229435169 Spatii Afine Cautat

8/18/2019 229435169 Spatii Afine Cautat

1/24

Capitolul 3

SPAŢII AFINE

Spaţiile în care vor fi studiate majoritatea noţiunilor de geometriedin acest volum sunt spaţii în care noţiunile de punct şi vector suntindispensabile. Noţiunea de spaţiu afin permite folosirea celor două noţiuniîntr-un cadru bine definit.

§1. Definiţie şi exemple

În cele ce urmeaă vom considera o mulţime nevidăA ! " A, B, C, ..., P, Q, R, ...# şi vom conveni ca elementele sale să senumească puncte iar un element $ A, B% ∈ A × A să se numească bipunct allui A. &unctul A se va numi originea bipunctului' iar punctul B se va numie(tremitatea bipunctului $ A, B%. )ipunctele $ A, B% şi $ B, A% se vor numi bipuncte simetrice.

1.1 Definiţie. Numim spaţiu afin , tripletul $A , V , ϕ % în care A este omulţime nevidă de puncte, V un K -spaţiu vectorial şi uncţia ϕ ! A×A → A , " v B A ∈=%'$ϕ , care satisacecondiţiile!A* #∀ A, B, C ∈ A , ϕ $A, B# % ϕ $B, C# & ϕ $A, C#

A+%∀ ∈∀∈ A" v , A e'istă un punct B ∈ A , unic

determinat de relaţia v B A =%'$ϕ .

,ulţimea A se numeşte mulţime suport a spaţiului afin şielementele sale vor fi numite punctele spaţiului afin. Spaţiul vectorial V senumeşte spaţiul vectorial director al spaţiului afin' iar elementele sale vor finumite vectorii sapţiului afin. plicaţia ϕ este numită uncţia de structurăaină.

lementele unui spaţiu afin sunt puncte şi vectori.Spaţiul afin $A , V , ϕ % se ice real sau comple( după cum spaţiul

vectorial V este real sau comple(.

/0


2/24

1acă în a(ioma *% considerăm A & B & C ' atunci ϕ $ A, A% ! 2' ∀ A ∈ A. 1eci oricărui bipunct $ A, A% îi corespunde prin funcţia destructură vectorul nul " ∈2 .

ectorii corespunători unei perec4i de bipuncte simetrice sunt

vectori opuşi. În adevăr' dacă luăm C & B' în a(ioma *% ' avemϕ $ A, B% ! - ϕ $ B, A%.

1.2 Consecinţă. (uncţia ϕ este sur)ectivă şi în plus, pentru iecare punct * ∈ A i'at , ϕ * ! A → V , ϕ * $ A% & ϕ $*, A% ,∀ A ∈ A , este bi)ectivă.

1emonstraţia este imediată ţin5nd cont de a(iomele *% şi +%.Într-un spaţiu afin $A , ", ϕ % funcţia ϕ determină o relaţie deec4ivalenţă pe mulţimea bipunctelor lui A' pe care o vom numi relaţia deec+ipolenţă.

om spune ca bipunctul $ A, B% este ec4ipolent cu bipunctul $C, %dacă acestea au aceeaşi imagine prin ϕ .

$ A, B% 6 $C, % ⇔ ϕ $ A, B% ! ϕ $C, % $*.*%

Se verifică uşor că relaţia 768 este refle(ivă' simetrică şi tranitivă'adică este o relaţie de ec4ivalenţă pe A × A.

Spaţiul factor A × A/~ este în corespondenţă bijectivă cu spaţiulvectorial V . 9iecărui vector " v ∈ îi corepunde o singură clasă deec4ivalenţă de bipuncte ec4ipolente' anume

-*$ v % ! " $')%∈A × A | $')% ! v # $*.+%

C5nd identificăm spaţiul factor A × A/~ cu spaţiul vectorial V prinaceastă bijecţie' clasa bipunctului $ A, B% notată cu AB ' poartă numele devector liber al spaţiului afin.

În aceste condiţii a(iomele *% şi +% pot fi scrise în felul următor:

∀ A,B,C ∈ A ' C AC B B A =+ $*.3%

∀ ∈∀∈ A" v , A ,∃ B∈ A, unic aşa înc5t v AB =

9ie * ∈ A un punct fi(at şi A ; ! "*# × A ! "$*, A% < A ∈ A #mulţimea bipunctelor de origine *.

/=


3/24

>in5nd cont de Consecinţa *.+ şi că relaţia A ∈ A $*,A%∈A ;este o corespondenţă bijectivă' reultă că A ; se poate identifica at5t cu Ac5t şi cu spaţiul vectorial director V .

C5nd se identifică A ; cu spaţiul vectorial V se induce pe A ;

structura vectorială din V . ectorii acestui spaţiu se numesc vectori leaţi aispaţiului afin sau vectori tanenţi în * la A şi vor fi notaţi prin*A .

C5nd se identifică A cu spaţiul vectorial A ;' prin bijecţia ∈ A → $*, A% ∈ A o' înseamnă că s-a considerat A ca spaţiu vectorial'av5nd punctul * ca origine.

ectorul *A A**A =∈ %'$ϕ se va numi vector de po/iţie.&ractic în orice punct * ∈ A al unui spaţiu afin $A, " , ϕ % se poate

construi un spaţiu vectorial A ;' care se identifică cu A ;.

În urma acestor identificări' se justifică noţiunea de dimensiune aunui spaţiu afin ca fiind dimensiunea spaţiului vectorial director V .1acă dimV ! n' atunci spaţiul afin de dimensiune n se va nota cu $A

n' V n% sau simplu A n.

