Home >Documents >Postolache Cap1 Spatii Vectoriale

Postolache Cap1 Spatii Vectoriale

Date post:03-Dec-2015
Category:
View:42 times
Download:4 times
Share this document with a friend
Description:
politehnica
Transcript:
  • PARTEA r. ALGEBRX lrxtanXCapitolul 1

    Spatii vectoriale

    1 Exemple de spatii vectoriale. Subspa{ii vectoriale1. Se consirler5 V gi tr4l clou5, spatii vectoriale peste acelagi corp K. S5. se arate cE

    '.- x\Y: {(r, A)l* e V, g I4l} este spaliu vectorial peste f,{ in raport cu operaliile:(e,i, Er) * (rz, Uz) - {rt * n2,y1 * g2'1;a(r,y) : (ar,*g), {,1,$2 e V, Ut,'1,/z e W, Ya e K.

    Soluli,e. Fali de prima operatie ,*" , V x trV este grup abelian cu elementul neutru,ri',0w), opusul lui (r,y) fiind (-r,-y).Axiomele amplific5rii cu scalari:

    (a+ 0)@,u): a(r,y) + 0(.r,a);(o' 0)@,a) : [email protected],v)i;L(",a) : (r,A);al(rt,yt) * (,r2,az)): a(rt,yt) I a(r2,y2),

    .:zu1t5 din faptui cX lz qi W sunt spatii vectoriale peste acelagi corp.2. Orice corp K este spatiu vectoriai peste el lnsugi in raport cu operatia de adunare

    --:, -I( qi in care amplificarea cu scalari este inmullirea din K.3. K" : K x K x...x K este spa{iu vectorial peste K (numit spaliu ar"itmet'icsau

    .neri,c) in raport cu operatiile:(.rt,12,...

    ,xn) * ('at,yz,'..,?Jn): (r1 * 1)r,tz * tJ2,...,frn + y,);a(r1.12,...,rn): (cirr ,aiu2,. "., orr).

    -:olulie. Rezultadinexerciqiileprecedente. inparticulr,.,/-',.'.+.lti .-' -;.- ..'- - -/ a'

    .- -ral. iar (C"

    -

    : ) este :pa(iul vcctoriai complex.1

  • Partea I, Capitolul 1

    - -a, fib (n*,ry) un spaliu vectorial real. S5 se arate dvc :

    .V x'V e,ste un spaliuv

  • Spal'ii uectoriale

    g. S5 se arate c5 c' devine spaliu vectorial complex fa!6 de operaliile:

    (*r,rz,...,rn) * (At,Az,...,Un): (r1 * At,frz * a2' "''t'n + An)'z(r1, i 2,. . ., frn) - (,2x1, 2rz,''', 7rn),

    unde Z este conjugatul lui z'/K\L0. fie (V.a.{) ,rn spa\iu "'ectoria} qi ue V un element fixat' us f

    operaliile n O a : r'+ y -u0 qi o a r : clr'l f(a)ur S[ se deterrnine /zr\{v,+, 'i ) sh fie spaliu r-ectorial'\r

    Soiu[ie. f (a) :1- a'uvuuyuv. J \s/--1LareIesubmul!imidinspa!iularitmetictridimen-sionai R3 formeazS, subspa!ii vectoiiale:

    a) Sr-{(rr, rz,rs)l ,s:0}, 'D) 52:{(ri1r2Jn3)lr1 +12-3r3:g}'c) 5r: {(rr..rz,r;jir; -2r2- }r : I : i Sr : 1(rt'n'z'rr)lr? + r?': t:tl'-'e)

    .lr: {(r1..r1 13 I r ( 1' i:1'2,3}'Soirlfge. Sr qi 5z sunt suilspalii lal S:'S= ;i i: :'-i:lr:li sibspatii'

    l-2. S5 se arate cd it, i:rui5tnte' (J, n, -'t)' s:'ibilrl'Ii:liie sale' cie{inite prin:r*: {f e 56'a1l/(-') : f @s} (funclii pare):g- : {f e 514,01 | f ?"): -i (')i (fuirclii impare)'

    sunt subspalii vectoriale qi 51o,41 : 9+ o 9-' .o

    ^mnrific;rrea c* scalariSolu{ie. Suma a dou; funclii pare este o funclie par5.; analog, amplificarea cu scrreali. Deci, 91 fbrmeaz[ subspaliu vectorial in g1o,a1' AsemXnitor qi pentru 5-' In plus'dacH,/ 5p,a1, atunci:

    gtr) :* if i*l + /(-r)l e 5+. h(r) : f,t.rA, - f l-r)) e r-2-;\f:g*h'Sumay++g_ested.irect[d'eoar.ecesingurafuncliepar[giimparS,esteJ:i1.

