Universitatea „Al. I. Cuza”- Iaşi
Facultatea de Fizică
CONTRIBUŢII LA STUDIUL UNOR FENOMENE
NELINIARE ÎN MECANICA CUANTICĂ
REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
Conducător ştiinţific
Prof.dr. Maricel Agop
Doctorand
Daniela Magop
(căsătorită Dragan)
Iaşi -2012
In atentia.
........................................
Vă facem cunoscut că în data de 29 septembrie 2012, ora 9 Sala L1, doamna Daniela
Magop (căsătorită Dragan) va susţine, în sedinţă publică, teza de doctorat:
CONTRIBUŢII LA STUDIUL UNOR FENOMENE NELINIARE ÎN MECANICA
CUANTICĂ
în vederea obţinerii titlului ştiinţific de doctor în domeniul fundamental Ştiinţe Exacte, domeniul
Fizică.
Comisia de examinare a tezei:
Prof. univ. dr. Diana Mardare
Preşedinte
Facultatea de Fizică, Universitatea „Al. I. Cuza”- Iaşi
Prof. univ. dr. Maricel Agop
Conducător ştiinţific
Facultatea de Fizică, Universitatea „Al. I. Cuza”- Iaşi
Prof. univ. dr. Dumitru Vulcanov
Referent
Facultatea de Fizică, Universitatea de Vest, Timişoara
Prof. univ. dr. Viorel Puiu Păun
Referent
Facultatea de Ştiinţe Aplicate, Universitatea Politehnica, Bucureşti
Prof. univ. dr. ing. fiz. Vasile Ion Manta
Referent
Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Universitatea Tehnică “Gh. Asachi” Iaşi
Vă invităm pe această cale să participaţi la şedinţa publică de susţinere a tezei de doctorat.
CUPRINS
Introducere 1
Cap. 1 ELEMENTE DE DINAMICĂ NELINIARĂ
UTILIZATE ÎN STUDIUL UNOR FENOMENE LA SCARĂ
MICROSCOPICĂ
1.1 Haos determinist 3
1.2 Sistem dinamic 4
1.3 Cicluri limită 13
1.4 Secţiunea Poincaré şi secţiunea Bogomonly 17
1.5 Bifurcaţii 20
1.6 Exponenţi Lyapunov 25
1.7 Fractali. Dimensiunea fractală şi dimensiunea topologică 26
Cap. 2 CONTRIBUȚII LA STUDIUL EFECTULUI CASIMIR PE
BAZA UNOR ELEMENTE DE DINAMICĂ NELINIARĂ
Scop
2.1 Introducere 40
2.2 Forţele de atracţie moleculare între corpuri solide 43
2.3 Spaţiu-timp fractal 50
2.4 Ecuaţiile Navier-Stokes în teoria relativităţii de scală 56
2.5 Forţa de tip Casimir în teoria relativităţii de scală 59
2.6 Perspective 67
Cap.3 MODELE ATOMICE UTILIZÂND DINAMICA
NELINIARĂ
Scop
3.1 Introducere 69
3.2 Modelul atomului de hidrogen 76
3.3 Modelul haotic-stochastic al atomului 79
3.4 Modelul fractal al atomului 87
3.5 Modelul unificat al atomului utilizând aproximaţia fractală a
mişcării
115
3.6 Perspective 118
Cap.4 UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE
ÎN STUDIUL UNOR INTERACŢII LA SCARĂ
MICROSCOPICĂ
Scop
4.1 Introducere 120
4.2 Mecanisme de eliberare a medicamentelor din matrici
polimerice
126
4.3 Consecinţe ale nediferenţiabilităţii 128
4.4 Aproximaţia disipativă a proceselor de eliberare a
medicamentelor. Ecuaţia de difuzie generalizată
139
4.5 Aproximaţia dispersivă 147
4.6 Perspective 154
Concluzii 155
Referinţe 158
Lucrări proprii şi publicaţii
INTRODUCERE
Prezenta teză de doctorat are drept scop utilizarea dinamicii neliniare în studiul unor
fenomene la scară microscopică. Lucrarea este structurată în patru capitole şi are la bază 130 de
referinţe bibliografice dintre care 11 sunt ale autoarei.
Primul capitol intitulat „Elemente de dinamică neliniară utilizate în studiul unor
fenomene la scară microscopică” prezintă noţiunile fundamentale utilizate în capitolele 2-4
pentru studiul fenomenelor cuantice: haos determinist, sistem dinamic, atractori, ciclu limită,
secţiunea Poincaré, spaţiul fazelor, bifurcaţii, exponenţi Lyapunov, fractali.
În cadrul celui de-al doilea capitol intitulat „Contribuţii la studiul efectului Casimir pe
baza unor elemente de dinamică neliniară” am construit o teorie pentru spaţiul –timp fractal
utilizând geometria nediferenţiabilă. Am considerat vidul din cavitățile Casimir ca fiind un fluid
cuantic, nediferențiabil, bidimensional, lipsit de coerență, Newtonian, format din cvasi-particule
(care pot fi asimilate cu obiecte de tip vortex). Acest vid devine coerent datorită constrângerilor
impuse de prezența pereților. Au fost calculate forțele de tip Casimir pentru o cavitate Casimir
dreptunghiulară cu dimensiunile d1, d, rezulatele fiind în concordanţă cu rezultate teoretice și
experimentale cunoscute.
În capitolul al treilea intitulat „Modele atomice utilizând dinamica neliniară”
propunem modelul unificat al atomului care explică atât „mecanismul” fizic prin care un electron
„sare” de pe o orbitǎ staţionarǎ pe alta, cât şi cel de „generare” a orbitelor staţionare. Utilizând
dinamica neliniară în analiza interacţiunii unei particule încărcate cu un câmp electromagnetic
combinat (prin intermediul seriilor complete de timp, secţiunilor Poincaré, spaţiul complet al
fazelor, exponenţilor Lyapunov, diagramelor de bifurcaţie), se găseşte „mecanismul” stărilor
excitate ale atomului. Întrucât în urma aceleiaşi analize de dinamică neliniară rezultă că
traiectoria unei particule încărcate în câmpul combinat este un fractal, se arată că „dinamicile”
sistemului electron-câmp combinat sunt caracterizate de un potenţial scalar complex al vitezelor.
Partea reală a potenţialului scalar „selectează” orbitele staţionare ale electronului, în timp ce
partea imaginară „selectează” regulile de cuantificare ale energiei.