Obse!"ţii1; ?n alt mod de a defini un spaţiu afin porneşte de la definirea unei

relaţii de ec4ivalenţă pe mulţimea bipunctelor unei mulţimi nevide A şi apoise cere ca spaţiul c5t să satisfacă anumitor a(iome @ A.

2; 1acă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial euclidian atuncispaţiul afin $A' V ' ϕ % este numit spaţiu punctual euclidian. 1acă dimV ! n'vom nota atunci prin E n spaţiul punctual euclidian corespunător. Structuraeuclidiană a spaţiului vectorial director V va permite studiul proprietăţilormetrice ale unor submulţimi din spaţiul punctual euclidian E n.

#; (istă spaţii afine care nu sunt spaţii vectoriale. 1ar' orice spaţiuvectorial este un spaţiu afin' întruc5t funcţia ϕ ! V × V → V '

vuvu −=%'$ϕ ' verifică a(iomele *% şi +%. Spaţiul afin astfel definit $V '

V ' ϕ % se numeşte spaţiul afin canonic asociat spaţiului vectorial V .

Exemple1; Spaţiul afin standard Să considerăm spaţiul aritmetic K n. cest spaţiu poate fi organiat ca

un spaţiu vectorial $e(.+' B*' Cap.+% căruia îi putem asocia spaţiul afincanonic $ K n' K n' ϕ % unde funcţia de structură afină ϕ este definită derelaţia ϕ $ A, B% ! $b* - a*' b+ - a+' ...' bn - an% ' pentru A ! $a*' a+' ...' an%şi B ! $b*' b+' ...' bn% . cest spaţiu afin este numit spaţiul ain standard

şi va fi notat tot cu K n.În ca particular pentru K ! R ' avem spaţiul afin standard

/


4/24

$ Rn' Rn' ϕ %' în care spaţiul vectorial director Rn este un spaţiu euclidian$e(.*' B/' Cap.+%' deci spaţiul afin $ Rn' Rn' ϕ % devine un spaţiu punctualeuclidian.

2; Spaţiul afin geometric al vectorilor liberi

Considerăm ca mulţime suport spaţiul punctual al geometrieielementare 0 3 ' spaţiul vectorial al vectorilor liberi V3 $e(.=' B+' Cap.+%'ca spaţiu vectorial director şi funcţia ϕ : 0 3 × 0 3 → V3' ϕ $')% ! AB ∈V3' care asociaă bipunctului $ A, B% clasa de ec4ivalenţă a acestuia' cafuncţie de structură afină.

Dbţinem în acest fel spaţiul ain eometric al vectorilor liberi A3 ! $ 0 3' V3' ϕ %. cest spaţiu a constituit modelul spaţiilor afine.om studia în detaliu acest spaţiu în capitolul următor.

#; Varietăţile liniare ale unui spaţiu vectorial V sunt spaţii afine.D varietate liniară a unui spaţiu vectorial V repreintă o submulţime 1 de forma EV += a 1 ' unde V ′ este o subspaţiu vectorial al lui V .

1acă vom considera funcţiaϕ ′ : 1 × 1 → V ' v22ava −=++ %'$Eϕ '

atunci a(iomele *% şi +% sunt verificate şi deci tripletul $ 1' V ' ϕ % esteun spaţiu afin.

În ca particular' orice subspaţiu vectorial este un spaţiu afin.

§2. Combin"ţii "fine. $epee %n sp"ţii "fine

9ie spaţiul afin $A' V & ϕ %' un sistem de puncte " A2 , A* , ..., A p# ⊂ A şiscalarii α 3' α 4' ...' α p ∈ K .

2.1 Definiţie. Numim combinaţie afină a punctelor " A2 ,A* ,...,A p#⊂A , punctul P ∈ A dat de

P ! α 2 A2 % α * A* % ...% α p A p cu α 2 F α * F ...F α p ! *$+.*%

Gelaţia $+.*% poate fi înţeleasă ca o relaţie vectorială între vectorii de poiţie ai punctelor P ' A2 , A* , ..., A p' folosind ca punct origine un punctoarecare * ∈ A' adică

p p*A*A*A*P α α α +++= ...**22 $+.*%′

Combinaţia afină $+.*% poate fi scrisă şi sub forma

/H


5/24

∑∑==

+

−=

p

i

ii

p

i

i A A P *

2

*

* α α ' α i ∈ K ' pi '*= $+.+%

Scalarii α 2' α *' ...' α p cu proprietatea α 2 F α * F ... F α p ! * senumesc coeicienţii combinaţiei afine sau ponderi.

2.2 Definiţie. 5n sistem init de puncte din A se numeşte afindependent dacă e'istă un punct în sistem care să see'prime ca o combinaţie aină a celorlalte puncte din sistem. 6n ca/ contrar vom spune că sistemul este afinindependent .

2.# Popo'iţie. 7istemul de puncte este ain dependent $independent#dacă şi numai dacă sistemul de vectori

#" 2+2*2 p A A , ..., A A , A A este liniar dependent$independent#.

Demons("ţie. 1acă sistemul de puncte " A2 , A* , ..., A p# este afin dependentatunci un punct poate fi e(primat ca o combinaţie afină a celorlalte. Să presupunem că A2 este o combinaţie afină a sistemului " A2 , A* , ..., A p#

A2 ! α * A*% ...% α p A p ' cu α * F α + F... F α p ! *$+.3%

Consider5nd pe A2 ca origine relaţia $3% poate fi scrisă sub formavectorială

p p A A A A A A 2+2+*2* ...2 α α α +++= $+./%1eoarece cel puţin unul din coeficienţii combinaţiei este nenul

reultă că vectorii p A A A A A A 2+2*2 '...'' sunt liniar dependenţi.

Geciproc. Să presupunem că sistemul de vectori#'...''"

