ANALIZ NUMERIC
ANALIZ NUMERIC
I. Aproximri, erori
Definiie. Dac ntr-un calcul, n exprimarea unui rezultat nlocuim
numrul (vectorul) cu numrul (vectorul) , spunem c l-am aproximat pe
cu . Diferena se numete eroarea cu care l-am aproximat pe prin
.
Spre exemplu, dac numrul real , care este o fracie zecimal
infinit, se aproximeaz cu o fracie zecimal finit unde n fracia
infinit a lui s-au nlocuit cu zero cifrele zecimale de la un rang n
colo, se spune c aproximarea s-a fcut prin rotunjire, iar diferena
se numete eroare de rotunjire. Astfel, dac i , spunem c rotunjirea
s-a fcut la zecimala de ordin n. O asemenea rotunjire se poate face
i astfel:
n acest caz .
Definiie. Dac este un numr (vector), iar este numrul (vectorul)
obinut ca efect al unei formule matematice (egalitate,
inegalitate), atunci se numete eroare de metod sau rest.
Astfel, prin aproximarea sumei unei serii convergente cu o sum
parial a sa, eroarea ce se face este un rest (numit chiar restul
seriei).
n formula lui Taylor:
,
expresia este restul n aproximarea lui prin .
De obicei, nu se evalueaz ci numit valoarea absolut a erorii. De
regul, se poate gsi doar un majorant .
Definiie. O cifr zecimal de ordinul n a lui se numete cifr exact
dac valoarea absolut a erorii nu depete .
De exemplu, dac i , atunci primele patru zecimale din sunt
exacte.
n condiiile precedente, dac i sunt vectori ntr-un spaiu normat,
atunci eroarea se aprecieaz prin , de fapt printr-un majorant
pentru .
II. Metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuaii
liniareII.1. Metoda lui Gauss
Se consider sistemul
(1)
unde este o matrice real, , i , . Presupunem c sistemul are
soluie unic, deci c .
n metoda Gauss se transform sistemul (1) n unul echivalent cu
matricea triunghiular. Transformarea se face prin operaii liniare,
realizndu-se eliminarea succcesiv a necunoscutelor. Sunt necesare i
unele permutri de linii i de coloane, operaii numite de
pivotare.
Fixm prima coloan n (1) i permutnd dou linii plasm coeficientul
de modul maxim din prima coloan n prima linie. n particular, acest
coeficient (numit pivot) este nenul. Sistemul se scrie
,
(2)
unde , .
mprind prima linie a sistemului cu ea devine
(3)
unde , , .
Pentru nmulim ecuaia (3) cu i o scdem din linia a sistemului
(2). Obinem sistemul:
(4)
unde
,
,
Determinantul matricii sistemului format cu ultimele linii ale
sistemului (4) este nenul, cci, n caz contrar, ar rezulta .
Procedeul aplicat n prima etap se poate aplica sistemului
Dup m pai se ajunge la sistemul
(5)
Sistemul (5) este atunci echivalent cu (1) i din obinem
succesiv
,
Observaie. n procedeul prezentat, s-au permutat numai linii i se
spune c rezolvarea s-a fcut prin pivotare parial. Dac se permut i
coloane, se poate realiza ca la fiecare pas s se obin un sistem n
care coeficientul pivot s fie cel mai mare n modul printre
coeficienii sistemului (se spune c rezolvarea s-a fcut prin
pivotare total). Se ncearc prin aceasta s se evite mpriri la numere
mici, caz n care erorile de rotunjire pot fi mai mari.
Exemplu. Folosind metoda lui Gauss s se rezolve sistemul:
Prin pivotare de linii i dup operaiile descrise mai sus se
obine:
Rezult apoi , , .
Exerciiu. Folosind metoda Gauss s se rezolve sistemul:
R. , , , .
II. 2. Metoda rdcinii ptrate
Pe se consider produsul scalar canonic, . Matricea real se
numete pozitiv definit dac , pentru orice , , adic dac , , .
Amintim c matricea se numete triunghiular subdiagonal dac
deasupra diagonalei principale are numai zerouri. Dac atunci .
Fundamentul teoretic al metodei rdcinii ptrate este urmtorul
rezultat de factorizare.
Teorema 1. Matricea real este simetric i pozitiv definit dac i
numai dac exist matricea nesingular astfel nct .
Fie simetric, pozitiv definit, i nesingular, triunghiular
subdiagonal, , astfel nct
(1)
Pentru a avea loc (1) este suficient s lum:
, ,
(2)
,
(3)
,
(4)
dac
(5)
Fie sistemul de ecuaii liniare
(6)
unde este simetric i pozitiv definit. Pentru rezolvarea direct a
acestui sistem, dup descompunerea precedent se ajunge la i se
rezolv succesiv sistemele cu matrici triunghiulare i apoi . Dac ,
soluia sistemului este
(7)
,
(8)
Sistemul d, n fine, soluia sistemului (6):
(9)
,
(10)
Exemplu. Folosind metoda rdcinii ptrate s se rezolve
sistemul:
Soluie. Cu formulele (2), (3) i (4) se obine
Cu formulele (7) i (8) se obine , , , .
n fine, cu formulele (9) i (10) se obine , , , .
Exerciii. Cu metoda rdcinii ptrate s se rezolve sistemele:
a)
R. , , ,
b)
R. , , .
II.3. Metoda lui Ritz de inversare a unei matrici
simetrice i pozitiv definite
Ca i n paragraful precedent, pe se consider produsul scalar
canonic.
Fie o matrice real, simetric i pozitiv definit. Amintim c
vectorii se numesc A-ortogonali dac . Dac sunt vectori A-ortogonali
i nenuli, atunci formeaz baz n .
Dac , se noteaz , , iar dac , atunci
.
Fie vectori A-ortogonali i nenuli. Notm
,
(1)
Teorema 1. Dac sunt A-ortogonali i nenuli, atunci
,
.
Algoritmul urmtor construiete un sistem de m vectori
A-ortogonali nenuli i cu formulele (1) conduce la .
Fie , , i .
Presupunem c am construit vectori A-ortogonali i nenuli. Aceasta
permite s construim
.
Alegem apoi , astfel nct . Fie . Atunci .
Exemplu. S considerm matricea simetric i pozitiv definit
Lum i obinem
Lum apoi i obinem . Putem lua i atunci
Considernd constatm c i putem lua deci . Rezult c
.
III. Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaii
liniareIII.1. Elemente de analiz funcional
Se noteaz cu spaiul operatorilor liniari definii pe . Se tie c,
organizat cu operaiile obinuite de adunare, nmulire cu scalari i cu
operaia de compunere, este o algebr cu unitate. Se noteaz cu I
operatorul identitate (, ).
Se noteaz cu mulimea matricilor reale cu m linii i m coloane,
organizat ca algebr cu operaiile obinuite de adunare, nmulire cu
scalari i nmulire a matricilor.
Fiecrei matrici i se asociaz operatorul liniar, notat pentru
nceput , , definit prin , unde dac , , atunci
,
Corespondena este un izomorfism de algebre ntre i , deci este o
bijecie n care sumei a dou matrici i corespunde suma operatorilor,
produsului dintre o matrice i un numr i corespunde produsul
operatorului corespunztor cu acel numr, iar nmulirii a dou matrici
i corespunde compunerea operatorilor corespunztori. Avnd n vedere
acestea, se identific cu i se noteaz operatorul tot cu .
Dac pe se fixeaz o norm, notat , atunci pe spaiul se consider
norma operatorial indus:
.
Au loc proprietile:
,
.
De exemplu, dac operatorul este generat de matricea , iar pe se
consider (), atunci se noteaz
(1)
i are loc formula
(1')
Dac se consider pe norma , atunci, prin definiie
(2)
i are loc formula
(2')
Deoarece , orice dou norme pe , n particular cele date de (1)
sau (2), sunt echivalente.
Amintim c prezena unei norme pe conduce la existena unei
distane, i deci se poate vorbi n acest spaiu de convergen,
continuitate etc. Astfel, dac este un ir n i , atunci nseamn .
Fie , , , .
Teorem 1. Afirmaiile urmtoare sunt echivalente:
i) ;
ii) ;
iii) , pentru orice .
Se noteaz
i se arat c , deci afirmaiile din teorema precedent sunt
echivalente i cu . Dac una din afirmaiile din teorema precedent are
loc, se scrie .
Mulimea se numete spectrul lui B i se noteaz . Dac matricea B
este simetric, atunci spectrul ei este format numai din numere
reale.
Dac o matrice T are spectrul format din numere reale, atunci dac
i numai dac exist , , astfel nct . Un asemenea vector x se numete
vector propriu pentru T corespunztor valorii proprii .
Matricea T se numete pozitiv definit dac pentru orice , ( este
produsul scalar canonic pe ).
Reamintim c o aplicaie se numete norm dac
i) ;
ii) , ;
iii) .
Atunci pentru orice . Cu ajutorul unei asemenea aplicaii se
introduce pe noiunea de distan ntre doi vectori: .
Se tie c pe orice dou norme p, q sunt echivalente n sensul : ,
astfel nct .
Dac p i q sunt dou norme echivalente, atunci un ir este
convergent n raport cu norma p dac i numai dac este convergent n
raport cu norma q.
Dac , , atunci irul se numete convergent dac exist , astfel nct
. Se scrie .
Dac p este o norm pe , atunci .
III.2. Metoda lui Jacobi
Se consider sistemul
(1)
unde I este matricea unitate, , , .
Pe componente sistemul (1) se scrie
,
(1')
Fie i irul definit prin
(2)
Dac atunci, pe componente, irul (2) se scrie
,
(2')
Teorema 1. Afirmaiile urmtoare sunt echivalente
i)
ii) este o bijecie i pentru orice , irul (2) converge ctre
soluia z a sistemului (1).Dac este norma operatorial indus pe i ,
atunci au loc i urmtoarele evaluri ale erorii:
.
Procedeul prin care soluia z se aproximeaz prin se numete metoda
lui Jacobi.
Fie sistemul
(3)
unde i . Dac pentru orice , atunci matricea este inversabil i
.
Sistemul (3) este echivalent cu
(4)
unde i .
Pe componente, sistemul (4) se scrie
(4')
Presupunem c
(5)
Atunci
(6)
Conform teoremei Jacobi, sistemul (5), i deci (3), are pentru
orice soluie unic z i pentru orice , irul converge ctre z. Au loc
evalurile de eroare:
(7)
Dac , atunci, pe componente, irul este definit prin
,
(8)
Dac au loc relaiile (5), se spune c matricea A este diagonal
dominant pe linii.
Pentru acelai sistem (3) i cu aceleai notaii ca mai sus, s
presupunem c
(9)
Sistemul (3) este schivalent cu
(10)
unde .
