CATEDRA DE MONEDĂ - ase.ro · Teorema de paritate CALL – PUT Aplica ţ ie a ipotezei absen ţ ei...

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI

CATEDRA DE MONEDĂ

INGINERIE FINANCIARĂ

SUPORT PENTRU SEMINARII

IDD

Bucureşti 2010

2

CUPRINS

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni .................................... 3

Seminar 2: Noţiuni elementare.................................................................... 7

Seminar 3: Modelul Binomial.................................................................... 12

Seminar 4: Procese Stocastice.................................................................... 16

Seminar 5: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes .. 23

Seminar 6: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea

implicită ....................................................................................................... 27

Seminar 7: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes

(Modelul Merton pentru riscul de credit) ................................................ 32

Aplicaţii propuse ......................................................................................... 36

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

3


Notaţii: tS cursul activului suport la momentul t ;

, ,E K X preţul de exercitare al opţiunii (CALL sau PUT);

( )t tC P prima unei opţiuni CALL (respectiv PUT) de tip european;

( )t tc p prima unei opţiuni CALL (respectiv PUT) de tip american; Diferenţele între o opţiune de tip european şi una de tip american. Valoarea opţiunii (preţul sau prima), valoarea intrinsecă şi valoarea timp:

Valoarea (preţul sau prima) opţiunii variază pe piaţă pe baza cererii şi ofertei şi poate fi calculată, teoretic, pe baza unor modele analitice (ex. Black – Scholes) sau numerice (ex. modelul Binomial).

Valoarea intrinsecă este: ,

,

max{( ),0}

max{( ),0}Call t t

Put t t

VI S E

VI E S

şi în funcţie de semnul expresiei

tS E pt. CALL şi respectiv tE S pt. PUT se poate stabili dacă opţiunea este în bani

(dacă diferenţa este pozitivă), la bani (dacă diferenţa este 0) şi în afara banilor (dacă diferenţa este negativă).

Obs. Valoarea opţiunii va fi întotdeauna mai mare sau egală cu valoarea intrinsecă a opţiunii. Valoarea timp = Valoarea opţiunii – Valoarea intrinsecă.

Obs. Cu cât perioada de timp până la scadenţa opţiunii este mai îndepărtată cu atât valoarea timp este mai mare. De asemenea, la un anumit moment de timp, valoarea timp diferă ca magnitudine în funcţie de poziţionarea lui tS faţă de E . Valoarea timp a opţiunii este 0 la maturitate.

Profitul şi payoff-ul unei opţiuni:

Valoarea opţiunii la scadenţă se numeşte payoff iar câştigul investitorul din investiţia în opţiune poartă numele de profit.

în bani (in the money)

Valoarea opţiunii (înainte de expirare)

E

Valoarea intrinsecă

tS

în afara banilor (out of the money)

la bani (at the money)

,t tC c


4

.

0 0 – ( )not

T TProfit opţiune payoff prima iniţială C C respectiv P P .....

Panta=Profit

S

.

Panta: (0;1) Panta: (0;-1)

Panta: (-1;0) Panta: (1;0)

Strategii pe bază de opţiuni:

Reverse Covered CALL

E

TS

Short SLong CALL

Profit

0

Long PUT sintetic

Covered CALL

Long S

ETSShort

CALL

Profit

0

Short PUT sintetic

+prima PUT

ETS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0PPR E P= - 0

Short PUT

profit

0

PPR

E P= - E -prima

PUT TS

payoff

Valoarea opţiunii

0

Long PUT

+prima CALL

ETS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0CPR E C= +

0

Short CALL

450

0CPR E C= + E -prima

CALL TS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0

Long CALL

0P+

0C-

0C+

0P-


5

Aplicaţie: 1. Funcţia profitului ( tG ) la scadenţă pentru o combinaţie de mai multe opţiuni având

aceeaşi scadenţă t , în funcţie de preţul la scadenţă al activului-suport tS şi de patru

preţuri de exercitare , 1, 4iE i , este dată în tabelul următor:

tS 1E 2E 3E 4E

Panta: t

t

G

S

0 5 -2 5 0

Determinaţi două combinaţii diferite de opţiuni CALL şi PUT ce permit obţinerea profilului rezultatului dat în tabel. Reprezentaţi grafic profilul rezultatului şi determinaţi punctele moarte. Rezolvare: Utilizând CALL-uri:

tS 1E 2E 3E 4E

5 long 1( )C E 0 5 5 5 5

7 short 2( )C E 0 0 -7 -7 -7

7 long 3( )C E 0 0 0 7 7

5 short 4( )C E 0 0 0 0 -5

TOTAL 0 5 -2 5 0

Reverse Protective PUT

ETS

Short S

Short PUT

Profit

0

Short CALL sintetic

Protective PUT

Long PUT

E

TS

Long S

Profit

0

Long CALL sintetic


6

Utilizând PUT-uri:

tS 1E 2E 3E 4E

5 long 1( )P E -5 0 0 0 0

7 short 2( )P E 7 7 0 0 0

7 long 3( )P E -7 -7 -7 0 0

5 short 4( )P E 5 5 5 5 0

TOTAL 0 5 -2 5 0

3PM 2PM 1PM

4E 3E 2E 1E

costul strategiei

0

PROFIT

Seminar 2: Noţiuni elementare

7


1. Rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu. 2. Arbitraj. Lipsa oportunităţilor de arbitraj. 3. Teorema de paritate CALL – PUT. 4. Preţul Forward.

1. Rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu Ex. Un investitor depune o sumă 0S într-un depozit bancar cu capitalizare, care plăteşte o

dobândă la rata r , în procente pe an. Determinaţi suma finală de care va dispune investitorul după t ani, dacă capitalizarea se face: a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) în timp continuu. a) 0 (1 )t

tS S r .

b) 20 (1 )

2t

t

rS S .

c) 40 (1 )

4t

t

rS S .

d) 120 (1 )

12t

t

rS S .

e) 3600 (1 )

360t

t

rS S .

f) 0 0 0lim (1 ) lim[(1 ) ]n

n t r t r trt

n n

r rS S S S e

n n

r - reprezintă rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu sau rata dobânzii neutre la risc (sau rata fără risc fiind asociată unor investiţii fără risc cum ar fi depozite bancare sau obligaţiuni 0-cupon);

0r tS e - reprezintă suma finală din depozit, fructificată la sfârşitul celor t ani ( t

poate reprezenta şi un număr fracţionat de ani); r te - reprezintă factorul de fructificare în timp continuu;

1 r tr t

ee

- reprezintă factorul de actualizare în timp continuu.


8

2. Arbitraj. Lipsa oportunităţilor de arbitraj a) Ex. O acţiune Coca Cola este cotată simultan pe piaţele bursiere NYSE la preţul de 10$ pe o acţiune şi LSE la preţul de 9£ pe o acţiune, în condiţiile în care pe piaţa valutară cursul de schimb între cele două monede este 1£ 1,45$ . Propuneţi o strategie de arbitraj şi explicaţi mecanismele prin care preţurile pe cele trei pieţe se vor corecta.

Obs. Presupunând ca volumul tranzacţiilor prilejuite de acest dezechilibru este insuficient pentru a influenţa cursul de schimb de pe piaţa valutară, se poate obţine un câştig sigur de 1.6$ pe acţiune luând simultan poziţie short la LSE şi poziţie long la NYSE pe un număr de acţiuni. Investitorii raţionali vor vinde la LSE generând presiuni de scădere a preţului pe această piaţă şi vor cumpăra la NYSE determinând creşterea preţului pe această piaţă. Oportunitatea de arbitraj va dispare în momentul în care raportul între preţurile pe cele două pieţe bursiere va egala raportul de schimb între cele două monede (eliminând eventuala existenţă a costurilor de tranzacţionare).

b) Ex. Presupunem că ratele de schimb spot şi forward pentru cursul de schimb £/$ sunt: spot 0 1,6080S , forward peste 90 zile (0,90 ) 1,6056F zile şi forward peste 180 zile

(0,180 ) 1,6018F zile . Ce oportunităţi are un arbitrajor în următoarele situaţii: i) pe piaţă mai există o opţiune europeană CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preţul de exercitare 1,57$ / £E şi care costă 0 0,02$C ;

ii) pe piaţă mai există o opţiune europeană PUT maturitatea peste 90 zile, cu preţul de exercitare 1,64$ / £E şi care costă 0 0,02$C .

LSE

Short: 8£

NYSE

Long: -10$

8£=11.6$Profit = 1.6$

Arbitraj: posibilitatea obţinerii unui câştig sigur fără a se investi capital iniţial şi fără a se asuma nici un risc.