În ultimul capitol, intitulat „Utilizarea dinamicii neliniare în studiul unor interacţii la
scară microscopică”, am studiat procesul de eliberare a medicamentelor din matrici polimerice
în aproximaţia fractală a mişcării. Într-o asemenea abordare, substituind complexitatea proceselor
fizice cu fractalitatea, sistemele fizice se comporta ca "fluide libere", iar traiectoriile lor se
identifică cu geodezicele unui spaţiu fractal. Aproximaţia fractală a mişcării este explicitată
pentru două scale temporale de interacţie. Pentru scale de timp mici (de ordinul minutelor)
numită şi aproximaţia disipativă a mişcării pe curbe fractale se obţine legea lui Weibull şi, în
particular, legea lui Peppas. Pentru scări de timp mari (de ordinul orelor), numită şi aproximaţia
dispersivă a mişcării pe curbe fractale se obţine un câmp de concentraţie normalizat ce prezintă,
în acelaşi timp, o dependenţă de timpul normalizat şi o neliniaritate sistemică. Modelul teoretic
este validat pe baza rezultatelor experimentale.
CAPITOLUL 2
CONTRIBUȚII LA STUDIUL EFECTULUI CASIMIR PE BAZA UNOR ELEMENTE
DE DINAMICĂ NELINIARĂ
2.1Ecuaţiile Navier-Stokes în teoria relativităţii de scară
Pentru fluidele compresibile vâscoase, ecuaţiile Navier-Stokes
vvXv
3
2 p
Dt
D (2.25)
împreună cu ecuaţia de continuitate
0 v
Dt
D, (2.26)
unde este densitatea, v viteza fluidului, X forţa specifică, p presiunea, vâscozitatea de
forfecare şi vdtdDtD derivatele Euler, sunt aplicate fluidelor Newtoniane. Substituind
operatorul d/ dt cu cel fractal dtd̂ şi separând părţile reală şi imaginară, în cazul izotrop
staţionar, în care forţa specifică X = 0 (câmp gravitaţional constant) şi U = 0, ecuaţiile (2.25)
şi (2.26) devin:
2 2
2
V 0
0 0
p
D
D
V V V U V
V V U
(2.27a,b 2.28 a,b)
unde
V V - iU este viteza complexă (am identificat viteza reală V cu v, viteza instantanee a
particulei), = / vâscozitatea cinematică şi D =ħ/2m amplitudinea fluctuaţiilor fractale.
Dacă comparăm cu ecuaţia Navier-Stokes (2.27a), observăm că primul termen (2.27b)
indică rata la care V este transportată prin "fluid", ceea ce înseamnă că mişcarea particulelor de
"fluid" are loc cu viteza U; al doilea termen reprezintă difuzia lui V, iar D joacă rolul de
„vâscozitate cinematică” a „fluidului”. Dacă luăm în considerare curgerea lui V, indusă de o
mişcare de translaţie uniformă a unui plan aflat la distanţa Y de un plan paralel staţionar, iar dacă
viteza "fluidului" creşte de la zero (la planul de staţionar) la U (la planul în mişcare) ca şi în cazul
curgerii simple Couette sau a curgerii simple de forfecare, vom avea
rata deformarii de forfecare dV dy U Y .
Atunci când "fluidele" curg, s-a constatat că la viteze rezonabile efectele de vâscozitate
apar doar în straturi subţiri pe suprafaţa obiectelor sau pe suprafeţele pe care curg "fluidele".
Dacă se continuă analogia, şi ne întrebăm cum V este transportată prin mişcarea particulelor de
"fluid" cu viteza U, în ecuaţia (2.27 b), se poate presupune că mecanismul de transfer al lui V de
la o particulă de "lichid” la alta se realizează pe distanţe mici (în straturi subţiri, aşa cum este
menţionat mai sus).
Am studiat un caz important, şi anume cel al curgerii unidimensionale de-a lungul axei
Ox: kV x . În consecinţă ecuaţia (2.27 b) se reduce la ecuaţia scalară 02 xxKx
care este o ecuaţie de tip Schrödinger independentă de timp. În acestă ecuaţie
2 1K x U xD cu şi D având semnificaţia unei distanţe elementare mici respectiv, a
“vâscozităţii cinematice”, U(x) fiind viteza “fluidului Newtonian” [38].
Pentru D = ħ/2m şi distanţe mici de ordinul lungimii de undă Compton, = ħ/mc [39],
ecuaţia (2.33) este rezolvată prin metoda aproximaţiei WKBJ în [40-42]. Tot în [40-42] s-a
obţinut pentru diferite forme ale funcţiei U x soluţiile asimptotice şi condiţiile de cuantificare,
şi s-a demonstrat că, dacă “potenţialul” are ambii pereţi abrupţi la infinit, aşa cum este cazul în
geometria Casimir, regula de cuantificare este dată în [40-42] 2
1
,
x
x
kdx n unde k este numărul
de undă şi 1,2,3,...n
2.2 Forţa de tip Casimir în teoria relativităţii de scală
Efectul Casimir este descris prin teoriile cuantice de câmp, considerând că toate variaţiile
câmpurilor fundamentale, şi în particular, câmpul electromagnetic, sunt cuantificate în fiecare
punct din spaţiu.
În modelul nostru, să considerăm vidul, ca fiind un fluid cuantic nediferenţiabil,
Newtonian, bidimensional, necoerent, ale cărui entităţi (cvasi-particule) sunt asimilate cu obiecte
de tip vortex [43] (vezi Fig. 2.3) descrise prin funcţia de undă [44,45] kucn ; cu
1 22 2 2
0
1 22 2 2 2 2
0
, , , 1 sin ,
1 sin , 1
K K Ku z z x iy K k d
a a b
K k d k k
(2. 37 a-f)
şi K, K’ integralele eliptice complete de prima speţă de modul k [46]. Aceste vortexuri formează
o reţea bidimensională cu constantele de structură a şi b. Aplicând în plan complex [47],
formalismul dezvoltat în [38] putem introduce un potenţial complex prin intermediul relaţiei
kucne zF ;
, kucnyxiHyxGzF ;ln,, (2.38)
cu Γ constanta vortexului. În cazul nostru, Γ = c = ħ/m [43-45], cu lungimea de undă
Compton, scara de interacţie fiind specificată aici prin valoarea lui Γ.