Considerm sistemul
(11)
Din (9) rezult c
(12)
Conform teoremei lui Jacobi, sistemul (11) are soluie unic w i,
pentru orice , irul , definit prin , converge ctre w. Atunci,
sistemul (10), i deci sistemul (3), are soluie unic z i anume .
irul , , converge ctre z i au loc evalurile de eroare:
Dac , , atunci
Dac au loc inegalitile (9), se spune c matricea A este diagonal
dominant pe coloane.
Exemplul 1. S rezolvm sistemul urmtor cu o eroare mai mic dect
:
Este evident c sunt adevrate inegalitile (5). Rezult c sistemul
este cu matrice diagonal dominant pe linii i deci are soluia unic
z. Soluia se poate aproxima cu termenii irului (8), care n acest
caz devine:
Parametrul q din (6) este n acest caz . Eroarea se evalueaz
conform formulei (7), care n acest caz este
Lund , se obine
i avem .
Exemplul 2. S rezolvm cu o eroare mai mic dect sistemul
Matricea sistemului este diagonal dominant pe linii. irul (8)
este acum
Evaluarea erorii se face conform formulei
Lund obinem
III.3. Metoda Gauss-Seidel
Se consider sistemul
(1)
Dac , se noteaz i . Sistemul (1) este echivalent cu
(2)
unde , .
Metoda Gauss-Seidel este metoda Jacobi pentru sistemul (2). Se
consider deci irul , definit prin , i se aproximeaz cu soluia
sistemului (1) atunci cnd aceasta exist i este unic.
irul poate fi descris prin construcia echivalent
(3)
care pe componente este
(3')
Se observ c specificul acestei metode este c n schema de
construcie de la teorema Jacobi se intervine cu urmtoarea
modificare: n construcia componentei de ordin i a lui se utilizeaz
componentele lui anterior evaluate.
Fie
,
,
Teorema 1. Dac , atunci sistemul (1) are soluie unic z i pentru
orice , irul (3) converge ctre z. Au loc atunci urmtoarele formule
de evaluare a erorii:
Teorema 2. Dac au loc inegalitile
(4)
atunci i deci are loc teorema 1. n plus, irul dat de metoda
Jacobi este de asemenea convergent ctre soluia sistemului (1).
Observaie. Dac sistemul de rezolvat este dat sub forma , i dac
poate fi adus la forma echivalent
(5)
unde , , atunci inegalittile (4) pentru sistemul (5) sunt:
(6)
Condiiile (6) ne asigur deci c pentru sistemul (5) se poate
aplica teorema 1. Atunci
, ,
Pe componente irul (3) este
,
(7)
Exemplul 1. Folosind metoda Gauss-Seidel, s se rezolve
sistemul:
Soluie. Se verific pentru nceput c au loc inegalitile (6). irul
(7) este:
Parametrii sunt ; ; i deci .
Pornind de la iteraia iniial , dup patru pai se obine soluia cu
cinci zecimale exacte (soluia exact este ).
Exerciiu. Folosind metoda Gauss-Seidel, s se aproximeze, cu o
eroare mai mic dect , soluia sistemului:
Indicaie. ; soluia exact este .
III.4. Metode de relaxare
Sub acest nume sunt cunoscute unele variaiuni ale metodelor
Jacobi i Gauss-Seidel. Dac n una din metodele amintite, irul
aproximant este prezentat schematic prin , relaie care se citete
"pentru a oine pe i se adaug lui corecia ", atunci ntr-o metod de
relaxare se supracorecteaz nmulimd corecia cu un parametru pozitiv.
Se face deci o construcie de forma .
III.4.1. Metoda relaxrii simultane
Se consider sistemul
(1)
unde A este simetric i pozitiv definit. Atunci A este inversabil
i deci sistemul (1) are soluie unic. Dac , atunci pentru orice .
Diagonala D a lui A este atunci o matrice inversabil i sistemul (1)
este echivalent cu
(2)
unde i .
Metoda relaxrii simultane este metoda Jacobi pentru sistemul
(2). Soluia ecuaiei (1) se aproximeaz deci cu termenii irului ,
unde
(3)
Convergena metodei Jacobi pentru (2) este echivalent cu faptul c
i avem:
Propoziie 1. Spectrul matricii este format din numere reale
strict pozitive. Dac , atunci
.
n continuare, se presupune c spectrul lui este ordonat: . Se
noteaz . Fie , .
Teorema 1. Dac A este o matrice simetric i pozitiv definit,
atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente:
i) Pentru orice irul (3) converge ctre soluia z a ecuaiei
(1);
ii) .
Dac are loc ii), atunci evaluarea erorii se face prin
unde .
Observaia 1. Pe componente irul (3) este
(4)
Observaia 2. Dac este o norm operatorial pe i , atunci i deci se
poate aplica teorema 1.
Dac notm , o valoare mai mic a lui asigur o convergen mai
rapid.
Teorema 2.
.
Spunem c este valoarea optim a parametrului de relaxare.
III.4.2. Metoda relaxrii succesive
Este vorba de o relaxare a metodei Gauss-Seidel, corespunztoare
sistemului (1), modelat, spre exemplu, ca n metoda lui Jacobi
pentru matrici diagonal dominante pe linii.
Se consider deci sistemul (1) n care matricea A este simetric i
pozitiv definit. Dac , se noteaz
, , .
Pentru sistemul (1) este echivalent cu
(5)
unde . .
Soluia z a sistemului (1) se aproximeaz cu termenii irului ,
unde
(6)
Teorem. Dac matricea A este simetric i pozitiv definit, atunci
urmtoarele afirmaii sunt echivalente:
i) Pentru orice , irul (6) converge ctre soluia z a sistemului
(1);
ii) .
Dac , atunci evaluarea erorii se face prin
(7)
unde
iar
.
Observaie. Pe componente, irul (6) este
(8)
Exemplul 1. Cu notaiile din acest paragraf s se afle valoarea
optim a parametrului de relaxare i folosind atunci metoda relaxrii
simultane s se aproximeze soluia sistemului cu o eroare mai mic
dect .
a)
Soluie.
.
Metoda relaxrii simultane converge dac .
Valoarea optim a parametrului de relaxare este . Pentru acest
irul (4) din paragraful 4 este
Pornind cu iteraia iniial , se obine
.
Soluia exact este .
b)
.
Metoda relaxrii simultane converge dac . Valoarea optim a
parametrului de relaxare este . Pentru aceast valoare se obine cel
mai mic , care este . Vom lua . irul (4) din paragraful 4 este
.
Pornind de la iteraia iniial , se obine
.
Soluia exact este .
Exemplul 2. Folosind metoda relaxrii succesive cu , s se rezolve
sistemul:
Indicaie. irul (8) din paragraful 4 este:
IV. Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaii
neliniare
Ecuaiile studiate n acest capitol vor fi de forma sau . Pentru
nceput, va fi studiat posibilitatea rezolvrii unor asemenea ecuaii
n cazul funciilor reale de o variabil real.
IV.1. Metoda biseciei
Fie un interval n i o funcie continu. Presupunem c exist i este
unic , astfel nct . Atunci .
Fie , i fie , astfel nct . Dac , atunci rdcina cutat este . Dac
, continum construcia. Alegem astfel nct . Dac , atunci rdcina
cutat este . n caz contrar, i aa mai departe.
S presupunem c procesul este infinit, deci c se construiete un
ir de intervale, astfel nct i . Avem atunci pentru orice . Se
aproximeaz z cu (sau cu ) , alegerea fcndu-se n funcie de eroarea
propus folosind urmtoarele formule de evaluare a erorii:
,
.
Exemplul 1. S rezolvm cu o eroare mai mic dect ecuaia .
Soluie. Prin metode elementare se constat c ecuaia are trei
rdcini: , , . Considerm deci funcia . Avem . Pentru a aproxima
rdcina cu o eroare mai mic dect va trebui s avem , pentru care este
suficient s lum . Folosind metoda bipartiiei, constatm c i deci
rdcina se poate aproxima cu sau cu , fcnd o eroare mai mic dect
.
Exemplul 2. S aproximm prin metoda bipartiiei, fcnd o eroare mai
mic dect , rdcina din intervalul a ecuaiei .
Soluie. Se consider funcia , . Avem i prin metode elementare se
constat c rdcina este unic n intervalul considerat. Pentru ca n
metoda bipartiiei eroarea s fie mai mic dect este suficient ca ,
adic . Este suficient s lum . Dup realizarea calculelor avem , .
Rdcina se poate aproxima deci cu sau cu , fcnd o eroare mai mic
dect .
IV.2. Metoda aproximaiilor succesive
Metoda este folosit pentru rezolvarea aproximativ a unor ecuaii
de forma . Aproximarea se face prin termenii unui ir construit dup
formula . Suportul teoretic este dat de principiul contraciei pe
care l vom prezenta pentru funcii reale de o variabil real.
Fie un interval n .
Definiie. Funcia se numete contracie dac exist , astfel nct ,
pentru orice .
Observaie 1. Orice contracie este uniform continu i este deci
continu.
Observaie 2. Constanta q nu este unic.
Propoziie. Fie o funcie derivabil, pentru care exist , astfel
nct pentru orice . Atunci f este o contracie.
Teorem (principiul contraciei). Fie un interval nchis n R i o
contracie. Atunci exist i este unic , astfel nct . Pentru orice ,
irul , definit prin , converge ctre z. Dac pentru orice (),
atunci
.
Observaie. Aproximarea lui z prin (teorema precedent) este cu
att mai eficient cu ct q este mai mic.
Exemplu. Fie funcia . S se arate c i c pe acest interval f este
o contracie. S se rezolve ecuaia cu o eroare mai mic dect .
Soluie. Funcia f este strict descresctoare, continu, , , deci .
Apoi, pentru orice i deci . Conform principiului contraciei, exist
i este unic un punct , astfel nct . Fie i . La fiecare pas eroarea
se evalueaz prin . Avem
Se aproximeaz z cu , fcnd o eroare mai mic dect .
Observaie. n exemplul precedent s-a modelat ecuaia , astfel nct
s se ajung la forma .
Exerciiu 1. Fie i , . Folosind principiul contraciei, s se arate
c irul , definit prin , , este convergent i c .
Exerciiul 2. Folosind metoda din exemplul 1, s se aproximeze cu
o eroare mai mic dect rdcina din intervalul a ecuaiei .
Indicaie. Cu irul lui Rolle se arat c ecuaia are trei rdcini
reale n intervalele , , . Cu metoda bipartiiei se reduce intervalul
la . Pe acest interval se modeleaz ecuaia sub forma . Funcia este
atunci o contracie pe .
IV.3. Metoda lui Newton
Cunoscut i sub numele de metoda tangentei, metoda aproximeaz
rdcinile unor ecuaii de forma .
Fie .
