3/23/2016

1

Experiment aleator. Evenimente

Un experiment aleator este o acţiune care, efectuată ori de câte ori se doreşte, în aceleaşi condiţii, are un rezultat aleator. Acțiunea se caracterizează prin faptul că se cunoaşte ansamblul rezultatelor posibile dar nu se poate face o predicţie certă asupra rezultatului care se va produce în momentul realizării sale. Exemple de experimente aleatoare şi rezultatele lor posibile: • aruncarea unei monede: cap si pajură; • aruncarea unui zar: 1, 2, 3, 4, 5, 6; • aruncarea unui zar: număr par, număr impar; • solicitarea preferinţei unui consumator pentru produsul A sau

produsul B: prefer produsul A, prefer produsul B, îmi este indiferent;

• observarea modificării preţului la bursă al acţiunilor unei companii în decurs de o săptămână: cresc, scad, nu se modifică.

• testarea conformităţii procedurilor unei entităţi auditate: corespund sau nu corespund criteriilor prestabilite.

Experiment aleator. Evenimente

Mulţimea rezultatelor (spaţiu de selecţie), notată cu S este ansamblul rezultatelor posibile ale unui experiment aleator. Pentru calculul probabilităţilor este important să distingem dacă mulţimea rezultatelor este fundamentală sau nu. Un spaţiu de selecţie este numit fundamental dacă fiecare dintre rezultatele sale posibile are aceleaşi şanse de apariţie ca şi celelalte. Exemplu: mulţimea rezultatelor posibile la aruncarea unui zar: S = {1,2,3,4,5,6}. • Orice rezultat posibil al unui experiment aleator se numeşte eveniment

elementar. Un astfel de eveniment nu poate fi descompus în alte evenimente simple.

• Un eveniment este orice colecţie de evenimente elementare; el este un subansamblu al mulţimii S.

Exemple: • evenimentul observarea unui număr par la aruncarea unui zar este A =

{2,4,6}. • un test privind corectitudinea soldurilor unui cont este un eveniment

format din următoarele evenimente elementare {soldul este corect, soldul este supraevaluat sau soldul este subevaluat} ; evenimentul soldul nu este corect nu este elementar, deoarece poate fi descompus în două evenimente elementare {supraevaluare şi subevaluare}.

3/23/2016

2

Definirea probabilităţii

Definiția clasică: În general, dacă un experiment are n posibile rezultate, fiecare fiind egal probabile, probabilitatea apariţiei oricărui rezultat particular este 1/n. O astfel de probabilitate o numim teoretică (apriori), deoarece este calculată fără efectuarea experimentului. Definiția empirică: presupune exprimarea probabilităţii unui rezultat ca o măsură a frecvenţei relative de apariţie. Presupunem că un experiment aleator este repetat de n ori (n fiind un număr mare). Dacă x reprezintă numărul de cazuri în care un rezultat particular a apărut în cele n încercări (probe), raportul x/n constituie o bună estimare pentru probabilitatea cu care acest rezultat particular va apărea. Exemplu: dacă 295 dintre cele 300 de facturi verificate printr-o procedură de audit sunt corecte, putem presupune că probabilitatea ca facturile firmei să fie corect întocmite este de 295 / 300 = 0,98 (98%). Cu cât n este mai mare, cu atât va fi mai bună estimarea probabilităţii dorite. Probabilitatea determinată folosind rezultatele unui experiment efecuat de un anumit număr de ori, se numeşte probabilitate empirică, sau frecvenţă relativă.

Definirea probabilităţii

• Fiecărui eveniment elementar Ei dintr-un spațiu de selecție fundamental îi ataşăm un număr P(Ei), numit probabilitatea lui Ei , care să reprezinte probabilitatea obţinerii acestui rezultat particular; ea se calculează după formula:

푃 퐸 =푛푢푚푎푟푑푒푐푎푧푢푟푖푓푎푣표푟푎푏푖푙푒푙푢푖퐸

푛푢푚푎푟푑푒푐푎푧푢푟푖푝표푠푖푏푖푙푒

• Pentru orice spațiu de selecție S = {E1,E2,…,En}, probabilităţile asociate evenimentelor elementare Ei trebuie să îndeplinească următoarele cerinţe de bază:

1. 0 ≤ P(Ei) ≤ 1, pentru fiecare i 2. ∑ 푃 퐸 =1

3/23/2016

3

Definirea probabilităţii

• Probabilitatea unui eveniment A este egală cu suma probabilităţilor asociate evenimentelor elementare conţinute în A:

푃(퐴) = 푐푎푟푑 퐴푐푎푟푑 푆

Exemple: • la aruncarea unui zar, probabilitatea de a obţine un număr impar este :

푃(푖푚푝푎푟) = 푐푎푟푑 1,3,5

푐푎푟푑 1,2,3,4,5,6 =36 =

12

Card {1,3,5} – cardinalul mulțimii {1,3,5}, adică numărul de elemente pe care le conține. În acest caz Card {1,3,5} = 3 • la extragerea unei cărţi dintr-un pachet de 52 de cărţi de joc, probabilitatea de a

extrage un as este:

푃(푎푠) = 4

52 =1

13 • la extragerea unei bile dintr-o urnă care conţine 200 de bile colorate, dintre care

15 sunt de culoare roşie, probabilitatea de a extrage o bilă roşie este :

푃(푟표ş푢) =15

200

Regulile probabilităţilor

Reuniune (A sau B) Regula adunării

Evenimente incompatibile

P(AB)=P(A)+P(B)

Evenimente compatibile

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Intersecție (A și B) Regula multiplicării

Evenimente independente

P(AB)=P(A) . P(B)

Evenimente dependente

P(AB)=P(A/B) . P(B)=P(B|A) . P(A)

Complement (nu A)

Eveniment independent

Regula probabilităților condiționate (A dacă B)

Evenimente independente

P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B)

Evenimente dependente

3/23/2016

4

Arbori de probabilitate O metodă foarte utilă pentru calculul probabilităţilor este arborele de probabilitate, în care diferitele evenimente posibile ale unui experiment sunt reprezentate prin linii sau ramuri ale acestuia. Exemplu: Considerăm experimentul aruncării de două ori a unei monede (rezultate posibile Cap şi Pajură); spațiul de selecție este: S = { CC, CP, PC, PP }.

C

P

C

C

P

P

Prima aruncare

A doua aruncare

Rezultat final (evenimente

simple)

CC

CP

PC

PP Probabilitate

P(CC)=1/4

P(CP)=1/4

P(PC)=1/4

P(PP)=1/4

Variabila aleatoare

Să presupunem că în cadrul experimentului anterior ne interesează de câte ori apare pajura . Dacă notăm cu X numărul total de apariţii ale pajurei, valoarea lui X va varia aleator de la o probă la alta a experimentului. X este numită variabilă aleatoare, sau variabilă supusă hazardului. De fapt, X este o funcţie care asociază o valoare numerică fiecărui eveniment elementar din spațiul de selecție: S = { CC, CP, PC, PP } Valorile posibile ale lui X sunt 0,1 sau 2.

3/23/2016

5

Variabila aleatoare

S={CC,CP,PC,PP}

Variabila aleatoare

O variabilă aleatoare este o funcţie care asociază o valoare numerică fiecărui eveniment elementar dintr-un spațiu de selecție. În mod uzual, variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule de la sfârşitul alfabetului (X, Y, W,...) iar valorile acestora cu litere mici (x,y,w,...). În funcţie de numărul de valori posibile pe care şi le pot asuma, variabilele aleatoare sunt de două tipuri: • discrete • continue.

3/23/2016

6

Variabila aleatoare discretă O variabilă aleatoare discretă poate lua o mulţime numărabilă de valori. O variabilă aleatoare este discretă dacă putem identifica prima valoare, a doua valoare etc. Exemple: • numărul de produse defecte dintr-un lot • numărul de apeluri telefonice primite într-o anumită oră la o centrală telefonică • numărul de cumpărători, observaţi într-o perioadă, care preferă un anumit

produs. • numărul de erori monetare depistate printr-o procedură de audit în situaţiile

financiare ale unei firme. Observaţie. O mulţime numărabilă de valori posibile nu înseamnă în mod necesar o mulţime finită. Exemplu: numărul de aruncări ale unei monede până la prima apariţie a pajurei: 1 (dacă la prima aruncare apare pajura ), 2 (dacă la prima aruncare apare capul şi la a doua apare pajura) şi aşa mai departe. O astfel de variabilă nu are limită superioară a valorii sale, dar, fiind numărabilă, ea este discretă.

