Capitolul 1 SPATII VECTORIALE

8/7/2019 Capitolul 1 SPATII VECTORIALE

1/23

CAPITOLUL 1

SPAII VECTORIALE

1.1. Noiunea de spaiu vectorial

Fie V o mulime nevid. Fie (K,+,) un corp n raport cuoperaiile + i .

Elementele corpului Kle vom numi scalari sau numere.Pe mulimea V introducem legea : VVV : ,

( ) yxyx =, care este o lege de compoziie intern pe V, iar pecorpul Kintroducem legea de compoziie extern: VV: ,

( ) xx = , .

DEFINIIA 1.1.1.

Mulimea nevid V peste care s-au introdus dou operaii : ( ) yxyx =, i ( ) xx = ,

prima, intern pe V, cea de-a doua, extern cu valori din K, se

numete spaiu vectorial (liniar) peste corpul K, dac suntsatisfcute proprietile:

( ),V formeaz un grup abelian, adic adunarea este asociativ,are element neutru , are element simetric, i este comutativ.

1) xx =1 , oricare ar fi elementul x din V.2) )()()( xxx +=+ , oricare ar fi xi y din V,

i din K.3) )()( xx = , oricare ar fi xi y din V, i dinK.4) )()()( yxyx = , oricare ar fi xi y din V, i din K.

EXEMPLUL 1:

Fie V = Rn spaiul real n dimensional , iarK = R.

|)x,,x,x({x RRR Tn21n == xi aparinnd lui R, i = 1, ,n }.


2/23

Dacx aparine lui Rn , atunci vom nota : ( )Tn

n

xxx

x

x

x

x ,,, 212

1

=

=

Fie y din spaiul Rn ,

=

ny

y

y

y

2

1

.

Introducem notaiile:

+

+

+

=

nn yx

yx

yx

yx

22

11

i

=

nx

x

x

x

2

1

.

Artm c( Rn , R ) este un spaiu vectorial real , n-dimensional.

1) asociativitatea rezult din asociativitatea numerelor reale

2) elementul neutru este:

=

0

0

0

.

3) elementul simetric este :

=

nx

x

x

x

2

1

4)

comutativitatea rezult din comutativitatea adunriinumerelor reale

1) xx

x

x

x

n

=

=

1

1

1

12

1


3/23

2) )()()( 2211

xx

xx

xx

xx

x

nn

=

+

+

+

=+

3)

=

nx

x

x

x

2

1

=

nx

x

x

x

2

1

deci:

+

+

+

=

nn xx

xx

xx

xx

22

11

)()(

DEFINIIA 1.1.2.

Elementele unui spaiu vectorial le vom numi vectori.

DEFINIIA 1.1.3.

Elementele corpului Kle vom numi scalari.

EXEMPLUL 2 :

Fie Pn [x] mulinea tuturor polinoamelor de gradul n cucoeficieni reali.

Dacp aparine mulimii Pn [x] , atunci p(x) = a0 + a1x1 + + an x

n , unde a este diferit de zero.Dacq aparine mulimii Pn [x] , atunci q(x) = b0 + b1x1 +

+ bn xn , unde b este diferit de zero.

))(( xqp =n

nn xbaxbaba )()( 1100 ++++++ ))(( xp =

nn xaxaa +++ 110


4/23

Din aceste dou relaii observm c mulimea Pn [x] nuformeaz un spaiu vectorial deoarece, dac avem an = -bn , n urmaadunrii rezult un polinom care nu este de gradul n .

Dac notm cu Pn [x] mulimea polinoamelor de grad maimic sau egal cu n i introducem aceste dou legi de compoziie,

atunci mulimea dat formeaz un spaiu vectorial.

PROPOZIIA 1.1.1.

Fie (V,K) un spaiu vectorial. Atunci elementul neutru esteunic.

DEMONSTRAIE:

Din propoziie tim c exist elementul neutru , oricare arfi vectorul x din mulimea V.

Aceasta nseamn c +x = x+= x.Presupunem c exist dou elemente neutre 1i 2. Atunci

fiecare din cele dou elemente neutre verific relaia de mai sus:

1+x = x+1 = x pentru orice x aparinnd mulimii V.2+x = x+2 = x pentru orice x aparinnd mulimii V.

