Date post: | 03-Jun-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | hobjila-george |
View: | 248 times |
Download: | 3 times |
of 132
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
1/132
1
1. INTRODUCERE
Dupa cum si denumirea sugereaza, mecanica fluidelor este una din cele trei ramuri ale
Mecanicii, cea mai veche dintre stiintele fundamentale ale naturii:
1. Mecanica generala studiaza legile universale ale mecanicii si aplicatiile lor la studiul
corpurilor solide rigide;
2. Mecanica solidelor
deformabile
studiaza legile universale ale deformatiilor pe care le sufera corpurile
solide datorita fortelor care actioneaza asupra lor;
3. Mecanica fluidelor are ca obiect studiul fluidelor, precum si interactiunea dintre acestea si
solidele cu care vin n contact.
La rndul ei, mecanica fluidelor se mparte, conventional, n trei mari parti, dupa cum
urmeaza:
3.1 Statica fluidelor studiaza repausul fluidelor si actiunile exercitate de acestea asupra
corpurilor solide cu care vin n contact.
3.2 Cinematica
fluidelor
studiaza miscarea fluidelor, fara a lua n considerare fortele care
determina, sau modifica, starea de miscare.
3.3 Dinamica fluidelor studiaza miscare fluidelor lund n considerare si fortele care
determina sau modifica starea de miscare, precum si transformarile
energetice produse n timpul miscarii.
2. APLICATII ALE MECANICII FLUIDELOR
Principalele aplicatii ale staticii fluidelorconstau n:
studierea instrumentelor de masurare a presiunii fluidelor;
studierea fortelor hidrostatice cu care fluidele actioneaza asupra corpurilor solide cu
care vin n contact;
studiul corpurilor plutitoare; studiul atmosferei, considerata n repaus.
n general, aplicatiile dinamicii fluidelor se clasifica dupa conditiile la frontiera impuse
miscarii. Astfel, se disting doua mari categorii de aplicatii:
Dinamica fluidelor, externa: studiul curgerii fluidelor n jurul unor corpuri solide, considerate
izolate n interiorul fluidului. Din aceasta categorie fac parte:
studiul constructiilor supuse actiunii vntului;
curgerea aerului n jurul vehiculelor aflate n miscare
(trenuri, automobile, avioane etc.);
- Fenomene aerodinamice
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
2/132
MECANICA FLUIDELOR
2
curgerea apei n jurul vehiculelor aflate n miscare n
interiorul acesteia (submarine, vehicule amfibii etc.);- Fenomene hidrodinamice
La aceste fenomene se studiaza puterea necesara nvingerii fortelor de rezistenta la
naintare, iar n cazul fenomenelor aerodinamice si forta de sustentatie generata, precum n
exemplul urmator:
G forta de greutate;
P forta de sustentatie (de portan-ta)
generata de aripa avionului;
T forta de tractiune;
R forta de rezistenta la naintare.
Fig. 1 Principalele forte care actioneaza asupra unui avion n timpul zborului
n cazul miscarilor uniforme, puterea consumata pentru nvingerea fortei de rezistenta la
naintare se poate calcula cu relatia:
aerR vRt
xR
t
LP =
== (1.1)
Dinamica fluidelor, interna: miscarea fluidelor este delimitata de frontiere solide: canalizari
nchise, conducte, ai caror pereti sunt n general imobili. Se disting:
miscarea gazelor n canalizari, conducte;
miscarea gazelor n masini pneumatice; - Fenomene gazodinamice
miscarea lichidelor n canalizari, conducte;
miscarea lichidelor n masini hidraulice;- Fenomene hidraulice
Fig. 2 Aspectul curgerii printr-o conducta de sectiune variabila
Observatie: Pentru toate aceste cazuri se studiaza, nu numai transportul propriu-zis al fluidelor,
ci n special transportul de energie:
- hidraulica, n cazul lichidelor,
- pneumatica, n cazul gazelor,
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
3/132
3
deoarece, exceptie facnd
energia nucleara, aproape toata energia utilizata de omenire este, la un moment
dat, transportata de fluide n miscare:
energia mecanica a apei, a aerului comprimat sau a vaporilor;
energia termica a apei calde sau a aburului; energia chimica a petrolului (si a derivatelor sale), sau a gazelor combustibile
etc.
3. DEFINITIA FLUIDULUI. PARTICULA FLUIDA
Fizica distinge pentru corpurile materiale, n conditii obisnuite, trei stari, numite si stari de
agregare: solida, lichida, gazoasa.
Observatie: n conditi i special e exista si o a patra stare, numita plasma. Plasma este o substanta
gazoasa, putern ic sau complet ionizata, ale carei propri etati sunt determinate de existenta
ionil or si electronil or n stare li bera.
Mecanica distinge doua mari categorii de corpuri:
Solide - rigide;
- deformabile;
Fluide - lichide;- gaze.
Daca un corp solid, n conditii obisnuite, are forma si volum fix, adica distantele dintre
punctele sale puncte ramn constante (sau se modifica foarte putin) sub actiunea unei forte
exterioare, fluidele(lichidele si gazele) pot capata deformatii orict de mari sub actiunea unor forte
relativ mici. Acest lucru este posibil datorita fortelor mici de coeziune dintre moleculele fluidelor.
Astfel:
- lichidele iau forma vaselor care le contin(ca si gazele de altfel), deci nu au forma
proprie, dar au volum constant, ctVlichide= deci si densitate constanta ctlichide = ;datorita acestui faptlichidele se considera ca fiind fluide incompresibile;
- gazele ocupa ntregul volum al recipientelor ce le contin, deci nu au un volum constant,
ctVgaze , n consecinta si densitatea lor este variabila ctgaze . Asadar pot fi
comprimate. Astfel, gazele se considera ca fiind fluide compresibile.
Aceste proprietati, enuntate anterior, definesc fluiditatea lichidelor si gazelor, adica usurinta
de deplasare a particulelor din care sunt formate, de unde si denumirea generala de fluide.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
4/132
MECANICA FLUIDELOR
4
3.1 CONCEPTUL DE MEDIU CONTINUU
n mecanica fluidele sunt considerate si analizate ca fiind medii continue, adica ocupa un
spatiu n care distributia marimilor fizice ce le caracterizeaza (presiune, densitate, temperatura
etc.) este continua, cu exceptia unor puncte, linii sau suprafete, numite si de discontinuitate.
Un astfel de exemplu, de suprafata de discontinuitate, este prezentat n exemplul urmator:
formarea undelor de soc pe aripa unui avion care zboara cu o viteza mai mica dect cea a
sunetului, dar apropiata de aceasta.
Pe suprafata undei de soc viteza particulelor de aer
atinge viteza sunetului: cvaer = (celeritate);
Fenomenul se numeste de trecere a barierei
sonice.
km/h1228c= (341.1 m/s) la nivelul marii( mmHg760paer = ) si temperatura C15taer = .
Fig. 3 Formarea undei de soc (suprafata de discontinuitate) pe o aripa de avion
Ipoteza generala a continuitatii unui fluid se exprima prin faptul ca n fiecare punct
apartinnd fluidului )z,y,x(P , la orice moment dat t, se pot determina:- presiune p definita de functia )t,z,y,x(pp= ,
- densitate definita de functia )t,z,y,x(= ,
- temperatura Tdefinita de functia )t,z,y,x(TT= ,
- viteza vdefinita de functia )t,z,y,x(vv=
si aceste functii sunt continue, deci derivabile.
Practic, cu ct liberul parcurs al moleculelor ce formeaza un fluid (distanta medie dintre
doua ciocniri consecutive intre particulele mediului) este mai mic (numar ct mai mare de molecule
n unitatea de volum), cu att fluidul poate fi considerat un mediu continuu.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
5/132
5
Exemplu: Marimea liberului parcurs al moleculelor de aer n functie de altitudine:
Tab. 1.1
H- Altitudine [km] 0 50 100 120 160 180 220
- Liberul parcurs [m] 8,610-8 7,810-5 9,510-2 1.3 36 100 870
Pentru a aprecia daca un mediu fluid poate fi considerat continuu se calculeaza numarul
Knudsen, Kn (dupa numele fizicianului danez Martin Knudsen, 18711949):
x
P
PLKn
== , (1.2)
unde: liberul parcurs al particulelor mediului;
L o dimensiune caracteristica fenomenului studiat;
P parametru caracteristic fenomenului studiat;
x
1
P
P
variatia relativa a parametrului studiat pe unitatea de lungime.
Astfel, se considera ca pentru:
1kn> mediul este considerat rarefiat; se folosete teoria cinetico-
moleculara.
1kn mediul mai pastreaza din caracteristicile mediului continuu, nsa n
anumite regiuni propietatea se pierde (zone de discontinuitate).
Exemplu:
La curgerea aerului atmosferic n jurul unei aripi de avion, vezi figura 4, lungimea
caracteristica L depinde de viteza cu care se deplaseaza avionul (sau viteza aerului, relativa la
aeronava):
t
t
xtvL aer
== (1.3)
unde: t intervalul (mediu) de timp n care aripa ntlneste particule de aer, la o viteza
de zbor data; n acest caz treprezinta parametrul caracteristic fenomenului
de curgere a aerului peste o structura aeromecanica.
Astfel, pentru o aripa de coarda m1c= (distanta dintre punctele extreme ale profilului aripii), care
se deplaseaza cu viteza s/m50vavion= , n functie de lungimea caracteristica pe unitatea de timp,
aerul poate fi considerat: mediu omogen daca altitudinea de zbor este km100H< ;
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
6/132
MECANICA FLUIDELOR
6
mediu neomogen pentru altitudini km100H> (vezi tabelul 1.1).
Fig. 4 Curgerea aerului n jurul unei aripi de avion
3.2 CONCEPTUL DE MEDIU OMOGEN
Un mediu fluid continuu este considerat si omogen daca la o temperatura si presiune,
constante, densitatea sa este constanta.
ctctT,p == .
3.2 CONCEPTUL DE MEDIU IZOTROP
Un mediu fluid este considerat izotrop daca prezinta aceleasi proprietati n toate directiile
din jurul unui punct.
Sintetiznd cele enuntate anterior, se poate da urmatoarea definitie pentru fluide:
Definitie: Fluidul se considera ca fiind un mediu continuu, omogen si izotrop, lipsit de forma
proprie, n care, n stare de repaus, pe suprafetele de contact ale diferitelor
particule, se exercita numai eforturi normale*.
* Asupra starii de eforturi ce actioneaza asupra fluidelor se va reveni ulterior (vezi Proprietatile
fluidelor Vscozitatea).
Definitie: Particula fluida este o portiune de fluid, de forma oarecare si de dimensiuni arbitrar
de mici, care pastreaza caracteristicile de mediu continuu si n raport cu care se
studiaza repausul sau miscarea fluidului.
Limita inferioara a dimensiunilor particulei este impusa de conditia neglijarii influentei
miscarilor proprii ale moleculelor, sau a miscarii brown-iene.
