Descrierea comportamentului haotic.

Spatiul fazelor.

Atractori clasici si stranii"Evolutia este haos cu reactie inversa."

Joseph Ford, fizician, 1990

1. Notiuni introductive

Stiinta a cautat mereu ordinea într-un univers haotic, dominat de fenomene imprevizibile si incontrolabile. Dorinta de a fi cu un pas înaintea timpului l-a caracterizat dintotdeauna pe om; el a dorit mereu sa poata anticipa viitorul, vremea, succesul sau esecul în comert, în evenimente sociale. Dar întotdeauna Natura a dovedit ca nu poate fi cuprinsa în întregime în legi pe baza carora sa-i fie descris si prezis comportamentul.

Un sistem haotic este caracterizat prin instabilitatea, imposibilitatea de a fi controlat si dezordinea sa, prin dependenta de conditiile initiale, care determina mari modificari în starea sistemului, ca urmare a unei mici schimbari neperiodice anterioare. Supersensibilitatea la conditiile initiale este o notiune cheie a teoriei haosului. Aceasta înseamna ca evolutia sistemului este dependenta de starea initiala.

Formele neregulate si procesele haotice abunda în natura. Astfel, fumul dintr-o anumita sursa se raspândeste formând o multime de vârtejuri, un curs de apa este învolburat din cauza obstacolelor, o nava sau un avion lasa în urma o dâra turbulenta. Instabilitate si haos întâlnim atât în societate (politica si razboaie, boli, familie si relatii sociale), cât si în fenomene complexe, precum circuite electrice, eruptii de pojar, lasere, bataile inimii, activitatea electrica a creierului, mecanica fluidelor, reactii chimice, sau în sisteme simple precum un pendul.

Teoria haosului a început ca un subdomeniu al fizicii si al matematicii, lucrând cu structuri ale turbulentei (una dintre cele mai dificile probleme din fizica) si auto-similaritatea formelor din geometria fractala. Ea a aparut la sfârsitul anilor '60, fundamentata de matematicianul James Yorke de la Universitatea din Maryland. Primul care a descoperit însa efectele haosului, pe care le-a numit "Efectul fluturelui", a fost Edward Lorentz, meteorolog la Massachusetts Institute of Technology.  De-a lungul ultimelor decenii, aceasta dependenta fata de conditiile initiale a fost cunoscuta sub diferite nume, precum "Teoria haosului", "Teoria complexitatii", "Procese stohastice", etc.

Teoria vizeaza procesele naturale exprimate sub forma formulelor matematice, calcule ce erau imposibile fara calculatoare. În calculul diferential, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale, care se ocupa cu fenomene naturale precum turbulenta apei sau piete financiare. Spre deosebire de ecuatiile liniare care se comporta previzibil, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale care se schimba brusc sau

discontinuu. Într-o ecuatie neliniara, o mica schimbare într-o variabila poate avea un efect disproportionat, chiar catastrofal asupra celorlalte variabile.

2. "Efectul fluturelui" - Atractorul Lorentz

Simulând vremea pe calculator în 1961, Edward Lorentz  a vazut oportunitatea de a combina meteorologia cu matematica. Modelul lui matematic al vremii era constituit dintr-un set de 12 ecuatii diferentiale care reprezentau schimbari în temperatura, presiune, intensitatea vântului, etc. Într-o zi, vrând sa repete o secventa interesanta din model,  din dorinta de a salva timp, a reînceput procesul din mijloc. Datele din aceasta rulare ar fi trebuit sa fie identice cu cele din prima rulare, dar rezultatul a fost surprinzator: desi au pornit similar, spre final au devenit complet divergente, al doilea model pierzând orice asemanare cu primul în câteva "luni". O imagine a acestor doua rulari este prezentata mai jos:

Fig. 3.1. - Graficul obtinut de Lorentz în simularea vremii

         Lorentz a presupus ca a fost o eroare, fie când a introdus numerele, fie în derularea calculelor de catre calculator. Dupa ce a cercetat tot procesul, a descoperit sursa problemei: pentru a salva spatiu, imprimanta includea numai patru zecimale dupa virgula, în timp ce datele în memoria calculatorului era exacte pâna la a sasea zecimala. Lorentz a introdus o diferenta între prima si a doua rulare, care nu s-a dovedit a fi nesemnificativa.

