doua legi de compozitie abstracte, notate aditiv

si multiplicativ. Tripletul (A,+, ·) este numit inel daca:

(1) (A,+) este grup comutativ (abelian);

(2) (A, ·) este monoid;

(3) ∀x, y, z ∈ A, x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x+ z · x

[Înmultirea este distributiva la stânga si la dreapta fata de adunare]

[elementul neutru fata de operatia notata aditiv este notat 0]

[elementul neutru fata de operatia notata multiplicativ este notat 1]

[simetricul unui element x fata de operatia notata aditiv este notat −x si este numit opusul

lui x]

[a− b înseamna a+ (−b)]

[simetricul (când exista, al) unui element x fata de operatia notata multiplicativ este notat

x−1 si este numit inversul lui x]

[se evita scrierea1

xca înlocuitoare pentru x−1, deoarece constructiile cu fractii sunt mai

specifice si reduc din generalitatea contextului]

[nu s—au mai adaugat paranteze suplimentare pentru a stabili ordinea operatiilor, deoarece se

considera conventia ca operatia notata multiplicativ se efectueaza prima]

[se considera si conventia ca xy = x · y]

226 7. RECAPITULARI

Elementele din A care sunt simetrizabile în raport cu operatia notata multiplicativ mai sunt numite si

unitati ale inelului.

Daca operatia · este comutativa, inelul (A,+, ·) este numit comutativ.

Doua elemente x, y ∈ A sunt numite divizori ai lui 0 daca: x 6= 0 si y 6= 0 si xy = 0.

Un element 0 6= x ∈ A este numit divizor al lui 0 daca ∃y ∈ A, y 6= 0 astfel încât xy = 0.

Despre un element x ∈ A se spune ca nu este divizor al lui 0 daca ∀y ∈ A∗, xy 6= 0 [altfel spus:

xy = 0⇒ y = 0] [cu x se poate simplifica, desi nu este neaparat inversabil].

Un inel (A,+, ·) cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui 0 este numit domeniu de integritate.

7.10.19. Observatie (Reguli de calcul într—un inel). Într—un inel (A,+, ·) au loc:

(1) x + y = x + z ⇒ y = z, y + x = z + x ⇒ y = z [se poate face operatia de reducere în ambii

membrii, cu orice element];

(2) Ecuatiile a+ x = b si x+ a = b au fiecare solutia unica x = b− a;

(3) x0 = 0x = 0

(4) 1 6= 0

(5) (−x) y = x (−y) = −xy si (−x) (−y) = xy [regula semnelor]

(6) x (y − z) = xy − xz si (y − z)x = yx− zx

(7) Daca (A,+, ·) este domeniu de integritate, atunci:

xy = xz si x 6= 0⇒ y = z [se poate simplifica la stânga cu un element nenul, chiar daca acesta

nu este inversabil]

yx = zx si x 6= 0⇒ y = z [se poate simplifica la drepta cu un element nenul, chiar daca acesta

nu este inversabil]

7.10.20. Definitie. Se considera doua inele (A,+, ·) si (B,+′, ·′). O functie f (·) : A → B este numita

morfism de inele daca:

(1) f (x+ y) = f (x) +′ f (y),

(2) f (x · y) = f (x) ·′ f (y)

(3) f (1) = 1′.

Daca, în plus, functia f (·) este si bijectiva, atunci f (·) este numita izomorfism.

7.10.21. Observatie. Daca f (·) este morfism de inele, atunci:

(1) f (0) = 0′,

(2) f (−x) = −f (x)

(3) Daca x este inversabil în (A,+, ·), atunci si f (x) este inversabil în (A′,+′, ·′) si (f (x))−1′ = f (x−1).


7.10.22. Observatie. În cazul izomorfismului de inele, daca A′ are macar un element care nu este divizor

al lui 0, atunci axioma 3. este o consecinta a axiomelor 1. si 2. din definitia morfismului de inele.

