Analiza Matematica

prof. Cristian Vladimirescu

1

1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE

1.1.Noiuni teoretice i rezultate fundamentale.

1.1.1. iruri de numere reale.

Presupunem cunoscute noiunile de baz despre mulimea N a numerelor naturale, mulimea Z a

numerelor ntregi, mulimea Q a numerelor raionale i mulimea R a numerelor reale.

Reamintim c pe R se poate defini o structur algebric de corp comutativ total ordonat la fel ca

n Q dar cele dou mulimi se deosebesc esenial prin funcionarea n R a axiomei marginii superioare, care

constituie punctul de plecare n stabilirea tuturor rezultatelor profunde ale analizei.

Reamintim c definind modulul unui numr real x astfel:

| x | = max {x, -x} =

0,

0,

xx

xx

se verific imediat urmtoarele proprieti:

[N1] | x | 0 pentru orice x R; | x | = 0 x = 0 [N2] | x + y | | x | + | y | pentru orice x, y R [N3] | x y | = | x | | y | pentru orice x, y R

De asemenea, definind funcia d : R x R R prin

d(x, y) = | x - y |

se verific imediat, folosind [N1], [N2], [N3], urmtoarele proprieti:

[D1] d(x, y) 0 pentru orice x, y R; d(x, y) = 0 x = y [D2] d(x, y) = d(y, x) pentru orice x, y R [D3] d(x, z) d(x, y) + d(y, z) pentru orice x, y, z R

Numrul real i pozitiv d(x, y) este numit distana euclidian ntre numerele x, y, funcia d se

numete metric, iar (R, d) este un spaiu metric. Utiliznd aceast noiune se poate exprima ct de

apropiate sunt dou numere reale i se poate introduce noiunea de ir convergent de numere reale,

cunoscut din liceu, pe care o vom reaminti, precum i noiunea de ir fundamental de numere reale pe care

o vom prezenta n continuare.

Definiia 1.1.1.1. Se numete ir de numere reale orice funcie f : N R; pentru orice n N este definit un numr real xn = f(n) numit termenul de rang n, sau termenul general al irului; irul nsui se noteaz

(xn)nN, iar mulimea {x R : n N, x = xn} se numete mulimea termenilor irului.

Observaia 1.1.1.1. Trebuie fcut distincia ntre un ir i mulimea termenilor lui, deoarece dou iruri

distincte pot avea aceeai mulime de termeni. De exemplu, f :N* R, f(n) = (-1)n i g :N* R, g(n) = (-

1)n+1 sunt dou iruri distincte cu aceeai mulime de termeni {-1, 1}.

Definiia 1.1.1.2. irul (xn)nN de numere reale se numete convergent dac exist x R astfel nctpentru orice > 0 exist n0 = n0() N, nct, oricare ar fi n n0 , |xn - x| < adic d(xn , x) < . Elementul x se numete punct limit pentru irul (xn)nN. n caz contrar, irul (xn)nN se numete divergent.

Dac x R este punct limit pentru irul (xn)nN se mai spune c acest ir converge la x, sau c

x este limita irului i se noteaz x = n

lim xn .

Definiia 1.1.1.3. Fie f : N R, f(n) = xn un ir de numere reale.

Fie h : N N, h(m) = nm un ir strict cresctor de numere naturale. Funcia = f h se numete subir al

irului f.

Evident, : N R, (m) = f(h(m)) = f(nm) = xmn

iar nm m pentru orice mN.

2

Definiia 1.1.1.4. Fie f : N R, f(n) = xn un ir de numere reale. Elementul x R se numete punct de

acumulare pentru irul f dac i numai dac pentru orice > 0 i orice mN exist nm m nct | xmn

- x| 0 exist n0 = n0( ) N nct dac n, m N, n n0 i m n0 atunci |xn - xm | < adic d(xn, xm) < sau, echivalent, d(xn, xn+p) < pentru orice nn0 i orice pN. Observaia 1.1.1.3. n definiia convergenei unui ir apare n mod explicit limita irului, pe cnd n

definiia unui ir fundamental intervin numai termeni ai irului, deci aceasta din urm este o definiie

intrinsec. Determinarea limitei este dificil, n multe situaii imposibil. Prin urmare, teorema urmtoare

este extrem de important:

Teorema 1.1.1.1. (criteriul general de convergen al lui Cauchy)

Un ir de numere reale este convergent dac i numai dac el este un ir fundamental. (Se spune c R, n

raport cu distana euclidian este spaiu metric complet)

Observaia 1.1.1.4. Avnd n vedere aceast teorem, pentru testarea convergenei unui ir de numere reale

este suficient s se verifice condiia intrinsec de a fi ir fundamental. Apoi definiia 1.1.1.2. arat c

nlim xn = x dac i numai dac

nlim |xn - x| = 0, deci putem aproxima x xn i aproximarea este cu att mai

bun cu ct rangul n este mai mare. Referitor la evaluarea erorii cu care se face aceast aproximare, putem

preciza urmtoarele: dac |xn+p xn| yn pentru orice n, p N i n

lim yn = 0 atunci irul (xn)nN este

fundamental, deci convergent; dac x = n

lim xn se poate arta c |xn - x| yn pentru orice n N,

inegalitate care poate fi considerat formul de evaluare a erorii cu care se face aproximarea x xn .

Evident, dac se impune ca eroarea s fie mai mic dect dat, se va determina cea mai mic valoare n a

lui n pentru care yn < i se va aproxima x xn.

Exemplul 1.1.1.1. Fie f : N* R, f(n) =an =1 +2

1 +

3

1 + +

n

1. Deoarece

3

a2n an = 1n

1

+

2n

1

+ +

nn

1

orin de

nn

1...

nn

1

=

2

1

pentru orice nN*, rezult c irul f nu este fundamental, deci nici convergent.

Exemplul 1.1.1.2. Fie f : N* R, f(n) =an =

n

1k )1k(k

!ksin.

Deoarece |an+p an| =

pn

1k

n

1k )1k(k

!ksin

)1k(k

!ksin =

=

pnk

1nk )1k(k

!ksin

pn

1nk )1k(k

!|ksin|

pn

1nk )1k(k

1=

pn

1nk 1k

1

k

1 =

1n

1

-

1pn

1

<

1n

1

, pentru orice n, p N* i

nlim

1n

1

= 0, deducem c irul f este ir fundamental, deci convergent.

Prin urmare, exist i este unic a R, a=n

lim an , dar a nu se poate determina cu exactitate. Pentru a

determina o valoare aproximativ, cu o eroare mai mic dect 10-3 (de exemplu) observm c 1n

1

<

310

1 n + 1 > 103 n> 103 1.

Prin urmare, cel mai mic n pentru care 1n

1

<

310

1este 103.Deci aa1000

Se poate demonstra c pentru orice a, bR, intervalele (- , a], [a, b], [a, ) sunt spaii metrice complete n raport cu metrica euclidian.

Fie X unul dintre aceste intervale sau R. Funcia f :X X se numete contracie dac exist

c[0, 1) numit coeficient de contracie astfel nct d(f(x), f(y)) cd(x, y) pentru orice x, yX. Utiliznd teorema 1.1.1.1. reformulat pentru X se poate demonstra urmtorul rezultat important

cunoscut sub numele de Teorema de punct fix a lui Banach sau Principiul contraciei :

Teorema 1.1.1.2. Pentru orice contracie f :X X exist i este unic un punct X astfel nct f() = . Punctul se numete punct fix al aplicaiei f. Trebuie reinut metoda de determinare a punctului fix

cunoscut sub numele de metoda aproximaiilor successive: prima aproximaie x0X este aleas arbitrar, apoi aproximaiile x1 = f(x0), x2 = f(x1), , xn = f(xn-1), sunt determinate succesiv folosind f; se

demonstreaz c |xn xn+p| nc

c1

, pentru orice n, pN, unde c este coeficientul de contracie, =

d(x0, x1) =|x0 x1|; indiferent de alegerea lui x0 irul de aproximaii succesive (xn)nN converge la aceeai

limit . Formula precis = n

lim xn este nlocuit n practic prin formula de aproximare xn. Pentru a

evalua eroarea care apare n aceast aproximare, se poate arta c |xn | nc

c1

pentru orice nN,

i se raioneaz apoi ca n observaia 1.1.1.4.

1.1.2. Serii de numere reale.

Noiunea de serie de numere reale a aprut din necesitatea de a da un sens natural sumei

termenilor unui ir de numere reale. Deoarece nu se pot aduna (n sens algebric) o infinitate de numere

4

reale, realizarea acestui scop a fost posibil numai cu ajutorul noiunii de limit, numai n anumite cazuri,

studiul seriilor mbinnd studiul sumelor finite cu cel al limitelor de iruri.

A) Serii convergente. Criterii generale de convergen

Definiia 1.1.2.1. Fie f : N R, f(n) =xn un ir de numere reale.

Fie g : N R, g(n) =sn =

n

0k

kx . Perechea de iruri (f, g) se numete serie generat de irul f. Pentru

fiecare nN , sn se numete suma parial de ordin n a seriei, iar irul g se numete irul sumelor pariale asociat irului f. Seria (f, g) se numete convergent dac irul g al sumelor pariale este convergent i

divergent n caz contrar. Dac seria (f, g) este convergent, se definete suma seriei ca fiind numrul real s

=n

lim sn i se noteaz s =

0k

kx .

Observaia 1.1.2.1. a) Dei poate crea confuzii, notaia 0n

nx pentru seria (f, g) este frecvent folosit.

Trebuie ns mereu fcut distincia ntre seria 0n

nx i suma sa, s =

0n

nx , care este un element asociat

seriei numai n caz de convergen i care reprezint suma termenilor irului dat. n cazul n care seria este

divergent, nu putem atribui nici un sens sumei termenilor irului care genereaz seria.

b) n studiul unei serii, rolul principal este jucat de irul sumelor pariale, care sunt sume finite. Printrecerea la limit ns, se pierd o seam de proprieti ale sumelor finite. Astfel, la sumele seriilor nu avem

comutativitate, asociativitate, seriile nu pot fi, n general, nmulite.

c) Dac se renun la un numr finit de termeni ai unei serii (sau dac se adaug un numr finit de termeni)

seria nou obinut va avea aceeai natur ca i seria iniial. n caz de convergen, suma se modific

scznd (sau adugnd) suma finit a termenilor la care se renun (respectiv, care se adaug)

d) Problema principal n studiul unei serii este determinarea naturii i, n caz de convergen, evaluarea

exact sau mcar aproximativ a sumei seriei respective.

Exemplul 1.1.2.1. Seria 0n

nq , unde qR este fixat, se numete serie geometric de raie q. Sumele

pariale asociate sunt: s0 = 1, s1 = 1 + q, s2 = 1 + q+ q

2, , sn = 1 + q+ q2 + + qn,

Se demonstreaz prin inducie c:

sn =

1q , 1n

1q,q1

q1 1n

, oricare ar fi nN

Deoarece n

lim sn = q1

1

dac i numai dac q(-1, 1), rezult c seria geometric de raie q este

convergent dac i numai dac |q| < 1 i, n acest caz,

0n

nq = q1

1

.

5

Exemplul 1.1.2.2. Seria 1n n

1 se numete serie armonic. Sumele pariale sunt: s1 = 1, s2 = 1 +

2

1, s3 =

1 + 2

1 +

3

1, , sn = 1 +

2

1 +

3

1 + +

n

1, Deoarece s2n sn

2

1pentru orice nN* (vezi exemplul

1.1.1.1.) rezult c irul (sn) *Nn al sumelor pariale nu este ir fundamental, deci nici convergent. Rezult

c seria armonic este divergent.

