Calcul diferent˘ial ˘si integral Curs - Anul I(Ro)

MatematicaCalcul diferential si integral

Curs - Anul I(Ro)

Echipa

Titulari curs

Lect. dr. Andreea Arusoaie

Conf. dr. Zalinescu Adrian

Seminarii

Lect. dr. Andreea Arusoaie

Conf. dr. Adrian Zalinescu

Conf. dr. Corina Forascu

Dr. Eduard Curca

Asist. Iulia Plesca

Matematica, Anul I Andreea Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 50

https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/index.html

https://profs.info.uaic.ro/~adrian.zalinescu/

Structura cursului

Arusoaie Andreea: [email protected] Curs 1 - Multimi. Relatii. FunctiiI Curs 2 - Siruri de numere reale. PolinoameI Curs 3-4 - Serii de numere realeI Curs 5-7 - Spatiul Rn. Aplicatii liniare, biliniare si patraticeI Saptamana 8 - Examen partial - T1 (C1-C7)

Adrian Zalinescu: [email protected] Curs 8 Cadrul metric pentru Rn

I Curs 9 Continuitatea functiilor de mai multe variabileI Curs 10-11 Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile. Aplicatii.I Curs 12-13 Integrarea functiilor reale. Integrale multipleI Saptamana 15-17 - Examen - T2 (C8-C13)


Modalitatea de evaluare

Nota finala va fi alcatuita din

Prezenta 10p - 1 punct = 1 prezenta

Evaluare prin examene 80p - 2 examene scrise ın saptamanile de evaluare (S8, S15)Cele 80 de puncte sunt distribuite dupa formula:

80p = 4 ∗ T1 + 4 ∗ T2unde

T1 - nota obtinuta la examenul partial din S8T2 - nota obtinuta la examenul din sesiune

Evaluare pe parcurs 10p - acordate de catre profesorul de seminar.

Bonus pentru participare meritorie la concursuri studentesti de matematica - 10p


Modalitatea de evaluare

Conditii de promovare

Media evaluarilor T1 si T2 ≥ 4.5

Punctajul total ≥ 45p

Observatii:

In cazul ın care studentul nu ındeplineste criteriile minimale, poate opta ınsesiunea de reexaminare pentru refacerea lucrarilor T1 si/sau T2.


CURS 1Multimi. Relatii. Functii

Andreea Arusoaie

e-mail: [email protected]

Web: http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

27 Septembrie, 2021

http://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/math.html

Structura cursului

1 MultimiCe este o multime?Operatii cu multimi

2 RelatiiDefinitie. ProprietatiRelatii de echivalentaRelatii de ordineMultimea numerelor reale

3 FunctiiDefinitie. ProprietatiExemple de functii


Structura cursului





Ce este o multime?

Multime - colectie de obiecte bine determinate si distincte ın care dispunereaelementelor nu are importanta. (Georg Cantor, 1872)

Obiectele din care este constituita multimea se numesc elementele multimii.


Multimi

Notiunile de multime si element sunt legate prin relatia de apartenenta:

Daca x este un obiect, iar A este o multime, spunem ca

x ∈ A, daca x este element al lui A;

x /∈ A, daca x nu este element al lui A.

Vom spune ca doua multimi sunt egale daca acestea sunt formate din aceleasielemente.

Interpretare: Daca A si B sunt multimi, atunci

∀x(x ∈ A⇔ x ∈ B)⇒ A = B.


Exemple de multimi remarcabile

multimea vida, notata ∅, si definita astfel ∅ = {x | x 6= x};multimea numerelor naturale: N = {0, 1, 2, . . . , n, n+ 1, . . .};multimea numerelor ıntregi:Z = {. . . ,−n− 1,−n, . . . ,−1, 0, 1, . . . , n, n+ 1 . . .};

multimea numerelor rationale: Q ={mn| m,n ∈ Z, n 6= 0

};

multimea numerelor reale: R;

multimea numerelor complexe: C = {a+ ib | a, b ∈ R}.


Multimi

Definitie

Fie A si B doua multimi.

A ⊆ B (A este submultime a lui B): ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B);

A ( B (A este submultime proprie a lui B): A ⊆ B si A 6= B.

Diagrama reprezentand faptul ca A este o submultime a lui B(Photo credit: Wikipedia)


Multimi

Notatie: Prin P(A), vom nota multimea tuturor partilor multimii A, adica

X ∈ P(A)⇔ X ⊆ A.

Observatie: ∅, A ∈ P(A).