Teorema 1 (metoda lui Newton). Fie o funcie de clas , astfel nct
pentru orice i . Atunci exist i este unic , astfel nct . Pentru
orice , astfel nct , irul definit prin rmne n , converge ctre z i
.
Teorema 2 (metoda lui Newton simplificat). Fie o funcie de clas
, astfel nct pentru orice i . Atunci exist i este unic , astfel nct
. Dac este astfel nct , atunci irul definit prin rmne n , converge
ctre z i .
Exemplul 1. S se rezolve, cu o eroare mai mic dect , ecuaia
.
Soluie. Prin metode elementare se constat c ecuaia are o singur
rdcin real, aflat n intervalul , unde pentru orice x. Dac , atunci
i deci, conform teoremei 1, irul , definit prin , converge ctre
rdcina ecuaiei considerate.
Deoarece , eroarea se evalueaz prin . Se obine , iar eroarea
este mai mic dect .
Exemplul 2. S se rezolve ecuaia .
Soluie. Folosind pentru nceput metoda bipartiiei, se constat c
ecuaia are soluie unic aflat n intervalul . Avem , , funcii care nu
se anuleaz n intervalul . Se poate lua . Deoarece , pentru irul
definit prin
sau
,
eroarea se evalueaz dup formula . Se obine , i rdcina se
aproximeaz cu , fcndu-se o eroare mai mic dect .
Observaie. n cele dou exemple precedente este de remarcat numrul
mic de iteraii fcute pentru obinerea unei aproximri bune, aceasta n
comparaie cu metoda bipartiiei.
IV.4. Metoda lui Newton (cazul funciilor de mai multe
variabile)
Se consider pe spaiul una din normele uzuale, spre exemplu , iar
pe spaiul norma operatorial indus . Astfel, dac , atunci .
Amintim c dac , este derivabil, atunci
.
Metoda urmrete rezolvarea aproximativ a sistemului de ecuaii
neliniare
(1)
Sistemul precedent se scrie , unde .
Propoziiile care urmeaz produc tehnicile necesare obinerii
metodei lui Newton n acest cadru..
Amintim c
; .
Propoziia 1. Fie D o mulime deschis i convex n i o funcie
derivabil, pentru care exist , astfel nct pentru orice . Fie un
punct n care derivata este inversabil i fie . Fie , astfel nct i .
Atunci, pentru orice , exist i .
Funcia f este injectiv pe .
Propoziia 2. Fie o mulime deschis i convex, fie o funcie
derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice . Atunci
.
Teorema 1 (metoda lui Newton). Fie o mulime deschis i convex, o
funcie derivabil pentru care exist , astfel nct pentru orice .
Presupunem c exist , astfel nct i c este inversabil. Fie , i ,
astfel nct i . Atunci, pentru orice , irul , construit prin
,
rmne n , converge ctre z i
.
Teorema 2 (metoda lui Newton simplificat). Cu aceleai ipoteze i
notaii ca n teorema precedent, fie , astfel nct i . Atunci, pentru
orice , irul definit prin
rmne n , converge ctre z i
.
Observaie. n prezentarea teoremei 1, prezena unui parametru
iniial i alegerea corespunztoare a razei r, astfel nct
,
este fcut pentru a pune n eviden superrapiditatea procesului n
vecintatea soluiei z. O variant mai acceptabil n eventualitatea n
care se dorete verificarea ndeplinirii ipotezelor este
urmtoarea:
Teorema 3. Fie o mulime deschis i convex, o funcie derivabil
pentru care exist , astfel nct pentru orice . Presupunem c exist ,
astfel nct , i c exist . Fie i , astfel nct i . Atunci, pentru
orice , irul , construit prin
,
rmne n , converge ctre z i
,
unde
.
n metoda Newton simplifiat se poate impune restricia , evaluarea
erorii fiind cu precizarea c .
Exemplu. Fie sistemul
Prin metode grafice, construind n acelai sistem de axe graficele
curbelor de ecuaii i , constatm c sistemul are dou rdcini, ambele n
primul cadran i c una dintre rdcini este localizat n . Pentru a
aproxima aceast rdcin considerm funcia
Atunci
unde .
Se poate arta c sunt ndeplinite condiiile din teorema 3, spre
exemplu c pe dreptunghiul considerat derivata este n fiecare punct
inversabil. Fie i . Atunci
.
Se obine . Apoi
.
Se gsete .
Observaie. .
IV.5. Metoda Newton-Kantorovici
Metoda lui Newton prezentat n paragraful precedent are avantajul
de a fi foarte rapid convergent i dezavantajul de a localiza
procesul iterativ n jurul soluiei necunoscute. Acest dezavantaj
este nlturat n varianta urmtoare a metodei, datorat lui
Kantorovici. n acest procedeu stabilitatea metodei n domeniul de
definiie se face pas cu pas prin intermediul urmtoarei
proprieti:
Propoziia 1. Cu ipotezele i notaiile din paragraful 1, fie . Dac
exist astfel nct , atunci
.
Teorema 1 (metoda Newton-Kantorovici). Fie , o funcie derivabil
pentru care exist , astfel nct pentru orice . Fie , . Dac i ,
unde
,
atunci ecuaia are soluie unic . Dac i
,
atunci i .
Teorema 2 (metoda Newton-Kantorovici simplificat). Cu notaiile i
ipotezele din teorema precedent, exist i este unic , astfel nct .
Pentru orice , irul , rmne n , converge ctre z i
unde ().
Teorema 3. Fie o mulime deschis i convex, o funcie derivabil
pentru care exist , astfel nct pentru orice . Fie , astfel nct este
inversabil i fie . Fie i presupunem c . Fie i presupunem c .
Atunci exist i este unic , astfel nct . irul , rmne n , converge
ctre z i unde .
IV.6. Metoda aproximaiilor succesive (cazul funciilor de mai
multe variabile)
Ca i n paragraful 2, metoda se ocup de rezolvarea aproximativ a
unor ecuaii de forma , unde .
Definiie. Funcia se numete contracie dac exist , astfel nct
pentru orice .
Exemplu. Amintim c dac este o mulime deschis i este derivabil pe
segmentul , atunci
Atunci, dac funcia f este derivabil pe mulimea deschis i convex
D i pentru orice , funcia f este o contracie pe D.
Amintim c se spune c funcia f este derivabil pe mulimea nchis A
dac exist o mulime deschis D pe care funcia f este derivabil i
.
Dac funcia f este derivabil, cu derivata continu pe mulimea
compact i convex A, atunci
pentru orice , iar dac pentru orice , atunci funcia f este o
contracie pe A.
Teorema 1 (principiul contraciei). Fie o mulime nchis i o
contracie. Atunci exist i este unic , astfel nct . Pentru orice
irul definit prin converge ctre z. Dac pentru orice (), atunci
.
Metoda rezultat, n care z se aproximeaz cu termenii irului , se
numete metoda aproximaiilor succesive.
Exemplul 1. Fie , , o funcie derivabil pentru care exist ,
astfel nct
pentru orice . Atunci funcia f este o contracie pe ( ) i deci
exis i este unic , astfel nct , iar pentru aproximare se poate
folosi metoda aproximaiilor succesive.
Exemplul 2. Se consider sistemul
.
Fie , ,
, ,
.
Atunci
.
Rezult c funcia f este o contracie pe :
.
Ecuaia are atunci soluie unic n dreptunghiul considerat i pentru
aproximarea acestei soluii se poate folosi metoda aproximaiilor
succesive. Fie i . Eroarea se aproximeaz prin
adic prin
Se obine
,
i atunci .
Exemplul 3. Se consider sistemul
Funcia are proprietile:
,
Rezult c
i deci f este o contracie pe . Exist atunci i este unic , astfel
nct , . Pentru aproximarea soluiei z se poate folosi metoda
aproximaiilor succesive. Formula de evaluare a erorii este
atunci
.
V. Aproximarea spectrului unei matrici reale simetriceV.1.
Spectrul unei matrici simetrice
Pe spaiul se consider produsul scalar canonic , , i se noteaz
(norma euclidian). Dac este un operator liniar, atunci este norma
operatorial generat de norma euclidian: . Dac , atunci genereaz
operatorul adjunct , ce poate fi definit i prin proprietatea ,
pentru orice . Dac matricea este simetric, atunci operatorul
generat T este autoadjunct: .
Mulimea , adic familia rdcinilor polinomului caracteristic se
numete spectrul lui T i se noteaz . Dac T este autoadjunct, atunci
spectrul este format numai din numere reale.
Fie A o matrice real simetric. Se ordoneaz spectrul lui A: ,
.
Unul din rezultatele cu importan mai mult calitativ, care st la
baza realizrii unor metode de aproximare a spectrului, este:
Teorema 1 (E. Fischer). Dac A este o matrice real simetric i , ,
atunci
,
unde este familia subspaiilor de dimensiune j n .
Ca o consecin a teoremei precedente are loc un prim fenomen de
aproximare:
Teorema 2. Fie A, B matrici reale simetrice ale cror spectre,
scrise n ordine cresctoare, sunt , respectiv . Atunci
, .(1)
Dac , se noteaz
.
Aceasta este o norm pe mulimea metricilor , numit norma
Frobenius, i avem
(2)
Din (1) i (2) rezult c avem
(3)
Pentru matricea simetric A se noteaz
.
S presupunem c elementele de pe diagonala matricii , scrise n
ordine cresctoare, sunt i c spectrul lui A este . Atunci
,
(4)
Se noteaz , deci i relaia (4) se scrie
,
(5)
V.2. Metoda rotaiilor
Fie o matrice real simetric. Fie
(1)
Matricea T are m linii i m coloane i n afara elementelor
specificate are numai zerouri.
Metoda rotaiilor este un procedeu iterativ de aproximare a
spectrului matricii A constnd n construcia unui ir de matrici ,
unde , , iar este de forma (1). Fiecare matrice are acelai spectru
ca i , iar irul se construiete astfel nct n (5), paragraful 1, va
rezulta c spectrul lui poate fi aproximat cu diagonala lui , scris
n ordine cresctoare.
Fie , .
Dac , , atunci .
Dac , atunci , .
.
Au loc urmtoarele proprieti:
.
Din egalitatea precedent se observ c dac , atunci i aceasta,
mpreun cu (5) paragraful 1 va permite construcia unui ir de matrici
n care diagonalele pot aproxima spectrul lui A.
Dac i , atunci ().
Dac i , atunci .
Teorem (metoda rotaiilor). Fie i A o matrice real simetric. Se
consider irul de matrici , unde , , fiind de tipul (1), n care, dac
, parametrii , , sunt astfel nct , iar parametrul este ales astfel
nct . Fie elementele de pe diagonala matricii scrise n ordine
cresctoare i spectrul lui A scris, de asemenea, n ordine
cresctoare.
