45
Capitolul 3 Cap. 3 Interacţiunea câmpului electromagnetic cu substanţa. Polarizarea dielectricilor
Capitolul 3
Cap. 3Interacţiunea câmpului electromagnetic cu substanţa.
Polarizarea dielectricilor
Capitolul 3
Cuprins
● Mecanisme de polarizare a dielectricilor● Polarizarea electronică şi ionică● Polarizarea orientaţională● Variaţia permitivităţii cu frecvenţa● Reprezentări grafice
Capitolul 3
3.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor● în teoria benzilor de energie, izolatorii sau dielectricii sunt consideraţi
substanţele a căror bandă interzisă are o lăţime mai mare de 3eV● sub acţiunea unui câmp electric exterior ei prezintă un fenomen de
polarizare datorat redistribuirii sarcinilor electrice în interiorul substanţei şi/sau reorientării momentelor de dipol
● mecansimele de polarizare:– polarizarea electronică– polarizarea ionică– polarizarea orientaţională (dipolară)– polarizarea interfacială
● polarizabilitatea unui material va fi dată de:
(3.1.1) T=oieif
Capitolul 3
3.1 Mecanisme de polarizare a dielectricilor● vectorul polarizare sau intensitate de polarizare este definit prin
momentul dipolar al unităţii de volum şi, la un dielectric liniar, este proporţional cu câmpul electric extern aplicat
unde χ este susceptibilitatea electrică● câmpul electric din interiorul dielectricului este
● vectorul inducţie electrică sau deplasare va fi
● la nivel atomic sau molecular apare noţiunea de polarizabilitate atomică sau moleculară α, iar momentul dipolar al atomului este
(3.1.2) P=0E0
P
E0
(3.1.3) E=E0E0
0
(3.1.4) D=0E0P=0 1 E0=0r
E0
(3.1.5) p=0E0
Capitolul 3
3.1 Momentul atomic dipolar● la moleculele simetrice α este o constantă, iar pentru cele asimetrice un
tensor de ordinul II● Legătura dintre polarizabilitate şi polarizare – adică dintre mărimile
macroscopice şi microscopice – este dată de
unde Nv este densitatea volumică a atomilor (moleculelor) substanţei respective iar câmpul electric local rezultant, precum şi de relaţia Clausius-Mosotti ce dă legătura dintre polarizabilitate şi permitivitate relativă● câmpul electric din interiorul dielectrcului este
unde câmpul de polarizare datorat redistribuirii momentelor dipolare este
(3.1.6) P=N v p=N v0 E
(3.1.7) E=E0E pol
(3.1.8) E pol=P
30
E
Capitolul 3
3.1 Momentul atomic dipolar● atunci câmpul electric va fi
iar polarizarea
● comparând cu (3.1.2) se ajunge la cunoscuta relaţie Clausius-Mosotti
(3.1.9) E=r2
3E0
(3.1.11)r−1r2
=N v
3
(3.1.10) P=N v0r2
3E 0
Capitolul 3
● într-un dielectric nepolar pot lua naştere dipoli induşi sub acţiunea unui câmp electric extern
● câmpul electric rezultant este
● forţa cu care câmpul electromagnetic acţionează asupra electronului este
● forţa elastică
● forţa de atenuare
3.2 Polarizarea electronică şi ionică
(3.2.1) E= E0 e j t
(3.2.3) F=−q E r v×B≈0
(3.2.2) E r=E r 0 e j t
(3.2.4) F el=−m0 e0 e2 r
(3.2.5) F at=−m0 eed rdt
Capitolul 3
● ecuaţia de mişcare va fi
● având în vedere că