Propozitie (Proprietatile incluziunii)

Daca X este o multime oarecare, iar A,B,C ∈ P(X), atunci:

i) A ⊆ A (reflexivitate);

ii) (A ⊆ B ∧B ⊆ A)⇒ A = B (antisimetrie);

iii) (A ⊆ B ∧B ⊆ C)⇒ A ⊆ C (tranzitivitate);


Operatii cu multimi

Fie X o multime nevida si A,B ∈ P(X).

a) Se numeste reuniune a multimilor A si B, multimea

A ∪B := {x ∈ X | x ∈ A ∨ x ∈ B};

b) Se numeste intersectie a multimilor A si B, multimea

A ∩B := {x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B};

Reuniunea lui A cu B Intersectia lui A cu B


Operatii cu multimi

c) Se numeste diferenta multimilor A si B, multimea

A \B := {x ∈ X | x ∈ A ∧ x /∈ B};


Operatii cu multimi

Propozitie

Fie X o multime nevida. Atunci pentru orice A,B,C ∈ P(X), avem:

1. A ∪∅ = A; A ∩∅ = ∅;

2. A ∪A = A; A ∩A = A (idempotenta);

3. A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩A (comutativitate);

4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (asociativitate);

5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributivitate);

6. A ∪ (A ∩B) = A; A ∩ (A ∪B) = A (absorbtie);

7. A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);

A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);

8. (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);

(A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C);


Operatii cu multimi

Propozitie


1. A ∪∅ = A; A ∩∅ = ∅;

2. A ∪A = A; A ∩A = A (idempotenta);

3. A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩A (comutativitate);

4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (asociativitate);

5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributivitate);

6. A ∪ (A ∩B) = A; A ∩ (A ∪B) = A (absorbtie);

7. A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);

A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);

8. (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);

(A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C);


Operatii cu multimi

Definitie

Fie X o multime nevida si A ∈ P(X).Se numeste complementara multimii A, multimea

CA = X \A = {x ∈ X | x /∈ A};

Propozitie

Fie X o multime nevida si A,B ∈ P(X).

i) CCA= A;

ii) A ∪ CA = X; A ∩ CA = ∅;

iii) legile lui De Morgan: CA∪B = CA ∩ CBCA∩B = CA ∪ CB .


Operatii cu multimi

Definitie

Fie X o multime nevida si A,B ∈ P(X).Se numeste diferenta simetrica a multimilor A si B, multimea

A∆B := (A \B) ∪ (B \A).

Propozitie


1. A∆A = ∅; A∆∅ = A;

2. A∆B = B∆A;

3. A∆(B∆C) = (A∆B)∆C.


Operatii cu multimi

Definitie

Se numeste produsul cartezian al multimilor nevide A si B, multimea

A×B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Propozitie

Fie X o multime nevida si A,B,C ∈ P(X). Atunci au loc egalitatile:

1. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C);

2. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C);

3. (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C);

4. (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).


Operatii cu multimi

Generalizare:

Fie X o multime nevida, I o multime nevida de indici, iar {Ai}i∈I ⊆ X. Atunci

reuniunea multimilor Ai este definita prin⋃i∈IAi := {x ∈ X | ∃i ∈ I : x ∈ Ai}

intersectia multimilor Ai este definita prin⋂i∈IAi = {x ∈ X | x ∈ Ai,∀i ∈ I}

Daca I = {1, 2, ..., n}, n ∈ N∗, atunci vom notan⋃i=1

Ai si respectivn⋂i=1

Ai.


Operatii cu multimi

Propozitie

Fie X o multime nevida, B ∈ P(X) si {Ai}i∈I ⊆ X. Atunci au loc urmatoarele:

i) Ai ⊆⋃i∈IAi si

⋂i∈IAi ⊆ Ai, pentru orice i ∈ I;

ii) B ∩(⋃i∈IAi

)=⋃i∈I

(B ∩Ai); B ∪(⋂i∈IAi

)=⋂i∈I

(B ∪Ai);

iii) X \(⋂i∈IAi

)=⋃i∈I

(X \Ai); X \(⋃i∈IAi

)=⋂i∈I

(X \Ai).

Pentru un numar finit de multimi nevide {Ai | i ∈ 1, n}, produsul cartezian almultimilor Ai este definit prin

A1 ×A2 × ...×An = {(a1, a2, ..., an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An}.

Daca A1 = A2 = ... = An = A, atunci vom nota A1 ×A2 × ...×An cu An


Structura cursului





Relatii

Definitie

Fie A si B doua multimi.

