Material didactic pentru lecia: Binomul lui Newton Prof. Elena-Eugenia Cimpoeru Liceul Teoretic Eugen Lovinescu Bucureti Elena-EugeniaCimpoeru2 cuprins Scopul leciei Verificarea temei(1) Verificarea temei(2) Formula lui Newton Demonstrarea teoremei Despre formul(1) Despre formul(2) Aplicaie 1 Rspuns 1 Aplicaie 2 Rspuns 2 Aplicaie 3 Rspuns 3 Aplicaie 4 Rspuns 4 Aplicaie 5 Rspuns 5 Identiti Aplicaie 6 Rspuns 6 Aplicaie 7 Rspuns 7 Test Tem Elena-EugeniaCimpoeru3 Binomul lui Newton ( )nScopul leciei: Prezentarea formulei pentrua+b , a,bi n . Gsirea proprietilor pentru coeficienii termenilor din dezvoltarea acestui binom. Aplicaii.-- e e--Elena-EugeniaCimpoeru4 Verificarea temei: ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 34 522 233 2 2 324 2 2 2 34 3 2 2 3 4 1 Scriei formulele pentru:a+b , a+b ,gsii o modalitate de a calcula a+bi calculaia+b .Rspuns :a+b =a +2ab+ba+b =a +3a b+3ab +ba+b a+b a+b a+b a+b a+ba +4a b+6a b +4ab +ba+b (= = = = =55 4 3 2 2 3 4 5=a +5a b+10a b +10a b +5ab +b .Elena-EugeniaCimpoeru5 Ce putei spune despre coeficienii literelor? Ce putei spune despre numrul de termeni din fiecare dezvoltare? Ce putei spune despre exponenii literelor? Rspundei la urmtoarele ntrebri: Elena-EugeniaCimpoeru6 Rspunsuri: Coeficienii termenilor extremi i ai celor egal deprtai de termenii extremi sunt egali. Exponenii puterilor lui a descresc de la cel mai marela 0. Exponenii puterilor lui b cresc de la 0 la---cel mai mare. Exponentul cel mai mare pentru a i pentru b este exponentul la care se ridic binomul. Numrul de termeni din dezvoltare depete cu 1 exponentul la care se ridic binomul.--Elena-EugeniaCimpoeru7 Verificarea temei: ( )knknkn 2Calculai numereleCn situaiile: a) n 1;b) n 2;c) n 3;d) n 4;e) n 5.Rspuns :n!Folosind formula combininrilorCn k, n,kik! n k !utiliznd formula combinrilor complementare C= = = = == > e =n kn0 11 10 1 22 2 20 1 2 33 3 3 30 1 2 3 44 4 4 4 41 11 2 1Cobinem: C , C C , C , C 1 3 3 11C , C ,C , CC , C 4 6 4 1 , C , C , C

= == = == = = == = = = =0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5 C , C , C , 1 5C ,10 10 5 1 C , C = = = = = =Elena-EugeniaCimpoeru8 Legat de a doua problem din tem observm urmtoarele: knCoeficienii din dezvoltare sunt chiar numerele obinute calculndCn situaiile din tem:a) n 1;b) n 2;c) n 3;d) n 4;e) n 5,anume:a)b)1 1

= = = = =1211 33 1 1 464 11510 10 5c)d) e)Astfel gr 1upate se observ o modalitate de calcul a acestor numere din aproape n aproape ( triunghiul lui Pascal).Elena-EugeniaCimpoeru9 Formula lui Newton ( )( )n0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n nn n n n n na+b =C a +C a b+C a b +..... + C a b +.....+C abAre loc urmtoarea:Teorema binomului .Fie a, b ,n . Atunci :cunoscut sub denumirea de formula lui Newton.Isaac Newton m t+Cab -e e( )( )ematician, astronom, fizician englez 1643-1727 .Demonstraie cu metoda induciei matematice:Etapa I. Verificare: P 1 :...munca independent... ( Elena-EugeniaCimpoeru10 Demonstrarea teoremei: () ( )( ) ( ) ( )() ( )( ) ( ) ( )( )n0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n nn n n n n10 11 1n+10 n+1 1 n k n+1 k k n+1 n+1n+1 n+1 n+1 n+1Fie P n :a+b =C a +C a b+C a b +..... +C a b +.....