De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Lectia I
Spatiul liniar al vectorilor liberi
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Lectia I
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Table of Contents
1 De�nitia vectorilor liberi
2 Adunarea vectorilor liberi
3 Inmultirea vectorilor cu scalari
4 Aplicatii
5 Bibliogra�e
Oana Constantinescu Lectia I
Segmente orientate cu aceeasi directie
De�nition
Un segment orientat este o pereche ordonata de puncte
(A,B) ∈ S × S.Il notam prin AB.A se numeste originea iar B extremitatea.
Dreapta AB (daca A 6= B) se numeste dreapta suport a
segmentului orientat AB.
AA este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Am notat cu S multimea punctelor spatiului.
Segmente orientate cu aceeasi directie
De�nition
Un segment orientat este o pereche ordonata de puncte
(A,B) ∈ S × S.Il notam prin AB.A se numeste originea iar B extremitatea.
Dreapta AB (daca A 6= B) se numeste dreapta suport a
segmentului orientat AB.
AA este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Am notat cu S multimea punctelor spatiului.
Segmente orientate cu aceeasi directie
De�nition
Un segment orientat este o pereche ordonata de puncte
(A,B) ∈ S × S.Il notam prin AB.A se numeste originea iar B extremitatea.
Dreapta AB (daca A 6= B) se numeste dreapta suport a
segmentului orientat AB.
AA este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Am notat cu S multimea punctelor spatiului.
Segmente orientate cu aceeasi directie
De�nition
Un segment orientat este o pereche ordonata de puncte
(A,B) ∈ S × S.Il notam prin AB.A se numeste originea iar B extremitatea.
Dreapta AB (daca A 6= B) se numeste dreapta suport a
segmentului orientat AB.
AA este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Am notat cu S multimea punctelor spatiului.
Segmente orientate cu aceeasi directie
De�nition
Un segment orientat este o pereche ordonata de puncte
(A,B) ∈ S × S.Il notam prin AB.A se numeste originea iar B extremitatea.
Dreapta AB (daca A 6= B) se numeste dreapta suport a
segmentului orientat AB.
AA este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este
nedeterminata.
Am notat cu S multimea punctelor spatiului.
Relatia �aceeasi directie�
De�nition
Doua segmente orientate au aceeasi directie daca se a�a intr-una
dintre urmatoarele situatii:
• unul dintre ele este segmentul nul;
• segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.
Relatia au aceeasi �directie� este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate nenule, deoarece relatia de
paralelism in sens larg este o relatie de echivalenta pe
multimea dreptelor spatiului.
Relatia �aceeasi directie�
De�nition
Doua segmente orientate au aceeasi directie daca se a�a intr-una
dintre urmatoarele situatii:
• unul dintre ele este segmentul nul;
• segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.
Relatia au aceeasi �directie� este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate nenule, deoarece relatia de
paralelism in sens larg este o relatie de echivalenta pe
multimea dreptelor spatiului.
Relatia �aceeasi directie�
De�nition
Doua segmente orientate au aceeasi directie daca se a�a intr-una
dintre urmatoarele situatii:
• unul dintre ele este segmentul nul;
• segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.
Relatia au aceeasi �directie� este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate nenule, deoarece relatia de
paralelism in sens larg este o relatie de echivalenta pe
multimea dreptelor spatiului.
Relatia �aceeasi directie�
De�nition
Doua segmente orientate au aceeasi directie daca se a�a intr-una
dintre urmatoarele situatii:
• unul dintre ele este segmentul nul;
• segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.
Relatia au aceeasi �directie� este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate nenule, deoarece relatia de
paralelism in sens larg este o relatie de echivalenta pe
multimea dreptelor spatiului.
Relatia �aceeasi directie�
De�nition
Doua segmente orientate au aceeasi directie daca se a�a intr-una
dintre urmatoarele situatii:
• unul dintre ele este segmentul nul;
• segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport
paralele.
Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc
coliniare.
Relatia au aceeasi �directie� este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate nenule, deoarece relatia de
paralelism in sens larg este o relatie de echivalenta pe
multimea dreptelor spatiului.
Relatia �acelasi sens�
De�nition
Doua segmente orientate cu aceeasi directie au acelasi sens daca
se a�a intr-una din situatiile:
• sunt amandoua nule;
• dreptele suport sunt distincte si extremitatile lor sunt situate in
acelasi semiplan determinat de dreapta ce uneste originile lor;
Acelasi sens
De�nition
• dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia �au acelasi sens � este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Observatie: in �gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea
segmentului orientat.
