Cap Vi Fizica Atomica

7/29/2019 Cap Vi Fizica Atomica

1/52

FIZICA ATOMIC I MECANICA CUANTIC

I. Modele atomice i cuantificarea energiei

S-a dovedit c electronii sunt particule constituente ale atomilor.Deoarece atomii sunt electric neutri, n constituia lor trebuie s intre isarcini pozitive, care s compenseze sarcinile electrice negative datorateelectronilor. Masa electronilor fiind pe de alt parte foarte mic, rezult cmasa atomic ar fi concentrat n alte componente ale atomilor, pe care potfi repartizate i sarcinile pozitive corespunztoare.

Atomii, departe de a fi nite corpusculi simpli asimilabili unor sfere

mici, rigide, trebuie s posede o structur, o organizare intern, caracterizatprintr-o anumit aranjare a electronilor i sarcinilor electrice pozitive, acentrelor n care sunt concentrate masele lor.

Pentru cercetarea structurii atomilor, deosebit de eficace s-a doveditmetoda prin care materia se bombardeaz cu particule animate de vitezemari electroni, particule care pot patrunde astfel n interiorul atomilor.Din modificrile pe care le sufer micarea acestor particule, la trecerea prinmaterie, se pot trage concluzii cu privire la structura atomilor.

Spectrele optice ale atomilor i de raze X furnizeaz date preioasedespre structura atomilor i fenomenele care se petrec n interiorul lor.

1. Difuzia particulelor . Modelul atomic al lui Rutherford.

Foarte bogat n rezultate s-a dovedit difuzia particulelor prinsubstan, metod folosit cu deplin succes de Rutherford i colaboratoriisi.

Particulele sunt emise de numeroase substane radioactive, care pot

servi ca surse pentru a obinerea lor. Traiectoriile lor pot fi urmrite ncamera Wilson, n care se introduce aer sau alt gaz saturat cu vapori de ap.n trecerea lor particulele ionizeaz gazul, iar pe ionii formai secondenseaz vapori de ap. Traiectoriile particulelor marcate astfel, prin

picturi fine de ap, pot fi fotografiate.Particulele sunt atomi de heliu cu dou sarcini electrice pozitive

++He , n urma pierderii celor 2 electroni disponibili. Viteza lor ajunge


2/52

pna la 1/15 1/20 din viteza luminii, dup natura preparatului radioactivdin care povin.

n orientarea experientelor sale i n explicarea rezultatelor obinute,Rutherford s-a condus dup concepia c un atom trebuie s fie alctuitdintr-un nucleu ncrcat electric pozitiv, foarte mic n comparaie cudimensiunile atomului n care este concentrat practic ntreaga mas. n

jurul nucleului se mic electronii, formnd inveliul electronic, al cruinumr este de terminat de condiia sa ca sum a sarcinilor electrice s fieegal cu sarcina pozitiv a nucleului.

Particulele fiind de 7320 de ori mai grele dect electronul, elepatrund n nveliul electronic fr a fi practic influenate.

Dac o astfel de particul ajunge n apropierea nucleului atomic, multmai greu dect ea, pe care este concentrat puternic o sarcin electric

pozitiv, atunci traiectoria sa sufer o deviaie sensibil.

n experimentele de difuzie efectuate de Geiger i Marsden (1909),cola boratorii lui Rutherford, folosind foie de aur au constatat c pe lng

particulele nedeviate se obin i particule deviate sub unghiuri foarte marifa de direcia incident.

Pornind de la aceste premise, Rutherford a dezvoltat teoria cantitativa difuziei particulelor prin substa.

n calculele pe care urmeaz s le dezvoltm, vom face o serie deaproximri. Vom presupune c att particulele ct i nucleele cu careinteracioneaz sunt suficient de mici astfel ncat s poat fi considerate

punctiforme. n plus vom admite c ntre particulele i nucleu acioneaznumai fore electrostatice de respingere. Nucleul, find mult mai greu dectparticula , il vom presupune imobil. Deoarece fora de respingereelectrostatic ce acioneaz asupra particulei este invers proporional cu

ptratul distanei pna la nucleu, traiectoria urmat de particula va fi ohiperbol, n focarul careia se afl nucleul.

Atomul fiind neutru posed Z sarcini electrice pozitive. Pentrustudiul micrii i deducerea deviaiei vom folosi legea conservriienergiei i a momentului cinetic.


3/52

B vA 0v a

m

bc b

M

Cnd particula se afl la o distan foarte mare de nucleu (A),

energia sa se reduce la energia cinetic2

2

0mv , 0v fiind viteza iniial a

particulei. La o distan mic de nucleu, de exemplu n punctul B, cand

viteza particulei este v , la energia cinetic2

2mvse mai adaug energia

potenial )(4

2

0

2

ca

Ze

+ .

Legea conservrii energiei ne va conduce la ecuaia:

(1))(4

2

22 0

220

2

ca

Zemvmv

++=

Legea conservrii momentului cinetic pentru aceleai poziii aleparticulei se scrie sub forma:

(2) )(0 camvbmv +=


4/52

Distana b de la nucleu la direcia iniial a traiectoriei este aa numitulparametru de ciocnire. Valoarea sa minim se produce pentru cea maiapropiat trecere a particulei n vecintatea nucleului.

Unghiul , ntre direcia particulei incidente i asimptota la traiectoriaparticulei difuzate se numete unghi de difuzie.

innd cont de proprietile hiperbolei i de relaiile (1) i (2) se poatestabili o relaie ntre unghiul de difuzie i parametrul de ciocnire b.

(3)2

00

2

2

1

2 mv

Ze

bb

atg

==

Aceast ecuaie (3) nu se poate verifica experimental deoarece nu se potcunoate parametrii de ciocnire individuali. Pentru a ajunge la o relaie cares poat fi verificat experimental, Rutherford a fcut o serie de consideraiistatistice. El a completat ipotezele precedente cu urmtoarele:

- distana a, dintre 2 nuclee difuzante este mai mare dect parametrulb;

- stratul mprtietor (difuzat) este destul de subire pentru canumrul particulelor care sufer dou sau mai multe ciocniri sfie neglijabil.

dn

+d

0n

Pentru numrul particulelor care au fost mpratiate ntre unghiul i + d obinem:


5/52

(4)

dmv

Zecdndn

2

sin

2cos

43

2

2

0

2

0

=

unde: 0n - numrul de particule ,

dn - numrul de particule ce sunt difuzate sub un unghicuprins ntre unghiul i +d;

d - grosimea foiei;c - numrul de nuclee coninut de foi n unitatea de volum.

Aceast relaie nu este nc adecvat verificrilor experimentale.Numrul de particule mpratiate prin unitatea de unghi solid n

diferite direcii este dat de raportul dn / d, atunci:

(5)

=

2sin 4

2

2

0

2

0

mv

Zecdn

d

dn

reprezint relaia de mpratiere a lui Rutherford care a fost verificatexperimental, confirmnd modelul nuclear al atomului.

