1
1
6 Analiza Fourier a semnalelor
definite in timp discret
1-Seria Fourier pentru semnale periodice in timp discret
2-Transformata Fourier in timp discret pentru semnale
aperiodice
http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap6.pdf
2
Raspunsul sistemelor discrete, liniare si invariante
in timp SLITD la exponentiala complexa de modul
unitar
j k
k
H h k e
H() 0j ne
0
0
j ne H
Functie proprie pentru
orice SLITD
Valoare proprie
.0000
k k
kjnjknjnjekheekhenhny
0 00
0 0Cu notatia: j nj nj k
k
H h k e y n e H H e
• Demonstratie:
• La iesire se obtine tot o exponentiala complexa, de aceeasi frecventa ca si semnalul de intrare, 0, dar de modul si faza
initiala afectate de |H(0)| si arg{H(0)}.
2
3
Fie un semnal de intrare x[n] ce apare ca o combinatie liniara a unor exponentiale complexe de forma Φk[n]=exp(jkn),
Se observa ca raspunsul este o combinatie liniara a raspunsurilor
partiale, H(Ωk) Φk[n]
Daca semnalul de intrare se poate pune sub forma unei sume de exponentiale discrete, este suficienta cunoasterea functiei H(), pentru
a determina raspunsul y[n]
H() kj n
k
k
a e
kj n
k k
k
a H e
4
Seria Fourier in timp discret pentru
semnale discrete si periodice
Fie un semnal periodic, x[n] de perioada N, pentru care x[n+N]=x[n], n. Intr-o perioada exista N valori {x[0], x[1],
…, x[N-1]}, dupa care ele se repeta: x[0]= x[N], x[N+1]= x[1] ...
etc. Se scrie ca:
x[n]= x[(n)N]
(n)N - reprezentarea lui n in clase de resturi modulo N
(7)8=7 pentru ca 7=08+7
(15)8=7 pentru ca 15=18+7
Pentru n<0, restul (n)N trebuie sa fie pozitiv:
(-15)8=1 pentru ca -15=-28+1
3
5
Spatiul semnalelor discrete si periodice, de perioada N, este N
dimensional, deci bazele sunt N-dimensionale. Un exemplu de baza
ortogonala este
2
0
,2 , 0 1 ; ; ,
0,
jk nN
k k l
N k ln e k k N n n
k lN
Pentru un semnal periodic, x[n], de perioada N, de energie finita, exista
o descompunere unica, cu coeficientii ck unic determinati
Aceasta este o pereche Fourier. Seria Fourier exponentiala: sinteza
semnalului x[n] ca o suma ponderata de N exponentiale complexe
discrete. Secventa de coeficienti Fourier este si ea periodica de aceeasi
perioada N
0 0
1 1
0 0
1N Njk n jk n
k k
k n
x n c e c x n eN
, 0 1.k N kc c k N
6
• In insumare indicii trebuie sa ia valori consecutive, dar
nu neaparat 0,…,N-1. Notatie <N>
• Periodicitatea seriei Fourier se verifica usor:
2 21 12
0 0
212
0
1 1
1Dar 1 si , 0 1.
sau
N Nj k N n jk nj nN N
k N
n n
N jk nj n N
k N k
n
Nk N k k k
c x n e x n e eN N
e c x n e c k NN
c c c c
4
1. Semnalul sinusoidal are perioada N. Folosind
relatia lui Euler:
7
Exemple
n
Nnx
2sin
.
2
1
2
1
2
1
2
12sin
21
222n
NNjn
Njn
Njn
Nj
ej
ej
ej
ej
nN
Prin identificare:
1 1 0 2 2
1 1 , ; in rest coeficientii sunt nuli: ... 0.
2 2N Nc c c c c
j j
Diagrame spectrale de modul si de faze pentru N=6 sin 2 / 6n
8
Relatia lui Euler:
Identificare:
1 sin 2 / 4cos 2 / cos 4 / / 2x n n N n N n N
1
1
2
2 2
2 2
2 22
2 2
1 11
2 2
2 2
1 1
2 2
N
N
N
j n j nN N
j n j nN N
j n j nj jN N
x n e ej j
e e
e e e e
2.