Aceasta trebuie sa fie mai mare dect lungimea liberului parcurs molecular.
Limita superioara este determinata de conditiile aplicarii calculului infinitezimal.
Observatie: Omogenitatea si izotropia unui fluid permit ca relatiile stabilite pentru o particula sa
fie valabile pentru ntregul fluid .
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
7/132
7
4. MODELE DE FLUID
Definitie: Prin model de fluid se ntelege o schema simplificata de fluid, acesta fiind
considerat un mediu continuu, caruia i se atribuie principalele proprietati
macroscopice (masurabile) ale fluidului real (compresibil si vscos).
Necesitatea elaborarii unor modele simplificate de studiu ale fenomenelor naturale (reale)
se datoreaza complexitatii miscarii fluidelor. Neglijnd anumite procese secundare fenomenului
real, deci simplificndu-l, devine posibila construirea unui model. Astfel, se pot acceptat modele de
fluid, precum:
- fluid usor: se neglijeaza greutatea proprie; este valabil pentru gaze;
- fluid ideal: lipsit de vscozitate; se neglijeaza efectul fortelor de frecare ce apar
ntre straturile de fluid modelul Euler;- fluid incompresibil: modelul de fluid la care volumul unei mase determinate nu se
modifica odata cu variatia presiunii; valabil pentru lichide modelul
Pascal;
- fluid newtonian: fluide care se supun legilor mecanicii clasice, newtoniene;
- fluid ne-newtonian: fluide a caror comportament nu se supune legilor mecanicii
newtoniene, precum solutiile coloidale (uleiul de ungere recirculat n
masini contine impuritati n stare de suspensie), materialele
plastice macromoleculare n stare lichida etc.Comportamentul fluidelor ne-newtoniene constituie obiectul de studiu al stiintei reologiei.
5. METODE DE STUDIU N MECANICA FLUIDELOR
Fiind o stiinta a naturii, mecanica fluidelor foloseste n cercetare att metode teoretice, ct
si metode experimentale, de cele mai multe ori in strnsa colaborare.
Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilor si teoremelor mecanicii generale
la studiul repausului si miscarii fluidelor. Acest lucru este posibil prin reprezentarea fluidului camediu continuu.
Metodele experimentale se aplica, fie n scopul stabilirii unor legi generale ale unor
fenomene, a verificarii unor concluzii teoretice, fie ca metoda de rezolvare directa a unor probleme
complexe, ce nu pot fi solutionate pe cale teoretica.
Metodele mixte rezulta prin mbinarea primelor doua.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
8/132
MECANICA FLUIDELOR
8
2. PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESCSTAREA UNUI FLUID
2.1 Proprietat i f iz ice comune l ich idelor si gazelor
2.2 Prop rietati fizice spec ifice lichid elor
2.3 Prop rietati fizice specific e gazelor
O propri etate este o caracteristica a unei materi i care este invar ianta (constanta) atunci cnd
respectiva materie se afl a intr-o anumi ta stare de echi l ibru . Conditi i le care determina aceasta
stare sunt unice si descri se (caracterizate) de proprietati le materiei .
2.1 PROPRIETATI FIZICE COMUNE LICHIDELOR SI GAZELOR
2.1.1 Presiunea, p
Presiunea este unul din cei mai importanti parametri ce caracterizeaza starea unui fluid.
Prin definitie, presiunea ntr-un fluid n repaus este raportul dintre forta normala si aria suprafetei
pe care se exercita aceasta forta.
ntr-un punct dintr-un fluid n repaus, se defineste ca fiind limita reportului dintre forta
normala si aria suprafetei pe care se exercita aceasta forta, cnd aria tinde catre zero, n jurul
punctului respectiv. Matematic se exprima conform relatiei:
dA
dF
A
Flimp
0A==
, (2.1)
n forma diferentiala, sau simplu:
A
Fp= (2.2)
Observatie: Daca forta nu ar fi normala (perpendiculara) pe suprafata pe care actioneaza, ar
trebui sa admitem ipoteza existentei unor eforturi tangentiale n fluid, ceea ce ar
contrazice faptul ca acesta este considerat n repaus. De asemenea, ntr-un fluid n
echilibru, presiunea este functie de punctul n care se determina, )z,y,x(MM= , cu
alte cuvinte este o marime scalara.
)t,z,y,x(fp)z,y,x(MM
)t,M(fpM
M =
==
Totodata, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretata ca o masura a energiei acestuia pe
unitatea de volum:
Volum(Energie)mecanicLucruL
dAdF
AF
p ====
V (2.3)
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
9/132
9
Unitatea de masura n Sistemul International este 2m/N , denumita ncepnd cu 1971 si
Pascal Pa , dupa numele omului de stiinta Blaise Pascal, matematician, fizician, filozof, de origine
franceza (1623 1662).
2m
N1Pa1 = . (2.4)
Deoarece aceasta este o unitate foarte mica n comparatie cu presiunile uzuale ntlnite n
instalatiile industriale, sau chiar cu presiunea atmosferica din zonele locuite ale Pamntului, se
folosesc multiplii pascalului:
kilopascalul, Pa10kPa1 3= , denumit sipiezsi
megapascalul, Pa10MPa1 6= .
Des utilizat, cu precadere n aplicatiile tehnice, este barul, prescurtat bar. Aceasta unitate,
desi nu apartine Sistemului International, este tolerata datorita utilizarii ei ntr-un numar nsemnat
de tari, printre care si a noastra: Pa10bar1 5= .
O alta unitate de masura utilizata n tehnica este atmosfera tehnica, prescurtata at, definita
de raportul:
Pa1080665.9cm
fkg1at1 4
2 == (2.5)
Pentru definirea starii fizice normale se utilizeaza atmosfera fizica, prescurtata At, sau
atm . A fost pusa n evidenta si calculata pentru prima data de E. Torricelli, vezi figura 1 (presiuneahidrostatica exercitata de coloana de mercur la baza ei pe aria sectiunii S este egala cu presiunea
atmosferica de pe suprafata libera a mercurului).
(torr)mmHgAt 7601 =
Presiunea atmosferica este n acelasi loc o marime variabila n timp. De
asemenea variaza de la un loc la altul, functie si de valoarea acceleratiei
gravitationale locale. Astfel se defineste:
presiunea fizica normala 0p ca fiind cea exercitata de o coloana de
mercur de 760 mm la nivelul marii.
Rezolutia 4 a celei de a X-a Conferinte Generale de Masuri si Unitati,
1954, stabileste ca, valoric, presiunea fizica normala este egala cu:
(torr)mmHgPaAt 7601013251 ==
n practica, pentru masurarea unor presiuni mici se utilizeaza aparate a caror functionare
se bazeaza pe principiul determinarii presiunii hidrostatice exercitate de o coloana de lichid (vezi
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
10/132
MECANICA FLUIDELOR
10
figura 2). Astfel, se utilizeaza frecvent unitati de masura ce reprezinta naltimi
ale unor coloane de lichid, precum:
23
233
2m
N81.9m10
s
m81.9
m
kg10OmmH1 ==
23
23 m
N875.7m10
s
m81.9
m
kg803alcmm1
]lp[mmhgpp lp0 = , (2.6)
unde: lp densitatea lichidului piezometric.
Cele mentionate anterior, referitor la unitatile de masura utilizate si a bazei lor de calcul, ne
dau posibilitatea definirii a doua tipuri de presiuni. Astfel, n functie de valoarea presiunii utilizata ca
baza de masurare (de referinta), se disting:
presiunea absoluta: presiunea care are ca nivel de referinta presiunea vidului absolut,
zero ; astfel, ca marime absoluta presiunea este o marime ntotdeauna pozitiva;
presiunea relativa: presiunea care are ca nivel de referinta pe cea atmosferica n locul n
care se efectueaza masurarea.
Relatia de legatura dintre cele doua presiuni este:
rel0abs ppp += (2.7)
n cazul n care 0abs pp < presiunea relativa se mai numeste si vacuummetrica, dupa
numele aparatului utilizat la masurarea ei. Se mai numeste si depresiune iar ca valoare este
negativa, fapt evidentiat si de aparatul de masura (vacuummetru).
n cazul n care 0abs pp presiunea relativa se mai numeste si manometrica, caz n care
este o suprapresiune si are o valoare pozitiva. Manometrele industriale se gradeaza avnd ca zero
presiunea atmosferica normala.
Observatie: Deoarece n problemele tehnice curente fortele care se dezvolta in instalatiile
hidraulice (pneumatice) sunt rezultatul diferentei dintre presiunea (absoluta) din
interiorul instalatiei si presiunea atmosferica exterioara, n Mecanica Fluidelor se
utilizeaza, n general, presiunea relativa.
Pentru un curent de fluid, presiunea ntr-un punct din interiorul acestuia este rezultatul
actiunii presiunii statice si a presiunii dinamice:
dinsttot ppp += (2.8)
unde: totp presiunea totala;stp presiunea statica (presiunea care se exercita n planul de separatie a doua mase de
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
11/132
11
fluid); n general, presiunea statica nu variaza n sectiunea unui curent, exceptie
facnd cazurile n care liniile de curent sunt curbate;
dinp presiunea dinamica; se calculeaza cu relatia:
2
vp
2
din
= (2.9)
unde: v viteza curentului de fluid (n punctul de masurare).
densitatea fluidului.
2.1.2 Densitatea,
Densitatea ntr-un punct din interiorul unui fluid se defineste ca fiind limita raportului
dintre masa m a unui element de volum din jurul punctului considerat si volumul elementului V
, cnd acesta tinde catre zero:
VVV d
dmmlim
0P ==
(2.10)
n cazul unui fluid omogen, densitatea este egala raportul dintre masa unui volum
determinat de fluid si respectivul volum (masa unitatii de volum) si are aceeasi valoare n orice
punct al fluidului:
V
m= (2.11)
Relatia anterioara este utilizata si n cazul definirii densitatii medii a unui fluid. Termenii
sinonimi ai densitatii sunt: masa specifica, sau masa volumica. Unitatea de masura n Sistemul
International este:
3SI m
kg
][
]m[][ ==
V
Inversul densitatii, volumul ocupat de unitatea de masa, se numeste volum specific:
1=v
kgm3
(2.12)
Observatie: n general, densitatea unui fluid este functie de pozitia punctului de masurare, depresiunea p si de temperatura t[C] la momentul efectuarii masuratorii.
