86113336 Lucrare Gradul i

Căi de eficientizare a predării-învăţării polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar

1

INTRODUCERE

Matematica contribuie esential la educarea memoriei, atentiei, vointei, imaginatiei,

la amplificarea setei de cunoastere si are un rol important in educatia estetica a celor ce o

studiaza. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunoscand

in timp o dezvoltare foarte accentuate. Problematica de care se ocupa a devenit mai vasta

si mai variata.

Tema acestei lucrari metodico-stiintifice este “Căi de eficientizare a predării-învăţării

polinoamelor la elevii din învăţământul preuniversitar”

Intre teoremele aritmeticii numerelor intregi si unele teoreme ale aritmeticii

polinoamelor exista o mare asemanare. Predarea lor prin analogie duce la o intelegere mai

profunda a notiunilor.

Aritmetica are rol formativ foarte important, dar a fost diminuata prin reforma

actuala. Dupa programele actuale se mai predau doar cateva notiuni de aritmetica

numerelor naturale prin gimnaziu , mai precis in clasa a VI-a. Pana in clasa a XII-a (cand ar

trebui facuta analogia intre aritmetica numerelor intregi si aritmetica polinoamelor),

aceste notiuni nu sunt diversificate sau amplificate . In clasele de gimnaziu trebuie predate

cunostinte ce inlesnesc formarea unei structuri cognitive operationale si a unei baze

acceptabile de modelare intuitiva . Datorita dificultatilor interioare ale aritmeticii asimilare

ei nu se poate face direct la nivelul de rigoare dorit si atunci sunt necesare “spirale”

successive pana la sfarsitul clasei a XII-a. Predarea notiunilor se va face intr-o forma

succesibila elevilor de liceu apoi se vor da exemple si de alte multimi de numere pentru

care se pot da teoreme de impartire cu rest care sa ne permita sa construim si pentru ele o

anumita aritmetica. In cadrul acestei lucrari se va arata ca aritmetica numerelor intregi ,

aritmetica polinoamelor cat si alte aritmetici se pot trata in cadrul invatamantului

preuniversitar intr-un mod unitar. Aceasta va genera performante superioare . Un plus de

rigoare in scoala determina un plus accentuat in facultate. Lucrarea de fata este structurata

pe sase capitole .

Primul capitol are ca scop introducerea notinii de inel, a notiunilor de morfisme si

izomorfisme de inele, corpuri, subcorpuri , extinderi de corpuri si proprietatile lor.

In capitolul al II-lea se prezinta proprietatile aritmetice ale inelelor , urmarindu-se

prezentarea unor rezultate utile in teoria algebrica a numerelor .

In capitolulal III-lea sunt prezentate inelele de polinoame , modul de constructive

al lor, polinoamele de o nedeterminata .

In capitolul IV sunt ilustrate proprietatile radacinilor uni polinom, derivate unui

polinom, teoria fundamental a algebrei si ecuatiile algebrice.

Ultimul capitol cuprinde metode legate depredarea matematicii in general si a

polinoamelor in particular . Mai intai sunt trecute in revista principiile didacticii “adaptate”


2

la matematica, apoi metodele. Se evidentiaza aplicatii metodice, parcurgandu-se cu ajutorul

exemplelor , al problemelor, notiunile studiate anterior .Tipurile de exercitii si metodele de

rezolvare propuse in acesta lucrare vor adduce cu siguranta o imbunatatire a rezultatelor

obtinute de elevi. Problemele sunt deosebit de utile din punct de vedere metodologic,

findca determina folosirea de strategii variate si rationamente fine prin cerinte de ordin

calitativ. Ele au grade de dificultate variata si deschid noi orizonturi in vederea insusirii

matematicii, in particular a inelelor de polinoame, in invatamantul preuniversitar .

Paragraful VI.5 evidentiaza etapele in care au fost parcurse in cercetarea realizata .

Lucrarea urmareste ca elevii sa capete o deschidere cat mai larga spre studiul

sistematic al polinoamelor si ecuatiilor algebrice iar prin aceasta sa le inlesneasca trecera

catre studiul unei problematici de nivel mai inalt.


3

CAPITOLUL I

INELE

I.1 INEL.NOTIUNI INTRODUCTIVE

Multimea Z a numerelor intregi inzestrata cu operatiile de adunare si inmultire a

servit ca baza a aritmeticii si algebrei in care, prin preluarea diferitelor proprietati al

acestei multimi, s-au construit noi structuri.

Definitia I.1.1 Fie M o multime nevida. O aplicatie :MxM→M, (x,y)→x y se numeste

lege de compozitie interna (pe scurt o lege de compozitie) pe multimea M.

Definita I1.2 Fie o lege de compozitie pe multimea nevida M. Atunci:

1) Legea de compozitie este asociativa daca (x y) z=x (y z), pentru oricare x, y, z M

2) Legea de compozitie este comutativa daca x y=y x, pentru oricare x, y M

3) Legea de compozitie admite element neutru daca exista e M astfel incat

x e=e x=x, pentru oricare x M

4) Daca legea de compozitie pe multimea M admite elemental neutru e, atunci un

element x M se numeste simetrizabil in raport cu , daca exista M, astfel incat

x* .

Elementul se numeste simetricul elementului x.

Observatia I.1.1 In notatie aditiva, elementul neutru se noteaza cu 0 si se mai

numeste elementul nul. In notatie multiplicativa , elementul neutru se noteaza cu 1 si se

mai numeste elementul unitate. Daca o lege de compozitie admite un element neutru,

acesta este unic determinat. Daca o lege de compozitie este asociativa si cu element, atunci

simetricul unui element simetrizabil este unic.

Definitia I.1.3 Fie M o multime pe care este definite o lege de compozitie . O

submultime H include M se numeste parte stabile a lui M in raport cu operatia , daca

oricare x, y H rezulta x y H. Daca H este o parte stabile a lui M, restrictia operatiei la

multimea H se numeste lege de compozitie indusa de pe H.

Definitia I.1.4 Fie M o multime, M diferit de Ø si o lege de compozitie pe M. Atunci

(M, ) se numeste semigrup daca legea de compozitie este asociativa. Daca in plus legea de

compozitie este comutativa atunci (M, ) se numeste semigrup comutativ.


4

Definitia I.1.5 Fie M o multime, M diferit de Ø si o lege de compozitie pe M. Atunci

(M, ) se numeste monoid daca legea de compozitie satisfice axiomele:

1) este asociativa;

2) admite element neutru;

Daca legea de compozitie satisfice si axioma:

3)legea este comutativa, atunci monoidul (M, ) se numeste monoid comutativ.

Definitia I.1.6 Fie G o multime nevida si o lege de compozitie pe G. Atunci (G, ) se

numeste grup daca sunt satisfacute axiomele :

1) este asociativa;

2) admite element neutru;

3)orice element din G este simetrizabil fata de operatia .

Daca in plus este satisfacuta axioma:

4) este comutativa, spunem ca (G, ) este grup comutativ (sau grup abelian).

Definitia I.1.7 Se numeste inel o multime nevida A inzestrata cu doua legi de

compozitie notate de obicei aditiv si multiplicativ care satisfice urmatoarele conditii :

+:AxA→A, (x,y)→x+y

:AxA→A, (x,y)→x y

1. A are o structura de grup abelian in raport cu legea aditiva;

2. A are o structura de semigrup in raport cu legea multiplicativa;

3. Legea multiplicativa este distributiva in raport cu legea aditiva, adica

x, y, z A x (y+z)=x y+x z;

(x+y) z=x z+y z

Observatia I.1.2 Elementul neutru al grupului abelian al unui inel A se noteaza de

obicei cu 0 si se numeste elemental zero al inelului; iar opusul fata de adunare al unui

element oarecare a A se noteaza deobicei cu –a. Daca in plus operatia multiplicativa are

element unitate, atunci inelul se numeste inel unitar (sau inel cu unitate). Elementul sau

unitate, atunci cand nu exista pericolul unei confuzii, se noteaza cu 1 si se numeste element

unitate al inelului.

Definitia I.1.8 Daca A este un inel unitar, atunci elementele lui A care sunt

simetrizabile in raport cu operatia multiplicativa se numesc elemente inversbile sau unitati

ale inelului A. Inversul (sau simetricul) lui a se noteaza cu .

Multimea elementelor inversabile ale inelului A se noteaza cu U(A). U(A) are o

structura de grup in raport cu operatia multiplicative. Acest grup, (U(A), ) se numeste grup

multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului A. Elementul unitate 1, are rol de

element neutru pentru grupul (U(a), ).


5

Exemple:

1) (Z,+, ). Multimea numerelor intregi cu operatiile de adunare si inmultire obisnuite, este

inel comutativ si unitar.

2) Tot inele comutative si unitare sunt si (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) in raport cu adunarea si

inmultirea obisnuite.

3) Daca n Z, atunci multimea nZ={nk|k Z} este inel comutativ fata de adunarea si

inmultirea obisnuita a numerelor intregi .

4) Multimea Zn={ , , , } a claselor de resturi modulo n N, n 2, in raport cu

adunarea si inmultirea claselor:

+ + , ,

, ,

formeaza un inel comutativ si unitar, numit inelul claselor de resturi modulo n.

5) Multimea Z[i]={x C|x=a+bi|a,b Z}, in raport cu operatiile de adunare si de inmultire a

numerelor complexe formeaza un inel numit inelul intregilor lui Gauss.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc) i, oricare a+bi, c+di Z[i],

acestea fiind operatiile induse pe Z[i] de adunarea si inmultirea numerelor complexe.

6) Un interes aparte prin aplicatiile pe care la are in domeniul tehnicii il prezinta inelul

( , , )

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecinte care de obicei sunt numite

reguli de calcul intr-un inel.

Propozitia I.1.1 Daca (A,+, ) este un inel atunci:

1. a 0=0 a=0, a A;

2. (-a) (-b)=a b, a,b A;

3. a (b-c)=a b-a c si (a-b) c=a c-b c, a,b,c A;

4. a (∑ )=∑

, (∑

) b=∑

, unde n N, iar a, b, , , , A. In

particular: a (n b)=n (a b)=(n a) b;

5. (∑ ) (∑ ) ∑ ∑

, fi n, m N, , , , , , ,

6. Daca A este inel comutativ iar a,b sunt elemente din A si n , atunci are loc formula

binomului lui Newton: (a+b) ∑


6

Demonstratie: Din relatia 0+0=0 obtinem, inmultind cu a la stanga , ca

a(0+0)=a →a 0=a 0 si adunand in ambii membri –(a 0), obtinem a 0=0. Analog , se

demonstreaza relatia 0 a=0.

1. Din relatia b+(-b)=0 rezulta inmultind ca a la stanga: a (b+(-b))=a →

a b+a (-b)=a 0, deci a (-b)=-(a b).

Analog , se arata ca (-a) b=-(a b)→a (-b)=(-a) b.

Daca in relatia (-a) b=-(a b) inlocuind pe b cu –b obtinem tinand seama de faptul ca

–(-a)=a, oricare ar fi a A:(-a) (-b)=-(a (-b))=-(-(a b))=a b.

2. Avem :a (b-c)=a (b+(-c))=a b+a (-c)=a b+(-(a c))=a b-a c.

3. Demonstram afirmatia prin inductie dupa n N.

Pentru n=0: a 0=0 adevarata conform cu 1.

Presupunem propozitia din enunt adevarata pentru n si o vom demonstra pentru n+1.

a(∑ ) (∑

+ )=a∑

+ ∑ + ∑

4. Vom demonstra prin inductie dupa m N.

Pentru m= →(∑ ) ∑

adevarata.

Presupunem propozitia adevarata pentru m. Avem:

(∑ )(∑ ) (∑ ) (∑ + ) ∑ ∑ + ∑

∑ ∑ + ∑ ∑ ∑ ( )

.

5. Daca A este un inel comutativ, vom demonstra formula binomului lui Newton prin

inductie.

Pentru n →(a+b) ∑ +

adevarata.

Presupunem relatia adevarata pentru k si o vom demonstra pentru k+1.

Stim ca (a+b) ∑

(a+b) (∑ )( + ) ∑

+ ∑

+

( ) +

( ) + + ( ) +

+ + +

+ (

+ ) + (

+ ) + + (

+ ) + +

( +

) + +

Deoarece:

+

, , obtinem

(a+b) +

+ + +

+ + +

Deci formula este adevarata pentru k+1.

Propozitia I.1.2 Daca in inelul unitar A avem 1=0, atunci A este inelul nul.

Demonstratie: Intr-adevar, pentru orice a A avem a=1 a=0 a=0 si deci a=0. Astfel conditia

1=0 este necesara si suficienta ca un inel sa fie nul. Deci un inel A cu cel putin doua

elemente 1≠0.


7

Definitia I.1.9 Daca (A,+, ) este un inel, atunci elemental a A se numeste divizor la

stanga (la dreapta) al lui zero daca exista b A, b≠0 astfel incat ab=0 (respectiv ba=0).

Daca inelul A este comutativ, atunci notiunile de divizor la stanga (respectiv la dreapta) al

lui zero coincid.

Daca elemental a A nu este divizor la stanga sau la dreapta al lui zero si b,c A,

atunci din ab=ac rezulta b=c.(ab=ac→a(b-c)=0→b-c=0→b=c)

Definitia I.1.10 Un inel A nenul, comutativ, unitar si fara divizori ai lui zero, diferiti

de zero, se numeste domeniu de integritate(sau inel integru)

Observatie I.1.3 Intr-un domeniu de intergitate, ambii membri ai unei egalitati pot fi

simplificati prin acelasi element nenul.

Exemple:

1) (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele integre;

2) Multimea (Z[i],+, ) este un domeniu de integritate. Elementele inversabile ale acestui

inel sunt:+1,-1,+i,-i;

3) Fie doua inele A, B in care operatiile sunt notate cu + si . Produsul cartezian A B se

poate inzestra natural cu o structura de inel astfel:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)*(c,d)=(ac,bd),oricare ar fi a Asi b B.

Inelul obtinut se numeste produsul direct al inelelor A si B. Perechea ( , ) este

elemental neutru in raport cu operatia de adunare in inelul A B.

Daca a A si b B atunci elementele de forma (a, ) si ( , b) sunt divizori ai lui zero in

inelul A B.

Intr-adevar (a, ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Conform

definitiei legii multiplicative si a regulilor de calcul intr-un inel, daca A si B sunt inele

unitare, atunci, A B este un inel unitar, elementul sau unitate fiind ( , ) Daca A B sunt

inele commutative, atunci si produsul direct A B este inel comutativ.

Deoarece in inelul produs direct A B exista intotdeauna divizori ai lui zero (pentru A,

B inele nenule) observam ca produsul direct a doua inele integre nu este un inel integru.

Propozitia I.1.3 Daca inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci orice element

inversabil din A nu este divizor comun al lui zero.

Demonstratie: Presupunem prin absurd ca a A este inversabil si ca este divizor al lui zero

la stanga. Atunci exista b A, b≠0 astfel incat → contradictie.


8

I.2 MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE

Definitia I.2.1 Fiind date doua inele A si B (A,+, ),(B, , ) , atunci o functie :A→B se

numeste morfism (sau omorfism) de la inelul A la inelul B daca satisfice urmatoarele

identitati:

1) (a+b)= (a) (b)

2) (a b)= (a) (b), oricare ar fi a,b A

Acolo unde nu exista pericolul unei confuzii, operatiile multiplicative si aditive pe

inelele A si B se pot nota la fel.

Definitia I.2.2 Un morfism de inele unitare f:A→B care satisface conditia f( )

se numeste morfism unitar de inele.

Obsevatia I.2.1 Daca A si B sunt inele unitare si f:A→B este un morfism de inele, iar f

este o functie surjectiva, atunci f este morfism surjectiv.

Justificare: Fie A si B inele unitare si f:A→B morfism surjectiv de inele. Atunci: oricare ar fi

b B, exista a A astfel incat f(a)=b.

Deoarece a 1=1 a=a si f este morfism de inele rezulta ca f(a)=f(a 1)=f(a) f(1)=b f(1)=b,

si f(a)=f(1 a)=f(1) f(a)=f(1) b=b.

Deci b f(1)=f(1) b=b. Din unicitatea elementului unitate intr-un inel rezulta ca f(1)=1.

Observatia I.2.2 Daca A este un inel, atunci aplicatia identica a lui A, notate : → ,

este un morfism al inelului A.

Observatia I.2.3 Daca f:A→B si g:B→C sunt morfisme de inele, atunci g f:A→C este de

asemenea un morfism de inele.

Justificare: Intr-adevar oricare ar fi a,b A avem: (g f)(a+b)= g(f(a+b)) =

g(f(a)+f(b)) =g(f(a)+g(f(b))=(g f)(a)+(g f)(b)

si analog : (g f)(a b)=(g f)(a) (g f)(b).

Definitia I.2.3 Daca :A→B este un morfism de inele, atunci multimea

Kerϕ={a A|ϕ(a)=0} se numeste nucleul morfismului .

Definitia I.2.4 Un morfism de inele se numeste morfism injectiv daca functia care il

defineste este injectiva.

Observatia I.2.4 Un morfism de inele :A→B se numeste morfism surjectiv daca

functia este surjectiva.

Definitia I.2.5 Morfismul de inele :A→B se numeste izomorfism de inele daca si

numai daca exista un morfism de inele ψ:B→A astfel incat ψ si ψ = .


9

Observatia I.2.5 Un morfism de inele este izomorfism daca si numai daca este un

morfism bijectiv de inele.

Justificare”→” Intr-adevar un izomorfism de inele :A→B este bijectiv

“←” Fie :A→B morfism bijectiv de inele Sa demonstram ca functia inversa

este de semenea un morfism de inele.

Fie , . Atunci b + b ( (b ) + ( (b ) ( )(b + b )

( )( ( (b )) + ( ( (b )) ( (b + b ) ( (b ) + (b ))

(b + b ) (b ) + (b )

b b ( )(b b ) ( (b b ))

b b ( (b ) ( (b )) ( (b ) (b )) → ( (b b ))

( (b ) (b ))

Deoarece e bijectiva, deci si injectiva→ ( ) ( ) ( )

Definitia I.2.6 Un morfism de inele de la A la A se numeste endomorfism al inelului

A.

Exemple:

1) Daca A si B sunt inele, atunci aplicatiile canonice:

: → , ( ) ( , )

: → , ( ) ( , )

: → , ( , )

: → , ( , ) , , , sunt morfisme de inele.

Aplcatiile si sunt morfisme surjective unitare daca inelele A si B sunt unitare ,

in timp ce si nu sunt morfisme unitare pentru A si B inele unitare nenule; ele sunt insa

injective.

2) Fie inelele unitare Z si Q. Functia i:Z→Q, definite prin i(n)=n, este un morfism

injectiv de inele.

3) Daca n>0 este un numar natural, atunci functia p:Z→ definite prin p(a)= ,

oricare ar fi a Z este un morfism surjectiv de inele.

Intr-adevar daca a, b Z atunci : p(a+b)= + + ( ) + ( ) si

p(a b)= ( ) ( ), iar din definitie rezulta ca p este un morfism surjectiv.

I.3 SUBINEL

Definitia I.3.1 O submultime nevida S, a inelului A se numeste subinel al inelului A

daca operatiile din A induc pe S o structura de inel.


10

Propozitia I.3.1 Fie A un inel si S A o submultime nevida a sa. Atunci S este un

subinel al lui A daca si numai daca:

1)oricare ar fi x, y S→x-y S

2)oricare ar fi x, y S→x y S

Daca inelul A este unitar si elementul unitate apartine subinelului S, spunem ca S

este subinel unitar.

Demonstratie:

“→” Fie S A, S≠Ø, S subinel→(S,+) este subgrup al grupului (A,+), deci oricare ar fi

x,y S→x-y S. De asemenea S este o parte stabile a lui A in raport cu operatia multiplicativa.

Deci oricare ar fi x, y S→x y S.

“←” Din conditia )→(S,+) este un subgrup al grupului (A,+), iar din conditia 2)→S

este parte stabila in raport cu operatia muliplicativa din A. Distributivitatea operatiei

multiplicative in raport cu operatia aditiva pentru elementele din S rezulta din faptul ca

aceasta proprietate o au toate elementele din A, deci in particular, si cele din S A.

Exemple:

1) Daca A este un inel, atunci A si {0} sunt subinele ale sale. (0 este elementul nul al inelului

A). Acestea se numesc subinele improprii ale inelului A.

2) Z Q R sunt subinele unul celuilalt, in ordinea incluziunilor.

3) Fie n Z. Atunci multimea nZ={nk|k Z} subinel al inelului Z.

Propozitia I.3.2 Daca { + este o familie cel mult numarabila de subinele ale

inelului A, atunci ⋂ este un subinel al lui A.

Demonstratie:

Notam S=⋂ ≠ Ø, deoarece 0 S. Daca a,b S, atunci a,b ⋂ . Deci oricare

ar fi i I, a si b , iar fiind subinele →a-b si a b , oricare ar fi i I→a-b S si a b S,

deci S este subinel al inelului A.

Propozitia I.3.3 Fie f: A→ un morfism de inele. Atunci :

a) Daca S este un subinel al lui A, atunci f(S) este subinel al lui . In particular,

Imf=f(A) este subinel al inelului A.

b) Daca este un subinel al lui , atunci ( ) este un subinel al lui A care include

multimea Ker f={a A|f(a)=0};

c) Fie δ(A, Ker f) multimea subinelelor lui A care include Ker f si δ( ) multimea

subinelelor lui Daca f este morfism surjectiv, atunci aplicatia F:δ(A,Ker f)→δ( )

definita prin F(S)=f(S), S A este o bijectie care pastreaza incluziunea.

Demonstratie:

a) Daca , f(S), atunci exista , S astfel incat ( ) si ( );

( ) ( ) si =f( ) ( ) Deoarece S este subinel al lui A→ si .

Deci si ( ) este subinel al lui


11

b) Fie ( ) deci f( ), ( ) Deoarece este subinel al lui ,

f( ) ( )=f( ) si f( ) ( ) ( ) , adica si ( ).

Din b) deducem , in particular ca ( ) este subinel al lui A.

c) Sa definim G: δ( ) → ( , ), punand G( ) ( ) Este suficient sa

demonstram egalitatile:

F G=1 ( ) si G F=1 ( , ).

Fie ( ) ( G)( ) ( ( )) deoarece f este surjectiv.

Fie S δ(A,Ker f) (G F)(S)= ( ( )) Fie x ( (S)). Rezulta ca f(x) f(S) si deci

exista z S astfel incat f(x)=f(z) sau f(x-z)=0 si x-z=a Ker f S.

Atunci x=a+z S si am demonstrate incluziunea ( ( )) si faptul ca

G F=1 ( , )

I.4 CORPURI. SUBCORPURI. EXTINDERI DE CORPURI.

Definitia I.4.1 Un inel A unitar care contine cel putin doua elemente se numeste corp

daca orice element nenul din A este inversabil fata de operatia de inmultire din A.

In aceasta definitie cerinta ca inelul sa fie unitar, adica inelul A sa aiba element

unitate fata de inmultire, este necesara pentru a exista elemente inversabile, iar cerinta ca

inelul sa contina cel putin doua elemente este echivalenta cu faptul ca A este diferit de

inelul nul sau 1 ≠0. Prin urmare, se exclude, prin definitie, ca inelul nul, adica format dintr-

un singur element(= elemental nul) sa fie corp. Acest fapt este o conventie general

acceptata. Din propozitia I.1.3 stim ca in orice inel nenul un divizor al lui zero nu este

inversabil. De aici rezulte ca un corp nu are divizori ai lui zero diferiti de zero.

Elementele nenule dintr-un corp formeaza grup fata de operatia de inmultire, cum

de altfel formeaza grup elementele inversabile din orice inel.

Un corp se numeste corp comutativ daca inmultirea este operatie comutativa.

Exemple:

Multimea numerelor rationale Q, multime numerelor reale R si multimea numerelor

complexe C cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire formeaza corpuri. Pentru p

numar intreg prim inelul al claselor de resturi modulo p este corp. Pentru d intreg liber

de patrate, Q[√ - * + √ , + formeaza corp de numere patratice. Toate

exemplele de corpuri de mai sus sunt grupuri comutative.

Deoarece orice corp este inel, toate proprietatile inelelor raman valabile in cazul

corpurilor.


12

Definitia I.4.2 Se numeste subcorp k al unui corp K, o submultime a lui K, notata k

K, ce contine cel putin doua elemente si are proprietatea ca operatiile de adunare si

inmultire din K induc pe submultimea k o structura de corp. Aceasta inseamna ca

submultime k in raport cu adunarea este subgrup al grupului (K,+) ceea ce este echivalent

cu:

a) oricare ar fi x, y k → x-y k, apoi ca elementele din k\{0} ( observam ca deoarece k

este subgrup al grupului aditiv al lui K, rezulta ca 0 k) formeaza subgrup al grupului

elementelor nenule din K, ceea ce revine la:

b) oricare ar fi x, y k, x≠ → x

Prin urmare, putem spune ca un subcorp al corpului K este o submultime k care

contine cel putin doua elemente si care verifica conditiile a)si b) de mai sus. Mai observam

ca in conditia b) se poate omite cererea ca x≠ , deoarece pentru x se obtine x k.

Din definitia subcorpului rezulta ca orice subcorp contine elementul nul si

elementul unitate al corpului .

Exemple:

Fie K un corp. Atunci K este evident un subcorp al lui K. In corpul numerelor

complexe C, corpul numerelor reale R si corpul numerelor rationale Q sunt subcorpuri . De

asemenea Q este subcorp al lui R; Q(i) este subcorp al luixC. si Q nu au alte subcorpuri

in afara de ele insele.

Observatia I.4.1 Sa observam ca daca submultimea k K este subcorp al corpului K si

la randul sau, K este subcorp al corpului L, atunci rezulta ca submultimea k este subcorp al

corpului L. Prin urmare subcorpurile poseda o proprietate de tranzitivitate.

Definitia I.4.3 O intersectie de subcorpuri ale unui corp este un subcorp.

Demonstratie :

Fie K un corp si , i I o multime arbitrara de subcorpuri ale lui K. Atunci k=⋂

contine cel putin elementele 0 si 1 din K. Sa verificam conditiile a) si b) pentru k. Fie x, y k.

Atunci rezulta ca x,y , oricare ar fi i I .Deci x-y si daca y≠ , x , oricare ar fi

i I, deoarece este subcorp al lui K. De aici deduce ca x-y ⋂ k si daca y≠ ,

x ⋂

Definitia I.4.4 Fie k K o extindere de corpuri si M o submultime a lui K. Intersectia

subcorpurilor lui K ce contin subcorpul k si submultimea M se noteaza cu k(M) si este un

subcorp al lui K, conform propozitiei precedente . Corpul k(M) se numeste subcorpul lui K

generat de M peste subcorpul k.

Exemple:

Daca consideram extinderea decorpuri Q C si subcorpul lui C generat de i C peste

Q se obtine corpul Q(i) carea este format din toate elementele de forma x=a+bi, a,b Q.

Intr-adevar, elementele de forma indicate formeaza un subcorp al lui C. Pe de alta parte ,


13

orice subcorp al lui C care contine pe i si pe Q contine toate elementele de forma a+bi cu a,

b Q. In mod analg subcorpul R generat peste Q de √2 se noteaza cu Q(√2) si este format

de elementele de forma a+b√2, a,b Q. Observam ca si subcorpul generat de √2 peste Q in C

coincide tot cu Q(√2). Acest fapt exprima o anumita independenta a corpului k(M) fata de

corpul K.

Definitia I.4.5 Un corp care nu are alte subcorpuri in afara de al insusi se numeste

corp prim.

Exemple :

, p prim si Q sunt corpuri prime .

Observatia I.4.2 Orice corp prim este izomorf sau cu corpul Q al numerelor rationale

sau cu un anumit corp , p prim.

Definitia I.4.6 Un corp comutativ K ce contine un subcorp prim izomorf cu Q se

spune ca este corp de caracteristica zero si scriem carK=0 . Daca subcorpul prim al lui K

este izomorf cu , p prim , atunci corpul K este de caracteristica p si scriem carK=p.

Exemple

1) Corpurile Q, R au caracteristica zero.

2) Daca p este un numar prim , si orice alta extindere a sa au caracteristica p.


14

CAPITOLUL II

INELE INTEGRE.PROPRIETATI ARITMETICE

II.1 DIVIZIBILITATEA IN INELE INTEGRE

Teoria divizibilitatii intr-un inel integru constituie o generalizare naturala a teoriei

divizibilitatii din inelul Z al numerelor intregi . Din punctul de vedere al divizibilitatii vom

vedea ca inelul Z se incadreaza intr-o clasa speciala de inele integre, si anume in clasa

inelelor integre in care se poate efectua o impartire cu rest. Aceste inele se numesc inele

euclidiene.

In ceea ce urmeaza vom nota cu A un inel comutativ care este domeniu de

integritate. Cu U(A) notam multimea elementelor inversabile din A, iar cu A*=A/{0}.

Definitia II.1.1 Fie A un inel integru Relatia binara” ” definite in A astfel: x|y z A

astfel incat y=xz, se numeste relatia de divizibilitate in A. Daca x|y se spune ca x divide pe y

sau ca y este un multiplu de x.

Definitia II.1.2 Relatia binara “~” este definite in A astfel: x~y x|y si y|x se numeste

relatia de asociere in divizibilitate, iar daca x~y spunem ca x si y sunt asociate.

Teorema II.1.1 :

1) Relatia de divizibilitate este o relatie de preordine, adica este reflexive (a|a, oricare

ar fi a A) si tranzitiva ( oricare ar fi a,b,c astfel incat a|b si b|c atunci a|c);

2) , , , A daca atunci si daca atunci

( + ), , , , A;

3) x, , A daca x| + si x| atunci x|

Demonstratie:

1) Fie a A oarecare . Deoarece a=1 a→a a→reflexivitatea relatiei de divizibilitate Fie a, b,

c A oarecare. Daca a|b si b|c atunci exista u, v A astfel incat b=ua si

c vb→c v(u a)=(v u) a→a|c. Deci din relatia de divizibilitate este tranzitiva.