Arbitrajul poate fi:

a) spaţial – se obţin profituri sigure utilizându-se dezechilibrele de pe două sau mai multe pieţe în acelaşi moment de timp;

b) temporal – se obţin profituri sigure utilizându-se dezechilibrele de pe pieţele unor instrumente financiare, în momente de timp diferite.


9

Presupunem că valoarea timp a banilor este 0. i) Poziţia la iniţiere: long CALL short FORWARD pe contractele cu scadenţa 180 zile.

Peste 180 zile (cursul spot va fi TS ):

00

0

(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,180 )

(0,180 ) ,

1,6018 1,57 0,02 0,0118$, 1,570.

1,6018 0,02 , 1,57

TT T

T T

T

T T

F zile E C S ES E C F zile S

F zile S C S E

S

S S

ii) Poziţia la iniţiere: long PUT long FORWARD pe contractele cu scadenţa 90 zile.

Peste 90 zile (cursul spot va fi TS ):

00

0

(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,90 )

(0,90 ) ,

1,6056 0,02 1,6256, 1,640.

1,64 1,6056 0,02 0,0144$, 1,64

T TT T

T

T T T

T

S F zile P S EE S P S F zile

E F zile P S E

S S S

S

Obs. Valoarea timp a banilor a fost ignorată în aceste calcule. Dacă am fi luat în considerare existenţa unei rate de dobândă pe perioadele pe care s-au făcut plasamentele, strategiile ar fi rămas profitabile ţinând cont că profitul depăşeşte 0.0118$ şi respectiv 0.0144$ la o investiţie iniţială de 0.02$, ceea ce ar corespunde unei dobânzi anualizate de peste 100% pentru fiecare din cele două perioade considerate.

Concluzie:

Dacă astfel de situaţii de tip arbitraj ar apare în realitate, ele ar fi eliminate relativ repede prin acţiunea legii cererii şi ofertei pe piaţă (ţinând cont şi de faptul că aceste profituri pot fi considerate „gratuite” iar pe piaţa instrumentelor financiare există arbitrajorii – foarte bine plătiţi – care caută şi exploatează astfel de oportunităţi).

De aceea în teoria financiară, evaluarea activelor porneşte de la ipoteza conform căreia pe pieţele financiare nu există oportunităţi de arbitraj (sau similar oportunităţi de a obţine profit instantaneu şi fără asumarea niciunui risc). Schematic această ipoteză poate fi redată astfel:

Dacă valoarea a două portofolii de active financiare A şi B va fi cu certitudine aceeaşi la un moment în viitor T , ( ) ( )T TA B , atunci valoarea celor două portofolii trebuie să

fie aceeaşi la orice moment de timp anterior t T , ( ) ( )t tA B . Relaţia este valabilă

şi pentru inegalităţi între valoarea celor două portofolii şi se demonstrează prin reducere la absurd (vezi curs).


10

3. Teorema de paritate CALL – PUT

Aplicaţie a ipotezei absenţei oportunităţilor de arbitraj (notaţie AOA):

Demonstraţi următoarea relaţie care are loc între preţurile opţiunilor CALL şi PUT de tip european, care au aceleaşi caracteristici (acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exercitare, aceeaşi scadenţă şi aceeaşi piaţă de tranzacţionare):

( ) , .r T tt t tC E e P S t T

Demonstraţie:

Considerăm 2 portofolii: ( ):

: sup

r T tA long CALL depozit in valoare de E e

B long PUT long activul ort

La scadenţă despre payoff-ul celor două portofolii vom şti cu siguranţă: ( )T A ( )T B

TS E 0 E T TE S S E

TS E T TS E E S 0 T TS S

Conform ipotezei AOA: ( ) ( ), .t tA B t T c.c.t.d.

Generalizare pentru cazul cu dividend: ( ) ( ) ,r T t q T t

t t tC E e P S e t T unde q

reprezintă rata continuă a dividendului.

Ex. Primele call, respectiv put, având aceleaşi caracteristici sunt: 17, 2808C şi

12,9118P . Se ştie că 105S E , iar 6 luniT t . Să se calculeze rata dobânzii r .

Rezolvare:

Din relaţia de paritate put-call: 1

ln 8,5%P C S

rT t E

.


11

4. Preţul Forward Ex. Se ia o poziţie long pe un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend (fără dividend) la momentul 0 0t . Cursul spot al acţiunii la momentul 0t este 0 40S $ iar

rata dobânzii în timp continuu 10%r . a) Determinaţi preţul forward al contractului emis la momentul 0t cu scadenţa la

1T an şi valoarea iniţială a acestui contract.

b) După 6 luni ( 1 6t luni ): 1

45tS $ , 10%r . Determinaţi preţul forward al

contractului emis la momentul 1t cu scadenţa la 1T an şi valoarea contractului

forward emis la 0t .

Rezolvare:

a) 0,1

0(0, ) 40 44, 21

(0,0, ) 0.

r T

L

F T S e e

f T

$

b)1

1

1 1

1

( ) 0,1 0,51

( )1 1 0

( , ) 45 47,31

( , , ) [ ( , ) (0, )] 2,95

r T tt

r T t r tL t

F t T S e e

f t t T F t T F T e S S e

$

$.

1

1

( ) ( )

( )1 0 1 0

( )1 0 1 0 0 1

( , )

: ( , , ) [ ( , ) ( , )]

: ( , , ) ( , , ) [ ( , ) ( , )]

r q T tt

r T tL

r T tS L

F t T S e

long f t t T F t T F t T e

short f t t T f t t T F t T F t T e

unde:

( , )F t T reprezintă preţul forward al contractului emis la momentul t cu scadenţa la momentul T ;

tS reprezintă preţul la momentul t al activului suport;

q este rata continuă a dividendelor plătite de acţiunea suport (în cazul acţiunilor fără dividend, 0q );

1 0( , , )Lf t t T reprezintă valoarea la momentul 1t a contractului forward poziţie long,

emis la momentul 0t cu scadenţa la momentul T , unde 1t t T ;

1 0( , , )Sf t t T reprezintă valoarea la momentul 1t a contractului forward poziţie short.

Obs. Preţul forward este identic cu preţul futures atât timp cât rata dobânzii este deterministă. În cazul în care suportul contractului forward este o valută, fq r , unde

fr este rata dobânzii pentru valuta suport în contract.

Seminar 3: Modelul Binomial

12


Ipoteze:

Cursul activului suport urmează o distribuţie binomială a.î. în fiecare moment de timp evoluţia sa poate fi descrisă astfel:

0S u

0S cu 1 tu ed

(vezi curs)

0S d

0 1t tt

unde u şi d reprezintă factori de creştere respectiv scădere constanţi în timp, t intervalul de timp între două momente succesive în care se face evaluarea, volatilitatea cursului activului suport iar p şi 1 p reprezintă probabilitatea de creştere, respectiv scădere a cursului activului suport în fiecare moment de timp considerat.

Evaluarea se face într-un mediu neutru la risc a.î. valoarea aşteptată la momentul 1t a

cursului activului suport poate fi scrisă:

1 0

*0[ / ] r t

t tE S S e

dar media unei variabile aleatoare care urmează o distribuţie binomială este:

1 0 0[ ] (1 )tE S p S u p S d

de unde: r te d

pu d

, denumită probabilitate neutră la risc (evaluarea s-a făcut într-un

mediu neutru la risc).

În mod similar, folosind metoda evaluării neutre la risc, valoarea unui CALL cu suport activul S , la momentul 0t poate fi scrisă:

0 1 0

*[ / ] [ (1 ) ]r t r tt t t u dC e E C e p C p C (identic pt. PUT)

unde uC este valoarea CALL la 1t dacă cursul creşte (devenind 0S u ) iar dC este

valoarea CALL la 1t dacă cursul scade (devenind 0S d ).

p

1-p


13

Aplicaţii: 1. Fie o acţiune suport care are cursul spot la momentul curent 0 50 . .S u m ,

20% şi pentru care se emit opţiuni cu preţul de exercitare 50 . .E u m Rata dobânzii fără risc este 10%r . a) Să se evalueze opţiuni CALL şi PUT europene folosind modelul binomial pe 5 perioade ştiind că durata unei perioade este de 3 luni. b) Verificaţi relaţia de paritate PUT-CALL în cazul opţiunilor europene ex-dividend. Rezolvare1: a) Preţul de exercitare (Strike price): 50E

Factorul de actualizare (Discount factor per step): 0,9753r te

Factorul de fructificare (Growth factor per step): 1,0253r te

Perioada de timp dintre 2 noduri (Time step): 3

0,25 ani12

t

Probabilitatea neutră la risc (Probability of up move): p= 0,6014 r te d

u d

Factorul de creştere (Up step size): 0.2 0.25 1,1052tu e e

Factorul de scădere (Down step size): 0.2 0.2510,9048td e e

u .

