2. SCURT ISTORIC PRIVIND NUMĂRUL DE AUR (PROPORŢIA, RAPORTUL)

.

Raportul generează şi alte rapoarte derivate din el: , etc.

Raportul este extrem de răspândit în natură. Câteva exemple: cochiliile de scoică, scheletele exterioare ale multor organisme marine, o multitudine de flori , fructe (seminţele de pe capitulul florii soarelui, fructul de pin etc.), frunze, ramuri, proporţiile întâlnite la corpul păsărilor, animalelor, proporţii ale corpului uman (înălţimea totală/ distanţa tălpi-ombilic = înălţimea feţei de la baza bărbiei la rădăcina părului/ distanţa dintre baza bărbiei-arcada sprâncenelor = … = ).

Omul, mai bine zis „inginerii-designeri” şi artiştii diferitelor epoci, încă din cele mai îndepărtate timpuri, au utilizat raportul (şi derivatele lui) instinctiv, dar în marea majoritate a cazurilor căutat, studiat.

Fig. 2-1. Cele trei mari piramide de la Giseh ale faraonilor Kheops (Khufu),Khefren (Khafra) şi Mikerinos (Menkaura), a IV-a dinastie

Marea piramidă a lui Kheops (fig. 2-1, 2-2) a fost construită utilizând cu rigoare numerele şi .

În epoca modernă s-au putut calcula cu exactitate dimensiunile iniţiale ale piramidei lui Kheops, pornindu-se de la dimensiunile actuale. S-a calculat că latura bazei piramidei 2a era de 232,815 metri, iar înălţimea h era de 148,208 metri. Perimetrul pătratului de bază are valoarea metri. Raportul dintre

14

Inovare inginerească în design

perimetrul pătratului de bază şi dublul înălţimii piramidei este:

Acest raport dă numărul , cu cinci zecimale exacte. Este posibil să se fi cunoscut o aproximare şi mai bună pentru , eroarea de la a şasea zecimală înainte datorându-se imperfecţiunii măsurătorilor efectuate asupra piramidei, sau alterării dimensiunilor ei originale, din cauza deteriorărilor produse în decursul mileniilor, de intemperii şi profanatori.

Fig. 2-2. Secţiune prin piramida lui Kheops

Este de remarcat faptul că aici numărul nu este dat direct ci sub forma raportului lungimilor unor elemente de bază ale construcţiei.

Tot la piramida lui Kheops s-a constatat că aria unei feţe laterale a piramidei este chiar . Dacă a este apotema bazei iar b este apotema piramidei (v. fig. 2-3), atunci:

Rezultă , iar, prin împărţirea cu , se obţine

.

15

Not

re-D

ame

din

Par

is

Rac

heta

Sat

urn

1. intrare2. marea galerie3. camera mortuară4. compartimente ce reduc presiunea asupra camerei mortuare5, 6. camere mortuare abandonate7. galerie de aerisire

Scurt istoric privind numărul de aur

Această ecuaţie este chiar ecuaţia din care provine ,

.

Deci:

, sau .

Verificare:

Se observă că din dimensiunile piramidei lui Kheops se obţine numărul transcendent cu o precizie de 5,5 unităţi la a şasea zecimală şi numărul iraţional cu o precizie de cca 3 unităţi la a treia zecimală.

Fig. 2-3. Piramida lui Kheops: corelaţia cu numărul de aur

Faţada Partenonului (fig. 2-4), templul care domină Atena, capitala Greciei (din antichitate şi până acum), are ca modul pe . Acelaşi modul l-au utilizat (atât la ansamblu cât şi la detalii), constructorii templelor dorice.

De la templele romane şi până la construcţiile gotice, raportul a fost foarte mult utilizat.

Oamenii de ştiinţă din toate timpurile au acordat o atenţie specială numărului .Din păcate, în prezent sunt relativ puţini cei care cunosc acest raport (şi

proprietăţile sale) şi extrem de puţini acei care o utilizează.Pitagoricienii şi platonicienii au fost printre anticii care au cunoscut, studiat şi

utilizat intens numărul . PITAGORA (580-496 î.e.n.) din insula Samos şi şcoala sa (pitagorismul şi mai

apoi neopitagorismul) au acordat o mare importanţă studiului pentagonului regulat (care îl are pe ca raport dintre diagonală şi latură), precum şi figurilor plane şi volumelor

16

Inovare inginerească în design

provenite din acestea.