Demonstratie. Fie x′ ∈ A′ care nu este divizor al lui 0. Atunci ∃x ∈ A, x′ = f (x) si:

f (1) ·′ x′ = f (1) ·′ f (x) = f (1 · x) = f (x) = x′ = 1′ ·′ x′ ⇒ f (1) = 1′ [pentru ca x′ nu este divizor al

lui 0]

7.10.23. Definitie. Un inel (K,+, ·) este numit corp daca 0 6= 1 si orice element nenul admite invers:

∀x ∈ K, x 6= 0, ∃x−1 ∈ K.

7.10.24. Observatie. Corpurile nu au divizori ai lui 0.

7.10.25. Observatie. Daca (K,+, ·) este corp, atunci (K∗, ·) este grup [K∗ este o notatie pentru multimea

K \ 0], numit grupul multiplicativ al corpului (K,+, ·).

7.10.26. Definitie. Se considera doua corpuri (K,+, ·) si (K ′,+′, ·′) si o functie f (·) : K → K ′. Functia

f (·) este numita (izo)morfism de corpuri daca este morfism (bijectiv) de inele.

7.10.27. Observatie. Pe o multime pot fi considerate diferite legi de compozitie, în raport cu care

structurile algebrice obtinute (pentru aceeasi multime) sa fie diferite.

8

Tipuri de subiecte din anii anteriori

Subiectele similare/de acelasi tip sunt numerotate la fel

8.1. Subiecte cu rezolvare clasica

Subiectul I —2 puncte.

Se dau vectorii b1 = (1, 2, 3), b2 = (0, 1,−1), b3 = (2,−1, 4), b4 = (m, 0, 2), unde m ∈ R, si X =

spanR (b2, b3, b4).

(1p) a) Aratati ca X este subspatiu vectorial în (R3,R) si determinati dimensiunea sa.

(1p) b) Folosind metoda de pivotare Gauss—Jordan sa se determine coordonatele vectorului b1 într—un

reper al lui (X,R) format doar din vectorii b2, b3, b4, în situatia în care m =7

3.

Subiectul I —2 puncte.

În spatiul vectorial (R3,R) se considera vectorii:

v1 = (1, 2,−2), v2 = (1,−2, 0), v3 = (−1, 0, 1), v4 = (1,−4, 1), v5 = (2, 0, 1) si subspatiile X1 si X2,

unde X1 este generat de v2, v3, v4 iar X2 este generat de v1, v5. Sa se determine:

(0, 5p) a) Câte o baza pentru X1 si X2.

(0, 5p) b) Subspatiul Y = X1 ∩X2 si dimensiunea sa.

(1p) c) Subspatiul X = X1 +X2, dimensiunea sa si sa se verifice teorema dimensiunii (Grassman).

Subiectul II —2 puncte.

Se considera functionala patratica definita pe (R3,R)

V (x) = f (x, x) = 2x21 + x2

3 − 4x1x2 − 2x2x3

(0, 5p) a) Scrieti matricea functionalei patratice corespunzatoare reperului canonic (bazei canonice).

(0, 5p) b) Determinati functionala biliniara polara a functionalei patratice.

(1p) c) Determinati forma canonica a functionalei patratice si natura functionalei patratice.

Subiectul II —2 puncte.

Se considera functionala patratica definita pe (R3,R)

V (x) = f (x, x) = −x21 + x2

3 − 2x1x2 − 4x2x3

229

230 8. TIPURI DE SUBIECTE DIN ANII ANTERIORI

(0, 5p) a) Determinati matricea functionalei patratice corespunzatoare reperului canonic (bazei canonice)

din (R3,R).

(0, 5p) b) Determinati functionala biliniara polara a functionalei patratice.

(1p) c) Determinati forma canonica a functionalei patratice precum si baza formei canonice.

Subiectul III —2 puncte

În spatiul vectorial (R3,R) se considera X multimea tuturor combinatiilor liniare ale vectorilor v1 =

(1,−2, 3), v2 = (−4, 3, 1).

(1p) a) Sa se determine o baza ortogonala a lui X.

(1p) b) Sa se determine proiectia vectorului v = (−2,−3, 1) pe X.

