Date post: | 23-Feb-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | crisu-aura |
View: | 285 times |
Download: | 9 times |
of 68
7/24/2019 Carte Analiza matematica
1/68
Anqliza
matemttticd
este
o ramurd imltrtt'lrm ti
(r
ttltttemalit.ti.
L,t
avdnd
uiolicabilitate
in
multe
olte domenii.
Autti
i:tt
t't'Lt r1
t
\le
cea
rlt'.:lti,
care
v oru dis
cula
in
c o
r
t tinuare.
Luc
rarea
es te ut
t i
ndrumar
penl ru sem int
t
t t
t
l
t
/
t
r
i
i r
t
t l
i :,i
mal
emt,
t t t,, r
cqre
se adreseqzit
Studenlilor din.anul
I
',/,
ri
./ttt'trlt
7/24/2019 Carte Analiza matematica
2/68
Toate
drepturile
asupra
acestei
edifii
Editurii
VICTOR
apartin
O Ioana
SICRIERU,
2014
ISBN
97 8-97 3- 181 5-8s-s
CTIPRINS
Introducere.
CAPITOLUL
1
NOTITINI
DE BAZA
ALE MATEMATICII
1.1. Alfabetul
grecesc........,..
9
1.2. Notafli din logicamatematic6.......,,.,.. 10
1.3. Formulematematice.... 10
1.4. Mul1imi... l8
1.5. FuncJii..... 19
CAPITOLUL
2
$IRURI NUMERICE. LIMTTE
DE
$IRURT
2.1 .
$iruri
de numere reale
..........,....
21
2.2.Limite de
giruri
25
2.3.
Exercilli
rezolvate..-......
29
2.4. Exercigii
propuse........... 46
CAPITOLUL 3
SERII
NUMERICE
$I
SERII
TAYLOR
3.1. Serii numerice 49
3.2.
Serii
Tay1or.............
51
3.3. Exercilii rezolyate 53
3.4. Exercilii
propuse
65
CAPITOLUL 4
CONTINUITATE
4.
1. Defrnilii. Proprieti(i
4.2.
Exercilii rezolvate
4.3.
Exercilii
propuse
CAPITOLUL
5
DERIVABILITATE
67
68
76
5.1. Formule
qi
reguli de derrvare......
79
5.2.
Derivata
parfial[
9i
diferenliala
unei func(ii in R'
..................
81
5.3.
Extreme locale
pentru
func1ii
in
R'
..........,.......
84
5.4.
Exercilii rezolvate ... 85
5.5.
Exercilii
propuse
102
7/24/2019 Carte Analiza matematica
3/68
CAPITOLUL 6
TNTEGRABILITATE
6. I . Forrnule
qi
reguli
de integrare
6.2. tntegrale improprii
6.3. [ntegrale EuIer..............
6.4. Integrale
curbilinii........
6.5. Integrale dub|e.............-
6.6. Exercitii
r
ezolv ate
6.7. Exercilii propuse
Bibliografie
INTRODUCERE
Analiza
matematici.
se ocupe
cu
studiul
entitalilor
matematice
din
punct
de
vedere al
varialiei
lor
sau al unor
proprietAti
generale
sau specifice.
Analiza real5
se
ocupe
cu
studiul
riguros
al
derivatelor,
impreun5
cu
aplicafiile
lor,
gi
al
integralelor
funcliilor
(de
o variabild
sau de
mai
multe
variabile)
cu
valori
reale,
aceasta
incluzAnd
studiul
limitelor
(de
giruri
sau
de
funcfii)
qi
al
seriilor.
Volumul
de fafd prezintd
cititorului
capitolele
de bazd ale
analizei
matematice reale.
Este structuratd
iri
6
capitole,
fiecare
dintre
acestea
cuprinzdnd
o
scurtd parte
de
teorie,
pentru afamiliariza
cititorul
cu
noliunile
gi
formulele
necesare
rezolvdrii
problemelor;
un
numir
mare de
probleme
rezolvate
pas
cu pas, pentru
a
fi inlelese
cu ugurinfd
gi
10
probleme
propuse,
pentru
ca studentul
sd-gi
poatd
verifica
cunogtinfele
acumu]ate.
Capitolul
I, intitulat
Noliuni
de bazit
ale matematicii face
o
scurtd
trecere
in revisti
a
noliunilor
de bazd
din algebrd
$i
trigonometrie,
noliuni
care ne sunt
de folos
la
rezolyareaproblemelor
de
analizdmatematice.
Cel
de-al
Il-lea
capitol,
$irurl
Limile
de
Siruri,
cuprinde
4 subca-
pitole
in
care
sunt
prezentate recurenfele
girurilor,
girurile monotone
gi
mdrginite,
diferite
criterii
de
convergenld
a
limitei
unui
qir gi
limitele
remarcabile
ale
girurilor.
in
acest capitol
sunt
rezolvate
25
de
exercilii
care
cuprind
toate
noliunile
de
teorie
prezentate.
Serii
numerice
gi
serii Taylor
este
denumirea
capitolului
III.
Criteriile
de
convergenfl
a seriilor,
exerciliile
rezolvale
qi
cele
propuse
sunt
prezen-
tate
in
4 subcapitole.
Al
IVlea
capitol,
denumit
Continuitate
are
3
pdrfi
(teorie,
exercifii
rezolvate
gi
exercifii
propuse).
Studiul
funcliilor derivabile,
derivatele parfiale gi
diferenliala
unei
funclii
sunt
prezentate
in
5
subcapitole
care
formeazd.
capitolul
numit
Derivabilitste.
Ultimul
capitol,
Integrabilitate,
format
din
7
parli gi
avdnd
45
de
exercifii
rezolvate
este
cel
mai
amplu capitol
al
acestui indrumar.
Aduc
sincere
mulfumiri
corpului
profesoral
al
specializdrii
Informaticd.
pentru
sprijinul acordat,
rectorului
Universitdlii
Hyperion
gi
colectivului
Editurii victor,
fdrd de
care
publicarea
acestui
volum
nu
ar
fi
fost posibild,
10s
107
108
108
109
110
135
137
7/24/2019 Carte Analiza matematica
4/68
CAPITOLUL 1
NoTIUNI
DE B AZA ATE MATEMATICII
1.1.
Alfabetul
grecesc
Alfabetul
grecesc
are
24
de litere, care
sunt
foarte
des
folosite in
matematicd
gi
alte
gtiinle
exacte, ele
devenind
simboluri
penlru
anumite
elemente.
Tabelul
l:
Affabetul grecesc
LITERA MARE
LITERAMICA DENUMIRE
A
rI
Alpha
B
0
Beta
f
Y
Gamma
A
5
Delta
E
Eosilon
Z
Zeta
@
e Theta
H
rl
Eta
I
Iota
K
K
Kaooa
1 Lambda
M
p
Miu
N Niu
,
xi
o
o
Omicron
n
7l
Pi
P
P Rho
,
o
Sisma
T
T
Tau
Y
t)
Ynsilon
o
I
Phi
x
x
chi
Y
v Psi
o
cr)
Omeea
Utilizarca
literelor
grecegti
drept
simboluri se
face
dupd cum urmeazd:
in geometrie,
unghiurile
sunt notate cu
0
(theta
mic) sau
a
(alpha
rnic);
in
algebri,
discriminantul
unei
ecualii
de
gradul
al Il-lea
se
notaze
cu
A
7/24/2019 Carte Analiza matematica
5/68
(delta
mare);
)itera x
(epsilon
mic) se foloseqte
pentru
a desemna
valorile
neglijabile;
lilera
n
(pi
mic)
se folosepte
foarte
mult
in
trigonometrie,
desernneazd
raportul dintre
circumferinfa unui cerc
Ai
diametrul
seu,
are
valoarea
aproximativA
3,1415926536;
litera
a
(omega
mic),
in
frzicd,
descrie
viteza
unghiulari; litera
A
(omega
mare) este
simbolul
pentru
ohm,
unitatea
de
m[surd,
in
SI,
a rezisten]ei electrice;
litera
p
(miu
mic)
este
simbolul
prefixului,
in SI,
micro, htera
p (rho
mic),
in
matematicd,
indicd
coordonata
radiald intr-un sistem
de
coordonate
polare,
iar in fizici, este
simbolul
pentru
densitate;
litera
)
(sigma
mare)
este
,$rlizatd,
in
matematicd
pentru
a descrie o
sumd de elemente
etc.
1.2.
Notafii
din
logica
matematici
Pentru
a
simplifica
scrierea
vom
folosi notaliile
qi
simboluri
din
urmitorul
tabel.
Tabelul 2: Notalii din logica matematicd.
SIMBOL SEMNIFICATIE STMBOL SEMNIFTCATIE
Esalitate
\J
Reuniune
Eealitate
prin
definitie
a) Intersecfie
Diferit
de
C
Incluziune
Anroximativ
eeal
q_
Nonicluziune
Mai mic
sau egal
C
Complementara unei mulliml
Mai mare sau
egal
Diferen[d de
mullirni
o-
*
Compunere
de
functii
x
Produs carlezian
V
Oricare ar
fi
Implicagie
=
ExistI
7/24/2019 Carte Analiza matematica
6/68
ry
6,
rpV
rAb
g
1''j
-F--
,na
t\.
-i,0)
i
W
rp.'i
l.
(r,0)
8?'
ka
t
r$,
I
F,
@
(0,
-l)
*5\'
- -
ry
Figura 1:
Cercul trigonometric.
ELEMENTE
DE TRIGONOMETRIE
Tabelul 3:
Sensul
funcliilor
trigonometrice.
G,
Cadranul
I
Cadranul
ll
Cadranul III
Cadranul IV
sm0
+ +
cos ct +
+
tgq
+ +
ctg o
+
+
Tabelul 4:
Valorile
funcliilor
trigonometrice pentru
unghiuri importante.
d
0
fr
6
n
4
t
n
2
2x
T
3n
4
5r.
f,r
n
'1fr
6
5n
4
4r
3
3r
2
5tr
3
7T
4
I
ln
6
2n
45',
I
35"
t50'
.