2+2*2 p A A A A A A este liniar dependent' adică e(istă scalarii

α *' α +' ...' α p ∈ K nu toţi nuli aşa înc5t are loc egalitatea

2... 2+2+*2* =+++ p p A A A A A A α α α $+.0%

Să considerăm caul α * F α + F ...F α p ! α ' α ≠ 2. 1emonstrămcă ecuaţia $+.0% în A2 are soluţie unică.

În adevăr' aleg5nd * ∈ A ca origine' ecuaţia $0% poate fi scrisă subforma :

/I


6/24

2%$...%$%$ 2+2+*2* =++++++ p p *A* A*A* A*A* A α α α

de unde reultă

p p*A*A*A*A α α α α +++= ...++**2* sau

p p *A*A*A*Aα

α

α

α

α

α

+++= ...++**2

adică A2 este unic determinat şi în plus' *...+* =+++α

α

α

α

α

α p . 1eci A2 este

o combinaţie afină a celorlalte puncte.1acă α * F α + F ...F α p ! 2' cum cel puţin un scalar este nenul' de

e(emplu α p' din $0% obţinem

*2

*

+2+

*2*

2 ... −−

−−−−= p

p

p

p p

p A A A A A A A A

α

α

α

α

α

α

Consider5nd α 2 ! 2 obţinem

*

*

++

**

22 ... −−

−−−−= p p

p

p p

p A A A A Aα

α

α

α

α

α α

unde *...*+*

2 =−−−− −

p

p

p p α

α

α

α

α

α α ' adică sistemul de puncte " A2 , A* , ..., A p#

este afin dependent.9ie An un spaţiu afin n-dimensional.

2.) Definiţie. 5n sistem de puncte R & " A2' A*'...' An# se numeşte reperafin în spaţiul ain An dacă sunt îndeplinite condiţiile!*% R este un sistem de puncte ain independent +% *rice punct P ∈ An poate i e'primat ca o combinaţieaină a punctelor din R .

1acă R este un reper afin' atunci pentru ∀ P ∈ A avem

nn A A A P α α α +++= ...**22 ' ∀ P ∈ An $+.=%în care *...+*2 =++++ nα α α α $+.%

Sistemul de puncte " A2' A*' ...' An# afin independent' ce formeaă unreper afin' determină în mod unic sistemul de vectori liniar independenţi

n A A A A A A 2+2*2 '...'' ce repreintă o baă a spaţiului vectorial directorV n al spaţiului afin An.

1acă considerăm punctul A2 ! * ca punct origine al spaţiului afin Anşi not5nd baa spaţiului vectorial director cu

nn A Ae A Ae A Ae 2+2+*2* '...'' === putem defini într-un spaţiu afin Annoţiunea de reper carteian.

02


7/24

2.* Definiţie. 7e numeşte reper cartezian într-un spaţiu ain An , o perec+e R & "*8 B#' în care * este un punct i'at în An , iar B & " neee '...'' +* # este o ba/ă a spaţiuluivectorial director.

9ie B & " neee '...'' +* # o baă a spaţiului vectorial director V n.tunci' pentru fiecare punct P ∈ An' vectorul de poiţie *P poate fi scrisîn mod unic sub forma:

nne 'e 'e '*P +++= ...++** $+.H%

Scalarii '*' '+'...' 'n vor fi numiţi coordonatele carte/iene ale

punctului P în raport cu reperul R & "*8 B#' iar bijecţiannn

,...,' ,' ' P K %$ +* ∈∈

A va fi numită uncţie de coordonatecorespunătoare reperului R & "*8 B#.

9ie R & "*; B#' un reper carteian în An. ?n alt reperR′ & "*′ 8 B′ #' din An va fi determinat în mod unic dacă cunoaştemvectorul de poiţie al punctului *′ faţă de reperul iniţial R şi relaţiadintre B ′ & " neee E'...'E'E +* # şi baa iniţială B & " neee '...'' +* #' adică

n )a

eae

ea**

i)n

n

ii)i

i

n

i

i

'* '2%det$ '

E

E

*

*

2

=≠

=

=

∑

∑

=

=

$+.I%

1acă P ∈ An este un punct oarecare şi $ 'i%' $ '9 )%' i,) & n'* sunt

coordonatele sale în reperul R respectiv R′ ' atunci din relaţia P ****P E E += obţinem formulelen )iaa 'a ' i)i )i)i '*' '2%det$ 'E 2 =≠+= $+.*2%

numite ecuaţiile transormării de coordonate obţinute la sc4imbareareperului R cu R′ .

1acă notăm cu J ! t @ '*' '+' ...' 'nA' J′ ! t @ '′ *' '′ +' ...' '′ nA' A2 !$ai2%' A ! $ai)% putem scrie ecuaţiile sc4imbării de coordonate sub formămatriceală

0*


8/24

2

2Esau

*

E

*2* A A: :

: A A : +=

=

$+.**%

,atricea *22

A A

de ordinul n F * este numită matricea de trecere

de la reperul R la reperul R′ .În particular dacă B′ & B atunci A & ; iar ecuaţiile $+.**% se scriu

sub forma:

nia ' ' A : : ii '* 'EsauE 2*2 =+=+= $+.**%′

Sc4imbarea reperuluiR

& "*8B

# cuR′ & "*98

B# guvernată deecuaţiile transformării de coordonate $**%′ se numeşte translaţie.

1acă *′ & *' sc4imbarea reperului R & "*8 B # cu reperulR′ & "*8 B′ #' adică ai2 ! 2' ni '*= se numeşte centro-ainitate şi estecaracteriată de ecuaţiile

ni 'a ' A: : i)i '* 'EsauE * === $+.**%′′

$em"că: Drice reper afin poate fi înlocuit cu un reper carteian şi reciproc.

