Partea a doua
CINEMATICA
4. CINEMATICA PUNCTULUI
4.1. Traiectoria. Viteza. Acceleraţia
Traiectoria unui punct este locul geometric al poziţiilor
succesive ale punctului material în mişcarea sa şi este definită de
funcţia
(4.1)
unde este vectorul de poziţie al punctului.
Viteza este, prin definiţie, derivata funcţiei în raport cu
timpul
(4.2)
Acceleraţia este, prin definiţie, derivata vitezei în raport cu
timpul, respectiv derivata a doua a funcţiei în raport cu timpul
(4.3)
32
MEMORATOR DE MECANICĂ
4.2. Traiectoria, viteza şi acceleraţia în diferite sisteme
de coordonate
a) sistemul cartezian
(4.4) -traiectoria -viteza -acceleraţia
b) coordonate cilindrice
(4.5) -traiectoria -viteza -acceleraţia
c) pe axele triedrului lui Frenet
(4.6)
-traiectoria -viteza
-acceleraţia
4.3. Mişcări particulare ale punctului
33
CINEMATICA
a) rectilinie uniformă
(4.7)
Fig. 4.1
b) rectilinie uniform variată (accelerată sau încetinită)
(4.8)
34
MEMORATOR DE MECANICĂ
accelerată încetinită
Fig. 4.2
c) circulară uniformă
35
CINEMATICA
(4.9)
d) circulară variată
(4.10)
Fig. 4.3
5. CINEMATICA RIGIDULUI
36
MEMORATOR DE MECANICĂ
5.1. Mişcarea generală a rigidului
Notând cu vectorul de poziţie al unui punct P,
aparţinător rigidului, definit faţă de sistemul de referinţă fix O1x1y1z1,
cu vectorul de poziţie al punctului faţă de un sistem de referinţă
mobil Oxyz (solidar cu rigidul) şi cu vectorul de poziţie al originii
sistemului de referinţă mobil în raport cu originea sistemului de
referinţă fix (Fig. 5.1),
Fig. 5.1
expresiile vitezei şi acceleraţiei în cazul mişcării generale a rigidului,
sunt date de relaţia
37
CINEMATICA
(5.1)
unde şi sunt respectiv viteza şi acceleraţia originii triedrului
mobil solidar cu rigidul, iar şi sunt respectiv vectorii viteză
unghiulară şi acceleraţie unghiulară.
5.2. Mişcări particulare ale rigidului
a) translaţia (Fig. 5.2)
Este mişcarea unui rigid în care o dreaptă, solidară cu rigidul,
rămâne paralelă cu ea însăşi pe toată durata mişcării.
(5.2)
Se observă că toate punctele rigidului au, la un moment dat,
aceeaşi viteză şi aceeaşi acceleraţie .
38
MEMORATOR DE MECANICĂ
Fig. 5.2
În acest caz, .
b) Rotaţia (Fig. 5.3)
Este mişcarea unui rigid în care, o dreaptă, solidară cu rigidul,
rămâne fixă pe toată durata mişcării.
Considerând că această dreaptă trece prin originea O, rezultă:
(5.3)
Se observă că .
39
CINEMATICA
Fig. 5.3
În acest caz, şi se găsesc pe axa de rotaţie.
c) mişcarea elicoidală (Fig. 5.4)
Este mişcarea unui rigid în care suportul unei drepte, solidară
cu rigidul, rămâne fix pe toată durata mişcării (reprezentând axa
mişcării elicoidale), rigidul putându-se deplasa în lungul ei şi roti în
jurul ei.
40
MEMORATOR DE MECANICĂ
Fig. 5.4
(5.4)
Se observă că .
În acest caz, şi au direcţia axei mişcării elicoidale.
d) mişcarea plan-paralelă (Fig. 5.5)
41
CINEMATICA
Mai este numită şi mişcarea plană şi este mişcarea în care trei
puncte necoliniare aparţinătoare rigidului, rămân într-un plan fix din
spaţiu pe toată durata mişcării.
Fig. 5.5
(5.5)
Se observă că şi se găsesc în planul fix.
În acest caz, şi sunt normale pe planul fix.
42
MEMORATOR DE MECANICĂ
Distribuţia instantanee de viteze este identică cu aceea de la
mişcarea de rotaţie, ca şi când rigidul s-ar roti în jurul unei axe
instantanee de rotaţie (în planul fix unui centru instantaneu de
rotaţie).
Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în raport cu
planul fix se numeşte bază şi în raport cu planul mobil se numeşte
rostogolitoare. Baza şi rostogolitoarea sunt tangente în centrul
instantaneu de rotaţie. Rostogolitoarea se rostogoleşte fără să alunece
peste bază.