0 1 2 2 1
1 11; 2 ; ; 2
2 2 2 2N N
j jc c c c c
j j
5
9
3. Semnalul dreptunghiular, de perioada N. Intr-o perioada sunt
2N1+1 valori succesive egale cu 1.
Pentru k=0:
1 11
1
22 2 2
0
1 1; 0 1
nN Njk n jk N jk
N N Nk
n N n
c e e e k NN N
10
2 1Nc
N
11
2 12sin sin 2 1
1 12 2
2sin sin
22
k
Nk N
Nc
N Nk
Nk
N
1 1k N
10
•Semnale in timp continuu: trunchierea seriei duce la aparitia unor
oscilatii la trecerea brusca a semnalului de la o valoare la alta.
Mariind numarul de termeni din serie, amplitudinea oscilatiilor nu
se modifica, dar ele devin mai rapide (fenomenul Gibbs)
•Semnale in timp discret: trunchierea nu duce la aparitia unui
fenomen de tip Gibbs. Se face o aproximare a semnalului; cu cat
numarul de termeni e mai mare, cu atat aceasta este mai buna. Cand
se insumeaza toti cei N termeni, semnalul este chiar x[n], fara nici o
eroare.
•Fie N = 9 si 2N1+1 = 5 . Coeficientii Fourier sunt:
c0 = 0,556 ,
c1 = c8 =0,32 ,
c2 = c7 = -0,059 ,
c3 = c6 = -0,111,
c4 = c5 = 0,073.
6
11
Semnalul trunchiat cu 2M+1 termeni din seria sa Fourier:
Pentru M=1, 2, 3 si 4 avem aproximarile:
29
M jk n
M kn M
x n c e
1
2
3
4
20.556 0.64cos
9
2 40.556 0.64cos 0.118cos
9 9
2 4 60.556 0.64cos 0.118cos 0.222cos
9 9 9
2 4 6 80.556 0.64cos 0.118cos 0.222cos 0.146cos
9 9 9 9
nx n
n nx n
n n nx n
n n n nx n
12
Trunchierea seriei de reconstructie pentru semnalul
dreptunghiular.
Nu apare o comportare asemanatoare fenomenului Gibbs:
x4[n]=x[n]
7
13
Proprietatile seriei Fourier in timp discret
1. Liniaritatea. x[n], y[n] periodice de aceeasi perioada
Tema: demonstratia
yxk k
ax n by n ac bc
2. Deplasarea (translatarea) in timp
02
0
jk nN
kx n n e c
Spectrul de modul nu este afectat, in schimb este afectat cel de
faza.
Operatii duale: deplasarea si modulatia (inmultirea cu o
exponentiala complexa)
14
3. Conjugarea complexa
k k Nx n c c
* *
Reflectarea este auto-duala.
4. Reflectarea semnalului
N
k kx n c c
8
15
5. Modificarea scarii timpului
Semnal cu derulare de m ori mai lenta:
Semnalul x[n] periodic de perioada N => Se obtine semnalul
x(m)[n] periodic cu perioada N’=mN.
/ ; daca divisibil cu 1
, perioada 0 ; altfel
'm k
x n m n m n mx n c N mN
m
2 21 1
0 0
21
0
1 1
1 1
mN Njk jk mpmN mN
m mkn p
N jk pN
kp
nc x n e x pm e
mN mN
x p e cmN m
'
16
6. Modularea semnalului
Modularea realizeaza deplasarea cu k0 a spectrului de modul si faza.
0
0 0
2
N
jkN
k k k k
ne x n c c
7. Produsul a doua semnale (teorema produsului)
1
0 N
Nyx x x
m k kk mm
x n y n c c c c
Pentru x[n], y[n] periodice de aceeasi perioada
Seria Fourier este convolutia periodica sau circulara a secventelor
discrete formate din ckx si ck
y
9
17
8. Convolutia periodica (teorema convolutiei)
1
0
N
Nk
z n x n y n x k y n k
1
0
1
0
N
m
N
Nm
x n y n x m y n m
x m y n m
z n z n N
yxk k
x n y n Nc c
x[n] si y[n] periodice de perioada N, cu seriile Fourier ckx si ck
y
Convolutia lor circulara este z[n], de asemenea periodica cu N:
18
9. Diferentierea discreta a semnalului discret
Echivalenta diferentierii in timp continuu
Tema: demonstratie.
