CAPITOLUL 3
SUPRAFEE Rezumat. Se definete noiunea de suprafa i se dau reprezentrile analitice:
( ),r r u v=! ! , 0u ur r "! "! ! , ( ) 2,u v D # (parametric), ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y A= # (explicit), ( ) 2 2 2, , 0, 0x y zF x y z F F F= + + > , ( ) 3, ,x y z V # (implicit). Se definete planul tangent ntr-un punct P al unei suprafee S ca planul prin P care conine vectorii necoliniari ur
"! i vr"!
. Forma I-a fundamental se definete ca restricia produsului scalar la spaiul tangent n P la S. Se descriu proprietile ei i aplicaiile ei la calcularea lungimii curbelor pe S, a unghiului a dou curbe pe S i a ariei unei poriuni date din S.
Vectorii 1 2,u vr h r h "! "! "! ""!
i 1 2
1 2
h hNh h
=
"! ""!""!"! ""! formeaz un reper (Gauss) mobil pe S. Variaia
acestui reper este dat de formulele lui Gauss: 2
1
kiij k ijj
k
h h b Nu
=
= +
"! ""! ""!
i formulele lui
Weingarten: 2
1
ji ji
j
N A hu
=
=
""! ""!
, cu i,j = 1,2. Aceste formule introduc coeficienii
( )ij jib b= ai celei de a II-a forme fundamentale i operatorul Weingarten de matrice ( )ijA n baza ( )1 2,h h"! ""! . Se introduc curburile principale ca soluii ale ecuaiei ( ) ( )2 2 211 22 12 11 22 12 12 21 11 11 22 122 0g g g k g b g b g b k b b b + + = i se definete curbura total a unei suprafee:
211 22 12
1 2 211 22 11
b b bK k kg g g
= =
i curbura medie
( )1 212H k k= + . Se deduc ecuaiile lui Gauss i apoi ecuaiile Peterson Mainardi Codazzi. Se anun teorema fundamental a suprafeelor prin care se arat c formele I-a i a II-a fundamentale determin suprafaa S.
1. Definiia suprafeei n spaiul euclidian 3E . Fie spaiul euclidian 3E dotat un reper ortonormat, pozitiv orientat
( ){ }, , ,O i j k = ! ! ! . Definiia 1.1. O submulime S din 3E se numete suprafa elementar
dac ( )S h U= , 2U # mulime deschis i aplicaia 3:h U E este o scufundare difereniabil de clas ( )1sC s a lui U n 3E . Perechea ( ),U h se numete parametrizare a suprafeei elementare S.
Capitolul 3. Suprafee
61
Vom nota prin 3:r U !
# sau prin 3:h U !
# funcia vectorial definit de aplicaia h, adic dac pentru ( ),u v U punem ( ) ( ), ,h u v P u v S= , atunci
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,r u v OP u v x u v i y u v j z u v k= = + +! """! ! ! ! , cu funciile coordonate x, y, z difereniabile de clas ( )1sC s . Amintim c h este scufundare pe U dac este imersie pe U i homeomorfism pe imagine. Condiia de imersie pe U este ca
(1.1) 2 pe u v
u v
u v
x xrang y y U
z z
=
.
Amintim c prin , , , , ...u v uu uv vvx x x x x notm derivatele pariale ale funciilor n raport cu variabilele indicate de indicii de jos.
Condiia (1.1) este echivalent cu (1.2) 0 pe .u vr r U
"! "! !
Fie $ 2U # mulime deschis i aplicaia bijectiv $:U U dat de ecuaiile
(1.3) %( )%( ) %( ) $
, ,
, , , ,
u u u v
v v u v u v U
=
=
%
% %
un difeomorfism de clas ( )1sC s . Condiia ca s fie difeomorfism implic
(1.4) %
%
$0 pe
u uu v Uv vu v
%
%
.
Reciproc, dac aplicaia bijectiv $:U U este de clas ( )1sC s i verific (1.4) atunci ea este difeomorfism de clas ( )1sC s .
Propoziia 1.1. Fie S suprafa elementar cu parametrizarea ( ),U h i un difeomorfism $:U U de clas ( )1sC s . Atunci perechea $ %( ),U h h = & este o nou parametrizare a suprafeei elementare S.
Demonstraie. Observm mai nti c pentru % $ 3:h U E avem % $( ) $( )( ) ( )h U h U h U S= = = . Aplicaia %h este difereniabil de clas sC pentru c este compusa a dou aplicaii difereniabile de clas sC . Ea este i homeomorfism pe imagine pentru c este compusa a dou homeomorfisme pe imagine. Rmne s
Capitolul 3. Suprafee
62
artm c %h este imersie pe $U . Notm prin h!
aplicaia vectorial asociat ei. Avem
(1.5) %( ) %( ) %( )( ), , , ,h u v r u u v v u v=! !% % % . Regula de derivare compus se extinde, pe componente, la funcii
vectoriale nct derivnd n (1.5) obinem
(1.6) % % % ,
.
u vu
u vv
u vh r ru uu vh r rv v
= + = + %
""! "! "!
""! "! "!% %
Avnd n vedere proprietile produsului vectorial rezult
(1.7) % ( ) %%
u vu v
u uu vh h r rv vu v
=
%
""! ""! "! "! %
%
.
Aadar % $0 pe u vh h U %""! ""! !
. Aplicaia se numete schimbare de parametrizare sau de parametri pe S. Definiia 1.2. O submulime ! n 3E se numete suprafa dac orice
punct al ei aparine cel puin unei suprafee elementare coninut n ! .
2. Reprezentri analitice ale suprafeelor
Fie 2D # o mulime deschis i ( ) ( ): , , ,f D x y z f x y =# , o funcie real de dou variabile reale. Mulimea ( )( ) ( ){ }, , , ,fG x y f x y x y D= se numete graficul (graful) lui f.
Teorema 2.1. Fie :f D # funcie difereniabil de clas ( )1sC s . Graficul ei fG este suprafa elementar n
3E .
Demonstraie. Fie aplicaia 3:h D E care asociaz unui punct ( ),x y D , punctul 3P E de coordonate ( )( ), , ,x y f x y . Este evident c ( ) fh D G= . Aplicaia vectorial 3:h D
!# asociaz lui ( ),x y vectorul de
componente ( )( ), , ,x y f x y . Aceast aplicaie este difereniabil de clas ( )1sC s . Ea este imersie pe D pentru c matricea Jacobian
Capitolul 3. Suprafee
63
1 00 1h
x y
Jf f
=
are evident rangul 2 pe D. Mai mult, aplicaia h este homeomorfism pe imagine, inversa ei fiind aplicaia care asociaz punctului ( )( ), , ,P x y f x y , perechea ( ),x y D , aplicaie care este evident continu. Am artat astfel c ( ),D h este o parametrizare pentru fG , deci fG este suprafa elementar.
Observaia 2.1. Similar se arat c mulimile de puncte ( )( ){ }, , ,P x x z z i ( )( ){ }, , ,P y z y z , unde i sunt funcii asemntoare cu
f, sunt suprafee elementare n 3E . Teorema 2.1 ne permite s spunem c ecuaia (2.1) ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y D= # , D mulime deschis,
reprezint analitic o suprafa (elementar). Similar, ecuaiile (2.1) ( ) ( ) 2, , , 'y x z x z D= # , (2.1) ( ) ( ) 2, , , ''x y z y z D= # , D i D mulimi deschise,
reprezint analitic suprafae (elementare) n 3E . n aceste reprezentri funciile , ,f sunt desigur difereniabile de clas
( )1sC s . Pentru c n continuare vom lucra numai cu funcii difereniabile de o clas suficient de nalt pentru a ne asigura de existena derivatelor necesare n calcul, vom omite a preciza de fiecare dat acest lucru.
Reprezentrile analitice (2.1), (2.1) i (2.1) se numesc reprezentri explicite ale unei suprafee (elementare).
Teorema 2.2. Mulimea ( ) ( ){ , , P r r r u v= =! ! !! ( ) 2, ,u v U U # mulime deschis, cu funcia vectorial r
! difereniabil de clas ( )1sC s pe U i
}0 pe u vr r U "! "! ! este suprafa n 3E . Demonstraie. Vom arta c orice punct din ! aparine cel puin unei
suprafee elementare inclus n ! . Fie ( )( )0 0 0 0,P r u v "! ! . Deci ( )0 0, 0u v u vr r "! "! ! , ceea ce nseamn c cel puin una dintre cele trei componente ale vectorului u vr r
"! "!
este diferit de zero n punctul ( )0 0,u v . S presupunem c ( )0 0,
0u vu v u v
x xy y
.
Capitolul 3. Suprafee
64
Continuitatea funciilor n discuie ne asigur c exist un deschis 0U care conine
punctul ( )0 0,u v i este inclus n U pe care 0u vu v
x xy y
.
Teorema de inversare local ne arat c sistemul de ecuaii ( )( ) ( ) 0
,
, , ,
x x u v
y y u v u v U
==
se poate rezolva n raport cu u i v i se obin soluii difereniabile de clas sC de forma
( )( ) ( )
,
, , , ,
u u x y
v v x y x y D
==
unde D este o mulime deschis n 2# , ce conine punctul de coordonate ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , ,x x u v y y u v= = . nlocuim aceste soluii n ecuaia ( ),z z u v= i
obinem ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , , ,z z u x y v x y f x y x y D= = .