Acelasi sens
De�nition
• dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia �au acelasi sens � este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Observatie: in �gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea
segmentului orientat.
Acelasi sens
De�nition
• dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia �au acelasi sens � este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Observatie: in �gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea
segmentului orientat.
Acelasi sens
De�nition
• dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia �au acelasi sens � este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Observatie: in �gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea
segmentului orientat.
Acelasi sens
De�nition
• dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu
ele si de acelasi sens cu amandoua.
Relatia �au acelasi sens � este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Observatie: in �gurile precedente am reprezentat segmentele
orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea
segmentului orientat.
Relatia �aceeasi marime�
De�nition
Doua segmete orientate AB si CD au aceeasi marime daca
d(A,B) = d(C ,D), unde d este distanta euclidiana a lui E 3.
Evident relatia �aceeasi marime � este o relatie de echivalenta
pe multimea segmentelor orientate.
Relatia �aceeasi marime�
De�nition
Doua segmete orientate AB si CD au aceeasi marime daca
d(A,B) = d(C ,D), unde d este distanta euclidiana a lui E 3.
Evident relatia �aceeasi marime � este o relatie de echivalenta
pe multimea segmentelor orientate.
Relatia �aceeasi marime�
De�nition
Doua segmete orientate AB si CD au aceeasi marime daca
d(A,B) = d(C ,D), unde d este distanta euclidiana a lui E 3.
Evident relatia �aceeasi marime � este o relatie de echivalenta
pe multimea segmentelor orientate.
Relatia de echipolenta
De�nition
Doua segmente orientate sunt echipolente daca au acelasi sens si
au aceeasi marime.
Notam AB ∼ CD.
Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Relatia de echipolenta
De�nition
Doua segmente orientate sunt echipolente daca au acelasi sens si
au aceeasi marime.
Notam AB ∼ CD.
Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Relatia de echipolenta
De�nition
Doua segmente orientate sunt echipolente daca au acelasi sens si
au aceeasi marime.
Notam AB ∼ CD.
Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe
multimea segmentelor orientate.
Vector liber
De�nition
Se numeste vector liber o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate.
Notam−→AB. −→
AB = {−→CD | AB ∼ CD}
Deci doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor au
acelasi sens si aceeasi marime.
Notam cu V multimea vectorilor liberi si elementele ei cu
u, w ,−−→MN. Marimea vectorului u se noteaza cu |u|.
Vector liber
De�nition
Se numeste vector liber o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate.
Notam−→AB. −→
AB = {−→CD | AB ∼ CD}
Deci doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor au
acelasi sens si aceeasi marime.
Notam cu V multimea vectorilor liberi si elementele ei cu
u, w ,−−→MN. Marimea vectorului u se noteaza cu |u|.
Vector liber
De�nition
Se numeste vector liber o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate.
Notam−→AB. −→
AB = {−→CD | AB ∼ CD}
Deci doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor au
acelasi sens si aceeasi marime.
Notam cu V multimea vectorilor liberi si elementele ei cu
u, w ,−−→MN. Marimea vectorului u se noteaza cu |u|.
Vector liber
De�nition
Se numeste vector liber o clasa de echivalenta in raport cu relatia
de echipolenta pe multimea segmentelor orientate.
Notam−→AB. −→
AB = {−→CD | AB ∼ CD}
Deci doi vectori liberi sunt egali daca reprezentantii lor au
acelasi sens si aceeasi marime.
Notam cu V multimea vectorilor liberi si elementele ei cu
u, w ,−−→MN. Marimea vectorului u se noteaza cu |u|.
Vectori de pozitie
Theorem
Fie u ∈ V si O ∈ S. Atunci exista un singur punct P ∈ E 3 astfel
incat−→OP = u.
De�nition
Vectorul−→OP se numeste vectorul de pozitie al punctului P.
Spunem ca am aplicat vectorul u in punctul P.
Notam−→OP = rP .
Vectori de pozitie
Theorem
Fie u ∈ V si O ∈ S. Atunci exista un singur punct P ∈ E 3 astfel
incat−→OP = u.
De�nition
Vectorul−→OP se numeste vectorul de pozitie al punctului P.
Spunem ca am aplicat vectorul u in punctul P.
Notam−→OP = rP .
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Adunarea vectorilor liberi
Lema:
L
a) AB ∼ CD ⇔ AC ∼ BD;b) AB ∼ A′B ′ si BC ∼ B ′C ′ ⇒ AC ∼ A′C ′.
