Algebra Liniara

asist. Ciprian DeliuUniversitatea Tehnica ”Gh. Asachi” Iasi

Facultatea de Hidrotehnica, Geodezie si Ingineria Mediului

2014

Cuprins

1 Matrice. Determinanti. Sisteme de ecuatii liniare 31.1 Matrice. Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Spatii vectoriale 132.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Dependenta liniara. Baza. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Schimbari de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Transformari liniare 313.1 Definitii si proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Matricea unei transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Endomorfisme pe spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Forme biliniare. Forme patratice 494.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5 Vectori liberi 635.1 Spatiul vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Produse cu vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.2 Produsul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1

5.3.3 Produsul mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.4 Dublul produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Planul si dreapta ın spatiu 736.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Unghiuri si distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3.1 Unghiul a doua drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.2 Unghiul a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.3 Unghiul dintre o dreapta si un plan . . . . . . . . . . . 796.3.4 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . 796.3.5 Distanta de la un punct la o dreapta . . . . . . . . . . . 806.3.6 Perpendiculara comuna. Distanta dintre doua drepte . 80

6.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2

Capitolul 1

Matrice. Determinanti.Sisteme de ecuatii liniare

1.1 Matrice. Determinanti

Definitia 1.1. Se numeste matrice reala cu m linii si n coloane o functiecare asociaza fiecarei perechi (i, j), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n un unic numarreal aij. Se foloseste notatia

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Multimea tuturor matricelor reale cu m linii si n coloane o vom notaprinMm,n(R). Numerele aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n se numesc elementelematricei.

Dupa cum sunt numerele m si n, putem defini urmatoarele tipuri dematrice:

� daca m = n, matricea se numeste matrice patratica

� daca m = 1, matricea se numeste matrice linie

� daca n = 1, matricea se numeste matrice coloana

Se numeste matrice nula o matrice care are toate elementele 0.Matricea patratica

In =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 . . . 00 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

3

se numeste matrice unitate de ordinul n.

Definitia 1.2. Prin suma a doua matrice A,B ∈Mm,n(R) ıntelegem o nouamatrice C = A + B ∈ Mm,n(R) ale carei elemente sunt suma elementelorcorespunzatoare din cele doua matrice:

cij = aij + bij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Definitia 1.3. Prin produsul matricei A ∈Mm,n(R) cu scalarul α ∈ Rse ıntelege o noua matrice, de aceleasi dimensiuni, obtinuta prin ınmultireatuturor elementelor lui A cu scalarul α:

αA =

⎛⎜⎜⎜⎝

αa11 αa12 . . . αa1n

αa21 αa22 . . . αa2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

αam1 αam2 . . . αamn

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Teorema 1.1. Fie A,B,C ∈Mm,n(R) si α,β ∈ R. Atunci avem:

a. A +B = B +A;

b. (A +B) +C = A + (B +C);

c. A + 0 = A;

d. α(A +B) = αA + αB;

e. (α + β)A = αA + βA;

f. α(βA) = (αβ)A.

Definitia 1.4. Prin produsul matricelor A ∈Mm,n(R) si B ∈Mn,p(R)

se ıntelege o noua matrice C = AB, ale carei elemente sunt date prin:

cij =n

∑k=1

aikbkj, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p.

Teorema 1.2. Fie A ∈ Mm,n(R), B,C matrice ale caror dimensiuni sapermita efectuarea operatiilor indicate, si α ∈ R. Atunci avem:

a. A(BC) = (AB)C;

b. A(B +C) = AB +AC;

c. (B +C)A = BA +CA;

d. α(AB) = (αA)B = A(αB);

4

e. ImA = AIn.

Definitia 1.5. Pentru o matrice A ∈Mm,n(R), se numeste transpusa luiA, matricea obtinuta prin interschimbarea liniilor si coloanelor lui A:

AT =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a1n a2n . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

∈Mn,m(R)

Teorema 1.3. Fie A,B doua matrice ale caror dimensiuni sa permita efec-tuarea operatiilor indicate, si α ∈ R. Atunci avem:

1. (AT )T= A;

2. (A +B)T = AT +BT ;

3. (αA)T = αAT ;

4. (AB)T = BTAT .

O matrice patratica A care are proprietatea ca A = AT se numeste matricesimetrica.

Definitia 1.6. Fie o matrice patratica A ∈Mn(R). Se numeste determi-nant al matricei A, si se noteaza cu detA, un numar real definit recurentın felul urmator:

(i) daca n = 2, atunci

detA = ∣a11 a12

a21 a22∣ = a11a22 − a12a21;

(ii) daca n > 2, atunci

detA =n

∑i=1

(−1)1+ia1iD1i = a11D11 − a12D12 + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)1+na1nD1n

unde D1i este determinantul matricei patratice de ordinul n−1 obtinutaprin eliminarea primei linii si a coloanei i din matricea A, pentru i =1,2, . . . , n.

Pentru n = 3 se obtine regula lui Sarrus :

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

RRRRRRRRRRRRRR

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.

5

Numarul Aij = (−1)i+jDij se numeste complement algebric corespunzatorliniei i si coloanei j, pentru i, j = 1, . . . , n. Folosind complementii algebricicorespunzatori unei linii sau unei coloane, putem calcula determinantul uneimatrice printr-o formula asemanatoare celei din definitie, dezvoltand dupa olinie sau coloana oarecare a matricei.

Teorema 1.4. Fie A ∈Mn(R). Atunci pentru i, j ∈ {1,2, . . . , n} fixati avem:

detA =n

∑k=1

aikAik = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ainAin

=n

∑k=1

akjAkj = a1jA1j + a2jA2j + ⋅ ⋅ ⋅ + anjAnj.

Teorema 1.5. Fie A,B ∈Mn(R). Atunci:

1. detAT = detA;

2. detAB = detAdetB.

Teorema 1.6. Fie A ∈Mn(R). Atunci avem:

(i) daca matricea B este obtinuta prin adaugarea la o linie a lui A a uneialte linii ınmultita cu o constanta, atunci

detB = detA;

(ii) daca matricea B este obtinuta prin interschimbarea a doua linii ale luiA, atunci

detB = −detA;

(iii) daca matricea B este obtinuta prin ınmultirea unei linii a lui A cu oconstanta α ∈ R, atunci

detB = αdetA.

Observatie 1. Aceleasi proprietati raman valabile daca operatiile de mai susse efectueaza asupra coloanelor matricii A.

Definitia 1.7. O matrice patratica A ∈ Mn(R) se numeste nesingularadaca are determinantul nenul, si se numeste singulara daca detA = 0.

Definitia 1.8. Fie A ∈Mn(R) o matrice nesingulara. Se numeste matriceinversa a lui A o matrice A−1 ∈Mn(R) cu proprietatea ca

AA−1 = A−1A = In.

6

Teorema 1.7. Fie A ∈Mn(R) o matrice nesingulara. Atunci inversa aces-teia este data prin:

A−1 =1

detA

⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

A1n A2n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Matricea de mai sus se noteaza cu

A∗ =

⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

A1n A2n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠

si se numeste matrice adjuncta a lui A.

Definitia 1.9. Fie A ∈Mm,n(R) si p ≤ min(m,n).

I. Se numeste minor de ordinul p al matricii A, orice determinant alunei matrice obtinute prin intersectarea a p linii si p coloane din A;

II. Se numeste rangul matricei A, ordinul maxim al minorilor nenuli ailui A.

Operatiile care pastreaza rangul unei matrice se numesc transformari el-ementare si sunt urmatoarele:

- ınmultirea unei linii cu o constanta nenula

- interschimbarea a doua linii

- adunarea unei linii ınmultita cu o constanta la o alta linie

precum si operatiile analoage pe coloane.

1.2 Sisteme de ecuatii liniare

Se numeste sistem de ecuatii liniare un sistem de forma

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2

⋮

am1x1 + am2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnxn = bm

(1.1)

7

Matricele formate cu ajutorul coeficientilor sistemului

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

, A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

am1 am2 . . . amn bm

⎞⎟⎟⎟⎠

se numesc matricea sistemului, respectiv matricea extinsa a sistemului.

� Daca toti termenii liberi sunt nuli (b1 = b2 = ⋅ ⋅ ⋅ = bm = 0), sistemul senumeste omogen.

� Rangul matricei A se numeste rangul sistemului.

� Daca exista x1, x2, . . . , xn ∈ R care verifica (1.1), spunem ca sistemuleste compatibil, iar valorile care satisfac ecuatiile sistemului se numescsolutii.

� A rezolva un sistem de ecuatii ınseamna a gasi solutii (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn.

� In cazul ın care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor(m = n), pentru rezolvarea sistemului se poate folosi regula lui Cramer

Teorema 1.8 (Regula lui Cramer). Fie sistemul cu n ecuatii si n necunos-cute

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2

⋮

an1x1 + an2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annxn = bn

Daca detA ≠ 0, atunci sistemul este compatibil si are solutia unica

x1 =D1

D,x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D

unde D = detA, iar Di este determinantul matricei obtinuta prin ınlocuireaın matricea A a coloanei i cu coloana termenilor liberi, pentru i = 1,2, . . . , n.

Sistemul (1.1) poate fi rescris ın forma matriceala

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

b1

b2

⋮

bm

⎞⎟⎟⎟⎠

8

sau pe scurt Ax = b, unde

x = ( x1 x2 . . . xn )T∈Mn,1(R) si b = ( b1 b2 . . . bm )

T∈Mm,1(R).

Daca A este matrice patratica nesingulara, atunci solutia sistemului estedata de

x = A−1b.

Teorema 1.9 (Kronecker-Capelli). Sistemul (1.1) este compatibil daca sinumai daca matricele A si A au acelasi rang.

Observatii:

� Intrucat matricea extinsa A este obtinuta prin adaugarea unei coloanela matricea A, ın general avem ca rang(A) ≥rang(A). Asadar un sis-tem este incompatibil daca prin adaugarea coloanei termenilor liberi semareste rangul matricei.

� Fie un sistem compatibil, r =rang(A) =rang(A) si un minor nenul deordin r al matriceiA. Necunoscutele corespunzatoare coloanelor acestuiminor le vom numi necunoscute principale, iar celelalte se vor numinecunoscute secundare. De asemenea, ecuatiile corespunzatoare liniiloracestui minor le vom numi ecuatii principale.

� Solutiile sistemului se obtin parametrizand necunoscutele secundare sirezolvand sistemul format din ecuatiile principale si necunoscutele prin-cipale.

1.3 Exercitii

1. Sa se efectueze diverse operatii cu matricele:

A = (2 0 −14 −5 2

) ,B =⎛⎜⎝

7 1−5 −41 −3

⎞⎟⎠,C = (

1 2−2 1

) ,

D = (3 5−1 4

) ,E = (−53

)

2. a) Fie A = (2 5−3 1

), B = (4 −53 k

). Calculati k astfel ıncat AB =

BA.

9

b) Fie A = (2 −3−4 6

), B = (8 45 5

) si C = (5 −23 1

). Sa se verifice

ca AB = AC, desi B ≠ C.

3. Sa se calculeze determinantii:

a)

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 0 0 −12 3 4 7−3 4 5 9−4 −5 6 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

; b)

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

3 −1 5 22 0 7 0−3 1 2 05 −4 1 2

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

; c)

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 2 3 4 52 1 2 3 40 2 1 2 30 0 2 1 20 0 0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR: a) 216; b) -106; c) -11

4. Sa se calculeze rangul matricelor:

a)

⎛⎜⎜⎜⎝

2 0 2 0 20 1 0 1 02 1 0 2 10 1 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

; b)

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 3 −13 −1 2 01 3 4 −24 −3 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

; c)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 1 0 01 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 1 0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

R: a) 3; b) 2; c) 5

5. Sa se calculeze inversele urmatoarelor matrice:

a)⎛⎜⎝

2 3 40 1 12 2 −1

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

2 4 64 2 81 3 5

⎞⎟⎠

; c)

⎛⎜⎜⎜⎝

3 −2 0 −10 2 2 11 −2 −3 −20 1 2 1

⎞⎟⎟⎟⎠

;

d)

⎛⎜⎜⎜⎝

2 3 4 53 3 4 54 4 4 55 5 5 5

⎞⎟⎟⎟⎠

R: a) −18

⎛⎜⎝

−3 11 −12 −10 −2−2 2 2

⎞⎟⎠

; b) − 116

⎛⎜⎝

−14 −2 20−12 4 810 −2 −12

⎞⎟⎠

;

c)

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 −2 −40 1 0 −1−1 −1 3 62 1 −6 −10

⎞⎟⎟⎟⎠

; d)

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 0 01 −2 1 00 1 −2 10 0 1 −4

5

⎞⎟⎟⎟⎠

6. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii liniare:

a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 + x2 + x3 = 2

x1 + 3x2 + x3 = 5

x1 + x2 + 5x3 = −7

2x1 + 3x2 − 3x3 = 14

; b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 12

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 13

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14

;

10

c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4

x2 − x3 + x4 = −3

x1 + 3x2 − 3x4 = 1

−7x2 + 3x3 + x4 = −3

; d)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(3 − 2λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = λ

(2 − λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = 1

x1 + x2 + (2 − λ)x3 = 1

R: a) (1,2,−2); b) (2,1,1,1); c) (−8,3 + α,6 + 2α,α), α ∈ R.d) Matricea sistemului si matricea extinsa sunt

A =⎛⎜⎝

3 − 2λ 2 − λ 12 − λ 2 − λ 1

1 1 2 − λ

⎞⎟⎠, A =

⎛⎜⎝

3 − 2λ 2 − λ 1 λ2 − λ 2 − λ 1 1

1 1 2 − λ 1

⎞⎟⎠

detA = (3 − 2λ)(2 − λ)2 + (2 − λ) + (2 − λ) − (2 − λ) − (3 − 2λ) − (2 − λ)3

= (2 − λ)2(3 − 2λ − 2 + λ) + λ − 1 = (2 − λ)2(1 − λ) − (1 − λ) =

= (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1] = (1 − λ)(λ2 − 4λ + 3) = (1 − λ)(1 − λ)(3 − λ)

= (1 − λ)2(3 − λ).

Distingem urmatoarele cazuri:

I. λ ∈ R ∖ {1,3}⇒ detA ≠ 0

II. λ = 1⇒ detA = 0

III. λ = 3⇒ detA = 0

Cazul I: Daca λ ∈ R∖ {1,3}⇒ detA ≠ 0, deci sistemul este compatibildeterminat, solutia unica fiind gasita cu regula lui Cramer:

x1 =1

detA

RRRRRRRRRRRRRR

λ 2 − λ 11 2 − λ 11 1 2 − λ

RRRRRRRRRRRRRR

= ⋅ ⋅ ⋅ =(1 − λ)2(λ − 3)

(1 − λ)2(3 − λ)= −1

x2 =1

detA

RRRRRRRRRRRRRR

3 − 2λ λ 12 − λ 1 1

1 1 2 − λ

RRRRRRRRRRRRRR

= ⋅ ⋅ ⋅ =(1 − λ)2(4 − λ)

(1 − λ)2(3 − λ)=

4 − λ

3 − λ

x3 =1

detA

RRRRRRRRRRRRRR

3 − 2λ 2 − λ λ2 − λ 2 − λ 1

1 1 1

RRRRRRRRRRRRRR

= ⋅ ⋅ ⋅ =(1 − λ)2

(1 − λ)2(3 − λ)=

1

3 − λ

Cazul II: Daca λ = 1, sistemul initial

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(3 − 2λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = λ

(2 − λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = 1

x1 + x2 + (2 − λ)x3 = 1

devine

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 1

11

Avem rangA =rangA = 1, deci sistemul este compatibil dublu nedeter-minat.Alegem x1 necunoscuta principala si x2 = α, x3 = β necunoscute secun-dare. Se obtine x1 = 1 − α − β, deci multimea solutiilor este

S = {(x1, x2, x3) = (1 − α − β,α, β) ∈ R3∣α,β ∈ R}

Cazul III: Daca λ = 3, sistemul initial devine⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−3x1 − x2 + x3 = 3

−x1 − x2 + x3 = 1

x1 + x2 − x3 = 1

, matricea extinsa A =⎛⎜⎝

−3 −1 1 3−1 −1 1 11 1 −1 1

⎞⎟⎠

are rangul 3, iar rangA = 2, deci sistemul este incompatibil.

12

Capitolul 2

Spatii vectoriale

2.1 Definitii si exemple

Definitia 2.1. O multime nevida V se numeste spatiu vectorial real dacape V sunt definite doua operatii:

� o operatie interna (adunarea):

+ ∶ V × V → V ; (x, y)→ x + y

� o operatie externa (ınmultirea cu scalari):

⋅ ∶ R × V → V ; (α,x)→ α ⋅ x

care satisfac urmatoarele axiome:

1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V

2. ∃ 0V ∈ V astfel ıncat x + 0V = 0V + x = x, ∀x ∈ V

3. ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V ∶ x + (−x) = (−x) + x = 0V

4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V

5. α(βx) = (αβ)x, ∀α,β ∈ R, x ∈ V

6. α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R, x, y ∈ V

7. (α + β)x = αx + βx, ∀α,β ∈ R, x ∈ V

8. 1 ⋅ x = x, ∀x ∈ V

13

Proprietati:

� Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori ;

� Numerele reale cu care operam asupra vectorilor le vom numi scalari ;

� Vectorul 0V se numeste vectorul nul ;

� Vectorul −x se va numi opusul vectorului x.

Din axiomele definitiei spatiului vectorial, rezulta urmatoarele consecinte:

1. 0 ⋅ x = 0V , ∀x ∈ V

2. α ⋅ 0V = 0V ,∀α ∈ R

3. (−1) ⋅ x = −x, ∀x ∈ V

4. αx = 0V ⇒ α = 0 sau x = 0V , α ∈ R, x ∈ V

5. αx = βx⇒ α = β, α, β ∈ R, x ∈ V ∖ {0V }

6. αx = αy⇒ x = y, α ∈ R ∖ {0}, x, y ∈ V

Exemple de spatii vectoriale reale:

1. Rn, ımpreuna cu operatiile:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)

2. Rn[X], multimea polinoamelor de grad cel mult n, ımpreuna cu adunareapolinoamelor si ınmultirea polinoamelor cu scalari;

3. Mm,n(R) ımpreuna cu adunarea matricelor si ınmultirea matricelor cuscalari

4. C0[a,b]

, multimea functiilor reale continue definite pe intervalul [a, b],ımpreuna cu adunarea functiilor si ınmultirea functiilor cu scalari

14

2.2 Subspatii vectoriale

Definitia 2.2. Fie V un spatiu vectorial. O submultime nevida U ⊂ V senumeste subspatiu vectorial al lui V daca

1. u + v ∈ U, ∀u, v ∈ U ;

2. αv ∈ U, ∀α ∈ R, v ∈ U .

Teorema 2.1. Fie V un spatiu vectorial. O submultime nevida U ⊂ V estesubspatiu vectorial al lui V daca si numai daca

αu + βv ∈ U, ∀α,β ∈ R, u, v ∈ U.