I
80' 210' 225' t40"
270"
300'
15"
-l
J0"
stn
q
0
I
2
J'
2
.13
2
Ji
2
J'
2
I
2
0
l
2
J'
"6
I
6
,5
l
_,
0
2
2 2
2
cos
q
,E
Z
J'
2
I
2
0
_t_
2
t:
-2
_J3
2
E
2
r
-2
_l
)
0
I
2
J;
2
Ji
2
lgd
0
.E
-l
,6
E
r
-2
0
,6
3
l
, 3
Ji
-,8
3
0
cl
gd
.t,
J3
3
0
_.t;
3
-.6
,t,
I
-Ji
3
0
r:
_T
,tE
12
13
Formule
trigonometrice:
o
sin2
x + cos2 x:L
formulafundamentald
a trigonometriei,'
.
cos(a
1-
b)
:
cosa
cos b
4
sin
a sin
b;
.
sin(a
+
b)
=
sin
a cos
6
+
cos a
sin &;
o
sin2x:2sinxcosx;
.
coszx=cos2r-sin2
x=l-2sin2
x=2cos2
x_7:
.
sin3x=3sinx-4sin3x;
.
cos3x
=
4cos3
x-3cosx;
.
ts(a
+D
:
E :lEb-
;
tg(a-
b)
=
-tsq
-tsb
.
o\'
-'
7-ryatgb
7
o\-'
1+tgatgb'
)tt
t to )v
=--------9-.
)
l
-
tg'x
_x
)to-
-"6
s
a
slnlr
=-',
-
)X
t+tg':
2.
)tu
-"6
1
a toY=
L
'
"6'"
_.
)
l-tuz1
"2
.x smx
1^
"b
2 I
+cosx'
-
tX
I_ts'_
"a
cosx
=
-.,
-
tX
l+ts'-
"2
-
'tx
t-tc';
)tuL
-"6
2
Transformarea
sumelor in
produse:
o
sinP
-sinq
=
2sin
4"or ) ,
22
r
cos p
+
cos
4
=
2cosLlA
cos4;
22
o
cosp
-cosq=-ZrinP ^4
sin ^9;
22
.
sinp
+
sin
4
=
2sin
4 "ot4,
22
, ..t
sin(a+b).
.
tgq+tgb=-
cos a cos b
sin(a
-
b)
.
iga-lgb
=-.
cos 4
cos
b
7/24/2019 Carte Analiza matematica
7/68
Transformarea
produselor
in
sumd:
-:,-
-
:_-,-
cos(a
-
6)
-
cos(a + 6)
.
.sln4slnr=
2
;
.
cos(a
+
6)
+
cos(a
-
D)
.
rcos"zcosb
T;
.
Sln4COSr=
2
.
ALTE
FORMULE
MATEMATICE
.
12
+22
+32
+42
+...+n, -n(n+l)(Zn+l).
6'
.
13
+ 23 +3) + 43
+...+
n3
=l
"(n
+t)
1"
.
L
2
)',
.
an
=
a,
*
(n
-l)r
termenul
generql
al unei
progresii
aritmetice;
.
S,
=
(a'
+-a')n
sumo
primilor
n
termeni
ai
unei
progresii
'2
aritmetice;
.
bn
:
br'Qn
-'
termenul
general
al
unei
progresii geometrice,'
.
S,: br'+,q+l suma
primilor
n
termeni
ai
unei
progresii
q-t
geometrice;
.
S,
:
n'bp
q
=l
suma
primilor
n
termeni
ai
unei
progresii
geometrice;
o
s
=
(a,
b)
:
(a,0)
+
(0,
lxb,
0)
:
(a,0)
+
i(b,
0),Y
z e C, a,
b
e R;
forma
algebricd a
unui
numdr
complex;
a este
partea reald
a
numdrului
z, iar
b este
partea
imaginctrd
a
numdrului
z;
.
z
=
a +
bi
=l
zl=
^l
a2
+
b2
,Y
a,b
e R, modulul unui
numdr
complex,'
.
z
=
a +
bi
=
Z
=
a
-
bi,V a, b
e
R, conjugatul unui
numdr complex;
i
0
:
I, il
=
i,
i2
=
-1,
i3
-
-i,
i4
:1)
puterile
numdrului
i;
o
7=lz
f(cosg+ising),
scrierea trigonometricd
a unui
numdr
complex;
7/24/2019 Carte Analiza matematica
8/68
g=
Arg(z\=arg(a)+
zk'N,k
e
Z,
z + 0 argumentul
complex na
este
unic
determinqt;
unut numar
o
q=arg(z)=
*,.(*)
a>o,bR
",,,s( )*n
ao
*"r(:)-"
h
2ab,Y a,b eR
(egalitate
o a
=
b);
.
a' +b2 +c2
>
ab
+bc
+ ca,Ya,b,ce
R
(egalitate
7/24/2019 Carte Analiza matematica
9/68
1.4.
Mulfimi
Noliunea
de
mullime,
de
element
al
unei mdlimi
gi
de apartenenle
a
unui
element la
o mullime fac
parte
din
categoria
noliunilor
primare
ale
matematicii.
Noliunea de
mullime
are
un rol
fundamental
in analiza
matematic[.
Existd
doud
modalitifi
pentru
a
descrie
o
multime,
gi anume:
-
o mullime
poate
ft datd.
prin
enumerarea
elementelor sale, adicd
A
=
{a1,a2,a1,...,an};
-
o
mullime
poate
fi
datl
printr-o
proprietate
a elementelor sale, adicd
A
=
{x
lP(x)},
ceea
ce
inseamnd
cd toate
elementele
x ale lui
A
au
proprietatea
P(x).
Pentru
mullimile
cunoscute avem urmdtoarele
nota{ii:
o
$
mullimeavidd;
.
N:
{0,
7,2,...,
n,...} mul}imeanumerelornaturale;
.
N*
:
{1,2,
..,,
n, .
..}
mulfmea
numerelor
naturale
nenule;
.Z:
{0,+1,+
2,...,
*
n, ...}
mullimeanumerelorintregi;
.
Z*
:
{+
1,
+
2,
...,t
n,
...}
mullimeanumerelor
intregi
nenule;
l8
.
O
:
{}|
n,
m
Z;m
+0}
multimea
numerelor rafionale;
.
Q"
=
{ll
n, m
eZ;n,m
*0}
mullirnea
numerelor
rafionale
nenule:
[m)
.
R
-
(-oo,
+
co)
mullimea numerelor reale;
.
R*
=
(--,
+
"o)
\
{0}
mullimea numerelor reale nenule;
.
F
=
1-*,
+
co]
rnulfirnea
numerelor reale
cu
*
oo,
.
I:
R \
Q
mullimea
numerelor
iplionale;
.C:
{z=(n,m)ln,meR};
,=ni+nx,
mul}imea
numerelor
com-
plexe;
Relalia dintre
mullimile
de
mai sus
este: N
c
Z
c
Q
c
R
c
C.
Reamintim
urmatoarele
reguli
de
calcul
cu mulfimi:
o
AwB={xlxeAsauxeB};
.
AaB={xlxeAsixeB};
.
A\B:{*l*eAsi x4B};
c
Ax B
:
{x
=
(o,b)la
e A si
b
e B};
^
(Aw
B,);
i
=1,n
1.5.
Funcfii
Definifie:
Fie doui mullimi A
qi
B.
Se
numegte
funclie
(sau
aplicalie)
definit[
pe
A ctvalori
in'B tripletul format
din mullimile
A, B
qi
o
lege
care
asociazd
fiecarui element
din
A un
unic
element
din
B.
O
asemenea
funclie
se noteazd
f
:A-+8,
rar eiementul
din
-B
care
este
asociat
elementului
a e
A
se noteazd
f
(a)
Si
se
numegte
valoareafuncliei
f
in punctul
a.
OPERATII CU
+
oo
@-a=arVaeR;
.
Nedetermindri:
q,-
oo;
0.(t*);
:,
=,
1';
oo0;
00.
'
un(,y.,r,)=,
y,,@^B,);
r,(, ,,,
j=
o
Egalitalite
lui
DeMorg
^,
,(,),,o,)=
,q,CA,t
'(,q.u')=
,y,'o'
19
7/24/2019 Carte Analiza matematica
10/68
Definifie:
Fie
f
:
A
-+
B
o
funclie.
Se
numegte
graJicul
funcliei f
submullimea
G
:=
{(a,
f
(a))l
a
e
A} c
Ax
B,
u;nde
Ax
B
este
produsul
cartezian
al mullimilor A
Si
B.
Defini{ie: Fie
f
:A-+B
o
fi.rncfie.
Funclia
/
se numeqte
injectivd
daci.
x +
y
=
"f(*)
+
f(y)
sau,
echivalent,
.f(*)
=
f(y)
e;e
=7.
Funclia
/
se
numegte
surjectivd
eY
beB,laeA
a.
i.
"f
(a)=0.
Funclia
/
se
numeqte
bijectivd
salu
biunivocd
dac[. este
gi
injectivd
gi
surjectivd.
Definilie:
Fie
f
:
A
-+ B
o
flrnclie.
Notdm
f(A)
=
{f(a) I
a
e
A} c B
Fie
gtf(A)
-+C
o alta funcfie. Definim o noud
funclie
h:A--+C
astfel incdt
h(a):g(f(a)),aeA.
Funclia h
astfel definitd se
numegte
compunerea
funcliei
/
cufunclia
g
qise
noteazd.
h=g"
f
.
Definifie:
Funclia
f
:
A-+ A, care asociazd,
fiecdrui
element
din
A
pe
el insugi,
se
numegtelfzncyia
identicd
a
mullimii
gi
se
noteazd 1r.
Definifie: O
funcfie
f
:A-+.8 se numeqte
funclie
inversabilii
dacd
existi
g:B-->A
astfelincdt
B"f
=In,
f
og=Is.
Dacdfuncfia
f
este
inversabilS
atunci
funcfia
g.
se nume$te inversa
funcliei f
gi
se
noteazd
cu
.f-',
deci
(.f-'
.
f)(x):x,Y
x e A,(.f
"
-f-')(y)=
y,V y
e B.
Funclia
f
:A->-B esteinversabill
7/24/2019 Carte Analiza matematica
11/68
7/24/2019 Carte Analiza matematica
12/68
7/24/2019 Carte Analiza matematica
13/68
o
Criteriul
majordrii:Fie
(a)rrt
un
gir
de numere reale.