1La adresa web: http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/software/ puteti descarca programul DerivaGem for Excel cu ajutorul căruia se pot verifica calculele din cadrul modelelor aplicate pentru evaluarea instrumentelor financiare derivate.


14

Binomial European CallAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 32.43606Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 25.82574Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294Down step size, d = 0.9048 19.93147 17.49294

61.07014 61.0701414.96255 12.30464

55.2585459 55.25855 55.2585510.96868087 8.416238 5.258546

50 50 507.879951 5.639758 3.084334

45.2418709 45.24187 45.241873.720452328 1.809077 0

40.93654 40.936541.061092 0

37.04091 37.040910 0

33.5160

30.326530

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Pe ultima coloană payoff-ul opţiunii (marcat în chenar cu roşu) se obţine calculând

( , ) max( ,0)TC T S S E . De exemplu pentru 5 creşteri consecutive ale cursului valoarea

opţiunii CALL la scadenţă va fi 5

5 82, 436 50 32, 436 . .u

C S u E u m .

Pentru chenarele din perioadele anterioare aplicăm expresia dedusă pe baza metodei evaluării neutre la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada 4t (după 4

creşteri consecutive de curs) este:

4 5 4

0,1 0,25[ (1 ) ] [32,436 0,6013 17,4929 0,398] 25,825r t

u u u dC e p C p C e

Continuând raţionamentul obţinem valoarea opţiunii la momentul iniţial: 0 7,88 . .C u m


15

Binomial European PutAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 0Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294Down step size, d = 0.9048 0 0

61.07014 61.070140.279591 0

55.25855 55.25855 55.258550.952006 0.719163 0

50 50 502.004797 2.026932 1.84983

45.24187 45.24187 45.241873.720452 4.128678 4.758129

40.93654 40.936546.511728 7.828958

37.04091 37.0409110.52056 12.95909

33.51615.24949

30.3265319.67347

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Pentru opţiunea PUT se raţionează similar dar pornind de la payoff-ul unei opţiuni PUT:

( , ) max( ,0)TP T S E S . De exemplu valoarea PUT-ului după 4 scăderi consecutive de

curs va fi:

4 4 5

0,1 0,25[ (1 ) ] [12,959 0,6013 19,6734 0,398] 15,2494r t

d d u dP e p P p P e

Continuând raţionamentul obţinem valoarea opţiunii PUT la momentul iniţial:

0 2.0048 . .P u m .

b) Teorema de paritate CALL-PUT valabilă pentru opţiuni europene:

0.11.250 0 0 7,879951 50 2,004797 50 52,0048 52,0048.r TC E e P S e

Seminar 4: Procese Stocastice


1. Procesul Wiener fundamental (mişcarea browniană standard) :

.

, (0,1)not

z B t N , valorile variabilei z în două intervale oarecare de timp

1t şi 2t fiind independente.

media: ( ) 0E z

varianţa: var( )z t de unde deviaţia standard: ( )devs z t . 2. Procesul Wiener generalizat (mişcarea browniană generalizată):

x t z cu şi (driftul şi difuzia) constante. media: ( )E x t

varianţa: 2var( )x t de unde deviaţia standard: ( )devs z t . Obs. dacă 1t an atunci ( )E x reprezentând media anuală a variabilei x iar

( )devs z reprezentând deviaţia standard anuală a variabilei x . 3. Procesul Ito (mişcarea browniană geometrică):

( , ) ( , )x x t t x t z cu ( , ) ( , )x t şi x t parametri neconstanţi.

Exemplu: Rentabilitatea cursului unei acţiuni urmează un proces de tip Wiener

generalizat: S

S

t z şi în consecinţă cursul unei acţiuni urmează un proces de

tip Ito: S S t S z . Consecinţă: ( , )S

N t tS

.

Obs. în timp continuu notaţia t este înlocuită cu dt . 4. Lema Ito:

Fie ( , )D x t o funcţie care depinde de variabila aleatoare x ce urmează un proces de tip Ito şi de timp. ( , )D x t va fi o variabilă aleatoare care urmează tot un proces de tip Ito de

forma: 2

22

1( ( , ) ( , ) ) ( , )

2

D D D DdD x t x t dt x t dz

t x x x

.

5. „Tabla înmulţirii” pentru mişcarea browniană standard:

2

2

1 21 2

1 2

0

0

0, mişcări browniene standard independente;

, mişcări browniene standard .

t

t

t tt t

t t

dt

dt dB

dB dt

dacă B şi BdB dB

dt dacă B şi B corelate


17

Aplicaţii 1. Fie D preţul unui instrument financiar derivat şi S cursul activului suport. Să se scrie ecuaţia de dinamică pentru preţul derivativului D ştiind că S urmează un proces de tip Ito. dS S dt S dzm s= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

22 2

2

1( )

2

D D D DdD S S dt S dz

t S S Sm s s

¶ ¶ ¶ ¶= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

¶ ¶ ¶ ¶

2. Fie dinamica preţului unei acţiuni: S S t S z . Fie ( )r T tF S e -= ⋅ preţul forward al acestei acţiuni. Care este dinamica preţului forward? Reprezentaţi această dinamică într-un mediu neutru la risc.

Aplicăm lema lui Ito funcţiei F reprezentând preţul forward:

22 2

2

1( )

2

F F F FdF S S dt S dz

t S S Sm s s

¶ ¶ ¶ ¶= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

¶ ¶ ¶ ¶

( )( )

( )( )

2

20

r T tr T t

r T tr T t

F S er S e r F

t t

F S ee

S S

F

S

--

--

üï¶ ¶ ⋅ ï= =- ⋅ ⋅ =- ⋅ ïï¶ ¶ ïïï¶ ¶ ⋅ ïï= = ýï¶ ¶ ïïï¶ ïï= ï¶ ïïþ

de unde:

( ) ( )( ) ( )r T t r T tdF r F S e dt S e dz r F dt F dzm s m s- -= - ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Rentabilitatea preţului forward urmează o mişcare Wiener generalizată deoarece:

( )dF

r dt dzF

m s= - ⋅ + ⋅

Într-un mediu neutru la risc toate activele au aceaaşi rentabilitate dată de rata fără risc: r . De aici: *dF F dzs= ⋅ ⋅ unde *dz reprezintă mişcarea browniană standard sub

probabilitatea neutră la risc.

Obs. Este la fel de riscantă o poziţie forward deschisă pe activul suport ca şi o poziţie spot pe respectivul activ suport (volatilitatea rentabilităţii celor două poziţii este aceeaşi, ).


18

3. Fie y randamentul la maturitate cu compunere continuă (yield to maturity) pentru o obligaţiune 0-cupon ce plăteşte o unitate monetară la scadenţă. Presupunem că y urmează procesul stohastic:

0( )dy a y y dt c y dz , unde 0, ,a y c sunt constante pozitive. Care este procesul

urmat de preţul obligaţiunii? Notăm cu tB preţul la momentul t al acestei obligaţiuni.

1TB iar ( )y T ttB e

Aplicăm lema Ito funcţiei tB : 2

2 20 2

1( ( ) )

2

B B B BdB a y y c y dt c y dz

t y y y

( )

( )

22

2

( ) ( )

( )

y T tt

y T tt

t

By e y B

tB

T t e T t By

BT t B

y

de unde:

2 2 20

1( ) ( ) ( ) ( )

2 t tdB y a y y T t c y T t B dt c y T t B dz

4. Preţul valutei din ţara A exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara B (1A S B ) urmează un proces de forma: ( )B AdS r r S dt S dz unde ,A Br r

reprezintă ratele dobânzilor în cele două ţări. Care este procesul urmat de preţul valutei din ţara B exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara A?

Obs. Procesul urmat de rentabilitatea y se numeşte mean-reverting deoarece:

dacă 0y y atunci driftul 0( ) 0a y y şi deci trend-ul lui y este unul crescător, de

revenire spre nivelul lui 0y iar

dacă 0y y atunci driftul 0( ) 0a y y şi deci trend-ul lui y este unul descrescător,

de revenire spre nivelul lui 0y .