Multimea V si multimea {0V } sunt subspatii vectoriale.Exemplu: Multimea

U = {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 − x2 + x3 = 0}

este un subspatiu vectorial al lui R3.Demonstratie: Fie x, y ∈ U si α,β ∈ R. Vom arata ca αx + βy ∈ U .

x = (x1, x2, x3) ∈ U ⇒ x1 − x2 + x3 = 0

y = (y1, y2, y3) ∈ U ⇒ y1 − y2 + y3 = 0

αx+ βy = (αx1, αx2, αx3)+ (βy1, βy2, βy3) = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)

Verificam daca vectorul αx + βy ındeplineste conditia din definitia lui U :

(αx1 + βy1) − (αx2 + βy2) + (αx3 + βy3) = αx1 − αx2 + αx3 + βy1 − βy2 + βy3

= α(x1 − x2 + x3) + β(y1 − y2 + y3) = α ⋅ 0 + β ⋅ 0 = 0.

Teorema 2.2. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vectorialV . Atunci U1 ∩U2 este subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie:Deoarece 0V ∈ U1 si 0V ∈ U2, rezulta ca 0V ∈ U1 ∩U2, asadar U1 ∩U2 ≠ ∅.Fie x, y ∈ U1 ∩U2 si α,β ∈ R. Cum U1 si U2 sunt subspatii vectoriale, avem

x, y ∈ U1 ⇒ αx + βy ∈ U1

x, y ∈ U2 ⇒ αx + βy ∈ U2

de unde rezulta ca αx + βy ∈ U1 ∩U2.

15

Observatie 2. Reuniunea U1 ∪U2 nu este subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 2.3. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vectorialV . Multimea

U1 +U2 = {v ∈ V ∣v = v1 + v2, v1 ∈ U1, v2 ∈ U2}

se numeste suma subspatiilor U1 si U2.

Teorema 2.3. Suma U1+U2 a subspatiilor U1 si U2 ale unui spatiu vectorialV este de asemenea subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie: Fie u, v ∈ U1 +U2 si α,β ∈ R. Atunci avem:

u = u1 + u2, cu u1 ∈ U1 si u2 ∈ U2

v = v1 + v2, cu v1 ∈ U1 si v2 ∈ U2

U1 si U2 fiind subspatii vectoriale ale lui V , rezulta ca

αu1 + βv1 ∈ U1 si αu2 + βv2 ∈ U2.

Deciαu + βv = α(u1 + u2) + β(v1 + v2) =

= (αu1 + βv1) + (αu2 + βv2) ∈ U1 +U2

adica U1 +U2 este subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 2.4. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vecto-rial V . Daca U1 ∩ U2 = {0V }, atunci U1 + U2 se numeste suma directa asubspatiilor U1 si U2, si se noteaza cu U1 ⊕U2.Daca ın plus U1 ⊕U2 = V , atunci spunem ca U1 si U2 sunt subspatii com-plementare.

Definitia 2.5. Spunem ca un vector v ∈ V este o combinatie liniara avectorilor v1, v2, . . . , vn ∈ V daca exista scalarii α1, α2, . . . , αn ∈ R astfel ıncat

v = α1v1 + α2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn

Teorema 2.4. Fie vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V . Atunci multimea tuturor combinatiilorliniare ale acestor vectori

Sp{v1, . . . , vn} = {v =n

∑i=1

αivi∣αi ∈ R, i = 1, . . . , n}

este un subspatiu al lui V si se numeste subspatiul generat de v1, v2, . . . , vn.

16

Definitia 2.6. Spunem ca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V formeaza un sistem degeneratori pentru V daca subspatiul generat de acesti vectori coincide cuV . Cu alte cuvinte,

∀v ∈ V, ∃α1, . . . , αn ∈ R astfel ıncat v = α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn

Exemple:

1. In R3, vectorii e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) formeaza unsistem de generatori.

2. In Rn[X], vectorii 1,X,X2, . . . ,Xn constituie un sistem de generatori

Exemplu: Sistemul de vectori

S = {v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1), v3 = (0,0,1)}

formeaza un sistem de generatori pentru R3.Demonstratie: Fie x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Trebuie sa aratam ca exista scalariiα1, α2, α3 ∈ R astfel ıncat

x = α1v1 + α2v2 + α3v3 = α1(1,1,1) + α2(0,1,1) + α3(0,0,1)

sau (x1, x2, x3) = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3). Rezolvand sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = x1

α1 + α2 = x2

α1 + α2 + α3 = x3

obtinem α1 = x1, α2 = x2 − x1, α3 = x3 − x2.

2.3 Dependenta liniara. Baza. Dimensiune

Definitia 2.7. Spunem ca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V sunt liniar independentidaca are loc implicatia:

α1v1 + α2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V ⇒ α1 = α2 = ⋅ ⋅ ⋅ = an = 0.

In caz contrar, daca exista scalarii α1, α2, . . . , αn nu toti nuli astfel ıncatα1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V , spunem ca v1, v2, . . . , vn sunt liniar dependenti.

Observatie 3. Daca o multime de vectori sunt liniar independenti, atunciorice submultime din acesti vectori sunt de asemenea linear independenti.Orice multime formata dintr-un singur vector este linear independenta, iarorice multime care contine vectorul nul este linear dependenta.

17

Definitia 2.8. Spunem ca sistemul de vectori B = {e1, e2, . . . , en} este o bazaa spatiului vectorial V daca vectorii e1, e2, . . . , en sunt liniar independenti siformeaza un sistem de generatori pentru V .

Teorema 2.5. Un sistem de vectori B = {e1, e2, . . . , en} este baza a lui V dacasi numai daca orice vector x ∈ V se exprima ın mod unic ca o combinatieliniara de vectorii din B:

x = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n.

Scalarii x1, x2, . . . , xn se numesc componentele sau coordonatele vectoruluix ın baza B.

Teorema 2.6. Daca B = {e1, e2, . . . , en} este o baza a spatiului vectorial V ,atunci orice submultime a lui V care contine mai mult de n vectori este liniardependenta. De asemenea, orice alta baza a lui V are exact n vectori.

Definitia 2.9. Se numeste dimensiune a spatiului vectorial V si se noteazadimV , numarul vectorilor dintr-o baza oarecare a lui V .

Exemple:

1. Baza canonica ın Rn esteB = {e1, e2, . . . , en}, unde e1 = (1,0, . . . ,0), e2 =

(0,1, . . . ,0), . . . , en = (0,0, . . . ,1), deci dimRn = n;

2. Baza canonica ın Rn[X] este B = {1,X,X2, . . . ,Xn}, deci dimRn[X] =

n + 1;

3. Baza canonica ın M2(R) este

B = {E1 = (1 00 0

) ,E2 = (0 10 0

) ,E3 = (0 01 0

) ,E4 = (0 00 1

)} ,

deci dimM2(R) = 4.

Teorema 2.7. Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a spatiului vectorial real V ,si un sistem de vectori v1, v2, . . . , vp ∈ V . Consideram S ∈ Mn,p(R) ma-tricea care are pe coloane componentele ın baza B ale vectorilor v1, v2, . . . , vp.Atunci:

a) vectorii v1, v2, . . . , vp sunt liniar independenti daca si numai daca rangulmatricei S este p;

b) dim Sp{v1, . . . , vn} = rang(S).

Teorema 2.8 (Grassman). Daca U1, U2 sunt subspatii vectoriale ale spatiuluivectorial V , atunci

dim(U1 +U2) = dimU1 + dimU2 − dim(U1 ∩U2).

18

2.4 Schimbari de baze

Fie V un spatiu vectorial n-dimensional siB = {e1, e2, . . . , en}, B′ = {f1, f2, . . . , fn}doua baze ın V . Fiecare vector din B′ poate fi scris ın mod unic ın baza Bastfel:

f1 = a11e1 + a21e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an1en

f2 = a12e1 + a22e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an2en

⋮

fn = a1ne1 + a2ne2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annen

sau pe scurt

fj =n

∑i=1

aijei, ∀j = 1, . . . , n.

Definitia 2.10. Se numeste matrice de trecere de la baza B la baza B′

matricea care are pe coloane componentele vectorilor din B′ ın baza B:

SBB′ =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠

∈Mn(R).

Teorema 2.9. Fie B = {e1, e2, . . . , en}, B′ = {f1, f2, . . . , fn} doua baze ınspatiul vectorial V , si fie vectorul v ∈ V , scris ın bazele B si B′ astfel:

v = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen = y1f1 + y2f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ynfn.

Atunci avem:⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

= SBB′

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮

yn

⎞⎟⎟⎟⎠

,

unde SBB′ este matricea de trecere de la B la B′.

Teorema 2.10. Fie B,B′ doua baze ale spatiului vectorial V . Atunci ma-tricea de trecere de la B la B′ este nesingulara si avem SB′B = S−1

BB′

2.5 Spatii euclidiene

Definitia 2.11. Fie V un spatiu vectorial. Se numeste produs scalar peV o functie

⟨⋅, ⋅⟩ ∶ V × V → R

19

care asociaza fiecarei perechi de vectori din V un numar real ⟨u, v⟩ si caresatisface conditiile:

1. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩, ∀u, v ∈ V

2. ⟨u1 + u2, v⟩ = ⟨u1, v⟩ + ⟨u2, v⟩, ∀u1, u2, v ∈ V

3. ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩, ∀λ ∈ R, u, v ∈ V

4. ⟨u,u⟩ ≥ 0, ∀u ∈ V ; ⟨u,u⟩ = 0⇔ u = 0V .

Din cele patru proprietati de mai sus, se mai pot deduce urmatoarele:

1. ⟨u, v1 + v2⟩ = ⟨u, v1⟩ + ⟨u, v2⟩, ∀u, v1, v2 ∈ V

2. ⟨u,λv⟩ = λ⟨u, v⟩, ∀λ ∈ R, u, v ∈ V

3. ⟨0V , v⟩ = ⟨v,0V ⟩ = 0, ∀v ∈ V

Demonstratie:

1. ⟨u, v1 + v2⟩ = ⟨v1 + v2, u⟩ = ⟨v1, u⟩ + ⟨v2, u⟩ = ⟨u, v1⟩ + ⟨u, v2⟩

2. ⟨u,λv⟩ = ⟨λv, u⟩ = λ⟨v, u⟩ = λ⟨u, v⟩

3. ⟨0V , v⟩ = ⟨u − u, v⟩ = ⟨u, v⟩ − ⟨u, v⟩ = 0

Definitia 2.12. Un spatiu vectorial ınzestrat cu un produs scalar ⟨⋅, ⋅⟩ senumeste spatiu euclidian.

Exemple:

1. Pe spatiul vectorial Rn definim produsul scalar standard

⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnyn

unde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn

2. Pe spatiul vectorial al matricelor patratice Mn(R) definim produsulscalar

⟨A,B⟩ = Tr(ATB), ∀A,B ∈Mn(R)

3. Pe spatiul vectorial C0[a,b]

definim produsul scalar

⟨f, g⟩ = ∫b

af(x)g(x)dx, ∀f, g ∶ [a, b]→ R continue.

20

Teorema 2.11 (Cauchy-Schwarz-Buniakovski). Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vec-torial euclidian. Atunci are loc inegalitatea

∣⟨u, v⟩∣ ≤√

⟨u,u⟩ ⋅√

⟨v, v⟩

Demonstratie: Inegalitatea din enunt este echivalenta cu

⟨u, v⟩2 ≤ ⟨u,u⟩ ⋅ ⟨v, v⟩

Pentru u = 0V sau v = 0V , inegalitatea devine egalitate.Daca u, v ∈ V ∖ {0V }, consideram combinatia liniara u + λv ∈ V , unde λ ∈ Reste un scalar arbitrar. Din proprietatile produsului scalar avem ca

⟨u + λv, u + λv⟩ ≥ 0,∀λ ∈ R (2.1)

Aplicand proprietatile produsului scalar, membrul stang al inegalitatii devine

⟨u + λv, u + λv⟩ = ⟨u,u + λv⟩ + ⟨λv, u + λv⟩

= ⟨u,u⟩ + ⟨u,λv⟩ + ⟨λv, u⟩ + ⟨λv,λv⟩

= ⟨u,u⟩ + λ⟨u, v⟩ + λ⟨v, u⟩ + λ2⟨v, v⟩

= ⟨u,u⟩ + 2λ⟨u, v⟩ + λ2⟨v, v⟩

Notand cu A = ⟨v, v⟩, B = ⟨u, v⟩, C = ⟨u,u⟩, inegalitatea (2.1) devine

Aλ2 + 2Bλ +C ≥ 0, ∀λ ∈ R

Cum A > 0, inegalitatea de mai sus are loc pentru orice λ real doar dacadiscriminantul

∆ = 4B2 − 4AC ≤ 0

asadar B2 ≤ AC, adica ⟨u, v⟩2 ≤ ⟨u,u⟩ ⋅ ⟨v, v⟩

Definitia 2.13. Se numeste norma pe spatiul vectorial V o functie

∥ ⋅ ∥ ∶ V → R

care satisface conditiile:

1. ∥v∥ ≥ 0, ∀v ∈ V ; ∥v∥ = 0⇔ v = 0V

2. ∥λv∥ = ∣λ∣∥v∥, ∀λ ∈ R, v ∈ V

3. ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥, ∀u, v ∈ V

Definitia 2.14. Un spatiu vectorial ınzestrat cu o norma ∥ ⋅ ∥ se numestespatiu normat.

21

Teorema 2.12. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Atunci functia

∥ ⋅ ∥ ∶ V → R, ∥v∥ =√

⟨v, v⟩, ∀v ∈ V

este o norma pe V , numita norma euclidiana indusa de produsul scalar.

Demonstratie: Vom arata ca functia din enunt satisface axiomele normei:

1. ∥v∥ =√

⟨v, v⟩ ≥ 0 deoarece ⟨v, v⟩ ≥ 0∥v∥ = 0⇔ ⟨v, v⟩ = 0⇔ v = 0V

2. ∥λv∥ =√

⟨λv,λv⟩ =√λ2⟨v, v⟩ = ∣λ∣

√⟨v, v⟩ = ∣λ∣∥v∥

3. Pentru a demonstra ca ∥u+v∥ ≤ ∥u∥+∥v∥, ∀u, v ∈ V folosim inegalitateaCauchy-Schwarz-Buniakovski si proprietatile produsului scalar:

∥u + v∥2 = ⟨u + v, u + v⟩ = ⟨u,u + v⟩ + ⟨v, u + v⟩ =

= ⟨u,u⟩ + ⟨u, v⟩ + ⟨v, u⟩ + ⟨v, v⟩ =

= ∥u∥2 + 2⟨u, v⟩ + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2∣⟨u, v⟩∣ + ∥v∥2 ≤

≤ ∥u∥2 + 2√

⟨u,u⟩√

⟨v, v⟩ + ∥v∥2 =

= ∥u∥2 + 2∥u∥ ⋅ ∥v∥ + ∥v∥2 = (∥u∥ + ∥v∥)2

asadar ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

� Din teorema anterioara rezulta ca orice spatiu vectorial euclidian esteun spatiu normat cu norma indusa de produsul scalar;

� ıntr-un spatiu vetorial normat, inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakovskise poate rescrie sub forma

∣⟨u, v⟩∣ ≤ ∥u∥ ⋅ ∥v∥⇔ −1 ≤⟨u, v⟩

∥u∥ ⋅ ∥v∥≤ 1

Definitia 2.15. Fie V un spatiu vectorial euclidian si u, v ∈ V ∖ {0V }.Numarul θ ∈ [0, π] definit prin

cos θ =⟨u, v⟩

∥u∥ ⋅ ∥v∥

se numeste unghiul dintre vectorii u si v.

Definitia 2.16. Un vector se numeste versor (sau vector unitar) dacanorma sa este 1.

22

Orice vector v ∈ V ∖{0V } are un vector unitar corespunzator, pe care ıl notamcu v0 si care poate fi obtinut astfel:

v0 =1

∥v∥⋅ v

Definitia 2.17. Se numeste distanta sau metrica pe multimea nevida Mo functie

d ∶M ×M → Rcare satisface conditiile:

1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈M ; d(x, y) = 0⇔ x = y

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈M

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈M

Definitia 2.18. O multime M ınzestrata cu o distanta (metrica) d se numestespatiu metric.

Observatie: Orice spatiu vectorial normat este spatiu metric cu distantaeuclidiana d(u, v) = ∥u − v∥.

Definitia 2.19. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Doi vectori u, v ∈V se numesc ortogonali daca produsul lor scalar ⟨u, v⟩ = 0.

Definitia 2.20. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si o multime devectori U ⊂ V . Multimea tuturor vectorilor ortogonali pe vectorii din U :

U� = {v ∈ V ∣⟨u, v⟩ = 0, ∀u ∈ U}

se numeste complementul ortogonal al lui U si este un subspatiu vectorialal lui V .

Teorema 2.13. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca vectoriiv1, v2, . . . , vn ∈ V ∖ {0V } sunt ortogonali doi cate doi:

⟨vi, vj⟩ = 0, ∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}, i ≠ j

atunci sunt liniar independenti.

Demonstratie: Consideram combinatia liniara nula

α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V ⇒ ⟨α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn, v1⟩ = ⟨0V , v1⟩ = 0

⇒ α1⟨v1, v1⟩ + α2⟨v2, v1⟩ + ⋅ ⋅ ⋅ + αn⟨vn, v1⟩ = 0

⇒ α1∥v1∥2 = 0⇒ α1 = 0

Facand produsul scalar al combinatiei liniare cu vectorii v2, . . . , vn obtinemde asemenea α2 = ⋅ ⋅ ⋅ = αn = 0.

23

Definitia 2.21. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian n-dimensional sio baza B = {e1, e2, . . . , en}.

1. Baza B se numeste ortogonala daca e1, . . . , en sunt ortogonali doi catedoi:

⟨ei, ej⟩ = 0, ∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}, i ≠ j

2. Baza B se numeste ortonormata daca este ortogonala si toti vectoriidin B au norma 1:

⟨ei, ej⟩ = {1, daca i = j0, daca i ≠ j

,∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}

Teorema 2.14 (Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt). Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩)un spatiu vectorial euclidian n-dimensional si o baza B = {u1, u2, . . . , un}.Atunci se poate construi o baza ortonormata {e1, e2, . . . , en} pornind de labaza B.

Demonstratie: Construim mai ıntai o baza ortogonala pornind de la bazaB, iar apoi considerand versorii corespunzatori se obtine baza ortonormatacautata.Pasul 1: Definim v1 = u1.Pasul 2: Definim v2 = u2 + α21v1, unde scalarul α21 se determina punandconditia ca v2 sa fie ortogonal pe v1:

0 = ⟨v2, v1⟩ = ⟨u2 + α21v1, v1⟩ = ⟨u2, v1⟩ + α21⟨v1, v1⟩

de unde rezulta

α21 = −⟨u2, v1⟩

⟨v1, v1⟩

Pasul 3: Definim v3 = u3 + α31v1 + α32v2, unde scalarii α31, α32 se determinapunand conditia ca v3 sa fie ortogonal pe v1 si v2:

0 = ⟨v3, v1⟩ = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v1⟩ = ⟨u3, v1⟩ + α31⟨v1, v1⟩ + α32⟨v2, v1⟩

de unde observand ca ⟨v2, v1⟩ = 0 rezulta α31 = −⟨u3, v1⟩

⟨v1, v1⟩.