Exemplul 1.1.2.3. S considerm acum seria 1n )1n(n

!nsin. irul sumelor pariale are n acest caz

termenul general sn =

n

1k )1k(k

!ksin, nN*. Acest ir a fost studiat n exemplul 1.1.1.2 unde s-a artat c

este ir fundamental, deci convergent. Rezult c seria 1n )1n(n

!nsin este convergent.

Observaia 1.1.2.2. n exemplul 1.1.2.1. am putut determina natura i chiar suma seriei considerate

exprimnd convenabil termenul general al irului sumelor pariale. Acest lucru nu este posibil ntotdeauna.

n exemplul 1.1.2.2. se deduce c seria este divergent, fr a gsi o form convenabil pentru sn. n

exemplul 1.1.2.3. se deduce c seria este convergent, dar nu se poate gsi o expresie convenabil pentru sn

i, prin urmare, nu se poate cunoate cu exactitate suma seriei.

Este necesar, deci, dezvoltarea unei teorii calitative a seriilor, indicnd criterii de convergen

care in cont de forma termenului general al seriei studiate. Pentru o serie care se dovedete a fi

convergent (n urma aplicrii unui criteriu de convergen) se aproximeaz suma seriei cu o sum parial

de un ordin convenabil ales (n funcie de eroarea permis de problem)

Teorema 1.1.2.1. (criteriul necesar de convergen)

Dac seria 0n

nx este convergent atunci n

lim xn = 0 .

Observaia 1.1.2.3. Condiia din teorema 1.1.2.1. este doar necesar, dar nu i suficient pentru

convergena unei serii. De exemplu, irul f :N*R, f(n)= n

1 este convergent i are limita zero, dar seria

generat de acest ir (seria armonic) nu este convergent. Din teorem rezult imediat c, dac un ir f este

divergent sau este convergent cu limita diferit de zero, atunci seria generat de irul f este divergent. De

exemplu, seria 2n

n n este divergent deoarece n

lim n n = 1; seria

1n

n)1( este divergent deoarece

irul ((-1)n) *Nn nu are limit.

Teorema 1.1.2.2. a) Dac R\{0}, seria

0n

nx are aceeai natur cu seria 0n

nx ;

b) Dac seriile 0n

nx , 0n

ny sunt convergente, cu sumele s, respectiv , atunci seriile

0n

nn )yx( ,

0n

nn )yx( sunt convergente, cu sumele s + , respectiv s .

6

Teorema 1.1.2.3. (criteriul general de convergen al lui Cauchy pentru serii)

Seria de numere reale 0n

nx este convergent dac i numai dac pentru orice > 0 exist n0 =

n0 () N astfel nct oricare ar fi n n0 i oricare ar fi pN* s avem:

|xn+1 + xn+2 + + xn+p | <

Observnd c xn+1 + xn+2 + + xn+p = sn+p sn, esena demonstraiei const n aplicarea

criteriului general de convergen al lui Cauchy irului sumelor pariale. (vezi i exemplele 1.1.1.2. i

1.1.2.3.)

O clas foarte important de serii o constituie seriile absolut convergente.

Definiia 1.1.2.2. Fie f :NR, f(n) = xn. Seria de numere reale 0n

nx se numete absolut convergent

dac seria de numere reale pozitive 0n

n |x| este convergent.

Teorema 1.1.2.4. Orice serie absolut convergent de numere reale este convergent.

Observaia 1.1.2.4. Reciproca acestei teoreme nu este, n general, adevrat. Exist serii convergente care

nu sunt absolut convergente. De exemplu, seria

1n

1n

n

1)1( numit serie armonic alternat , este

convergent (vezi exemplul 1.1.2.5) dar nu este absolut convergent deoarece | xn | = n

1, nN* iar

0n n

1

este divergent (vezi exemplul 1.1.2.2.)

Definiia 1.1.2.3. O serie care este convergent, dar nu este absolut convergent, se numete

semiconvergent.

Seria armonic alternat este un exemplu de serie semi-convergent.

Seriile semiconvergente au o proprietate ce le face puin utilizabile, cunoscut sub numele de

teorema lui Riemann : dac seria de numere reale (f, g), f :NR, f(n) = xn este semiconvergent, exist o

permutare a mulimii N, astfel nct seria generat de irul f :NR, (f )(n)=x(n) s fie divergent;

pentru orice R exist o permutare a lui N astfel nct seria generat de irul f :NR, (f)(n) = x(n) s fie convergent i s aib suma .

Rezult, de aici, c seriile semiconvergente au o comportare foarte diferit de cea a sumelor finite.

Spre deosebire de acestea, dac ntr-o serie absolut convergent modificm ordinea termenilor,

nici natura, nici suma seriei nu se schimb (teorema lui Dirichlet)

Astfel, seriile absolut convergente au o comportare asemntoare cu cea a sumelor finite; de aceea

ele sunt cele mai des utilizate.

Studiul seriilor absolut convergente nseamn de fapt studiul seriilor cu termeni pozitivi. Pentru

asemenea serii se pot formula multe criterii care dau condiii suficiente de convergen. Prezentm n

continuare pe cele mai importante.

B) Serii cu temeni pozitivi. Criterii de convergen

Teorema 1.1.2.5. O serie de numere reale i pozitive este convergent, dac i numai dac, irul sumelor ei

pariale este mrginit.

7

Teorema 1.1.2.6. (criteriul comparaiei) Fie 0n

nx i 0n

ny dou serii cu termeni pozitivi astfel nct

s existe l = n

limn

n

y

x.

a) dac 0 < l < atunci cele dou serii au aceeai natur;

b) dac l = 0 i 0n

ny este convergent, atunci seria 0n

nx este convergent;

c) dac l = i 0n

ny este divergent, atunci seria 0n

nx este divergent.

Teorema 1.1.2.7. (criteriul rdcinii al lui Cauchy)

Fie 0n

nx o serie cu termeni pozitivi.

a) Dac exist n0 N i q(0, 1) astfel nct pentru orice n n0 s avem n nx q, atunci seria

0n

nx este convergent.

b) Dac n nx 1 pentru o infinitate de indici, atunci seria 0n

nx este divergent.

Corolar. Fie 0n

nx o serie cu termeni pozitivi. Presupunem c exist

l = n

lim n nx .

a) Dac l< 1, atunci seria este convergent.

b) Dac l > 1, atunci seria este divergent.

Teorema 1.1.2.8. (criteriul raportului, al lui dAlembert)

Fie 0n

nx o serie cu termeni pozitivi.

a) Dac exist n0 N i q(0, 1) astfel nct pentru orice n N, n n0 s avem n

1n

x

x q, atunci seria

este convergent.

b) Dac exist n0 N i q(0, 1) astfel nct pentru orice n n0 s avem n

1n

x

x 1 atunci seria este

divergent.

Corolar. Fie 0n

nx o serie cu termeni pozitivi. Presupunem c exist l = n

limn

1n

x

x .

a) Dac l < 1, atunci seria este convergent. b) Dac l > 1, atunci seria este divergent.

8

Observatia 1.1.2.5. Dac l = 1 n corolarul teoremei 1.1.2.7. (sau 1.1.2.8.) nu se poate trage nici o

concluzie asupra naturii seriei. Spre exemplu, s considerm seriile 1n

nx , 1n

ny unde xn = n

1, yn =

)1n(n

1

, n N*.

Evident c n

lim n nx = n

limn

1n

x

x = 1,

nlim n ny =

nlim

n

1n

y

y = 1.

Seria 1n

nx este divergent (vezi exemplul 1.1.2.2.). Seria 1n

ny este ns convergent. (Pentru fiecare

n N* , yn = n

1 -

1n

1

, sn = 1 -

1n

1

i, prin urmare,

nlim sn = 1)

n situaiile n care criteriul raportului nu poate decide natura seriei se poate folosi:

Teorema 1.1.2.9. (criteriul lui Raabe - Duhamel)

Fie 0n

nx o serie cu termeni pozitivi.

a) Dac exist n0 N* i r > 1 astfel nct pentru orice n n0 s avem

1x

xn

1n

n r, atunci

seria este convergent.

b) Dac exist n0 N astfel nct pentru orice n n0 s avem

1x

xn

1n

n 1, atunci seria este

divergent.

Corolar. Fie 0n

nx o serie cu termeni pozitivi. Presupunem c exist

l = n

lim

1x

xn

1n

n.

a) Dac l > 1, atunci seria este convergent.

b) Dac l < 1, atunci seria este divergent.

Exemplul 1.1.2.4. Seria

1n n

1, >0 se numete serie armonic general. Este evident c

nlim

n

1n

x

x =

1 pentru orice >0, deci natura seriei nu poate fi precizat cu ajutorul criteriului raportului (i nici cu

criteriul rdcinii). Dar

1x

xn

1n

n =

n

1

1n

11

1n

)1n(n

.

Se tie din liceu c 0x

lim

x

1)x1( pentru orice R. Folosind criteriul cu iruri al limitei unei

funcii (de asemenea, cunoscut din liceu) deoarece n

limn

1 = 0, rezult c:

9

l = n

lim

1x

xn

1n

n =

nlim

n

1

1n

11

Rezult astfel c pentru >1 seria armonic general este convergent, iar pentru < 1 este

divergent. Pentru = 1 se obine seria armonic despre care s-a artat anterior (vezi exemplul 1.1.2.2.) c

este divergent.

Teorema 1.1.2.10. (criteriul integral al lui Cauchy) Fie f:[0, )[0, ) o funcie continu,

descresctoare i fie xn = f(n) , nN. Seria cu termeni pozitivi 0n

nx este convergent dac i numai dac

irul F : N R+,

F(n) = n

0

dx)x(f este mrginit.

Observaia 1.1.2.6. Teorema rmne valabil i n cazul n care

f: [a, )R+, unde a >0. Cu ajutorul acestui criteriu putem stabili foarte uor natura seriei armonice generale (studiat n

exemplul 1.1.2.4). Este suficient s considerm funcia f: [1, )R+, f(x) = x

1, >0 i s observm

c, pentru 1, F(n) =

1n1

1

1

x

dx1

n

1

, pentru orice nN*. Dac >1, avem: F(n) =

1

1

n

11

1

11

, pentru orice nN*. Prin urmare, irul F este mrginit, deci seria este

convergent. Dac

Exemplul 1.1.2.5. Seria

1n

1n

n

1)1( , unde > 0 este convergent, fr a fi absolut convergent

pentru 0 < 1; pentru > 1 aceast serie este i convergent i absolut convergent (convergena se poate

deduce din convergena absolut, sau, direct, cu criteriul lui Leibnitz)

D) Aproximarea sumei

Observaia 1.1.2.7. Pentru o serie care s-a dovedit a fi convergent, dar nu este posibil s-i determinm

suma, este important s putem evalua eroarea fcut, dac se aproximeaz suma seriei cu o sum parial.

Sunt situaii n care se poate evalua uor aceast eroare i, prin urmare, se poate obine suma seriei cu

precizia dorit:

a) dac | xn+1 + xn+2 + + xn+p | yn pentru orice n, pN i n

lim yn = 0 atunci seria este convergent

(rezult din teorema 1.1.2.3.). Se poate arta c | sn s | yn pentru orice nN , inegalitate care poate fi considerat formul de evaluare a erorii cu care se face aproximarea s sn (vezi i observaia 1.1.1.4.).

b) dac exist q(0, 1) i n0N astfel nct pentru orice n n0 s avem q|x|n n , atunci aplicnd

criteriul rdcinii seriei 0n

n |x| se deduce c seria 0n

nx este absolut convergent, deci i convergent.