Subiectul III —2 puncte

În spatiul vectorial (R4,R) se considera vectorii x = (1, 0, 1, 1), a1 = (3, 0, 1,−1), a2 = (8,−1, 5,−4),

a3 = (4, 1,−1, 0) si subspatiul X = span (a1, a2, a3). Sa se determine:

(1p) a) proiectia ortogonala a vectorului x pe subspatiul X;

(1p) b) complementul ortogonal X⊥ al subspatiului X si dimensiunea sa.

8.2. SUBIECTE SCURTE SI/SAU TIP GRILA 231

8.2. Subiecte scurte si/sau tip grila

Subiectul IV (10× 0,3 = 3puncte)

(0, 3p) 1) Definiti subspatiul propriu asociat valorii proprii λ a operatorului liniar U : X → X.

(0, 3p) 1) Ce înseamna ca functionala patratica V : X → R este negativ definita?

(0, 3p) 1) Definiti distanta pe spatiul vectorial real X.

(0, 3p) 1) Definiti complementul ortogonal al unui subspatiu vectorial.

(0, 3p) 2) În spatiul (R3,R) se considera vectorii v1 = (−2, 1, 1), v2 = (1, 3,−1), v3 = (−1,−4, 0), v4 =

(2, 6,−2).

Atunci:v1, v2, v4 sistem liniar independent. v1, v4 sistem liniar dependent. v2, v3

sistem liniar dependent. v1, v2 sistem liniar independent. v1, v2, v3, v4 reper în

(R3,R).

(a)(b)(c)(d)(e)(0, 3p) 3) Fie X, Y subspatii liniare ale spatiului liniar (R4,R). Atunci:

(a) dim (X + Y ) = dimX − dimY + dim (X ∩ Y );

(b) dim (X + Y ) = dimX + dimY + dim (X ∩ Y )

(c) dimX + dimY = dim (X + Y )

(d) dimX + dimY = dim (X ∩ Y ) + dim (X + Y )

(e) dimX = 2 dim (X + Y )− dimY − 11.

(0, 3p) 3) Fie X, Y subspatii liniare ale spatiului (R2,R). Atunci:

(a) dim (X ∩ Y ) = dim (X + Y )− dimX − dimY ;

(b) dimX + dimY = dim (X + Y ) + dim (X ∩ Y )

(c) dim (X ∩ Y ) = dimX + dimY + dim (X + Y )

(d) dimX + dimY = dim (X + Y )

(e) 2 dimX = dim (X + Y )− 2 dimY .

(0, 3p) 4) Fie U : R3 → R3 un operator liniar. Atunci:

(a) 3 dim ImU − dim kerU = dim ImU − 3 dim kerU ;

(b) dim kerU = 2− dim ImU

(c) dim kerU + dim ImU = 5

(d) 3 dim kerU − dim ImU = dim kerU − 3 dim ImU ;

(e) dim kerU + dim ImU = 3.

(0, 3p) 5) Fie U : R3 → R3 un operator liniar. Atunci x ∈ R3 \ (0, 0, 0) este vector propriu daca:

(a) ∃λ ∈ R∗, astfel încât U (x) = 2λx;

(b) ∀λ ∈ R, U (λx) = λ2x;

(c) ∀λ ∈ R, U (2λx+ x) = 2λx;


(d) ∀λ ∈ R, U (λx+ x) = λx;

(e) ∃λ ∈ R, astfel încât U (2x) 6= 2λx.

(0, 3p) 6) Fie U : R3 → R3 un operator liniar a carui matrice în reperul canonic al lui (R3,R) este A.

Atunci:

(a) Daca A =

−2 0 0

0 −2 −1

0 0 −2

, atunci U are forma canonica Jordan;

(b) daca A =

2 1 1

0 2 0

0 0 2


(c) daca A =

0 0 −1

0 −2 0

−3 0 2

, atunci U are forma diagonala.

(d) daca A =

2 1 0

0 2 1

0 0 2


(e) daca A =

1 0 0

0 2 0

0 0 −2

, atunci U nu este diagonalizabil.