§#. S+bsp"ţii "fine

9ie $ A , ", ϕ % un spaţiu afin' A ′ o submulţime nevidă a lui A şi ϕ ′restricţia lui ϕ la A ′ × A ′ . 1acă V ′ ! ϕ $A ′ × A ′ % este un subspaţiuvectorial al lui V atunci sunt satisfăcute a(iomele *% şi +% pentru tripletul

$ A ′ , " ′ , ϕ ′ %.#.1 Definiţie. 7e numeşte subspaţiu afin al spaţiului ain $ A , ", ϕ %un triplet $ A ′ , " ′ , ϕ ′ %' unde A ′ ⊂ A este o submulţime nevidă, V ′ ! ϕ $A ′ × A ′ % este un subspaţiu vectorial al lui V , iar ϕ ′ este restricţia luiϕ la A ′ × A ′ .

?n subspaţiu afin al unui spaţiu afin $ A , ", ϕ % este determinat fiede submulţimea A ′ ⊂ A pentru care ϕ $A ′ × A ′ % ! V ⊂ V este

subspaţiu vectorial' fie de un punct P 2 ∈ A şi un subspaţiu vectorialV ⊂ V ' ca în care mulţimea suport este dată de = A? = V ∈∈= 2AA .

0+


9/24

#.2 Popo'iţie. * submulţime nevidă A ′ ⊂ A este un subspaţiu aindacă şi numai dacă combinaţia aină a oricăror două puncte din A ′ aparţine lui A ′ adică

∀ A, B ∈ A ′ ⇒ $* - λ % A F λ B ∈ A ′ ' ∀ λ ∈ K $3.*%

Demons("ţie, 1acă A ′ este un subspaţiu afin atunci subspaţiul vectorialdirector V este dat de A P ? = A∈= 2V .

Consider5nd A P 2 ' E2 V ∈ B P atunci

E%*$ 222 V ∈=+− C P B P A P λ λ deci C ! $* - λ % A F λ B ∈ A ′ .

Geciproc. 9ie P 2 ∈ A un punct fi(at. 1emonstrăm că mulţimea= A P ? V =∈A

2 este un subspaţiu vectorial. 1acă notăm cu A P B λ λ +−= 2%*$ atunci ) ∈ A şi deci E22 V ∈= A P B P λ . Să arătăm

acum că şi suma E22 V ∈+ B P A P . &entru+

*=λ combinaţia afină $3.*% va

determina punctul = B Ac A∈+=+

*

+

*K adică E2 V ∈C P . Întruc5t

( ) E+

*222 V ∈+= B P A P C P ' conform primei părţi a demonstraţiei avem şi

= C P A∈2

+ ' deci E22 V ∈+ B P A P . c.c.t.d.&ropoiţia $3.+% este valabilă pentru orice combinaţie afină a unui

număr finit de puncte din A ′ .Se poate demonstra fără dificultate că mulţimea combinaţiilor afine

finite ce pot fi formate cu punctele sistemului 7 ′ ! " A2' Ai#' i ∈ ; este unsubspaţiu afin' pe care-l vom nota cu L 7 ′ M sau 1$7 ′ % numit subspaţiulain enerat de sistemul 7 ′ .

Spaţiul vectorial director al subspaţiului afin 1$7 ′ % este subspaţiulvectorial generat de sistemul de vectori ; i A A i ∈ #'" 2 ' adică V ′ ! L"

i A A2 #M.

1e remarcat faptul că dacă 7 ′ ! " A2' A*' A+' ...' A p# este un sistemfinit de puncte afin independente din A ' atunci 7 ′ repreintă un reper afin pentru subspaţiul generat 1$7 %' iar # A A ,..., A A , A A8 A$ p2+2*22=R este unreper carteian. În acest ca dim1$7 % ! p.

În mulţimea subspaţiilor afine ale unui spaţiu afin A pot fi definite

operaţiile de intersecţie şi uniune de subspaţii.

03


10/24

&rin intersecţia subspaţiilor afine A ′ şi A ′ ′ se înţelegesubmulţimea A ′ ∩ A ′ ′ . 1acă A ′ ∩ A ′ ′ ≠ ∅ atunci spaţiul vectorialdirector al subspaţiului A ′ ∩ A ′ ′ este V ∩ V ' unde V şi V suntsubspaţiile directoare ale lui A ′ şi respectiv A ′ ′ .

&rin uniunea subspaţiilor afine A ′ şi A ′ ′ se înţelege subspaţiul afingenerat de A ′ ′ şi se noteaă cu A ′ ∨ A ′ ′ . 1acă A ′ şi A ′ ′ sunt douăsubspaţii afine' iar V şi V spaţiile lor directoare' atunci spaţiul vectorialdirector al uniunii este dat de

a% V F V ' dacă A ′ ∩ A ′ ′ ≠ ∅ b% V F V F U dacă A ′ ∩ A ′ ′ ! ∅' unde U este spaţiulvectorial

al subspaţiului afin generat de două puncte A′ 2 ∈ A ′ şi A′ 2 ∈ A ′ ′ .

#.# Definiţie. 7ubspaţiul enerat de două puncte ain independentedin A , 7 ! " A2' A*# , se numeşte dreaptă afină , pe scurtdreaptă, dat de

A * ! " P ∈ A


11/24

?n reper carteian în subspaţiul A * este definit de un punct fi( * şiun vector nenul e ∈ " *' adică R "*' *e #.

Într-un reper carteian R ! "*' *e # al spaţiului afin A *' pentruorice punct P ∈ A * vectorul de poiţie *P se e(primă în mod unic subforma

e '*P = $3./%

iar coordonata ' ∈ K este numită abscisa punctului P .