Aceasta observatie este valabila cu precadere n cazul gazelor (fluide compresibile), a
caror densitate depinde de temperatura si presiune; se poate determina din ecuatia de stare,
aplicata pentru doua stari, dintre care una cunoscuta:
T
T
p
p 0
00= , (2.13)
unde: termenii cu indice "0" sunt parametrii gazului n starea de referinta.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
12/132
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
13/132
13
Dupa cum se observa din figura 3, variatia de volum V a fluidului din cilindru este
proportionala cu variatia p a presiunii acestuia. Relatia care exprima aceasta dependenta este:
Fig. 3 - Variatia presiunii ntr-un cilindru la modificarea volumului
p=
V
V (2.18)
unde: V volumul initial al fluidului;
VV variatia relativa a volumului;
coeficientul de evaluare cantitativa a compresibilitatii fluidului; poarta
denumirea de modul de compresibilitate izoterma, notat si cu k.
Observatie: Semnul ,,- din relatia anterioara arata faptul ca unei cresteri de presiune i
corespunde o scadere de volum.
Pentru variatii infinitezimale, relatia anterioara se rescrie astfel:
dpd
=V
V (2.19)
Unitatea de masura n Sistemul International pentru modulul de compresibilitate este:
N
m
]p[
1][
2
SI ==
Inversul modulului de compresibilitate este modulul de elasticitate, notat cu .
1= [N/m2] (2.20)
Ca si n cazul densitatii, valorile si depind de temperatura si nu depind practic de
valoarea presiunii. Tinnd cont ca masa unui fluid este constanta, prin diferentierea relatiei
ctm == V obtinem:
dddd0dddm ===+=
V
VVVVV (2.21)
Din relatiile (2.19) si (2.21) rezulta ca:
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
14/132
MECANICA FLUIDELOR
14
=
==
d
dp
dp
d1
ddp (2.22)
Pentru fluidele grele (lichidele) raportul 0)dpd( , asadar 0 (sunt practicincompresibile). Pentru gazele comune, precum oxigenul, modulul de elasticitate depinde de
natura procesului. Astfel:
p= , pentru procese izotermice; (2.23)
p= pentru procese adiabatice; (2.24)
unde:
vp c/c= exponentul adiabatic; raportul dintre caldurile specifice la presiune
constanta si la volum constant;
p presiunea absoluta.
Legat de acesti doi parametri care definesc starea unui fluid se poate defini un altul si
anume celeritatea.
2.1.5 Celeritatea, c
Celeritatea sau viteza de propagare a sunetului reprezinta unul dintre parametrii care
descriu propagarea sunetului printr-un mediu. Aceasta viteza depinde de proprietatile mediului de
propagare, n particular de elasticitatea si densitatea acestuia. ntr-un mediu fluid este definita de
relatia lui Newton:
=== 1
d
dpc [m/s]. (2.25)
n aer si alte gaze viteza sunetului depinde n primul rnd de temperatura. Presiunea are un
efect mic, iar umiditatea nu are aproape nici un efect asupra vitezei. De exemplu:
la C0t = m/s331,5c=
la C02t = m/s343,4c=
n lichide viteza de propagare a sunetului este mai mare dect n gaze, pentru ca, desi
densitatea este mai mare (ceea ce ar nsemna o inertie mai mare, deci o viteza inferioara),
compresibilitatea lichidelor este mult mai mica dect a gazelor, ceea ce face ca o perturbatie a
presiunii ntr-un punct sa se propage rapid la punctele vecine. Astfel, n apa viteza de propagare a
sunetului este de 1400-1500 m/s. Cunoasterea precisa a vitezei sunetului n apa este importanta
ntr-o serie de domenii precum cartografierea acustica a fundului oceanic, aplicatii ale sonaruluisubacvatic, comunicatii etc.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
15/132
15
2.1.6 Numarul Mach, M
Numarul Mach (dupa numele fizicianului austriac Ernst Mach) este o unitate de masura
folosita pentru a exprima viteza unui corp care se deplaseaza ntr-un fluid.
cvMa= [-] (2.26)
unde: v viteza (relativa) de miscare a fluidului.
Astfel, numarul lui Mach este o marime adimensionala care arata de cte ori este mai mare
viteza unui mobil dect viteza sunetului n acel mediu. Pentru Mach 1, viteza este egala cu viteza
sunetului n fluidul respectiv. n conditiile atmosferei standard, pentru Mach 1, viteza (relativa) a
aerului este egala cu 1228 km/h. Valorile subunitare ale numarului lui Mach nseamna viteze
subsonice (mai mici dect viteza sunetului), iar valorile supraunitare nseamna viteze supersonice.O clasificare mai detaliata defineste urmatoarele regimuri de miscare a fluidelor:
- pentru 25.0Ma< : miscarea este subsonica, incompresibila;
- pentru 8.0Ma25.0
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
16/132
MECANICA FLUIDELOR
16
2.1.8 Vscozit atea - , .
Vscozitatea reprezinta proprietatea fluidelor de a se opune deformatiilor atunci cnd sunt
supuse la lunecare relativa a straturilor suprapuse (de a opune rezistenta la schimbarea formei).
Aceasta proprietate se manifesta numai la fluidele n miscare prin aparitia unor eforturi tangentiale
datorita frecarii dintre straturile alaturate de fluid care se deplaseaza unele fata de altele.
Sta la baza mecanismului de transmitere a miscarii ntr-un fluid.
Constatarea a fost facuta de Newton (1687), pornind de la modelarea curgerii unui fluid
ntre doua placi plane, paralele, dupa cum este ilustrat n figura 5. Tot el a stabilit si expresia
efortului tangential unitar de vscozitate.
Fig. 5 Descrierea mecanismului de curgere a unui fluid ntre doua placi plane
Astfel, miscarea unui lichid ntre doua placi plane, paralele, dintre care una fixa si cealalta
mobila poate fi descrisa conform urmatorului mecanism. Presupunem ca volumul de lichid dintre
cele doua placi este format din mai multe straturi paralele; Astfel, primul strat (aderent la placa
mobila) se va deplasa cu aceeasi viteza ca a placii, v . Dupa un interval scurt de timp se pune n
miscare si cel de al doilea strat, dar cu o viteza mai mica, dvv , , descresterea vitezei avnd
loc pna la ultimul strat de fluid (aderent la placa fixa) care va avea viteza egala cu zero.
Variatia vitezei pe directia normala curgerii se datoreaza eforturilor tangentiale care se
exercita ntre straturile alaturate de fluid. Conform ipotezei lui Newton, valoarea acestor eforturi
este direct proportionala cu variatia vitezei pe directia normala curgerii (gradientul vitezei), prin
intermediul unui coeficient de proportionalitate, ,
y
=v
[N/m2], (2.27)
unde
yv
gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe directia normala la cea de
miscare a fluidului).
Marimea caracterizeaza proprietatea de vscozitate a fluidului. Se numeste coeficient de
vscozitate dinami ca, sau vscozitate dinami ca.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
17/132
17
Daca variatia vitezei este constanta (liniara) pe directia normala curgerii, atunci relatia
(2.27) devine
hy
v
d
dv == , Legea lui Newton. (2.28)
Asadar, eforturile tangentiale sunt direct proportionale cu viteza de deplasare a placii
mobile si invers proportionale cu distanta dintre placi. De asemenea, petru cazul ilustrat anterior
A
F= ,
unde: A aria placii mobile;
F forta care actioneaza asupra placii mobile.
Unitatea de masura a vscozitatii dinamice n sistemul international este [Ns/m2] sau
[kg/ms], iar sensul fizic al acestei marimi este acela de tensiune tangentiala care se dezvolta n
interiorul unui fluid omogen cnd gradientul vitezei este unitar.
Pentru a lega vscozitatea de natura fluidului s-a introdus notiunea de vscozitate
cinematica, , definita de relatia:
= , (2.29)
unde: densitatea fluidului.
Unitatea de masura a vscozitatii cinematice n sistemul international este [m2/s]. n
sistemul tehnic, unitatile de masura ale celor doua tipuri de vscozitate se exprima astfel:
)poise(P1]scm[
]gram[1][ ST =
= ,
(Stokes)St1][
][][ ==
s
cmST
2
1 .
Vscozitatile dinamica si cinematica depind de parametrii de stare ai mediului. Astfel,
vscozitatea dinamica depind numai de temperatura si nu depinde de presiune, n timp ce
vscozitatea cinematica depinde si de presiune. La cresterea temperaturii se mareste vscozitateagazelor si vaporilor, iar vscozitatea lichidelor se micsoreaza.
Dependenta vscozitatii gazelor de temperatura poate fi exprimata cu o buna aproximatie
utiliznd formula lui Sutherland:
++
=2
3
0
00 T
T
CT
CT
smkg
, (2.30)
unde: 0 vscozitatea dinamica n conditii fizice normale de presiune si temperatura:
0p , respectiv 0T ;
C constanta de variatie a vscozitatii dinamice cu temperatura pentru gaze.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
18/132
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
19/132
19
2.2 PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR
Principalele proprietati fizice specifice lichidelor sunt: tensiunea superficiala, capilaritatea,
absortia sau degajarea gazelor (desorbtia) si cavitatia.
2.2.1 Tensiunea superficiala, Tensiunea superficiala a unui lichid este o marime definita prin forta care se exercita
tangential pe unitatea de lungime de pe suprafata lichidului, datorita interactiunii dintre moleculele
de lichid din stratul superficial si moleculele de lichid din interior.
l
F= [N/m] (2.33)
Tensiunea tangentiala intervine n calculul diferentei de presiune ntr-un punct al unei
suprafete curbe de contact dintre doua lichide imiscibile (sau un lichid si un gaz).
Daca se noteaza cu 1R si 2R razele de curbura principale ale suprafetei de contact (vezi figura 7),
atunci diferenta de presiune dintre cele doua parti ale suprafetei de contact este data de formula lui Laplace:
==
2121 R
1
R
1ppp ][N/m2 (2.34)
Fig. 7
2.2.2 Capilaritatea
Capilaritatea este proprietatea care rezulta ca o consecinta a fenomenului de adeziune si a
tensiunii superficiale si care consta n aparitia unei denivelari a suprafetei libere a lichidului n
tuburile capilare si anume o ascensiune pentru un lichid care uda tubul si o coborre pentru un
lichid care nu uda tubul (vezi figura 8).
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
20/132
MECANICA FLUIDELOR
20
Fig. 8
Denivelarea h este data n prima aproximatie de legea lui Jurin:
gr
2h
= [m] (2.35)
unde: tensiunea superficiala a lichidului; densitatea lichidului.
2.2.3 Absortia (sau degajarea) gazelor
Absortia gazelor este fenomenul prin care gazele si vaporii, care alcatuiesc faza absorbanta, patrund
prin difuziune n masa unui lichid, prin suprafata de separatie dintre cele doua faze. Se produce cnd
concentratia componentelor n stare gazoasa este mai mare ca cea corespunzatoare echilibrului fazelor.
Creste odata cu presiunea. Degajarea gazelor este procesul invers absortiei.
De exemplu, n conditii obisnuite de temperatura si presiune, apa contine un volum de aerce reprezinta aproximativ 2% din volumul sau. De asemenea, n contact cu aerul, apa absoarbe
mai mult oxigen si mai putin azot ( 2O%34 si 2N%66 ) fata de raportul n care aceste gaze se
gasesc n aer ( 2O%21 si 2N%79 ).
