CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
4. AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
Grupoizii amenabili au fost definiţi de J. Renault în [68]. Ca şi în cazul
grupurilor, o bună parte din teoria grupoizilor amenabili constă în demonstrarea
echivalenţei diverselor definiţii ale amenabilităţii. În subcapitolul 4.2 vom prezenta
noţiunile de propriu amenabilitate şi de amenabilitate aşa cum apar în [1]. În secţiunea
a a subcapitolului 4.2 se definesc aceste noţiuni în contextul borelian, şi în secţiunea
b în contextul topologic În subcapitolul 4.1 demonstrăm o proprietate de densitate
care va fi utilizată în 4.2 pentru a arăta că se poate întării condiţia de normalizare
impusă unei medii aproximative slab invariante asociate grupoid amenabil. În 4.3
generalizăm la grupoizi următorul rezultat (21.2. [59]): dacă G este un grup local
compact necompact şi m este o medie invariantă pe L∞(G), atunci m(ϕ) = 0 pentru
orice funcţie ϕ continuă pe G care se anulează la infinit.
O mare parte a subcapitolului 4.2 constă în enunţarea unor rezultate care duc
la formularea diverselor definiţii echivalente ale amenabilităţii topologice sau
măsurabile. Cele două noţiuni nu se suprapun în cazul unui grupoid topologic
oarecare, totuşi există următoarea legătură între ele. Amenabilitatea topologică
implică amenabilitatea măsurabilă. În [1] (Theorem 3.3.7/pg. 51) se demonstrează că
pentru un grupoid local-compact, topologic echivalent cu un grupoid care admite un
sistem Haar continuu şi care are orbite numărabile, amenabilitatea măsurabilă este
echivalentă cu amenabilitatea topologică. Amenabilitatea topologică este conservată
de echivalenţa de grupoizi topologici (Theorem 2.2.13/pg. 27 [1]) şi amenabilitatea
măsurabilă de echivalenţa de grupoizi borelieni (Theorem 3.2.13/pg. 48 [1]). În acest
context noţiunea de echivalenţă de grupoizi borelieni este similară noţiunii de
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
138
echivalenţă topologică, singura diferenţă fiind că aplicaţiile continue se schimbă cu
aplicaţii boreliene.
Pentru a defini grupoizii amenabili se introduc, mai întâi aplicaţiile propriu
amenabile şi amenabile. Contextul în care se lucrează este următorul:
- G grupoid topologic (resp. borelian)
- X, Y G-spaţii topologice (resp. boreliene) la stânga
- π : Y → X aplicaţie surjectivă continuă (resp. boreliană) G-echivariantă.
Elementele grupoidului G vor fi notate, în acest capitol, cu γ, γ1, … pentru a putea
face distincţie mai uşor între ele şi elementele G-spaţiilor X şi Y, care vor fi notate cu
x, x1,.. respectiv y, y1,…
4.1. SISTEME DE MĂSURI ŞI SPAŢII DE FUNCŢII În acest subcapitol vom prezenta spaţiile de funcţii necesare pentru definirea
aplicaţiilor amenabile. În afară de spaţiile de funcţii utilizate în [1] vom mai introduce
încă un spaţiu şi vom demonstra o proprietate de densitate a acestui spaţiu. Această
proprietate va fi utilizată în subcapitolul următor pentru a arăta că se poate întării
condiţia de normalizare impusă unei medii aproximative slab invariantă.
Definiţie 4.1.1. Fie Y , X două spaţii boreliene şi π : Y → X o aplicaţie
boreliană . Un π-sistem borelian (sau un sistem borelian de măsuri pentru π) este o
familie α = { }Xx:x ∈α de măsuri xα pe ( )x1−π a.î .
(1) pentru orice funcţie boreliană nenegativă f pe Y, funcţia :
( ) ∫ α⎯⎯→⎯α xf dfx este boreliană
(2) există o funcţie boreliană pozitivă g pe Y astfel încât α(g) = 1.
Observaţie 4.1.2. Condiţia (2) din definiţia 4.1.1 este echivalentă cu:
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
139
(∗) Y este reuniunea unui şir crescător de mulţimi boreliene cu proprietatea
că ( )nx Ax α este mărginită pentru orice n, şi ( ) Xx,0x ∈∀≠α . ( Lemme 3, pg 37
[26] )
Notaţii 4.1.3. Fie α un π-sistem ca mai sus şi c o clasă de măsuri pe X .
Pentru simplitate, vom fixa o măsură pozitivă µ aparţinând clasei c, şi vom identifica
spaţiul ( )c,XL∞ cu spaţiul ( )µ∞ ,XL , pe care îl vom nota cu ( )XL∞ . Introducem pe
spaţiul Y măsura µ α, definită prin:
( )∫ ∫ µα=αµ dfdf
pentru orice funcţie boreliană nenegativă f :Y → R .
Pentru 1 ≤ p < ∞, definim ( )( )α∞ ,YL,XL p ca fiind spaţiul Banach al
funcţiilor µ α -măsurabile f : Y → C cu proprietatea că aplicaţia
∫ αxp dfx este µ-esenţial mărginită, înzestrat cu norma
( ) .ffp1
p
p, ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ α=
∞π
Definim ( )( )α∞∞ ,YL,XL ca fiind spaţiul Banach ( )αµ∞ ,YL = ( )YL∞ .
Din proprietatea (2) (definiţia 4.1.1) a π-sistemului α rezultă că pentru fiecare
g ∈ ( )+∞ XL , există o funcţie nenegativă f în ( )( )α∞ ,YL,XL 1 cu α(f) = g şi
∞π= gf
1,. ( )XL∞ este izometric scufundat în ( )YL∞ ( prin aplicaţia ϕ ϕ π ),
deci ( )YL∞ şi ( )XL1 pot fi considerate ( )XL∞ -module. Notăm cu
( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ spaţiul cât obţinut prin factorizarea produsului tensorial algebric
al celor două spaţii ( )YL∞ şi ( )XL1 ( înzestrat cu norma produs tensorial proiectiv
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∑ ⊗====
∑n
1iii
n
1iii yxt,yxinft , t∈ ( ) ( )XLYL 1⊗∞ )
la subspaţiul liniar V generat de elementele de forma µ⊗ϕ−µ⊗ϕ ff cu f ∈ ( )XL∞ ,
ϕ ∈ ( )YL∞ , µ ∈ ( )XL1 . Fiecare element h⊗ϕ , cu ϕ ∈ ( )+∞ YL şi h ∈ ( )+XL1
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
140
poate fi văzut ca o măsură de densitate ( )πϕ h relativ la αµ . Vom gândi spaţiul
( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ ca un spaţiu de “măsuri complexe “ pe Y.
Cu ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ notăm spaţiul Banach al aplicaţiilor ( )XL∞ –liniare
mărginite de la ( )YL∞ la ( )XL∞ . Pentru m din ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ , definim
( ) ( ) ( )( )*1XLm XLYLT ∞⊗∈ ∞ prin:
( ) h,mh,Tm ϕ=⊗ϕ
unde ϕ ∈ ( )YL∞ , şi h ∈ ( )XL1 . Atunci mTm defineşte un izomorfism izometric
de la ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ la ( )
( )( )( )*1
XLXLYL ∞
∞ ⊗ .
În plus, presupunem satisfăcute următoarele ipoteze (∗), care generalizează
proprietăţile sistemului de măsuri obţinut prin dezintegrarea unui sistem Haar prin
aplicarea teoremei de structură a măsurii Haar (Theorem 4.4/pg. 23 [41]):
1) µ este probabilitate.
2) Y este înzestrat cu o aplicaţie YyyY 1∈∋ − având proprietatea că
( )( ) ( ) Yy,yy11 ∈∀=−− . Considerăm aplicaţia ρ : Y→Y definită prin
( ) ( )1yy −π=ρ .
3) Măsura αµ admite (π,ρ)- dezintegrarea următoare:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫Εµα=αµ
0 0
v,udv,uqydyfydyf '
Y v,u
unde
- XX0 ⊂ este o mulţime a cărei complementară este de măsură (µ) nulă
- ( ) ( )( ){ }Yy:y,y ∈ρπ=Ε = (π,ρ)(Y) ; presupunem că X=
( ) ( ){ }Ev,uv:u ∈∃
- ( ) ( )( ) ( ) ( ){ }00 Xy,y,Yy:y,y ∈ρπ∈ρπ=Ε
- q este o funcţie strict pozitivă pe 0Ε
- 'µ este o probabilitate pe E aparţinând clasei de măsuri ( ) ( )[ ]αµρπ ∗,
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
141
- măsurile v.uα sunt σ- finite
4) Există o funcţie boreliană f: Y→ +R cu proprietatea că
( ) ( ) 1fv.uq v,u =α 'µ - a.p.t..
Pentru 1 ≤ p < ∞, definim ( )( )α∞ ,YL,EL p ca fiind spaţiul Banach al
funcţiilor µ α -măsurabile f : Y → C cu proprietatea că aplicaţia
( ) ∫ α v,up dfv,u este 'µ -esenţial mărginită, înzestrat cu norma
( ) ( ) ( ) .fv,uqv,ufp1
pv,up,, ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ α=
∞ρπ
Pentru f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL p notăm cu α0(f) funcţia α0(f) : E0 → C funcţia
definită prin α0(f)(u,v) = q(u,v)αu,v(f).
Notăm:
( )( ) +∞ α 1p ,YL,EL = mulţimea elementelor nenegative f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL p cu
α0(f) = 1
( )( )+∞ α 11 ,YL,XL = mulţimea elementelor nenegative f din ( )( )α∞ ,YL,XL 1
cu 1f1,≤
π
( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL
XL,YLB = mulţimea elementelor nenegative m din
( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ cu 1m ≤ .
M = mulţimea elementelor m din ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ cu m(1) = 1.
Deoarece aplicaţia fmf , unde mf(ϕ) = α(fϕ), este o contracţie injectivă de
la ( )( )α∞ ,YL,EL 1 la ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ , rezultă că putem privi ( )( )α∞ ,YL,EL 1
ca o submulţime a spaţiului ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ . În mod analog, spaţiul
( )( )α∞ ,YL,XL 1 este considerat o submulţime al lui ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ .
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
142
Vom demonstra densitatea lui ( )( )+∞ α 11 ,YL,EL în ( ) ( ) ( )( )+∞∞
∞ 1XLXL,YLB ∩
M prin aceleaşi argumente ca cele utilizate în [1] pentru demonstrarea densităţii lui ( )( )+∞ α 1
1 ,YL,XL în ( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL
XL,YLB (Lemma 1.2.6/pg. 26 [1]).