Funcia :f D # este difereniabil de clas sC fiind o compunere de funcii difereniabile de clas sC .
Considerm graficul fG al funciei f. Dup Teorema 2.1, fG este suprafa elementar. Punctul 0 fP G pentru c are coordonatele
( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , , , ,x u v y u v z u v care, cu notaiile de mai sus, avnd n vedere i c ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , ,u x y u v x y v= = , devin ( )( )0 0 0 0, , ,x y f x y . n plus, fG este coninut n ! pentru c pentru orice ( ) 0,u v U , coordonatele ( ) ( ) ( )( ), , , , ,x u v y u v z u v se pot exprima n forma ( )( ), , ,x y f x y .
n cazul n care 0 pe u vu v
x xU
y y= , cel puin unul dintre determinanii
u v
u v
y yz z
, u vu v
z zx x
este diferit de zero n ( )0 0,u v . Un raionament similar ne va arta c punctul 0P aparine sau unei suprafee elementare ( )( ){ }, , ,P x x z z sau unei suprafee elementare de forma ( )( ){ }, , ,P y z y z cu i funcii difereniabile pe deschii din 2# , suprafee elementare coninute n ! .
Teorema 2.2 ne arat c (2.2) ( ) ( ) 2, , 0 ,u vr r u v r r u v U=
! ! "! "! !# ,
Capitolul 3. Suprafee
65
U mulime deschis, ne d o reprezentare analitic a unei suprafee n 3E . Aceast reprezentare se numete reprezentare vectorial parametric a unei suprafee n
3E . Numerele u, v se numesc parametri pe suprafa. O pereche ( ),u v determin unic un punct P de pe suprafa. Vom scrie ( ),P u v .
Reprezentarea (2.2) are forma scalar
(2.2) ( )( )( )
2 2 2, ,
, , 0
, ,
u v u v u v
u v u v u v
x x u vx x y y z z
y y u vy y z z x x
z z u v
== + + >=
pe mulimea deschis 2U # . Reprezentarea dat de ecuaiile (2.2) se numete reprezentare
parametric a suprafeei. Teorema 2.3. Mulimea ( ) ( ){ , , , , 0,P x y z F x y z= =! cu :F V #
funcie difereniabil de clas sC pe un deschis 3V # i 2 2 2 0x y zF F F+ + > pe
}V , dac este nevid, este o suprafa n 3E . Demonstraie. Fie ( )0 0 0 0, ,P x y z ! , deci ( )0 0 0, , 0F x y z = . S
presupunem c 0
0z PF . Rezult c 0zF pe o mulime deschis 0V ce conine 0P
i este inclus n V. Dup o eventual micorare, mulimea 0V se poate scrie n forma 0V U I= , unde U este o mulime deschis n
2# centrat n ( )0 0,x y i I un interval deschis centrat n 0z . Teorema funciilor implicite ne asigur c n aceste condiii ecuaia ( ), , 0F x y z = se poate rezolva n raport cu z, adic exist o funcie difereniabil de clas sC , :f U I , nct
( )0 0 01 ,f x y z=& ( )( )2 , , , 0 pe F x y f x y U=& . Considerm graficul fG al funciei f. Dup Teorema 1.2, fG este
suprafa elementar. Condiia 1& ne asigur c 0 fP G iar condiia 2& ne arat c
fG ! . Dac 0zF = pe V atunci fie 0 0x PF , fie 0 0y PF . Un raionament analog ne arat c 0P aparine fie unei suprafee elementare ( )( ){ }, , ,P x x z z fie unei suprafee elementare ( )( ){ }, , ,P y z y z , cu funciile i difereniabile pe deschii din 2# , ambele incluse n ! .
Dup Teorema 2.3, condiiile
Capitolul 3. Suprafee
66
(2.3) ( ) 2 2 2, , 0, 0x y zF x y z F F F= + + > pe V mulime deschis n 2# , reprezint analitic o suprafa. Aceast reprezentare se numete reprezentare
implicit. Putem spune, n concluzie, c o suprafa n 3E se poate reprezenta
analitic n trei moduri: explicit, parametric i implicit. Aceste trei reprezentri analitice sunt local echivalente n sensul c orice
punct P al unei suprafee aparine unei suprafee elementare care se poate reprezenta n toate cele trei moduri posibile.
ntr-adevr, dac P este pe o suprafa elementar dat explicit n forma ( ),z f x y= , cu notaia ( ) ( ), , ,F x y z z f x y= aceast suprafa o putem gndi
dat implicit n forma ( ), , 0F x y z = , pentru c 2 2 2 2 21 0x y z x yF F F f f+ + = + + . Pe de alt parte aceeai suprafa elementar se poate gndi ca dat parametric n
forma
( )
,,
, ,
x uy vz f u v
===
pentru c suma de determinai la ptrat din (2.2) este aici
2 21 0x yf f+ + > . Dac P este pe o suprafa dat implicit, Teorema 2.3 ne arat cum s
ajungem la forma explicit. n cazul n care P este pe o suprafa dat parametric, Teorema 2.2 ne indic modul de explicitare.
n practic se folosesc toate cele trei reprezentri analitice. n probleme teoretice reprezentarea parametric se dovedete mai util. Aceasta va fi folosit cu precdere n cele ce urmeaz pentru a prezenta geometria diferenial euclidian a suprafeelor.
Prin geometria diferenial euclidian a suprafeelor nelegem proprietile suprafeelor i mrimile, construciile asociate suprafeelor, care sunt invariante la izometriile spaiului euclidian 3E i la schimbrile de parametrii pe suprafa. Vom spune despre o proprietate a suprafeei sau o mrime asociat ei c are caracter geometric sau, simplu, c este geometric dac nu depinde, nu este modificat, de izometriile lui 3E i de nici o reparametrizare a suprafeei. n continuare vom prezenta, studia, folosi i aplica numai proprieti geometrice ale suprafeelor chiar dac acest lucru nu va fi menionat ntotdeauna n mod explicit. Cititorul este invitat s verifice caracterul geometric al proprietilor i mrimilor ntlnite.
Fie 3E dotat cu un reper ortonormat ( ){ }, , ,O i j k = ! ! ! pozitiv orientat i un punct ( ), ,P x y z , , ,x y z fiind coordonate n reperul R .
Capitolul 3. Suprafee
67
O izometrie a lui 3E cu pstrarea orientrii transform ( ), ,P x y z ntr-un punct ( )' ', ', 'P x y z i reperul R ntr-un reper ortonormat la fel orientat
( ){ }' ', ', ', 'O i j k= ! ! !R . Cum ( )', ', 'x y z sunt coordonatele lui 'P n reperul 'R , formulele care dau analitic izometria sunt identice cu formulele de trecere de la reperul R la reperul 'R . nct putem substitui izometria care mut punctul P n punctul 'P cu o schimbare de repere ortonormate care las P nemicat dar schimb coordonatele sale ( ), ,x y z n ( )', ', 'x y z . Rezult c pentru a ne asigura c o proprietate a suprafeei exprimat cu ajutorul unui reper ortonormat este invariant la izometrii, este suficient s verificm c este invariant la schimbarea reperului ortonormat folosit n exprimarea ei.
Fie, de exemplu, o suprafa reprezentat analitic n reperul R prin ( ) ( ), , ,r r u v u v U= ! ! , 0 pe u vr r U
"! "! !unde funcia vectorial r
! este difereniabil
de clas ( )1sC s . Aceast proprietate de difereniabilitate este invariant la izometriile spaiului, pentru c este invariant la schimbarea reperului R n reperul
'R . ntr-adevr, n 'R punctul ( )( ),P r u v! are vectorul de poziie ( ),u v"! dat de formula ( ) ( ), ' ,u v O O r u v = +"! """"! ! , cu 'OO""""! independent de ( ),u v . Este evident c funcia vectorial
"! se poate deriva pn la ordinul s i n plus derivatele ei coincid
cu cele ale funciei vectoriale r!
. Ca o consecin avem c 0u v u vr r = ""! ""! "! "! !
i
deci i proprietatea 0u vr r "! "! !
este invariant la (pstrat de) izometriile spaiului 3E . Proprietile menionate sunt invariante i la schimbri de parametrii pe
suprafa. Pentru a se convinge, cititorul este invitat s revad demonstraia Propoziiei 1.1.
3. Curbe pe o suprafa
n continuare vom studia numai proprieti punctuale i locale ale
suprafeelor i ca atare ne vom limita la a considera numai suprafee elementare numite simplu suprafee i notate de obicei cu S . Amintim c cele trei reprezentri analitice pentru S sunt echivalente i vor fi folosite alternativ, dup nevoile de raionament sau de calcul.
Fie suprafaa ( )S h U= cu U mulime deschis n 2# i 3:h U E scufundare difereniabil de clas ( )1sC s .
Definiia 3.1. Se numete curb pe S imaginea prin h a unui arc elementar c din U .
Capitolul 3. Suprafee
68
Fie ( )c I= unde I este un interval deschis n # i o scufundare a lui I n 2# identificat cu E2 prin alegerea unui reper ortonormat. Rezult c
( )( )C h I= este o curb pe S . (Fig. 21)
Fig. 21 Arcul elementar c se poate reprezenta analitic n formele echivalente:
(3.1) ( )( ) 2 2, ' ' 0 pe ,
u u t
v v t u v I
== + >
(3.2) ( ) ( ) sau , , v f u u g v f g= = funcii reale de o variabil real,
(3.3) ( ) ( )2 2 2, 0, 0, , , u vF u v F F u v D D= + > # mulime deschis. Cunoaterea unei asemenea reprezentri este suficient pentru a descrie
curba pe suprafa pentru c nu avem dect de efectuat o compunere cu aplicaia h . Din acest motiv vom spune c (3.1) (3.3) sunt reprezentri analitice ale curbei C pe suprafaa S .