Atunci , i
,
unde .
Exerciii. Folosind metoda rotaiilor, s se aproximeze cu o eroare
mai mic dect spectrele matricilor urmtoare:
1.
R.
2.
R.
3.
R.
VI. Interpolare
Aproximarea funciilor prin polinoame este legat n cazul
funciilor analitice de chiar definiia analiticitii, iar n cazul
general al funciilor continue pe un interval compact, de existena
unui ir de polinoame uniform convergent ctre funcie. Interpolarea
cu polinoame este un fenomen de aproximare, n general punctual, n
care, cunoscnd valorile unei funcii n anumite puncte, se aproximeaz
acea funcie cu un polinom avnd proprietatea c n acele puncte ia
aceleai valori ca i funcia. Aceast coinciden este cerut uneori i
pentru derivatele pn la un anumit ordin.
VI.1. Existena i unicitatea polinomului de interpolare
Se consider urmtorul sistem de date:
(D)
, , puncte distincte dou cte dou
,
, ,
Fie i .
Definiie. Se numete polinom de interpolare asociat sistemului
(D), un polinom cu proprietile:
,
, , .
Teorema 1.Exist i este unic un polinom de interpolare asociat
sistemului (D).
Teorema 2 (formula lui Hermite). Polinomul de interpolare
asociat sistemului (D) se poate scrie sub forma
unde
.
Definiie. Dac , polinomul de interpolare corespunztor se numete
polinom de interpolare Lagrange.
Dac n cazul descris n definiia precedent notm , atunci polinomul
de interpolare Lagrange este un polinom P, de grad cel mult i avnd
proprietatea , . Se poate uor constata c are loc formula lui
Lagrange:
.
Exemple1. Fie numere reale distincte dou cte dou i , , , .
Atunci polinomul de interpolare asociat acestui sistem de date este
.
2. Fie , , , , , , , . Atunci polinomul de interpolare asociat
acestui sistem de date este .
3. Fie , , , , , , , , , , . Atunci .
VI.2. Polinoame de interpolare asociate funciilor
Fie D un domeniu n R, puncte din D nu neaprat distincte dou cte
dou i mulimea elementelor distincte dou cte dou din . S presupunem
c apare de printre i . Fie o funcie derivabil de ori n , pentru
fiecare .
Definiie. Se numete polinom de interpolare asociat funciei f i
sistemului un polinom P, de grad cel mult , astfel nct , , .
Se noteaz .
Se spune c sunt noduri, iar dac x este un asemenea nod i dac
apare de printre se spune c x are multiplicitatea a. Dac , nodul x
se numete simplu, i se numete multiplu dac . De exemplu, n nodul 1
este dublu, nodul 2 este simplu, iar nodul 8 este triplu.
Exemple:
1. .
2. Fie i . Deoarece , , , din definiia i unicitatea polinomului
de interpolare rezult c .
3. Dac f este derivabil n punctul x, atunci este polinomul de
interpolare asociat funciei f i nodului dublu , adic . Se observ
pentru acesta c , i .
Definiie. Se numete diferen divizat asociat funciei f i
nodurilor coeficientul lui din .
Se noteaz .
Observaie. Att , ct i nu depind de ordinea nodurilor.
Teorema 1 (formul de recuren). Dac i , atunci
.
Corolar 1. Dac , atunci
iar P se numete polinom de interpolare liniar.
Corolar 2. Dac i , atunci
.
n particular
.
Propoziie 1. Dac , atunci
.
Teorema 2 (formul de recuren). Dac , atunci
.
Mai general
.
Teorema 3 (formula lui Newton cu diferene divizate).
.
VI.3. Evaluarea erorii
Fie .
Propoziia 1. Dac funcia f este cel puin de derivabil n fiecare
nod de multiplicitate , atunci pentru orice avem
.
Propoziia 2. Fie o funcie de clas i puncte din D. Atunci, pentru
orice , exist , astfel nct
.
Observaie. Punctul din teorema precedent aparine
intervalului
.
Corolar (formul de evaluare a erorii). Dac f este de clas pe
intervalul D, atunci
.
Propoziia 3. Dac i dac funcia f este de clas pe intervalul D,
atunci exist , astfel nct
.
Teorema 4 (continuitatea diferenelor divizate). Dac , iar funcia
f este de clas pe intervalul D, atunci diferena divizat , ca funcie
de n variabile, este continu pe .
Teorema 5 (derivabilitatea diferenelor divizate). Dac funcia f
este de clas , atunci
.
Algoritmul lui Aitkien
Fie puncte distincte dou cte dou din D i . Fie , i
, .
Atunci .
Exemplul 1. S aproximn prin interpolare prin , unde .
Pentru controlul rezultatelor intermediare din algoritmul lui
Aitkien se poate utiliza tabloul urmtor, n care i se scriu .
-20-2,5
-1-1-2,5-1,5
0001,25-0,5
110,8(3)00,6250,5
200-1,250,6250,6251,5
3-1-0,5-1,750,750,593750,6718752,5
Atunci .
Exemplul 2. Fie funcia i nodurile duble , , . Cu ajutorul
formulei lui Newton cu diferene divizate s se calculeze polinomul
de interpolare. S se verifice evaluarea erorii n .
Soluie. Calculul diferenelor divizate este prezentat n urmtorul
tablou:
00
11
0
0
0
Atunci
,
deci
.
Avem , iar aproximarea se face cu . Formula de evaluare a erorii
d majorarea cu
i evalurile propuse verific relaia de evaluare a restului.
VI.4. Polinoame de interpolare cu noduri simple echidistante
Fie D un interval n R, i . Notm
,
.
Operatorul , ct i numrul se numesc diferen nedivizat ascendent
de ordinul nti.
Dac se definete
adic . Operatorul , ct i numrul se numesc diferen nedivizat
ascendent de ordinul n. Prin convenie, .
Propoziia 1. Fie , i . Atunci
.
Corolar 1. Dac f este de clas pe intervalul , atunci exist ,
astfel nct
.
Corolar 2. Dac f este de clas pe intervalul , atunci
.
Cu ajutorul diferenelor nedivizate se obin formule cu o anumit
simetrie, cu o anumit independen fa de intervalul n care se face
interpolarea.
Fie , i , . Fie i . Pentru , fie t astfel nct . Avem atunci
,
unde , .
n aceast prezentare polinomul de interpolare se numete polinomul
lui Newton de interpolare ascendent. Evaluarea erorii, pentru cazul
n care funcia f este de clas i n raport cu schimbarea de variabil
folosit este:
.
Formula de interpolare precedent se dovedete a fi mai bun (n
sensul unei minimizri a restului) dac punctul n care se face
aproximarea se afl n intervalul .
Se noteaz i se numete diferen nedivizat descendent. Ca mai sus
,
Are loc:
numit formula lui Newton de interpolare descendent. Se prefer n
cazul n care punctul n care se face aproximarea aparine
intervalului .
n formula urmtoare se noteaz , . Are loc:
numit formula lui Gauss ascendent.
Exemplul 1. Sunt cunoscute valorile funciei n punctele , .
Folosind formula de interpolare Newton ascendent cu 4 noduri s se
aproximeze . Valorile funciei ct i ale diferenelor nedivizate sunt
prezentate n tabelul urmtor ().
x
10,84270,0375-0,00740,0010
1,10,88020,0301-0,00640,001-0,0001
1,20,91030,0237-0,00540,00090
1,30,93400,0183-0,00450,00090
1,40,95230,0138-0,00360,0009-0,0004
1,50,96610,0102-0,00270,00050,0001
1,60,97630,0075-0,00220,0006-0,0002
1,70,98380,0053-0,00160,0004
1,80,98910,0037-0,0012
1,90,99280,0025
20,9953
Conform notaiilor precedente, se alege . Atunci i deci:
,
unde:
; ; ;
; .
; ; ;
i se obine . Se aproximeaz deci . Se poate arta c eroarea este
mai mic dect , deci primele 3 zecimale sunt exacte.
Exemplul 2. Folosind metoda i tabelul din exerciiul precedent, s
se aproximeze cu formula lui Newton ascendent cu patru noduri .
Se va lua i se obine eroarea teoretic fiind mai mic dect .
VI.5. Interpolare cu funcii spline cubice
Fie i nodurile .
Definiie. Se numete funcie spline cubic asociat funciei f i
nodurilor , o funie de clas , , astfel nct i restricia funciei s la
fiecare interval este polinomial de grad cel mult 3.
Teorema 1. Exist i este unic o funcie spline cubic asociat
funciei f i nodurilor , astfel nct .
S notm , , . Atunci . Se arat c pentru avem:
Se arat c necunoscutele rmase sunt soluiile sistemului , unde
,
, .
Matricea A este diagonal dominant pe linii i deci sistemul are
soluie unic, iar aceasta se poate aproxima cu metoda lui
Jacobi.
Pe fiecare interval evaluarea erorii se face cu formulele
stabilite la interpolare cu polinoame.
Fie
i
, .
Are loc urmtoarea caracterizare variaional:
Teorema 2. Dac este funcia spline cubic din teorema 1, atunci .
Reciproc, dac i , atunci u este funcia spline cubic din teorema
1.
VII. Formule de cuadraturVII.1. Convergena punctual
Problema aproximrii integralei Riemann a unei funcii continue pe
un interval compact presupune, n partea calitativ a fenomenului,
unele consideraii de analiz funcional.
Se consider mulimea a funciilor reale continue pe , organizat ca
spaiu normat cu norma . Integrala Riemann este o funcional liniar i
continu pe , iar aproximarea ei se face punctual cu funcionale de
tipul , unde sunt puncte distincte dou cte dou, iar . Aplicaia J
este funcional liniar i continu pe care, prin abuz, se va numi n
acest context "formul de cuadratur", cci se va proceda la
aproximarea .
Pentru stabilirea convergenei punctuale a unui ir de formule de
cuadratur ctre integral este util urmtorul rezultat:
Teorema 1. Fie un sistem de puncte distincte dou cte dou din
intervalul , i . Afirmaiile urmtoare sunt echivalente:
i) pentru orice ;
ii) Exist , astfel nct , pentru orice i , pentru orice .
Cu notaiile din teorema precedent are loc:
Corolar. Dac pentru orice i orice , atunci pentru orice dac i
numai dac pentru orice .
VII.2. Formulele Newton-Ctes
Fie , , , . Prin integrarea polinomului de interpolare se obine
formula . Are loc
(1)
Funcionala se numete "formula de cuadratur Newton-Ctes".
Coeficienii au proprietile:
(2)
(3)
Evaluarea erorii se obine folosind rezultatele de la
interpolare.
Propoziie. Dac , atunci
.
Pentru avem , iar formula ce se obine
se numete "formula de cuadratur a trapezului".