O submultime R ⊆ A×B se numeste relatie (binara) ıntre elementele lui A sielementele lui B.

Terminologie:

Daca R ⊆ A×B si (x, y) ∈ R, unde x ∈ A si y ∈ B, atunci

spunem ca x este ın relatia R cu y;

vom nota xRy.


Relatii

Definitie

Fie A si B doua multimi nevide si relatia binara R ⊆ A×B.

Se numeste domeniul relatiei R, multimea

Dom(R) := {x ∈ A | ∃y ∈ B : xRy};

Se numeste imaginea (codomeniul) relatiei R, multimea

Im(R) := {y ∈ B | ∃x ∈ A : xRy}.

Se numeste inversa relatiei R, relatia de la B la A definita prin

R−1 := {(y, x) ∈ B ×A | xRy}.


Relatii

Exercitiu:

Fie A = {1, 2, 3} si B = {4, 5} si fie relatiile R = {(1, 5), (2, 4), (3, 4)} siS = {(1, 4), (1, 5)}. Sa se determine Dom(R),Dom(S), Im(R), Im(S),R−1, S−1.

Solutie:

Dom(R) = {1, 2, 3} = A, Dom(S) = {1},

Im(R) = {4, 5} = B, Im(S) = {4, 5} = B,

R−1 = {(5, 1), (4, 2), (4, 3)} S−1 = {(5, 1), (4, 1)}.


Relatii

Definitie

Fie A,B,C multimi nevide si fie R ⊆ A×B si S ⊆ C ×D.Compusa relatiilor S si R, este relatia de la A la D definita prin

S ◦R = {(x, z) ∈ A×D | ∃y ∈ B ∩ C : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}.

Exercitiu:

Fie A = {1, 2} si B = {3, 4, 5} si fie relatiile R = {(1, 5), (2, 3), (2, 4)} siS = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}. Sa se determine S ◦R,R ◦ S,R ◦R−1.

Solutie: R ⊆ A×B iar S ⊆ B ×A, rezulta ca S ◦R ⊆ A×A.S ◦R = {(x, z) ∈ A×A | ∃y ∈ B : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}(1, 5) ∈ R, ınsa ın S nu avem nici o pereche cu prima componenta 5;(2, 3) ∈ R⇒ (3, 1), (3, 2) ∈ S ⇒ (2, 1), (2, 2) ∈ S ◦R;(2, 4) ∈ R⇒ (4, 1), (4, 2) ∈ S ⇒ (2, 1), (2, 2) ∈ S ◦R;Rezulta S ◦R = {(2, 1), (2, 2)}Similar, R ◦ S ⊆ B ×B,R ◦ S = {(3, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (4, 3), (4, 4)}R−1 = {(5, 1), (3, 2), (4, 2)} ⊆ B ×A,R ◦R−1 = {(5, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}.


Relatii

Definitie

Fie A o multime. Numim identitate pe A, relatia 1A := {(x, x) | x ∈ A}.

Definitie

Fie A o multime nevida si fie R ⊆ A×A o relatie pe A. Spunem ca R este:

reflexiva daca xRx,∀x ∈ A, adica 1A ⊆ R;

simetrica daca (xRy ⇒ yRx),∀x, y ∈ A, adica R−1 = R;

antisimetrica daca ((xRy ∧ yRx)⇒ x = y),∀x, y ∈ A, adicaR ∩R−1 = 1A;

tranzitiva daca ((xRy ∧ yRz)⇒ xRz),∀x, y, z ∈ A, altfel scris R ◦R ⊆ R.


Relatii

Definitie

Fie A o multime nevida si fie R ⊆ A×A. Spunem ca R este o relatie deechivalenta pe A daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

Definitie

Fie R o relatie de echivalenta pe multimea A.Clasa de echivalenta a elementului x ∈ A este multimea

[x]R = xR := {y ∈ A | xRy}.

Multimea claselor de echivalenta determinate de R, se numeste multime cat si senoteaza

A/R = {[x]R | x ∈ A}.

Exercitiu: Consideram pe multimea R \ {0} relatia xρy ⇔ x · y > 0. Aratati ca ρeste o relatie de echivalenta si determinati clasele de echivalenta [x]ρ.