Se poate arta c, pentru orice n n0 , | sn s | q1

q 1n

.

c) dac exist q(0, 1) i n0N astfel nct pentru orice n n0 s avem n

1n

x

x q , atunci aplicnd

criteriul raportului seriei 0n

n |x| se deduce c seria 0n

nx este absolut convergent, deci i

convergent. Se poate arta c, pentru orice n n0 , | sn s | | xn |q1

q

.

d) pentru o serie alternat

0n

n

1n a)1( convergent se poate arta c:

0 < s2n s < a2n+1, 0 < s s2n+1 < a2n+2

pentru orice nN. Deci, dac aproximm suma s a unei serii alternate ce satisface condiiile criteriului lui Leibniz cu suma parial de ordinul n, facem o eroare mai mic dect primul termen neglijat; eroarea este

prin lips dac n este impar i prin adaos, dac n este par.

11

1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE

1.2 Exerciii rezolvate

Exerciiul 1.2.1. Stabilii dac urmtoarele iruri sunt fundamentale:

a) xn = 5n3

2n

, nN

b) xn = 1 + 2

1 +

3

1 + +

n

1, nN*

c) xn = 1 + 22

1 + +

2n

1, nN*

d) xn =

n

1k )1k(k

)!kcos(, nN

e) xn = 1n

n 2

, nN

Soluii

a) |xn+p - xn| = )5n3)(5p3n3(

p

<

)5n3(3

1

)5n3(p3

p

i majorantul este un ir convergent

la 0, al crui termen general nu depinde de p. Rezult c (xn)nN este ir fundamental.

b) |xn+p - xn| = 1n

1

+ +

pn

1

. Observm c pentru p = n obinem x2n xn =

1n

1

+ +

nn

1

>

nn

1

+

nn

1

+ +

nn

1

=

2

n. Rezult de aici c |x2n - xn| nu tinde ctre 0,

deci irul (xn)nN nu este ir fundamental.

c) |xn+p - xn| = 2)1n(

1

+ +

2)pn(

1

<

)1n(n

1

+

)2n)(1n(

1

+ +

)pn)(1pn(

1

=

n

1 -

pn

1

<

n

1. Cum majorantul este un ir convergent la 0 i nu depinde de p, rezult c irul (xn)nN

este un ir fundamental.

d) |xn+p - xn| =

pn

1k

n

1k )1k(k

)!kcos(

)1k(k

)!kcos( =

pn

1nk )1k(k

)!kcos(

pn

1nk )1k(k

1 =

pn

1nk 1k

1

k

1 =

1n

1

-

1pn

1

, pentru orice

nN*

e) Deoarece xn = 1n

n 2

=

1n

1n 2

+

1n

1

= n 1 +

1n

1

> n 1 pentru orice nN. Pentru orice M>0

exist nN astfel nct n 1 > M (de exemplu n = [M] + 2), prin urmare exist nN astfel nct xn > M deci (xn)nN nu este majorat, deci este nemrginit. Prin urmare, nu este fundamental.

Exerciiul 1.2.2. Stabilii dac urmtoarele iruri sunt convergente:

12

a) xn = 2n

1n2

, nN

b) xn = 1n

n 2

, nN

c) xn = nn

!nn2 , nN*

d) xn =

n

1k2k

1, nN*

e) xn =

n

1k )1k(k

)!kcos(, nN*

f) xn =

n

1k k

1, nN*

13

Soluii.

a) irul (xn)nN este mrginit: 0 < 2n

1n2

<

2n

1n

2n

n2 =

n

2 1, pentru orice n 2 , x0 =

2

1, x1 =

3

2, deci xn (0, 1) pentru orice nN.

irul (xn)nN este strict descrescator:

xn+1 xn = 2n

1n

2)1n(

1)1n(22

=

2n

1n

3n2n

2n22

=

= 0)2n)(3n2n(

1n3n22

2

, pentru orice nN*. Rezult c irul (xn)nN este convergent.

b) irul (xn)nN nu este mrginit (vezi exerciiul precedent), deci nu este convergent. c) irul (xn)nN este mrginit. ntr-adevr, aplicnd inegalitatea mediilor pentru numerele 1, 2, , n

obinem n !n

n

n...321

, adic

n !n2

1n

sau n! <

n

2

1n

; nmulind inegalitatea cu

n

n

n

2, obinem xn <

n

n

1n

< 3, pentru orice n 2. Cum x1 = 2 < 3, rezult c xn < 3 pentru orice nN

*.

Evident, xn > 0, pentru orice nN*, deci xn (0, 3) pentru orice nN

*. Prin urmare, irul (xn)nN este mrginit.

14

Deoarece

n

1n

x

x =

1n

1n

)1n(

)!1n(2

!n2

nn

n

=

n

nn

)1n(

2

=

= 2 12

12

n

11

1n

, pentru orice nN* deducem c irul este strict descresctor. Rezult c

(xn)nN este convergent. d) irul este fundamental (vezi exerciiul precedent), iar (R, d) este spaiu metric complet (vezi teorema

1.1.1.1.), deci irul este convergent.

S observm c xn+1 xn = 0)1n(

12

, deci irul este strict cresctor. Deoarece 1 < 1 +

n

2k2k

1 = xn <

1 +

n

2k k)1k(

1 = 1 +

n

2k k

1

1k

1 = 1 +

2

11 +

3

1

2

1 + +

n

1

1n

1 = 2 -

n

1 < 2,

adic xn(1, 2) pentru orice nN*, rezult c irul este i mrginit, deci este convergent.

e) irul este fundamental (vezi exerciiul precedent), iar R n raport cu distana euclidian este spaiu metric

complet (vezi teorema 1.1.1.1.), deci irul este convergent.

S observm c, spre deosebire de exerciiul precedent, acest ir nu este monoton, deoarece

diferena xn+1 xn = )2n)(1n(

)!1ncos(

nu pstreaz semn constant pe N, deci nu se poate aplica teorema de

convergen a irurilor monotone.

f) irul nu este fundamental (vezi exerciiul precedent). Din teorema 1.1.1.1. deducem c acest ir nu este

convergent.

Exerciiul 1.2.3. Aproximai limita irului xn =

n

1k )1k(k

)!kcos( cu dou zecimale exacte.

Soluie. Despre acest ir s-a demonstrat c este fundamental, deci este convergent. Am artat c |xn+p - xn| <

1n

1

pentru orice nN*. Dac notm x =

nlim xn, atunci |x - xn|

1n

1

, pentru orice nN. Pentru ca n

aproximarea x xn s avem dou zecimale exacte este suficient ca

1n

1

<

210

1 .

Prin urmare x100 aproximeaz pe x cu dou zecimale exacte.

Exerciiul 1.2.4. Folosind principiul contraciei s se calculeze rdcina ecuaiei x3 + 4x 1 = 0 cu 4

zecimale exacte.

Soluie. Ecuaia are o singur rdcin real situat n intervalul [0, 1] care este spaiu metric complet.

Ecuaia se poate scrie sub forma

x = not

2 4x

1

f(x)

Pe aceast mulime f este o contracie cu coeficientul 8

1 pentru c |f(x)| =

15

= 44

2

)4x(

x222

=

8

1 pentru orice x[0, 1]. Alegem x0 = 0. Atunci x1 = f(x0) =

4

1, = 0

4

1 =

4

1. Rezult c

n

n

8

1

7

2c

c1

< 10-4 pentru n 4. Deci x4 este aproximarea rdcinii cu patru

zecimale exacte.

Exerciiul 1.2.5. Determinai limitele extreme ale irurilor:

a) xn = 1n2

n)1(

2

)1(1 nn

, nN*.

b) xn = n

nn)1(2

, nN*.

Soluii. a) Prezena lui (-1)n sugereaz considerarea urmtoarelor dou subiruri:

x2m = 1m4

m2)1(

2

)1(1 m2m2

= 1 +

1m4

m2

, mN

x2m+1 = 1)1m2(2

1m2)1(

2

)1(1 1m21m2

= 0 - 3m4

1m2

=

= - 3m4

1m2

, mN

Evident, m

lim x2m = 1 + 2

1 =

2

3,

mlim x2m+1 = -

2

1

Prin urmare, mulimea punctelor de acumulare a acestui ir este {-2

1,

2

3}. Deci lim xn = -

2

1, lim xn =

2

3.

b) Analog, x2m = m2

)m2( 2 = 2m, mN*

x2m+1 = 3

)1(2

)1m2(

1

1m2

)1m2(

, mN.

Deoarece m

lim x2m = i m

lim x2m+1 =0, deducem c lim xn = 0 i lim xn=.

Exerciiul 1.2.6. S se studieze natura seriilor urmtoare i s se calculeze suma n caz de convergen:

a) 1n )1n(n

1; b)

1nn3

n; c)

1n n

1nln .

Soluii.

a) xn = )1n(n

1

=

n

1 -

1n

1

pentru orice nN*.

sn =

n

1k

kx =

n

1k 1k

1

k

1 = 1 -

1n

1

, pentru orice nN*.

Evident, n

lim sn = 1. Prin urmare, seria dat este convergent i suma sa este s =

1n

nx = 1

16

b) xn = n3

n, nN* deci sn =

n

1kn1n2k 3

n

3

1n...

3

2

3

1

3

k.

sn =

termeni1n

1n1n33322 3

1...

3

1...

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

+

+

termenin

nn 3

1...

3

1

.

Atunci,

sn = nn1nn2n2 3

1

3

1

3

1...

3

1...

3

1

3

1...

3

1

3

1

,

adic

sn =

n

1kkn2k

n

1kn1kk 3

1...

3

1

3

11

3

1

3

1...

3

1

3

1 =

=

n

1k

kn

k

13

1

13

1

3

1

3

1 =

n

1k1knk 3

11

3

1

2

3=

=

n

1k1nk 3

1

3

1

2

3 =

n

1k

n

1k1nk 3

1

3

1

2

3 =

=

1n

n

3

n

13

13

1

3

1

3

1

2

3 pentru orice nN*.

Deoarece n

limn3

1 = 0 i

nlim

1n3

n

= 0, deducem c n

lim sn = 4

3, deci seria dat este convergent i

suma sa este

1n

n 4

3

3

n.

c) xn = ln n

1n = ln (n+1) ln n.

sn=

n

1k

n

1k

]kln)1k[ln(k

1kln = ln( n + 1) pentru orice nN*.

Rezult c n

lim sn = n

lim ln(n + 1) = , deci irul (sn) *Nn al sumelor pariale este divergent.

Rezult c seria

1n n

1nln este divergent. S observm c

nlim xn = 0 deci aceast condiie este

necesar dar nu i suficient pentru convergena unei serii.

17

Exerciiul 1.2.7. S se studieze natura seriilor urmtoare:

a) 1n

2 5n3n

n7; b)

1nn2 )a...aa1(n

1, unde a > 0

c)

1n

n

n

an

1n2

, unde a > 0; d)

1n

nn

!n

na, unde a > 0

e)

1n )n2...(642

)1n2(...531

Soluii.

a) Deoarece 1n

2/3n

1 este convergent i

nlim

5n3n

n7n2

2/3

= 7 deducem c seria

1n2 5n3n

n7

este convergent (vezi teorema 1.1.2.6)

b) Pentru a > 1, seria 1n

na

1 este convergent (serie geometric cu raia

a

1). Deoarece

nlim

n

n2

a

1

)a...aa1(n

1

=

nlim

1a

1an

a1n

n

=

= n

lim1a

a

n

1a1n

n

= n

lim

na

1a

1

n

1a

= 0, din teorema 1.1.2.6. deducem c seria dat este

convergent.

Pentru a = 1 seria devine 1n )1n(n

1 iar aceasta este convergent (ex. 1.3.6.a)

Pentru 0 < a < 1 se poare folosi uor teorema 1.1.2.6. folosind ca termen de comparaie seria

armonic 1n n

1 despre care se tie c este divergent.

nlim

n

1

)a...aa1(n

1n2

= n

limn2 a...aa1

1

=

= n

lim1na1

a1

= 1 a (cci

nlim an+1 = 0 deoarece a (0, 1))

Deoarece 0 < 1 a < rezult c cele dou serii au aceeai natur. Rezult astfel c, pentru a (0, 1) seria dat este divergent

c) xn = n

n

an

1n2

, nN*, a > 0. Prezena lui n la exponent sugereaz aplicarea criteriului rdcinii:

nlim n nx =

nlim a

n

1nn

= a e.