Fig. 2-4. Partenonul din Atena

Pitagoricienii au avut pentagrama (pentagonul regulat stelat) ca semn de legătură şi recunoaştere, dar şi ca simbol al armoniei şi al sănătăţii. De asemenea, puternicele curente ale neopitagorismului şi neoplatonismului au acordat o importanţă deosebită acestei proporţii şi proporţiilor figurilor generate de ea.

PLINIUS CEL BĂTRÂN (23-? e.n.) ne face cunoscut că între anii 298 şi 290 î.e.n., o mare statuie a lui PITAGORA a fost înălţată în for, în urma unui ordin al preotesei PYTHIA, din oraşul Delphi (oraş considerat pe atunci ca fiind centrul universului), „în cinstea celui mai înţelept dintre toţi grecii”.

EUCLID (sec. IV-III î.e.n.), marele matematician grec, este autorul unei lucrări fundamentale, intitulate «Elementele». Această lucrare este alcătuită după o schemă logică riguroasă şi unitară. În cartea a VI-a a «Elementelor» se dă şi definiţia împărţirii segmentelor în raportul mediu şi extrem, iar în cartea a V-a şi a VII-a se face teoria proporţiilor şi se demonstrează că un segment împărţit după raportul mediu şi extrem conduce la două segmente incomensurabile.

Arhitectul şi inginerul militar roman Marcus Pollio VITRUVIU (cca 100 î.e.n.), analizând tradiţia arhitecturii greceşti – veche pe atunci de cinci secole – a arătat că proporţiile coloanelor dorice, ionice şi corintice au avut ca principiu director utilizarea proporţiilor bărbatului, femeii şi fecioarei.

În anul 1202, matematicianul Leonardo da PISA (1170-1230), cu supranumele FIBONACCI (de la Filius BONACCI), la studiul unei probleme de combinaţii, a remarcat pentru prima oară şirul special 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, care de atunci îi poartă numele. Acest şir are raportul termenilor consecutivi convergând rapid spre , respectiv . Despre FIBONACCI se vor da unele detalii într-un capitol ulterior.

Călugărul bolognez Fra Luca PACIOLI di BORGO (1445?-1514) (cel care în 1494 a publicat primul tratat de contabilitate în limba italiană) este autorul fundamentalei lucrări „De Divina Proportione”, apărută la Veneţia în anul 1509, dar elaborată la Milano încă înainte de anul 1500. Lucrarea a fost splendid ilustrată de Leonardo da VINCI, bun prieten al autorului. Această lucrare, apărută la îndemnul lui da VINCI, pune un accent deosebit pe unele din proprietăţile lui şi pe armonia ce o generează această proporţie la anumite figuri din plan şi din spaţiu.

Astronomul german Johannes KEPLER (1571-1630) a afirmat în lucrarea „Mysterium Cosmographicum de admirabili proportione orbium caelestium”, publicată

17

Scurt istoric privind numărul de aur

în 1596, că: «cele două bijuterii» ale geometriei sunt «divina proportione» şi teorema lui Pitagora (mai exact proprietatea remarcabilă a triunghiului dreptunghic „sacru” 3-4-5, care permite trasarea cu exactitate a unui unghi drept cu ajutorul a trei ţăruşi şi a unei frânghii cu 12 noduri echidistante). Trebuie menţionat aici că triunghiul dreptunghic „sacru” 3-4-5 era utilizat în Europa Centrală încă din epoca bronzului şi începutul epocii fierului. Şi egiptenii îl cunoşteau, preluat fiind din Caldeea. Vestigiile arheologice sunt cele care confirmă aceasta.

Matematicianul şi inginerul francez Gabriel LAMÉ (1795-1871) a calculat numărul de perechi de iepuri rezultat dintr-o pereche, în aşa fel încât în fiecare lună aceasta să poată produce o altă pereche, care după o lună să fie aptă pentru reproducere. Pe măsura creşterii numărului de luni, numărul de perechi de iepuri este 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. Totuşi, această constatare a fost făcută mai întâi de FIBONACCI, în „Liber Abaci” (Cartea Abacului), apărută prin 1228. Din acest motiv şirul lui FIBONACCI mai poartă şi numele «legea creşterii organice».