Dac aceste relaii sunt adevarate pentru orice x aparinndmulimii V, atunci sunt adevarate i pentru care aparine mulimiiV. Astfel, putem scrie:

pentru x = 2 , 1+2 = 2+1 = 2pentru x = 1 , 2+1 = 1+2 = 1

Din cele dou relaii observm c1 = 2 , deci elementulneutru este unic.

1.2. Vectori liniar independeni i liniar dependeni; baz idimensiune

Fie (V,K) un spaiu vectorial.Fie x1, x2, , xn vectori care aparin mulimii V.Fie 1, 2,, n scalari care aparin corpului K.


5/23

DEFINIIA 1.2.1.

Relaia: =

=+++

n

i

iinn xxxx1

2211 se numete

combinaie liniar a vectorilorx1, x2 , , xn cu scalari din K.

DEFINIIA 1.2.2.

Vectorii x1, x2, , xn care aparin mulimii V se numescliniar independeni atunci cnd relaia :

(1 ) 1x1 + 2 x2 + + nxn = este adevrat daci numai dac toi scalarii sunt nuli: 1 = 2 = = n = 0.

DEFINIIA 1.2.3.

Dac relaia (1) are loc fr ca toi scalarii 1, 2 , , n sfie nuli,vectorii x1, x2 , , xn se numesc liniar dependeni.

EXEMPLUL 1:

Fie ( R3 , R ) un spaiu vectorial , fie x1 , x2 , x3 vectori din

acest spaiu vectorial:

=

0

11

1x,

=

1

01

2x,

=

1

10

3x.

S se arate c aceti vectori sunt liniar independeni.

1x1 + 2 x2 + + n xn =

=

+

+

00

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

321

=+

=+

=+

0

0

0

32

31

21

;

110

110

011

110

101

011

= = -2

ntruct determinantul este diferit de zero, soluia sistemuluieste 1 = 2 = 3 = 0 , deci vectorii x1 , x2 , x3 sunt liniarindependeni.


6/23

PROPOZIIA 1.2.1.

Fie (V,K) un spaiu vectorial. Vectorii x1 , x2 , , xn suntliniar dependeni dac i numai dac cel puin un vector este ocombinaie liniar a celorlali vectori.

DEMONSTRAIE:

1* Presupunem c x1 , x2 , , xk-1 , xk , xk+1 , , xn suntliniar dependeni i vom demonstra c cel puin un vector este ocombinaie liniar a celorlali. Vectorii fiind liniar independeni,nseamn c relaia :

1x1 + 2 x2 + + k-1xk-1 + kxk+ k+1xk+1 + + kxk= este adevrat fr ca toi scalarii s fie nuli.

Presupunem c k este diferit de zero. Atunci:

i

n

kii k

i

n

k

n

k

k

k

k

k

k

kk

k xxxxxxx

=

+

=

++++++=

1

11

1

22

11

2* Presupunem c cel puin un vector este o combinaieliniar a celorlali vectori i vom demonstra c vectorii sunt liniardependeni.

xk= 1x1 + 2 x2 + + k-1xk-1 + kxk+ k+1xk+1 + + n xn

1x1 + 2 x2 + + k-1xk-1 + (-1) xk+ k+1xk+1 + + n xn =

ntruct (-1) este un scalar diferit de zero, ultima relaiedemonstreaz c vectorii sunt liniar dependeni.

DEFINIIA 1.2.4.

Vectorii x1, x2 , , xn care aparin mulimii Vformeaz unsistem de generatori ai spaiului V, dac oricare ar fi vectorul x dinmulimea V, exist scalarii 1 , 2 , , n aparinnd corpului Kastfel nct s existe relaia:

x = 1x1 + 2 x2 + + n xn (3)

Altfel spus, x1 , x2, , xn formeaz un sistem de generatoridac oricare ar fi vectorul x din mulimea V, el se poate scrie ca ocombinaie liniar a vectorilorx1, x2 , , xn.


7/23

DEFINIIA 1.2.5.