Variabila aleatoare discretă

Un tabel, matrice, formulă sau grafic ce conţine toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare discrete împreună cu probabilităţile asociate acestora poartă denumirea de distribuţie a variabilei aleatoare discrete. Fie X, o variabilă aleatoare discretă asociată unui anumit experiment aleator. Funcţia de densitate (masă) de probabilitate (fdp) a lui X este funcţia p, definită astfel: p: R → [0,1] x ↦ p(x) = P( X = x ), unde P( X = x ) este probabilitatea ca variabila X să ia valoarea particulară x în momentul realizării experimentului. Altfel spus, P( X = x ) reprezintă suma proabilităţilor asociate evenimentelor elementare pentru care X ia valoarea x. O funcție de densitate de probabilitate a unei variabilei aleatoare discrete trebuie să satisfacă următoarele condiții : 1. 0 ≤ p(xi) ≤ 1, pentru toate valorile xi 2. ∑ 푃 푋 = 푥∈ = ∑ 푝 푥∈ = 1

3/23/2016

7

Variabila aleatoare discretă

Utilizând experimentul aruncării de două ori a unei monede în care variabila X reprezintă numărul de apariții ale pajurei:

Evenimente simple X Probabilități

CC 0 ¼

CP 1 ¼

PC 1 ¼

PP 2 ¼ Distribuția variabilei x poate fi prezentată astfel:

푝 푥 =

14 ,푑푎푐ă푥 = 0푠푎푢푥 = 2

12 ,푑푎푐ă푥 = 1

x p(x)

0 ¼

1 ½ 2 ¼

0 1 2

1/2

1/4

p(x)

x

Variabila aleatoare discretă

Variabila aleatoare discretă

Pe lângă funcţia de probabilitate simplă, putem asocia unei variabile aleatoare discrete şi o funcţie de probabilitate cumulată, numită funcţie de distribuție de probabilitate cumulativă (fdpc). Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, atunci funcţia sa de distribuție de probabilitate cumulativă este definită astfel: • F: R → [0,1] • x ↦ F(x) = P (X ≤ x) = ∑ 푝 푥∈

3/23/2016

8

Indicatorii numerici ai unei variabile aleatoare discrete sunt: 1. speranța matematică ( media) 푬 푿 2. v퐚퐫퐢퐚퐧ț퐚 퐝퐢퐬퐩퐞퐫퐬퐢퐚 푽 푿 3. abaterea standard (흈) 4. momentul de ordinul k (Mk) 5. momentul centrat de ordinul k (흁풌) Speranța matematică Pentru o variabilă aleatoare discretă X cu xi valori posibile care apar cu probabilitățile p(xi) , se definește astfel:

퐸 푋 = 푥 ∙ 푝 푥∈

= 휇

Dispersia 푉 푋 =∑ 푥 − 휇 ∙ 푝 푥∈ = 휎

Formula de calcul simplificat este:

푉 푋 = ∑ 푥∈ ∙ 푝 푥 -휇 Abaterea standard

휎 = 푉 푋

Variabila aleatoare discretă

Momentul de ordinul k 푀 = 퐸 푋 =∑ 푥∈ ∙ 푝 푥 ; 푘 ∈ 푁

Momentul centrat de ordinul k 휇 푋 = 푀 푋− 휇 = 퐸 푥 − 휇 ; 푘 ∈ 푁

unde 퐸 푋 = 휇 Observație: • Momentul de ordinul întâi al variabilei aleatoare X este media acesteia. • Momentul centrat de ordinul doi este dispersia variabilei aleatoare X Proprietăți Dacă X este o variabilă aleatoare discretă, atunci ∀푎, 푏 ∈ 퐑, Y = a.X+b este și ea o variabilă aleatoare discretă ai cărei indicatori numerici sunt: • Speranța matematică: E(Y) = a.E(X) + b • Dispersia: V(Y) = a2 . V(X)

Variabila aleatoare discretă

3/23/2016

9

Continuous random variable

O variabilă aleatoare este continuă dacă ansamblul valorilor sale posibile corespunde celor dintr-un interval dat, finit sau infinit.