soluţia ecuaţiei (3.2.6) este
şi se poate scrie
● pe de altă parte
3.2 Polarizarea electronică şi ionică
(3.2.6) d 2
dt 2eddt0 e
2 r=−q E r
m0 e
(3.2.8) P e= P0 e e j t
(3.2.7) Pe=−q N vr
(3.2.9) −2 je0 e2 r=−N v q2
m0 e
E r
(3.2.10) Pe=N veE r
Capitolul 3
● în final polarizabilitatea electronică va avea forma
● pentru un ansamblu de ioni, polarizabilitatea ionică va fi în mod analog
3.2 Polarizarea electronică şi ionică
(3.2.11) e=q2
0 m0 e −2 j e0 e2
(3.2.12) i=q2
0 m0i −2 ji0i2
Capitolul 3
● asupra dielectricului acţionează un câmp electric treaptă
● polarizarea ionică şi electronică Pie se obţine relativ repede, polarizarea totală fiind
● ecuaţia care descrie acest proces de relaxare este
unde τo este timpul de relaxare macroscopic şi
3.3 Polarizarea orientaţională 3.3.1 Regim tranzitoriu
P t = Pie Po t (3.3.1)
d Po
dt= 10[ P− P ie− Po t ](3.3.2)
(3.3.3) P= Pie Po∞
Capitolul 3
este valoarea maximă a polarizării după un timp suficient de mare
● impunând condiţia la limită
se obţine soluţia
3.3.1 Regim tranzitoriu
Po0=0(3.3.4)
Pot = P− P ie 1−e−t /0 (3.3.5)
Capitolul 3
● dacă asupra dielectricului se aplică un câmp electric variabil, atunci
χ fiind acum o mărime complexă. Ţinând seama de faptul că la frecvenţe foarte mari se manifestă doar polarizaţia ionică şi electronică, se poate scrie
● ecuaţia care descrie variaţia în timp a polarizării este
cu soluţia generală
3.3.2 Regim sinusoidal
(3.3.6)
(3.3.7)
P t =0 E0 e j t
P ie=0ieE=0 r∞−1 E
d Po
dt= 1 [0 r0−r∞ E 0 e j t− Po ](3.3.8)
(3.3.9) Po=0 [r∞−1r0−r∞
122− jr0−r∞
122 ] E0 e j t
Capitolul 3
● ţinându-se seama de aceste relaţii în (3.3.6) se poate deduce expresia polarizabilităţii orientaţionale
unde
3.3.2 Regim sinusoidal
(3.3.10)
(3.3.11)
o =o0
1 jo
o 0=00
N v
Capitolul 3
3.4 Variaţia permitivităţii electrice cu frecvenţa
(3.4.1) ro=1
2 N v
3o
1−N v
3o
(3.4.2) ro' =
12K1/3 K 22o
2
K 222o
2
(3.4.4) x=o
K 2, K 0=
K 1
K 2
● ţinând seama de ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivitatea relativă complexă specifică proceselor de polarizare orientaţională este
● dacă se notează prin K1= Nvαo(0) , K2=1 − ( Νv / 3)αo(0) se obţine
● pentru uşurinţă se notează
(3.4.3) ro' =
K 1o
K 222o
2
Capitolul 3
3.4.1 Spectrul de rezonanţă a permitivităţii orientaţionale
(3.4.5) ro' −1=K 0
11x2 , ro
' '=K 0x
1x2
şi atunci
ln ω 1/ τ 0
ε ’r0
tg δ ε ’’r0
Capitolul 3
● analog celor de mai sus, din expresiile polarizabilităţilor electronice şi ionice şi ecuaţia Clausius-Mosotti, permitivităţile electronice şi ionice vor avea forma:
respectiv
3.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice
(3.4.6) re' −1=
K e 0e2 −2
0e2 −2 20 e
2 2
(3.4.7) re' '=
K e0e
0e2 −2 20e
2 2
(3.4.8) ri' −1=
K i 0i2−2
0i2−2 20i
2 2
(3.4.9) ri' '=
K i0i
0i2−2 20i
2 2
Capitolul 3
unde:
● relaţiile de mai sus sunt dificil de urmărit şi se impune analiza lor pe benzi de frecvenţă. Datorită similarităţii relaţiilor se va discuta doar cazul polarizării ionice– frecvenţe mici şi
