clasa-a-11-a-profesor-cristina-magirescu.pdf

Colegiul Tehnic de Comunicaii Nicolae Vasilescu Karpen Bacu

CURS DE MATEMATIC rezumat

CLASA A XI-A

2013 2014

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a

Cuprins

1. Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Despre matrice 3.2. Operaii cu matrice 3. 3. Aplicaii 3. 4. Exerciii propuse

2. Determinani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1. Definiia determinantului de ordin n3 2.2. Definiia determinantului de ordin n 2.3. Proprietile determinanilor 2.4. Calculul inversei unei matrice 2.5. Ecuaii matriceale 2.6. Aplicaii 3. Aplicaii ale determinanilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1. Ecuaia dreptei care trece prin punctele A i B 3.2. Condiia de coliniaritate a punctelor A, B i C 3.3. Aria triunghiului ABC 3.4. Probleme rezolvate 3.5. Probleme propuse 4. Sisteme de ecuaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Limite de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.1. Limita unei funcii ntr-un punct 5.2. Limitele unor funcii elementare 5.3. Proprieti ale operaiilor cu limite de funcii 5.4. Exerciii propuse 6. Funcii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.1. Continuitatea unei funcii ntr-un punct 6.2. Continuitatea pe o multime 6.3. Continuitate lateral 6.4. Aplicatii ale funciilor continue 6.5. Exerciii 7. Proprieti ale funciilor continue. Aplicaii . . . . . . . . . . . . . 23

7.1. Rezolvarea unor ecuaii 7.2. Semnul unei funcii 7.3. Rezolvarea unor inecuaii f(x)0 (, )

8. Funcii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.1. Derivata unei funcii ntr-un punct. Funcii derivabile 8.2. Exerciii rezolvate 8.3. Exerciii propuse 8.4. Regulile lui lHospital 8.5. Exerciii rezolvate 8.6. Calculul derivatelor. Tabel cu derivatele func iilor elementare

9. Reprezentarea grafic a funciilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9. 1. Algoritmul pentru reprezentarea grafic a unei funcii Asimptote. Intervale de monotonie. Puncte de extrem local.. Convexitate, concavitate. Puncte de inflexiune 9. 2. Exerciii rezolvate 9.3 Aproximarea rdcinilor unei ecuaii (metoda lui Newton): 9. 4. Exerciii propuse

1


2


1. MATRICE

1.1. Despre matrice

Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip mn) un tablou cu m linii i n coloane

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

,

ale crui elemente ija sunt numere complexe. Se noteaz i A = (aij), unde mi ,1= i nj ,1= . Pentru elementul ija , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar j indic pe ce coloan este situat. Mulimea matricelor de tip mn cu elemente numere reale se noteaz prin Mm,n (R).

Evident: Mm,n (Z) Mm,n (Q) Mm,n (R) Mm,n (C).. Cazuri particulare

1) Matricea linie de forma ( )naaaA ... 21= M1,n (C); 2) Matricea coloan are forma

=

ma

aa

B...

2

1

Mm,1(C).

3) O matrice de tip mn se numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cu

=

0 ... 0 0... ... ... ...0 ... 0 00 ... 0 0

,nmO .

4) Dac numrul de linii este egal cu nr de coloane, atunci matricea se numete ptratic:

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

Mn (C).

Sistemul de elemente ( )nnaaa ... 2211 reprezint diagonala principal a matricei A, iar suma a11 + a22 + ... + ann se numete

urma matricei A, notat Tr(A) =

=n

iiia

1 . Sist. de elemente ( )11 21 ... nnn aaa reprezint diagonala secundar a matricei A.

5)

=

1 ... 0 0... ... ... ...0 ... 1 00 ... 0 1

nI care se numete matricea unitate.

1.2. Operaii cu matrice 1.2.1. Egalitatea a dou matrice Definiie. Fie A = (aij), B = (bij) Mm,n(C). Spunem c matricile A, B sunt egale i scriem A = B dac aij = bij , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= .

Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea de matrice

=

++

xx

yxyxx

29 01 2

2 0 1 .

Rezolvare: Matricele sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic:

=

=

=+=+

.29200

121

xyx

xyxx

Rezolvnd acest sistem gsim soluia x = 1, y = 3.

1.2.2. Adunarea matricelor Definiie. Fie A = (aij), B = (bij), C = (cij) Mm,n (C).

Matricea C se numete suma matricelor A, B dac: cij =aij + bij , ( ) mi ,1= , ( ) nj ,1= . Observaie: Dou matrice se pot aduna dac sunt de acelai tip (au acelai nr de linii i acelai nr de coloane): A,BMm,n(C). Exemplu: S se calculeze A + B pentru:

1).

=

=

5 1 103 5 0

, 1 0 32 1 1

BA ; 2). .0 11 0

, 1 11 1

=

= BA

3

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a Rezolvare:

1. Avem

=

+++

++=

+

=+

6 1 131 4 1

51 10 1033-2 51- 01

5 1 103 5 0

1 0 32 1 1

BA .

2. Avem

=

++++

=

+

=+1 02 1

01 1111 01

.0 11 0

1 11 1

BA .

1.2.3. nmulirea cu scalari a matricelor Definiie. Fie C i A = ( )jia Mm,n (C). Se numete produsul dintre scalarul C i matricea A, matricea notat A Mm, n (C). definit prin A = ( )jia . Observaie: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricei cu acest scalar.

Deci A =

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

... ... ... ... ... ... ...

21

22221

11211

. Exemplu: Fie

=1

32 0

5 3 21

A . Atunci 6A =

6 4 0

30 18 3.

1.2.4. nmulirea matricelor Definiie. Fie A = (aij) Mm, n (C), B = (bij) Mn, p (C). Produsul dintre matricele A i B (n aceast ordine), notat AB este matricea C = (ckj) Mm, p (C) definit prin

=

=n

ijiikjk bac

1 , ( ) mk ,1= , ( ) nj ,1= .

Observaii

1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua dect dac A Mm, n (C) i B Mn, p (C), adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se obine o matrice C = AB Mm, p (C). 2) Dac matricele sunt ptratice A, B Mn(C). atunci are sens ntotdeauna att AB ct i BA, dar, n general, AB BA adic nmulirea matricilor nu este comutativ.

3) Dac nI Mn(C) este matricea unitate, atunci ,AAIAI nn == ( ) AMn(C). Se spune c nI este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricelor.

4) Convenim c A0 = I2. 1. 3. Aplicaii 1. S se determine numerele reale x, y, z astfel nct s aib loc egalitatea de matrice, n cazurile

1. a)

=

+

0 19

11 1 0 67

32 1 xyyx

yx

=

===+=+

=+

===

=

00

22010571828771963

11471967

3114

11431132

11

yyyyyy

yx

yxyxxyyx

13118

2dar 3

114=

=

=

=

xxy

yx .

1. b)

+=

+

yyy

xyxyxx

4 5 8 3

2 73 2

====+

==+=+=

yxyxyx

yyxyyyyyx

24257

8313332232

21dar 2

=

=

= x

yyx

.

1. c)

+=

+

6 3 1 1

3 1 3 2xxy

xy

+===

==+=+++=+

xyxy

xxxxxxxy

6633

1105413613 222

( ) ( ) ( )( ) 5015055055054 122 ==+=+=+= xxxxxxxxxxx , 12 =x . I dac 5=x , atunci 11=y ; II dac 1=x , atunci 5=y .