Reprezentarea analitic (3.1) duce la reprezentarea curbei C n forma
(3.1)
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
, ,
, ,
, , , sau
x x u t v t
y y u t v t
z z u t v t t I
===
2#
( )0 0,u v
( )0 0 0,P u v S
Capitolul 3. Suprafee
69
(3.1) ( ) ( )( ), , r r u t v t t I= ! ! . Formula de derivare a funciilor compuse ne d
(3.4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ' , ' , u vd r t r u t v t u t r u t v t v t t Idt = + ! "! "!
.
Aceast formul ne arat c ( ) 0d r tdt
! pe I pentru c n caz contrar,
avnd n vedere c derivatele 'u i 'v nu sunt simultan nule, ar rezulta c ur"!
i vr"!
sunt vectori coliniari, adic 0u vr r ="! "! !
cel puin ntr-un punct din U , fals. n cazul n care arcul c are reprezentarea (3.2), curba C are ecuaiile (3.2) ( )( ), , r r u f u u J= ! ! interval deschis n # . Formula
(3.5) 'u vd r r r fdu
= +
! "! "!,
ne arat c 0 pe dr Jdu
! !.
Pentru a obine o reprezentare a curbei C plecnd de la reprezentarea (3.3), trebuie mai nti s facem o explicitare n forma (3.2).
Fie ( )0 0 0,P u v S . Din injectivitatea aplicaiei h rezult c perechea ( )0 0,u v este unic determinat nct ( )0 0 0,P h u v= .
Fie n U deschis n 2# segmentul de dreapt de ecuaie (3.6) 0v v=
care se poate reprezenta parametric prin
(3.6) 0 , interval deschis in .
u uv v u J== #
Imaginea prin h a acestui segment de dreapt este o curb pe S care trece prin 0P i care este de fapt mulimea punctelor ( )0,P u v cu u J . Ea se poate reprezenta i n forma
(3.6) ( )0, , r r u v u J= ! !
. Aceast curb se numete linia parametric 0v v= . Similar definim curba
numit linia parametric 0u u= ca imaginea segmentului de dreapt (deschis) din U de ecuaii
(3.7) 0u u= ,
(3.7) 0,
, interval deschis in u uv v v I== #
Capitolul 3. Suprafee
70
(3.7) ( )0 , , r r u v v I= ! !
. Punctul 0P este la intersecia liniilor (curbelor) parametrice 0u u= i
0v v= , motiv pentru care se spune c 0u i 0v sunt coordonate curbilinii ale punctului 0P .
A se compara cu situaia unui punct M dintr-un plan raportat la un reper cartezian Oxy . Punctul ( )0 0,M x y se gsete la intersecia dreptelor 0x x= i
0y y= i se spune c ( )0 0,x y sunt coordonate rectangulare. Vectorul tangent la curba 0v v= n punctul ( )0 0 0,P u v= este
( )0 0' ,u ud r r u r u vdu = =! "! "!
iar vectorul tangent la curba 0u u= n acelai punct este
( )0 0,vr u v"!
. Amintim c aceti vectori sunt necoliniari pentru c 0 pe u vr r U "! "! !
. Dac vom considera imaginile prin h ale tuturor segmentelor din U de
ecuaie 0v v= , obinem pe S o familie de curbe numit familia curbelor sau liniilor parametrice v = constant. Similar imaginile prin h ale segmentelor din U de ecuaie
0u u= constituie o familie de curbe pe S, numit familia curbelor sau liniilor parametrice u = constant. Prin fiecare punct 0P al suprafeei trece cte o linie din fiecare familie de linii parametrice, care nu au alte puncte comune n afara lui 0P pentru c h este aplicaie injectiv i vectorii lor tangeni n 0P sunt necoliniari. Se spune c cele dou familii de linii parametrice formeaz o reea pe suprafa, numit reeaua liniilor parametrice (Fig. 22)
Fig. 22. Reeaua liniilor parametrice pe S
v = v0
u = u0
P(u0,v0)
Capitolul 3. Suprafee
71
Observaie. Reeaua liniilor parametrice se construiete plecnd de la o parametrizare, deci depinde de parametrizare. Reciproc, dat o reea de curbe pe suprafa, adic dou familii de curbe pe suprafa, cu proprietatea c prin fiecare punct al suprafeei trece cte o curb din fiecare familie, curbe care nu au alte puncte comune i au vectorii tangeni n punctul de intersecie necoliniari, se obine o parametrizare a ei.
4. Spaiul tangent ntr-un punct al unei suprafee n Capitolul 0 am numit spaiul vectorial 3V spaiu tangent la 3E n O
pentru motivul c aplicaia 3 3:O E V care asociaz lui 3A E vectorul 3OA V"""!
este bijecie. Am stabilit i c pentru orice punct 3P E aplicaia similar
( )3 3 3: , , P PE V A PA A E = """!
, este bijecie, adic 3V este spaiu tangent n toate punctele lui 3E .
Noiunea de spaiu tangent este o noiune punctual. Pentru a sublinia acest lucru vom considera mulimea ( ){ }3 3, ,PT E P v v V= ! ! i o vom organiza ca spaiu liniar cu operaiile
(4.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3, , , , , , , , ,P v P w P v w a P v P av a v w V+ = + = ! "! ! "! ! ! ! "!# . Aplicaia dat de ( ),P v v! ! este evident un izomorfism liniar a lui 3PT E
cu 3V . Definiia 4.1. Numim 3PT E spaiu liniar tangent la
3E n 3P E . Vom da o interpretare geometric lui 3PT E care va justifica denumirea de
spaiu tangent. Fie n 3E un reper ortonormat ( )({ }, , ,O i j k= ! ! !R pozitiv orientat n raport cu care 3P E are vectorul de poziie 0r
"!. Fie dreapta prin P de direcia
vectorului 3v V!
. Ecuaia ei este 0 , r r tv t= + ! "! !
# i observm c aceast dreapt (curb particular) are proprietile
i) La valoarea 0t = trece prin P,
ii) Vectorul tangent ei n P este ( )0d r vdt
=
! !.
De fapt exist o mulime de curbe n 3E cu proprietile i) i ii). Ele au comun P i v
!. Le vom pune ntr-un acelai co pe care-l vom eticheta cu ( ),P v! .
Avem astfel o semnificaie geometric a elementului ( ),P v! din 3PT E : el reprezint
Capitolul 3. Suprafee
72
o mulime de curbe care trec prin P i au n P ca vector tangent pe v!
. Prin reparametrizare se poate aranja ca fiecare curb din mulime s treac prin P la valoarea zero a parametrului de pe curb. Cititorul este invitat s regndeasc aceast interpretare a lui 3PT E n termeni de relaie de echivalen. Coul de care vorbeam este o clas de echivalen. Evident c pentru a da clasa de echivalen este suficient s dm un reprezentat al ei. n cazul acesta cel mai simplu este s dm dreapta prin P de vector director v
!.
Consideraiile de mai sus ne sugereaz o metod de a defini o noiune de spaiu tangent ntr-un punct al unei mulimi diferit de 3E . Ar trebui ca acea mulime s conin curbe care s admit tangente. Vom folosi aceast metod la suprafee.
Fie o suprafa ( )S h U= cu U mulime deschis n 2# i 3:h U E scufundare. Fie P S definit de ( )0 0,h u v , adic ( )0 0,u v sunt coordonatele sale curbilinii. Vom nota, ca de obicei, prin r
! funcia vectorial asociat lui h.
Fie o curb ( ) 2: , , 0 ># , cu ( ) ( )0 00 ,u v = . Atunci ( ): ,h S & este o curb pe S care trece prin P la valoarea zero a
parametrului. Definiia 4.2. Se numete vector tangent la S n punctul P S , un vector
din 3PT E care este tangent la o curb prin P, situat pe S. Vom nota prin PT S mulimea vectorilor tangeni la S n punctul P S . Observaie. Fiind dat un vector X din V3 tangent la suprafaa S n punctul
ei P, exist o infinitate de curbe prin P, situate pe S, care s aib ca vector tangent n P, vectorul X. Ele vor fi gndite ntr-o clas de echivalen definit de urmtoarea relaie de echivalen: dou curbe pe S care trec prin P sunt echivalente dac au acelai vector tangent n P (Fig. 23).
Fig. 23
Capitolul 3. Suprafee
73
Continum cu folosirea notaiilor deja introduse. Ecuaia curbei imagine pe S a curbei este
(4.2) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2, , ' ' 0, ,r r u t v t u t v t t = + > ! ! . Aceast curb trece prin P la valoarea 0t = . Vectorul tangent ei n P este
(4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 , ' 0 , ' 0u vd r r u v u r u v vdt = +! "! "!
.
Vectorul ( )0d rdt
! este tangent suprafeei S n P.
Linia parametric 0v v= trece prin P iar vectorul tangent ei n P este
( )0 0,ur u v"!
