Capitolul 8

CALCULUL LA DURABILITATE NELIMITATĂ ÎN CAZUL PIESELOR SUPUSE SOLICITĂRILOR CICLICE

3.1. Tipuri de cicluri de solicitare

Calculul clasic la durabilitate nelimitată se bazează pe analiza variaţiei tensiunilor în funcţionarea pieselor şi pe evaluări cantitative şi calitative asupra influenţei unor factori constructivi, tehnologici, de mediu şi de exploatare.

Mărimile caracteristice ale unei solicitări cilice staţionare cu amplitudine constantă (fig. 3.1) sunt următoarele:

- tensiunea maximă , - tensiunea minimă , - amplitudinea tensiunii

, (3.1)

- tensiunea medie

, (3.2)

- variaţia tensiunii, (3.3)

- coeficientul de asimetrie a ciclului

. (3.4)

Fig. 3.1. Caracteristicile unei solicitări ciclice

În figura 3.1 este prezentată variaţia tensiunilor în cazul unui ciclu alternant oarecare. De regulă, tensiunile normale sunt datorate solicitărilor de încovoiere sau de întindere-compresiune. Dacă solicitarea variabilă este de răsucire sau forfecare, în relaţiile de mai sus se înlocuieşte cu .

Cel mai periculos este ciclul alternant simetric (fig. 3.2) cu , , , . Frecvent apare şi ciclul pulsant la care , ,

, , .

3.2. Curbele de durabilitate

S-a observat cǎ, de regulǎ, cele mai multe ruperi la oboseală s-au produs în secţiunile cu concentratori de tensiuni ale pieselor. Distribuţia tensiunilor în aceste secţiuni este influenţată , în primul rând, de modul de solicitare şi de geometria concentratorului.

Pentru o delimitare clară între efectul de concentrare şi cel al solicitării propriu-zise, se notează cu tensiunea maximă din secţiunea cu concentrator şi cu S tensiunea nominală din aceeaşi secţiune. Tensiunile nominale se calculează cu relaţii din Rezistenţa materialelor, adică la solicitări statice şi fără luarea în considerare a efectului de concentrare. În regim static de solicitare, legătura dintre tensiunile şi S este descrisă de relaţia

, (3.5)unde Kt este coeficientul teoretic de concentrare a tensiunilor în domeniul elastic.

Studiul comportării materialului se face prin încercarea unor epruvete cu forme şi dimensiuni standardizate, cu suprafaţă lustruită în zona centrală de diametru minim (fig. 3.2), unde efectul de concentrare este nesemnificativ datorită razei mari de racordare.

Cele mai multe dintre încercări au fost şi sunt efectuate la solicitări alternant simetrice de tracţiune-compresiune sau de încovoiere. Dacă o epruvetă este solicitată repetat cu cicluri alternant simetrice cu amplitudine Sa suficient de mare, se inţiază fisura ce va avansa, producând ruperea după un număr Nf de cicluri, care reprezintă durabilitatea epruvetei.

Prin prelucrarea statistică a unui mare volum de rezultate experimentale au fost trasate diagrame S–N (de fapt Sa–Nf), cunoscute sub numele de curbe de durabilitate Wöhler (fig. 3.3).

Fig. 3.2. Solicitare ciclică alternantă Fig. 3.3. Curbe de durabilitate

Datorită domeniului larg al durabilităţilor reprezentarea grafică se face în coordonate simplu sau dublu logarimice, adică doar pe abscisă sau pe ambele axe de referinţă.

La unele materiale (oţeluri carbon de mică rezistenţă, oţeluri aliate, aliaje pe bază de molibden şi titan) curba Wöhler are o asimptotă orizontală a cărei ordonată se numeşte limită la oboseală şi se notează cu S0 sau (după STAS 6488-92). De regulă, în calculele de proiectare se utilizează limita de oboseală la cicluri alternant simetrice .

La aluminiu, magneziu, cupru, la aliaje ale acestora, la unele oţeluri inoxidabile şi aliate de înaltă rezistenţă, curba S-N continuă să coboare uşor în domeniul durabilităţilor mari, neexistând o asimptotă orizontală. De aceea, s-a introdus noţiunea de limită convenţională de oboseală, definită ca valoare a amplitudinii tensiunii, corespunzătoare unei durabilităţi impuse N0 de 107 sau 108 cicluri.