4

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 2. S se calculeze A + B n cazurile:

2. a)

=

4 03 1

A ,

=3 54 2

B .

=+

++++

=+1 51 3

)3(4 )5(043 21

BABA .

2. b)

+=

iiiii

A 1 0

3 1,

+

+=

iiiii

B 1

1 2 31 .

+=+

+++++++++

=+0 0 13 2 2

)( 11 0 13 2 )31(1

iii

BAiiiii

iiiiiBA .

3. Se consider matricele A, B M2,3(C),

=

ii

A3 2 01 1

,

+

=

1 1 0 1

iii

B . Calculai: iBA 23 , BiA 2+ .

Rezolvare:

+

=

+

=

+

=

27 8 23 1

22 2 20 2 2

9 6 03 3 3

1 1 0 1

23 2 01 1

323ii

iii

ii

iii

ii

ii

iBA

=

+

+

=

+

+

=+

12 4 2 1

22 2 2 0 2 2

3 2 0 1

1 1 0 1

23 2 01 1

2ii

iiii

ii

iiii

ii

iiBiA .

4. Calculai produsele de matrice A B, unde

4. a)

=

103112

A i

=

011213

B ;

=

++++++++

=31039

003109012126

AB .

4. b)

=

312

A i ( )321=B ;

=

963321642

AB .

4. c)

=02

1i

iA i

=

103ii

B ; ( )

=

++

++=

622

10320021)3(1 01 ii

iiiiiiii

AB

4. d)

=

725643124

A i

=54

2B ;

=

3352

5AB .

4. e)

=

535615943

A i

=

354798465

B ;

=263229172722

13911AB .

5. S se calculeze f(A), dac:

=

1 21 1

A ; f(X) = X2 5X + 7I2.

Rezolvare:

=

==

1 4 2 1

1 21 1

1 21 12 AAA .

=

+

=

+

+

=

+

=1 63 1

7 00 7

6 63 6

7 00 7

5 105 5

1 4 2 1

1 00 1

71 21 1

51 4 2 1

)(Af

6. S se determine matricea X din ecuaia

+

=

+

0 3 3 96 3

6 24 7 3 1

23 2 2 13 2

3X .

+

=

3 2 2 13 2

0 3 3 96 3

12 48 14 6 2

3X , adic

+

=

3 22 1 3 2

12 111 5 12 1

3X , deci

=

15 39 6

15 33X

=

5 13 2 5 1

X .

5


7. Fie

=

1 01 1

A . S se calculeze nA , *Nn .

Rezolvare:

=

==

1 02 1

1 01 1

1 01 12 AAA

=

==

1 03 1

1 01 1

1 02 123 AAA

=

1 0 1

n

An

Inducie matematic )1()( + kPkP

+=+

1 01 11 kAk

+=

==+

1 01 1

1 01 1

1 0 11 kkAAA kk (A)

Deci

=

1 0 1 n

An .

8. a) Gsii matricea X M2(R) astfel nct

=

+

1 32 1

3 3 1 2

1 02 1

X .

b) S se determine m R astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil i apoi rezolvai-l:

=+

=

=+

myxyx

yx

312

1

Rezolvare:

a)

=

+

1 32 1

3 3 1 2

1 02 1

X

+

=

=

3 31 2

1 32 1

1 02 1

3 3 1 2

1 32 1

1 02 1

XX

=

++

=

++++

=

=

4 01 3

2 22

4 01 3

12 02 12 01

4 01 3

1 02 1

tzzyxx

tztzyxyx

tzyx

X

X

==+==+=+

===

44251612

0023

ttzyyyx

zzx

Deci

=

4 05 3

X .

b)

=+=

=+

myxyx

yx

312

1 Din prima ec: yxyx ==+ 11 .

Din a doua ecuaie, nlocuind pe x: 322312112 ==== yyyyyx .

31

3211 === xyx .

A treia ec: 35

321

32

3133 =+==+=+ mmmmyx .

6


9. a) Fie matricea A M2 (R);

=

1 0 1 a

A , 0a . S se calculeze 2A i 3A i apoi s se determine nA , *Nn n

funcie de n.

b) S se afle ,,,, vuyx numere reale astfel nct

=

1 10 1

1 01 1

vuyx

.

Rezolvare:

a)

=

++++

=

==

1 02 1

011 101011 011

1 0 1

1 0 12 a

aaaaaa

AAA

=

++

++=

==

1 03 1

011 1010 121 0211

1 0 1

1 02 123 a

aaaaaa

AAA

=

1 0 1

na

An

Inducie matematic )1()( + kPkP :

+=+

1 0)1( 11 akAk

+=

++++

=

==+

1 0)1( 1

011 1010 11 011

1 0 1

1 0 11 ak

akaakaaka

AAA kk (A)

Deci

=

1 0 1 na

An .

b)

==

==+==+

=

++

=

11

1001

1 10 1

1 10 1

1 01 1

vu

yvyxux

vuvyux

vuyx

Deci

=

1 11 0

vuyx

.

10. a) S se determine ,,,, vuyx astfel nct:

=

+

2 81 3

21 3

1

uvxy

vuyx

b) S se determine matricea A astfel nct: .4 21 42 5 1

15 1 1211 1 7

3 12 65 10 4

2

+

=

+A .

Rezolvare:

a)

=

+

+

=

+

2 81 3

12 3

1

2 81 3

21 3

1

uvxy

vuyx

uvxy

vuyx

=+=

==

=+=+

==+=+

=

++

13

31

3

212813

133)(

2 81 3

12 31

yyyx

xyyx

vuvu

xyyxyx

uvvuxyyx

=

=

==+

=

=+

=+

=

=

=

=

03

2173)93(293

212813

12

342

uv

vvvvu

vuvu

xy

yxy

b)

+

=

+

4 21 42 5 1

15 1 1211 1 7

3 12 65 10 4

2A

+

=

=

3 12 65 10 4

19 22 1613 4 8

23 12 65 10 4

19 22 1613 4 8

2 AA

=

=

11 5 59 3 2

22 10 1081 6 4

2 AA .

7


1. 4. Exerciii propuse:

11. Stabilii tipul matricelor:

12. Calculai Tr (A) (urma matricei) pt.

=

4523

A , det A, iar apoi verificai relaia: A2 Tr(A) A + (det A) I2 = 02.

13. Calculai: A + B, A B, 3A tB , A B, A2, B2 dac: (a) si

4312

A

=

=0651

B

si 034132410

A (b)

= .102532

135B

=

14. Determinai numerele reale x, y, z, t tiind c , unde

15. Determinai matricea X tiind c X + tX = A, unde

16 S se arate c dac

=

010001100

A

, atunci A3 = I3.

8

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 2. DETERMINANI

2.1. Definiia determinantului de ordin n3 Fie A= (aij) Mn(C) o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notat det(A) numit determinantul matricei A. Definiie. Dac A= (aij) Mn(C) este o matrice ptratic de ordinul nti, atunci det(A) =a11. Definiie. Dac , atunci numrul det(A)

2221

1211

aaaa

= =a11a22 a12a21 se numete determinant de ordin 2.