. Deci ( )0 0,ur u v"!
este tangent suprafeei S n P. Similar constatm c
( )0 0,vr u v"!
este tangent suprafeei S n P. Aadar vectorii necoliniari (deci liniar
independeni) ( )0 0,ur u v"!
i ( )0 0,vr u v"!
din 3V sunt n PT S . Mai mult, formula (4.3) ne arat c orice vector din PT S este o combinaie liniar de vectorii liniar
independeni ( )0 0,ur u v"!
i ( )0 0,vr u v"!
. Rezult c are loc Propoziia 4.1. Mulimea PT S este un subspaiu liniar de dimensiune 2 a
spaiului liniar 3PT E . Pe baza acestei propoziiei vom numi PT S spaiu liniar tangent la S n
punctul P S . Noiunea de spaiu tangent, noiune punctual, este o noiune geometric,
intrinsec asociat suprafeei S. Vom demonstra Propoziia 4.2. Spaiul liniar tangent PT S nu depinde de reperul ales n
3E i nici de parametrizarea suprafeei S. Demonstraie. Am vzut mai sus c vectorii ur
"! i vr"!
nu depind de reperul R din 3E , deci nici PT S nu depinde de R . La o schimbare de parametrii (1.3),
(1.4), au loc formulele (1.6) care ne arat c vectorii %uh""!
, vh%""!
genereaz subspaiul liniar PT S .
Capitolul 3. Suprafee
74
5. Planul tangent ntr-un punct al suprafeei. Normala la suprafa
Continum s considerm o suprafa S cu reprezentarea parametric (5.1) ( ), , 0u vr r u v r r=
! ! "! "! ! pe mulimea deschis 2U # ,
i un punct ( )0 0,P u v pe S. Definiia 5.1. Subspaiul afin din 3E determinat de P i spaiul liniar PT S
se numete plan tangent la S n P. Am vzut c PT S este generat de vectorii ( )0 0,ur u v
"! i ( )0 0,vr u v"!
. Deci planul tangent la S n p este planul care trece prin P i conine aceti
vectori. Ecuaia sa este evident (5.2) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , , , , 0u vr r u v r u v r u v =! ! "! "!
sau cu ajutorul coordonatelor de vectori:
(5.2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, , ,, , , 0, , ,
u u u
v v v
x x u v y y u v z z u vx u v y u v z u vx u v y u v z u v
= .
Putem da planul tangent la S n P i prin ecuaia (5.2) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , ,u vr r u v r u v r u v = + +
! ! "! "!# .
Fie suprafaa S reprezentat explicit n forma (5.3) ( ) ( ), , ,z f x y x y D= mulime deschis n 2# . Pentru a gsi ecuaia planului tangent la S n ( )( )0 0 0 0, , ,P x y f x y , trecem
la reprezentarea parametric ( ) ( ), , , , ,x u y v z f u v u v D= = =
i aplicm (5.2). Obinem
(5.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 00, , , ,f fp x x q y y z z p x y q x yx y
+ = = =
.
n cazul n care suprafaa S este reprezentat implicit prin (5.5) ( ) ( )2 2 2, , 0, 0, , ,x y zF x y z F F F x y z V= + + >
mulime deschis n 3# , pentru a obine ecuaia planului tangent la S n ( )0 0 0, ,P x y z S se face o explicitare, de exemplu n forma ( ),z f x y= dac ( )0 0 0, , 0zF x y z cu ( )0 0 0,z f x y= i ( )( ), , , 0F x y f x y pe o submulime
deschis ce conine punctul ( )0 0 0, ,x y z . Prin derivarea acestei identiti n raport cu x i y se obin identitile
0, 0x z y zf fF F F Fx y
+ +
Capitolul 3. Suprafee
75
din care deducem ( )( )
( )( )
0 0 00 0 0
0 0 0 0 0 0
, ,, ,,
, , , ,yx
z z
F x y zF x y zp q
F x y z F x y z= = .
Prin nlocuire n (5.4) obinem ecuaia planului tangent la S, dat prin (5.5), n ( )0 0 0, ,P x y z S n forma
(5.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0x y zx x F x y z y y F x y z z z F x y z + + = . Ecuaia (5.6) se scrie compact n forma (5.6) ( )0 0 0, , grad 0r r u v F =! ! ,
unde indicele 0 arat c vectorul grad F se calculeaz n punctul ( )0 0 0, ,x y z . Definiia 5.1. Dreapta perpendicular pe planul tangent la S n punctul
P S care trece prin P se numete normala la suprafa n punctul P . Vectorul care d direcia normalei n ( )0 0,P u v este vectorul u vr r
"! "!
calculat n ( )0 0,u v . Ecuaia normalei la S n punctul P este (5.7) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , , u vr r u v r u v r u v = +
! ! "! "!# .
Versorul ( )0 0, u vu v
P
r rN u vr r
=
"! "!""!"! "! se numete versorul normalei la S n
punctul P . Vectorii ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0, , , , ,u vr u v r u v N u v"! "! ""! sunt liniari independeni, adic formeaz o baz n 3PT E . Ansamblul ( ) ( ) ( )( ){ }0 0 0 0 0 0, , , , , ,u vP r u v r u v N u v"! "! ""! este un reper n 3E cu originea n P S , numit reperul lui Gauss. Reperul lui Gauss se modific atunci cnd punctul P variaz pe S . Cu alte cuvinte, el este un reper mobil pe S .
6. Forma I-a fundamental a unei suprafee
Fie din nou suprafaa S reprezentat parametric prin (5.1). ncepnd cu acest paragraf, vom renota parametrii pe S astfel: 1 2, u u v u= = i vom pune
1 11 2, u vu vr r h r r h= = = ="! ""! "! "! ""! ""!
. Cu P S , vom nota prin , ...P PX Y vectori din PT S . Rezult c vectorul
P PX T S este de forma
(6.1) 2
1 2 1 21 2
1, ,iP i
iX X h X h X h X X
=
= + = "! ""! "! # ,
Capitolul 3. Suprafee
76
pentru c vectorii 1h"!
i 2h""!
formeaz o baz n PT S . Vectorii tangeni la S n P S au caracter geometric pentru c au fost
definii ca vectori tangeni la curbe pe S care trec prin P . Amintim c factorii 1X i 2X din (6.1) sunt n fond
(6.2) ( ) ( )1 2
1 20 , 0 ,du duX Xdt dt
= =
unde
(6.3) ( )( ) ( )
2 21 1 1 2
2 20, , ,
,
u u t du du tdt dtu u t
=
+ > =
reprezint o curb pe S care trece prin P la 0t = . Schimbarea reperului ortonormat din 3E nu modific nici 1 2,X X i nici
vectorii 1 2,h h"! ""!
. Schimbarea parametrilor pe suprafa modific att numerele 1 2,X X ct
i vectorii 1 2,h h"! ""!
dar, dup cum vom verifica imediat, PX rmne acelai. Fie schimbarea de parametrii
(6.4) % %( )% %( ) % %( ) $1 21 1
1 2 1 22 2 2
,
, , , multime deschisa in
u u u u
u u u u u u U
= = #
cu condiia
(6.4) % %
% %
$
1 1
1 12
2 2
1 2
0 pe .
u uu u Uu uu u
Sistemul (6.4) n necunoscutele % %1 2,u u se poate rezolva n forma
(6.5) % % ( )% % ( ) ( )1 1 1 2
2 2 1 2 1 2
,
, , ,
u u u u
u u u u u u U
= =
n parametrizaia dat de % %1 2 si u u , curba (6.3) are ecuaiile
(6.6) % % ( ) ( )( )% % ( ) ( )( ) ( )1 1 1 2
2 2 1 2
,
, , , .
u u u t u t
u u u t u t t
= =
Prin derivare n raport cu t a funciilor din (6.6), obinem
Capitolul 3. Suprafee
77
$ % ( ) % ( ) % ( )$ % ( ) % ( ) % ( )
1 1 11 21
1 2
2 2 21 22
1 2
: 0 0 0
: 0 0 0 ,
du u du u duXdt u dt u dt
du u du u duXdt u dt u dt
= = +
= = +
unde derivatele pariale %1
2
uu
, sunt calculate n ( ) ( )( )1 20 , 0u u , coordonatele curbilinii ale lui P S .
Aceste formule se pot scrie mai compact astfel:
(6.7) $%2
1, 1, 2.
ii j
jj
uX X iu
=
= =
Pe de alt parte, n noile notaii, formula (1.6) se scrie n forma
(6.8) $%
2
1,
j
i jij
uh hu=
=
"! ""!
unde % % %( ) % %( )( )1 2 1 21 2, , ,h h u u u u u u=! ! . Ne propunem s artm c (6.9) $ $
2 2
1 1
i ji j
i jX h X h
= =
= "! ""!
.
Avem: $ $%%
2 2 2
1 , , 1 , , 1,
i ji k j k ji j k j jik
i i j k i j k
u uX h X h X h X hu u
= = =
= = =
"! ""! ""! ""! unde am
folosit relaiile
(6.10) %%
2
1
1, 0, .
i jj
kiki
j ku uj ku u
=
= = =
Rmne s ne convingem c are loc (6.10). tim c ecuaiile (6.5) au fost obinute rezolvnd sistemul (6.4). Aadar au
loc identitile % ( ) % ( )( )1 21 2 1 2, , , 1, 2.j ju u u u u u u u j =
Prin derivare compus n raport cu , 1, 2ku k = , obinem:
%%2
1, , 1, 2
ij j
ik ki
u u u j ku uu=
= =
.