Relatii

Definitie

Fie R ⊆ A×A. Spunem ca:

i) R este o relatie de ordine (partiala) pe A daca este reflexiva, antisimetricasi tranzitiva;

ii) R este o relatie de preordine pe A daca este reflexiva si tranzitiva;

iii) O relatie de ordine R se numeste totala daca are loc

xRy ∨ yRx,∀x, y ∈ A;

iv) Daca A este o multime si R este o relatie de preordine/ordine/ordine totalape A, atunci perechea (A,R) se numeste multime preordonata/ordonata/total ordonata.

Notatie:

relatiile de ordine le vom nota prin: ≤,�, etc.,

Daca � este o relatie de preordine pe A, atunci ≺ va nota relatia � \1A,adica x ≺ y ⇒ (x � y) ∧ (x 6= y),∀x, y ∈ A.


Relatii

Definitie

Fie o multime ordonata (A,�) si B ⊆ A o multime nevida.

i) Un element x ∈ A se numeste majorant pentru B daca y � x, ∀y ∈ B.

ii) Un element x ∈ A se numeste minorant pentru B daca x � y,∀y ∈ B.

iii) Daca B admite minorant, majorant sau ambii, spunem ca B este marginitainferior, marginita superior, respectiv marginita.

iv) Daca x ∈ A este un minorant pentru A, atunci x se numeste cel mai micelement al lui A si se noteaza cu minRA.

v) Daca y ∈ A este un majorant pentru A, atunci y se numeste cel mai mareelement al lui A si se noteaza cu maxRA.


Multimea numerelor reale

Definitie

Se numeste multime de numere reale o multime R, ınzestrata cu doua operatiialgebrice: + (adunarea) si · (ınmultirea), precum si cu o relatie de ordine: ≤, ınraport cu care sunt ındeplinite urmatoarele trei grupe de axiome:

I. (R,+, ·) este un corp comutativ , adica au loc:

(+1) x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀x, y, z ∈ R;(+2) ∃0 ∈ R,∀x ∈ R : x+ 0 = 0 + x = x;(+3) ∀x ∈ R, ∃ (−x) ∈ R : x+ (−x) = (−x) + x = 0;(+4) x+ y = y + x, ∀x, y ∈ R;(×1) (x · y) · z = x · (y · z), ∀x, y, z ∈ R;(×2) ∃ 1 ∈ R : x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ R;(×3) ∀x ∈ R \ {0}, ∃x−1 ∈ R : x · x−1 = x−1 · x = 1;(×4) x · y = y · x, ∀x, y ∈ R;

(D) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀x, y, z ∈ R;


Definitie (continuare)

II. (R,+, ·,≤) este un corp total ordonat , adica:

(O1) x ≤ x,∀x ∈ R;(O2) (x ≤ y) ∨ (y ≤ x), ∀x, y ∈ R;(O3) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ x))⇒ x = y, ∀x, y ∈ R;(O4) ((x ≤ y) ∧ (y ≤ z))⇒ x ≤ z, ∀x, y, z ∈ R;(O5) x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z, ∀x, y, z ∈ R;(O6) ((x ≤ y) ∧ (0 ≤ z)) ⇒ x · z ≤ y · z, ∀x, y, z ∈ R;

III. (Axioma de completitudine Cantor-Dedekind) Orice submultime nevida simajorata A ⊆ R admite o cea mai mica margine superioara (numita sup) ınR.

Pentru x, y ∈ R, definim urmatoarele operatii auxiliare:

scaderea:x− y := x+ (−y), x, y ∈ R;

ımpartireax

y:= x · (y−1), x ∈ R, y ∈ R \ {0}.


Multimea numerelor reale

Observatie:

Plecand de la multimea numerelor reale, se pot construi urmatoarele multimi

Multimea numerelor naturale:

N = {0, 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, . . .} = {0, 1, 2, 3, 4, . . .};

Multimea numerelor ıntregi:

Z = N ∪ {−n | n ∈ N};

Multimea numerelor rationale:

Q = {x · y−1 | x ∈ Z, y ∈ Z∗}

Asadar, ıntre submultimile remarcabile ale lui R, avem urmatoarele relatii

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.


Valoarea absoluta a unui numar real

Definitie

Pentru x ∈ R, definim valoarea absoluta a lui x prin

|x| =

{x, x ≥ 0,

−x, x < 0.

Propozitie

Au loc urmatoarele proprietati:

i) |x| ≥ 0,∀x ∈ R; iii)|x · y| = |x| · |y|,∀x, y ∈ R;

ii) |x| = 0⇔ x = 0, ∀x ∈ R; iv)|x+ y| ≤ |x|+ |y|,∀x, y ∈ R.