Propoziţie 4.1.4 (Proposition 4 [19]).
1) ( )( )α∞ ,YL,EL 1 ⊂ ( )( )α∞ ,YL,XL 1 .
2) Pentru orice g ∈ ( )XL∞ există f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 cu α0(f)(u,v)=g(u)
a.p.t. şi ∞ρππ
== gff1,,1,
. Dacă g ≥ 0 atunci f poate fi aleasă nenegativă.
Demonstraţie. 1) Fie ∫ µβ×δ=µ duu
' o p-dezintegrare a măsurii 'µ , unde
p:E→ X, p(u,v) = u. Demonstrăm că ( ) ( )∫ βα=α vdv,uq uv,u
u . Într-adevăr, pentru
orice funcţie boreliană nenegativă f :Y → R şi orice funcţie boreliană nenegativă
g:X→ R avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ αµπ=µα ydyfygudydyfug u
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µαπ= v,udv,uqydyfyg 'v,u
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )udvdv,uqydyfyg uv,u µβαπ= ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).udvdv,uqydyfug uv,u µβα= ∫ ∫ ∫
Deoarece uβ sunt probabilităţi µ- a.p.t. u, rezultă că 1,,1,
ffρππ
≤ .
2) Luăm f(y) = g(π(y))h(y), unde h este o funcţie cu proprietatea
( ) ( ) 1hv,uq v,u =α 'µ - a.p.t., şi ţinem seama de faptul că ( ) ( )∫ βα=α vdv,uq uv,u
u .
Lemă 4.1.5. Fie l o formă liniară pe ( )( )α∞ ,YL,EL 1 , care are proprietatea că
există h ∈ ( )+∞ XL astfel încât
( ) ( )∫ αµ≤ hdffl
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
143
pentru toate funcţiile f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 . Atunci există o funcţie ϕ ∈ ( )YL∞ cu
1≤ϕ∞
şi ( ) ( )∫ αµϕ= hdffl , pentru orice funcţie f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 .
Demonstraţie. Fie ( )nnA un şir crescător de submulţimi boreliene ale lui Y
cu YAn
n =∪ şi ( ) ( ) ( )nv,u Av,uqv,u α mărginită pentru orice n (putem lua
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤= nyh
n1:yA 0n , unde h0 este o funcţie boreliană pozitivă cu proprietatea
( ) ( ) 1hv.uq 0v,u =α 'µ - a.p.t ). Fie de asemenea ( )nnB un şir crescător de submulţimi
boreliene ale lui X cu XBn
n =∪ . Punem ( )π=χnBnAn 11 . Din teorema Radon-
Nikodym în ( )YL∞ , rezultă existenţa unei funcţii ϕ ∈ ( )YL∞ cu proprietăţile :
1≤ϕ∞
şi
( ) ( ) ( ) ( )YL,hdl nn∞∈ψ∀αµχψϕ=χψ ∫
Fie f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 . Avem ( ) ( )∫ αµϕ= hdffl deoarece există un şir ( )nnψ în
( )YL∞ astfel încât
( )∫ =αµχψ− 0hdflim nnn
Propoziţie 4.1.6 (Proposition 6 [19]). Orice element ν ∈ ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗
poate fi exprimat ca ν = 00 h⊗ϕ cu 10 =ϕ∞
şi ν=10h . Mai mult
( ) ( )( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup1,,
1 ≤α∈ν=νρπ
∞ , unde
( ) ∫ αµπϕ=ν dhff 00 ,
iar dacă ϕ0 ≥ 0 şi h0 ≥ 0 atunci :
( ) ( )( ) ( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup 01 =αα∈ν=ν
+∞ .
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
144
Demonstraţie. Fie ν ∈ ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ . ν se poate scrie ca ∑
=
⊗ϕn
1iii h
modulo V, sau ţinând cont de identificarea spaţiului ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ cu un spaţiu
de măsuri ca ( )ᵕ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ πϕ∑=
n
1iiih . Atunci pentru f ∈ ( )( )α∞ ,YL,EL 1 avem
( ) ( ) αµπ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ≤αµπϕ≤ν ∑∫∑∫
=
dhmaxfdhff ii
n
1iii
( ) αµ≤ ∫ hdf , unde
ii hmaxmaxnh∞
ϕ⋅= .
Din lema 4.1.5 rezultă că putem scrie h⊗ϕ=ν cu ϕ ∈ ( )YL∞ , 1≤ϕ∞
, şi
cu h ∈ ( )+XL1 . Înlocuind ν prin h⊗ϕ=ν , putem presupune că ϕ şi ν sunt pozitive.
Pentru g ∈ ( )+∞ XL , punem
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ }..t.p.augv,uf:,YL,ELf,fsupg 01
0 =αα∈ν=µ+∞
Arătăm că 0µ este o formă liniară continuă pe ( )XL∞ . Fie g1 , g2∈ ( )+∞ XL şi fie g
= g1 + g2. Luăm f1 şi f2 ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 astfel încât α0(fi)(u,v) = gi(u) ,i = 1,2 .
Deoarece avem α0(f1 + f2)(u,v) = (g1 + g2)(u) rezultă că µ0( g1 + g2 ) ≥ ν(f1) +
ν(f2) , şi deci µ0( g1 + g2 ) ≥ µ0(g1) + µ0(g2). Pentru a demonstra inegalitatea opusă
luăm f ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 cu α0(f)(u,v) = (g1 + g2)(u), şi l0 : Y→ +R cu
( ) ( ) 1lv.uq 0v,u =α 'µ - a.p.t.. Pentru orice ε > 0, considerăm funcţiile :
( )( ) 2,1ig
glff i0i =
ε+ππε+
=
Funcţiile f1 , f2 ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 , şi au proprietatea că α0(fi)(u,v) = gi(u) , i = 1,2.
Mai mult, avem :
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε+ππε
−ε+π
ε−ν=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε+π
πε+ν=+ν=ν+ν 002121 l
ggf
gf
gglfffff
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
145
şi în consecinţă,
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε+π
πεν+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε+π
νε+ν+ν≤ν 021 lg
gg
ffff
( ) ( ) ( )∫∫ µ
ε+ϕε+µ
ε+α
ϕε+ν+ν≤∞∞
dg
ghdg
fhff 21
( ) ( )121 h2ff
∞ϕε+ν+ν≤
Rezultă deci că µ0(g)≤ µ0(g1) + µ0(g2) . µ0 este aditivă, şi în plus este mărginită
deoarece µ0(g) ≤ 1
hg∞∞
ϕ , pentru g, h, ϕ ≥ 0 cu ν=⊗ϕ h . Mai mult, deoarece
( ) ∫ µϕ≤µ∞
dghg0 pentru g∈ ( )+∞ XL
rezultă că există h0 ∈ ( )+XL1 astfel încât µ0 = h0µ. Pentru fiecare f ∈
( )( )+∞ α,YL,EL 1 , avem ( ) ( )∫ αµ≤ν 0hdff . Din lema 4.1.5 rezultă că există ϕ0
∈ ( )+∞ YL cu 10 ≤ϕ∞
astfel încât 00 hh ⊗ϕ=⊗ϕ=ν în ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ . Se
observă că 10 =ϕ∞
şi ν=10h , deoarece
10010 hh∞
ϕ≤ν≤ .
Pentru orice ε >0 , există f ∈ ( )( )+∞ α,YL,EL 1 cu α0(f) = 1 şi
ν(f) ≥ µ0(1)- ε = .h10 ε−
Astfel avem =10h ( ) ( )( ) ( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup 0
1 =αα∈ν≤ν+∞ . Inegalitatea
opusă este evidentă.
Observaţie 4.1.7. Fără a presupune că măsura αµ de pe Y admite o
dezintegrare care să verifice ipotezele (∗), în [1] (Lemma 1.2.5 (i) /pg. 7) este
demonstrat că orice element ν din ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ poate fi exprimat de asemenea
ca ν = 00 h⊗ϕ cu 10 =ϕ∞
şi ν=1
h , şi în plus,
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
146
( ) ( )( ){ }1,
1 fcu,YL,XLf,fsupπ
∞ α∈ν=ν .
Utilizând acest rezultat se arată că aplicaţia canonică de la
( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ la ( ) ( ) ( )XLYL 1
XL
^∞∞ ⊗ (câtul completatului produsului tensorial,
în norma produs tensorial proiectiv, la închiderea spaţiului V) este un izomorfism
izometric, de unde rezultă că ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ este un spaţiu Banach al cărui dual
este ( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ (Lemma 1.2.5 (ii) /pg. 7 [1]).
Propoziţie 4.1.8 (Proposition 8 [19]). ( )( ) +∞ α 11 ,YL,EL este dens în
( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL
XL,YLB ∩ M înzestrat cu topologia *-slabă .
Demonstraţie. Fie C închiderea *-slabă a ( )( ) +∞ α 11 ,YL,EL în spaţiul
( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ . Submulţimea C ⊂ ( ) ( ) ( )( )+∞∞
∞ 1XLXL,YLB este o mulţime
compactă în topologia *-slabă deoarece este o submulţime închisă a bilei unitate din
( ) ( ) ( )( )XL,YLBXL
∞∞∞ .
Presupunem prin absurd că există m ∈ ( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL
XL,YLB ∩ M care nu
este în C. Utilizând teorema de separare Hahn-Banach pentru mulţimea convexă şi
compactă C şi { }m , rezultă că există un ν ∈ ( )( )
( )XLYL 1
XL∞∞ ⊗ , şi un număr real r
astfel încât
Re ν(m) > r , şi Re ν(f) ≤ r pentru orice f ∈ ( )( ) +∞ α 11 ,YL,EL
Ţinând cont de propoziţia 4.1.6 rezultă că putem lua ν = 00 h⊗ϕ cu 10 =ϕ∞
şi
ν=10h , h0 ≥ 0. Notăm ν+ = ((Re ϕ0)+1) ⊗ h0 ( 10 =ϕ
∞ => (Re ϕ0)+1 ≥ 0 a.p.t.
) . Atunci
ν+ (m) = ( )∫ µ+ϕ dh1Rem 00 = ( ) ν+>+ν rhmRe10 , şi
( ) ( ) ( ) ( ) ν+≤ν+ν=+ν=αµπ+ϕ=ν ∫+ rfRehfRedh1Reff1000 ,
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
147
pentru orice f ∈ ( )( ) +∞ α 1p ,YL,EL .