2
1 1j kN
kx n x n e c
10. Insumarea in domeniul (timpului) n
Suma esantioanelor unui semnal x [n] de perioada N , fara componenta
continua ( ) are aceeasi perioada N
Demonstratie.
02, 0
1
nk
j km N
cy n x m c
e
0 0c
2
1 1j k y xN
k k ky n y n x n e cc c
10
19
11. Proprietati specifice semnalelor reale
Daca x[n] este real,
12. Seria Fourier a componentei pare si impare
Nk k k
x n x n c c c
; Arg Arg Arg
Re Re ; Im Im Im
N N
N
k k k kk k
k k k k k
c c c c c c
c c c c c
1 1Re
2 2 2
1 1Im
2 2 2
p k k k
i k k k
x n x nx n c c c
x n x nx n c c j c
20
13 Relatia lui Parseval
Patratul normelor in l2.
Puterea P a semnalului discret periodic calculabila
-in timp: ca medie a patratelor esantioanelor temporale,
-in frecventa: ca suma a patratelor modulelor coeficientilor seriei
Fourier atasate semnalului.
1 1 22 2
20 0
N N
kn k
x n x n N c
1 1 22
0 0
1 N N
kn k
P x n cN
11
21
Transformarea Fourier in timp discret,
pentru semnale discrete Introducem notiunea de transformata Fourier, pornind de la seria Fourier a unui semnal periodic, a carui perioada tinde la infinit N
Semnalul de durata finita este:
Pentru semnalul periodic avem:
Seria Fourier se poate rescrie:
k
x n x n kN
2
jk nN
kk N
x n c e
2
1 jk nN
kk N
c x n eN
2
1 jk nN
kn
c x n eN
22
Se defineste anvelopa produsului Nck prin:
Coeficientii semnalului periodizat devin :
Pentru semnalul considerat
0 0
1 2,
kc X k
N N
j n
n
X x n e
1sin 2 1
2
sin2
N
X
12
23
2N1+1=5
Spectrul semnalului neperiodic
x[n] este anvelopa sau
infasuratoarea X(Ω).
24
Relatia de recuperare a semnalului este:
La limita N (Ω0 0) , obtinem semnalul neperiodic:
Transformata Fourier in timp discret
Transformata Fourier inversa in timp
discret
2
1
2
j nx n X e d
j n
n
X x n e
0 0
1 2, kc X k
N N
0 00 0 0
1 1
2
jk n jk n
k N k N
x n X k e X k eN
2
1lim
2N
j nx n x n X e d
13
25
Proprietati.
• Pentru semnale absolut sumabile, x[n] l1 , transformata converge
• Functia X( ) este continua. X(Ω) – spectrul unui semnal discret
este continuu
• Spectrul unui semnal discret este o functie periodica dupa , cu
perioada 2 . Este deci suficienta reprezentarea pe intervalul [0,2π)
sau [-π, π)
1
nxnxenxenxXnn
jn
n
jn
22
2
j n j n
n
X x n e e X
X X
njnjnjnj eeee 22
26
Semnale de energie finita (semnale de patrat sumabil)
Convergenta in medie patratica
Trunchierea seriei duce la aparitia fenomenului Gibbs (ca si
in timp continuu)
Probleme de convergenta apar doar la semnalele cu suport
infinit
Semnalele cu suport finit sunt din l1
l.i.mN
Nj n
n N
X x n e
2
lim 0N
Nj n
n N
X x n e
2x n l
14
27
Exemple
1.