Termenii a11a22 , a12a21 se numesc termenii dezvoltrii determinantului de ordin 2.

Definiie. Determinantul matricii

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A este numrul

322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++= i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termenii dezvoltrii determinantului. Pentru calculul determinantului de ordin trei se pot utiliza trei tehnici simple: *** Regula lui Sarrus Fie determinantul de ordin 3, d = |aij| i,j= 1,3. Pentru a-l calcula, se utilizeaz scrierea:

(am scris sub determinant primele dou linii). Se face produsul elementelor de pe diagonale:

Diag. principal: Produsul elementelor de pe o diagonal descendent este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: 312312322113332211 , , aaaaaaaaa . Diag. secundar: Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: 322311332112312213 , , aaaaaaaaa .

Suma celor ase produse d valoarea determinantului d de ordin 3. *** Regula triunghiului Am vzut c determinantul de ordin 3 are n dezvoltarea sa 6 termeni, trei cu semnul plus i ali trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal, iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au o latur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonala secundar, se obin termenii cu minus. Observaie: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3. Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul

0 1 3 1 2 0 1 0 3

=d

Rezolvare: ** Regula lui Sarrus. [ ] ( ) 9036000000)1(1)3(123)1(03110023 =++++=++++=d ** Regula triunghiului [ ] ( ) 9036000000)1(1)3(1231103)1(0023 =++++=++++=d . **Recurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan) Determinantul de ordin 3 are 6 (= 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilali cu minus. Are loc urmtoarea proprietate:

3231

222113

31

3331

232112

21

3332

232211

11 )1()1(

)1()det(aa

aaa

aa

aaa

aaaa

aA +++ ++= , dezvoltarea determinantului dup elementele liniei nti

= 2322

131231

13

3332

131221

12

3332

232211

11 )1()1(

)1(aa

aaa

aa

aaa

aaaa

a +++ ++ dezvoltarea determinantului dup elementele coloanei

nti.. 2.2. Definiia determinantului de ordin n Voi defini n continuare determinantul de ordin 4 cu ajutorul determinanilor de ordin 3. Pt asta sunt necesare unele precizri. Fie A = (aij) Mn(C). Definiie1. Se numete minor asociat elementului jia determinantul matricii ptratice Aij de ordin n 1 obinut prin suprimarea liniei i i coloanei j din matricea A. Se noteaz acest minor prin det (Aij) sau dij. Definiie2. Se numete complement algebric al elementului aij numrul ij = ( 1)i+j dij. Exponentul i+j al lui (1) este suma dintre numrul liniei i i coloanei j pe care se afl aij. Definiie. Determinantul matricii A= (aij) de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic det(A) = a11d11 a12d12 + a13d13 + ... (1)n+1 a1nd1n. Observaii: 1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile i coloanele determinantului

232221

131211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaa

9


nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

... ... ... ... ...

... ...

)det(

21

22221

11211

= .

2) Formula din definiie reprezint dezvoltarea determinantului de ordin n dup elementele primei linii. 3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care s fie comode att din punct de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprieti le prezint n paragraful urmtor. 4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie (D11, D12, ..., D1n) se obine pentru det(A) o sum de produse de elemente din determinant, fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite. 5) Determinantul este o funcie det: Mn(C) C.

Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:

0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1

=d .

R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dup elementele liniei nti. Avem:

( )0 1 1 1 1 0 0 2 1

20 1 1 1 1 0 0 2 1

10 0 1 1 1 0 0 0 1

00 0 11 1 1 0 0 2

1

+

=d

= 12100 =+ ,

unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanii de ordin 3.

2.3. Proprietile determinanilor P1. Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricii transpuse, adic dac AMn(C), atunci det(A)= det(tA).

P2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul. P3. Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale. P4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul su este nul. P5. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulite cu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cu determinantul matricii iniiale. P6. Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporionale, atunci determinantul este nul. Demonstraie. Verificm pentru linii. ( ) 0

=== ababbaba

baba

.

P7. Dac linia i a unei matrice A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii ca A, cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori. Observaie: Pentru determinani de ordin 2, proprietatea spune c:

dcba

dcba

dcbbaa

''''

+=++ .

Observaie: O proprietate analoag are loc i pentru coloane. P8. Dac o linie(o coloan) a unei matrice ptratice a este o combinaie liniar de celelalte linii(coloane), atunci det(A)=0. P9. Dac la o linie(o coloan) a matricei A adunm elementele altei linii(coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca matricea A. Demonstraie. Voi aduna la linia nti 1L linia a doua nmulit cu . Vom nota acest fapt prin 21 LL + . Avem:

111111

11

1111

11

0

baba

baba

baba

baba

babbaa

=++++

67 PP .

P10. det (In) = 1. P11. det(A) = ndet(A), A Mn(C). P12. Dac A=(aij) este o matrice triunghiular(sau diagonal), atunci det(A)=a11a22 ... ann. (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal). .13P Dac A,B Mn(C), atunci det(AB) =det(A)det(B) (Determinantul produsului a dou matrice ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrice). n particular det(An) = (det(A))n , nN*. Teorem. Determinantul unei matrice A Mn(C) este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii Li ( )ni ,1= i complemenii lor algebrici, adic det (A) = ai1 (-1)i+1 di1 ai2 (-1)i+2 di2 + ai3 (-1)i+3 di3 + + ain (-1)i+n din.

(Formula lui det (A) d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i). Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct mai uor) mai multe zerouri. Observaie: innd seama de proprietatea 1P teorema precedent are loc i pentru coloane sub forma:

det (A) = a1j (-1)1+j d1j a2j (-1)2+j d2j + a3j (-1)3+j d3j + + anj (-1)n+j dnj.

10

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 2.4. Calculul inversei unei matrice Definiie. Fie A= (aij)Mn(C). Matricea A se numete inversabil dac exist matricea B Mn(C) cu proprietatea c A B = B A = In fiind matricea unitate.

Matricea B din definiie se numete inversa matricei A i se noteaz B = A1. Deci AA1=A1A = In. Teorem. Matricea AMn(C) este inversabil dac i numai dac det (A) 0.

O astfel de matrice se numete nesingular. Construcia lui A-1 presupune urmtorii pai:

Pasul 1. (Construcia transpusei) Dac

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

... ... ... ... ...

... ...

21

22221

11211

, atunci construim transpusa lui A

=

nnnn

n

n

t

aaa

aaaaaa

A

... ... ... ... ...

... ...

21

22212

11211

Pasul 2. (Construcia adjunctei): Matricea

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

+++

+++

+++

nnnn

nn

nn

nn

nn

ddd

ddd

ddd

A

1 ... 1 1

... ... ... ... 1 ... 1 1

1 ... 1 1

22

11

22

2222

2112

11

1221

1111

* obinut din At , nlocuind

fiecare element cu complementul su algebric se numete adjuncta matricei A.

Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c: ,

... 0 0 0 ... ... ... ... ...0 ... 0 0 0 ... 0 0

**

==

d

dd

AAAA

iar de aici .11 ** nIAdAAA

d=

=

Ultimele egaliti arat c:

2.5. Ecuaii matriceale Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de forma AX = C, XA = C, AXB = C, unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaii se numesc ecuaii matriceale. Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrice ptratice inversabile. *** Pentru rezolvarea ecuaiei AX=C, nmulim la stnga egalitatea cu A-1 i avem:

( ) ( ) CAXCAXICAXAACAAXA n 111111 ==== . Deci soluia ecuaiei date este X = A-1 C. *** Pentru determinarea soluiei ecuaiei XA = C, vom nmuli la dreapta cu A-1 i analog vom gsi X = CA-1. ***Pentru gsirea soluiei ecuaiei AXB = C, nmulim egalitatea la stnga cu A-1 i la dreapta cu B-1 i obinem X= A-1CB-1. 2.6. APLICAII

1. Calculai determinanii de ordinul doi: 1. 1) 5232)1(313 21 1

=+==

1. 2) 13231)2()1(2 3 1 1

===

; 1. 3) ( ) 0331)3(333 3

1 3=+==

.

2. Calculai determinanii de ordinul trei:

2.1) [ ]

36)1(5124)1()2()2(5641)1(3)1(23 5 41 1 62 1 2

=++++=

70]18108[6046 =+ .

2. 2) [ ] =++++=

65043203)5()5(450306326 4 03 3 55 0 2

882464]0240[100036 ==+++ .

2. 3) [ ] =++++=

321321)3()2()1()3(33)2(221)1(11 3 22 1 3 3 2 1

42636]666[2781 ==++ .

3. Calculai determinanii urmtori, folosind proprietile determinanilor:

3. a) 0001 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

=+=+=+=

+++

dcbadcbacba

cbaddd

cbacba

cbadcdbda

3. b) 0001

1

=+=+=+

=+++

aaacccbbb

acccbbbaa

aaacccbbb

acccbbbaa

acaaccbccbbabba

( )*1

det1 A

AA =

11


4. S se rezolve ecuaiile: 4.1) 01

1 1

=

xxxxxx

.

=+=++ +++ 0

1 1

1

10

1

)1(1

)1(

1 1

)1(1 312111xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xxx

xx

x

xxxxxxxx =+ 10)()(1 222 =+=++ 01320 2323322 xxxxxx =+==+ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 xxxxxxxxxx

10)1(0)12)(1( 12 === xxxxx

21 1,x98101x2xau 32

2 ===+== xs .Deci

1 ,

21x .

4.2) S se rezolve ecuaia: 0

0 1 11 0 11 1 0

1 1 0

=

xx

xx

.

=+++ ++++ 0 1 1

0 11 0

)1(0 1 11 11 0

)1(10 11 0 11 1

)1(10 11 0 1 1 0

)1(0 41312111

xx

xxx

x

x

x

xx

=+ 0 1 1

0 11 0

0 1 11 11 0

0 11 0 11 1

0x

xx

xxx

x

x

[ ] [ ]+++++++++ )1001111(1111100)1101101()1111100(0 xxxxxxxx [ ] =++++ 0)010111()111100( xxxxxxx =+++ 0)1()21()1( 32 xxxxxx

=++ 0121 242 xxxxxx

=+=+ 042042 2424 xxxxx 042xsau x 0x04)2x(xx 313 =+==+ .

5. S se rezolve ecuaia: 0

=

xaaaaxaaaaxaaaax

.

=

=+

= 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

axax

axax

aaaaaaaaaaaaaaaa

axax

axax

xaaaaxaaaaxaaaax

[ ] axaxaxaxax

axax

ax ====

+ 4,3,2,14311 0)(00)()(0

0 0 0 0 0 0

)1()(

6. Dac x1, x2, x3 sunt rdcinile ecuaiei x3 2x2 + 2x + 17 = 0, s se calculeze determinantul

213

132

321

xxxxxxxxx

d = .

=

=++

=++

=++

172

201722

321

323121

32123

xxxxxxxxx

xxxxxx

i atunci:

)(3

33

32

31321

213

132

321

xxxxxxxxxxxxxxx

++=

=++

++++=++

++++=++

+=++

=++

=++

5122)22(2)(2)(

51)(2)(2

)( 01722

01722

01722

33

32

31

3231212

3212

32

22

1

3212

32

22

13

33

23

1

32

33

3

22

23

2

12

13

1

xxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

55333

23

1 =++ xxx , de unde 455)17(3)(33

33

23

1321 =+=++= dxxxxxxd .

12


3. APLICAII ALE DETERMINANILOR

Fie punctele A(x1 , y1) ,B (x2 , y2) i C(x3,y3). 3.1. Ecuaia dreptei care trece prin punctele A i B este: 3.2. Condiia de coliniaritate a punctelor A, B i C Trei puncte A(x1 , y1) ,B (x2 , y2) i C(x3,y3) sunt coliniare dac i numai dac:

3.3. Aria triunghiului ABC este: , unde = 3.4. Probleme rezolvate 1.S se determine ecuaia dreptei AB tiind c : a) A(1;3) i B(- 2;5); b) A(0;-3) i B(0;5).

R: a) Ecuaia dreptei AB este: [ ]

0115113)2(1 )2( 1511301 5 2 1 3 1 1y

=++++=

yxyxx

2x 3y +11=0.

b) Ecuaia dreptei AB este: - 8x = 0 sau x = 0. 2. Precizai dac urmtoarele puncte sunt coliniare: a)A(-2;5) , B(2;-3) , C(-1;4); b)P(1;-1), Q(3;-3),R(5;-5) R: a) Punctele A,B,C nu sunt coliniare deoarece calculul determinantului conduce la rezultatul 4. b)Punctele P, Q, R sunt coliniare deoarece det = 0. 3. S se determine aria triunghiului ABC tiind c A(2;1) , B(1;5) , C(-2;4) R: Aria triunghiului ABC este A = 13/2 4. S se determine mR astfel nct punctele A(1;5) , B(4;m) i C(2;-3) s fie coliniare. R: m = 19. 5. Se dau punctele M(1;2) ,N(-2;3) i P(4; a +5) , aR. Determinai parametrul a astfel nct : a) M , N , P s fie coliniare; b) aria triunghiului MNP s fie egal cu 30.

R: a) 3a 12=0, de unde a= 4; b) |-3a-12| = 30, cu soluiile: a = 24 i a=16. 6. S se calculeze aria patrulaterului ABCD avnd vrfurile A(-2;2) , B(-3;-1), C(2;0), D(2;3). R: Aria ABCD = AriaABC + Aria ADC = 7+6 = 13 3.5. Probeleme propuse 7. Aflai ecuaia dreptei determinat de punctele A(2 ,1) i B(-4,-2). 8. Stabilii dac urmtoarele puncte sunt coliniare a)A(1, 3) , B(-1, 9), C(1/3, 5);

b) C(1/3, 5), D(0, 5), E(0, 6). 9. S se afle aria triunghiului ABC unde A(2, 3), B(4, -1), C(5, 2) , 10. Determinai m a.. punctele s fie coliniare A(1-m, 2), B(m, 0), C(1, 2m).

0111

:22

11 =yxyxyx

AB

0111

33

22

11

=

yxyxyx

111

33

22

11

yxyxyx

111

33

22

11

yxyxyx

13


4.SISTEME

14


IV.Metoda Kronecker-Capelli-Rouche:

Fie sistemul

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...................................................

......

2211

22222121

11212111

. Notam cu A matricea extinsa a sisemului A =

mmm baa

baabaa

...............