+C b , n .I. Verificare: P 1 : a+b =C a+C b ;II. P n P n+1 : P n+1 :a+b =C a +C a b+.....C a b +.....+C bP n+1 : eA?( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )01n+1n +1 n +1n0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n0 n+1 1 n k n k+1 k n n 0 n 1 n 1 2n n n n n nk n k k+1 n n+1n nn+10 n+1 1 0 n 2 1n n n n nCC Ca+b a+b = a+b C a +C a b+.....+C a b +.....+C b ==C a +C a b+....+C a b +...+C b +C a b+C a b +.....++C a b +.....+C ba+b =C a + C +C a b+ C +C ( )()n+12n+1n 1 2 n n n+1n nCa b +....+C C bConform principiului induciei matematice rezult c P neste adevratn .- eA .Elena-EugeniaCimpoeru11 Precizri privind formula lui Newton: 0 1 k nn n n n Coeficienii C ,C ,...C ,..., Cse numesc i sunt n numr den +1 A se face distincie ntre coeficientul binomial al unui termen i coeficieni binomialiai dezvoltriicoeficientul nu1) meri.0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n1 n 2 n 3 n n+1 n0 2 4n n n al acelui termen!Cei n+1 termeni sunt: T =C a ,T =C a b,T =C a b ,....,,...., T =C b .Numerele naturale C ,C ,C ... se numesc coeficieni binomiali de rang imp k n-k kk+1 ncT =2)3) a b C1 3 5n n nar,iar numereleC , C , C ....se numesc coeficieni binomiali de rang par.n formula lui Newton exponenii puterilor lui a descresc de la nla 0,iar exponenii puterilor lui b cresc de l4)a 0 la n.Elena-EugeniaCimpoeru12 Precizri privind formula (continuare): 0 n 1 n 1 2 n 2 k n kn n n n n n n nCoeficienii binomiali ai termenilor extremi i cei ai termenilor egal deprtai de termenii extremi sunt egali: C =C , C =C , C =C ,.... ,C =C . Dac exponentul puterii e 5) 6) 0 1 2 k k+1 nn n n n n nste par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni,iar termenul din mijlocare coeficientul binomial cel mai mare: C C C .... C C .... C < < < > > >0n. Dac exponentul puterii este impar n=2k+1 atunci dezvoltarea are 2k+2 termeni i exist doi termeni la mijlocul dezvoltrii cu coeficienii binomiali egali i de valoare cea mai mare: C >7termenul general) k n-k kk+1 nT = C a b , k 0,1, 2,...., nElena-EugeniaCimpoeru13 Aplicaie: Formula ( )643 1 Calculai1+2x folosind formula lui Newton. Dup ce ai dezvoltatbinoamul cu ajutorul formulei completai:a)T =................ b)coeficientul binomial al lui T este..........c)coefi559cientul lui Teste..............d)termenul liber al dezvoltrii este..............d)termenul care conine xeste................e)termenul care conine xeste................Elena-EugeniaCimpoeru14 Rspuns: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )6 2 3 4 5 61 2 3 4 5 66 6 6 6 6 633 34 623 64 45 6 11+2x =1+C 2x+C 2x +C 2x +C 2x +C 2x +C 2xAstfel :a)T =C 2x =160xb)coeficientul binomial al termenului Teste C =15c)coeficientul termenului Teste C 2 =240d)termenul liber est( )155 5 56 69e T =1e)termenul care conine xeste T C 2x 192xe)nu exist termen care conine x = =Formula Elena-EugeniaCimpoeru15 Aplicaie: ( )5434Calculai z= y-i folosind formula lui Newton i rspundei la urmtoarele ntrebri:a)T =..................b)coeficientul binomial al lui T este...........c)coeficientullui T este..... 2( )( ).....d)Re z =.......e)Im z =............ Formula Elena-EugeniaCimpoeru16 Rspuns: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5 2 3 4 55 1 4 2 3 3 2 4 55 5 5 5 555 1 4 2 3 3 2 4 55 5 5 5 53 44 523 5 2y i =y +C y i +C y i +C y i +C y i +C iy i =y C y i C y +C y i+C y C in concluzie:a)T =C y ib)coeficientul binomial al termenului Teste C =10c)coeficientul terme ( )( )34 55 34 2nului Teste C i=10id)Re z y 10y +5ye) Im z 5y +10y 1= = Formula Elena-EugeniaCimpoeru17 Aplicaie: 823612 Fie binomulx + . S se determine:xa) Termenul al treilea al dezvoltrii.b) Termenul din mijloc.c) Rangul termenului ce conine pe x .d) Termenului ce conine pe x .e) Termenul liber din d| | |\ .3( )ezvoltare.nu dezvoltai binomul!Termen general Elena-EugeniaCimpoeru18 Rspuns: ( ) { }( )k8 kk 2k+1 8328 22 2 63 2+1 8352 3 Temenul general este: T =C x ,k 0,1,...,8x2a) Lum k=2 i obinem T =T =C x =112xxb) Cumn=8nseamn cdezvoltarea are 9 termeni i termenul din mijloc este T| | e |\ .| | |\ .( )( )( )48 44 2 44+1 836k+1k8 k2 8 k 2 6 3k 6332=T =C x =1120x .xc) Pentru a gsi termenul care conine xfolosim din formula lui Tfactorul x cu exponentul su: 1x =x x x =x 16 5k=6 k=2 T .xd) Repetm raiona | | |\ .| | |\ .16 5k 1416 5k 0mentul i gsim x =x k=3 T 448x.e) Analog x =x 16 5k=0 k Nu exist termen liber. = e Termen general Elena-EugeniaCimpoeru19 Aplicaie: ( )e*n 4S se determine n Ntiind c al zecelea termenal dezvoltrii binomului3 +neste cel mai mare dintre termenii dezvoltrii.Termen general Elena-EugeniaCimpoeru20 Rspuns: ( )1010 9 10 118 n 8 8 9 n 9 9n n10 n 10 10 9 n 9 9n n 4 Termenul Teste cel mai mare al dezvoltrii dac T Ti T Tsau echivalent cu sistemul C 3 n C 3 n ,unde n 10,nC 3 n C 3 n3 nn 4 + 43,n 8 9n 310 n 9 > > s > e s e s s { }9 201 9 + 201n ,2 29 + 201n 4 + 43, 11 n 112| |e | |\ .| |e = = | |\ .Termen general Elena-EugeniaCimpoeru21 Aplicaie: ( )1003Fie binomul2 + 3 .a) Determinai numrul de termenidin dezvoltare.b) Aflai ci termeni raionali are dezvoltarea.c) Ci termeni iraionali are dezvoltarea? 5 Termen general Elena-EugeniaCimpoeru22 Rspuns: ( )( ) ( ){ }1003100 k kk 3k+1 100k+1 5 a) Binomul2 + 3are n dezvoltare 101 termeni.b) Formula temenului general este: T C 2 3 , k 0,100.2 100 k 2 kT 6 k k 0, 6, ...., 963 k 3 ksau se mai scrie k 0, 6 1, 6 2 , 6 3 , ...= = e e e { }., 6 16exist 17 termeni raionali.c) n concluzie sunt 101 17 84 termeni iraionali. =Termen general Elena-EugeniaCimpoeru23 Identiti n calculul cu combinri ( )( )nn0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n nn n n n n nUtiliznd formula lui Newton de dezvoltare a binomuluia + ba+b =C a +C a b+C a b +.....C a b +.....+C ab +C b ,se pot deduce cteva identiti interesante n care intervin coeficinii n 0 1 2 n 1 nn n n nnn2 C + C + C +.binomiali. Particulariznd n formula lui Newton a b 1 gsim:

Suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii este 2 n aceeai formul a lui Newto.... + C + Cn- = ==-( )n0 1 2 nn n n n0 C C lun+ C .....d a 1 i b 1 obinem:

Suma alternant a coeficienilor binomiali este 1 C0== =Elena-EugeniaCimpoeru24 Identiti n calculul cu combinri(continuare) ( )( )n 0 1 2 n 1 nn n n n nn0 1 2 nn 1 0 2 4 6n n n nn 0 2 4 6n nnn nn n nAdunnd cele dou sume membru cu membru obinem:2 C + C + C +..... + C + C0 C C + C ..... 1 C2 22C + C + C + C +.C....sau