2. Semnalul treapta unitate
3. Semnalul cauzal
Functie complexa, modul si faza
1
1 1
sin 2 12
1
sin2
N
x n n N n N X
0 1
1
j n
n
x n n X n e e
n
, 1nx n a n a
2
1 sin;
cos 11 2 cos
aX arctg
aa a
28
2
1 ;
11 2
a sinX Arg X arctg
acosacos a
15
29
Transformarea Fourier in timp discret,
pentru semnale discrete si periodice
• Poate fi introdusa numai in sens distributional
22 , unde
Nll l N
l
X c l c cN
Un semnal discret periodic, poate fi descompus in seria
Exponentiala complexa cu frecventa kΩ0 de modul unitar are
transformarea in timp discret:
,1
0
0
N
k
njkkecnx
00
22
jk ne k
30
Folosind liniaritatea avem
1
0
02
2N
k
k
x n c k
Transformarea exponentialei complexe de modul unitar
0 00
22 2 2
j n
k
n e X k
16
31
Tinand seama de definitia distributiei Dirac periodice:
Fie l = k+mN .
Tinand cont de periodicitatea seriei Fourier putem scrie cl = ck
Am obtinut transformarea Fourier in timp discret pentru un semnal
periodic discret.
1
0
02
2N
k
k
x n c k
0
1 1
0 0
22 2 2 2
N N
k km mk k
X c k m c k mN
22 , where
Nll l N
l
X c l c cN
32
Exemplu: Distributia Dirac periodica
seria Fourier
1N k
k
n n kN cN
2
2 l
l
X c lN
00 0
2 2 2; N
k
n kN N N
17
33
Spectrul X() unui semnal discret periodic este format din
distributii Dirac plasate la Spectrul este periodic de perioada 2
2 /k k N
34
Proprietati
1. Liniaritatea
ax n by n aX bY .
00
j nx n n e X .
2. Deplasarea in timp a semnalului
3. Modularea in domeniul timp
00
j ne x n X .
4. Scalarea variabilei timp
kx n X k .
18
35
5. Conjugarea complexa a semnalului
* *x n X .
6. Reflectarea in timp a semnalului
x n X .
7. Diferentierea numerica a semnalului discret
1 1 jx n x n e X .
8. Convolutia semnalelor (teorema convolutiei)
x n y n X Y .
36
9. Insumarea in domeniul timpului
201
n
jk
Xx k X .
e
10. Produsul semnalelor discrete
2
1 1
2 2x n y n X u Y u du X Y .
11. Derivarea in domeniul spectrului
dX
nx n j .d
19
37
12. Spectrele semnalelor reale
;
;
; Im X
* *
p i
x n x n X X .
x n Re X x n j Im X .
X X Arg X Arg X ;
Re X Re X Im X .
13. Relatia lui Parseval
2 2
2 2
222
2
22
2
1 ;
2
2
X 2
,
,
n -
L l
L l
x n l , x n X d
X x n .
x n , y n l , ,Y x n ,y n
38
Densitatea spectrala de energie
2
2
1
2
X
X
S X ;
W S d .
Se noteaza cu SX(Ω).
Energia se obtine prin integrarea densitatii spectrale de energie
20
39
Raspunsul in frecventa al SLITD
h n H . Raspunsul la impulsul unitar: h[n]
Transformata sa Fourier este raspunsul sistemului in frecventa H(). Cunoscand H() se poate afla iesirea pentru
orice intrare.
i)Se determina spectrul semnalului de intrare x[n], X(),
ii)Se determina spectrul semnalului de iesire y[n], Y(),
iii) Se descompune Y() intr-o suma de fractii simple si se
aplica transformarea Fourier inversa. Pentru aceasta, se
folosesc de obicei tabelele de transformate!
40
Raspunsul unui SLITD la un semnal de
intrare discret si periodic
In cazul particular semnal de intrare armonic:
0 00 0
1 1
0 0
2 ;
N Njk n jk n
k kk k
x n c e y n c H k eN
0 0 0 00
2cos cosx n A n y n A H n
N
21
41
Coeficientii Fourier:
0 0
2 2
0
2cos
2
j jN NA
x n A n e eN
0 01 1 1;
2 2
j j
N
A Ac e c c e
0 0 00 0 0 0
2;
2 2
n nj j j jA Ay n e H e e H e
N
fiindca H H h n
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2 2
2cos ;
j n j nA Ay n H e H e
y n A H nN
Demonstratie!