Formularea lui Rutherford este n bun concordan cu experienapentru nuclee grele i particule de energii relativ mici.Pentru nuclee uoare formula nu mai concord cu experiena. Dac

nc n acest caz se ine seama c n timpul interaciunii i nucleul sufer o

deplasare, atunci trebuie s nlocuim masa cu masa redusMm

mM

+= i

viteza 0v prin vitezele iniiale ale celor dou particule. Cu toate aceste

modificri divergenele ntre teorie i experien se menin mai ales pentruvalori mici ale parametrului de ciocnire. Putem face observaia c pentru

valori ale parametrului de ciocnire Rb (R - raza nucleului) ntre nucleui paticulele mai apar i altfel de fore dect cele electrostatice. Aceastsituaie limit ne va permite s evalum valoarea critic corespunzatoare a

parametrului b i s obinem un ordin de mrime aproximativ pentrudimensiunea nucleului.


6/52

n cazul nucleului s-a gasit: mbR critic1510 , valoare care

acord cu ordinul de mrime al razelor nucleelor.Dintre mrimile care figureaz n relaia (5) o parte sunt cunoscute din

nsuirile sursei radioactive i a metalului din foie folosite:0

n , d, c,0

v , m,

altele sunt determinate experimentald

dni .

Ecuaia permite astfel s se deduc Z. Aplicnd ecuaia (5) la foielede cupru, argint, platin, Chadwick a gasit pentru numrul de sarcininucleare Y valorile: 29,3; 46,3; 77,4. Cifrele concord foarte bine cunumerele de ordine ale acestor elemente, aa cum le gasim n tabelul luiMendeleev: 29, 47, 78.

Studiul difuziei particulelor conduce deci la concluzia c numrul

sarcinilor pozitive din nucleul unui atom este egal cu numrul de ordine alelementului respectiv.Pe baza acestor rezultate, Rutherford a propus un model atomic,

conform cruia atomul const dintr-un nucleu de raz m1510 de sarcin+Ze i n care este concentrat aproape ntreaga mas a atomului. n jurulnucleului se rotesc Z electroni care compenseaz sarcina pozitiv anucleului, astfel nct atomul n totalitatea sa este neutru din punct devedere electric.Dac electronii se rotesc n jurul nucleului pe anumite orbite, fora de

atracie colombian este compensat de fora centrifug. Este suficient nacest scop sa i se atribuie electronului o vitez de rotaie convenabil.n asemenea condiii ns sistemul nu prezint stabilitate

termodinamic. Parcurgnd o traiectorie curb, electronul, posedacceleraie i dup legile electrodinamicii clasice el trebuie sa iradiezeenergie. Cum energia iradiat nu poate proveni dect din energia potenial asistemului nucleu electron i din energia cinetic a electronului, priniradiere, electronul s-ar apropia mereu de nucleu, parcurgnd un drum nspiral, pn cnd s-ar prabui pe nucleu. Deoarece viteza ar crete continuusistemul ar trebui s iradieze un spectru continuu, de frecvene, ceea ce ar fin total dezacord cu experiena. Neconcordana la care s-a ajuns pe bazamodelului lui Rutherford, nu poate fi nlturat dect admind c legileclasice ale micrii nu sunt aplicabile la dimensiunile atomului.


7/52

2. Spectrele atomului de hidrogen. Modelul atomic al lui Bohr

Corpurile n stare condensat emit radiaii al cror spectru estecontinuu.

Substanele n stare gazoas aduse la incadescen, pot emite radiaii acror spectru este discret, coninnd numai anumite lungimi de und.Spectrele atomice de emisie se obin descopunnd radiaia emis de o sursconvenabil cu ajutorul unui aparat spectral (spectroscop sau spectograf).Radiaia ptrunde n aparat printr-o fant liniar ngust, iar spectrul atomicrezultant se prezint ca o succesiune de imagini liniare ale fantei, fiecareradiaie de o anumit lungime de und din radiaia incident corespuzndu-io linie spectral. Spectrul obinut se numete spectru de linii.

S-a stabilit experimental c atomii gazelor incandescente emit spectre

de linii i c aceste linii formeaz grupuri bine definite, numite seriispectrale.

n fiecare serie spectral liniile se ndesesc n partea lungimilor deund mai mici inznd ctre o limit unde ncep s se suprapun dnd unspectru continuu.

Cel mai simplu spectru este emis de atomul de hidrogen. Prima seriespectral observat n spectrul atomului de hidrogen a fost descoperit deBalmer (1885) i este cunoscut n prezent sub denumirea de seria Balmer.Ea cuprinde radiaii din vizibil i din ultravioletul apropiat. n vizibil seria

Balmer prezint 4 linii, linia cu lungimea de und:- cea mai mare:

AH 6563=;

- cea mai mic:

AH 4102= .

Balmer a stabilit o formul empiric cu ajutorul creia se puteau calculalungimile de und ale liniilor spectrale din aceast serie. Aceast formuleste:

(6) 12

2

= nn

B

unde B este o constant iar n un numr ntreg care ncepe cu 3, .. .nlocuindn formula (6) n = 3, 4, 5 i 6 se obin cu exactitate lungimile deund pentru cele 4 linii din domeniul vizibil al spectrului hidrogenului. Dacn aceeiai formul facem n = 7, 8, 9 obinem lungimile de und din


8/52

domeniul ultraviolet, apropiat al aceluiai spectru. Constanta B, numitconstanta Balmer s-a determinat ca fiind egal cu B = 3645,7.

Formula lui Balmer a fost scris ulterior de Rydberg sub o alt form,introducnd n locul lungimii de und marimea invers a acesteia, numitnumr de und:

(7)c

==

1~

care arat cte lungimi de und sunt cuprinse pe unitatea de lungime.Formula lui Rydberg este deci:

(8) == 221

2

11~ nR ; n = 3, 4, 5

Constanta R se numete de aceast dat constanta lui Rydberg i arevaloarea acceptat n spectroscopia atomic

(9) 1510677,109 = mRDac se dau lui n valorile 3, 4, se obin numerele de und pentru

..., HH . Pentru n se obine limita seriei Balmer

4

~ R= n bun

concordan cu valoarea determinat experimental.n afar de seria Balmer au mai fost descoperite i alte serii spectrale

ale hidrogenului. Ele corespund urmtoarelor formule:

- seria Lyman: ....4,3,2;1

1

1~22

=

= n

nR n ultraviolet;

- seria Balmer: ....4,3;1

2

1~22

=

= nn

R n vizibil;

- seria Paschen: ....6,5,4;1

3

1~22

=

= n

nR n infrarou;

- seria Brackett: ....7,6,5;1

4

1~22

=

= n

nR n infrarou;


9/52

- seria Pfundt: ....8,7,6;1

5

1~22

=

= n

nR n infrarou;

Pentru n se obine limita seriilor atomului de 2H .

2

~

k

R=

Deci putem scrie expresia lui Rydberg sub o form general astfel:

(10)

=

22

11~

nkR

S-a observat c modelul atomului lui Rutherford este instabil dinpunct de vedere al electrodinamicii clasice. Pe de alt parte experieneledirecte au dovedit c n realitate atomul se poate afla ntr-o serie de stristabile (staionare) caracterizate prin valori bine determinate ale energiei. Seconstat c procesele care au loc n interiorul atomului urmeaz alte legidect cele prevzute de electrodinamica clasic. Prima ncercare de a lmurilucrurile a fost fcut de fizicianul danez Niels Bohr (1913). Bazndu-se n

parte pe modelul Rutherford, Bohr a elaborat teoria atomului de2

H cu

ajutorul creia se poate explica spectrul acestuia i se poate da o interpretarefizic a formulei Balmer. Ulterior aceast teorie a fost dezvoltat de catreSommerfeld (1915) permind explicarea spectrelor i la alte elemente.