Fig. 2.3 – Vidul dintr-o cavitate Cazimir în care toate entităţile (cvasi-particule) sunt asimilate ca obiecte tip vortex
Pe baza potenţialului complex (2.38), se defineşte câmpul de viteze al fluidului cuantic
necoerent, prin relaţia
; ;
;x y
dF z sn u k dn u kKV iV
d z a cn u k
(2.39)
Având în vedere că ucnucn , unde KniKm 2)12(2 şi m,n = 1, 2 ...,
pentru limitele k 0 şi respectiv, k 1 fluidul cuantic, iniţial necoerent (amplitudinile şi fazele
entităţilor fluidului cuantice sunt independente) devine coerent (amplitudinile şi fazele entităţilor
fluidului cuantic sunt corelate [49]). Într-un astfel de context, din distribuţia curbelor
echipotenţiale date în Figurile 2.4 a,b (vezi teza), rezultă că pentru k2 0 şi k
2 1 coerenţa
fluidului cuantic se reduce la dispunerea sa în străzi de vortexuri..
Acum, scriind ecuaţia Navier-Stokes (2.27 a) şi ecuaţia de continuitate (2.28 a), în teoria
relativităţii de scară pentru o densitate constantă (fluide incompresibile), în două dimensiuni, se
obţine
2 2
2 2
2 2
2 2
0
x x x xx y
y y y yx y
yx
V V V VpV V
x x yx y
V V V VpV V
y x yx y
VV
x y
D
D (2.42a,b 2.43)
unde vâscozitatea de forfecare este înlocuită prin D deoarece avem de-a face aici cu un fluid
cuantic nediferenţiabil. Cu alte cuvinte, nediferenţiabilitea şi coerenţa fluidului cuantic cauzată
de constrângeri, generează presiune de-a lungul axei Ox şi Oy.
Să studiem cazul unei cavităţi Casimir, de formă dreptunghiulară cu laturile d1 şi d.
Plăcile induc constrângeri de-a lungul axelor Ox şi Oy, astfel încât străzile de vortexuri se
formează de-a lungul acestor direcţii. Matematic funcţionează simultan degenerările în k ale
potenţialui cn(u). Rezultă că în fiecare punct (x, y) există o presiune formată din cele două
constrângeri, presiune care acţionează pe părţile laterale ale incintei dreptunghiulare:
rn
thmrn
tgm
mtg
rn
thm
tgarctg
mr
rmth
r
mth
ntgarctg
m
r
mthnr
mtgnr
ntg
r
mth
ntgarctg
nrrnth
rn
thm
tgarctg
nrp
prect
4 2
4 2
424
1
1
244
1
4 2
42
1
424
244
22
2
22
2
22
222
2
22
2
22
2
0
(2.56)
În Figura 2.5 a, b sunt reprezentate graficele date de relaţia (2.56) pentru diferite valori
ale parametrilor m, n = 1, 2, .... şi r b a . Dacă cei doi parametri m şi n au valori apropiate, forţa
care acţionează pe dreptunghiul Cazimir este întotdeauna negativă şi scade exponenţial cu
creşterea lui r. Pentru parametrii m şi n (1,5 şi 5,1, adică foarte asimetrici) forţa are domeniul
negativ şi pozitiv şi creşte exponenţial cu valoarea lui r (Figura 2.5 b). Mai mult, domeniile
pozitive şi negative, se obţin rezolvând (2.56) pentru m = 5, n = 5. Se găseşte prect < 0 pentru
0.45753 r 2.18565 şi prect > 0 pentru r > 2.18565 şi r < 0.45753 . Acest rezultat este în acord
0 5 10 15 20 25 30r
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
tcerP
m 1,n 5
m 1,n 4
m 1,n 3
m 1,n 2
m 1,n 1
0 5 10 15 20 25 30r
-15000
-12500
-10000
-7500
-5000
-2500
0
tc
er
P
m 2,n 5
m 2,n 4
m 2,n 3
m 2,n 2
m 2,n 1
0 5 10 15 20 25 30r
-4000
-3000
-2000
-1000
0
tc
er
P
m 4,n 5
m 4,n 4
m 4,n 3
m 4,n 2
m 4,n 1
0 1 2 3 4 5r
-60
-40
-20
0
20
tcerP
m 5,n 5
m 5,n 4
m 5,n 3
m 5,n 2
m 5,n 1
0 1 2 3 4 5r
-60
-40
-20
0
20
tcerP
m 1,n 5
m 1,n 4
m 1,n 3
m 1,n 2
m 1,n 1
cu calculele de regularizare folosind formula lui Abel-Plana, unde E < 0 pentru 0.36537 L/l
2.73686 şi E > 0 pentru L/l > 2.73686 şi L/l < 0.36537 [52].
Fig. 2.5 a) Graficul prect în raport cu parametrul r pentru diferite valori ale parametrilor m, n = 1,2, ...;
Fig. 2.5 b) Graficul prect în raport cu parametrul r, dar pentru o valori foarte asimetrice ale parametrilor m, n (1,5 şi
5,1).
CAPITOLUL 3
MODELE ATOMICE UTILIZÂND DINAMICA NELINIARĂ
3.1 Modelul unificat al atomului utilizând aproximaţia fractală a mişcării
3.1.1 Stări excitate ale atomului
Să considerăm interacţiunea dintre un fascicul de particule încărcate cu un câmp
combinat (câmp electromagnetic monocromatic şi câmp magnetic extern constant).
3.1.1.1 Ecuaţiile de mişcare
Modelul matematic al acestui sistem dinamic se bazează, în conformitate cu [66-68], pe
ecuaţiile lui Maxwell şi ecuaţia de mişcare relativistă a unei singure particule din fascicul.
Pentru a obţine valorile parametrilor care definesc un mecanism eficient de accelerare
(efectul gun), considerăm că mişcarea unei singure particule a fasciculului are loc în câmpul
electromagnetic generat de celelalte particulele ale fasciculului. Astfel, sistemul iniţial, cu câmp
selfconsistent este transformat într-un sistem cu câmpuri exterioare. În aceste condiţii, vom
considera mişcarea unei particule încărcate într-un câmp magnetic extern constant şi în prezenţa
unui câmp electromagnetic transversal.
Obţinem următoarele ecuaţii adimensionale, ce descriu dinamica neliniară a modelului
[66-68]:
2 2, cos 1
1
cos 1 cos ,
x xc y
x y
y bc x
B B
P dPdXX T P
dT dTP P
dP HX T P H X T
dT
(3.82 a-c)
semnificaţiile parametrilor fiind daţi în teză.