Dac , evaluarea erorii rezult din propoziia precedent:
.
Pentru avem , , iar formula care se obine:
poart numele de "formula de cuadratura a lui Simpson".
Dac , formula de evaluare a erorii este:
.
VII.3. Formule sumate
Pentru , fie , , . Prin sumarea formulelor trapezului
corespunztoare intervalelor se obine, pentru ,
numit formula sumat a trapezului.
Dac , are loc urmtoarea formul de evaluare a erorii:
.
Ca o consecin a formulei precedente i a corolarului de la
teorema 1, paragraful 1, rezult c:
, .
Dac pentru , , se noteaz , , , prin sumarea formulelor lui
Simpson corespunztoare intervalelor se obine
numit formula sumat a lui Simpson.
Dac , are loc urmtoarea formul de evaluare a erorii:
.
Ca o consecin a formulei precedente i a corolarului de la
teorema 1 rezult c:
, .
Exemple.
1. Aproximarea integralei cu formula sumat a trapezului se face
cu urmtoarele evaluri: ; ; ; . n cazul pentru evaluarea erorii
constatm c , . Din studiul variaiei rezult c . Din (1) rezult c
eroarea este cel mult .
2. S se aproximeze cu formula sumat a lui Simpson pentru ,
integrala . Se obine .
VII.4. Formulele de cuadratur ale lui Gauss
Fie puncte distincte dou cte dou n intervalul i formula de
cuadratur
,
(1)
Definiie. Formula J se numete exact pe mulimea dac pentru orice
.
Observaie. Formula trapezului este exact pentru orice funcie
polinomial de grad cel mult 1, iar formula lui Simpson este exact
pentru orice funcie polinomial de grad cel mult 2.
Se noteaz cu spaiul polinoamelor de grad cel mult k.
Propoziia 1. Dac funcionala (1) este exact pe spaiul , atunci
.
Observaie. Dac funcionala (1) este exact pe i notm , atunci
(2)
Un polinom de grad n se numete monic dac coeficientul lui este
1.
Teorema 1. Exist i este unic un polinom monic cu proprietatea
(2). El este dat de
( se numete polinomul lui Legendre).
Propoziia 2. Polinomul are n rdcini reale distincte aflate n
.
Teorema 2. Fie puncte distincte dou cte dou aflate n intervalul
i . Fie
,
Funcionala este exact pe dac i numai dac sunt rdcinile
polinomului Legendre , iar .
(funcionala se numete formula de cuadratur a lui Gauss).
Propoziia 3. Pentru orice , .
Teorema 3 (evaluarea erorii). Dac , atunci
.
Pentru calculul prin recuren al polinoamelor Legendre are
loc:
Propoziia 4. , ,
,
unde
, , , .
De exemplu, pe intervalul avem , , , , , .
Teorema 4. Pe un interval de forma , funcia este par, iar este
impar.
Observaie. Dac sunt rdcinile lui corespunztoare intervalului ,
atunci rdcinile corespunztoare n cazul intervalului sunt . Dac sunt
coeficienii din pe intervalul , atunci coeficienii corespunztori
intervalului sunt .
De exemplu, pe intervalul avem
iar formula sumat corespunztoare acestora este
Pentru , pe intervalul , rdcinile polinomului Legendre sunt ; ,
; . Coeficienii din formula lui Gauss sunt ; . Eroarea se majoreaz
cu .
Pentru , pe intervalul , rdcinile polinomului Legendre sunt ; ;
; ; . Coeficienii din formula lui Gauss sunt, , . Eroarea se
majoreaz cu .
VIII. Metode numerice pentru ecuaii difereniale
Fie o funcie continu, i problema Cauchy
(1)
Presupunem c problema precedent are soluie unic, ceea ce se
ntmpl, de exemplu, dac exist , astfel nct , pentru orice i orice .
Vom spune n continuare c u este de clas , ceea ce va permite
aproximarea soluiei x cu polinomul su Taylor de ordinul n. Notm
Atunci polinomul Taylor de grad n, asociat funciei x n punctul ,
este
.(2)
Aproximarea soluiei x prin polinomul Taylor este posibil
deoarece n (2) sunt necesare doar informaiile din (1), dar metoda
are mai mult importan teoretic.
O folosire mai bun a comportrii soluiei x i n alte puncte dect a
este coninut ntr-o metod derivat din cea a aproximrii cu polinomul
Taylor.
VIII.1. Metoda lui Taylor
Fie o diviziune a intervalului . Fie i fie o funcie construit
astfel:
, .
Fie , .
Presupunnd c am construit , reinem i continum prin
, .
Lum , adic .
Definim , , iar aproximarea soluiei x la diviziunea cu funcia z
poart numele de metoda lui Taylor.
Funcia z este determinat deci de soluiile urmtoarei ecuaii:
(3)
Ecuaiile precedente se numesc ecuaii cu diferene.
Pentru se obine metoda lui Euler. Prin urmare, restricia soluiei
c la diviziunea se aproximeaz cu soluia z a urmtoarei ecuaii cu
diferene
VIII.2. Metoda Euler-Cauchy
S presupunem c diviziunea este echidistant, deci c . Metoda
Euler-Cauchy const din aproximarea soluiei x la diviziunea cu
soluiile z ale urmtoarei ecuaii cu diferene:
.
VIII.3. Metoda Runge-Kutta
Soluia ecuaiei (1) se aproximeaz cu soluia ecuaiei cu
diferene:
unde
,
, .
Observaie. Pentru a aproxima soluia x n alte puncte dect cele
ale diviziunii se apeleaz apoi la interpolare.
Exemplu. S rezolvm cu metoda lui Euler pentru problema
.
Soluie. Avem . Ecuaiile cu diferene (numite uneori ecuaii
apropiate) sunt
cu , . Se obine , , , , etc.
Bibliografie
1. Gh. Grigore, Lecii de analiz numeric, Editura Universitii
Bucureti, 1992.
2. B. Demidovici, I. Maron, Elements de calcul numerique,
Edition Mir, Moscou, 1973.
3. Gh. Marinescu, Gh. Grigore .a., Probleme de analiz numeric,
Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1978.
PAGE [Type here]
_1132830024.unknown
_1132910953.unknown
_1133001004.unknown
_1133086926.unknown
_1133144147.unknown
_1133147749.unknown
_1145853529.unknown
_1145855630.unknown
_1145859117.unknown
_1145860588.unknown
_1145861204.unknown
_1145861330.unknown
_1145861521.unknown
_1185082519.unknown
_1185082684.unknown
_1185083297.unknown
_1185082654.unknown
_1145861702.unknown
_1182157399.unknown
_1145861551.unknown
_1145861430.unknown
_1145861503.unknown
_1145861389.unknown
_1145861258.unknown
_1145861285.unknown
_1145861230.unknown
_1145860989.unknown
_1145861159.unknown
_1145861183.unknown
_1145861085.unknown
_1145860811.unknown
_1145860944.unknown
_1145860683.unknown
_1145860437.unknown
_1145860479.unknown
_1145860531.unknown
_1145860459.unknown
_1145860404.unknown
_1145860421.unknown
_1145859525.unknown
_1145857895.unknown
_1145858368.unknown
_1145858697.unknown
_1145858856.unknown
_1145858390.unknown
_1145858150.unknown
_1145858250.unknown
_1145857968.unknown
_1145855809.unknown
_1145855855.unknown
_1145855914.unknown
_1145855832.unknown
_1145855782.unknown
_1145855795.unknown
_1145855765.unknown
_1145855708.unknown
_1145854789.unknown
_1145855416.unknown
_1145855547.unknown
_1145855565.unknown
_1145855470.unknown
_1145855018.unknown
_1145855379.unknown
_1145854964.unknown
_1145853840.unknown
_1145854721.unknown
_1145854755.unknown
_1145853895.unknown
_1145853705.unknown
_1145853782.unknown
_1145853630.unknown
_1133149201.unknown
_1133150736.unknown
_1145853021.unknown
_1145853281.unknown
_1145853339.unknown
_1145853437.unknown
_1145853323.unknown
_1145853145.unknown
_1145853171.unknown
_1145853069.unknown
_1133151486.unknown
_1133152064.unknown
_1133152573.unknown
_1133152678.unknown
_1133152745.unknown
_1133152766.unknown
_1133152780.unknown
_1133152754.unknown
_1133152691.unknown
_1133152654.unknown
_1133152461.unknown
_1133152548.unknown
_1133152088.unknown
_1133151935.unknown
_1133152055.unknown
_1133151746.unknown
_1133151703.unknown
_1133150945.unknown
_1133151346.unknown
_1133151394.unknown
_1133151305.unknown
_1133150853.unknown
_1133150887.unknown
_1133150772.unknown
_1133150231.unknown
_1133150586.unknown
_1133150681.unknown
_1133150720.unknown
_1133150661.unknown
_1133150422.unknown
_1133150445.unknown
_1133150486.unknown
_1133150258.unknown
_1133150047.unknown
_1133150111.unknown
_1133150206.unknown
_1133150067.unknown
_1133150019.unknown
_1133150032.unknown
_1133149980.unknown
_1133148699.unknown
_1133148822.unknown
_1133149025.unknown
_1133149084.unknown
_1133148938.unknown
_1133148765.unknown
_1133148789.unknown
_1133148719.unknown
_1133147849.unknown
_1133147992.unknown
_1133148628.unknown
_1133147957.unknown
_1133147804.unknown
_1133147827.unknown
_1133147780.unknown
_1133146522.unknown
_1133147027.unknown
_1133147549.unknown
_1133147683.unknown
_1133147723.unknown
_1133147735.unknown
_1133147704.unknown
_1133147641.unknown
_1133147654.unknown
_1133147583.unknown
_1133147450.unknown
_1133147483.unknown
_1133147512.unknown
_1133147468.unknown
_1133147411.unknown
_1133147433.unknown
_1133147081.unknown
_1133146796.unknown
_1133146906.unknown
_1133146953.unknown
_1133146983.unknown
_1133146940.unknown
_1133146844.unknown
_1133146882.unknown
_1133146812.unknown
_1133146666.unknown
_1133146744.unknown
_1133146768.unknown
_1133146720.unknown
_1133146631.unknown
_1133146646.unknown
_1133146569.unknown
_1133145233.unknown
_1133145882.unknown
_1133146432.unknown
_1133146472.unknown
_1133146495.unknown
_1133146457.unknown
_1133145980.unknown
_1133146050.unknown
_1133145957.unknown
_1133145546.unknown
_1133145863.unknown
_1133145871.unknown
_1133145785.unknown
_1133145854.unknown
_1133145762.unknown
_1133145334.unknown
_1133145427.unknown