2) Daca atunci exista u, v A astfel incat . Prin calcul

obtinem: ( )( ) ( )( ) → Daca atunci

exista u, w A astfel incat . Se obtine + +

( + ) → ( + )

3) Daca x|( + ) atunci exista p, q A astfel incat + , Dar

+ → ( ) →


15

Teorema II.1.2

1) Relatia de asociere ”~” este o relatie de echivalenta

2) Daca x A si ~ este clasa de echivalenta a lui x in raport cu “~” atunci:

x *xu A u inversabil in A+, adica doua elemente sunt associate daca si numai

daca ele difera printr-un factor inversabil.

3) Un element u A este u~1 u U(A) adica * +.

Demonstratie :

1) Din definitia relatiei “~” si din faptul ca relatia de divizibilitate “ ” este o preordine,

avem ca “~” este o relatie de preordine Din faptul ca “ ” este reflexive avem

x x→x~x Apoi din x~y si y~z avem x|y, y|x, y|z, z|y, adica { , → , →

→

~ ~ este tranzitiva. Sa arata ca relatia”~” este simetrica:

~ → → ~

2) Vom demonstra ca ={xu A|u este inversabil in A} prin dubla incluziune.

“ ” Avem x xu, iar daca u este inversabil , atunci x (ux), adica xu x→x~xxu , adica

xu .

“ ” Daca x atunci x~y, adica x y si y x→exista u,v A astfel incat y ux si x vy→y (uv)y ,

de unde, daca y≠ urmeaza uv , deci y este de forma y=xu cu u inversabil. Daca y=0,

atunci x=0 si 0 este singurul element din clasa .

3) Fie u A , u~1, atunci u|1 si deci exista b A astfel incat 1=ub, deci u U(A), deci

={u A/ u inversabil}.(inlocuim x=1 in definitia ).

Observatia II.1.1

a) Corpurile commutative coincid cu inelele integre A care au numai doua clase de

elemente asociate si anume ={0} si *;

b) Relatia de divizibilitate nu este , in general , o relatie de ordine. De exemplu in Z

relatia de divizibilitate nu este asimetrica , deoarece n divide pe –n si –n divide pe n,

dar n≠-n, pentru n≠

c) Relatia de divizibilitate este o relatie de ordine daca si numai daca relatia de

asociere coincide cu relatia de egalitate. Singurul inel integru in care aceasta are loc

este

Definitia II.1.3 Pentru orice x A, elementele inversabile si elementele asociate cu x

sunt divizori ai lui x. Un divizor al lui x diferit de acestia se numeste divizor propriu al lui x.

Definitia II.1.4 Un element p A* neinversabil se numeste ireductibil daca p nu are

divizori proprii. In caz contrar p este reductibil. Daca p este ireductibil, atunci orice

element din A asociat cu p este ireductibil.

Observatia II.1.2 Fie p A* neinversabil. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:


16

(a) P este reductibil;

(b) Din p=xy rezulta ca unul din elementele x,y este inversabil, iar celalalt este asociat

cu p.

Definitia II.1.5 Un element p A* neinversabil se numeste prim daca p xy→p y

Observatia II.1.3

a) Daca p este prim , atunci orice element asociat cu p este prim.

b) Daca p este prim si p divide produsul , , ,2, , atunci p divide

cel putin unul din factorii .

Teorema II.1.3 Orice element prim este ireductibil.

Demonstratie:

Daca p este prim si p=xy atunci p|xy si x|p, y|p. Din p|xy si p prim rezulta p|x sau p|y. Daca

p|x si avand si x|p rezulta ca x~p. Deci exista u U(A) astefel incat x=pu p=xy=puy

rezulta 1=uy, adica u este inversul lui y, deci y este inversabil. Rezulta ca p este ireductibil.

Exemple: Fie Z[i] inelul intregilor lui Gauss.

Consideram aplicatia :Z,i-→N, (x+iy)= + are urmatoarele proprietati:

i) este surjectiva;

ii) (z z’) (z) (z’) oricare ar fi z si z’ Z[i];

iii) (1)=1

iv) z≠ , este inversabil in Z,i- (z)=1

In Z[i], 3 este ireductibil.

Presupunem prin absurd ca 3 ar fi reductibil rezulta ca exista , , -

neinversabil astfel ca 3= . Aplicand functia avem (3)= ( ) ( )

( ) → 9 ( ) ( ), ( ) ( ) ≠ pentru ca , neinversabile , deci

( ) ( ) . Daca + → ( ) +

.Nu exista numere intregi care

sa verifice aceasta egalitate. Deci 3 este ireductibil in Z[i].

In Z[i], 2 si 5 sunt reductibile , dar nu sunt prime.

Intr-adevar 2=(1+i)(1-i), ϕ(1-i)= ( 1-i) = 2≠ rezulta 1+i si 1-i nu sunt

elemente inversabile. Deci 2 este reductibil in Z[i]. Daca 2 ar fi prim , din 2|(i+1) sau 2|(1-

i), adica 1+i=2(a+ib)rezulta 1=2a, a Z, nu exista. Deci 2 nu este prim in Z[i]. Daca 5 ar fi

prim , cum 5|(2+i)(2-i) sau 5|(2-i), adica 2+i=5a+5ib rezulta 5a=2, a Z nu exista. Deci 5

nu este prim in Z[i].

Definitia II.1.6 Fie si d A.Vom spune ca d este un cel mai mare divisor

comun (c.m.m.d.c) al elementelor , , , daca verifica conditiile:

i) d| , * , +adica d este un divizor comun al elementelor , , ,


17

ii) daca d’ , * , + atunci d’ d adica d se divide prin orice alt divizor comun al

elementelor ,i {1, ,n}.

Observatia II.1.4 Daca d este cel mai mare divizor comun elementelor , , ,

atunci un alt element A este cel mai mare divizor comun al acelorasi elemente daca si

numai daca d si sunt asociate. Deci, daca cel mai mare divizor comun exista, este

determinat pana la o asociere.

Definitia II.1.7 Daca cel mai mare divizor comun al elementelor , , , este 1

spunem ca elementele , , , sunt relativ prime.

Observatia II.1.5

1) Daca atunci ( , )= si reciproc daca ( , )= atunci

2) Daca orice doua elemente din A au cel mai mare divizor comun , atunci orice sistem

finit de elemente din A au cel mai mare divizor comun.

3) Daca in A oricare doua elemente au un c.m.m.d.c atunci pentru orice , ,

exista relatia :( , ( , )) (( , ), ) ( , , )

Teorema II.1.3 Daca in A oricare doua elemente au c.m.m.d.c atunci pentru oricare

, , avem:

(1) ( , ) ( , )

(2) Daca ( , ) ( , ) atunci ( , )

Demonstratie:

Relatia (1) este evidenta pentru .Demonstram ca este adevarata si pentru

≠

( , ) → ( , )

( , ) → ( , )

Deci ( , ) ( , ) →exista y A astfel incat (( , ) ( )

Totodata exista y’ A astfel incat ( , ) ( ) de unde dupa

simplificare cu se obtine : ( , ) . Analog se obtine ( , ) . Deci

( , ) este un divizor comun al lui de unde ( , )y divide pe ( , ). Rezulta ca y

este inversabil in A, adica ( , ) si ( , ) sunt asociate. Am aratat ca ( , )

( , )

(2) Observam ca din ( , )

( ) → ( , )

Deci ( , ) (( , ), ) ( ( , )) ( ( , ) ) ( ) ,

ceea ce demonstreaza (2).

Corolar II.1.1 Daca in A , oricare doua elemente au un c.m.m.d.c si daca d=( , ) ≠

si si atunci ( , )


18

Demonstratie: d=( ) ( , ) ( , ) → ( , )

Definitia II.1.8 Doua elemente , se numesc prime intre ele daca ( , )

Definitia II.1.9 Fie , , , si m A.Vom spune ca m este cel mai mic multiplu

comun (c.m.m.m.c) al elementelor daca verifica conditiile:

i) , * , +, adica m este un multiplu al elementelor

ii) Daca , * , +, m’ A, atunci m m’, adica orice alt multiplu comun al

elementelor , , , este un multiplu al lui m.

Observatia II.1.6

1) Daca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor , , , atunci un alt

element este cel mai mic multiplu comun al acelorasi elemente daca si

numai daca m si sunt asociate.

2) Daca exista un cel mai mic multiplu comun m al elementelor , , , atunci unul

dintre elementele asociate cu m va fi [ , , , ]

3) Daca in A oricare doua elemente au c.m.m.m.c atunci orice sistem finit de elemente

din A au un c.m.m.m.c

Teorema II.1.4 Daca in A oricare doua elemente au un c.m.m.m.c , atunci exista un

c.m.m.m.c al oricarui doua elemente si in plus, ( , ) , , -, oricare ar fi

Demonstratie:

Fie d=( ) si , Avem

,adica m= este

un multiplu comun al elementelor

Daca m’ A este un alt multiplu comun al elementelor , adica m’ , atunci

m dx u si m dx

v Deci m x mv si m x

mu adica m este un divizor comun al elementelor m x si m x

prin urmare , m divide si pe

(m’ ,m’ ) m’( , ) , adica m m’ Rezulta m=[ -. Din m=

→ .

Teorema II.1.5 Daca pentru orice pereche de elemente din A exista cel mai mare

divisor comun , atunci in A orice element ireductibil este prim.

Demonstratie: Fie p A un element ireductibil si , .Daca p| si p nu divide pe

, atunci ( , ) si ( , )=p. Deci ( , ) ( ( , ), ) .( , ), /

( , ( , )) ( , ) , de unde rezulta ca p| .Prin urmare , p este prim.

Teorema II.1.6 Daca in inelul A orice pereche de elemente are un c.m.m.d.c si a,b,c A

astfel incat a|bc iar (a,b)=1, atunci a|c.


19

Demonstratie: Din (a,b)=1 rezulta (ac,bc)=c si cum a|ac iar a|bc se obtine a|c.

II.2 INELE FACTORIALE

Definitia II.1.2 Fie a A*, , * , + , * , + si

(1) a=

(2) a=

doua descompuneri ale lui a in factori . Descompunerile(1) si (2) se numesc asociate

daca n=k si daca, dupa o eventuala renumerotare a factorilor din (2), avem ~ ,

pentru i {1, , n}.

Exemplu: Daca 1= , atunci descompunerea (1) este asociata cu

descompunerea a =( ) ( ).

Definitia II.2.2 Un inel integru A se numeste inel factorial (domeniu factorial) sau cu

descompunere unica in factori primi ( ireductibili), daca oricare ar fi a A* neinversabil

se descompune intr-un produs finit de elemente ireductibile din A si orice doua

descompuneri ale lui a in produse finite de elemente ireductibile sunt associate, adica

elementul a are o descompunere unica in produs de elemente ireductibile.

Exemplu: Inelele Z si Z[i] sunt factoriale.

Teorema II.2.1 Daca A este un inel factorial , atunci :

1) In inelul A nu exista siruri de elemente , , , astfel incat , si nu

divide pentru price i N.

2) Orice pereche de elemente din A are un cel mai mare divizor comun.

Demonstratie :

1) Vom numi lungimea unui element a A* si o vom nota cu l(a), numarul factorilor

dintr-o descompunere a lui a in produs de factori ireductibili daca a este

neinversabil si 0 daca a este inversabil. Daca a= atunci l(a)=l( ) + ( ). Daca

ar exista un sir cu proprietatile din 1) atunci ar rezulta sirul de numere natural

l( ) ( ) ceea ce nu este posibil.

2) Fie A. Daca , ( , ) .Presupunem ca , *. Fie

, , , elemente ireductibile din A astfel ca fiecare divizor ireductibil al lui

sa fie asociat cu unul si numai unul dintre aceste elemente.

Deci:

si

unde u si u’ sunt elemente ireversabile din A

si 0, 0, i * +.

Orice divizor x al lui se poate scrie sub forma x u”

, unde u” este inversabil si

0 si ki, i * n+ si o afirmatie analoga are loc pentru divizorii lui


20

Observatia II.2.1 Un inel integru A este factorial daca si numai daca oricare ar fi

a A*, neinversabil, este produs finit de factori primi.

II.3 INELE EUCLIDIENE

Definitia II.3.1 Se numeste inel euclidian o pereche formata dintr-un inel integru A

si o functie :A*→N, care verifica conditia pentru oricare ar fi a A si oricare ar fi b A,

exista q, r A astfel incat a bq+r unde r sau (r)< (b) In acest caz notam prin (A, )

inelul definit pe inelul integru A.

Exemple:

1) Inelul (Z,+, ) impreuna cu functia valoare absoluta :Z*→N, (n) n , este inel

euclidian . Stim ca in Z este adevarata o afirmatie mai precisa . Anume, pentru a,b≠

numere intregi exista q, r Z astfel incat a=bq+r si 0 r<|b|, care este numita

teorema impartirii cu rest. In plus q si r sunt unice.

2) Inelul intregilor lui Gauss Z,i- impreuna cu functia :Z,i-→N, (m+ni)= +

este un inel euclidian

3) Orice corp este inel euclidian. Intr-adevar daca multimea K este corp atunci

consideram :K*→M, (a) , pentru orice a K*.

Teorema II.3.1 daca (A, ) este inel euclidian si a,b apartin lui A atunci exista un cel

mai mare divisor comun allui a si b.

Demonstratie:

In cazul a=b=0, elementul d=0 este cel mai mare divizor comun al lor, conform

definitiei. Asadar putem presupune ca a≠ Daca b=0, atunci a este un divizor comun al lui

a si b , deoarece a=a 1 si b=a 0. Daca d’ este un divizor comun al lui a si b atunnci d’ este, in

particular , un divizor al lui a. Deci d=a este un cel mai mare divizor comun al lui a si b.

Sa consideram cazul cand b≠ Aplicand formula impartirii cu rest elementelor a si b gasim

doua elemente , astfel incat:

a=bq + r cu r sau (r ) < ( ) (E1)

Daca r ≠ , exista elementele q , r A astfel incat

b=r q + r cu r sau (r ) < (r ) (E2)

Repetand acest produs , obtinem elementele q , q , q si r , r , r din A astfel incat

r r q + r cu r sau (r ) < (r ) (E3)

r r q + r sau (r ) < (r ) (En)

r r q + r sau (r ) < (r ) (En+1)


21

Cum ( ) ( ) ( ) ( ) si cum N este bine ordonata, exista un

numar natural n astfel incat ≠ si . Vom arata ca este cel mai mare divizor

comun al elementelor a si b. Cum , rezulta ca . Dar deoarece

+ rezulta ca . In continuare folosim egalitatea +

si tinand cont ca , rezulta ca . Din aproape in aproape , tinand cont de

egalitatile (E3), rezulta ca divide elementele , , , Din egalitatea (E2)

rezulta ca , iar din egalitatea (E1) obtinem ca . Deci este un divizor comun al

elementelor a si b . Fie d’ un divizor comun al elementelor a si b. Din(E1) obţinem că =a -

b şi deci d’ . Din egalitatea (E2) obţinem că =b- . Cum d’ şi d’ b, atunci d’ .

Acum, folosind egalităţile (E3), din aproape in aproape, obţinem că d’ divide elementele

, , Aşadar (ultimul rest nenul) este cel mai mare divizor comun al elementelor a

şi b Şirul de egalităţi (E1), (E2) (En) poartă denumirea de algoritmul lui Euclid. Acest şir

de egalităţi ne permite să determinăm pentru un inel euclidian un cel mai mare divizor

comun a două elemente Ultimul rest nenul din acest şir de egalităţi este un cel mai mare

divizor comun al elementelor date. Teorema ne asigură că pentru un inel euclidian există

un cel mai mare divizor comun a două elemente. Se pune intrebarea dacă cel mai mare

divizor comun este unic determinat. Acest lucru este clarificat de următoarea teoremă:

Teorema II.3.2 Fie a si b două elemente din inelul euclidian (A, ) şi d un cel mai

mare divizor comun al lui a şi b Atunci:

1) Dacă u U(A), atunci ud este un cel mai mare divizor comun al elemntelor a şi b

2) Invers, daca d’ este un cel mai mare divizor comun al lui a şi b, există u U(A)

astfel incat d’ ud (adică d şi d’ sunt asociate în divizibilitate)

Demonstraţie :

1) Deoarece d= (ud) atunci ud|d. Din d|a si d|b, rezulta ud a şi ud b Fie d’ A

astfel incât d’ a şi d’ b Atunci d’ d Deoarece d|ud, atunci d’ ud şi deci ud este un

cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b

2) Presupunem că şi d’ este un cel mai mare divizor comun al lui a şi b Deoarece d

este un divizor comun al lui a şi b rezultă că d d’ La rândul său d este un cel mai

mare divizor comun al lui a şi b, adică d’ d Rezulta că d este un asociat în

divizibilitate cu d’

Exemplu : Fie în inelul Z[i] elementele a=- 6+4 i şi b 4+ 8i

Să aflăm cel mai mare divizor comun al acestor numere Stabilim algoritmul lui Euclid

asociat acestor numere:


22

-36+41i=(14+18i)2i+13i unde (13i)< (14+18i)

14+18i=13i(1-i)+(1+5i) unde (1+5i)< (13i)

13i=(1+5i)(2+i)+3+2i unde (3+2i)< (1+5i)

1+5i=(3+2i)(1+i)

Deci cel mai mare divizor comun al numerelor - 6+4i şi 4+ 8i este +2i

Teorema II.3.3 Fie (A, ) un inel euclidian şi a,b A. Dacă d este un cel mai mare

divizor comun al elemntelor a şi b, există elementele k, l A astfel incat: d=ka+lb

Demonstraţie: Fie şirul împărţirilor successive din algoritmul lui Euclid:

a=b + unde =0 sau ( ) < ( ) (E1)

b= + unde =0 sau ( )< ( ) (E2)

= + unde sau ( )< ( ) (E3)

.

.

.

= + unde sau ( )< ( ) (En)

= (En+1)

Unde ultimul rest nenul este cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b

Observaţia II Elementele a,b A sunt prime între ele dacă şi numai dacă exista

k,l A astfel incât 1=ka+lb

Exemple :

1)În inelul Z numerele a=24,b=17, sunt prime intre ele.

2)În inelul Z[i] numerele a=13+2i, b=-14+2i sunt prime între ele.

Observaţia II 2 Deoarece pentru orice pereche dintr-un inel euclidian există cel

mai mare divizor comun atunci în inelul Euclidian(A, ) orice element ireductibil este prim.

Deci într-un inel euclidian, nu există nici o deosebire între conceptele de element


23

ireductibil şi element prim Totuşi pentru anumite inele euclidiene (ca de exemplu

Z,Z[i],etc.) folosim curent denumirea de element prim, iar pentru alte inele euclidiene (ca

de exemplu Q[X], R[X], C[X]) folosim curent denumirea de element ireductibil (în cazul de

faţă polinom ireductibil)

Teorema II.3.4 –Teorema de descompunere în factori primi Fie(A, ) un inel

euclidian. Oricare ar fi un element a nenul şi neinversabil din A, există o descompunere a sa

in produs de elemente prime, adică există un număr finit de elemente prime , , ,

astfel incât a= .

În plus această descompunere este unică în sensul că dacă a este o altă

descompunere în factori primi a elementului a, atunci m n şi există o renumerotare

, , elementelor , , , astfel încât să avem ~ oricare ar fi i n

Demonstraţie :

Existenţa descompunerii Vom dovedi că orice element nenul şi neinversabil din A

este un produs finit de elemente prime din A.

Presupunem că această afirmaţie nu este adevărată Să notăm cu X mulţimea

elementelor nenule şi inversabile din A care nu sunt produse de elemente prime Înseamnă

că X≠Ø Fie a X este clar că a nu este prim şi deci a nu este ireductibil Înseamnă că există

, A nenule şi inversabile astfel incât a . Cel puţin unul dintre elementele

, apartine lui X (deoarece in cazul , nu aparţin lui X rezultă sau sunt produse

de elemente prime din A şi deci a este un produs de elemente prime, adică a nu apartine lui

X, contradicţie)

Să presupunem că X este clar că nu este prim şi deci nu este ireductibil

Există atunci elementele , nenule şi neinversabile astfel incât a . Raţionând ca

mai sus, cel puţin unul din elementele sau X.

Să presupunem că X. Continuând raţionamentul de mai sus, prin recurenţă

găsim şirurile de elemente , , , , , , , nenule şi neinversabile astfel incât

a= , = , , = , (*) Să notăm prin *λ λ A+ oricare ar fi k şi

cu I=⋃ .

Fie :A-* +→N funcţia relativ la care A este inel euclidian Să notăm cu

M * (a) a I,a≠ + Cum M≠∅, există în M un cel mai mic număr fie acesta . Există atunci

b I, b≠ , astfel încât (b) Fie x I oarecare există q,r A astfel încât x bq+r unde r

sau (r)< (b) Cum x, b I, există k,l astfel încât x ,b . Deci x λ şi b μ unde λ,

μ A Cum r=x-bq, atunci r λ -μq . Pentru k , din şirul egalităţi (*) avem | şi

deci =c .


24

Atunci r λc -μq (λc-μq) ceea ce arată că x , adică r I Analog se arată că şi în

cazul k obţinem de asemenea r I Dacă r ar fi nenul, din condiţia (r)< (b) ar rezulta

(r)< ceea ce ar contrazice faptul că este cel mai mic element din M. Deci trebuie ca

r şi deci x bq, adică b divide orice element din I Deoarece b μ ,atunci b şi deci

divide orice element din I. În particular | . Din şirul (*) | şi = rezulta

ca este inversabil, contradicţie Prin urmare X ∅

Unicitate. Să presupunem că avem pentru elementul a două descompuneri în factori primi:

a= = Vom proceda prin inducţie după n Dacă n , avem

. Deoarece este ireductibil, atunci există un astfel incât ~ şi ceilalţi

factori sunt inversabili. Deci trebuie ca m=1.

Am arătat că m n si ~ . Presupunem afirmaţia adevărată pentru n-1. Din

egalitatea = rezultă că . Deoarece este prim, există un

astfel incât |

Deoarece este ireductibil, rezultă ~ . Putem presupune

(renumerotând elementele un ) că un = . Deci există un element inversabil

u A astfel încât =u şi atunci =u de unde prin simplificare cu

obţinem =(u )

Deoarece u este de asemenea element prim (u ~ ), prin ipoteza de inducţie

rezultă că n-1=m- şi deci n m În plus elementele , , şi u , , sunt asociate în

divizibilitate două câte două Să presupunem că ~ u , , ~ . Deoarece u este

inversabil rezultă că ~ ceea ce incheie demonstraţia teoremei de descompunere în

factori primi.


25

CAPITOLUL III

INELE DE POLINOAME

În acest capitol, inelele vor fi presupuse comutative şi unitare Morfismele de inele

vor fi unitare, iar subiectele conţin elementul unitate al inelului

III.1 INELUL POLINOAMELOR DE O NEDETERMINATĂ

Noţiunea de polinom este una din noţiunile fundamentale ale algebrei Originea

acestei noţiuni se găseşte într-o problemă foarte veche de matematică şi anume aceea de a

elabora un formalism general al calculelor algebrice care se efectuează de obicei cu sume şi

produse în care intervin un număr finit de numere

Definiţia III Dacă C A o submulţime, considerăm familia de subinele:

M *C’ C’⊇C, C’⊇M, C’ subinel în A+ Atunci C[M] =⋂ este subinelul generat de C şi M

în inelul A (sau subinelul obţinut prin adjuncţionare lui M laC în A)

Definiţia III 2 Oricare ar fi , , , N, un produs de forma c

, unde

c≡C şi , , , M, aparţine lui C,M- şi se numeşte monom sau, mai precis, monom în

elementele , , , cu coeficientul c C.

Dacă ( , , ,

) , , , este o familie finită de monoame atunci suma finită

∑ , , ,

, , ,

aparţine de asemenea lui C,M- şi vom numi această sumă –

expresie polinomială în , , , cu coeficienţi în C

Propozitia III.1.1 Inelul C[M] coincide cu multimea elementelor A care se pot scrie ca

expresii polinomiale in elemente din M cu coeficienti in C.

Deminstratie: Observam mai intai ca multimea expresiilor polinomiale in elementele din M

cu coeficienti in C formeaza un subinel

Pentru ca → , - dar , - si obtinem C,M- .


26

Observatia III.1.1 Daca M este o multime finite, M={ , , , + , atunci scriem

C[ , , , ] in lov de C[{ , , , +- si avem: C[ , , , - * , , ,

∑ , , , + , , ,

unde familia ( , , , ) este o familie finita,

indezata de multiindicii ( , , , ) . In particular, daca M={x} avem

C[x]={ * , , , ∑ +

Fie A un inel comutativ si unitar si consideram multimea a functiilor de la N la A

Deci * : → , +. Daca scriem o astefel de prin multimea ordonata a

valorilor sale si f(i)= , i N atunci este multimea sirurilor

f=( , , , , ), ,

Sirurile f=( , , , , ) g ( , , , , ) sunt egale daca si numai daca

,

Pe multimea definim adunarea : +: → ( , ) → +

Astfel: f,g : f=( , , , , ) g ( , , , , ) → + ( + , +

, , + , )

Propoziţia III 2 ( ,+) formează grup abelian

Demonstraţie

1) Asociativitatea: ( )f,g,h →(f+g)+h f+(h+g)

Fie h=( , , , , ).

Astfel: (f+g)+h=( + , + , , + , .)+( , , , , )=(( + )+ , ( +

) + , , ( + ) + , ) =(( + ( + ), ( + ) + , , ( + ) + , ) =

f+(g+h) (datorită asociativităţii adunării în inelul A)

2) Comutativitate: ( )f, g =>f+g=g+f

f+g=( + , + , , + , .) =( + , + , , + , .)= g+f (datorită

comutativităţii adunării în inelul A)

3) Elementul neutru este ( , , , )

( )f , f+0=0+f=f ; f+0=( + , + , , + , ) =( , , , , ) f

4) Opusul oricărui element f este –f=( , , , , ) Se verifică imediat că f+(-

f)=(-f)+f=0

Dacă f şi g sunt două polinoame suma f+(-g) se notează simplu, prin f-g şi se numeşte

diferenţa dintre f şi g Operaţia prin care oricăror două polinoame f şi g li se asociază

diferenţa lor se numeşte scădere


27

În mulţimea considerăm submulţimea ( ) a şirurilor care au un număr finit de

termini nenuli. Aceasta înseamnă că f ( ) dacă şi numai dacă există m N cu proprietatea

f(i) dacă i m Multimea de numere natural asociată lui f , {m N f(i) dacă i m+

admite un prim element, fie acesta egal cu n. Dacă n rezultă că f , iar dacă n rezultă

că f(n- )≠ In acest ultim caz, numărul natural n- se numeşte gradul lui f şi se noteaza

gr(f).

Pentru f convenim să considerăm gradul său ca fiind -∞, adoptând convenţiile uzuale

şi anume: -∞<n, -∞+n -∞, pentru orice număr natural n, -∞+(-∞) -∞

În consecinţă, dacă f ( ) şi gr(f) n putem scrie f ( , , , , ). Dacă f,g ( ),

gr(f) n şi gr(g) m,atunci f+g ( ) şi în plus avem:

gr(f+g)={

max( , ) , ≠ , ( ) + ( ) ≠

< , ( ) + ( )

adica gr(f+g) max( gr(f),gr(g))

Multimea este deci un subgroup al grupului tuturor sirurilor cu elemente din inelul A.

Introducem pe ( ) o lege de compozitie notate multiplicative:

: ( ) ( ) → ( ) ( , )

Astfel: f=( , , , , ) g ( , , , , ) , ( , , , , )

∑

+ + + ,

Este clar ca gr(fg) (f)+gr(g), deci f ( )

Inmultirea pe ( ) este:

1) Asociativa , adica f, g, h ( ): ( ) ( )

Notand h=( , , , , ) si ( ) ( , , , , ) ∑ ,

(f ) ( , , , ), unde e ∑ d c


28

e ∑ d c

∑ ( ∑ a b

) c ∑ a b c ∑ a b c

Daca g ( , , , )cu d ∑ a (∑ b c ) ∑ a b c ∑ a b c

Am aratat deci ca e e , m → ( ) ( )

2) Comutativa: f, g ( ):

=( , , ) unde ∑ si

g f ( , , , )unde ∑

Dar A este inel comutativ => ∑ ∑ =

3) Elementul neutru este şirul ε( ) ( , , , , , )

4) înmulţirea este distributivă faţă de adunare

Astfel dacă f=( , , , , ) g ( , , , , ):

f (g+h) ( , , , , )) cu = f g+f h ( , , , , ) cu =∑ +

∑ dar înmulţirea în inelul A este distributivă faţă de adunare şi deci

= ,( )k f (g+h) f g+f h. Analog(f+g) h f h+g h

Propoziţia III Mulţimea ( ) împreună cu adunarea şi înmulţirea definite mai

sus,este inel comutativ.

Elementele inelului ( ( ),+, )se numesc serii formale cu coeficienţi în inelul A

Propoziţia III 4 Funcţia ε:A→ ( ) , ε(a) (a, , , ), a A, este un morfism injective

de inele.

Demonstraţie într-adevăr dacă a,b A atunci

ε(a+b) (a+b, , ) (a, , , )+(b, , , ) ε(a)+ε(b) şi

ε(ab) (ab, , , ) (a, , , )(b, , , ) ε(a)ε(b)

Mai mult,dacă ε(a) ε(b), atunci (a, , , ) (b, , , )şi deci a b


29

Definiţia III Inelul ( ) se numeşte inelul polinoamelor de o nedeterminată cu

coeficienţi în A.Un element f ( ) se numeşte polinom de o nedeterminată cu coeficienţi

din inelul A. Dacă n gr(f) şi f ( , , , , , ), atunci elementele A, i * ,2, ,n+ se

numesc coeficienţii polinomului f, se numeşte coeficientul dominant al polinomului f, iar

se numeşte termenul liber al polinomului f

Observaţia III 2 Morfismul ε determină un izomorfism al inelului A pe subinelul

A *(a, , , ) a A} al lui ( ), ceea ce permite să se identifice elementul a din A cu

imaginea sa prin izomorfismul ε, adică cu polinomul (a, , , ) din ( ). Astfel A se poate

considera ca un subinel al lui ( ). Polinoamele de forma (a, , , ) a se numesc

polinoame constante.