Oana Constantinescu Lectia I
Adunarea vectorilor
De�nition
Fie vectorii liberi u, v ∈ V si punctul A ∈ E 3. Fie B, respectiv C ,
punctele unice cu proprietatea u =−→AB, v =
−→BC .
De�nim suma vectorilor u + v =−→AC .
Observatie
De�nitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei
anterioare.
Adunarea vectorilor
De�nition
Fie vectorii liberi u, v ∈ V si punctul A ∈ E 3. Fie B, respectiv C ,
punctele unice cu proprietatea u =−→AB, v =
−→BC .
De�nim suma vectorilor u + v =−→AC .
Observatie
De�nitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei
anterioare.
Adunarea vectorilor
De�nition
Fie vectorii liberi u, v ∈ V si punctul A ∈ E 3. Fie B, respectiv C ,
punctele unice cu proprietatea u =−→AB, v =
−→BC .
De�nim suma vectorilor u + v =−→AC .
Observatie
De�nitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei
anterioare.
Adunarea vectorilor
Relatia lui Chasles −→AB +
−→BC =
−→AC
Observatie
Regasim de�nitia cunoscuta din liceu data de regula
paralelogramului.
Adunarea vectorilor
Relatia lui Chasles −→AB +
−→BC =
−→AC
Observatie
Regasim de�nitia cunoscuta din liceu data de regula
paralelogramului.
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Inmultirea vectorilor cu scalari
De�nition
Fie scalarul α ∈ R si vectorul u ∈ V. Produsul dintre α si u este
vectorul notat αu, de�nit de urmatoarele proprietati:
• daca α = 0 sau u = 0 atunci αu = 0;• daca α 6= 0 si u 6= 0 atunci αu are aceeasi directie cu u, acelasisens cu u daca α > 0 si sens contrar lui u daca α < 0, iarmarimea lui αu este |αu| = |α||u|.
De�nitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai
vectorilor liberi.
Oana Constantinescu Lectia I
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Inmultirea vectorilor cu scalari
De�nition
Fie scalarul α ∈ R si vectorul u ∈ V. Produsul dintre α si u este
vectorul notat αu, de�nit de urmatoarele proprietati:
• daca α = 0 sau u = 0 atunci αu = 0;• daca α 6= 0 si u 6= 0 atunci αu are aceeasi directie cu u, acelasisens cu u daca α > 0 si sens contrar lui u daca α < 0, iarmarimea lui αu este |αu| = |α||u|.
De�nitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai
vectorilor liberi.
Oana Constantinescu Lectia I
Structura algebrica a multimii vectorilor liberi
Theorem
Multimea vectorilor liberi, impreuna cu adunarea vectorilor si
inmultirea vectorilor cu scalari reali este un spatiu liniar real, adica
(V,+, ·) veri�ca urmatoarele proprietati:
1) (V,+) este grup abelian:
i) (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v , w ∈ V; (asociativitatea)ii) ∃0 ∈ V a.i. ∀u ∈ V, u + 0 = 0 + u = u;
(existenta elementul neutru 0 =−→AA, A arbitrar)
iii) ∀u ∈ V, ∃ − u a.i. u + (−u) = (−u) + u = 0;
(�ecare vector admite un opus u =−→AB, −u =
−→BA)
iv) u + v = v + u, ∀u, v ∈ V, (comutativitatea);2) i) α(u + v) = αu + αv ;ii) (α+ β)u = αu + βu;iii) (αβ)u = α(βu);iv) 1u = u, ∀α, β ∈ R, u, v ∈ V.
Diferenta vectorilor
u − v = u + (−v), ∀u, v ∈ V,
−→AB =
−→OB −
−→OA, ∀O,A,B ∈ S,
−→AB = rB − rA, ∀A,B ∈ S.
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Aplicatii
Example
Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite de�nirea
sumelor �nite de vectori.
Veri�cati ca, pentru linia poligonala A1A2 · · ·An−1An, au loc
relatiille urmatoare:
1)−−−→A1A2 +
−−−→A2A3 + · · ·+
−−−−−→An−1An =
−−−→A1An;
2) in cazul unei linii poligonale inchise−−−→A1A2 +
−−−→A2A3 + · · ·+
−−−−→An−1A1 = 0.
Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.
Oana Constantinescu Lectia I
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Aplicatii
Example
Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite de�nirea
sumelor �nite de vectori.