Deoarece ( ) ( )( ) ( ){ }1fcu,YL,ELf,fsup 01 =αα∈ν=ν
+∞++ rezultă că
ν+≤ν+ r şi deci 1m > , ceea ce contrazice m ∈ ( ) ( ) ( )( )+∞∞∞ 1XL
XL,YLB ∩ M.
Definiţie 4.1.9. Fie α un sistem borelian pentru π : Y → X, şi fie µ o măsură
pe X. O medie (“mean “) este o aplicaţie, m : ( )YL∞ → ( )XL∞ , pozitivă, unitală,
( )XL∞ -liniară. Când X este redus la un punct rezultă că m este o stare pe
( )YL∞ (Definition 1.3.4/pg. 30 [1]).
Observaţie 4.1.10. Fie sistemele boreliene 1α pentru XY: 11 →π şi 2α
pentru 122 YY: →π , şi µ o măsură pe X . Considerăm spaţiul borelian 2Y înzestrat
cu măsura
( ) ( ) 2121 ααµ=ααµ .
Dacă ( ) ( )XLYL:m 11∞∞ → este o aplicaţie ( )XL∞ –liniară şi dacă
( ) ( )122 YLYL:m ∞∞ → este ( )1YL∞ -liniară, atunci compunerea 21 mm este o
aplicaţie ( )XL∞ –liniară de la ( )2YL∞ la ( )XL∞ . 21 mm este o medie când 1m şi
2m sunt medii.
4.2. GRUPOIZI AMENABILI
a. Cazul borelian
Notaţie 4.2.1. Fie G un grupoid borelian şi X un G-spaţiu la stânga (X este
înzestrat cu o structură boreliană, acţiunea lui G pe X este presupusă boreliană şi de
asemenea aplicaţia r : X→UG este presupusă boreliană). Fie opX spaţiul X înzestrat
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
148
cu acţiunea lui G la dreapta definită după cum urmează : xx,rd 1op −γ=γ= , atunci
vom nota cu GX× grupoidul GXop ∗ , a cărei structură este definită de 1.20.1 din
capitolul 1, şi cu X/G spaţiul X factorizat la relaţia : x ~ y
( ) ( )yxyx:G 1 =γ<=>=γ∈γ∃<=> − .
Definiţie 4.2.2. Fie X , Y două G-spaţii boreliene, şi fie π : Y → X o aplicaţie
boreliană G-echivariantă ( i.e. r(π(y)) = r(y) şi γ π(y) = π(γ y) pentru orice (γ , y) ∈
G∗X )
1. Spunem că π-sistemul de măsuri α = {αx, x ∈ X} este invariant (G-
invariant) dacă xx γα=αγ pentru orice pereche (x, γ) cu r(x) = d(γ), unde măsura
xαγ este definită prin
( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ αγ=γα ydyf:ydyf xx , f ≥ 0 boreliană pe Y.
2. Spunem că π este o aplicaţie boreliană propriu-amenabilă dacă există un π-
sistem borelian de probabilităţi invariant. (Definition 2.1.13/pg. 38 [1])
Definiţie 4.2.3. Spunem că un grupoid borelian G este propriu (propriu-
amenabil) dacă aplicaţia boreliană r : G → UG este propriu-amenabilă.
G-spaţiul borelian X se numeşte propriu (propriu-amenabil) dacă grupoidul
borelian X×G propriu (propriu-amenabil). (Definition 2.1.13/pg. 38 [1]).
Propoziţie 4.2.4. (Proposition 2.1.5/pg. 35 [1]).
1) Compunerea a două aplicaţii G-echivariante propriu amenabile este o
aplicaţie G-echivariantă propriu amenabilă.
2) Reciproc, fie aplicaţiile G-echivariante π : Y → X şi ρ : Z → Y astfel
încât π ρ să fie propriu amenabilă. Atunci π este propriu amenabilă.
3) Dacă G este propriu, atunci orice G-spaţiu borelian este propriu.
Introducem mai departe elementele necesare pentru definirea aplicaţiilor
boreliene amenabile.
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
149
Definiţie 4.2.5 Fie G un grupoid borelian înzestrat cu un sistem Haar borelian
ν={νu,u∈UG}, şi fie X un G-spaţiu borelian. O măsură pozitivă µ pe X se numeşte
cvasi invariantă relativ la ν (sau
( G, ν ) ) dacă măsura µ ν de pe X∗G definită prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
∫ ∗∈∀µγνγ=νµ GXBf,xdd,xff xr
este echivalentă cu imaginea ei prin aplicaţia ( ) ( )11 ,x,x:I −− γγγ , unde ( )+∗GXB
este mulţimea tuturor funcţiilor boreliene nenegative pe X∗G . Cu alte cuvinte, µ este
cvasi-invariantă dacă grupoidul ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν×δ× ∫ xd,GX xr
x este grupoid cu măsură
(Definition 3.1.1/pg. 53 [1]).
Vom considera în plus o surjecţie G-echivariantă boreliană π de la G-spaţiul
borelian Y la X. Spunem că un π-sistem borelian α este G –cvasi invariant dacă există
un cociclu borelian (i.e. un morfism de grupoizi) c : Y × G → +*R , a. î.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∈γ∀∈∀α=αγγ +γ− −
G,GBf,ydyfyd,ycyf xx1 1
Astfel măsurile x1−γαγ şi xα sunt echivalente pentru (x, γ) ∈ X∗G şi au derivata
Radon-Nikodym ( )( )
( ) ( )γ=ααγ
π
πγ−
,ycd
dy
y1
. Sistemul α este G-invariant dacă c = 1.
Dându-se µ şi α ca mai înainte, măsura β = µ α de pe Y este de asemenea cvasi
invariantă şi avem
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) 111 ,yc,y
dd,y
dd −
−− γγπνµνµ
=γνβνβ a.p.t.
Reciproc, presupunem că se dă o aplicaţie G-invariantă boreliană π : Y → X ,
şi considerăm o măsură β pe Y, cvasi invariantă pentru (G, ν ). Fie µ o probabilitate
echivalentă cu imaginea lui β prin π, şi fie dezintegrarea ( )∫ µα=β xdx lui β relativ
la µ . Atunci evident µ este cvasi invariantă, şi din unicitatea dezintegrării rezultă că x1−γαγ este echivalentă cu xα pentru µ ν - a. p. t. (x , γ).
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
150
În acest subcapitol vom adopta următorul punct de vedere: (G , ν) este un
grupoid borelian cu sistemul Haar ν, π : Y → X este o aplicaţie G-invariantă
boreliană, α este un π-sistem borelian cvasi invariant cu cociclul asociat c, şi µ este o
măsură cvasi invariantă pe X. De acum înainte vom presupune c = 1, deşi multe dintre
rezultatele următoare rămân adevărate pentru un cociclu c oarecare. Notăm
( )( ) 1d
d−νµνµ
=δ . Spaţiul Y va fi implicit înzestrat cu măsura cvasi invariantă µ α.
Atunci avem
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )γπδ=γγπδ=γναµναµ −− ,y,yc,y,y
dd 1
1 a.p.t.
Vom nota cu ( )ν,GBb spaţiul funcţiilor boreliene f definite pe G cu
proprietatea că ( )fν este mărginită.
Propoziţie 4.2.6. ( )ν,GBb acţionează prin convoluţie pe ( )XL∞ conform
formulei:
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ γνγϕγ=ϕ∗=ϕ −ν
xr1 dxfxfxfL
pentru f ∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )XL∞ . Avem:
∞∞ν ϕ≤ϕ∗1,r
ff .
Definiţie 4.2.7. Spunem că o medie m ∈ ( ) ( ) ( )( )XL,YLB XL∞∞
∞ este invariantă
dacă
m( f∗ϕ ) = f∗( m( ϕ ) ) pentru orice f ∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )YL∞ .
(Definition 3.1.4/pg. 56 [1]).
Lema 4.2.8. Fie un şir ( )iig din ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL (funcţiile nenegative din
( )( )α∞ ,YL,XL 1 de normă ≤ 1). Următoarele condiţii sunt echivalente:
(1) Pentru (∀) ϕ ∈ ( )YL∞ , (∀) h∈ ( )XL1 şi (∀) f∈ ( )ν,GBb ,
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
151
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygygyxhflim xxri
1i
i=µαγν−γϕγ∫ − ;
(2) Pentru (∀) ϕ ∈ ( )YL∞ , (∀) h∈ ( )XL1 şi (∀) f∈ ( )ν,GBb ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygygyxhflim xxri
1i
1
i=µαγν−γγϕγ∫ −− ;
(3) Pentru (∀) ϕ ∈ ( )YL∞ , şi (∀) f∈ ( )GXL1 ∗ ,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygygy,xflim xxri
1i
i=µαγν−γϕγ∫ − ;
(Lemma 3.1.5/pg. 56 [1]).
Definiţie 4.2.9. Un şir ( )iig din ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL care satisface condiţiile
echivalente din lema precedentă şi în plus are proprietatea
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µ=µα∈∀ ,xdxhxdydygxhlim,XLh xii
1
se numeşte medie aproximativă slab invariantă. (Definition 3.1.6/pg. 57 [1]).
Observaţie 4.2.10. În definiţia 4.2.9 se poate impune condiţia α( ig ) = 1
pentru orice i, înlocuind şirul ( )iig cu şirul ( )n,in,ig definit prin
( )( ) ,
n1ggn1gg
i
in,i +α
+=
unde g este o funcţie boreliană nenegativă pe Y cu α(g) = 1.
Propoziţie 4.2.11. Fie m : ( )YL∞ → ( )XL∞ o medie . Următoarele condiţii
sunt echivalente :
(1) m este invariantă ;
(2) există o medie aproximativă slab invariantă ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL
astfel încât mmlimigi = în ( ) ( ) ( )( )XL,YLB XL
∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă ,
unde
( ) ( ) ( ) ( )ϕα=ϕ→ ∞∞iigig gmXLYL:m ;
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
152
Dacă sunt satisfăcute ipotezele (∗) din subcapitolul precedent atunci condiţia
(1) este echivalentă cu
(2’) există o medie aproximativă slab invariantă ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,EL
astfel încât mmlimigi = în ( ) ( ) ( )( )XL,YLB XL
∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă.
Demonstraţie. Fie ( )iig un şir în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL . Pentru f ∈ ( )λ,GBb , h
∈ ( )XL1 , şi ϕ ∈ ( )YL∞ avem
( )( ) ( ) =ϕ∗−ϕ∗ h,fmh,mfigig
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xdyddygygyxhf xxri
1i
1 µαγν−γγϕγ= −−∫
Astfel utilizând densitatea lui ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL în ( ) ( ) ( )( )+∞∞
∞ 1XL XL,YLB (Lemma
1.2.6/ pg. 8 [1]), observăm că (1) şi (2) sunt echivalente.