Soluţiile analitice pentru sistemul (3.82) sunt greu de obţinut. Soluţiile numerice ale
acestor ecuaţii şi corespondenţele lor cu dinamica sistemului au fost obţinute prin aplicarea
algoritmul Runge-Kutta de ordinul cinci, cu pas adaptativ al erorii [66-68].
3.1.1.2 Exponenţi Lyapunov
Figura 3.5 analizează zonele haotice prin calcularea exponenţilor Lyapunov. Zonele mai
întunecate au exponentul Lyapunov mare, adică sunt zone haotice. Confirmăm faptul că, pentru
a obţine regimuri haotice extinse trebuie să avem 2.5H . Astfel distingem trei „insule” haotice
distincte (1 pentru 2.5H respectiv, 2 şi 3 pentru 4 5H ).
B
Figura 3.5 Analiza zonelor haotice prin investigarea exponenţilor Lyapunov
În figurile 3.6 sunt reprezentate două variante ale codificării culorilor. În primul grafic
sunt reprezentate valorile pentru fiecare nivel al exponentului Lyapunov, iar în cel de al doilea
grafic avem codul culorilor, în paranteze fiind reprezentate intervalele deschise pentru valorile lui
corespunzătoare fiecărei culori.
Fig. 3.6 Reprezentarea valorilor exponentului Lyapunov prin codificarea culorilor
3.1.1.3 Serii de timp, secţiuni Poincaré şi spaţiul fazelor
Este dificil să observăm în mod direct o evoluţie spre haos, deoarece forma traiectoriilor
circulare nu se modifică semnificativ (numai în anumite cazuri specifice, particula se întoarce).
Vom prezenta în continuare comportamentul particulei în câmpul combinat ţinând seama de
diagrama Lyapunov din Figura 3.5. Distingem următoarele secvenţe:
H
i) Pentru amplitudini mici ale câmpului electromagnetic, 0.05H , mişcarea particulei este
complexă, dar păstrează un caracter regulat (Figurile 3.11 a-g din teză);
ii) Debutul fractalizării (prin intermediul stochasticizării) se observă atunci când H depăşeşte
valoarea de 0,5 (Figurile 3.12 a-g din teză);
iii) Atunci când 1.5H este iniţiat efectul gun (Figurile 3.13 a-g din teză);
iv) Un regim haotic extins se obţine pentru 2.5H (Figurile 3.14 a-g din teză);
v) Un efect gun haotic erupe pentru 3.5H (Figurile 3.15 a-g din teză);
vi) Un efect multi-gun rezultă pentru 4.5H (Figurile 3.16 a-g din teză).
Fiecare secvenţă a fost caracterizată prin seriile de timp ,X T , ,xP T , ,yP T , secţiunea
Poincaré ,x yP P şi spaţiul fazelor , xX P , , yX P , , ,x yX P P . Explicităm afirmaţia de mai sus
pentru secvenţa multi-gun pe baza soluţiei numerice pentru 4.5H .
Figura 3.16 Efectul multi-gun pentru 4.5H ; (a) serii de timp ,X T , (b) serii de timp ,xP T , (c) serii de timp
,yP T , (d) secţiune Poincaré ,x yP P , (e) spaţiul fazelor , xX P , (f) spaţiul fazelor , yX P , (g) spaţiul fazelor
3D , ,x yX P P ; [90]
3.1.1.4 Diagramele de bifurcaţie
Diagramele de bifurcaţie confirmă scenariul de tranziţie spre haos prin suprapunerea
rezonanţelor (Figuile 3.17).
a
b
c
Figura 3.17 Diagramele de bifurcaţie prin suprapunerea rezonanţelor (pentru ( )X H -a, ( )xP H -b, ( )yP H -c) şi
0,5B
.
Zonele parțial haotice sunt zonele pentru care distribuția punctelor pe verticală este
haotică. Tranziţia spre zonele haotice nu se realizează prin bifurcații succesive ci prin
suprapunerea rezonanţelor.
Modelul poate descrie stările staţionare tranzitorii ale atomului dacă admitem că
„dinamicile” sistemului particulă încărcată – câmp electromagnetic combinat pot fi asimilate
„dinamicilor” sistemului electron-nucleu.
3.1.2 Orbitele staţionare a atomului
Analiza anterioară statuează faptul că mişcarea electronului în jurul nucleului are loc pe
curbe fractale. Astfel se poate aplica formalismul relativităţii de scală [71-76]. Rezultă pentru
mişcări irotaţionale în câmpul scalar extern sistemul hidrodinamic fractal
0 , 0t tm Q V V V U V (3.91 a, b)
cu Q potenţialul fractal
220
02 2 2
mQ
m
UU
(3.92)
Prezenţa unui potenţial scalar al câmpului complex de viteze impus prin mişcările irotaţionale
implică următoarele:
i) la scală diferenţială, câmpul real de viteze este responsabil de orbitele staţionare,
2
0
0sin
e rV r
dm d m m d hm
r
(3.98)
ii) la scală nediferenţială, câmpul fractal de viteze (partea imaginară a câmpului complex de
viteze) este responsabil de potenţialul fractal
2 2
2 2 2 20
1 2( )
2 sinnm
mQ r
m arn a r
(3.100)
Acest rezultat a fost obţinut utilizând relaţia de recurenţă pentru polinoamele Laguerre asociate şi
polinoamele Legendre [65, 66]. Din potenţialul fractal rezultă observabila sistemului sub forma
energiei
2
20 2 2
0
1 1( ) ( )
2 2n nmE m v U r Q r
m a n (3.101)
unde a este raza primei orbite Bohr.
Capitolul 4
UTILIZAREA DINAMICII NELINIARE
ÎN STUDIUL UNOR INTERACŢII LA SCARĂ MICROSCOPICĂ
4.1 Ecuaţia de transport
Considerând că complexitatea în procesul de eliberare a medicamentelor din matrici
polimerice este susbstituită prin fractalitate, utilizând metoda din [104], se obţine ecuaţia de
transport a unei mărimi Q sub forma:
2 1 3 13 2 32
03
F FD DQ QQ i dt Q dt Q
t t
V D D (4.55)
unde
V este câmpul complex de viteze. Aceasta înseamnă că, în orice punct al unei curbe
fractale, variaţia locală temporală, tQ , neliniaritatea, Q
V , disipaţia, Q , şi dispersia,
3Q îşi fac echilibrul.