El a ajuns la concluzia ca perturbatii extraordinar de mici ale datelor se îmbina cu rapiditate, ducând la o schimbare uriasa a vremii. Asadar, previzionarea vremii este pentru totdeauna "compromisa". Daca modelul lui Lorentz s-ar asemana întru totul cu realitatea, atunci o interferenta minuscula cum ar fi bataia de aripi a unui fluture în Amazon ar putea modifica radical vremea în Massachusettes. "Efectul fluturelui", cunoscut mai exact ca dependenta sensibila de conditiile initiale, este o proprietate comuna a sistemelor naturale si sociale complexe.

În concluzie, Lorentz a apreciat ca sunt imposibile previziunile precise în meteorologie datorita cunoasterii aproximative a legilor naturii si a situatiei Universului la momentul initial.

Pentru a preciza modul în care se ajunge la haos, trebuie stiut ca un regim regulat devine neregulat sau

turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Un atractor poate fi un punct, o curba, o suprafata sau mai adesea, un

fractal, catre care converg traiectoriile izvorâte din toate punctele care apartin vecinatatii sale.

Lorentz a observat în reprezentarea grafica a sistemului sau de ecuatii ca rezultatul se mentinea mereu pe o curba, o spirala dubla. Erau cunoscute numai doua stari de ordine: o stare stabila, în care variabilele nu se schimbau niciodata, si comportament periodic, în care sistemul intra într-o bucla, repetându-se nedefinit. Ecuatiile lui Lorentz erau clar ordonate: urmareau mereu o spirala. Nu se opreau niciodata într-un punct stabil, dar din moment ce nu repetau mereu acelasi lucru, nu erau nici periodice. El a numit imaginea pe care a obtinut-o Atractorul Lorentz.

                            

Fig. 1. - Atractorul Lorentz

De ce un set de ecuatii complet deterministe au acest comportament? Raspunsul rezida în natura lor: sistemele neliniare, de altfel dificil de rezolvat, sunt supuse teoriei haosului si deseori manifesta comportamente extrem de complexe si haotice.

În 1963, Lorentz a publicat o lucrare care descria ceea ce descoperise, însa într-un jurnal meteorologic, pentru ca era meteorolog. Din aceasta cauza, descoperirile lui Lorentz nu au fost recunoscute decât ani mai târziu, când au fost redescoperite de altii. Lorentz descoperise ceva revolutionar, si acum astepta la rândul lui sa fie descoperit de altii.

3. Exemple de sisteme haotice

Un alt sistem în care sensibilitatea la conditiile initiale este evidenta este aruncarea unei monede. Exista doua variabile în acest experiment: cât de rapid moneda loveste pamântul, si cât de rapid se învârte. Teoretic, ar trebui sa fie controlabile aceste variabile în totalitate, precum si rezultatul aruncarii. În practica, este imposibil de controlat exact cât de sus va sari moneda si cât de repede se va roti. Se pot încadra variabilele într-un interval anume, dar este imposibil de controlat astfel încât sa se stie exact ce fata va arata moneda.     O problema similara este întâlnita în predictia populatiei biologice. Ecuatia ar fi simpla daca populatia ar creste indefinit, dar efectul calamitatilor si a resurselor de hrana limitate fac aceasta ecuatie incorecta. Cea mai simpla ecuatie care considera aceste aspecte ar arata astfel:Populatia anului viitor = r * populatia anului curent * (1 - populatia curent).

            În aceasta ecuatie, populatia este un numar între 0 si 1, unde 1 reprezinta populatia maxima posibila, iar 0

reprezinta extinctia. R este rata de crestere. Cum afecteaza acest parametru ecuatia? Evident, pentru o rata mare,

populatia se va stabiliza la o valoare mare, pentru o rata mica, se va stabiliza la o valoare mica. Dar ecuatia manifesta

un comportament socant, dupa cum a demonstrat biologul Robert May în 1970, schimbând rata de crestere în ecuatie.

La valori mici ale ratei de crestere, populatia se va stabiliza într-adevar la o singura valoare: de exemplu, pentru o rata

de 2,7, populatia va fi 0.6292. Pe masura ce creste rata, populatia finala va creste si ea. Dar când rata a devenit mai

mare decât 3, linia s-a descompus în doua. În loc sa ramâna la un singur numar, populatia oscila an dupa an între doua

valori. Cu fiecare crestere a ratei, linia se bifurca  în continuare, pâna când a aparut haosul. Peste o anumita valoare a

ratei de crestere, devine imposibil de prezis comportamentul ecuatiei. Asadar, la început, rezultatele se înscriu pe o

dreapta, iar în final manifesta o neregularitate haotica. Auto-similaritatea, faptul ca graficul are o copie exacta a sa

ascunsa în structura sa, a devenit un aspect important al haosului.