Dacd existd
i e R
gi
(b)nt
cu
proprietatea
cd,
)r*U,=O
$i la,-lln(e)
un
rarlg
fixat,
atunci
)r*",:1.
Dacd. existd un
Eir
(b),r,
astfel
inc6t
an
2
b,,,Y
n
2
n(e)
un
rang
fixat
gi
lim
bn
-+oo,
atunci
lim
an:+co.
Daci
existd
un
Sir
(b,),r,
astfel
n+@ n-)@
incilf
a, bn,
Yn >
r(e)
gi
)r*b,
=-oo,
atunci
lim
an
=-.r.
o
Criteriul
clestelui:
Fie
(an)r.y, (bn),rr
$i
(cr),r,
trei
qiruri
de
numere
reale
astfel
inc6t
a,1b,3c,,
Yn)noeN.
Dacd
ttm an
-
lim c
,
=
/,
atunci
lim
b,
=
l.
n-+@ n-+@
c
Lemalui Stolz-Cesaro:Fie
(an),>r
$i
(b,),r1
doud
giruri
de numere
reale, astfel incdt
girul
(b,)nrt
este
strict
crescdtor
gi
nemlrginit,
cu
termeninenuli
Ai
ty,_ffi=1,
leR.
Atunci
avem fimff:t.
.Fie
(an),>r
utr
gir
de
numere
reale
strict
pozitive,
cresc6tor
Pi
nemirginit.
Atunci
,lim
a
=
0.
-*
a,
tFie
(a,)nrr
li
(bn),r,
doud
qiruri
de numere
reale,
astfel
incdt
lim an
=
0,
iar
(b,)
nl
este
mlrginit. Atunci lim
(a
n
'b
)
=
0.
u-)@
.
Fie
(sr),r,
un
qir
convergent de
nutnere
reale.
Atunci
girul
tl
I
a,
D,r,
este
convergent
qi
]r*lo,
l=
l,tgl+1,
adica, Iimita
modulului
este egalS cu
modulul
limitei.
tFie
(a,),,rr
$i
(b,),r1
doui
giruri
convergente de numere
reale,
astfel incdt
]r*t,=q,
iar
]t\b,:6.
Atunci
qirul (a,
tbn),r_r
este
convergent
$i
,lim
(a,+b,)=a*b,
adici,
limita
sumei este
egal[ cu suma limitelor.
oFie
(an),rt
$i
(b),rt
doui
$iruri
convergente
de numere
reale,
astfel
incAt
)r*o,=a,
iar
)*b,
=6.
Atunci girul
(a,'b,),,t
este
convergent
gi
,lim
(an-b,)=a-b,
adic[, limita
produsului
este
egali
cu
produsul
limitelor. Dacd
a
=fo
gi
b:0
nu
putem
spune
nimic
despre lim
(a,
'b,).
.Fie
(an),rr
$i
(6,),r,
doud
qiruri
convergente
de numere
reale,
astfel
incAt
lim
an:
a, iar lim b,,
=b.
Dacd
b +0,
atunci
pirui
(t),.,
n-)6 n-)6
este convergent
pi
lim
I
%
l=+
,
-*lb,
)
b
Limite
remarcabile
Fie
girul
(*),
r1,
xn
R-
gi
lim x,
:
O.
Atunci:
n)@
.
lim
ti"'
=1;
rimtgx'
=7;
li*
utttin"
=l;
n
-t@
xn
,-w
xn
n-)@
xn
.
,r,,
ln(l+x,)
=1,
l+ x,)o;
n)6 Y
'-n
nxn-7
.
lim
" ^
=Ina.
a>O,a+l;
n)@
Y
.,n
..
(1+x,")"
-1
o
lirn
:-------lt'-
=
Ct,
51
R;
n-+6
Y
li^
o"t9'n
=7;
n_>6
Xn
,]y-0
+*);
=e,
x,*o;
ll
I
llm
l+-+-+...+-=C:
n-+q ll, 2
n
lim
lnn=o;
lim
{=g;
n-)@
,7
n)wgn
lirn
4l;
=1,
o
e R'
;
,,y_f
=
,t
la,
q>l
I
lima'=J
l'
q=l
;;;" I
O,
ge(-l,l)'
I
[-,
qs-l
26
27
7/24/2019 Carte Analiza matematica
14/68
.
Fie
(ar)o>r
un
$ir
de nurnere
skict
pozitiv
ti
fi-
I
=
/.
Atunci
n)4
an
I*^di
=r'
o
Fie
polinomrn
P(n)
=arnP
+ao-flp-r +.,.+
a1n*dst
ahmci
P(m)
are
limita 1im
P(x)
=
liy
arnl
=ap'Qi
.Fie
polinomul
Q(n)
=bonq
+bn-fiq-t
+...+brn+br,
atunci
p(r)
are
limita
liyg(rr.)=
]i*Orno
=bo'q;
,.
P(n)
a
llm:=
n.-+-Q(n)
0,
dp
bo'
aD
+.Q-
bq
grad
P
< grado
grad
P
=
gradQ;
grad
P >
gradQ
Limite
laterale:
Fie
X
cRn,
Y
cR^,
o
funclie
f
:X -+Y
gi
xo un
punct
de
acumularePentru
Dt
c
X.
Defini{ie:
Spunem
cd
I
e I este
limita
funcliei
f
tn
punctul
xo
Si
scriem
/
=
lim
f
(x) dacd
V
V(l)
cY,lV(x)
c:
X a.i.
f
(V(xoD
cV(l).
J-+J0
Definifie:
Spunem
c-a
I e I
este
limita
funcliei
f
in
punctul
xo
Si
scriem
I
=
lim
f(x)
dacd:
x+
xo
,_,
V
a
>0,
I
6(e) >
0
a.i.V
x
e
Dt
\
{ro},ll
r-ro
llll
f@)-/
ll ro, x eV(x) r: D, avem
f
(x)
e
V
(lo)-
Limita
la stdnga
pi
limita
la dreapta se numesc
limite laterale.
Limite
iterate:
Fie
XcRn,
Yc.R', ofunclie
f
:X->I,
unpunctdeacumulare
pentru
DrcX,
notat xo=(ro,
,...)xoj)...,x0,)
gi
x=(r,,...,xi,...,x,)
un
punct din
domeniul
func{iei.
Definifie:
Se
numegte limitd
iteratd
a
funcliei
f
in
punclul
xo:(x0,,...,x0,...,x0,),
limita: ,=r,t*r,
,rr*or...r,r9or
.f(*r,...,xn).
Pentru
o astfel de functie
existd n
limite
iterate.
2.3. Exercitii rezolvate
l. Dali
exemple de
subsiruri
ale
Sirului
numerelor
naturale.
Solu{ie:
$irul
numerelor
naturale pare:
(an)n.,,
2,4,6,8,
10,...
$irul
numerelor naturale impare:
(an),t
1,3,5,'7,9,
...
$irul
constant:
(an)
r>t
4,4,4,4,4,
...
$irul
puterilor
lui
1 0:
(a,)
,,_r
IOJO2
,103 ,
104,
10s
,
.
.
.
.
$irul
alternant:
(a,),>t
1,0, 1,0,
1,...
2.
Se
dau
Sirurile:
(ar)rrr
1,
0,
1,
0,
l,
.
..
Si
(br)r4
b,
Sd
se efectueze
toate operaliile
posibile
cu
aceste
doud
Siruri.
Solu{ie:
(o,),..,
1, 0,1,
0,1,...
1
',
4\h
(b),rt
bn==t
-(b)ort
0,1,0,1,0,...
Fie
(c,),r1
suma
celor
doud
piruri:
(")nr,.
1,1,1,1,7,...
1+
(-1)'
il
1t
I
r*
I
r
I
7/24/2019 Carte Analiza matematica
15/68
Deci,
(an)nr_t
2,
-3,2,
-3,
2,
-3,
...
4. Sd se afle
termenul
general
al
Sirului
(a,)r.,
dacd se dau
at=2, az=70
$i
ar+t=2ant3an_r, n)2.
Solu{ie:
Metoda
/,
Se
afld
pe
rdnd termenii
girului
gi
se
stabilegte
termenului
general:
n:2+
ar=2ar*3ar=26=33
-l
I
n
:
3 +
ao
=
2a, *
r^o,
-
r .:
r^
^:,
.
I
=
an
:
3n+
(_1),.
n
:
4 + ar
=
2ao *
3ar
=
Z+2
=
3'
-l
I
n
:
5
=
ao
=
2er*3an
=730 =
3o
+
1
I
Metoda 2.
Se
aplicd
teoria de
la recurenle
liniare
de
ordinul
II:
x'*t
=2x'+3x'-l
l:x'-l
+ *2
-2*-3=o
5.
Sit
se
afle
termenul
general al
Sirului
(an)nr-,
dacd se
dau
furnenii
at:0,
ar=1
Si
an+t=2an-an-1,
n22-
Solu{ie:
Scriem
ecuafia
caracteristicS
gi
o
rezolvdm.
in funclie
de
r[ddcinile
acesteia
scriem
formula
termenului
general:
x'*r
=2x'
-x'-t
l:xn-t
=
*'
-2*+1=0=+(x-l)2
=0
) xr=r.r-1
x1,
x2
R,
xt
=
x2
=
x +
an
=
(An
+ B)x"
-
an
=
(An
+
B)
I A+B=a, lA+B=O
(z-t
)1.,"--t
=l^Tu-v
,=1,'-,
)o_=n_1.
l2A+B=a,
l2A+B=l'
lB=-1
6.Sd
se
aJle
termenul
general
al
Sirului
(an)nrt
dacd
se
dau termenii
4
=
-5,
a,
=l
Si
2Qn
+r
=
an
+
an
-1,
n22.
Solu{ie:
2x2
-
x-l
:0
)
A=9
=
x,
Rrx,
+ x2 )
s,
-ln
Fie
(d),,r,
diferenfa
celor doud
giruri:
(d,),,,
1
Fie
(e
),,,
1
produsul
celor
doui
giruri:
(e,
),
,
,
3. Sd
se aJle termenii
Sirului
(an)n^
Stiind
cd
a,
1,-1,1,-1,1,...