Supremum si infimum

TeoremaFie A o submultime nevida a lui R.1. Un element α ∈ R este margine superioara (sup) a multimii A, daca si

numai daca:

(i) x ≤ α, ∀ x ∈ A;(ii) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ıncat α− ε < xε.

2. Un element β ∈ R este margine inferioara (inf) a multimii A, daca si numaidaca:

(i) β ≤ x, ∀ x ∈ A;(ii) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ıncat xε < β + ε.

Observatie:Daca a, b ∈ R cu a < b, atunci

sup[a,b] = sup[a,b) = sup(a,b] = sup(a,b) = b

inf[a,b] = inf[a,b) = inf(a,b] = inf(a,b) = a


Dreapta reala extinsa

Cum nu orice submultime a lui R poseda o margine superioara si o margineinferioara, vom considera doua simboluri, numite plus infinit si minus infinit,notate cu +∞ si respectiv −∞. Vom nota prin

R = R ∪ {−∞,+∞}

si vom numi aceasta multime, dreapta reala extinsa .Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R, astfel

−∞ < x, x < +∞, −∞ < +∞,∀x ∈ R

Vom considera lipsite de sens, fiind nedeterminate, operatiile urmatoare:

(+∞) + (−∞), (+∞)− (+∞), (−∞) + (+∞), (−∞)− (−∞),

0 · (−∞), 0 · (+∞), (+∞) · 0, (−∞) · 0, ±∞±∞

Elucidarea sensului acestor operatii are loc, de regula, pe seama expresiilor dincare provin.


Structura cursului





Functii

Definitie

Fie A si B doua multimi nevide.O relatie f ⊆ A×B se numeste functie (sau relatie functionala) daca satisfaceurmatoarele conditii:

1) Dom(f) = A (altfel scris, ∀x ∈ A,∃y ∈ B, astfel ıncat (x, y) ∈ f);

2) (x, y) ∈ f si (x, z) ∈ f ⇒ y = z, ∀x ∈ A, ∀y, z ∈ B.

Vom nota functia f ⊆ A×B, astfel f : A→ B.

Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei f , iar multimea B senumeste codomeniul lui f .

Din definitia de mai sus rezulta ca pentru orice x ∈ A exista un unic y ∈ B astfelıncat (x, y) ∈ f. Elementul y se numeste imaginea lui x prin f , si se noteaza f(x).


Functii

Definitie

i) Se numeste graficul functiei f : A→ B, multimea Gf ⊆ A×B definita prin

Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}.

ii) Spunem ca doua functii f : A→ B si g : C → D sunt egale daca A = C,B = D si f(x) = g(x), ∀x ∈ A = C.


Functii

Definitie

Fie functia f : A→ B.

a) Daca C ⊆ A, atunci functia f|C := f ∩ (C ×B) (adicaf|C(x) = f(x), ∀x ∈ C), se numeste restrictia lui f la multimea C.

b) Daca C ⊆ A, atunci numim imagine a multimii C prin f , multimea

f(C) = {y ∈ B | ∃x ∈ C : y = f(x)}.

c) Daca D ⊆ B, atunci numim preimaginea lui D prin f (sau imagineainversa) multimea

f−1(D) = {x ∈ A | ∃y ∈ D : y = f(x)}.


Functii

Definitie

Fie A o multime nevida. Functia 1A : A→ A definita prin

1A(x) = x, ∀x ∈ A

se numeste functia identica.

Definitie

Fie A si B doua multimi nevide. Atunci functia f : A→ B se numeste:

i) injectiva daca ∀x, y ∈ A, f(x) = f(y)⇒ x = y;

ii) surjectiva daca Im(f) = B (altfel scris, ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y);

iii) bijectiva daca f este injectiva si surjectiva;

iv) inversabila daca exista g : B → A astfel ıncat g ◦ f = 1A si f ◦ g = 1B .Daca exista functia g, acesta se numeste inversa lui f si se noteaza cu f−1.


Functii

Propozitie

Fie f : A→ B si g : B → C doua functii.

i) Daca f si g sunt injective, atunci g ◦ f este injectiva;

ii) Daca f si g sunt surjective, atunci g ◦ f este surjectiva;

ii) Daca f si g sunt bijective, atunci g ◦ f este bijectiva;

ii) Daca g ◦ f este injectiva, atunci f este injectiva;

ii) Daca g ◦ f este surjectiva, atunci g este surjectiva.

Propozitie

O functie f : A→ B este bijectiva daca si numai daca este inversabila.In acest caz, f−1 : B → A, si f ◦ f−1 = 1B si f−1 ◦ f = 1A.