Se poate demonstra că 0y reprezintă media pe temen lung a rentabilităţii y (vezi

aplicaţiile 6 şi 7 din seminarul 5). Abaterile variabilei y de o parte şi de alta a mediei pe termen lung sunt determinate de apariţia unor şocuri descrise de componenta stohastică a procesului urmat de y .


19

Aplicăm lema Ito funcţiei: 1

1B AS

:

2

2 2 3

1 1 11 2

0; ; .S S St S S S S

2 22 3 2

2

1 1 1 2 1(0 ( ) ) ( )

2

1 1 1

B A

A B

d r r S S dt S dzS S S S

d r r dt dzS S S

5. Aplicaţi lema Ito funcţiei ln S şi demonstraţi că această variabilă urmează o distribuţie normală ( S S t S z ).

2

2 2

(ln ) (ln ) 1 (ln ) 10; ; .

S S S

t S S S S

2 22

2

1 1 1 1(ln ) 0

2

(ln )2

S S S t S zS S S

S t z

Aşadar variabila ln S urmează un proces Wiener generalizat, de unde:

2

0

2

0

ln [ , ]2

ln ln ln în intervalul (0, )

ln [ln , ]2

T

T

S N t t

S S S T

S N S T T

deci cursul unei acţiuni se poate preupune că urmează o distribuţie lognormală.

Obs. Apariţia varianţei variabilei S în driftul procesului urmat de variabila 1

S poartă

denumirea de paradoxul Siegel.


20

6. Cursul unei acţiuni la momentul actual este 100. Cursul acţiunii urmează un

proces Ito de forma: 0,1 0,2dS

dt dzS

.

a) Care este rentabilitatea medie anuală a cursului acestei acţiuni? Dar volatilitatea corespunzătoare? b) Determinaţi intervalul de variaţie a cursului pe un orizont de 3 luni cu o probabilitate de i) 90%; ii) 95%; iii) 99%. a) 10% respectiv 20%.

b) 90%p iar 1 1( )

2

pN

. Cu ajutorul tabelului distribuţiei normale, disponibil în

ANEXĂ se determină valoarea cuantilei pentru fiecare din cele trei cazuri: i) 1.65 şi [86.5022,120.3218]TS .

ii) 1.96 şi [83.8618,124.1102]TS .

iii) 2.58 şi [78.8203,132.0486]TS .

7. Cursul unei acţiuni este 0S , volatilitatea şi rentabilitatea .

a) Să se deducă formula care cu probabilitatea s , dă intervalul închis în care se va afla cursul la momentul T: [ , ].p q

b) 0 100, 15%, 45%, 3 , 99%.S T luni s

Obs. Ţinând cont de proprietăţile distribuţiei normale, pentru o cuantilă oarecare, cunoaştem relaţia:

2

0ln [ln ]2

( ) 2 ( ) 1

S S T

p P NT

unde p reprezintă o

probabilitate care depinde funcţional de cuantila aleasă iar ( )N reprezintă

funcţia de probabilitate normală în punctul . Aşadar 1 1( )

2

pN

.

Cunoscând aceste proprietăţi, putem determina cu probabilitatea p intervalul în care se va afla cursul unei acţiuni (notat cu S ) la un anumit moment viitor T :

2 2

( ) ( )2 2

0 0

T T T T

TS e S S e


21

c) Să se deducă următorii indicatori de senzitivitate privind mărimea intervalului

în care se va afla cursul: [ ] [ ] [ ] [ ]

; ; ; .q p q p q p q p

T s

Formulele deduse la punctul c) vor fi aplicate pe exemplul de la punctul b).

a)

2 21 11 1

( ) [ ] ( ) [ ]2 2 2 2

0 0

s sT N T T N T

Tp S e S S e q

.

b) p=56,71182; q=180,6809. c) şi d)

1 1

2 1 2 1

[ ] 1 1[ [ ]] [ [ ]] 291,6966;

2 2[ ]

( ) 30,9922;

[ ] 1 1 1 1 1 1[ [ ] ] [ [ ] ] 281,12;

2 2 2 22 2[ ] 1

( ) 275, 284.1

2 ( )2

q p s sq T T N p T T N

q pT q p

q p s sq N p N

T T Tq p

T q pss n

unde 2

2( ) 1

( )2

dN dn d e

d

.

Interpretare: La o modificare cu 1 p.p. a volatilităţii sau a rentabilităţii medii anuale a cursului, intervalul de prognoză se modifică în acelaşi sens cu 2,916966 ( 291,6966 0,01⋅ ) şi respectiv 0,309922 (30,9922 0,01⋅ ). La o modificare cu un an a orizontului de prognoză, intervalul se modifică în acelaşi sens cu 281,12 iar la o modificare cu 1 p.p. a probabilităţii s , intervalul de prognoză se modifică în acelaşi sens cu 2,75284 ( 275,284 0,01⋅ ).

ANEXĂ

22

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

Tabel pentru când 0

0,6278 0,62 0,78 0,63 0,62

0,7324 0,78 0,7357 0,7324

0,7350

N x x

N N N N

Tabel pentru când 0

0,1234 0,12 0,34 0,12 0,13

0,4522 0,34 0,4522 0,4834

0,4509

N x x

N N N N

Seminar 5: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

23

Seminar 5: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes Ecuaţia Black-Merton-Scholes. Dacă tD este preţul unui instrument financiar derivat la

momentul t , ce are ca suport activul S , atunci tD verifică următoarea ecuaţie de

dinamică (ecuaţia Black-Merton-Scholes) :

22 2

2

1

2t t t

t t t

D D Dr S S r D

t S S

Modelul Black-Scholes. Dacă derivativul D este un CALL de tip european (respectiv o opţiune PUT de tip european) cu suport acţiunea S neplătitoare de dividend, atunci soluţia ecuaţiei Black-Merton-Scholes este:

( )1 2

( )2 1

2

1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) :

ln ( ) ( )2

( )

( )

r T tt t

r T tt t

t

C S N d E e N d şi respectiv

P E e N d S N d unde

Sr T t

EdT t

d d T t

Generalizare. Dacă activul suport a opţiunilor europene generează venit, formulele aferente ecuaţiei şi modelului Black-Scholes devin:

22 2

2

1( )

2t t t

t t t

D D Dr q S S r D

t S S

( ) ( )1 2

( ) ( )2 1

2

1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) :

ln ( ) ( )2

( )

( )

q T t r T tt t

r T t q T tt t

t

C S e N d E e N d şi respectiv

P E e N d S e N d unde

Sr q T t

EdT t

d d T t

În funcţie de tipul activului suport, avem următoarele posibilităţi: i) dacă activul suport este o acţiune plătitoare de dividende, q este rata continuă a dividendului (în procente pe an); ii) dacă activul suport este un indice bursier, q reprezintă rata continuă medie a dividendelor generate de acţiunile care intră în componenţa indicelui;


24

iii) dacă activul suport este o valută, q reprezintă rata de dobândă la valuta suport în

contract (rata de dobândă străină .not

fq r );

iv) dacă activul suport este un contract futures, q r iar ecuaţia şi modelul (denumit în acest caz modelul Black) devin:

2

2 22

1

2t t

t t

D DF r D

t F

şi respectiv

( )

1 2

( )2 1

2

1

2 1

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] :

ln ( )2( )

( )

r T tt t

r T tt t

t

C e F N d E N d

P e E N d F N d unde

FT t

EdT t

d d T t

Obs. 1. Paritatea PUT-CALL: ( ) ( ) ,r T t q T t

t t tC E e P S e t T valabilă pentru

opţiuni europene cu aceleaşi caracteristici poate fi demonstrată şi cu ajutorul formulelor Black-Scholes2. 2. Paritatea PUT-CALL în cazul în care activul suport este un contract futures se scrie: ( ) ( ) ,r T t r T t

t t tC E e P F e t T .

Aplicaţii: 1. Un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend este un instrument financiar derivat a cărui valoare depinde de valoarea activului suport. Verificaţi această afirmaţie folosind ecuaţia Black-Merton-Scholes. Preţul unui contract forward (poziţie long) emis la momentul 0 0t cu scadenţa la T şi

care este evaluat la momentul 0t t T este: 0 0( , , ) r tt L tD f t t T S S e .

0 ; 1; 0;r tt t t

t t

D D Dr S e

t S S

2 2

0 0

11 0 ( )

2r t r t

t t t tr S e r S S r S S e r D c.c.t.d.

2. Cursul curent al unei acţiuni este 100 . .tS u m , volatilitatea sa este 20% , rata

dobânzii fără risc pe piaţă este 10%r . Se emit opţiuni CALL şi PUT de tip

2 Vezi suportul de curs de la adresa web: http://www.dofin.ase.ro/lectures.php


25

european, cu scadenţa peste 6 luni şi care au un preţ de exercitare 100 . .E u m Determinaţi valuarea curentă a opţiunilor CALL şi PUT emise.