Dar j
jkk
uu
=
.
Formula (6.9) ne arat c P PX T S nu depinde de parametrizarea de pe suprafaa S.
Capitolul 3. Suprafee
78
Definiia 6.1. Aplicaia :P P Pg T S T S # care asociaz perechii ( ),P PX Y numrul real ( ), ,P P P P Pg X Y X Y= , unde , nseamn produsul scalar n 3V , se numete forma I-a fundamental a suprafeei S n P. Aplicaia
PP g se numete forma I-a fundamental a suprafeei S. Observaie. Forma I-a fundamental are caracter geometric pentru c
,P PX Y sunt vectori tangeni i produsul scalar a doi vectori nu depinde de reperul din spaiu.
Aplicaia Pg este evident biliniar, simetric i pozitiv definit ( )( ), 0 0P P P P Pg X Y X T S> .
Fie PX dat de (6.1) i 1 2
1 2PY Y h Y h= +"! ""!
. Biliniaritatea i simetria aplicaiei
Pg conduc la formula
(6.11) ( ) 2, 1
, ,i jP P P iji j
g X Y g X Y=
= unde (6.11) ( ) , ,ij i jg P h h=
"! ""! produs scalar calculat n ( )1 20 0,P u u .
Funciile ijg care depind de P, iar prin intermediul coordonatelor curbilinii apar definite pe U, se numesc coeficienii formei I-a fundamentale.
S efectum o schimbare de parametrii de forma (6.4) cu (6.4) pe S. Fie ' ( ) $ $,ij i jg P h h=
"! ""! noii coeficieni ai formei I-a fundamentale. Cu ajutorul formulei
(6.8), acetia devin ' ( ) % %2 2
1 1,
r s
ij r si jr s
u ug P h hu u= =
=
""! ""! . Prin folosirea proprietilor
produsului scalar obinem
(6.12) ' ( ) % % ( )2
, 1
r s
ij rsi jr s
u ug P g Pu u=
=
.
n aceste egaliti P are n stnga coordonatele curbilinii % %( )1 20 0,u u iar n dreapta are coordonatele curbilinii % %( ) % %( )( )1 2 1 21 20 0 0 0, , ,u u u u u u i derivatele pariale sunt calculate n % %( )1 20 0,u u .
Avnd n vedere (6.10), ecuaiile (6.12) se pot rezolva n raport cu rsg i se obin formulele
(6.12) ( ) % % ' ( )2, 1
i j
rs ijr si j
u ug P g Pu u
=
=
.
Capitolul 3. Suprafee
79
Formulele (6.12) i (6.12) constituie legea de transformare a coeficienilor formei I-a fundamentale la o schimbare de parametrii pe suprafa.
Coeficienii formei I-a fundamentale sunt n numr de trei: (6.13) 11 1 1 12 21 1 2 22 2 2, , , , ,g h h g g h h g h h= = = =
"! "! "! ""! ""! ""!
sau n notaii clasice (6.14)
2 2
11 12 22: , : , , : .u u v vg E r g F r r g G r= = = = = ="! "! "! "!
Forma ptratic asociat formei I-a fundamentale se numete, de obicei, tot forma I-a fundamental i se noteaz tot prin Pg . Avem
(6.15) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 211 12 22, 1
2 ,i jP P iji j
g X g X X g X g X X g X=
= = + + pentru vectorul tangent PX dat de (6.1).
Notm prin 11 1212 22
g gG
g g
= matricea formei ptratice Pg . Definiia lui Pg ne spune c
211 22 12detG g g g = = este o funcie pozitiv pe U. Acest fapt
rezult i astfel:
(6.16) 2 22 2
1 2 1 2 1 2, 0 pe .h h h h h h U = = >"! ""! "! ""! "! ""!
S ne amintim c vectorul PX are coordonatele de forma (6.2). Direcia sa
este de forma ( ) ( ) { }1 2
0 , 0 , \ 0du dudt dt
# . Cu particular de forma dt = , constatm c direcia lui PX este complet determinat de diferenialele
( )1 2,du du . Vom spune c ( )1 2,du du du= reprezint o direcie tangent suprafeei. Pentru o asemenea direcie definim forma ptratic pozitiv definit
(6.17) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 211 12 22, 2 ,P du g du g du du g du = + + unde coeficienii sunt calculai n ( )1 2,P u u , numit, de asemenea, forma I-a fundamental a suprafeei S. n notaii clasice
(6.17) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , 2 , ,P du dv E u v du F u v dudv G u v dv = + + . n cazul n care suprafaa este dat n forma explicit
( ) ( ), , ,z f x y x y D= , mulime deschis n 2# , punem ,x u y v= = i trecem la reprezentarea parametric ( ) ( )( ), , , ,r u v u v f u v=! i rezult ( )1,0, ,ur p="!
( )1,0,vr q="!
, unde ,x yp f q f= = , n notaiile lui Ch. Monge. Aadar avem (6.18) 2 2 2 21 , , 1 , 1E p F pq G q p q= + = = + = + + .
Capitolul 3. Suprafee
80
Fie suprafaa S dat implicit de ecuaia ( ) 2 2 2, , 0, 0x y zF x y z F F F= + + > pe V, mulime deschis n 3# . Cu 0zF pe o submulime deschis 0V V , putem explicita ( ),z f x y= i are loc identitatea ( )( ), , , 0F x y f x y pe o submulime deschis D din 2# . Prin derivare n raport cu x i y, obinem identitile
0, 0x z y zF F p F F q+ + , din care rezult ,yx
z z
FFp qF F
= = . Aplicm (6.18) i
obinem
(6.19) 2 2 22
2 2 2 21 , , 1 , 1x y y x yx
z z z z
F F F F FFE F GF F F F
+= + = = + = + .
7. Aplicaii ale formei I-a fundamentale Fie o suprafa ( )S h U= cu U mulime deschis n 2# , un punct P S
i PT S spaiul tangent n P la S. Dup definiia 6.1 perechea ( ),P PT S g este un spaiu vectorial euclidian
(de dimensiune 2). Aadar putem vorbi de lungimea unui vector P PX T S :
(7.1) ( ) ( )2, 1
, ,i jP P P P iji j
X g X X g P X X=
= = precum i de unghiul a doi vectori ,P P PX Y T S :
(7.2) ( ) ( )( )
( ) ( )
2
, 1
2 2
, 1 , 1
,cos ,
i jij
i jP P PP P
P P i j i jij ij
i j i j
g P X Yg X Y
X YX Y
g P X X g P Y Y
=
= =
= =
(
Fie o curb pe suprafaa S de ecuaie (7.3) ( ) ( )( ) [ ]1 2, , ,r h u t u t t a b= ! ! . Vectorul tangent ei dr
dt
! are n baza ( )1 2, din Ph h T S"! ""! coordonatele
1 2
,du dudt dt
i deci ( ) ( )( )2
1 2
, 1,
i j
iji j
d r du dug u t u tdt dt dt
=
= !
. Rezult c lungimea
acestei curbe este
Capitolul 3. Suprafee
81
(7.4) 2 21 1 2 2
11 12 222 ,b
adu du du duL g g g dtdt dt dt dt
= + +
unde coeficienii ( )ijg sunt calculai n punctul ( ) ( )( )1 2,u t u t . Funcia lungime de arc este n acest caz
( )2 21 1 2 2
11 12 222 ,t
adu du du dus t g g g ddt dt dt dt
= + + iar difereniala ei la ptrat este
(7.5) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 211 12 22, 2ds P du g du g du du g du= = + + . Aadar, forma I-a fundamental apare i ca ptratul diferenialei funciei
lungime de arc. Aceasta este o interpretare geometric a formei I-a fundamentale. Fie dou curbe pe S care trec prin punctul ( )1 20 0,P u v la valoarea 0t a
parametrului, de ecuaii
(7.6) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
1 2
1 20 0
, ,
' ' , ' , , , 0.
r h u t u t
r h u t u t t t t
=
= + >
! !
! "!
Prin definiie, unghiul curbelor (7.6) n punctul lor de intersecie P, este unghiul vectorilor tangeni celor dou curbe n punctul P. Aceti vectori au
componentele ( ) ( )1 2
0 0,du dut tdt dt
i respectiv ( ) ( )1 2
0 0' ',du dut t
dt dt .
Dup (7.2), unghiul lor este dat de formula
(7.7)
2
, 1
2 2
, 1 , 1
'
cos' '
i j
iji j
i j i j
ij iji j i j
du dugdt dt
du du du dug gdt dt dt dt
=
= =
=
.
Dup o simplificare prin ( )2dt , obinem formula care d unghiul a dou direcii pe S n ( )1 20 0,P u u .
Ca aplicaie, s calculm unghiul al curbelor 1u const= i 2u const= . Avem 1 0du = i 2du oarecare, respectiv 1'du oarecare i 2' 0du = . Formula (7.7) ne d
(7.8) ( ) ( )
2 112 12
2 22 1 11 2222 11
'cos .'
g du du g Fg g EGg du g du
= = =
Capitolul 3. Suprafee
82
Doi vectori tangeni n P S sun ortogonali dac unghiul lor are msura
2 . Dou dire ii tan nte n P S sunt ortogonale dac unghiul lor are msura
2 .