Pentru aceasta Bohr a presupus c electronii, care alcatuiesc nveliulnucleului, se distribuie n straturi, fiecare strat fiind caracterizat printr-oanumit valoare a energiei.

Aceast energie nu poate lua orice valoare (nu se modific n modcontinuu) ci numai anumite valori discrete: 21 ,WW .

Energia atomului este deci cuantificat.Dup Bohr, cel mai simplu dintre atomi, atomul de hidrogen, este

alctuit dintr-un nucleu care posed sarcina electric +e, n jurul cruia serotete un electron (-e).

Nucleul atomului de hidrogen se numete proton. Masa protonuluifiind de 1837 de ori mai mare decat cea a electronului, putem considera cntreaga mas a atomului se afl concentrat n nucleu.


10/52

Teoria atomului de hidrogen se bazeaz pe urmtoarele postulateformulate de Bohr:

1) Electronul se poate roti n jurul nucleului numai pe acele orbite

pentru care momentul su cinetic este un multiplu ntreg de2

h. Acest

numr poate fi considerat ca momentul cinetic elementar. Exprimm acestpostulat prin relaiile:

(11) nh

nrmvI nnw ===2

n aceast relaie m este masa electronului, nv este viteza acestuia pe orbita

n permis de primul postulat, nr este raza orbitei; n este un numr ntreg

(1,2,3) denumit numr cuantic principal.Pe astfel de orbite staionare, unde momentul cinetic orbital este

cuantificat, electronul nu emite i nu absoarbe energie.Al doilea postulat afirm c:2) Atomul emite o radiaie numai cnd electronul trece dintr-o stare

caracterizat de enrgie mare (de pe o orbit mai ndeprtat de nucleu) ntr-oalt stare caracterizat printr-o energie mai mic (pe orbit mai apropiat denucleu). Energia cuantei emise este egal cu diferena energiilor celor doustri:

(12) knkn WWh =,

unde n i ksunt numerele orbitelor staionare permise de primul postulat

(n>k), nW i kW energiile electronilor pe aceste orbite, iar kn, ,

frecvena radiaiei emise.Energia pe care o posed atomul, cnd electronul se mic pe o orbit

staionar reprezint energia de legtur ntre nucleu i electron.Nivelele energetice ale atomului se prezint prin linii orizontale.Nivelul celui mai jos i corespunde prima orbit permis cu numrul cuanticprincipal n = 1. Acest nivel va avea energia cea mai mic. Niveleleenergetice reprezint strile staionare ale atomului. Atomul aflat n una

din aceste stri nu emite i nu absoarbe radiaii.


11/52

n=4

n=3

n=2

n=1

n mod normal atomul se gsete pe nivelul energetic cel mai jos.Dac atomul absoarbe energie din exterior el poate trece pe unul din niveleleenergetice superioare. Un astfel de atom este excitat. Procesul poate decurgei n sens invers. Atomul excitat poate trece pe nivelul energetic inferior,emind n acest timp, conform celui de-al doilea postulat al lui Bohr, ocuant de energie.

3) Experiena lui Franck i Hertz

Concepia lui Bohr despre existena n atom a unor nivele discrete deenergie a fost verificate experimental pentru prima oar de Franck i Hertz.

Aparatul este format dintr-un tub de sticl n care se introduceelementul de studiat, aflat fie n stare gazoas, fie n stare de vapori.Electronii emii de filamentul F sunt accelerai de ctre grila C, de ctre odiferen de potenial V, care poate fi variat ntre anumite limite. Anoda Aeste negativ fa grila C, deci electronii sunt frnai ntre gril i anod. Ceicare posed suficient energie ajung la anod, iar galvanometrul G indic unanumit curent. Pe msur ce potenialul accelator V crete, numrul


12/52

electronilor care ajung la anod este mai mare, deci intensitatea curentuluiprin G crete. Determinrile experimentale au artat ns c, pentru anumitevalori ale potenialului V, intensitatea curentului anodic scade brusc.

ntre filament i gril electronii se ciocnesc cu atomii gazului din tub.n timpul acestor ciocniri electronii comunic atomului o parte din energialor, determinnd trecerea atomului ntr-o stare excitat. Dar, electroniiatomului pot asorbi numai cantiti bine determinate de energie ,corespunztoare trecerii ntre diferite nivele energetice.

CF A

+-

G

- + + -

V 0V

I

0 4,9 2x4,9 3x4,9 V


13/52

Dac energia electronului proiectil, care ciocnete un electron orbital, esteinsuficient pentru a determina trecerea acestuia pe o alt orbit, atuncielectronul orbital nu va absorbi aceast energie. n acest caz ciocnirea esteelastic i energia electronului nu se modific. Dac ns energiaelectronului proiectil este suficient de mare, atunci electronul orbitalabsorbind o parte din ea, poate trece pe un nivel energetic superior. O astfelde ciocnire se numete neelastic, deoarece dup ciocnire energiaelectronului proiectil scade.

S presupunem c mrim progresiv diferena de potenial V, deci i

energia cinetic a electronilor. Att timp ct energia lor este mai mic dectcea necesar trecerii atomului de pe un nivel energetic pe altul, ciocnirilesunt elastice, fra absorbie de energie, curentul anodic crete.

Experiena arat c n momentul n care V atinge o anumit valoare

kW , curentul anodic ncepe s scad. n acest caz au loc ciocniri neelastice

ntre electronii proiectili i atomi, energia electronilor proiectil scade i caatare ei nu mai pot ajunge la anod; intensitatea curentului anodic scade. Dacse mrete tensiunea V n continuare, curentul anodic crete, deoarece

ciocnirile devin din nou elastice. n momentul n care V = 2 kW

curentulanodic se micoreaz din nou, ceea ce arat c s-au produs din nou ciocnirineelastice.

Experiena confirm deci existena nivelelor energetice discrete ninteriorul atomului.

4) Spectrele atomilor hidrogenoizi dup teoria lui Bohr

Prin atom hidrogenoid se ntelege un sistem format dintr-un nucleu cu

sarcina Ze (Z fiind numr ntreg) i un electron.Pentru Z = 1 acest sistem reprezint atomul de hidrogen; pentru Z = 2,

un atom de heliu, odat ionizat,+

eH ; pentru Z = 3, un atom de litiu dublu

ionizat ++Li . Masa nucleului fiind foarte mare n comparaie cu aelectronului,acesta se poate considera imobil. Dimensiunile nucleului (

m1410 ) i ale electronului ( m1510 ) fiind foarte mici n comparaie cu cea a


14/52

atomului( m1010 ) le putem considera pe ambele drept sarcini punctuale. Pebaza acestor considerente Bohr a determinat razele orbitelor staionare ienergiile posibile ale electronului atomilor de hidrogenoizi.