0 = ⟨v3, v2⟩ = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v2⟩ = ⟨u3, v2⟩ + α31⟨v1, v2⟩ + α32⟨v2, v2⟩

de unde observand ca ⟨v1, v2⟩ = 0 rezulta α32 = −⟨u3, v2⟩

⟨v2, v2⟩.

Dupa n pasi se obtine baza ortogonala B′ = {v1, . . . , vn}. Considerand versoriicorespunzatori vectorilor din B′ se obtine baza ortonormata B0 = {e1, . . . , en},

unde ei =1

∥ei∥⋅ ei, i = 1, . . . , n.

24

2.6 Exercitii

1. Care din urmatoarele submultimi sunt subspatii ın R3?

a) {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 = 0}

b) {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 = 1}

c) {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x1x2 = 0}

d) {(0,0,0)}

e) {α(1,1,0) + β(2,0,1)∣α,β ∈ R}

f) {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x3 − x2 + 3x1 = 0}

g) {(x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 + x2 + x3 = 1}

2. Sa se studieze dependenta liniara a urmatorilor vectori:

a) v1 = (1,1,0), v2 = (2,0,1), v3 = (1,−3,2) ∈ R3

b) v1 = (1,1,0,0), v2 = (1,0,1,0), v3 = (0,0,1,1), v4 = (0,1,0,1) ∈ R4

c) v1 = (2,1,3,1), v2 = (1,2,0,1), v3 = (−1,1,−3,0) ∈ R4

d) v1 = (2,1,3,−1), v2 = (−1,1,−3,1), v3 = (4,5,3,−1), v4 = (1,5,−3,1)

e) u1 = v1 + v2, u2 = v1 + v3, u3 = v2 + v3, unde v1, v2, v3 sunt liniarindependenti

Rezolvare: a) Verificam independenta liniara cu definitia:α1v1 +α2v2 +α3v3 = 0⇒ (α1, α1,0)+ (2α2,0, α2)+ (α3,−3α3,2α3) = 0⇒(α1 + 2α2 + α3, α1 − 3α3, α2 + 2α3) = (0,0,0)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + 2α2 + α3 = 0

α1 − 3α3 = 0

α2 + 2α3 = 0

;

RRRRRRRRRRRRRR

1 2 11 0 −30 1 2

RRRRRRRRRRRRRR

= 0⇒ sistemul are solutii nenule

deci vectorii sunt liniar dependenti.

rang⎛⎜⎝

1 21 00 1

⎞⎟⎠= 2 deci vectorii v1, v2 sunt independenti, iar v3 se poate

scrie ca o combinatie liniara de v1, v2 astfel: v3 = −3v1 + 2v2

b) Scriind vectorii pe coloanele unei matrice obtinem:

rang

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 0 01 0 0 10 1 1 00 0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

= 3 < 4 deci vectorii sunt liniari dependenti.

25

De asemenea observam ca rang

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 01 0 00 1 10 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

= 3 deci vectorii v1, v2, v3

sunt liniar independenti, iar v4 se poate scrie ca o combinatie liniarade v1, v2, v3 astfel:

v4 = v1 − v2 + v3

3. Sa se gaseasca o baza ın subspatiul liniar al solutiilor sistemelor omo-gene:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 − x2 − 3x3 − x4 = 0

x1 + x2 + x3 − 3x4 = 0

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 − x3 − 2x4 + 3x5 = 0

x2 + 3x3 − 2x5 = 0

Rezolvare: a) matricea sistemului (1 −1 −3 −11 1 1 −3

) are rangul 2,

alegem necunoscutele secundare x3 = α, x4 = β si rezolvand sistemul

ın necunoscutele principale

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 − x2 = 3α + β

x1 + x2 = −α + 3βobtinem

S = {(α+2β,−2α+β,α, β)∣α,β ∈ R} = {(α,−2α,α,0)+(2β, β,0, β)∣α,β}= {α(1,−2,1,0) + β(2,1,0,1)∣α,β ∈ R} = Sp{(1,−2,1,0), (2,1,0,1)},iar cum acesti doi vectori sunt si liniar independenti, formeaza o bazaın S.

4. Sa se arate ca B este o baza ın spatiul liniar corespunzator si sa se scriecoordonatele vectorului v ın aceasta baza:

a) B = {(1,1,1), (1,1,2), (1,2,3)} ⊂ R3, v = (6,9,14)

b) B = {(2,1,−3), (3,2,−5), (1,−1,1)} ⊂ R3, v = (6,2,−7)

c) B = {(1,2,−1,−2), (2,3,0,−1), (1,2,1,4), (1,3,−1,0)} ⊂ R4, v = (7,14,−1,2)

d) B = {(1 11 0

) ,(1 10 1

) ,(1 01 1

) ,(0 11 1

)}, v = (2 34 5

)

Rezolvare: a)

RRRRRRRRRRRRRR

1 1 11 1 21 2 3

RRRRRRRRRRRRRR

≠ 0⇒ B este o baza ın R3.

26

v = α1(1,1,1) + α2(1,1,2) + α3(1,2,3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = 6

α1 + α2 + 2α3 = 9

α1 + 2α2 + 3α3 = 14

⇒

⇒ α1 = 1, α2 = 2, α3 = 3

5. Sa se gaseasca matricele de trecere ıntre urmatoarele baze:

a) B1 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, B2 = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)};

b) B1 = {(1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}, B2 = {(1,1,0), (−1,0,0), (0,0,1)};

c) B1 = {(1,2,1), (2,3,3), (3,7,1)}, B2 = {(3,1,4), (5,2,1), (1,1,−6)};

d) B1 = {(1,1,1,1), (1,2,1,1), (1,1,2,1), (1,3,2,3)},B2 = {(1,0,3,3), (−2,−3,−5, ,−4), (2,2,5,4), (−2,−3,−4,−4)} ın R4;

e) B1 = {1, t, t2, t3}, B2 = {1, t + 1, (t + 1)2, (t + 1)3} ın spatiul P3[t] alpolinoamelor de grad ≤ 3;

Rezolvare: a) Notam cu e1, e2, e3, f1, f2, f3 vectorii din cele doua baze.

Avem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

f1 = 1 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3

f2 = 1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3

f3 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3

deci⎛⎜⎝

1 1 01 0 10 1 1

⎞⎟⎠

este matricea de

trecere de la B1 la B2. Pentru a gasi matricea de trecere de la B2 laB1 aflam coordonatele vectorilor e1, e2, e3 ın baza B2: e1 = α1 ⋅ f1 +α2 ⋅

f2 + α3 ⋅ f3 ⇒

(1,0,0) = (α1, α1,0) + (α2,0, α2) + (0, α3, α3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 = 1

α1 + α3 = 0

α2 + α3 = 0

⇒

α1 = α2 =12 , α3 = −

12

(0,1,0) = (α1, α1,0) + (α2,0, α2) + (0, α3, α3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 = 0

α1 + α3 = 1

α2 + α3 = 0

⇒

α1 = α3 =12 , α2 = −

12

(0,0,1) = (α1, α1,0) + (α2,0, α2) + (0, α3, α3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 = 0

α1 + α3 = 0

α2 + α3 = 1

⇒

α2 = α3 =12 , α1 = −

12 , deci matricea de trecere este

⎛⎜⎝

12

12 −1

212 −1

212

−12

12

12

⎞⎟⎠

.

27

6. Fie P spatiul vectorial al tuturor polinoamelor reale definite pe [−1,1].Sa se arate ca P este un spatiu euclidian ın raport cu aplicatia definitaprin:

⟨p, q⟩ = ∫1

−1p(x) ⋅ q(x)dx

7. Sa se arate ca aplicatia

∥ ⋅ ∥2 ∶ Rn → R+, data prin ∥x∥2 =n

∑i=1

∣xi∣

este o norma pe Rn.

8. Sa se arate ca aplicatia

d ∶ R+ ×R+ → R+, data prin d(x, y) = ∣lnx

y∣

este o distanta pe R+.

9. In R4 consideram vectorii x = (−2,5,1,3), y = (−1,−2,3,2), z = (−2,1,2,3).Sa se calculeze ⟨x, y⟩, ⟨x, z⟩, ⟨y, z⟩, ∥x∥, ∥y∥, ∥z∥, ⟨2x − y,3z + x⟩,d(2x + y,−x + 3z), ∥x − 2y + z∥.Rezolvare:

⟨x, y⟩ = (−2) ⋅ (−1) + 5 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 1

⟨x, z⟩ = 20; ⟨y, z⟩ = 12

∥x∥ =√

(−2)2 + 52 + 12 + 32 =√

39; ∥y∥ =√

18 = ∥z∥

⟨2x − y,3z + x⟩ = 6⟨x, z⟩ + 2⟨x,x⟩ − 3⟨y, z⟩ − ⟨y, x⟩ = 161

d(2x + y,−x + 3z) = ∥(2x + y) − (−x + 3z)∥ = ∥3x + y − 3z∥ =

= ∥(−1,10,0,2)∥ =√

105

∥x − 2y + z∥ =√

117

10. In R4 consideram vectorii v1 = (2,1,−1,2), v2 = (−2,3,−5,−1). Sa secalculeze ⟨v1, v2⟩, ∥v1∥, ∥v2∥, ⟨2v1 − v2, v1⟩, ∥v1 + 2v2∥.

11. In R6 consideram vectorii v1 = (1,−2,3,−4,0,1), v2 = (1,2,3,−1,−2,−4).Sa se calculeze ⟨v1, v2⟩, ∥v1∥, ∥v2∥, ∢(v1, v2), d(v1, v2).

12. Sa se verifice inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru vectorii:

a) x = (1,−1,−1,−1,1,2), y = (2,−2,−3,3,2,1) ın R6

28

b) v1 = (2,1,−1,2), v2 = (−2,3,−5,−1) ın R4

Sa se afle versorii vectorilor de mai sus.Rezolvare: ⟨x, y⟩ = 8, ∥x∥ = 3, ∥y∥ =

√31, iar 8 < 3

√31.

x0 =1

∥x∥⋅ x =

1

3(1,−1,−1,−1,1,2); y0 =

1√

31(2,−2,−3,3,2,1).

13. In spatiul euclidian R3 gasiti un vector v de norma 1 si ortogonal pevectorii:

a) u1 = (2,1,0), u2 = (−3,2,0)

b) u1 = (1,1,−1), u2 = (2,1,3)

c) u1 = (1,3,−4), u2 = (2,3,−4)

Rezolvare: Fie v = (x1, x2, x3). Obtinem:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⟨v, u1⟩ = 0

⟨v, u2⟩ = 0⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x1 + x2 = 0

−3x1 + 2x2 = 0⇒ x1 = x2 = 0⇒ v = (0,0,1) sau

v = (0,0,−1).

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⟨v, u1⟩ = 0

⟨v, u2⟩ = 0⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 − x3 = 0

2x1 + x2 + 3x3 = 0⇒ v = (−4α,5α,α). Punand

conditia ∥v∥ = 1⇒ 42α2 = 1⇒ α = ±1

√42

.

14. Sa se construiasca o baza ortonormata pornind de la baza:

(a) {(1,0,2), (2,1,1), (0,1,1)} ın R3

Rezolvare: Notam cu u1 = (1,0,2), u2 = (2,1,1), u3 = (0,1,1).Pasul 1: Definim v1 = u1 = (1,0,2).Pasul 2: Definim v2 = u2 + α21v1. ⟨v2, v1⟩ = 0⇒

0 = ⟨u2 + α21v1, v1⟩ = ⟨u2, v1⟩ + α21⟨v1, v1⟩ ⇒ α21 = −⟨u2, v1⟩

⟨v1, v1⟩= −

4

5⇒ v2 = (2,1,1) − 4

5(1,0,2) = (65 ,1,−

35)

Pasul 3: Definim v3 = u3 + α31v1 + α32v2. ⟨v3, v1⟩ = 0⇒0 = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v1⟩ = ⟨u3, v1⟩ + α31⟨v1, v1⟩ + α32⟨v2, v1⟩

α31 = −⟨u3, v1⟩

⟨v1, v1⟩= −

2

5. ⟨v3, v2⟩ = 0⇒

0 = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v2⟩ = ⟨u3, v2⟩ + α31⟨v1, v2⟩ + α32⟨v2, v2⟩

α32 = −⟨u3, v2⟩

⟨v2, v2⟩= −

1

7⇒ v3 = (0,1,1) −

2

5(1,0,2) −

1

7(

6

5,1,−

3

5).

Am obtinut baza ortogonala formata din vectorii v1 = (1,0,2),

29

v2 = (65 ,1,−

35) = 1

5(6,5,−3), v3 = (−47 ,

67 ,

27) = 2

7(−2,3,1). Bazaortonormata cautata este formata din versorii acestor vectori:

e1 =v1

∥v1∥=

1√

5(1,0,2) = (

1√

5,0,

2√

5)

e2 =v2

∥v2∥=

1√

70(6,5,−3) = (

6√

70,

5√

70,−3√

70)

e3 =v3

∥v3∥=

1√

14(−2,3,1) = (

−2√

14,

3√

14,

1√

14)

(b) {(1,1,1), (1,1,−1), (1,−1,−1)} ın R3

(c) {(1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)} ın R3

(d) {(−1,0,2), (1,−1,1), (2,1,0)} ın R3

(e) {(1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1)} ın R4

(f) {1,X,X2} ın R2[X]

15. Sa se gaseasca complementele ortogonale ale urmatoarelor subspatii dinR3:

a) U1 =Sp{(1,0,0), (0,1,0)}

b) U2 =Sp{(1,1,1), (0,0,1), (1,1,0)}

c) U3 =Sp{(1,2,1), (3,6,3)}

Rezolvare: Punand conditia ca vectorul v = (x1, x2, x3) sa fie ortogonalpe generatorii subspatiului se obtine:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 = 0

x2 = 0⇒ U⊥1 = {(0,0, α)∣α ∈ R} =Sp{(0,0,1)}

b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + x3 = 0

x3 = 0

x1 + x2 = 0

⇒ U⊥2 = {(−α,α,0)∣α ∈ R} =Sp{(−1,1,0)}

30

Capitolul 3

Transformari liniare

3.1 Definitii si proprietati

Definitia 3.1. Fie V si W doua spatii vectoriale reale. O functie T ∶ V →Wse numeste transformare liniara (sau operator liniar, sau aplicatieliniara, sau morfism de spatii vectoriale) daca ındeplineste urmatoareleconditii:

1. T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V

2. T (αu) = αT (u), ∀α ∈ R, u ∈ V

� Daca aplicatia liniara T este bijectiva, se numeste izomorfism de spatiivectoriale.

� Daca V =W , atunci T se numeste endomorfism al lui V .

� Un endomorfism bijectiv se numeste automorfism.

Vom nota cu L(V,W ) multimea aplicatiilor liniare de la V la W si cu L(V )

multimea endomorfismelor lui V .

Propozitia 3.1.1. O functie T ∶ V → W este transformare liniara daca sinumai daca

T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀α,β ∈ R, u, v ∈ V. (3.1)

Demonstratie: ”⇒” Presupunem ca T este liniara. Pentru α,β ∈ R, u, v ∈V oarecare avem: T (αu + βv) = T (αu) + T (βv) = αT (u) + βT (v)”⇐” Presupunem ca (3.1) este satisfacuta. Punand α = β = 1 se obtineprima conditie din definitia transformarii liniare, iar punand β = 0 se obtinecea de a doua.

31

Exemplu:

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3)

este o transformare liniara.

Propozitia 3.1.2. Pentru o transformare liniara T ∶ V →W avem:

a) T (0V ) = 0W

b) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V

c) T (n

∑i=1

αivi) =n

∑i=1

αiT (vi), ∀αi ∈ R, vi ∈ V, i = 1, . . . , n.

Teorema 3.1. Multimea transformarilor liniare L(V,W ) ımpreuna cu adunareasi ınmultirea functiilor cu scalari formeaza un spatiu vectorial real.

Teorema 3.2. Daca U,V,W sunt trei spatii vectoriale reale, si T1 ∈ L(U,V ),T2 ∈ L(V,W ), atunci T2 ○ T1 ∈ L(U,W ).

Teorema 3.3. Fie T ∈ L(V,W ). Atunci avem:

1. Daca U este un subspatiu vectorial al lui V , atunci

T (U) = {w ∈W ∣∃u ∈ U, T (u) = w} ⊂W

este un subspatiu vectorial al lui W .

2. Daca U este un subspatiu vectorial al lui W , atunci

T −1(U) = {v ∈ V ∣T (v) ∈ U} ⊂ V

este un subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 3.2. Fie T ∈ L(V,W ).

1. MultimeakerT = {v ∈ V ∣T (v) = 0} ⊂ V

se numeste nucleul lui T .

2. MultimeaimT = {w ∈W ∣∃v ∈ V, T (v) = w} ⊂W

se numeste imaginea lui T.

32

Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare T ∈ L(V,W ) sunt subspatii vec-toriale ale lui V , respectiv W . Dimensiunile acestor subspatii se numescrangul, respectiv defectul lui T , si ıntre ele exista urmatoarea relatie:

rang T + def T = n

unde n este dimensiunea lui V .

Teorema 3.4. Fie T ∈ L(V,W ). Atunci:

1. T este injectiva daca si numai daca kerT = {0V }

2. T este surjectiva daca si numai daca imT =W .

Teorema 3.5. 1. Daca T ∈ L(V,W ) este un izomorfism de spatii vecto-riale, atunci si aplicatia inversa T −1 ∶W → V este o aplicatie liniara.

2. Spatiile vectoriale V si W sunt izomorfe daca si numai daca dimV =

dimW .

3.2 Matricea unei transformari liniare

Fie V si W doua spatii vectoriale de dimensiuni n, respectiv m, si T ∶ V →Wo transformare liniara. Consideram de asemenea bazele B = {e1, . . . , en} ınV si B′ = {f1, . . . , fm} ın W . Vectorii T (e1), . . . , T (en) din W pot fi scrisi ınbaza B′ astfel:

T (e1) = a11f1 + a21f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + am1fm

T (e2) = a12f1 + a22f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + am2fm

⋮

T (en) = a1nf1 + a2nf2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnfm

Definitia 3.3. Matricea

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

∈Mm,n(R)

care are pe coloane componentele vectorilor T (e1), . . . , T (en) ın baza B′ senumeste matricea lui T ın raport cu bazele B si B′.

33

Exemplu: Matricea transformarii liniare

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3)

ın baza canonica din R3 este⎛⎜⎝

2 1 01 0 −10 1 2

⎞⎟⎠

.

Teorema 3.6. Fie T ∈ L(V,W ), B = {e1, . . . , en} baza ın V , B′ = {f1, . . . , fm}

baza ın W , si A matricea lui T ın raport cu bazele B si B′. Daca x =n

∑i=1

xiei

si y = T (x) =m

∑i=1

yifi, atunci avem:

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮

ym

⎞⎟⎟⎟⎠

= A ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Exemplu: Pentru T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3), avem

⎛⎜⎝

2 1 01 0 −10 1 2

⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

2x1 + x2

x1 − x3

x2 + 2x3

⎞⎟⎠.