_1133145299.unknown
_1133144798.unknown
_1133144974.unknown
_1133145125.unknown
_1133145182.unknown
_1133145012.unknown
_1133145028.unknown
_1133144870.unknown
_1133144938.unknown
_1133144813.unknown
_1133144296.unknown
_1133144406.unknown
_1133144751.unknown
_1133144382.unknown
_1133144212.unknown
_1133144268.unknown
_1133144171.unknown
_1133091728.unknown
_1133093328.unknown
_1133142888.unknown
_1133143665.unknown
_1133143899.unknown
_1133143972.unknown
_1133143998.unknown
_1133143923.unknown
_1133143723.unknown
_1133143826.unknown
_1133143698.unknown
_1133143240.unknown
_1133143336.unknown
_1133143372.unknown
_1133143271.unknown
_1133143105.unknown
_1133143143.unknown
_1133142992.unknown
_1133142458.unknown
_1133142639.unknown
_1133142730.unknown
_1133142826.unknown
_1133142685.unknown
_1133142609.unknown
_1133142625.unknown
_1133142597.unknown
_1133142176.unknown
_1133142373.unknown
_1133142414.unknown
_1133142218.unknown
_1133142054.unknown
_1133142161.unknown
_1133141992.unknown
_1133092393.unknown
_1133092757.unknown
_1133092982.unknown
_1133093256.unknown
_1133093266.unknown
_1133093065.unknown
_1133092880.unknown
_1133092953.unknown
_1133092833.unknown
_1133092536.unknown
_1133092606.unknown
_1133092666.unknown
_1133092552.unknown
_1133092505.unknown
_1133092520.unknown
_1133092444.unknown
_1133092066.unknown
_1133092283.unknown
_1133092311.unknown
_1133092357.unknown
_1133092299.unknown
_1133092144.unknown
_1133092258.unknown
_1133092079.unknown
_1133091912.unknown
_1133091991.unknown
_1133092026.unknown
_1133091956.unknown
_1133091802.unknown
_1133091842.unknown
_1133091791.unknown
_1133089034.unknown
_1133090300.unknown
_1133091033.unknown
_1133091238.unknown
_1133091322.unknown
_1133091389.unknown
_1133091279.unknown
_1133091116.unknown
_1133091168.unknown
_1133091076.unknown
_1133090620.unknown
_1133090971.unknown
_1133091008.unknown
_1133090919.unknown
_1133090421.unknown
_1133090598.unknown
_1133090376.unknown
_1133089470.unknown
_1133089849.unknown
_1133090145.unknown
_1133090264.unknown
_1133089889.unknown
_1133089525.unknown
_1133089738.unknown
_1133089499.unknown
_1133089126.unknown
_1133089187.unknown
_1133089200.unknown
_1133089165.unknown
_1133089077.unknown
_1133089095.unknown
_1133089057.unknown
_1133087993.unknown
_1133088544.unknown
_1133088709.unknown
_1133088948.unknown
_1133088969.unknown
_1133088839.unknown
_1133088598.unknown
_1133088631.unknown
_1133088568.unknown
_1133088165.unknown
_1133088462.unknown
_1133088486.unknown
_1133088213.unknown
_1133088124.unknown
_1133088148.unknown
_1133088011.unknown
_1133087442.unknown
_1133087808.unknown
_1133087958.unknown
_1133087974.unknown
_1133087905.unknown
_1133087715.unknown
_1133087767.unknown
_1133087590.unknown
_1133087685.unknown
_1133087626.unknown
_1133087511.unknown
_1133087282.unknown
_1133087413.unknown
_1133087425.unknown
_1133087339.unknown
_1133087157.unknown
_1133087219.unknown
_1133087054.unknown
_1133008201.unknown
_1133011106.unknown
_1133011677.unknown
_1133012376.unknown
_1133086710.unknown
_1133086787.unknown
_1133086844.unknown
_1133086775.unknown
_1133012566.unknown
_1133012616.unknown
_1133012484.unknown
_1133011982.unknown
_1133012147.unknown
_1133012232.unknown
_1133012111.unknown
_1133011743.unknown
_1133011881.unknown
_1133011717.unknown
_1133011500.unknown
_1133011567.unknown
_1133011615.unknown
_1133011637.unknown
_1133011598.unknown
_1133011524.unknown
_1133011546.unknown
_1133011514.unknown
_1133011271.unknown
_1133011353.unknown
_1133011420.unknown
_1133011326.unknown
_1133011207.unknown
_1133011227.unknown
_1133011180.unknown
_1133009416.unknown
_1133010326.unknown
_1133010508.unknown
_1133011044.unknown
_1133011056.unknown
_1133011031.unknown
_1133010437.unknown
_1133010460.unknown
_1133010368.unknown
_1133010178.unknown
_1133010238.unknown
_1133010287.unknown
_1133010221.unknown
_1133010088.unknown
_1133010128.unknown
_1133010076.unknown
_1133008861.unknown
_1133009118.unknown
_1133009338.unknown
_1133009378.unknown
_1133009326.unknown
_1133009101.unknown
_1133009111.unknown
_1133008871.unknown
_1133008729.unknown
_1133008798.unknown
_1133008809.unknown
_1133008771.unknown
_1133008792.unknown
_1133008690.unknown
_1133008705.unknown
_1133008207.unknown
_1133003564.unknown
_1133006118.unknown
_1133006479.unknown
_1133007871.unknown
_1133008184.unknown
_1133008196.unknown
_1133007876.unknown
_1133007656.unknown
_1133007842.unknown
_1133007857.unknown
_1133007698.unknown
_1133007726.unknown
_1133007744.unknown
_1133007677.unknown
_1133007634.unknown
_1133007645.unknown
_1133006546.unknown
_1133006283.unknown
_1133006440.unknown
_1133006462.unknown
_1133006410.unknown
_1133006203.unknown
_1133006245.unknown
_1133006167.unknown
_1133005703.unknown
_1133005891.unknown
_1133006025.unknown
_1133006070.unknown
_1133005990.unknown
_1133005925.unknown
_1133005780.unknown
_1133005871.unknown
_1133005736.unknown
_1133005471.unknown
_1133005607.unknown
_1133005628.unknown
_1133005490.unknown
_1133005422.unknown
_1133005441.unknown
_1133005381.unknown
_1133002234.unknown
_1133003190.unknown
_1133003415.unknown
_1133003472.unknown
_1133003504.unknown
_1133003433.unknown
_1133003255.unknown
_1133003329.unknown
_1133003222.unknown
_1133002932.unknown
_1133003056.unknown
_1133003102.unknown
_1133002989.unknown
_1133002274.unknown
_1133002313.unknown
_1133002260.unknown
_1133001880.unknown
_1133002051.unknown
_1133002184.unknown
_1133002202.unknown
_1133002133.unknown
_1133002009.unknown
_1133002027.unknown
_1133001982.unknown
_1133001289.unknown
_1133001542.unknown
_1133001879.unknown
_1133001369.unknown
_1133001153.unknown
_1133001218.unknown
_1133001081.unknown
_1132921492.unknown
_1132929027.unknown
_1132929814.unknown
_1133000141.unknown
_1133000495.unknown
_1133000681.unknown
_1133000896.unknown
_1133000973.unknown
_1133000847.unknown
_1133000578.unknown
_1133000633.unknown
_1133000548.unknown
_1133000266.unknown
_1133000444.unknown
_1133000482.unknown
_1133000285.unknown
_1133000220.unknown
_1133000255.unknown
_1133000207.unknown
_1132999764.unknown
_1132999908.unknown
_1133000005.unknown
_1133000033.unknown
_1132999983.unknown
_1132999850.unknown
_1132999888.unknown
_1132999806.unknown
_1132999651.unknown
_1132999706.unknown
_1132999737.unknown
_1132999693.unknown
_1132929871.unknown
_1132929910.unknown
_1132929858.unknown
_1132929375.unknown
_1132929625.unknown
_1132929702.unknown
_1132929765.unknown
_1132929795.unknown
_1132929719.unknown
_1132929661.unknown
_1132929688.unknown
_1132929641.unknown
_1132929528.unknown
_1132929592.unknown
_1132929603.unknown
_1132929570.unknown
_1132929412.unknown
_1132929496.unknown
_1132929386.unknown
_1132929202.unknown
_1132929321.unknown
_1132929349.unknown
_1132929363.unknown
_1132929332.unknown
_1132929231.unknown
_1132929242.unknown
_1132929218.unknown
_1132929082.unknown
_1132929132.unknown
_1132929185.unknown
_1132929092.unknown
_1132929051.unknown
_1132929065.unknown
_1132929042.unknown
_1132922871.unknown
_1132923699.unknown
_1132928848.unknown
_1132928938.unknown
_1132928997.unknown
_1132929013.unknown
_1132928975.unknown
_1132928888.unknown
_1132928911.unknown
_1132928875.unknown
_1132928678.unknown
_1132928715.unknown
_1132928770.unknown
_1132928695.unknown
_1132928560.unknown
_1132928638.unknown
_1132928412.unknown
_1132923465.unknown
_1132923590.unknown
_1132923654.unknown
_1132923687.unknown
_1132923634.unknown
_1132923501.unknown
_1132923525.unknown
_1132923479.unknown
_1132923392.unknown
_1132923435.unknown
_1132923448.unknown
_1132923420.unknown
_1132923363.unknown
_1132923377.unknown
_1132922909.unknown
_1132922026.unknown
_1132922323.unknown
_1132922639.unknown
_1132922743.unknown
_1132922798.unknown
_1132922678.unknown
_1132922447.unknown
_1132922534.unknown
_1132922362.unknown
_1132922185.unknown
_1132922244.unknown
_1132922287.unknown
_1132922221.unknown
_1132922122.unknown
_1132922145.unknown
_1132922055.unknown
_1132921815.unknown
_1132921917.unknown
_1132922001.unknown
_1132922016.unknown
_1132921954.unknown
_1132921870.unknown
_1132921883.unknown
_1132921846.unknown
_1132921699.unknown
_1132921760.unknown
_1132921784.unknown
_1132921738.unknown
_1132921628.unknown
_1132921681.unknown
_1132921598.unknown
_1132914726.unknown
_1132916788.unknown
_1132917995.unknown
_1132918415.unknown
_1132919985.unknown
_1132920041.unknown
_1132921471.unknown
_1132920025.unknown
_1132919839.unknown
_1132919966.unknown
_1132919759.unknown
_1132918189.unknown
_1132918255.unknown
_1132918329.unknown
_1132918219.unknown
_1132918124.unknown
_1132918147.unknown
_1132918058.unknown
_1132917697.unknown
_1132917826.unknown
_1132917953.unknown
_1132917980.unknown
_1132917869.unknown
_1132917734.unknown
_1132917794.unknown
_1132917721.unknown
_1132917104.unknown