Se foloseşte noţiunea mai generală de rezistenţă la oboseală pentru a desemna atât limita de oboseală propriu-zisă cât şi pe cea convenţională. Unei amplitudini a tensiunii situată între rezistenţa la oboseală şi rezistenţa la rupere statică a materialului îi corespunde o durabilitate limitată N < N0 .

Durata de viată se consideră lungă, dacă este de cel puţin 106 cicluri, medie, dacă este cuprinsă între 104 şi 105 cicluri şi scurtă, dacă este sub 103 cicluri.

Este interesant de observat că porţiunea neliniară a curbei Wöhler (Sa-Nf sau -Nf) devine segment de dreaptă dacă reprezentarea se face în coordonate dublu logaritmice (fig. 3.4). În domeniul durabilităţilor medii curba Wöhler la solicitări alternant simetrice se poate descrie printr-o relaţie de forma

, (3.6)

unde b este panta, - ceficientul rezistenţei la oboseală a materialului, 2 Nf – numărul de inversiuni până la rupere. Prin inversiune se înţelege modificarea sensului de variaţie a tensiunii sau deformaţiei specifice. În general, se poate lua egal cu rezistenţa reală la rupere statică a materialului .

Fig. 3.4. Curba de durabilitate în coordonate simplu şi dublu logaritmice

Dacă tensiunea medie a ciclului este diferită de zero, se introduce o corecţie în relaţia (3.6) care devine . (3.7)

Modificarea coeficientului de asimetrie al ciclului de solicitare determină schimbarea valorii pantei b fără ca limita de oboseală să fie sensibil afectată.

3.3. Evaluarea durabilităţilor medii la solicitări ciclice alternant simetrice

Între coordonatele a două puncte de pe curba de durabilitate (fig. 3.5) şi panta b (panta Basquin) există relaţia

. (3.8)

Fig. 3.5. Evaluarea pantei Basquin Fig. 3.6. Determinarea pantei b în cazul oţelurilor

Din (3.8) deducem succesiv

’ (3.9)

. (3.10)

Durata de viaţă N pentru o amplitudine S a ciclului de solicitare se poate evala cu formula (3.10) dacă se cunosc coordonatele unui punct de pe curba Wöhler (N0 , S0) şi panta b.

Pentru că există, mai ales pentru oţeluri, determinări ale limitei de oboseală la durabilitatea de referinţă de 106 cicluri, se consideră chiar aceste valori pentru S0 şi N0 .

Exemplu:Un ax din oţel cu limita de oboseală S0 = 250 MPa, este solicitat la încovoiere

rotativă, amplitudinea tensiunii fiind S= 300 MPa. Se cunoaşte b ≈ -0,1 şi se cere o estimare a duratei de viaţă a piesei.

Din (3.10) rezultă

161000 cicluri.

Evaluarea durabilităţii pe baza curbei S-N este aplicabilă numai în situaţiile când solicitările ciclice sunt în domeniul în care materialul are comportament elastic. De aceea, numai dacă durata de viaţa calculată este de peste 105 cicluri rezultatul se consideră corect.

După mulţi ani de experinţă, mai ales în cazul oţelurilor, au fost stabilite relaţii între unele proprietăţi ciclice şi rezistenţa la rupere statică Rm .

S-a constatat că la oţeluri cu rezistenţă la rupere sub 1400 MPa amplitudinea tensiunii ciclului la care durabilitatea este de 103 cicluri este apropiată de 90 % din Rm . De asemenea durabilitatea de referinţă N0 =106 cicluri corespunde unei limite de oboseală aproximativ egală cu 50 % din Rm (fig. 3.6). Din (3.8) rezultă o valoare orientativă a pantei Basquin

.

Deşi prezintă avantajul simplităţii, dimensionarea pieselor pe baza limitei de oboseală trebuie făcută cu precauţie deoarece nu ţine seamă de numeroşi factori ce intervin pe durata exploatării: suprasarcinile accidentale, variaţiile de temperatură, coroziunea etc.

3.4. Factori ce influenţează rezistenţa la oboseală

Stabilirea unei metodologii de calcul la oboseală prin analiza variaţiei tensiunilor, aplicabilă şi la alte forme ale ciclului de solicitare decât variaţia sinusoidală alternant simetrică, impune o analiză calitativă şi cantitativă a factorilor ce determină durabilitatea pieselor de maşini în condiţii de exploatare.