-e

+Ze

Electronul se va roti n jurul nucleului pe o orbit circular de raza nr

,daca forta centrifuga, ce actioneaza asupra sa, devine egala cu foraculombian de atractie dintre electron i nucleu, astfel nct s se asigurestabilitatea dinamic a sistemului.

(13)2

0

22

4 nn

n

r

Ze

r

mv

=

Pe baza primului postulat, micarea electronului se poate face numai peorbitele pentru care:

(14)2

hnrmv

nn=

Din aceste relaii deducem:

(15)nh

Zev

n

0

2

2= i

2

2

02

mZe

hnr

n

= (16)


15/52

Se observ c razele orbitelor permise 2n . Pentru atomul 2H ,Z = 1, raza primei orbitei Bohr are valoarea:

(17)

Aem

har 532,020

2

001 ===

Energia total, a unui atom de hidrogen, aflat ntr-o anumit starestaionar, va fi egal cu suma dintre energia cinetic i cea potenial. Deci:

(18) UTW +=

dar:

222

0

0

42

222

0

42

0

2

0

8422 hn

meZ

hn

eZmvmT n

===

222

0

0

42

2

0

2

0

2

0

2

0

2

44

4 hn

meZ

Zem

hn

Ze

r

ZeU

n

===

Deci energia total este :

(19)22

0

42

0

2 8

1

h

eZm

nW

=

Ca i la oscilatorul armonic, energia ionului hidrogenoid nu poate lua

dect un ir discret de valori.Energia hidrogenoidului are valoarea cea mai mare n starea

fundamental, deci n aceast stare posed cea mai mare stabilitate.n conformitate cu cel de-al doilea postulat al lui Bohr, electronul,

trecnd de pe orbita n pe orbita k, va radia o cuant de energie de valoare:


16/52

(20)

==

2222

0

42

0

,

11

8 nkh

eZmWWh

knkn

Deci frecvena radiaiei emise este:

(21)

=

2232

0

42

0

,

11

8 nkh

eZmkn

Numrul de unde corespunztor pentru atomul de hidrogen este:

(22) == 2211~

nkR

cH , unde

chemRH 32

0

4

0

8=

Introducnd valorile corespunztoare se obine pentru HR :

(23)1510737,109 = mR

H

Valoarea obinut este apropiat de cea experimental i diferena maimic dintre acestea a fost explicat de Bohr, datorit faptului c nucleul s-apresupus n repaos n timpul micrii electronului n jurul su. Dac se

raporteaz micarea la sistemul centrului de mas, nlocuindu-se masa0

m

a electronului cu masa redusMm

Mm

+=

0

0 a sistemului, se obine pentru

HR o valoare n corcondan cu cea experimental.

5. Insuficienele teoriei lui Bohr

Teroria lui Bohr a fost dezvoltat n continuare de Sommerfeld care apostulat c, electronii se pot mica i pe orbite eliptice n jurul nucleului,care pot avea diferite orientri n spaiu.

n astfel de condiii, relaiile lui Bohr, care exprim primul postulat,au fost generalizate la forma:


17/52

(24) sihndqpiii

,......2,1; ==

unde s este numrul gradelor de libertate ale sistemului considerat, iar,.....,21

nn sunt numere ntregi numite numere cuantice. n particular, dacmicarea are loc pe o orbit circular drept coordonat generalizat se alege

unghiul la centru )( 1 =q . Relaia (24) devine:

hndrvm =

2

0 1sau hnrvm =

12

care este chiar condiia lui Bohr pentru cazul orbitelor circulare.

r -e

Teoria lui Bohr-Sommerfeld se lovete ns de o serie de dificulti deprincipiu. n primul rnd regulile de cuantificare care stau la baza teorieisunt introduse artificial i sunt ntr-o total contradicie cu legile din fizicaclasic. Deasemenea nu se poate explica de ce atomul nu radiaz energientr-o stare staionar. Nu pot fi corect explicate spectrele atomilor cu maimuli electroni.

Insuccesul teoriei lui Bohr-Sommerfeld n explicarea unor dateexperimentale se datoreaz n principiu faptului c ea nu este consecventclasic. Aceast teorie a dovedit inaplicabilitatea fizicii clasice n explicareastructurii atomului i necesitatea introducerii unor legi cuantice n studiulsistemelor microscopice.

Toate aceste dificulti sunt nlturate n mod firesc n cadrulmecanicii cuantice.


18/52

II. Mecanic cuantic

O serie de fenomene legate de emisia i absorbia radiaiilor pun neviden caracterul discret al radiaiei electromagnetice, acest fapt neputndfi explicat pe baza legilor electrodinamicii clasice. i alte fenomene legatede comportarea microparticulelor nu i gsesc explicaia n cadrulelectrodinamicii clasice. Explicarea acestor fenomene este posibil numai

admind dualitatea und corpuscul.Particulele ca i radiaia prezint proprieti corpusculare i

ondulatorii. Aceste proprieti sunt complementare: n unele fenomene aparepregnant caracterul de und n tip ce n altele se manifest caracterulcorpuscular.

Pentru explicarea fenomenelor atomice era necesar o teorie maigeneral care sia n considerare att caracterul corpuscular ct i celondulatoriu al materiei.

Pornind de la ideea dualitii und-corpuscul emis de Louis de

Broglie n 1924, noua teorie a fost dezvoltat n continuare de mari fizicienica Schdinger, Heisenberg, Dirac i alii, i se numete mecanic cuantic.n cadrul mecanicii cuantice, starea unui sistem fizic este descris prin

funcia de und a sistemului. Prin urmare aa cum n mecanica cuanticproblema fundamental este determinarea funciei de und, n mecanicaclasic este determinarea poziiei i vitezei unui sistem fizic.

n 1926 Schdinger propune o ecuaie diferenial cu derivate parialepentru funcia de und asociat particulelor n micarea relativist.

1. Ecuaia lui Schrdinger

n cele ce urmeaz se va expune cel mai simplu mod de a obineecuaia lui Schrdinger. Trebuie s se precizeze c nu va fi vorba de odeducere a ei, deoarece orice teorie nou nu poate fi construit numai pe

baza vechiilor teorii. Ecuaia lui Schrdinger poate fi de exemplu postulat,


19/52

iar dovedirea valabilitii ei se poate face prin compararea datelorexperimentale cu rezultatele care se aduc cu ajutorul acestei ecuaii.