_1132917274.unknown
_1132917384.unknown
_1132917228.unknown
_1132916990.unknown
_1132917001.unknown
_1132916894.unknown
_1132915484.unknown
_1132915977.unknown
_1132916466.unknown
_1132916659.unknown
_1132916689.unknown
_1132916536.unknown
_1132916334.unknown
_1132916364.unknown
_1132916278.unknown
_1132915608.unknown
_1132915819.unknown
_1132915976.unknown
_1132915791.unknown
_1132915560.unknown
_1132915595.unknown
_1132915529.unknown
_1132915063.unknown
_1132915185.unknown
_1132915324.unknown
_1132915370.unknown
_1132915251.unknown
_1132915137.unknown
_1132915156.unknown
_1132915084.unknown
_1132914854.unknown
_1132915003.unknown
_1132915028.unknown
_1132914930.unknown
_1132914788.unknown
_1132914823.unknown
_1132914753.unknown
_1132912688.unknown
_1132913631.unknown
_1132914102.unknown
_1132914230.unknown
_1132914657.unknown
_1132914701.unknown
_1132914360.unknown
_1132914147.unknown
_1132914167.unknown
_1132914127.unknown
_1132913843.unknown
_1132913963.unknown
_1132914054.unknown
_1132913910.unknown
_1132913729.unknown
_1132913790.unknown
_1132913673.unknown
_1132913188.unknown
_1132913408.unknown
_1132913564.unknown
_1132913595.unknown
_1132913523.unknown
_1132913322.unknown
_1132913387.unknown
_1132913233.unknown
_1132912971.unknown
_1132913059.unknown
_1132913128.unknown
_1132913014.unknown
_1132912904.unknown
_1132912952.unknown
_1132912779.unknown
_1132912038.unknown
_1132912327.unknown
_1132912501.unknown
_1132912612.unknown
_1132912648.unknown
_1132912560.unknown
_1132912403.unknown
_1132912432.unknown
_1132912474.unknown
_1132912368.unknown
_1132912155.unknown
_1132912204.unknown
_1132912236.unknown
_1132912165.unknown
_1132912081.unknown
_1132912126.unknown
_1132912055.unknown
_1132911821.unknown
_1132911963.unknown
_1132912004.unknown
_1132912024.unknown
_1132911981.unknown
_1132911894.unknown
_1132911916.unknown
_1132911840.unknown
_1132911094.unknown
_1132911685.unknown
_1132911767.unknown
_1132911658.unknown
_1132911008.unknown
_1132911032.unknown
_1132910989.unknown
_1132902329.unknown
_1132907379.unknown
_1132909470.unknown
_1132910181.unknown
_1132910506.unknown
_1132910811.unknown
_1132910908.unknown
_1132910927.unknown
_1132910876.unknown
_1132910573.unknown
_1132910799.unknown
_1132910522.unknown
_1132910360.unknown
_1132910424.unknown
_1132910472.unknown
_1132910392.unknown
_1132910321.unknown
_1132910344.unknown
_1132910209.unknown
_1132909945.unknown
_1132910071.unknown
_1132910110.unknown
_1132910129.unknown
_1132910085.unknown
_1132910003.unknown
_1132910029.unknown
_1132909984.unknown
_1132909663.unknown
_1132909737.unknown
_1132909752.unknown
_1132909702.unknown
_1132909544.unknown
_1132909632.unknown
_1132909494.unknown
_1132908248.unknown
_1132908778.unknown
_1132909042.unknown
_1132909164.unknown
_1132909431.unknown
_1132909116.unknown
_1132908968.unknown
_1132909009.unknown
_1132908796.unknown
_1132908450.unknown
_1132908618.unknown
_1132908689.unknown
_1132908540.unknown
_1132908326.unknown
_1132908394.unknown
_1132908308.unknown
_1132907542.unknown
_1132907682.unknown
_1132907776.unknown
_1132907801.unknown
_1132907742.unknown
_1132907626.unknown
_1132907647.unknown
_1132907567.unknown
_1132907462.unknown
_1132907496.unknown
_1132907520.unknown
_1132907475.unknown
_1132907404.unknown
_1132907427.unknown
_1132907391.unknown
_1132903721.unknown
_1132904210.unknown
_1132904505.unknown
_1132907293.unknown
_1132907329.unknown
_1132907362.unknown
_1132907318.unknown
_1132907112.unknown
_1132907265.unknown
_1132907082.unknown
_1132904386.unknown
_1132904443.unknown
_1132904490.unknown
_1132904409.unknown
_1132904343.unknown
_1132904359.unknown
_1132904306.unknown
_1132903925.unknown
_1132904036.unknown
_1132904100.unknown
_1132904174.unknown
_1132904073.unknown
_1132903985.unknown
_1132904004.unknown
_1132903937.unknown
_1132903833.unknown
_1132903860.unknown
_1132903894.unknown
_1132903848.unknown
_1132903771.unknown
_1132903812.unknown
_1132903744.unknown
_1132903146.unknown
_1132903478.unknown
_1132903586.unknown
_1132903655.unknown
_1132903698.unknown
_1132903606.unknown
_1132903532.unknown
_1132903546.unknown
_1132903505.unknown
_1132903307.unknown
_1132903351.unknown
_1132903412.unknown
_1132903330.unknown
_1132903253.unknown
_1132903279.unknown
_1132903191.unknown
_1132902913.unknown
_1132903038.unknown
_1132903104.unknown
_1132903124.unknown
_1132903091.unknown
_1132902998.unknown
_1132903025.unknown
_1132902988.unknown
_1132902653.unknown
_1132902771.unknown
_1132902854.unknown
_1132902662.unknown
_1132902409.unknown
_1132902475.unknown
_1132902384.unknown
_1132898757.unknown
_1132900177.unknown
_1132900934.unknown
_1132901558.unknown
_1132902161.unknown
_1132902242.unknown
_1132902289.unknown
_1132902206.unknown
_1132901616.unknown
_1132901763.unknown
_1132901593.unknown
_1132901184.unknown
_1132901486.unknown
_1132901531.unknown
_1132901263.unknown
_1132901059.unknown
_1132901104.unknown
_1132900952.unknown
_1132900517.unknown
_1132900679.unknown
_1132900820.unknown
_1132900891.unknown
_1132900764.unknown
_1132900616.unknown
_1132900641.unknown
_1132900566.unknown
_1132900299.unknown
_1132900360.unknown
_1132900438.unknown
_1132900317.unknown
_1132900249.unknown
_1132900265.unknown
_1132900190.unknown
_1132899285.unknown
_1132899793.unknown
_1132899973.unknown
_1132900042.unknown
_1132900107.unknown
_1132900022.unknown
_1132899827.unknown
_1132899953.unknown
_1132899803.unknown
_1132899711.unknown
_1132899749.unknown
_1132899774.unknown
_1132899735.unknown
_1132899655.unknown
_1132899682.unknown
_1132899324.unknown
_1132899088.unknown
_1132899180.unknown
_1132899231.unknown
_1132899263.unknown
_1132899194.unknown
_1132899130.unknown
_1132899161.unknown
_1132899117.unknown
_1132898942.unknown
_1132899023.unknown
_1132899047.unknown
_1132898954.unknown
_1132898822.unknown
_1132898849.unknown
_1132898792.unknown
_1132897386.unknown
_1132898225.unknown
_1132898493.unknown
_1132898688.unknown
_1132898716.unknown
_1132898746.unknown
_1132898707.unknown
_1132898602.unknown
_1132898623.unknown
_1132898582.unknown
_1132898325.unknown
_1132898431.unknown
_1132898469.unknown
_1132898386.unknown
_1132898284.unknown
_1132898292.unknown
_1132898255.unknown
_1132897831.unknown
_1132897985.unknown
_1132898147.unknown
_1132898181.unknown
_1132898038.unknown
_1132897925.unknown
_1132897945.unknown
_1132897911.unknown
_1132897645.unknown
_1132897793.unknown
_1132897822.unknown
_1132897659.unknown
_1132897579.unknown
_1132897596.unknown
_1132897486.unknown
_1132830542.unknown
_1132897118.unknown
_1132897215.unknown
_1132897259.unknown
_1132897299.unknown
_1132897245.unknown
_1132897151.unknown
_1132897183.unknown
_1132897134.unknown
_1132897000.unknown
_1132897075.unknown
_1132897104.unknown
_1132897058.unknown
_1132896946.unknown
_1132896969.unknown
_1132896916.unknown
_1132830319.unknown
_1132830446.unknown
_1132830483.unknown
_1132830507.unknown
_1132830461.unknown
_1132830371.unknown
_1132830434.unknown
_1132830341.unknown
_1132830143.unknown
_1132830200.unknown
_1132830228.unknown
_1132830183.unknown
_1132830083.unknown
_1132830118.unknown
_1132830058.unknown
_1132755763.unknown
_1132817823.unknown
_1132825108.unknown
_1132828764.unknown
_1132829409.unknown
_1132829697.unknown
_1132829864.unknown
_1132829911.unknown
_1132829994.unknown
_1132829894.unknown
_1132829783.unknown
_1132829810.unknown
_1132829758.unknown
_1132829582.unknown
_1132829654.unknown
_1132829672.unknown
_1132829635.unknown
_1132829498.unknown
_1132829530.unknown
_1132829445.unknown
_1132829052.unknown
_1132829298.unknown
_1132829342.unknown
_1132829392.unknown
_1132829311.unknown
_1132829187.unknown
_1132829226.unknown
_1132829130.unknown
_1132829144.unknown
_1132828954.unknown
_1132829012.unknown
_1132829040.unknown
_1132828990.unknown
_1132828865.unknown
_1132828924.unknown
_1132828795.unknown
_1132826805.unknown
_1132828382.unknown
_1132828579.unknown
_1132828696.unknown
_1132828730.unknown
_1132828618.unknown
_1132828514.unknown
_1132828557.unknown
_1132828477.unknown
_1132826915.unknown
_1132828344.unknown
_1132828362.unknown
_1132826928.unknown
_1132826826.unknown
_1132826893.unknown
_1132826818.unknown
_1132825656.unknown
_1132825944.unknown
_1132826719.unknown
_1132826728.unknown
_1132826052.unknown
_1132825822.unknown
_1132825913.unknown
_1132825770.unknown
_1132825341.unknown
_1132825383.unknown
_1132825421.unknown
_1132825351.unknown
_1132825272.unknown
_1132825310.unknown
_1132825189.unknown
_1132820486.unknown
_1132822075.unknown
_1132823886.unknown
_1132824713.unknown
_1132824975.unknown
_1132825027.unknown
_1132824737.unknown
_1132824179.unknown
_1132824200.unknown
_1132824078.unknown
_1132822368.unknown
_1132822857.unknown
_1132823441.unknown
_1132822626.unknown
_1132822128.unknown
_1132822268.unknown