Fie (V,K) un spaiu vectorial. Vectorii x1 , x2 , , xnformeaz o baz a spaiului V dac sunt ndeplinite urmatoarelecondiii:

1) vectorii x1, x2 , , xn formeaz un sistem de generatori.2)vectorii x1, x2 , , xn sunt liniar independeni.EXEMPLUL 2 :

Fie ( R3 , R ) un spaiu vectorial , fie x1 , x2 , x3 vectori din

acest spaiu vectorial:

=

0

1

1

1x,

=

1

0

1

2x,

=

1

1

0

3x.

n exemplul anterior am artat c aceti vectori sunt liniarindependeni.

n continuare vom arta c formeaz un sistem degeneratori.

tim c oricare ar fi vectorul x din R3, exist scalarii 1, 2,3 astfel nct :

x = 1 x1 + 2 x2 + 3 x3 ,

=

3

2

1

x

xx

x

==

+

+

3

2

1

321

1

1

0

1

0

1

0

1

1

x

x

x

x deci sistemul:

=+

=+

=+

332

231

121

x

x

x

este un sistem liniar, neomogen.Vectorii x1 , x2 , x3 formeaz un sistem de generatori

deoarece sistemul de mai sus este compatibil determinat.Astfel am demonstrat c vectorii x1, x2 , x3 formeaz o baz

n R3 .

DEFINIIA 1.2.6.

Dimensiunea spaiului vectorial V este egal cu numrulvectorilor unei baze.


8/23

PROPOZIIA 1.2.2.

Fie V un spaiu vectorial peste corpul K, dimensiuneaspaiului Vfiind n.

Fie B = { x1, x2 , , xn } o baz n spaiul V.

Atunci, oricare ar fi vectorul x din Vel se scrie n mod unicca o combinaie liniar de vectorii bazei.

DEMONSTRAIE:

Din ipotez tim c B = { x1 , x2 , , xn } este o baz.Aceasta nseamn c vectorii x1, x2 , , xn formeaz un sistem degeneratori i sunt liniar independeni.

ntruct vectorii x1

, x2

, , xn

formeaz un sistem degeneratori , nseamn c este verificat relaia:

x = 1x1 + 2 x2 + + n xn (1)Presupunem c x se scrie i sub forma:

x = 1x1 + 2x2 + + nxn (2)nmulind relaia (2) cu -1i adunnd-o cu relaia (1) vom

obine:x + (-x) = (1 1) x1 + (2 2 ) x2 + + (n n) xn =

Din aceast relaie i din faptul c vectorii subt liniarindependeni, rezult c:

1 1 = 0, 2 2 = 0, , n n = 0 , adic 1= 1,2 = 2, , 3 = 3.

Spaiul V este un spaiu vectorial de dimensiune n , iar}x,...,x,{xB n21= este o baz n V. Atunci, oricare ar fi vectorul x

din V, el se scrie n mod unic sub forma unei combinaii liniare devectorii bazei. Deci x se scrie sub forma:

x = 1x1 + 2 x2 + + n xn .

DEFINIIA 1.2.7.

Scalarii 1, 2 , , n se numesc coordonatele vectoruluix n baza B.


9/23

=

n

Bx

2

1

EXEMPLUL 1:

Fie P2 [x] spaiul vectorial al polinoamelor de grad mai micsau egal cu 2, cu coeficieni reali.

S se cerceteze dac vectorii B1 = {1 + x , 1 + x2 , x + x2 }

i B2 = {1 + 2x + 2x2 } formeaz sau nu o baz.

(i) Oricare ar fi polinomul p din spaiul vectorial P2 [x],p(x) = a0 + a1x + +a2 x2, unde a0, a1, a2 sunt numere reale, exist

1, 2 , 3 astfel nct p = 1 p1 + 2 p2 +3 p3 .

1 (1+x) + 2 (1 + x2 ) + 3 ( x + x

2) = a0 + a1x + a2 x2

(1 + 2) + (1 + 3) x + (2 + 3) x2 = a0 + a1x + a2 x

2

Din aceste dou relaii obinem un sistem compatibil determinat:

=+

=+

=+

232

131

021

a

a

a

(ii) Vectorii sunt liniar independeni : = 0 + 0x + 0x2

=+

=+

=+

00

0

32

31

21

1.3. Schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea

bazelor

Fie (V,K) un spaiu vectorial de dimensiune n.Fie E = { e1, e2 , , en } o baz n spaiul vectorial V.