0,0,0,0,0,...
^
q,
-5
-
Ls un+l
-
ar-I
)
42,
=
-3,
A2n*1
=2.
termenii
formula
=1-y.=-1
2
o.(-+)'
u
) ctn
=
o.(-;)',
--5
fA=-r / rY
-t
=1'='
)a'=-l+8
l-;)
X1t 12
e
I
n-
l2
I^.i
r-l)'
=
ctn
-
-t+7;t
Bxrn ) e,
=3n
A+
(-l)'B
lA=1
+l_
=a--3"+(-l)".
|.B=1
rt
A
:
b2
-
4ac
=
4
+12
=
16
=
xr.,
x1, x2
R,
x'
* xZ ) Qn
=
Axrn +
l3A-B=a,
ltA-g=z
I
t
...^,
\s,L*a=o, '\no+B=to
-bt"[E
=It
=
3rxr--l
7.
Sd
se
afle
termemtl
general
al
Sirului
(a,)nr,
dacd
se
dau termenii
=7,
oz=2
ii
ort2-3an*r+2a,
=0,
n,-l,
Solu{ie:
r'
-3x+
2
=0
+A
=1
+ x,
=
2,
x,
=7
x1t x2G Rr\* x2) dn
=
2n
A+l'B
=
a,:2'
A+
B
fz,t+B=r
[n=L
1
^
i
=
{;=,
)a,,=1+o=
an=2'-1.
l4.a+B=2
[a=o
z
30
31
7/24/2019 Carte Analiza matematica
16/68
8.
sd
se
aJIe
termenul general
al
sirului
(an)n>t
dacd
se
dqu termenii
:0,
a2=1,
2en*,
:
rli
r,
+b,
si
2bnt,
+a,
=Jjb,
nrl.
Solufie:
Cdutdm
o
relafie
intre
termenii girutui
(ar)n>t;
2a,
-1=
Jl
a,
+bn
3
S,
=2o,_
,
-Jl
o
rl
2bn
*,
+a,
=.li
b,
I
)
zD,
+l
tan
=
=
J112o,*1-Jl
o)
=
2b,
t
t
*en
=2Ji
q,_
t
-3o,
) 2bn*r
=
=2Ji
an
+t
-4a,
) bn
*t
:
Jl
a,
*,
-2an
2o,
*
t
=
Jl
o
n
*
b,, --- - :J-+
2o,
*
2
=
Ji
o,
+
t
t b,
*
t
)
=
2a,
*
z
=
J3
e,
+t
*
Ji
on
*,
-2on
) 2qn
+z
=z^fi
an
*1-2an
a
)en+2=^Jion+t-en.
Afldm
formula
termenului
general
al
girului
(ar),>,
cu ajutorul
recurentei
liniare
de
ordinul
II:
*'-Ji*+l=o+A-
r+.'
-
Ji*i
_f
I
\:1_,
x,
xt)
x2
eC
\
R
+
an
=
r'
(Acosn
7/24/2019 Carte Analiza matematica
17/68
.,.
_(,-i)
(,-i)
[,-#tr)
(,-#r,)
_r
I
'
@
+z\z
(,-i)
('-+)
[,#r)
Qn+r
n2+2n+4-l
-?=
z
-
I
clt
an
=
=-.
)n
+7
cu
numitorul
pi
vedem dacd
girul
este
marginit:
n
+1
7/24/2019 Carte Analiza matematica
18/68
Solu{it:
29
a) Punem condigia:
fr.
o,
Obtinem
urmitorul
sistem:
,-f-1:)'.'
l.ta-t l
\.4 )
31
29 3n+2 31
\_-
l0 10 n+4
10
ln>96
lne(96,+":)
---\
1
----r
?
ln>-104
[re(-104,+"o)
Dacd,
ne(96,+co)
gi
neN-, atunci ne{1,2,3,...,96}.
Deci, in
afaraintewalului
v
=("
.a)
u,u",
96 de termeni.
[10'10/
3n+2
bl
an=ffi=m=
at=7,M
:
lim ar:3=l
I
en13 Y
neN*.
L6. Sd se arate cd
Sirul
(on)n,_1,
ufide a,
convergent
pentru
a>7.
Solufie:
Pentru
a > 7, deoatece exist6 m e R* a. i.
2*
1
n
7/24/2019 Carte Analiza matematica
19/68
e
=ro_3
=l_r*
3
*zl.ro_,=l1l
3000
=
n>2999.
Deci,
n(e)
=
3000.
18.
Sr,
se demonstreze
cd
Sirul
(ar)n>t>
cu
termenul
general
deforma
sin.x sin2x sinnx
o,
=-T
+
*
+
...*
z,
este
convergent.
Solufie:
Pentru
a demonstra cd un
qir
este
convergent
este
suficient
sd
ardtdrn cd
el este
gir
fundamental
Cauchy.
Deci:
Ve>0,1n(e)>
0 a.i.
Ia,+p-anln(t),peN.
lsin(n
+ I)x
,
sin(r +2)x
.
sin(r
+
3)x
.
sin(n
+
p)xl
la,*p-on,=l
*,
+-7;it+tfi
+ff1l
4=7
q
e
(-l,l)
q
-1
r('.#.#)
2
n
'
+2);
2
+211=
.{"[t.;).,
42
Pentru
prima
limit[
folosim
formula
lim
q'
-
r-+@
43
(
7/24/2019 Carte Analiza matematica
22/68
2oY
q=l
.
I
\a'+l)
a>0=q
a2+l>2o>q
/
^
\u
=liml
'I
n-*\qz
+l)
1-
g-11-=l
'
a'+7
2a=0)a=0
a2 +7= a:+i
rl-
lim
y,
=
tim
nkl
^l'*'
-
n_6
n)@
[Vrz+l
+ lim
o'
=[l'
4
=7
n-*'
[0,
qe(0,1)
1
(0,
l)
>01
l=02=
k>1
k+l=2=
k=l
24.
Sd
se
calculeze
limita
funcliei
ro
=
-1.
Solufie:
'J*+g
-z
-f(x)=T
in
Punctul
0
,.
'Jr'
+9
-2
o
llm
__
x-+-1
*u
-7
lim
13 +9-8
q
0
*'-*1r
e6
-rx{.1qf
*z\F
*g
*+)
1r."qy,
a2S19aay
7/24/2019 Carte Analiza matematica
23/68
..
t^[;i
-z
+ lrm-
x+-l
,o
-l
x3 +7
1x3
-l;1x3
*rXifir'*f
*z\[*\g
*+)
4.
Sd
se
studieze
mdrginirea
girului
^\
4
_
l+3+5+...+(2n-1).
a)
un
-
l+ 4
+7
+...+
(3n-2)'
(or),r, cu
termenul
general:
ln1+ ln2
+...+lnn
n+l
ln1+ln2
+...+lnn
n+7
1.2+2.3+...+n(n+l)
24
b)
x,,
=
25. Sd se calculeze limita lim
x
>0
v
--+o
l-cos(x3 +y3;
x2+y2
12
+22
+
...+
n'
5.
SI
se
studieze
convergenfa
pirului
(an),r, cu
tetmenul
general
de
gk
forma
an
=
r1t*t1*,
6.
Fie
(a,),>t
$i
(b,),'1
doua
Eiruri
de numere
astfel
incAt
at=2,
4=i
si
an+t:2an*3br,
iat
b,,*r=anl3b*
n2l'
Sa
se
afle
termenii
generali
a,
Si
b,.
7. Sd
se
calculeze
lim
un(x,
y)
=
(xn, y,,)
infiecare
din
cazurile:
Solufie:
Folosim formula
1- cosx
=
2sin2
]
n"r,.o
a
sc6pa de nedeterminare,
dupi
care
folosim limitele
iterate:
o
2sir,,
*3 +
y'
,r.rz
x3
+ y3
["
*''
)'
,.,
t-co (x3
tv3)l
li,
---4=
1;p
-----2-.,
=,
J
=
;aB
*' +
v'
il$
xz
+
1,2
;*
(
r *.y,')'
*'
+ y'
tr.l
=2timGt
vt\'
=2tim(
y^*u
*2tvt
vu
)=r,,.n
L=l
ti,,
*o:1
x-+on4(x'+l') x+0(r-+o
4(x"
+y")
)
x--+0 ,yL
)x+0
2
,.
t-"o.(r'*y')
-.rrl--=v.
-+U
X-
+V-
-l+o
2.4.Exercitii propuse
1.
Fie
girul
(ar)r,
I
ct)
at=d., a:=F
li
,r*r= *.
Sd
se
o
afle termenul
general qi
sd se calculeze
)r*",.
2.
Sd
se determine
termenul
general
ai
girului
(a,)r>r
dat de relafia
z)
x,,:;(,.i
.: .;-),
,.
=
b)
x.=,(r+-li),,,,=
:2
Si
an
*r(3+
a,)
=
5a,,
+3.
3. Sd se
studieze
monotonia
girului
(a,)n>t
dat
de relafia
de
recurenld
:3,
an+r=2ar+3'.
42
(-
n)'
c)
xo
=
*,
l,
=13+
tin:
|
.
2n'
\
o'i
I
8.
Sd se arate cd urmdtoarele
qiruri
au
limita
indicatA:
. n2+l ..
I
z)
an=l--l-l-,
ltm
an=;;
zn +n
n+@
/'
/ r\
b)
a,
=
lnl
t
-:
l,
Iim
a,
=0.
\
n)
n-)@
9.
Se
se
determine
a,b
e R
pentru care
funclia
.f
:
R
lt
-f
(x)
=]
tt
+
*)', , ) 0
are
limita
in
xo
=
0.
|. ,*q,x
7/24/2019 Carte Analiza matematica
24/68
-l
,)
lTl0
+x2y217*1.
y'+o
b)
-l
c)
lim
I
frrirl*r)'
*
+v+0.
'*g-r+y\
x
')'
y)v
48
49
CAPITOLUL
3
SERII
NUMERICE
$I
SERII
TAYLOR
3.1.
Serii
numerice
Definifie:
Fie
{x,}r.1r
un
gir
de
numere
reale sau complexe
qi
s,
=
Zxt.
$irul
{s,},..v
Se
numegte
serie asociatd.