18

Prin urmare, dac 0 < a < e

1, avem a e < 1, deci seria este convergent, iar dac a >

e

1, atunci a

e > 1, deci seria este divergent.

Rmne de studiat cazul a = e

1. n acest caz, xn= n

n

e

1

n

1n2

pentru orice nN*.

Deoarece e e

1, atunci ae > 1 de unde deducem c

1n

nx este divergent.

Rmne de studiat cazul a = e

1.

Pentru a = e

1 avem

n

1n

x

x =

e

1n

n

1n

pentru orice nN*. Folosind din nou inegalitatea e <

1n

n

1n

, valabil pentru orice nN* obinem

n

1n

x

x >

1n

1n

n

n

n

1n

=

1n

n

adic (n +

1)xn+1 > nxn pentru orice nN*. Rezult nxn > 1x1 adic xn > x1

n

1 i

n

1k

kx > x1

n

1k k

1

Cum 1n n

1 este divergent deducem (vezi teorema 1.1.2.5.) c

1n

nx este divergent.

e) Punnd xn = )n2(...642

)1n2(...531

, nN* obinem:

n

1n

x

x =

2n2

1n2

1, deci nu putem utiliza criteriul raportului. Deoarece

19

n

1x

x

1n

n = n

1

1n2

2n2 = n

1n2

1

2

1 < 1, obinem, cu criteriul Raabe Duhamel, c

1n

nx este divergent.

Exerciiul 1.2.8. S se aproximeze sumele seriilor urmtoare cu o eroare mai mic dect 10-2:

a) 1n

nn

1, b)

1n

n

n

n

1)1( , c)

1n2)!n(

1

Soluii. a) Dac notm xn = nn

1, nN* atunci

n

1xn n

2

1, pentru orice n 2. Atunci rezult c,

pentru orice n 2 are loc |s - sn|

2

11

2

11n

unde s este suma seriei, iar sn este suma parial de ordinul n.

Deci |s - sn| n2

1 pentru orice n 2. Pentru ca sn s aproximeze s cu o eroare mai mic dect 10

-2

este suficient s determinm cel mai mic rang n care satisface inegalitatea 2n 10

1

2

1 .

Se obine n = 7 deci s s7 = 1.291285935 cu dou zecimale exacte.

b) Deoarece 2n 10

1

n

1 pentru orice n 4 rezult c

0 < s s3 < 44

1 <

210

1, 0 < s4 s < 55

1 <

210

1. Deci s3 = -7870370370 aproximeaz pe s prin lips, iar

s4 = -7831307870 prin adaos, ambele cu o eroare mai mic dect 10-2.

c) Dac notm xn = 2)!n(

1, nN* atunci

4

1

)1n(

1

x

x2

n

1n

pentru orice n 1 de unde rezult

evaluarea:

0 < s sn 2)!n(

1

4

11

4

1

, adic 0 < s sn 2)!n(

1

3

1,pentru orice n 1.

Cum 2)!n(

1

3

1 < 10-2 pentru orice n 3 rezult c s s3 = 1,277777778.

20

1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE

1.3. Exerciii propuse

Exerciiul 1.3.1. Demonstrai c urmtoarele iruri sunt fundamentale:

a) xn = 4n5

3n

, nN b) xn = 1 + 33 n

1...

2

1 , nN*

c) xn =

n

1k2k

)3k2cos(, nN* d)xn =

n

1k3k

)kx(arctg, nN*

e) xn =

n

1k

2

ksin , nN* f) xn =

n

1k

k

)2k(!k

2, nN*

Exerciiul 1.3.2. Fie (xn)nN un ir de numere reale cu proprietatea c exist cR, 0 < c < 1 astfel nct |xn+1 - xn| c|xn xn-1| pentru orice nN. S se arate c irul (xn)nN este fundamental. Exerciiul 1.3.3. Stabilii dac urmtoarele iruri sunt convergente:

a) xn = 1n2

3n

, nN b) xn =

1n3

2n2

3

, nN

c) xn = 2n

2ncos

, nN d) xn = (1 + cos n)

1n

n

, nN

e) xn =

n

1k3k

1, nN* f) xn =

n

1k2k

)!kcos(,nN*

g) xn = )n2...(642

)1n2...(531

, nN*

R. a) convergent, b) divergent, c) divergent, d) divergent, e) convergent, f) convergent, g) convergent.

Exerciiul 1.3.4. Determinai limitele extreme ale irurilor:

a) xn =

2nsinn

n

1 n)1(, nN*.

b) xn = (1 + (-1)n)n, nN

c) xn = 2

)1(1

n

)1( nn

, nN*.

R. a) -1, 1; b) 0, ; c) 0, 1.

Exerciiul 1.3.5. Determinai limitele irurilor:

a) xn =

n

1k

k

n k

2

2

1n, nN b)xn =

n

1k k

1

nln

1, nN*, n 2

c) xn = n )n2)...(2n)(1n(

n

1 , nN*, n 2

R. a) 1, b) 1, c) e

4.

Exerciiul 1.3.6. S se studieze natura seriilor urmtoare i s se calculeze suma n caz de convergen:

a)

1n )2n)(1n(n

1n2 b)

1n

0,)1n)(n(

1

21

c)

1n

n1||,

n d)

0n n1n

1

e)

2n

1nn aa f)

2n )1nln(nln

)n/)1nln((

g) 1n

2 1nn

1arctg h)

1n2

2

)1n(

1nn

Indicaie: 1n

1arctg

n

1arctg

1n

1

n

11

1n

1

n

1

arctg1nn

1arctg

2

R. a) convergent, s = 4

5, b) convergent, s =

1

1

,

c) convergent, s = 2)1(

, d) divergent,

n

nslim ,

e) convergent, s = a - 1, f) convergent, s = 2ln

1,

g) convergent. s = 4

, h) divergent.

Exerciiul 1.3.7. Folosind criteriul rdcinii s se studieze convergena urmtoarelor serii:

a)

1n

n

n

1arctg b)

1n

n 0a,an c)

1n

n

n

11tg

d)

1n

n

n

1

4sin e)

1n2

1n 1n3

n

R. a) convergent, b) convergent dac a < 1, divergent dac a 1,

c) divergent, d) convergent, e) convergent.

Exerciiul 1.3.8. Folosind criteriul raportului, s se studieze convergena urmtoarelor serii:

a) 1n

n

!n

a b)

1n

2

)!n2(

)!n( c)

1nn

2

1n2

d) 1n

n

3

e

n e)

1nn 12

!n f)

1n )1n3(...852

)1n2(...531

R. a) convergent, b) convergent, c) convergent, d) convergent,

e) divergent, f) convergent.

Exerciiul 1.3.9. S se studieze convergena urmtoarelor serii alternate. n caz de convergen, s se precizeze dac seriile sunt semiconvergente.

a)

1n

1n

1n2

)1( b)

1n

1n

n

)1(

c)

1n2

1n

n

)1( d)

1n

1n

)1n(n

1n2)1(

22

e)

2nn

n

n

)1( f)

n

1n

n

1n3

1n2)1(

R. a) semiconvergent, b) semiconvergent, c) absolut convergent,

d) semiconvergent, e) divergent, f) absolut convergent

Exerciiul 1.3.10. Demonstrai c urmtoarele serii sunt absolut convergente:

a) 1n

2n

)nasin(, aR;b)

1n2n

)nacos(, aR;c)

1nn2

)nasin(, aR

Exerciiul 1.3.11. S se aproximeze sumele seriilor urmtoare cu o eroare mai mic dect 10-2:

a) 1n

n !n10

1; b)

1nn)3(

1n2; c)

0nn

n

2

)1(; d)

1n

1n

!n

1)1( .

R. a) s s2 = 0,1050000000; b) s s7 = 6,676399794;

c) s s6 = 0,6718750000; d) s s5 = 0,6333333333

Exerciiul 1.3.12. S se determine suma seriei de termen general xn dac:

a) xn = 22 )1n(n

1n2

, nN* b) xn = n

nn

6

23 , nN

c) xn = ln

)3n(n

21 , nN*

d) xn = n1n22n , nN, R+

e) xn = ln cos

2,0,

2n

R. a) 1; b) 7/2; c) ln 3; d) 1 ; e) ln

2

2sin.

Exerciiul 1.3.13. S se stabileasc natura seriilor urmtoare:

a)

1npn

)ncos(, p > 0, (0, ) b)

1n

n

1n

3

1n2)1(

c)

1nn

n

n

!n2 d)

1nn

2

2sinn

e) 2n

n 3nn

1 f)

1n n

1cos

n

11lnn

R. a) convergent, b) convergent, c) convergent, d) convergent, e) divergent, f) convergent.

23

Exerciiul 1.3.14. S se stabileasc natura seriei

1nn

n

2tga , a > 0,

(0, ). R. Seria este convergent pentru a(0, 2) i divergent pentru a 2.

Exerciiul 1.3.15. S se stabileasc dac se poate aplica criteriul lui Leibniz pentru seriile:

a)

1n

1n

n

ncos1)1(

b)

1n )n tg(arctg

ncos

c)

1n

2

1n

1nnsin

R. a) Nu, b) Da, c) Da.

24

2 SERII DE PUTERI REALE. DEZVOLTARI IN SERIE TAYLOR

2.1. Noiuni teoretice i rezultate fundamentale

2.1.1. Serii de puteri reale.

Definiia 2.1.1.1. Fie (an)nN un ir de numere reale. Se numete serie de puteri reale cu coeficienii an,

nN, seria de funcii 0n

nf , unde

fn(x) = anxn, nN, xR.

Principalele rezultate privind mulimea de convergen a unei asemenea serii, precum i proprietile sumei, (datorate matematicienilor Abel, Cauchy, Hadamard) sunt concentrate n teorema

urmtoare.

Teorema 2.1.1.1. Fie 0n

n

n xa , xR o serie de puteri reale, cu coeficienii dai an, nN i r 0 definit

prin:

r =

0|a|lim daca,

alim0 daca,|a|lim

1

|a|lim daca, 0

nn

nn

nn

nn

Atunci:

a) dac r = 0, singurul punct de convergen al seriei este x = 0; b) dac r > 0, seria este absolut convergent pe intervalul (-r, r) i este divergent pentru |x| > r; c) dac x = r este punct de convergen al seriei, atunci suma sa este continu n acest punct; analog

pentru x = -r ;

d) dac r > 0, suma seriei admite derivate de orice ordin n intervalul (-r, r) i aceste derivate se pot calcula prin derivare termen cu termen;

e) dac r > 0, seria poate fi integrat termen cu termen pe orice interval [a, b] (-r, r).

Observaia 2.1.1.1. a) Numrul r se numete raz de convergen a seriei de puteri. Formula de calcul

pentru r se numete formula Cauchy-Hadamard.

b) Se poate demonstra c, dac n

limn

1n

a

a exist, atunci exist i

nlim n n |a| i cele dou limite sunt

egale. Prin urmare, dac exist n

limn

1n

a

a , atunci

r

1 =

nlim

n

1n

a

a (cu convenia

0

1 = i

1 = 0).

2.1.2. Serii Taylor. Dezvoltri n serie.

Definiia 2.1.2.1. Fie (an)nN un ir de numere reale i nN, fixat. Se numete serie Taylor, cu coeficienii

an, nN, centrat n x0, seria de funcii 0n

nf , unde fn(x) = an(x x0)n , nN, xR.