Ecuaia poate fi generalizat i n cazul propagarii undelor deBroglie:

(1)2

2

2

),(1),(

t

tr

vtr

=

Dac se consider o und monocromatic, atunci soluia ecuaiei (1) se poatecuta de forma:

(2)tiertr

= )(),(

unde )(r reprezint partea spaial a funciei de und. Dac se deriveaz(2) n raport cu spaiul i timpul, i se introduc aceste derivate n relaia (1),atunci:

(3)2 2 2

2 2 2

2

2

( , ) ( )

( )

i t

i t

r t r e

x y z

r et

= + + = =

r r

r

(4) 0)()(2

2

=+ rv

r

sau deoarece

v==

2;2 , ecuaia (4)devine:


20/52

(5) 0)(4

)(2

2

=+ rr

Pentru ca aceast ecuaie s descrie, de exemplu, micarea unuielectron, se nlocuiete , cu expresia lungimii de und de Brogliecorespunztoare:

(6)pvm

h

2

0

==

Avnd n vedere i legea conservrii energiei:

(7) .)(2

)(2

0

22

0 constWrUm

prU

vm==+=+

se poate scrie:

(8) [ ]2

0

2

2

2

2 2)(

4

mrUW

p==

Deoarece sistemul este conservativ, U este funcie numai de

coordonate ( )rfU =nlocuind relaia (8) n relaia (5) se obine:

(9) ( )[ ] 0)(2

)(2

0 =+ rrUWm

r

Determinnd din relaia (9) partea spaial a funciei de und )(r se poate obine pe baza relaiei(2) funcia de und ),( tr complet, ce


21/52

depinde att de coordonatele spaiale ct i de timp. nlocuind pe

W= ,

relaia (2) devine:

(10) ( ) )(, retr tWi =

Relaia (9) poart denumirea de ecuaie atemporal sau de amplitudinea lui Schrdinger. Ea nu descrie evoluia sistemelor n timp ci numai

proprietile acestora n stri staionare.

Prin rezolvarea ei se obin energiile corespunztoare strilor staionareale sistemului ct i funciile de und corespunztoare strilor respective.Rezolvarea ecuaiei lui Schrdinger, pentru anumit particul, duce la

obinerea unui ir discret de energii: 1W , 2W ,............. nW , ceea cedemonstreaz cuantificarea energiei.

n cazul n care sistemul nu se afl n stari staionare, ci variaz ntimp trebuie folosit alt ecuaie, ecuaia lui Schrdinger dependent detimp. Pentru a obine aceast ecuatie, este necesar ca n ecuaia (9) s seelimine energia W care joac rolul unui parametru constant. n acest scop

scriem ecuaia atemporal a lui Schrdinger sub forma:

(11) 0)(2

)(0

2

=

+ tU

mtW

Din (10) se obine :

),()( trW

i

er

W

it

tW

i

==

Deci: (12) ),( trW

it

=


22/52

rezult: (13)ti

iWt

=

)(

nlocuind (13) n (11) se obine:

(14) 0)(2

0

2

=

+

tUmti

Relaia (14) reprezint ecuaia lui Schrdinger dependent de timp. Aceastecuaie are un caracter mai general i este util pentru descrierea proceselorn care energia potenial U este o funcie, nu numai de coordonate dar i detimp.

Se observ c trecerea de la ecuaia staionar (9) la ecuaianestaionar (13) este echivalent n fapt cu nlocuirea simpl a energiei W

prin mrimeat

i

, numit n mecanica cuantic operatorul energie i

notat W .

(15)t

iW

=

Un alt operator important, n mecanica cuantic, este i operatorulimpuls:

(16)rii

hp

=


23/52

Cercetrile legate de interpretrile funciei de und au condus laacceptarea interpretrii statistice a lui Max Born. Pentru a ntelege acastinterpretare s considerm un exemplu: fie un electron punctiform care semic n jurul nucleului. S fixm n anumite momente succesive (t =constant), poziia electronului n apropierea nucleului. Se obin n spaiu oserie de puncte nAA .,.........1 care indic poziia electronului. Repetndaceste operaii de multe ori, putem s ne nchipuim c ele formeaz un norelectronic care nconjoar nucleul.

Cu ct densitatea norului este mai mare ntr-o regiune, cu att maides se va afla electronul in acea regiune.Deci densitatea norului electronic ne d probabilitatea ca electronul s fie ndomeniul respectiv.

Functia de und este n legtur cu aceast probabilitate.Probabilitatea ca electronul s se afle ntr-un anumit domeniu de volumuldV din spaiu, din jurul unui punct P(x, z, y) este dat de ptratul valoriiabsolute a lui n punctul respectiv:

(17) dVtr2

),(

Cum este n general complex: *2

=. Probabilitatea ca

electronul s se afle n spaiu se gasete prin integrarea relaiei (17) pentregspaiu. ntruct, undeva n spaiu, electronul trebuie s fie n orice moment,aceast valoare devine certitudinea i valoarea ei este 1.

(18) 1* = dV

Prin urmare, mecania cuantic este o teorie statistic. Ea ne ddensitatea de repartiie a norului electronic, adic probabilitatea ca o

particul s se gaseasc ntr-un anumit domeniu din spatiu.

2. Aplicaii ale mecanicii cuantice

a) Particula n groapa de potenial


24/52

Presupunem o microparticul aflat ntr-o groap de potenialunidimensional de largime l, caz n care energia potenial ia urmtoarelevalori:

(19)

0

0

, . 0( )

( ) 0, .0 ( )

, . ( )

U pt x domeniul I

U x pt x l domeniul II

U pt l x domenul III

< < = < < <


25/52

(20) 02

22

0

2

2

2

=+

Wm

dx

d

Soluia ecuaiei difereniale de gradul II cu coeficieni constani seexprim sub forma:

(21)xWm

i

eCeCxxWm

i

+= 020 '

2

2

22)(

sau:

(22) x

Wm

Bx

Wm

Ax 20

22

0

22

2

cos

2

sin)( +=

deci:

xBxAx cossin)(222

+=

n domeniile II i III ecuatia lui Schrdinger se va scrie:

(23)03,102

0

2

3,1

2

0;0)(2

UWUWm

dx

d


26/52

Din relaia (24) se observ c funcia de und conine doi termeniexponeniali: unul cresctor, altul descresctor. Din acest motiv trebuie s sealeag numai astfel de valori pentru W, pentru care termenul cresctor ninteriorul barierei de potenial (I, II) s lipseasc.

n acest scop se impune ca n domeniul I (x < o), coeficientul 1B = 0,iar domeniul III ( x > l), coeficientul 03 =A . Ca urmare soluiile n acestedomenii se vor scrie:

(25)xx eBeA ==

3311;

(x)

Soluia cresctoare

I 0U

Soluia descresctoare0

U

II W IIIWU W


27/52

Dar la frontierele dintre regiuni, funcia de und trebuie s fiecontinua, deci:

(27) 0;0 )(2)(2 == == lxox

Funcia de und (22) satisface aceste condiii, dac:

(28) 02 =B i 02

sin2

0 = lWm

Din relaia (28) rezult:

222

2

0

2

02

......3,2,1;2

=== nlWm

nnlWm

(29)

Din relaia (29) rezult c energia poate lua numai anumite valori discrete ianume:

(30) 20

22

2

2 lmnWn

=

Aceste valori determin nivelele energetice ale particulei. Decienergia particulei n groapa de potenial este cuantificat, cea mai joas

valoare pe care o poate lua energia particulei va fi: 20

22

12 lm

W

=

denumit energia strii fundamentale. Distana dintre nivelele de energie aleunei particule aflate ntr-o groap de potenial crete atunci cnd lscade.

(31) xl

nAx

n

sin)( =


28/52

Dac presupunem c particula din groapa de potenial este un electronkgm 31

0101,9 = , iar groapa de potenial are largimea l = 1 cm, atunci

distana dintre cele 2 nivele energetice consecutive va fi:

jnm

hWWW

nnn

35

431

234

4

0

2

110003,0)12(

10101,98

)106,6(

108

++

=

==

Deci, pentru l = 1 cm, distana dintre dou nivele energeticeconsecutive este att de mic nct se poate spune c spectrul de energie estecontinuu.