Sirutui
{",},.,
gi
se
k=l
@
noteazdcu:
x1,
Z*0, Z
*0.
k=l keN
k
n
Avem:s,
=Z*tr:xt+x2+...+xk+...+xn,
unde
termenul xk se
k=l
numeqte
termen
general
al
seriei,
O serie
numericd
se
poate
defrni
gi
ca
({xn},{s,})
unde
elementele
girului
{x,},.N
se numesc
termenii seriei,
iar
elementele
girului
{sn},,N
se
numesc
sumele
partiale
ale seriei.
Astfel
s,
se
va
numi
suma
porlield
de
ordin
n
a
seriei.
Defini{ie:
Spunem
ci
seria
,s,
este
serie
convergenld
daca
girul
t*,j
n .ry
este
convergent
(adica
pentru
s
e
R, avem
"
=
,rI1
,,.
Elementul
.s
se
nume$te
suma
seriei,
Deci:
ir,r=
lims,,.
O serie
care
nu
este
n=l
t1-+@
convergentS
se
numegte
serie divergentd.
Definifie:
Fie
s,
=i1-t)'*,,
x,20.
O
serie
altemantd
in
care
n=l
{rr}r.il
este
un gir
descrescdtor
c6tre
zero este convergentS.
Definifie:
O
serie
,n
=i*,
se numegte
serie absolut
convergentd
dacd.
seria
ilr,
I
este
converglntd.
n=1
7/24/2019 Carte Analiza matematica
25/68
Defini(ie:
Orice
serie
care
este
convergentd
oricare
ar fi
bijeclia
o
=,4/
-+
-A/
se
numegte
neconditionat
convergentd.
O
serie
numerici
este
absolut convergentd
dacd ea
este
necondilionat convergentd.
Definifie:
O serie convergentd
care
nu este
absolut
convergentd
se
numegte serie semiconvergentd.
CRITERII DE
CONVERGENIA:
7.
Criteriul
necesar de convergenld
a
unei
serii;
f
,,
"oru..genti
=
lim
x,
=
g.
f,
n+a
2.
Criteriul
comparaliei ;
lcr>l
serieconvergentd
s sr I
L*,. L-=j o=l
nuse
gtienaturaseriei
ttI
l".t
seriedivergentd
3.
Criteriul comparaliei
la
limrtd
@l
doilea criteriu al compara[iei):
Fie
date
seriile
ix,,irn,
xn20,
yn>0,
nN*.
Daca
existd
gi
este finitd I
=
lim
l-
* O,ut-lr"i
""t"
doud serii
au aceeagi
naturl.
n-)6 1)
JN
4.
Criteriul integral al
lui
Cauchy;
Fie
f
:
[1,
+
oo)
-+
,R continud,
descrescdtoare,
"f
(*)>_
0, Vx
>
I
gi
fie
x,
=
.f
(n),Y
n e
N.
. Atunci
ix,
este
conver
gentd
dac|
gi
numai dacd
qirul
({),,,,
definit pin
Fn
=
1'rrn
*este
mdrginit.
5. Criteriul raportului
(Criteriul
lui
d'Alembert),-
ix,;
=t
=
7
.
CriteriuI
Raabe-Duhamel
:
Se
considera
(*)nr, un
gir
de numere rea\e,
x,
>
0,
V
n
e
N*
.
*
(
t [/'l
serie
convergentd
i*,,
=/
=
lim ,l
-l-t
l= ]
I
=7
nu se
qtie
natura
seriei
Ft"
'-'-
(',*,
)
[l.r
seriedivergentd
8
-
Crit
e riul
I
o
garitmului :
t,ra
lt
rl
serieconvcrgenta
ir,,:
=l
-
lim
*= l,
=,
nuseqtie
naturaseriei
Er"
n-++q
lnn
[l.r,
seriedivergentd
i
9.
Crileriul
pentru
produs
de
Siruri
(Criteriut
lui Abet):
Se
considerd
qirurile pozitive
(x,),rr
$i
(y,),r,
unde
(x,),', este
qir marginit,
iar
(y)nr,
este
gir
descrescitor
cu
lim
y,
=
0.
*
lr,
i
,"r,"
conversenta
Z*ny,;
l/:
lim xt+xzt...+xn)l-
n
=1
n
-+
+@
[/
.
1 serie
divergentd
10.
Criteriul
lui
Leibniz:
Dacd
xn
s O,
(x,)
n,,
;ir
descrescltor
9i
lim xn
:0,
atunci
seria
alternantd
i{-l)'-'",
este
conver
genta
@ai"Frl
,..r.
alternanti
este
n
=l
convergentl
daci
modulul
termenului
ei
general tinde descrescdtor
la zero).
3.2.
Serii
Taylor
Defini(ie:
Se numegte
serie Taylor
a
funcliei
f
,
centratd'
in xo
e
R,
o
serie
de
puteri
de
ror-u
i
'f(')(x0)
(x-x0)'.
r=0
nl
Dezvoltarea
in
serie
Taylor:
Fie
un interval
.I
c R
9i
o
funclie
f
: I
-+
R indefinit derivabili
in
punctul xo
e L
Considerdm
seria:
f
(x)=
,r*^r*.f'(xo)
-f(')Qi
',
-f"
'
')('o),rr-ror'-'
l
(r_
xo)+..
*_;i(r-*o)
*
@+1)l
Criteriul
radicalului (Criteriul
Cauchy)
:
@
_
f,
.,
serie absolut
convergentd
lx,;
1/
=
lim
da
=
)1
:l
nu
se
gtie
natura
seriei
n
=t
n
''
+@
[l
, r
serie
divergenta
6.
50
51
Asociem
funcliei
/
un
polinom
numit
polinom
Taylor
de
gradul
I
convergent
cdtre
zero.
observatie:
Daci
0e
1 gi
f
:I-+R
este
indefinitderivabildin
0,
atunci
formula
de dezvoltare
a
funcliei
/
in
serie
Taylor
in
jurul
punctului
0
are
forma:
.f(x)=
-f(0)*lrf,{o)* fOl*...*t-fr,(o).
o
astfer
de
serie
Taylor
se
mai
numeqte
serie
Mac
Laurin
a funcfiei
/.
DEZVOLTAREA
iN
SEzuE
TAYLORA
LINOR
FLTNCTII
ELEMENTARE;
l.Fie
f
:R-+R, "f(x)=e',
f
indefrnitderivabild,
xo:0
avem:
.f(x)=1+ +t
*.
.* l-*...=
i
".
2l
nl
fro
n '
2.Fie
f
:R-+R,
.[(x)=sinx,
f
indefinitderivabild,
ro=0
avem:
.f
(*)=:-+.++..
+111;'
, -"-,1,
*...=
i
1-1y
'-
.
I 3 5 \ -/
(2n+l)l
"'
,10'
''
(2n+l)l'
3.Fie
f
:R
-+
R,
-f(*)=cosx,
f
indefinit
derivabil[,
xo
=
0
avem:
-2
*4
--2n
* 2n
.f(x)=l-:+a+...+(-1)'
'
+...=
t
(-t)n
x
-.
4t.
en)l
,f:r'
-,
12nyi
52
53
l.
Fie
qeC
si
seria
geometricd
iq'-l+q+qz
+...+qn. Sd
se
n=0
demonstreze
cd
seriq
este
convergentd
doar
pintru
I
q
ll
=l
q
l'>
l
deci, lim
q"
+
0
ceea
ce
contrazice
egalitatea
)*r'=o'
Dir
relaliile (
1
)
ti
(2)
=
seria
f
q'
este convergent[ el
q
l
7/24/2019 Carte Analiza matematica
27/68
Deci,pentru
e
=1,
VneN
1p=,
astfelincdt
ls,*o-r,
111=
2
--
t-n+P
z
girul
nu
este
fundamental
=
gir
divergent,
deci
seria
este divergentd.
3.
Sd
se studieze
natura
seriei;
L--=I-
^
;
a e R\2._.
n_slo-tn)\q+n+l)
Solutie:
Fies,=lim
:rl
-+0
n__>*la*n)(a+n+l)
1AB
(a
+
n)(a +
n +D=
o
*
r+
; *
o
*1
l=A(a+n+7)+B(a+n)
7=
A.o+
A.n+
A+
B.
a*
B.n
1=a(A+B)+n(A+B)+A
lA+B=o lA=t
:+i
+{ :+
lA=1
'
[r=_t
-
t11
=_
(a
+ n)(in
+t)-
ai-;
+
n
+t+
==,$ I =S I _T r
_
-
f;o@
+
n)(a *
rnU-
3r,
*
r-, oo
+
n
+t:
lltll1t1
a
q+l
a+2
a+n
a+l
q+2
"i
";;i-
_s
I
1
I
I
oe
(1,
oo)
gi
seria
este
a
1
divergentd
dacd
:e
(1,
oo)
=
a
e
(0,
l).
a
sd
se
studieze
natura
urmdtoarelor
serii
folosind
criteriul
comparaliei:
,$
1
"
L.
s[-a--]'
n=r\n.+l
54
e-r=+ I =$ I :f I
.
,1tn(l+a+...+a')
fr1n@+l)
,7r12
+n
-
3
cr,
=
2
=
2 > 1
=seria
este convergentS.
Solu{ie:
s-l
,{r . t--;-
,=t\l n"
+7
:1
)
_r=
i
sl
I
1=
seria este
divergenti.
,.
f
1.3.s...(2'z-l)
fr,2.5
'B...(3r
-
l)
=
r,,['*1)'=
n-)6
n'
,
,-\.
n
)
,.__
xn+t
,,,_-
1'3'5...(2n-l)'12(n+l)-11
2
5'8...(3n
-1)
,-a
xn
n-+*).5'8...(3n-l).[3(n+1)-1]
1.3.5...(2n-l)
..
2n+1 2
2
:lim
-
-
=-
+-
7/24/2019 Carte Analiza matematica
29/68
tz.i("*b,);o,b,,,d.
,7r\rr+
d
)
'
Solu ie:
considerdm
-,=(##)'
..
qn+b q
Irm
_:_
n-+agnLr6l
C
Disculie
dupa
parametrit
a, c.
a
.
ac+-
>1
=
seriaeste divergentd.
L
Sd se
studieze nqtura urmdtoarelor
serii
folosind
Duhamel:
*nl
13.