Pe de altă parte, notăm prin X polinomul( , , , )care se numeşte nederminata X.

Înmulţirea seriilor formale conduce la ( , , , , ) şi, mai general, pentru orice

număr natural n: ( , , , , , ) unde se află pe poziţia a n+ -a.

De asemenea, dacă a A, atunci pentru orice n N se obţine formula:

ε(a) ( , , , ,a, ),unde a se găseşte pe poziţia a n+ -a.

Dacă f ( ) şi n gr(f),ţinând seama de formula( ), obţinem:

f=( , , , , , ) ( , , , , )+( , , , )+ +( , , , , , , ) ( , , , )+

( , , , , )( , , , )+( ,0, , , )( , , , )+ +(a_n, , , , )( , , , , , , )

=∑ ( ) ∑

+ + + + (2)

Din aceste relaţii se deduce următoarea propoziţie:

Propoziţia III 5 Inelul ( ) coincide cu subinelul său A,X- obţinut prin

adjuncţionarea lui X la subinelul A

Orice polinom f ( ) se scrie in mod unic ca o expresie polinominală

f= ∑

unde n gr(f) şi sunt coeficientii lui f.

Această reprezentare a polinoamelor se numeşte forma algebrică a polinoamelor

Polinomul de forma a unde a A şi n este un număr natural este un monom Orice

polinom nenul este o sumă finită de monoame nenule

Propoziţia de mai sus explicitează structura algebrică a inelului polinoamelor şi

justifică următoarea schimbare de notaţie: în loc de ( ) vom nota cu A[X] inelul


30

polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienţii în A Notaţia este evident convenţională,

deoarece ea introduce o literă,şi anume X, pentru a desemna polinomul( , , , ) Vom

folosi uneori notaţiile A,Y-, A[T], A[t], etc., dacă în raţionament apar mai multe inele de

polinoame. Dacă f A[X] este un polinom, vom nota uneori pe f cu f(X) şi aceasta mai ales

când se foloseşte scrierea(2) a lui f, sau este necesar să se pună în evidenţă nedeterminata

Inelul A poate fi: inelul Z al întregilor raţionali, inelul al claselor de resturi modulo

n, poate fi un corp comutativ, de exemplu: Q, R, C, , p număr prim Obţinem astfel inelele

de polinoame:Z[X], [X], Q[X], C[X], cu coeficienţi în Z, ,Q, R, C, respectiv.

Aplicaţie

Care din următoarele afirmaţii este adevărată? încercuieşte litera A dacă afirmaţia

este adevărată, în caz contrar încercuieşte litera F

În polinomul 3 -5X+13, coeficientul lui X este 5 A (F)

Gradul polinomului 3 -7x+5 este 2 (A) F

Polinomul 7 -9 +13X-6 are trei termeni A (F)

Expresia algebrică 2 +3X-5 este un polinom A (F)

Observaţia III.1.3 Folosind scrierea (2) a polinoamelor, operaţiile de adunare şi

înmulţire se transcriu astfel:

Dacă f + + + + + + şi g + + + + + atunci

f+g= + + ( + ) + ( + ) + + ( + ) +

+ ( + ) + ( + + ) + + ( + +

+ )

Exemple:

1. Calculaţi suma (-9 +7 -5X+3)+(13 +2 -8X-6)

Soluţii

a) Se grupează termenii asemenea: (-9 +7 -5X+3)+(13 +2 -8X-6)=

(-9 +13 )+(7 +2 )+(-5X-8X)+(3-6)=4 +9 +(-13X)+(-3)=4 +9 -13X-3


31

b) Polinoamele se pot aduna aranjând termenii asemenea în coloane:

-9 +7 -5X +3

13 +2 -8X -6

4 +9 -13X -3

găsindu-se acelaşi rezultat ca la punctual a)

2. Calculate produsul (X+3)(X+2)

Solutii:

i) (X+3)(X+2)=X(X+2)+X(X+3)= + 5 + 6

ii) Putem verifica rezultateledemai sus folosind aria dreptunghiului

{

2 2 6

aria este = + 5 + 6

Observaţia III 4 De multe ori este foarte utilă scrierea polinomului f sub forma

f= + + + + , lucru întotdeauna posibil tinând seama că adunarea

polinoamelor este comutativă

Reamintim că cel mai mare număr natural n astfel incât ≠ se numeşte gradul lui f notat

gr(f). Polinomul constant f=a, a A ,a≠ are gradul , deci gr(f)=0.

Teorema III.1.1 Fie A un inel comutativ şi unitar şi inelul polinoamelor A,X- Atunci

au loc afirmatiile:

1) Un element a A este inversabil în A dacă şi numai dacă este inversabil în A,X-

2) Dacă A este un domeniu de integritate, atunci U(A)=U(A[X])

Demonstraţie

1) → Dacă a U(A) atuci avem a b ,b A. Această relaţie, considerată în A,X- a şi b

fiind polinoame de grad 0, înseamnă că a este inversabil în inelul A,X-

“← Dacă a U(A,X-) atunci există f A[X] astfel incât af=1.

Presupunând că f + + + + , ≠ avem:


32

+ + + + =1 => prin identificarea coeficienţilor, că =1=>

a U(A)

2) Dacă A este domeniu de integritate atunci A,X- este domeniu de integritate Din

punctual precedent rezultă că U(A) U(A,X-)

Pentru a demonstra incluziunea U(A,X-) U(A) Considerăm polinomul f + +

+ + , ≠ inversabil în A,X- Atunci există f + + + +

astfel că f g Avem gr(f g) gr( ) ţinând cont de faptul că A,X- este domeniu de

integrate că gr(f)+gr(g) sau m+n si deci m n

Astfel rezultă că f A, g= A şi, cum 1=fg= , obţinem că f U(A).

Observaţia III 5

1) În particular dacă A K este un corp, atunci elementele inversabile din inelul K[X]

sunt polinoamele de grad zero.

2) In inelul Z[X] unitatile sunt +1,-1.

3) Propozitia precedenta nu este adevarata pentru inelele care nu sunt integer.

Intradevar in inelul [X] polinomul 2X+1 este inversabil deoarece (2X+1)(

2X+1)=1

Teorema III.1.2 – proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame de o

nedeterminata Fie A un inel comutativ si unitar , A[X] inelul polinoamelor de o

nedeterminata cu coeficienti in A si : → , - morfismul canonic ( ) . Atunci

oricare ar fi inelulcomutativ si unitar B, morfismul unitar de inele v:A→B si x B, exista un

unic morfismf de inele :A[X] →B astfel ca (X)=x si diagrama

A A[X]

v

B sa fie comutativa, adica

Demonstratie:

Sa definim daca f A,X-, f ∑ a X , atunci ( ) ∑ ( )


33

Aratam ca are proprietatile din enunt. Fie g=∑ b X ,

un alt polinom din A[X] sis a

presupunem ca m n. Completand eventual polinomul f cu termini ai caror coeficienti sunt

zero putem scrie f=∑ a X

, unde a a atunci ( + ) (∑ ( +

) ) ∑ ( + ) ∑ ( ( ) + ( )) ∑ ( ) + ∑ ( )

∑ ( ) + ∑ ( )

( ) + ( )

Daca notam cu , coeficientii produsului fg avem ∑ si cum v este morfism

de inele obtinem v( ) ∑ ( ) ( )

Tinand seama de acest lucru se verifica imediat ca v(fg)=v(f)v(g). Deci este morfism de

inele. Mai mult (X)= ( ) ( ) .

Sa verificamacum comutativitatea diagramei. Intradevar daca a ( )( )

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) si deci .

Unicitatea : sa presupunem ca : , - → este morfism de inele astfel incat

( ) , . Atunci pentru f=∑ a X

avem:

( ) (∑ a X

) ∑ (a ) (X ) ∑ ( (a )) (X ) ∑ v(a

)x (f)

si deci .

Fie acum un inel B, A B un subinel al sau si v:A→ incluziunea, adica v(a)=a. Teorema

precedenta aplicata in acest, ne da pentru oricare x un morfism de inele : , - →

astfel incat ( ) ( ∑ a X

) ∑ a x A,X-

, formula care justifica relatia

( ) ( ) Vom numi elementul f(x) valoarea polinomului f in x.

Din egalitatea de mai sus rezulta ca imaginea lui este ( , -) , - Se stie din

proprietatile morfismelor ca nucleul morfismului este un ideal al lui A[X], si anume:

* ( ) , - ( ) +

Definitia III.1.4 Spunem ca elementul x B anuleaza polinomul f=∑ a X

din A[X]

sau ca x este o radacina sau un zero al lui f daca f(x)=0, adica ∑ a X

.

Observatia III.1.5 Conform teoremei fundamentale de izomorfism pentru inele se

deduce pentru urmatorul izomorfism:

: , - → , - definit prin ( ( ) ) ( ) Daca nici un polinom nenul din

A[X] nu admite pe x ca radacina avem si deci devine un izomorfism:


34

: , - → , -. Aceasta insemana ca A[X] este izomorfism cu un inel de polinoame cu

coeficienti in A daca si numai daca =0.

Aplicatii:

1) Polinomul -0.02 + 2 + 22 este folosit de antrenori pentru a stimula atletii

pentru a fi mai performanti. Polinomul reprezinta nivelul de performanta care are

legatura cu variatii ale nivelului de entuziasmare, de la x=1 (entuziasm minim) la

x=100 (nivelul maxim de entuziasm)

Aflaţi, valorile polinomului în x 2 , x 5 şi x 8 Descrieţi ce se întâmplă cu

performanţele pe măsură ce suntem mult mai stimulaţi

2) Sunt cunoscute neplăcerile provocate de răceală Răcim când virusul răcelii intră in

corpul nostru şi se înmulţeşte Valoarea polinomului -0,75 + 3 + 5 în X,

descrie bilioanele de particule virale aflate în corp dupa x zile de la invazie Găsiţi

numarul de particule virale, în bilioane, dupa o zi, 2 zile, zile, 4 zile După câte zile

numărul particulelor virale este maxim şi în consecinţă ziua în care ne simţim cel

mai rău? După cât timp ne vom simţi complet refăcuţi?

Funcţia asociată unui polinom Fie polinomul ƒ A ,X- Asociind orcărui element x A

valoarea f(x) a polinomului f în punctul x se obţine o funcţie ƒ :A → A ƒ (x) f(x), ( )x A,

numită funcţia polinomială asociată polinomului ƒ

O funcţie α:A→ A se numeşte functie polinomială daca există un polinom f A,X- astfel

încăt α ƒ.

Exemple:

a. Functia g: C→C, g(x) 2i -(3+i)x+4 este polinomiala, deoarece g=ƒ, unde

f=2i -(3+i)X+4.

b. Ibuprofen este un medicament folosit pentru ameliorarea durerii. Functia

f:R→R, f(x) ,5 +3,45 -96,65 +347,7x este o functie polinomiala.

Pentru x 6 ea este folosită în estimarea numărului de miligrame de

ibuprofen aflat în sânge la x ore după ce 4 mg de medicament au fost

înghiţite


35

X=2 0 2 6

c. În anul 1980, s-a observat o tendinţă a creşterii temperaturii pe glob şi astfel

a apărut termenul de „încalzire globală” Oameni de ştiinţă sunt din ce in ce

mai convinşi că arderile de cărbune, uleiurile si gazele rezultate din industrie

etc , determină creşterea temperaturii planetei

Pentru a afla cu căte grade creşte temperatura y a globului dupa x ani, din 98 până în

prezent, se foloseşte formula:

y=

-

+

X .

Aflaţi cu câte grade va fi mai mare temperatura planetei în anul 2 4

2

1

0 30 60 ani dupa 1980

d. Relaţiadintre rata morţii omului, calculată pe de oameni, şi media

numărului de ore în care doarme într-o zi este dată de funcţia polinomială:

x f(x)

0

1

1.5

2

3

4

5

6

0

255

318.26

344.4

306.9

193.2

66

0


36

f: R→R, f(x) 9 2857 429 -1336x+5460828571

nr.orelor de somn, x 5 6 7 8 9

rata morţii (pe oameni), f(x) 1121 805 626 813 967

Precizaţi rata morţii oamenilor care dorm 4 h, 5, 5 h, 7, 5h şi h pe zi.

Observaţia III 6 Dacă A este un inel si f, g sunt polinoamele egale din A,X-, atunci

este evident că funcţiile polinomiale ƒ şi sunt egale.

Există însă şi polonoame diferite care să aibă funcţiile polinomiale egale

Exemplu: Considerăm polinoamele f=X+ şi g + , din [X].

Fie ƒ: → , : → funcţiile polinomiale asociate lui f si g. Avem ƒ (0)= (0)= şi

ƒ ( )=g( )=0. Deci ƒ = dar, evident f ≠ g

Observaţia III 7 Se ştie din Analiza matematică că orice funcţie polinomială f: R→R

este o funcltie continuă şi indefinit derivabilă Funcţia exponenţială este continuă şi

indefinit derivabilă si nu este polinomiala Există aşadar funcţii reale de o variabilă reală

care nu sunt polinomiale.

III 2 ÎMPĂRŢIREA POLINOAMELOR

Învăţând mai multă matematică veţi descoperi noi metode de a descrie lumea De

exemplu să considerăm un polinom care modelează numărul anual al condamnaţilor

pentru trafic de droguri şi un alt polinom care modelează numărul arestărilor pentru

traficul de droguri Prin împărţirea acestor polinoame, obţinem o expresie algebrică care

descrie rata condamnaţilor pentru arestările traficanţilor de droguri

În acest paragraf vom arăta cum se împart polinoamele Doua dintre cele mai

importante teoreme din algebră sunt teorema împărţirii cu rest pentru numere întregi

(vezi II.3) cat şi teorema împărţirii cu rest pentru polinoame


37

Teorema III.2.1-Teorema împărţirii cu rest pentru polinoame : Fie K un corp

comutativ si g K,X-, g≠ Oricare ar fi polinomul f K,X-, există polinomele q, r K,X] astfel

încât: f = gq + r, gr(r) < gr(g).

În plus polinoamele q si r sunt unice satisfăcând propietăţile anterioare

Polinoamele q şi r se numesc, respectiv, câtul şi restul împărţirii polinomului g

Ce se observă? Această relaţie este aproape identica cu acea din teorema împărţirii

cu rest pentru numere întregi Este suficient să schimbăm cuvântul „număr întreg” cu acela

de „polinom” şi obţinem relaţia de mai sus cu o mică deosebire: condiţia r< b se

schimbă în condiţia gr(r)<gr(g). În ambele teoreme se observă că restul şi câtul sunt unic

determinate Aceste doua teoreme nu numai că se aseamănă prin enunţ, dar şi

demonstraţiile lor sunt aproape identice Demonstraţiile acestor teoreme se bazează pe

propietatea fundamentală a mulţimii N a numerelor naturale de a fi bine ordonată în sensul

că orice parte nevidă M a lui N are un prim element

În continuare dăm un model de demonstraţie în paralel pentru teorema împărţitii cu

rest pentru numere întregi şi pentru teorema împărţirii cu rest pentru polinoame.

Demonstraţia teoremei împărţirii cu rest

pentru numere întregi

Demonstraţia teoremei împărţirii cu rest

pentru polinoame

Dacă există q Z astel încăt a bq atunci

consideram r Presupunem deci că

a≠bq oricare ar fi q Z Considerăm

mulţimea M *n N ( )k Z astfel încât

n=|a-kb + Este clar ca M ≠ ∅ Deoarece N

este bine ordonată, există în mulţimea M

un cel mai mic element; fie acesta r. Deci

există q Z astfel încăt r a-qb|. Evident ca

r Să arătăm că r< b Prin reducere la

absurd presupunem că r b Daca a-qb>0,

atunci r=a-qb b

Notăm sgnb { ,

, < Avem

b bsgnb şi deci a-qb bsgnb sau

a-(q+sgnb)b Rezultă ca r’ a-

(q+sgnb)b aparţine mulţimii M Dar cum

Dacă există q K,X- astfel încăt f qg atunci

considerăm r Presupunem deci că f≠gq

oricare ar fi q K,X- Considerăm mulţimea

M *n N ( )h K,X- astfel încât n gr(f-

gh)+ Este clar că M ≠∅ Cum N este bine

ordonată, există M un cel mai mic element,

fie acesta m Deci există q K,X- astfel încât

m=gr(f-gq). Notam r=f-qg şi deci f qg+r

Vom arata că gr(r)<gr(g)

Prin reducere la absurd presupunem

gr(r) gr(g) Fie t=gr(g) Deci m t Notăm

r’ r- q şi este clar că m’ gr(r’)<gr(r).

Pe de altă parte r’ f-gq- g=f-g(q- )

ceea ce ne arată că m’ M Cum m’<m,

aceasta contrazice alegerea lui m.

În concluzie q este câtul si r este restul.


38

r’<r, aceasta contrazice alegerea lui r Dacă

a-qb , atunci r qb-a b şi deci b(q-

sgnb)-a Rezultă că r’ a-b(q-sgnb)|

aparţine mulţimii M Dar Cum r’<r, aceasta

contrazice alegerea lui r. Deci r<|b|.

Acum, daca a-qb>0, avem r=a-bq şi deci

a bq+r ceea ce arată că q este câtul si r

restul împărţirii lui a la b Dacă a-qb

avem r=bq-a şi deci a bq-r=bq-|b|+|b|-

r=b(q-sgnb)+r’ unde r’ b -r. Cum

r< b atunci este clar că r’< b şi

deci q-sgnb este câtul şi r’ este restul

împărţirii lui a la b

Unicitatea Să presupunem că avem doua

scrieri: a bq+r, r< b şi a bq’+r’,

r’< b Prin scădere membru cu

membru obţinem b(q-q’) r’-r şi deci

|b||q-q’ r’-r Dacă q’-q ≠ atunci b q-

q’ b Din inegalităţile r< b şi

r’< b rezultă că r’-r < b şi deci este

imposibilă egalitatea |b||q-q’ r’-r|. Prin

urmare trebuie ca |q-q’ de unde q q’,

caz în care şi r r’

Unicitatea Să presupunem că avem două

scrieri:

f=gq+r, gr(r)<gr(g)

f gq’+r’, gr(r’)<gr(g)

Prin scădere membru cu membru a

ultimilor două egalităţi obţinem g(q-q’) r’-

r. Dacă q-q’≠ atunci gr(g(q-q’)) gr(g) dar

din inegalităţile gr(r)<gr(g) şi deci obţinem

o contradicţie

Prin urmare q-q’ şi deci q q’ În Acest

caz şi r r’

Rezultă deci că:

Daca mulţimea K este un corp, atunci inelul de polinoame K,X- este inel euclidian relativ la

funcţia: :K,X--* +→N, (f) gr(f), ( )f K*,X-

Exemple:

1. Fie Polinoamele f=3 + -2 +6X+ şi g= -4

3 + -2 +6X+1 -4

-3 +12 3 + +10X+4


39

/ +10 +X+1

- +4

/ 10 +4 +6X +1

-10 +40X

/ 4 +46X+1

-4 +16

/ 46X+17 =r

Deci câtul este q=3 + +10X+4, iar restul r=46X+17

Proba: ( -4) (3 + +10X+4)+(46X+17) = 3 + -2 +6X+1 = f

2. Folosind tabelele operaţiilor corpului şi organizarea uzuala a

calculelor din algoritmul împărţirii polnoamelor, avem:

2 + +4 +2 + X+2 2 +X+

2 + + + +2

/ 2 + +2 + X+2

2 + +

/ / 4 + X+2

4 + X+

/ X+

Rezultă q + +2 şi r X+ .

Proba: (2 +X+ )( + +2)+ X+ = 2 + +4 +2 + X+2

Teorema III.2.2 - Teorema restului Fie K un corp comutativ, f K,X- şi a K Atunci

valoarea f(a) a polinomului f în punctul a este egală cu restul împărţirii lui f prin X-a

Demonstraţie : Fie q, r K,X- astfel încăt:

f(x)=(X-a)q+r, gr(r)<gr(X-a)=1


40

Rezultă că r K şi deci

f(a)=((X-a)q+r)(a)=(a-a)q(a)+r(a)=r(a)= r

Această teoremă ne ajută să găsim restul împărţirii unui polinom oarecare prin

polinomul X-a fără a mai efectua împărţirea lui f prin X-a.

Exemplu: Să se găsească restul împărţirii polinomului f -2i +4X+1+2i prin

binomul X+i.

Conform teoremei de mai sus restul reste r=f(-i)= ( ) -2i ( ) +4(-i)+1+2i =1+2-

4i+1+2i=4-2i

Teorema de mai sus are dezavantajul că nu afirmă nimic relativ la expresia cătului

împărţirii polinomului f prin binomul X-a.

Vom indica acum un procedeu de aflare a câtului împărţirii polinomului f prin

binomul X-a.

Să presupunem că f este polinomul de forma: f=∑ a X ,

an≠ .

Dacă scriem formula împărţirii cu rest pentru polinoamele f si X-a obţinem egalitatea

f = (X-a)q+r, gr(r)<gr(X-a)=1 (1).

Cum gr(f) = n, atunci trebuie ca gr(q)=n-1. Deci q este un polinom de forma

q=∑ b X

, b ≠

Egalitatea (1) devine în acest caz: + + + + ( )( +

+ + + ) +

Efectuând înmulţirea în partea dreaptă obţinem:

( )( + + + + )

+ + +

+ ( ) + +( ) + + ( )

+ ( )

Prin identificarea celor două polinoame obţinem că:


41

=

= – a

= – a

(2)

= – a

= r – a

Din egalităţile (2) obţinem succesiv:

=

= + a

(3)

= + a

r = + a

Egalităţile ( ) se trec în tabelul următor:

……………………

a + …………………… +a +a

a …………………….. r

În rândul de mai sus al tabelului se scriu coeficienţii polinomului f, iar în rândul de jos

coeficienţii , ,..., ai câtului şi restul r

Tabelul (4) poartă denumirea de schema lui Horner.


42

Exemplu Utilizând schema lui Horner să se determine câtul şi restul împărţitii

polinomului f=3 -11 +12 -5X-2.

X

3

2 3

b3

-11

- +2 3=-5

b2

12

2+2 (-5)=2

b1

-5

-5+2 2 -1

-2

-2+2 (-1)=-4

r

Câtul şi restul împărţirii sunt q X -5X2+2X- şi r -4

Observaţia III 2 Schema lui Horner ne oferă nu numai un procedeu de obţinere a

câtului împărţirii polinomului f prin binomul X-a, dar şi un procedeu de determinare a

restului.

Observaţia III 2 2 Un alt procedeu pentru determinarea câtului şi a restului

împărţirii unui polinom f prin altul f se bazează pe observaţia că gr(q) gr(f)-gr(g),

gr(r)<gr(g) prin urmare, necunoscutele problemei, coeficienţii polinoamelor r şi q sunt în

număr finit mai mult aceşti coeficienţi sunt legaţi de coeficienţii polinoamelor f şi g printr-

un sistem de acuaţii liniare, care se obţin identificand coeficienţii lui , , ,... din stânga

şi din dreapta semnului de egalitate

Exemplu Fie f=5-X+3 +2 şi g -1+2 Pentru a afla câtul şi restul împărţirii

lui f la g observăm că gr(q) 2, gr(r) 2 Prin urmare, vom avea de determinat coeficienţii

polinoamelor q=a+bX+c , r d+eX, astfel încât să aibă loc egalitatea:

5-X+3 +2 =(-1+2 )(a+bX+c )+d+eX. Aceasca conduce la sistemul de ecuaţii:

5 = -a+d

-1 = -b+e

3 = 2a-c , din care rezultă c , b , a 2, d 7, e -1

0 = 2b

2 = 2c

Metoda aceasta se numeşte metoda coeficienţilor nedeterminaţi


43

CAPITOLUL IV

PROPIETĂŢI ARITMETICE ALE INELELOR

DE POLINOAME

În acest capitol, K este un corp comutatic K[X] inelul polinoameor în nedeterminata

X cu coeficienţi în K

IV DIVIZIBILITATEA ÎN INELE DE POLINOAME DE O NEDETERMINATĂ

Din teorema III rezultă că inelul K,X- este un inel integru

Propoziţia IV Dacă f, g, h sunt polinoame în K,X-, astfel încât f h g h şi h≠ ,

rezultă f g

Demonstraţie: Într-adevăr avem (f-g)h , prin urmare unul din factori trebuie să

fie nul Cum h≠ , rezultă ca f-g=0, adica f=g.

În continuare vom reconstitui în inelul K[X] teoria divizibilităţii

Definiţia IV Fie f, g două polinoame din K,X- Spunem că g divide f (sau f este

divizibil prin g, sau g este un divizor al lui f, sau încât f este un multiplu al lui g) şi scriem g

f, dacă există un polinom h K,X- astfel încât: f g h

Exemplu : Considerăm polinoamele f + -4X+12 şi g X+2

Deoarece + -4X+12=( X+2)( -5X+6) rezultă că g f

Observaţia IV :

1. Din teorema îmărţirii cu rest rezultă că g divide pe f dacă şi numai dacă restul

împărţirii lui f la g este zero.

2. Daca g f şi f≠ atunci gr(g) gr(f)


44

Într-adevăr, deoarece g f există un polinom h astfe încât f gh Deoarece f≠ , atunci

gr(f) gr(g)+gr(h) Dar gr(h) şi deci gr(g) gr(f)

3. Polinoamele de grad zero, adică constantele nenule, divid orice polinom

Într-adevăr, daca a K, a≠ şi f este un polinom oarecare putem scrie f (a a)f a ( a f)

şi deci a f

Propoziţia IV 2 Fie f, g, h K,X- Daca h g şi g f atunci h f (tranzitivitatea relaţiei

de divizibilitate)

Demonstraţie: Într-adevăr, cum h g, atunci există un polinom , astfel încât

g=h Cum g f, există un polinom astfel înât f=g Înlocuind în această egalitate pe

g=h , obţinem că f (h ) . =h( .) şi deci h f

Propoziţia IV Fie , , g K,X- Dacă g| şi g , atunci g | + , oricare ar

fi polinoamele , K,X-

Demonstraţie: Într-adevăr deoarece g , există polinomul astfel încât =g ;

deoarece g| , există polinomul astfel încât =g . Atunci avem

+ = (gg1)+ (gg2)=g( + ) şi deci g + .

Observaţia IV 2 Din propoziţia III 6 ştim că elementele inversabile din K,X- sunt

polinoamele de grad, zero, nenule, adică elementele diferite de zero din K Înseamnă că

elementele inversabile din K,X- formează grup multiplicativ, anume K* (grupul elementelor

nenule din K).

Propoziţia IV 4 Fie f, g K,X- Dacă g f şi f g atunci există a K* astfel încât f a g

Definiţia IV 2 Două polinoame din K,X- care se obţin unul din altul prin înmulţire

cu un element inversabil din K se numesc polinoame asociate Când polinoamele f şi g sunt

asociate notăm simbolic f~g.

Din propoziţia anterioară rezultă că f~g dacă şi numai dacă f g şi g|f.

Exemplu: + şi 2 +2 sunt polinoame asociate în Q[X].

Observaţia IV Orice polinom este divizibil prin elementele inversabile şi prin

polinoamele asociate cu el .

Propoziţia IV 5 Fie f= + + + K,X- şi a K Dacă a f, atunci a|

i=1, ,n.


45

Demonstratie: Deoarece a f există g + + + , astfel încât f a g +

+ + . Dacă f atunci =0, i=1, ,n şi în acest caz a| i=1, ,n.

Dacă f≠ atunci m n şi =a deci a| , i= , ,n

Teorema IV.1.1 Teorema lui Bezout Polinomul f K,X- se divide cu X-a, a K dacă şi

numai dacă f(a)

Demonstraţie : Din teorema împărţirii cu rest pentru polinoame în care notăm

g(X)=X-a retultă că f(X)=(X-a)q(X)+r,unde q(X) K,X- şi r K Atunci X-a divide pe f dacă şi

numai dacă r , deci dacă şi numai dacă f(a) r

Propoziţia IV 6 Inelul polinoamelr K[X] este euclidian.

Demonstraţie: Definim funcţia : K,X--* +→N , (f) gr(f)

Avem evident (fg) (f)+ (g) Din teorema împărţirii cu rest rezultă că inelul

polinoamelor K[X] este euclidian. Deci K,X- se bucură de toate proprietăţile aritmetice ale

inelelor euclidiene.

În K,X- există un cel mai mare divizor comun şi un cel mai mic multiplu comun a două

polinoame.

Definiţia IV Fie f, g K,X- Un polinom d K,X- se numeşte un cel mai mare

divizor comun al lui f şi g dacă:

d f şi d g

Dacă d’ K,X- astfel încât d’ f şi d’ g atunci d’ d

Teorema IV.1.2 Oricare ar fi f,g K,X- atunci există un cel mai mare divizor comun al

lui f şi g

Demonstraţie: Dacă f g atunci d este c m m d c al lor Dacă f≠ şi g atunci

d f deoarece f este divizor comun al lui f şi g pentru că f f şi g f Iar dacă d este divizor

comun al lui f şi g atunci d f d f este c m m d c (f,g)

Să analizăm cazul f≠ şi g≠

Din teorema împărţirii cu rest pentru polinoamele f şi g acem că există două elemente şi

K,X- astfel încât f g + cu gr( )<gr(q) (E1)

Dacă ≠ atunci aplicăm din nou teorema împărţirii cu reste şi deci există , K,X-

astfel înât g= q+ cu gr( )<gr( ) (E2)


46

Repetând acest proceedeu ,obţinem elementele , ,.., şi , ,..., K,X- astfel încât :

r= + ( ) < ( ) (E3)

....................................................

+ , ( ) < ( ) (En+1)

Deoarece gr(r)>gr( )<...<gr( )>gr( ) şi mulţimea ℕ este bine ordonată, atunci există

un număr natural n astfel încât ≠ şi ( )=0.