2.2.4 Cavitatia
Cavitatia este un fenomen complex, foarte periculos pentru masinile si instalatiile hidraulice
ce apare pe portiunile n care presiunea scade sub cea de vaporizare, la temperatura
corespunzatoare functionarii si consta si consta n formarea unor bule de vapori si gaz careajungnd n zone de presiuni mare se recondenseaza, respectiv se redizolva.
Fenomenul e marcat prin aparitia unor zgomote puternice, temperaturi ridicate, coroziune
chimica, ce conduc la distrugerea rapida a instalatiilor.
2.3 PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE GAZELOR
Proprietatile fizice specifice gazelor se pot clasifica n proprietati mecanice si proprietati
termice. Cele mecanice sunt legate de comportarea acestora ca fluide usoare si compresibile.
Gazele si vaporii sunt denumite si fluide usoare deoarece n majoritatea cazurilor greutatea
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
21/132
21
acestora poate fi neglijata n raport cu fortele uzuale de presiune cu care acestea actioneaza
asupra solidelor cu care vin n contact. De asemenea, variatiile de volum pe care le sufera acestea
sub actiunea fortelor de presiune sunt nsemnate valoric.
De mare importanta n studiul fluidelor usoare sunt proprietatile termodinamice, acestea
tinnd cont de faptul ca miscarea gazelor este nsotita inevitabil de procese termice. Marimile destare ale unui gaz: presiunea p , densitatea , si temperatura Tsunt interdependente. Ecuatia
care defineste aceasta interdependenta, pentru gazele perfecte, este Ecuatia de stare denumita si
Ecuatia Clapeyron-Mendeleev:
TM
RpTR
pTRmVp M===
(2.36)
unde: [J/kgK]R constanta caracteristica a gazului studiat;
J/kmolK8314.3RM= constanta universala a gazelor;
]kg[m masa gazului;
[kg/kmol]M masa molara a gazului.
n studiul repausului sau miscarii unui gaz perfect (fara frecari sau soc) se deosebesc
urmatoarele legi de variatie a densitatii n functie de presiune:
2.3.1 Variatie izocora(la volum constant):
0ct == . (2.37)
2.3.2 Variatie izoterma(la temperatura constanta):
0
0pctp
== . (2.38)
2.3.3 Variatie adiabatica(fara schimb de caldura cu mediul exterior):
k0
0pctp
== . (2.39)
unde: exponentul transformarii adiabatice (exponentul adiabatic).
2.3.4 Variatie politropica(transformare generala):
n0
n0
n
pct
p
== (2.40)
unde: n exponentul transformarii politropice (exponentul politropic).
Principalele proprietati termodinamice ale gazelor sunt:
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
22/132
MECANICA FLUIDELOR
22
2.3.5 Caldura specifica, c
Pentru o substanta (omogena) caldura specifica reprezinta caldura necesara unitatii de masa din
acea substanta pentru a-si mari temperatura cu un grad, fara modificarea starii fizice sau chimice.
Se determina experimental sau poate fi calculata utiliznd teoria cinetico-moleculara (n cazul
gazelor).
=
dT
dQ
m
1c [J/kg K]. (2.41)
Pentru gaze si vapori, caldura specifica depinde natura procesului termodinamic. Astfel se definesc:
Vc caldura specifica la volum constant (proces izocor, sau izodens)
pc caldura specifica la presiune constanta (proces izobar)
Legatura dintre Vc si pc este data relatia (R. Mayer):
Rcc vp += [J/kg K]. (2.42)
unde:R[J/kg K]: constanta caracteristica a gazului studiat;
Raportul dintre pc si Vc defineste exponentul adiabatic :
=
v
p
c
c. (2.43)
Astfel:
R1
cp =
;
1
Rcv
=
. (2.44)
2.3.6 Energia interna specifica, u
Energia interna specifica este energia termica a unui substante, raportata la unitatea de masa.
Pentru gazele perfecte se calculeaza cu relatia:
dTcdu v= [J/kg]. (2.45)2.3.7 Entalpia specifica, h
Reprezinta suma dintre energia interna specifica si energia potentiala de presiune specifica
(unitatii de masa):
puh += [J/kg]. (2.46)
Pentru un gaz perfect entalpia depinde doar de temperatura si se calculeaza cu relatia:
dTcpuddh p=
+=
. (2.47)
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
23/132
23
Aplicatii
PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESCSTAREA UNUI FLUID
PROBLEME REZOLVATE
Problema 1 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de
probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.1, pag. 5
Pentru verificarea (sau etalonarea) manometrelor se poate utiliza o instalatie cu pompa cu
surub ca cea din figura 1. Aceasta se compune din corpul cilindric 1n care se deplaseaza pistonul
2prin rotirea tijei (surubului) 3n corpul filetat 4. Pistonul este articulat pe tija astfel nct rotirea
tijei nu se transmite pistonului, acesta avnd numai o miscare de translatie. Tija se roteste manual
cu ajutorul volantului 5. Pompa se umple cu lichidul de lucru (ulei) aflat n rezervorul 6. Manometrul
de verificat MV si manometrul etalon ME se fixeaza etans la doua racorduri ale conductei de
refulare 7 prin intermediul robinetelor 8 si 9. Cunoscnd diametrul cilindrului cm1d= , pasul
surubului mm2h= , volumul initial de ulei cm200 3=V la presiune atmosferica normala si
coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului /Nm1085.4 210= , sa se determine
numarul n de rotatii necesare pentru ca indicatia manometrului etalon sa fie at200pm = .
Fig. 1
Solutie:
Se trec datele problemei n Sistemul International (daca e cazul):
m101cm1d 2== diametrul cilindrului;
m102mm2h -3== pasul surubului;
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
24/132
MECANICA FLUIDELOR
24
363 m10200cm200 ==V volumul initial de ulei;
/Nm1085.4 210= coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului;
24m N/m109.81200at200p == presiunea indicata de manometrul etalon.
Observatie: Prin rotirea tijei, pistonul 2se va deplasa pe o distanta hnl = , astfel nct va avea
loc o comprimare a uleiului n spatiul ramas liber n cilindru 1si conducta de refulare
7, datorita cresterii de presiune p .
Din relatia de definitie a compresibilitatii izoterme a fluidelor:
p
=
V
V (1)
si tinnd cont de faptul ca manometrele industriale indica suprapresiuni - se gradeaza avnd ca
zero presiunea atmosferica normala, rezulta ca indicatia manometrului este tocmai cresterea depresiune:
mpp= (2)
De asemenea:
4d
hnAl2
P
== V (3)
unde: hnl = distanta parcursa de piston, egala cu produsul dintre numarul de rotatii n si
distanta parcursa la o rotatie (pasul filetului h );
4d
A2
P= aria pistonului, egala cu cea a cilindrului.
nlocuind expresiile (2) si (3) n (1) obtinem:
2m
m
2
dh
p4np
4
dhn
V
V == (4)
rot.122.121014.3102
1062.191085.4102004n
43
6106
=
=
Problema 2 Julieta FLOREA s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Probleme,
Editura Didactica si Pedagogica, 1982, pb. 1.11, pag. 15
O placa plana de arie 2m8.0S= si masa kg2m= aluneca pe un plan nclinat, cu unghiul
= 30 , acoperit cu o pelicula de ulei de grosime mm2= (vezi figura 2). Densitatea uleiului
este 3kg/dm9.0= , iar vscozitatea cinematica stokes4.0= . Sa se determine viteza de
alunecare a placii n miscare uniforma.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
25/132
25
Fig. 2
Solutie:
Se trec datele problemei n Sistemul International:
2m8.0S= aria placii;
kg0.2m= masa placii;
= 30 unghiul de nclinare al placii;
m102mm2 -3== grosimea peliculei de ulei;
333 m/kg109,0kg/dm9,0 == densitatea uleiului;
s/m1040,0s/cm0,40stokes40,0 242 === vscozitatea cinematica a uleiului.
Observatie: Sub actiunea componentei tangentiale a greutatii placii
sinGGT = , placa ncepe sa se miste uniform accelerat.
Pe masura ce viteza creste, creste si forta de frecare
vscoasa care se opune miscarii placii. La un moment dat
cele doua forte se echilibreaza dinamic, si miscarea placii
devine uniforma.
Pentru cazul studiat, relatia lui Newton de calcul a efortului tangential este:
v
S
GT == (1)
unde: v viteza de deplasare a placii n miscare uniforma;
= vscozitatea dinamica a uleiului (2)
nlocuind relatia (2) n (1) obtinem:
S
singmv
v
S
singm
== (3)
m/s681.00.8104.0109.0
30sin10281.92v
43
3
=
=
.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
26/132
MECANICA FLUIDELOR
26
Problema 3 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de
probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.3, pag. 6
Sa se determine dependenta de temperatura a vitezei de propagare a sunetului n apa
avnd densitatea si modulul de elasticitate:
3aap kg/m1000= si
29apa N/m10914.1 = la temperatura C4tapa = ;
3apa kg/m26.999= si
29apa N/m10020.2 = la temperatura C20tapa = .
Solutie:
Utiliznd relatia lui Newton de calcul a vitezei de propagare a sunetului ntr-un mediu fluid:
== ddpc (1)
se calculeaza:
m/s13881000
10914.1c
9
apa =
= la temperatura C4tapa = ;
m/s142226.999
10020.2c
9
apa =
= la temperatura C20tapa = .
Asadar, viteza de propagare a sunetului creste cu temperatura.
Problema 4
Distributia de viteze ntr-un lichid vscos ce curge peste o placa fixa este data de relatia:
2yy68.0v = ,
unde:
v viteza [m/s]
y distanta pe verticala de la suprafata placii [m].
Care este valoarea tensiunii tangentiale la nivelul placii si pentru m0.34y= , daca vscozitatea
dinamica a lichidului este 2msN1= . Reprezentati grafic dependenta )y( = pentru intervalul
m0.34)0(y = .
Solutie:
Conform I. Newton, expresia tensiunii tangentiale care se manifesta ntre straturile
alaturate de fluid este:
y
v
=
unde:
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
27/132
27
vscozitatea dinamica a fluidului;
y
v
gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la
directia de miscare a fluidului); n acest caz:
yy
yyyv
2680680 2 =
=
.).( .
Astfel, pentru
m0y= (la nivelul placii)2m
N68.068.01 == ;
m34.0y= 2m
N0)34.0268.0(1 == .
Pentru reprezentarea grafica a variatiei )y( = se observa ca dependenta este una
liniara, sau se aleg cteva puncte ydin intervalul 0.34)0( si se calculeaza .
PROBLEME PROPUSE
Problema 1
Un piston se deplaseaza cu viteza constanta s/cm1.0v= , ntr-un cilindru avnd
diametrul mm50D= si lungimea cm10l= , plin cu lichid cu modulul de elasticitate
24 cm/daN102e = .