În timp s-a acumulat o cantitate mare de determinări experimentale realizate cu tehnici diferite şi pe o mare varietate de configuraţii ale epruvetelor. Analiza rezultatelor acestor teste pe epruvete de material a condus la identificarea unor factori ce influenţează rezistenţa la oboseală:

- tipul epruvetei (cu sau fără concentrator),- modul de solicitare (întindere-compresiune, încovoiere, răsucire, solicitare

variabilă complexă),- domeniul tensiunilor sau deformaţiilor ciclice (elastic sau plastic),- semnul şi nivelul tensiunii medii,- orientarea grăunţilor materialului în raport cu direcţia tensiunilor aplicate.Pentru evidenţierea influenţei modului de solicitare au fost determinate rezistenţe

la obosealǎ pe epruvete din acelaşi material, solicitate cu cicluri alternant simetrice create prin: a) întindere-compresiune, b) încovoiere alternantǎ, c) încovoiere rotativǎ. Diferenţele sensibile între rezultatele obţinute au fost explicate prin gradientele de tensiune diferite din secţiunile minime ale epruvetelor în cele trei cazuri de solicitare. Cea mai micǎ rezistenţǎ la obosealǎ s-a obţinut în cazul a) iar cea mai mare în cazul b).

S-a constatat cǎ tratamentele termice care mǎresc rezistenţa staticǎ ridicǎ şi nivelul rezistenţei la obosealǎ dacǎ nu existǎ concentrǎri de tensiuni. Tendinţa de rupere fragilǎ a oţelurilor de înaltǎ rezistenţǎ restricţioneazǎ folosirea acestora în fabricaţia pieselor supuse la solicitǎri variabile. Ductilitatea mǎritǎ a unui material asigurǎ şi o rezistenţǎ mǎritǎ a acestuia la solicitǎri fluctuante.

Comportarea la obosealǎ este puternic influenţatǎ şi de modul de obţinere a semifabricatelor. Cele mai avantajoase sunt procedeele care conduc la fibraj continuu (laminare, forjare liberǎ, forjare în matriţǎ).

Testele pe epruvete cu dimensiuni standardizate, cu suprafeţe perfect lustruite, în absenţa concentrǎrii tensiunilor şi în lipsa unor factori agresivi (temperaturǎ, coroziune, tensiuni reziduale etc.) furnizeazǎ date despre comportamentul materialului la solicitǎri ciclice.

Utilizarea acestor rezultate la evaluarea duratei de viaţǎ a unei structuri din acelaşi material presupune introducerea unor corecţii care sǎ ţinǎ seamǎ de faptul cǎ faţǎ de epruvetǎ, structura are altǎ configuraţie, alte dimensiuni, altǎ calitate a suprafeţei, alte condiţii de solicitare şi de mediu.

În concluzie performanţele la obosealǎ ale unei structuri depind de:- proprietǎţile materialului la solicitǎri ciclice,- particularitǎţile constructive ale componentelor structurii (existenţa şi

severitatea concentratorilor de tensiune, dimensiunile componentelor),- factorii de solicitare (valoarea tensiunii medii, nivelul tensiunilor remanente,

riscul unor suprasolicitǎri accidentale de scurtǎ duratǎ),- condiţiile de exploatare (agresivitatea mediului de lucru, regimul termic,

frecvenţa ciclurilor de solicitare),- tehnologia de fabricaţie, montaj şi întreţinere a structurii (tehnologia

semifabricatelor, calitatea suprafeţei, tratamente mecanice, termice şi temochimice, acoperiri anticorozive, montaj prin fretare sau cu pretensionǎri care se verificǎ periodic).

Proiectarea la obosealǎ este un proces iterativ care presupune cǎ dupǎ fiecare modificare propusǎ se evalueazǎ efectul acesteia şi se comparǎ cu cel scontat.