4.2 Aproximaţia disipativă a mişcării în procesele de eliberare a medicamentelor
4.2.1 Ecuaţia generalizată de difuzie
Dinamica fractală de eliberare a câmpului de concentrație a medicamentelor atât la scală
mesoscopică cât şi nano este descrisă de ecuaţia [105]:
0ˆ 12
QdtiQt
Q
t
QFD
DV (4.56)
Ecuaţia generalizată de "difuzie" se obţine din relația (4.56) impunând următoarele
restricţii:
i) traiectoriile de "difuzie" sunt curbe fractale cu dimensiunea fractală 2F
D ;
ii) rezoluţia de timp, δt, este identificată cu elementul diferenţial, dt, adică poate fi aplicat
principiul substituţiei;
iii) „dinamicile” la scală diferenţiabilă şi nediferențiabilă sunt "sincrone" (aceleaşi mecanisme de
eliberare a medicamentelor se manifestă la scală fractală şi la scală diferenţială), adică V U .
Atunci ecuația (4.56) poate fi scrisă sub forma 2 1FDQ t dt Q
D
pe care o vom
numi ecuaţia generalizată de difuzie. Considerând că variaţia relativă a concentraţiei de eliberare
a medicamentelor, dependentă de timp, definită prin relaţia [105]: ( )T t Q Q Q , unde Q şi
Q sunt concentraţiile cumulate ale eliberării medicamentelor la momentul de timp t, respectiv la
infinit, satisface ecuaţia generalizată de difuzie, utilizând metoda separării variabilelor [105],
rezultă relaţia:
FD
F
t
D
l
Q
Q22
12
exp1D
(4.68)
De aici, cu substituţiile:
2
1F
ma
L 2
D
D
FD
2b (4.70 a, b)
se obţine legea lui Weibull
)exp(1 batQ
Q
(4.69)
Constanta b este dependentă doar de dimensiunea fractală a „curbelor” după care are loc
eliberarea medicamentului, în timp ce a depinde atât de dimensiunea fractală, cât şi de ordinul de
difuzie m.
În figura 4.6, se prezintă dependenţa teoretică (4.68) fie de dimensiunea fractală DF și de
variabila timp t pentru un anumit ordin de difuzie m fixat (fig. 4.6a), fie de ordinului de difuzie m
și de variabila timp t pentru o anumită dimensiune fractală DF fixată (fig. 4.6b).
a b
Figure 4.6 Dependenţa teoretică t
Q Q
de dimensiunea fractală DF și variabila timp t pentru un anumit ordin de
difuzie m (a) şi respectiv de ordinul de difuzie m și variabila timp t pentru o anumită dimensiune fractală DF (b)
[105]
Este cunoscut că procesul descris prin ecuaţia generalizată de difuzie cu 2F
D este
cunoscută ca “difuzie anomală” (subdifuzie pentru DF < 2 şi super-difuzie pentru DF > 2 ) [75,
95-97, 106-108].
Pentru diferite valori ale parametrilor a şi b, se disting următoarele cazuri particulare:
i) să alegem b=1, ceea ce implică 2F
D . Această alegere implică următoarele:
- curbele de difuzie sunt curbe fractale de tip Peano ( 2F
D );
- mişcările la scală diferenţiabilă şi nediferenţiabilă sunt sincrone, V U ;
- coeficientul de structură D se identifică cu coeficientul de difuzie D, DD .
ii) dacă în relaţia (4.69) se consideră restricţia pentru timp cu 1a aceasta se reduce la o lege de
tip Peppas, binecunoscută în studiile de eliberare a medicamentelor [100].
Pe baza dependenţei de valorile parametrului b, adică de dimensiunea fractală F
D a
curbelor fractale de eliberare a medicamentelor, putem identifica mecanismul de eliberare a
medicamentelor pentru diferite tipuri de matrici polimerice, diferite medii de eliberare, sau de
tipul medicamentelor [109]. În acest context, pentru b=1/2 ( 2F
D ) se obţine un mecanism de
eliberare de tip Fickian (legea lui Higuchi), în timp ce pentru 1 2b ( 2F
D ) se manifestă un
mecanism de eliberare de tip ne-Fickian [100].
4.2.2 Validarea modelului teoretic pe baza rezultatelor experimentale
Au fost studiate microparticule de gelatină şi poli (vinil alcool) (GEL-PVA) legate de
glutaraldehide (GA), prin utilizarea unor cantităţi diferite de agent de reticulare în probele
preparate (2%, 6%, 8%, 10% - codul de proba indică cantitatea agentului de reticulare: de
exemplu, GA2 reprezintă o probă cu o cantitate reticulară 2%), încărcată cu cloramfenicol [118].
Toate particulele eliberare, de mai sus, reprezintă matrici polimerice cu microparticule
sau nanoparticule, dar cu caracteristici diferite de structură, datorate diferiţilor parametri
experimentali. În ciuda acestui fapt, ele au un comportament similar, în timp, din punct de vedere
calitativ.
Am analizat aceste rezultate experimentale şi se observă că cinetica de eliberare a
medicamentelor corespunde unei legi de tip Weibull (care a fost dedusă în paragraful anterior).
Ca rezultat, am obţinut parametrii a şi b, coeficienţii de corelare şi dimensiunea fractală a
cineticii de eliberare pentru fiecare dintre probe, toate acestea indicând unele informaţii cu
privire la mecanismele de eliberare a medicamentelor la scală mesoscopică sau nano (vezi
Tabelul 4.2).
0 50 100 150t min .0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Q mg g
Weibull curve GA10Experimental points GA10Weibull curve GA8Experimental points GA8Weibull curve GA6Experimental points GA6Weibull curve GA2Experimental points GA2
Probe
Weibul
Dimensiunea
fractală
Mecanismul de eliberare—
observaţii a b
Coeficient
de
corelaţie
GA2 0,0782 1.4069 0,9994 1,42 ne-Fickian “sub-difuzie”
GA6 0,0577 1.2602 0,9902 1,59 ne-Fickian “sub-difuzie”
GA8 0,0348 1,121 0,9953 1,78 ne-Fickian “sub-difuzie”
GA10 0,5711 0,4816 0,9966 4,15
ne-Fickian “super-difuzie” – grad
ridicat de complexitate a
sistemului
Tabelul 4.2
Prima observaţie este aceea că valorile coeficientului de corelaţie pentru curbele
experimentale şi cele pentru curba descrisă de Weibull sunt foarte bune, mai bune decât pentru
curba Peppas. Pentru ilustrare, vom prezenta în Fig. 4.8 curbele experimentale şi cele de tip
Weibull.