Teorema 3.7. Fie T ∈ L(V,W ), B, B doua baze ın V , B′, B′ doua baze ınW , si A matricea lui T ın raport cu bazele B si B′. Atunci matricea lui Tın raport cu bazele B si B′ este:

A = S−1B′B′

ASBB

unde SBB este matricea de trecere de la B la B si SB′B′ este matricea detrecere de la B′ la B′.

Exemplu: Pentru transformarea liniara

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3),

consideramB = B′ baza canonica din R3 si B = B′ = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}

Matricea de trecere de la B la B este SBB =⎛⎜⎝

1 1 01 0 10 1 1

⎞⎟⎠

, iar inversa aces-

teia este S−1BB

=⎛⎜⎝

12

12 −1

212 −1

212

−12

12

12

⎞⎟⎠

. Conform teoremei anterioare, matricea

34

transformarii T ın baza B este

A = S−1B′B′

ASBB =⎛⎜⎝

12

12 −1

212 −1

212

−12

12

12

⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝

2 1 01 0 −10 1 2

⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝

1 1 01 0 10 1 1

⎞⎟⎠

de unde se obtine A =⎛⎜⎝

32 0 −3

232 2 5

2

−12 0 1

2

⎞⎟⎠

.

Verificare: T (1,0,1) = (2,0,2) = 2 ⋅ (1,0,1).

3.3 Valori si vectori proprii

Definitia 3.4. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism.

1. Un vector v ∈ V, v ≠ 0V se numeste vector propriu al lui T dacaexista un scalar λ ∈ R astfel ıncat

T (v) = λv.

2. Un scalar λ ∈ R pentru care exista v ∈ V ∖ {0V } astfel ıncat T (v) = λvse numeste valoare proprie a lui T .

3. Multimea tuturor valorilor proprii ale unui endomorfism poarta denu-mirea de spectrul lui T si se noteaza cu σ(T ).

Definitia 3.5. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism. Unsubspatiu vectorial U ⊆ V se numeste subspatiu invariant ın raport cu Tdaca T (U) ⊆ U .

Teorema 3.8. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism al luiV . Daca λ este o valoare proprie a lui T , atunci multimea vectorilor propriicorespunzatori lui λ

Vλ = {v ∈ V ∣T (v) = λv}

este un subspatiu vectorial invariant ın raport cu T , numit subspatiu pro-priu asociat valorii proprii λ.

Teorema 3.9. Vectorii proprii ai lui T corespunzatori la valori proprii dis-tincte sunt liniar independenti.

35

Fie V un spatiu vectorial, B = {e1, e2, . . . , en} o baza ın V , T ∈ L(V ) unendomorfism, si λ ∈ σ(T ). Consideram A matricea lui T ın baza B, si v ∈ Vλ.In baza B, vectorul v se scrie

v = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen

iar egalitatea T (v) = λv devine

A

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

= λ

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

⇔ (A − λIn)

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

00⋮

0

⎞⎟⎟⎟⎠

Cum v ≠ 0V , rezulta ca sistemul de mai sus admite solutii nebanale,deci det(A − λIn) = 0.

Definitia 3.6. Polinomul cu coeficienti reali

p(λ) = det(A − λIn)

se numeste polinomul caracteristic al lui T . Ecuatia

det(A − λIn) = 0

se numeste ecuatia caracteristica a lui T .

Polinomul caracteristic al unui endomorfism T ∈ L(V ) nu depinde de bazaın care este scrisa matricea A a lui T , iar radacinile reale ale acestui polinomsunt chiar valorile proprii ale lui T .

Ordinul de multiplicitate (ca radacina a polinomului caracteristic) al uneivalori proprii λ ∈ σ(T ) se numeste multiplicitate algebrica a lui λ, iar dimen-siunea subspatiului de vectori proprii corespunzator lui λ ∈ σ(T ) se numestemultiplicitate geometrica a lui λ.

Teorema 3.10. Fie V un spatiu vectorial real, T ∈ L(V ), si λ ∈ σ(T ).Atunci multiplicitatea geometrica a lui λ este cel mult egala cu multiplicitateaalgebrica a lui λ.

Exemplu: Fie T ∶ R3 → R3, data prin

T (x1, x2, x3) = (4x1 − x2 + x3, x1 + 3x2 − x3, x2 + x3)

Valorile proprii ale lui T se gasesc rezolvand ecuatia caracteristica, sau echiva-lent afland radacinile polinomului caracteristic.

36

Matricea transformarii T ın baza canonica din R3 este A =⎛⎜⎝

4 −1 11 3 −10 1 1

⎞⎟⎠

.

Polinomul caracteristic este:

p(λ) = det(A − λI3) =

RRRRRRRRRRRRRR

4 − λ −1 11 3 − λ −10 1 1 − λ

RRRRRRRRRRRRRR

=

= (4 − λ)(3 − λ)(1 − λ) + 1 + (4 − λ) + (1 − λ) =

= (4 − λ)(3 − λ)(1 − λ) + 2(3 − λ) =

= (3 − λ)(λ2 − 5λ + 6) =

= (3 − λ)2(2 − λ)

asadar valorile proprii ale lui T sunt λ1,2 = 3 si λ3 = 2.Vectorii proprii se gasesc ınlocuind pe λ cu valorile proprii gasite ın

⎛⎜⎝

4 − λ −1 11 3 − λ −10 1 1 − λ

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠

si rezolvand sistemul omogen corespunzator.

λ1,2 = 3⇒⎛⎜⎝

1 −1 11 0 −10 1 −2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 − x2 + x3 = 0

x1 − x3 = 0

x2 − 2x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = α,x2 = 2α⇒ Vλ1,2 = {(α,2α,α)∣α ∈ R} = Sp{(1,2,1)}

λ3 = 2⇒⎛⎜⎝

2 −1 11 1 −10 1 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 − x2 + x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

x2 − x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = 0, x2 = α⇒ Vλ3 = {(0, α,α)∣α ∈ R} = Sp{(0,1,1)}

Definitia 3.7. Un endomorfism T ∈ L(V ) se numeste diagonalizabil dacaexista o baza a lui V astfel ıncat matricea lui T ın aceasta baza sa fie diago-nala.

Teorema 3.11. Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil daca si numaidaca exista o baza a lui V formata numai din vectori proprii ai lui T .

In cazul ın care este diagonalizabil, matricea endomorfismului T ∈ L(V )

are pe diagonala valorile proprii corespunzatoare vectorilor proprii din baza.

Teorema 3.12. Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil daca si numaidaca orice valoare proprie λ ∈ σ(T ) are multiplicitatile algebrica si geometricaegale.

37

Exemplu: Fie endomorfismul

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2).

Matricea lui T ın baza canonica din R3 este A =⎛⎜⎝

0 1 11 0 11 1 0

⎞⎟⎠

.

p(λ) = det(A − λI3) =

RRRRRRRRRRRRRR

−λ 1 11 −λ 11 1 −λ

RRRRRRRRRRRRRR

= −λ3 + 3λ + 2 = (2 − λ)(1 + λ)2

λ1 = 2⇒⎛⎜⎝

−2 1 11 −2 11 1 −2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−2x1 + x2 + x3 = 0

x1 − 2x2 + x3 = 0

x1 + x2 − 2x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = α,x2 = α⇒ Vλ1 = {(α,α,α)∣α ∈ R} = Sp{(1,1,1)}

λ2,3 = −1⇒⎛⎜⎝

1 1 11 1 11 1 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 0x2 = α,x3 = β ⇒ x1 = −α − β ⇒

Vλ2,3 = {(−α − β,α, β)∣α,β ∈ R} =

= {(−α,α,0) + (−β,0, β)∣α,β ∈ R} =

= {α(−1,1,0) + β(−1,0,1)∣α,β ∈ R} =

= Sp{(−1,1,0), (−1,0,1)}

Notam cu v1 = (1,1,1), v2 = (−1,1,0), v3 = (−1,0,1) vectorii proprii caregenereaza subspatiile proprii si observam ca B = {v1, v2, v3} este o baza ınR3. Pentru a gasi matricea endomorfismului T ın aceasta baza scriem:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T (v1) = λ1v1 = 2 ⋅ v1 + 0 ⋅ v2 + 0 ⋅ v3

T (v2) = λ2,3v2 = 0 ⋅ v1 + (−1) ⋅ v2 + 0 ⋅ v3

T (v3) = λ2,3v3 = 0 ⋅ v1 + 0 ⋅ v2 + (−1) ⋅ v3

⇒

AB =⎛⎜⎝

2 0 00 −1 00 0 −1

⎞⎟⎠

este matricea lui T ın baza B.

3.4 Endomorfisme pe spatii euclidiene

Definitia 3.8. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si T ∈ L(V ).Transformarea liniara T ∗ ∶ V → V se numeste adjuncta transformarii T

38

daca:⟨T (u), v⟩ = ⟨u,T ∗(v)⟩, ∀u, v ∈ V.

Definitia 3.9. Endomorfismul T ∈ L(V ) se numeste autoadjunct dacaT = T ∗, adica satisface relatia

⟨T (u), v⟩ = ⟨u,T (v)⟩, ∀u, v ∈ V.

Teorema 3.13. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si B = {e1, e2, . . . , en}o baza ortonormata a lui V . Atunci endomorfismul T ∈ L(V ) este autoad-junct daca si numai daca matricea lui T ın raport cu baza B este simetrica.

Demonstratie: ”⇒”Fie A matricea lui T ın raport cu baza B. Atunci avem

T (ei) =n

∑k=1

akiek

Cum T este autoadjunct iar baza B este ortonormata, avem

⟨T (ei), ej⟩ = ⟨ei, T (ej)⟩⇔ ⟨n

∑k=1

akiek, ej⟩ = ⟨ei,n

∑k=1

akjek⟩

⇔n

∑k=1

aki⟨ek, ej⟩ =n

∑k=1

akj⟨ei, ek⟩⇔ aji = aij, ∀i, j = 1, . . . , n

”⇐”Fie A matricea lui T ın raport cu baza B. Daca A este simetrica, atunci

aij = aji, ∀i, j = 1, . . . , n

Facand rationamentul anterior ın sens invers obtinem

⟨T (ei), ej⟩ = ⟨ei, T (ej)⟩, ∀i, j = 1, . . . , n

Fie acum u, v ∈ V avand ın baza B coordonatele

u =n

∑i=1

xiei si v =n

∑j=1

yjej

Folosind proprietatile produsului scalar obtinem

⟨T (u), v⟩ = ⟨T (n

∑i=1

xiei) ,n

∑j=1

yjej⟩ =n

∑i=1

n

∑j=1

xiyj⟨T (ei), ej⟩ =

=n

∑i=1

n

∑j=1

xiyj⟨ei, T (ej)⟩ = ⟨n

∑i=1

xiei, T (n

∑j=1

yjej)⟩ = ⟨u,T (v)⟩

39

Teorema 3.14. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca endomor-fismul T ∈ L(V ) este autoadjunct , atunci vectorii proprii ai lui T core-spunzatori la valori proprii diferite sunt ortogonali.

Demonstratie: Fie λ1, λ2 ∈ σ(T ) valori proprii distincte si v1, v2 vectoriproprii corespunzatori , deci

T (v1) = λ1v1 si T (v2) = λ2v2

Cum T este autoadjuncta, obtinem

⟨T (v1), v2⟩ = ⟨v1, T (v2)⟩⇔ λ1⟨v1, v2⟩ = λ2⟨v1, v2⟩

asadar(λ1 − λ2)⟨v1, v2⟩ = 0

iar cum λ1 ≠ λ2 rezulta⟨v1, v2⟩ = 0

Teorema 3.15. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca endomor-fismul T ∈ L(V ) este autoadjunct , atunci exista o baza ortonormata B for-mata din vectori proprii ai lui T .

Corolar 3.4.1. Daca matricea endomorfismului T ∈ L(V ) ıntr-o baza ortonor-mata este simetrica, atunci T este diagonalizabil.

Demonstratie:Daca matricea endomorfismului T ∈ L(V ) ıntr-o baza ortonormata este si-metrica, atunci T este un endomorfism autoadjunct , iar conform teoremeianterioare exista o baza ortonormata B formata din vectori proprii ai lui T ,de unde rezulta ca T este diagonalizabil.

Definitia 3.10. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. EndomorfismulT ∈ L(V ) se numeste ortogonal (sau transformare ortogonala) dacapastreaza produsul scalar, adica:

⟨T (u), T (v)⟩ = ⟨u, v⟩, ∀u, v ∈ V

Propozitia 3.4.1. Un endomorfism ortogonal T ∈ L(V ) pastreaza normavectorilor, distantele si unghiurile dintre vectori.

Demonstratie: Cum T este ortogonal, pentru v = u obtinem

⟨T (u), T (u)⟩ = ⟨u,u⟩⇔ ∥T (u)∥ = ∥u∥, ∀u ∈ V

40

Pentru u = x − y obtinem

∥T (x − y)∥ = ∥x − y∥⇔ ∥T (x) − T (y)∥ = ∥x − y∥

adica d (T (x), T (y)) = d(x, y), deci T pastreaza distanta ıntre vectori. Dacaθ este unghiul dintre vectorii x si y avem

cos θ =⟨x, y⟩

∥x∥ ⋅ ∥y∥=

⟨T (x), T (y)⟩

∥T (x)∥ ⋅ ∥T (y)∥= cosϕ

unde ϕ este unghiul dintre T (x) si T (y).

Teorema 3.16. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si endomorfismulT ∈ L(V ). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. T este o transformare ortogonala

2. T transforma orice baza ortonormata a lui V tot ıntr-o baza ortonor-mata.

3. Daca A este matricea lui T ıntr-o baza ortonormata B, atunci AT =

A−1, sauA ⋅AT = AT ⋅A = In

Definitia 3.11. O matrice A ∈ Mn(R) se numeste matrice ortogonaladaca este inversabila si A−1 = AT .

Propozitia 3.4.2. Daca A ∈Mn(R) este matrice ortogonala, atunci detA =

±1

Demonstratie: A matrice ortogonala ⇒ A ⋅ AT = In. Aplicand pro-prietatile determinantilor obtinem:

det(A ⋅AT ) = det In⇒ detA ⋅ detAT = 1⇒ (detA)2 = 1

asadar detA = ±1.Exemplu: Fie transformarea T ∶ R3 → R3 definita prin

T (x1, x2, x3) = (x1 − 4x2 − 8x3,−4x1 + 7x2 − 4x3,−8x1 − 4x2 + x3)

Notam cu e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) vectorii bazei canonice, careeste o baza ortonormata. Gasim

T (e1) = (1,−4,−8), T (e2) = (−4,7,−4), T (e3) = (−8,−4,1),

41

deci matricea lui T ın baza canonica este A =⎛⎜⎝

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

⎞⎟⎠

, asadar T este

o transformare autoadjuncta , deci este diagonalizabila . Pentru a gasi formadiagonala calculam valorile si vectorii proprii.

det(A − λI3) =

RRRRRRRRRRRRRR

1 − λ −4 −8−4 7 − λ −4−8 −4 1 − λ

RRRRRRRRRRRRRR

= ⋅ ⋅ ⋅ = −(λ − 9)2(λ + 9)

asadar valorile proprii sunt λ1,2 = 9 si λ3 = −9.

λ1,2 = 9⇒⎛⎜⎝

−8 −4 −8−4 −2 −4−8 −4 −8

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒ 2x1 + x2 + 2x3 = 0

x1 = α,x3 = β ⇒ x2 = −2α − 2β ⇒ Vλ1,2 = Sp{(1,−2,0), (0,−2,1)}

λ1,2 = −9⇒⎛⎜⎝

10 −4 −8−4 16 −4−8 −4 10

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

5x1 − 2x2 − 4x3 = 0

x1 − 4x2 + x3 = 0

−4x1 − 2x2 + 5x3 = 0

x2 = α⇒ x1 = x3 = 2α⇒ Vλ3 = Sp{(2,1,2)}Notam vectorii proprii care genereaza cele 2 subspatii proprii cu

u1 = (1,−2,0), u2 = (0,−2,1), u3 = (2,1,2)

si construim o baza ortonormata pornind de la acesti vectori.

1. v1 = u1 = (1,−2,0)

2. v2 = u2 + λ21v1 = (0,−2,1) −4

5(1,−2,0) = −

1

5(4,2,−5)

3. v3 = u3 = (2,1,2) (u3 este vector propriu corespunzator unei valoriproprii diferite, deci este deja ortogonal pe v1 si v2).

Versorii corespunzatori acestor 3 vectori:

f1 = (1

√5,−

2√

5,0) , f2 = (

4

3√

5,

2

3√

5,−

5

3√

5) , f3 = (

2

3,1

3,2

3)

formeaza o baza ortonormata din vectori proprii.Transformarea ortogonala care transforma baza canonica B = {e1, e2, e3}

din R3 ın baza ortonormata B = {f1, f2, f3} va avea matricea care are pecoloane coordonatele lui f1, f2 si f3, adica matricea de trecere de la baza B

42

la baza B:

S =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1√

5

4

3√

5

2

3

−2

√5

2

3√

5

1

3

0 −5

3√

5

2

3

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

deci expresia analitica a acestei transformari ortogonale este

T (x1, x2, x3) = (x1√

5+

4x2

3√

5+

2x3

3,−

2x1√

5+

2x2

3√

5+x3

3,−

5x2

3√

5+

2x3

3) .

3.5 Exercitii

1. Fie T ∶ R4 → R2, T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2, x3 − x4)

a) Sa se arate ca T este liniara

b) Sa se scrie matricea lui T ın bazele canonice din R4 si R2.

c) Sa se gaseasca kerT si imT

Rezolvare: a) Fie x = (x1, x2, x3, x4), y = (y1, y2, y3, y4) ∈ R4, α, β ∈ R.

T (αx + βy) = T (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3, αx4 + βy4) =

= (αx1 + βy1 + αx2 + βy2, αx3 + βy3 − αx4 − βy4) =

= (αx1 + αx2, αx3 − αx4) + (βy1 + βy2, βy3 − βy4) =

= α(x1 + x2, x3 − x4) + β(y1 + y2, y3 − y4) = αT (x) + βT (y).

b) Fie B1 = {e1, e2, e3, e4}, B2 = {f1, f2} bazele canonice din R4 si R2.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

T (e1) = T (1,0,0,0) = (1,0) = 1 ⋅ f1 + 0 ⋅ f2

T (e2) = T (0,1,0,0) = (1,0) = 1 ⋅ f1 + 0 ⋅ f2

T (e3) = T (0,0,1,0) = (0,1) = 0 ⋅ f1 + 1 ⋅ f2

T (e4) = T (0,0,0,1) = (0,−1) = 0 ⋅ f1 + (−1) ⋅ f2

⇒

(1 1 0 00 0 1 −1

) este matricea lui T ın bazele canonice.

c) kerT = {x ∈ R4∣T (x) = 0}. Se obtine sistemul omogen

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 = 0

x3 − x4 = 0.

