Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro

Clasa a X-a - Problema 4 Enunţ: Se consideră un triunghi ascuţitunghic ABC . Construim şirul de triunghiuri ( )

∈n n n nA B C

definit prin =0 0 0A B C ABC iar pentru triunghiul + + +1 1 1n n nA B C , măsurile unghiurilor sale sunt

definite prin

+

−=1 ,

2n

n

π AA

+

−=1 2

nn

π BB ,

+

−=1 2

nn

π CC iar raza cercului circumscris +1nR este

egală cu 2 n nR r , unde nR , nr sunt raza cercului circumscris, respectiv înscris triunghiului n n nA B C . Să se arate că:

a) Dacă nS reprezintă aria triunghiului n n nA B C , atunci şirul ( )∈n n

S este constant;

b) Să se demonstreze că şirul ( )∈n n

r este crescător.

Soluţie: Soluţie: Fie np semiperimetrul triunghiului n n nA B C . Avem în continuare

( )+ + +

−= = = ⋅ ⋅1 1 12 sin 2 2 cos 2 2

2 4n n nn n n n n

n n n n nn n n n

p p aA a b c Sa R A R rS p b c

( ) ( )= − = + −2 2n n n n n n na p a a b c a , deci ( )+ = + −1n n n n na a b c a şi analoagele.

a) Avem ( ) ( )+ += = + − + −1 11 1sin cos2 2 2

nn n n n n n n n n n n n

AS b c A b a c b c a b c

( ) ( ) ( )−= + − + − =

12

n n nn n n n n n n n n

n n

p p ab a c b c a b c S

b c deci şirul nS este constant.

b) ( )+

+ + − += + − ≤ =1 2 2

n n n n n nn n n n n

a b c a b ca a b c a şi analoagele. Prin însumare deducem că

+ + ++ + ≤ + +1 1 1n n n n n na b c a b c deci şirul ( )∈n n

p este descrescător. Cum =n n nS p r atunci

şirul ( )∈n n

r este crescător.