Dacă în plus, sunt satisfăcute ipotezele (∗) din subcapitolul 4.1 (4.1.3) atunci
( )( )+∞ α 11 ,YL,EL este dens în ( ) ( ) ( )( )+∞∞
∞ 1XL XL,YLB ∩ M. Deci în acest caz (1) şi (2’)
sunt echivalente.
Propoziţie 4.2.12. Următoarele afirmaţii sunt echivalente :
(1) Există o medie invariantă m : ( )YL∞ → ( )XL∞
(2) Există o medie aproximativă slab invariantă
(3) Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL astfel încât
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µ=µα∈∀ ,xdxhxdydygxhlim,XLh xii
1
(b) ( ) ( )( ) ( ) 0xddgrfgfxhlim xiii =µ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ αν−∗∫ ∫ ,
( ) ( )XLh 1∈∀ şi ( ) ( )ν∈∀ ,GBf b .
(Proposition 3.1.8/pg. 58 [1]).
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
153
Definiţie 4.2.13. Un şir ( )iig din ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL se numeşte medie
aproximativă complet invariantă dacă următoarele două condiţii sunt îndeplinite:
(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ µ=µα∈∀ ;xdxhxdydygxhlim,XLh xii
1
(b) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdyddygyg,y,xflim xxri
1ii =µαγν−γγϕγ∫ −
( ) ( )GYL ∗∈ϕ∀ ∞ şi ( ) ( )GXLf 1 ∗∈∀ .Definition 3.1.20/pg. 63 [1]).
Putem normaliza o medie aproximativă complet invariantă cerând ca α( ig ) =
1 pentru orice i (ca în 4.2.10). Dacă, în plus, sunt satisfăcute ipotezele (∗) din
subcapitolul 4.1 (4.1.3) atunci se poate cere ca α0(gi) = 1 pentru orice i.
Propoziţie 4.2.14. Următoarele condiţii sunt echivalente :
(1) Există o medie aproximativă complet invariantă .
(2) Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL a.î :
(a) α( ig ) = 1 , pentru orice i ;
(b) pentru orice f ∈ ( )GXL1 ∗ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ =µαγν−γγ − .0xdyddygyg,xflim xxri
1ii
(Proposition 3.1.22/pg. 64 [1]).
Definiţie 4.2.15. Un element e∈ ( )GXL ∗∞ se numeşte de tip pozitiv dacă
pentru orice număr natural n , şi orice n21 ,...,, ζζζ , inegalitatea
( )∑ ≥ζζγγγ −− 0,xe jij1
i1
i
are loc pentru ( )xrν –aproape toţi n21 ,...,, γγγ din ( )xrG , pe o submulţime de
complementară nulă a lui X .
O astfel de funcţie admite o restricţie ( )0e la GU , cu ( )∞∞
= 0ee ([71] şi
[67]).
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
154
Propoziţie 4.2.16. Următoarele condiţii sunt echivalente :
(1) Există o medie aproximativă complet invariantă .
(2) Există un şir ( ) ( )( )α∈ξ ∞ ,YL,XL 2nn astfel încât şirul ( )nne de funcţii de
tip pozitiv pe grupoidul X∗G , definite prin
( ) ( ) ( ) ( )ydyy,xe x1nnn αγξξ=γ −∫
are proprietăţile :
(a) ( ) ( ) ;n1e 0n ∀=
(b) 1elim nn = *-slab în ( )GXL ∗∞ .
(Proposition 3.1.25/pg. 65 [1]).
Definiţie 4.2.17. Un π-sistem de medii, invariant relativ la (α, ν, µ) este o
familie m = {mx, x ∈ X },de stări (sau medii) mx pe L∞(Y, αx), astfel încât pentru
orice ϕ ∈ L∞(Y) să avem
(a) x mx(ϕ) este µ-măsurabilă;
(b) ( ) ( )ϕ=ϕγ−γ xx mm
1
pentru νµ -a.p.t. (x, γ) ∈ X∗G, unde
( ) ( )( )⋅γϕ=ϕγ−− γγ xx 11
mm .
(Definition 3.1.26/pg. 66 [1]).
Propoziţie 4.2.18. Următoarele afirmaţii sunt echivalente :
(1) Există o medie invariantă m : ( )YL∞ → ( )XL∞ ;
(2) Există o medie aproximativă slab invariantă;
(3) Există o medie aproximativă complet invariantă;
(4) Există un π-sistem de medii, invariant relativ la (α, ν, µ).
(3.1.26, 3.1.14, 3.1.19, 3.2.3, 3.2.4 [1]).
Definiţie 4.2.19. Fie G un grupoid borelian, şi π : Y → X o aplicaţie boreliană
G-invariantă . Presupunem date un sistem Haar ν pe G şi β o măsură pe Y, care este
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
155
cvasi invariantă pentru ν. Fie µ o măsură aparţinând ( )[ ]βπ* . Spunem că aplicaţia π
este amenabilă relativ la (ν, β ) (sau (G, ν, β)) dacă există o medie invariantă m :
( )β∞ ,YL → ( )µ∞ ,XL , i.e o medie m cu proprietatea m(f∗ϕ) = f∗(m(ϕ)) pentru orice
f ∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )YL∞ . (Definition 3.2.1/pg. 67 [1]).
Definiţie 4.2.20. Spunem că un grupoid cu măsură ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u = (G, ν,
µ) este amenabil (sau clasa măsurii µ este amenabilă pentru (G, ν)), dacă aplicaţia
boreliană r:G → GU este amenabilă relativ la (ν , µ ν)(Definition 3.2.8/pg. 71 [1]).
Deci grupoidul cu măsură ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil dacă şi numai dacă
există o medie m : ( )GL∞ → ( )GUL∞ astfel încât m(f∗ϕ) = f∗(m(ϕ)) pentru orice f
∈ ( )ν,GBb şi ϕ ∈ ( )GL∞ .
Definiţie 4.2.21. Fie G un grupoid borelian care admite un sistem Haar ν,
şi X un G-spaţiu înzestrat cu o măsură µ , cvasi invariantă pentru ν . Spunem că G-
spaţiul X este amenabil relativ la (ν , µ) dacă grupoidul cu măsură
( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν×δ× ∫ xd,GX xr
x este amenabil (Definition 3.2.12/pg. 72 [1])..
Propoziţie 4.2.22. Fie ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u un grupoid borelian cu măsură.
Următoarele condiţii sunt echivalente :
(1) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil ;
(2) [condiţia slabă a lui Day] Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL (funcţiile
nenegative din ( )( )α∞ ,YL,XL 1 de normă ≤ 1), normalizat (i.e. ( ) ( )i,1gi ∀=ν ) care
are proprietatea
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
156
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0udddggflim u1
u1i1
1i1
i=µγνγνγ−γγγϕγ∫ −
pentru (∀) ϕ ∈ ( )GL∞ şi (∀) f∈ ( )GL1 ;
(3) [condiţia tare a lui Day] Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL ,
normalizat, care are proprietatea
( ) ( )( ) ( ) 0uddgrfgfuhlim uiii =µ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ νν−∗∫ ∫
pentru ( ) ( )G1 ULh∈∀ şi ( ) ( )ν∈∀ ,GBf b ;
(4) [condiţia slabă a lui Reiter] Există un şir ( )iig în ( )( )+∞ α 11 ,YL,XL ,
normalizat, care are proprietatea
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udddggflim u1
u1i1
1i
i=µγνγνγ−γγγ∫ − pentru (∀) f∈
( )GL1 ;
(5) [condiţia Hulanicki] Există un şir ( ) ( )( )ν∈ξ ∞ ,GL,UL 2Gnn astfel încât
şirul ( )nne de funcţii de tip pozitiv pe grupoidul G , definite prin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1r
11
n1nn de γνγγξγξ=γ γ−∫
satisface proprietăţile :
( ) ( ) ;n1e 0n ∀=
1elim nn = *-slab în ( )GL∞ .
(Proposition 3.2.14/pg. 74 [1]).
Observaţie 4.2.23. În propoziţia anterioară obţinem definiţii echivalente dacă
înlocuim şirul generalizat ( )iig cu un şir ( )nng indexat după numere naturale,
deoarece spaţiile măsurabile considerate sunt separabile, iar măsurile de pe ele σ–
finite . De asemenea putem presupune că ( ) ( )( )+∞+ ν⊂ν∈ ,GL,UL,GBg 1Gbi . Mai
mult, vom vedea în subcapitolul următor că în cazul aplicaţiei r : UG → G sunt
satisfăcute ipotezele (∗) din subcapitolul 4.1 (4.1.3), şi deci rezultă că putem întării
condiţia de normalizare impusă şirului ( )iig .
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
157
Definiţie 4.2.24. Fie G un grupoid borelian care admite un sistem Haar ν.
Spunem că G este măsurabil amenabil dacă şi numai dacă ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este
amenabil pentru orice măsură µ, cvasi invariantă relativ la ν (Definition 3.3.1/pg. 82
[1]).
Propoziţie 4.2.25. Fie G un grupoid borelian care admite un sistem Haar ν.
Presupunem că există un şir ( )nnh de funcţii boreliene nenegative din ( )ν,GBb a.î.
(a) ( ) ( )n,0h n ∀>ν
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G,0dhhh
1lim 1r
1n11
nn
rn
∈γ∀=γνγ−γγν ∫ γ−
γ
Atunci G este măsurabil amenabil .
(Proposition 3.3.2/pg. 83 [1]).
b. Cazul topologic (local-compact)
În această secţiune vom presupune grupoizii şi spaţiile pe care acţionează ca
fiind spaţii topologice local-compacte, cu bază numărabilă. De asemenea vom
presupune aplicaţiile de proiecţie, r şi d, ale acestor grupoizi topologici ca fiind
aplicaţii deschise. Vom înţelege prin sistem Haar pe un grupoid G un sistem Haar
(continuu), ν = { }Gu Uu, ∈ν , cu supp νu = Gu pentru orice u ∈ UG. Noţiunea de
spaţiu propriu este cea din 2.2. Sistemele boreliene de măsuri vor fi înlocuite de
sisteme continue, definite mai jos.
Definiţie 4.2.26. Fie X, Y două spaţii local compacte, şi fie π : Y → X o
aplicaţie continuă surjectivă. Un π-sistem continuu este o familie α = { α x : x ∈ X }
de măsuri Radon pozitive pe Y a.î.:
(1) Suportul lui xα este conţinut în ( )x1−π ;
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
158
(2) Pentru orice funcţie continuă cu suport compact ( )YCf c∈ , funcţia
( ) ∫ αα xdfx:f
este continuă;
(3) xα ≠ 0 pentru orice x ∈ X .