După KEPLER, «divina proportione» sau «sectio aurea» a căzut în uitare (în privinţa publicaţiilor) pentru mai bine de 200 de ani. Cel care a redescoperit-o, către 1850, a fost germanul ZEYSING, care în lucrarea „Aesthetische Forschung”, apărută în 1855, a denumit numărul ca provenind din „Proportional Gesetz” (legea proporţiilor). Lucrarea clasică este cartea germană de 457 de pagini, Der goldene Schnitt, scrisă de Adolf ZEYSING şi publicată în anul 1884. Alţi autori germani au folosit ulterior şi termenul „Die steitige Proportion” (proporţia continuă sau constantă).

ZEYSING a evidenţiat bine argumentat evoluţia proporţiilor corpului omenesc (de la copilărie la maturitate), în lumina proporţiei .

Sir Thomas COOK, în „The Curves of Live”, publicată în Editura Constable din Londra, a reluat ideea, căutând şi în diverse statui antice şi tablouri ale Renaşterii „canonul” . În anexele matematice ale acestei lucrări, anexe elaborate de M. BARR şi W. SCHOOLING, se găseşte propunerea de a utiliza, pentru simplificarea scrierii,

simbolul pentru numărul de aur . Această notaţie judicioasă şi deosebit de utilă

a fost folosită şi de M. GHYKA, în toate lucrările sale despre „proporţia divină”.Nathan ALTHILLER-COURT, în „American Mathematical Monthly”,

demonstrează în 1917 că cele două rădăcini ale ecuaţiei se pot pune sub forma limitei radicalilor suprapuşi, respectiv a limitei unei fracţii continue.

Inginerul român Matila Costiescu GHYKA a fost cel care a demonstrat extraordinara importanţă a proporţiei într-o multitudine de domenii, fiind în fapt unul dintre primii ingineri-designer.

M. C. GHYKA (1881-1965) s-a născut la Iaşi, fiind strănepotul lui Grigore GHYKA al X-lea, ultimul domnitor al Moldovei dinainte de Unirea Principatelor. Aşa după cum năzuia, a fost cu adevărat o „personalitate universală”. A absolvit cu brio Academia Navală Franceză, urmând apoi şi studii de litere şi jurisprudenţă. A fost inginer-ofiţer în marină, diplomat, matematician, filozof, poet şi memorialist. A elaborat o fundamentală teorie matematică-filozofică-etică, în care demonstrează că formaţiunile naturale (organisme vii şi sisteme cristaline), ca şi operele de artă (arhitectonice, muzicale, literare etc.), sunt structurate de ansamble de analogii şi proporţii în care numărul ocupă un loc preponderent. După o îndelungată carieră diplomatică, a fost profesor la Universitatea din Los Angeles şi apoi la Universitatea din Londra. S-a stins din viaţă la Londra, în anul 1965.

Principalele lucrări (marea majoritate sunt cărţi) ale lui M. C. GHYKA, privind

18

Inovare inginerească în design

numărul , sunt: Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, Paris, Librairie

Gallimard, 1926. Le nombre D’or, vites et rythmes pythagoriciens dans le développement de

la civilisation occidentale, 2 vol. (vol. I prefaţat de o scrisoare a poetului Paul VALÉRY către autor), Paris, Librairie Gallimard, 1931.

Essai sur le rythme, Paris, Librairie Gallimard,1938. The Geometry of Art and Life, New York, Sheed & Ward, 1946. Philosophie et mystique du nombre, Paris, Payot, 1971. A practical handbook of geometrical composition and design, London, A.

Tiranti, 1964. O serie de articole, scrise în limba română, apărute în revista „Simetria” în

perioada 1942-1947, Bucureşti.Şi la Universitatea din Braşov, există preocupări intense în direcţia studierii şi

utilizării numărului . O contribuţie recentă a lui Şerban BOBANCU (titularul cursului «Tehnici de creativitate», al cursului «Inovarea inginerească în design» şi al cursului «Prelevarea şi prelucrarea de imagine»), în vederea utilizării lui , este generalizarea împărţirii unghiurilor (oarecare) după proporţia , precum şi combinaţii de împărţire a figurilor generate de către două unghiuri oarecare. Aceste aplicaţii, utilizate judicios, pot creşte substanţial calitatea şi armonia produselor, când sunt inovate produse noi.

19