Functii. Functia caracteristica

Definitie

Fie X o multime nevida si A ⊆ X. Se numeste functie caracteristica(indicatoare) a multimii A, functia χA : X → {0, 1} definita prin

χA(x) ={

1, x ∈ A0, x /∈ A.

Daca A = ∅, atunci χA ≡ 0.



Propozitie

Fie X o multime nevida si fie A,B ⊆ X. Atunci au loc urmatoarele proprietati:

i) χαA = χA, ∀α > 0;

ii) A ⊆ B ⇔ χA ≤ χB ,

iii) A = B ⇔ χA = χB ;

iv) χCA= 1− χA;

v) χA∩B = χA · χB ;

vi) χA∪B = χA + χB − χA · χB ;

vii) χA\B = χA − χA · χB ;

viii) χA∆B = χA + χB − 2χA · χB .



Propozitie

Fie X o multime nevida si fie A,B ⊆ X. Atunci au loc urmatoarele proprietati:

i) χαA = χA, ∀α > 0;

ii) A ⊆ B ⇔ χA ≤ χB ,

iii) A = B ⇔ χA = χB ;

iv) χCA= 1− χA;

v) χA∩B = χA · χB ;

vi) χA∪B = χA + χB − χA · χB ;

vii) χA\B = χA − χA · χB ;

viii) χA∆B = χA + χB − 2χA · χB .

Exercitiu: Fie A,B,C trei multimi nevide. Demonstrati cu ajutorul functieicaracteristice urmatoarele proprietati:

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C);

A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C);


Exemple de functii reale

1. Functii elementare de baza:I functia constanta: f : R→ R, cu f(x) = c, ∀x ∈ R, unde c ∈ R;

I functia identitate: 1R : R→ R, 1R(x) = x, ∀x ∈ R ;

I functia exponentiala de baza a, a > 0 : functia f : R→ R, f(x) = ax,∀x ∈ R;

I functia logaritm de baza a > 0, a 6= 1: f : (0,∞)→ R, f(x) = loga x;

I functia putere de exponent a ∈ R: f : D(f) ⊆ R→ R, f(x) = xa, ∀x ∈ R;

I functii trigonometrice (directe): sin, cos, tg, ctg;

I functii trigonometrice inverse: arcsin, arccos, arctg, arcctg.

2. Functii elementare: adica o functie obtinuta prin aplicarea uneia sau a maimultor operatii de baza cu functiile elementare de baza: adunarea, scaderea,ınmultirea si ımpartirea.



3. Functii speciale:

I functia parte ıntreaga: f : R→ R, f(x) = [x]def= sup {n ∈ Z | n ≤ x};

I functia parte fractionara: f : R→ R definita de f(x) = {x} = x− [x];

I functia semn: f : R→ R definita de f(x) = sgn(x) =

−1, x < 00, x = 01, x > 0

;

I functia valoare absoluta: f : R→ R, definita de

f(x) = |x| ={−x, x < 0x, x ≥ 0

;



3. Functii speciale:

I functia parte pozitiva: f : R→ R, definita de f(x) = x+ =

{x, x ≥ 00, x < 0

;

I functia parte negativa: f : R→ R, definita de f(x) = x− =

{0, x ≥ 0−x, x < 0

;

I functia lui Dirichlet: f : R→ R, definita de f(x) =

{1, x ∈ Q0, x ∈ R \ Q ;

I functia lui Heaviside: f : R→ R, definita de f(x) =

{0, x < 01, x ≥ 0

;

I functia lui Riemann, f : [0, 1]→ R,

f(x) =

0, daca x = 0 sau x ∈ (0, 1] \ Q1

q, x =

p

q∈ (0, 1] ∩Q, (p, q) = 1

.


Bibliografie

A. Precupanu, Bazele analizei Matematice, Editura Universitatii “Al. I.Cuza”, Iasi, 1993.

F.L. Tiplea, Introducere ın teoria multimilor, Editura Universitatii “Al. I.Cuza”, Iasi, 1998.

M. Postolache, Analiza matematica (teorie si aplicatii), Editura Fair Partners,Bucuresti, 2011.

G. Bergman, An Invitation to General Algebra and Universal Constructions,Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708 1998, 398, pp. 45.(http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/)

G. O’Regan, Mathematics in Computing, Springer Verlag, London, 2013.


http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/

Date post:	29-Oct-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

Calcul diferent˘ial ˘si integral Curs - Anul I(Ro)

Documents