– frecvenţe apropiate de : , , unde au loc fenomene de rezonanţă pronunţate:
3.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice
(3.4.10) K e=N v q2
0 m0 e, 0 e
2 =0 e2 −
K e
3
(3.4.12)
≪0i
(3.4.13)
ri' ≈1
K i
0i2 , ri
' '≈0
(3.4.11) K i=N v q2
0 m0i, 0i
2=0i2−
K i
3
0i2 2≪ 0i
2−22
0i ≈0i =0i−≪
ri , res' =1
K i
20i
20i
2 /4
Capitolul 3
● prin substituţia
relaţiile de mai sus devin
3.4.2 Spectrul de rezonanţă a permitivităţilor electronice şi ionice
(3.4.14)
(3.4.16)
(3.4.15) x=20i
ri , res' ' =
K i
40i
0i
20i2 /4
ri , res' =1−
K i
0i0i
xx21
(3.4.17) ri , res' ' =
K i
0i 0i
1x21
1
0.5
ω i0~ω 2/~
00 ii γω + 2/~00 ii γω −
i0γ
max,/ riri εε ′′′′
max,/ riri εε ′′
Capitolul 3
– frecvenţe mari şi
3.4.2 Spectrul permitivităţii
(3.4.18)
log ω
reε ′
riε ′
roε ′
log ω oω i0~ω e0
~ω
rε ′
rε ′′
≫0i
0i2 2≫ 0i
2−22
ri' ≈1−
K i
0i2 , ri
' '≈0
Capitolul 3
● planul ● obţinerea unor relaţii analitice simple pentru domeniul microundelor se
poate realiza prin considerarea valorilor limită: – permitivitatea totală statică şi
● permitivitatea relativă datorată polarizărilor ionice şi electronice pot fi considerate constante
● atunci permitivitatea relativă este
de unde
3.5 Reprezentări grafice 3.5.1 Semicercul Debye
(3.5.1)
(3.5.3)
(3.5.2)
r=r∞r0−r∞
1 jo
r' ;r
' '
r0=r 0 r∞=r ∞
r∞=r∞' =ri
' re' ∈ℝ
r'=r∞
r0−r∞
12o2
r' '=r0−r∞
12o2o
Capitolul 3
rε ′′
rε ′ 0rε ∞rε ( )∞+ rr εε 021
1=0ω τ ( )εε ′′′,
( )∞− rr εε 021 ε ′′
ε ′
ω
● unghiul de pierderi δ este dat de
● Relaţiile (3.5.2)-(3.5.4) se numesc ecuaţii Debye pentru relaxarea dielectrică
3.5.1 Semicercul Debye
(3.5.4) tan=r
' '
r'
Capitolul 3
● Reprezentările acestor mărimi în planul complex se numesc mai general diagrame Argand. Eliminând ωτ în ecuaţiile (3.5.2)-(3.5.3) se obţine
● pornind de la (3.5.1) şi notând
se obţine
3.5.2 Diagrama Argand
(3.5.5) r'−r0r∞
2 2
r' ' 2= r0−r∞
2 2
(3.5.6) z1=r0−r∞
1 jo, z2= z1 jo
(3.5.7) r=r∞z1 , r 0−r∞=z1 1 jo =z1z2
tan=∣z1∣∣z2∣=o(3.5.8)
Capitolul 3
3.5.2 Diagrama Argand
rε ′
rε ′′
∞rε
0rε
∞− rr εε 0
α
1z 2z rε
ω
Capitolul 3
● unui dielectric îi sunt caracteristici mai mulţi timpi de relaxare formând o distribuţie de timpi de relaxare şi în plus pot interveni o serie întreagă de rezonanţe locale chiar ionice sau electronice
● polarizarea poate fi scrisă ca rezultatul unei combinaţii liniare de polarizări parţiale p0(τ,t) specifice fiecărui τ
● unde g(τi) este ponderea statistică şi satisface relaţia
● prin generalizare se ajunge la expresia
cu condiţia de normare
3.5.3 Diagrama Cole-Cole
(3.5.9) P0t =∑i
p0i i , t g i
(3.5.10) ∑i
g i=1
(3.5.11) P0t =∫0
∞
p0i , t g dt
(3.5.12) ∫0
∞
g dt=1
Capitolul 3
● ecuaţiile Debye devin
● se impune cunoaşterea funcţiei de distribuţie g(τ) a timpilor de relaxare
● K. S. Cole şi R. H. Cole au propus o soluţie empirică pentru εr:
unde h este o constantă de material, proporţională cu gradul de libertate internă a moleculelor; variază invers proporţional cu temperatura şi pentru h=0 (3.5.15) devine chiar ecuaţia Debye