Fig. 2 - Diagrama bifurcatiei pentru ecuatia populatiei[5]

Fractal a ajuns sa însemne orice imagine care dispune de auto-similaritate. Bifurcatia diagramei ecuatiei populatiei este un fractal. Atractorul lui Lorentz este fractal. Curba lui Koch este fractal.

Piata este de asemenea un sistem instabil si haotic, iar teoria haosului este si mai interesanta când este aplicata evenimentelor umane, precum bursa de valori. Teoreticienii haosului au combatut direct teoria neoclasica a bursei de valori, care presupunea ca asteptarile cu privire la piata sunt "rationale", adica omnisciente despre viitor.

Daca toate preturile de pe piata bunurilor sau preturile actiunilor cotate la bursa încorporeaza cunostinte exacte despre viitor, atunci orice înclinatie a bursei ar fi total accidentala, neînsemnata, adica nici un pret nu are legatura cu vreun altul, fie viitor, fie trecut. Dar un aspect crucial al istoriei umanitatii este ca toate evenimentele sunt interconectate, orice eveniment economic are efecte asupra altora, si dupa cum am aratat în Capitolul 2, piata are memorie atât pe termen scurt, cât si pe termen lung.

Sistemul liniar în care exista doar doi atractori: cererea si oferta nu este suficient pentru a modela  structura neliniara, complexa, turbulenta si volatila specifica pietei. Pentru aceasta trebuie plasat un al treilea atractor, care va induce haosul si structura fractala în sistem.

.

Spatiul fazelor. Atractori clasici si stranii.

Dificultăţile care apar în descrierea evoluţiei sistemelor haotice impun căutarea unei posibilităţi de reprezentare care să permită găsirea cu mai mare uşurinţă a unor soluţii calitative.

Să analizăm două modalităţi de reprezentare a evoluţiei unui pendul simplu. În reprezentarea din figura 1 pe abscisă figurează variabila timp şi, pe ordonată, poziţia. Funcţia reprezentată este legea de mişcare a unui pendul simplu care execută oscilaţii libere fără frecare – de  forma  θ = θ0 sin ( ωt+π/2)

Planul în care fiecare punct reprezentativ este caracterizat prin valorile poziţiei şi momentului în timp constituie din punct de vedere matematic, spaţiul configuraţiilor asociat sistemului.

în figura 2 se reprezintă, pentru acelaşi sistem, şi dependenţa de timp a vitezei - de forma

θ, =ω θ0 cos ( ωt+π/2)

în continuare să reprezentăm pe ordonată viteza şi pe abscisă poziţia. Rezultă, pentru sistemul în discuţie, situaţia din figurii a 3-a. Planul în care fiecare punct reprezentativ este caracterizat prin valorile vitezei şi poziţiei constituie din punct de vedere matematic, spaţiul fazelor asociat sistemului.

Dacă pendulul este unul la care se produce şi amortizare în timp a oscilaţiilor, datorită frecării cu aerul, cele două moduri de reprezentare vor avea aspectul ca în figurile 4, respeciv 5.

                                   

În sfârşit, în cazul unui pendul la care intervine şi o forţă exterioară cu dependenţă sinusoidală de timp, având frecvenţa apropiată de frecvenţa proprie a pendului, oscilaţiile se vor prezenta ca in figura 6 unde reprezentăm în funcţie de timp valorile poziţiei şi vitezei.

Diagrama corespunzătoare spaţiului fazelor se prezintă ca în figura 7.

Revenim acum la exemplul mişcării oscilatorii a acului magnetic, prezentat anterior. în situaţia în care acţionează doar un câmp magnetic constant, reprezentarea în spaţiul fazelor a stării dinamice a acului magnetic (în condiţiile în care ecuaţiile ce descriu poziţia unghiulară şi viteza de oscilaţie au fost găsite de forma:( θ=θ0 cos ω1t  respectiv θ, =-ω1 θ0 sin ω1t) se prezintă ca în fig. 8.

În timp, punctul reprezentativ (P) din spaţiul fazelor, de coordonate (0, 0,), descrie o elipsă care este traiectoria de fază. Aceasta conţine toate informaţiile despre mişcarea sistemului începând din momentul iniţial când coordonatele au avut valori precizate. Evoluţia în timp a valorilor parametrilor are loc în sensul săgeţii. Semiaxele elipsei corespund valorilor elongaţiei unghiulare maxime (θ0) a mişcării - semiaxa orizontală, respectiv valorii vitezei unghiulare (ωθ0) maxime a oscilaţiilor - semiaxa verticală. Pentru valori mai mari ale elongaţiei iniţiale (θ0) traiectoria în spaţiul fazelor este o elipsă mai mare şi se obţin practic o infinitate de astfel de elipse care se vor închide asupra lor însele dacă mişcarea este oscilatorie.