Dacă suportul măsurii xα este exact ( )x1−π spunem că α este complet.
Notaţie: ( )YC ,c π = spaţiul funcţiilor continue pe Y, cu suport π-compact (o
submulţime A⊂Y se numeşte π-compactă dacă pentru orice mulţime compactă K ⊂
X rezultă că mulţimea ( ) AK1 ∩π− este compactă).
Lema 4.2.27. Un sistem de măsuri α cu proprietăţile (1) şi (2) din definiţia
precedentă are proprietatea (3), din aceeaşi definiţie, dacă şi numai dacă există o
funcţie continuă nenegativă g din ( )YC ,c π , cu α(g) = 1. (Lemma 1.1.2/pg. 19 [1])
Definiţie 4.2.28. Fie X, Y două G-spaţii local compacte, şi fie π : Y → X o
aplicaţie continuă G-echivariantă. Spunem că π este o aplicaţie continuă propriu-
amenabilă dacă există un π-sistem continuu de probabilităţi invariant (Definition
2..13/pg. 38 [1].
Enunţăm în continuare câteva proprietăţi ale aplicaţiilor continue propriu
amenabile.
Propoziţie 4.2.29. Fie Y, X două G-spaţii local-compacte şi fie π : Y → X o
aplicaţie G-echivariantă continuă surjectivă.
1) Dacă X un G-spaţiu propriu, atunci Y este un G-spaţiu propriu de
asemenea .
2) Dacă Y este un G-spaţiu propriu şi π este o aplicaţie continuă propriu-
amenabilă, atunci X este un G-spaţiu propriu.
(Proposition 2.1.14/pg. 39 [1]).
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
159
Propoziţie 4.2.30. Fie Y, X două G-spaţii local-compacte şi fie π : Y → X o
aplicaţie continuă G-echivariantă a.î. există un π-sistem continuu invariant de măsuri
Radon pozitive β. Dacă X este G-spaţiu propriu, atunci:
1) Există o funcţie g în ( )YC ,c π cu β(g) = 1.
2) π : Y → X o aplicaţie propriu-amenabilă continuă.
(Proposition 2.1.15/pg. 39 [1]).
Propoziţie 4.2.31. Fie X , Y două G-spaţii local-compacte şi fie, π :Y → X o
surjecţie continuă deschisă G-echivariantă. Dacă X este un G-spaţiu principal atunci π
este o aplicaţie propriu amenabilă continuă. (Proposition 2.1.16/pg. 40 [1]).
Definiţie 4.2.38. Fie X şi Y două G-spaţii, iar π : Y → X o surjecţie continuă
G-echivariantă care admite un π-sistem continuu invariant de măsuri, α. Aplicaţia
continuă π se numeşte (topologic) amenabilă dacă îndeplineşte următoarea condiţie:
(∗) Există un şir ( )nng în ( )+π YC ,c a.î.:
(a) ∫ =α 1dg xn
(b) ( ) ( ) ( )∫ −− ydαygyγg xn
1n converge la 0 uniform pe submulţimile
compacte ale lui X∗G .
Observaţie 4.2.39. În [1] aplicaţiile (topologic-) amenabile sunt definite într-
un context mai general (nu se cere ca π să admită un π-sistem continuu invariant de
măsuri). Dacă π este o surjecţie continuă G-echivariantă , care admite un π-sistem
continuu invariant de măsuri, definiţia 4.2.38. este mai tare decât cea utilizată în [1],
însă cele două definiţii sunt echivalente dacă Y este G-spaţiu propriu (Proposition
2.2.54/ pg. 42 [1]).
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
160
Propoziţie 4.2.40. Fie π : Y → X o surjecţie continuă G-echivariantă înzestrată
cu un π-sistem continuu invariant de măsuri , α . Condiţia (∗) din definiţia
precedentă este echivalentă cu:
(∗∗) Există un şir ( ) ( )YC ,cnn π⊂ξ a.î. şirul ( )nne de funcţii pozitive pe
grupoidul X×G, definite prin:
( ) ( ) ( ) ( )ydyy,xe x1nnn αγξξ=γ −∫
satisface următoarele proprietăţi :
(a) ( ) ( )n1e 0n ∀= ;
(b) 1elim nn = uniform pe submulţimile compacte ale lui X∗G .
(Proposition 2.2.7/pg.44 [1]).
Definiţie 4.2.41. Fie G un grupoid topologic local-compact, cu bază
numărabilă, care admite un sistem Haar (continuu).
Spunem că G este un grupoid topologic amenabil dacă aplicaţia r : G → UG
este amenabilă.
Un G-spaţiu local-compact X se numeşte topologic amenabil dacă grupoidul
X × G este topologic amenabil. (Definition 2.2.8/pg. 45 [1])
Propoziţie 4.2.42. Fie G este un grupoid topologic local-compact .
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(1) G este topologic amenabil .
(2) Există un G-spaţiu local-compact principal Z cu Z/G local compact, a.î.
aplicaţia continuă GUZ:r → este (topologic) amenabilă.
(3) Orice surjecţie continuă deschisă G-echivariantă π : Y → X (X, Y G-spaţii
local-compacte) este (topologic) amenabilă .
(Corollary 2.2.11 /pg. 46 [1])
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
161
Propoziţie 4.2.43. Fie G un grupoid topologic local-compact, cu bază
numărabilă, care admite un sistem Haar (la stânga ) (continuu) ν = { }Gu Uu, ∈ν cu
uu Gsupp =ν (∀) u ∈UG. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
(1) G este amenabil.
(2) Există un şir ( )nnh de funcţii continue pe G, de tip pozitiv, cu suport
compact a.î.:
(a) ( ) ( )n1h 0n ∀≤
(b) 1hlim nn = uniform pe submulţimile compacte ale lui G.
(Proposition 2.2.13/pg. 47 [1]).
Teoremă 4.2.44. Amenabilitatea topologică este invariantă la echivalenţa de
grupoizi topologici local-compacţi. (Theorem 2.2.17. /pg.50 [1]).
Enunţăm mai jos două rezultate care stabilesc legătura dintre amenabilitatea
topologică şi amenabilitatea măsurabilă. Evident, amenabilitatea topologică implică
amenabilitatea măsurabilă.
Teoremă 4.2.45. Fie G un grupoid local compact echivalent cu un grupoid
care admite un sistem Haar continuu complet şi care are orbite numărabile. Atunci G
este măsurabil amenabil dacă şi numai dacă este topologic amenabil. (Theorem
3.3.7/pg. 86[1])
Propoziţie 4.2.46. Fie G un grupoid topologic local-compact care admite un
sistem Haar ν continuu . Considerăm următoarele condiţii :
(1) G este topologic amenabil;
(2) [condiţia Reiter 1P ] Există un şir ( )nng de funcţii boreliene (sau continue)
nenegative din ( )ν,GBb cu ( ) 1g n =ν pentru orice n, a.î.
( ) ( ) ( ) ( )∫ =γνγ−γγ γ− 0dgglim 1r
1n11
nn
uniform pe submulţimile compacte ale lui G;
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
162
(3) [condiţia Reiter ∗1P ] Există un şir ( )nng de funcţii boreliene (sau continue)
nenegative din ( )ν,GBb cu ( ) 1g n =ν pentru orice n, a.î.
( ) ( ) ( ) ( )∫ =γνγ−γγ γ− 0dgglim 1r
1n11
nn
simplu;
(4) Există un şir ( )nnh de funcţii boreliene nenegative din ( )ν,GBb cu
( ) ( )n,0h n ∀>ν a.î.:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G,0dhhh
1lim 1r
1n11
nn
rn
∈γ∀=γνγ−γγν ∫ γ−
γ ;
(5) G este măsurabil amenabil.
Atunci (1) => (2) => (3) => (4) => (5). Mai mult, aceste condiţii sunt
echivalente dacă G este echivalent cu un grupoid care admite un sistem Haar continuu
complet, şi care are orbite numărabile. (Corollarz 3.3.8/pg. 88 [1]).
c. Proprietăţi ale grupoizilor amenabili. Exemple.
În această secţiune vom prezenta câteva proprietăţi ale grupoizilor amenabili,
dintre care cităm următorul rezultat: Grupoidul cu măsură (G,λ,µ) este amenabil dacă
şi numai dacă grupoidul principal asociat este amenabil şi aproape toate grupurile de
izotropie sunt amenabile. (5.3.33/pg.127[1] ). Acest rezultat reduce studiul grupoizilor
amenabili la studiul grupurilor amenabile şi a relaţiilor de echivalenţă amenabile
(grupoidul principal asociat fiind o relaţie de echivalenţă). Din 5.3.38/pg.131 [1] şi
[29] rezultă că o relaţie de echivalenţă cu clasele de echivalenţă numărabile este
amenabilă dacă şi numai dacă este hiperfinită, i.e. este reuniunea unui şir (numărabil)
crescător de relaţii de echivalenţă finite (< = > cu clase de echivalenţă finite ). Deci un
grupoid este amenabil dacă şi numai dacă este echivalent cu un grupoid care poate fi
reprezentat ca un şir crescător de grupoizi ( ) NnnG ∈ , fiecare nG fiind o reuniune
disjunctă (algebrică) de grupoizi cu grupurile de izotropie amenabile şi orbite finite.
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
163
Propoziţie 4.2.47. Dacă ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este un grupoid cu măsură
amenabil, şi U o submulţime invariantă măsurabilă de măsură pozitivă a lui UG, atunci
grupoidul ( )UUU
,,G µν este amenabil. (Proposition 5.3.5/pg. 114[1])
Demonstraţie . Într-adevăr, dacă ( ) ( )GULGL:m ∞∞ → este o medie invariantă
pentru G, atunci restricţia ei ( ) ( )ULGL:mUU
∞∞ → este o medie invariantă pentru
UG .
Propoziţie 4.2.48. Fie ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u un grupoid cu măsură şi p o
aplicaţie boreliană definită pe UG cu valori într-un spaţiu borelian B care este
invariantă (i.e. dprp = ). Fie µ o măsură din clasa ( )[ ]µ*p , şi ( )∫ ωµρ=µ ω d p-
dezintegrarea măsurii µ . Atunci µ -a.p.t. ω măsurile ωρ sunt cvasi invariante pentru
(G, ν), şi următoarele condiţii sunt echivalente:
(1) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil;
(2) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ρν∫ ω ud,G u este amenabil µ -a.p.t. ω .