Dou curbe prin P S , situate pe S sunt ortog nale dac unghiul vectorilor
tangeni lor n P are msura 2 .
Formula (7.8) ne arat c liniile parametricdac ( )12 0, 0 pe g F U= = .
Fie D o submulime compact n U i hNotm prin A aria mulimii D .
n unele manuale de Analiz matemaurmtoarea formul de calcul a ariei A:
(7.9) 2 1 211 22 12 ,D
A g g g du du= sau, n notaii clasice,
(7.9) 2D D
A EG F dudv= = Formula (7.9) poate fi intuit prin urm
reeaua liniilor parametrice. Aceasta mparte mulimn Fig. 24.
Fig. 24
ogecte sunt ortogonale dac i numai
( )D S= D imaginea sa n S. tic se demonstreaz riguros
.dudv
toarele consideraii. Fie pe S ea D n patrulatere curbilinii ca
Capitolul 3. Suprafee
83
Aproximm aria unui asemenea patrulater cu aria paralelogramului determinat de vectorii ur du
"! i vr dv"!
, adic cu numrul
.u vdA r r dudv dudv= = "! "!
Aria A va fi suma ariilor acestor paralelograme infinitesimale, sum care este dat de
D
dudv .
8. Formulele lui Gauss. Formulele lui Weingarten.
Fie suprafaa S reprezentat parametric prin (8.1) ( ) ( )1 2 1 21 2, , 0 ,r h u u h h u u D= ! ! "! ""! ! mulime deschis n 2# . Fie P S . Reperul ( ){ }1 2, , ,P h h N"! ""! ""! , unde 1 2
1 2
h hNh h
=
"! ""!""!"! ""! , cu P variabil, este
un reper mobil pe S, numit reperul lui Gauss. Pentru a studia variaia acestui reper
vom exprima vectorii 1 1 2 21 2 1 2, , ,h h h hu u u u
"! "! ""! ""! n reperul lui Gauss i vom obine
formulele lui Gauss. Exprimarea vectorilor 1Nu
""! i 2
Nu
""! n reperul lui Gauss va
conduce la formulele lui Weingarten. Ne ocupm, pe rnd, de stabilirea acestor
formule. Notm ( )2
: , 1, 2iij jij j ih rh h i ju u u
= = = =
"! !""! ""! i descompunem aceti
vectori n baza ( )1 2, ,h h N"! ""! ""! n forma urmtoare (FG)
2
1, , 1, 2kij ij k ij
kh h b N i j
=
= + =""! ""! ""! , unde funciile kij i ijb de ( )1 2,u u urmeaz a fi determinate.
Prin nmulire scalar cu N""!
n (FG), avnd n vedere c , 0, 1, 2kN h k= =""! ""!
i 2
1N =""!
, obinem
(8.2) ( ) ( )1 2 1 21 2
1 1, , , , ,ij ij ij ijb h N h h h h h hh h= = =
""! ""! "! ""! ""! "! ""! ""!"! ""! ,
unde 22 2
1 1 1 2,h h h h = "! "! "! ""!
.
n notaiile lui Gauss: 11 12 21 22: , : , :b L b b M b N= = = = , dac revenim la parametrizarea ( ),u v , vom scrie
Capitolul 3. Suprafee
84
(8.2) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , ,u v uu u v uv u v vvL r r r M r r r N r r r= = = "! "! ""! "! "! ""! "! "! ""!
.
Vom determina acum funciile kij .
nmulim scalar n (FG) cu , 1, 2mh m =""!
. Obinem
, ,k kij m ij k m ij kmk k
h h h h g= = ""! ""! ""! ""! . Cu i,j fixai, sistemul
(8.3) ,kkm ij m ijk
g h h = ""! ""! , n necunoscutele 1ij i
2ij are soluie unic pentru c
( ) 11 1221 22
det det 0mkg g
gg g
= = . Aadar putem obine pe rnd ( ) ( )1 2 1 211 11 12 12, , , i ( )1 222 22, rezolvnd trei sisteme de tipul (8.3), funcie de ( )mkg i ,m ijh h
""! ""!.
Exist un procedeu, pe care-l descriem acum, de a determina simultan toate cele 6 funcii kij .
Prin derivarea relaiei ,ik i kg h h="! ""!
n raport cu ju obinem
(i) , , , , , 1, 2ik ij k i kjjg h h h h i j ku
= + =
""! ""! "! ""!.
Permutm ciclic i,j,k n (i) i obinem
(ii) , , ,ji jk i j ikkg
h h h hu
= +
""! "! ""! ""!
(iii) , ,kj ki j k jiig
h h h hu
= +
""! ""! ""! ""!
.
nmulim una din ecuaiile (i), (ii), (iii) cu -1, fie de exemplu (iii), i le adunm membru cu membru. Obinem
(8.4) [ ]1, : ;2
ij jkiki jk j k i
g ggh h jk iu u u
= + =
"! ""!.
Funciile notate prin [ ];jk i se numesc simbolii Christoffel de specia I-a. Observm simetria lor n indicii j,k. Sistemul (8.3) devine
(8.3) [ ];kmk ijk
g ij m = . Fie ( )mng matricea invers matricii ( )nig , adic avem
Capitolul 3. Suprafee
85
2
1
1 pentru 0 pentru .
mn mni i
n
i mg g
i m
=
== =
nmulim n (8.3) cu nmg i summ dup m. Rezult
[ ]2 2, 1 1
;nm k nmmk ijk m m
g g g ij m= =
= sau [ ]21
;n nmijm
g ij m=
= . Aadar am obinut
(8.5) 2
1
1 , , , , 1, 22
mj ijn nm miij j i m
m
g ggg i j n mu u u
=
= + = . Funciile nij date de (8.5) se numesc simbolii lui Christoffel de specia a
II-a. Formulele (8.5) justific Propoziia 8.1. Funciile kij se exprim numai cu funciile ( )ijg i
derivatele lor de ordinul I. Formulele (FG) cu funciile ( )kij date de (8.5) i funciile ( )ijb date de
(8.2) se numesc formulele lui Gauss.
Stabilim acum formulele lui Weingarten. Notm :i iNNu
=
""!""! i = 1,2 i
descompunem aceti vectori n baza ( )1 2, ,h h N"! ""! ""! astfel: (8.6)
2
1, 1, 2ji i j
jN A h N i
=
= + =""! ""! ""! , unde funciile jiA i de variabilele ( )1 2,u u urmeaz a fi determinate.
nmulim scalar (8.6) cu N""!
i avem n vedere c 2
1N =""!
, , 0iN N =""! ""!
i
, 0jN h =""! ""!
. Obinem 0 = .
nmulim scalar (8.6) cu ( ) 1, 2kh k =""!
i rezult 2
1,ji jk i k
jA g N h
=
= ""! ""! . Prin derivarea egalitii , 0kh N =
""! ""! n raport cu ( )iu , obinem
, ,i k ik ikN h h N b= = ""! ""! ""! ""!
i deci
(8.7) 2
1, , 1, 2jkj i ki
jg A b i k
=
= = . n (8.7) avem 4 ecuaii care, grupate convenabil cte dou, formeaz dou
sisteme liniare, fiecare cu matricea ( )kjg care este nesingular i deci cele patru
Capitolul 3. Suprafee
86
funcii ( )jiA sunt unic determinate. Pentru a gsi unitar expresia acestor funcii, nmulim n (8.7) cu hkg i summ dup k. Rezult:
2
, 1
hk j hkkj i ki
k j kg g A g b
=
= sau, avnd n vedere c hk hkj j
kg g = ,
(8.8) 2
1
h hki ki
kA g b
=
= . Formulele
(FW) 2
1
ji i j
jN A h
=
= ""! ""! , cu funciile ( )jiA date de (8.8) se numesc formulele lui Weingarten.
Definim operatorul liniar Weingarten : P PA T S T S prin 2
1
ji i j
jAh A h
=
= "! ""! , cu alte cuvinte ( )jiA este matricea operatorului A n baza ( )1 2,h h"! ""! .
Propoziia 8.2. Operatorul Weingarten A este autoadjunct n raport cu g, adic are loc egalitatea
(8.9) ( ) ( ), , , , Pg AX Y g X AY X Y T S= . Demonstraie. Este suficient s verificm (8.9) pentru iX h=
"! i jY h=
""!.
Avem, n baza egalitilor (8.8), ( ) 2 21 1
, ,k ki j i k j i kj ijk k
g Ah h g A h h A g b= =
= = =
"! ""! ""!. Pe de
alt parte, ( ) 2 21 1
, , k ki j i j k j ki jik k
g h Ah g h A h A g b= =
= = =
"! ""! "! ""! n baza acelorai egaliti
(8.8). Cum ij jib b= , (8.9) are loc.
9. Forma a II-a fundamental a unei suprafee Continum s studiem suprafaa S reprezentat parametric, utiliznd
rezultatele stabilite mai sus. Definiia 9.1. Aplicaia :P P Pb T S T S # dat prin formula (9.1) ( ) ( ), , , ,P P Pb X Y g AX Y X Y T S= ,
se numete forma a II-a fundamental a suprafeei S n punctul P. Aplicaia PP b se numete forma a II-a fundamental a suprafeei S..
Capitolul 3. Suprafee
87
Aplicaia Pb este o form biliniar pentru c A este operator liniar i Pg este form biliniar. Pe baza egalitii (8.9), forma biliniar Pb este simetric.