42
SLITD descrise de ecuatii cu diferente
finite liniare cu coeficienti constanti
Forma generala a ecuatiei este
Se aplica transformarea Fourier :
0
0 0
, 0N M
k kk k
a y n k b x n k a
Rezulta raspunsul in frecventa al sistemului
22
43
Exemple
i)
Raspunsul in frecventa
2 1
1 2 12 4
y n y n y n x n x n
2 1 2
41,2
1 1
2 1 1 11
2 4
2 11
4 2
j j
j jj j
j
e eH
e ee e
j e
Se face descompunerea in fractii simple:
1 21,2
1 2
1 2 2 1;
2 21 1j j
A AH A j
e e
44
Luand transformarea inversa se obtine raspunsul la impuls al
sistemului
1 1 2 2
4 41 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2
1 cos 2 2 1 sin
2 4 4
2 1 cos 2sin
2 4 4
n n
jn jn
n
n
n
h n A A n
j e j e n
n n n
nn n
23
45
ii) Determinam raspunsul la impuls al sistemului din raspunsul
in frecventa:
Descompunere in fractii simple:
Transformarea Fourier inversa :
4 1
1 11 1
2 8
j jH
e e
3
1 11 1
2 8
j j
H
e e
3
1 14
2 2n n
h n n
46
iii) Obtinem raspunsul la impuls h[n] si raspunsul la treapta
unitara (functia indiciala) s[n] pentru sistemul descris de ecuatia
Se identifica coeficientii si avem:
Transformarea Fourier a semnalului treapta unitara σ[n] este:
Raspunsul la treapta unitara, s[n], are transformarea:
1 , 1y n ay n x n a
0 2
1
1j
Xe
1
raspunsul la impuls 1
n
jH h n a n
ae
0 2
1
11 1j j
S H Xaae e
24
47
Descompunere in fractii simple:
Se aplica transformarea Fourier inversa si rezulta functia indiciala
s[n]
2
2
1 1 1
1 1 11 1
1 1 1
1 11 1
j j
j j
aS
a a aae e
aS
a aae e
11 1
1 1 1
nna a
s n a n n na a a
48
SLITD de ordinul intai si doi
Raspunsul in frecventa a unui SLITD este o functie
rationala. Numitorul si numaratorul pot fi scrise ca si produs
de factori cu coeficienti reali de gradul unu si doi.
Implementarea : sisteme de ordinul unu sau doi
conectate in serie realizate in forma directa II
(Produsul in domeniul frecventa inseamna convolutie in
timp)
22
1 20 1 1
220
1 21 1
1 1
1 1
P M Pj j j
k k kk kQ N Q
j j jk k k
k k
e e eb
Ha
e e e
25
49
Pentru M=N, descompunerea in fractii simple
Implementarea : sisteme de ordinul unu sau doi
conectate in paralel realizate in forma directa II
2
0 12
1 11 21 1
jQ N QN k k k
j j jk kN k k k
e AbH
a e e e
22
1 20 1 1
220
1 21 1
1 1
1 1
P M Pj j j
k k kk kQ N Q
j j jk k k
k k
e e eb
Ha
e e e
50
• Un polinom de ordinul intai sistem de ordin intai
• Un polinom de ordinul doi sistem de ordin doi.
Cunoscand comportamentul in frecventa al sistemelor de
ordinul intai si doi, putem deduce comportamentul in
frecventa oricarui sistem SLITD.
Rezulta importanta sistemelor de ordinul unu si doi.
26
51
Sisteme discrete de ordinul intai
1
11 , 1 . ;
1
1 .
1
j
nn
y n ay n x n a Hae
ah n a n s n n .
a
Pentru 0<a<1 raspunsul la impuls precum si raspunsul indicial nu
prezinta oscilatii
52
1
11 , 1 . ;
1
1 .