#.) Definiţie. 7punem că un punct P ∈ A * împarte sementul orientat AB , A ≠ B, în raportul @ ∈ K , dacă PB@ AP = .7punem că numărul @ ∈ K este raportul simplu al

punctelor A, B, P ∈ A *.

#.* Popo'iţie. Punctul P ∈ A * împarte sementul AB , A ≠ B, înraportul @ ∈ K , dacă şi numai dacă pentru un punct i'* ∈ A * , avem

@

*B@ *A*P

+

+=

*' @ ≠ -* $3./%

Înlocuind *A*P AP −= ' *P *B PB −= în relaţia PB@ AP = seobţine $3./% şi reciproc.

În ca particular pentru @ ! * se obţine mijlocul segmentuluiorientat AB .

om numi figură a dreptei afine A * orice submulţime de puncte dinA *.

Înţelegem prin geometria afină a dreptei A * mulţimea noţiunilor'figurilor şi proprietăţilor lor baate pe a(iomele ce definesc un spaţiu afin.

#.- Definiţie. 7ubspaţiul enerat de trei puncte 7 ! " A2' A*' A+# ∈ Aaine independente se numeşte plan afin , pe scurt plan,dat de

P ? K ∈µλµ+λ+µ−λ−=∈= *+*2

AA $3.0%

Spaţiul vectorial director este planul vectorial

V + ! " P A2 ∈ " < P A2 ! λ *2 A A F µ +2 A A ' λ ' µ ∈ K #$3.=%

00


12/24

ectorii spaţiului V + se numesc vectori coplanari.În spaţiul A + trei puncte afin independente determină doi vectori

liniar independenţi şi orice trei vectori din " + sunt coplanari' ceea ceînseamnă că dim A + ! +.

?n reper carteian în subspaţiul afin A + este definit de un punct fi(* ∈ A + şi vectorii *e ' +e ∈ " +' adică R ! "*' *e ' +e #.

Într-un reper carteian R' pentru orice punct P ∈ A + vectorul de poiţie *P se e(primă în mod unic sub forma

*P ! ' *e F +e $3.%

iar coordonatele '' ∈ K sunt numite abscisa şi respectiv ordonata punctului P .

Subspaţiile proprii ale planului afin A + sunt dreptele afine.1ouă drepte ale planului afin se ic paralele dacă sunt caracteriate

de acelaşi spaţiu vectorial director. Gelaţia de paralelism în planul afin A +este o relaţie de ec4ivalenţă' iar o clasă de ec4ivalenţă în raport cu aceastărelaţie defineşte o direcţie în plan.

Se numeşte iură a planului A +'orice submulţime de puncte a sa .Înţelegem prin eometria aină a planului A + mulţimea noţiunilor'

figurilor şi proprietăţilor lor baate pe a(iomele ce definesc noţiunea despaţiu afin.

1acă avem patru puncte A2' A*' A+' A3 ∈ A afin independente' atuncisubspaţiul afin A 3 ' dat de mulţimea punctelor

P ? K ∈ νµλ ν+µ+λ+ ν−µ−λ−=∈= *3+*2

AA 3 $3.H%

are drept spaţiu vectorial director' spaţiul

#'' '


13/24

stfel' o dreaptă afină din spaţiul afin A 3' pe scurt dreaptă' estegenerată de două puncte distincte A' B ∈ A 3. &unctele unei drepte d ⊂ A 3sunt caracteriate de

K AB AP ∈∀= λ λ ' $3.*2%

?n subspaţiu afin de dimensiune doi al spaţiului afin A 3 se numeşte plan afin' pe scurt plan. &lanele spaţiului A3 le vom nota cu literele mici alealfabetului grec $α ' β ' ...%.

?n plan α ⊂ A 3 este generat de trei puncte A' B' C ∈ A 3 afinindependente.

&unctele planului α sunt caracteriate de relaţia vectorială

K AB AB AP ∈∀+= µ λ µ λ ' ' $3.**%

1acă considerăm un punct oarecare fi(at * ∈ A 3' atunci $3.**% poatefi scrisă sub formă ec4ivalentă

K AB AB*A*P ∈∀++= µ λ µ λ ' ' $3.**%′

9ie planele α ' β ∈ A 3. 1acă α ∩ β ≠ ∅ atunci spaţiulvectorial director al intersecţiei α ∩ β este dat de " α ∩ " β ' unde " α şi" β sunt spaţiile vectoriale directoare corespunătoare planelor α şirespectiv β .

Subspaţiul " α ∩ " β poate fi de dimensiune unu sau doi.

1acă dim " α ∩ " β ! * atunci intersecţia α ∩ β ! d ' este odreaptă afină' iar dacă dim " α ∩ " β ! + atunci planele α şi β suntconfundate.

1acă α ∩ β ≠ ∅ atunci planele α şi β sunt paralel $strict%.În spaţiul afin A 3' un reper carteian este dat de un punct fi(at

* ∈ A 3 şi o baă B ! " 3+* '' eee # a spaţiului vectorial director V 3'adică R = %''K$ 3+* eee* . Dricărui punct P ∈ A3 îi asociem vectorul de poiţie *P av5nd e(primarea

33++** e 'e 'e '*P ++= $3.*+%

Scalarii '*' '+' '3 ∈ K repreintă coordonatele punctului P în reperulR şi caracterieaă în mod unic acest punct.

0


14/24

Construcţii asemănătoare pot fi făcute consider5nd mai multe puncteafin independente ale spaţiului afin A ' obţin5nd în acest fel spaţii afine dedimensiuni mai mari.

9ie A şi A două spaţii afine.