S presupunem acum c, lrgimea gropii de potenial este de

ml 910= (de ordinul dimensiunilor atomice).

n acest caz distana dintre dou nivele energetice consecutive va fi:

jWn

15

1831

234

100310,0101098

)106,6(

=

=

Aceste distane sunt pe deplin sesizabile.n concluzie, n practica obinuit, efectele cuantice nu sunt

observabile i din acest motiv mecanica clasic (newtonian) se aplic curezultate bune.

Constanta A din relaia (31) se poate obine cu ajutorul condiiei deortonormare:

12 =+

dx

dxl

xn

A

dxl

x

nA

ln

l

n

=

=

0

2

2

0

22

sin

1

1sin


29/52

Dar:

lA

l

ln

l

x

nxdxl

x

ndx

l

xn

n

l

lll

2

22

2sin

2

1

2

2cos1sin

0

000

2

=

===

(32) xl

n

lx

n

sin

2)( =

Valorile energiei W calculate cu relaia (30) i ale funciei de undcalculate cu relaia (31) se numesc valori proprii ale energiei respectivfuncii proprii.

Pentru n = 1 rezult nivelul energetic fundamental:

2

22

12ml

W

= ; 12 4WW = ; 13 9WW =

n mod corespunztor pentru funciile proprii se obine:


30/52

xll

xll

xll

3sin

2

;2sin2

;sin2

3

2

1

=

=

=

Valorile proprii ale energiei nW i funciile n din interiorul gropii depotenial pot fi redate astfel:

W

3 3W


31/52

2

2W

1 1W x

lDin reprezentarea grafic se observ c ele sunt analoage soluiilor

ecuaiilor corzii vibrante fixate la capete, n lungul creia se formeaz undestaionare. Cazul n = 1 corespunde tonului fundamental, cazul n = 2 primeiarmonice i aa mai departe.

Fiecare dintre funciile de und n determin o stare a particulei saua sistemului n general.

b) Trecerea particulei printr-o barier de potenial. Efectul tunelSe consider o particul care, micndu-se de la stnga la dreapta cade

pe o barier de potenial de nlime 0U i lrgime l.U(x)

unda incident 0U

I III undatransmis

W unda


32/52

reflectat II x

I IIIII

h

v

Din punct de vedere clasic particula are urmtoarea comportare. Dacenergia particulei este mai mare dect nlimea barierei (W > 0U ),

particula trece peste barier, ntocmai cum o particul cu energia cinetic

mghmv

>2

2

Dac W < 0U (cazul prezentat) particula este reflectat de barierschimbndu-i sensul de micare; prin barier particula nu poate trece.

Din punct de vedere al mecanicii cuantice, particula se comportastfel. n primul rnd chiar i pentru W > 0U , exist o probabilitate diferit

de 0 ca particula s fie reflectat. n al doilea rnd pentru W < 0U existprobabilitatea diferit de zero ca particula s treac prin barier i s ajungn domeniul x > l.

O astfel de comportare a microparticulelor, imposibil de explicat dinpunct de vedere clasic, rezult direct din ecuaia lui Schrdinger.

Se consider cazul W < 0U . Ecuaia lui Schrdinger pentru domeniileI i III este:


33/52

(33) 02

3,12

0

2

3,1

2

=+

Wm

dx

d

pentru domeniul II, unde W - 0U < 0:

(34) 0)(2

202

0

2

2

2

=+ UWmdx

d

Soluiile generale ale acestor ecuaii sunt:

(35)

+=+=

+=

IIIdomeniulpteBeA

IIdomeniulpteBeA

IdomeniulpteBeA

ikxikx

xx

ikxikx

.

.

.

333

222

111

unde:

(36)2

022

Wmk = i )(

202

02 WUm

=

Soluia de tipul ikxe corespunde unei unde care se propag n sensulpozitiv al axei 0x, iar soluia ikxe unei unde se propag n sens contrar.

n domeniul III exist numai unda, care a trecut de barier i sepropag de la stnga la dreapta. Ca urmare 03 =B . Pentru a determina iceilali coeficieni se folosesc condiiile pe care trebuie s le ndeplineascfuncia . Din condiiile de continuitate a i ' rezult:

(37)1 2 2 3

' ' ' '

1 2 2 3

(0) (0); ( ) ( )

(0) (0); ( ) ( )

l l

l l

= =

= =

adic:


34/52

(38)

=

=

=+

+=+

iklll

iklll

eikAeBeA

BAikBikA

eAeBeA

BABA

322

2211

322

2211

Diviznd toate ecuaiile cu1

A i introducnd notaiile:

(39) knA

A

aA

B

bA

A

aA

B

b

===== ;;;; 13

3

1

2

2

1

2

2

1

1

1

se obine un sistem de patru ecuaii pentru mrimile 2132 ,,, bbaa .Raportul ptratelor modulelor amplitudinilor undelor reflectat i

incident:

(40)2

12

1

2

1 b

A

BR ==

determin probabilitatea de reflexie a particulei de bariera de potenial i senumete coeficient de reflexie.

Raportul ptratelor amplitudiniloor undelor transmis (care a trecut debarier) i incident:

(41)2

321

2

3a

A

AD ==

determin probabilitatea de a trecere a particulei prin barier i se numetecoeficient de trecere. Dac rezolvm sistemul se obine pentru coeficientulde trecere, expresia:


35/52

(42) lWUmeeD l = )(2

00

2

2

Aceast expresie arat c exist o probabilitate anumit ca dintr-un

numr de particule ce ntlnesc o barier de potenial, o parte s treac prinbarier ca printr-un tunel, de unde i denumirea de efect tunel a acestuifenomen.

Efectul tunel a fost descoperit n anul 1928 de Gamov, Condon iGurmey i pe baza lui se pot explica emisia la rece a electronilor din metale,dezintegrarea i alte fenomene.

c) Atomul de hidrogen

n atomul de hidrogen un singur electron se mic n cmpul de fore anucleului atomic. Acest cmp de fore are o simetrie sferic. Energiaelectronului, potential, depinde numai de distana pn la centru deatracie, nucleul, care se presupune a fi plasat n originea sistemului decoordonate.

n tratarea acestei probleme se vor face doua ipoteze:1) nucleul este n repaos fa de un sistem de referin inerial.

Nucleul atomic avnd masa mai mare dect a electronului, centru demas nucleu electron coincide cu nucleul.2) cmpul electric al nucleului va fi asimilat cu cmpul electric creat

de o sarcin punctiform, aceasta datorit dimensiunilor foarte mici ale

nucleului )10(14 m n comparaie cu distana electron nucleu )10( 10 m .

Micarea electronului n jurul nucleului este determinat deinteraciunea culombian dintre electron i nucleu, care se manifest ca ofor de atracie asupra electronului i a carei expresie este dat de legea luiCoulomb.