(Proposition 5.3.4/pg. 113[1])
O consecinţă a propoziţiei de mai sus este următoarea (Corollary 5.3.33 /pg.
127 [1]):
Propoziţie 4.2.49. Fie ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u un grupoid cu măsură. Considerăm
grupoidul principal asociat (cf. 2.1. ), ( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ µν∫∗ udd,r,Gd,r u . Atunci
( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ µν∫ ud,G u este amenabil dacă şi numai dacă
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
164
( )( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ µν∫∗ udd,r,Gd,r u este amenabil şi grupurile de izotropie u
uG sunt
amenabile µ-a.p.t. u.
Exemplu 4.2.50. Grupoidul provenit din acţiunea unui grup amenabil pe o
mulţime local compactă este amenabil, dar reciproca nu este adevărată. Fie G un grup
local compact cu bază numărabilă şi H un subgrup închis; se poate arăta că grupoidul
( ) GG\H × este amenabil dacă şi numai dacă H este amenabil.
Exemplu 4.2.51. Orice măsură tranzitivă pe un grupoid principal este
amenabilă . Indicăm pe scurt cum se construieşte un şir ( )iif a.î. 1ff *ii →∗ pe G .
Fie [u] o orbită fixată şi µ măsura tranzitivă ( )u*d ν . Se poate alege un şir crescător
( )iiK de submulţimi compacte ale [u] (cu topologia dată de bijecţia ]u[G:d u → ).
Definim if prin
( ) ( ) ( )( )⎩⎨⎧ ×∈µ
=−
altfel,0KKxd,r,Kxf ii
21i
i
Atunci
( ) ( )( )⎩⎨⎧ ×∈
=∗altfel,0
KKxd,r,1xff ii*
ii
Funcţiile if nu sunt în ( )GCc , dar sunt în ( )ν,GL2 (unde am considerat µ
probabilitate, şi ( )∫ µν=ν udu ) şi deci pot fi aproximate în ( )ν,GL2 prin elemente
ale lui ( )GCc .
Următoarele rezultate şi exemple aparţin lui J. Renault ([68], II.3). Prezentăm
şi demonstraţia acestor rezultate pentru a da o imagine asupra modului în care apar
mediile (slab) invariante pe grupoizii amenabili.
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
165
Propoziţia 4.2.52. Fie G un grupoid local-compact care admite un sistem Haar
ν = { }Gu Uu, ∈ν , A un grup local compact şi c : G → A un morfism continuu . Fie
G(c) grupoidul a cărui structură este definită prin :
G(c) = G × A
( ) ( )( ) ( )a,xyxac,ya,x =
( ) ( )( )xac,xa,x 11 −− =
Cu aceste notaţii , avem
1) Dacă G este (măsurabil) amenabil , atunci G(c) este (măsurabil) amenabil;
2) Dacă A este amenabil şi G(c) este (măsurabil) amenabil, atunci G este
(măsurabil) amenabil;
Demonstraţie. Spaţiul unităţilor lui G(c) este GU × A . Un sistem Haar pentru
G(c) este { }a,uν dat prin
( ) ( ) ( ) ( ).xda,xfb,xdb,xf ua,u ∫∫ ν=ν
Vom descrie măsurile cvasi invariante pentru G(c) . Fie µ o măsură cvasi invariantă
pe UG şi { }Gu Uu, ∈α un sistem de măsuri pe A , care au proprietatea că măsura
( )∫ µα×δ=µ uduu este corect definită şi este satisfăcută următoarea relaţie
( ) ( ) ( ) x.t.p.axc~ xrxd −ναα , unde ( )∫ µν=ν udu
Se verifică uşor că µ este o măsură cvasi invariantă pentru G(c) . Reciproc,
presupunem că µ este o măsură cvasi invariantă pentru G(c), π : GU × A → GU este
proiecţia pe prima componentă, şi µ este imaginea măsurii µ prin π . Înlocuim µ,
µ şi { }uν cu probabilităţi din clasele lor. Fie{ }Gu Uu, ∈α probabilităţile obţinute
prin π-dezintegrarea lui µ relativ la µ . Măsura ν0 indusă de µ are forma
( ) ( ) ( ) ( ) ,uaxda,xfdf uu
0∫ ∫ µαν=ν
în timp ce 10−ν are forma
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
166
( )( ) ( ) ( ) ( ) .uaxdxac,xfdf uu11
0∫ ∫ µαν=ν −−
Din unicitatea π-dezintegrării lui ν0 , şi din simetria lui ν0 obţinem
( ) ( ) ( ) x.t.p.axc~ 1xdxr −ναα − .
1) Fie ( )∫ µα×δ=µ uduu o măsură cvasi invariantă pentru G(c) , ca mai
înainte . Dacă µ este amenabilă , atunci există un şir ( )iif în ( )GCc a.î.
( )uffu *ii ∗ converge la 1 slab în ( )µ∞ ,UL G , şi ( )xffx *
ii ∗ converge la 1 slab
în ( )ν∞ ,GL . Fie ( )iih o unitate aproximativă mărginită în norma ∞
pentru
( )ACc cu înmulţirea (punctuală), şi funcţia ( )AGCg ci ×∈ definită prin
( ) ( ) ( )ahxfa,xg iii =
Şirul ( )iig are proprietăţile cerute :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ydxac,yga,xyga,xgg xdii
*ii λ=∗ ∫
( ) ( )( ) ( )xffxachah *iiii ∗=
Verificăm convergenţa şirului ( ) ( )a,ugga,u *ii ∗ . Acest şir fiind mărginit în
( )µ×∞ ,AUL G , este suficient să verificăm convergenţa doar pentru funcţii de forma
( ) ( )aguf unde f ∈ ( )Gc UC şi g ∈ ( )ACc . Observăm că
( ) ( ) ( ) ( )=µ∗∫ a,xda,uggaguf *ii
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ µ⎯→⎯µ∗⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ α= a,udagufuduffadahaguf i*
iiu2
i ,
deoarece ( ) ( ) ( )adahag u2
i α∫ converge la ( ) ( )adag uα∫ în ( )µ,UL G1 şi ( )uff *
ii ∗
converge la 1 slab în ( )µ∞ ,UL G . Convergenţa lui ( )a,xgg *ii ∗ se demonstrează în
acelaşi fel . În consecinţă, µ este amenabilă . În acelaşi mod se demonstrează că G
topologic amenabil implică G(c) topologic amenabil .
2) Presupunem că A este amenabil şi G(c) este măsurabil amenabil . Fie µ o
măsură cvasi invariantă pe GU . Atunci măsura α×µ=µ , unde α este o măsură
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
167
Haar la dreapta pentru A , este cvasi invariantă pentru G(c) . Deoarece G(c) este
măsurabil amenabil , există o medie aproximativă invariantă ( )iig , 0gi ≥ ,
( )AGCg ci ×∈ a.î. ( ) ( ) ( )∫ ν xda,xga,u ui converge la 1 slab în ( )µ×∞ ,AUL G , şi
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ν− ydxac,yga,xyga,u xdii converge la 0 slab în ( )0,AGL ν×∞ .
Grupul A fiind amenabil are de asemenea o medie invariantă ( )iik , 0k i ≥ ,
( )ACk ci∈ a.î. ( ) ( )∫ =α 1adak j , şi ( ) ( ) ( )∫ α− adakabkb jj converge la 0
uniform pe submulţimile compacte ale lui A . Definim funcţiile ( )GCf cij∈ prin
( ) ( ) ( )adaka,xgf jiij α=∫ . Nu este greu de verificat că familia de funcţii
( ) ( )∫ ν xdxfu uij este mărginită în ( )µ∞ ,UL G şi că familia de funcţii
( ) ( ) ( ) ( )∫ ν− ydyfxyfx xdijij este mărginită în ( )ν∞ ,GL . Vom arăta că , fiind dată
o vecinătate a lui 1 în ( )µ∞ ,UL G (înzestrat cu topologia slabă),
( ) ( )( ) ( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =ε≤µφ−µ∈= ∫∞ m,...,2,1k,udu1uh:,ULhV kkG
unde ( )Gck UC∈φ , 0k >ε , m,...,2,1k = şi o vecinătate a lui 0 în ( )ν∞ ,GL
(înzestrat cu topologia slabă),
( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =≤νψν∈= ∫∞ n,....,2,1l,nxdxxf:,GLfW ll
există ijf a.î. ∫ λuij dfu este în V şi ( ) ( ) ( ) ( )∫ ν− ydyfxyfx xd
ijij este în W .
Fie M cu proprietatea : ( ) ( ) ( )( )
( )i,Mxda,xga,u,AUL
ui
G
∀≤νµ×∞∫
Putem alege j a.î. , pentru orice l = 1,2, …, n ,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )M2
nxdadakxackx lj
1jl ≤να−ψ −∫
De acum încolo j va fi fixat . Observăm că
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
168
( ) ( ) ( ) ( ) =µ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ νφ∫ ∫ udxdxfu u
ijk
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ µφ=µφ⎯→⎯µφν= udua,xdakua,udakuxda,xg kjki
jku
i .
Deci pentru i suficient de mare ∫ ν uij dfu este în V . Analog , pentru i suficient de
mare, avem
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n,...,2,1l,2na,xdakxydxac,yga,xyg l
jlxd
ii =≤νψ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν−∫ ∫
Ţinând cont de faptul că
( ) ( )=− yfxyf ijij
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )adakxacka,ygadakxac,yga,xyg j1
jijii α−+α−= ∫ ∫ − ,
obţinem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤νψ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν−∫ ∫ xdxydyfxyf l
xdijij
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ +νψ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν−≤ a,xdakxydxac,yga,xyg 0jl
xdii
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) l0j1
jxd
il na,xdakxackyda,ygx ≤ν−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ νψ+ −∫∫
Aceasta arată că µ este amenabilă . În acelaşi fel se arată că dacă G(c) este topologic
amenabil şi A este amenabil, atunci G este topologic amenabil .
Propoziţie 4.2.53. Fie G un grupoid topologic local-compact înzestrat cu un
sistem Haar ν = { }Gu Uu, ∈ν şi A un grup local-compact care acţionează continuu
pe G prin automorfisme lăsând sistemul Haar invariant , şi fie AG α× produsul
semi-direct .
1) Dacă A este amenabil şi G este (măsurabil) amenabil, atunci AG α× este
(măsurabil) amenabil.
2) Dacă produsul semi-direct AG α× este (măsurabil) amenabil, atunci G
este (măsurabil) amenabil .