Este evident c orice serie de puteri este o serie Taylor centrat n punctul

x0 = 0. De asemenea, dac x0 R, x0 0, printr-o translaie xx0= y, o serie Taylor centrat n x0 se transform ntr-o serie de puteri, centrat n origine. Din acest motiv, teorema 2.1.3.1. de la serii de puteri poate fi extins uor la serii Taylor. Se obine astfel:

Teorema 2.1.2.1. Fie 0n

nf o serie Taylor cu coeficienii an, nN, centrat n x0 i r 0 definit prin:

25

r =

0|a|lim daca,

alim0 daca,|a|lim

1

|a|lim daca, 0

nn

nn

nn

nn

Atunci:

a) dac r = 0, singurul punct de convergen al seriei este x = x0; b) dac r > 0, seria este absolut convergent pe intervalul (x0 r, x0 + r) i divergent

pentru |x x0| > r;

c) dac r > 0, seria este uniform convergent pe orice interval [a, b] (x0 r, x0 + r); d) dac x = x0 + r este punct de convergen al seriei, atunci suma sa este continu n acest punct;

analog, pentru x = x0 r;

e) dac r > 0, suma seriei admite derivate de orice ordin n intervalul (x0 r, x0 + r) i aceste derivate se pot calcula prin derivare termen cu termen;

f) dac r > 0, seria poate fi integrat termen cu termen pe orice interval [a, b] (x0 r, x0 + r); Rmne valabil observaia referitoare la determinarea razei de convergen r.

n teorema precedent, fiind dai coeficienii an, nN i punctul fixat x0R, se deduc proprieti ale sumei seriei. Problema poate fi pus ns i invers: fiind dat suma seriei i punctul fixat x0R, s se determine coeficienii an, nN. Apare, astfel, problema gsirii unei serii Taylor a crei sum s fie o funcie dat, funcie care se va numi dezvoltabil n serie Taylor.

Definiia 2.1.2.2. Fie I un interval deschis al axei reale, f :I R, x0 I. Funcia f se numete dezvoltabil n serie Taylor n jurul punctului x0, dac exist irul de numere reale (an)nN i > 0 astfel nct:

(x0 , x0 + ) I, r, unde r este raza de convergen a seriei Taylor cu coeficienii an, nN, centrat n x0 ;

pentru orice x(x0 , x0 + ) avem f(x) =

0n

n

0n )xx(a .

Apar n mod natural dou probleme:

n ce condiii o funcie f este dezvoltabil n serie Taylor n jurul unui punct dat?

Cum se pot calcula coeficienii an nN,dac se cunoate funcia f? Referitor la problema a doua, innd seama de teorema 2.1.4.1., e), avem:

Teorema 2.1.2.2. Fie f :I R, x0 I fixat. Dac f este dezvoltabil n serie Taylor n jurul punctului x0,

atunci f admite derivate de orice ordin n x0 i, pentru orice nN, an = )n(

)x( 0f

!n

1.

Observaia 2.1.2.1. Din aceast teorema rezult c existena derivatelor de orice ordin ntr-o vecintate a

lui x0 este o condiie necesar pentru ca o funcie s fie dezvoltabil n serie Taylor. Ea nu este ns i

suficient.

Exemplul 2.1.4.1. Funcia f: RR , f(x) =

0x, 0

0x,e x1

are derivate de orice ordin pe R, f(0)(n) = 0, pentru

orice nN. Ea nu este ns dezvoltabil n serie Taylor n jurul punctului x0 = 0, pentru c, dac ar fi, ar rezulta

an = 0, nN i, prin urmare, f(x) = 0 pentru orice x(-, ), ceea ce este fals. Observaia 2.1.2.2. Din teorema precedent rezult c, dac f este dezvoltabil n serie Taylor n jurul

punctului x0, exist o singur serie Taylor a crei sum s fie f pe intervalul (x0 , x0 + ) i anume, seria

cu coeficienii an = )n(

)x( 0f

!n

1, nN. Aceast serie se mai numete seria Taylor asociat funciei f n jurul

punctului x0. Prin urmare, referitor la prima problem formulat anterior, este suficient s stabilim n ce

condiii o funcie indefinit derivabil (are derivate de orice ordin) este suma seriei Taylor asociate pe

intervalul (x0 , x0 + ).

26

Pentru aceasta, este deosebit de util urmtoarea:

Teorema 2.1.2.3. Fie f : I R o funcie de n+1 ori derivabil pe intervalul I, x0I fixat. Atunci, pentru orice xI, exist cel puin un punct (depinznd de x) situat ntre x0 i x, astfel nct:

f(x)= ...)xx(!2

)x(''f)xx(

!1

)x('f)x(f 20

00

00 +

n

00

)n(

)xx(!n

)x(f

1n

0

)1n(

)xx()!1n(

)(f

Aceasta este formula lui Taylor pentru o funcie real, de n+1 ori derivabil pe I cu restul R(x) =

1n

0

)1n(

)xx()!1n(

)(f

n sensul lui Lagrange. Polinomul:

Tn(x)= ...)xx(!2

)x(''f)xx(

!1

)x('f)x(f 20

00

00

n

00

)n(

)xx(!n

)x(f

se numete polinomul Taylor de gradul n asociat funciei f i punctului fixat x0.

Observaia 2.1.2.3. Coeficienii an , nN obinui n teorema 2.1.4.2. coincid cu cei din formula lui Taylor pentru funcia f i punctul x0. Deci, polinomul lui Taylor Tn(x) asociat funciei f i punctului x0 este suma

parial de ordin n a seriei Taylor asociate funciei f n jurul punctului x0 i, prin urmare, referitor la prima

problem, obinem acum:

Teorema 2.1.2.4. Fie f:IR o funcie indefinit derivabil (are derivate de orice ordin) pe o vecintate a

punctului fixat x0I. Atunci funcia f este dezvoltabil n serie Taylor n jurul punctului x0, dac i numai

dac, exist o vecintate V a punctului x0, nct, pentru orice xV avem n

lim Rn(x)=0 .

Cu ajutorul acestei teoreme se obine uor urmtorul criteriu, utilizat de obicei n practic:

Teorema 2.1.2.5. Fie f:IR o funcie indefinit derivabil pe o vecintate V a punctului fixat x0I. Presupunem c exist M > 0 astfel ca, pentru orice nN i orice xV, s avem |f(x)

(n)| M (funcia f are

derivatele egal mrginite pe V). Atunci f este dezvoltabil n serie Taylor n jurul punctului x0, adic f(x) =

n

0

0n

)n(

)x()xx(

!n

f0

, pentru orice xV.

27

2 SERII DE PUTERI REALE. DEZVOLTARI IN SERIE TAYLOR

2.2. Exerciii rezolvate.

Exerciiul 2.2.1. S se determine mulimea de convergen i suma seriilor de puteri: a)

1n

n1n

n

x)1( ;

b)

0n

1n2n

1n2

x)1(

Soluie.

a) Raza de convergen este: r =

n1n

n

1)1(lim

1

= n

lim n n = 1.

Pentru x = -1 obinem fn(-1) = (-1)2n+1

n

1=-

n

1, nN*.

Seria generat de irul numeric {fn(-1)}nN are aceeai natur cu seria armonic, deci este divergent.

Pentru x = 1, obinem fn(1) = (-1)n+1

n

1, nN*. Acest ir genereaz seria armonic alternat care, conform

criteriului lui Leibniz, este convergent. Mulimea de convergen a seriei de puteri considerate este deci (-

1, 1].

Fie S: (-1, 1] R S(x) =

1n

n1n

n

x)1( .

Pentru orice x(-1, 1), S(x) =

1n

1n)x( = x1

1

.

Din S(x) =x1

1

, x(-1, 1) i S(0) = 0 rezult S(x) = ln(1+x) pentru orice x(-1, 1). innd seama de

observaia de mai sus, rezult c

1n

1n

n

1)1( = S(1) =

1xlim

S(x) = 1x

lim

ln (1+x) = ln 2.

Deci, suma seriei armonice alternate este ln 2. Acest rezultat permite aproximarea numrului ln 2

prin numere raionale i evaluarea erorii fcute.

b) Raza de convergen este dat de : r = m

malim

1 unde

am =

12nm daca,1n2

)1(

2nm daca ,0

n .

Deci m m |a| =

12nm daca,m

1

2nm daca ,0

m

. Deoarece m

lim m m = 1, irul ( m m |a| )mN are punctele de

acumulare 0 i 1. Prin urmare m

lim m m |a| = 1, deci r = 1.

28

Pentru x = -1 se obine seria numeric

0n

1n

1n2

1)1( care este convergent (se aplic

criteriul lui Leibniz).

Pentru x = 1 se obine seria

0n

n

1n2

1)1( care este de asemenea convergent.

Prin urmare, mulimea de convergen este A = [-1, 1].

Fie acum S : [-1, 1] R S(x) =

0n

1n2n

1n2

x)1( . Aplicnd teorema de derivare termen cu

termen, deducem c, pentru orice x(-1, 1), S(x) =

0n

n2n x)1( =

0n

n2 )x( = 2x1

1

. Deci S(x) =

arctg x + C. Din S(0) = 0 rezult S(x) = arctg x pentru orice x(-1, 1). Deoarece S este continu n 1,

deducem acum c S(1) = 1x,1x

lim

S(x) = 4

, rezultat ce permite aproximarea numrului prin numere

raionale i evaluarea erorii fcute. Analog se obine S(-1) = - 4

.

Exerciiul 2.2.2. S se determine mulimea de convergen a seriei: n

0n2

2

2

n

x21

2x

1nn

1n)1(

, x2

2

1.

Soluie.

Dac se noteaz 2

2

x21

2x

= y se obine o serie de puteri cu coeficienii an = (-1)

n

1nn

1n2

,

nN. Raza de convergen a acestei serii de puteri este r = 1 deoarece 1a

alim

n

1n

n

. Mulimea de

convergen a seriei 0n

n

n ya este [-1, 1]. Mulimea de convergen a seriei date se obine acum

rezolvnd -1 2

2

x21

2x

1, de unde rezult

x(-, -1] [1, ). Exerciiul 2.2.3. S se arate c funciile f(x) = sin x, g(x) = cos x i h(x) =ex xR sunt dezvoltabile n serie de puteri pe R i s se determine seriile corespunztoare.

Soluie.

Prin inducie se arat c f(n)(x) = sin

2

nx ,

g(n)(x) = cos

2

nx i h(n)(x) =ex pentru orice xR i nN .

Deoarece |f(n)(x)| 1 i |g(n)(x)| 1 pentru orice xR i nN rezult c f i g sunt dezvoltabile n serie de puteri pe R.

Pentru orice a >0 i orice x[-a, a] i nN avem 0 < h(n)(x) ea, deci h este dezvoltabil n serie de puteri pe orice interval de forma [-a, a] deci este dezvoltabil pe R.

Pentru n = 2m avem f(n)

(0)= sin m = 0, g(n)

(0)=cos m = (-1)m, iar pentru n = 2m+1, f

(n)(0) = sin

(m + 2

) = (-1)m i g(n)(0) = 0.

Rezult dezvoltrile:

29

sin x =

...)!1m2(

x)1(...

!5

x

!3

x

!1

x 1m2m53

=

0m

1m2m

)!1m2(

x)1(

cos x = ...)!m2(

x)1(...

!4

x

!2

x1

m2m

42

=

0m

m2m

)!m2(

x)1(

pentru orice xR. Cum h(n)(0) = e0 = 1 pentru orice nN rezult dezvoltarea

ex =

0n

n2n

...x!n

1...x

!2

1x

!1

11

!n

x

pentru orice xR. Exerciiul 2.2.4. S se dezvolte n serie de puteri funcia:

f(x)=(1 + x) cu x > -1, R Soluie.

Prin inducie se demonstreaz c f(n)(x) = ( - 1) ( n +1) (1 + x)-n, deci

f(n)(0) = ( - 1) ( n +1).

Se obine dezvoltarea

(1 + x) = n

0n

x!n

)1n(...)1(

pentru |x| < 1.