Matricea ei n baza ( )1 2,h h"! ""! este ( ) ( ), ,P i j P i j ijb h h g Ah h b= ="! ""! "! ""! , dup cum rezult n demonstraia Propoziiei 8.2. Aadar putem scrie Pb i n forma urmtoare
(9.2) ( ) 2, 1
, i jP iji j
b X Y b X Y=
= , pentru 2 21 1
, i ji ji i
X X h Y Y h= =
= = "! ""! . Observaie. Aplicaia Pb are caracter geometric. Matricea formei biliniare
Pb are determinantul 11 12 2
11 22 1212 22
b bb b b
b b= .
Definiia 9.2. Punctele suprafeei S n care avem ( )211 22 12 0 respectiv 0, 0b b b < = > se numesc puncte hiperbolice (respectiv parabolice, eliptice).
Forma ptratic asociat lui Pb , adic
(9.3) ( ) 2 2, 1 1
, i j iP ij ii j i
b X b X X X X h= =
= = "! , se numete, de asemenea, forma a II-a fundamental a suprafeei S.
Fie ( )1 2,du du du= o direcie tangent suprafeei S. Forma ptratic (9.4) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 211 12 22
, 1, 2i jij
i jP du b du du b du b du du b du
=
= = + + se numete, de asemenea, forma a II-a fundamental a suprafeei.
n notaiile lui Gauss, forma a II-a fundamental se scrie (9.5) ( ) 2 2, , 2P du dv Ldu Mdudv Ndv = + + ,
n care L,M,N sunt funcii de u i v. Cutm expresiile formei a II-a fundamentale n celelalte dou
reprezentri posibile ale suprafeei S. n acest scop continum consideraiile i calculele care ne-au condus la expresiile coeficienilor formei I-a fundamentale n reprezentarea explicit i respectiv n reprezentarea implicit a suprafeei S. Reprezentarea parametric ( ) ( )( ), , , ,r u v u v f u v=! care provine din reprezentarea explicit ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y D= # , ne-a condus la ( ) ( )1,0, , 0,1,u vr p r q= =
"! "!.
Derivnd n continuare obinem ( ) ( ) ( )0,0, , 0,0, , 0,0,uu uv vvr r r s r t= = =""! ""! ""!
, unde , ,xx xy yyr f s f t f= = = n notaii Monge.
Formulele de calcul ale coeficienilor L, M, N conduc n aceast reprezentare la formulele
Capitolul 3. Suprafee
88
(9.6) 2 2 2 2 2 2
, ,1 1 1
r s tL M Np q p q p q
= = =
+ + + + + +.
Determinantul matricei formei a II-a fundamentale este 2
2 21rs t
p q
+ +.
n situaia n care suprafaa S este reprezentat implicit prin ecuaia ( ), , 0F x y z = , cu condiia 0zF , pe o submulime deschis n 3# , se poate obine reprezentarea explicit ( ),z f x y= i am vazut mai sus c
, yxz z
FFp qF F
= = .
Derivm p i q n raport cu x i y pentru a obine derivatele r, s, t. Dup calcule, rezult urmtoarele expresii ale coeficienilor formei a II-a fundamentale
(9.7) 2 2 2
x xz xx z
z x y z
F F F FLF F F F
=
+ +,
2 2 2
x yz xy z
z x y z
F F F FM
F F F F
=
+ +,
2 2 2
y yz yy z
z x y z
F F F FN
F F F F
=
+ +
Coeficienii formei a II-a fundamentale decid forma suprafeei n vecintatea unui punct al suprafeei. Aceasta rezult din urmtoarele consideraii.
Fie un punct P al suprafeei elementare S reprezentat explicit prin ecuaia ( ) ( ) 2, , ,z f x y x y D= # . Alegem reperul din 3E nct originea sa O s fie
P iar axa Oz s coincid cu normala n P la suprafaa S. Condiia ca vectorul normal
unitar ( )2 2
1 , ,11
N p qp q
=
+ +
""! s coincid cu k
! ne d c 0p q= = n punctul
( )0,0,0P . Coeficienii formei a II-a fundamentale sunt dai de (9.6). Dezvoltm
funcia ( ),z f x y= n serie Taylor n vecintatea punctului ( )0,0 . Obinem ( )2 21 2 ...2z rx sxy ty= + + +
Rezult c n vecintatea lui P suprafaa S difer foarte puin de cuadrica de ecuaie
(9.8) ( )2 21 22z rx sxy ty= + + . Aceast cuadric este un paraboloid eliptic dac 2 0rt s > , un paraboloid
hiperbolic dac 2 0rt s < i cilindru parabolic dac 2 0rt s = , cu 0r sau 0t . Aadar, n vecintatea unui punct eliptic suprafaa difer foarte puin de un paraboloid eliptic, n vecintatea unui punct hiperbolic suprafaa difer foarte puin de un paraboloid hiperbolic iar n vecintatea unui punct parabolic n care 0L sau
0N , suprafaa difer foarte puin de un cilindru parabolic.
Capitolul 3. Suprafee
89
Aceast situaie explic termenii punct eliptic, punct hiperbolic i, respectiv, punct parabolic. Nu putem spune nimic despre forma suprafeei n vecintatea punctelor parabolice n care 0L N= = i deci 0M = . Ea poate fi foarte complicat, dat de termenii de gradul 3 n dezvoltarea n serie Taylor a funciei z.
10. Curburi principale. Curbur total. Curbur medie.
Definiia 10.1. Aplicaia :n Pk T S # , definit prin
(10.1) ( ) ( )( ),
, , 0,n P
b X Xk X X T S X
g X X= ,
se numete curbura normal a suprafeei n punctul P S . Cu i iX X h= "! , valoarea funciei curbur normal n X, numit simplu
curbura normal se scrie
(10.2) ( ) , , 1, 2i j
ijn i j
ij
b X Xk X i j
g X X= = .
Vectorul ( )1 2,X X X= se numete vector principal dac el este punct critic pentru curbura normal nk . Valoarea curburii normale pentru un vector principal notat prin se numete curbur principal.
Condiia ca vectorul tangent ( )1 2,X X X= s fie punct critic pentru nk se scrie 1 20, 0
n nk kX X
= =
.
Prin derivare n expresia (10.2) aceast condiie se scrie n forma
(10.3) ( ) ( )( ) ( )
1 2 1 211 12 11 12
, ,
1 2 1 212 22 12 22
, ,
i j i jij ij
i j i j
i j i jij ij
i j i j
b X b X g X X g X g X b X X
b X b X g X X g X g X b X X
+ = +
+ = +
Acest sistem este echivalent cu
(10.4) 1 2 1 2
11 12 12 221 2 1 2
11 12 12 22
b X b X b X b Xg X g X g X g X
+ +
= =
+ +,
unde este valoarea curburii normale pentru vectorul X, adic avem
( ) ( )( ),
,,
b X XP X
g X X = .
Ecuaiile (10.4) se mai pot scrie n forma urmtoare
Capitolul 3. Suprafee
90
(10.5) ( ) 0, 1, 2jij ijj
b g X i = = . Vom folosi aceast form pentru a demonstra Propoziia 10.1. Un vector X este principal dac i numai dac este
vector propriu pentru operatorul Weingarten, corespunztor valorii proprii (curbur principal).
Demonstraie. Ecuaia matricial AX X= care d vectorii proprii ai operatorului Weingarten, se scrie n baza ( )1 2,h h"! ""! astfel:
,
,
i i i j ji i i j j
i i j
j i j jk i ji ki
i j
A X h X h X A h X h
A X X g b X X
= =
= =
"! "! ""! ""!
nmulim ultima expresie cu sjg i summ dup j. Rezult i j
si sji j
b X g X= sau, dup schimbri permise de indici ( ) 0jij ijj
b g X = , ecuaie care pentru = este exact (10.5).
Pe baza Propoziiei 10.1 demonstrm Propoziia 10.2. Vectorii principali corespunztori la curburi principale
distincte sunt ortogonali. Demonstraie. Fie 1 1 1AX X= i 2 2 2AX X= cu 1 2 i 1 0 .
Avem ( ) ( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 21 1 1
1 1, , , ,g X X g AX X g X AX g X X
= = = .
Pentru 2 0 = , obinem ( )1 2, 0g X X = . Pentru 2 0k , rezult ( )2 1 21
1 , 0k g X Xk
= ,
deci, din nou, ( )1 2, 0g X X = . n cazul n care 1 0 = i 2 0 , putem scrie
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 2
1 1, , , 0g X X g X AX g AX X
= = = .
Amintim c se numete curbur principal valoarea curburii normale
pentru un vector principal. Am vzut c ecuaiile care dau vectorii principali sunt (10.5). Aceste
ecuaii constituie un sistem liniar i omogen n ( )1 2,X X i, pentru a exista vectori principali, n mod necesar determinantul acestui sistem trebuie s fie egal cu zero. Aadar curburile prinicpale sunt date de ecuaia
Capitolul 3. Suprafee
91
(10.6) 11 11 12 1221 21 22 22
0,b g b gb g b g
=
sau
(10.6) ( ) ( )2 2 211 22 12 11 22 12 12 22 11 11 22 122 0g g g g b g b g b k b b b + + = . Propoziia 10.3. Ecuaia (10.6) are soluii reale. Demonstraie. Alegem o parametrizare a suprafeei S n care 12 0g = .