...

...

21

22221

11211

Teorema: Un sistem este compatibil rangA=rang A Teorema: Un sistem este compatibil determinat rangA=rang A =n, unde n=nr de necunoscute. Mod de rezolvare: - se calculeaza rangul matricei sistemului A - determinantul care va da rangul va fi considerat determinantul principal notat p .

Necunoscutele: -principale-ale caror coeficienti intra in p

-secundare-ale caror coeficienti nu intra p

Ecuaii-principale-ale caror coeficienti intra in p

-secundare-ale caror coeficienti nu intra in p

-calculam toti determinantii caracteristici car ,care sunt in numar de n-r a) daca toti 0= car ,conform lui Rouche,sistemul este compatibil si mergem mai departe b) daca exista cel putin un 0 car ,atunci sistemul este incompatibil si ne oprim -daca toti 0= car ,atunci formam un sistem numai din ecuatiile principale in care necunoscutele secundare se trec in membrul drept si le notam cu alte litere si rezolvam sistemul prin metoda lui Cramer. Observaie: Daca nu avem ecuatii secundare nu avem nici car . Observaie: car va fi dat de determinantul de ordin r+1 care se obtine prin adaugarea unei linii formate din coficientii necunoscutelor principale de la o ecuatie secundara si o coloana formata din termenii liberi corespunzatori Observaie: Avem atatea determinati caracteristici cate ecuatii secundare sunt. 15


5. LIMITE DE FUNCII 5.1. Limita unei funcii ntr-un punct

Def. Fie D R, D. Un punct x0 R se numete punct de acumulare pt D dac oricare ar fi VV(x0), avem: ( V\{x0})D . Notm D mulimea punctelor de acumulare ale mulimii D. Def. Dac un punct aparine mulimii D i nu e pct de acumulare pt D, atunci el se numete punct izolat pentru D . Mai precis : aD este punct izolat pentru D dac exist U V(a) a.. (U\{a})D = (vecintatea U are n comun cu mulimea D cel mult punctul a ) . Ex. 1. D = . n acest caz D/ = { }. Rezolvare: Fie V = ( ), V( ) . ( V\{x0})D ( V conine toate numerele naturale mai mari sau egale cu 1+ [ ] ) . Ex.2. D=[ 0, 1) {2} . n acest caz D/ =[ 0 , 1] . 0 x0 1 2 Rezolvare : ( [ ) ( | ) ) ( | ) - punctele interioare din x0 ( 0 , 1 ) sunt evident punctele de acumulare pentru D . - orice vecintate a lui 1 i orice vecintate a lui 0 are elemente n comun cu D (deci 0 i 1sunt puncte de acumulare pentru D ) - punctul 2 este izolat pentru D : alegnd V=(1,7; 2,3) V( 2) avem VD = {2} adic ( V\{2})D =

Def. Fie f : D R , D R , Di x0 D/. Punctul R este limita funciei n x0 dac ( ) VV() , ( ) UV( x0), astfel nct f(x) V pentru orice xDU , x x0. Limita funciei n punctul x0 se noteaz i se citete ,,limit cnd x tinde la x0 din f(x)

OBS : Pentru toate funciile elementare, limita funciei n orice punct al mulimii de definiie a, se obine nlocuind pe x cu a . Ex: ; ; .

Teorem: Dac limita unei funcii exist, atunci ea este unic.

5.2. Limitele unor funcii elementare 1) Funcia putere RRf : , f(x) = xn, unde n numr natural nenul

+=+

n

xxlim +=

n

xx 2lim =+

12lim nx

x

Exemple: a) +=

+

5lim xx

b) +=+

35lim xx

c) =

35lim xx

d) +=

45lim xx

c) =+

65lim xx

, pentru c ( ) =+ 55 6x d) =

+

210lim xx

, pentru c ( ) =+ 1010 2x

2) Funcia radical (de ordin 2) f:[0,) R , f (x) = x +=+

xxlim

Exemple: a) +=++

102lim xx

, pentru c ( ) +=++=+++ 10102102x

b) +=

20lim 2xx

, pentru c ( ) +=+= 202020 22x

3) Funcia exponenial RRf : , f(x) = ax, unde a = baz, a > 0, a 1 +=

+

x

xalim , dac a > 1 ( adic baz supraunitar) 0lim =

+

x

xa , dac a ( )1,0 , (adic baz subunitar)

Exemple: a) +=+

x

x3lim , pentru c a = 3 > 1; b) +=

x

x

25,4lim , pentru c a = 4,5 > 1, iar -2x ( ) += 2 c) +=+

+

108lim xx

, pentru c a = 8 > 1; d) +=+

710lim xx

, pentru c a = 10 > 1; e) 07,0lim =+

x

x, pentru c a= 0,7

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a d) +=

)12ln(lim 4x

x, pentru c 2x4-1 ( ) ( ) +=+=+= 11212 4

Limite de funcii trigonometrice directe sin: [ 1, 1]. * Dac punctul de acumulare este finit adic aR atunci .

Deci limita funciei sinus ntr-un punct de acumulare finit aR se obine nlocuind pe x cu a. * Dac a= atunci f nu are limit. cos: [ 1, 1]. Dac punctul de acumulare este finit adic aR atunci .

Deci limita funciei cosinus ntr-un punct de acumulare finit aR se obine nlocuind pe x cu a. Dac a aparine domeniului de definiie atunci : .

Apoi ; ; ;

Cteva aplicaii pt cazul :

Calculai: 1. Dac notm i

Observaie:Pentru rezolvare am amplificat fracia cu 5x i am obinut i apoi am aplicat limita produsului.

2.

Notm x 1 = u(x). Dac . Deci

3. deoarece

5.3. Proprieti ale operaiilor cu limite de funcii

1. care se citete: limita sumei este egal cu suma limitelor.

2. care se citete: limita produsului este egal cu produsul limitelor.

3. care se citete: limita raportului este egal cu raportul limitelor.

4. care se citete: limita unei puteri este egal cu puterea limitei.

17


Cazuri exceptate: . Se mai numesc cazuri de nedeterminare.

(a) Limita unei funcii polinomiale cnd x

Fie funcia polinomial . Reamintim c dac n este numr finit.

Se observ c am dat factor forat pe (gradul cel mai mare din polinom). Deci:

n general, dac f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + ao este o funcie polinomial de gradul n, atunci , iar limita

sa cnd x + este: ( )+=+ nx

axf )(lim . Limita unui polinom cnd x este egal cu limita termenului de grad maxim. Exemple:

a) +x

lim 2x3-3x2+6x-9 = 2 ( ) ( ) +=+=+ 24

b) +x

lim -3x4+5x3-7x2-5x+8 = -3 ( ) ( ) =+=+ 34 .

Analog, cazul x : ( ) ( ) ( )nnnnnnxx axaxaxxf ==+++=

alim ...alim)(lim n-x0

11n .

Aplicaii:

(b) Limite din funcii raionale cnd care conduc la forma exceptat

Fie f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + ao o funcie polinomial de gradul n i g(x) = bixi +bi-1xi-1 +...+bo o funcie polinomial de gradul i, atunci:

+xlim ( )( ) =xg

xf

i

n

ba

, dac grad f = grad g

0 , dac grad g > grad f +, dac grad f > grad g i numerele an i b i au acelai semn

, dac grad f > grad g i numerele an i b i au semne diferite. Exemple:

1. ; 2. .