Distribuţia instantanee de acceleraţii este identică cu cea de la
mişcarea de rotaţie, ca şi când rigidul s-ar roti în jurul unei axe
instantanee care intersectează planul fix în polul acceleraţiilor.
Polul acceleraţiilor este diferit de centrul instantaneu de rotaţie
(la mişcarea de rotaţie coincid şi sunt ficşi).
e) mişcarea rigidului cu un punct fix, O
(5.6)
Se observă că .
În acest caz, şi sunt arbitrari.
Distribuţia de viteze este identică cu cea de la rotaţie, ca şi când
rigidul s-ar roti în jurul unei axe instantanee de rotaţie, trecând prin
43
CINEMATICA
punctul fix, O.
Locul geometric al acestei axe în raport cu sistemul de referinţă
mobil este conul polodic şi în raport cu sistemul fix este conul
herpolodic. Conul polodic este tangent conului herpolodic în lungul
axei instantanee de rotaţie şi se rostogoleşte fără să alunece peste
conul herpolodic.
Distribuţia acceleraţiilor este una specifică, cu un singur punct
de acceleraţie nulă, punctul fix O.
f) mişcarea cea mai generală a rigidului
(5.7)
Se observă că .
În acest caz, şi sunt arbitrari
Distribuţia instantanee de viteze este identică cu aceea a unei
mişcări elicoidale care ar avea loc în jurul unei axe instantanee a
mişcării elicoidale.
Locul geometric al acestei axe în raport cu sistemul fix se
numeşte axoidă fixă, iar în raport cu sistemul mobil se numeşte
axoidă mobilă. Cele două axoide sunt tangente şi au în comun axa
instantanee a mişcării elicoidale. Axoida mobilă se rostogoleşte peste
44
MEMORATOR DE MECANICĂ
axoida fixă, alunecând în lungul axei mişcării elicoidale instantanee
comune.
Distribuţia instantanee de acceleraţii este identică cu cea de la
rigidul cu un punct fix, existând în orice moment un pol instantaneu al
acceleraţiilor.
6. CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE
A PUNCTULUI MATERIAL
6.1. Definiţii
a) mişcare relativă
Se numeşte mişcare relativă mişcarea punctului material în
raport cu sistemul de referinţă mobil.
b) mişcare absolută
Se numeşte mişcare absolută mişcarea punctului material în
raport cu sistemul de referinţă fix.
c) mişcare de transport
Se numeşte mişcare de transport mişcarea cu caracter incipient
a punctului material solidar cu sistemul mobil care, la momentul
considerat, coincide cu punctul mobil, mişcare considerată în raport cu
sistemul de referinţă fix.
45
CINEMATICA
6.2. Derivate
Derivata absolută a unui vector ale cărui proiecţii pe axele
triedrului mobil sunt cunoscute, este dată de expresia
(6.1)
unde, prin s-a notat derivata locală (relativă) a vectorului
(calculată ca şi când triedrul mobil ar fi fix).
6.3. Compunerea vitezelor
(6.2)
(viteza relativă)
(viteza de transport)
(viteza absolută)
Rezultă
(6.3)
46
6.4. Compunerea acceleraţiilor
(6.4)
(acceleraţia relativă)
(acceleraţia de transport)
(acceleraţia
absolută)
Rezultă
(6.5)
unde s-a notat cu
(6.6)
acceleraţia complementară (numită şi acceleraţia lui Coriolis)
7. CINEMATICA MIŞCĂRII RELATIVE
A RIGIDULUI
7.1. Cazul general. Compunerea vitezelor
(7.1)
unde vectorii şi presupuşi aplicaţi în originile Oi ale
triedrelor solidare cu corpurile (i), sunt respectiv vitezele unghiulare
relative şi vitezele relative ale originilor Oi în raport cu corpurile (i-1).
Odată determinaţi vectorii şi rezultă câmpul de viteze
pentru mişcarea absolută a ultimului corp (n):
(7.2)
a) repaus (instantaneu)
b) translaţie (instantanee)
c) rotaţie (instantanee)
d) elicoidală (instantanee)
7.2. Cazuri particulare. Compunerea vitezelor
a) compuneri de translaţii: rezultă translaţie (instantanee) sau
repaus (instantaneu);
b) compuneri de rotaţii concurente: rezultă rotaţie (instan-
tanee) sau repaus (instantaneu);
c) compuneri de rotaţii paralele: rezultă rotaţie (instantanee),
translaţie (instantanee) sau repaus (instantaneu).