10/23


11/23

xG = 1g1 + 2 g2 + + n gn = 1 (c11 e1 + c12 e2 + + c1n en ) +

+ 2 (c21 e1 + c22 e2 + + c2n en ) +++

+ n (cn1 e1 + cn2 e2 + + cnn en ) =(1 c11 + 2 c21 + + n cn1 ) e1 + (1 c12 + 2 c22 + + n cn2 ) e2

+ + (1 c1n + 2 c2n + + n cnn ) en

Deoarece scrierea unui vector ntr-o baz este unic, vomobine:

=+++

=+++

=+++

nnnnnn

nn

nn

ccc

ccc

ccc

2211

22222121

11212111

Acest sistem, scris matriceal, are forma : CTEG XG = XE ( 2 )

Determinantul matricei CEG este diferit de zero, deci ideterminantul matricei CTEG este diferit de zero, astfel nct exist(CTEG )

-1 . Din ( 2 ) obinem:

( CTEG )-1 CTEG XG = ( C

TEG )

-1 XE , adic , XG = ( CT

EG )-1 XE

1.4. Lema substituieiFie (V,K) un spaiu vectorial de dimensiune n .Fie E = { e1, e2 , , en } = { e1, e2, , ei-1, ei , ei+1 , , en }

o baz n spaiul V. Fie u un vector oarecare din V,uE= (1, 2 , , i-1, i , i+1, , n )

T .uE= 1e1 + 2 e2 + + i-1ei-1 + i ei + i+1ei+1 + + n en

Lema substituiei rspunde la urmtoarele ntrebri:

1) n ce condiii mulimea E* = { e1, e2 , , ei-1, u, ei+1, , en}formeaz o baz n spaiul V?

2) Fiind dat un vector x din spaiul V ,xE= (1, 2 , , i-1, i , i+1, , n )

T ,care sunt coordonatele vectorului n baza E* ?

xE

*

= (

*

1,

*

2 , ,

*

i-1,

*

i ,

*

i+1, ,

*

n )

T

Vom demonstra c:


12/23

mulimea E* = { e1, e2 , , ei-1, u, ei+1, , en } formeaz o bazic dac vectorul x aparine spaiului V, xE = (1, 2 , , i-1, i ,i+1, , n )

T i dac xE* = (*1,

*2 , ,

*i-1,

*i ,

*i+1, ,

*n )

T, atunci:

( 1 ) i

i

i

=

*

; ( 2 ) i

jiij

j

=

*

unde j ia valori dinmulimea {1 , , n }, j fiind diferit de i .

DEMONSTRAIE:

1) Trebuie s artm c vectorii { e1, e2 , , ei-1, u, ei+1, , en }sunt liniar independeni .

1e1 + 2 e2 + + i-1ei-1 + i u + i+1 ei+1 + + n en =

1e1 + 2 e2 + + i-1 ei-1 + i (1e1 + 2 e2 + + i-1ei-1 + i ei +

i+1ei+1 + +nen)+ +i+1 ei+1 + + n en =

( 1 +i1 ) e1 + + ( i-1 + ii-1 ) ei-1 + ii ei + ( ii+1 + i+1 )

ei+1 + + ( in + + n ) en =

Dar vectorii { e1 , e2 , , en } formeaz o baz deci suntliniar independeni. Astfel, obinem un sistem liniari omogen de necuaii i n necunoscute:

=+

=+

=

=+

=+

++

0

0

0

0

0

11

11

11

nni

iii

ii

iii

i

;

0000

0100

0100

0010

0001

1

1

1

n

i

i

i

A

+

=

Determinantul sistemului este: detA = (-1)i+1i | Ii-1 | , decidetA = ii este diferit de zero. nseamn c sistemul (3) are numaisoluia banal.

Deci vectorii { e1, e2, , ei-1, u, ei+1, , en } sunt liniarindependeni .


13/23

2) Trebuie s artm c { e1, e2, , ei-1, u, ei+1, , en } formeazun sistem de generatori.