43

Avem rang (1 1 0 00 0 1 −1

) = 2. Alegem necunoscutele secundare

x2 = α, x3 = β si gasim x1 = −α, x4 = β, deci

kerT = {(−α,α, β, β)∣α,β ∈ R} =

= {(−α,α,0,0) + (0,0, β, β)∣α,β ∈ R} =

= {α(−1,1,0,0) + β(0,0,1,1)∣α,β ∈ R} =

= Sp{(−1,1,0,0), (0,0,1,1)}.

imT = {y ∈ R2∣∃x ∈ R4, T (x) = y}

T (x) = y⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 = y1

x3 − x4 = y2

asadar imT este multimea vectorilor (y1, y2) pentru care sistemul an-terior este compatibil. Cum rangul matricei sistemului este 2 iaradaugand coloana termenilor liberi rangul matricei extinse nu creste,sistemul anterior este compatibil pentru orice (y1, y2) ∈ R2, deci imT =

R2.

2. Fie {e1, e2, e3, e4} baza canonica din R4 si transformarea liniaraT ∶ R4 → R4 definita prin T (e1) = e2+e3, T (e2) = e3+e4, T (e3) = e4+e1,T (e4) = e1 + e2. Sa se gaseasca:

a) T (1,2,3,4)

b) matricea lui T ın baza canonica

c) kerT si imT

Rezolvare: a)

T (1,2,3,4) = T (e1 + 2e2 + 3e3 + 4e4) =

= T (e1) + 2T (e2) + 3T (e3) + 4T (e4)) =

= e2 + e3 + 2(e3 + e4) + 3(e4 + e1) + 4(e1 + e2) =

= 7e1 + 5e2 + 3e3 + 5e4 =

= (7,5,3,5).

b) Avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

T (e1) = e2 + e3 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3 + 0 ⋅ e4

T (e2) = e3 + e4 = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3 + 1 ⋅ e4

T (e3) = e4 + e1 = 1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3 + 1 ⋅ e4

T (e4) = e1 + e2 = 1 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3 + 0 ⋅ e4

44

deci matricea lui T ın baza canonica este

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1 11 0 0 11 1 0 00 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

c) T (x) = 0⇔

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1 11 0 0 11 1 0 00 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

0000

⎞⎟⎟⎟⎠

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x3 + x4 = 0

x1 + x4 = 0

x1 + x2 = 0

x2 + x3 = 0

.

Rangul matricei este 3, alegem necunoscuta secundara x4 = α si obtinemx1 = −α,x2 = α,x3 = −α, deci

kerT = {(−α,α,−α,α) ∈ R4∣α ∈ R} = Sp{(−1,1,−1,1)}.

T (x) = y ⇔

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1 11 0 0 11 1 0 00 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

y3

y4

⎞⎟⎟⎟⎠

⇒

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

0 0 1 y1

1 0 0 y2

1 1 0 y3

0 1 1 y4

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

⇒ y1 − y2 + y3 − y4 = 0⇒ImT =Sp{(1,1,0,0), (−1,0,1,0), (1,0,0,1)}.

3. Fie transformarile liniare T1 ∶ R3 → R2, T2 ∶ R2 → R4 definite prin:

T1(x1, x2, x3) = (x1 + x3, x1 + x2 − x3)

T2(y1, y2) = (y1 + y2, y1, y2,2y1 − y2)

Sa se gaseasca matricele lui T1, T2 si T2 ○T1 ın bazele canonice, precumsi nucleele acestor aplicatii.

Rezolvare: AT1 = (1 0 11 1 −1

) , AT2 =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 11 00 12 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

T2 ○ T1(x1, x2, x3) = T2 (T1(x1, x2, x3)) = T2(x1 + x3, x1 + x2 − x3) =

= (x1 + x3 + x1 + x2 − x3, x1 + x3, x1 + x2 − x3,2(x1 + x3) − (x1 + x2 − x3)) =

= (2x1 + x2, x1 + x3, x1 + x2 − x3, x1 − x2 + 3x3)

si obtinem AT2○T1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 01 0 11 1 −11 −1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

= AT2 ⋅AT1 .

T1(x) = 0⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0, rang(

1 0 11 1 −1

) = 2,

45

x3 = α⇒ x1 = −α,x2 = 2α⇒ kerT1 =Sp{(−1,2,1)}

T2(y) = 0⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1 + y2 = 0

y1 = 0

y2 = 0

2y1 − y2 = 0

⇒ kerT2 = {(0,0)}

T2 ○ T1(x) = 0⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 + x2 = 0

x1 + x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

x1 − x2 + 3x3 = 0

, rang

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 01 0 11 1 −11 −1 3

⎞⎟⎟⎟⎠

= 2

x3 = α⇒ x1 = −α, x2 = 2α⇒ kerT2 ○ T1 =Sp{(−1,2,1)}.

4. Fie ın R3 baza B1 = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} si transformarea liniara

T ∶ R3 → R3 care are ın baza B1 matricea⎛⎜⎝

1 2 12 0 10 1 −1

⎞⎟⎠

. Sa se gaseasca

expresia analitica a lui T (x), x ∈ R3, precum si matricea lui T ın bazaB2 = {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)}.

Rezolvare: Notam f1 = (1,1,1), f2 = (0,1,1), f3 = (0,0,1)}. Avem:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T (f1) = 1 ⋅ f1 + 2 ⋅ f2 + 0 ⋅ f3 = (1,3,3)

T (f2) = 2 ⋅ f1 + 0 ⋅ f2 + 1 ⋅ f3 = (2,2,3)

T (f3) = 1 ⋅ f1 + 1 ⋅ f2 + (−1) ⋅ f3 = (1,2,1)

Aflam coordonatele unui vector x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ın baza B1:

x = α1f1 + α2f2 + α3f3 ⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = x1

α1 + α2 = x2

α1 + α2 + α3 = x3

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = x1

α2 = x2 − x1

α3 = x3 − x2

T (x) = T (α1f1 + α2f2 + α3f3) = α1T (f1) + α2T (f2) + α3T (f3) =

= x1 ⋅ (1,3,3) + (x2 − x1) ⋅ (2,2,3) + (x3 − x2) ⋅ (1,2,1)

Se obtine T (x) = (−x1 + x2 + x3, x1 + 2x3,2x2 + x3).Notam g1 = (1,0,0), g2 = (1,1,0), g3 = (1,1,1)}. Avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T (g1) = T (1,0,0) = (−1,1,0)

T (g2) = T (1,1,0) = (0,1,2)

T (g3) = T (1,1,1) = (1,3,3)

.

Matricea ın baza B2 va avea pe coloane coordonatele acestor vectori ınbaza B2 ∶

46

α1g1 + α2g2 + α3g3 = (−1,1,0) ⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = −1

α2 + α3 = 1

α3 = 0

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = −2

α2 = 1

α3 = 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = 0

α2 + α3 = 1

α3 = 2

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = −1

α2 = −1

α3 = 2

;

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = 1

α2 + α3 = 3

α3 = 3

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = −2

α2 = 0

α3 = 3

Asadar matricea lui T ın baza B2 este⎛⎜⎝

−2 −1 −21 −1 00 2 3

⎞⎟⎠

5. Fie transformarea liniara T ∶ R3 → R3 astfel ıncat T (0,0,1) = (2,3,5),T (0,1,1) = (1,0,0), T (1,1,1) = (0,1,−1). Care este matricea lui T ınbaza canonica din R3?

6. Fie baza {1,X,X2, . . . ,Xn} ın spatiul vectorial Rn[X] si transformarealiniara T ∶ Rn[X]→ Rn[X] definita prin

T (P (X)) = P (X + 1) − P (X)

Sa se scrie matricea lui T ın baza de mai sus.

7. Determinati valorile si vectorii proprii pentru transformarile liniareavand urmatoarele matrice ın baza canonica din R3:

a)⎛⎜⎝

2 −1 25 −3 3−1 0 −2

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

0 1 0−4 4 0−2 1 2

⎞⎟⎠

; c)⎛⎜⎝

4 −5 25 −7 36 −9 4

⎞⎟⎠

;

d)⎛⎜⎝

1 −3 3−2 −6 13−1 −4 8

⎞⎟⎠

; e)⎛⎜⎝

1 −3 44 −7 86 −7 7

⎞⎟⎠

;

R: a) λ1 = λ2 = λ3 = −1, Sp{(1,1,−1)};b) λ1 = λ2 = λ3 = 2, Sp{(1,2,0), (0,0,1)};c) λ1 = 1, λ2 = λ3 = 0, Sp{(1,1,1)}, Sp{(1,2,3)};d) λ1 = λ2 = λ3 = 1, Sp{(3,1,1)};e) λ1 = 3, λ2 = λ3 = −1, Sp{(1,2,2)}, Sp{(1,2,1)}

8. Sa se reduca la forma diagonala matricele urmatoare, specificand sibazele ın care au aceasta forma:

a)⎛⎜⎝

2 −2 0−2 1 −20 −2 0

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

1 −2 0−2 2 −20 −2 3

⎞⎟⎠

; c)⎛⎜⎝

3 2 02 4 −20 −2 5

⎞⎟⎠

47

R: a) λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 4, B = {(2,1,−2), (1,2,2), (2,−2,1)};b) λ1 = −1, λ2 = 5, λ3 = 2;c) λ1 = 1, λ2 = 7, λ3 = 4;

9. Determinati care din urmatoarele transformari liniare (date prin ma-tricele lor ın baza canonica) pot fi diagonalizate:

a)⎛⎜⎝

−1 3 −1−3 5 −1−3 3 1

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

6 −5 −33 −2 −22 −2 0

⎞⎟⎠

; c)

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

d)

⎛⎜⎜⎜⎝

4 −3 1 25 −8 5 46 −12 8 51 −3 2 2

⎞⎟⎟⎟⎠

; e)

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

R: a) λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2,B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,−3)}b) nu poate fi diagonalizatac) λ1 = λ2 = λ3 = 2, λ4 = −2, B = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,−1,−1,−1)}d) nu poate fi diagonalizatae) λ1 = λ2 = 1, λ3 = λ4 = −1, B = {(1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,−1,1,0), (−1,0,0,1)}

10. Sa se verifice care dintre urmatoarele transformari sunt autoadjuncte:

(a) T (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3)

(b) T (x1, x2, x3) = (x1 − x2,−x1 + x2 + x3, x2 + x3)

(c) T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 − x2, x2 + x3)

11. Sa se verifice care dintre urmatoarele transformari sunt ortogonale:

(a) T (x1, x2, x3) = (x1,1

2x2 −

√3

2x3,

√3

2x2 +

1

2x3)

(b) T (x1, x2, x3) = (x1 + x3, x1 + x2, x2 + x3)

(c) T (x1, x2, x3) = (2

3x1 +

2

3x2 −

1

3x3,

2

3x1 −

1

3x2 +

2

3x3,−

1

3x1 +

2

3x2 +

2

3x3)

48

Capitolul 4

Forme biliniare. Formepatratice

4.1 Forme biliniare

Definitia 4.1. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. O aplicatie F ∶

V × V → R se numeste forma biliniara pe V daca satisface conditiile:

1. F (x + y, z) = F (x, z) + F (y, z), ∀x, y, z ∈ V

2. F (αx, y) = αF (x, y), ∀α ∈ R, x, y ∈ V

3. F (x, y + z) = F (x, y) + F (x, z), ∀x, y, z ∈ V

4. F (x,αy) = αF (x, y), ∀α ∈ R, x, y ∈ V

Cele patru conditii din definitia unei forme biliniare sunt echivalente cuurmatoarele doua:

F (αx + βy, z) = αF (x, z) + βF (y, z), ∀α,β ∈ R, x, y, z ∈ VF (x,αy + βz) = αF (x, y) + βF (x, z), ∀α,β ∈ R, x, y, z ∈ V

Exemple

1. Orice produs scalar este o forma biliniara

2. Fie F ∶ R2 ×R2 → R definita prin

F (x, y) = x1y2 − x2y1, ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2.

49

Pentru x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ R2 si α,β ∈ R2 avem:

F (αx + βy, z) = F ((αx1 + βy1, αx2 + βy2), (z1, z2)) =

= (αx1 + βy1)z2 − (αx2 + βy2)z1 =

= α(x1z2 − x2z1) + β(y1z2 − y2z1) =

= αF (x, z) + βF (y, z).

In mod analog se arata ca

F (x,αy + βz) = αF (x, z) + βF (y, z).

Sa consideram acum un spatiu vectorial V , o baza B = {e1, . . . , en} ın V siforma biliniara F ∶ V × V → R. Fie de asemenea doi vectori oarecare x, y ∈ Vexprimati ın baza B astfel:

x =n

∑i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n

y =n

∑i=1

yiei = y1e1 + y2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ynen, yi ∈ R, i = 1, . . . , n

Folosind proprietatile de liniaritate ale lui F obtinem:

F (x, y) = F (n

∑i=1

xiei,n

∑j=1

yjej) =n

∑i=1

n

∑j=1

xiyjF (ei, ej) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxiyj (4.1)

unde aij = F (ei, ej), i, j = 1,2, . . . , n.

Definitia 4.2. Fie F ∶ V × V → R o forma biliniara pe spatiul vectorial V siB = {e1, . . . , en} o baza ın V . Matricea

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠

unde aij = F (ei, ej), i, j = 1,2, . . . , n, se numeste matricea formei biliniareF ın baza B.

Exemplu: Pentru forma biliniara F ∶ R2 ×R2 → R, F (x, y) = x1y2 − x2y1

ın baza canonica din R2 avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11 = F (e1, e1) = 1 ⋅ 0 − 0 ⋅ 1 = 0

a12 = F (e1, e2) = 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 = 1

a21 = F (e2, e1) = 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 = −1

a22 = F (e2, e2) = 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 = 0

50

deci matricea formei biliniare este (0 1−1 0

).

Daca introducem notatiile

X =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

, Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮

yn

⎞⎟⎟⎟⎠

atunci (4.1) devineF (x, y) =XTAY.

Teorema 4.1. Fie F ∶ V × V → R o forma biliniara pe spatiul vectorial Vsi doua baze B = {e1, . . . , en}, B = {f1, . . . , fn} ın V . Fie SBB matricea detrecere de la B la B si A, A matricele formei biliniare F ın raport cu bazeleB, respectiv B. Atunci avem:

A = STBBASBB

Demonstratie: Expresia formei biliniare F ın bazele B si B este

F (x, y) =XT ⋅A ⋅ Y = XT ⋅ A ⋅ Y

unde X si Y sunt matricele coloana ale coordonatelor vectorilor x si y ınbaza B, iar X si Y matricele coloana ale coordonatelor vectorilor x si y ınbaza B. Avem:

X = SBBX si Y = SBBY

Inlocuind ın expresia lui F (x, y) obtinem

F (x, y) = (SBBX)T ⋅A ⋅ SBBY = XT ⋅ (STBBASBB) ⋅ Y = XT ⋅ A ⋅ Y

de unde rezulta caA = ST

BBASBB

Definitia 4.3. O forma biliniara F ∶ V × V → R pe spatiul vectorial V senumeste simetrica daca

F (x, y) = F (y, x), ∀x, y ∈ V.

Exemple:

� orice produs scalar este o forma biliniara simetrica

� forma biliniara F ∶ R2 ×R2 → R, F (x, y) = x1y2 −x2y1 nu este simetrica

51

Teorema 4.2. O forma biliniara F ∶ V × V → R pe spatiul vectorial V estesimetrica daca si numai daca exista o baza B a lui V ın raport cu carematricea asociata lui F este simetrica.

Demonstratie: ”⇒”Presupunem ca F este simetrica. Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a lui V siA matricea lui F ın aceasta baza . Avem:

aij = F (ei, ej) = F (ej, ei) = aji, ∀i, j = 1, . . . , n

deci A este o matrice simetrica.”⇐” Presupunem ca matricea lui F ıntr-o baza B este simetrica, deci

A = AT . Consideram doi vectori oarecare x, y ∈ V si X, Y matricele coloanaale coordonatelor acestor vectori ın baza B. Avem:

F (x, y) =XT ⋅A ⋅ Y =XT ⋅AT ⋅ Y = (A ⋅X)T ⋅ Y = Y T ⋅A ⋅X = F (y, x)

deci F este o forma biliniara simetrica.

4.2 Forme patratice

Definitia 4.4. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. O aplicatie

Φ ∶ V → R

se numeste forma patratica pe V daca exista o forma biliniara simetricaF ∶ V × V → R astfel ıncat

Φ(x) = F (x,x), ∀x ∈ V.

Asadar oricarei forme biliniare simetrice ıi putem asocia o forma patratica.Reciproc, daca avem o forma patratica Φ, atunci forma biliniara din careprovine aceasta este F ∶ V × V → R data prin

F (x, y) =1

2[Φ(x + y) −Φ(x) −Φ(y)], ∀x, y ∈ V.

Sa consideram acum o baza B = {e1, . . . , en} ın spatiul vectorial V , oforma patratica Φ ∶ V → R si forma biliniara simetrica F ∶ V × V → R dincare provine Φ. Fie de asemenea vectorul oarecare x ∈ V exprimat ın bazaB astfel:

x =n

∑i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n

52

Folosind proprietatile de liniaritate ale lui F obtinem:

Φ(x) = F (x,x) = F (n

∑i=1

xiei,n

∑j=1

xjej) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj =XTAX

unde X =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

iar A este matricea asociata lui F ın baza B.

Exemplu Fie forma biliniara F ∶ R3 ×R3 → R data prin

F (x, y) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3, ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ R3

Notam vectorii din baza canonica din R3 cu e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1). Avem:

a11 = F (e1, e1) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 1

a22 = F (e2, e2) = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 2

a33 = F (e3, e3) = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3

a12 = F (e1, e2) = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0 = a21

a13 = F (e1, e3) = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0 = a31

a23 = F (e2, e3) = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0 = a32

Matricea formei biliniare F ın baza canonica este A =⎛⎜⎝

1 0 00 2 00 0 3

⎞⎟⎠

.

Fie bazaB formata din vectorii f1 = (1,1,1), f2 = (1,1,−1), f3 = (1,−1,−1).Avem:

a11 = F (f1, f1) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6

a22 = F (f2, f2) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 6

a33 = F (f3, f3) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 6

a12 = F (f1, f2) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) = 0 = a21

a13 = F (f1, f3) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) = −4 = a31

a23 = F (f2, f3) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 2 = a32

Asadar matricea formei biliniare F ın baza B este⎛⎜⎝

6 0 −40 6 2−4 2 6

⎞⎟⎠

.

F este simetrica deoarece F (x, y) = F (y, x), ∀x, y ∈ R3.

53

Matricea de trecere de la baza canonica la baza B este S =⎛⎜⎝

1 1 11 1 −11 −1 −1

⎞⎟⎠

.

Se verifica usor ca

ST ⋅A ⋅ S =⎛⎜⎝

1 1 11 1 −11 −1 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 0 00 2 00 0 3

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 1 11 1 −11 −1 −1

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

6 0 −40 6 2−4 2 6

⎞⎟⎠

Forma patratica asociata este Φ ∶ R3 → R, Φ(x) = F (x,x) = x21 + 2x2

2 + 3x23.

Expresia formei patratice Φ ın baza B este

Φ(x) = XT AX = ( x1 x2 x3 )⎛⎜⎝

6 0 −40 6 2−4 2 6

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=

= 6x21 + 6x2

2 + 6x23 − 8x1x3 + 4x2x3

Definitia 4.5. Matricea A asociata formei biliniare simetrice F (din careprovine forma patratica Φ) ın baza B se numeste matricea formei patraticeΦ ın baza B.