8.3. PROBLEME DIN DIVERSE MATERIALE BIBLIOGRAFICE 233

8.3. Probleme din diverse materiale bibliografice

Din [3]:

• Capitolul 1 [Spatii Vectoriale]

• Capitolul 2 [Spatii liniare euclidiene]

• Capitolul 3 [Operatori liniari]

Din [9]:

• Capitolul 2 [Spatii vectoriale],

• Capitolul 3 [Aplicatii Liniare],

• Capitolul 4 [Sisteme de ecuatii liniare. Vectori si valori proprii],

• Capitolul 6 [Forme biliniare. Forme patratice]

Din [11]: Capitolul 2,

• Sectiunea 2.3 [Sisteme de ecuatii algebrice liniare]

• Sectiunea 2.4 [Spatii vectoriale]

• Sectiunea 2.5 [Operatori Liniari]

• Sectiunea 2.6 [Forme liniare. Forme patratice]

Din [16]:

• Capitolul I [Spatii vectoriale]

• Capitolul II [Operatori (Transformari) Liniari]

• Capitolul III [Forme biliniare si patratice]

Din [28]:

• Capitolul 3 [Spatii vectoriale]

• Capitolul 4 [Aplicatii liniare si matrice]

• Capitolul 5 [Valori si vectori proprii]

• Capitolul 6 [Spatii euclidiene]

• Capitolul 7 [Forme patratice]


8.4. Structura lucrarii semestriale

Lucrarea semestriala va avea loc la seminar, si va contine urmatoarele tipuri de subiecte:

• gasirea formei canonice Jordan si a bazei Jordan pentru un operator.

• discutarea naturii unei functionale patratice dupa un parametru

• studierea unei functionale liniare

• alte subiecte.

8.5. CONDITII PENTRU PREZENTAREA LA EXAMEN 235

8.5. Conditii pentru prezentarea la examen

Prezentarea la examen se va face cu:

(1) act de identitate (BI /CI /pasaport)

(2) 2 seturi capsate de câte 6 (=12 pagini / set) coli albe A4 [80g/m2] nesemnate

(3) instrumente de scris

(4) guma de sters si/sau pasta corectoare

În timpul examenului este interzisa

(1) folosirea materiale ajutatoare

(2) utilizarea tehnicii electronice (telefoane mobile, calculatore, ...)

(3) deranjarea bunei desfasurari a examenului si comunicarea cu colegii


8.6. Structura biletului de examen

• Subiectul 1 (2 puncte)

—spatiu vectorial (subspatiu vectorial) si proprietati

— lema schimbului (si tehnica de pivotare)

—suma si intersectie de subspatii vectoriale (inclusiv teorema lui Grassmann)

—suma directa de subspatii vectoriale si suplementul unui subspatiu vectorial


—nucleul si imaginea unui operator liniar (inclusiv teorema dimensiunii)

—vectori si valori proprii (inclusiv probleme conexe)

— functionale liniare si dualul algebric al unui spatiu vectorial

— functionale patratice si aducerea lor la forma canonica


—baze ortonormate si algoritmul Gram-Schmidt

—ortogonalitate (operator de proiectie ortogonala, proiectia unui vector pe un subspatiu, com-

plement ortogonal)

—adjunctul unui operator liniar si proprietati

—endomorfisme autoadjuncte (inclusiv operatori de proiectie ortogonala)


—Definitii sau enunturi de teoreme

—Aplicatii teoretice simple (inclusiv demonstratii de teoreme)

—Exercitiu din sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul întâi, de dimensiune cel mult

2 si probleme conexe (inclusiv teorema Hamilton-Cayley si probleme atasate algoritmului de

jordanizare).

Bibliografie

[1] Andreescu, Titu; Andrica, Dorin; "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, Boston, 2006.

[2] Anton, Howard; Rorres, Chris: "Elementary Linear Algebra —Applications version", Tenth edition, 2010, Wiley.

[3] Badin, Luiza; Carpusca, Mihaela; Ciurea, Grigore; Serban, Radu: "Algebra Liniara Culegere de Probleme", Editura

ASE, 1999.