( )1 2( ) ( )r T t

t tC S N d E e N d 22

1

2 1

100 0,2ln (0,1 ) 0,5ln ( ) ( )

100 22 0,4243( ) 0,2 0,5

( ) 0,4243 0,2 0,5 0,2828.

tSr T t

EdT t

d d T t

1

2

( ) (0,4243) (0,42) 0,43 [ (0,43) (0,42)]

0,6628 0,43 (0,6664 0,6628) 0,6643.

( ) (0,2828) (0,28) 0,28 [ (0,29) (0,28)] 0,6113.

N d N N N N

N d N N N N

0,1 0,5100 0,6643 100 0,6113 8,2778 . .tC e u m

Valoarea opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici ca şi opţiunea CALL o determinăm utilizând teorema de paritate PUT-CALL:

( ) 0,1 0,58, 2778 100 100 3,4007 . .r T tt t tP C E e S e u m

3. Determinaţi valoarea unei opţiuni de tip european care dă dreptul la cumpărarea peste 9 luni a unui dolar canadian la preţul de 0,75 USD. Cursul spot este 1CAD = 0,75USD iar volatilitatea cursului de schimb CAD/USD este 4% pe an. Ratele de dobândă în procente pe an în Canada şi SUA sunt 9% şi respectiv 7%. Suportul opţiunii este CAD şi de aceea 9%.f CADr r

2 2

1

2 1

0,04ln ( ) ( ) 0 (0,02 ) 0,75

2 2 0,4157.( ) 0,04 0,75

( ) 0,4503.

tf

Sr r T t

EdT t

d d T t

1

2

( ) ( 0,4157) ( 0,41) 0,57 [ ( 0,41) ( 0,42)] 0,3388.

( ) ( 0,4503) ( 0,45) 0,03 [ ( 0,45) ( 0,46)] 0,3262.

N d N N N N

N d N N N N

( ) ( )1 2

0,09 0,75 0,07 0,75

( ) ( )

0,75 0,3388 0,75 0,3262 0,0054 .

fr T t r T tt tC S e N d E e N d

e e USD

Preţul opţiunii PUT corespunzătoare o putem determina utilizând teorema de paritate

PUT-CALL: ( ) ( ) 0,016 .

r T tfr T te

t t tP C E e S e USD

4. Un activ are un curs de piaţă 0 100 . .S u m Pentru acest activ se emit contracte

futures cu scadenţa peste 9 .T luni Rata dobânzii pe piaţă este 10%.r Pentru contractele futures se emit opţiuni CALL şi PUT cu scadenţa tot peste 9 luni, preţul


26

de exercitare fiind egal cu preţul la termen pentru ambele tipuri de opţiuni. Volatilitatea preţului futures este 20%. Determinaţi prima opţiunilor emise.

0r TF S e E (opţiunile sunt emide la bani sau at the money).

0 1 2 0 1 2

2

1

2 1 1

( ) ( ) [ ( ) ( )]

ln2

2

.2

r T r TC e F N d e E N d S N d N d

FT

Ed TT

d d T T d

De unde: 2 1( ) ( )N d N d .

0 0 1 2 0 1

0, 2[ ( ) ( )] [2 ( ) 1] 100 [2 ( 0,75) 1] 6,9012.

2C S N d N d S N d N

Din teorema de paritate: .r T r Tt t t tP F e C E e P C

5. Un investitor dispune de o sumă de bani A cu care poate cumpăra exact 100 acţiuni ale firmei M&N. În cazul în care suma este depusă la bancă cu dobândă continuă, după 9 luni ea devine B . Cu suma A investitorul poate cumpăra exact 1000 opţiuni CALL cu scadenţa peste 9 luni, având preţul de exercitare 0,01E B şi având ca suport această acţiune. Să se calculeze volatilitatea a acţiunii (volatilitatea implicită).

( ) ( ) ( )100 ; ; 1000 ; 0,01 0.01 .r T t r T t r T tA S B A e A C E B A e S e ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2

22

( )

1

2 1

1000 1000 [ ( ) ( )] 10 ( ) 10 ( )

( ) ( ) 0,1

ln ( ) ( )ln ( ) ( )22 ( )

2( ) ( )

r T t r T t r T t

tr T t

A C S N d E e N d A N d A e e N d

N d N d

SSr T tr T t

S eEd T tT t T t

d d

1 2 1 1 1

1

1

( ) ( ) 0,1 ( ) ( ) 0,1 2 ( ) 1,1

( ( )) 0,55 ( ) (0,55)2 2

(0,12 ) (0,12) 0, [ (0,13) (0,12)] 0,55

(0,55) 0,1256 29%.

N d N d N d N d N d

N T t T t N

N x N x N N

N

Seminar 6: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

27

Seminar 6: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită Indicatorii de senzitivitate cuantifică variaţia primei opţiunii la o modificare cu o unitate a factorilor care influenţează valoarea opţiunii respective: ( , , , , , )D S E r T t q . D = CALL D = PUT

Delta:D

S

( )1 0q T t

C e N d ( )1 0q T t

P e N d

Nabla: D

E

2 0r T t

C e N d 2 0r T tP e N d

Gamma: 2

2

D

S

21

2( ) 1

02

d

q T tC

ee

S T t

21

2( ) 1

02

d

q T tP

ee

S T t

Rho: D

r

2 0r T t

C T t E N d e 2 0r T t

P T t E N d e

Vega: D

21

2( ) 0

2

d

q T tC

ee S T t

21

2( ) 0

2

d

q T tP

ee S T t

Miu: D

q

( )

1( ) ( ) 0q T tC S e T t N d ( )

1( ) ( ) 0q T tP S e T t N d

Theta: 1 ( )C C

C C

t T t

1 ( )P P

P P

t T t

Dacă dezvoltăm în serie Taylor funcţia ( )D S în jurul unei valori curente 0S obţinem

aproximarea modificării valorii derivativului (CALL sau PUT) la o modificare mică a valorii cursului activului suport:

Aproximarea D :

1 0 1 0( ) ( ) ( )CC S C S S S pt. modificări mici ale cursului 1 0 1 . .S S u m

Aproximarea D-G :

21 0 1 0 1 0

1( ) ( ) ( ) ( )

2C CC S C S S S S S pt. modificări relativ mai mari ale

cursului 1 0 1 . .S S u m


28

Aplicaţii:

1. O acţiune are în prezent un curs de piaţă 0 180S , volatilitatea estimată este de

32% iar rata dobânzii fără risc pe piaţă este 9,5%r . Se emit opţiuni CALL şi PUT având ca suport această acţiune, preţul de exercitare 190E şi scadenţa peste 9 luni. Determinaţi:

a. Prima opţiunilor put şi call la momentul curent.

b. Pentru cele două opţiuni să se determine indicatorii de senzitivitate:

(Delta); (Gamma); (Nabla); şi (Vega).

c. Determinaţi noua valoare a opţiunii call dacă valoarea acţiunii suport devine

1 181.S

d. Determinaţi noua valoare a opţiunii put în situaţia în care valoarea acţiunii suport devine 2 177.S

e. Ştiind că un investitor are un portofoliu format din 1 2.500N opţiuni call,

poziţie long şi 2 3.200N opţiuni put, poziţie short, să se calculeze suma investită,

precum şi indicatorii

(Delta); (Gamma); (Nabla); şi (Vega)

ai portofoliului.

f. Cu cât se modifică valoarea acestui portofoliu dacă cursul acţiunii suport scade cu o unitate?

g. Să se precizeze numărul de acţiuni care trebuie cumpărate sau vândute, astfel încât portofoliul să devină neutral .

h. Ce poziţii trebuie să ia acest investitor pe cele două opţiuni existente pe piaţă şi pe activul suport a.î. portofoliul său să devină neutral .

Rezolvare:

a. Formulele de evaluare Black-Scholes (cazul fără dividend):

1 2r T tC S N d E e N d şi 2 1

r T tP E e N d S N d , unde


29

2

1

ln ( )2

Sr T t

Ed

T t

şi 2 1d d T t .

Dacă se cunoaşte valoarea uneia dintre prime, call sau put, valoarea celeilalte se poate determina folosind relaţia de paritate put-call:

r T tt t tP S C E e .