Principalele deosebiri Variabile discrete Variabile continue

- pot lua un număr finit sau infinit numărabil de valori posibile

- pot lua un număr infinit nenumărabil de valori posibile

- le este specific procesul de numărare - le este specific procesul de măsurare a unor atribute, cum ar fi: lungimea, greutatea, timpul, temperatura etc.

- probabilitatea să ia o valoare particulară are sens deoarece putem enumera toate valorile posibile

- probabilitatea să ia o valoare particulară nu are sens deoarece nu putem enumera toate valorile posibile, dar are semnificaţie probabilitatea să ia o valoare cuprinsă într-un anumit interval de valori.

- probabilitatea pentru o variabilă X să ia o valoare particulară x este p(x)

- probabilitatea pentru o variabilă X să ia o valoare particulară x este 0.

Variabila aleatoare continuă

Exemplu Un experiment aleator poate fi considerat observarea duratei convorbirilor telefonice pentru un eşantion reprezentativ de angajaţi ai unei companii într-o zi de lucru. Considerăm variabila X = durata convorbirilor în minute. Deoarece angajaţii au fost selectaţi întâmplător iar ansamblul valorilor posibile corespunde unui interval de timp, atunci X este o variabilă aleatoare continuă.

Variabila aleatoare continuă

3/23/2016

10

Variabila aleatoare continuă

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

2 5 8 11 14 17

durata convorbirilor (minute)

2 5 8 11 14 17 20

frecvenţe relative

Funcția de densitate de probabilitate (fpd) a unei variabile aleatoare continue X este funcția pozitivă:

푓 ∶ 퐑 → 0,∞ 푓 푥 ≥ 0

푃 푎 ≤ 푋 ≤ 푏 = 푓 푥 푑푥

풇 풙 풅풙 = ퟏ

Funcția de densitate de probabilitate cumulativă (fpdc) a unei variabile aleatoare continue X este definită astfel:

퐹:퐑 → 0,1 퐹 푥 =푃 푋 < 푥 =∫ 푓 푥 푑푥

Variabila aleatoare continuă

3/23/2016

11

Observație: f(x) nu este o probabilitate: 푓 푥 ≠ 푃 푋 = 푥 , deoarece probabilitatea ca X să ia o anumită valoare specifică este zero: 푃 푋 = 푥 = 0. Probabilitatea ca X să ia o valoare x[a, b] este egală cu aria delimitată de curba funcției de densitate de probabilitate și de segmentul axei orizontale delimitat

de valorile a și b.

Variabila aleatoare continuă

a b x

f(x)

P(a<x<b)

Indicatorii numerici ai variabilei aleatoare continue

• valoarea așteptată:

퐸 푋 = ∫ 푥 ∙ 푓 푥 푑푥=휇

• varianța:

푉 푋 = 푥 − 퐸 푋 ∙ 푓 푥 푑푥

• abaterea standard:

휎 = 푉 푋 = 휎 .

Variabila aleatoare continuă

3/23/2016

12

• momentul de ordinul k (k ∈N):

푀 푋 = 푥 ∙ 푓 푥 푑푥

• momentul centrat de ordinul k(k ∈N):

휇 푋 = 푥 − 휇 ∙ 푓 푥 푑푥

Variabila aleatoare continuă

Variabila aleatoare discretă. Aplicație

3/23/2016

13

Dacă notăm cu Y câştigul net, exprimat în eurocenţi, pe care îl obţinem la acest joc, Y este tot o variabilă aleatoare discretă pe care o putem defini astfel:

푌 = 20 ∙ 푋 − 100 Ţinând cont de proprietăţile mediei şi dispersiei, putem calcula cei trei indicatori ai variabilei Y, fără a descrie funcţia sa de probabilitate, astfel: • 퐸 푌 = 20 ∙ 퐸 푋 − 100 = 20 ∙ 3.5 − 100 = −30

eurocenți

• 푉 푌 = 20 ∙ 푉 푋 = 400 ∙ . = 1166.67

• 휎 = 푉 푌 = 34.16 eurocenți

Variabila aleatoare discretă. Aplicație