I+:ae(-l.oc).
*"
t
I
+ a)(2
+
a)
+
..
.+
1n
+
a)'
.
e
:
I
=
nu
se
gtie
natura
seriei.
.
a
(1,
+
co)
=+
seria
este
convergenti.
@.
14.
Lr'nn.
n=l
Solu(ie:
-
lnn
Uonsloefam
Xn
=
o
lnn
xn:a
ln(, + l)
Xn+l
a
'
.,'
lt ln, \
nn
nl
-2-1
l=
lim
n(qtnn-
ln(n+1)
-11-
n+- (.qtnln+t) ) n--
R.
n^,(o
,-a
I
,, '
_rl
ln'
n +l
_-
a
--1
,
n
=
ILLLL
II
i-+*
,
n
n+l
lim
n.lna'ln
n
=lna
lim
n171- -=
;;;'
n+l
n-)6
n+l
Solufie:
Considerdm
x,
=
(1+
a)(2+ a)+...+(n+
a)'
n
(l+a)[2+a+...+(n+7+a)]
n+l
/\n/\n
=lna
lim
n(
n
I
=lnaln
ri,"[-1=l
=
"'-'i'l* \n+l)
,-*\n+7
)
I
(
1 \l-('*1)'#
=lnalnlimll+l
-
ll
=
r-+-f
\
r+l/l
n
lim
-n
=
lnalnrlim
e
'*l
=lnalne'+anil
=lnaTne-l
=-lna'
Disculie
dup6
parametntl
a:
11l
o
-ln
a>7=ha> lne=
'
>
s+
ct
7/24/2019 Carte Analiza matematica
30/68
n=1
Solu(ie:
^^--_jr
.:.
a(a+l).....(a+n-I)
Uonsl0eram
*,=ff.
(n+1)".(n+l)l
(n
+l)(n+l)"
a(a+1)...(o+
n-l)(a+n)
(a+n)n"
(n
+l)"
-
n"
/l'
=
d
n
n
*,
=
a(a
+7)
...(a
+
n
-1)
xn+r
no.n
n-,(:,--r)=
ri*
,ltl
[u)"-rl=
m
,-*
(r,*,
)
,--
[z+a
I
n
)
^]
,':;
=
Iim
Cln"
+Cln"-1
+...+CIl"
-n"
_.t
n-)@ n.i-=:Lo
=C['
Disculie
dupd parametrul
cr
:
.
c(
I
=
seria
este
convergentd.
sd
se studieze
nqtura
urmdtoarelor serii
folosind criteriul
logarit-
mului:
q/
16. \-
I
LI
n=2\
Solutie:
I
G
r lnz
I
)
considerdm
o
=f+)''"':
:,*+a=
Jr'n'.
---
"n \J' 1 ;tnn - *'
n
,-
1
rrr-
, rlnn
rim
;
x'
=
fi*
ln '
=
6*lnn'1n"ln
=
rim
Ji-+oc=
-+aly1n
n-)@
lnn
;;;
lnn
n)@
=
+oo >
I
=
seria
este
convergenti.
60
6l
?ot^[r'
+2(n2
+l)
SoIu{ie:
Considerdm
r,
=
'ffjg'all
,[na11"a21
'
1
X,
lim
n-)
ln
s,{-nz
a2p2
at1
ffiGn
-
,.^tn(nz
+2)1+ln(nz
+ )-ln(n+1)2
-liln+2)
lnn
n-+
@
Inn
=
lim
n-rq
lnn
lim
n
--t@
7
6
2l
-.
lnnl
+1nn2
-Lnni
-lnn
n-+@
lnn
1
)
-:
) 1
=
seria este
convergentd.
6
@
18.
\nt"o'.a>0.
n=2
Solu{ie:
Considerlm
xn
:
n\"o
ro,[?*z- -r)
\3
7)
lnn
11
lno'
xnn
,l
1
tn-
ln-
rim
x,
=
1i^
,G:
1i-
lnr-ln'
=
ri*-l\o'ln'
=-rna.
n-+*
l11n
;;;
Inn
n-+a
lnn
n-+@
lnn
Disculie
dupd
parametrul
a:
o
-lna>t+
ln1>lne
+
Lr
r-
o. .1+serieconvergent['
aae
o
-lnq=1=ln1 =lne) =r=r= =
se
obline
seria
aae
@'l
armonicd
)
:
care
este
divergentd.
n
=2fl
I
I
1
7/24/2019 Carte Analiza matematica
31/68
o
-lna
7/24/2019 Carte Analiza matematica
32/68
11
^-Ll
"
(n+1)-In(r+l)
n-lnn
n
-lnn
-
n
-l+ln(n
+l)
f(n
+
l)
-
ln(n
+
l)1.
(n
-
ln
n)
-lnn
-lne
+Ln(n
+1)
J4')
\ne
)
[(n
+
t)
-
ln(n
+
l)]
.
ln
-
ln
nl
[(r
+ 1)
-
ln(n
+
l))
.
(n
-
ln
n)
*[U:l]
0
y
n e R*,
\ne )
n-lnn>0YneR*
Deci
xr*t-xn
10V
neR*
=girul
este
descrescdtor.
Existd
serie
altemantd
datoritd
lui (-1)', deci seria
consideratd
este
convergentS.
24.
Fie
funclia
/:
X \
{2}
-+
R,
f
(x):
--]-
Sd se
dezvolte
in
serie
x+2
Taylor
in
jurul
punctului
xn
=
Q.
Solu{ie:
Cdut5m
formula
pentru derivata
de
ordinul
n
a
f:urrlcfiei
f
.
.f'(*)
=---1-;
.['(x)
=
=
]--
-;
f,,(x)
=
-
U
,
(x+2)''"
(x+2)''"
1x+2)o
Derivam
gi
ob{inem
,
(-l)'
'n
(x-0)'
(0
+2)'*
t
nl
64
natura
seriei
65
in
serie
Mac
Laurin
in
iurul
punctului xo
=
0.
Solu{ie:
Avem
-f'(x)=---1-=
g(x);
g'(x)
=.1'
g"(x)
=--2-
9i
l-x
(l-x)' (1-x)'
oblinem
g@t
@)
=
(-l)'-'
:' +
(r-xl
s(x)
=c(0)
+
s'(0).i
+
s"
Q)'
*
..+
g'D
101'-
=
=
-t
+, +
2.
{
.. ..(-
t)'*'
.
rr.
++
g(r)
:
-l
+ x
+
x2.
. . +
(-1)'
* |
-
x' .
-1
2l
nl
"f(x)
:
s@)d\
=
-.
-+-++
.+(-1)'*1
3.4. Exercifii
propuse
1.
Sd se calcuLeze sumele
seriilor
date
prin
termenii
generali:
1
"
n(n +l)'
/ r\
a,=tnl
1+11.
\
n)
*
-2
--_
1
fr,
(n+l)t.
nt-l
x
n+l
3.
Sa
comparaliei.
4.
Sa
raportului.
5.
Sd
se
studieze
criteriul
radicalului.
I
n-
Ir
n=l
-f
9t
II
n=tl
-1-l
roto.i,o
4l
3l
se
studieze
natura
seriei
L--=-
folosind
criteriul
,=tlnt
-n
2
arcsina
folosind
criteriul
2n
se
studieze
natura
seriei
13 +23 +...+n'
7/24/2019 Carte Analiza matematica
33/68
6.
Sd
se
studieze
natura
seriei
I
folosind
criteriul
Raabe-Duhamel.
7. Sa
se
studieze
natura
seriei
i
r+tt
folosind
criteriul
n=t\nn)
logaritmului.
8.
Sa se
studieze
natura
seriei
i.io4.
I
folosind
criteriul
lui Abel'
it
4n
9.
Sa
se
studieze
natura
seriei
i
f-ri'
:-
folosind
criteriul
n'l
n
+L
Leibniz.
10' Fie
frrnclia
f
: R
-+
R,
f
(*)
=
arctg
x'
Sd
se
dezvolte
in
serie
Mac
Laurin.
CAPITOLUL
IV
CONTINUITATE
4.1.
Definifii.
Proprietifi
Defini{ie
(continuitatea
cu
giruri):
Fie spaliile
metrice
(,S,
d),
(S',d'),
f
:AcS-+S'
o
funclie
Si
a;A
un
punct
fixat.
Spunem
cd
f
este
continud
in
punctul
ae
A
da6d
pentru
orice
gir (r,),.N
cA,
convergent
la
xo,
girul
(f (*,))
este
convergent
gi
,lim
./(x,)=
f
(a).
Defrni{ie
(continuitatea
cu
vecinlt5fi):
Spunem
cd
f
este
continud
in
ae
A
dacd,
pentru
orice
vecindtate V
a
punctului
f
(a)
in S'
existi
o
vecinitate
U apunctului
a
in S
astfelincdt
f(U
aA)cV.
Defrnifie
(continuitatea
cu e
):
Spunem
cE
f
este
continud
in
a
e
A
Defini{ie:
Funclia
f
este
c9 ttgJgL 9lpin
a e
,4
dac[
exista
f
(a-0)=
lim
f
(x):.f
(a).Funclia
/
este
glltin
la_4 4t in
a
e
A
daclexistd
f(a+O):)ry,,f(*):f(a).
Funcfia
f
este
continuiin
aeA
daclt
f
(a-
o)
=
f
f,*ii -
16.
Defini(ie:
Spunem
cd
a e A este
punct
de
discontinuitote
de
spela
I
pentru
funclia
f
dacd
aceasta
nu
este
continul
in a sau
dach
limitele
laterale
ale
funcliei
/
in
punctul
a
existd,
sunt
finite,
dar
nu
sunt
egale:
="f(a-0)e
R,
f(a+0)e
R+
f(o-0)+f(a+0);
1
f("
-0)
e R,
f(a
+ 0)e
R
=
"f(a
-0)
=
f(a
+ 0) *
f
(a).
Defini{ie: Spunem
c5
a e
A
esle
punct de
discontinuitate
de
spe{a
a
II-s
pentru
funcfia
.f
dacd
cel
pulin
una
din
limitele
laterale
nu
existd
sau existd dar nu este
finiti.
dacdV
e>
0,
5(e)
>
0 a.i.V
x+
a,dinl*-al< 5(e)
+l
f
(*)-
"f
(a)l
7/24/2019 Carte Analiza matematica
34/68
5.