3. ; 4. ; 5. ;

;

18


Rezolvri de limite de funcii n cazul de nedeterminare

1. Calculai: (am simplificat cu x 1 ).

Se constat c x2 1 prin nlocuirea lui x cu 1 a devenit 12 1 = 0 . Am descompus n factori x2 1. De reinut: Nedeterminrile sunt eliminate prin descompunerea n factori a numrtorului i numitorului.

2. Calculai: Putem scrie: . 3. S se calculeze: Limita este de tip deoarece numrtorul prin nlocuirea lui x

cu 3 devine 0: deasemenea numitorul devine 0:

n continuare va trebui s gsim la numrtor i numitor descompunerile n factori corespunztoare; vom amplifica

fracia cu care e conjugata lui

i obinem la numrtor:

Limite de funcii cnd forma exceptat este sau S se calculeze:

1.

2.

3.

4.

pentru c

19

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 5.4. Exerciii propuse

20


6. FUNCII CONTINUE

6.1. Continuitatea unei funcii ntr-un punct Def. Fie f : D R , D R i x0 D. Spunem c functia f este continu n punctul 0x dac: 0,,)( xxxx nnnn DN , avem

)()( 0xfxf n . Teorema. Functia f este continu ntr-un punct de acumulare D0x funcia are limit n 0x i valoarea limitei este f(x0). Def. Daca f este continua in 0x , spunem ca 0x este punct de continuitate al functiei. Daca f nu este continua in 0x , spunem ca

0x este punct de discontinuitate al functiei. Consecinta Daca 0x este un punct izolat al multimii D, atunci f este continua in 0x . Deci problema continuitatii se pune numai in punctele de acumulare din multimea D.

Deci 6.2. Continuitatea pe o multime Def. O functie este continua pe o multime din domeniul de definitie, daca este continua in orice punct al acestei multimi. Consecinta. Functiile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definitie. 6.3. Continuitate lateral Fie f : D R , D R i x0 D punct de acumulare.

f continu la stnga n 0x )()(lim 00

0

xfxfxxxx

=

.

Teorema. O functie este continua intr-un pct (de acumulare) daca si numai daca este continua la stanga si la dreapta in acel pct.

f continua in 0x )()0()0( 000 xfxfxf =+= 6.4. Aplicatii ale funciilor continue Ecuatii Fie f : I R o functie continua pe I, unde I este un interval. Daca Iba, a.i. )(af si )(bf au semne contrare, atunci intre a si b se gaseste cel putin o radacina a functiei. Observatii In loc de )(af si )(bf se pot utiliza limitele functiei in punctele de extremitate ale intervalului. Aceasta proprietate se utilizeaza in rezolvarea ecuatiilor. Inecuatii Fie RI :f o functie continua pe I, unde I este un interval. Daca f nu se anuleaza pe I, atunci are semn constant pe acest interval.

f continua si Ixxf ,0)( I xxfxf ,0)(sau0)( Consecin: Semnul unei functii continue se poate stabili daca ii cunoastem zerourile.

Aceasta proprietate se aplica in rezolvarea inecuatiilor. 6.5. Exerciii: 1. Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate :

a). f : R R, ( ) 3 , , ,

333

2

3

=

>

= axf

xxxx ; b). f : R R, ( ) 4 ,

,

,

48

44162

=

=

= axf

x

xxx

c). f : R R, ( ) 2 , , , -

252152 =

>

+=

axf

xxxx ; d). f : R R, ( ) 1 ,

1 , 3

1 , 112

=

+

>

= ax-x

xxf x

x

f continua in x0 D , punct de acumulare )()(lim 00

xfxfxx

=

f continua si ),(0)()( bacbfaf


e). f : R R, ( ) ( ) 2 , , ,

2022 2

1

=

=

=

axfxxe x ; f). f : R R, ( ) 1 ,

1 , 2 1 , 2 2

=

>

+= a

xxxxxxf

2. Sa se studieze continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate :

a). f : (-1, 1) R, ( )( )

( ]0 ,

0;1 ,

1;0 , sin4

23=

+

= a

xxxxf

xxx; b). f : R R , ( ) 0 ,

0 , 1

0 , sin =

=

= a

x

xx

xxf

c). f : [ 2, 2){3} R, ( )

[ ]

( ) 3,2,0 , 3 , 6

2;0 , 15

0;2 , 132

2 ===

=

+

+

= aaaxxx

xxx

xf ; d). f : R R, ( ) 0 ,

0 , 1

0 , sin =

=

= a

x

xx

xxf

e). ( ) Rf ;1: , ( )

( ) ( )

1 ,

1 , 21

1 , 21

1;1 , 1

1sin 2

=

>

=

= a

xx

x

xx

x

xf

.

3. Determinati parametrul real m , astfel incat functia f sa fie continua in punctul a unde :

a). ( ) [ ]( ] 1 , 2;1 , 33 1;0 , 1

=

++

= axmxxx

xf ; b). ( ) 2 , 2 , 2 , 2

=

>

+= a

xmxxmxxf

c). ( ) 1 , 1 , 1 , 2

33

2

=

>+

+= a

xmxxmxxxf ; d). ( ) 0 ,

0 , , *2

=

=

= a

xmRxxxf

e). ( ) 1 , 1 , 3

1 , 1x21 -

=

+

+

+= a

xmxmxxmx

xf

g). ( )( )

3 , 3 , 2

3 , 3

9 2

=

>+

+

= axmx

xx

xmxf ; h). ( ) 2 , 2 , 2

2 , 13 2

=

>+

+= a

xmxxxmmx

xf ;

i). ( )( )

5 , 5 , 13-

5 , 525

2

=

+

>

= axmx

xxxm

xf ; j). ( ) 1 , 1 , 32 1 , 1 2 =

+=

1 , 3 1 , 5 2

xxxxf ;

b). RRf : , ( )

0 D = (0, +).

Fie funcia

Se gsesc zerourile funciei:

are semn constant pe

pe

( este o funcie cresctoare )

pe

pe

este soluia inecuaiei.

24


8. FUNCII DERIVABILE

8.1. Derivata unei funcii ntr-un punct. Funcii derivabile

Tangenta la o curb S considerm n plan o curb (C) de ecuaie y = f(x) i dou puncte M0(X0, Y0) unde Y0 = f(X0) i M(X, Y) cu Y=f(X). Panta secantei MM0 pe care o vom nota cu m este tangenta trigonometric a unghiului format de semidreapta Ox cu dreapta MM0, msurat n sens direct trigonometric. m = tg =

0

0

XXYY

Studiind cazul cnd M tinde ctre M0, adic situaia n care punctul M se apropie orict de mult de M0, rmnnd permanent pe curb, situaie n care dreapta MM0 se apropie la limit de tangenta n M0 la curb, Leibniz a dat peste un nou concept n analiza matematic, denumit derivabilitate. Astfel, trecnd la limit M M0, revine la a studia limita:

=

0

0lim0

xxyy

xx

( ) ( ) ( )00

0 'lim0

xfxx

xfxfxx

=

Aceast limit ne d derivata funciei n punctul x0 i n acelai timp reprezint panta tangentei geometrice la curb n punctul M0. Ecuaia acestei tangente va fi: Acesta este doar una dintre problemele care conduc la acelai concept de derivat a unei funcii. Definiie: Fie o funcie f : E R R i x0 E E un punct de acumulare din domeniul de definiie. Spunem c: 1) funcia f are derivat n punctul x0 dac exist limita (finit sau nu): ( ) ( ) ( )0

0

0 'lim0

xfxx

xfxfxx

=

2) funcia f este derivabil n punctul x0 dac are derivat, 'f (x0), iar aceasta este un numr real (finit). Definiie: Fie o funcie f : E R R i x0 E E un punct de acumulare din domeniul de definiie. Spunem c: 1) funcia f are derivat la stnga n punctul x0 dac exist limita: ( ) ( ) ( )0

0

0

,'lim

00

xfxx

xfxfs

xxxx=

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 2) Calculai derivatele urmtoarelor funcii:

a) f(x) = 4x3 2x2 + 5; b) f(x) = 3 22 +x

; c) f(x) = ( x2 + 2 ) ln ( x + 1) 3 sin x cos x; d) f(x) = 2x + arctgx ( )

21 2+x

e) f(x) = ex sin x + cos x 5 ln x; f) f(x) = x ln ( 1 x ) + 22 xx + ; g) f(x) = x ln ( 1 x ) + 2

2 xx + 3) Se consider funcia f: R R, f(x) = 3x3 27 x.

(a) Gsii f(x), xR.; (b) S se calculeze1

)1()(lim1 +

x

fxfx

.

4) Fie funcia f : R R, f(x) = x2 + 3x +4. S se determine a, b, c R a. . f(x) = a(x 2)2 + b(x 2) + c. 5) Fie f : R R, f(x) = x3 + 2x2 + 4x + 4. S se arate c f(x) > 0, x R.

8.4. Regulile lui lHospital Folosind derivatele putem stabili o metoda general pt a face calculul limitelor mai simplu.

a) Cazul 00 , mai precis al limitelor de forma

( ))(

lim0 xg

xfxx

, unde Rxxgxfxxxx

==

0,0)(lim)(lim00

.

Regula lui lHospital: Fie dou funcii reale f,g definite pe un interval (a,b) i un punct x0 (a,b). Presupunem satisfcute urmtoarele condiii: 1. f si g sunt derivabile pe (a,b)\{x0 }i continue n xo ; 2. f(xo)=0, g(xo)=0; 3. g(x) nu se anuleaz ntr-o vecintate V a lui x0 ( XV\{x0});

4. exist limita ( ) =

)(''lim

0 xgxf

xx

n aceste condiii, exist i limita ( ) =

)(lim

0 xgxf

xx.

b) Regula lui lHospital ne permite s tratm i alte cazuri exceptate, de pild cazul

. Dac ne intereseaz ( ))(

lim0 xg

xfxx

i

dac f(x), g(x), atunci putem scrie ( )

)(1

)(1

)(xf

xgxgxf= i deoarece 0)(

1

xfi 0

)(1

xg

, calculul se reduce la cazul 00 studiat

anterior. c) Regula lui lHospital se aplic nu doar pentru xo finit,dar i n cazul cnd x0 este aruncat la infinit.

Pn acum am considerat numai cazurile 00

i

. n cazurile exceptate 0 , , 00 ,0 ,1 , nu exist reguli

de tip lHospital care sa fie direct aplicate si sunt necesare unele prelucrari ale functiei de sub limita. 8.5. Exerciii rezolvate:

Sa se calculeze, folosind regula lui lHospital, urmatoarele limite:

22

)2

(

2sin

2

2sin

2sin

2

1

)'2

(

)'1(

2

1)

1cos2)'sin2(

)'(sin2sin

)

21

2

1

'2)'(ln

22ln)

101

2)1(5

1

)'2()'11(

211)

4)2cos(

2))'2(sin(

)'4()2sin(

4)

12

2)'22()'1(

221)

2

2

2

1

2

1

2

11

'

1

00

'

00

11

'

1

5 4

00

'5

0

2

2

2

'2

2

11

2

1

'2

1

limlimlimlimlim

limlimlimlim

limlimlim

limlimlim

limlimlim

limlimlimlim

===

=

=

=+

=

=

=

===

=+

=+

=+

=

=

=

===

=

xx

xx

x

xctg

xxctg

xf

xee

xee

xee

xshxe

xxx

xd

xxx

xxc

xx

xx

xxb

xxx

xx

xa

XXXX

Hl

X

xx

X

xx

X

Hlxx

XX

XX

Hl

X

XX

Hl

X

XX

Hl

X

XXX

Hl

X

26

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 8.6. Calculul derivatelor

TABEL CU DERIVATELE FUNCIILOR ELEMENTARE

Funcia Derivata Domeniul de derivabilitate Funcia compus Derivata c ( constant) 0 R

x 1 R u u x n ( )*n 1nnx R ( )Nnun uun n 1 x ( )*R

( nn xx1

= ) 1x ( ) ;0'fD )0u,R(u > uu 1

x1 2

1x

R* ( )01 uu

2uu

x x21 ( );0 ( )0uu

uu

2

xe xe R ue ueu 1a0,a x < aax ln R ua auau ln

ln x x1 ( );0 ln u

uu

xalog ax ln1 ( );0 ualog au

uln

sin x cos x R sin u cos u u

cos x sin x R cos u sin u u

tg x x2cos1 cos x 0 tg u (cos u 0 )

uu

2cos

ctg x x2sin

1 sin x 0 ctg u (sin u 0 ) u

u2sin

arcsin x 21

1x

(-1;1) arcsin u ( )1u 21 u

u

arccos x 21

1x

(-1;1) arccos u ( )1u 21 u

u

arctg x 211x+

R arctg u 21 uu+

arcctg x 211x+

R arcctg u 21 uu+

Operaii cu funcii derivabile

( ) gfgf = ( ) gfgf = gf +

2ggfgf

gf

=

2

1gg

g

=

( ) fccf = ( c = constant) ( ) hgfhgfhgfhgf ++=

( ) ( ))(

1

00

1

xfyf

=

, unde y0 = f(x0)

( )

+=

uuvuvuu vv ln

27

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 9. REPREZENTAREA GRAFIC A FUNCIILOR

9.1. Algoritmul pentru reprezentarea grafic a unei funcii Fie f : E R R.

1. Stabilim domeniul maxim de definitie 2. Semnul functiei 3. Cercetm paritatea functiei - Dac funcia este impar (f(x) = f(x)), e suficient s studiem i s reprezentm graficul funciei pentru x E R+, deoarece pentru E R, graficul va fi simetric fa de origine. - Dac funcia este par (f(x) = f(x)), este suficient s studiem i s reprezentm graficul funciei pentru x E R+, deoarece pentru E R graficul va fi simetric fa de axa Oy. 4. Periodicitatea - Dac funcia este periodic de perioad p este suficient s studiem i s reprezentm funcia pe un interval de lungime p, deoarece graficul se repet. 5. Intersecia cu axele de coordonate:

a) Gf Ox => f(x)=0 (se rezolv ecuaia i se gsesc rdcinile xi ale ecuaiei) b) Gf Oy => x=0 , f(x)= f(0)=

Graficul va intersecta axa Oy n punctul (0, f(0)) i axa Ox n punctul (xi, 0), unde xi sunt rdcinile ecuaiei f(x) = 0. 6. Limitele la capete. Asimptote - Dac E este o reuniune de intervale, atunci se calculeaz limitele lui f la capetele fiecrui interval. - Se calculeaz asimptotele orizontale, verticale i oblice (dac acestea exist).