Obţinem: 1 0, 2006d ; 2 0,0766d ; 1 0,5795N d ; 2 21 0, 4695N d N d ;

0 021,2388 şi 18,1723C P .

b. Indicatorii de senzitivitate pentru opţiunea call:

21

2

1

1;

2

d

C C

eN d

S T t

;

2r T t

C e N d ;

21

21

2

d

C S T t e

;

Obţinem: 0,5795C ; 0,0078C ; 0, 4372C şi 60,9506C .

Indicatorii de senzitivitate pentru opţiunea put:

1 11 1P C N d N d ;

21

21

2

d

P C

e

S T t

;

2r T t r T t

P C e e N d ;

21

21

2

d

P C S T t e

;

Obţinem: 0,4205P ; 0,0078P ; 0, 4940P ; 60,9506P şi 70,3992P .


30

c. 1 0 1 0( 181) ( ) 21,2388 0,5795 1 21,8183CC S C S S

d. Modificarea cursului suport este mai consistentă decât în cazul precedent, aşadar:

22 0 2 0 2 0

2

1( 177) ( ) ( )

21

18,1723 0,4205 ( 3) 0,0078 ( 3) 19,46892

P PP S P S S S S

e. Valoarea portofoliului este:

1 2 5.054,36N C N P (investitorul are un venit la momentul formării

portofoliului).

Indicatorii de senzitivitate pentru portofoliu sunt:

1 2 2.794,3630C PN N ; 1 2 5, 4868C PN N ;

1 2 2.673,8935C PN N ; 1 2 42.665,4202C PN N ;

f. 1 0 1 0( ) 2.794,363 ( 1) 2.794,363.S S

g. În acest caz investitorul realizează o operaţiune de hedging static prin care se protejează împotriva variaţiilor mici ale cursului activului suport.

Trebuie vândute 2.794,363 acţiuni. Noul portofoliu va fi format din: * 2500 3200 2794,363C P S având indicatorul * 0.

h. În acest caz investitorul realizează o operaţiune de hedging static prin care se protejează împotriva unor variaţii mai mari ale cursului activului suport.

Preupunem că investitorul introduce în portofoliul său x unităţi din activul suport şi y unităţi noi de opţiuni CALL (putem alege opţiunea PUT ca derivativ pt. această operaţiune de hedging). Investitorul va avea de rezolvat următorul sistem de ecuaţii:

1 0 2.794,363 0,5795 0

0 0 5, 4868 0,0078 0C

C

x y x y

x y y

unde am ţinut cont că pentru activul suport este 1S

S

S

iar

2

20S

S

S

.

Poziţie short pe 2.835,127x acţiuni şi poziţie long pe 703,436y opţiuni call.


31

2. Pentru acţiunile firmei M&N se cunosc: 87, 28%, 0S q iar rata dobânzii pe piaţă este 10%r . Pentru o opţiune de tip CALL cu suport acţiunea M&N şi scadenţa peste 9 luni se cunosc următorii indicatori de senzitivitate:

10,5199, 0,016846, 9,4486.

Determinaţi prima opţiunii CALL. Rezolvare: Din ecuaţia Black-Merton-Scholes:

22 2

2

2 21

2 2

1

21 1

( )2

1 1( 9,4486 0,1 87 0,5199 0,28 87 0,016846) 6,4733

0,1 2

t t tt t t

C C Cr S S r C

t S S

r S S Cr

C

3. Calculaţi volatilitatea implicită pentru preţul futures ştiind că preţul pe piaţă al unei opţiuni PUT cu suport contractul futures este 20 u.m. Preţul curent al contractului futures este 525 . .F u m iar preţul de exercitare al opţiunii este

525 . .E u m Scadenţa opţiunii este peste 5 luni iar rata dobânzii pe piaţă este 6%.

Rezolvare: Practic volatilitatea implicită va fi soluţia următoarei ecuaţii: ( ) piaţăP P care, în

general, poate avea o soluţie analitică sau nu. În acest caz putem rezolva această ecuaţie analitic.

( ) ( ) ( )2 1 2 1( ) ( ) [ ( ) ( )]r T t r T t r T tP E e N d F e N d F e N d N d

2

1

2 1

ln ( )2

2

Sr T t

Ed T t

T td d

( )1[2 ( ) 1]r T tP F e N d de unde

15( ( )) 0,5195 (0,5195) 0,04 ... 0,0489

2 2 1215,15%.

N T t N x

Obs. Volatilitatea implicită reprezintă acea valoare a volatilităţii care egalizează preţul opţiunii obţinut din model cu preţul opţiunii observabil pe piaţă.

Seminar 7: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

32

Seminar 7: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) Ipoteze: i) Bilanţul simplificat al firmei este reprezentat astfel:

Capitaluri proprii ( t tE sau CP ) Active ( t tA sau V )

Datoria ( t tD sau P )

ii) Datoria firmei este contractată sub forma unei obligaţiuni zero-cupon cu valoarea nominală F ( L sau VN ) şi cu scadenţa la momentul T .

iii) Activele firmei urmează o ecuaţie de dinamică de tip Ito: t A t A tdA A dt A dz .

iv) Capitalurile firmei au valoare reziduală

( ) ( , )

( , )

r T tt t t

t t t

D F e P F A

E C F A

unde

2

1

2 1

ln ( ) ( )2

t A

A

A

Ar T t

FdT t

d d T t

Obs.

tP se mai numeşte put to default şi se „exercită” în situaţia în care firma intră în faliment

(sau echivalent, atunci când t tA D ).

Probabilitatea de nerambursare a creditului de către firmă (aceeaşi cu probabilitatea ca firma să intre în faliment, deci cu probabilitatea ca tP să se exercite) este 2( )N d .

Valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment este: ( ) 1

2

( )

( )r T t

t

N dA e

N d

.

t t tA E D


33

Aplicaţii: 1. a) Valoarea activelor unei firme este A0, iar volatilitatea A . Firma are luat un împrumut sub formă de bond zero cupon cu valoarea nominală F şi scadenţa T. Să se determine volatilitatea datoriei, a acţiunilor firmei şi coeficientul de corelaţie între acţiuni şi debit. b) 0 110.000A = , 90.000F = , 78%A , 6 T ani= , 12%r = . Să se calculeze

D , E şi DE , precum şi prima de risc aplicată creditului. c) Determinaţi valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment. Care este probabilitatea de nerambursare a creditului? Rezolvare: a) Activele urmează un proces de tip Ito: t A t A tdA A dt A dz .

Datoriile pot fi exprimate ca o funcţie de activele firmei: ( , )tD t A .

Aplicând lema Ito funcţiei ( , )tD t A obţinem:

22 2

2

1( )

2 tt A t A A t

D D D DdD A A dt A dz

t A A A

tot un proces Ito care poate fi exprimat şi sub forma:

t D t D tdD D dt D dz

Egalând părţile stochastice ale celor două forme de exprimare pentru procesul tdD ,

obţinem:

1

( ( , ))( )t t t t t

D A A At t t

A A P F A ADN d

D A D A D

.D A

În mod similar obţinem o formulă pentru volatilitatea acţiunilor (capitalurilor) firmei:

1

( ( , ))( )t t t t t

E A A At t t

A A C F A AEN d

E A E A E

.E A

Pentru coeficientul de corelaţie dintre debit şi capitaluri pornim de la relaţia bilanţieră:

t t tA D E , pentru care scriem relaţia corespunzătoare între varianţele exprimate în

procente: 2 2

2 2 2,2A D E D E D E

D E D E

A A A A

şi înlocuind cu formulele deduse

2 21 1 1 1 ,

2 21 1 1 1 ,

1 1 1 , ,

1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

1 ( ) [1 ( )] 2 ( ) [1 ( )]

1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1.

D E

D E

D E D E

N d N d N d N d

N d N d N d N d

N d N d N d


34

Fiind afectate de acelaşi factor de incertitudine (exprimat prin procesul Wiener fundamental dz ), capitalurile şi datoriile firmei sunt perfect corelate.

b)

20

1 1

ln ( )2 1, 4372; ( ) 0,9247.

A

A

Ar T

Fd N dT

2 1 20, 4734; ( ) 0,318.Ad d T N d

0 0 0 1 2

0 0 0

( ) ( ) 87.784, 4

22.215,6

r TE C A N d F e N d

D A E

,

110.0000,78 (1 0,9247) 29,1%

22.215,6

110.0000,78 0,9247 90,38%

87.784, 4

1.

D

E

D E

Prima de risc:

00

1ln 23,32%

11,32%.

y T FD F e y

T D

y r

unde y reprezintă rata dobânzii cu risc percepută de creditori firmei iar prima de risc percepută peste rata fără risc a pieţei.

c) Valoarea medie de recuperare în caz de faliment este: ( ) 1

2

( )24.961,04.