Exerciiul 2.2.5. S se dezvolte n serie de puteri funcia

f(x) = ln (x + 2x1 ), xR.

Soluie.

f (x)=2x1

1

, xR. Pentru |x| < 1 avem: f(x)=(1 + x2)-1/2 =

= 1 - ...x!n2

)1n2(...531)1(...x

!12

1 n2n

n2

de unde, prin integrare, rezult f(x) = x +

1n2

1nn

n x1n2

1

!n2

!)!1n2()1(

pentru orice x(-1, 1).

Exerciiul 2.2.6. S se calculeze e

1 cu ase zecimale exacte.

Soluie.

n dezvoltarea ex =

0n

n

!n

x punnd x = -

2

1, obinem

e

1 =

0nn

n

!n2

)1(. Cum ntr-o serie alternat eroarea este inferioar primului termen neglijat, din

6n 10

1

!n2

1 , prin ncercri se obine n = 7, deci

30

e

1 1 - ...

!664

1

!532

1

!416

1

!38

1

!24

1

!12

1

Exerciiul 2.2.7. S se calculeze cu trei zecimale exacte 1

0

2dxxcos .

Soluie.

Din cos x2 =

0n

n4n

)!n2(

x)1( , xR, obinem

1

0

2dxxcos = dxx)!n2(

1)1(

1

0

n4

0n

n

= 1n4

1

)!n2(

1)1(

0n

n

Calculnd suma primilor cinci termeni prin transformarea lor n fracii zecimale, prin lips i prin

adaos acolo unde transformarea nu se face exact, cu patru zecimale, obinem

0,9035 < 1

0

2dxxcos < 0,9036, deci 1

0

2dxxcos este aproximat cu trei zecimale exacte prin 0,903.

31

2 SERII DE PUTERI REALE. DEZVOLTARI IN SERIE TAYLOR

2.3. Exerciii propuse

Exerciiul 2.3.1. S se determine mulimea de convergen a seriilor urmtoare:

a) 1n

nx!n , xR b)

1n

1n21n

)!1n2)(1n2(

x)1( , xR

c) 1n

n

)1n(n

x, xR d) n

1n

n

xn

1n2

, xR

e)

0n

n

22/n

n xtgn13

1)1( , x

2,

2

R. a) {0}, b) R, c) [-1, 1], d)

e

1,

e

1, e)

3,

3.

Exerciiul 2.3.2. S se determine mulimea de convergen i suma seriilor de puteri:

a)

1n

3n4

3n4

x, xR

b)

1n

1n1n

)1n(n

x)1( , xR

R. a) f(x) = 2

1arctg x +

4

1ln

x1

x1

, x(-1, 1); b) f(x) = (x+1)ln (x+1) x

x(-1, 1). Exerciiul 2.3.3. S se determine sumele urmtoare, folosind seriile de puteri:

a)

1n

1n

2n3

1)1( b)

1n

1n

3n4

1)1( c)

1n

1n

)1n2(n

1)1( d)

0n

n

1n6

1)1( e)

0n )3n4)(1n4(

1

Indicaie:

a) Se folosete relaia 1n

1dxx

1

0

n

i teorema de integrare termen cu termen a unei serii de puteri:

1n

1n

2n3

1)1( =

1n

1

0

3n31n dxx)1( = dxx)1(

1

0 1n

3n31n

= dx)x(

1

0 1n

1n3

=

1

0

3x1

dx =

32ln

3

1.

b) Se procedeaz ca mai sus.

c) Se observ c

1n

1n

)1n2(n

1)1( =

1n

1n

n

1

1n2

2)1( = =

1n

1n

1n2

1)1( -

1n

1n

n

1)1( , a cror sum se determin folosind teorema de derivare termen cu termen a unei serii de

puteri. Suma cerut se obine pentru x = 1.

32

d) Se folosete seria de puteri

0n

1n6n

1n6

x)1( i teorema de derivare termen cu termen.

e) Se descompune )3n4)(1n4(

1

n fracii simple.

R. a)

32ln

3

1, b)

2)21ln(

22

1, c)

2

- ln 2,

d) 6

)347ln(34

1 , e)

8

.

Exerciiul 2.3.4. S se determine mulimea de convergen i suma urmtoarelor serii de puteri:

a)

0n

nx)1n(

b)

1n

2nx)2n)(1n(n

1

c)

n

1n 2x

2x

n

1

d)

1n

1n2x1n2

2n2

R. a) S(x) = 2)x1(

1

, x(-1, 1); b) S(x)=-

2

)x1( 2ln(1 - x) -

4

x3

2

x 2

x(-1, 1) iar n -1 i 1 se prelungete prin continuitate; c) S(x) = ln 4

x2 , x(-, 0]; d) S(x) =

x1

x1ln

2

1

x1

xx22

3

, x(-1, 1).

Exerciiul 2.3.5. S se calculeze s =

0n

n23

1

)1n4(

1.

R. Se studiaz seria de puteri

0n

1n4

n2x

3)1n4(

1.

Se obine S(x)= 3

xarctg

2

3

x3

x3ln

4

3

, x 3,3 i

s = S(1) = 12

3)32ln(

4

3 .

Exerciiul 2.3.6. S se dezvolte n serie de puteri urmtoarele funcii indicnd i mulimile de convergen:

a) f(x) = ln (1 + x) b)f(x) = 2)1x(

3x2

c)f(x) =

3x4x

5x32

d) f(x) = xe-2x e) f(x) = sin 3x + x cos 3x f) f(x)= ln x1

x1

g) f(x) = ln(1 + x - 2x2) h)f(x) = sin2xcos2x i) f(x) = (1 + ex)3

j) f(x) = x

0

dtt

tsin

33

R. a)

1n

n1n

n

x)1( , x(-1, 1], b)

0n

nx)3n( , | x | < 1,

c)

0n

n

1nx

3

21 , | x | < 1, d) x +

2n

n1n1n

)!1n(

x2)1(, x R

e) 2

0n

1n2n2n

)!1n2(

x3)2n()1( , x R; f) 2

0n

1n2

1n2

x, x(-1, 1)

g) n

1n

n1n

xn

12)1(

, x

2

1,

2

1,

h)

1n

n23n41n

)!n2(

x2)1( , x R;

i) 8 + 3n

1n

1nn

x!n

321

, x R;

j)

0n

1n2n

)1n2()!1n2(

x)1( , x[0, )

Exerciiul 2.3.7. Fie f(x) = arcsin x, x[-1, 1] a) S se dezvolte aceast funcie n serie de puteri ale lui x

b) Folosind aceast dezvoltare s se calculeze suma

1n2n2

222

2)!2n2(

)1n2(...31.

Indicaie:

a) Se deriveaz funcia i se dezvolt derivata n serie de puteri. Prin integrare termen cu termen se obine, pentru x(-1, 1)

arcsin x = x +1n2

x

!)!n2(

!)!1n2( 1n2

1n

.

Deoarece 3)1n2(

1

1n2

1

!)!n2(

!)!1n2(

, dezvoltarea se prelungete la intervalul [-1, 1].

b) Deoarece xdxarcsin = x arcsin x + 2x1 + C, integrnd termen cu termen seria de la a),

punnd x = 0 se obine c = -1, deci

2n2

1n

2

x2n2

1

)1n2(!)!n2(

!)!1n2(

2

x

= x arcsin x + 2x1 - 1

Pentru x = 2

1 obinem

2n21n 2

1

2n2

1

)1n2(!)!n2(

!)!1n2(

=

= 8

9

2

3

12

. Deoarece (2n + 2)! = (2n - 1)!!(2n)!!(2n + 1)(2n + 2) rezult c suma cerut este

8

9

2

3

12

.

Exerciiul 2.3.8. S se dezvolte n serie de puteri ale lui x funcia

f(x) =

2

x

xarcsin

.

Indicaie:

34

Folosind dezvoltarea funciei arcsin x, pentru x 0, se obine dezvoltarea n serie de puteri a

funciei x

xarcsin i apoi se ridic la ptrat.

Exerciiul 2.3.9. S se calculeze cu trei zecimale exacte integralele urmtoare:

a) 2

0

dxx

xsin b)

1

0

4x1

dx

c)

4/1

0

x dxe2

d) 1

1,0

x

dxx

e

R. a) 1, 605; b) 0, 927; c) 0, 244; d) 3, 518

35

3 FUNCTII CONTINUE

3.1. Noiuni teoretice i rezultate fundamentale.

3.1.1. Spaiul euclidian Rp

Pentru pN*, p 2 fixat, se definete

Rp =

ori p de

RR R = {(x1, x2, , xp) : x1, x2, , xpR}

De exemplu, R2 = {(x, y): x, yR} R3 = {(x, y, z): x, y, zR} Mulimea Rp poate fi nzestrat cu o structur algebric de spaiu vectorial real, definind adunarea i

nmulirea cu scalari prin:

(x1, x2, , xp) + (y1, y2, , yp) = (x1 + y1, x2 + y2, , xp + yp)

(x1, x2, , xp) = (x1, x2, , xp)

pentru orice (x1, x2, , xp), (y1, y2, , yp) Rp i R.

n timp ce mulimea numerelor reale este total ordonat, ntre elementele mulimii Rp nu poate fi

definit o relaie de ordine total compatibil cu structura algebric, de aceea unele proprieti ale funciilor

reale de o variabil real (legate de monotonie, spre exemplu) nu se pot enuna n cazul funciilor reale de

mai multe variabile reale (funcii definite pe o parte A Rp cu valori n R). Structura de baz ns cu care trebuie s fie dotate mulimile pentru studiul caracteristic analizei

matematice, bazat pe noiunea de limit, este cea de spaiu topologic, n care se poate exprima faptul c

dou elemente sunt sau nu apropiate, cu ajutorul noiunii de vecintate, n cazul general, sau cu ajutorul

noiunii de metric (sau distan) n cazurile uzuale.

Definiia 3.1.1.1. Dac X este o mulime nevid astfel nct, pentru fiecare xX, s poat fi evideniat o familie V(x) de submulimi ale lui X cu proprietile:

[V1] oricare ar fi V V(x), xV; [V2] dac U, V V(x) atunci U V V(x); [V3] dac V V(x) i VA atunci A V(x); [V4] oricare ar fi V V(x) exist W V(x) nct V V(y) pentru orice yW, atunci se spune c pe X este definit o structur topologic (sau o topologie) . Mulimea X se numete n

acest caz spaiu topologic, iar familia V(x) se numete sistem de vecinti ale punctului x.

Definiia 3.1.1.2. Fie X o mulime nevid, arbitrar. Funcia d : X x X R satisfcnd proprietile: [D1] d(x, y) 0 pentru orice x, yX; d(x, y) = 0 dac i numai dac x = y [D2] d(x, y) = d(y, x) pentru orice x, yX [D3] d(x, z) d(x, y) + d(y, z) pentru orice x, y, zX se numete metric (distan) pe X, iar perechea (X, d) se numete spaiu metric.

Dac (X, d) este un spaiu metric, xX, rR, r>0, atunci mulimea: S(x, r) = {yX: d(y, x) < r}

se numete sfer deschis cu centrul n x i raza r.

Teorema 3.1.1.1. Dac (X, d) este un spaiu metric, pentru fiecare xX, familia V(x) = {VX: r>0, S(x, r)V} formeaz un sistem de vecinti ale punctului x; deci orice spaiu metric este n mod natural un spaiu topologic. n plus, pentru orice xX, V(x) are dou proprieti remarcabile:

1) Dac x, yX, x y atunci exist U V(x), V V(y) astfel nct U V = (proprietatea de separare)

2) Exist (Vn)nN* V(x) astfel nct:

- oricare ar fi V V(x) exist n0N* nct

0nV V

- dac n, mN*, n m atunci Vn Vm (aceast proprietate este cunoscut sun numele de prima axiom a numrabilitii)

Aceste proprieti permit rezolvarea unor probleme mari (unicitatea limitei, caracterizarea limitei i

continuitii unei funcii cu ajutorul irurilor, etc) la nivelul spaiilor metrice, la fel ca n cazul axei reale.