Definitia 4.6. Spunem ca o forma patratica Φ ∶ V → R este redusa laforma canonica daca se determina o baza B = {f1, . . . , fn} a lui V ınraport cu care expresia lui Φ sa fie de forma

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + ⋅ ⋅ ⋅ + λny

2n

unde λi ∈ R, i = 1, . . . , n iar y1, . . . , yn sunt componentele vectorului x ∈ V ınbaza B.

Teorema 4.3 (Gauss). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica. Atunci exista celputin o baza ın V ın raport cu care expresia lui Φ are o forma canonica.

Demonstratie: Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza ın V si

Φ(x) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj,

unde x1, x2, . . . , xn sunt coordonatele vectorului x ın baza B.Daca Φ = 0 atunci teorema este evident adevarata.Daca Φ ≠ 0 distingem doua cazuri:

1. exista cel putin un indice i ∈ {1, . . . , n} astfel ıncat aii ≠ 0;

54

2. aii = 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}, adica Φ(x) = ∑1≤i<j≤n

2aijxixj.

Cazul 1. Vom demonstra ca exista o baza ın care Φ are forma canonicafolosind inductia matematica dupa n = dimV .

Pentru n = 1, orice baza este formata dintr-un singur vector, deci vectoriiau o singura coordonata, asadar Φ este ın forma canonica

Φ(x) = a11x21.

Presupunem teorema adevarata pentru orice forma patratica definita peun spatiu de dimensiune n− 1 si demonstram ca este adevarata pentru oriceforma patratica definita pe un spatiu de dimensiune n.

Putem presupune fara a reduce generalitatea ca a11 ≠ 0. Grupand totitermenii care contin pe x1 si formand un patrat perfect, obtinem:

Φ(x) = a11x21 + 2a12x1x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a1nx1xn + Φ(x2, x3, . . . , xn) =

= 1a11

(a211x

21 + 2a11a12x1x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a11a1nx1xn) + Φ(x2, x3, . . . , xn) =

= 1a11

(a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn)2 +Φ1(x2, x3, . . . , xn)

unde Φ1 este o forma patratica ın x2, . . . , xn.Construim baza B1 = {f1, f2, . . . , fn} ın V cu ajutorul schimbarii de coor-

donate:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1 = a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn

y2 = x2

⋮

yn = xn

,

unde y1, y2, . . . , yn sunt coordonatele vectorului x ın baza B1, deci matriceade trecere de la baza B1 la baza B este

SB1B=

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

0 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

⇒ SBB1=

⎛⎜⎜⎜⎝

1a11

−a12a11. . . −a1na11

0 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

deci vectorii bazei B1 sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f1 =1a11

⋅ e1

f2 = −a12a11

⋅ e1 + e2

⋮

fn = −a1na11

⋅ e1 + en

In noua baza B1 forma patratica Φ devine

Φ(x) =1

a11

y21 +Φ1(y2, . . . , yn), unde x =

n

∑i=1

yifi.

55

si aplicand ipoteza de inductie, exista o baza ın care Φ are forma canonica.Cazul 2. Daca aii = 0, ∀i = 1, . . . , n si Φ ≠ 0, exista cel putin un coeficient aij ≠0. Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca a12 ≠ 0. Efectuamschimbarea de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = y1 + y2

x2 = y1 − y2

xk = yk, ∀k = 3, . . . , n

corespunzatoare matricei de trecere

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 0 . . . 01 −1 0 . . . 00 0 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Asadar ın baza B′ = {f1, f2, . . . , fn} data prin

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f1 = e1 + e2

f2 = e1 − e2

f3 = e3

⋮

fn = en

expresia formei patratice devine:

Φ(x) = 2a12x1x2 + Φ(x) = 2a12(y21 − y

22) + Φ(x)

deci ın baza B′ forma patratica Φ se ıncadreaza ın cazul 1.Prin aplicarea repetata, de cel mult n ori a unuia din cele 2 cazuri descrise

anterior , asadar prin schimbari repetate de baze , se obtine o baza ın raportcu care Φ are o forma canonica.

Teorema 4.4 (Jacobi). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica avand ın bazaB = {e1, . . . , en} matricea sociata A cu proprietatea ca toti minorii principali

∆i =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 . . . a1i

⋮ ⋱ ⋮

ai1 . . . aii

RRRRRRRRRRRRRR

, i = 1, . . . , n

sunt nenuli . Atunci exista o baza B = {f1, . . . , fn} a lui V ın care Φ areforma canonica

Φ(x) =∆0

∆1

y21 +

∆1

∆2

y22 + ⋅ ⋅ ⋅ +

∆n−1

∆n

y2n

unde ∆0 = 1 iar y1, . . . , yn sunt componentele vectorului x ın baza B.

56

Teorema 4.5. Fie V un spatiu vectorial euclidian si Φ ∶ V → R o formapatratica. Atunci exista o baza ortonormata ın V astfel ıncat matricea lui Φın aceasta baza sa fie diagonala.

Demonstratie:

� Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza ortonormata ın V si A matricea formeipatratice Φ ın baza B;

� Cum Φ corespunde unei forme biliniare simetrice, matricea A este omatrice simetrica;

� Fie T ∈ L(V ) endomorfismul care are matricea A ın baza B, adica estedefinit prin

T (ei) =n

∑j=1

ajiej

� Cum matricea A este simetrica iar baza B este ortonormata, atunci Teste o transformare autoadjuncta;

� Asadar exista o baza ortonormata formata din vectori proprii

B = {f1, f2, . . . , fn}

ın care matricea endomorfismului T devine diagonala:

D =

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 . . . λn

⎞⎟⎟⎟⎠

unde λ1, . . . , λn sunt valorile proprii ale lui T ;

� Daca S este matricea de trecere de la baza B la baza B, atunci avem

D = S−1 ⋅A ⋅ S

� Construim endomorfismul T ∈ L(V ) dat prin

T (ei) = fi, ∀i = 1, . . . , n

� Avem T (ei) = fi =n

∑j=1

sjiej, ∀i = 1, . . . , n, asadar matricea endomorfis-

mului T ın baza B este chiar matricea S

57

� Cum transformarea T duce o baza ortonormata tot ıntr-o baza ortonor-mata , T este o transformare ortogonala, deci

S−1 = ST

� Pentru un vector oarecare x ∈ V , notam cu

X =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

, Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮

yn

⎞⎟⎟⎟⎠

matricele coloana ale coordonatelor lui x ın bazele B, respectiv B;

� Cum S este matricea de trecere de la B la B, avem

X = S ⋅ Y

� Expresia formei patratice Φ(x) ın baza B devine

Φ(x) =n

∑i,j=1

aijxixj =XTAX = (SY )T ⋅A ⋅ SY = Y T (STAS)Y

= Y T (S−1AS)Y = Y TDY =n

∑i=1

λiy2i

Algoritmul de reducere la forma canonica a unei forme patratice prinmetoda transformarilor ortogonale consta din urmatorii pasi:

1. Se determina valorile proprii λi, i = 1, . . . , n ale matricei formei patratice,precum si subspatiile de vectori proprii corespunzatoare Vλi , i = 1, . . . , n

2. In fiecare subspatiu propriu se construieste o baza ortonormata folosindprocedeul Gram-Schmidt, reuniunea acestor baze fiind baza B ın careavem forma canonica

3. Se scrie forma canonica

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + ⋅ ⋅ ⋅ + λny

2n

unde y1, y2, . . . , yn sunt coordonatele vectorului x ın baza B

4. Se scriu relatiile dintre coordonatele initiale si cele ın care avem formacanonica

X = S ⋅ Y

unde S este matricea de trecere de la baza initiala la baza B

58

Exemplu Fie forma patratica Φ ∶ R3 → R data prin

Φ(x) = 5x21 + 6x2

2 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3

Matricea formei patratice Φ ın baza canonica din R3 este

A =⎛⎜⎝

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

⎞⎟⎠

1. Determinam valorile si vectorii proprii ai lui A:RRRRRRRRRRRRRR

5 − λ −2 −2−2 6 − λ 0−2 0 4 − λ

RRRRRRRRRRRRRR

= (5 − λ)(6 − λ)(4 − λ) − 4(6 − λ) − 4(4 − λ) =

(5−λ)(λ2−10λ+24)−8(5−λ) = (5−λ)(λ2−10λ+16) = (5−λ)(2−λ)(8−λ)

λ1 = 2⇒⎛⎜⎝

3 −2 −2−2 4 0−2 0 2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

3x1 − 2x2 − 2x3 = 0

−2x1 + 4x2 = 0

−2x1 + 2x3 = 0

x2 = α⇒ x1 = x3 = 2α⇒ Vλ1 = {(2α,α,2α)∣α ∈ R} = Sp{(2,1,2)}

λ2 = 5⇒⎛⎜⎝

0 −2 −2−2 1 0−2 0 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−2x2 − 2x3 = 0

−2x1 + x2 = 0

−2x1 − x3 = 0

x1 = α⇒ x2 = 2α,x3 = −2α⇒ Vλ2 = Sp{(1,2,−2)}

λ1 = 8⇒⎛⎜⎝

−3 −2 −2−2 −2 0−2 0 −4

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−3x1 − 2x2 − 2x3 = 0

−2x1 − 2x2 = 0

−2x1 − 4x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = −2α,x2 = 2α⇒ Vλ3 = Sp{(−2,2,1)}

2. Vectorii v1 = (2,1,2), v2 = (1,2,−2), v3 = (−2,2,1) sunt deja ortogo-nali. Baza ortonormata din vectori proprii va fi formata din versoriicorespunzatori acestor vectori :

f1 =1

∥v1∥⋅ v1 =

1

3(2,1,2) = (

2

3,1

3,2

3)

f2 =1

∥v2∥⋅ v2 =

1

3(1,2,−2) = (

1

3,2

3,−

2

3)

f3 =1

∥v3∥⋅ v3 =

1

3(−2,2,1) = (−

2

3,2

3,1

3)

59

3. Expresia formei patratice Φ ın baza B = {f1, f2, f3} este

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + λ3y

23 = 2y2

1 + 5y22 + 8y2

3

4. Matricea de trecere de la baza canonica la baza B are pe coloane com-ponentele vectorilor f1, f2, f3:

S =⎛⎜⎝

23

13 −2

313

23

23

23 −2

313

⎞⎟⎠

iar legaturile dintre coordonatele initiale si cele ın care avem formacanonica sunt

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

23

13 −2

313

23

23

23 −2

313

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

y1

y2

y3

⎞⎟⎠⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 =23y1 +

13y2 −

23y3

x2 =13y1 +

23y2 +

23y3

x3 =23y1 −

23y2 +

13y3

Teorema 4.6 (Sylvester). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica . Atuncinumarul termenilor pozitivi si al celor negativi dintr-o forma canonica a luiΦ nu depinde de baza ın care este obtinuta aceasta.

Fie p si q numarul termenilor pozitivi, respectiv negativi din forma canonicaa unei forme patratice Φ. Evident, p + q ≤ n. In functie de valorile acestorconstante, avem urmatoarea clasificare a formelor patratice:

� Φ este pozitiv definita daca p = n

� Φ este negativ definita daca q = n

� Φ este pozitiv semidefinita daca q = 0 si p < n

� Φ este negativ semidefinita daca p = 0 si q < n

� Φ este nedefinita daca pq ≠ 0

4.3 Exercitii

1. Sa se reduca la forma canonica prin metoda Jacobi urmatoarele formepatratice:

a) Φ(x) = x21 + x

22 + x

23 + 2x1x3 + 2x2x3

60

b) Φ(x) = 3x21 + 3x2

2 + 3x23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1

c) Φ(x) = x21 + x

23 + x1x2 + x3x4

d) Φ(x) = x21 + x

24 + x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1

Rezolvare:

a) Matricea formei patratice este⎛⎜⎝

1 0 10 1 11 1 1

⎞⎟⎠

.

Avem ∆1 = 1, ∆2 = ∣1 00 1

∣ = 1, ∆3 =

RRRRRRRRRRRRRR

1 0 10 1 11 1 1

RRRRRRRRRRRRRR

= −1.

Forma canonica a lui h data de metoda Jacobi este:

Φ(x) =1

∆1

y21 +

∆1

∆2

y22 +

∆2

∆3

y23 =

= y21 + y

22 − y

23

unde y1, y2, y3 sunt coordonatele vectorului x ın baza ın care avemforma canonica.

b) ∆1 = 3, ∆2 = ∣3 11 3

∣ = 8, ∆3 =

RRRRRRRRRRRRRR

3 1 11 3 11 1 3

RRRRRRRRRRRRRR

= 20.

Φ(x) = 13y

21 +

38y

22 +

25y

23

c) ∆1 = 1, ∆2 = ∣1 1

212 0

∣ = −14 , ∆3 =

RRRRRRRRRRRRRR

1 12 0

12 0 00 0 1

RRRRRRRRRRRRRR

= −14 ∆4 =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 12 0 0

12 0 0 00 0 1 1

2

0 0 12 0

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

=

116 ⇒ Φ(x) = y2

1 − 4y22 + y

23 − 4y2

4

2. Sa se reduca la forma canonica prin metoda Gauss urmatoarele formepatratice:

a) Φ(x) = 5x21 + 6x2

2 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3

Rezolvare:Φ(x) = 5x2

1 − 4x1x2 − 4x1x3 + 6x22 + 4x2

3 = 5 (x21 −

45x1x2 −

45x1x3)+

+6x22 + 4x2

3 = 5 (x21 − 2 ⋅ x1 ⋅

2x25 − 2 ⋅ x1 ⋅

2x35 + 4

25x22 +

425x

23 − 22x2

52x35)

−45x

22 −

45x

23 −

85x2x3 + 6x2

2 + 4x23 = 5 (x1 −

25x2 −

25x3)

2+ 26

5 x22 +

165 x

23 −

85x2x3 = y2

1 +265 y

22 +

165 y

23 −

85y2y3 =

= 5y21 +

265(y2

2 −526 ⋅

85y2y3) +

165 y

23 = 5y2

1 +265 (y2

2 − 2 ⋅ y2 ⋅2y313 +

4y23169)−

−265 ⋅ 4

169y23 +

165 y

23 = 5y2

1 +265(y2 −

213y3)

2+ 40

13y23 = 5z2

1 +265 z

22 +

4013z

23

61

b) Φ(x) = x21 + 5x2

2 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3

c) Φ(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1

d) Φ(x) = 4x21 + x

22 + x

23 − 4x1x2 + 4x1x3 − 3x2x3

3. Sa se reduca la forma canonica prin metoda valorilor si vectorilor propriiurmatoarele forme patratice, specificand si baza ın care avem aceastaforma canonica:

Φ(x) = 2x21 + x

22 − 4x1x2 − 4x2x3

Φ(x) = 3x21 + 3x2

2 + 3x23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3

Φ(x) = x21 + x

22 + x

23 − 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3

Φ(x) = 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1

62

Capitolul 5

Vectori liberi

5.1 Spatiul vectorilor liberi

Consideram ın spatiul geometric tridimensional E3 un segment orientatÐ→AB.

Punctul A se numeste originea segmentului, iar B se numeste extremitateasegmentului. Daca A ≠ B, atunci dreapta determinata de cele doua punctese numeste dreapta suport a segmentului. In cazul ın care originea si extre-mitatea coincid, se obtine segmentul orientat nul.

Doua segmente orientate au aceeasi directie daca dreptele lor suport co-

incid sau sunt paralele. Un segment orientatÐ→AB determina ın mod unic

pe dreapta AB un sens de parcurgere a acesteia. Doua segmente orien-tate nenule, de aceeasi directie, au acelasi sens daca extremitatile lor se aflaın acelasi semiplan determinat de dreapta care uneste originile segmentelorın planul dreptelor suport paralele. In caz contrar, spunem ca cele douasegmente orientate (de aceeasi directie) au sensuri opuse. Lungimea unui

segment orientatÐ→AB se defineste ca fiind distanta dintre punctele A si B, si

se noteaza cu ∥Ð→AB∥. Un segment orientat are lungimea 0 daca si numai daca

este segmentul nul.Doua segmente orientate care au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi

lungime se numesc echipolente. Relatia de echipolenta este o relatie deechivalenta, ale carei clase de echivalenta se numesc vectori liberi. Asadar,

prin vectorul liber corespunzator segmentului orientatÐ→AB ıntelegem multi-

mea tuturor segmentelor orientate care au aceeasi directie, sens si lungime cuÐ→AB. Directia, sensul si lungimea comune reprezentantilor unui vector liberÐ→v se vor numi directia, sensul si lungimea vectorului liber Ð→v . Vectorulliber de lungime 0 se numeste vectorul nul, iar un vector liber de lungime1 se numeste versor.

63

Doi vectori liberi se numesc coliniari daca au aceeasi directie. Doi vectoriliberi coliniari care au aceeasi lungime dar sensuri opuse se numesc vectoriopusi. Opusul vectorului Ð→v se noteaza cu −

Ð→v . Doi vectori liberi sunt egalidaca reprezentantii lor sunt segmente orientate echipolente. Trei sau maimulti vectori liberi nenuli care au reprezentantii paraleli cu acelasi plan senumesc vectori coplanari.

Multimea tuturor vectorilor liberi se noteaza cu V3. Sa consideram acumun punct oarecare O ∈ E3. Oricarui punct M ∈ E3 ıi corespunde un unic

vector liber Ð→r ∈ V3 al carui reprezentant esteÐÐ→OM . Reciproc, oricarui vector

liber Ð→r ıi corespunde un unic punct M ∈ E3 astfel ıncatÐÐ→OM sa fie reprezen-

tant al lui Ð→r . Vectorul liber Ð→r =ÐÐ→OM se numeste vectorul de pozitie al

punctului M fata de originea O.

Definitia 5.1. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3,

Ð→OA un reprezentant al lui Ð→a si

Ð→AB un

reprezentant al luiÐ→b . Vectorul liber Ð→c care are ca reprezentant segmen-

tul orientatÐ→OB se numeste suma vectorilor Ð→a si

Ð→b .

Observatii:

- Vectorii Ð→a ,Ð→b si Ð→c =

Ð→a +Ð→b sunt coplanari.

- Regula de mai sus pentru obtinerea sumei a doi vectori liberi se numesteregula triunghiului.

- De asemenea, suma a doi vectori liberi poate fi definita si folosind regulaparalelogramului, ca fiind diagonala paralelogramului determinat de doireprezentanti ai celor doi vectori avand aceeasi origine.

Definitia 5.2. Fie λ ∈ R si Ð→v ∈ V3. Prin ınmultirea vectorului Ð→v cuscalarul λ ıntelegem vectorul liber λÐ→v definit astfel:

� daca Ð→v ≠Ð→0 si λ ≠ 0, atunci λÐ→v este vectorul care are aceeasi directie

cu Ð→v , acelasi sens cu Ð→v daca λ > 0 si sens opus daca λ < 0, iarlungimea lui este ∥λÐ→v ∥ = ∣λ∣∥Ð→v ∥;

� daca Ð→v =Ð→0 sau λ = 0, atunci λÐ→v =

Ð→0 .