3.5. Influenţa factorilor de solicitare asupra rezistenţei la obosealǎ

Efectul tensiunii medii

Cele mai multe dintre rezultatele experimentale disponibile în literaturǎ au fost obţinute prin teste la solicitǎri ciclice alternant simetrice pe epruvete netede (cu suprafaţǎ lustruitǎ şi cu o concentrare nesemnificativǎ a tensiunilor). În absenţa efectului de concentrare se discutǎ despre variaţia tensiunilor nominale S. Mărimile caracteristice ale unei solicitări ciclice staţionare cu amplitudine constantă (fig. 3.7) sunt următoarele:

- amplitudinea tensiunii

, (3.11)

- tensiunea medie

, (3.12)

- coeficientul de asimetrie a ciclului

. (3.13)

- caracteristica ciclului

. (3.14)

Din (3.11) şi (3.12) rezultă . (3.15)

Fig. 3.7. Caracteristicile unei solicitări ciclice

În general, o solicitare ciclicǎ se poate considera ca fiind rezultatul suprapunerii unei încǎrcǎri alternant simetrice (cu variaţie sinusoidalǎ a tensiunilor între limitele şi

) peste o solicitare staticǎ definitǎ prin tensiunea constantǎ .Efectul tensiunii medii asupra comportǎrii materialului epruvetei se poate

evidenţia trasând curbe de tip Wöhler în coordonate Sa – Nf , pentru diferite valori ale tensiunii medii Sm luatǎ ca parametru. A rezultat cǎ tensiunile medii pozitive reduc durata de viaţa a epruvetelor, iar tensiunile medii negative o mǎresc.

Pentru proiectare sunt utile testele efectuate la diferite tensiuni medii şi pentru diferiţi coeficienţi de asimetrie. Rezultatele se prezintǎ sub forma unor familii de curbe de durabilitate constantǎ trasate în coordonate Sa – Sm sau Smin – Smax . Cele douǎ tipuri de diagramǎ sunt identice şi dacǎ se rotesc relativ cu 45o se obţine reprezentarea din figura 3.8. Diagrame de acest tip se utilizează pentru evaluarea prin interpolare a duratelor de viaţă, pornind de la caracteristicile ciclului de solicitare Sa – Sm sau Smin – Smax . În aceste diagrame condiţia R=const. este îndeplinită pentru puncte situate pe drepte ce trec prin originea sistemului de coordonate. O asemenea dreaptă este interpretată ca loc geometric al ciclurilor asemenea (cu aceeaşi caracteristică k), dar asociate cu durate de viaţă diferite.

Fig. 3.8. Diagrame de rezistenţă la oboseală obţinute prin teste de tracţiune-compresiune pe epruvete lustruite din oţeluri aliate cu Rm = 860 ÷ 1250 MPa

Diagrama de tip Haigh, în coordonate Sa - Sm (fig. 3.9) este o reprezentare uzuală pentru epruvetele fără concentrator. Se obţine comparând două cicluri ce conduc la aceeaşi durată de viaţă, unul cu coeficient de asimetrie R, şi celălalt alternant simetric (R=-1). Amplitudinile tensiunilor pentru cele două cicluri au fost notate cu Sa şi Sas , iar tensiunea medie a ciclului nesimetric cu Sm . Dacă la ciclul alternant simetric durabilitatea este egală cu cea de bază (pentru oţeluri, 106 cicluri) atunci Sas = S-1 este rezistenţa la oboseală a materialului.Indiferent care este forma funcţiei Sa/Sas = f(Sm) , graficul acesteia trece prin două puncte având următoarele coordonate:A (Sm = 0 ; Sa/Sas=1 ), corespunzând ciclului alternant simetric;B (Sm = Rm ; Sa/Sas=0 ), corespunzând ruperii statice.

Diagrama Haigh se poate aproxima printr-un segment de dreaptă (după Goodman) sau printr-un arc de parabolă (după Gerber).

Fig. 3.9. Diagramă de tip Haigh

De regulă, în calculul la durabilitate mare, se utilizează schematizări în coordonate Sa-Sm , constând din arce de curbă ce unesc limita de oboseală în ciclu alternant simetric S-1 (pe ordonată) cu limita de curgere Rp 0,2 , rezistenţa la rupere Rm

sau tensiunea reală la rupere f (pe abscisă).Astfel, pentru aproximările Goodman şi Gerber vor fi utilizate ecuaţiile:

, (3.16)

, (3.17)

Deşi insuficiente, datele experimentale tind să definească o curbă situată între segmentul de dreaptă Goodman şi arcul de parabolă al lui Gerber, care unesc punctele de coordonate (0, S-1) şi (Rm ,0). Evaluările pe baza schematizării liniare sunt foarte acoperitoare, dar nerealiste, durabilităţile prezise fiind mult mai mici decât cele efective.