Suma coeficienilor + C + C + C +....=== =( )nn 1 1 3 5 7n1n 1 3 5 7n n n nn 1n n nbinomiali de rang impar este 2Scznd cele dou sume obinem:2 2 C + C + C + C +.....sau Suma coeficienilor binomiali de rang2 C + C + C + C par est+...e .2==Elena-EugeniaCimpoeru25 Aplicaie: 1 2 3 nn n n n nk k 1n n 1k n kn n 6S se calculeze suma: S C + 2C +3C +..... + nC .a) utiliznd egalitatea kC nCpentru n,k , n k;b) utiliznd formula combinrilor complementare: C Cpentru n,k , n k;-==e >= e >Suma Elena-EugeniaCimpoeru26 Rspuns: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )knk 1n 10 1 2 n 1n0 1 2 n 1 n 1n 1 n 1 n 1 n 1n 1 n 1 n 1 n 1a) Demonstrarea formulei:n n 1 !n!kC k kk!. n k ! k k 1 ! n k !n 1 !n nCk 1 ! n k !Astfel suma se rescrie:S nC + nC + nC +.... + nCn C + C + C +.... + C 2 n = = = = = = == = Suma Elena-EugeniaCimpoeru27 Rspuns (continuare): ( )( )nk n kn nn 1 n 2 n 3 1 0n n n n n n0 1 n 3 n 2 n 1n n n n nnb) Rescriem suma Sutiliznd formula combinrilor complementare, C Ci se obine:S C + 2C +3C +..... + n 1 C + nCnC + n 1 C +.... +3C + 2C +C .Adunm cele dou sume:S == == =( ) ( )( ) ( )( )1 2 n0 1 2 n 2 n 1 nn n n n n n2 n 1 nn n n n n0 1 2 n 2 n 1n n n n n nnnC + 2C+ ... + n 2 C + n 1 C + nCS nC + n 1 C + n 2 C +........... + 2C +C +C+C +................+C. +C+

2S n2S nC +C = = = n n 1nS 2 2 n = Suma Elena-EugeniaCimpoeru28 Aplicaie: k k+1n n+11 2 n0 n n nn n 7S se demonstreze egalitatea C C pentru n,k , n k k +1 n +1i apoi s se calculeze suma: C C CS C + + +..... +2 3 n +1= e >=Suma Elena-EugeniaCimpoeru29 Rspuns: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )kknnk+1k+1n+1n+11 2 n0n n n nn n Demonstrarea formulei:C 1 1 n! n! n +1Ck +1 k +1 k +1 k! n k ! k +1 ! n k ! n +1n +1 !1 1 CC .k +1 ! n k ! n +1 n +1 n +1Cu aceast formul rescriem fiecare termen al sumeiC C C CS C + + +..... +2 3 n +1= = = = = = == = 7 ( )( ) ( )1 2 n+1+1 n+1 n+11 2 3 n+1n+1 n+1 n+1 n0 1 2 3 n+1n+1 n+1 n+1 n+1 n+1n++11C C+ +.... +n +1 n +1 n +11C + C + C +.C + C + C + C +.... + C... + Cn +11 12 1n +1 n +1 1 == == = Suma Elena-EugeniaCimpoeru30 Test 1431Fie binomulx , x 0.xCi termeni are dezvoltarea?Care este rangul termenului din mijloc?Care este suma coeficienilor binomiali ai acestui binom?Folosind formul termenului general,| | = |\ .1) 2) 3) k n k kk+1 n2 T =C a baflai:Rangul termenului care conine pe x .Ci termeni raionali are dezvoltarea?4) 5) Elena-EugeniaCimpoeru31 Tem n351S se afle termenul dezvoltrii binomuluix x +carexl conine pe xdac suma coeficienilor binomiali este 128.| | |\ . 1) 2) n22Se consider dezvoltareax , x , n .xS se determine n astfel nct suma coeficienilor primilor trei termeni - -| | e e |\ . a) 4ai dezvoltrii s fie 97.Pentru n=8 verificai dac exist un termen care-l conine pe x .Pentru n=80 aflai suma coeficb) c) ( )nnienilor dezvoltrii.S se scrie numrul complex z 1+i sub forma trigonomtrici apoi s se clculeze zcu formula lui Moivre;S se dezvolte1+idup formula lui Newton;Egalnd egalitil= 3) a) b) c) ( ) ( )n n0 2 4 6 1 3 5 7n n n n n n n ne de la a) i b) s se deduc egalitile:n nC C + C C +..... 2 cosiC C + C C +..... 2 sin4 4t t = =