(43)2

0

2

4 r

eF

=

r = distana electron nucleu


36/52

0 = permitivitatea vidului

+e F-e

nucleu r

Energia potenial a electronului n acest cmp va fi:

(44) ==r

r

erdFrU

0

2

4)(

Relaiile de mai sus deomonstreaz existena unui cmp de forecentrale cu simetrie sferic.

Pentru a determina strile staionare ale unui atom de hidrogen se va

folosi ecuaia lui Schrdinger independent de timp, care se va scrie subforma:

(45) 04

2

0

2

2

0

2

2

2

2

2

2

=

++

+

+

r

eW

m

zyx

Datorit simetriei sferice a cmpului de fore al nucleului seconsider un sistem de coordonate sferice (r, , ) cu originea n punctul n

care se afl nucleul.

z

P


37/52

-e

r

+ey

P'

x

Legtura cu coordonatele carteziene este dat de relaiile:

(46)

=

=

=

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

Ecuaia lui Schrdinger n cooordonate sferice devine:

(47)

04

22

sin

1

sinsin

11

0

2

2

0

2

2

22

2

2

2

=

++

+

+

+

r

eW

m

r

rrr

rr

Aceast este o ecuaie diferenial cu derivate pariale n privina funcieide und a electronului care se mic n cmpul nucleului. Se vadetermina comportarea electronului dac se va impune funciei de und .


38/52

condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc pentru a avea un sens fizic ( sfie continu, univoc, mrginit ). Soluia ecuaiei (47) poate fi exprimatsub forma unui produs de 3 funcii i anume:

(48) )()()(),,( = HrRrn aceste condiii ecuaia (47) este echivalent cu urmtoarele 3 ecuaii:

(49) 02

2

=+ ad

d

(50) 0sin

sinsin

12

=

+

Hab

ddH

dd

(51) 04

212

0

2

2

02

2=

++

R

r

b

r

ZeW

m

dr

dRr

dr

d

r

unde a i b sunt dou constante ce urmeaz s fie determinate. n acest felecuaia lui Schrdinger pentru ionii de hidrogen se reduce la rezolvarea a treiecuaii, fiecare ntr-o singur variabil.

Din rezolvarea ecuaiei (49) se gsete c ea admite soluii care saib sens fizic numai dac constanta 2ma = , unde m este un numr ntreg,adic:

(52) m = 0, 1, 2,..........

m a fost numit numr cuantic magnetic aal electronului.Ecuaia (50) admite soluii cu proprietile sus menionate dac

constanta b = l(l+1), unde l este un numr ntreg cel puin egal cu m , adic

ml . Combinnd cele 2 rezultate obinem:

(53) m = 0, 1, 2,.......... l


39/52

Numrul ntreg l a fost denumit numar cuantic orbital.

n sfrit ecuaia (51) admite soluii numai cndn

W este de forma:

(54) 220

4

2 81

hem

nW en

=

unde n este numr ntreg pozitiv numit numr cuantic principal. Expresia(54) corespunde valorii obinute i n teoria lui Bohr. Din relaia scrisrezult c valoarea energiei depinde numai de numrul cuantic principal, ntimp ce funcia de und depinde de toate cele 3 numere cuantic: n, m , l.

Diferitele valori posibile ale energiei nW ( n = 1, 2, 3........) se

numesc nivele energetice, iar faptul c energia poate lua valori discrete nedetermin s presupunem c energia este cuantificat. Dac la aceeaivaloare a energiei corespund mai multe funcii proprii liniar independente,starea sistemului (nivelul energetic respectiv) este degenerat. n afar destarea fundamental n = 1, celelalte stri din atomul de hidrogen suntdegenerate.

Pentru un numr cuantic n dat, numrul cuantic orbital l ia valorile:

l = 1, 2, 3 ............n-1

Pentru fiecare valoare a lui l, numrul cuantic magnetic m poate luavalorile:

m = -l, -l+1, ...........0, 1, 2,.........+l

adica n total ( 2 l + 1) valori.

d) Teoria cuantic a momentului cinetic orbital

Fiecrei mrimi fizice msurabil experimental din mecanica clasici corespunde n mecanica cuantic un operator. n cazul vectorului momentcinetic orbital L , operatorul vectorial corespunztor este:


40/52

)(;

rrprLprL ==

(55) = riL

Pentru a determina valorile posibile ale momentului cinetic orbital alelectronului, ne vom folosi de partea radial (51) a ecuaiei lui Schrdinger,referitoare la atomul de hidrogen. n aceast ecuaie radial vom exprimaenergia cinetic a atomului sub forma unei sume de 2 termeni, n care celde-al doilea se refer la micarea orbital a electronului i anume:

(56)

2 2

2

02 2

mr L

T mr= +

&

L = momentul cinetic orbital al electronului i are valoarea:

2

00rmvrmL ==

Energia total W va fi:

(57) Urm

LrmUTW ++=+=

2

0

22

22

iar ecuaia radial (51) devine:

(58) 0)1(

22

2122

0

22

2

02 =

++

R

r

ll

rm

Lrmm

dr

dRr

dr

d

r

Ecuaia radial (58) ar trebui s depind numai de r. Datorit

termenului 20

2

2 rm

L ea depinde i de variabila prin intermediul lui L.

Pentru a nltura dependena de variabila , vom presupune c:


41/52

(59) 0)1(

2

222

0

2

2

0 =r

ll

rm

Lm

Deducem de aici c valorile posibile ale momentului cinetic orbital alelectronului sunt:

(60) 1.........2,1,0;)1( =+== nlllLL

Din relaia (60), deducem c n mecanica cuantic momentul cinetic orbital

L este o mrime cuantificat, care poate lua un ir discret de valori,determinate la randul lor de numrul cuantic orbital l.

Pentru a determina complet momentul cinetic orbital L , trebuie smai cunoatem i diferitele sale orientri n spaiu.

Aceste orientri se vor cunoate dac se pot determina diferite valoriale proieciei momentului cinetic L pe o anumit ax oz.

zyx

zyx

kji

iL

=

(61)ix

yy

xLz

=


42/52

Dac efectum calculul complet obinem:

(62) mLz =unde m poate lua (2l + 1)valori, adic: m = 0, 1, ............ l

Putem spune deci, c, in mecanica cuantic vectorul moment cineticpoate avea (2l + 1) orientri diferite n spaiu.

Numrul cuantic orbital caracterizeaz marimea momentului cineticorbital, n timp ce numrul cuantic magnetic, caracterizeaz proieciamomentului cinetic pe direcia z. Orientarea n spaiu a momentului cineticeste cuantificat.

Z

m = 1

=ZL

m = 0

L =ZL

m = -1


43/52

e) Momentul magnetic alelectronului

n teoria clasic a electromagnetismului, electronul n micarea saorbital n jurul nucleului este asimilat cu un mic curent circular. Intensitateaacestui curent este:

(63)

2

ee

T

e

t

QI ====

unde este viteza unghiular de rotaie a electronului.Momentul magnetic creat de un curent circular se exprim ca produsul

dintre intensitatea curentului i suprafaa determinat de acest curent.