● ultima relaţie poate fi scrisă sub forma
3.5.3 Diagrama Cole-Cole
(3.5.15)
(3.5.14)
(3.5.13) r'=r∞r0−r∞∫
0
∞ g d 122
r' '=r0−r∞∫
0
∞ g d 122
r=r∞r0−r∞
1 j1−h , 0≤h≤1
Capitolul 3
unde şi reprezintă ecuaţia unui cerc de rază
cu centrul în
● timpul de relaxare poate fi determinat din expresia
unde
3.5.3 Diagrama Cole-Cole
(3.5.17)
(3.5.16) [ 12 r0r∞−r' ]
2
[ 12 r0−r∞ tan r' ' ]
2
=14 r0−r∞
2 sec2
=h /2 12 r0−r∞ sec
r0−r∞
2,−1
2 r0−r∞ tan
0=v /u 1−h
uv 2
=[r0−r
' ]2r' ' 2
[r' −r∞ ]
2r
' ' 2(3.5.18)
Capitolul 3
3.5.3 Diagrama Cole-Cole
Capitolul 3
● Conectează liniaritatea răspunsului materialului la excitație externă – exprimată prin permitivitatea complexă – și conductivitate
● Descreșterea permitivității cu frecvența este acompaniată de o creștere a conductivității
3.5.4 Relațiile Kramers-Kronig
r' ' f − s /0=
−2f ∫0
∞ r' x −∞x2− f 2 dx(3.5.18)
r' f −r∞=
2∫0
∞ xr' ' x
x2− f 2 dx(3.5.19)
Capitolul 3
3.6 Polarizarea interfacială (efect Maxwell-Wagner)
● În natură materialele sunt în general heterogene, cu dispersie a proprietăților de suprafață la interfața de material
● Efectele interfaciale predomină proprietățile dielectrice în emulsii și suspensii coloidale
Capitolul 3
3.6.1 Dielectrici stratificați● Se consideră doi dielectrici de grosimi d1 și d2, incontact, cu interfața
perpendiculară pe câmpul extern
dacă nu exisă sarcini
sau, în caz contrar:
● Permitivitatea sistemului se determină considerându-l un sistem de doi capacitori legați în serie
εr1, σ1
εr2, σ2
E
(3.6.1) r1 E1=r2 E 2
(3.6.2) j1 / j2=1 E 1/2 E 2=1r2 /2r1
(3.6.3)d 1d 2
r/ j=
d 1
r11 / j
d 2
r22 / j
Capitolul 3
3.6.1 Dielectrici stratificați● Compozitul se poate interpreta ca având timpul de relaxare
cu următoarele limite:
(3.6.5) r0=r21−r12
2 d 1d 2 d 1 d 2
1 d 22 d 1 1 d 22 d 1 2 ∞
(3.6.6) 0=d 1d 2 12
1 d 22 d 1
(3.6.7)
(3.6.4) =0r1 d 1r2 d 2
1 d 12 d 2
∞=r21−r12
2 d 1d 2 d 1 d 2
1 d 22 d 1 1 d 22 d 1 2 0
∞=d 1d 2 12
1 d 22 d 1
(3.6.8)
Capitolul 3
3.6.2 Suspensie diluată de particule sferice
● Maxwell – conductivitatea (pentru câmp static) pentru faza de suspensie σi în raport cu conductivitatea pentru mediul continuu σa, pentru o densitate volumică p
● Ipoteza lui Maxwell: concentraţia particulelor este mică în volumul considerat (sferic) şi interacţiunile electrice dintre particule sunt neglijabile
(3.6.9)−a
2a= p
i−a
i2a
Capitolul 3
3.6.2 Suspensie diluată de particule sferice● Wagner introduce conductivitatea complexă în (3.6.9) pentru a pune în
evidenţă fenomenul de dispersie
(3.6.10)
(3.6.11)
0=a
2a i−2 p a−i 2a i p a−i
r0−r∞=9 a i−ia
2 p 1− p
[2ai p a−i ] [2ai p a−i ]2
r∞=a
2ai−2 p a−i 2ai p a−i
(3.6.12)
(3.6.13) ∞−0=9 ai− ia
2 p 1− p
[2ai p a−i ] [2ai p a−i ]2
=r0
2ai−2 p a−i 2ai p a−i (3.6.14)
Capitolul 3
3.6.2 Suspensie diluată de particule sfericeunde (ε, σ), (εi, σi) şi (εa, σa) sunt proprietăţile dielectrice pentru suspensie, particule şi mediul continuu, respectiv.