Oricare ar fi vectorul x din spaiul V, exist scalarii *1,

*2 , ,

*i-1,

*i ,

*i+1 , ,

*n astfel nct :

xE= *1e1 +

*2 e2 + +

*i-1ei-1 +

*i u+

*i+1ei+1 + +

*n en

xE =*1e1 +

*2 e2++

*i-1ei-1 +

*I(1e1 + 2 e2 + + i-1ei-1 + i

ei+i+1ei+1 ++nen)+*i+1ei+1++

*n en=(

*1+

*i1)e1++(

*i-1+

+ *ii-1 )ei-1 +

*i i ei +(

*i+1 +

*ii+1)ei+1 + (

*n +

*in) en

tim c scrierea unui vector ntr-o baz este unic. Vomobine sistemul:

=+

=+

=

=+

=+

+++

nnin

iiii

iii

iiii

i

**

11

**1

*

11

**1

11

**1

rezult ci

ii

=*

Celelalte ecuaii le putem scrie sub forma:

jjij =+**

i

ji

jjijj

==

** de aici rezult c:

i

jiij

j

=

* , pentru oricare j din mulimea {1, , n } , j

fiind diferit de i.

Formulele ( 1 ) i ( 2 ) se numesc formulele de pivotareGauss- Jordan.


14/23

E U X E* Xe1 1 1 e1

*1

ei-1 i-1 i-1 ei-1 *i-1ei i i u

*i

ei+1 i+1 i+1 ei+1 *i+1

ej j j ej

*j

en n n e1 *n

( 1 ) Se mparte linia pivot la pivot ;( 2 ) Se aplic Gauss-Jordan.

1.5. Spaii vectoriale izomorfe

Fie (X,K)i (Y,K) dou spaii vectoriale peste acelai corpde sclari K.

DEFINIA 1.5.1.

Spaiile vectoriale Xi Yse numesc Kizomorfe, dac exist : X Y cu proprietile urmtoare:

1) este bijectiv2) oricare ar fi x1i x2 doi vectori din spaiul Xi oricare arfi 1i 2 scalari din corpul K, atunci :

(1 x1 + 2 x2 ) = 1 ( x1 ) + 2 ( x2 ) .

Funcia cu proprietatea 2) se numete aplicaie sau funcieliniar.

TEOREMA 1.5.1.

Dac X i Y sunt dou spaii vectoriale definite pe acelaicorp de scalari K, dimensiunea celor dou spaii fiind n finit, atunciXi Ysunt K-izomorfe.


15/23

Aceasta este teorema de izomorfism a spaiilor vectorialefinit dimensionale.

DEMONSTRAIE:

Fie E = { e1, e2 , , en } o baz n spaiul X.Fie G = { g1, g2 , , gn } o baz n spaiul Y.Oricare ar fi vectorul x din spaiul X, putem scrie:

x = 1e1 + 2 e2 + + n en = =

n

i

iie1

.

Defininim funcia : X Y, ( x ) = y adic

= =

=

n

i

n

i

iiii ge1 1

)(

Pentru a arta c este izomorfism, demonstrm c:1) funcia este bijectiv: injectivitate : oricare ar fi x1i x2, x1 diferit de x2 , atunci :( x1 ) este diferit de ( x2 ) .

Fie x1 = 1e1 + 2 e2 + + kek+ + n en .Fie x2 = 1e1 + 2 e2 + + kek+ + n en , unde ii i

aparin corpului K, oricare ar fi indicele i din mulimea {1, , k,

, , n } .

ntruct x1 este diferit de x2 , exist cel puin un indice kdin mulimea {1, , n } astfel nct keste diferit de k .

( x1 ) = 1e1 + 2 e2 + + kek+ + n en ( x2 ) = 1e1 + 2 e2 + + kek+ + n en

Deoarece exist cel puin un indice k din mulimea {1, , n }astfel nct keste diferit de k , atunci ( x1 ) este diferit de ( x2 ).

surjectivitate: oricare ar fi y din Y, exist x din Xastfel nct :( x ) = y.Oricare ar fi y din Y, exist scalarii 1, 2 , , n din corpul Kastfelnct s existe relaia: y = 1g1 + 2 g2 + + n gn . Considermun x care aparine lui X, x = 1e1 + 2 e2 + + n en .Din definiia funciei rezult c ( x ) = y.