Figura 4.8 Curbele experimentale şi curbele Weibull pentru microparticule GEL-PVA [105]
4.3 Aproximaţia dispersivă a mişcării în procesele de eliberare a medicamentelor
4.3.1 Ecuaţia generalizată de difuzie
În cazul dispersiv (4.55) ia forma ecuaţiei generalizate de difuzie
3 1 32
03
FD3 2QQ dt Q
t
V U D (4.77)
Presupunând că, Q V U cu constant [108], în cazul unidimensional şi
introducând un sistem de coordonate adimensionale, ecuaţia (4.77), ia forma standard a ecuaţiei
Korteweg de Vries
6 0 (4.80)
O soluţie staţionară a ecuaţiei (4.80) are expresia
2
02 1 22
E s a u, ,s a a cn ;s
K s s
(4.83)
unde cn este funcţia eliptică Jacobi de modul s [109], a este o amplitudine, 0 este o constantă
de integrare şi
2 2
1 2 1 22 2 2 2
0 0
1 1K s s sin d ,E s s sin d
(4.84)
sunt integralele eliptice complete de modul (s) [109]. Prin urmare, mişcarea particulelor de
medicament se realizează prin moduri de oscilaţie cnoidale unidimensionale al câmpului de
concentraţie (Figura4.9).
Figura 4.9. Modurile de oscilaţie cnoidale unidimensionale ale câmpului de concentraţie
4.3.2 Rezultatele experimentale
4.3.2.1 Protocolul de pregătire
Eliberarea medicamentelor din matrici polimerice are loc în conformitate cu o lege de tip
putere, în porţiunea de 60% de la începutul curbei de eliberare şi / sau a legii exponenţiale
Weibull pe întreaga curbă de eliberare a medicamentelor, ajungând la o valoare medie de
echilibru constantă. Aceste rezultate sunt pentru experimente efectuate la scale temporale mici,
pentru care fenomenele dominante sunt dizolvarea şi difuzia: sistemul prezintă un "efect de
ardere-explozie", din cauza gradientului de concentraţie mare, urmată de o evoluţie liniară, la o
valoare constantă, corespunzătoare unei stări de echilibru, fără gradient de concentraţie. Unele
rezultate experimentale, realizate la scale temporale mari, astfel încât procesul să evolueze
complet, prezintă comportamente neobişnuite, cu fluctuaţii puternice.
În tabelul 4.3 sunt reprezentate parametrii variabilelor din Protocolul de pregătire:
*Suma TPP (g) a fost menţinută constantă
Table 4.3 Parametrii variabilelor din protocolului de pregătire
4.3.2.2 Cinetica de eliberare a Levofloxacinei
Eliberarea levofloxacinei încărcată în microparticulele descrise mai sus este reprezentată
în Figura 4.10. Eşantioanele sunt grupate după parametrii variabilelor de preparare.
Codul
mostrei
CS/GEL
(w/w)
Concentraţia de TPP
+ soluţuie de TPP*
NH2:TPP
(mols/mols)
C1 1/1 5% 2.4/1
C2 1/1 15% 2.4/1
C3 1/1 1% 2.4/1
C4 1/1 10% 2.4/1
C5 1/1 5% 4.8/1
C6 1/1 5% 11.7/1
C7 1/1 5% 1.17/1
C8 1/0 5% 4.8/1
C9 3/1 5% 4.8/1
Figura 4.10 Cinetica de eliberare a Levofloxacinei din miocroparticule la diferite: concentraţii ale soluţiei TPP (a), a
raportului molecular NH2:TPP (b), moli de NH2 (c)
Toate aceste experimente au fost realizate într-un interval de 28 de zile, concentrația
medicamentului eliberat fiind măsurată zilnic, la aceeași oră. Caracteristica generală a cineticii de
mai sus este următoarea: cinetica de eliberare a medicamentului prezintă variații puternice ale
concentraţiei în timp.
Trebuie să subliniem faptul că, dacă aceste experimente ar avea loc la scale de timp de
ordinul orelor, comportamentul sistemului ar urma legea exponențială Weibull. Cinetica de
eliberare corespunzătoare poate fi observată în Figura 4.11
Fig. 4.11 Cinetica de eliberare a Levofloxacinei, la o scară de timp de ordinul orelor, din miocro/nanoparticule la
diferite: concentraţii ale soluţiei TPP (a), a raportului molecular NH2:TPP (b), moli de NH2 (c)
4.3.3 Validarea modelului teoretic pe baza rezultatelor experimentale
În cele ce urmează, am identificat câmpul cu câmpul de concentraţie normalizat de
eliberare a microparticulelor. În acest context, rezultă că mecanismul de eliberare a
medicamentelor se realizează prin intermediul unor moduri de oscilatie cnoidale ale câmpului de
concentraţie normalizat, parametrul s fiind o măsură a gradului de neliniaritate a sistemului.
Modurile de oscilaţie cnoidale unidimensionale conţin ca subsecvenţe pentru 0s unde
armonice unidimensionale, iar pentru 0s pachet de unde unidimensional. Aceste două
subsecvenţe definesc regimul necvasi-autonom a procesului de eliberare a medicamentului.
Pentru 1s , soluţia (4.83) este un soliton unidimensional, iar pentru 1s un pachet de solitoni
unidimensionali. Aceste ultime două subsecvenţe implică regimul cvasi-autonom pentru procesul
de eliberare al particulelor de medicament.
Pentru a găsi cea mai bună corelaţie între datele experimentale şi modelul teoretic, pentru
fiecare probă, am folosit o intersecţie plană a graficului din Figura 4.9, unde cele două variabile
sunt 2y u / şi x s . Cu aceste variabile ecuaţia (4.83) devine:
2
1 02 1 2E x a
x, y a a cn y ;xK x x
(4.85)
Astfel, pentru a găsi o ecuaţie unidimensională pentru intersecţia plană, perpendiculară pe planul
xOy , am folosit ecuaţia funcţiei liniare y mx n , unde m şi n sunt doi parametri. După
efectuarea substituţiilor obţinem funcţia unidimensională:
2 12 21 1
t tt ,m,n ,n m
m m
(4.78)
Fig. 4.12. Curbele teoretice şi experimentale, pentru procesul de eliberare a levofloxacinei din microparticule
polimerice (linia albastră - curba experimentală, linia roşie - curba teoretică). [103]
Din grafice rezultă un bun acord între datele experimentale şi modelul teoretic propus.