Sa se calculeze deplasarea x [mm] a pistonului daca presiunea n cilindru creste de la
zero la bar200p= si timpul necesar deplasarii. Sa se ntocmeasca o schita.
Problema 2
Viteza ntr-un fluid ce curge peste o placa plana, masurata la o distanta de mm05 de
suprafata placii, este m/s1v= . Fluidul are vscozitatea dinamica Pas2 si densitatea relativa
0.8(la cea a apei). Ce valori au gradientul vitezei si tensiunea tangentiala de frecare vscoasa la
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
28/132
MECANICA FLUIDELOR
28
nivelul placii plane, considernd o distributie liniara a vitezei pe directia normala curgerii. Sa se
calculeze valoarea vscozitatii cinematice a fluidului si sa se ntocmeasca o schita.
Problema 3
Sa se determine viteza de propagare a sunetului n aer la o temperatura C20t = ,admitnd ca legea de variatie a densitatii aerului n functie de presiune este izotermica. Masa
kilomolara a aerului este kg/kmol29M= iar exponentul politropic 3.1n= . Constanta universala a
gazelor este [J/kmolK]8314.3=MR .
Problema 4
Explicati de ce vscozitatea lichidelor scade odata cu cresterea temperaturii, iar
vscozitatea gazelor creste cu temperatura.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
29/132
29
Fig. 3.1
STATICA FLUIDELOR
3. RELATIA FUNDAMENTALA A STATICII FLUIDELOR
1. Fortele care action eaza asup ra fluid elor
2. Ecuatia de repaus a fluid elor
3. Relatia fun damentala a statici i fluid elor
4. Form e partic ulare ale relatiei fun damentale a statici i fluidelor
Statica fluidelor are ca obiect de studiu fluidele aflate n stare de echilibru precum si fortele
pe care acestea le exercita asupra solidelor cu care vin n contact.Dupa cum s-a demonstrat anterior, starea de echilibru a unui fluid este caracterizata doar
de existenta eforturilor normale n interiorul acestuia, eforturile tangentiale datorate frecarii
vscoase dintre straturile alaturate de fluid fiind nule. Din acest motiv fluidele reale aflate n repaus
pot fi tratate ca fluide ideale (lipsite de vscozitate)
3.1. FORTELE CARE ACTIONEAZA ASUPRA FLUIDELOR
Principale forte care actioneaza asupra unei mase m de fluid (vezi figura 3.1), care la unmoment tocupa un volum V, limitat de suprafata S , se pot grupa
n:
forte masicesi
forte de suprafata.
Deoarece fortele interioare, de legatura, se anuleaza doua
cte doua, conform principiului egalitatii actiunii si reactiunii, n cele
ce urmeaza va fi analizata actiunea pe care o exercita fortele
exterioare.
Fortele masice exterioare se datoreaza actiunii unor cmpuri de forte exterioare, precum
cel gravitational, sau cmpuri de natura electrica, magnetica. Acestea exercita asupra particulelor
de fluide actiuni proportionale cu elementele de masa dm ale acestora.
Observatie: n mod obisnuit, n mecanica fluidelor se iau n considerare doar fortele de greutate,
care sunt predominante, dupa caz si fortele de inertie. n magneto-hidrodinamica
sau dinamica plasmei, fortele care intervin preponderent sunt de natura magneticasau electrica.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
30/132
MECANICA FLUIDELOR
30
Forta masica elementara care actioneaza asupra unei particule de fluid este data de relatia:
Vddd mmm fmfFrrr
== (3.1)
unde: mfr
este forta masica unitara, sau forta raportata la unitatea de masa; are dimensiunea
unei acceleratii (n mod obisnuit, n cmp gravitational gfm
= : acceleratia
gravitationala).
Astfel, rezultanta fortelor masice exterioare va fi egala cu:
=V
Vdmm fFrr
(3.2)
Fortele de suprafata exterioare provin din interactiunea fluidului cu alte corpuri (pereti solizi
sau alte fluide), prin intermediul suprafetei S . Se mai numesc si forte de contact si reprezinta
efectul de legatura al masei de fluid cu mediul nconjurator. Similar ca n cazul fortelor masice,
forta elementara de suprafata se defineste ca fiind:
SfF SS dd rr
= (3.3)
unde: Sfr
este forta unitara de suprafata, sau forta raportata la unitatea de suprafata; depinde,
n general, de vectorul de pozitie rr
al punctului n care se considera elementul de
suprafata Sd , de versorul normalei nr
la respectiva suprafata, corespunzator fetei n
contact cu fluidul (orientat nspre interiorul suprafetei, figura 3.1).
Pentru cazul general n care ntre normala la suprafata si forta de suprafata este un unghi , aceasta din urma se va descompune n doua componente, dintre care una normala pe Sd ,
cealalta tangenta la Sd : nFr
d , respectiv Fr
d .
SfSfFF nSSn dddd rrrr
=== coscos (3.4)
SfSfFF SS dddd rrrr
=== sinsin (3.5)
unde: nfr
este forta unitara de suprafata dupa directia normalei nr
.
fr
este forta unitara de suprafata dupa directia tangentei la suprafata Sd .
Componenta normala se numeste efort de presiunesi este orientata n sensul compresiunii
(nspre fluid), deoarece n conditii obisnuite fluidele nu pot prelua forte de ntindere (tractiune).
Scalarul p se numestepresiune, saupresiune statican punctul n care se considera elementul de
suprafata Sd :
npfnr
r
= (3.6)
Componenta tangentiala se numeste efort de suprafata tangentiala. n general, defineste
efortul tangential unitar de vscozitate n punctul n care se considera elementul de suprafata.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
31/132
31
3.2. ECUATIA DE REPAUS A FLUIDELOR
Ecuatia echilibrului fluidelor se obtin din conditia ca rezultanta fortelor exterioare ce
actioneaza asupra unei mase de fluid sa fie nula
0=+ pm FF rr
(3.7)
n conditiile n care n fluidele aflate n repaus fata de mediul exterior se manifesta doar
eforturi normale, rezulta ca fortele de suprafata coincid cu cele de presiune. ntr-un fluid vscos n
repaus nu se manifesta eforturi tangentiale, aparitia acestora fiind determinata doar de deplasarea
relativa a particulelor de fluid.
Astfel, rezultanta fortelor exterioare, de presiune pFr
va fi egala cu
= S dSnpFpr
r
(3.8)
Tinnd cont de relatiile (3.2) si (3.8), conditia enuntata anterior se scrie astfel:
00 =+=+ S
dd SnpfFF mpmr
rrr
V
V (3.9)
Trecerea de la integrala de suprafata la cea de volum se face conform teoremei Green-
Gauss-Ostrogradski:
= V VdS pdSnp r
, sau = V Vd(gradS )pdSnp r
, (3.10)
unde semnul - se datoreaza orientarii versorului la suprafata (corespunzator fetei interioare);
este operatorul nabla (a lui Hamilton); n sistemul de referinta cartezian xOyz are
expresia:
zk
yj
xi
+
+
= rrr
unde k,j,irrr
sunt versorii corespunzatori axelor Ox , Oy si Oz .
Observatie Din punct de vedere formal, are proprietatile unui vector, deoarece componentele sale
sunt derivatele partiale n raport cu cele trei directii.
Asadar, din relatiile (3.9) si (3.10) rezulta ca:
0=VV
VV dd pfm r
(3.11)
Pentru un volum care tinde catre zero, 0V , relatia (3.11) se poate scrie sub forma:
010 == pfpf mm
rr
, sau 0grad1 = pfm
r
(3.12)
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
32/132
MECANICA FLUIDELOR
32
Relatia (3.12) reprezinta ecuatia vectoriala de repaus a fluidelor p erfecte, cunoscuta si
sub numele de ecuatia lui Euler (de repaus a fluidelor perfecte). Este valabila att pentru fluidele
incompresibile ct si pentru cele compresibile, ideale sau reale (vscoase).
n coordonate carteziene, corespunzator celor trei directii Ox , Oy si Oz , relatia vectoriala
(3.12) se scrie sub forma sistemului de ecuatii:
=
=
=
,mz
my
mx
fz
p
fy
p
fx
p
1
1
1
(3.13)
unde mxf , myf , mzf sunt componentele fortei masice unitare dupa directiile sistemului de referinta.
Observatii: Sistemul de ecuatii (3.13) este unul liniar cu derivate partiale de ordinul nti, n care ,
si z sunt variabile independente, iar presiunea p este variabila dependenta (functia
necunoscuta). De asemenea, densitatea si componentele fortei masice unitare sunt funtii
cunoscute.
Rezolvarea acestui sistem se face pe baza stabilirii conditiilor pe care trebuie sa le satisfaca
forta masica unitara astfel nct fluidul sa ramna n echilibru.
3. RELATIA FUNDAMENTALA A STATICII FLUIDELOR
Ecuatiile lui Euler pentru repausul fluidelor din sistemul (3.13) se pot pune si sub forma
urmatoare, iar prin nmultirea cu xd , yd , respectiv cu zd (componentele scalare ale rr
d )
=
=
=
mz
my
mx
fz
p
fyp
fx
p
1
1
1
z
y
x
d
d
d
. (3.14)
si adunare pe coloana se obtine
zfyfxfzz
py
y
px
x
pmzmymx dddddd ++=
+
+
1. (3.15)
Dupa cum se observa, paranteza din primul membru al relatiei anterioare reprezinta
diferentiala totala a presiunii, (x, y, z)pp = ,
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
33/132
33
zz
py
y
px
x
pp dddd
+
+
= . (3.16)
De asemenea, daca densitatea este constanta, constant= (fluide incompresibile), sau o
functie cunoscuta de presiune, ppp dd )(')( == (fluide barotrope), primul membru al
ecuatiei (3.15) se poate determina calculnd integrala ( ) pd . Rezulta asadar ca pentru a putea
rezolva ecuatia (3.15), al doilea termen trebuie sa reprezinte la rndul sau diferentiala totala a unei
functii scalare, z)yU (x ,, , continua pe un interval dat,
kz
Uj
y
Ui
x
UkfjfifUfUrf mzmymxmm
rrrrrrr
r
r
+
+
=++== dd . (3.17)
fiind astfel ndeplinita si conditia
0== )( Ufmr
, sau 0)(gradrotrot == Ufmr
, (3.18)
ceea ce nseamna ca fortele masice exterioare deriva dintr-un potential. Functia )(x, y, zU se mai
numeste si potent ialul fortelor masice. Este o marime de stare a fluidului si pentru un punct din
interiorul fluidului reprezinta energia potentiala masica a acestuia.