#. Definiţie. * aplicaţie t! A→ A cu proprietatea t $α P F β Q% !! α t $ P % F β t $Q%' ∀ P, Q ∈ A şi ∀ α ' β ∈ K ' α Fβ ! * se numeşte aplicaţie afină $morism de spaţiiaine#.

D aplicaţie afină t! A → A determină în mod unic morfismul$aplicaţia liniară asociată% ! " → " 6 între spaţiile vectoriale asociate.Otiind că pentru " v∈∀ şi ∀ ∈ A ' ∃ ) ∈ A astfel înc5t ϕ $ A, B% !v ' putem defini aplicaţia liniară asociată : " → " 6 prin relaţia

%%$%'$$6%$ Bt At v ϕ = ' unde 6 este funcţie de structură afină a spaţiuluiA . 1efiniţia nu depinde de alegerea punctului A.

,ulţimea aplicaţiilor afine bijective de la un spaţiu afin A la el însuşi

$transformări afine% formeaă' în raport cu operaţia de compunere aaplicaţiilor' un grup A$A% numit rupul ain $grupul afinităţilor%.om numi iură a spaţiului afin A orice submulţime de puncte a sa .

&rin eometria aină a spaţiului afin A vom înţelege studiul figurilorşi proprietăţilor acestora care sunt invariate de grupul afin.

Cele mai simple şi în acelaşi timp cele mai importante proprietăţiafine sunt:

- proprietatea de coliniaritate a trei puncte

- proprietatea a două subspaţii afine de a fi paralele

- raportul simplu determinat de un punct' care împarte un segmentorientat AB .

lte proprietăţi afine se stabilesc în general cu ajutorul acestora'motiv pentru care proprietăţile amintite vor fi numite proprietăţi afinefundamentale.

0H


15/24

§). Sp"ţi+l "fin /eome(ic "l !ec(oilo libei

9ie 0 3 spaţiul punctual al geometriei elementare şi V3 spaţiulvectorial al vectorilor liberi.

1acă asociem oricărui bipunct $' )% ∈ 0 3 × 0 3 vectorul liber AB ∈ V3 atunci aplicaţia ϕ : 0 3 × 0 3 → V3 ' ϕ $ A, B% ! AB satisface proprietăţile *% şi +% din definiţia spaţiului afin' adică

*% ∀ A, B, C ∈ 0 3 ' AC BC AB =++% ∀ v ∈ V3' ∀ A ∈ 0 3 e(istă un punct ) ∈ 0 3 unic determinat de

relaţia v AB = .

).1 Definiţie. ripletul A3 & $ 0 3 , V , ϕ % se numeşte spaţiul afin geometric al vectorilor liberi.

lementele spaţiului afin A3 sunt puncte şi vectori. &unctele spaţiuluiafin A3 sunt punctele mulţimii suport 0 3 pe care le vom nota cu majuscule A' B' C ' ...' *' P ' ...' iar vectorii spaţiului afin A3 sunt vectorii spaţiuluivectorial director V3' vectorii liberi pe care-i vom nota cu AB ' C, ' ...' saucu '...'''...'' vuba . plicaţia ϕ : 0 3 × 0 3 → V3 ce satisface a(iomele

*% şi +% repreintă funcţia de structură afină' iar relaţia de ec4ivalenţădefinită de aceasta pe mulţimea 0 3 repreintă tocmai relaţia de ec4ipolenţă′ ′ 6′ ′ a segmentelor orientate' aşa cum aceasta a fost definită în geometriaeuclidiană.

9ie * ∈ 0 3 un punct fi(at. plicaţia ϕ : 0 3 × 0 3 → V3 definită prinϕ 2$ A% ! ϕ $*' A%' ∀ A ∈ 0 3 este bijectivă $Consecienţa *.+% ceea ce permiteidentificarea spaţiului punctual 0 3 cu spaţiul vectorial al vectorilor liberi.

&unctul * ∈ 0 3' corespunător vectorului nul 3V∈2 ' va ficonsiderat drept origine a spaţiului afin A3. În plus' ∀ v ∈V3 e(istă în modunic un punct A ∈ 0 3 determinat de relaţia v*A = . ectorul *A estenumit vectorul de po/iţie al punctului A.

,ulţimea vectorilor de poiţie formeaă un spaţiu vectorial iomorfcu spaţiul vectorial al vectorilor liberi.

Să considerăm acum două puncte distincte A şi B din spaţiul 0 3.Subspaţiul afin generat de A şi B'

1$" A' B#% ! " P ∈ 0 3< ∃ λ ∈ R astfel înc5t P ! $* - λ % A F λ B# !d

este un subspaţiu de dimensiune unu numit dreaptă aină' pe scurt dreaptă'av5nd spaţiul vectorial director dreapta vectorialăV* ! " AP ∈ V3 < ∃ λ ∈ R astfel înc5t AB AP λ = #

0I


16/24

&entru orice punct P ∈ d " A' B#' coliniar cu A şi B' sistemul de puncte " A' B, P # este afin dependent' ec4ivalent cu faptul că vectorii AP şi AB sunt liniar dependenţi. $&ropoiţia *.*%.

Geamintim că doi vectori care au aceeaşi direcţie se numesc vectoricoliniari. ectorii subspaţiului V* au aceeaşi direcţie ceea ce justificădefiniţia coliniarităţii dintr-un spaţiu afin oarecare.

).2 Popo'iţie. oi vectori u şi v ∈ V3 sunt coliniari dacă şi numaidacă sunt liniar dependenţi, adică ∃ λ , µ ∈ R ,

2++ ≠+ µ λ astel încDt 2=+ vu µ λ .