2) liniaritatea funciei :


16/23

Oricare ar fi x1i x2 din spaiul Xi oricare ar fi ai b dincorpul K,

( a x1 + b x2 ) = a ( x1 ) + b ( x2 )

==

n

iii ex 11

,=

=

n

iiiex 12 , unde i , i aparin corpului K, iar i

aparine mulimii {1 , , n} .

( ) ( ) ( ) === =

=+=

+=

+=+

n

i

iii

n

i

iii

n

i

n

i

iiii gbaebaebeabxax111 1

21

( ) ( )211111

xbxagbgagbgan

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii +=+=+= ====

1.6. Subspaii liniare

Fie (X,K) un spaiu liniar vectorial; fie X0 un spatiu inclusn spaiul X, X0 fiind diferit de mulimea vid.

DEFINIIA 1.6.1.

Mulimea X0este un subspaiu liniar al spaiului Xdac:1) oricare ar fi x, y doi vectori din X0 , atunci i x + y

aparine lui X0 .2) oricare ar fi scalarul din corpul K i oricare ar fi

vectorul x din X0i x aparine lui X0 .

PROPOZIIA 1.6.1.

DacXi ( i aparine unei familii de indici ) este o familie desubspaii liniare a spaiului liniar ( X,K ) , atunci i mulimea X0format din intersecia subspaiilor Xi este un subspaiu liniar alspaiului X.

DEMONSTRAIE:

1) oricare ar fi vectorii xi y din spaiul X0 , X0 = Ii i

X

, unde x

aparine lui Xii y aparine lui Xi , pentru orice i din familia deindici I.


17/23

DarXieste un subspaiu liniar al lui X, deci x+y aparin lui Xioricare ar fi i din mulimea I, adicx+y aparin lui X0 .

2) Oricare ar fi vectorul x din spaiul X0, x aparine subspaiului Xial spaiului X0 . Oricare ar fi scalarul din corpul K, x aparine

spaiului Xi, deci aparine i subspaiului X0.

Fie (X,K) un spaiu liniar. Fie mulimea A X , A .

DEFINIIA 1.6.2.

Se numete acoperirea liniar a mulimii A, mulimea

tuturor combinaiilor liniare de vectori din mulimea A . Acoperirealiniar se noteaz cu L(A).

L(A) =

===

*

1

,,,1,,,| NppiKAaaxx iiip

i

i

PROPOZIIA 1.6.2.

Fie (X,K) un spaiu vectorial. Fie A o mulime din X, diferit

de mulimea vid. Atunci acoperirea liniar a lui A este un subspaiuliniar al spatiului X.

DEMONSTRAIE:

1) Demonstrm c oricare ar fi vectorii x i y din L(A) i x+yaparine acoperirii liniare L(A).

Dacx L(A), atunci :

=

=

1

1

p

i

iiax unde ieste un scalar din K, ai este un vector din

A, i = 1, , p1 , iarp1 este un numr natural.Dacy L(A), atunci :

=

=

2

1

p

i

jj ay unde j este un scalar din K, aj este un vector

din A, j = 1, , p2 , iarp2 este un numr natural.


18/23

= =

+=+

1 2

1 1

p

i

p

i

jjii aayx deci (x+y) este o combimaie

liniar de vectori din mulimea A, ceea ce nseamn c (x+y)aparine acoperirii liniare a mulimii A.

2) Demonstrm c oricare ar fi vectorul x din L(A) i x aparineacoperirii liniare L(A), unde este un scalar din corpul K.Dacx L(A), atunci :

( )=

=

1

1

p

i

ii ax oricare ar fi din corpul K.

Deoarece i aparine corpului Ki i aparine corpului K. Rezultastfel cx aparine acoperirii liniare L(A) .

PROPOZIIA 1.6.3.

Fie A o mulime din spaiul liniar X, A fiind diferit demulimea vid.

Acoperirea liniar a unei mulimi conine mulimearespectiv.

DEMONSTRAIE:

Oricare ar fi elementul a din mulimea A, el se poate scrie

astfel: =

===

1

1

*1*1i

aaaa aceasta fiind o combinaie liniar ce

aparine acoperirii liniare L(A) .

Fie (X,K) un spaiu liniari fie A o mulime din acest spaiu,A fiind diferit de mulimea vid.