1
j
nn
y n ay n x n a Hae
ah n a n s n n .
a
Pentru -1<a<0 raspunsurile au caracter oscilant!
27
53
Sisteme discrete de ordinul doi
Ecuatia cu doi parametri:
Raspunsul in frecventa:
Raspunsul la impuls:
Raspunsul indicial:
54
2
22 2 2 2
2 2
0
1 1 .
1
1 1 1 1
1 1 11 1 11
11
11 1
n
j
j jj
n n
.
H h n n n
e
S .e ee
s n n n .
Sistem de ordinul doi: =0
1.
28
55
2
2 2
1
1
1 ,
11
11 1
j
n
n n
.
H .
e
h n n n
s n n n .
2. Sistem de ordinul doi: =
56
Sistem de ordin doi. Raspunsul la impuls pentru =/2, =0, =
Sistem critic amortizat
Sistemul prezinta oscilatii
29
57
22 2 2 2 2 2
2
1
4 4 1 1 4
2
1 2 2
H .
cos cos cos cos
r sin a r cosarctg .
r cos cos r cos
Raspunsul in frecventa
Functia de corelatie. Densitatea spectrala de
putere si de energie a semnalelor discrete
0
0
0 0
0
0
12
000
0
1 12
0
0 0
1
2 1
Daca x[n] este de perioada
2
Functia este periodica de perioada
Teorema W
N
xN
n N
Njm k
x m
n
x
N Njm k
x x mNn n
R k lim x* n x n k .N
N :
R k c e ,N
R k N
R k R k N x* n x n k c e ,
periodic
2
iener-Hincin: are coeficientii seriei Fourier exponentiale
x
x m
R
R k c58
30
0 12
0
0
0
P - puterea medie pe o perioada a semnalului x[n]
Se defineste x[n]
ca transformata Fourier in timp discret a semnalului
N
x m x
n
x x
R P c ; R k P
N
R k R k
densitatea spectrala de putere a semnalului
0 1
20
0
periodic:
2
o alta forma a teoremei Wiener-Hincin.
N
x x m
n
R k S c k
59
60
Pentru un
, densitatea spectrala de putere este
transformata Fourier a functiei de corelatie:
periodica, perioada 2 , nenegat
x x
x
S R k
S
semnal de energie infinita, dar putere medie
finita, neperiodic
2
iva, para.
10
2x xP R S d
31
Functia de intercorelatie
pentru semnale discrete de energie infinita
dar de putere medie finita
0
0
0
1
0 0
1
2 1
In cazul a doua semnale periodice de aceasi perioada
Functia de intercorelatie a semnalelor discrete, periodice,
aceeasi perioada:
1
N
xyN
n N
xy xy
N
xy
n
R k lim x* n y n k .N
N :
R k N R k .
R k x* n y n k .N
61
Proprietati
2
0 0
puterile semnalelor discrete x[n], y[n]
Pentru functia de intercorelatie
devine functia de corelatie sau autocorelatie.
*xy yx
xy x y x y
x y
xy xx x
R k R k .
R k R R P P .
P ,P
x y R R R
62
32
Functia de corelatie
pentru semnale discrete de energie finita
Masoara gradul de asemanare a celor doua semnale.
- densitate interspectrala de energie,
functia de autocorelatie
xy
n
xy XY
x
n
R k x* n y n k
x* k y k x* k y k .
R k X * Y S
x n y n ,
R k x* n x n k x k x k .
63
Proprietati ale functiei de
autocorelatie a semnalelor discrete
de energie finita
2
2
2
Teorema Wiener-Hincin
10
2
Functia este para si isi atinge maximul in origine.
x x
x x
x
R k X S .
W R X d .
R k
64
33
65
Relatia intre densitatile spectrale de putere
si de energie ale semnalelor ce trec prin
sisteme discrete, linare si invariante in timp
2
sau densitate spectrala de putere
(pentru semnalele de putere medie finita)
sau densitate spectrala de energie
(pentru semnalele de energie finita).
Y X
X Y
y x h
y n x n h n .
S H S .
S
R n R n R n
corelatoare 66