Vom arăta că este c m m d c al lui f şi g

Cum + şi ţinând seamă că | , iar + , atunci |

. Obţinem din aproape în aproape că divide elementele ,..., , şi din (E ) |f. Deci

este divizor comun al polinoamelor f şi g

Să arătăm că este şi cel mai mare cu această proprietate

Fie d’ un divizor comun al polinoamelor f şi g Din (E ) obţinem că , =f-g şi cum d’ f şi

d’ g arunti d’ ,apoi din (E2) d’ şi din aproape în aproape avem d’ , ceea ce trebuia să

demosntrăm

Am constatat că obţinut prin aplicarea succesivă a teoremei împărţirii cu rest a

polinoamelor este c m m d c al polinoamelor f şi g Acest procedeu se numeşte şi în acest

caz Algoritmul lui Euclid.

Observaţia IV 4 Din definiţia anterioară rezultă că dacă =c.m.m.d.c.(f,g), atunci

d| şi d prin urmare d şi sunt polinoamel asociate . Reciproc dacă d este

c.m.m.d.c.(f,g), orice polinom asociat cu d, adică orice polinom de forma αd cu α K* este şi

el c.m.m.d.c.(f,g). Deci c m m d c a două polinoamel f şi g este unic , abstracţie făcând de un

factor constrant nenul .

Exemplu: Dacă f - şi g - ,orice polinom de forma αd g şi orice polinom h, care

divide pe f si g, divide pe d; prin urmare şi pe α d

Observaţia IV 5 În clasa polinoamelor care sunt c m m d c (f,g) există unul singur

care are coeficientul dominant egal cu 1 ; acela se notează cu simbolul (f,g) şi el este de

obicei c m m d c al polinoamelor f şi g

Astfel cu această convenţie acem ( -1, -1)=X-1.

Exemplu: Fie f= - -3X+3, g=2 -2 -X+1. Observăm că (f,g) (2f,g) De aceea şi

pentru a nu lucra cu numere fracţionare, căutăm restul împărţirii lui 2f la g:


47

2 2 6 + 6 2 2 +

2 + 2 + X

7 + 6

Astfel = -7X+6. Căutăm acum restul împărţirii lui g la :

2 2 + 7 + 6

2 + 4 2 12X+12

2 +

2 + 84 72

71X - 71

Prin urmare =71X-71;putem considera în locul lui polinomul asociat X-1;

amplicând încă o dată împărţirea lui la :

7 + 6

+ X-6

-6X+6

6X-6

/ /

Obţinem că (f,g) X-1

Teorema IV.1.3 Fie f şi g două polinoame nenule din K,X- Dacă d este un c m m d c

al lui f si g atunci există două polinoame u,v K,X- astfel încât

d=uf+vg

Demonstraţie: Am căzut că ultimul rest nenul din algoritmul lui Euclid este

c m m d c al polinoamelor f şi g


48

Din (E ) obţinem că = f+ g, unde şi =- . Din (E2) obţinem că =g- =

g-( f+ g) =-( )f+(1- )g= f+g, unde =- şi =1-

Continuând procedeul putem să presupunem că pentru orice i ( i n-1) am determinat

polinoamele astfel încât = f+ g.

Din algoritmul lui Euclid avem că = - . Deoarece = f+ g si

= f+ , atunci = f+ g-( f+ g) =( - )f+( -

)g= f+ g, unde am notat = - şi = - . Dacă d este un

c m m d c al polinoamelod f şi g ,rezultă că există un a K* astfel încâd d= .Deci

d= + +uf+vg,unde u= şi v .

Definiţia IV 4 Polinoamele f,g din K[X] se numesc prime între ele daca singurii lor

divizori comuni sunt elementele inversabile din K,X-,adică nu există în K,X- nici un polinom

de grad pozitiv ,care să dividă pe f şi pe g

Rezultatul obţinut se poate formula în :

Teorema IV.1.4 Condiţia necesară şi suficientă ca polinoamele f şi g din K,X- sa fie

prime între ele este dată de relaţia

1=uf+vg.

In care u şi v sunt polinoame din K,X-

Observaţia IV 6 Aşa cum am definit cel mai mare divizor comun a două polinoame,

putem defini c m m d c a unui număr finit de polinoame, mai precis, dacă , ,..., K,X-,

atunci un polinom d K,X- se numeşte un c.m.m.d.c. al polinoamelor , ,,..., dacă verifică

următoarele condiţii:

1. d| ,d| ,....,d| ;

2. dacă d’ este un polinom astfel încât d’| , d’| ,...., d’| atunci d’ d

Fiind date polinoamele , , un c.m.m.d.c. al lor se calculeaza astfel : se

determină un c.m.m.d.c al polinoamelor , apoi se determină un c.m.m.d.c. al

polinoamelor si , apoi se determină un c.m.m.d.c. al polinoamelo şi ,..., apoi se

determină un c.m.m.d.c. al polinoamelor şi . Polinomul d= este un

c.m.m.d.c. al polinoamelor , , , .

Definiţia IV 5 Fie f,g K,X- Un polinom m K,X- se numeşte un cel mai mic multiplu

comun al polinoamelor f şi g dacă:


49

1. f m şi g m

2. Dacă m’ K,X- astfel încăt f m’ şi g m’ atunci m m’

Ca şi teorema II 4, demsnotraţia teoremei care urmează constrituie un procedeu de a

obţine un c m m m c a două polinoame

Teorema IV.1.5 Fie f, g K,X- două polinoame dintre care cel puţin unul este nenul

Dacă d K,X- este un c m m d c al lui f şi g, atunci polinomul m=fg/d este un c.m.m.m.c. al

lui f şi g

(aici fg/d înseamnă câtul împarţirii polinomului fg prin d)

Demsnotraţie: Deoarece d f şi d g, există polinoamele f’ si g’ încât f df’ şi g dg’

În plus , polinoamele f’ şi g’ sunt prime între ele Deci m f’g fg’, ceea ce arată că m este un

multiplu comun al lui f şi g Fie m’ un polinom astfel încât f m’ şi g m’ Deci există

polinoamele şi astfel încât m’ şi m’ . Avem m’ d şi m’ d .

Polinoamele f’ şi g’ fiind prime între ele, există polinoamele u şi v astfel încât uf’+vg’

Înmulţind această egalitate cu (de exemplu), obţinem ca =

u f’+vg’ =u f’+vf’+vf’ f’(u +v ), ceea ce arată că f’ . Deci există un polinom ,

astfel încât f’ . Deoarece m’ g , atunci m’ gf’ =m şi deci m m’ Deci polinomul

m fg d este un c m m m c al lui f şi g

Observaţia IV 7 Aşa cum am definit c m m m c a două polinoame putem defini

c m m m c al unui număr oarecare finit,de polinoame Mai precis : dacă , ,..., K,X-

atunci un polinom m K,X- se numeşte un c m m m c al polinoamelor, , ,..., dacă

verifică următoarele condiţii:

|m, |m,..., |m;

dacă m’ K,X- astfel încât m’, m’, , m’ atunci m m’

Ultima teoremă nu se poate extinde la cazult când avem n polinoame , , cu

n În acest caz c m m m c al polinoamelor se calculează astfel :se determină un

c.m.m.m.c, m1 al polinoamelor , ; apoi se determină un c m m m c , , al polinoamelor

şi ,..., în final, se determina un c.m.m.m.c., , al polinoamelor şi . Polinomul

m= este un c.m.m.m.c. al polinoamelor , ,


50

IV.2 POLINOAME IREDUCTIBILE.

CRITERII DE IREDUCTIBILITATE

Aşa cum am afirmat, nu există nici o deosebre între conceptele de element

ireductibil şi element prim într-un inel euclidian. Totuşi pentru anumite inele euclidiene

(ca de exemplu Z, Z[i], etc) folosim curent denumirea de element prim , iar pentru alte inele

euclidiene (ca de exemplu Q[X], R[X], C[X])folosim curent denumirea de element

ireducitibil (în cazul de faţă polinomm ireductibil)

Definiţia IV 2 Orice divizor al polinomului f K,X-,care nu este nici inversabil şi nici

asociat cu f, se numeşte divizor propriu al lui f

Rezultă că dacă g este divizor propriu al lui f,atunci gr(g)<gr(f) Într-adevăr,

faptul că g f, înseamnă că există polinom h astfel încât să putem scrie f gh prin urmare,

gr(f)=gr(g)+gr(h). Dar gr(h)≠ , deoarece polinomul g nu este asociat cu f. Aceasta

înseamnă că gr(h) deci gr(g)<gr(f). Deoarece g nu este unitate, gr(g) , de unde

rezultă afirmaţia

Definiţia IV 2 2 Polinomul f K,X- se numeşte polinom ireductibil peste corpul K

dacă nu admite divizori proprii în K[X].

Dacă exista două polinoame g,h K,X-,astfel încât f g h cu gr(f) gr(g) şi gr(f)

gr(h), atunci spunem că f este polinom reductibil peste corpul K.

Observaţia IV 2

1) Orice polinom de grad 1 din K[X] este ireductibil peste K. Într-adevăr, fie f K,X-

cu gr(f)=1 . Atunci f aX+b, a,b K, a≠ Presupunem că f este reductibil peste K.

Prin urmare , exista g, h K,X- astfel încât f g h, gr(g)<1, gr(h)<1.

Evident, g≠ , h≠ , deci gr(g)=gr(h)=0. Rezultă gr(f) gr(gh) gr(h)+gr(h) , deci

1=0, contradicţie Prin urmare f este ireductibil peste K.

2) Orice polinom f K,X] de gradul 2 sau 3,care nu admite un factor de gradul 1 în

K[X], este ireductibil peste K. Într-adevăr,dacă presupunem că f este reductibil

peste k, atunci există g, h K,X- astfel încât f g h, gr(g)<gr(f), gr(h)<gr(f).

Deoarece gr(f)=gr(f)+gr(h), iar gr(f) *2, + rezultă gr(g) sau gr(h) ,

contradicţie Prin urmare f este ireductibil peste K.


51

Exemplu : Polinomul f= + Q,X- este irecutibil peste Q

Într-adevăr, din egalitatea (aX+b)(cX+d)= + rezultă ac , ab+bc=0, bd=3.

Din prima şi ultima ecuaţie rezultă că ab≠ Împărţind cu ab ecuaţia a doua , obţinem

d/b=-c/a=u; prin urmare - u=1, u=3, de unde - / =3, ceea ce este absurd, 3 nefiind

un număr negativ. Aşadar polinomul +3 nu are divizori de grad 1; înseamnă că singurii

lui divizori în Q[X] sunt polinoamele de grad 2, deci asociate, şi cele de grad , deci

inversabile. Să observăm că acelaşi polinom se poate scrie f (X-i√ )(x+i√ ), X+i√

C[X], deci f este reductibil peste C.

Teorema IV.2.1 Fie f, g, h K,X- Dacă h este prim cu f şi divide produsul fg, atunci h

divide polinomul g.

Deci,dacă (f,h) şi f fg⟹h|g/

Demosntraţie: Din(f,g)=1 rezultă că există u,v K,X- astfel încât fu+hv

Înmulţind cu g obţinem fgu+ghv=g. Deoarece h|fg ⟹( )r K,X- astfel Încât fg hr prin

urmare

h(ru+gv)=g, de unde rezultă că h g

Corolar IV.2.1 Fie f, , ,..., K,X- dacă f este ireductibil peste K şi divide

produsul , , , atunci cel mai puţin unul dintre factorii ,..., este divizibil cu f.

Demonstraţia se realizează prin inducţie matematică asupra lui r, folosind teorema

precedentă Pentru r=2 suntem în cazul acelei teoreme. Presupunem că afirmaţia este

adevărată pentru produsul de factori în număr mai mic decât r. Împărţind factorii ,..., în

două grupe ,..., şi ,..., ,să notăm p ... , q= ... .

Prin ipoteză f pq Dacă f p, concluzia rezultă în baza ipotezei de inducţie dacă f p, atunci f

fiind ireductibil este prim cu p; prin urmare în baza teoremei precedente divide produsul q

şi ,tot în baza ipotezei de inducţie , divide unul din factorii ... .

Din paragraful precedent ştim că inelul K,X- este euclidian În particular K[X] este

un inel factorial. Deci şi în K,X- există o teorema de deoscumpunere în factori primi

Teorema IV.2.2 Fie f K,X- un polinom de grad mai mare ca Atunci f se

descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K;descompunerea fiind

unică, abstracţie făcând de înmulţirea cu elemente inversabile din K,X- şi de ordinea

factorilor.


52

Demonstraţie: Demonstraţia primei părţi a afirmaţiei se face prin inducţie

matematică asupra gradului polinoamelor Fie n=gr(f). Daca n=1, atunci f este ireductibil

peste K (printre produsele finite acceptăm şi produsele cu un singur factor) Presupunem

că n şi că afirmaţia este adevărată pentru polinoame de grad mai mic ca n Dacă f este

ireductibil atunci afirmaţia este adevărată În caz contrar există g, h K,X] care nu sunt nici

inversabile nici asociate cu f, astfel încât f=gh, gr(g)<n gr(h)<n. Conform ipotezei inducţiei

g şi g sunt produse finite de polinoame ireductibile peste K, deci şi f gh este un produs finit

de polinoame ireductibile peste K.

Unicitatea: Să presupunem că avem pentru f două descompuneri f ... = ...

, , ,fiind polinoame ireductibile . Să considerăm polinomul ; produsul ... , este

divizibil prin polinomul ireductibi . Conform corolarului IV.2.1, cel puţin unul dintre

factorii acestui produs este divizibil cu . Să presupunem că | . Deoarece este

ireductibil , rezultă că şi , sunt asociate , adică putem scrie = cu α K* Sa

împărţim cu în ambele părţi ale semnului de egalitate; obţinem = .... .

Reluând acum raţionamentul cu , vom găsi că printre factori .... este unul asociat cu

şi renumerotându-i, la nevoie, putem presupune ca acela este ; deci = cu

K*. Împărţind cu , obţinem .... . Să presupuenm că n<m Repetând

raţionamentul făcut cu şi pentru factorii ,...., , şi împărţind succesiv cu aceşti

factori, obţinem .... . O asementea egalitate nu este posibilă deoarece

gradul unui produs de polinoame este egal cu suma gradelor factorilor. Astfel, ipoteza n<m

este absurdă în acelaşi mod se poate arăta că inegalitatea n m nu este cu putinţă prin

urmare, n=m şi fiecare dintre factorii apare în ambele părţi ale semnului de egalitate

exact de acelaşi număr de ori Deci şi a doua parte a afirmaţiei este demontrată

Exemplu:4 -4 -4 +4 + - -X+1=(X+1)(X-1) (2 +2X+1)(2 -2X+1)

=4(X+1) (X-1) ( +X-1/2)( -X+1/2)

Observaţia IV.2.2 Teorema împărţirii cu rest şi teorema lui Bezout sunt utile atunci

când dorim să verificăm dacă un polinom f admite un factor de grad întâi de forma X-a.

Această verificare este suficientă pentru a proba ireductibilitatea lui f atunci când gradul lui

f este 2 sau şi coeficienţii săi sunt într-un corp. În general însă nu dispunem în algebră de

criterii genreale care să ne permită să decidem dacă un polinom arbitrar este sau nu este

ireductibil. Un criteriu care contituie o condiţie suficientă pentru ca un polinom să fie

ireductibil este criteriul lui Eisenstein, enunţat în următoarea teoremă:

Teorema IV.2.3 Fie f= + +...+ X+ un polinom având coeficienţii

intr-un inel factorial A. Presupuenm că există un element prim p A astfel încât p| ,....,p| ,

p şi . Atunci f este polinom ireductibil în A[X].


53

Demosntraţie : Presupunem că f admite o descompunere într-un produs în care

factorii au gradele strict mai mici decât gradul lui f , deci : + +....+ X+ =

( +...+ )( +...+ ), şi în plus, r>0. Reducând modulo p această egalitate şi

notând cu clasele modulo pe ale coeficienţilor se obţine în (A pA),X-egalitatea:

=( +....+ ) ( +....+ )

Presupuenm că ≠ atunci din recultă simplificând cu X se obţine :

( + + )( + + )

În continoare se procedează analog şi după n-r paşi se obţine egalitatea:

.( + + )/ ,

Atunci şi aceasta implică =0,ceea ce este imposibil. Rămâne aşadar că şi deci

=0. Trecând în Z obţinem că = este divizibil cu . Aceasta contrazice ipoteza

şi în cosecinţă f este polinom ireductibil

Exemple:

1. Fie poinomul f= + 5 +2 -40X+35.Acest polinom este

ireductibil în Q,X- deoarece luând numărul prim p 5 sunt

îndeplinite condiţiile criteriului lui Eisenstein.

2. Deşi criteriu lui Eisenstein este destul de restrictiv,prin ipotezele

sale, el ne permite să puenm în evidenţă o clasă numeroasă de

polinoame ireductibile. De exemplu polinoamele +p. Unde p este

prim , sunt ireductibile. În concluzie, in Z[x](deci şi în Q,X-) există o

infinitate de polinoame ireductibile.

3. Uneori criteriul lui Eisenstein nu se aplică direct,aşa cum se poate

vedea din următorul exemplu clasic: Dacă p este număr natural

prim, atunci polinomul f= + +....+X+1 Z,X- este

ireductibil în Q[X]. Sub această formă nu putem aplica criteriul lui

Eisenstein, dar obsercăm că f este ireducbitil dacă polinomul f(X+ )

este ireductibil. Considerăm automorfismul : Z,X-→Z[Y] definit

prin (X) Y+ Cum f=

obtinem ca (f)

( )

= +


54

+

+ +

+

+ +

+

Deoarece p este prim , avem ca p | , oricare ar fi k p- şi deci , conform criteriului lui

Eisenstein, (f) este un polinom ireductibil în Z,X-, deci şi în Q,X-


55

CAPITOLUL V

RĂDĂCINILE POLINOAMELOR

ECUAŢII ALGEBRICE

V PROPRIETĂŢI ALE RĂDĂCINILOR UNUI POLINOM DE O

NEDETERMINATĂ DERIVATA UNUI POLINOM

Definiţia V Fie K un corp şi f K,X- Un element a K se numeşte rădăcină a

polinomului f dacă f(a)

Se ştie din teorema lui Bezout, că a este rădăcină a lui f dacă şi numai dacă X-a divide

pe f. Din observaţia IV 2 , ştim că dacă un polinomu f K,X-, de grad n 2, este ireductibil

peste K, atunci f nu admite rădăcini în K Reciproc, dacă un polinomu f K,X- de grad 2 sau

nu admite rădăcini în K, atunci f este ireductibil peste K.

Definiţia V 2 Elementul a f K se numeşte rădăcină multiplă de ordin a

polinomului f K,X-, daca (X-a) f şi (X-a) f.

Propoziţia V Fie K un corp şi f, g K,X- Dacă a K este rădăcină multiplă de

ordin i a lui f şi respectiv rădăcină multiplă de ordin j a lui g , atunci a este rădăcină multiplă

de ordin i+j a produsului fg.

Demonstraţie: Conform ipotezei f=(X-a) cu (a)≠ şi g (X-a) cu (a) ≠

Atunci fg=(x-a) şi deoarece K este domeniu de integritate, rezultă că (a) (a) ≠

Deci a este rădăcină de ordin de multiplicitate i+j al lui fg

Propoziţia V 2 Fie K un corp şi f K,X- un polinom de grad Dacă ,..., sunt

elemente distincte din K şi care sunt rădăcini multiple ale lui f de ordine de multiplicitate

respectiv , , atunci f=( ) ( ) ( ) g , unde g K,X-

Demonstraţie: Procedăm prin inducţie după r Pentru r=1, propoziţia rezultă din

definiţia V 2 Presupunem că propoziţia este adevărată pentru r- şi să arătăm că ea este

adevărătă pentru r Există deci K,X- astfel încât f=( ) ( ) (

)


56

Atunci f( )= ( ) ( ) ( ) ( ) şi cum ≠ pentru orice

i r-1, rezultă ( ))=0.

Notând h=( ) ( ) ( ) avem f=h cu h( )≠ şi deoarece

este rădăcină a lui f de ordin de multiplicitate este clar că este rădăcină a lui de

acelaşi ordin de multiplicitate. Într-adevăr, =(X- ) şi f ( ) cu ( )≠

Atunci ( ) =(X- ) h, de unde (X- ) = ( )h( ). Deoarece h( )≠ ,

atunci ( )=0, adică =(X- ) . Avem deci =(X- ) şi continuăm procedeul de

atâtea ori cât este ordinul de multiplicitate al rădăcinii a lui f Obţinem deci =(X- ) g

şi deci f ( ) ( ) ( )

Observaţia V Când numărăm rădăcinile unui polinomu şi nu spedificăm faptul că

sunt distincte, considerăm fiecare rădăcină de atâtea ori cât este ordinul său de

multiplicitate.

Corolar V.1.1 Dacă f este un polinomu cu coeficienţii într-un corp şi gr(f) n

atunci f are cel mult n rădăcini în acel corp

Observaţia V 2

1) Fie f,g K,X- Din definiţia divizibilităţii polinoamelor şi teorema lui Bezout avem

că polinomul f este divizibil prin polinomul g dacă şi numai dacă orice rădăcină a

polinomului g este rădăcină şi a plinomului f cu un ordin de multiplicitate cel

puţin egal cu cel pe care îl are pentru polinmul g.

2) Rădăcinile comune a două polinoame sunt rădăcinile celui mai mare divizor

comun al polinoamelor .

3) Pentru a afla dacă polinoamele f + + + + ,

g= + + + + C[X] au o rădăcină comună, calculăm

determinantul Sylvester:

0 0 0 ..... 0

0 .... .... ..... ..... ..... 0 0 ...... 0

0 0 ..... .... ..... ..... ....... 0 ...... 0

D= ..... ..... .... ..... .... .... ... ..... ..... ..... ..... .... ..... .....

0 0 0 ....... .... .... ..... ...... ..... ..... .....


57

0 .... ..... .... .... .... ... 0

0 0 .... ...... ..... ..... .... 0

... .... ... .... ..... .... ..... ... ... ... .... .... .... ....

0 0 0 .... 0 0 .... ..... ..... ... ....

Polinoamele f şi g au o rădăcină comună dacă şi numai dacă determinantul Sylvester al

coeficienţilor lor este nul

4) Condiţia necesară şi sufientă ca două polinoame din C,X- să aibă aceleaşi

rădăcini este ca ele să aibă coeficienţii termenilor de acelaşi grad proporţionali

Propoziţia V -Relaţiile lui Viete Fie A un domeniu de integritate şi f +

+ + , ≠ , un polinom nenul din A[X]. Dacă , , , sunt rădăcinile lui f în

A, atunci f= (X- )(X- )...(X- ) şi

+ + + =

+ + + + + =

...........................................................................

+ + + ( )

..............................................................................

( )

Demonstraţie: Pe baza propoziţiei V 2 putem scrie f ( )( ) ( )g

cu g A,X- Identificând coeficientul lui din ambii memtri , avem g= .

f= ( )( ) ( ) ( + + + ) + ( +

+ + + + ) + ( ) ( + + +

) + + ( ) , de unde prin identificarea coeficienţilor

în cele două scrieri ale lui f , se obţin relaţiile cerute

Relaţiile din propoziţia precedentă se numesc relaţiile dintre rădăcinile şi

coeficienţii unui polinom sau relaţiile lui Viete


58

Teorema V.1.1 Dacă un polinom f,cu coeficienţii reali ,are rădăcina complexă

z=u+iv, u,v R, v≠ , atunci f are şi rădăcină =u-iv.

Demonstraţie: Folosind proprietăţile numerelor conjugate avem f( )= ( ) ,( )z C

Cum f(z)=0, atunci f( ) şi deci este o rădăcină a lui f.

Observaţia V

Rădăcinile z şi au acelaşi ordin de multiplicitate

Un polinom cu ceficienţii reali nu poate avea decăt un număr par de rădăcini

complexe u+iv, v≠

Un polinom cu coeficienţi reali de grad impar are cel puţin o rădăcină reală

Singurele polinoame ireductibile peste R sunt polinoamele de gradul întâi şi

polinoamele de gradul al doilea fără rădăcini reale

Teorema V.1.2 Fie a,b Q, b>0, √b∉ Q Dacă un polinom f, cu coeficienţii

raţionali,are rădăcina a+√b, atunci f are şi rădăcina a-√b

Demontraţie: Pentru orice a, b Q, b>0, √b∉ Q avem f(a±√b) A±B√b Însă

f(a+√b) , deci A+B√b , obţinem că a În acest caz f(a-√b) A-B√b , şi deci a-√b

este de asemenea o rădăcină a lui f

Observaţia V 4 Rădăcinile a+√b şi a-√b au aceleaşi ordine de multiplicitate.

Teorema V.1.3 Dacă polinomul cu coeficienţi întregi, f= + + + ,

admite rădăcina raţională p q, unde p şi q sunt prime între ele, atunci

i. p este divizor al termenului liber ,

ii. q este un divizor al coeficientului dominant, .

Demonstraţie: Fie f Z,X-, f + + + =0 , ≠ , cu rădăcina

, (p,q)=1.

Avem deci f(

)=0 sau (

) + +

+ =0, de unde prin înmulţire cu ,obţinem

+ + + + =0 (1).

i) Din egalitatea (1) avem ( . Rezultă

că p . Cum p şi q sunt prime între ele,vp şi sunt prime între ele şi deci

trebuie ca p să dividă pe .


59

ii) Analog din egalitatea (1) avem =( ), de unde

obţinem q| . Cum p şi q sunt prime între ele rezultă q .

Corolarul V.1.2 Dacă polinomul cu coeficienţi întregi f + + + are

rădăcină întreagă p, atunci p este divizor al termenului liber .

Vom introduce noţiunea de derivată a unui polinom pentru a enunţa un criteriu

important relativ la studiul rădăcinilor multiple ale unui polinom cu coeficienţi într-un corp

comutativ.

Se consideră K, un corp comutativ, şi K[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu

coeficienţi în K Fie funcţia d:K,X-→K[X], definită astfel:

Dacă a K, atunci d(a)=0, iar dacă f=∑

este polinom al cărui grad este ,

atunci d(f)= ∑

Conform definiţiei funcţiei d, avem că d( ) , pentru i şi deci

d( ) (i+j) ( ) + ( ) ( ) + ( )

Aceasta funcţie se numeşte derivare iar dacă f este un polinom, atunci d(f) se

numeşte derivata lui f şi se mai notează cu ( ). Prin recurenţă definim ( ) ( )( )

( )) pentru orice număr natural n şi se numeşte derivata de ordinul n a lui f. Pentru

n=0, ( ) ( )( )

Ţinând seamă de rezultatele anterioare , rezultă proprietăţile următoare:

1. d(fg)=fd(g)d(f)g,

2. d(f+g)=d(f)+d(g),

3. d(af)=ad(f), oricare ar fi f,g K,X- şi a K

Verificarea acestor proprietăţi se face cu uşurinţă prin calcul

Lema V.1.1 Fie K un corp comutativ, f un polinom nenul de grad n din K[X]. Dacă

K, atunci f se poate scrie sub forma

f= ∑ ( ) unde K, oricare ar fi i=0, ,n.

Mai mult, dacă carK , atunci această scriere este unică

Demonstraţie: Pentru a demonstra ecistenţa unei astfel de scrieri ,precedăm prin

inducţie după n gr(f) Pentru n=1, fie f= + , ≠ Avem f=( + )+ ( ) şi


60

deci luăm + K,X- şi K Să presupunem acum că afirmaţia este

adevărată pentru polinoamele de grad egal cu n- şi s-o demonstrăm pentru polinomul f,

de gradul n.

Fie polinomul h(X)=f(X)-f( ).Avem h( )=f( )-f( ) şi deci X h(X) Atunci există

polinomul g astfel încât

h(X)=(X- )g(X),

de unde f(X)-f( )= (X-)g(X ).

Deci f(X)=(X- )g+ , unde =f( ) K

Deoarece gr(g)=n-1, din ipoteza de inductivă g se scrie sub forma

g(X)= ∑ ( )

şi deci f (X- ) ∑ ( ) + = +∑ ( )

Notăm j+ i şi , pentru a obţine f +∑ ( ) =∑

( )

Această identitate f + ( ) + ( ) + + ( ) numeşte

dezvoltarea polinomului f după puterile lui X- .

Derivănd obţinem ( )( ) + 2 ( ) + + ( ) (2)⟹ ( )( )

Derivând (2) obţinem

( )( ) 2 + 2 ( ) + + ( ) ( )( ) 2 . Utilizând mai

departe acest procedeu găsim în general ( )( ) k , pentru k n

Ținand seama de aceste relații și poate =f( )) , identitatea (1) , se mai poate scrie sub

forma. Aceasta este polinomul lui Taylor de grad n.

În cazul in care carK , rezultă de aici că toți coeficienți , k n, sunt unic determinați

Aplicație: Fie f= -3 +X-2 Scrieți dezvoltarea acestui polinom dupa puterile lui

X-3.

Solutie: Coeficienți , , se calculeaza aplicând succesiv schema lui Horner.

1 -3 0 1 -2


61

3 1 0 0 1 1

3 1 3 9 28

3 1 6 27

3 1 9

Prin urmare f(X)=(X+1) +9(X-3) +27(X-3) +28(X-3)+1.

Coeficienții , , , se pot calcula și cu ajutorul polinomului lui Taylor.

Teorema V.1.4 Fie K un corp, f un polinom nenul din K[X], r un număr natural și

un element din K. Atunci

1. Dacă K este o rădacină multiplă de ordin r a lui f, rezultă f( )= ( )( )

( )( )

2. Daca carK=0 si f( ) ( )( ) ( )( )=0 iar ( )( ) ≠ , rezulta ca este

rădacina multiplă de ordin r a lui f

Demonstratie: Dacă gr(f) n, atunci, conform lemei precedente, f se scrie sub forma

F=∑ ( )

1. Dacă este rădăcina multiplă de ordin r, din formula precedentă , care conține

expresia lui f, rezultă și prin derivarea acestea membru cu membru

obținem succesiv , , 0 oricare ar fi i=0, ,r- și cum ( )( )

pentru orice i n, rezulta ( )( ), pentru orice i=0, ,r-1

2. Corpul K avand caracteristica zero ( )( ) =0, pentru orice i r-1 conform

lemei precedente rezultă =0, pentru orice i r-1. Deci (X- ) |f și

deoarece ( )( )≠ avem (X- ) . Prin urmare este rădăcină multiplă

de ordin r a lui f.