Veri�cati ca, pentru linia poligonala A1A2 · · ·An−1An, au loc
relatiille urmatoare:
1)−−−→A1A2 +
−−−→A2A3 + · · ·+
−−−−−→An−1An =
−−−→A1An;
2) in cazul unei linii poligonale inchise−−−→A1A2 +
−−−→A2A3 + · · ·+
−−−−→An−1A1 = 0.
Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.
Oana Constantinescu Lectia I
Aplicatii
Example
Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca
−→AB +
−→AC = 2
−−→AM ⇔ rM =
1
2(rB + rC ).
Indicatie:−−→AM =
−→AB +
−−→BM,
−−→AM =
−→AC +
−−→CM,
−−→BM = −
−−→CM.
Aplicatii
Example
Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca
−→AB +
−→AC = 2
−−→AM ⇔ rM =
1
2(rB + rC ).
Indicatie:−−→AM =
−→AB +
−−→BM,
−−→AM =
−→AC +
−−→CM,
−−→BM = −
−−→CM.
Aplicatii
Example
Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca
−→AB +
−→AC = 2
−−→AM ⇔ rM =
1
2(rB + rC ).
Indicatie:−−→AM =
−→AB +
−−→BM,
−−→AM =
−→AC +
−−→CM,
−−→BM = −
−−→CM.
Aplicatii
Example
Fie patrulaterul convex ABCD si E, N, F, M respectiv mijloacele
laturilor AB, BC, CD, DA.
Demonstrati ca
−→EF =
1
2(−→AD +
−→BC ),
−→AC =
−−→MN +
−→EF .
Aplicatii
Indicatie:−→EF =
−→EA +
−→AD +
−→DF ,
−→EF =
−→EB +
−→BC +
−→CF ,−→
EA = −−→EB,−→DF = −
−→CF .
Se aplica relatia deja demonstrata si pentru−−→MN :
2(−−→MN +
−→EF ) = (
−→DC +
−→AB) + (
−→AD +
−→BC )
= (−→AD +
−→DC ) + (
−→AB +
−→BC ) = 2
−→AC .
Aplicatii
Indicatie:−→EF =
−→EA +
−→AD +
−→DF ,
−→EF =
−→EB +
−→BC +
−→CF ,−→
EA = −−→EB,−→DF = −
−→CF .
Se aplica relatia deja demonstrata si pentru−−→MN :
2(−−→MN +
−→EF ) = (
−→DC +
−→AB) + (
−→AD +
−→BC )
= (−→AD +
−→DC ) + (
−→AB +
−→BC ) = 2
−→AC .
Aplicatii
Example
Veri�cati ca au loc urmatoarele relatii:
||u| − |v || ≤ |u + v | ≤ |u|+ |v |, ∀u, v ∈ V,
iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de
acelasi sens.
Indicatie: Fie A, B, C a.i. u =−→AB, v =
−→BC . Se aplica
inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului
ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este
degenerat.
Aplicatii
Example
Veri�cati ca au loc urmatoarele relatii:
||u| − |v || ≤ |u + v | ≤ |u|+ |v |, ∀u, v ∈ V,
iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de
acelasi sens.
Indicatie: Fie A, B, C a.i. u =−→AB, v =
−→BC . Se aplica
inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului
ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este
degenerat.
Aplicatii
Example
Veri�cati ca au loc urmatoarele relatii:
||u| − |v || ≤ |u + v | ≤ |u|+ |v |, ∀u, v ∈ V,
iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de
acelasi sens.
Indicatie: Fie A, B, C a.i. u =−→AB, v =
−→BC . Se aplica
inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului
ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este
degenerat.
De�nitia vectorilor liberiAdunarea vectorilor liberi
Inmultirea vectorilor cu scalariAplicatii
Bibliogra�e
Bibliogra�e
I. Pop , Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica, Ed.
Plumb, Bacau,
M. Ganga, Matematica, Geometrie, manual pentru clasa a
IX-a, Ed. Mathpress, Ploiesti, 2002.
I. Vaisman, Analytical Geometry, World Scienti�c, 1997.
M. Postnikov, Lecons de geometrie, geometrie analytique, Ed.
Mir, 1981.
C. Ionescu-Bujor, O. Sacter, Exercitii si probleme de geometrie
analitica si diferentiala, vol. 1, E.D.P., Bucuresti, 1963.
O.N. Tuberbiller, Probleme si exercitii de geometrie analitica,
Ed. Tehnica, Bucuresti, 1952.
Oana Constantinescu Lectia I