(64)

2

2 0

02 2

e m reI S r

m

= = =

L

+e U

r -e


44/52

Deoarece momentul cinetic orbital L corespunztor micrii electronului peorbita cicular este:

== 200

rmvrmL

(65) Lm

l

02

=

Electronul avnd o sarcin electric negativ, momentul magneticorbital este antiparalel cu momentul orbital i atunci relaia (65) se scrie subforma:

(66) Lm

l

02

=

Operatorul moment magnetic n mecanica cuantic va fi :

(67) L

m

l

2

0

=

Pe baza acestei relaii putem deduce c mrimea vectorului momentmagnetic orbital poate lua valorile:

(68) )1(22

00

+=== llm

eL

m

e

Mrimea02m

eB

= se numete magnetonul Bohr-Procopiu i are

valoarea .1027,9 224AmB

= n mecanica cuantic aa dup cum reprezint o unitatea natural pentru momentele cinetice, magnetonulBohr - Procopiu este o unitatea natural pentru momentele magnetice.


45/52

Mrimea momentului magnetic orbital este cuantificat, putnd luanumai anumite valori determinate de numrul cuantic l. Proieciamomentului magnetic orbital pe o ax, de exemplu oz poate lua valorile:

(69) zz Lme

02=

adic:

(70) Bz mmm

e ==

02

unde m ia (2l + 1) valori. Deci, diferitele orientri n spaiu ale vectoruluimoment magnetic orbital sunt cuantificate de numrul m, care se numetenumr cuantic magnetic orbital.

S presupunem c plasm un atom de hidrogen ntr-un cmp magneticexterior uniform i de inducie B . Datorit momentului su magneticorbital, electronul n micarea sa orbital se comport ca un dipol magnetici care n interaciunea sa cu B are o energie potenial:

(71) cosBBUU magB ===

Energia total a electronului dintr-un atom de hidrogen, situat ntr-un cmpmagnetic exterior uniform va fi:

cos8

122

0

0

4

2B

h

me

nUWW

magn

=+=

Bz m == cos

(72) Bmh

me

nW

B+=

220

0

4

2 8

1


46/52

Din relaia de mai sus se pot determina nivelele energetice posibile aleelectronului atomului de hidrogen situat n cmp magnetic uniform deinducie B . Deoarece pentru un numr cuantic dat l corespund (2l + 1)valori posibile ale numrului cuantic m, rezult c ntr-un cmp magnetic

exterior, fiecare nivel de energie al electronului dintr-un atom izolat se vadespica n 2l+1 subnivele.

1l = 1 p

0

-1

l = 0 s

-1 0 1

2

1l = 2 d

0


47/52


48/52

Tranziia dintre strile d p n cmp magnetic este tot o stare de triplet. Caurmare fiecare linie spectral a unui atom hidrogenoid ntr-un cmpmagnetic exterior, devine triplet. Acest fenomen a fost observat pentru primadat n 1896 de ctre Zeemann, primind denumirea in cinstea acestuia deefect Zeemann.

f) Spinul electronului

Pe lng masa de repaos i sarcina sa, spinul electronului este deasemeni o caracteristic proprie a electronului. Introducerea momentuluicinetic de spin al electronului a fost determinat de unele observaiiexperimentale, care nu puteau fi explicate pe baza ecuaiei lui Schrdinger.

Dac se cerceteaz despicarea liniilor spectrale cnd atomul se afl

ntr-un cmp magnetic exterior s-a observat c n unele cazuri pot apare maimult de 3 linii sau c cele trei linii nu sunt echidistante. Acest aspectconstitue efect Zeemann anormal care de asemenea nu se poate explica cuajutorul ecuaiei lui Schrdinger.

Pentru a explica aceste observatii experimentale se emite ipoteza celectronul posed pe lng momentul su cinetic orbital i un momentcinetic propriu de spin s i corespunztor un moment magnetic de spin. Se

introduce astfel ipoteza spinului. Astfel, momentul cinetic total j al

electronului va fi:

(73) sLj +=

n mecanica cuantic se arat c momentul cinetic de spin s are

proprieti asemntoare cu cele ale momentului cinetic orbital L i anumemrimea momentului cinetic de spin este cuantificat, adic:

(74) += )1(sss


49/52

unde s este numr cuantic de spin, n cazul electronului2

1=s . Proiecia

momentului cinetic de spin pe direcia cmpului magnetic este dat derelaia:

(75) sz

ms =

care exprim faptul c orientrile posibile ale vectorului moment cinetic despin s , sunt determinate de numrul cuantic magnetic de spin sm ce poatelua (2 s + 1) valori.

n cazul electronului sm ia doar 2 valori2

1=s

m . Cele 2 valori ale

lui sm corespunde celor 2 orientri posibile ale momentului cinetic de spinfa de directia cmpului magnetic aplicat.

z

2

1+=s

m

2

1=s

m

Aceste orientri sunt numite paralele sau

antiparalele sau cu spinul n sus sau cu spinul n jos. Existena spinului afost pus n eviden experimental de ctre Stern i Gerlach.

g) Momentul magnetic total al electronului


50/52

S-a constatat c momentului cinetic orbital corespunde un moment

magnetic orbital L exprimat de operatorul:

(76) Lm

eL

20

=

n mod analog momentului cinetic de spin corespunde un momentmagnetic de spin

(77) sgm

ess

2

0

=

Factorul sg care apare n (77) se numete factor giromagnetic. Pentru

electron 2=sg . Se poate defini momentul magnetic total ca suma dintremomentul magnetic orbital i momentul magnetic de spin.

(78)

+=+= sgL

m

essL

2

0

n cazul electronului momentul magnetic total devine:

(79) )2

(2

0

sLm

e+=

care se mai poate scrie:

(80) )(

2

0

sj

m

e +=

Momentul cinetic total j este cuantificat la fel ca i L i s


51/52

(81) += )1( jjj

unde j este numrul cuantic intern corespunztor momentului cinetic total.

n cazul electronului:

2

1=lj

Valoarea medie a momentului magnetic total reprezint proiecia

momentului magnetic total pe direcia vectorului j , iar valoarea sa se

deduce ca fiind dat de expresia:

(82) jgm

emediu

=

02

unde:

(83)

)1(2

)1()1()1(1

+

+++++=

jj

llssjjg

i se numeste factorul Land.

h) Interaciunea spin orbit

n cazul atomului de hidrogen, momentul cinetic orbital L alelectronului se cupleaz cu momentul cinetic de spin reprezentnd aa cum

s-a artat momentul cinetic total j .

sLj +=

Energia electronului corespunztoare interaciunii spin - orbit este:


52/52

(84) LsWSL

=

este o constant care determin mrimea interaciunii.

Ca urmare energia total a electronului va fi:

(85)SLn

WWW +=

Energia de interaciune spin orbit, despic fiecare nivel n dounivele foarte apropiate, deoarece s nu poate avea dect 2 orientri fa de

L . Un nivel corespunde la L i s paraleli,2

1+=lj i altul

corespunde la L i s antiparaleli21= lj .

Perechea de nivele astfel aprut se numete dublet. Nivelulcorespunztor starii s (l = 0) rmne neschimbat.

d

2

5=j

l =2

2

3=j p

2

3=j

l = 1 21=j

s

1

Date post:	03-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	kifa-petra
View:	348 times
Download:	1 times

Cap Vi Fizica Atomica

Documents