Aplicații

1. Fie polinomul f R,X-, f= -11 +42 +mX+n. Să se determine m și n astfel incat

polinomul să aibă o rădăcină triplă

Solutie: Dacă x este rădăcină triplă a lui f atunci f(x) ( )( ) ( )( ) și ( )( )≠

Avem ( )( ) 4 -33 +84x+m, ( )( )=12 -66x+84, ( )( )=24x-66.


62

Ecutația ( )( ) are rădăcinile 2 si 7 2, deci rădăcina triplă nu poate fi decat unul din

aceste numere. Nici unul din ele nu este rădăcină a ecuației ( )( ) .

a) Înlocuind x cu 2 , obtinem sistemul de ecuații ( )(2)=68+m=0,

f(2)=96+2m+n=0, cu soluția m=-68, n=40. În acest caz f= -11 +42 -

68X+40

b) Înlocuim x cu 7/2.Din ( )

obținem m -245 4 și n=343/16. Deci f= -

11 +42 -245/4 X+343/16.

2. Pentru a afla ordinul de multiplicitate al rădăcinii =2 polinomului f= -5 +7 -

2 +4X-8 Q[X] se poate folosi schema lui Horner :

2 1 -5 7 -2 4 8

2 1 -3 1 0 4 0

2 1 -1 -1 -2 0

2 1 1 1 0

2 1 3 5

Am obținut ca f ( +X+1)(X-2) deci ordinul de multiplicitate al rădăcinii =2

este 3.

Observatie V.1.5 Rădăcinile multiple ale unui polinom f sunt rădăcinile celui mai

mare divizor comun al polinoamelor f si ( )

Observatie V.1.6 Fiind dat un polinom cu coeficienți într-un corp K se poate ca el să

nu admită nici o rădăcină în K De exemplu, pentru K R și f= +1, polinomul f are

rădăcinile in corpul C, care este o extindere a lui R Vom arăta in continuare că această

proprietate se generalizează

Propozitia V1.4. Fie K un corp si f K,X- cu gr(f) Atunci există o extindere L a

corpului K in care f are cel putin o rădăcină

Demonstratie: Fie g un factor ireductibil al lui f. Daca gr(g)=1, atunci f are o rădăcină in K

În cazul contrar, vom construi o extindere L a lui K in care g are o rădăcină Considerăm

inelul factor L=K[X]/gK[X] al lui K[X] in raport cu idealul generat de g. Deoarece polinomul

g este ireductibil, rezulta că L este corp Dacă ∝ L, atunci ∝ h, unde h K,X- și ∝≠ , ceea ce


63

este echivalent cu h∉gK,X- Rezultă că h este relativ prim cu g, deci există polinoamele h’ și

g’, din K[X] astfel incat h’h+g’g, deoarece K[X] este inel euclidian. Urmează că h’h ,

deci clasa lui h’ in L este inversul lui ∝ Să observăm că clasa a lui X în L este o rădăcină a

lui g. Întradevar avem g( )= =0.

Propozitia V.1.5 Fie K un corp si f K,X-, cu gr(f) n Atunci exista o extindere L a

lui K in care f are n rădăcini (numărand fiecare rădăcină cu ordinul săau de multiplicitate)

Demonstratie: Inducție după n Dacă n , atunci f are o rădăcină în K , deci afirmatia

este dovedita in acest caz. Presupunem afirmatia adevărată pentru n- și o dovedim pentru

n. Din propoziția precedentă rezultă o extindere L’ a lui K astfel incat în L’ polinomul f are o

rădăcină a Deci in L’,X- polinomul f se descompune sub forma f=(X-a)f’, f L' [X]. Prin

ipoteza inductivă deoarece gr(f’) n-1, rezultă că exista o extindere L a lui L’ in care f’ are n-

rădăcini Atunci în L polinomul f are n rădăcini

Definitia V.1.3 Fie K L o extindere de corpuri Un element x L se numeşte element

algebric peste K dacă există un polinom nenul f K,X- astfel încât f(x) Un element din L

care nu este algebric peste K se numeşte element transcendent peste K Extinderea K L se

numeşte extindere algebrică dacă orice element din L este algebric peste K şi extindere

transcendentă în caz contrar.

Observatia V.1.7 Pentru orice extindere de corpuri K L un element x K este

algebric peste K deoarece este rădăcină a polinomului X-x din K,X- Dacă x L este un

element algebric peste K, atunci mulţimea M a polinoamelor nenule g K,X- cu proprietatea

că g(x) este nevidă Deci în mulţimea M există un polinom de grad minim Fie f un

polinom de grad minim din M si g M Aplicând teorema împărţirii cu rest se obtine g=fg+r,

unde q, r K,X- şi gr(r)<gr(f) Rezultă că r(x) şi cum f este polinomul de grad minim în M

se deduce că r 0, deci f divide pe g in K[X] Aşadar orice polinom nenul din K,X- care are pe

x ca rădăcină În particular, două polinoame nenule de grad minim care au ca rădăcină pe x

sunt asociate în divizibilitate, deci diferă printr-un factor nenul din K Rezultă că există un

polinom unitar(adică cu coeficientul monomului de grad maxim egal cu ) in K,X- de grad

minim care are pe x ca rădăcină Acest polinom se numeşte polinom minimal al lui x peste

K Dacă x K,X- atunci polinomul minimal al lui x peste K este X-x.

Propoziţia V 6 Fie K L o extindere de corpuri si x L un element algebric peste K,

atunci polinomul minimal al lui x peste K este ireductibil Reciproc , dacă x este rădăcină a

unui polinom f ireductibil din K[X], atunci f este asociat in divizibilitate cu polinomul

minimal al lui x.

Demonstraţie: Fie q polinomul minimal al lui x peste K Dacă q ar fi reductibil ar

exista două polinoame g,h K,X- cu grade strict mai mici decât gradul lui q astfel încât


64

q=gh. Deoarece g(x)h(x)=q(x)+0 rezultă sau g(x) sau h(x) , ceea ce contrazice faptul

că q este polinomul de grad minim care are pe x ca rădăcină Partea a doua a propoziţiei se

deduce din faptul că q divide in K,X- pe f conform celor demonstrate în alineatul care

precede propoziţia

Observaţia V 8 Polinomul minimal al unui element depinde , în mod esenţial , de corpul

peste care se consideră polinomul minimal Astfel dacă se consideră extinderea Q C ,

elementul √2 are ca polinomul minimal peste Q peste -2, iar dacă se consideră

extinderea R C , atunci polinomul minimal al lui √2 peste R este X- √2 Polinomul

minimal al lui √2 ( +i) 2 C peste Q este +1, iar peste R este -√2 X+

V TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ALGEBREI

Propoziţia V Fie K un corp Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) Orice polinom f K,X- cu gr(f) are cel puţin o rădăcină în K

b) Orice polinom f K,X- cu gr(f) n are n rădăcini în K

c) Orice polinom f K,X- cu gr(f) este produs de polinoame de gradul

d) Orice polinom ireductibil din K[X] este de gradul 1.

Demonstraţie:

a) b) rezultă prin inducţie după gr(f) n astfel :

Dacă n , afirmaţia b) este evidentă Dacă n , atunci din a) rezultă că f are o rădăcină

K

Atunci există g K,X- astfel încât f=(X- )g. Cum gradul lui g este n-1 din ipoteza

inductivă b) c) rezultă din propoziţia V.1.2.

c) d) este evidentă, iar d) a) rezultă din faptul că în K,X- orice polinom de grad se

divide cu un polinom ireductibil care, fiind de gradul întâi , are o rădăcină în K, deci

polinomul are o rădăcină în K

Definiţia V Un corp K care satisface una dintre condiţiile echivalente ale

propoziţiei precedente(deci le satisface pe toate), se numeşte corp algebric închis.


65

Din această definiţie rezultă că Q şi R nu sunt corpuri algebric închise deoarece polinomul

+ Q,X- nu are rădăcini în Q şi R Alte exemple de corpuri care nu sunt algebric închise

rezultă din următoarea propoziţie∶

Propoziţia V 2 Orice corp finit nu este algebric închis.

Demonstraţie: Fie K un corp finit Arătăm că există un polinom f în K[X], cu gr(f)

care nu are nici o rădăcină în K Fie 0,1, , , elementele lui K Atunci considerăm

polinomul f=X(X-1)(X- )....(X- )+ Avem gr(f) t+2 2 şi f(a) ≠ pentru orice a K

Deci f nu are nici o rădăcină în K

Teorema V.3.1 – Teorema fundamentală a algebrei Corpul numerelor complexe este

algebric închis.

Demonstraţie: Este suficient să arătăm că orice polinom f C,X-cu gr(f) are cel

puţin o rădăcină în C. Dacă gr(f) , afirmaţia este evidentă

Dacă gr(f) 2, de asemenea, se obţine o rădăcină a lui f în C cu ajutorul formulei de

rezolvare prin radicali Adică dacă f a +bX+c, cu a≠ , atunci x= √

este o

rădăcină a lui f în C. Pentru cazul în care gr(f)>2 vom proceda în modul următor.

Presupunem, mai întâi, că f R,X- Dacă gr(f) este impar, folosind faptul că

lim → ) f(x)f( x)< şi continuitatea funcţiei polinomiale asociate f∶R→R, se deduce că f are

o rădăcină în R Dacă gradul n al lui f este par, vom scrie n=2 n, unde n este număr impar

şi vom face o inducţie după s Când s , n este impar şi afirmaţia a fost dovedită mai sus .

Presupunem afirmaţia adevărată pentru s- şi o dovedim pentru s. Există o extindere K a

lui C în care f are n rădăcini , , . Pentru fiecare a R notăm + ( + )

pentru toţi i, j N, i<j n Considerăm polinomul =∏ ( ) care are evident

coeficienţi în K,X- şi gradul egal cu numărul elementelor din K. Coeficienţii polinomolui

sunt polinoame simetrice elementare de .

Mai mult, având în vedere expresiile lui , i j n, rezultă că aceşti coeficienţi, ca

polinoame de sunt simetrice, deoarece orice permutare a acestora are ca efect

schimbarea elementelor , i<j n, între ele Din teorema fundamentală a

polinoamelor simetrice deducem că are coeficienţi în R, căci coeficienţii lui sunt

polinoame cu coeficienţi reali de coeficienţi lui f. Deoarece gradul lui este m=

( )

2 (2 ) rezultă că 2 divide pe m si 2 nu divide m, deducem, din ipoteza

inductivă, că are o rădăcină în C. Întrucât mulţimea R este infinită, iar mulţimea

perechilor (i,j) cu i<j n este finită, rezultă că există indicii s, r, cu s<r n şi a,b R,

a≠b astfel încât şi

aparţin lui C.


66

Deci

( )( + ) C, adică + C Obţinem apoi că = -a( +

) C

Urmează că şi sunt rădăcini ale unui polinom de grad 2 cu coeficienţi în C Până acum

am arătat că orice polinom cu coeficienţi reali are o rădăcină complexă

Fie acum f C,X- Notăm polinom obţinut din f luând conjugatul fiecărui coeficient al lui f.

Adică dacă f=∑ , C, i=o, ,n. Notând cu conjugatul unui număr complex a,

obţinem = ∑ ,

Se deduce imediat că polinomul produs f are coeficienţi în R

deoarece f = f=f . Rezultă că f are o rădăcină a C Deci f (a)=f(a) (a)=0, de unde

deducem că f(a) se obţine că 0= (a)=f( ), deci este o rădăcină a lui f Prin urmare, f

are o rădăcină în C.

Observaţia V Din teorema fundamentală a algebrei şi teorema lui Bezout

rezultă că un polinom cu coeficienţi complecşi este ireductibil în C,X- dacă şi numai dacă,

este de gradul întâi.

V 4 ECUAŢII ALGEBRICE

Ecuaţiile algebrice sunt folosite în diverse domenii ale ştiinţei, afaceri, medicină,

psihologie, sociologie, etc.

De exemplu, dacă un automobilist parcurge 490 km în 8 ore, mergând cu 55 km h şi

cu 65 km/h pentru a afla cât timp a condus cu 55 km/h şi cât timp a condus cu 65 km/h

trebuie în primul rând rezolvată ecuaţia x/55+(490-x)/65-8=0 unde x este numărul de km

parcurşi cu 55 km/h.

Definiţia V 4 Fie K un corp şi f K,X- un polinom de gradul n O rădăcină a

polinomului f dintr-o extindere a lui K se numeşte soluţie( sau rădăcină) a ecuaţiei asociate

f(x)=0.

Pentru simplificarea limbajului vom numi, în continuare, o astfel de ecuaţie, ecuaţia

algebrică

Încă din antichitate, matematicienii ştiau să determine rădăcinile ecuaţiilor de

gradul I şi gradul II


67

Pentru ecuaţia algebrică de gradul al doilea de forma +bx+c=0 unde a,b,c R,

a≠ , soluţiile se determină cu ajutorul formulei∶ , ( ± √ 4 )/2a Această

formulă rămâne valabilă şi în cazul în care a,b,c C Prin √ 4 înţelege o rădăcină

oarecare a ecuaţiei -( -4ac)=0, într-o eventuală extindere a lui K.

S-a încercat exprimarea soluţiilor oricărei ecuaţii algebrice ca funcţii raţionale de

soluţii ale unor ecuaţii de forma -a=0, a K, a≠

In secolul trecut s-a aratat, datorita teoriei lui Galois, ca aceasta problema nu are

intotdeauna solutie, adica exista ecuatii algebrice a caror solutii nu se pot exprima ca functii

rationale de radicali.

Mai mult pentru un corp dat, teoria lui Galois ofera conditii necesare si suficiente ca

o ecuatie algebrica sa posede numai solutii care se scriu ca functii rationale de radicali. Din

aceasta teorie se deduce ca ecuatiile algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 sunt

intotdeauna rezolvate prin radicali.

Inconvenientul formulelor pentru ecuatiile de gradele 3 si 4 consta in aceea ca sunt

foarte complicate si nu au nicio utilizare practica. Abel-Ruffini a demonstrat ca pentru

ecuatia generala de grad mai mare sau egal cu 5 nu se pot da formule pentru

determinarea radacinilor prin radicali

Exista insa anumite categorii de ecuatii de grad mai mare sau egal cu 3 care pot fi

rezolvate, dintre care mentionam: ecuatiile binome, ecuatiile trinome si ecuatiile reciproce.

Ecuatii binome. Forma ecuatiilor binome este: a +b=0, a, b C, a≠ , n N, n 2

Rezolvarea in C a unei ecuatii binome, revine la determinarea radacinilor de ordinul n ale

numarului -b/a, scris sub forma trigonometrica.

Ecuatii trinome. O ecuatie de forma: + +c=0,unde n N* a,b,c C, a≠ se numeste

ecuatie trinoma.

Introducand necunoscuta auxiliara =y, obtinem ecuatia de gradul doi a +by+c=0 cu

radacinile (-b+√ 4 )/2a si =(-b-√ 4 ) 2

Deci rezolvarea unei ecuatii trinome se reduce la rezolvarea a doua ecuatii binome

In cazul n=2 obtinem a +b +c=0, numita ecuatie bipatrata.

Ecuatii reciproce. O ecuatie de forma + + + + + , (an≠ )

avand proprietatea , oricare ar fi k * , n+, se numeste ecuatie reciproca de

gradul n.


68

Proprietatile ecuatiilor reciproce de gradul n:

1) Daca ecuatie reciproca are radacina α, atunci ea are si radacina α

Intr-adevar, daca f(x)= + + + + + =0 este o ecuatie

reciproca avand radacina atunci + + + + + 0. Cum α≠

(in caz contrar, ar rezulta =0 si deci =0) putem sa impartim cu si obtinem relatia

+ (

) + + .

/

+ (

) + (

) =0. Tinand cont ca oricare

ar fi k * , n+ obtinem (

) + (

) + + (

) + (

) + =0 si deci α

este de asemenea radacina.

2) Orice ecuatie reciproca de grad impar are radacina x=-1.

Intr-adevar fie f(x)= , o ecuatie reciproca de grad impar n=2p+1. Inlocuind x=-1,

obtinem in membrul stang numarul

f(-1)= ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) +....+ ( ) +

+ + + ( ) + ( ) + + ( ) + Cum ,

, , , atunci gupand termenul egal departati de extreme obtinem

f(-1)=( ) + ( ) + + ( ) ( )=0. Rezulta ca x=-1 este

radacina pentru ecuatia reciproca de grad major impar.

3) Orice ecuatie reciproca de grad impar f(x)= + +...+ + ,

se reduce la rezovarea ecuatiei x+1=0 si a unei ecuatii reciproce de grad par

g(x)= + + + + =0.

Intr-adevar din 2) ecuatia f(x)=0 are radacina x=-1. Conform teoremei lui Bezout putem

scrie f(x)=(x+1)g(x). Presupunem ca g(x)= + + + +

Deci + +...+ + ( + )( + + + + ) ,

de unde obtinem ,

+ , +

+ , +

Cum , oricare ar fi k( k 2p+ ) obtinem din primele egalitati . Cum

+ + obtinem . Din urmatoarele egalitati obtinem ca

.


69

Procedand la fel, din egalitatile urmatoare deduce in final ca oricare ar fi

k 2p

Deci ecuatia + + + + este reciproca.

Ecuatii reciproce de gradul III. Forma generala a ecuatiei reciproce de gradul 3 este:

+ +bx+a (a≠ )

Aceasta ecuatie are radacina x=-1. Atunci putem sa scriem (x+1)[ +(b-a)x+a]=0.

Ecuatia (1) admite radacinile date de ecuatia +(b-a)x+a=0.

Exemplu: Sa rezolvam ecuatia2 + +3x+2=0. Aceasta ecuatie este o ecuatie reciproca

de gradul III. Ea se scrie (x+1)(2 +x+2)=0 care are radacinile , care sunt

radacinile ecuatiei 2 + +2=0, adica √

, =

√

.

Ecuatii reciproce de gradul IV. Forma generala e ecuatie reciproce de gradul 4 este:

+ + +bx+a , (a≠ )

Cum a≠ , ecuatia (1) nu admite ca radacina pe x=0. In (1) impartim cu si obtinem

ecuatia +bx+c+b/x+a/ =0 sau grupand termenii in mod convenabil avem:

+ + +

+

=0.

Facem substituţia y x+

. Cum +

= 2 obţinem ecuaţia în y∶

a( -2)+by+c=0 sau (2) +by+c-2a=0

Ecuaţia (2) se numeşte rezolvanta ecuaţiei (1).

Dacă , sunt rădăcinile ecuaţiei (2) atunci obţinem două ecuaţii∶

x+

= şi x+

= sau (3) x+ şi (4) x+1=0.

Dacă sunt rădăcinile ecuaţiei ( ) şi sunt rădăcinile ecuaţiei (4) atunci

sunt rădăcinile ecuaţiei ( )

Exemplu Să se rezolve ecuaţia + + 2 +x+3=0

Această ecuaţie este o ecuaţie de gradul IV Împarţim cu şi obţinem∶


70

+ + 2 +

+

⇔ ( +

) + ( +

)+2=0

Notăm cu y x+

. Cum +

= -2 obţinem ecuaţia∶

3( -2)+y+2 ⇔ +y-4 care are rădăcinile şi =-

.

Avem ecuaţiile ∶ x+

şi x+

=-

.

Se obţin rădăcinile , ( ±i√ ) 2 şi x_ ,4 (-2±i√5)

Observaţia V 4 Orice ecuaţie reciprocă de gradul n 2p se reduce, folosind aceeaşi

substituţie şi binomul lui Newton, la rezolvarea unei ecuaţii de gradul p şi a p ecuaţii de

gradul II.

Observaţia V 4 2 Alte metode care pot fi folosite în rezolvarea ecuaţiilor sunt∶

descompunerea în factori, folosirea unor relaţii suplimentare relativ la soluţii şi metoda

grafică

Metoda grafică

Folosind graficul funcţiei polinomiale se pot găsi soluţiile ecuaţiei asociate. De exemplu

pentru a rezolva ecuaţia ( ) -14( -x)+24=0, folosim calculatorul pentru a

reprezenta graficul funcţiei f(x)= ( ) -14( -x)+24

60

50

40

30

20

10

0

-4 -2 -10 2 4 6

-20


71

Se observă pe grafic că soluţiile sunt -3 ,-1, 2 şi 4 De asemenea graficul se poate folosi

pentru verificarea rapidă a soluţiei algebrice.

În matematică, ca şi în alte domenii, există numeroase probleme a căror rezolvare

revine la rezolvarea unei ecuaţii algebrice Cu ajutorul calculatorului putem rezolva

ecuaţiile, aplicând metoda de rezolvare prin încercări atunci când este vorba de soluţii în

numere întregi, şi diferite metode de aproximări succesive atunci când este vorba de soluţii

în numere raţionale

Exemple :

1) Arătaţi că funcţia f∶R→R, f(x)= + -7x+6 este surjectivă şi nu este injectivă

Se observă că pentru orice y R, ecuaţia f(x) y sau + -7x+6-y=0, are cel puţin o

rădăcină reală, fiind o ecuaţie de grad impar cu coeficenţi reali Rezultă că f este surjectivă

Avem f(x)=x( +x-7)+6, unde ecuaţia +x-7 are două rădăcini reale distincte

R, astfel încât ≠ şi f( )=f( ), ceea ce înseamnă că f nu este injectivă

2) Arătaţi că pentru orice a (-1,1) există x R, x>0, astfel încât numerele 1+ , 1+x şi

+x să fie în progresie geometrică

Într-adevăr avem (1+ ) =(1+ )( +x)⇔ + ( -1)-x+( -1)=0 care are cel puţin

o soluţie reala , fiind o ecuaţie de grad impar.

Avem =- +1>0 deci şi >0, sau < şi <0.

Dacă < , rezultă sunt numere reale (dacă ar fi complexe, ar trebui să fie

conjugate şi am avea >0 ). Deci < şi R, atunci >0 sau >0.


72

CAPITOLUL VI

CONSIDERAŢII METODICE

Matematica este o ştiinţă a realităţii; obiectivul ei final este o mai adâncă

cunoaştere şi stăpânire a naturii. Ea este o ştiinţă mai abstractă decât celelalte dintre toate

însuşirile materiei le studiază pe cele mai generale Ca metodă, matematica este o ştiinţă, în

cea mai mare parte deductivă Din această cauză, nu orice adevăr matematic are o aplicaţie

practică directă

Sunt adevăruri matematice al căror prim rol este acela de inel al lanţului logic Nu

înseamnă că ele sunt inutile; ele sunt utile, însă nu direct, ci prin aceea că servesc

fundamentarii altor adevăruri–acestea de utilitate directă Punctele de plecare şi punctele

de sosire ale matematicii sunt, fără îndoială, în realitate.

Matematica nu este un joc pur al abstracţiilor Abstracţiile sunt utile prin aceea că

dau un orizont mai larg, aspecte mai generale, calităţi esenţiale, cu condiţia să nu se rupă

legătura cu materialul faptic din care au luat naştere Dacă nu orice adevăr matematic

parţial are aplicaţie directă, oricare din ele are un folos şi un rost Şi problema principală

este tocmai să facem pe elevi să vadă şi să simtă acest rost, pentru ca ei să muncească

conştienţi de scop, deci cu interes.

Pe langă mobilul principal care constă în cunoaşterea folosului practic, mai general a

rostului viu al fiecărei probleme, nu trebuie să neglijăm alte mobiluri sufleteşti care apar în

mod natural în cursul muncii de cercetare a ştiinţei: dragostea de adevăr, plăcerea gândirii

creatoare, tendinţa de perfecţionare a gândirii sau a voinţei

VI.1 PRINCIPIILE DIDACTICII ŞI VALORIFICAREA LOR ÎN ÎNVĂŢĂMÂNTUL

MATEMATIC

Principiile didactice sunt teze teoretico-practice generale care exprimă concepţia de

bază asupra învăţământului matematicii, altfel spus normele generale care direcţionează

activitatea didactică Matematica, ca şi celelalte obiecte de învăţământ, prezintă o structură

conceptuală de bază, respectiv un nucleu de noţiuni în jurul cărora gravitează toate

celelalte Activitatea de predare învăţare trebuie să pornească de la această realitate pentru

a contura la elev o viziune de ansamblu asupra lumii înconjuratoare.


73

Principiile au un caracter de sistem. Tratarea lor izolată este justificată doar de

necesitatea expunerii Ele trebuie să acţioneze împreună

1. Principiul caracterului ştiinţific al învăţământului matematic

În primul rând, acest principiu este asigurat de corectitudinea informaţiilor extrase

din matematică Aceste informaţii parvin prioritar prin manuale şi, în general, nu sunt

afectate de erori periodice.

În al doilea rând, caracterul ştiinţific al predării matematicii este asigurat de nivelul

de rigoare adoptat(desigur, corelat cu gradul de accesibilitate) Marcăm aici faptul că

accesibilitatea afectează, de regulă, doar rigoarea argumentării şi nu pe cea a definiţiilor

sau teoremelor.

În al treilea rând, argumentăm principiul este validat de însuşirea treptată, dar

conştientă, a metodelor şi limbajului ,,matematicii ştiinţă,,

În al patrulea rând, argumentăm principiul prin existenţa unor sisteme de evaluare

precisă, în cadrul cărora subiectivitatea şi şansa sunt sunt reduse la minimum.

Este de la sine înţeles că acest principiu nu restrânge creativitatea predării,

învăţării, evaluării sau a elevului, ci le potenţează suplimentar.

2. Principiul participării conştiente şi active a elevilor în activitatea predării-învăţării-

evaluării

Esenţa acestui principiu se exprimă în considerarea elevului ca subiect al propriului

proces de devenire, de asimilare a celor transmise şi de formare a personalităţii sale

Exprimă cerinţa ca însuşire cunoştinţelor de elevi să se facă într-un proces activ de

prelucrare a acestora, prin efort propriu, pentru a ajunge la sesizarea trăsăturilor esenţiale

şi înţelegerea lor Deşi nici un om al şcolii nu susţine învăţarea fără înţelegere, totuşi în

practică, mai ales în cazul matematicii, fenomenul este destul de răspândit Cerinţele

acestui principiu se manifestă în:

Întelegerea conţinutului materiei de învăţământ

Stimularea activităţii elevului în toate etapele învăţării

Dezvoltarea la elevi a conştientizării participării lor la propria instruire.


74

Prima treaptă a conştientizării constă în înţelegere segmentului materie prevăzut în

lecţia sau fragmentul de lecţie Se ştie că exemplificările au un mare rol cognitiv. Un

exemplu, un desen poate să lumineze o întreagă etapă de cunoaştere.

Ce nu se inţelege? Se spune ca demonstraţiile Poate ca defecţiunea constă in necunoaşterea

semnificaţiilor unor teoreme, iar neputinţa de a sesiza demonstraţia in intregime se

datorează numărului prea mare al paşilor Încercând să se refacă mersul istoric de

dezvoltare a cunoşinţelor de matematică, elevul trebuie pus in faţa acelei situaţii

interogative, a cărei rezolvare a condus la introducerea unei noţiuni, procedeu, metodă de

reyolvare sau teoreme. În sub diferite forme: întreruperea expunerii prin dialog,

descoperirea făcuta de către elevi sub dirijarea profesorului, ilustrările, exemplificările,

comentariile, întrebarile venite din partea elevilor. Pentru a putea vorbi de o activizare

autentică, participarea la activitatea de predare, să i se cultive curiozitatea intelecutală,

dorinţa de succes, interesele si aspiraţiile, voinţa de a cunoaşte, de a şti Coparticiparea

elevului la propria instruire reprezintă soluţia multor deficienţe

3. Principiul caracterului intuitiv al învăţământului

Esenţa acestui principiu exprimă cerinţa de a asigura o bază perceptivă,

concretsenzorială învăţării, cerinţă potrivit căreia actul cunoaşterii realizate de elevi

trebuie să se bazeze pe contactul nemijlocit cu realitatea obiectivă, pe activitatea directă a

elevului cu obiectele şi fenomenele Evidenţiază necesitatea uniăţii dintre intuitiv şi logic,

sezorial şi raţional concret şi abstract, prin asigurarea unui substrat concret, intuitiv

învăţării

Se afirmă că un mare matematician demonstrează numai lucrurile despre care este

convins că sunt adevărate, subliniindu-se astfel rolul intuiţiei la cel mai înalt nivel de

creaţie, deci cu atât mai mult este de aşteptat ca ea să aibă un rol în învaţarea matematicii

la orice vârsta. Descoperirea pur logică a adevărurilor matematice este un fapt destul de

rar. Este adevărat că paşii unei demonstraţii sunt silogisme logice dar orientarea,

selecţionarea din multitudinea de implicaţii posibile a aceleia care conduce către un

rezultat semnificativ, se datoreaza intuiţiei

În baza experienţei şi cunoştinţelor anterioare, o propoziţie abstract devine mai

concretă pe baza unui model convenabil ales.

Deşi nu se încadreaza în principiul intuiţiei (aşa cum apare acesta în didactica

general) o foarte important faţetă a acestui princiupiu în metodica predarii matematicii

constă în analiza raporturilor între general şi particular


75

Dupa cum spunea Montaigne: „Adevărul este un lucru atât de mare, încât nu trebuie

să dispreţuim nici unul dintre mijloacele ce ne pot conduce la el De aceea dacă sufletul vă

îndeamnă să fiţi un pic poetic sau un pic vulgar în clasă, nu vă lăsaţi împiedicatţi de o jenă

nejustificată” O anumită libertate de limbaj pentru care pledăm, nu se referă la definiţiile şi

teoremele prezentate de profesor, ci la comentariile sale explicative sau stimulative.

Atitudinea pe care trebuie să o aibă profesorul de matematică faţă de acest principiu

se poate exprima simplu în felul următor: intuiţia trebuie să participe la toate etapele şi

toate vârstele învăţării matematicii.

4. Principiul sistematizării şi continuităţii în învăţare

Exprimă, în esenţă, cerinţa conform căreia atât conţinutul a ceea ce învăţa elevul,cât

şi modalităţile de organizare a activităţii să se desfăşoare într-o succesiune logică, dupa un

sistem care să asigure un progres continuu.