Concluzii
Principalele rezultate originale ale prezentei teze de doctorat sunt următoarele:
Capitolul 2
Am analizat vidul din cavitatea Casimir, considerat un fluid cuantic nediferenţiabil,
Newtonian, bidimensional, necoerent, prin scrierea ecuaţiilor Navier-Stokes, în cadrul teoriei
relativităţii de scară. Pot fi extrase următoarele rezultate:
i) câmpul viteză V (Vector) şi / sau densitatea câmpului (scalar) se comportă ca funcţii de undă
pe distanţe mici (acelaşi ordin de mărime cu lungimea de undă Compton);
ii) câmpul viteză V (Vector) şi / sau densitatea câmpului (scalar) sunt transportate prin mişcarea
fluidului newtonian, cu viteza U, pe distante mici (acelaşi ordin de mărime cu lungimea de undă
Compton);
iii) entităţile din cavitatea Cazimir, asimilate cu obiectele de tip vortex, iniţial necoerente, devin
coerente din cauza constrângerilor induse de prezenţa pereţilor şi generează presiune de-a lungul
axelor Ox and Oy;
iv) s-a observat că, în cazul cavităţii Cazimir din interiorul unei incinte dreptunghiulare de laturi
d1, d, plăcile induc constrângeri de-a lungul axelor Ox şi Oy , şi dacă cei doi parametri m şi n au
valori apropiate, forţa care acţionează asupra dreptunghiului Cazimir este întotdeauna negativă.
Dacă parametrii m şi n sunt foarte asimetrici, forţa are valori negative şi pozitive, în acord cu
calculul de regularizare obţinut folosind formula Abel-Plana.
Capitolul 3
i) utilizând o analiză de dinamică neliniară completă şi detaliată (exponenţi Lyapunov, serii de
timp complete, secţiune Poincaré, spaţiul de fază complet, diagrame de bifurcaţie) sunt descrise
interacţiunile neliniare pentru o particulă - câmp (câmp electromagnetic şi câmp magnetic static);
ii) au fost propuse mecanismele fizice (efectul gun, efectul gun haotic şi efectul multi-gun), care
explică stările excitate ale atomului (analogul clasic al absorbţiei cuantice);
iii) analizele fractale ale traiectoriilor care rezultă din interacţiunea neliniară a particulei cu un
câmp arată că aceste curbe posedă proprietatea de continuitate şi nediferenţiabilitate, adică sunt
curbe fractale. Într-un asemenea context, putem aplica teoria relativităţii de scară pentru studiul
stărilor staţionare ale atomului. Prin urmare, fractalizarea traiectoriei reprezintă un mecanism
natural de introducere a cuantificării (partea reală a câmpului de viteze complex „selectează”
orbitele staţionare, în timp ce partea imaginară cuantifică energia).
Capitolul 4
i) La scară mică de timp, am analizat rezultatele experimentale şi se observă că cinetica de
eliberare a medicamentelor corespunde unei legi de tip Weibull. Ca rezultat, am obţinut
parametrii a şi b, coeficienţii de corelare şi dimensiunea fractală a cineticii de eliberare pentru
fiecare dintre probe, toate acestea indicând unele informaţii cu privire la mecanismele de
eliberare a medicamentelor la scală mesoscopică sau nano:
- Valorile coeficientului de corelaţie pentru curbele experimentale şi cei pentru curba descrisă de
Weibull sunt foarte bune. Acest lucru ne permite să afirmăm că întregul proces de eliberare poate
fi descris mai bine de o legea tip Weibull decât una de tip Peppas, arătând aplicabilitatea largă a
unei legi de tip Weibull;
ii) La scară mare de timp, se obţine un nou model pentru mecanismul de eliberare al
medicamentelor din matrici polimerice, considerând că mişcarea particulelor de medicament are
loc pe curbe fractale.
- Acest model oferă o nouă alternativă pentru studiul teoretic al procesului de eliberare al
medicamentelor, atunci când toate fenomenele sunt prezente, astfel încât complexitatea
sistemului, şi, implicit, neliniaritatea acestuia devin foarte mari.
- Rezultă că câmpul de concentraţie normalizat prezintă, în acelaşi timp, o dependenţă de timpul
normalizat şi o neliniaritate sistemică (prin parametrul s). Cele mai bune valori ale factorilor de
corelare au fost găsiţi, în special, în reprezentările grafice ale planurilor tridimensionale ale
câmpului de concentraţie normalizat şi indică faptul că fiecare stare a sistemului, la un moment
dat, corespunde unei neliniarităţi, determinată de structura intrinsecă a sistemului.
Bibliografie selectivă
[2] H.B.G. Casimir, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Rev. 51 (1948) 793.
[3] M. Bordag, U. Mohideen, V.M. Mostepanenko, Phys. Rep. 353 (2001) 1.
[4] K. Milton, J. Phys. A 37 (2004) R209.
[9] L. E. Ballentine, Quantum Mechanics (chapter 19), (Prentice-Hall) (1990).
[13] F. Ben Adda, J. Cresson, Chaos, Solitons & Fractals 19 (2004) 1323.
[24] G. Jumarie, Chaos, Solitons & Fractals 28 (2006) 1285.
[28] L. Nottale, Fractal space-time and microphysics: Towards a theory of scale relativity.
Singapore: World Scientific (1993).
[44] C. Gh. Buzea, M. Agop, N. Rezlescu, C. Buzea, T. Horgos, V. Bahrin, Phys. Stat. Sol.(b)
205 (1998) 595.
[50] S. Titeica, Quantum Mechanics, Academic Press, Bucureşti, 1984.
[53] L. D. Landau, E. M. Lifsit, Electrodinamica mediilor continue, Editura Tehnică, Bucureşti,
1968.