36

Observaia 3.1.1.1. Structura de spaiu metric pe X nu presupune existena unei structuri algebrice pe X.

Revenind la Rp care este nzestrat cu o structur algebric pe spaiu vectorial real, putem defini n

mod natural o structur de spaiu metric (deci o structur topologic) utiliznd dou noiuni particulare

importante, produsul scalar i norma, care se definesc numai n spaii vectoriale.

Definiia 3.1.1.3. Produsul scalar euclidian ntre elementele lui Rp este definit prin:

= x1y1 + x2y2 + + xpyp

pentru orice x = (x1, x2, , xp) , y = (y1, y2, , yp) Rp.

Norma euclidian pe Rp este generat de produsul euclidian:

||x|| = x,x = 2

p

2

2

2

1 x...xx

pentru orice x = (x1, x2, ,xp) Rp.

Distana euclidian este generat de norma euclidian:

d(x, y) = ||x - y|| = 2

pp

2

22

2

11 )yx(...)yx()yx(

pentru orice x = (x1, x2, , xp), y = (y1, y2, , yp) Rp.

Se demonstreaz uor c d satisface proprietile [D1], [D2], [D3] din definiia 3.1.1.2., deci (Rp, d) este

spaiu metric i, prin urmare, spaiu topologic; sistemul de vecinti ale fiecrui punct din Rp se definete

ca n teorema 3.1.1.1.

Observaia 3.1.1.2. a) Pentru p = 1 avem ||x|| = |x|, distana euclidian este d(x, y) = | x y |, iar pentru >

0 i x0 R, S(x0, r) = {xR, | x x0 | 0 i (x0, y0) R2 fixat,

S((x0, y0), ) = {(x, y) R2, (x x0)

2 + (y y0)2 0 i (x0, y0, z0) R3 fixat,

S((x0, y0, z0), ) = {(x, y, z) R3, (x x0)

2 + (y y0)2 + (z z0)

2 0 exist n0 N nct, oricare ar fi n n0, d(xn, x) < . Elementul x se numete punct limit pentru irul f. n caz contrar, irul f se numete divergent. irul f se numete ir

fundamental (sau ir Cauchy) dac pentru orice > 0 exist n0 N nct, dac n, m N nn0, mn0 atunci d(xn, xm) < sau, echivalent, d(xn, xn+p) < pentru orice n n0 i orice pN. Teorema urmtoare stabilete faptul c studiul irurilor din Rp, p>1 se reduce la studiul irurilor

din R i c Rp nzestrat cu distana euclidian este un spaiu metric complet.

Teorema 3.1.2.1. Fie f : N Rp, f(n) = xn = (xn1, xn

2, , xnp) un ir de elemente din Rp. Pentru fiecare k

= 1, 2, , p fie fk: N R, fk(n) = xnk.

37

a) irul f este convergent i are limita x = (x1, x2, , xp) Rp dac i numai dac irurile componente f1,

f2, fp sunt convergente i xk =

nlim xn

k, k = 1,2,,p

b) irul f este ir fundamental dac i numai dac toate irurile componente sunt iruri fundamentale.

c) irul f este convergent dac i numai dac el este ir fundamental, deci Rp n raport cu distana euclidian

este spaiu metric complet.

Observaia 3.1.2.1. a) Din aceast teorem deducem c limita unui ir convergent din Rp se calculeaz pe

componente.

De exemplu, irul f : N* R2, f(n) =

2n

1n,

n

12

converge ctre (0, 1).

b) n Rp, p 2 nu se pot defini convenabil iruri monotone, ca n cazul irurilor de numere reale, deoarece

n Rp, p 2 nu se poate introduce o relaie de ordine total compatibil cu structura algebric.

3.1.3. Limita unei funcii de mai multe variabile Este cunoscut, din liceu, noiunea de limit a unei funcii reale de o variabil real ntr-un punct

de acumulare al domeniului su de definiie. Prezentm acum aceast noiune pentru funcii definite pe o

parte A Rp cu valori n R. Este necesar s precizm, mai nti, noiunea de punct de acumulare al unei mulimi A Rp. Acest lucru este posibil la fel ca n A R deoarece cunoatem sistemul de vecinti ale fiecrui punct din Rp. Definiia 3.1.3.1. Considerm Rp nzestrat cu metrica euclidian.

Fie A Rp, x Rp arbitrare. Elementul x se numete punct de acumulare pentru mulimea A, dac oricare ar fi UV(x) avem (U\{x}) A . Mulimea tuturor punctelor de acumulare ale mulimii A se noteaz A .

Definiia 3.1.3.2. Fie A Rp, f : A R o funcie arbitrar, l R, aA. Elementul l se numete limita funciei f n punctul a dac pentru orice vecintate VV(l) exist o vecintate UV(a) astfel nct oricare

ar fi x(U\{a}) A avem f(x) V. Se noteaz l = ax

lim

f(x).

Observaia 3.1.3.1. a) Deoarece aA, (U\{a}) A oricare ar fi UV(a). Deoarece exist elemente ale mulimii A orict de aproape de a, iar funcia f ia n acestea valori orict de aproape de l. De aceea,

spunem c l este limita funciei f cnd x tinde la a, se apropie orict de mult de a. Este evident c nu are sens s ne punem problema limitei unei funcii ntr-un punct care nu este punct de acumulare pentru

domeniul su de definiie.

b) Definiia punctului de acumulare al unei mulimi, precum i definiia limitei unei funcii ntr-un punct

pot fi extinse, cu aceeai formulare, la cazul spaiilor topologice oarecare deoarece utilizeaz doar noiunea

de vecintate. Considerarea spaiilor metrice concrete (care sunt spaii topologice particulare) prezint

unele avantaje cum ar fi unicitatea limitei, caracterizarea ei cu iruri, care nu se regsesc n cazul general.

Teorema 3.1.3.1. Fie f : ARpR o funcie arbitrar, aA. Dac funcia f are limit n punctul a, atunci aceasta este unic.

Teorema 3.1.3.2. Fie f : ARpR, aA, lR. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) l = ax

lim

f(x);

b) pentru orice > 0 exist > 0 astfel nct, pentru orice xA cu 0 < d(x, a) < s avem |f(x) - l| < ;

c) oricare ar fi irul (xn)nN de elemente din mulimea A\{a} cu n

lim xn = a avem n

lim f(xn) = l.

Observaia 3.1.3.2. a) Dac f, g :ARpR , aA, lR dac exist UV(a) astfel nct pentru orice

x(U\{a}) A avem |f(x) - l| g(x) i dac ax

lim

g(x) = 0 atunci, evident ax

lim

f(x) = l.

b) Dac x = (x1, x2, , xp), a = (a1, a2, , ap) atunci

d(x, a)=

p

1k

2kk )ax(

38

innd cont de dubla inegalitate evident:

|xi - ai|

p

1k

2kk )ax(

p

1k

kk |ax| , i =1, 2,, p

rezult imediat c l = ax

lim

f(x) dac i numai dac pentru orice > 0 exist

> 0 nct pentru orice x = (x1, x2, , xp) A cu 0 < |xi - ai| < , i=1, 2, , p s avem |f(x) - l| < .

c) Dac exist dou iruri (an)nN i (bn)nN de elemente din A\{a} cu n

lim an = n

lim bn = a astfel nct

nlim f(an)

nlim f(bn) atunci, evident, funcia f nu are limit n punctul a.

Pentru o funcie real de p variabile reale putem defini o noiune particular de limit, i anume,

limita dup o direcie.

Definiia 3.1.3.3. Dac f : ARpR , aA, atunci pentru orice vector v 0 din Rp, se numete limita funciei f n punctul a dup direcia lui v (atunci cnd exist) numrul

0tlim

f(a + tv)

Observaia 3.1.3.3. a) Evident, punctele x = a + tv au proprietatea c vectorul x a este coliniar cu v ceea

ce justific terminologia.

b) Dac exist l = ax

lim

f(x) atunci exist i limita funciei f n punctul a, dup direcia lui v i este egal cu l.

Reciproca acestei afirmaii este fals. Funcia f(x, y) = x2y

x2y2

2

, y2 + 2x 0 are limita -1 n (0, 0) pe orice

direcie dar )0,0()y,x(

lim

f(x, y) nu exist, aa cum se constat considernd iruri *Nn

2 n

1,

n

cu

parametru real.

3.1.4. Funcii reale de mai multe variabile continue ntr-un punct.

Definiia 3.1.4.1. Fie f : ARpR , aA A. Funcia f se numete continu n punctul a dac exist

axlim

f(x) i ax

lim

f(x) = f(a). Dac funcia f nu este continu n punctul a, spunem c f este discontinu n

acest punct.

Folosind definiia 3.1.3.2. a limitei unei funcii ntr-un punct, precum i teorema 3.1.3.2. pentru l =

f(a) rezult imediat:

Teorema 3.1.4.1. Fie f : ARpR , aA A. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: a) f este continu n punctul a; b) pentru orice vecintate VV (f(a)) exist o vecintate UV (a) astfel nct oricare ar fi xU

A avem f(x) V ; c) pentru orice > 0 exist > 0 astfel nct pentru orice xA cu d(x, a) < avem |f(x) f(a)| <

d) pentru orice ir (xn)nN de elemente din mulimea A cu n

lim xn = a avem n

lim f(xn) = f(a)

innd seama de observaia 3.1.3.2. obinem:

Observaia 3.1.4.1. a) Dac f, g:ARpR , a A A dac exist UV (a) astfel nct pentru orice

xU A avem |f(x) f(a)| g(x) i dac ax

lim

g(x)= 0 atunci, evident, f este continu n punctul a.

b) Dac f :A RpR , a = (a1, a2, , ap) A A, f este continu n punctul a dac i numai dac pentru orice > 0 exist > 0 nct pentru orice x = (x1, x2, , xp) A cu |xi - ai| < , i = 1,2, , p avem |f(x) f(a)| < .

c) Dac exist un ir (an)nN de elemente din A cu n

lim an = a astfel nct n

lim f(an) f(a) atunci, evident,

funcia f nu este continu n punctul a .

Folosind noiunea de limit dup o direcie introdus n definiia 3.1.3.3. obinem:

39

Definiia 3.1.4.2. Funcia f:ARpR este continu n punctul aA A dup direcia vectorului v 0

dac 0t

lim

f(a + tv) = f(a).

n particular, dac vectorul v are toate componentele nule, cu excepia componentei a i-a i funcia

f este continu dup direcia lui v n punctul a, spunem c f este continu parial n raport cu variabila xi n

punctul a. Evident, i poate lua oricare dintre valorile 1, 2, , p. Avnd n vedere observaia 3.1.3.3. b)

rezult c dac f este continu n punctul a atunci ea este continu dup orice direcie n acest punct; n

particular, ea este continu parial n raport cu fiecare variabil x1, x2, , xp separat n punctul a, reciproca

nefiind, n general, adevrat.

3.1.5. Funcii vectoriale de variabil vectorial continue ntr-un punct.

Fie A Rp i f : ARm, p 2, m 2. O asemenea funcie se numete funcie vectorial de variabil vectorial sau funcie vectorial de p variabile reale, deoarece pentru orice xA, x = (x1, x2, , xp) cu xiR, i = 1, 2, , p, f(x) = f(x1, x2, , xp) = y = (y1, y2, , ym) Rm. Funciile fk :AR , fk(x) = y

k, k=1, 2, , m sunt, evident, funcii reale de p variabile reale i se

numesc componentele funciei f .