DEFINIIA 1.6.2.

Se numete subspaiu liniar generat de mulimea A, cel maimic subspaiu liniar al spaiului Xcare conine mulimea A.

Subspaiul liniar generat de mulimea este un subspaiu alspaiului Xcare conine pe Ai este cel mai mic subspaiu care are

acest proprietate. l vom nota cuSp(A)

.


19/23

OBSERVAIE: Dac XA = { Xi | Xi fiind subspaii ale lui X,A X, i = I } , atunci mulimea XAeste diferit de mulimea vid.

PROPOZIIA 1.6.4.

Fie (X,K) un spaiu liniari fie A o mulime inclus n X, Afiind diferit de mulimea vid. Atunci L(A) = Sp(A) .

DEMONSTRAIE:

1) )()( ALASp este evident deoarece L(A) este unsubspaiu liniar al lui Xcare conine mulimea A, iarSp(A) este celmai mic subspaiu cu aceast proprietate.

2) )()( ASpAL

Fie x un vector din L(A) , =

=

p

k

kkax1

, k aparinnd

corpului Ki akaparinnd mulimii A , k = 1, , p .

iXA , iar Xi este un subspaiu , deci ak aparine

subspaiului Xi, k= 1, ,p .

==

p

k kk

ax1

aparine subspaiului Xi , oricare ar fi Xi care

include mulimea A.

Deci =

=

p

k

kkax1

aparine AX

i

i

ASpX

= )( . Astfel

rezult cL(A) = Sp(A) .

PROPOZIIA 1.6.5.

Fie (X,K) un spaiu liniar, fie A o mulime din X, A fiinddiferit de mulimea vid. Fie B o familie maximal de vectori liliarindependeni coninut n mulimea A. Atunci, L(A) = L(B) .

OBSERVAIE : Fie (X,K) un spaiu liniar i fie X0 un subspaiuliniar al spaiului X. Atunci elementul neutru aparine subspaiuluiX0 .

DEMONSTRAIE :

1) )()( BLAL


20/23

Dac B este o familie maximal de vectori liniarindependeni din mulimea A, atunci oricare ar fi elementul a din A,a este o combinaie liniar de elemente din familia maximal B.Rezult c oricare ar fi vectorul x aparinnd acoperirii liniare L(A),x este o combinaie liniar de elemente din B, adic x aparine

acoperirii liniare L(B). Deci )()( BLAL .2) )()( ALBL este evident.

PROPOZIIA 1.6.6.

Fie (X,K) un spaiu liniar a crui dimensiune este n. Fie X1iX2dou subspaii liniare ale lui X.

Dac dim X1 + dim X2 > dim X , atunci 21 XX coninei alte elemente diferite de .

DEMONSTRAIE:

Fie dim X1 = p1 . Fie E = { e1 , , ep } o baz n X1 .Fie dim X2 = p2 . Fie G = { g1 , , g2 } o baz n X2.

Dacx 21 XX , atunci :

=

=

1

1

p

i

ii ex dacx aparine subspaiului X1 .

=

=

2

1

p

i

jj gx dacx aparine subspaiului X2 .

( ) = = = =

=+=

1 2 1 2

1 1 1 1

p

i

p

j

p

i

p

i

jjiijjii gege

Dar21

,,,,, 11 pp ggee este o mulime care aparine

lui Xi are p1 + p2 elemente.Din ipotez tim c p1 + p2 > p deci vectorii

21,,,,, 11 pp ggee sunt liniar dependeni.

Presupunem ci = 0 ( i = 1, , p1 ) . Atunci exist scalarij diferii de zero pentru c vectorii sunt liniar dependeni.

Presupunem cj = 0 (j = 1, , p2 ) . Atunci exist scalari

idiferii de zero pentru c vectorii sunt liniar dependeni.Deci existi vectori nenuli.


21/23

1.7. Sum de subspaii liniare

Fie (X,K) un spaiu liniar . Fie X1i X2dou subspaii liniareale lui X.

DEFINIIA 1.7.1.

Se numete suma subspaiilor X1i X2 mulimea:S = X1 + X2 unde X1 + X2 = { x | x = x1 + x2 , x1 X1, x2 X2 }.