● În suspensie, σaεi este diferit de σiεa şi fenomenul de dispersie este mereu prezent.
● Dacă εi << εa şi σi << σa , (3.6.9) se dezvoltă în serie şi în aproximaţia de prim ordin rezultă:
(3.6.15)
(3.6.16)
r≃a1− p
1 p /2i
9p2 p 2
≃a1− p
1 p /2i
9p2 p 2
Capitolul 3
3.6.2 Suspensie diluată de particule sferice● Frike extinde modelul Maxwell-Wagner pentru particule sferoide, cu
factor de formă γ
● γ = 2 pentru sfere, γ = 1 pentru cilindri● Dacă o particulă sferică are raza R' şi volumul considerat are raza R,
atunci (3.6.9) se poate scrie
(3.6.17)*−a
*
*a*= p
i*−a
*
i*a
*
(3.6.18)*−a
*
*a*= R'
R 3 i
*−a*
i*a
*
Capitolul 3
3.6.3 Suspensie diluată de particule cu membrană● Se consideră sfere de rază R, cu proprietăţi dielectrice (εi, σi) înconjurate
de o membrană de grosime d şi proprietăţi dielectrice (εsh, σsh)
● Pentru conductivitatea complexă a sistemului se obţine:
● Capacitatea membranei Cm şi conductanţa Gm pe unitate de suprafaţă:
(3.6.19) *≈i
*2d /R sh*
1d /Ri*− sh
* / sh*
(3.6.20) C m=sh0/d F /m2
(3.6.21) Gm= sh/d S /m2
(3.6.22) sh=Gm d jCm d
Capitolul 3
3.6.3 Suspensie diluată de particule cu membrană● Pentru celule în suspensii fiziologice
şi prin dezvoltare în serie şi aproximaţie de prim ordin în p se obţine:
(3.6.23)
i≫0i s≫0a
r0−r∞≃9 p RCm
40 [1RGm 1/i−1/2a ]2
9 p RC m
40
(3.6.24) 0≃a [1−3p2
1R Gm 1 /i−1/a 1RGm 1/i−1/2a ]a 1−3p /2
(3.6.25) ≃RCmi2 a
2 iaR Gm i2a R Cm 1/2a1/i
(3.6.26) r∞≃[1−3pa−i
2ai ]a
Capitolul 3
3.6.3 Suspensie concentrată● Suspensiile concentrate sun dificil de modelat
În anumite limite se obţine:
(3.6.27) [ r∞−i
a−i ] [ a
r0 ]1/3
=1− p
(3.6.28) 0 [ 3r0− i
− 10 ]=3 [ a−i
a−i
i
0−i ]− i
i
(3.6.29)
(3.6.30)
[0− i
a−i ] [a
0 ]1/3
=1− p
∞ [ 3r∞−i
− 1r∞ ]=3 [a− i
a−i
i
r∞−i ]−a
a
Capitolul 3
3.6.4 Relaxarea dielectrică pentru proteine (ex)● Proprietăţi dielectrice în diverse proteine la 25°C, 1-10 MHz (Oncley,
1943), unde Mol – greutate molară, μ – moment de dipol (unităţi Debye), Δε/g/l – variaţia permitivităţii per gram de proteină per gram de soluţie
Proteina Mol (x103) Δε/g/l μ (D) τ x 108 (s) a/b
ovalbumină 44 0,10 250 18; 4,7 5
Ser albumină (cal) 70 0,17 380 36; 7,5 6
Carboxyhemoglobină (cal) 67 0,33 480 8,4 1,6
Ser pseudoglobulină (cal) 142 1,08 1100 250; 28 9
β-lactoglobulină 40 1,51 730 15; 5,1 4
Mioglobină 17 0,15 170 2,9
Capitolul 3
3.7 Difuzie ionică● Are loc în straturi duble electrice în vecinătatea suprafeţelor cu sarcini
electrice● Pentru suspensie de sfere din polistiren cu p=30% (Schwan, Schwarz, et
all, 1962)