Considernd pe Rp i Rm metrica euclidian, dac a A i l = (l1, l2, , lm) Rm, prin analogie cu definiia 3.1.3.2. putem enuna: Definiia 3.1.5.1. Elementul l se numete limita funciei f n punctul a dac pentru orice VV (l) exist UV (a) astfel nct oricare ar fi x(U|{a}) A avem f(x) V. Se poate demonstra: Teorema 3.1.5.1. Elementul l este limita funciei f n punctul a dac i numai dac oricare ar fi irul de

elemente din A|{a} cu n

lim xn = a avem n

lim f(xn) = l .

innd seama de teorema 3.1.2.1. referitoare la limita unui ir convergent din Rm, deducem

imediat:

Teorema 3.1.5.2. Funcia vectorial f : A Rp Rm are limit n punctul aA dac i numai dac toate componentele sale au limit n acest punct. Trecerea la limit se face pe componente, adic

axlim

f(x) =(ax

lim

f1(x), ax

lim

f2(x), , ax

lim

fm(x)).

Studiul funciei f se reduce la studiul celor m componente ale sale care sunt funcii reale de p

variabile reale.

Prin analogie cu definiia 3.1.4.1. putem enuna:

Definiia 3.1.5.2. Fie f : A Rp Rm p 2, m 2, aA A. Funcia f se numete continu n punctul

a dac exist ax

lim

f(x) i ax

lim

f(x) = f(a).

innd seama de teorema 3.1.6.2. rezult imediat:

Teorema 3.1.5.3. Funcia vectorial f : A Rp Rm este continu n punctul aA A dac i numai dac toate componentele sale sunt continue n acest punct.

40

3 FUNCTII CONTINUE

3.2. Exerciii rezolvate

Exerciiul 3.2.1. Studiai convergena urmtoarelor iruri din R3.

a) xn =

n

1,

1n

n,

1n2

n2

2

b) xn =

n

1cos,3,

n

11 n

c) xn =

n

1n,)1(,

n2

1 1n

Soluii.

a) Deoarece n

lim2

1

1n2

n

,

nlim

1n

n2

2

= 1 i

nlim

n

1 = 0 deducem c irul (xn)nN este convergent

i limita sa este n

lim xn =

0,1,

2

1.

b) Analog se obine

nlim

n

1cos,3,

n

11 n =

n

1coslim),3(lim,

n

11lim

n

n

nn

=(1, 0, 1)

c) Deoarece a doua component a irului (xn)nN este un ir divergent rezult c (xn)nN este divergent.

Exerciiul 3.2.2. S se calculeze:

a) )0,0()y,x(

lim 22

22

yx

)yx(tg

b) )0,0()y,x(

lim 22

22

yx

yxcos1

Soluii.

a) Deoarece 22

22

yx

)yx(tg

=

22

22

yx

)yx(tg

22 yx i )0,0()y,x(

lim 22

22

yx

)yx(tg

=

t

ttglim

0t = 1,

)0,0()y,x(lim

22 yx = 0 rezult c )0,0()y,x(

lim 22

22

yx

)yx(tg

= 1 0 = 0.

b)22

22

yx

yxcos1

=

4

1

2

yx

2

yxsin

2yx

2

yxsin2

2

22

22

22

22

2

,

(x, y) (0, 0).

41

Deoarece )0,0()y,x(

lim 2

yx 22 = 0 i

t

tsinlim

0t = 1 deducem c

)0,0()y,x(lim 22

22

yx

yxcos1

=

2

1.

42

Exerciiul 3.2.3. S se demonstreze c urmtoarele funcii nu au limit n (0, 0).

a) f(x,y) = yx

yx

, x + y 0

b) f(x, y) =

2x

2

x

1

ye

ye

2

2

, x 0

Soluie.

a) Considerm irul ((xn, yn))nN* de puncte din R2, xn =

n

1, yn =

n

unde -1 este un parametru real.

Atunci n

lim (xn, yn) = (0, 0), f(xn, yn) =

1

1, pentru orice nN*, deci

nlim f(xn, yn) =

1

1 depinde de

parametrul . Prin urmare, funcia f nu are limit n (0, 0).

b) Considerm irul ((xn, yn))nN* de puncte din R2, astfel nct

nlim xn= 0, yn =

2nx

1

e

, nN unde este

un parametru real.

Atunci, evident n

lim yn = 0, deci n

lim (xn, yn) = (0, 0).

Pentru fiecare nN, avem

f(xn, yn) =

2n

2n

2n

x

2

2x

2

x

2

ee

e

=

21

deci n

lim f(xn, yn) = 21

depinde de parametrul . Rezult c funcia f nu are limit n (0, 0).

Exerciiul 3.2.4. S se demonstreze c urmtoarele funcii sunt continue n (0, 0).

a) f(x, y) = 22 yx

b) f(x, y) =

(0,0) y)(x, ,0

)0,0()y,x(,yx

1sin)yx(

22

22

c) f(x, y) =

R

R

x,0y ,0

x,0y,y

x1lny

2

22

Soluie.

a) Prin nlocuire direct obinem: )0,0()y,x(

lim

f(x, y) = 0 = f(0, 0) deci f este continu n (0, 0).

b) Pentru orice (x, y) (0, 0) avem:

|f(x, y) f(0, 0)| = (x2 + y2)22 yx

1sin

x2 + y2

43

i, evident, )0,0()y,x(

lim

(x2 + y2) = 0. innd seama de observaia 3.1.4.1. a) rezult c funcia f este continu

n (0, 0).

c) Pentru orice (x, y) R2 cu y 0, avem:

|f(x, y) f(0, 0)| = y2ln

2

2

y

x1 y2

2

2

y

x1 = x2 + y2

de unde, ca mai sus, deducem c f este continu n (0, 0).

44

Exerciiul 3.2.5. S se demonstreze c urmtoarele funcii nu sunt continue n (0, 0):

a) f(x, y) =

0y x,0

0yx,yx

yx

b) f(x, y) =

(0,0)y)(x, ,1

)0,0()y,x(,yx

yx22

23

.

Soluie.

a) Funcia f nu are limit n (0, 0) deci nu este continu n (0, 0).

b) Considerm irul *Nn

n

1,

n

1

convergent ctre (0, 0). Pentru fiecare nN*, avem f

n

1,

n

1 =

3

2

5 n2

1

2

n

n

1 .

Deci n

lim f

n

1,

n

1= 0 f(0, 0). innd seama de observaia 3.1.4.1. c) deducem c f nu este continu n

(0, 0). (Se poate arta c aceast funcie are limit n (0, 0) dar aceasta nu este 1).

Exerciiul 3.2.6. S se studieze continuitatea funciilor:

a) f :R2 R, f(x, y) =

(0,0)y)(x, ,a

)0,0()y,x(,yx

)yxsin(22

33

b) f :R3 R, f(x, y, z) =

(0,0,0)z)y,(x, ,a

)0,0,0()z,y,x(,zyx

zyx11222

222

Soluii.

a) Deoarece )0,0()y,x(

lim 22

33

yx

)yxsin(

= 0 rezult c f este continu n (0, 0) dac i numai dac a = 0.

Cum f este continu pe R2\{(0, 0)} pentru orice aR, fiind compunere de funcii continue rezult c dac a = 0 funcia f este continu pe R2 iar dac a 0, ea este continu pe R2\{(0, 0)}.

b) Pentru orice (x, y, z) (0, 0, 0) avem:

222

222

zyx

zyx11

=

)zyx)(zyx11(

zyx

222222

222

=

= - 222 zyx11

1

deci )0,0,0()z,y,x(

lim

f(x, y, z) = - 2

1

45

Cum pe R3\{(0, 0, 0)} funcia este evident continu, deducem c pentru a = -2

1 funcia este

continu pe R3 iar pentru a -

2

1 ea este continu pe R

3\{(0, 0, 0)}.

Exerciiul 3.2.7. Fie f :R2 R, f(x, y) =

(0,0)y)(x, ,0

)0,0()y,x(,|y|x

yx36

3

. S se demonstreze c funcia f este

continu dup orice direcie n origine, dar f nu este continu n origine.

Soluie.

Fie (d) o dreapt ce trece prin origine, de ecuaie y = mx, mR, m 0. Restricia funciei f la dreapta (d) este funcia g:R R,

g(x) = f(x, mx) =

0x ,0

0x,|m||x|

|x|m33

.

Cum 0x

lim

g(x) = 0 = g(0 ) rezult c g este continu.

Dac m = 0 dreapta (d) reprezint axa Ox. n acest caz g(x) = f(x, 0) = 0 pentru orice xR, deci g este evident continu n acest caz. n sfrit, dac (d) este axa Oy restricia va fi h(y) = f(0, y) = 0 pentru orice

yR, deci este continu. Prin urmare, restricia lui f la orice dreapt ce trece prin origine este continu n origine.

Considerm acum irul de puncte din R2, *Nn

2n

1,

n

1

care converge la (0, 0) i observm c

nlim f

2n

1,

n

1 =

nlim

2

n 2 = , deci f nu este continu n (0, 0).

Exerciiul 3.2.8. S se arate c funcia f(x) = xax 1, a > 1 se anuleaz ntr-un punct (0, 1). Soluie.

Funcia f este continu pe R ca funcie elementar, deci are proprietatea lui Darboux pe R. Cum

f(1) = a 1 > 0 i f(0) = -1 < 0, rezult c exist (0, 1) astfel nct f() = 0. Exerciiul 3.2.9. Stabilii dac urmtoarele funcii au limit n x = 0.

a) f : (-1, 1)\{0}R3, f(x)=

1x1x

xcos1,

x2

1e,

x

x1x1 x3

b) f : R\{0}R3, f(x)=

x

1sin,

x

xsin,e

2x

1

Soluii. a) Fie f1(x) = x

x1x1 , x(-1, 1) \{0}. n x = 0 suntem n cazul de nedeterminare

0

0.

46

Deoarece x

x1x1 =

)x1x1(x

)x1()x1(

=

x1x1

2

pentru orice x (-1, 1)\{0}

deducem c )x(flim 10x

= 1. Notnd f2(x) = x2

1e x3 , x R\{0}, i ncercnd s calculm )x(flim 2

0x

constatm c suntem din nou n cazul 0

0.

Vom utiliza urmtoarea egalitate important: t

1elim

t

0t

= 1.

Deoarece f2(x) = 2

3

x3

1e x3

pentru orice x 0 deducem imediat c )x(flim 2

0x =

2

3.

Fie acum f3(x) = )1x1(x

xcos1

, x(-1, )\{0}. n x = 0 suntem, din nou, n cazul

0

0. Deoarece

pentru orice x(-1, )\{0} avem

f3(x)=

2

22

x

1x12

xsin2

)1x1(x

2

xsin2

= 1x1

2

x2

xsin

2

1

2

deducem c )x(flim 30x

= 2

112 = 1.

Deoarece f(x) = (f1(x), f2(x), f3(x)) pentru orice x(-1, )\{0} i toate componentele f1, f2, f3 au llimit n x = 0, deducem c f are limit n

x = 0 i )x(flim0x

= ( )x(flim 10x

, )x(flim 20x

, )x(flim 30x

) =

1,

2

3,1 .

b) Analog, f(x) = (f1(x), f2(x), f3(x)) unde f1(x) = 2x

1

e

, f2(x) = x

xsin,

f3(x) = sin x

1 pentru orice x R\{0}. Evident )x(flim 1

0x = 0, )x(flim 2

0x= 1. Componenta f3 nu are

limit n x = 0 (este suficient s considerm an = n

1 i bn =

2n2

1

, nN* i s observm c n

lim an

=n

lim bn = 0 dar n

lim f3(an) = 0 1 = n

lim f(bn)).

Deoarece una dintre componente nu are limit n x = 0, deducem c funcia f nu are limit n x =

0.

Exerciiul 3.2.10.