Potrivit acestui principiu toate informaţiile ce se transmit elevilor trebuie să fie

organizate şi programate astfel să se integreze în experienţa anterioară a acestora

Acest principiu este condiţionat de:

a) Logica internă a matematicii;

b) Structura organizată a învăţământului

c) Corelarea cu celelalte obiecte de studiu;

d) Structura şi evoluţia psihologică a elevilor

Logica internă a matematicii este determinată de caracterul său deductiv În

principiu, orice afirmaţie nouă se bazează pe cele acceptate sau cele deja demonstrate

Acesta face să apară segmentul: noţiunii–definiţii matematice–demonstraţii Dar însăşi

matemica-ştiinţa se separă în teorie şi aplicaţii deci cu atât mai mult în învăţarea

matematicii trebuie să accentuăm ponderea problemelor care apar de obicei dupa teorie,

astfel încât mai avem segmentul: teorie–probleme Motivaţia învăţării, principiul intuiţiei şi

însăşi calea istorică a dezvoltării matematicii pun in evidenţă unele probleme care au

provocat apariţia teoriei deci putem cosnidera şi lanţul: probleme introductive–teorie–

aplicaţii

Aplicând principiul socratic al conversaţiei euristice în forma sa „absolută”,

profesorul poate obţine de la elev orice rezultat prin întrebări bine alese (şi cât mai

fragmentate). Sistematizarea vizează desfăşurarea ordonată logic şi pedagogic a

conţinuturilor, ordonarea capitolelor si paragrafelor, succesiunea ideilor şi argumentelor


76

Continuitatea se referă la un ritm de receptare, asimilare şi fixare a cunoştinţelor

permiţând evaluări, controale şi reglări

Sistematizarea şi continuitatea se condiţionează reciproc, una fiind nerealizabilă în

absenţa celeilalte Aceste principiu trebuie să se manifeste zi cu zi în activitatea de la

catedră Planificarea calendaristică este o formă de materializare a lui Pregătind apoi

succesiv grupuri de lecţii, profesorul îşi detaliază planificarea iniţială respectând acelaşi

principiu.

Modul de organizare a învăţământului poate fi: liniar sau ciclic (în spirală)

Organizarea matematicii la noi este considerată ca fiind de al dolea tip, ceea ce dă

posibilitatea unor completări succesive atât în conţinut cât şi în puncte de vedere,

evoluând, aşa cum e normal, spre nivelurile tot mai înalte de abstractizare şi rigoare

5. Principiul integrării teoriei cu practica

Exprimă, în esenţă, cerinţa ca ceea ce se însuşeşte în procesul de învăţământ să fie

valorificat în activităţile ulterioare, fie că acestea sunt activităţi de învăţare, fie că sunt

activităţi materiale, productive Are în vedere că ceea ce se învaţă din perspectiva unei

aplicaţii concrete,imediate sau de perspectivă este susţinut de o motivaţie mai puternică şi

se însuşeşte mai temeinic

Necesitatea acestui principiu rezultă din unitatea indisolubilă care se stabileşte între

teorie şi practică în procesul cunoaşterii, precum şi din finalităţile acţiunii educaţionale În

cazul în care finalitatea învăţării nu se poate realiza imediat, elevii trebuie conştientizaţi de

importanţa pracitcă a unor cunoştinţe în contexte cât mai variate În felul acesta pracitca,

experienţa de învăţare intervin ca elemente importante în constituirea cunoaşterii

personale, prevenind teoretizarea excesivă şi formalismul

La matematică, problemele sunt distinse drept „practică˝ în raport cu teoria

Exemple: a) În x zile fabrica de becuri produce 3x - x+ becuri Dacă 2 -

2t becuri sunt defecte, găsiţi formula pentru numărul de becuri bune produse in x zile

Găsiţi numărul becurilor produse in 4 zile

a. Formula y = 0,036 - 2,8x + 58, 4 modelează numărul z al morţilor pe an la

de oameni, pentru oameni care au x ani, cu 4 x 6 Aproximaţi

câţi oameni la mie, care au 5 ani, mor în fiecare an?

Pentru aceasta se va inlocui x cu 5 , obţinându-se y = 8,14, deci aproximativ 8 oameni la

mie, care au 50 de ani, mor în fiecare an.


77

Matematica devine interesantă prin înfăţişarea legăturii cu practica a chestiunilor de

matematică ori de câte ori este posibil şi prin arătarea rostului acelor teme care nu sunt

legate direct şi imediat de practică Ori de câte ori profesorul are prilejul să arate latura

practică a unei chestiuni matematice, el trebuie să o facă şi aceasta cu dublu scop:

Pentru aspectul direct al chestiunii, pentru ca elevii să devină oameni utili care şiu

să aplice, să folosească ceea ce au învăţat şi pentru că lucrurile sunt cu adevărat şi complet

înţelese numai dacă pot fi aplicate

Pentru aspectul psihologic al chestiunii, pentru că în acest fel interesul pentru

matematica devine viu şi deci munca rodnică

Tocmai de aceea, profesorul de matematică trebuie să aibă pe lângă orizontul

ştiinţific larg si un orizont filosofic şi unul psihologic

6. Principiul accesibilităţii şi luării în considerare a particularităţilor de vârstă şi

individuale ale elevilor

Exprima în esenţă cerinţa ca procesul de învăţământ să se desfăşoare în concordanţă cu

nivelul dezvoltării ontogenice a elevilor şi tot odată să o stimuleze

După precizarea programei analitice, principiul accesibilităţii impune profesorului:

alegeri de metode şi procedee didactice, sinteza logică a itemilor, dezvoltării de motivaţii

specifice, selecţii de probleme semnificative şi adaptării de criterii de evaluare

După ce profesorul şi-a proiectat şi realizat lecţiile la nivelul de accesibilitate sperat,

problema accesibilităţii se transferă fiecărui elev şi, fără a nega existenţa a divere grade de

dificultate, se poate presupune că se realizează o învăţare conştientă, activă şi durabilă

Intervine în discuţie şi faptul grupul de elevi (clasa) nu este omogen (în raport cu

diverse criterii posibile), iar strategiile didactice trebuie alese de profesor pentru a fi

eficiente în procent maximal Aceasta înseamnă că predarea-învăţarea-evaluarea trebuie să

fie adecvată la modul individual Desigur că o serie de parametri ai predării-învăţării-

evaluării au caracter unitar şi nu pot fi individualizaţi, dar există şi alţii (de exemplu

evaluarea) ce se pot diferenţia Apare astfel datoria profesorului de a lua în considerarea o

mare varietate de date individuale spre a adapta poziţia faţă de fiecare elev

O modalitate eficientă de individualizare o reprezintă utilizarea fişelor de muncă

independentă: fişe de recuperare (pentru elevii ce rămân în urmă şa învăţătura), fişe de

dezvoltare pentru elevii buni şi foarte buni), fişe de exersare (pentru formarea de principii

şi deprinderi) fişe de autoinstruire (pentru însuşirea metodelor şi tehnicilor de învăţare)


78

Tot mai frecvent se apelează, mai ales în cazul orelor de verificare şi aplicaţii, la

împărţirea clasei în grupe care pot fi omogene, de obicei, de trei niveluri, dar pot fi şi

neomogene.

O cerinţă a principiului îndeamnă pe profesor să se implice mai mult în organizarea

activităţii elevului în afara clasei: teme diferenţiate pentru acasă, elabolarea unor materiale

(referate, proiecte, recenzii), confecţionarea unor planşe, corpuri geometrice etc

7. Principiul însuşirii temeinice a cunoaştinţelor priceperilor şi deprinderilor

Exprimă în esenţă cerinţa potrivit căreia cunoştinţelor priceperile şi deprinderile pe

care le gândesc elevii în şcoală să fie astfel însuşite încât să dureze în timp pentru a putea fi

analizate si utilizate atunci când sunt necesare Orientează activitatea cadrelor didactice

asupra calităţii rezultatelor învăţării în sensul trăiniciei şi durabilităţii acestora

Dintre cele mai frecvente activităţi ale profesorului, orientate spre asigurarea

temeiniciei cunoştinţelor acumulate, recomandăm:

- Recapitulări îmbogăţite;

- Prezentări de noi criterii logice şi scheme de organizare a cunoştinţelor;

- Evaluări în concepţii variate;

- Reîmprospătări şi consolidări

În general nu se poate vorbi despre o însuşire temeinică a unei teme chiar în ora de

predare, temeinicia necesitând consolidări, sedimentări şi restructurări

În analiza temeiniciei cunoaşterii unei teme funcţionează comparaţia cu lanţul ce

are tăria celei mai slabe verigi ale sale

Temeinicia învăţării se opune superficialităţii, învăţării în salturi sau cu lacune şi

învăţării formale, ultima fiind relativ frecvent depistată la matematică

Pentru a asigura temeinicia pregătirii elevilor trebuie să se respecte toate celelalte

principii didactice.

8. Principiul conexiunii inverse în procesul de învăţământ

Exprimă cerinţa analizei şi îmbunătăţirii activităţii instructiv-educative şi a

rezultatelor ei, în funcţie de informaţiile primite asupra rezultatelor anterioare Impune ca

efectele acţiunii educative să se raporteze permanent la cauze, urmând ca demersul


79

instructiv-educativ să fie regândit în raport cu datele oferite prin conexiunea inversă şi a

efectele pe care le urmăreşte Are rolul de a ţine permanent sub supraveghere evoluţia

procesului de învăţământ, menţinând-o pe direcţia maximilizării efectelor pozitive şi

minimalizării celor negative

Principiul conexiunii inverse impune ca principală cerinţă exercitarea unui control

operativ sistematic asupra rezultatelor şi proceselor care au condus la aceste rezultate şi

valorificarea informaţiilor în scopul reglării şi autoreglării procesului de învăţământ îm

vederea unei optime funcţionalităţi

Se folosesc în acest scop observaţiile curente, chestionările orale, probele de

evaluare de diferite tipuri Acestea trebuie să-l conştientizeze pe elev cu privire la nivelul

de pregătire atins, să-l ajute să depisteze lacunele, să-l motiveze pentru continuarea

eforturilor de învăţare

Aici evalurea nu trebuie gândită stricto-sensu; majoritatea profesorilor simt chiar în

timpul predării efective „fluxul” care îi informează despre receptivitatea elevilor În raport

cu planificarea anterioară, fiecare informaţie primită de la clasă permite o adaptare mai

eficientă a demersului instructiv-educativ Controlul temei de acasă constituie un alt

element important de reglare. Concomintent, el poate şi trebuie să-i stimuleze pe elevi să se

autoevalueze şi, pe această bază, să corecteze şi să amelioreze cunoştinţele dobândite

Pentru profesorii şi elevii buni, aceste feed-back-uri capătă caracter de continuitate

VI.2 STABILIREA OBIECTIVELOR

Lucrarea de faţă a fost concepută ca o demonstraţie a unităţii profunde care exista

între aritmetică, polinoame şi structuri algebrice În procesul de modernizare a

învăţământului matematic, teoria numerelor şi structurile reprezintă cadrul natural

indispensabil abordării problemelor de matematică, făcând posibilă tratarea în mod unitar

şi sistematic a matematicii în liceu, evidenţiindu-se unitatea internă a matematicii

Metodica îşi are rădăcinile în grecescul „methodos” care înseamnă „drum” deci ea

este cea care conturează drumul pe care trebuie să-l urmeze profesorul pentru atingerea

obiectivelor.

Primele documente de lucru ale profesorului sunt programa şi manualul Profesorul

trebuie să formuleze competenţele specifice pentru clasele a IX-a–a XII-a(se vor scrie în

planificarea anuală), apoi obiectivele operaţionale sau concrete pentru fiecare lecţie (se vor

scrie în rapoarte de lecţie)


80

În general competenţele se definesc ca ansambluri structurate de cunoştinţe şi

deprinderi dobândite prin învăţare Ele permit identificarea şi rezolvarea unor probleme

specifice în contexte diverse.

Competenţele generale au rolul de a orienta demersul didactic pe întreg parcursul

disciplinei şi de a da seama asupra achiziţiilor finale ale elevului în urma studierii

disciplinei în cauză

Competenţele specifice se formează pe durata unui an de studiu şi sunt deduse din

competenţele generale, fiind etape în dobândirea acestora Competenţelor specifice le

corespund anuminte conţinuturi

Competeţele generale şi specifice au fost stabilite în ultimii ani de minister, de aceea

se întâlnesc in aceeaşi formă în planificările tuturor profesorilor, dar ele trebuie să reflecte

şi particularităţile intelectuale ale grupului de elevi

Competenţe generale:

- Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de

aplicare;

- Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în

enunţuri matematice

- Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu

diferite grade de dificultate;

- Exprimarea şi redactarea corectă şi incorectă în limbaj formal sau în limbaj

cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme

- Analiza unei situaţii problematice şi determinarea ipotezelor necesare pentru

obţinerea concluziei

- Generalizarea unor propietăţi prin modificarea contextului iniţial de definire a

problemei sau prin îmbunătaţirea sau generalizarea algoritmilor

Competenţe specifice:

- Utilizarea terminologiei corespunzătoare noţiunii de polinom şi a unor

caracteristici ale acestuia;


81

- Întreruperea soluţiilor unor ecuaţii polinominale în rezolvarea de probleme

practice;

- Aplicarea calculului polinomial în rezolvarea unor ecuaţii algebrice

- Traspunerea în limbajul ecuaţiilor polinomiale a unor situaţii concrete;

- Determinarea unor polinoame sau ecuaţii polinomiale care satisfac anumite

condiţii preizate

- Aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor în

calculul cu ponoame;

- Compararea proprietăţilor operaţiilor cu numere reale, respective complexe şi

aplicarea acestor proprietăţi în rezolvarea ecuaţiilor

Obiectivele operationale ce se pot formula pentru o lecţie diferă de la un profesor la altul,

ceea ce face ca mulţimea lor să fie considerabilă Un grup de specialişti condus de Benjamin

Bloom a propus o împărţire a obiectivelor operaţionale în trei domenii:

Cognitiv (vizează cunoştinţele şi aptitudinile intelectuale )

Afectiv ( vizează sentimentele, motivaţiile, interesele, atitudinile, valorile )

Psihomotor (vizează aptitudinile manuale şi senzoriale)

După B Bloom domeniul cognitiv se referă la următoarele clase de comportamente:

Însuşirea cunoştinţelor: cunoaşterea terminologiei, particularităţilor, convenţiilor,

criteriilor, principiilor, metodelor pentru formularea cărora se pot folosi următoarele

verbe: a define, a distinge, a identifica, a recunoaşte, a dobândi şi următoarele complemente

directe: termeni, terminologie, semnificaţie, date, proprietăţi, reguli, mijloace, clasificări,

tehnici;

Întelegerea elementară a cunoştinţelor transpunerea, interpretarea, extrapolarea

folosind următoarele verbe: a traduce, a exprima în propriile cuvinte, a reprezenta, a

redefine, a distinge, a ilustra, a interpreta, a rearanja, a stabili, a determina, a extinde, a

completa şi următoarele complemente: definiţie, semnificaţie, concluzii, metode,

consecinţe, efecte

Aplicarea cunoştinţelor ce se poate descrie cu ajutorul verbelor: a aplica, a utiluza, a

generaliza, alege, a stabili legături, a dezvolta, a organiza, a clsifica şi cu ajutorul

complementelor: principii, concluzii, metode, situaţii, fenomene, procese


82

Analiza cunoştinţelor: determinarea elementelor componente, a principiilor şi

relaţiilor folosind verbele: a distinge, a identifica, a compara, a deduce, a analiza, a

recunoaşte şi complementele : elemente, ipoteze, concluzii, argumente, relaţii, teme, idei,

scopuri;

Sinteza cunoştinţelor: îmbinarea elementelor component determinate în urma

analizei în scopul elaborării unor soluţii, strategii, algoritmi, relaţii folosind verbele: a

constitui, a modifica, a propune, a planifica, a proiecta, a deriva, a combina, a formula, a

sintetiza, a dezvolta şi complementele: structură, model, soluţie, schemă

Daca prima clasă se referă la însuşirea şi redarea informaţiilor transmise prin

cunoştinţe ( şi este cel mai bine surprinsă de majoritatea profesorilor), a doua se referă la

deprinderi intelectuale adică modalităţile de operare cu informaţia transmisă, modelarea

atitudinilor, formarea judecaţilor de valoare, iar cea de a treia la formarea priceperilor şi

deprinderlor practice.

Nu toate obiectivele pot fi traduse în termeni comportamentali; de exemplu,

dezvoltarea creativităţii se produce în timp şi nu este uşor vizibilă Obiectivele operaţionale

reprezintă puncte de pornire în proiectarea lecţiei, în elaborarea instrumentelor de

măsurare şi în stabilirea criteriilor de evaluare a rezultatelor obţinute

Exemple :

Să prezinte forma algebrică a unui polinom cu coeficienţi într-un inel comutativ A;

Să determine gradul sumei şi al produsului a două polinoame

Să calculeze valoarea unui polinom pentru anumite valori ale nedeterminatei

Să efectueze operaţii cu polinoame

Să aplice schema lui Horner pentru aflarea câtului şi restului polinomului f prin

polinomul g;

Să determine coeficienţii polinomului f astfel încât acesta să fie divizibil cu

polinomul dat g;

Să descompună în factori ireductibili un polinom f, gr(f) , f K,X-, K – corp

comutativ;

Să folosească realţiile lui Viète

Să afle rădăcinile unui polinom în condiţii date


83

Să folosească proprietăţile polinoamelor şi ale rădăcinilor lor în rezolvarea unor

ecuaţii

Să găsească c m m d c al polinoamelor f şi g

După prima etapă, în care s-au stabilit obiectivele, trebuie să facem analiza şi stabilirea

resurselor educaţionale disponibile

VI ANALIZA ŞI STABILIREA RESURSELOR EDUCAŢIONALE

DISPONIBILE

Profesorul trebuie să ştie ce îi oferă manualul pentru îndeplinirea obiectivelor şi are

dreptul sau chiar obligaţia să regândească conţinutul propus de manual, deoarece acesta s-

ar putea să nu cuprindă ultimele noutăţi din domeniu sau să aibe o viziune idealistă sau să

nu corespundă nivelului de pregătire a elevilor Profesorul va selecta, organiza şi prelucra

informaţiile pe care le are la îndemână Selectarea materialului se va face ţinând cont de

impărţirea obiectivelor în cele trei domenii şi de aspectele catitativ şi calitativ care trebuie

să fie greu în echilibru Organizarea materialului ce va fi prezentat în lecţie se va face astfel

încât esenţialul să fie bine reliefat în context, de asemenea trebuie să se determine un

echilibru între componentele informative şi cele formative Prelucrarea materialului de

care dispune profesorul se referă la găsirea celor mai bune moduri de prezentare (tabele,

ecuaţii, simboluri, etc ) Pe tot parcursul derulării acestor momente trebuie avut în vedere

colectivul de elevi cu care se va lucra, ce nivel de cunoştinţe are, ce capacitate de receptare,

acumulare şi utilizare a informaţiilor pe care îl avem la dispoziţie sau cel al resurselor de

care dispunem.

După ce am stabilit atât de multe lucruri apare o altă întrebare: Cum putem face

toate acestea? Nu este o întrebare comodă şi cu cât profesorul este mai tânăr cu atât este

mai greu de răspuns Pentru a scăpa de stresul acestui răspuns se impune :

VI 4 PROECTAREA LECŢIEI

Pentru ca drumul dificil pe care-l au de parcurs elevii în aprofundarea noţiunilor de

matematică să fie mai eficient şi mai uşor, trebuie respectată logica ştiinţei (selectarea şi

prezentarea noţiunilor să urmeze ordinea lor firească) şi logica didacticii (prezentarea


84

conţinutului făcându-se numai în funcţie de capacităţile reale de asimilarea ale elevilor) De

asemenea, noile achiziţii vor fi introduse în mod sistematic şi selectiv

Introducerea fiecărei noţiuni parcurge următoarele etape:

De elaborare şi motivaţie

Formarea propriu-zisă a noţiunii

De consolidare prin operarea cu noţiunea respectivă

O noţiune se consideră asimilată dacă ea devine instrument de dobândire a unor noi

cunoştinţe şi dacă elevii pot lucra cu ea în situaţii noi În acest sens trebuie ca în mintea

elevilor să existe o ordonare a noţiunilor, o corelare firească a lor, o motivaţie, pentru că

numai o bază de cunoştinţe bine asimilate facilitează asimilarea cunoştinţelor noi.

Alegerea celor mai adecvate metode de predare poate contribui la accentuarea

caracterului formativ activ şi conştient al dobândirii cunoştinţelor Un punct central în

aplicarea oricărei metode didactice este urmărirea unui grad cât mai înalt de participare

activă a elevilor

Metode expozitve

Metode expozitive povestirea, descrierea, explicaţia prelegerea sunt metode care

asigură transmiterea ordonată, sistematică şi continuă a cunoştinţelor, reprezentând o cale

simplă, rapidă economică şi eficientă de instruire Expunerea trebuie să suscite imaginaţia

elevilor, să fie clară, accesibilă, expresivă Ea trebuie să fie însoţită, de frumuseţea şi

plasticitatea cuvântului, eleganţa dicţiei, spre expresia emoţională Profesorul însuşi

trebuie să para interesat, să manifeste curiozitate în timpul propriei sale expuneri, să

realizeze o comunicare vie cu elevii, solicitându-le permanent atenţia Profesorul trebuie să

controleze dacă este urmărit de elevi Mimica elevilor este edificatoare întrebări, repetiţii,

explicaţii suplimentare, permit şi ele acest control Explicaţiile survin când se introduc

termeni matematici noi, când se introduce un nou tip de demonstraţie sau când se

elaborează şi fixează o schemă generală de rezolvare a unor probleme În general în

matematică recurgem la explicaţie atunci când tema este complet nouă şi printr-o alta

metodă mai activă nu se poate descoperi acest nou Metodele expozitive nu se aplică de-a

lungul unei ore întregi ci se îmbină cu celelalte metode de predare

Metoda conservaţiei

Conservaţia este una din metodele de bază în dialogul necesar dintre profesor şi

elev În funcţie de tipul lecţiei se poate folosi conservaţia euristică, de consolidare, de


85

sistematizare, de coerificare Conservaţia euristică, ca activitate comună de gândire,

căutare, cercetare poate conduce la evitarea transmiterii de noi cunoştinţe într-un singur

sens (spre elev) Valoarea primitvă a conversaţiei, eficienţa ei sunt condiţionate de

structura întrebărilor care trebuie să fie concise, bine direcţionate şi enunţate astfel încât

dificultăţile să fie eşalonate gradat, dozând scopul între întrebare şi răspuns, care trebuie să

fie unic şi neambiguu Chiar dacă o metodă de rezolvare propusă de elev nu este optimă, ea

nu trebuie reprimată ei substituită prin alta căreia îi subliniem prin comparaţiei avantajele

O importanţă deosebită a metodei conversaţiei este aceea că ea ajută la dezvoltarea

limbajului matematic, contribuind astfel la dezvoltarea personalităţii elevului

Problematizarea

Este metoda care se bazează pe crearea unor situaţii–problemă a căror rezolvare

solicită efort autentic de investigare în vederea găsirii soluţiilor, ceea ce conduce la

îmbogăţirea fontului cognitiv

Noţiunea de situaţie–problemă desemnează o stare contradictorie, conflictuală ce

rezultă din trairea a două realităţii de cunoaştere şi motivaţionale diferite pe de o parte,

experienţa anterioara de care dispune elevul (informaţia existentă), iar pe de altă parte,

elementul de noutate, necunoscutul cu care este confruntat şi în faţa căruia datele vechi se

dovedesc a fi eficiente pentru a-l înţelege şi a duce la rezolvarea dorită Această confruntare

generează o stare de curiozitate, de uimire, incită la investigaţii, formulare de ipoteze,

soluţii Contradicţii de acest gen pot să apară între:

• Cunoştinţele vechi şi datele noi ce nu pot fi explicate pe baza informaţiei anterioare

• Concepţii vechi si ipoteze noi

• Abordarea teoretica a unor probleme si rezolvarea lor practica;

• Moduri diferite de acţiuni practică

În folosirea acestei metode se disting trei momente succesive:

• Momentul pregătitor care consta in crearea situaţiei-problemă

• Momentul tensional,când se conştientizează contradicţia dintre problema pe care

elevii o au de rezolvat si conştiinţele de care ei dispun,obstacolul pe care ei trebuie să îl

depăşească prin mijloace cognitive

• Momentul rezolutiv care vizează aflarea soluţiei şi confirmarea de către profesor


86

Rezolvarea problemelor îndeamnă la observaţii,la reflecţii adânci,la experimentarea

mintală şi la originalitate în găsirea răspunsurilor.Bucuria de a descoperi creeză şi întreţine

o trebuinţă lăuntrică de cunoaştere şi de autodepăşire

Metoda descoperirii

Prin aplicarea în practică a problematizării,rezultatul final este întotdeauna

descoperirea soluţiei problemei puse

Descoperirea deci,în matematică,o vedem ca o întregire a problematizării Vorbim

despre descoperire dacă elevul găşesti el însuşi, printr-un efort personal de analiză,

inducţie, generalizare o teoremă, o demonstraţie,un procedeu de calcul etc.

Descoperirea face parte din metodele asa-zice formtiv-participative. Ea solicita

elevul să gândeasca, îi pune la îi pune la încercarea voinţa, îi dezvoltă imaginaţia şi îi

îmbogaţeşte experienţa de rezolvare a diverselor problme Aplicarea acestei metode

trebuie să ţină seama de nivelul de dezvolare intelectuală a elevilor, de complexitatea

problemelor iar, rezultatele obţinute individual trebuie să fie analizate şi sistematizate cu

întreaga clasă

Învăţarea prin descoperire poate fi de tip inductiv,deductiv sau analog dupa natura

raţionamentelor utilizate

Descoperirea este inductivă când elevii,analizând o serie de cazuri particulare,

elaborează o regulă generală care apoi este demonstrată

În descoperirea de tip deductiv elevii obţin rezultate noi(pentru ei)aplicând

raţionamente asupra cunoştinţelor anterioare,combinându-le între ele sau cu noi

informaţii Acest tip de descoperire apare frecvent la toate disciplinele matematice.

Descoperirea prin analogie constă în transpunerea unor relaţii, algoritmi, etc. La

contexte diferite dar analoage într-un sens bine precizat. Evident că, corectitudinea în noul

context trebuie verificată printr-o demonstraţie specifică Analogiile în matematica pot fi de

conţinut sau de raţionament Ele pot fi de anvergură mai mare sau cu efect „local” În

această lucrare este scoasă în evidenţă analogia de primul tip dintre aritmetica numerelor

întregi şi aritmetică polinoamelor

Analogii din ultimul tip se întâlnesc foare frecvent. Rolul analogiilor în procesul de

rezolvarea problemelor este la fel de mare,fie că este vorba de analogii „mici” sau de

analogii „mari”, fie că este vorba de analogii de conţinut sau analogii de metodă În

rezolvarea unor probleme analogiile pot apărea în aspecte felurite, în diverse puncte ale

rezolvării


87

Cunoştinţele obşinute prin metoda descoperirii sunt mai stabilite, cu mai mare

şansă de a fi integrate în sistemul general de cunoştinţe

Munca cu manualul şi alte cărţi

Cartea continuă să fie o sursă valoroasă de informaţii şi cunoaştere,condensând şi

transmiţând inestimabilul tezaur al valorilor culturale ale umanităţii

Manualele, culegerile de probleme,alte cărţi de matematică îi ajută pe elevi să-şi

însuşească noi cunoştinţe,să le sistematizeze şi fixeze,să-şiformeze priceperi şi deprinderi

de muncă intelectuală Elevii trebuie să înveţe în şcoală cum să folosească manualele şi alte

cărţi pentru a şti cum să le utilizeze ulterior pentru perfecţionarea lor continuă

Lucrul cu manualul de matematică presupune în primul rând descifrarea textului

matematic. Prin natura lor textele de matematică nu pot să conţină absolut toate

detaliile:manualele ar deveni enorme. Apare astfel necesar un efort al elevului de a

completa detaliile lipsă, efort care este evident un efort de înţelegere a textului şi deseori

de recreare a acestuia.

Lucrând cu manualul,elevul este activ,obţine cunoştinţe printr-un efort propriu

încât această metodă „o cale de intruire prin descoperire”

Metoda exerciţiului

Constă în efectuarea conştientă şi repetată a unor acţiuni şi operaţii,în scopul

formarii unor deprinderi teoretice şi practice,consolidării cunoştinţelor, dezvoltării unor

aptitudini şi capacităţi,stimulării potenţialului creativ

Este o metodă care stimulează intens activitatea elevelui, solicitând din partea

acestuia,efort intelectual sau fizic. Are o largă aplicabilitate, putând fi folosită la toate

clasele şi obiectele de studiu şi pentru realizarea unor variate sarcini didactice:

-formarea deprinderilor de natură intelectuală şi practică, acţională

-mai buna înţelegere a cunoştinţelor teoretice prin aplicarea lor în situaţii ţi contexte

diferite;

-consolidarea cunoştinţelor şi deprinderilor însuşite anterior

-prevenirea uitării, evitarea fenomenului de interferenţă

-asigurarea capacităţii operatorii a cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor, crearea

posibilităţilor de transfer ale acestora


88

-dezvoltarea unor capacităţi intelectuale şi fizice,a unor trăsături de voinţă şi caracter

-stimularea şi dezvoltarea capacităţilor creative, a originalităţii, a spiritului de

independenţă şi iniţiativa

Rezultă că exerciţiul nu trebuie înţeles ca având numai un caracter reproductiv, el

poate avea în egală măsură, şi un caracter productiv atunci când se desfăşoara sub forma

unor activităţi libere,creatoare şi generează noi forme de acţiune

Pentru a şti dacă obiectivul a fost atins trebuie stabilite modalităţi de evaluare.