Discriminantul ecuaiei (10.6), ecuaie de gradul II n , este ( )2 211 2 11 22 124 0g b b g b + cu egalitate dac i numai dac 12 11 22 11 220, 0b g b b g= = . Aadar soluiile ecuaiei (10.6) sunt reale. Soluiile 1 2,k k
sunt confundate dac 11 12 2211 12 22
b b bg g g
= = . Vom numi planare punctele n care
11 12 22 0b b b= = = i ombilicale punctele n care 11 12 2211 12 22
1 , 0b b b Rg g g R
= = = . Deci n
puncte planare avem 1 2 0k k= = iar n puncte ombilicale avem 1 21k kR
= = .
Definiia 10.2. Fie P S i 1 2, curburile principale n punctul P.
Numrul real 2
11 22 121 2 2
11 22 12
b b bKg g g
= =
se numete curbura total a suprafeei n P.
Numrul real 1 2 11 22 12 12 22 11211 22 12
212 2
g b g b g bHg g g
+ += =
se numete curbura
medie a suprafeei n P. Fiecrui punct P al suprafeei S putem s-i asociem curbura total a
suprafeei n P i curbura medie a suprafeei n P. Obinem astfel dou funcii reale pe S, numite funcii curbur total i respectiv funcia curbur medie.
Semnul funciei K este dat de natura punctelor suprafeei. Avem 0K < n puncte hiperbolice, 0K = n puncte parabolice i 0K > n puncte eliptice. Punctele planare sunt parabolice iar cele ombilicale sunt puncte eliptice. Situaia acestor dou categorii de puncte este clarificat n urmtoarele dou propoziii.
Propoziia 10.4. Planul are toate punctele planare. Dac o suprafa
conex are toate punctele planare, atunci ea este o regiune conex a unui plan. Demonstraie. Prima afirmaie se verific uor prin calcul, considernd
ecuaiile planului de forma: ( ) 2, , 0, ,x u y v z u v R= = = . Fie S o suprafa conex cu 0, , 1, 2ijb i j= = . Rezult 0
ijA = i, din formulele lui Weingarten, urmeaz
0jN =""! !
, adic 0N N=""! ""!
(constant).
Capitolul 3. Suprafee
92
Considerm funcia ( )1 20 , ,N h u u""! ! pe care o derivm n raport cu 1u i 2u . Rezult:
00
,, 0jj
N hN h
u
= =
""! !""! ""!
. Aadar 0 ,N h D= ""! !
(constanta real). Cu
( )0 , ,N A B C=""!
obinem ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , 0Ax u u By u u Cz u u D+ + + = . Deci punctul ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2, , , , ,P x u u y u u z u u de pe suprafaa S se afl n planul de ecuaie
0Ax By Cz D+ + + = . Fie suprafaa S sfer de centru O i raz R. Prin calcul direct, folosind
parametrizri de forma cos sin ,sin sin ,cos , 0 2 , 0
x Ry Rz R
=== < < <
Capitolul 3. Suprafee
93
Revenind la formulele lui Weingarten, constatm c putem s le scriem n
forma ( ) 0j N hu + =""! !
de unde rezult c N h a+ =""! ! !
(constant).
Echivalent, 1 1h a N =
! ! ""!. De aici urmeaz
2
21 1h a
= ! !
. Deci
punctul lui S de vector de poziie h!
este pe sfera de centru aC
!
i raz 1
.
11. Ecuaiile lui Gauss. Ecuaiile Peterson Mainardi Codazzi. Curbur Riemannian
Formulele lui Gauss (FG) i formulele lui Weingarten (FW), introduse n
8, pot fi privite, luate la un loc, ca un sistem de ecuaii cu derivate pariale n necunoscutele, funcii vectoriale, 1 2, ,h h N
"! ""! ""!. Condiiile de integrabilitate ale acestui
sistem sunt
(11.1) 3
ij ikk j i j k
h h hu u u u u
= = ""! ""! !
(11.1) jij iNN
u u
=
""!""!.
Detaliem aceste condiii de integrabilitate. Avem:
( ), ,s sijk ij k s ij sk ij k ij ks
h h h b N b N= + + +""! ""! ""! ""! ""! , unde prin ,k am notat derivata n raport cu ( )ku .
Folosim din nou formulele (FG) i (FW). Obinem
, ,s r s s s
ijk ij k ij rk ij k s ij k ij rks r s
h b A h b b N = + + + ""! ""! ""!
.
Schimbm indicii j i k ntre ei. Obinem i ikjh""!
. nlocuim acestea n
(11.1). Avem n vedere c 1 2,h h"! ""!
i N""!
sunt vectori liniar independeni. Rezult c (11.1) este echivalent cu urmtoarele dou ecuaii:
(11.2) , , 0s s r s r s s sij k ik j ij rk ik rj ik j ij k
r rb A b A + + =
(11.3) , , 0r r
ij k ik j ij rk ik rjr r
b b b b + = . Notm
Capitolul 3. Suprafee
94
(11.4) ( ), ,s s s r s r si jk ij k ik j ij rk ik rjr
R = + . Se spune c sistemul de funcii de ( )1 2, , si jku u R , n numr de 16, nu toate
distincte, constituie tensorul de curbur al suprafeei. Cu aceast notaie, ecuaia (11.2) devine
(11.2) s s si jk ij k ik jR b A b A= . nmulim n (11.2) cu shg i summ dup s. Notm (11.4) : sih jk hs i jk
sR g R= .
Avem n vedere c sk sh khs
A g b= . Rezult (11.5) , , , , 1, 2ih j k ij hk ik hjR b b b b i j k h= = . Ecuaia (11.5) sau forma echivalent (11.2) se numete ecuaia lui Gauss. Setul de funcii ( )ih j kR constituie tensorul de curbur Riemannian a
suprafeei S. n acest set sunt 16 funcii dar nu sunt toate distincte pentru c din (11.5) rezult imediat proprietile
(i) ih j k ihk jR R= , (ii) hi j k ih jkR R= , (iii) 0ih j k i j k h ik h jR R R+ + = (sumare ciclic dup j, k, h), (iv) ih j k j k ihR R= .
Pe baza acestor proprieti rezult c n setul de funcii ( )ih j kR , , , , 1, 2i j k h = , avem 12 funcii nule iar din cele 4, n general nenule, una singur
este esenial 1212R , celelalte fiind una egal cu ea i celelalte dou de semn contrar. Aadar ecuaia (11.5) a lui Gauss se reduce la
(11.5) 21212 11 22 12R b b b= . Funcia 1212R se calculeaz din (11.4), avnd n vedere notaia (11.4). Ne
amintim c funciile ( )kij se calculeaz cu ajutorul funciilor ( )ijg i derivatelor pariale ijk
gu
, i, j, k = 1, 2. Aadar 1212R depinde numai de funciile ( )ijg i derivatele pariale de ordin I i II ale lor.
Formula curburii totale se poate rescrie, n baza ecuaiei (11.5) n forma
(11.6) 1212 211 22 12
RKg g g
=
.
Formula (11.6) conduce la un rezultat important.
Capitolul 3. Suprafee
95
Teorema 11.1. Curbura total a unei suprafee depinde numai de forma I-a fundamental a suprafeei.
ntr-adevr, dei curbura total a fost definit n legtur cu ambele forme fundamentale i forma ei iniial conine i coeficieni ( )ijb , formula (11.6) ne arat c ea depinde numai de funciile ( )ijg i derivatele lor pariale pn la ordinul II.
Teorema 11.1 este cunoscut sub denumirea de Teorema Egregium sau Teorema minunat a lui Gauss.
Revenim la ecuaiile (11.3). Observm c 4 din cele 8 ecuaii (11.3) i anume cele cu , 1 sau 2j k i= = sunt identiti. Din cele 4 rmase dou sunt eseniale, celelalte dou difer de ele prin semn, i anume
(11.7) ( )( )
11,2 12,1 12 1 11 2
12,2 22,1 22 1 12 2
,
.
s ss s
s
s ss s
s
b b b b
b b b b
= + = +
Ecuaiile (11.7) se numesc ecuaiile Peterson Mainardi Codazzi (PMC).
Fiind dat o suprafa S putem determina cele dou forme fundamentale ale ei, prima fiind i pozitiv definit. Coeficienii acestor forme sunt legai prin ecuaiile lui Gauss i ecuaiile PMC. Se poate arta c cele dou forme fundamentale determin suprafaa pn la o deplasare n spaiu, n sensul urmtoarei teoreme, numit i teorema fundamental a geometriei suprafeelor n 3E .
Teorema lui Bonnet. Fie ( ){ }1 2,U u u= un domeniu conex i simplu conex n 2# . Presupunem c ijg i , , 1, 2ijb i j = sunt funcii difereniabile date pe U care satisfac
(i) , 0i jij ji ijg g g = cu egalitate dac i numai dac ( ) 20 i= # , (ii) ij jib b= , (iii) ecuaia Gauss, (11.5) i ecuaiile PMC, (11.7). Atunci exist o imersie 3:f U E nct ( )f U S= este suprafa n 3E
pentru care ( )ijg sunt coeficienii primei forme fundamentale i ( )ijb sunt coeficienii celei de-a doua forme fundamentale (relativ la parametrizarea definit de f). Aceast suprafa este unic pn la o deplasare n 3E .
Pentru demonstraie se poate consulta [1, p.140].