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
169
Demonstraţie. ( )GAutA: →α este un morfism cu proprietatea că aplicaţia
( ) ( ) Gxax,aGA ∈α∋×
este continuă. Produsul semi-direct AG α× este grupoidul G × A unde:
( )( ) ( )( )( )ab,yaxb,ya,x α=
( ) ( )( )1111 a,xaa,x −−−− α=
Atunci ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )e,xdaa,xd,e,xra,xr 1−α== şi spaţiul unităţilor produsului semi-
direct poate fi identificat cu GU . AG α× cu topologia produs pe G × A este grupoid
topologic local-compact. Spunem că automorfismul s al lui G lasă sistemul Haar
invariant dacă ( )usus ν=ν⋅ , cu alte cuvinte dacă ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ν=ν−
xxfxdxsf uus 1
pentru orice f ∈ ( )uc GC . Dacă β este o măsură Haar la stânga pentru A, atunci este un
sistem Haar pentru AG α× - verificăm invarianţa la stânga:
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )=βνα=βν−− αα ∫∫ bdydab,yaxfbdydb,ya,xf xdaxda 11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ αν=αν= bdydb,yfbdydab,xyf xrxd
Demonstraţia acestei propoziţii este asemănătoare cu cea a propoziţiei precedente, de
aceea vom indica doar construcţia mediilor aproximative invariante:
1) Dacă se dă ( )iif a.î. 1ff *ii →∗ pe G şi ( )
jjh a.î. 1hh *jj →∗ pe A punem
( ) ( )( ) ( )ahxafa,xg j1
iij−α=
2) Dacă se dă o medie aproximativă ( )iig pe AG α× , putem defini o medie
aproximativă pe G prin
( ) ( ) ( )ada,xgxf ii β= ∫ .
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
170
4.3. O PROPRIETATE DE ANULARE PENTRU MEDIILE INVARIANTE
Fie G un grupoid local-compact cu bază numărabilă şi { νu , u ∈ UG } un
sistem Haar continuu pe G . Alegem µ o probabilitate cvasi invariantă asociată
acestui sistem cu proprietatea că există o probabilitate simetrică λ pe G astfel încât
µ=r*(λ) (fiecare clasă de măsuri cvasi invariante conţine o astfel de probabilitate) .
Notăm cu ( )∫ µν=ν udu şi cu ∆ = 1dd
−νν funcţia modulară. Dacă pentru fiecare u ∈ UG
definim măsura νu prin
( ) ( ) ( )ydyff u1u ν=ν ∫ − , f ≥ 0 boreliană
atunci ν-1 = ( )∫ µν udu .
Presupunem (G, ν, µ) grupoid amenabil şi m : ( ) ( )GULGL ∞∞ → o medie
invariantă care provine dintr-o medie aproximativă complet invariantă normalizată.
Vom demonstra că, în cazul în care G are µ-aproape toate grupurile de izotropie
necompacte şi funcţia modulară ∆ mărginită pe o vecinătate simetrică a spaţiului
unităţilor UG, m(f) = 0 pentru orice funcţie f : G → C continuă care se anulează la
infinit.
Existenţa unei medii invariante m este echivalentă cu existenţa unui şir de
funcţii pozitive boreliene (gn)n (numit medie aproximativă slab invariantă) cu
proprietăţile:
1) ∫ ∈−µ=ν Gu
n Uu.t.p.a1dg
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udxdydygyxgxflim uun
1nn
=µνν−∫ −
∞→ pentru orice f din
( )GUL G1 ∗
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
171
În plus, mmlimngn=
∞→în ( ) ( ) ( )( )GUL
UL,GLBG
∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă, unde
ngm se defineşte prin :
( )( ) ∫ νϕ=ϕ ung dgum
n, u∈UG ,ϕ ∈ L∞(G).
Aplicând teorema 2.1.15 grupoidului (G, [ν]) rezultă că există o mulţime
boreliană U0 cu complementara de măsură nulă astfel încât pe 0U
G integrala
( ) ( )∫ ν ydyff are (r,d)- dezintegrarea : ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ λν0U 0UE G
'v,u v,udv,uqydyf ,
unde
- E = (r,d)(G)
- q : 0U
E → *R + este un morfism de grupoizi
- λ’ este o probabilitate pe E aparţinând clasei de măsuri [(r,d)*(ν)] .
- măsurile νu,v sunt σ-finite .
Se poate demonstra că putem alege mulţimea U0 saturată şi măsurile νu,v astfel încât
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∈∀νδ=ν −− v~uUv,uydyyfydyf 0u,v11
v,u ,
unde δ(y) = ∆(y) ( ) ( )( )( ) ( )( )yd,yrq
yr,ydq . De asemenea un pas din demonstraţia teoremei
4.4./pg. 23 [42] constă în a arăta că
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )v,u(.t.p.aydyQyfydyf 'v,uv,u −λλ=ν∫ ∫
cu λu,v probabilităţi concentrate pe uvG şi Q o funcţie boreliană strict pozitivă. În
consecinţă, luând ( ) ( ) ( ) ( )( )xd,xrqxQ1xf = (ca şi în observaţia 3.2.3) rezultă că există
o funcţie boreliană f:G→ R+ cu proprietatea că q(u,v)νu,v(f) = 1 λ’ –a.p.t..
Dacă luăm Y = G , X = UG , π = r , αu = νu se observă uşor că sunt satisfăcute
ipotezele (∗) din subcapitolul 4.1, şi ţinând cont de propoziţia 4.2.11 deducem că
putem alege şirul (gn)n astfel încât să fie îndeplinite şi condiţiile gn ∈ ( )( )ν∞ ,GL,EL 1
(spaţiul Banach al funcţiilor ν -măsurabile f : G → C cu proprietatea că aplicaţia
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
172
( ) ∫ ν v,udfv,u este 'λ -esenţial mărginită, înzestrat cu norma
( ) ( ) ( )∞
ν= fv,uqv,uf v,ud,r) şi ( )n1g
d,rn ∀= .
Existenţa unei medii invariante este echivalentă cu existenţa unui şir de funcţii
pozitive boreliene (gn)n cu proprietăţile:
1) ∫ ∈−µ=ν Gu
n Uu.t.p.a1dg
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udxdydygyxgxflim uun
1nn
=µνν−∫ −
∞→ pentru orice f ∈ ( )GL1
Să arătăm că putem presupune şi în acest caz că ( )n1gd,rn ∀= . Vom utiliza acelaşi
raţionament ca în [1] (Proposition 3.1.22/pg. 64). Am observat mai sus că existenţa
unei medii invariante este echivalentă cu existenţa unei medii aproximative (g'n)n cu
( )n1'gd,rn ∀= . Evident existenţa unui şir (gn)n cu proprietăţile 1) şi 2) de mai sus
este mai tare decât existenţa unei medii aproximative slab invariante. Reciproc, să
presupunem că există o medie aproximativă slab invariantă (g'n)n cu ( )n1'gd,rn ∀= .
Pentru fiecare g∈ ( )( )ν∞ ,GL,EL 1 + cu q(u,v)νu,v(g) = 1 pentru orice (u,v) ∈ E, notăm
cu b(g) funcţia
(x, y) → g(y-1x) - g(x)
definită pe G*G. Fie C submulţimea convexă a lui L∞(UG*G, L1(G*G)) formată din
funcţii de forma b(g). Faptul că există o medie aproximativă slab invariantă este
echivalent cu faptul că 0 aparţine închiderii lui C în L∞(UG*G, L1(G*G)) înzestrat cu
topologia asociată cu familia de seminorme
f → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v,udv,uqydyfyv,uh v,u λ′νϕ∫
unde h ∈ L1(E) şi ϕ ∈ L∞(G). Această topologie este mai slabă decât topologia
definită de familia de seminorme
f → ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v,udv,uqydyfv,uh v,u λ′ν∫
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
173
unde h ∈ L1(E)+. Conform lemei 4.1.5 cele două topologii admit aceleaşi forme liniare
şi continue. Din teorema de separare Hahn-Banach rezultă că există un şir (gi)i în
( )( )ν∞ ,GL,EL 1 normalizat ( ( )i1gd,ri ∀= ) astfel încât
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0v,udv,uqxdydygyxgxflim v,uxr
n1
nn=λ′νν−∫ −
∞→
ceea ce este echivalent cu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udxdydygyxgxflim uun
1nn
=µνν−∫ −
∞→
Datorită separabilităţii lui L1(UG*G) putem presupune că şirul (gi)i poate fi indexat
după numere naturale.
În cele ce urmează vom numi medie aproximativă complet invariantă
normalizată un şir de funcţii pozitive boreliene (gn)n cu proprietăţile:
1) 1gd,rn = pentru orice n.
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0udxdydygyxgxflim uun
1nn
=µνν−∫ −
∞→ pentru orice f ∈ ( )GL1 .
Am demonstrat că existenţa unei medii invariante este echivalentă cu existenţa unei
medii aproximative complet invariantă şi normalizată (gn)n. Dacă
mmlimngn=
∞→în ( ) ( ) ( )( )GUL
UL,GLBG
∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă, unde
ngm se
defineşte prin :
( )( ) ∫ νϕ=ϕ ung dgum
n, u∈UG ,ϕ ∈ L∞(G),
atunci vom spune că m provine dintr-o medie aproximativă complet invariantă şi
normalizată.
Lema 4.3.1 (Lemma 10 [19]). Cu notaţiile de mai sus, pentru orice f ∈ L1(G)
avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdydxgygxyflim xdnn1
n=νν−∫ −
∞→
Demonstraţie. Din proprietatea 2) a mediei slab invariante (gn)n rezultă
0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ µνν−−
∞→udxdydygyxgxflim uu
n1
nn
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
174
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
∫ν
∞→µνν−=
xd
uxdnnn
udxdydxygygxflim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxydxygygxflim 1xdnnn
1
−
∞→
↓ν∆=ν
ν∆ν−= ∫−
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ µνν−∆
∫
=∞→
↓
µν=ν−
udxdydxygygxxflim uxd
nnn
udu1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ µνν−∆=∞→
udydxdxygygxxflim uunnn
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
∫ν
−−
∞→µνν−∆=
yd
uydnn
11
nudydxdxgygxyxyflim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ydxdxgygxxyflim yrn1
nn
1
νν−∆= ∫ −
∞→
↓ν∆=ν −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xd
uu
n1
nn1
udxdydxgygxxyflim−ν
−
∞→µνν−∆= ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdydxgygxyflim xdnn1
n
1
νν−= ∫ −
∞→
↓ν∆=ν −
.