Demons("ţie. 9ie * ∈ 0 3 un punct fi(at. (istă A, B ∈ 0 3 astfel înc5t*Au = şi *Bv = . 1acă u , v sunt coliniari atunci punctele *, A, Bsunt coliniare' adică sistemul de puncte " *, A, B# este afin dependent' ceeace este ec4ivalent cu dependenţa liniară a vectorilor *A şi *B .

Segmentele orientate *A şi *B sunt repreentanţa vectorilor u şi v în punctul *' adică u şi v sunt liniar dependenţi pentru oricealegere a punctului *.Geciproc& dacă u şi v ∈ V3 sunt liniar dependenţi' atunci ∀ * ∈ 0 3'vectorii u*A = şi v*B = sunt liniar dependenţi' adică sistemul de puncte" *, A, B# este afin dependent. Coliniaritatea punctelor *, A, şi B esteec4ivalentă cu faptul ca vectorii u şi v au aceeaşi direcţie. c.c.t.d.

1acă


17/24

subspaţiu afin av5nd drept spaţiu vectorial director planul vectorial


18/24

fie ' un al patrulea vector' un punct oarecare * ∈ 0 3 şi *A ' *B ' *C '*: repreentanţii vectorilor u ' v ' 2 ' ' în punctul * $fig. *%

fig. *

9olosind de două ori regula paralelogramului de însumare a doivectori liberi în paralelogramele *A* : * B şi respectiv *: * :C * reultă că

*** *C *B*A*: ++=

Cum' **A şi *A ' **B şi *B ' **C şi *C sunt coliniari

reultă că e(istă scalari λ , µ , ν ∈ R aşa înc5t*C *B*A*: ν µ λ ++=

relaţie ec4ivalentă cu

2vu ' ν µ λ ++= '

adică vectorii necoplanari "u ' v ' 2 # formeaă o baă a spaţiuluivectorial al vectorilor liberi' deci dim V3 ! 3. c.c.t.d.

&entru un punct fi(at * ∈ 0 3 şi o baă dată " 3+* '' eee # în V3'

ansamblul R $*8 3+* '' eee % repreintă un reper carteian în spaţiul afinA3 & $ 0 3 , V3 , ϕ %.

Dricărui punct P ∈ 0 3 îi asociem în mod unic vectorul de poiţie*P a cărui e(presie analitică în reperul R este dată de

33++** e 'e 'e '*P ++= K '*' '+' '3 ∈ R

Scalarii '*' '+' '3 ∈ R vor fi numiţi coordonatele carteiene ale

punctului P iar funcţia

=+

C

B

A

C *

B*

A*

: *

:

*


19/24

: 0 3 → R3 K3

3+*3 %''$ R∈∈ ' ' ' 0 P

este numită uncţia de coordonate.

9uncţia de coordonate permite stabilirea unei corespondenţe biunivoce între mulţimea punctelor spaţiului punctual 0 3 şi spaţiulvectorial R3.

1acă u ∈ V3 este un vector liber oarecare atunci e(istă un singur punct P ∈ 0 3 şi numai unul' astfel înc5t *P u = ceea ce înseamnă că înreperul R vectorul u se scrie sub forma

33++** e 'e 'e 'u ++= '

scalarii '*' '+' '3 ∈ R' coordonate ale punctului P ' vor fi numiţi coordonatelevectorului u în reperul R.

)ijecţiile menţionate mai sus justifică indentificarea deseori aspaţiilor 0 3' V3 şi R3.

cest fapt ne permite să privim' în acelaşi timp' spaţiul aritmetic R3

ca pe un spaţiu de puncte şi ca pe un spaţiu vectorial' adică să considerămspaţiul afin standard $ R3' R3' ϕ %.

1acă R $*8 3+* '' eee % este un reper carteian fi(at şi spaţiul afingeometric A3 şi '*' '+' '3 ∈ R coordonatele vectorului u ∈ V3' vom scrieu ! $ '*' '+' '3% sau u $ '*' '+' '3%.

În acest conte(t' dacă *u $ '*' '+' '3% şi +u $ *' +' 3% sunt doivectori liberi' atunci:

1; *u este coliniar cu +u $ *u QQ +u % dacă şi numai dacăcoordonatele lor sunt proporţionale $egale în caul particular *u ! +u %.

2; *u ' +u ' 3u sunt coplanari dacă şi numai dacă coordonateleunuia sunt combinaţii liniare de coordonatele celorlalţi doi.

9ie un plan α ⊂ 0 3' şi o dreaptă d ⊂ 0 3 care intersecteaă planul αîntr-un singur punct şi fie un punct oarecare A ∈ 0 3. &lanul prin A paralel cu planul α intersecteaă dreapta d într-un singur punct A′ .

&unctul A′ ∈ d se numeşte proiecţia paralelă cu planul α a punctului A pe dreapta d .

=3


20/24

1acă AB ∈ V3 este un vector liber oarecare' A′ şi B′ fiind proiecţiile paralele cu planul α al punctelor A şi respectiv B' atuncivectorul EE B A este numit proiecţia paralelă cu planul α a vectorului AB

pe dreapta d $fig. +%

fig. +

1acă prin punctul A construim dreapta d ′ paralelă cu d aceastaintersecteaă planul α în punctul A′ ′ .

&unctul A′ ′ este numit proiecţia paralelă cu dreapta d a punctului A pe planul α .

1acă AB ∈ V3 este un vector liber oarecare' A′ ′ şi B′ ′ fiind proiecţiile paralele cu dreapta d ale punctelor A şi respectiv B pe planul α 'atunci vectorul EEEE B A este numit proiecţia paralelă cu dreapta d avectorului AB pe planul α $fig. 3%.

fig. 3=/

α

B

9

B9

d

d B

A

B′ ′

A′ ′

α


21/24

În ambele cauri se demonstreaă uşor că proiecţia unui vector ABu =* nu depinde de alegerea repreentanţilor acestui vector.