Asimptote orizontale Dac ( ) axf

x=

lim i a este finit, atunci dreapta y =a este asimptot orizontal spre (este paralel cu axa Ox).

Dac ( ) bxfx

=

lim i b este finit, atunci dreapta y = b este asimptot orizontal spre . Asimptote verticale

Fie f : E R R i xo = a un punct de acumulare pentru E. Dac n punctul xo = a cel puin una dintre limitele laterale la dreapta sau la stnga ale funciei este infinit, atunci dreapta x = a se numete asimptot vertical a graficului funciei.

Asimptote oblice O dreapt y = mx + n este asimptot oblic spre a graficului funciei dac limitele:

( ) mxxf

x=

lim i ( )[ ] nmxxf

x=

lim exist i sunt finite.

O dreapt y = mx + n este asimptot oblic spre a graficului funciei dac limitele: ( ) mxxf

x=

lim i ( )[ ] nmxxf

x=

lim exist i sunt finite.

7. Continuitatea funciei - Se determin mulimea punctelor pentru care f este continu: )()(lim)(lim 0

00

00

xfxfxfxxxx

xxxx

==>

0, xo punct de minim. b) Dac f (xo) < 0, xo punct de maxim.

9. Derivata a doua. Convexitate i concavitate. Puncte de inflexiune Se calculez derivata de ordinul II (dac exist). Se determin rdcinile reale ale ecuaiei f (x) = 0. Fie f : [a, b] R o funcie continu i derivabil de dou ori

pe (a, b) [a, b]. a) Dac f (x) 0, x (a, b), atunci f este convex pe [a, b]; b) Dac f (x) 0, x (a, b), atunci f este concav pe [a, b].

28

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a Def. Dac f : E R R este o funcie real, atunci xo E se numete punct de inflexiune al lui f dac funcia i schimb tipul de convexitate n xo. Teorem: Dac f : E R R este de dou ori derivabil, atunci xo E este punct de inflexiune dac derivata a doua i schimb semnul n xo. 10. Tabloul de variaie a funciei Rezultatele obinute la punctele anterioare se sintetizeaz ntr-un tabel avnd patru rubrici orizontale: - valorile remarcabile ale lui x (domeniul de definiie, interseciile cu axele, rdcinile reale ale derivatelor) - valorile corespunztoare pentru prima derivat i semnul acesteia - valorile corespunztoare pentru f i sgeile care indic monotonia funciei - valorile corespunztoare derivatei a doua i semnul acesteia 11. Trasarea graficului Pe un sistem de axe de coordonate xOy se configureaz punctele remarcabile, asimptotele (dac exist) i se unesc printr-o linie curb punctele remarcabile innd seama de monotonia funciei, de convexitatea ei, de asimptote etc.

9.2. Exerciii rezolvate 1. S se reprezinte grafic funcia: Rx

xxxf +

= ,1

)( 22

.

Rezolvare: 1) Domeniul de definiie este R.

( ) ( )( )

( )xfx

xx

xxf =+

=+

=

11 22

2

2

, deci funcia este par i studiem funcia pe intervalul [0, ).

2) f(0) = 0 f(x) = 0 x = 0. Intersecia cu axele se face n punctul (0, 0) originea.

3) ( ) 11

limlim 22

=+

= x

xxfxx

deci dreapta y = 1 este asimptot orizontal a graficului.

4) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )2222

22

22

'222'2

12

1212

1

11'

+=

+

+=

+

++=

xx

xxxxx

x

xxxxxf

( ) 00' == xxf .

5) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( )( ) ( ) 32

2

42

222

42

2222

1312

1122112

1

'11'2"

+

=

+

++=

+

++=

xx

xxxxx

x

xxxxxf

( )33,

33

31

310310" 21

22 ====== xxxxxf puncte de inflexiune.

41

33

=

f

6) 7) Trasarea graficului

x 0 3

3

f(x) 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x)

0 41 1

f(x) + + + + 0 - - - -

29

Cristina Mgirescu - Rezumat - Clasa a 11-a 2. S se traseze graficul funciei f : R R, ( ) 3 23 3xxxf = . Rezolvare: 1) Domeniul de definiie: E = R. Funcia nu este nici par nici impar:

( ) ( )xfxxxxxf +== 3 233 23 33 . Deci studiem variaia funciei pe R. 2) Intersecia cu axele:

Ox: f(x) = 0 x3 3x2 = 0 x2(x 3) = 0

=

=

=

=30

0302

xx

xx Deci se intersecteaza cu axa Ox in O(0, 0), A(3, 0).

Oy: f(0) = 0 3) Asimptote:

( ) ==

3 23 3limlim xxxfxx

si ( ) ==

3 23 3limlim xxxfxx

. Deci graficul nu are asimptote orizontale.

( )

( )[ ] ( )( ) ( )

( )=

++

++

===

==

=

==

23 233 223

23 233 2233 23

3 23

3

33 23

33

333lim3limlim

1131lim

131lim3limlim

xxxxxx

xxxxxxxxxxxxmxxfn

xxx

x

xxx

xxfm

xxx

xxxx

( )( ) ( )

133

33

3lim33

3lim23 233 223

2

23 233 223

33

3 23

=

=

++

=

++

=

xxxxxx

x

xxxxxx

xxxxx

.

Deci y = x 1 este asimptot oblic att la ct i la -. Asimptote verticale nu exist.

4) Derivata nti: ( ) ( )( ) ( ) ( )

Rxx

xx

xx

xx

xx

xxxf

=

=

=

3 223

2

3 223

2

3 223

23

3

2

33

63

33

'3' dac x 0, x 3.

Deci f este derivabil pe R {0, 3}.

Pentru x = 0 avem:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

=

=

=

=

>

0 i f(1) = -1 < 0 xo (0, 1).

Calculm h = ( )( )

( )( ) 33,03

13

10'0

'==

==

ff

afaf

.

Valoarea aproximativ a rdcinii este: xo = a + h = 0 + 0,33 = 0,33. Dac vrem o aproximare mai corect putem aplica metoda de mai multe ori. 9.4. Exerciii propuse S se determine domeniul maxim de definiie i apoi s se reprezinte grafic urmtoarele funcii:

1) f(x) = x3 x2

2) f(x) = x

x2

22 +

3) f(x) = x

x 1+

4) f(x) = ln(x2 + 1) 5) S se discute numrul rdcinilor reale ale ecuaiilor:

a) f(x) = x3 3x +2 = m, mR.

b) f(x) = xxln

= 0

31

1. 3. AplicaiiDeci .

2.6. APLICAIIFie sistemul . Notam cu matricea extinsa a sisemului =Teorema: Un sistem este compatibil rangA=rangFunciaDerivataDerivatasin xtg x

Date post:	13-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	mariana-marian
View:	61 times
Download:	6 times

clasa-a-11-a-profesor-cristina-magirescu.pdf

Documents