Propoziţie 4.3.2 (Proposition 11 [19]). Dacă funcţia modulară ∆ este
mărginită pe o vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG, atunci există un şir (hn)n
de funcţii pozitive boreliene pe UG cu următoarele proprietăţi:
1) Pentru orice mulţime compactă K ⊂ G şi orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) avem
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0xdxdhxgxrx1lim nnKn=ν−ϕ∫∞→
2) Pentru orice u ∈ UG există M(u) > 0 astfel încât :
(a) hn(u) ≤ M(u) < ∞ (∀) n µ-a.p.t..
(b) ( )uMu este o funcţie continuă.
Demonstraţie. Fie U o vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG pe care
funcţia modulară ∆ să fie mărginită şi fie U1 ⊂ U o vecinătate închisă d-compactă a
mulţimii UG. Fie b : G → [0,1] o funcţie continuă cu suportul d-compact ⊂ U aleasă
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
175
astfel încât 1b1U≡ . Dacă punem ( ) ( )
( ) ( )∫ ν=
xddyb
xbxa obţinem o funcţie a : G → R+
continuă cu suportul d-compact cu proprietatea că ( ) ( ) ( )∫ ∈∀=ν Gu Uu1ydya .
Definim funcţiile hn : UG → [0,∞] prin
( ) ( ) ( ) ( )∫ ν= ydygyauh unn
Notăm cu L suportul funcţiei a . Deoarece L este o mulţime d-compactă
rezultă că L-1 este r-compactă şi deci pentru orice mulţime K compactă mulţimea KL-1
este compactă .
Fie ϕ ∈ L1(UG) şi K compactă ⊂ G fixate. Dacă f(x) = ϕ(r(x)) ( )x1 1KL− atunci f
∈ L1(G) deoarece
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ µϕν≤µνϕ=ν −
−uduKLsupudxdx1uxdxf 1uu
KL 1 .
Aplicând lema 4.3.1 acestei funcţii f rezultă :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdydxgygxrxy1lim xdnn1
KLn1 =νν−ϕ∫ −
∞→− (1)
Dacă ( )( )
( )xasupMKddLx
01−∩∈
= atunci pentru orice ( ) ( )∪GUu
uu GGy,x∈
×∈ avem :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xgygxry1x1Mxgygxrxy1M nn1
LK0nn1
KL0 11 −ϕ⋅≥−ϕ⋅ −−−−
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xgygxry1x1M nnLK0 −ϕ⋅≥
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xgygxrx1ya nnK
ydxd
−ϕ≥↓=
Ţinând cont şi de relaţia (1) deducem că :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xdydxgygyaxrx1lim xdnnKn=νν−ϕ∫∞→
Pe de altă parte:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ≤ν−ϕ∫ xdxdhxgxrx1 nnK
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
176
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdydygyaydxgyaxrx1 xdnxdnK νν−νϕ≤ ∫∫∫
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0xddxgygyaxrx1n
xdnnK
∞→
→νν−ϕ≤ ∫∫ .
Dacă ( )∫ µβ×δ=λ uduu
' este o dezintegrare a probabilităţii λ’ relativ la
proiecţia pe prima componentă, atunci la fel ca în demonstraţia propoziţiei 4.1.4.
rezultă că ( ) ( ) .t.p.avdv,uq uv,u
u βν=ν ∫ .
Pentru µ-a.p.t. u ∈ UG avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vdv,uqydygyaydygyauh uv,u
1n
1u1n
1n βν=ν= −−−− ∫ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vdv,uqydyygya uu,v
1n βνδ= −∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )vdv,uqyd
yr,ydqyd,yrqyygya u
u,v1
n βν∆= −∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vdu,vqydyygya uu,v
1n βν∆= −∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ βν∆⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν= − vdu,vqydyygxdxbyb u
u,v1
nyd
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ βν⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν⋅∆≤
∈vdu,vqydygxdxb1ysup u
u,vnydUy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ βν⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν⋅∆≤
∈vdu,vqydygxdxb1ysup u
u,vnuUy
Deoarece gn ∈ ( )( )11 ,GL,EL ν∞ rezultă că pentru orice u ∈ UG există
M(u) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ν⋅∆= ∫
∈xdxb1ysup u
Uy
astfel încât hn(u) ≤ M(u) < ∞ (∀) n µ-a.p.t. şi astfel încât ( )uMu să fie o
funcţie continuă .
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
177
Observaţie 4.3.3. Mărginirea funcţiei modulare pe o vecinătate a spaţiului
unităţilor a fost utilizată doar pentru a demonstra proprietatea 2) din propoziţia de mai
sus .
Teoremă 4.3.4 (Theorem 13 [19]). Dacă grupoidul G are µ-aproape toate
grupurile de izotropie necompacte şi dacă funcţia modulară ∆ este mărginită pe o
vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG, atunci pentru orice medie aproximativă
complet invariantă (gn)n normalizată ( 1gd,rn = pentru orice n) există un subşir al
şirului (gn)n (notat tot (gn)n ) astfel încât pentru orice mulţime compactă K ⊂ G şi
orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) avem :
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0xdxgxrx1lim nKn=νϕ∫∞→
.
Demonstraţie . Din propoziţia anterioară rezultă că pentru orice mulţime
compactă K ⊂ G şi orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0udxdxdhxgxx1ulim unnKn=µν−∆ϕ ∫∫∞→
Luăm ϕ = 1 . Pentru fiecare mulţime compactă K există un subşir astfel încât :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .t.p.a0xdxdhxgxx1lim uinnKi i−µ=ν−∆∫∞→
Fie (Kn)n un şir crescător de compacte cu ∪n
n GK = . Pentru fiecare număr natural m
>0 există nm astfel încât:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .t.p.am1xdxdhxgxx1 umnnmK m
−µ<ν−∆∫ .
Deoarece pentru fiecare mulţime compactă K există Km cu K ⊂ Km rezultă că
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )K.t.p.a0xdxdhxgxx1lim umnnKm m∀−µ=ν−∆∫∞→
.
Renotăm subşirurile obţinute cu (gn)n , respectiv (hn)n . Pentru µ-a.p.t. u ∈ UG şirul
(hn(u))n este un şir mărginit , deci admite un şir convergent pe care îl notăm tot cu
(hn(u))n . Pentru u fixat notăm ( )uhliml nn ∞→= . Atunci ţinând cont şi de dezintegrarea
utilizată în demonstraţia propoziţiei anterioare avem :
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
178
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )≤ν∆=ν∆ ∫∫ xdxdhxx1xdxx1uh unKuKn
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxgxx1xdxdhxgxx1 unKunnK ν∆+ν−∆≤ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxgxx1xdxdhxgxx1 u1n
11KunnK ν∆+ν−∆≤ −−−∫∫
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ βν∆+ −−− vdv,uqxdxgxx1 uv,u
1n
11K
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ βνδ∆+ − vdv,uqxdxxgxx1 uu,v
1nK
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ βν+ vdu,vqxdxgx1 uu,vnK
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆≤ ∫ + d,rng
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhxgxx1 unnK ν−∆= ∫ + 1 .
Trecând la limită obţinem
l ( ) ( ) ( ) ( )K1xdxx1 uK ∀≤ν∆⋅ ∫ <=> l ( ) ( ) ( ) ( ) 1vdu,vqxdx1 uu,vK ≤βν⋅ ∫ ∫ .
Dacă l ≠ 0 atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l1vdu,vqxdx1K uu,vK ≤βν=>∀ ∫ ∫ =>
( ) ( ) ( ) ( )l1vdu,vqxd1 uu,v ≤βν∫ ∫ => ∫ ν u,vd1 < ∞ βu –a.p.t. .
Fie v ~ u cu ∫ ν u,vd1 < ∞ , şi z ∈ G astfel încât r(z) = u şi d(z) = v . Atunci din
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∞<ν=ν=ν xd1dzx1xd1 u,vu,zdu,u
REPREZENTĂRI DE GRUPOIZI
CAPITOLUL 4: AMENABILITATE PENTRU GRUPOIZI
179
rezultă că grupul de izotropie uuG compact , ceea ce reprezintă o contradicţie cu
ipoteza. Deci l = 0 Am demonstrat că orice punct limită al şirului (hn(u))n este egal
cu 0, deci că ( )uhlim nn ∞→= 0 . Din
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
.t.p.aMsupx1xrxdMx1xrxdhx1xrKd
KKnK ϕ≤ϕ≤ϕ
aplicând teorema de convergenţă dominată a lui Lebesgue rezultă că
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0xdxdhxrx1lim nKn=νϕ∫∞→
.
Trecând la limită în următoarea inegalitate :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ≤νϕ∫ xdxgxrx1 nK
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xdxdhx1xrxdxdhxgx1xr nKnnK νϕ+ν−ϕ≤ ∫∫
obţinem concluzia teoremei .
Teoremă 4.3.5 (Theorem 14 [19]). Fie grupoidul local-compact amenabil
(G,ν,µ) cu µ-aproape toate grupurile sale de izotropie necompacte şi cu funcţia
modulară ∆ mărginită pe o vecinătate simetrică a spaţiului unităţilor UG . Dacă m este
o medie invariantă pentru G ce provine dintr-o medie aproximativă complet invariantă
normalizată, atunci m(f) = 0 (în L∞(UG)) pentru orice funcţie f : G → C continuă care
se anulează la infinit .
Demonstraţie. Fie (gn)n o medie aproximativă complet invariantă normalizată
astfel încât mmlimngn=
∞→în ( ) ( ) ( )( )GUL
UL,GLBG
∞∞∞ înzestrat cu topologia *-slabă.
Atunci din teorema precedentă rezultă că pentru orice mulţime compactă K ⊂ G şi
orice funcţie ϕ ∈ L1(UG) să avem:
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0xdxgxrx1lim nKn=νϕ∫∞→
Fie f : G → C o funcţie continuă care se anulează la infinit, fie ε > 0, şi fie Kε
⊂ G o mulţime compactă aleasă astfel încât ( )xfsupKGx ε−∈
< ε . Pentru orice ϕ ∈ L1(UG),
din inegalităţile:
MĂDĂLINA ROXANA BUNECI
180
( ) ( )( ) ( ) ( ) ≤νϕ∫ xdxgxrxf n
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xdxgxrxfx1xdxgxrxfx1 nKGnK νϕ+νϕ≤ ∫∫ εε −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
xdxgxrx1xdxgxrx1xfsup nKGnKKx
ϕ≤
νϕε+νϕ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤ ∫∫ εεε
−∈
.
rezultă că ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0xdxgxrxflim nn=νϕ∫∞→
<=> ( ) 0,fm ngn
⎯⎯ →⎯ϕ ∞→ =>
( ) 0,fm =ϕ .