[4] Bellman, Richard: Introducere în analiza matriciala, (traducere din limba engleza), Editura Tehnica, Bucuresti,

1969. (Titlul original: Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1960)

[5] Benz, Walter: "Classical Geometries in Modern Contexts - Geometry of Real Inner Product Spaces" - Second Edition,

Springer, 2005.

[6] Blair, Peter, D.; Miller, Ronald, E.: "Input—Output Analysis: Foundations and Extensions", Cambridge University

Press, 2009.

[7] Blume, Lawrence; Simon, Carl, P.: "Mathematics for Economists", W. W. Norton & Company Inc., 1994.

[8] Bourbaki, N.: Elements de mathematique, Paris, Acta Sci. Ind. Herman, Cie, 1953.

[9] Busneag, Dumitru; Chirtes, Florentina; Piciu, Dana: "Probleme de Algebra Liniara", Craiova, 2002.

[10] Burlacu, V., Cenusa, Gh., Sacuiu, I., Toma, M.: Curs de Matematici, Academia de Studii Economice, Facultatea de

Planificare si Cibernetica Economica, remultiplicare, uz intern, Bucuresti, 1982.

[11] Chirita, Stan: "Probleme de Matematici superioare", Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1989.

[12] Chitescu, I.: Spatii de functii, Editura stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1983.

[13] Colojoara, I.: Analiza matematica Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1983.

[14] Craciun, V. C.: Exercitii si probleme de analiza matematica, Tipografia Universitatii Bucuresti, 1984.

[15] Cristescu, R.: Analiza functionala, Editura stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1983.

[16] Dragusin, C., Dragusin, L., Radu, C.: Aplicatii de algebra, geometrie si matematici speciale, Editura Didactica

si Pedagogica, Bucuresti, 1991.

[17] Glazman, I. M., Liubici, I. U.: Analiza liniara pe spatii finit dimensionale, Editura stiintifica si Enciclopedica,

Bucuresti, 1980.

[18] Halanay, Aristide; Olaru, Valter Vasile; Turbatu, Stelian: "Analiza Matematica", Editura Didactica si Pedagogica,

Bucuresti, 1983.

[19] Holmes, Richard, B.: Geometric Functional Analysis and its Applications

[20] Greene, William H.: "Econometric Analysis", sixth edition, Prentice Hall, 2003.

[21] Guerrien, B.: Algebre lineare pour economistes, Economica, Paris, 1991.

[22] Ion D. Ion; Radu, N.: Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1991.

[23] Kurosh, A.: Cours d’algebre superieure, Editions MIR, Moscou, 1980.

[24] Leung, Kam—Tim: "LINEAR ALGEBRA AND GEOMETRY", HONG KONG UNIVERSITY PRESS, 1974.

[25] Ling, San; Xing, Chaoping: "Coding Theory —A First Course", Cambridge University Press, 2004.

237

238 BIBLIOGRAFIE

[26] McFadden, Daniel: Curs Economics 240B (Econometrics), Second Half, 2001 (class website, PDF)

[27] Monk, J., D.: Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1976.

[28] Pavel, Matei: "Algebra liniara si Geometrie analitica —culegere de probleme", UTCB, 2007.

[29] Radulescu, M., Radulescu, S.: Teoreme si probleme de Analiza Matematica, Editura didactica si Pedagogica,

Bucuresti, 1982.

[30] Rockafellar, R.,Tyrrel: Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1970.

[31] Roman, Steven: "Advanced Linear Algebra", Third Edition, Springer, 2008.

[32] Saporta, G., Stefanescu, M. V.: Analiza datelor si informatica —cu aplicatii la studii de piata si sondaje de

opinie-, Editura economica, 1996.

[33] Sabac, I. Gh.: Matematici speciale, vol I, II, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1981.

[34] Silov, G. E.: Analiza matematica (Spatii finit dimensionale), Editura stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1983.

[35] Tarrida, Agustí, Reventós: "Affi ne Maps, Euclidean Motions and Quadrics", Springer, 2011.

[36] Treil, Sergei: "Linear Algebra Done Wrong", http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/book.pdf, last ac-

cessed on 18.12.2011.

Date post:	30-Dec-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

Cristian...

Documents