Asadar, componentele fortei masice unitare sunt
Ufmx
= ,y
Ufmy
= ,
z
Ufmz
= , (3.19)
iar cnd acestea sunt cunoscute, )(x, y, zU se determina prin integrare conform relatiei
++= zfyfxfzyxU mzmymx ddd),,( . (3.20)
n aceste conditii, relatia (3.15) capata forma
Up dd =
1, (3.21)
de unde prin integrare se obtine
ct+= Udp . (3.22)
Relatia (3.22) este ecuatia fundamentala a stat ic i i f luidelor si reprezinta principiul
conservarii energiei aplicat unei mase de fluid n repaus. Constanta de integrare ct are
dimensiunea unei energii masice unitare si se determina din conditii la limita cunoscute. Prin
analogie cu U, marimea ( ) pd se numeste potent ialul fortelor de presiune.
Observatie: Suprafetele pentr u care ctU= se numesc echipotenti ale. Pentr u f lu idele incompresibi le
si f lu idele barotr ope, a caror densitate este o functie cunoscuta de presiune )(p= ,
afl ate n repaus, se remarca urmatoarele propr ietati ale suprafetelor echipotenti ale.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
34/132
MECANICA FLUIDELOR
34
Din conditia ctU= rezulta ca ctp= , deci ntr-un fluid n repaus, suprafetele echipotentiale
sunt izobare, implicit izodense si izoterme.
Din ecuatia (3.17) rezulta ca forta masica unitara este perpendiculara pe suprafetele
echipotentiale, rfrfrfUctU mmmr
r
r
r
r
r
dd,dd ==== 00 )cos( ; n mod natural esteorientata n sensul scaderii potentialului, deci al cresterii presiunii.
Suprafetele echipotentiale nu se intersecteaza, deoarece n cazul contrar n punctele de
intersectie presiunea ar avea mai multe valori diferite; astfel, suprafetele de separatie dintre
fluide (precum suprafata libera a unui lichid) sunt echipotentiale.
Daca fortele masice care actioneaza asupra unui fluid sunt foarte mici n comparatie cu
fortele de presiune, se poate considera ca potentialul fortelor masice unitare este neglijabil,
0U , iar relatia (3.21) capata forma
.ctpp == 01
d
(3.23)
Astfel, dupa caz, n interiorul unui volum finit (masurabil) de fluid se poate considera ca
presiunea este constanta, iar variatiile acesteia se transmit n toata masa fluidului. Aceasta
consecinta este cunoscuta sub numele de princip iul lui Pascalpe baza caruia se
construiesc amplificatoarele de forta (elevatorul hidraulic, presa hidraulica etc.), sau de
presiune (acumulatoarele hidraulice), utilizate n actionarile hidraulice si pneumatice.
Fig. 3.2 Schema de principiu al elevatorului hidraulic
n figura 3.2 este prezentata schema de principiu a unui multiplicator de forta, utilizat ca
elevator hidraulic. Astfel, forta 1F care se exercita asupra pistonului de diametru 1d genereaza o
suprapresiune mp care se transmite n toata masa lichidului, inclusiv la nivelul suprafetei pistonului
de diametru 2d , rezultnd forta 2F , cu ajutorul carei se ridica automobilul,
1
2
1
222
2
221
1
44F
d
dF
d
F
d
Fctpm
====
. (3.24)
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
35/132
35
Fig. 3.4
4. FORME PARTICULARE ALE RELATIEI FUNDAMENTALE
A STATICII FLUIDELOR
4.1 Repausul fluidelor incompresibile (lichidelor) n cmp gravitational
Dupa cum am mai enuntat anterior, principale forte masice care
actioneaza asupra unui fluid sunt cele gravitationale. Adoptnd un sistem
cartezian n care axa Oz reprezinta verticala, n sensul cresterii altitudinii
(natural n studiul atmosferei n repaus, vezi figura 3.3), obtinem
+==
=
==ctzgzgU
gf
ff
mz
mymxd
0. (3.25)
Asadar, pentru fluide incompresibile, ct= , relatia (3.22) devine:
ctg zpctzgp
ctzgp =+=+=+ d
1 (3.26)
Constanta de integrare se determina din conditii la limita cunoscute. De exemplu, n cazul
unui lichid de greutate specifica g = , continut ntr-un vas precum n figura 3.4, raportat la un
sistem de referinta ca n figura 3.3, pentru
cthgphz 0 =+= . (3.27)
nlocuind (3.26) n relatia (3.25) obtinem
)zhgpphgpzgp =+=+ ( 00 . (3.28)
Relatia (3.28) reprezinta legea de variatie a presiunii n interiorul
unui lichid, unde )( zh este cota de adncime si reprezinta ecuatia
fundamen tala a hidrostat ic i i.
Observatii:
n studiul lichidelor, orientarea naturala a sistemului de referinta este cea pentru care axa
Oz este n sensul cresterii adncimii, precum n figura 3.5.
Presiunea hidrostatica este o suprapresiune, 0pppS = , notata n mod curent cu p .
Astfel, relatia anterioara se poate scrie si sub forma (simplificata)
hgp = , (3.29)
unde h este cota de adncime.
Fig. 3.3
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
36/132
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
37/132
37
n stare de repaus absolut, nivelul lichidului n rezervor este h , caz n care forta masica
unitara are componenta doar dupa directia Oz , egala cu valoarea acceleratiei gravitationale.
Planele orizontale, perpendiculare pe directia fortei masice unitare sunt plane izobare (de presiune
constanta).
Fig. 3.6 Repausul relativ al lichidelor n miscare de translatie uniforma
n cazul n care rezervorul se deplaseaza uniform accelerat dupa directia axei Ox , cu
acceleratia .cta=r
, forta masica unitara mf are componente dupa directiile axelor:
Ox: acceleratia inertiala, afmx = , egala n modul dar de sens contrar acceleratiei miscarii;
Oz: acceleratia gravitationala gfmz = .
Sub actiunea rezultantei acestor forte masice unitare, suprafetele izobare (deci si suprafata
libera) se deplaseaza astfel nct sa fie perpendiculare pe directia mfr
sub un unghi fata de
orizontala:
g
atgarc= (3.33)
Raportat la sistemul de referinta xOyz considerat, potentialul fortelor masice unitare este,
conform relatiei (3.20)
( ) ( ) ctgzaxzgxazfxfzyxU mzmx +=+=+= dddd),,( (3.34)
De asemenea, pentru lichide, .ct= , potentialul fortelor de presiune este
ctp
pp
+==
dd 1
(3.35)
Asadar, relatia ecuatia fundamentala a staticii fluidelor (3.22) n cazul repausului relativ al
lichidelor n miscare de translatie uniforma devine
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
38/132
MECANICA FLUIDELOR
38
ctzgxap
ctUp
=+++= d
. (3.36)
Constanta de integrare se determina din conditii cunoscute. Astfel, pentru
02 pphz
lx =
== ,
deci, ecuatia (3.36) devine
cthgl
ap
=++ 2
0
(3.37)
nlocuind relatia (3.37) n (3.36) se obtine (n termeni de presiune relativa)
)zhgxl
ap
+
= (2
(3.38)
Valoarea presiunii maxime se obtine pentru 0=x si 0=z :
+= hglap
2max (3.39)
Variatia distributiei de presiuni pe peretii vasului este prezentata n figura 3.7.
Fig. 3.7
4.2.2 Repausul relativ al lichidelor n miscare de rotatie
Pentru studiul repausului relativ al lichidelor n miscare de rotatie se considera cazul unui
lichid de greutate specifica , continut ntr-un rezervor cilindric care se roteste cu viteza
unghiulara n jurul axei proprii, ca n figura 3.8. n stare de repaus absolut, nivelul lichidului nrezervor este 0h .
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
39/132
39
n acest caz, forta masica unitara are componente dupa toate cele trei directii dupa cum urmeaza:
Ox : acceleratia inertiala (centrifuga) 2xfmx = ;
Oy : acceleratia inertiala (centrifuga) 2yfmy= ;
Oz : acceleratia gravitationala gfmz = .
Fig. 3.8 Repausul relativ al lichidelor n miscare de rotatie
Raportat la sistemul de referinta xOyz considerat, potentialul fortelor masice unitare este,
conform relatiei (3.20):
( ) ( )
ctgzr
ctgzyx
gyxfffzyxU mzmxmx
+=++
=
=++=++= 2
22
22
22
dzdydxdzdxdx 22),,( (3.40)
Asadar, relatia ecuatia fundamentala a staticii fluidelor (3.22) n cazul repausului relativ al
lichidelor n miscare de rotatie devine:
.ctzgrp
=+ 22
2
(3.41)
Constanta de integrare se determina din conditii cunoscute. Astfel, pentru acest caz, la
nivelul suprafetei libere care este un paraboloid de rotatie, presiunea (relativa) este nula. Din
conditia de egalitate a volumului initial cu cel final = finalinitial VV
minmaxminmaxmax )( hhhhhhh +== RRR222 2
2
1 (3.42)
De asemenea, 0=p pentru:
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
40/132
MECANICA FLUIDELOR
40
cthgR
hz
Rr=+
==
maxmax
22
2 (3.43)
cthghz
r=
==
minmax
0
(3.44)
Din sistemul de ecuatii (3.42), (3.43) si (3.44) rezulta ca valoarea constantei este:
hgR
ct += 22
4 (3.45)
nlocuind (3.45) n (3.41) se obtine relatia de calcul a presiunii n interiorul fluidului, pentru
acest caz:
)()( 222
24
rRzhp g = (3.46)
Valoarea presiunii maxime se obtine pentru Rr= si 0=z :
4R
hgp22
max
+= . (3.47)
Variatia distributiei de presiuni pe peretii vasului este prezentata n figura 3.9
Fig. 3.9
4.3 Repausul fluidelor compresibile ct
n cazul n care densitatea fluidului nu e constanta, pentru a putea calcula potentialul
fortelor de presiune trebuie cunoscutalegea de variatie a densitatii n functie de presiune (tipul
transformarii pe care o sufera fluidul).
n cazul unui proces izotermic, ctT= :
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
41/132
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
42/132
MECANICA FLUIDELOR
42
4. FORTE DE ACTIUNE ALE FLUIDELOR N
REPAUS ASUPRA UNOR PERETI SOLIZI
Forte de act iune pe peret i plani
Forte de act iune pe peret i curbi
Fluidele exercita asupra peretilor solizi cu care vin n contact forte de presiune.
Determinarea acestora este necesara n practica n vederea dimensionarii rezervoarelor, barajelor
etc. din punct de vedere al rezistentei.
Forta elementara de presiune pFdr
ce actioneaza pe o suprafata elementara Sd (vezi
figura 4.1) este data de relatia:
Fig. 4.1 Forta de presiune pe o suprafata elementara
SnpFp
dd r
r
= (4.1)
unde nr
este versorul normalei la suprafata, orientat dinspre fluid spre perete, n sensul de
actiune al fortei.