Exemplu de calcul

O piesă este solicitată ciclic cu tensiuni variind între Smax =750 MPa şi Smin =70 MPa. Materialul este un oţel cu rezistenţa la rupere Rm =1050 MPa şi limita de oboseală (la 106 cicluri) de S-1 =400 MPa. Rezistenţa la oboseală pentru 103 cicluri este S3 =740 MPa.

Să se evalueze durata de viaţă luând în considerare efectul tensiunii medii pe baza curbelor Goodman şi Gerber.

Se calculează

=0,5 (750-70) = 340 MPa,

=0,5 (750+70) = 410 MPa.

În figura 3.10 sunt reprezentate diagramele Haigh pentru durabilităţile de 103 şi 106 cicluri. Ciclul de solicitare cu Sa =340 MPa şi Sm =410 MPa este reprezentat de un punct, care defineşte împreună cu punctul de pe abscisă (Rm,0) diagrama corespunzătoare durabilităţii N căutate. Rezistenţa la oboseală în ciclu alternant simetric asociată acestei durablităţi, notată cu SN se deduce dintr-o relaţia de forma (3.16)

sau

din care a rezultat SN = 558 MPa.

Fig. 3.10. Aproximǎri ale curbelor de durabilitate constantǎ

Panta Basquin a curbei Wöhler a materialului este

-0,089

iar durata de viaţa se stabileşte prin interpolare pe curba de durabilitate

23792 cicluri

Dacă se utilizează ecuaţia lui Gerber rezultă

SN = 401 MPa

972350 cicluri .

De remarcat diferenţa mare între rezultate.

Dacă limita de oboseală măsurată în laborator pe epruvete este notată cu , atunci limita de oboseală a unei piese reale trebuie să reflecte infuenţa tuturor parametrilor ce intervin prin trecere de la epruvetă la piesă:

- Concentrarea tensiunilor,- Dimensiunile,- Tipul solicitării,- Calitatea suprafeţei,- Tratamentele mecanice şi termo-chimice.Pentru oţeluri, experienţa de proiectare a impus o serie de relaţii empirice în care

se introduc coeficienţi de corecţie ce ţin seamă de modificări ale parametrilor menţionaţi atunci când se trece de la epruvetă la piesă din acelaşi material:

. (3.18)

Pe această bază s-a stabilit o metodologie laborioasă de generare a curbei de durabilitate a piesei pornind de la cea determinată prin teste pe epruvete. Din cauza informaţiilor incomplete referitoare la evaluarea coeficienţilor de corecţie această metodă nu se aplică în proiectare şi nu va fi prezentată aici.

3.7. Coeficientul de siguranţă la durabilitate nelimitată

După STAS 6488-92, tensiunile normale vor fi notate cu iar cele tangentiale cu . Ca urmare, rezistenţa la oboseală determinată prin încercări pe epruvete solicitate alternant simetric se va nota cu -1 (deşi mai sus s-a folosit notaţia S-1).

Calculul clasic la oboseală ciclică nu are ca obiectiv predicţia unei durablităţi ci determinarea unui coeficient de siguranţă la oboseală care trebuie să fie supraunitar (de regulă peste 1,5). Pornind de la caracteristicile ciclului de exploatare , se defineşte un ciclu limită având acelaşi coeficient de asimetrie R= / , la care durabilitatea atinge valoarea de referinţă de 106 cicluri.

Coeficientul de siguranţă la oboseală se defineşte ca raport între tensiunea maximă a ciclului limită ( ) şi tensiunea maximă a ciclului de exploatare:

. (3.19)

S-a ţinut seamă de relaţia (3.15) rescrisă sub forma .

Factori constructivi şi tehnologici ce influenţează rezistenţa la oboseală

A fost posibilă o evaluare cantitativă, empirică, doar a influenţei câtorva factori: concentratorii de tensiuni, dimensiunile nominale ale pieselor, rugozitarea suprafeţei piesei.

Efectul de concentrare a tensiunilor se manifestǎ în zonele unde rigiditatea localǎ a structurii se modificǎ brusc. De exemplu, pe axe de maşini pot sǎ aparǎ concentratori cu diferite geometrii: orificii transversale, umeri de sprijin cu racordǎri, degajǎri inelare, canale de panǎ, discuri fretate etc.