_1132822110.unknown
_1132821629.unknown
_1132821807.unknown
_1132821919.unknown
_1132822032.unknown
_1132821874.unknown
_1132821715.unknown
_1132821737.unknown
_1132821689.unknown
_1132820679.unknown
_1132821330.unknown
_1132821496.unknown
_1132820768.unknown
_1132820568.unknown
_1132820612.unknown
_1132820518.unknown
_1132819592.unknown
_1132819964.unknown
_1132820166.unknown
_1132820433.unknown
_1132820455.unknown
_1132820338.unknown
_1132820063.unknown
_1132820124.unknown
_1132820017.unknown
_1132819858.unknown
_1132819913.unknown
_1132819955.unknown
_1132819873.unknown
_1132819676.unknown
_1132819761.unknown
_1132819638.unknown
_1132819188.unknown
_1132819320.unknown
_1132819462.unknown
_1132819556.unknown
_1132819376.unknown
_1132819228.unknown
_1132819308.unknown
_1132819214.unknown
_1132818948.unknown
_1132818984.unknown
_1132819172.unknown
_1132818970.unknown
_1132818861.unknown
_1132818895.unknown
_1132817873.unknown
_1132812912.unknown
_1132815462.unknown
_1132816405.unknown
_1132817581.unknown
_1132817653.unknown
_1132817768.unknown
_1132817803.unknown
_1132817705.unknown
_1132817610.unknown
_1132817628.unknown
_1132817595.unknown
_1132817261.unknown
_1132817428.unknown
_1132817446.unknown
_1132817303.unknown
_1132817074.unknown
_1132817156.unknown
_1132816482.unknown
_1132816003.unknown
_1132816237.unknown
_1132816290.unknown
_1132816360.unknown
_1132816268.unknown
_1132816077.unknown
_1132816187.unknown
_1132816061.unknown
_1132815864.unknown
_1132815926.unknown
_1132815978.unknown
_1132815893.unknown
_1132815586.unknown
_1132815836.unknown
_1132815697.unknown
_1132815489.unknown
_1132814032.unknown
_1132814377.unknown
_1132815189.unknown
_1132815301.unknown
_1132815427.unknown
_1132815230.unknown
_1132814562.unknown
_1132814586.unknown
_1132814453.unknown
_1132814188.unknown
_1132814305.unknown
_1132814341.unknown
_1132814278.unknown
_1132814123.unknown
_1132814143.unknown
_1132814098.unknown
_1132813491.unknown
_1132813809.unknown
_1132813966.unknown
_1132813984.unknown
_1132813850.unknown
_1132813708.unknown
_1132813761.unknown
_1132813654.unknown
_1132813144.unknown
_1132813279.unknown
_1132813354.unknown
_1132813206.unknown
_1132813064.unknown
_1132813094.unknown
_1132812959.unknown
_1132809920.unknown
_1132811223.unknown
_1132811736.unknown
_1132812045.unknown
_1132812499.unknown
_1132812679.unknown
_1132812469.unknown
_1132811841.unknown
_1132812011.unknown
_1132811759.unknown
_1132811596.unknown
_1132811644.unknown
_1132811707.unknown
_1132811616.unknown
_1132811358.unknown
_1132811470.unknown
_1132811274.unknown
_1132810542.unknown
_1132810998.unknown
_1132811140.unknown
_1132811197.unknown
_1132811069.unknown
_1132810658.unknown
_1132810825.unknown
_1132810561.unknown
_1132810275.unknown
_1132810425.unknown
_1132810518.unknown
_1132810326.unknown
_1132809977.unknown
_1132810028.unknown
_1132809958.unknown
_1132808872.unknown
_1132809279.unknown
_1132809740.unknown
_1132809782.unknown
_1132809802.unknown
_1132809763.unknown
_1132809663.unknown
_1132809733.unknown
_1132809365.unknown
_1132809024.unknown
_1132809168.unknown
_1132809201.unknown
_1132809089.unknown
_1132808961.unknown
_1132809004.unknown
_1132808921.unknown
_1132808470.unknown
_1132808636.unknown
_1132808743.unknown
_1132808776.unknown
_1132808667.unknown
_1132808566.unknown
_1132808619.unknown
_1132808491.unknown
_1132755891.unknown
_1132808410.unknown
_1132808432.unknown
_1132755902.unknown
_1132755826.unknown
_1132755846.unknown
_1132755797.unknown
_1132735736.unknown
_1132740048.unknown
_1132753424.unknown
_1132755293.unknown
_1132755473.unknown
_1132755585.unknown
_1132755696.unknown
_1132755730.unknown
_1132755664.unknown
_1132755534.unknown
_1132755560.unknown
_1132755505.unknown
_1132755372.unknown
_1132755415.unknown
_1132755442.unknown
_1132755396.unknown
_1132755334.unknown
_1132755355.unknown
_1132755320.unknown
_1132755127.unknown
_1132755202.unknown
_1132755247.unknown
_1132755272.unknown
_1132755225.unknown
_1132755175.unknown
_1132755190.unknown
_1132755153.unknown
_1132755031.unknown
_1132755076.unknown
_1132755091.unknown
_1132755064.unknown
_1132753674.unknown
_1132753718.unknown
_1132753467.unknown
_1132752774.unknown
_1132753067.unknown
_1132753213.unknown
_1132753319.unknown
_1132753384.unknown
_1132753242.unknown
_1132753135.unknown
_1132753171.unknown
_1132753085.unknown
_1132752933.unknown
_1132752998.unknown
_1132753040.unknown
_1132752971.unknown
_1132752878.unknown
_1132752905.unknown
_1132752822.unknown
_1132752324.unknown
_1132752521.unknown
_1132752646.unknown
_1132752713.unknown
_1132752591.unknown
_1132752396.unknown
_1132752418.unknown
_1132752385.unknown
_1132740613.unknown
_1132740648.unknown
_1132740753.unknown
_1132740629.unknown
_1132740570.unknown
_1132740583.unknown
_1132740066.unknown
_1132737537.unknown
_1132739379.unknown
_1132739743.unknown
_1132739852.unknown
_1132739957.unknown
_1132740017.unknown
_1132739899.unknown
_1132739765.unknown
_1132739831.unknown
_1132739755.unknown
_1132739479.unknown
_1132739533.unknown
_1132739734.unknown
_1132739507.unknown
_1132739436.unknown
_1132739467.unknown
_1132739399.unknown
_1132738631.unknown
_1132738792.unknown
_1132739322.unknown
_1132739333.unknown
_1132739267.unknown
_1132738750.unknown
_1132738767.unknown
_1132738682.unknown
_1132737770.unknown
_1132737837.unknown
_1132738573.unknown
_1132737792.unknown
_1132737620.unknown
_1132737653.unknown
_1132737561.unknown
_1132736810.unknown
_1132737244.unknown
_1132737365.unknown
_1132737476.unknown
_1132737502.unknown
_1132737416.unknown
_1132737324.unknown
_1132737342.unknown
_1132737302.unknown
_1132737120.unknown
_1132737148.unknown
_1132737199.unknown
_1132737133.unknown
_1132736968.unknown
_1132736984.unknown
_1132736898.unknown
_1132736879.unknown
_1132736316.unknown
_1132736396.unknown
_1132736623.unknown
_1132736697.unknown
_1132736473.unknown
_1132736350.unknown
_1132736371.unknown
_1132736333.unknown
_1132736163.unknown
_1132736234.unknown
_1132736260.unknown
_1132736208.unknown
_1132735949.unknown
_1132736081.unknown
_1132735910.unknown
_1132735928.unknown
_1132735893.unknown
_1132731670.unknown
_1132734186.unknown
_1132734856.unknown
_1132735483.unknown
_1132735581.unknown
_1132735678.unknown
_1132735705.unknown
_1132735720.unknown
_1132735691.unknown
_1132735618.unknown
_1132735521.unknown
_1132735559.unknown
_1132735504.unknown
_1132735070.unknown
_1132735315.unknown
_1132735469.unknown
_1132735109.unknown
_1132734971.unknown
_1132735009.unknown
_1132734875.unknown
_1132734571.unknown
_1132734684.unknown
_1132734772.unknown
_1132734796.unknown
_1132734709.unknown
_1132734656.unknown
_1132734667.unknown
_1132734644.unknown
_1132734347.unknown
_1132734507.unknown
_1132734552.unknown
_1132734362.unknown
_1132734260.unknown
_1132734331.unknown
_1132734237.unknown
_1132733402.unknown
_1132733806.unknown
_1132734021.unknown
_1132734119.unknown
_1132734151.unknown
_1132734092.unknown
_1132733866.unknown
_1132733921.unknown
_1132733827.unknown
_1132733596.unknown
_1132733748.unknown
_1132733755.unknown
_1132733732.unknown
_1132733710.unknown
_1132733446.unknown
_1132733552.unknown
_1132733434.unknown
_1132732891.unknown
_1132733272.unknown
_1132733341.unknown
_1132733371.unknown
_1132733314.unknown
_1132733209.unknown
_1132733232.unknown
_1132732969.unknown
_1132732008.unknown
_1132732870.unknown
_1132732880.unknown
_1132732858.unknown
_1132731954.unknown
_1132731978.unknown
_1132731933.unknown
_1132728395.unknown
_1132729848.unknown
_1132730528.unknown
_1132731165.unknown
_1132731245.unknown
_1132731296.unknown
_1132731211.unknown
_1132730597.unknown
_1132730687.unknown
_1132730560.unknown
_1132730049.unknown
_1132730455.unknown
_1132730474.unknown
_1132730398.unknown
_1132729945.unknown
_1132729967.unknown
_1132729913.unknown
_1132729079.unknown
_1132729635.unknown
_1132729732.unknown
_1132729751.unknown
_1132729683.unknown
_1132729532.unknown
_1132729587.unknown
_1132729399.unknown
_1132729444.unknown
_1132729113.unknown
_1132728961.unknown
_1132729035.unknown
_1132729056.unknown
_1132729009.unknown
_1132728460.unknown
_1132728949.unknown
_1132728435.unknown
_1132727477.unknown
_1132728033.unknown
_1132728278.unknown
_1132728348.unknown
_1132728389.unknown
_1132728323.unknown
_1132728168.unknown
_1132728211.unknown
_1132728085.unknown
_1132727862.unknown
_1132727933.unknown
_1132728017.unknown
_1132727924.unknown
_1132727548.unknown
_1132727712.unknown
_1132727494.unknown
_1132725071.unknown
_1132727110.unknown
_1132727278.unknown
_1132727357.unknown
_1132727147.unknown
_1132725143.unknown
_1132725201.unknown
_1132725107.unknown
_1132724983.unknown
_1132725039.unknown
_1132725047.unknown
_1132725000.unknown
_1132724945.unknown
_1132724970.unknown
_1132724929.unknown