( )r T t

t

N dA e

N d

Probabilitatea de faliment a firmei: 2( ) 68, 2%N d , ceea ce explică prima de risc de

credit însemnată ca mărime. 2. Valoarea activelor unei firme este 100.000 u.m. iar volatilitatea acestora este

65%A . Firma a beneficiat de un credit luat sub forma unei obligaţiuni zero

cupon cu valoarea nominală 80.000 u.m. şi scadenţa peste 6 ani. Rata dobânzii pe piaţă este r = 10% . Determinaţi: a) Valoarea iniţială a datoriei firmei şi volatilităţile datoriei respectiv acţiunilor firmei. b) La sfârşitul anului 3, firma decide să-şi refinanţeze creditul, în situaţia în care activele sale în acest moment valorau 125.000 u.m. Calculaţi ce primă de risc va fi aplicată firmei de către noii creditori.


35

Rezolvare: a) tA : valoarea activelor firmei la momentul t .

0 0

0 0 0

0

01

0

01

0

( , ) 26.584,61 . .

73.415,39 . .

( , ) 17.320,32 . .

( ) 23,12%

( ) 80,16%.

r T

D A

S A

D F e Put A T u m

E A D u m

Put A T u m

AN d

D

AN d

CP

b)

( 3)3 3

3

( , 3) 45.759,49 . .

1ln 8,62%

3

r TD F e Put A T u m

Fr

T D

3. Valoarea de piaţă a activelor unei firme este 89.000A , ea având un credit (obligaţiune 0-cupon) cu valoarea nominală 70.000, 5 , 60%, 12%.F T ani r

a) Să se calculeze valoarea debitului 0D , precum şi prima de risc aplicată.

b) Să se calculeze următorii indicatori de senzitivitate: 0 0 0; ; ,A

D D D

A F

menţionându-se monotonia funcţiei 0 0 ( , , ).AD D A F

Rezolvare: a) b)

0

0

27.191,6046

( , ) 11.225, 2099

6,9117%.

D

P A F

01

( ) ( )02

0

( ) 0,0973;

( ) 0,26473;

34.236,09.

P

r T t r T tP

pA

DN d

AD

e e N dFD

Aplicaţii propuse

36

Aplicaţii propuse

Noţiuni introductive

[1] Un investitor din România are de făcut plăţi peste 9 luni în valoare de 6,6 milioane RON iar în acest scop el va primi 1 milion EUR şi 1 milioan USD. Cursurile de schimb în prezent sunt 1 EUR = 3,6 RON şi 1 USD = 3 RON. Ratele dobânzilor sunt

5%, 4%, 6%.eur usd leur r r Cercetaţi dacă investitorul poate utiliza o schemă de

hedging utilizând contracte forward (cu suport EUR şi USD) astfel încăt să obţină o acoperire completă.

Relaţia de paritate put-call

[2] Se cunoaşte că: 100S ; 110E ; 6 luniT t ; 10%r şi 7,9263C . Aplicând relaţia de paritate put-call, să se calculeze prima put.

[3] Primele call, respectiv put, având ca suport aceeaşi acţiune sunt: 17,2808C şi 12,9118P . Se ştie că 105S E , iar 6 luniT t . Să se calculeze rata dobânzii

r .

Modelul Binomial

[4] Să considerăm un PUT european pe o acţiune ce nu distribuie dividende. Preţul acţiunii ( S ) este egal cu 87€ la data 0. Se cunosc următoarele date de piaţă: preţul de exercitare al opţiunii ( K ) este egal cu 83€; durata de viaţă a opţiunii este de 3 luni; rata dobânzii fără risc anuală şi continuă ( r ) este de 7%, volatilitatea anuală a preţului acţiunii (s ) este de 15%. Determinaţi prima opţiunii PUT la data 0 utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein (modelul Binmial) cu 4 perioade.

[5] Să considerăm o opţiune put europeană al cărei activ suport are preţul S la data 0. La data 1, acest activ suport poate avea două valori: ( )1S i⋅ + cu o probabilitate egală cu

q şi ( )1S i⋅ - cu o probabilitate egală cu 1 q- . Folosind noţiunile de portofoliu fără

risc şi de absenţa a oportunităţilor de arbitraj (AOA),

i) Determinaţi prima opţiunii put ştiind că preţul de exercitare este egal cu S (opţiunea este la bani) şi că rata dobânzii fără risc este r ;

ii) Determinaţi prima opţiunii put utilizând un model binomial cu două perioade. Valorile

finale ale activului suport sunt (la data 2): ( )21S i⋅ + ; ( ) ( )1 1S i i⋅ + ⋅ - şi ( )2

1S i⋅ - ;

iii) Reluaţi primele două cerinţe ale exerciţiului considerând că: 1000S = , 10%i = şi 0%r = .

Aplicaţii propuse

37

Aplicaţii la Lema Ito

[6] Determinaţi procesul urmat de variabila stochastică ( )Z t (ecuaţia diferenţială stochastică) pentru următoarele situaţii:

a) ( )( ) x tZ t e unde 0( ) , (0) .tdx t dt dB x x

b) 2( ) ( )Z t x t unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB

c) 1

( )( )

Z tx t

unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB

[7]

a) Se cunosc: 0,14 ; 24% şi 0 100S . Să se determine cu o probabilitate de 99%

intervalul în care se va afla preţul activului la momentul 3 luniT .

b) Se cunosc: 0,05 ; 15% şi 0 200S . Să se determine cu o probabilitate de 95%

intervalul în care se va afla preţul activului la momentul 18 luniT .

Modelul Black-Scholes şi indicatori de hedging

[8]

a. Să se calculeze prima opţiunilor put şi call având ca suport o acţiune. Se cunosc următoarele elemente:

150; 150; 18 luni; 5%; 15%.S E T t r

b. Pentru cele două opţiuni să se determine indicatorii de senzitivitate:

(Delta); (Gamma); (Nabla) şi (Rho).

c. Ştiind că un investitor are un portofoliu format din 1 500N opţiuni call, poziţie long

şi 2 1.200N opţiuni put, poziţie short, să se calculeze suma investită, precum şi

indicatorii:

(Delta); (Gamma); (Nabla) şi (Rho)

ai portofoliului.

d. Să se precizeze numărul de acţiuni care trebuie cumpărate sau vândute, astfel încât portofoliul să devină neutral .

Aplicaţii propuse

38

[9] Pentru problema 8 să se determine noile prime call şi put, precum şi noua valoare a portofoliului dacă:

a. S devine 149;

b. E devine 151;

c. r devine 4%.

[10] Se cunoaşte că 80S ; 35% şi 10%r . Un investitor cumpără un portofoliu format din 2.000 opţiuni call cu 90E şi 6 luniT t şi 3.000 opţiuni put cu

90E şi 6 luniT t . Să se calculeze:

a. Suma de bani plătită de către investitor;

b. Indicatorii şi ai acestui portofoliu.

[11] Preţul spot al unei acţiuni este 0 1.570S . Pentru o opţiune call ce are ca activ suport

acţiunea precedentă se cunosc: indicatorii de hedging 0,5240 şi 0,0012 şi

preţul opţiunii call 0 126,1165C . Să se determine noul preţ al opţiunii call, dacă

preţul spot al acţiunii suport devine 1 1.450S .

[12] Preţul o opţiune put se cunosc: 0 43,5654P 0 1.050S ; 25% ; 15 luniT t şi

1 0,7615d . Să se determine noul preţ 1P al opţiunii put, dacă preţul spot al acţiunii

suport devine 1 1.250S .

Evaluarea frmei utilizând Modelul Black-Scholes

[13] Valoarea activelor unei firme este 0 100.000A , iar volatilitatea este 60%A .

Valoarea nominală a creditului este 80.000F , cu scadenţa 7 aniT . Rata dobânzii este 12,5%r . Să se calculeze:

a. Valoarea 0D a creditului;

b. Valoarea 0E a capitalului propriu;

c. Prima de risc percepută de creditor;

d. Volatilitatea 0D debitului în momentul iniţial.

[14] Valoarea activelor unei firme este 0 500.000A , iar volatilitatea este 85%A .

Valoarea nominală a creditului este 300.000F , cu scadenţa 15 aniT . Rata dobânzii este 5%r . Să se calculeze:

Aplicaţii propuse

39

a. Valoarea 0D a creditului;

b. Valoarea 0E a capitalului propriu;

c. Prima de risc percepută de creditor;

d. Volatilitatea 0D debitului în momentul iniţial.