:R\{11}+ R; xo=-1.
8. Sd
se
determine
domeniul
de continuitote
pentrufuncfia:
7/24/2019 Carte Analiza matematica
35/68
f
f(x)=*,
Solu{ie:
Rescriem
funclia:
f
(*)
=4
=
.
*---
.1
-,
=
I
-
.
x'-7
(x-l)(x+l)
x+l
I
t
1l
Ve>0,16>0a.i.lx+l
l=2x>o=-u>o
I
Avem
]i*r'*
=
lim
(e2')'
=
11,
e2^'
=l
+
2x:0
=
x
=
0.
[0,r"
0=
u, >0+=,lirn,/G)
=
-f(a),
-f(a)
=sincr
=
functia
este
continud
pe
intervalul
(0,
+
oo).
10.
f
:R+R;
"f(x):
lim
n-)@
lx-lle^
+a(x +7)2 e-"
nx
-nx
e +e
7/24/2019 Carte Analiza matematica
36/68
f
(0-0)
=,lgXcosx
=1;
f
(0+
0)
=,l5sin.x:0
=)
funcfia
nu
este
x0
continud
in
punctul
xo
=
0.
Deci,
domeniul
de
continuitate
al
funcfiei
/(x)
este
i-.
sd
se
determine
constqnrere
reare
pentru
care
Juncria
f
este
continud;
9.
f
:R->R;
f(x)={2"
*3h"xe(-*'11
wf2'+a)
|
8x-3,
xe(1,2)
Solufie:
Funcfia
este
continudpe
R
\
{1,
2}
fiind
exprimat[
prin
funclii
elemen-
tare.
ca
funclia
sd
fie
continud
pe
intreg
domeniur
de
defini1ie,
ea
trebuie
sd
fie
continud
qi
in
punctel
e 1
Si2.
Deci:
f(t-0)
=
f(l
+
0)
=
f(r)+
tim,
.f(x)
=
tim
f(x)
=
f(t)
)
;:,'
il,'-
'
'
=
lim
2*
+3b'
=
lim.gx
-3=2o
+3b
=2o
+3b:5.
x-+l
x-+l
xl
f
(2-0)=
f(2+0)=f
(2)=>
tim^f(x)=
trm^f
(*):
-f
(2)=
x
2
=
lim
8x-3=
lim2*
+3b,
=22o
+32b
+22"
+32b
=13.
->2
x
+2
x2
Rezolvdm
sistemul
format
di,
cere
doud
ecualii
gi
aflam
constantere
a
$i
,.
I
,"
*36
=5
_ [
2'
=s-3n
I
z"
=5-3,
lz"
*32b
=13-lr"
+3,n
=
rs
=l1s
-30),
+3ru
=13)
_ f
2o
=5-3b
"l
2o
=5-3b
-
1r.
32b
-lo.3b
+tz=
o
=
tr"
-5.30
+6
=
o
+
I
z'=
5
-3'
+{
[1sb
-211:6
-3)
=o
{lh
=
Z,3D
=
3
==
[a,
=
1ogr3,
a,
=
1
12'
=3.2'
=2
-
[4
=
logr2,bz=l'
72
73
Solu{ie:
Calculdm
limita:
I
x
-lle"
+a(x
+
1)2
lim
n
-+@
lx-lle*+a(x+l)2e-*
_
W-W
e +e
I
;
e
lim
n-+@
"*+l
W
e
,. lx-l le2*+a(x+l\2
-
llrrl
-"""--
-
atlll
n-)6
e'* +l
,-)4
lx-ll*a(x-+l)2
l'1x+1)2,x0
Funclia
"f
(*)
este continud
pe
(-.,
0]
u
[0,
+
.o)
deoarece
este
formati
din
funclii elementare.
Pentru
ca
f
sla fie
continud
pe
R,
ea
trebuie
sd
fie
continud
in
xo
=
g.
Deci
/(0
-
0)
=
/(0
+
0)
=
-f
(0)
)
hn.f
@)
=
h\
f
(x)
=
f
(0)
-
x0
=
a(0 +1)2
=10
11.
.f
:.R
-+
R;
a+l
-ll=
2
+a-L
[
^e*,x10
@)=
[r1rr*r-
2)+c,x>o
u'=J's4+19
Solu{ie:
Functia
f(*)
este
continui
pe
formatd
din
func1ii elementare. Pentru
ca
sd
fie
continui
in xo
=
9.
(-*,
0] u
[0,
+
oo)
deoarece
este
f
sdfie
continud
pe
R,
eatrebuie
Deci
./(0-
0)
=
/(0+
0)
=
f
(0)=,lim^
/(x)
:,ltr"^/G) :
f(0)
=
13. Folosind
definilia
cu ,
sd
se studieze continuilatea,
in
origine,
7/24/2019 Carte Analiza matematica
37/68
x0
+ lim
axe*:limb(x2
+x_ 2)*c=0
+-2b*c=0)c=2b.
x-+0
x-+0
r0
u
rr^
.[(x)
- f(0)
R,
f(x,D=1?;7'*"
I
[o
,x2
Solufie:
V
s
>
036(e,
0, 0),
l
rl< 6,1 ylR
gi
punctul
xoeR.
Spunem
cd
funcfia
f
este derivabild la dreapta
tn
punctul
xo,
dacd
limita
la
dreapta
in
acestpunctexistiqiestefiniti:f)@i=,YW.Aceas1dlimitd
se numeqte derivata
la
dreapta
"fr."ti"iiir
r:;:;
.,
Definifie:
Fie funcfia
f
: R
-+
R
gi
punctul
interior
xo
e R.
Spunern
cd
funclia
f
este
derivabild
in
punctul
interior
xo,
dacd
derivatele laterale
in
acest
punct
sunt egale
intre
ele
gi
egale cu derivata
func{iei
/
in
punctul
xo :
fi@)
=
"fJ@)
=
.f'(x).
Definifie: Dacd funclia
f
este
derivabili
de
(n-1)
ori
pe
o
vecinitate
V alui
re,
gi
dacl derivata
7@-t)
este
derivabild
in x,,
putern
spune ci
funcfia
/
este
derivabild
de
n
ori
in punctul
xo
gi
se noteazd
-ft')(*).
Avem
"f@)
@i
=
,ry1
xeV
f@)
@)
=7y@-t)Y1xo1.
/-(,
-t)
@)
_
7r,
-r)
7xn)
5.2.
Derivata
parfiali
qi
diferen,tiala
unei funcfii
in
R,
Definifie:
Fie funclia
f
: D c.R'
-)
R,
-f
(rr,...,xn)
o
funclie
de
n
variabile,
i
. D,
t:
(ro,
,x02,...,x,j,...,xs,,)',
derivata
porliatd
in
punclul
xo se calculeazd folosind urmitoarea fonnuli:
.fi.@):{G;-
1i^
J'(xot'xoz' "''xi'"'xo')-
'f
(xot'xoz'
"''xoi'"''xo')
.
dxi
x/+xo
X-xi
x-xo
Pentru
cazul
particular
n
=2,
avem
funcfia
f
:
D
c. R2
-)
R,
. D,
-ro
(*o,y).Derivate
parfiale
r
Derivate
partiale
mixte
(de
ordinul
II):
7/24/2019 Carte Analiza matematica
41/68
i
=
in raport
cu
x
gi
y
sunt:
-fia0,
yi
:
ff
ro, r)=,lgo
fuH@
t
fi,Go-vi:{Go,vo)
=
lim
f
Go'v)-
'f
6o'vil
.
'
oy
y-+yo
_ o
Pentru
cazul
particular
n
=3,
avem
funclia
J
:
D c.,Rr
-+
.R,
i
. D, lo
=
(xo,yo,ro).
Derivate
parliale
in
raport
cu
x,
y
qi
z
sunt:
f
(x
6,
y
s,
z
n)
=
ff{*
o,
I
0,,
i
=,, r*ff
t
-f
,(xo,/o,zo)
=
{eo,lo,zo)
=
lim
f
(xo'y'zo)
-
f
(xo'yo'zo)
.
dy
-
y+yo
- o
f
(x
x,
y
s,
z
r)
=
{
Q
o,
yo,
z
o)
=
lim
f
(xo'
y
o'
z)
-'f
(x
o'
y
o'
z
o)
.
OZ
:+:O
Z_ZO
in
calcule
se
preferi
modalitatea
de
aflare
a
derivatelor
parfiale
folosind
formulele
pentru
derivarea
unor
funclii
uzuale.
Derivatele
parfiale
de
ordinul
n
pentru
o funclie
de
doui
variabile
se
^,f A( A,-tf
)
definesc
astfel:
--3-
v'r,vrw
o",,',.
fuk;bk
lx,
y)=
*l*@(\
y)
).
Pentru
cazul
partictlar
n=2, pentru
funcfia
f
:
R2
-+
R
de
doui
variabilexqiyavem:
o
Derivate
parfiale
de
ordinul
I:
.
in
raport
cu
x :
fj(x,
i
=
{@,
y);
ox
.
in
raporr
cu
y:
fl(x,
il
={@,
y).
-dy
o
Derivate parfiale
de
ordinul
II:
.
inraporr
cu
x:
f\(x,y)=*r*,D=+({(r,y));
Ox-
dx
\dx
)
.
inrapon cu
y:
f,iG,y)=#.o,D=+({(r,yll.
'
ry
oy\oy
)
82
in
raport
a)
xy:
f
(
x-
v\
=
O'-f
--,
.
r
x,,\^,
t
t
-
*(x,,
=
*(ffr-,
rl),
inraporr
cu
yx
:
-f,li,G,
il=
O'f
(-.
.,
a
(
af.
.