Teorema 5.1. Multimea vectorilor liberi V3 ımpreuna cu operatiile de adunaresi ınmultire cu scalari definite mai sus formeaza un spatiu vectorial real.

64

5.2 Coliniaritate si coplanaritate

Teorema 5.2. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 doi vectori liberi nenuli.

1. Daca Ð→a siÐ→b sunt coliniari, atunci exista un unic λ ∈ R astfel ıncat

Ð→b = λÐ→a .

2. Multimea tuturor vectorilor coliniari cu Ð→a este un subspatiu vectorialde dimensiune 1, generat de Ð→a :

V1 = {Ð→v ∈ V3∣∃λ ∈ R,Ð→v = λÐ→a }.

3. Vectorii Ð→a siÐ→b sunt necoliniari daca si numai daca sunt liniar independenti.

Teorema 5.3. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3, cu Ð→a ,

Ð→b necoliniari.

1. Daca Ð→a ,Ð→b ,Ð→c sunt coplanari, atunci exista α,β ∈ R unici astfel ıncat

Ð→c = αÐ→a + βÐ→b .

2. Multimea tuturor vectorilor coplanari cu Ð→a ,Ð→b este un subspatiu vecto-

rial de dimensiune 2, generat de Ð→a siÐ→b :

V2 = {Ð→v ∈ V3∣∃α,β ∈ R,Ð→v = αÐ→a + β

Ð→b }.

Teorema 5.4. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 necoplanari si un vector oareacare v ∈ V3.

Atunci exista α,β, γ ∈ R unici astfel ıncat

Ð→v = αÐ→a + βÐ→b + γÐ→c .

Fie versoriiÐ→i ,Ð→j ,Ð→k ∈ V3 necoplanari, ale caror directii sunt perpendic-

ulare doua cate doua, siÐ→OA,

Ð→OB,

Ð→OC trei reprezentanti ai acestor versori

avand originea comuna O. Conform teoremei anterioare, orice vector liberÐ→v ∈ V3 poate fi scris ın mod unic ca o combinatie liniara de

Ð→i ,Ð→j ,Ð→k :

Ð→v = xÐ→i + y

Ð→j + y

Ð→k .

Expresia de mai sus se numeste expresia analitica a vectorului Ð→v , iar scalarii

x, y, z se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului Ð→v . DacaÐÐ→OM este un

reprezentant al lui Ð→v cu originea ın O, atunci expresia anterioara devine

ÐÐ→OM = x

Ð→OA + y

Ð→OB + z

Ð→OC.

65

Sistemul {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } se numeste reper cartezian ortogonal ın V3, iar

x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctuluiM ın reperul {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k }.

Daca M,N ∈ E3 siÐÐ→OM = xM

Ð→i + yM

Ð→j + zM

Ð→k , iar

ÐÐ→ON = xN

Ð→i + yN

Ð→j + zN

Ð→k

atunci

ÐÐ→MN =

ÐÐ→ON −

ÐÐ→OM = (xN − xM)

Ð→i + (yN − yM)

Ð→j + (zN − zM)

Ð→k

Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3∖{

Ð→0 }. Numarul ϕ ∈ [0, π] ce reprezinta unghiul dintre dreptele

suport ale vectorilor Ð→a siÐ→b se numeste unghiul dintre vectorii Ð→a si

Ð→b .

Daca unghiul dintre doi vectori este π2 , atunci vectorii se numesc ortogonali.

5.3 Produse cu vectori liberi

5.3.1 Produsul scalar

Definitia 5.3. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {

Ð→0 }. Se numeste produs scalar al vectorilor Ð→a ,

Ð→b numarul

real definit prin:

Ð→a ⋅Ð→b =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥ cosϕ, daca Ð→a ,

Ð→b ≠

Ð→0

0, daca Ð→a =Ð→0 sau

Ð→b =

Ð→0

Proprietati

1. Ð→a ⋅Ð→b =

Ð→b ⋅Ð→a , ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3;

2. λ(Ð→a ⋅Ð→b ) = (λÐ→a ) ⋅

Ð→b =

Ð→a ⋅ (λÐ→b ), ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3, λ ∈ R;

3. Ð→a ⋅ (Ð→b +Ð→c ) =

Ð→a ⋅Ð→b +Ð→a ⋅

Ð→c , ∀Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3;

4. Ð→a ⋅Ð→a > 0, ∀Ð→a ∈ V3; Ð→a ⋅

Ð→a = 0⇔Ð→a =Ð→0 ;

5. Ð→a ,Ð→b ∈ V3 sunt ortogonali ⇔Ð→a ⋅

Ð→b = 0;

6. daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului scalar este

Ð→a ⋅Ð→b = a1b1 + a2b2 + a3b3,

iar lungimea lui Ð→a este

∥Ð→a ∥ =

√a2

1 + a22 + a

23

66

7. daca Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ {

Ð→0 } si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b , atunci

cosϕ =

Ð→a ⋅Ð→b

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥

=a1b1 + a2b2 + a3b3

√a2

1 + a22 + a

23 ⋅

√b2

1 + b22 + b

23

5.3.2 Produsul vectorial

Definitia 5.4. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3∖{

Ð→0 }. Se numeste produs vectorial al vectorilor Ð→a si

Ð→b vectorul

Ð→a ×Ð→b = ∥

Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥ ⋅ sinϕ ⋅Ð→e

unde Ð→e este versorul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectorisi orientat dupa regula burghiului , adica sensul de ınaintare a unui burghiu

cand Ð→a se roteste catreÐ→b printr-un unghi minim.

Daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului vectorial este

Ð→a ×Ð→b = (a2b3 − a3b2)

Ð→i + (a3b1 − a1b3)

Ð→j + (a1b2 − a2b1)

Ð→k =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

RRRRRRRRRRRRRRR

Proprietati

1.Ð→b ×Ð→a = −(

Ð→a ×Ð→b ), ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3;

2. (λÐ→a ) ×Ð→b = λ(Ð→a ×

Ð→b ) =

Ð→a × (λÐ→b ), ∀λ ∈ R,Ð→a ,

Ð→b ∈ V3

3. (Ð→a +

Ð→b ) ×

Ð→c =Ð→a ×

Ð→c +Ð→b ×Ð→c , ∀Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c ∈ V3

4. Ð→a ×Ð→a =

Ð→0 , ∀Ð→a ∈ V3

5. ∥Ð→a ×

Ð→b ∥2 = ∥

Ð→a ∥2 ⋅ ∥Ð→b ∥2 − (

Ð→a ⋅Ð→b )2, ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3

6. aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→a siÐ→b este

Aparalelogram = ∥Ð→a ×

Ð→b ∥

7. aria triunghiului determinat de vectorii Ð→a siÐ→b este

Atriunghi =1

2∥Ð→a ×

Ð→b ∥

8. Ð→a ×Ð→b =

Ð→0 daca Ð→a =

Ð→0 sau

Ð→b =

Ð→0 sau Ð→a ,

Ð→b sunt coliniari.

67

5.3.3 Produsul mixt

Definitia 5.5. Se numeste produs mixt al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 numarul

real care este egal cu produsul scalar dintre vectorii Ð→a siÐ→b ×Ð→c :

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =

Ð→a ⋅ (Ð→b ×Ð→c )

Daca Ð→a = a1Ð→i +a2

Ð→j +a3

Ð→k ,Ð→b = b1

Ð→i +b2

Ð→j +b3

Ð→k si Ð→c = c1

Ð→i +c2

Ð→j +c3

Ð→k ,

atunci expresia analitica a produsului mixt este

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =

RRRRRRRRRRRRRR

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

RRRRRRRRRRRRRR

Proprietati

1. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = (

Ð→b ,Ð→c ,Ð→a ) = (

Ð→c ,Ð→a ,Ð→b )

2. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = −(

Ð→a ,Ð→c ,Ð→b ) = −(

Ð→c ,Ð→b ,Ð→a ) = −(

Ð→b ,Ð→a ,Ð→c )

3. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = 0 daca cel putin unul dintre vectorii Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c este

Ð→0 sau

daca cei trei vectori sunt coplanari;

4. volumul paralelipipedului determinat de vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este

Vparalelipiped = ∣(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )∣

5. volumul tetraedrului determinat de vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este

Vtetraedru =1

6∣(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )∣

6. (αÐ→a + βÐ→b ,Ð→c ,

Ð→d ) = α(Ð→a ,Ð→c ,

Ð→d ) + β(

Ð→b ,Ð→c ,

Ð→d )

5.3.4 Dublul produs vectorial

Definitia 5.6. Se numeste dublul produs vectorial al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈

V3 vectorulÐ→d =

Ð→a × (Ð→b ×Ð→c )

Proprietati:

68

1. Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) este un vector coplanar cu

Ð→b si Ð→c si avem

Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) = (

Ð→a ⋅Ð→c )Ð→b − (

Ð→a ⋅Ð→b )Ð→c =

RRRRRRRRRRR

Ð→b Ð→c

Ð→a ⋅Ð→b Ð→a ⋅

Ð→c

RRRRRRRRRRR

2. Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) +

Ð→b × (

Ð→c ×Ð→a ) +Ð→c × (

Ð→a ×Ð→b ) = 0

3. (Ð→a ×

Ð→b ) ⋅ (

Ð→c ×Ð→d ) =

RRRRRRRRRRR

Ð→a ⋅Ð→c Ð→a ⋅

Ð→d

Ð→b ⋅Ð→c

Ð→b ⋅Ð→d

RRRRRRRRRRR

4. (Ð→a ×

Ð→b ) ⋅ [

Ð→a × (Ð→b ×Ð→c )] = −(

Ð→a ⋅Ð→b )(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )

5.4 Exercitii

1. a) Demonstrati ca vectorii Ð→a = 5Ð→i −

Ð→j ,Ð→b =

Ð→i +

Ð→j , Ð→c = −

Ð→i + 2

Ð→j

sunt liniar dependenti si determinati scrierea vectoruluiÐ→a ın functie

deÐ→b si Ð→c .

R: Ð→a = 3Ð→b − 2Ð→c

b) Demonstrati ca vectorii Ð→a =Ð→i +Ð→j +

Ð→k ,Ð→b = −

Ð→i − 2

Ð→j + 3

Ð→k , Ð→c =

−1

4

Ð→i −Ð→j +

11

4

Ð→k sunt liniar dependenti si determinati scrierea vec-

torului Ð→c ın functie de Ð→a siÐ→b .

R: Ð→c =1

2Ð→a +

3

4

Ð→b .

2. Se dau vectorii Ð→a =Ð→i +Ð→j ,Ð→b =

Ð→j +

Ð→k , Ð→c =

Ð→i + 2

Ð→j + 3

Ð→k

a) Demonstrati ca {Ð→a ,Ð→b ,Ð→c } este o baza;

b) Determinati scrierea vectoruluiÐ→v =Ð→i −3

Ð→j +2

Ð→k ın baza {

Ð→a ,Ð→b ,Ð→c }.

R: Ð→v = −2Ð→a − 7Ð→b + 3Ð→c

3. Se dau vectorii Ð→a = 2Ð→i +Ð→j −Ð→k ,Ð→b = −

Ð→i +

1

2

Ð→j +3

Ð→k , Ð→c =

1

4

Ð→i −5

Ð→j −Ð→k

a) Demonstrati ca {Ð→a ,Ð→b ,Ð→c } este o baza;

b) Determinati scrierea vectoruluiÐ→v =Ð→i −18

Ð→j +Ð→k ın baza {

Ð→a ,Ð→b ,Ð→c }.

R: Ð→v =Ð→a + 2

Ð→b + 4Ð→c

69

4. Se dau vectoriiÐ→OA = 12

Ð→i − 4

Ð→j + 3

Ð→k ,Ð→OB = 3

Ð→i + 12

Ð→j − 4

Ð→k ,Ð→OC =

2Ð→i + 3

Ð→j − 4

Ð→k .

a) Demonstrati ca ∆AOB este isoscel, iar ∆AOC este dreptunghic;

b) Calculati perimetrul triunghiului ABC si masura unghiului A.

Rezolvare: ∥Ð→OA∥ =

√122 + (−4)2 + 32 = 13 = ∥

Ð→OB∥, deci triunghiul

∆AOB este isoscel;Ð→OA ⋅

Ð→OC = 12 ⋅ 2 + (−4) ⋅ 3 + 3 ⋅ (−4) = 0 ⇒ vectorii

Ð→OA si

Ð→OC sunt

perpendiculari , deci triunghiul ∆AOC este dreptunghic.Ð→AB =

Ð→OB −

Ð→OA = −9

Ð→i + 16

Ð→j − 7

Ð→k ⇒ ∥

Ð→AB∥ =

√386

Ð→AC =

Ð→OC −

Ð→OA = −10

Ð→i + 7

Ð→j − 7

Ð→k ⇒ ∥

Ð→AC∥ =

√198

Ð→BC =

Ð→OC −

Ð→OB = −

Ð→i − 9

Ð→j ⇒ ∥

Ð→AB∥ =

√82

Perimetrul triunghiului ABC este√

386 +√

198 +√

82.

cos A =

Ð→AB ⋅

Ð→AC

∥Ð→AB∥ ⋅ ∥

Ð→AC∥

=251

√386 ⋅

√198

⇒ A = arccos(251

√386 ⋅

√198

)

5. Se dau vectoriiÐ→a = 2Ð→i −Ð→k ,Ð→b = −

Ð→j +2

Ð→k , Ð→c = −3

Ð→i +3

Ð→j . Determinati

numerele reale λ si µ astfel ıncat vectorul Ð→v =Ð→a + 2λ

Ð→b + 2µÐ→c sa fie:

a) perpendicular pe planul yOz

b) egal ınclinat fata de axele Ox, Oy, Oz.

Rezolvare: Ð→v = 2Ð→i −Ð→k + 2λ(−

Ð→j + 2

Ð→k ) + 2µ(−3

Ð→i + 3

Ð→j )

Ð→v = (2 − 6µ)Ð→i + (−2λ + 6µ)

Ð→j + (−1 + 4λ)

Ð→k

a) Ð→v ⊥ yOz⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v ⊥Ð→j

Ð→v ⊥Ð→k

⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v ⋅Ð→j = 0

Ð→v ⋅Ð→k = 0

⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−2λ + 6µ = 0

−1 + 4λ = 0⇒

λ =1

4, µ =

1

12

b) cos(Ð→v ,Ð→i ) = cos(Ð→v ,

Ð→j ) = cos(Ð→v ,

Ð→k )⇔

Ð→v ⋅Ð→i

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥

Ð→i ∥

=

Ð→v ⋅Ð→j

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥

Ð→j ∥

=

=

Ð→v ⋅Ð→k

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥

Ð→k ∥⇒Ð→v ⋅Ð→i =

Ð→v ⋅Ð→j =

Ð→v ⋅Ð→k ⇒

2 − 6µ = −2λ + 6µ = −1 + 4λ⇒ λ =2

5, µ =

7

30

70

6. Se dau vectorii Ð→a siÐ→b despre care se stie ca ∥

Ð→a ∥ = 3, ∥Ð→b ∥ = 2,

∡(Ð→a ,Ð→b ) = π

3 . Se considera apoi vectorii Ð→c = 2Ð→a − 3Ð→b si

Ð→d =

Ð→a +Ð→b .

Calculati:

a) Ð→a ⋅Ð→b , ∥

Ð→c ∥, ∡(Ð→a ,Ð→c )

b) aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→c siÐ→d

Rezolvare:

a) Ð→a ⋅Ð→b = ∥

Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥ ⋅ cos π3 = 3

∥Ð→c ∥2 =

Ð→c ⋅Ð→c = (2Ð→a −3Ð→b )⋅(2Ð→a −3

Ð→b ) = 4Ð→a ⋅Ð→a −6Ð→a ⋅

Ð→b −6

Ð→b ⋅Ð→a +9

Ð→b ⋅Ð→b

= 4∥Ð→a ∥2 − 12Ð→a ⋅Ð→b + 9∥

Ð→b ∥2 = 36⇒ ∥

Ð→c ∥ = 6

cos(Ð→a ,Ð→c ) =

Ð→a ⋅Ð→c

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→c ∥=

1

18Ð→a ⋅(2Ð→a −3

Ð→b ) =

1

18(2∥Ð→a ∥2−3Ð→a ⋅

Ð→b ) =

1

2

b) Ð→c ×Ð→d = (2Ð→a −3

Ð→b )×(

Ð→a +Ð→b ) = 2Ð→a ×Ð→a +2Ð→a ×

Ð→b −3

Ð→b ×Ð→a −3

Ð→b ×Ð→b =

= 5Ð→a ×Ð→b ⇒ A = ∥

Ð→c ×Ð→d ∥ = 5∥Ð→a ×

Ð→b ∥ = 5∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥ ⋅ sin π

3 = 15√

3

7. Fie Ð→a =Ð→u − 3Ð→v ,

Ð→b = −

Ð→u + 2Ð→v , ∥Ð→u ∥ = 3, ∥

Ð→v ∥ =√

2 si unghiul dintre

vectorii Ð→u si Ð→v este θ = π4 . Sa se calculeze Ð→a ⋅

Ð→b , lungimile diagonalelor

paralelogramului determinat de cei doi vectori, si unghiul dintre ele.

8. Determinati scalarii λ,µ ∈ R astfel ıncat puncteleA(2, λ,1),B(3,7,5),C(µ,10,9)sa fie coliniare.Rezolvare:

Ð→AB =

Ð→i + (7 − λ)

Ð→j + 4

Ð→k ,Ð→BC = (µ − 3)

Ð→i + 3

Ð→j + 4

Ð→k

Ð→AB ×

Ð→BC =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

1 7 − λ 4µ − 3 3 4

RRRRRRRRRRRRRRR

=Ð→0 ⇒

(16 − 4λ)Ð→i + (4µ − 16)

Ð→j + (24 − 3λ − 7µ + λµ)

Ð→k =

Ð→0 ⇒ λ = µ = 4.

9. Se considera punctele:

i. A(2,3,1),B(4,1,−2),C(6,3,7),D(−5,−4,8)

ii. A(1,1,−3),B(2,−1,1),C(3,3,1),D(−1,4,2)

iii. A(2,−1,1),B(5,5,4),C(3,2,−1),D(4,1,3)

Pentru fiecare din cazurile de mai sus, calculati:

a) Perimetrul, unghiurile, aria si ınaltimile triunghiului ABC.

b) Volumul, aria totala si ınaltimile tetraedrului ABCD.

71

10. Se dau vectorii Ð→a = 2Ð→i +(λ+2)

Ð→j +3

Ð→k ,Ð→b =

Ð→i +λ

Ð→j −Ð→k , Ð→c = 4

Ð→j +2

Ð→k

unde λ ∈ R.

a) Determinati valoarea parametrului λ astfel ıncat vectorii sa fie copla-nari

b) Pentru valoarea gasita anterior, descompuneti vectorulÐ→a dupa directiile

vectorilorÐ→b si Ð→c si calculati aria paralelogramului determinat de

vectoriiÐ→b si Ð→c .