La solicitǎri statice se defineşte coeficientul teoretic (geometric) de concentrare

, (3.20)

unde este tensiunea nominalǎ din zona de concentrare.Verificǎri experimentale au arǎtat cǎ la solicitǎri variabile, efectul este mai puţin

pronunţat şi se cuantificǎ prin valoarea coeficientului efectiv de concentrare Kf (Kf < Kt ).Ca definiţie, Kf (notat şi cu K sau K ) este raportul dintre limitele de obosealǎ la

solicitare alternant simetricǎ, determinate pe douǎ epruvete din acelaşi material şi cu aceeaşi secţiune netǎ, prima fǎrǎ concentrator iar a doua, cu concentrator. Astfel, la încovoiere şi la întindere-compresiune coeficientul efectiv are o valoare K iar la rǎsucire, o valoare K

, (3.21)

Rezultatele experimentale au fost puse la dispoziţia proiectanţilor sub forma unor diagrame de tipul celei din figura 3.11, pentru diferite valori ale rapoartului D/d.

Fig. 3.11.

În literaturǎ sunt disponibile diagrame şi formule pentru evaluarea coeficientului teoretic de concentrare. Din acest motiv sunt recomandate formule empirice care dau pe Kf în funcţie de Kt , de exemplu

, (3.22)

în care r este raza de curburǎ a concentratorului iar parametrul a se ia egal cu: 0,5 mm, pentru aliaj de aluminiu, 0,25 mm, pentru oţel recopt sau normalizat, 0,06 mm, pentru oţel cǎlit şi revenit.

Influenţa dimensiunilor piesei asupra durabilitǎţii la solicitǎri variabile este luatǎ în considerare printr-un factor dimensional stabilit pentru piese cu diametre d mai mari decât diametrul d0 al epruvetei pe care s-a determinat rezistenţa la obosealǎ a materialului:

. (3.23)

Curbele din figura 3.12 se utilizeazǎ astfel:a) piesǎ din oţel carbon fǎrǎ concentrator de tensiune,b) piesǎ din oţel aliat fǎrǎ concentrator sau din oţel carbon cu concentrator moderat

(1< Kf <2),c) piesǎ din oţel aliat cu concentrator moderat (1< Kf <2),d) piesǎ din oţel aliat cu concentrator puternic (Kf > 2).

Fig. 3.12 Fig. 3.13

Starea suprafeţei piesei influenţeazǎ sensibil asupra durabilitǎţii la solicitare variabilǎ.S-a definit un coeficient de calitate a suprafeţei, , ca raport între limitele de obosealǎ pentru epruvete identice ca material şi geometrie dar având rugozitǎţi diferite (pr – prelucrare oarecare, sf – suprafaţǎ superfinisatǎ):

. (3.24)

Curbele din figura 3.13 corespund urmǎtoarelor situaţii1) suprafaţa lustruitǎ, 2) suprafaţa rectificatǎ,3) suprafaţa strunjitǎ sau frezatǎ,4) suprafaţa din laminare.

Influenţe importante dar dificil de evaluat au şi urmǎtorii factori: tratamentele superficiale mecanice şi termochimice, nivelul şi semnul tensiunilor reziduale, temperatura de lucru, agresivitatea mediului (umiditate, agenţi corozivi), frecvenţa solicitǎrii.

Limita de obosealǎ a piesei se coreleazǎ cu cea determinatǎ pe epruvetǎ prin relaţia

. (3.25)

Pornind de la (3.19), pe baza schematizǎrii Goodman, Soderberg a stabilit o formulǎ pentru calculul coeficientului de siguranţǎ la solicitare variabilǎ, cunoscutǎ de la cursul de Rezistenţa materialelor

. (3.26)

Această relaţie se poate aplica pentru evaluarea coeficienţilor de siguranţă parţiali şi în cazul arborilor de transmisie cu solicitatea variablilă la încovoiere şi la torsiune (variaţii ciclice între Mi,max şi Mi,min , respectiv între Mt,max şi Mt,min).

In ipoteza că aceste cicluri sunt în fază, adică se ating simultan valorile extreme pentru Mi şi Mt, s-a stabilit relaţia Gough-Pollard pentru evaluarea coeficientului de siguranţă la solicitarea compusă variabilă

. (3.27)

Este evident că este mai mic decât oricare dintre coeficienţii de siguranţă parţiali şi , dar trebuie să aibă o valoare cel puţin egală cu cea impusă.