Rezolvări

[1] Rezolvare:

Riscul pentru investitor este de scădere a cursurilor date. Calculăm:

( )0

( )0

3,627 /

3,045 /

ron eur

ron usd

r r Teureur

r r Tusdusd

F S e ron eur

F S e ron usd

- ⋅

- ⋅

= ⋅ =

= ⋅ =.

Investitorul va lua poziţie short pe 1 mil USD şi 1 mil EUR cu scadenţa peste 9 luni. La scadenţă va obţine exact 6,672 mil. RON adică suficient pt. a-şi face plăţile în valoare de 6,6 mil. RON. Obs. Dezavantajul acoperirii prin forward constă în faptul că valoarea finală a investiţiei este fixată. Spre deosebire de forward, o acoperire prin long PUT are avantajul că limitează riscul pierderii din scăderea cursului dar în acelaşi timp lasă posibilitatea obţinerii unor câştiguri din evoluţia favorabilă a cursului (în acest caz creşterea cursurilor mondei naţionale) dar contra plăţii primei la iniţierea operaţiunii de hedging.

[2] Conform relaţiei de paritate put-call:

r T tp S c E e .

Obţinem 12,5615r T tp c E e S .

[3] Din relaţia de paritate put-call:

Aplicaţii propuse

40

1ln 27,9967%

p c Sr

T t E

.

[4] Arborele binomial arată astfel:

At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 83Discount factor per step = 0.9956Time step, dt = 0.0625 years, 22.81 daysGrowth factor per step, a = 1.0044 101.0796Probability of up move, p = 0.5491 0Up step size, u = 1.0382 97.35929Down step size, d = 0.9632 0

93.77592 93.775920 0

90.32444 90.324440.206897 0

87 87 870.782255 0.460837 0

83.79791 83.797911.49045 1.02646

80.71368 80.713682.758656 2.286317

77.742974.894699

74.881598.118406

Node Time: 0.0000 0.0625 0.1250 0.1875 0.2500

[5]

q S(1+i) iar 0up =

S 1-q S(1-i) iar ( ) 1d Tp E S S S i S i= - = - ⋅ + = ⋅

1.000; 0,1; 0%.E S i r= = = =

(1 ) (1 )

0.51 (1 ) 2

r re i e iq

i i i

şi 0 { 0 (1 ) } (1 ) 50r rp e q q S i S i q e

Aplicaţii propuse

41

S(1+i)2 iar 2 0u

p =

q S(1+i)

S S(1+i)(1-i) iar ( )2 2p = 1 ud S S i S i- ⋅ - = ⋅

1-q S(1-i)

S(1-i)2 iar ( ) ( )2

2 1 2

dp S S i S i i= - ⋅ - = ⋅ ⋅ -

2

2

{ 0 (1 ) } 5

{ (1 ) 2 } 100

ru

rd

p e q q S i

p e q S i q S i i

0 { 5 (1 ) 100} 52,5rp e q q .

[6] Prin aplicarea lemei Ito, pentru fiecare caz se obţine:

a) ( )( ) x tZ t ea⋅= unde 0( ) , (0) .tdx t dt dB x x

2( ) 2 ( )

2

( ) 2 2 ( ) ( )

0; ;

1( )

2

x t x t

x t x t x tt t

Z Z Ze e

t x x

dZ e e dt e dB

a a

a a a

a a

m a s a s a

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

¶ ¶ ¶= = ⋅ = ⋅

¶ ¶ ¶

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

b) 2( ) ( )Z t x t unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB

2

2

2 2 2 2 2 2 2

0; 2 ; 2

(2 ) 2 2 ( ) 2 .t t t

Z Z Zx

t x x

dZ x x dt x dB x dt x dBa s s a s s

¶ ¶ ¶= = =

¶ ¶ ¶= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ ⋅

c) 1

( )( )

Z tx t

unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB

2

2 2 3

2 2

1 20; ;

( )t t t

Z Z Z

t x x x x

dZ dt dB dt dBx x x x x

a s s s a s

¶ ¶ ¶= =- =

¶ ¶ ¶-

= - + - = -

[7] Intervalul în care se va afla cursul peste T ani este dat de expresia:

2 21 1

2 20 0

T T T T

TS e S S e

Aplicaţii propuse

42

a) Se obţine intervalul: 75, 4425; 140,1299 ;

b) Se obţine intervalul: 147,8750; 303,8449 .

[8]

a. Formulele de evaluare Black-Scholes:

1 2r T tC S N d E e N d şi 2 1

r T tP E e N d S N d , unde

2

1

ln ( )2

Sr T t

Ed

T t

şi 2 1d d T t .

Dacă se cunoaşte valoarea uneia dintre prime, call sau put, valoarea celeilalte se poate determina folosind relaţia de paritate put-call:

r T tP S C E e .

a. Obţinem: 1 0,5001d ; 2 0,3164d ; 1 0,6915N d ; 2 0,6241N d ;

16,8675 şi 6,0291C P .

b. Indicatorii de senzitivitate pentru opţiunea call:

21

2

1

1;

2

d

c c

eN d

S T t

; 2r T t

c e N d ; 2

r T tc T t E N d e .

Obţinem: 0,6915c ; 0,0128c ; 0,5790c şi 130, 2860c .

c. Indicatorii de senzitivitate pentru opţiunea put:

1 11 1p c N d N d ;

21

21

2

d

p c

e

S T t

;

2r T t r T t

p c e e N d ;

r T tp c T t E e .

Aplicaţii propuse

43

Obţinem: 0,3085p ; 0,0128p ; 0,3487p şi 78,4563p .

d. Costul portofoliului (poziţiile long se introduc cu semnul plus iar cele short cu semnul minus) este:

1 2 1.198,8947N c N p .

Indicatorii de senzitivitate pentru portofoliu sunt:

1 2 715,9506c pN N ; 1 2 8,9427c pN N ;

1 2 707,9580c pN N ; 1 2 159.290,5439.c pN N .

e. Pentru a forma un portofoliu D -neutral investitorul tranzacţionează activul suport S :

1

1

0 715,9506

x S

x xp p p

p p= + ⋅

D =D + = =-D =-

Trebuie vândute 715,9506 acţiuni.

[9]

a. Avem: 1 0

1 0C

C C C

S S S

; P

P

S

; 1S .

0,6915CC S ; 0,3085PP S .

1 0 16,176C C C ; 1 0 6,3376P P P ; 1 478,4384 .

b. Avem: C

C

E

; P

P

E

; 1E .

0,5790CC E ; 0,3487PP E .

1 0 16,2885C C C ; 1 0 6,3778P P P ; 1 486,4611 .

c. Avem: C

C

r

; P

P

r

; 0,01r .

1,30286CC r ; 0,784563PP r .

1 0 15,5646C C C ; 1 0 6,8136P P P ; 1 429,0603 .

Aplicaţii propuse

44

[10]

a. Obţinem: 1 0,1501d ; 2 0,3976d ; 1 0, 4403N d ; 2 0,3455N d ;

5,6518 şi 11,2624C P ; 45.090,7133 .

b. 798,3669 ; 1.210,6674 .

[11]

2

1 0 1 0 1 0

1

2C CC C S S S S .

Se obţine: 1 0 54,24C C şi 1 71,8765c .

[12] 1 0,7768N d ; 1 1 0, 2232P N d şi

21

210,0010

2

d

P

e

S T t

.

Folosind formula: 2

1 0 1 0 1 0

1

2P PP P S S S S , obţinem: 1 18,9254P .

[13] Creditorii deţin un portofoliu format dintr-o obligaţiune, poziţie long şi o opţiune put, având preţul de exerciţiu F , poziţie short:

10 00, r TrTD F e P A F e .

Acţionarii deţin o poziţie long pe o opţiune call, având preţul de exerciţiu F :

0 0 1 2r T tE A N d F e N d .

Relaţia bilanţului:

0 0 0A D E .

a. 0 22.191,0143D .

b. 0 77.808,9857E .

c. Prima de risc se obţine din formula 1r r , unde 01

1ln

Dr

T F

. Obţinem

5,82% .

Aplicaţii propuse

45

d. Volatilitatea debitului este 01

0

0 ( )D A

AN d

D . Obţinem 0 18,58%D .

[14]

a. 0 25.251,5075D .

b. 0 474.748, 4925E .

c. 11,50% .

d. 0 35,73%D .

Date post:	12-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

CATEDRA DE MONEDĂ - ase.ro · Teorema de paritate CALL – PUT Aplica ţ ie a ipotezei absen ţ ei...

Documents