VI.5. EVALUAREA

Ca şi altor concepte, evaluării i se dau mai multe accepţiuni Radu T Ion defineşte

evaluarea ca un proces complex menit să măsoare şi să aprecieze valoarea rezultatului

sistemului de educaţie sau a unei părţi a acesteia, eficacitatea resurselor,a condiţiilor şi a

operaţiilor folosite în desfăşurarea activtăţii,prin compararea rezultatelor cu obiectivele

propuse, în vederea luării deciziilor privind ameliorarea activităţii în etapele următoare

Rezultatele evaluării prezintă importanţă pentru toţi factorii implicaţi în procesul de

formare a noilor generaţii:profesori,elevi,părinţi şi chiar societate

• După volumul de infromaţii, experienţe acumulate de elevi care fac obiectul

evaluării, s-au stabilit două tipuri de evaluare:

a) Evaluare parţială prin care se verifică secvenţial un volum redusde cunoştinţe şi achiziţii

comportamentale;

b) Evaluare globală când se verifică un volum mai mare de cunoştinţe, priceperi,

deprinderi, abilităţi

• În funcţie de perspectiva temporală din care se realizează evaluarea distingem:

a) Evaluare iniţială care se face la începutul unui program de instruire

b) Evaluare finală care se realizează la închieirea unei etape de instruire.

• După modul în care se integrează în procesul didactic, evaluarea cunoaşte trei forme

a) evaluarea iniţială care se realizează la începutul unui program de instruire


89

b) evaluare continuă formativă care se realizează pe tot parcursul procesului intructiv

educativ;

c) evaluare sumativă ce se realizează la încheierea unei etape mai lungi de intruire

• În funcţie de factorii care realizează evaluarea se conturează două forme sau tipuri

de evaluare;

a) evaluare internă efectuată de aceeaşi persoană instituţie care realizează efectiv şi

activitatea de intruire;

b) evaluarea externă realizată de o persoană sau instituţie diferită de cea care a

asigurat realizarea efectivă a procesului de învăţământ

În metodele tradiţionale de evaluare sunt incluse probele orale, probele scrise şi

probele practice.

Pentru realizarea funcţiilor evaluării se impune o folosire echilibrată a strategiilor

de evaluare,dar şi diversificarea metodelor de evaluare,metodele complementare de

evaluare oferă informţii suplimentare despre activitatea şi nivelul de achiziţii ale elevului,

competează metodele tradiţionale de evaluare În categoria metodelor complementare de

evaluare sunt incluse: observaţia sistematică a activităţii şi comportamentului elevilor,

investigaţia proiectul portofoliul autoevaluarea

Un loc de prim rang în verificarea nivelului de pregătire al elevilor îl ocupă probele

scrise.

Metodologia verificării prin probe scrise impuse folosirea diferitelor forme lucrări

scrise de control curent (extemporale), lucrări de control la sfârşitul unui capitol (teste),

lucrări scrise semestriale (teze)

Avantajele folosirii formelor de evaluare scrisă sunt următoarele:

- obiectivitate, prin anonimatul lucrărilor scrise

- verificarea unui număr mare de elevi într-un timp dat;

- posibilitatea compararii rezultatelor obţinute de toţi elevii

- realizarea feed-back-ului la sfărşitul unei secvenţe de intruire sau la ce al unui

capitol

Dezavantajele acestor probe, sunt:


90

- nu permit elucidarea unor erori din timpul examinării

- nu se pot introduce întrebări suplimentare

Pentru a realiza o evaluare relevantă şi eficace,intrumentele de evaluare

(extemporale, teze, teste) trebuie să îndeplinească anumite cerinţe, să întrunească anumite

„calităţi tehnice” indispensabile atingerii scopului pentru care au fost proiectate

Principalele calităţi ale unui intrument de evaluare sunt: validitatea, fidelitatea,

obiectivitatea şi aplicabilitatea

• Validitatea este dată de precizia,acurateăea cu care intrumentul testul măsoară ce

şi-a propus să măsoare

• Fidelitatea reprezintă acea calitate a nui test de a produce rezultate constante (sau

foarte apropiate) în urma aplicării sale repetate în condiţii identice, aceluiaşi grup de elevi

• Obiectivitatea reprezintă gradul de concordanţă între aprecierile făcute de

evaluatori independenţi asupra răspunsurilor pentru fiecare dintre itemii testului

• Aplicabilitatea desemnează calitatea testului de a fi administrat şi interpretat cu

uşurinţă

Elaborarea de către profesor a unui intrument de evaluar este o activitate deosebit

de complexă ce presupune parcurgerea mai multor etape:

1. Stabilirea obiectivelor-constă în precizarea a ceea ce trebuie să ştie şi să facă elevul

după ce a parcurs o lecţie, un capitol, materia unui semestru sau an şcolar

2. Stabilirea numărukui de întrebări (itemi) şi formularea lor Numărul întrebărilor

poate varia de la câteva (în cazul unei lecţii) până la o sută şi peste o sută (în cazul unui an

şcolar), profesorul avăand grijă ca ele să cuprindă probleme de bază, esenţiale ale materiei

parcurse. Întrebările trebuie să fie clar formulate, precise, concise, să nu solicite decât un

singur răspuns posibil şi să fie adaptate particularităţilor de vârstă ale elevului

3. Stabilirea modalităţilor de răspuns După modul de alcătuire,itemurile se pot

clasifica astfel;

I. Itemi cu răspuns deschis

a) Itemi de completare –propoziţii lacunare, care solicita răspunsuri scurte

(completări de cuvinte, definiţii)


91

Exemplu

În inelul comutativ şi unitar ( Z [X],+,*) se consideră polinoamele f X şi g X³

Determintaţi funcţiile polinomiale ƒ şi g asociate polinoamelor f şi g Remarcaţi că f si şi g

sunt ....... dar ƒ si sunt ........

b) Itemi de formulare sau de reprezentare–întrebări a căror rezolvare solicită

redactări, formularea lor bazându-se pe operaţii de gândire (deducţii,

comparaţii, sistematizări, generalizări, etc). Acest tip de itemi se folosesc pentru

a testa capacitatea de sinteză a elevilor,originalitatea în tratarea unui subiect,

claritatea stilului.

II. Itemi cu răspuns închis

a)Itemi cu alternativă binară–cu răspuns „corect–greşit” , cu răspuns „adevărat–

fals”, cu răspuns „ da–nu”

Exemplu:

Se consideră polinomul f X +(i+ )X2+(2+ i)X+6 ℂ ,X- Atunci rădăcini ale

polinomului f sunt:

A F 1. X=i A F 3. X=3

A F 2. X=-1 A F 4. X= -3

Dacă afirmatia este adevărată încercuiţi litera A În caz contrar încercuiţi litera F

b) Itemi de selecţie

Exemplu:

Care din afirmaţiile de mai jos nu sunt corecte?

A) Orice polinom este divizibil prin elementele inversabile şi prin polinoamele asociate

cu el;

B) Orice polinom f ℝ,X- cu gr(f) are cel puţin o rădăcină în ℝ

C) Orice polinom f ℂ,X- cu gr(f) este produs de polinoame de gradul 1;

D) Orice polinom ireductibil din ℚ ,X- este de gradul


92

c) Itemi de combinare(de asociaţie)–asociaţie simplă şi asociaţie multiplă

Exemplu:

Înscrie în spaţiul din stânga fiecărei proprietăţi polinomul din a doua coloană ce

corespunde acestuia

_______ polinomul este ireductibil în ℤ ,X- ƒ -2

_______2. polinomul este ireductibil în ℚ ,X- g= +X+1

_______3. polinomul este ireductibil în ℝ [X] h= +X

_______4. Polinomul este ireductibil în ℂ ,X- p + + +X+1

q= 2X+ 3

d) Itemi cu alegere multiplă

Exemplu: Polinomul ƒ 5 -7X+2 ℝ X] este divizibil prin:

a) 5X-7 b) X-2 c) X-1 d) 5X-1.

4 Ierarhizarea (aranjarea) itemilor se face în funcţie de natura,complexitate şi

dificultatea cunoştinţelor pe care le cuprind, fie pornind de la cele mai simple şi sfârşind cu

cele mai complexe, fie în ordine ciclică de dificltate, pe itemi aranjaţi în ordine de dificultate

crescând. De regulă se pun la început întrebările considerate de bază,esenţiale deci absolut

necesare pentru obţinerea unei note de trecere, ţinând seama şi de faptul că unele întrebări

nu trebuie să sugereze răspunsul altora

5 Elaborarea instrucţiunilor de răspuns Acestea se pun de obicei la început şi

cuprind indicaţii asupra modului în care trebuie procedat pentru rezolvarea testului

6. Redactarea formularului de răspuns În cazul în care formularul nu prevede

spaţiul pentru răspunsuri, se elaborează un formular de răspuns care cuprinde şcoala,

clasa, numele şi prenumele elevului, obiectul, data, loc pentru răspunsuri,în funcţie de

modalităţile de răspuns solicitate de fiecare item în parte loc pentru înscrierea numărului

de puncte atribute de profesor fiecărui item, cu ocazia corectării

7 Aplicarea experimentală În scopul stabilirii variantei optime de formulare a

întrebărilor, a modalităţilor şia timpului de parcurs, precum şi pentru definitivarea

instrucţiunilor sub toate aspectele, testul se aplică experimental pe un eşantion alcătuit din


93

elevi mai slabi, mijlocii şi buni Ulterior,după mai multe aplicări,i se pot aduce şi alte

îmbunătăţiri

8 Stabilirea cotei (scorului) testului Fiecărui răspuns corect i se atribuie unul sau

mai multe puncte, în functie de gradul de dificultate al itemului şi de numarul de operaţii pe

care îl aplică rezolvarea La alcătuirea itemului, profesorul stabileşte şi valoarea

răspunsurilor parţiale, carora le acordă puncte sau fracţiuni de puncte. Numărul punctelor

rezultate din totalul răspunsurilor corecte reprezintă cota sau scorul testului

9. Stabilirea timpului acordat pentru rezolvarea testului-se face în raport cu natura

problemei,dificultatea întrebărilor, numarul aplicaţiilor necesare pentru obţinerea

răspunsurilor Valorificarea notelor se face prin analiza colectivă a greşelilor tipice şi

perfecţionarea activitaţii celor doi factori a procesului instructiv-educativ (profesor şi

elev).

Se recomandă folosirea testelor, alături de celelalte metode de avaluare, datorită

avantajelor acestora: obiectivitate, operativitate,surprinderea mai exactă a nivelului de

cunoştinţe şi deprinderi

În concluzie,în centrul atenţiei unui procedeu de evaluare se situează:

• obiectivele ce vor fi evaluate

• motivaţia evaluării

• metoda de predare aplicată

Toate cele prezentate anterior se vor sintetiza într-un proiect de lecţie ca în modelul

următor

La verificarea modului de întocmire a planificării calendaristice este util să

controlăm:

dacă planificarea respectă structura recomandată dacă planificarea este făcută pe un număr de ore în acord cu planul cadru şi

dacă au fost rezervate ore pentru recapitulări semestriale; dacă au fost cuprinse toate obiectivele de referinţă competenţele specifice

prevăzute în programă în cel puţin o unitate de învăţare dacă au fost cuprinse toate conţinuturile din programă în unităţile de

învăţare precizate în planificare

1. Proiectarea unei unităţi de învăţare-ANEXA A


94

Odată realizata planificarea calendaristică, următoarea etapa o constituie realizarea

proiectării unităţilor de învăţare Această proiectare se realizează pe parcursului anului

şcolar înaintea abordării la clasă a unităţii respective

Deci elementul generator al planificării calendaristice este unitatea de învăţare

Unitatea de învăţare - reprezintă o structura didactică deschisă şi flexibilă, care are

următoarele caracteristici:

determina formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin integrarea unor obiective de referinţă competenţe specifice

este unitară din punct de vedere tematic se desfăşoară în mod sistematic şi continuu pe o perioadă de timp se finalizează prin evaluare

Proiectul unei unităţi de învăţare poate fi întocmit pornind de la următoarea

rubricaţie:

Şcoala

Disciplina

Clasa

Unitatea de învăţare nr

Nr de ore alocate

Proiectul unităţii de învăţare

Conţinuturi

( detalieri )

Competente

specifice

Activităţi de

învăţare

Resurse Evaluare

0 1 2 3 4


95

În rubrica referitore la Conţinuturi apar inclusiv detalieri de conţinut necesare în explicitarea anumitor parcursuri, respectiv în cuplarea lor la baza proprie de cunoaştere a elevilor

În rubrica Competenţe specifice se trec obiectivele de referinţă competenţele specifice din programa şcolară

Activităţile de învăţare pot fi cele din programa şcolară, completate, modificate sau chiar înlocuite cu altele pe care profesorul le consideră adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;

Rubrica Resurse cuprinde specificări de timp, de loc, forme de organizare a clasei, material didactic folosit, etc.

În rubrica Evaluare se menţionează instrumentele sau modalităţile de evaluare aplicate la clasă

Totodată, finalul fiecărei unităţi de învăţare presupune evaluarea sumativă.

Deşi denumirea şi alocarea de timp pentru unităţile de învăţare se stabilesc la începutul

anului şcolar prin planificare, este recomandabil ca proiectele unităţilor de învăţare să se

completeze ritmic pe parcursul anului, având în avans un interval de timp optim pentru ca

aceasta să reflecte cât mai bine realitatea

În completarea rubricaţiei, se urmăreşte corelarea elementelor celor cinci coloane

Proiectarea unităţii de învăţare începe prin parcurgerea unei scheme , care precizează

elementele procesului didactic într-o succesiune logică, în vederea atingerii ţintelor

stabilite.

In ce scop voi face Ce voi face Cu ce voi

face

Cum voi face Cât s-a realizat

Identificarea

obiectivelor/

competentelor

Selectarea

conţinuturilor

Analiza

resurselor

Determinarea

activităţilor de

învăţare

Stabilirea

instrumentelor de

evaluare

Identificarea unei unităţi de învăţare se face prin tema acesteia Temele sunt

enunţuri complexe, formulate original sau preluate fie din lista de conţinuturi a programei

fie din manual.

Activităţile de învăţare se construiesc prin corelarea obiectivelor de

referinţă competenţelor şi conţinuturilor şi presupun un anumit scop, redat prin tema

activităţii În proiectul unităţii de învăţare, profesorul va asocia fiecărei activităţi acele

resurse pe care le consideră necesare pentru realizarea demersului didactic

Faţă de proiectarea tradiţională axată pe lecţie, proiectarea unităţii de învăţare are

următoarele avantaje:


96

Creează un mediu de învăţare coerent în care aşteptările elevilor devin clare pe termen mediu si lung; Implică elevii in rezolvare de probleme complexe, luare de decizii - cu accent pe explorare şi reflecţie Implica profesorul intr-un proiect didactic pe termen lung si mediu, cu accent pe

ritmurile proprii ale elevilor; Dă perspectiva lecţiilor în funcţie de secvenţa unităţii de învăţare în care se află Proiectul unei unităţi de învăţare conţine suficiente elemente pentru a oferi o

imagine asupra fiecărei ore, astfel încât devine posibilă renunţarea la Proiectul de lecţie

2. Proiectarea lecţiei –ANEXA B

În mod obişnuit, proiectele de lecţii conţin următoarele elemente:

obiective de instruire materiale didactice timpul necesar instruirii (estimativ) procedee didactice specifice. Pentru un profesor este foarte important să poată elabora proiecte de lecţii detaliate

Proiectarea temeinica a lecţiilor prezintă următoarele avantaje:

Contribuie la clarificarea unor probleme de conţinut şi de strategie didactica Profesorii vor fi mai bine pregătiţi pentru lecţie Asigură mijloacele de evaluare Dă profesorilor posibilitatea unei mai mari flexibilităţi în timpul lecţiilor

Stabilirea unor obiective adecvate

Obiectivele lecţiei sunt importante pentru că direcţionează şi focalizează învăţarea

Însă, nu de puţine ori, apar dificultăţi în stabilirea acestor obiective Specialiştii au păreri

împărţite în legătura cu gradul de precizie cu care se cuvine a fi descris, la nivelul unui

obiectiv, ceea ce vor fi capabili elevii să facă De exemplu, unii pedagogi susţin ca

obiectivele trebuie să descrie în termeni observabili condiţiile învăţării şi, totodată,

criteriile de evaluare a performanţei minime acceptabile

Cei mai mulţi sunt de acord că stabilirea obiectivelor lecţiei implică o proiectare

temeinică, ghidează procesul instructiv şi este utilă pentru evaluare Un obiectiv de

instruire trebuie să aibă, totuşi, anumite caracteristici minimale:

1. Să precizeze cine este subiectul vizat În mod obişnuit, persoana vizată este elevul


97

2. Să precizeze strategiile de învăţare. Exemple de asemenea strategii de învăţare sunt:

conversaţia frontală, demonstraţia, lectura, activităţile în grup sau simularea

3. Să precizeze conceptele sau principiile care urmează a fi explicate sau reluate

4. Să precizeze operaţiile intelectuale implicate de atingerea obiectivelor. Verbe care

exprima asemenea operaţii sunt: a defini, a recunoaşte, a enumera, a preciza, a identifica, a

ordona, a compara, a evidenţia, a explica, a discuta s a m d

Identificarea materialelor didactice

În mod obişnuit, un proiect de lecţie trebuie să conţină şi referiri la materialele

didactice ce vor fi folosite Asemenea materiale pot fi: manuale, fişe de lucru, planşe

(proiecţii sau alte mijloace vizuale)

Reţineţi că materialele didactice pe care v-aţi gândit să le folosiţi la o anumită lecţie

trebuie să fie adecvate acesteia

Procedeele

Desfăşurarea lecţiei este elementul central al oricărui proiect didactic Procedeele

utilizate reprezintă, de fapt, activităţile de învăţare în care vor fi antrenaţi elevii Un

profesor bun stabileşte cu precizie ce tip de activitate şi ce secvenţă va desfăşura cu clasa

În desfăşurarea lecţiei se derulează momente principale La începutul lecţiei, profesorul

urmăreşte să capteze atenţia elevilor Pentru a realiza aceasta, el explică elevilor care este

scopul lecţiei, reia anumite probleme, discutate anterior, face o prezentare generală a

lecţiei sau pune o problemă Acesta este momentul introductiv al lecţiei Apoi, pe măsură ce

lecţia se derulează, profesorul oferă informaţii noi sau propune diferite activităţi Aceasta

este desfăşurarea propriu-zisă a lecţiei În finalul lecţiei, profesorul fixează principalele

probleme, de exemplu printr-o discuţie de sinteza a ideilor de bază Aceasta este încheierea

lecţiei

Estimarea timpului

Odată identificate procedeele didactice, este important ca profesorul să ştie cât timp

este necesar pentru desfăşurarea activităţilor pe care şi le-a propus Nu uitaţi că timpul

necesar unei lecţii depinde şi de elevi, de capacităţile şi nivelul de pregătire la care se află,

precum şi de felul în care răspund solicitărilor Astfel, o discuţie poate dura minute cu

un grup de elevi sau o jumătate de oră cu un alt grup


98

Profesorul dă dovadă de înţelepciune dacă apreciază cu grijă timpul necesar

activităţilor de învăţare Profesorii sunt surprinşi de cât de repede trece timpul, mai ales

atunci când ţin o lecţie pentru prima dată Reţineţi că, atunci când este vorba de estimarea

timpului necesar unei lecţii, este mai bine să fii conservator În felul acesta, profesorul va fi

pregătit şi va putea face ajustările necesare, pe măsură ce lecţia se derulează

Sfaturi utile pentru proiectarea unei lecţii reuşite

Când începeţi să proiectaţi o lecţie, ţineţi cont de aspectele practice

Iată câteva sugestii:

1. Diversitatea: Elevii învaţă mai uşor dacă în timpul lecţiei se folosesc diferite

tehnici de instruire O lecţie reuşită presupune, de obicei, -4 tipuri diferite de activităţi de

învăţare Acordaţi atenţie activităţilor introductive, celor de învăţare propriu-zisă, precum

şi celor finale; acestea pot asigura lecţiei diversitatea necesară

2. Ritmul: Dacă o activitate durează prea mult, elevii se pot plictisi iar dacă nu au la

dispoziţie timp suficient pentru a putea reţine ideile prezentate, se pot simţi frustraţi Aveţi

grijă ca o activitate să nu dureze mai mult de 5-20 de minute În orice caz, reţineţi că unele

activităţi cum sunt cele de învăţare prin cooperare, problematizarea sau simulările pot

capta interesul mai mult timp, îndeosebi, în cazul elevilor mai mari.

3. Relevanţa: De multe ori elevii nu înţeleg cu adevărat de ce le este necesară o

anumita informaţie Le ia ceva mai mult timp să înţeleagă de ce este important un material

pe care l-au studiat.

4. Cunoştinţele anterioare: Nu presupuneţi că elevii au anumite cunoştinţe

anterioare Chiar dacă unii dintre elevi au aceste cunoştinţe, în nici un caz nu le au toţi Se

recomandă să verificaţi nivelul iniţial de cunoştinţe al elevilor, precum şi deprinderile

acestora şi să vă proiectaţi lecţiile ţinând cont de acest nivel

5. Supraîncărcarea: Unii profesori au tendinţa de a prezenta, cu uşurinţă, multe

concepte într-un interval de timp relativ scurt Aceeaşi tendinţă se constată, deseori, şi în

manualele Însă, elevii învaţă mai bine dacă lecţia este centrată pe una sau doua idei de

bază Deci, descompuneţi activităţile de învăţare într-o serie de paşi mici, focalizaţi pe un

anumit concept sau idee şi, apoi, daţi elevilor posibilitatea să exerseze

6. Procedeele: Proiectaţi desfăşurarea lecţiei pas cu pas, astfel încât să puteţi urma

cu uşurinţă procedeele didactice stabilite Instrucţiunile pentru desfăşurarea diferitelor

activităţi să fie redactate la persoana a treia

7. Fiţi la obiect: Formulaţi întrebări la obiect şi într-un limbaj pe care elevii îl înţeleg


99

VI.6 EXPERIMENTUL PEDAGOGIC

Prima metodă de cercetare propusă pentru realizarea obiectivelor cercetării este

experimentul psihopedagogic/didactic. Termenul „experiment” provine din latinescul

„experimentum”, termen care are semnificaţia de probă, verificare, experienţă în cazul

cercetărilor pedagogice este vorba de verificarea unei ipoteze, ceea ce justifică realizarea

experimentului, îi asigură sensul

Metoda experimentului constă în modificarea intenţionată a unui factor, dintre cei

presupuşi a influenţa comportamentul unei persoane, într-o anumită situaţie, cu scopul de

a observa efectele acestei modificări asupra comportamentului respectiv Din acet motiv,

experimentul este uneori denumit „observaţie provocată”. In continuare voi descrie etapele

realizarii experimentului pedagogic.

VI.6.1 OBIECTIVELE CERCETARII

Aplicarea prin analogie a metodelor de lucru din aritmetica numerelor in calculul cu

polinoame

Imbunatatirea proceselor instructive educative

Cresterea nivelului de performanta a alevilor

Intelegerea unei teorii matematice unitare, a inlantuirii teoremelor intr-un sistem

Transferul de cunostinte in rezolvarea problemelor

Dezvoltarea capacitatii de utilizare a cunsotintelor: priceperi, deprinderi, stapanirea

unor moduri de lucru

Dezvolatrea capacitatilor intelectuale

Formarea si dezvolatrea capacitatii de a reflecta asupra lumii

Analiza de situatii

Realizarea de conexiuni si transferuri intre domeniile studiate din matematica


100

VI.6.2 ETAPELE LUCRARII

o Documentarea teoretica a lucrarii

o Stabilirea clasei experimentale a XII-a A si a clasei de control a XII-a D

o Alegerea subiectelor si baremurilor de notare pentru pretest si posttest

o Selectionarea si sistematizarea problemelor de la simplu la complex

o Intocmirea si multiplicarea testelor pentru verificarea lectiei de zi, pentru

predarea noilor cunostinte si pentru fixarea lectiei noi

o Recolatrea datelor initiale si finale

o Prelucrarea statistica a datelor in vederea analizei si generalizarii activitatii

desfasurate

VI.6.3 METODE DE INVESTIGATIE FOLOSITE

Studiul literaturii de specialitate;

Studiul documentelor scolare;

Observatia pedagogica;

Metoda experimentului;

Metoda testelor;

Prezentarea si prelucrarea matematico-statistica a datelor cercetarii.

VI.6.4 DESFASURAREA CERCETARII

Experimental s-a desfasurat in anul scolar 2010-2011. Am realizat planificarea

calendaristica dupa care am predat pe parcursul semenstrului al doilea cate o ora in plus la

clasa a XII-a A. Deci la aceasta clasa experimentala am invatat elevii sa aplice teorema


101

impartirii cu rest in Z, sa utilizeze proprietatile relatiei de divizibilitate in Z, sa calculeze cel

mai mare divizor comun in Z cu algoritmul lui Euclid, sa demonstreze ca un numar este

ireductibil sau nu.

Folosind metoda analogiei am predate apoi divizibilitatea in inele integre si in inelul

polinoamelor. Elevii au invatat sa generalizeze, sa particularizeze unele enunturi si sa

utilizeze corect algoritmii matematici in rezolvarea de probleme cu grade diferite de

dificulate.

La matematica orice exercitiu sau problema vine cu noi necunoscute, care pot fi

solutionate numai in masura in care elevii se antreneaza permanent in rezolvarea unui

numar cat mai mare de exercitii si probleme. In primul rand elevii trebuie invatati

urmatoarele “linii” pe care le urmarim:

1. Trebuie sa intelegem problema;

2. Gasim calea de la necunoscuta la date, considerand eventual, probleme

intermediare;

3. Realizam idea solutiei;

4. Cautam alte solutii;

5. Alegem cea mai buna solutie;

6. Verificam rezultatul si il analizam critic;

Astfel, urmarim schemele:

GANDESTE SI ORGANIZEAZA

SCRIE CE GANDESTI, LISTEAZA

GANDURILE

PUNE IN ORDINEA CORECTA

COMPARA

GRUPEAZA


102

IMAGINEAZA

CREAZA NOI IDEI

INTRABA-TE " CE -AR FI DACA..."

REGANDESTE

REEXAMINEAZA

( ESTE CEA MAI BUNA CALE?)

REARANJEAZA

(ESTE CEA MAI BUNA ORDINE?)

EVALUEAZA VERIFICA

CRITICA


103

Aplicatia 1: Aratati ca orice element din Z[i] este divizor al unui nmar prim din Z. Solutie: Z[i] este un inel Euclidian relative la functia ϕ: Z[i]→N,ϕ(x+iy)= + .Fie z un element prim din Z[i]. Avem ϕ(z)=z*z. Cum ϕ(z)ϵN si ϕ(z)>1, atunci ϕ(z)= unde sunt numere prime din Z. Avem Z*Z= si deci z| . Cum z este prim, exista un astfel incat z| .

Aplicatia 2: Orice numar prim p>2 este de forma p=4k=1 sau p=4k+3 unde k>0.

Solutie: Intr-adevar p are una din uramtoarele forme : p=4k, p=4k+1, p=4k+2, p=4k+3. Cum p este prim si p>2, atunci nu poate avea decat forma 4k+1 sau 4k+3.

Aplicatia 3: Descompuneti in factori primi numerele 5;17;600 in Z[i].

Solutie: 5=1+4= (2 ) ( + 2 ) ( 2 ) (1+2i) si (1-2i) sunt prime in Z[i]. 17=16- =(4+i)*(4-i) 17=1-(4i) =(1-4i)*(1+4i) Se observa ca 4+i este asociat in divizibilitate cu 1-4i. (4+i)*(a+ib)=1-4i↔4a-b+i(a+4b)=1-4i.

Identificand , obtinem : 24

+ 4 4 2

, (4 + )( ) 4

De asemenea (4-i)~(1+4i) deoarece rezulta analog ca (4-i)*(i)=1+4i 600=2 5 ( ) ( + ) ( + 2 ) ( 2 ) .

Aplicatia 4: Calculati in Z[i] cel mai mare divizor comun al numerelor a=-36+41i si

b=14+18i. Solutie: Formand algoritmul lui Euclid asociat acestor numere: -36+41i=(14+18i)*2i+13i unde ϕ(13i)<ϕ(14+18i) 14+18i=13i(1-i)+(1+5i) unde ϕ(1+5i)<ϕ(1+5i) 1+5i=(3+2i)*(1+i) C.m.m.d.c al numerelor -36+41i si 14+18i este 3+2i.

Aplicatia 5: Gasiti o solutie necesara si suficienta pentru ca sa se divida cu (p n) Solutie: Impartim pe n la p , deci n=1p+r, unde 0 r<p.Prin urmare: ( ) + ( ). Din conditia ca , deoarece se divide cu , rezulta ca si deoarece 0 r<p avem r=0. Deci, daca + se divide cu , atunci n se divide cu p.

Aplicatia 6: Aratati ca inelele R si R[X] nu sunt izomorfe. Solutie: Presupunem prin absurd ca exista ϕ:R→R[X] izomorfism. Fie zϵR* si R fiind corp , exista ϵR astfel ca ϕ(z* )=ϕ(1)=1 ϕ(z* )=ϕ(z)*ϕ( ), deci ϕ(z)ϵR[X] este inversibil in R[x]. Cum z a fost ales arbitrar si ϕ este izomorfism ar rezulta ca orice polinom din R[X] are invers in R[X] ceea ce este o contradictie.

Aplicatia 7: Fie f un polinom cu coeficienti intregi. In trei puncte diferite, de abscisa intreaga are valoarea 2. Sa se arate ca in nici un punct de abscisa intreaga nu are valoarea 3.


104

Solutie: Demonstram ca f(x)-f(y) (x-y), oricare ar fi x,yϵZ. F(x)= + + + + , F(x)= + + + + , F(x)-f(y)=(x-y)g(x,y) ( ) ( )

{

( ) 2

( ) 2

( ) 2

Presupunem ca exista dϵZ astfel incat f(d) {

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{ ± ± ±

2

sau d-c=-1; imposibil, caci ar implica a=c sau b=c.

Acelasi rationament pentru celelalte cazuri.