Forta rezultanta se calculeaza nsumnd fortele elementare, asadar
=S
p SnpF dr
r
(4.2)
n cazul n care suprafata este una oarecare, curba spatial, atunci si fortele elementare vor
fi oarecare n spatiu, iar actiunea lor asupra peretelui plan va fi descrisa de torsorul format din:
forta rezultanta pFr
;
momentul rezultantei in raport cu originea sistemului de referinta ales, OMr
=S
O dSnprM vr
r
(4.3)
unde rr
este vectorul de pozitie al punctului de aplicatie al fortei elementare pFdr
pe
suprafata dS , n sistemul de referinta xOyz .
Observatie: Pentru calculul integralelor (4.2) si (4.3) trebuie sa se cunoasca distributia presiunii
p n interiorul fluidului (din legea fundamentala a staticii fluidelor).
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
43/132
43
4.1 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI PLANI
n cazul peretilor plani, versorul normalei la suprafata este constant, ctn=r
, iar relatiile (4.2)
si (4.3) devin:
=
Sp SpnF d
r
r
(4.4)
==SS
O SprnSpnrM ddrvvr
r
(4.5)
Punctul de aplicatie al fortei pFr
se noteaza cu C (sau CP) si se numeste centru de
pres iune. Raportat la sistemul de referinta considerat, vectorul de pozitie al centrului de presiune
se obtine din teorema lui Varignonaplicata sistemului de forte elementare, conform careia suma
momentelor for telor elementare este egala cu momentul rezultantei:
== S
CPS
pCPS
SprnSprnFrSprn dddrvrv
r
rrv
=
S
SCP
Sp
Spr
rd
dr
r
(4.6)
4.1.1 Cazul fluidelor usoare (gaze, vapori)
Avnd n vedere ca presiunea n interiorul unui volum finit de gaz poate fi considerata
constanta n toata masa acestuia, ctp= , deci avnd aceeasi valoare n orice punct al suprafetei
S, relatiile (4.4) si (4.6) se pot rescrie astfel:
SpFSpnSpnSpnF pSS
p dd ==== rrr
r
(4.7)
GG
S
S
S
SCP r
S
Sr
Sp
Srp
Sp
Spr
r r
r
rr
r
====
d
d
d
d
(4.8)
unde Grr
este cota centrului de greutate al peretelui de suprafata S ;
Asadar, forta cu care un fluid usor, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este
egala cu produsul dintre presiunea fluidului si aria suprafetei peretelui, avnd punctul de aplicatie
(centrul de presiune) n centrul de greutate al peretelui GCP rr rr
= .
4.1.2 Cazul fluidelor grele (lichide)
Pentru determinarea actiunii exercitate de un fluid greu pe un perete plan consideram cazul
general n care peretele este nclinat cu un unghi fata de suprafata libera a lichidului pe care seexercita presiunea manometrica mp . Raportndu-ne la sistemul de referinta n care )(yOz este
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
44/132
MECANICA FLUIDELOR
44
planul suprafetei nclinate (vezi figura 4.2), iar conform legii fundamentale a hidrostaticii, valoarea
presiunii la o adncime h este data de relatia:
sinz=== hhgp (4.9)
Fig. 4.2 Forta de presiune pe o suprafata plana nclinata
Tinnd cont de (4.9), relatia (4.4) devine:
====SSSS
SznSznShnSpnF dsindsindd )()( rrrr
r
, (4.10)
unde S
Sz d este momentul de inertie de ordinul 1 al suprafetei nclinate fata de axa oy :
SzSz CGS
d = , (4.11)
unde: S este aria suprafetei nclinate;
CGz este cota centrului de greutate al suprafetei nclinate pe axa Oz . Astfel:
ShzF CGCG sin == )(S , (4.12)
unde CGh este cota de adncime a centrului de greutate al suprafetei nclinate.
Asadar, forta cu care un lichid, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este egala cu
greutatea unei coloane din respectivul lichid avnd ca baza suprafata peretelui iar ca naltime
distanta de la centrul de greutate al suprafetei la planul de referinta (planul manometric).
Din relatia (4.8) se obtine urmatoarea expresie a vectorului de pozitie al punctului de
aplicatie al fortei F:
Sz
Szr
Sz
Szr
Sh
Shr
Sp
Spr
rCG
S
S
S
S
S
S
SCP
d
d
d
d
d
d
d
====
rrrr
r
, (4.13)
Corespunzator sistemului de referinta, coordonatele centrului de presiune n planul oz
sunt:
SzI
Sz
Szy
yCGyz
CGSCP == d
;Sz
IAz
Sz
zCG
yCG
SCP == d2
; (4.14)
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
45/132
45
unde: yzI este momentul de inertie centrifugal al suprafetei n raport cu Oysi Oz;
yI este momentul inertial de ordinul doi al suprafetei fata de axa Oz.
Observatie:
Daca yOz este plan de simetrie, atunci 0=yzI si 0=CPy .
ntr-un sistem de coordonate ce are ca origine centrul de greutate al suprafetei, ecuatiile
(4.14) devin (conform teoremei lui Steiner):
Sz
Iy
Sz
SzyI
Sz
Iy
CG
yzCG
CG
CGCGyz
CG
yzCP
''+=
+== ;
Sz
Iz
Sz
SzI
Sz
Iz
CG
yCG
CG
CGy
CG
yCP
''+=
+==
2
;
(4.15)
unde yz'I este momentul de inertie centrifugal al suprafetei n raport cu CGysi CGz;
y'I este momentul inertial de ordinul doi al suprafetei fata de axa CGz.
Deoarece 0'Iy> , conform ecuatiei (4.15), centrul de presiune este situat ntotdeauna sub
cel de greutate.De asemenea, pozitia centrului de presiune este independenta de unghiul .
4.2 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI CURBI
Pentru a usura calculul relatiilor (4.2) si (4.3), torsorul format din forta rezultanta pFr
si
momentulO
Mr
se nlocuieste cu un sistem de trei forte paralele cu axele sistemului de referinta (n
general aceste forte nu sunt concurente). Astfel, componentele fortei pFr
sunt:
=yOzS
yOzxp SpF d (4.16)
=xOzS
xOzyp SpF d (4.17)
=xOyS
xOyzp SpF d (4.18)
unde xOyS , yOzS , xOzS sunt proiectiile algebrice ale suprafetei S pe care actioneaza fluidul pe
planele xOy, yOz, respectiv xOz ale sistemului de referinta, precum n cazul din figura 4.3
pentru suprafata curba (BC). Punctul de aplicatie al componentei dupa axa Oxeste dat de relatia:
=
yOz
yOz
x
SyOz
SyOz
FC Sp
Spr
rd
d
r
r
(4.19)
Similar se calculeaza si centrele de presiune ale celorlalte doua componente.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
46/132
MECANICA FLUIDELOR
46
Fig. 4.3 Proiectiile unei suprafete curbe pe planele sistemului de referinta
4.2.1 Forte de actiune ale gazelor pe pereti curbi, deschisi
n cazul fluidelor usoare putem considera ca ctp= , astfel nct relatiile (4.16), , (4.19)
devin:
yOzxp SpF = ; xOzyp SpF = ; xOyzp SpF = (4.20)
yOzS
d
GyOz
SyOz
FC rS
Sr
r yOzxp
r
r
r
==
;
xOzSGFC rr yprr
= ;xOySGFC rr zp
rr
= (4.21)
4.2.2 Forte de actiune ale lichidelor pe pereti curbi, deschisi
Alegnd un sistem de referinta n care planul xOy este plan manometric, iar axa Ozeste
orientata n sensul cresterii adncimii, pentru variatii ale presiunii n interiorul lichidului zp = ,
relatiile (5.16), , (5.19) devin:
yOzS
yOzxp SSzF
yOz
zdyOzSG
== ; xOzyp SF z xOzSG= ; Vd == xOyS
xOyzp SzF (4.22)
yOzG
SyOz
FC Sz
Szr
r yOzxp
d
yOz
S
=
r
r
;xOzG
SxOz
FC Sz
Szr
r xOzyp
d
xOz
S
=
r
r
; VGFC rr zrr
= (4.23)
unde V este volumul de l ich id cu prins ntre sup rafata udata de l ichid si pro iect ia ei peplanul manometric (de referinta), f igura 4.3.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
47/132
47
4.2.3 Forte de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi
Cnd actioneaza pe suprafetele curbe nchise, ale rezervoarelor ce le contin, fluidelor
usoare dezvolta eforturi unitare de tensiune n peretii acestora. Calculul acestor eforturi este util la
dimensionarea grosimii peretilor rezervoarelor.
Astfel, n cazul unui rezervor cilindric (sau o conducta) de diametru D si lungime L cecontine un fluid la presiunea constanta , actiunea acestuia asupra unei jumatati de cilindru este,
conform relatiilor (4.20):
LDpF xp = ; 0== zpyp FF ; (4.24)
Notnd efortul unitar admisibil cu a si grosimea peretelui cu forta de reactiune ce se
dezvolta n peretele sectionat este La 2 . Din egalitatea fortelor se obtine:
a
aDp
LLDp
2
2 = (4.25)
Fig. 4.4 Forta de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi
Pentru alte tipuri de suprafete se obtin relatii de calcul a grosimii minime n mod similar.
Relatia anterioara este valabila si n cazul lichidelor cnd variatia presiunii pe verticala este
neglijabila.
4.2.4 Forte de actiune ale fluidelor grele pe pereti curbi, nchisi
Este cazul corpurilor, partial sau total imerse ntr-un lichid. n aceasta situatie asupra
corpului actioneaza si forta arhimedica, AF .
Fig. 4.5Actiunea fortei arhimedice asupra unui plutitor
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
48/132
MECANICA FLUIDELOR
48
dislocatfluidAF V= , VsolidGG =
pentru AFG> corpul se scufunda;
AFG= corpul pluteste submers;
AFG< corpul pluteste (plutitor)
n cazul unui plutitor, volumul dislocat se mai numeste si volum de carenasi se noteaza
cu CV . Distanta dintre punctul de aplicatie al fortei arhimedice si punctul de aplicatie al fortei de
greutate se numeste excentr ic i tate si se noteaza cu e .
Conditia de stabilitate a plutirii este data de relatia;
Echilibru stabil:
0> e
I
df
y
V (4.26)
Echilibru indiferent:
0= eI
df
y
V (4.27)
Echilibru instabil:
0
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
49/132
49
5. INSTRUMENTE PENTRU MASURAREA PRESIUNILOR
Aparatele cu ajutorul carora se masoara presiunea se numesc manometre. Dupa principiul
de functionare, acestea se pot clasifica n doua categorii principale:
manometre cu lichid:functionarea acestora se bazeaza pe legea de variatie a presiunii nlichidele aflate n repaus; se mai si numesc piezometre;
manometre cu element elastic: functionarea acestora se bazeaza pe dependenta dintre
valoarea presiunii si marimea deformatiei elementului elastic.