9ie în spaţiul geometric 0 3 un punct * şi dreptele *'*' *'+ şi *'3care determină planele distincte '**'+' '+*'3 şi '3*'* prin punctul * .

fig. /

Notăm cu A*' A+' A3 proiecţiile punctului A pe dreptele *'*'*'+' *'3

paralele cu planele '+*'3' '3*'* şi respectiv '**'+.ectorul de poiţie*A poate fi scris sub forma

3+* *A*A*A*A ++= ' $/.3%

numită descompunerea vectorului *A după direcţiile *'*'*'+' *'3.,ai mult' dacă considerăm reperul R $*8 3+* '' eee % în care "

3+* '' eee # este o baă a spaţiului vectorial al vectorilor liberi V3 şi care

determină direcţiile dreptelor *'*' *'+' *'3' atunci e(istă scalariia*' a+' a3 ∈ R astfel înc5t *** ea*A = ' +++ ea*A = ' 333 ea*A = .

1acă u ∈ V3 este un vector liber ce are ca repreentant în punctul* vectorul de poiţie *A ' el poate fi scris în reperul R' în mod unic subforma

33++** eaeaeau ++= $/./%

=0

'3

A3

'*

A*

'+

A+

A

*


22/24

Scalarii a*' a+' a3 ∈ R' coordonatele vectorului *u în reperul dat' nudepind de alegerea repreentanţilor' astfel aceste coordonate sunt perfectdeterminate de proiecţiile paralele ale vectorului *u pe cele trei direcţii.

§*. Pobleme pop+se

1. 9ie A' B două puncte distincte ale unui spaţiu afin real A' λ ∈ R'

λ ≠ ± * şi C ' ∈ A definite prin B AC *

*

*

−+

−=

λ

λ

λ '

B A

λ

λ

λ +

+

+

=*

*

*. 1acă C 0

+

*

+

*+= atunci 0B 0A +λ = .

2. 9ie A*' A+' R' An ∈ A' λ *' λ +' R' λ n ∈ R cu ∑=

=n

i

i

*

2λ . Să se

arate că vectorul in

i

i IAv ∑=

=*

λ nu depinde de alegerea punctului I ∈ A.

#. &unctul I împarte segmentul AB în raportul

n

m@ = . Să se

demonstree că *Bnm

m*A

nm

n*I

++

+= oricare ar fi punctul * ∈ A.

). 9ie centrul de greutate al triung4iului ABC şi I un punctoarecare. Să se demonstree relaţia I IC IB IA 3=++ .

*. 9ie A*' A+' R' An

∈ A ' λ *' λ +' R' λ n

∈ R astfel înc5t2

*

≠=∑=

λ λ n

i

i . Să se arate că punctul P este centru de greutate al sistemului

de puncte " A*' A+' R' An# cu ponderileλ

λ i dacă şi numai dacă

2*

=∑

=i

n

i

i PAλ . Să se scrie relaţia pentru centrul de greutate al unui triung4i.

==


23/24

-. 9ie A*' A+' R' An şi respectiv B*' B+' R' Bn puncte distincte din

spaţiul afin real A. Consider5nd punctele n An

An

An

*

...**

+* +++= şi

respectiv n Bn

Bn

Bn

*

...**

E +* +++= ' să se arate că

E...++** n B A B A B A nn =+++ . În particular două sisteme finite de puncte " A*' A+' R' An # şi " B*' B+' R' Bn # au acelaşi centru de greutate cu

ponderilen

*'

n

*' R'

n

* dacă şi numai dacă

2...++** =+++ nn B A B A B A .

. 9ie A, B, C ∈ A trei puncte afin independente. Să se arate că dacă

punctele P şi Q împart segmentele orientate AB şi respectiv AC înacelaşi raport' atunci vectorii PQ şi BC sunt coliniari şi reciproc$teorema lui P4ales%.

. 9ie A, B, C trei puncte afin independente şi 0, (, punctele ceîmpart segmentele orientate AB ' BC şi respectiv CA în raport cu a, b şic. Să se arate că o condiţie necesară şi suficientă ca punctele 0, (, să fieafin dependente este ca λ * ⋅ λ + ⋅ λ 3 ! - * $teorema lui ,enelaus%.

. 9ie A, B, C trei puncte afin independente' 0 $respectiv ( % un punctcoliniar cu punctele A şi C $respectiv A şi B% astfel înc5t dreptele afinegenerate de sistemele de puncte " B, 0 # şi "C, ( # să aibă un punct comun .

Să se arate că punctele A : +

*

+

* += ' ( 0 J +

*

+

*+= şi C B K

+

*

+

* +=

sunt afin dependente $dreaptă Neton-Tauss%.

13. În spaţiul afin canonic R3 se consideră punctul *$ +' U*' 3% şi

sistemul de puncte R ! " 0 2! $ *' -+' -3%' 0 * ! $ *' *' -0%' 0 + ! $ -+' -*' 3%' 0 /! $ =' *' +%#a% Să se scrie reperul carteian R ′ cu originea în *, asociat luiR. b% Să se determine sc4imbarea de coordonate la trecerea de lareperul R ′ la reperul R′ ′ ! "*K *' +' 3# ' unde * ! $ *' +' 2% ' + ! $ 2' *' +%' 3 ! $ +' 2' *% şi să se indice transtaţia şi centro-afinitatea prin care se realieaă această sc4imbare de reper.

=


24/24

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	marius-claudiu-preda
View:	244 times
Download:	0 times

229435169 Spatii Afine Cautat

Documents