72

Capitolul 6

Planul si dreapta ın spatiu

6.1 Planul

Fie {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } un reper cartezian ortogonal ın V3 si un plan p ın spatiul

geometric tridimensional E3.

Definitia 6.1. Un vector nenulÐ→N se numeste vector normal la planul p

daca dreapta suport a unui reprezentant al sau este perpendiculara pe planulp.

DacaÐ→N este un vectori normal la planul p, atunci si λ

Ð→N , λ ∈ R∗ este tot

un vector normal la planul p.

Definitia 6.2. Doi vectori necoliniari Ð→a siÐ→b ai caror reprezentanti au

dreptele suport paralele cu planul p se numesc vectori directori ai planuluip.

Fie un plan p, un punct M0(x0, y0, z0) ın acest plan, siÐ→N = A

Ð→i +B

Ð→j +C

Ð→k

un vector normal la planul p. DeoareceÐ→N este un vector nenul, rezulta ca

A,B,C nu sunt simultan nuli, adica A2 +B2 +C2 > 0.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ÐÐÐ→M0M ⊥

Ð→N ⇔

ÐÐÐ→M0M ⋅

Ð→N = 0

CumÐÐÐ→M0M = (x−x0)

Ð→i +(y−y0)

Ð→j +(z−z0)

Ð→k , folosind expresia analitica

a produsului scalar obtinem

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0 (6.1)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia normala a planului.

Ecuatia (6.1) se rescrie

Ax +By +Cz −Ax0 −By0 −Cz0 = 0

73

iar notand cu D = −Ax0 −By0 −Cz0 obtinem

Ax +By +Cz +D = 0 (6.2)

care se numeste ecuatia generala a planului.Ecuatia unui plan nu este unica. Daca ınmultim (6.2) cu λ ∈ R∗ obtinem

λAx + λBy + λCz + λD = 0

ecuatie care este de asemenea verificata de coordonatele oricarui punct dinplanul p. Orice alta ecuatie a planului p are coeficientii proportionali cuA,B,C,D.

Fie un plan p, punctul M0(x0, y0, z0) ∈ p si Ð→v 1 = l1Ð→i + m1

Ð→j + n1

Ð→k ,

Ð→v 2 = l2Ð→i +m2

Ð→j + n2

Ð→k doi vectori directori (deci necoliniari) ai planului p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ vectoriiÐÐÐ→M0M,Ð→v 1,

Ð→v 2 sunt coplanari,

adica daca si numai daca produsul mixt (ÐÐÐ→M0M,Ð→v 1,

Ð→v 2) = 0.

CumÐÐÐ→M0M = (x−x0)

Ð→i +(y−y0)

Ð→j +(z−z0)

Ð→k , folosind expresia analitica

a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRR

x − x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

RRRRRRRRRRRRRR

= 0 (6.3)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia planului determinat de un punct si doi vectoridirectori.

Fie un plan p, punctele M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) ∈ p si Ð→v = lÐ→i +m

Ð→j +

nÐ→k un vector cu dreapta suport paralela cu p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ vectoriiÐÐÐ→M1M,

ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v sunt copla-nari, adica daca si numai daca produsul mixt

(ÐÐÐ→M0M,

ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v ) = 0.

Folosind expresia analitica a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

l m n

RRRRRRRRRRRRRR

= 0 (6.4)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia planului determinat de doua puncte si unvectori director.

74

Fie un plan p si punctele M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ınplanul p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p ⇔ vectoriiÐÐÐ→M1M,

ÐÐÐ→M1M2,

ÐÐÐ→M1M3 sunt

coplanari, adica daca si numai daca produsul mixt

(ÐÐÐ→M0M,

ÐÐÐ→M1M2,

ÐÐÐ→M1M3) = 0.

Folosind expresia analitica a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

RRRRRRRRRRRRRR

= 0 (6.5)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia planului determinat de trei puncte.

Observatii

� Ecuatia planului xOy este z = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOyeste z = z0;

� Ecuatia planului xOz este y = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOzeste y = y0;

� Ecuatia planului yOz este x = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu yOzeste x = x0;

� Proiectiile punctuluiM0(x0, y0, z0) pe planele de coordonate sunt punctelede coordonate

(x0, y0,0), (x0,0, z0), (0, y0, z0)

� Simetricele punctului M0(x0, y0, z0) fata de planele de coordonate suntpunctele de coordonate

(x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0)

6.2 Dreapta

Fie d o dreapta ın spatiul geometric tridimensional E3.

Definitia 6.3. 1. Vectorul nenul Ð→v = lÐ→i +m

Ð→j +n

Ð→k ai carui reprezentanti

au dreapta suport paralela cu dreapta d, se numeste vector directoral dreptei d;

75

2. Numerele reale l,m,n se numesc parametrii directori ai dreptei d;

3. Ð→v 0 =1

∥Ð→v ∥

⋅Ð→v se numeste versor director al dreptei d.

4. Numerele cosα, cosβ, cosγ, unde α,β, γ sunt unghiurile facute de vec-

torul Ð→v cu versoriiÐ→i ,Ð→j si

Ð→k , se numesc cosinusuri directoare ale

dreptei d.

Cosinusurile directoare se calculeaza ın functie de parametrii directoriastfel:

cosα =

Ð→v ⋅Ð→i

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥

Ð→i ∥

=l

√l2 +m2 + n2

cosβ =

Ð→v ⋅Ð→j

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥

Ð→j ∥

=m

√l2 +m2 + n2

cosγ =Ð→v ⋅Ð→k

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥

Ð→k ∥

=n

√l2 +m2 + n2

Parametrii directori l,m,n ai unei drepte nu sunt unici. Pentru orice λ ≠ 0,numerele λl, λm,λn sunt de asemenea parametri directori deoarece vectorulλÐ→v este coliniar cu Ð→v deci este de asemenea vector director al dreptei d.

Fie o dreapta d, un punct M0(x0, y0, z0) pe aceasta dreapta, si Ð→v = lÐ→i +

mÐ→j + n

Ð→k un vector director al dreptei d.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ d ⇔ÐÐÐ→M0M,Ð→v coliniari ⇔ ∃λ ∈ R astfel

ıncatÐÐÐ→M0M = λÐ→v .

CumÐÐÐ→M0M = (x − x0)

Ð→i + (y − y0)

Ð→j + (z − z0)

Ð→k , obtinem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0 = λl

y − y0 = λm

z − z0 = λn

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + λl

y = y0 + λm

z = z0 + λn

(6.6)

care se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei, sau echivalent

x − x0

l=y − y0

n=z − z0

n(6.7)

care se numesc ecuatiile canonice ale dreptei.Fie o dreapta d si punctele M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) pe dreapta d.

VectorulÐÐÐ→M1M2 este un vector director al dreptei d si avem

Ð→v =ÐÐÐ→M1M2 = (x2 − x1)

Ð→i + (y2 − y1)

Ð→j + (z2 − z1)

Ð→k

76

Inlocuind ın (6.7) coordonatele punctului M1 si componentele vectorului di-rector Ð→v obtinem:

x − x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

=z − z1

z2 − z1

(6.8)

ecuatii care sunt verificate de fiecare punct de pe dreapta d si se numescecuatiile dreptei prin doua puncte.

Teorema 6.1. Fie planele neparalele p1 si p2 avand ecuatiile

(p1) ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

(p2) ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0

Atunci ecuatiile canonice ale dreptei de intersectie a celor doua plane sunt

x − x0

l=y − y0

n=z − z0

n

unde (x0, y0, z0) este o solutie a sistemului format din ecuatiile celor douaplane, iar parametrii directori sunt

l = ∣B1 C1

B2 C2∣ , m = ∣

C1 A1

C2 A2∣ , n = ∣

A1 B1

A2 B2∣ .

Demonstratie: Deoarece planele p1 si p2 sunt neparalele , vectorii normali

Ð→N 1 = A1

Ð→i +B1

Ð→j +C1

Ð→k

Ð→N 2 = A2

Ð→i +B2

Ð→j +C2

Ð→k

sunt necoliniari, deci matricea (A1 B1 C1

A2 B2 C2) are rangul 2, asadar sistemul

format din ecuatiile celor doua plane este compatibil.

Dreapta de intersectie este perpendiculara pe vectorii normaliÐ→N 1 si

Ð→N 2,

deci un vector director al acestei drepte poate fi alesÐ→v =Ð→N 1×

Ð→N 2 =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

A1 B1 C1

A2 B2 C2

RRRRRRRRRRRRRRR

,

de unde obtinem parametrii directori din enunt.Observatii

� Ecuatiile axei Ox sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = 0

z = 0;

� Ecuatiile axei Oy sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 0

z = 0;

77

� Ecuatiile axei Oz sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 0

y = 0;

� Proiectiile punctuluiM0(x0, y0, z0) pe axele de coordonate sunt punctelede coordonate

(x0,0,0), (0, y0,0), (0,0, z0)

� Simetricele punctului M0(x0, y0, z0) fata de axele de coordonate suntpunctele de coordonate

(x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0)

6.3 Unghiuri si distante

6.3.1 Unghiul a doua drepte

Fie dreptele d1, d2 date prin ecuatiile:

d1 ∶x − x1

l1=y − y1

m1

=z − z1

n1

d2 ∶x − x2

l2=y − y2

m2

=z − z2

n2

Atunci unghiul θ dintre cele doua drepte este dat de unghiul dintre vectorii

directori ai celor doua drepteÐ→v 1 = l1Ð→i +m1

Ð→j +n1

Ð→k siÐ→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j +n2

Ð→k :

cos θ =Ð→v 1 ⋅

Ð→v 2

∥Ð→v 1∥ ⋅ ∥

Ð→v 2∥=

l1l2 +m1m2 + n1n2√l21 +m

21 + n

21 ⋅

√l22 +m

22 + n

22

6.3.2 Unghiul a doua plane

Fie planele p1, p2 date prin ecuatiile:

p1 ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

p2 ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0

Presupunem ca planele nu coincid si nu sunt nici paralele (cazuri ın careunghiul dintre plane este 0) . Unghiul diedru dintre cele doua plane este egalcu unghiul plan obtinut prin sectionarea planelor cu un plan perpendicularpe dreapta de intersectie a celor doua plane , care este egal cu unghiul dintre

normalele la cele doua planeÐ→N 1 = A1

Ð→i +B1

Ð→j +C1

Ð→k si

Ð→N 2 = A2

Ð→i +B2

Ð→j +

C2

Ð→k :

cos θ =

Ð→N 1 ⋅

Ð→N 2

∥Ð→N 1∥ ⋅ ∥

Ð→N 2∥

=A1A2 +B1B2 +C1C2

√A2

1 +B21 +C

21 ⋅

√A2

2 +B22 +C

22

78

6.3.3 Unghiul dintre o dreapta si un plan

Fie dreapta d si planul p date prin ecuatiile:

d ∶x − x0

l=y − y0

m=z − z0

n

p ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Fie Ð→v = lÐ→i +m

Ð→j +n

Ð→k un vector director al dreptei d si

Ð→N = A

Ð→i +B

Ð→j +C

Ð→k

un vector normal la planul p. Unghiul θ dintre dreapta d si planul p este prindefinitie unghiul dintre dreapta d si proiectia acesteia pe planul p, care esteegal cu complementul unghiului dintre dreapta d si normala la planul p:

sin θ = cos(π

2− θ) =

Ð→N ⋅Ð→v

∥Ð→N ∥ ⋅ ∥

Ð→v ∥=

Al +Bm +Cn√A2 +B2 +C2 ⋅

√l2 +m2 + n2

6.3.4 Distanta de la un punct la un plan

Teorema 6.2. Fie punctul M0(x0, y0, z0) si planul p dat prin ecuatia

p ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Atunci distanta de la punctul M0 la planul p este

dist(M0, p) =∣Ax0 +By0 +Cz0 +D∣

√A2 +B2 +C2

Demonstratie: Scriem ecuatiile perpendicularei din M0 pe planul p:

d ∶x − x0

A=y − y0

B=z − z0

C

Fie {M1} = d ∩ p. Atunci distanta de la M0 la p este lungimea segmentuluiM0M1.

Ecuatiile parametrice ale lui d sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + λA

y = y0 + λB

z = z0 + λC

.

Inlocuind ın ecuatia planului p obtinem

A(x0 + λA) +B(y0 + λB) +C(z0 + λC) +D = 0

Ax0 +By0 +Cz0 +D + λ(A2 +B2 +C2) = 0

λ1 = −Ax0 +By0 +Cz0 +D

A2 +B2 +C2

79

VectorulÐÐÐ→M0M1 = λ1A

Ð→i + λ1B

Ð→j + λ1C

Ð→k are lungimea

∥ÐÐÐ→M0M1∥ =

√λ2

1(A2 +B2 +C2) = ∣λ1∣

√A2 +B2 +C2

=∣Ax0 +By0 +Cz0 +D∣

√A2 +B2 +C2

6.3.5 Distanta de la un punct la o dreapta

Teorema 6.3. Fie punctul M0(x0, y0, z0) si dreapta d data prin ecuatiile

d ∶x − x1

l=y − y1

m=z − z1

n

Atunci distanta de la punctul M0 la dreapta d este

dist(M0, d) =∥ÐÐÐ→M1M0 ×

Ð→v ∥

∥Ð→v ∥

unde M1(x1, y1, z1) ∈ d, iar Ð→v = lÐ→i +m

Ð→j + n

Ð→k .

Demonstratie: Fie M proiectia lui M0 pe d si θ unghiul dintreÐÐÐ→M1M0

si Ð→v . Avem dist(M0, d) = ∥ÐÐÐ→M0M∥ = ∥

ÐÐÐ→M1M0∥ sin θ =

∥ÐÐÐ→M1M0∥∥

Ð→v ∥ sin θ

∥Ð→v ∥

=

∥ÐÐÐ→M1M0 ×

Ð→v ∥

∥Ð→v ∥

.

6.3.6 Perpendiculara comuna. Distanta dintre douadrepte

Fie doua drepte necoplanare date prin ecuatiile

d1 ∶x − x1

l1=y − y1

m1

=z − z1

n1

d2 ∶x − x2

l2=y − y2

m2

=z − z2

n2

Exista o dreapta unica d perpendiculara pe d1 si d2 care si intersecteaza celedoua drepte, numita perpendiculara comuna. Notam cu M1(x1, y1, z1) ∈ d1,

M2(x2, y2, z2) ∈ d2 iar Ð→v 1 = l1Ð→i +m1

Ð→j +n1

Ð→k , Ð→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j +n2

Ð→k vectori

directori ai celor doua drepte. Atunci un vector director al perpendiculareicomune este vectorul

Ð→v =Ð→v 1 ×

Ð→v 2 = lÐ→i +m

Ð→j + n

Ð→k ,

80

iar ecuatiile perpendicularei comune sunt obtinute prin intersectarea planelorp1 care contine d1 si d, si p2 care contine d2 si d.

p1 ∶

RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

l1 m1 n1

l m n

RRRRRRRRRRRRRR

= 0

p2 ∶

RRRRRRRRRRRRRR

x − x2 y − y2 z − z2

l2 m2 n2

l m n

RRRRRRRRRRRRRR

= 0

Avem d = p1 ∩ p2, iar distanta dintre cele doua drepte este lungimea perpen-dicularei comune, care este egala cu ınaltimea paralelipipedului construit pe

vectorii Ð→v 1, Ð→v 2 siÐÐÐ→M1M2, considerand ca baza paralelogramul construit pe

vectorii Ð→v 1 si Ð→v 2:

dist(d1, d2) =∣(ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v 1,Ð→v 2)∣

∥Ð→v 1 ×

Ð→v 2∥

6.4 Exercitii

1. Se considera punctul A(−1,2,4) dreapta (d) ∶ x2 =y−1−1 = z+1

3 si planul(p) ∶ x + 2y − 2z = 4. Se cer:

(a) vectorulÐ→OA, un vector director al dreptei d notat cu Ð→v si un

vector normal la planul p notat cuÐ→N ; analizati daca

Ð→OA,Ð→v si

Ð→N

sunt coplanari.

(b) ecuatiile dreptei prin A paralela cu d

(c) ecuatia planului prin A paralel cu planul p

(d) ecuatia planului prin d care este perpendicular pe xOz

(e) simetricele punctului A fata de planele si axele de coordonate

(f) ecuatiile canonice ale dreptei de intersectie dintre planele p si xOy

2. Fie punctele A(1,0,−2),B(0,1,3) si planul (p) ∶ 2x − y + 3z − 5 = 0. Sase determine

(a) vectorulÐ→AB, normala planului

Ð→N si produsul vectorial dintre

Ð→AB

siÐ→N

(b) ecuatiile dreptei prin A, paralela cu Ox

81

(c) ecuatia planului prin B si paralel cu p

(d) ecuatiile dreptei AB

(e) ecuatia planului prin A si B, care este ortogonal pe p

(f) simetricul lui B fata de Oz, xOy si p

3. Se considera punctele A(1,0,1),B(0,1,2) si vectorul Ð→v =Ð→i +Ð→k . Sa se

determine

(a) ecuatia planului prin A si perpendicular pe Ð→v

(b) ecuatiile dreptei AB

(c) proiectia lui B ın planul xOz si simetricul lui B fata de Oz

(d) dist (A, yOz)

(e) ecuatiile dreptei prin A paralela cu Ox

(f) ecuatia planului ce contine axa Ox si punctul B

4. Se considera punctul A(0,1,3) , dreapta (d) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y − z = 1

2x + z − 5 = 0si

planul (p) ∶ x − y + 3z = 1. Notam cu Ð→v vectorul director al dreptei si

cuÐ→N normala planului. Se cer:

(a) ecuatiile canonice ale dreptei d

(b) determinati un vector ortogonal peÐ→OA si

Ð→N si stabiliti daca vec-

toriiÐ→OA,Ð→v si

Ð→N sunt coplanari.

(c) ecuatia planului prin A perpendicular pe dreapta d

(d) proiectia lui A ın planul xOz , simetricul lui A fata de Oz

(e) ecuatiile dreptei prin A paralela cu Ox si ecuatia planului prin Aparalel cu xOy

(f) ecuatia planului ce contine dreapta d si este perpendicular peplanul p

5. Sa se afle coordonatele simetricului punctului M(4,1,6) fata de dreapta

(d)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − y − 4z + 12 = 0

2x + y − 2z + 3 = 0

82

6. Se dau dreapta

(d)x − 1

2=y − 1

3=z

1

si planul(p) x + y + z + 1 = 0.

Sa se determine:

(a) ecuatiile proiectiei dreptei d pe planul p;

(b) ecuatiile simetricei dreptei d fata de planul p.

7. Fie planele(p1) 2x − y − z − 2 = 0

(p2) x + 2y + 2z + 1 = 0,

dreptele

(d1)x − 9

4=y + 2

−3=z

1

(d2)x

−2=y + 7

9=z − 2

2

si punctul M(5,−1,1). Sa se gaseasca:

(a) unghiul dintre planele p1 si p2

(b) unghiul dintre dreptele d1 si d2

(c) unghiul dintre dreapta d2 si planul p1

(d) distanta de la M la planul p2

(e) distanta de la M la dreapta d1

(f) ecuatiile perpendicularei comune dreptelor d1 si d2

(g) distanta dintre dreptele d1 si d2

83