Masurarea presiunii se poate face si cu aparate ce functioneaza pe baza altor principii,
precum cele ce utilizeaza traductoare electrice sau pneumatice. Indiferent de natura instrumentului
de masura, fluidul a carui presiune se masoara este dirijat spre instrument prin intermediul unei
prize de presiune:
statica, cnd axa prizei este normala pe directia curentului (pentru fluide n miscare), vezi
figura 1.1;
totala, cnd axa prizei este pe directia curentului (pentru fluide n miscare), vezi figura 1.2.
1. PIEZOMETRE
Sunt manometre cu lichid si masoara ntotdeauna presiuni relative, exprimate n coloana de
lichid. Cnd determina presiunea ntr-un punct se numescpiezometre simple, iar daca masoara
diferenta de presiune ntre doua punctepiezometre diferentiale. Daca lichidul piezometric (lichidul
utilizat pentru determinarea presiunii) este cel a carui presiune se masoara se numescpiezometre
directe, n caz contrarpiezometre indirecte. Cele mai utilizate sunt:
1.1 Tubul piezometric
Este cel mai simplu manometru si este constituit dintr-un tub, deschis la
capatul superior, celalalt fiind conectat la un recipient ce contine un
lichid sub presiune, superioara celei atmosferice, precum este ilustrat n
figura 2. Presiunile masurate sunt relative la cea atmosferica (locala),
deci suprapresiuni. Acest instrument poate fi utilizat doar n cazul
lichidelor, cnd naltimea de lichid pe tubul piezometric este suficient de
mare, astfel nct sa fie sesizabile si masurabile variatiile de presiune.
Presiunea n punctul A, exercitata de coloana de lichid este: Fig. 2 - Tubul piezometric
lichid]decoloan[mhgp AfA = . (1)
Fig. 1.1
pv
Fig. 1.2
p
v
tot
st
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
50/132
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
51/132
51
hg)()hh(gpp flp12fBA += . (4)
De asemenea, daca flp >> , termenii ce contin f pot fi neglijati, deci:
hgpp lpBA = . (5)
1.4 Variante mbunatatite ale manometrului U
Pentru a evita calculul presiunii prin citirea naltimii de lichid piezometric pe ambele brate
ale tubului manometric U, se utilizeaza varianta n care unul dintre brate are diametrul mult mai
mare n comparatie cu celalalt, precum n figura 5. n acest caz, deplasarea de lichid piezometric
pe bratul de diametru mai mare devine nesemnificativa. Planul de referinta indica nivelul lichidului
piezometric pentru o diferenta nula de presiune.
Fig. 5 Varianta mbunatatita a manometrului U
Volumul de lichid piezometric transferat de pe un brat pe celalalt este:
4d
h4D
h2
2
2
1 ==V .
Astfel, caderea de nivel pe bratul cu diametru mai mare este:
2
21 D
dhh
= .
Diferenta de presiune 21 pp este data de diferenta de nivel pe cele doua brate:
+=
+= 22lp
222lp21 D
d1hgDdhhgpp . (6)
Deoarece D este mult mai mare ca d ( dD>> ), raportul 2)D/d( este neglijabil
( )1)D/d( 2
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
52/132
MECANICA FLUIDELOR
52
sinlghgpp 21 == . (4.51)
Precizia de masurare poate fi crescuta prin nclinarea bratului micromanometrului.
Fig. 6 Micromanometru cu brat nclinat
Utilizarea mai multor tuburi piezometrice, ca n figura 7, permite masurarea presiunii
simultan n mai multe puncte. Tuburile formeaza unpiezometrul multiplu, sau baterie piezometrica.
Fig. 7 Piezometru multiplu
1.5 Alegerea piezometrului adecvat
La alegerea piezometrului adecvat unei masuratori trebuie avute n vedere avantajele si/sau
dezavantajele pe care le prezinta acestea.
Avantaje sunt foarte simple din punct de vedere constructiv;
nu necesita calibrare, presiunile masurate fiind determinate conform principiului fundamental
al hidrostaticii.
Dezavantaje
nu pot nregistra variatii rapide de presiune;
n cazul tuburilor manometrice U, trebuie efectuate simultan doua masuratori pentru a
calcula presiunea diferentiala; acest dezavantaj poate fi eliminat prin utilizarea variantei n
care unul dintre brate are diametrul mult mai mare;
este dificila determinarea unor diferente mici de presiune.
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
53/132
53
2 Manometre cu element elastic
Sunt manometre a caror constructie se bazeaza pe principiul deformarii unui element
elastic sub actiunea unei presiuni. Deformatia este amplificata prin intermediul unui mecanism,
astfel nct presiunea sa poata fi determinata cu o precizie suficient de buna. Sunt simple, usor de
montat si utilizat si pot masura presiuni ntr-un domeniu extins. Principalele dezavantaje sunt
legate de mecanismul de amplificare, ce nu permite realizarea unei precizii mari si de deformatiile
remanente ale elementelor elastice, aceste aparate necesitnd reetalonari periodice. Principalele
tipuri constructive sunt prezentate n figura 8: cu tub elastic (figura 8.1), cu membrana elastica
(figura 8.2) si cu burduf (figura 8.3).
Fig 8 - Tipuri constructive de manometre cu element elastic
Manometru cu tub elastic (Bourdon) Manometru cu membrana elastica
Fig. 8.1
p
p
p
Fig. 8.2 Fig. 8.3
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
54/132
MECANICA FLUIDELOR
54
APLICATII - STATICA FLUIDELOR
Pb. 1: Sa se determine presiunea n punctul A (Pa si OHmm 2 ), daca presiunea n punctul B
este atpB 1.0= si m2.01=h , m1.02=h , m4.03=h ,3kg/m10000= ,
3kg/m8001= .
Fig. 1Pasul 1:Se trec datele problemei n Sistemul International (daca este necesar)
)OmmH10(Pa1081.9Pa1081.91.0at1.0p 2334
B ====
Pa81.91081.91000OmmH1 32 ==
Pasul 2:++=+++= 3021B3210AC hghgp)hh(hgpp
++= )h(hghgpp 31130BA
=++= Pa2.9025)4.02.0(81.98004.081.910001081.9p 3A
OmmH920p 2A=
Pb. 2: ntr-un rezervor nchis, avnd forma precum n figura 2.1, se afla apa sub presiunea mp .
Fig. 2.1
Sunt cunoscute: m5.1H= adncimea apei n rezervor
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
55/132
55
m5.0R= raza de curbura a rezervorului
m0.1L= latimea rezervorului
3mkg/1000= densitatea apei
at1.0pm = presiunea indicata de manometru.
Sa se calculeze si sa se reprezinte distributia de presiuni pe peretii vasului.
Determinati valoarea fortei de presiune pe peretele )AB(
Determinati valoarea fortei de presiune pe peretele )BC( .
Solutie:Pasul 1:Se trec datele problemei n Sistemul International (daca este necesar)
Pa1081.91.0at1.0p 4m == Pasul 2:Se calculeaza naltimea manometrica mh corespunzatoare pozitiei planului manometric, fata de
suprafata de separatie a apei (vezi figura 2.2). Deoarece la nivelul planului manometric presiunea
absoluta este cea atmosferica locala, deci suprapresiunea este nula 0p= :
= mm hgp
m181.91000
1081.91.0
g
ph
4m
m =
==
Se alege sistemul de referinta xOyz, astfel nct:
xoy este n planul manometric;oz n sensul cresterii adncimii.
Fig. 2.2Pasul 3:
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
56/132
MECANICA FLUIDELOR
56
Se calculeaza presiunea (relativa) n punctele caracteristice ale geometriei rezervorului. Astfel:
Pa1081.9phghgp 3mmAA ==== (presiunea este constanta n interiorul unui gaz);
+=+== )RH(gp)]RH([hghgp mmBB
Pa1062.190.5)-(1.581.910001081.9p 33B =+=
+=+== Hgp)H(hghgp mmCC
Pa1053.241.581.910001081.9p 33C =+=
Se reprezinta variatia presiunii pe peretii rezervorului, ca n figura 2.3.
Fig. 2.3
Pasul 4:Se calculeaza forta pe peretele plan )AB( , )AB(F . Pentru calcule convenabile, se noteaza
hRH = (vezi figura 2.4).
4.1 Cu ajutorul relatiei integrale:
+=+=+== AA
mAA
mA
mA
)AB( dAzgdApdAzgdApdAz)gp(dApF
+=
+=+= dx2
hgLhhgdx
2z
gLhhgdxdzzgApFL
0
2
m
L
0
h
0
2
m
L
0
h
0(AB)m)AB(
Lh2h
hL2h
gLhhgF m2
m)AB(
+=+=
4.2 Cu relatia (4.12) (din curs):
( ) N.h LhhAhF m(AB)CG (AB)(AB) 147151150198102
=+=
+==
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
57/132
57
Observatie: Ca valoare, forta de presiune este egala cu volumul distributiei de presiuni si
actioneaza n centrul de greutate al acestei distributii.
Pasul 5:
Se determina forta pe peretele curb )BC( : )BC(F , prin calculul celor doua componente n sistemul
de referinta considerat:
componenta orizontala )BC(yF
componenta verticala )BC(zF (vezi figura 2.4).
Conform sistemului de ecuatii (4.22) (din curs):
N..).-.(R LR
HhShF mxozGy xoz 251103615025051198102=+=
+==
N..p
Lhhp R
VF mz 19215461114
5098104
22
=
++=
++==
unde: xozS este aria proiectiei suprafetei curbe )BC( pe planul xoz;
LRSxoz =
V este volumul de lichid cuprins ntre suprafata curba (udata de lichid) si
proiectia ei pe planul manometric xoy(unde suprapresiunea este nula).
LR)hh(4
RV m
2
++
= .
n final:
N.FFF zy 202420822 =+= .
Fig. 2.4
8/12/2019 56666852 Curs General de Mecanica Fluidelor
58/132
MECANICA FLUIDELOR
58
Fig. 3
Pb. 3
Densitatea lichidelor poate fi determinata experimental cu ajutorul unui densimetru, ca n figura 3.
Acesta este compus dintr-un plutitor lestat, avnd la
partea inferioara o cavitate cu bile de plumb, iar la partea
superioara un tub calibrat (de diametru constant). Sa se
calculeze densitatea unui fluid f daca partea calibrata a
densimetrului se scufunda cu mm50h= relativ la
pozitia de echilibru n apa.
Sunt cunoscute:
gf20G= : greutatea densimetrului;
mm8d= : diametrul sectiunii calibrate;
30 kg/m1000= : densitatea apei
Solutie:
Pasul 1
Se trec datele problemei n Sistemul International (daca este necesar)
N1962.0kg0.02s
m9.81gf20G
2 === ;
m108mm8d -3== .
Pasul 2
Principiul de masurare se bazeaza pe legea lui Arhimede. Ecuatiile de echilibru pentru cele doua
situatii de plutire sunt:
n apa: d00A VgGFG 0 ==
n alt