Această familie de curbe închise asupra lor însele ce se formează într-un domeniu spaţial mărginit constituie un obiect geometric numit atractor.

În cazul în care acul magnetic se roteşte complet în jurul propriei axe, ceea ce se întâmplă când valoarea vitezei iniţiale este mare, traiectoria de fază va fi o curbă

deschisă (fig. 9).

Între cele două regiuni se remarcă o traiectorie limită, curba separatoare. Traiectoriile din spaţiul fazelor nu se întretaie. Intersectarea lor ar însemna un punct corespunzător unei anumite stări iniţiale, descrisă prin coordonatele (θ0, ωθ0), după care ar putea să urmeze două evoluţii ulterioare distincte în viitor, ceea ce contrazice conceptul de determinism, în sens ideal al termenului.

Odată cu aplicarea câmpului magnetic rotitor, starea dinamică a sistemului se descrie prin trei parametri (θ,θ,, φ). Va fi necesar un spaţiu reprezentativ al fazelor cu trei dimensiuni. Traiectoria de fază ce descrie evoluţia sistemului va avea un aspect foarte complicat, dificil de caracterizat. în acest scop, se va putea utiliza o soluţie, sugerată de H. Poincare, care simplifică lucrurile. Bazându-ne pe caracterul unghiular al variabilei φ, vom realiza tăieturi ale traiectoriei din spaţiul tridimensional, de-a lungul axei corespunzătoare variabilei φ, prin plane perpendiculare pe această

axă, la valori care reflectă periodicitatea: 0, 2π, 4π...Punctele de intersecţie ale traiectoriei cu aceste plane se vor proiecta pe

planul de coordonate (θ,θ,). Se obţine astfel o reprezentare bidimensională (fig. 9) numită secţiune Poincare. Cele două regimuri dinamice ale sistemului apar foarte clar în această reprezentare: regiunile în care punctele reprezentative sunt distribuite pe curbe închise regulate, corespund situaţiilor în care acul magnetic oscilează în rezonanţă cu câmpul excitator sau oscilează liber în jurul direcţiei câmpului fix, iar regiunile în care punctele reprezentative sunt distribuite dezordonat, corespund situaţiilor în care mişcarea devine haotică. O situaţie de genul celei din figura 9 se obţine pentru cazul în care se neglijează în ecuaţia de mişcare, termenul datorat frecării cu aerul (Kθ,).

Analiza unei astfel de reprezentări, ce poate fi realizată prin modelare numerică folosind calculatorul, ne permite să găsim cu precizie acele condiţii iniţiale (θ0,θ,

0) care trebuiesc întrunite, pentru obţinerea unei mişcări cu caracter determinist sau a uneia haotice.

Aadhtgrdtyhdfhactoriidgfrgtaeratractori clasici şi straniiPrezenţa în ecuaţia de mişcare a termenului (Kθ,) datorat frecării dintre acul

magnetic aflat în mişcare şi aer, indică un caracter disipativ al sistemului. Energia mişcării sale, treptat, se va transforma în căldură. Mişcarea însă nu va înceta, atâta timp cât va exista un aport exterior de energie din partea câmpului magnetic rotitor.

 gSecţiunea Poincare obţinută pentru această situaţie devine mai simplă având

însă un aspect uimitor: o mulţime de puncte sunt aşezate sub forma unei structuri fasciculare (fig. 10). Acest tip de reprezentare se numeşte „atractor straniu ". Mai mult, aspectul structurii obţinute este acelaşi indiferent de scara la care va fi observată, fiind caracterizată printr-o proprietate numită „autosimilitudine". Un astfel de obiect geometric se numeşte „fractal".

Datorită proprietăţilor, aminitite mai sus, atractorul straniu constituie un element care prefigurează ordinea ce poate să apară în interiorul haosului.

Un atractor straniu este o regiune limitată a reprezentării Poincare în care se

acumulează, fără a se intersecta, traiectoriile reprezentative din spaţiul fazelor pentru un sistem disipativ care evoluează şi cu aport extern de energie din partea unui factor excitator şi care are cel puţin trei grade de libertate în spaţiul fazelor, precum şi o mare sensibilitate la condiţiile iniţiale, efectuând o mişcare haotică