)
-ryx\-.,rr-
qrfu\x,y)=
ful;G,y))
DacS
funcfia
f
e
c2 (D).
adica
funcfia
admite
derivate
parliale
pdn,
la
ordinul
2
inclusiv
pi
acestea
sunt
continue,
atunci
derivatere
parliale
mixte
sunt
egale,
adicFt
f
(x,
y7
e
Cz (D
)
-
{
@,
r,
=
il_
6,
r),.
o*@
ayox
"
"'
Pentru
cazul
parti
cular
n=
3,,
.pentru
funcfia
f
:
R3
_+(
de
trei
variabile
x,
/
$i
z
avem:
o
Derivate parfiale
de
ordinul
I:
.
in
raport
cu
x:
fie,
,
z)
=
ff{r,
t,,
r);
.
in
raport
cu
y
:
f
(x,
,
Z)
=
{{*,
l,
,);
a'
.
in
raporr
cu
z
:
f (x,
,
z)
=
ff{*,1,4.
o
Derivate partiale
de
ordinul
II:
.
in
raport
cu
x
:
f,,,
(x,
y,
z)
=
ffrr,
,
z)
=
**(#O,
r,
A),
.
in
raport
cu
y
:
f,,(x,
y,
,)
=
ffA,
/,
z)
=
*(ff*,
l,
,l);
.
in
raport
cu
z
:
f-,.(x,
y,
r)
=
ffr*,
,
z)
=*(*",
,.
,))
oz\az
)
r
Derivate
partiale
mixte
(de
ordinul
II):
'
firi,
,
z)
=
-fi,e, l,
4 =
-6,
,
Z)
=
*({U,
y,
,));
0x0y'
ox
\oy
)
.
-fl@,
,
z)
=
.f l(*,
y,
4
=
#@,
,
z)
=
(
{U,
y,
,)),
0x0z'
'
ox\oz
),
.
-fi@,
,
z)
=
-f "(*, y,
,y
=
-L
1*.
-.
-,
a
(
af
.
)
:y\--)
r
r
-,
-
fuAr\^,
/,
Z)
=
Url*Q,
y,
r)
).
83
DIFERENTIALA
TOTALA
A
LINEI
FL]'NCTII
DE
DOUA
VAzuABILE
De
ordinul
I:
df
(x,
D=ffa*.ffr,
Pentru
cazul
particularn
=
2,
matricea
Hessiand
are
forma:
(*o.rt
#r,,rrl
7/24/2019 Carte Analiza matematica
42/68
De
ordinut
II: d2f
(x,
r,
=#*,
*r#*at,
*ffat,
Defini,tie:
Fie
funcfia
compusi
.f
(x,y):e(u(x,y),v(x,y))
definim
operalorul
de
derivart
^
df 0f
0u
6f
dv
z
rn
raporr
cu
x:
fi=
A,
A_.;
;
gi
operarorul
de
derivqre
in raport
cu
y:
{={
?-.{ ?.
dy
auA
Av4,
5.3.
Extreme
locale
pentru
functii
in
R,
Fie
funcfia
diferenfiabild,
f
: D
c
R,
-+
R,
-f
(xr,
...,
x,).pentru
a afla
extremele
locale
ale
unei
astfel
de
funclii
se
procedeazd
astfel:
Se rezolvd
sistemul
urmdtor
pentru
a afla
posibilele
puncte
de
extrem:
[{u,,...,
r,)
=
o
l6r
I
z.
lar
li(x,,.'.,x,,)=o
l*,
o
Se
calculeazd,
derivatele
parliale
de ordinul
I
gi
II in
punctele
reztiltate
in
urma
rezolvdrii
sistemului
precedent.
o
Se
completeazd.matriceaHessiand:
(
*r.,,..,rr)
.
{
7/24/2019 Carte Analiza matematica
43/68
.f"(1)=
lim(a
+
7)"'-'
=(a*l)eo
:
a+1
-
x->l
xl
f
(l)=
lim
(a
+1)e"-1
=(a+\)eo
=
a+7
x->
I
)
a*1=b-
Pe intervalul
(-oo,1]
funclia
/(x)
este derivabild deoarece
este
func{ie
elementard exponenlialA. Pe
intervalul
(1,+oo]
func{ia
f(x)
este
derivabild
deoarece
este
funclie
elementari
trigonometricd. Pentru
ca functia
f
(x)
sd
fie derivabild
pe
R, ea
trebuie sd
fie
derivabild
in
punctul
de
leg[turi xo
=7,
adicd
f (1)
=
f;(l)
=
f'(l).
rt, \ I
(a+l)e*-|,
x.-l
l'(x)
=
I
[cos(x
-l)
-
2b
sin2(x
-
1), x
>
I
-f:(l)
=
lim(a
+
l)"'
-'
-
(a
+7)eo
=
a
*
|
x+l
x
7/24/2019 Carte Analiza matematica
44/68
)
.1t
-
sln-
=
x'+y'
Solu{ie:
Derivatele
Parliale
de
ordinul
I:
fj(*.
y)
=
*r,,
rl
=(*=),
=
xzy
+
yi
-2x2y
-
-r;4;y-
,'
-
x'v
=
f'(x-v)t=#
Jx\^)lt-
1*2+yr)r'
af
(*v
')
f
(x,
l)
=;(r,
l)
=17
*
;
),
=
x( x2
+
v2
}
-
xv'2Y
*'
*
*Y'
-2*Y'
-
(*'
+
y2)2
(r' +Y')'
*'-xy'
=
{.1.(x.y)=-fr
Jy\*)))
G'+yr)r'
Derivatele
Parfiale
de
ordinul
II:
r
,
e.
t)
=
*('*u,
il)
=(i#)
r'
=
(xs,
o)=
[;,r)
22
2
,=
r.
-sm
2
t;(;,
af
(y.ol=
h-
a/\2'),-o
(n
\ r .
it
lT*Y )-i",
v
',"(;.,,)-'
t(;,,)-
r[;,,)
_ /_ \
=1
li* .or[
1+
, l-
)v+0 l)
-
I
)
v
n
(n
\ n
,"1,
+
Y
)-,
I
I
lim
v-+o
(y'
-
*'y),'
(*'
*
y')'
-
(r'
-
"
ilI(*:
lFl
-
(r'
*
y')o
7l
-.
=-lrm
2
y--+o
y
=
r;(;,0)=
o
2x(x2
+
y2)1-*'y-
y'
(*' *
y')o
l+l
=
r*,|[,.=^]-]=
=,n"1
=?1
"
=
r)
(r,\
=
4.
-f
(x,
y)
=
x
sin(x +
y),
,.
stnx+xcos.r
T
fi 7t
Ilm
-=sln-+-cos-
:
lim
v
-+o
,It
xslnx--
:lim
2-
TTE
x--
)
*--
-2
/_ \
=
"fl),0
l=t.
\z
)
rl
r+-
a
7
88
-2v3
+Zxz
v\
89
l'
.
2xy(xz
-ly')
) l=1 lx.
Y)=---
;---r-'
x'
"
(3y'
-
*')(*'
*
y')'
-
(y'
-
x2
y)
.2(x2
+
y')
.2y
(*'
*
y')o
7/24/2019 Carte Analiza matematica
45/68
(x'+y')'
a
(at.
.)
(
,'-rl'
)'-
r
se,
D
=
;lbu,
il
)=
l7l*f
t,
),
=
l*'-*y')r'("
*Y'@=
:-
z\+
(x'
+
Y')-
-
2xy(
x'
*
y'
)'
-
(*'
-2?
)2(f
t-t)'
2Z
=
-
-2s,@2
+
y|\(-x --
xy-z
--2x3
+zryz)
-
(*'
+
y')o
-li,=W
Derivatele
Parliale
mixte:
ri,e,
t)
=
*(*u,r,).'
=
(#),'
=
(r,
-*y'),'
1v2
+
y')z
-(x3
-
*y2)l(x2
+
yz)z)'
-
=
(x'
+
Y')
_(x2
+
y2)(3x4
+3x2y2
-x2) 2--y4
-4x4
+4x2yz)
-
=.
(*r+yr)n
-
xo
-
yo
+
6x'Y'
=
i ,(x,t)=-
Ui;;ry-'
f
,
(x,
r)
=
*(*o,
o)
=(b#),'
=
90
+42xsy+4ox3y+2y21.
91
')(3*'y'+3yo
-*o
-*'y'
_ *1 _
yo
+6x2yz
=fi,$,D=:
uffi-
Observdm cf, derivatele
pa\iale mixte
sunt
egale.
6..f(x,
y)
=
7 *o
y'
-
4*t
y
+ Sxz
+7
ya
.
Solu{ie:
,
"
Derivatele
parfiale de
ordinul I:
.f)(*, y) =
28x'
y'
-12x2
y
+10x;
fj(x,
y)
=
74xa
y
-
4x3
+
28y3
Derivatele
parliale
de
ordinul
II:
fi,Q,
D-84x2y2
-24xy+lO
fi,(x,
y)=74xa
+84y2.
Derivatele
parliale
mixte:
f[(x,
D:
.f[(x,
y)
=
56x'Y
-12x2.
7.
f
(x,y)=5"Y*2's
Y+x2Y2.
Solu{ie:
Derivatele
parliale
de
ordinul
I:
fl(*,
y)
-
5r'v*2rsv*,2v2
ln5.(7x6
y+l}xa y
+2xy2);
fl(x, il
=
5'7
+ 2'sv
+
""
ln5.
(x7
+
2xs
+ 2x2
y).
Derivateie parfiale
de
ordinul
II:
frr(x, )=5*'v+2'5v+*2v2
ln2 5.17x6y
+\oxay
+2xy212
+
*
5r7
t,
+2*st + *'r'
ln5
.(4zxs
y
+
40x3
y
+
zy2)
=
=> -f
", (x, y)
-
5'7
t
*
z's
v
*'2
v2
ln
5lln
5
.
(7
x6
y
+ l0
xa
y
+
2 xy2
72
+
(*'
-f
;(*,
y)
-
5'1
t*z*tv**'v2
lnz
5
.1x7
+2x5
+ 2x2
y)2
+
* 5r1
t,
+ 2*s
+
*'
r'
ln5
.
2x2
,Fi-v
f
\(*, v)
= 1)a
x'
+
y-
(x'
*'+y'-y?
.fxF;7
7/24/2019 Carte Analiza matematica
46/68
=
=
f
,
(x,
y)
=
5'?
v
+
2*s
v
+
*2,'
ln 51rn
5
.
(*'
+
2xs
+ 2x2
y)z
+
2x2
1.
Derivatele parfiale
mixte:
f
,(x,