PROPOZIIA 1.7.1.

Suma a dou subspaii liniare este un subspaiu liniar.

DEMONSTRAIE:

1) Oricare ar fi x din S, x = x1 + x2 , x1X1 , x2 X2Oricare ar fi y din S, y = y1 + y2 , y1 X1 , y2 X2Dacx1 X1i y1 X1 , atunci x1 + y1 X1 .Dacx2 X2i y2 X2 , atunci x2 + y2 X2 .

x + y = x1 + x2 + y1 + y2 = x1 + y1 + x2 + y2 S.

2) Oricare ar fi un scalar din corpul K, oricare ar fi vectorul x dinS, obinem:

x = (x1 + x2 ) = x1 + x2 deci x S.

OBSERVAIE :1) n general, 21 XX nu este un subspaiu liniar

2) S = X1 + X2 21 XX .

TEOREMA 1.7.1. ( teorema dimensiunii )

Fie (X,K) un spaiu vectorial de dimensiune n. Fie X1 unsubspaiu liniar, dim X1 = p1 .

Fie X2un alt subspaiu al lui X, dimX2 = p2 .Fie D = 21 XX , dim D = d. Fie S = X1 + X2 , dim S = s.

Atunci :dim X1 + dim X2 = dim D + dim S p1 + p2 = d + s .

DEMONSTRAIE :


22/23

Fie { e1 , , ed } o baz n D. Completm aceast bazastfel nct s obinem nite baze n X1i n X2 .

Fie { e1 , , ed , fd+1 , , fp1 } o baz n X1 .Fie { e1 , , ed , gd+1 , , gp2 } o baz n X2.Vom arta c mulimea BS = { e1 , , ed , fd+1 , , fp1 ,

gd+1, , gp2 } formeaz o baz n S.

1) oricare ar fi xS, x = x1 + x2, x1X1, x2 X2

Dacx1X1 , atunci = +=

+=

d

i

p

di

iiii fex1 1

1

1

Dacx2 X2 , atunci = +=

+=

d

i

p

di

iiii gex1 1

2

2

xS , = += +=

+++=

d

i

p

di

p

di

iiiiiii gfex1 1 1

1 2

)( deci x se scrie

ca o combinaie liniar a vectorilor din BS . nseamn c BSformeaz un sistem de generatori.

2) artm c vectorii din BSsunt liniar independeni.(*)

= += +=

=++

d

i

p

dj

p

dk

kkjjii gfe1 1 1

1 2

( )44 344 21

+=

1

1

p

dj

jj f+

444 3444 21

= +=

+

d

i

p

dk

kkii ge1 1

2

este vector n X1 este vector n X2deci x X1 deci x X2

Din cele scrise mai sus, rezult c xD = 21 XX , decik = 0 (1) , oricare ar fi k = d+1, , p1 .

Din (*) obinem : ( )

44 344 21

+=

2

1

p

dk

kk g =

444 3444 21

= +=

+

d

i

p

dj

jjii fe1 1

1

2Xx 1Xx

De aici rezult c 21 XXx , deci j = 0 ( 2 ) ,oricare ar fi j = 1, , p1 .

Din (*) , ( 1 ) , ( 2 ) obinem : =

=

d

i

ii e

1


23/23

Dar vectorii { e1 , , ed } formeaz o baz n D, deci suntliniar independeni. Rezult c i = 0 , oricare ar fi i = 1 , , d ,ceea ce nseamn cBSformeaz o baz.

BS are d + p1 d + p2 d = s vectori -d + p1 + p2 = s p1 + p2 = s + d .

COROLAR: Fie S un subspaiu al spaiului X, XS , deci s n ,atunci:

p1 + p2 dn .

OBSERVAIE : Dac { }= 21 XX , atunci d = 0 , p1 + p2 = s ,ceea ce inseamn:

dim X1 + dim X2 = dim ( X1 + X2 ) .

DEFINIIA 1.7.2.

Fie X1 i X2 dou subspaii ale spaiului (X,K) . Dac{ }= 21 XX , atunci 21 XX se numete suma direct a

subspaiilorX1i X2 .

Date post:	08-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	sildia009
View:	228 times
Download:	0 times

Capitolul 1 SPATII VECTORIALE

Documents