Aplicatia 8: Valoarea polinomului f= 2 + 2 2 + 2 + 2 pentru x=11 este :

a) 0 b)12 c)1 d) 1 e)11 Solutie: x x+ 2 F(x)= ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + + + + +

Aplicatia 9: Catul impartirii (6 7 + + 2): (2 + 2) este : a)-3X-1 b) 3X+1 c) 2X-3 d) 4 +

Solutie: Din teorema impartirii cu rest avem f=g*q+r, gr(r)<gr(g) r cX+d, iar q aX+b deoarece gr(q)=gr(f)-gr(g). Se obtine dupa efectuarea calculelor:

6 7 + + 2 2 ( 2 ) + (2 + ) + (2 + ) Folosind metoda identificarii coeficientilor nedeterminati se obtine sistemul de ecuatii:

{

2 6 2 7

2 + 2 + 2

, +

Aplicatia 10: Fie f si g polinoame in R[x] f= + 2 + + si g= + 2

Determinati a si b astfel incat g sa divida pe f si apoi sa se resolve ecuatia f(x)=0 in C. Solutie: METODA 1 Impartirea directa cu conditia ca restul sa fie polinomul nul. METODA 2 Coeficienti nedeterminati : f=( + +2)( + + + ) si prin identificarea coeficientilor se obtine un sistem in a, b, m, n, p. Din faptul ca + 2 ( )( + 2) rezulta inca doua metode: METODA 3 f(1)=0 si f(-2)=0. Se determina a si b si apoi impartirea.

Aplicatia 11: Sa se determine coeficientii reali m si n astfel incat polinomul fϵR[x], f= + + sa se divida prin g= + + .


105

a)2

b)2

c)2

d)2 2

Solutie: METODA 1 Radacinile ecuatiei + + sunt , =(-1± √ ) 2 notate in cele ce urmeaza

cu ω ,2 (radacinil cubice complexe ale unitatii cu proprietatile + + ,

, , , + , ). Astfel fiind, conditia ca f sa se divida prin g ete ca f( ) , adica

+ + + + , ( )

Inlocuind in (1) pe , cu valorile corespunzatoare m(-1/2)+n+(-1/2)+i√

(m- ) ,( ’)

Din ( ’) rezultand m si n (s-a tinut seama ca A+ib A , B ) METODA 2 Gradul lui f nefiind prea mare , se poate efectua impartirea direct , punandu-se conditia ca restul sa fie identic nul METODA 3 Se poate folosi metoda identificarii coeficientilor, punand + + ( + + )( + + + ), (2) Dezvoltam membrul al doilea din (2) si identificand cu membrul intai, obtinem a—1, b=0, n=1,m=1.

Aplicatia 12: Sa se arate ca polinomul f=(X-1) + ( ) , - se divide cu g= + Solutie: Notam P(K): (X-1) ( ) Se observa ca Presupunem ca ( ) + ( ) si de aici (X-1)

( ) + ( ) ( ) ( + ( ) ) + ( )

( ) + ( ) (( ) + ) ( ) + ( )

Aplicatia 13: a) Aratati ca polinomul pϵR[x], p= 997 + 996 se divide cu (X-1) . b) Fie polinomul qϵR[x], q= + ( ) Aratati ca oricare ar fi nϵN, n 2,

4|q(s) oricare ar fi sϵN, s numar prim , s 5. Solutie:

a) Aratam ca 1 este radacina dubla a lui p.

P(1)=1-1997+1996=0; dar ( )( ) 997 997 ( )( ) 997 997 , ceea ce trebuia demonstrate

b) Fie s un numar prim, s 5, s este un numar impar s 2k+ ,kϵN 2 s- 4 (s-1) . (1) Aratam ca (s-1) ( ):

q(1)=1-n+n-1=0 si ( )( ) ( )( ) Deci (X-1) |q, oricare ar fi nϵN, n 2 (s-1) |q(s). (2) Din ( ) si (2) 4 q(s), roicare ar fi nϵN, n 2, sϵN, s numar prim , s 5.

Aplicatia 14: Sa se determine cel mai mare divisor comun al polinoamelor f= +2 si g= 2 + 2 2 + a) b)X-1 c)X+2 d) (X-1) Solutie : Se pot folosi urmatoarele metode: METODA 1: Descompunerea in factori a celor doua polinoame si constituirea divizorului comun, asemanator ca in cazurile numerice, luandu-se factorii polinomiali comuni la


106

puterile cele mai mici. Din f+(X-1) ( + 2) ( ) ( + ), rezulta ca cel mai mare divisor comun este polinomul d=(X-1) . Aceasta metoda se aplica atunci cand polinoamele respective se pot descompune usor in factori . METODA 2: Folosirea algoritmului lui Euclid in cazul in care prima metoda nu este aplicabila si nu se cunoaste gradul divizorului comun.

a) Prima impartire 2 + 2 2 + + 2

- + - 2X X-2 / -2 + 5 4 + 2 - 6X + 4 / 5 + 5

b) A doua impartire + 2 2 +

+ 2 X+2 / 2 4 + 2 -2 + 4 2 / / / Ultimul rest nenul 2 ( ) este cel mai mare divizor comun.

Aplicatia 15: Aflati radacinile polinoamelor f, gϵR[x], f=2 + =0, g=4 4 + , stiind ca admit radacini comune. Solutie: Presupunand ca cele doua ecuatii au cel putin o radacina comuna, rezulta ca polinoamele f si g au un divizor comun de gradul intai, divizor ce se poate determina fie prin algoritmul lui Euclid, fie prin metoda scaderilor successive METODA 1: Aflam cel mai mare divizor comun d prin algoritmul lui Euclid. Avem: g(x)=f(x)2+(2 + ) f(x)=(2 + ) + 2 1

2 + (2 + )( )

2 1cu radacina 2, , ( ± √ )/2

(2 1)(2 + ) cu radacinile

, , ( ± √7) 4.

METODA 2: Folosim metoda scaderilor successive . Notam p(X)=g(X)-2f(X)=2 +

( ) ( ) ( ) 2 Rezulta ca divizorul comun este ( ) 2 , x=1/2 Se rezolva ecuatiile si se constata ca singura radacina comuna este x=1/2. Se putea observa ca polinoamele f si g nu au doua radacini commune, deoarece

p=2 + are ca radacini pe

, . Dar x=1 nu este radacina nici a lui f si

nici a lui g.

Aplicatia 16: Fie f Z[x] un polinom. Presupunem caexista a Z astfel incat f(a) si f(a+1) sunt numere impare. Sa se arate ca f nu are radacini in Z.


107

Solutie: Presupunem prin absurd ca exista m Z astfel incat f(m)=0. Conform teoremei lui Bezout, exista un polinom g astfel incat f=(X-m)g. Se observa ca g are coeficienti intregi. Au loc in Z relatiile urmatoare: f(a)=(a-m)g(a) si f(a+1)=(a+1-m)g(a+1).Cum unele din numerele f(a) si f(a+1) este par, ceea ce contravene ipotezei.

Aplicatia 17: Sa se resolve ecuatia + 2 stiind ca are radacini multiple. Solutie:

METODA 1 Se folosesc relatiile lui Viete la care se adauga . METODA 2 Deoarece f(X) si ( )( ) se anuleaza pentru acelasi x= rezulta ca polinoamele

f(X) si ( )( ) au un divizor comun de gradul intai, care se poate determina fie cu algoritmul lui Euclid, fie prin metoda scaderilor successive METODA 3 Se observa ca ecuatia nu poate avea radacina multipla mai mare decat 1 deoarece 2, si in consecinta putem pune f=(X-1) ( + 2) METODA 4 Se observa ca x=1 este solutie a ecuatiei, apoi se foloseste schema lui Horner.

Aplicatia 18: Sa se determine parametrul real m si sa se resolve ecuatia 2 +

28 , stiind ca radacinile reale ale ecuatiei sunt in progresie aritmetica. a) M=0 b)m=28 c)m=39 d)m=1

Solutie: Daca , , sunt radacinile ecuatiei, atunci conditia ca ele sa fie in progresie aritmetica este 2 + . Acestei relatii ii asociem sistemul de relatii Viete:

{ + + 2

+ + 28

Din prima relatie a lui Viete si relatia data rezulta 2, adica 4 + 8, (1). Din ultima relatie a lui Viete se deduce 7,(2). Din (1) si (2) gasim 7 sau 7 . Din a doua relatie a lui Viete gasim m=39.

Aplicatia 19: Sa se arate ca polinomul f=2 + + + Z4[X] nu are nicio

radacina in Z4, dar se poate descompune in Z4[X]. Solutie: Se verifica prin calcul ca f( ),f( ),f(2),f( ) diferit de Punem f=(aX+b)(c +dX+e),a,b,c,d,e Z4. Dezvoltand in membrul drept si apoi identificand gasim a=2, b= , c= , d= , e= . Deci f=(2 + )( + + ). Notiunea de element ireductibil sau reductibil se defineste doar pentru domenii de inegritate. Z4 nu este domeniu de integritate , de aceea folosim formularea “f se descompune in produsul a doua polinoame”

Aplicatia 20: Fie a un numar diferit de zero si polinomul f= + + +

[X]. Sa se arate ca f este ireductibil in Z[X]. Solutie: Divizorii termenului liber sunt -1 si 1. Calculam f(1)=a+ + ( + + ) F(-1)=-a+ ( + ) Rezulta ca f nu are radacini intregi, deci nu are factori de gradul intai in Z[x]. Presupunem prin absurd ca f=gh, unde gr(g)=gr(h)=2/ Putem presupune ca g= + + , h= + ,m,n Z


108

Deoarece f(-a)=- g(-a)h(-a)=- ( + )( ) Consideram urmatoarele cazuri :

1. + ↔ ( ) , Dar identitatea ( + + )( + + ) + + + nu este adevarata.

2. + + Le scadem si obtinem –a(m-n)=-4 Le adunam si avem 2 ( + )

{ 4

+ 2

↔ {

2

+

2

Atunci f=[ + . +

/ + - 0 + .

/ 1 + 2 . +

/

+ + + Deci f nu se descompune in Z[x]

Profesorul trebuie sa creeze conditii favorabile fiecarui elev de a-si forma si dezvolta competentele intr-un ritm individual, de a-si transfera cunostintele acumulate dintr-o zona de studiu in alta. Trebuie vizate urmatoarele aspect ale invatarii:

-citirea corecta si constienta a enuntului unei probleme -interpretarea parametrilor unei probleme ca o parte a ipotezei acesteia -analiza secventelor logice in etapele de rezolvare a unei probleme. -exprimarea rezultatelor rezolvarii unei probleme in limbaj matematic -compararea, obsrvarea, unor asemanari si deosebiri, folosirea unor criterii de

clasificare pentru descoperirea unor proprietati, reguli -utilizarea unor repere standard sau a unor formule standard in rezolvarea de

probleme -formarea obisnuintei de a verifica daca o problema este sau nu determinata -exprimarea prin metode specifice a unor clase de probleme; formarea obisnuintei

de a cauta toate solutile sau de a stabili unicitatea solutiilor analiza rezultatelor -folosirea particularizarii, a generalizarii, a inductiei sau a analogiei pentru

alcatuirea sau rezolvarea de problem noi, pornind de la proprietatea sau problema data -initiere si realizarea creative a unor investigatii -intuirea algoritmului dupa care este construita o succesiune data, exprimata verbal

sau simbolic -reformularea unei problem echivalnte sau inrudite -transferul si extrapolarea solutiilor unei probleme pentru rezolvarea altora -utilizarea rezultatelor si a metodelor pentru creearea de strategii de lucru. De asemeni pentru a spori interesul si gradul de participare al elevilor, ei au fost

incurajati sa rezolve problemele si cu ajutorul calculatorului. Folosirea calculatorului se dovedeste foarte utile in rezolvarea problemelor de divizibilitate, de aflare a celui mai mare divizor comun a doua numere sau a doua polinoame, aflarea valorii unui polinom, operatii cu polinoame si rezolvarea ecuatiilor pentru care nu exista formule.


109

VI.6.5 SISTEMUL DE VERIFICARE SI EVALUARE Matematica, alaturi de celelate discipline, isi aduc o contributie importanta la

formarea elevului pentru o activitate sociala si profesionala utila. Pentru a face o incursiune in cunostintele insusite de elevii claselor a XII-a A si D, la

inceputul anului scolar am dat urmatorul test initial

Testul initial I

1) Enuntati teorema impartirii cu rest in Z? 2) Care sunt proprietatile divizibilitatii in Z? 3) Definit cal mai mare divizor comun a doua numere intregi.

II 1)Restul impartirii lui -21 la 5 este: a)1 b)0 c)4 d)-1 2)Daca ab=37800si [a;b]=2520 atunci (a;b) este: a) 168 b)15 c) 150 d) 2520 3) Daca n N si +2n este prim atunci n este: a)0 b) 1 c)2 d)p,p prim

III 1) Aratati ca daca impartim numerele ab,bc si ca la acelasi numar natural obtinem

caturile a si respective a si resturile c, a respective b , atunci a=b=c.Aflati impartitorul

2) Sa se arate ca daca a, b si d sunt numere intregi astfel incat a este prim cu b este prim cu b si d divide suma a+b, atunci d este prim cu a si cu b.

3) Fie expresia E(x)=.

+ +

/

a) Aduceti expresia la forma cea mai simpla b) Calculati E(1) si E(-1)

c) Determinati multimea {xϵN|E(x)=

}

Punctajul acordat : se acorda pentru fiecare exercitiu cate 1 punct; din oficiu 1 punct Prin acest test am urmarit sa verific daca elevii cunosc teorema impartirii cu rest in

Z si o pot utiliza in situatii date; daca elevii cunosc proprietatile divizibilitatii in Z, si stiu sa le aplice in rezolvarea problemelor; daca elevii stiu sa efectueze calcule cu expresii algebrice, sa determine valoarea unei expresii pentru un x dat si sa resolve o ecuatie algebrica simpla. La subiecul III sa urmarit si exprimarea riguroasa, justificarea prin argumente inlantiute logic a pasilor de rezolvare a problemelor

In urma cercetarii acestiu , s-au obtiut urmatoarele rezultate: NOTA 10 9 8 7 6 5 4 3 2 MEDIA XII A - - - 1 4 5 5 4 3 4.59 XII D - - - 3 6 5 3 3 2 4.86


110

Se constata o diferenta mica intre mediile generale ale celor doua clase, ceea ce reflecta un nivel apropiat al cunostintelor dar, foarte scazut. Aceste medii au demonstrat ca elevii nu poseda cunstinte de aritmetica numerelor intregi, ceea ce ne arate ca nu se acorda atentia cuvenita aritmeticii in programele scoalre. Astfel nu se vor putea preda notiunile de aritmetica polinoamelor prin analogie cu cele din aritmetica numerelor intregi. De aceea in timp ce la clasa de control a XII a D s-a lucrat in mod obisnuit, la clasa experimental a XII a A am predate capitolul “polinoame” utilizand o strategie complexa din metodele active prezentate in paragrafele anterioare si completand cu orele suplimentare. In plus lectiile sau bazat pe munca in grup a elevilor, fiecare gupa fiind alcatiuita din 3-4 colegi din bancile invecinate, si pe activitatea independenta.

In cadrul acestei lectii am urmarit: -cooperarea ca modalitate eficienta de realizare a sarcinilor didactice, cooperarea privita in stransa legatura cu munca individuala , independenat -priceperea si deprinderea de munca intelectuala independent, de aplicare n prctica a celor invatate -dezvoltarea capacitatilor de investigare ale elevilor -exercitii de fixare a algoritmilor, fomulelor si teoremelor de aplicare a lor in diferite conditii date -stimularea gandirii creative -intelegerea unei teorii matematice a inlantiurii intr-un sistem

Elevii au fost anuntati ca vor primi nota maxima aceia care vor efectua tema pentru acas prin mai multe metode si vor sti sa raspunda correct la intrebari in legatura cu tema prezentata. Am dorit astfel ca in afara clasei elevii sa fie preocupati de efectuarea corecta a sarcinilor, sai determin sa desluseasca active si constient notiunile. Ca urmare la verificarea temei pentru acasa am constatat dorinta elevilor de a se angaja active si constient in rezolvarea corecta a ei unii dovedind ca au lucrat foarte mult, dar din cauza nestapanirii metodelor de luru, au facut si greseli.

Atat in clasa cat si acasa sau lucrat foarte multe probleme, prin diverse metode , deoarece un elev stie sa se descurce la matematica daca a invatat fiecare notiune predate si a aplicat-o in rezolvari de exercitii si probleme. Rezolvarea fiecarei problem de matematica reprezinta o creatie pentru cel cei gaseste multimea solutiilor, iar elevul nu poate afirma “am invatat cutare lectie si acum stiu matematica” invatarea temeinica e lectiei respective presupune certitudinea elevului exprimata in afirmatia “ stiu lectia pentru ca am rezolvat n problem(de diferite tipuri) in care am aplicat notiunile invatate”

De asemenea dupa fiecare unitate de invatare verificat oral sau prin teste scrise , gradul de intelegere si asimilare a cunostintelor.

La sfarsitul anului am dat celor 2 clase urmatoeul test:

Test final I

1) Enuntati teorema impartirii cu rest a polinoamelor 2) Care sunt proprietatile divizibilitatii polinoamelor? 3) Definiti cel mai mare divizor comun a doua polinoame

II Se considera polinomul fϵR[x], f=4 4 + 2 + 7 1) Sa se determine restul impartirii polinomului f la X-1


111

a) 7 b) X+6 c) 8 d) 6 2) Multimea {aϵR|f(a)>0} este: a) (0,∞) b) R c) (-∞,0) d) (-7, ∞) 3)Numarul de radacini rationale sle polinomului f este: a) 4 b)0 c) 1 d)2

4)Sa se calculeze +

+ +

a) 1 b)9/16 c) 5/2 d)5/4

5)Se considera polinoamele f,gϵR[x], f=2 + 2 si g=8 + 8 + 7 . Determinati cel mai mare divizor comun al lor

a) X+1 b) 2X+1 c) 2X+3 d)2 + + III

Sa se demonstreze ca polinoamele f, gϵR[x], f= 6 + 2 + 5 si g=4 + 2 + sunt ireductibile in Q[x]

Punctajul se acorda pentru fiecare exercitiu cate 1 punct ;din oficiu 1 punct

Prin acest test am urmarit sa verific daca elevii cunosc teorema impartirii cu rest a

polinoamelor, proprietatile divizibilitatii polinoamelor si daca stiu sa le aplice ; daca stiu sa aplice proprietatile polinoamelor si ale radacinilor lor; daca cunosc notiunea d cel mai mare divizor comun si stiu sa aplice algoritmul lui Euclid.

In afara de achizitia de cunostinte am evaluat intelegerea terminologiei si principiilor; abilitatea de a expica , abilitatea de a calucula si de a rezolva problem noi; dezvoltarea capacitatii de a recepta si de a produce teste scrise

In urma testului final s-au obtinut urmatoarele rezultate. NOTA 10 9 8 7 6 5 4 3 2 MEDIA XII A - 1 4 5 7 2 1 - - 6.60 XII D - - 1 7 4 5 3 2 - 5.63 Dupa cum se observa de data aceasta, diferenta este de aproape un punct, ceea ce

confirma ipoteza. Reprezentand grafic rezultatele obtinute in urma prelucrarii testelor se obtin

graficele de mai jos.


112

1)Graficele 1A si 1D pentru testul initial

2)Graficele 2A si 2D pentru testul final

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fre

cve

nta

nota

test initial

XII A

XII D

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fre

cve

nta

nota

Test final

XII A

XII D


113

In urma corectarii testului final, se observa ca diferenta intre mediile generale ale celor 2 clase se accentueaza in favoarea clasei experimentale, ceea ce confirma ipoteza enuntata la inceput.

Datorita experimentului facut, elevii clasei experimentale au manifestat inters sporit pentru studiul polinoamelor.

Strategiile active, creative, au fost cadrul unei invatari active-constiente prin decoperire si analogie; o invatare intense si eficienta cu un pronuntat character formative respectand principiile didactice si legitatile psihologice privind principalele aspect ale sctului invatarii; luarea in seama a particularitatilor psiho-cognitive, mentinerea unei motivatii ridicate, crearea conditiilor pentru intelegerea si realizarea transferului a ceea ce se invata, asigurarea unei ample exersari si a unei bune retentii a celor invatate.

Aplicatii – exercitii pentru pregatirea examenului de bacalaureat

1. Se consideră polinoamele cu coeficenţi reali 9628 234 bXXaXXf şi

2422 XXg .

a) Să se scrie forma algebrică a polinomului ).4)(242( 22 XXXh

b) Să se determine Rba , astfel încât polinoamele f şi )4)(242( 22 XXXh să

fie egale.

c) Să se rezolve în R ecuaţia .096284288216 xxxx

2. Se consideră polinomul 99 23 XXXf care are rădăcinile .., 321 Rxxx

a) Să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la .12 X

b) Să se verifice că .18)(9 2

3

2

2

2

1

3

3

3

2

3

1 xxxxxx

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0)3( xf

3. Fie polinomul 423 aXaXXfa care are coeficienţii numere reale

a) Să se determine Ra astfel încât ,2321 xxx unde 321 ,, xxx sunt rădăcinile

reale ale polinomului af .

b) Să se determine Ra astfel încât polinomul af să fie divizibil cu polinomul .22 X

4. Se consideră inelul polinoamelor ].[3 Xz

a) Pentru ),1()2(],[ 2

3 XXgXZg să se calculeze ).0(g

b) Dacă ,2],[ 3

3 XXfXZf să se arate că .,0)( 3Zxxf

5. Se consideră polinoamele ],[, 5 XZgf baXXbaf 322)33( 2 şi

.2322 2 baXXg

a) Să se determine 5, Zba astfel încât cele două polinoame să fie egale

b) Pentru ,2 ba să se calculeze în 5Z suma ).4()3()2()1()0( fffff

c) Pentru ,2 ba să se rezolve în 5Z ecuaţia .0)( xf

6. Se consideră mulţimea ),5( G , iar pe R se defineşte legea de compoziţie


114

x*y = xy-5x-5y+30, Ryx , .

a) Să se calculeze: x*y (x-5)(y-5)+5, Ryx ,

b) Să se arate că oricare ar fi Gyx , avem Gyx * .

c) Să se arate că (x*y)*z = x*(y*z), Rzyx ,, .

d) Să se determine elementul neutru al legii “*” e). Să se arate că (G, *) este grup comutativ

f). Să se rezolve ecuaţia 55*5 xx .

7. Pe mulţimea R se consideră legea de compoziţie: 622 yxxyyx

a. Calculati 4

32 ;

b. Sa se arate ca 2)2)(2( yxyx yx,, R

c. Verificati daca legea este comutativa; d. Verificati daca legea este asociativa; e. Determinati elementul neutru al legii; f. Determinati elementele simetrizabile in raport cu legea data.

8. Calculati suma S = 76543 in Z8.

9. Determinati inversul lui 3 in Z13 in raport cu operatia de inmultire.

10. Fie legea de compozitie "" definita pe R , 532 yxxyyx . Rezolvati ecuatia

.62 x

APLICATII

1. Să se calculeze f+g, f–g, 4f+2g, 5f–4g, fg, f:g, g:f unde:

f(x) = 5X4–2X3–4X2+X– şi g(x) X2+2X–1.

f(x) = 2X4+5X3–3X2+2X–4 şi g(x) X2+3X–2.

f(x) = 3X4–4X3–7X2+4X–8 şi g(x) X2+4X–5.

f(x) = 6X4–3X3–4X2+8X–7 şi g(x) X2+3X–2.

f(x) = 7X5–2X3–5X– şi g(x) X2 – 1.

f(x) = 4X6–3X4–5X2– şi g(x) X2 + 1

2. Folosind schema lui Horner, determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f la

binomul g dacă:

f(x) = 5X4–2X3–4X2+X– şi g(x) X – 1.

f(x) = 2X4+5X3–3X2+2X–4 şi g(x) X – 2.

f(x) = 3X4–4X3–7X2+4X–8 şi g(x) X – 5.


115

f(x) = 6X4–3X3–4X2+8X–7 şi g(x) X2 – 2.

f(x) = 7X5–2X3–5X– şi g(x) X +

f(x) = 4X6–3X4–5X2– şi g(x) X +

3. Aflaţi restul împărţirii polinomului f la binomul g dacă:

f = X2008 + 3X2 – 5X + 2 şi g X – 1.

f = X2008 + 3X2 – 5X + 2 şi g X +

f = X2008 + 3X2007 – 5X + 2 şi g X +

f = X2008 + 3X2007 – 5X + 2 şi g X – 1.

4. Determinaţi c m m d c şi c m m m c al polinoamelor f, g şi h dacă:

f = (X–2)5(X–1)3X8(X+1)6(X+2), g = (X–2)3(X–1)4(X+2)3(X+3)4 şi h (X–2)6(X–

1)2(X+2)4(X+5)2.

f = (X–3)6(X–1)2X2(X+1)3(X+7), g = (X–3)2(X–1)3(X+1)2(X+3)4 şi h (X–3)6(X–

1)(X+1)4(X+7)2.

5. Daca polinomul P(X) = X3 – 2X2 – 2X – m ,este divizibil cu ( X – 3), atunci: m este : a)

–3 , b) 3 ,c) 6 ,d) 1

6. Fie polinomul P(x) = 8X3 + 2X2 +bX +c

I. Daca restul împartirii lui P(x) la (X – 1) este 10 ,atunci b +c este: a)0; b)1; c)2;

d)3

II. Daca ,în plus P(x) se divide la (2X – 1) atunci b si c sunt: A) b=3; c= -3 ; B)

b=c=3, C) b=c=2 , D) b=1 , c=3

7. Daca Polinomul X3- mX2 +nX +4 se divide la (X2 – 4) ,atunci m si n sunt :

a) m= -1 ; n= -8 , b) m= 1 ; n= -4 ; c) m=n=1 , d) m= -8 ; n= -1;

8. Fie X1 ; X2 ; X3 radacinile ecuaţiei X3 + X2 +X - 5 = 0 Calculaţi log5 (X1 X2 X3) .

a) 5 ; b) -5 , c) -1 ; d) 1

9. Se consideră polinomul 273913 23 xxxf .

a) Să se determine câtul şi restul împărtirii polinomului f prin 342 xx . b) Să se rezolve ecuaţia f(x) , xC . c) Să se rezolve inecuaţia f(x) 0 , x R . d) Să se rezolve ecuaţia f( x) = 0, xR . e) Să se rezolve ecuatia 0,0log 2 xxf .

f) Determinaţi probabilitatea ca un element x * , ,2, ,4,5,6+ să fie soluţie a ecuaţiei f(x) = 0.

10. Se consideră ecuaţia x3+5x2+2x–3= cu rădăcinile x1, x2, x3 C.


116

a) Să se calculeze 321

111

xxx .

b) Să se calculeze valoarea determinanţilor

132

213

321

2

3

2

1

1 ,

32

23

32

xxx

xxx

xxx

x

x

x

.

11. Se consideră polinomul nmxxxf 23 4 , unde m si n sunt parametrii reali.

a) Să se determine parametrii reali m şin astfel încât fxx )2)(1( .

b) Pentru m şi n -6 rezolvaţi inecuaţia f(x) , xR.

12. Se consideră polinomul cbxaxxxf 234 15 , unde a,b,c sunt parametrii reali.

a) Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât încât 8147 23 xxxf .

b) Pentru a, b, c determinaţi la punctul a) rezolvaţi ecuaţia f(x) c) Pentru a, b, c determinaţi la punctul a) rezolvaţi ecuaţia f(2x) = 0. 13. Se consideră ecuaţia x3–9x2+23x+a= , unde a este un parametru real Determinaţi pe

a şi apoi rezolvaţi ecuaţia ştiind că are rădăcinile în progresie aritmetică 14. Se consideră ecuaţia x3+ax2+56x–64=0, unde a este un parametru real Determinaţi pe

a şi apoi rezolvaţi ecuaţia ştiind că are rădăcinile reale şi în progresie geometrică 15. Să se rezolve ecuaţia x3–12x2+39x–28= ştiind că are rădăcinile în progresie

aritmetică

VI.6.6 CONCLUZII SI PROPUNERI

Desi s-a pornit de la un nivel initial foarte apropiat, dupa aplicarea experimentului,

atingerea obiectivelor s-a facut in mod diferentiat. Experimentul, desi nu a evidentiat

rezultate spectaculoase, a adus o ameliorare a situatiei la invatatura a elevilor din clasa a

XII-a A.

Insusirea cunostintelor este cu atat mai eficienta, cu cat se sprijina pe activitatea

proprie a elevului, care trebuie pus in fata unor intrebari, fiind antrenat continuu in gasirea

de noi legaturi, in stabilirea unor concluzii, in “descoperirea” unor noi adevaruri

Munca in grup favorizeaza asimilarea constienta a cunostintelor de matematica de

catre toti elevii, deoarece obliga la o gandire activa a tuturor in cadrul cooperarii si

intrajutorarii cu prilejul rezolvarii problemelor.


117

Programele liceale trebuie regandite pe directia formarii capacitatilor de baza ale

specialistului de astazi:

Capacitatea de abstractizare;

Capacitatea de a gandi sistematic o problema;

Capacitatea de testare a solutiilor;

Capacitatea de a folosi tehnicile informationale.

Odata cu reducerea numarului de ore de matematica la clasa, au fost scoase o serie de

notiuni, fara sa se tina cont de importanta lor in studiul altor notiuni. Ceea ce influenteaza

celmai mult invatarea sunt cunostintele pe care elevul le poseda la plecare. Prin exersarea,

atat la clasa cat si acasa, pe seama unor continuturi mai mult sau mai putin similare, se

fixeaza strategiile formate sau se elaboreaza altele.

In fiecare scoala profesorul de matematica trebuie sa aiba la dispozitie un calculator

pentru a realiza fise de lucru bazate pe o sistematizare a problemelor pentru crearea unor

programe de rezolvare a probemelor de matematica si pentru realizarea unor lectii

fovorizand o motivatie mai puternica pentru studiul matematicii.

Evident, exista elevi slabi la matematica, dar foarte importanta este stradania

profesorilor de matematica de a face ca numarul celor buni sa tinda catre numarul total de

elevi, iar numarul celor slabi s atinda catre zero.

Date post:	29-Nov-2015
Category:	Documents
Upload:	radu-pasa
View:	117 times
Download:	7 times

86113336 Lucrare Gradul i

Documents