[54] C. Gh. Buzea, M. Agop,C.M. Stoica, C. Boris, D. Scutru, P.V. Paun, D. Magop, R. Stana
Casimir Type Effect in Scale Relativity Theory, “International Journal of Nonlinear Sciences and
Numerical Simulation”, ISSN 1565-1339, Vol. 11, No. 10, Octombrie 2010
[55] Schrodinger E 1928 Collected Papers on Wave Mechanics (London: W.M. Deans);
[57] Madelung E 1926 Z.Physik 40 322;
[59] De Broglie L 1967 Compt. Rend. 264 1041;
[65] Ciubotariu Corneliu, Stancu Viorel and Ciubotariu Ciprian 2003 A Chaotic-Stochastic
Model of an Atom in Gravitation and Cosmology: From the Hubble Radius to the Planck Scale
Fundamental Theories of Physics 126, Part IV, pp. 357-366;
[66] Argyris J and Ciubotariu C 2000 Chaos, Solitons & Fractals 11 (7) 1001-1014;
[68] Antici A, Marin C, and Agop M 2009 Chaos Through Stochastization 2009 (Ars Longa,
Iasi);
[70] D. Luca, C. Stan, Mecanica punctului material, Ed. Tehnopres, Iaşi, 2004;
[75] Mandelbrot B B 1983 The Fractal Geometry of Nature. (W.H. Freeman and Company, New
York);
[79] Weibel P, Ord G and Rössler G (Editors) 2005 Space-time Physics and Fractality (Springer,
Vienna, New York);
[85] M. H. Bessendorf, Stochastic and fractal analysis of fracture trajectories, Int. J. Eng. Sci.,
vol. 25, pp. 667-672, 1987.
[90] M. Agop, P. Nica, S. Gurlui, C. Focsa, D. Magop - Chaotic atom model via fractal
approximation of motion, Physica Scripta, Nr. Volumul 84, nr 4, Editura Graeme Watt -
Publisher, 2011, ISBN ISSN 0031-8949.
[92] M. Agop, D. Magop, S. Băcăiţă, Fractal Approximation of motion and its implications in quantum
mechanics, Open Journal of Microphysics, pag. 33-45, vol. 2, nr. 3, august 2012,
DOI: 10.4236/ojm.2012.23005;
[93] Yao Fu, Weiyuan John Kao, Drug release kinetics and transport mechanisms of non-
degradable and degradable polymeric delivery systems, Expert Opin. Drug Delivery, vol. 7, pp.
429-444, 2010.
[97] K. Kosmidis, P. Argyrakis, Fractal kinetics in drug release from finite matrices, J. Chem.
Phys., vol. 119, no. 12, pp. 6373-6377, 2003.
[100] L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, 2nd
Edition, Butterworth Heinemann
Publishing, Oxford, 1987.
[103] D. Magop, S. Băcăiţă, C. Peptu, M. Popa, M. Agop, Non-differentiability at mesoscopic
scale in drug release processes from polymer microparticles, Revista Materiale Plastice, pag.
101-105, vol. 49, nr. 2, iunie 2012.
[104] S. Băcăiţă, C. Bejinariu, B. Zoltan, C. Peptu, G. Andrei, M. Popa, M. Agop, D. Magop,
Nonlineareties in drug release process from polymeric microparticles, Journal of Applied
Mathematics, acceptat spre publicare;
[123] B.B. Mandelbrot, “How Long is the Coast of Britain?”, Statistical Self-Similarity and
Fractional Dimension Science, 156, 636-638, (1967)
[125] Agop, M., Nica, P. E., Ioannou, P. D., Antici, A. and Pǎun, V., Fractal model of the
atom and some properties of the matter through an extended model of scale relativity, Eur.Phys.
J. D 49, 239-248 (2008).
Lucrări proprii pe perioada studiilor doctorale
• In reviste indexate ISI
1. C.Gh.Buzea, M. Agop, C.M. Stoica, C. Boris, D. Scurtu, P.V. Paun, D. Magop, R. Stana -
Casimir Type Effect in Scale Relativity Theory, Journal of Nonlinear Sciences and Numerical
Simulation, Nr. Vol. 11, No. 10, Octombrie 201, Editura Freund Publishing, 0, ISBN ISSN 1565-
1339, pp. 785-802
2. M. Agop, P. Nica, S. Gurlui, C. Focsa, D. Magop - Chaotic atom model via fractal
approximation of motion, Physica Scripta, Nr. Volumul 84, nr 4, Editura Graeme Watt -
Publisher, 2011, ISBN ISSN 0031-8949
3. S. Băcăiţă, C. Bejinariu, B. Zoltan, C. Peptu, G. Andrei, M. Popa, M. Agop, D. Magop,
Nonlineareties in drug release process from polymeric microparticles, Journal of Applied
Mathematics, acceptat spre publicare;
4. D. Magop, S. Băcăiţă, C. Peptu, M. Popa, M. Agop, Non-differentiability at mesoscopic scale
in drug release processes from polymer microparticles, Revista Materiale Plastice, pag. 101-105,
vol. 49, nr. 2, iunie 2012.
• In reviste B+ (CNCSIS)
1. D. Magop, M. Agop, On the hydrodynamic model of the quantum mechanics, The Annals of
the “Dunarea de Jos” University of Galati Fascicle II - mathematics, physics, chemistry,
informatics (cd-rom), year iii (xxxii) 2009
2. Daniela Magop, Tatiana Dandu-Bibire, Maricel Agop - A gravitational quantum effect,
Buletinul Institutului Politehnic, din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică “Gheorghe Asachi”
Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 2011, ISSN 1220-2169 ,
pp. 55-59-
3. Roxana Stana, Tatiana Dandu-Bibire, Daniela Magop, Maricel Agop - Chaos in Gravitational
System, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică “Gheorghe
Asachi” Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 2011, ISSN 1220-
2169, pp. 45-53
4. Petrică Crăciun, Tatiana Dandu-Bibire, Daniela Magop, Maricel Agop - Orbital Inversions in
Gravitational System, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică
“Gheorghe Asachi” Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 2011,
ISSN 1220-2169, pp. 61-75
5.Tatiana Dandu-Bibire, Daniela Magop, Manuela Gârţu, Maricel Agop - A fractal gauge theory
of gravitation, Buletinul Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică
“Gheorghe Asachi” Iaşi, Nr. Tomul LVII (LXI), Fasc. 4, Sec, Editura Editura Politehnium, 2011,
ISSN 1220-2169, pp. 39-44
• Reviste internationale
1. R. Murdzek, D. Magop, R. Stana, A fractal Universe in Braneworld Scenario, Nonlinear
Science Letters D, The 3rd International Symposium on Nonlinear Dynamics , Sept. 25-
28, 2010, Shanghai , China;
2. M. Agop, D. Magop, S. Băcăiţă, “Fractal Approximation of motion and its implications in
quantum mechanics”, Open Journal of Microphysics, doi:10.4236/ojm.2012.
(http://www.scirp.org/journal/ojm), published in August 2012
Mulțumiri
Teza a fost realizată cu sprijinul financiar în cadrul proiectului
POSDRU/88/1.5/S/47646, cofinanţat din Fondul Social European,
prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 - 2013.