Raza (microni) εr0f (kHz)
0,59 10.000 0,6
0,28 3.000 1,8
0,094 2.450 15
0,044 540 80
Capitolul 3
3.8 Efecte neliniare
● Fenomene moleculare în orientarea dipolilor● Fenomene celulare
– Răspunsul activ al membranelor celulare– Distrugerea membranei (10-30 kV/m la o celulă de 10 microni)– Distorsiuni induse electric sau gruparea celulelor
● Polarizare prin difuzie ionică până la saturare
Capitolul 3
3.9 Dispersia dielectrică în ţesuturi3.9.1 Conductivitatea
● La frecvenţe joase● < 0,1 Mhz – conductivitatea unei celule este mică în raport cu electrolitul
care o înconjoară (sânge) –> aproximativ 0,14 S/m● 1 – 100 Mhz – lichidul este echivalent cu o suspensie de proteine
neconductoare –> platou constant● > 100 MHz
– Efect Maxwell-Wagner de polarizare interfacială – sute de S/m cu relaxare la aproximativ 300 MHz
– Pierderi dielectrice în molecule polare şi proteine de mici dimensiuni
– Relaxarea dielectrică a apei
' '≫ '
Capitolul 3
3.9.2 Permitivitatea
ε
108
105
102
f102 106 1010
α
β
γ
difuzie ionică, conductanţa membranelor
efecte capacitive în membrane
relaxarea apei
Capitolul 3
3.10.1 Permitivitatea relativă în ţesuturi
frecvenţă
muşchi striat
paralel
muşchi stiat perp
ficat plămân splina rinichicreier
materie albă
creier materie cenuşie
os sânge grăsime
10 Hz 107 106 5x107 2.5x107
100 Hz 1.1x106 3.2x105 8.5x105 4.5x105 3800 1.5x105
1 kHz 2.2x105 1.2x105 1.3x105 8.5x104 2900 5x104
10 kHz 8x104 7x104 5.5x104 2.5x104 2x104 4.8x104 640 2810 2x104
100 kHz 1.5x104 3x104 10000 3260 10000 1960-3400 3800 280 2740
1 MHz 2500 1900 1400 2000 543-827 1250 87 2040
10 MHz 200 330 320 450 163-209 350-380 37 200
100 MHz 70 75 35 80 80 57-66 90 23 70 4.5-4.5
1 GHz 55 50 35 50 45 40-44 45 8 65 4.3-7.5
3 GHz 50 45 45 45 33 44 7.5 55 4-7
10 GHz 40 38 42 37 25 40 5 45
35 GHz 20 38 18 21 23 3.6
Capitolul 3
3.10.2 Conductivitatea în ţesuturi (S/m)
frecvenţă
muşchi striat
paralel
muşchi stiat perp
ficat plămân splina rinichicreier
materie albă
creier materie cenuşie
os sânge grăsime
10 Hz 0.52 0.076 0.12 0.089
100 Hz 0.52 0.076 0.13 0.092 0.0126 0.6 0.02-0.07
1 kHz 0.52 0.08 0.13 0.096 0.0129
10 kHz 0.55 0.085 0.15 0.11 0.25 0.073 0.0133 0.68
100 kHz 0.65 0.4 0.15 0.62 0.25 0.14 0.17 0.0144 0.68
1 MHz 0.6-0.8 0.3 0.63 0.38 0.17 0.21 0.0173 0.71
10 MHz 0.75-0.9 0.45 0.8 0.65 0.25 0.35 0.0237 1
100 MHz 0.75-0.9 0.7 0.53 1 1 0.4 0.7 0.0574 1 0.02-0.07
1 GHz 1.3-1.5 1 0.73 1.2 1 0.9 0.9 0.05 1.5 0.03-0.09
3 GHz 2.75 2-2.4 2.5 2.3 1.9 2 0.16 3
10 GHz 8 7-10 6.5 5 8 10 0.5-1.7 9 0.3-0.4
35 GHz 40 28 39 50 27