    13. s5 se arate c5 in spaliul matricelor (l,ran,1, f) s"brnullimiie, definite prin:S : {A Id*\K)lAt : A} (matrice siinetrice);e : iA I"1,^(K) l-dt : -A) (matrice arrtisimetrice)'

    0. Definimastfel incdt

    formeazS, subspalii vectoriale $ M*: S O A'Solulie- Dac6, A,B S, atuncl (A + B)t : At + Bt

    (oA1' --oOt : ctA+ aA S' Analog pentru A' DacS' A

    :A+B+A*BeSqie h[*(K), attmci matricele

    *

  • Partea I, Capitolui I

    IIB::(Jtl/)e S riC: -( i-l') t A veliiir:a -\- B -C' Lrp1u,r. S:rA:{0},astfel')

    intat-.irl,:SOA.14. Si se verificc cil muilinictL,9: {/ll(r) - /. iri. ., - , , ,=.i estr: su}rspa{iu in

    slrir lirrl f,111r';iil6r' rr':ilc.SoLuiie. Fiincl rlalc funcl,iile j("1 : asin(r

    -,, :r -.:- ' -,-'. se obline

    /(r:) -F g(:c) : (or.:os{.r +.rcosd) slnr - - --:- - --:- - , :..Sisternul acosl-l+ccrosd: Acos"8 qi osinb-:-csirr,: : .:-:,r-- :-:: ':,.^-r:r, .o.l,t.c.rl lR..astfel incal f (:r') + g(r):,Asin(z; + A) e ^9 qi cr.[.:r : -i

    15. Siseverificectac5IJ,(C) :{Ae -11.3 -:- =: '.- ..-..:.le,.ribspaliuvectoriai in IltIn(C), unde ,{ se obline prin inlocu;.; .-,.--=-- .-,: - - j. ,.,: i-,r-,jttq:tele lulcomplexe.

    Soluii,e. H".(A) nu este subspaliu vecto:ial, -i,,:.:-.. :: - .'.-..::,:--i';eciorial numai dac5,ne rcstrangern Ia /r-"(JR) c rXf*(C)

    16. SA se determine toate subspa\iile iul ; Z - -

    "-

    --- -= J- =.:e colpul claselor deresturi mod 2.

    Solulic. Fic vectorii:

    uo : (0,0,0); t,r : t1.0. tl : . : i0.0, i);tn:(i.i.0); e5:(0.ii, ,:=

    - - :-:li.i.i).

    Fiecare dintre acegti vectori folmeazi sllbspa;: ,-,-:. :,,>,:..r: sr-tni {u0,ua}, cu cAte doudelemente. Nu cxistd subspalii cu c6,le 3, 5, 5 ::1

    -i '.:-:--- -':. pirtrr-i eiemente sunt doar 7subspatii.

    17.Sdst'delerminesubspaqiileS,--C-:.-....-....].:..lr.ri.S;:{(l1.,L.2'l'qi 52 : {Q:1, 12) I rt :

    -xz).SoL'u{ic. Se demonstreazl cX,9r t--l

    -qz - . j.:::-a ,lirectX estesr e 5z

    : li:l;i:l f::.', -:. " - ': i: -v-)tvr2'v2 e Ft

    18. Aflalisr-rl-,spaliileSrnSz qiSl-.S,,-...:. -:.-.e 51 : {(er, rz,nz) ir,-.,',- -, :iri

    si S, : {(.r,. 1 ...r', .r', -

    2.r:" : 0}.SolLl'e Colt illam:

    Sr-,9,:1..., ,.r:.r:)llr +r:-t : :.* -l.r,:6) :t(2o.-G.(, ,=r.

  • Spa{'ii, uectoriale

    DacH not5m rz*!z: 0 qi rt*yt: 7, atunci -fi2* 4*2P - 21 - 0 *az- tr3 : a, undea,0,^l R.. Oblinem cd. Sr * 52 : {(o,A,l)la,g,1 R} : R3 (rXspunsul se poate obtinectirect folosind teorema privind dimensiunile subspatiilor)'

    19. SX se determine suma directi Sr O,92 pentru 5t : {(er, rz,zt)l'r: *r: es} qi52 : {(r1, xz,:rz) I rt : -*, - -*r}.

    Solu[ie. 51 n 52 : {(0,0.0)}. RezultiSr O Sz : {(o, a. o) + (.3, - P,*0) I o, 3 e f'} : {(cr t,3., a - 3, a - E) I o,,3 e mi'20. Fie f e tp,a1, [email protected])--,rri.r*n, n1.t..a i (iunc1ieafin5) . SS,searatecS:a) A1,,a1: {/} C 51o,41 este un subspaliu vectorial;

    -tl#i""" 65t"i - ;-qi-fi(r) : a--, mor-fril;fii"*"d" s"*"t*i; spa!iuluivectorial ,41.,01 .

    sot;u{i,e. b) Fie f (*) : mx + n o funclie dat[. Atunci / se descompune astfel:

    .f(*) : uf,(.r) * uf6(r),' :*:#,' : ry:tDeci, /o qi fb genereazE orice fr.rnclie ! e ApS,1.

    31. ln spa{iul P

  • 6 Partea I, Capitolul 1

    2. SE se studieze liniara independen![ a sistemelor d.e vectori din ]R.3:

    a) u1 : (11 2,-4), u2: (0,1,1), o3 : (1,4,-Z);b) u1 : (1,0,0), r.r2 : (0, 1,0), ca : (0,0, 1), ua: (1,2,3);c) u1 : (7,2,

    -!), u2 : (3,2,L);d) ul : (1, 1,0), u2 : (1,0, 1), u3 : (0, 1, 1).

    Care dintre aceste sisteme formeazd bazil in IR.3?Solu[i,e. a) Consider5m combinalia liniari o4ut * azuz * e3lb :0. Obtinem sistemul

    (ot+o3:o1'or*",z*4",z:o[

    -ao, *o,z-2o,3-0.Rangul matricei sistemului este 2, deci sistemul admite solulii diferite de solulia banald.Vectorii sunt liniar dependenli.

    b) tiniar dependenli; c) liniar independenli, dar nu formeaz5 bazi in IR3; d) liniarindependen{i, baz6" in IR3.

    3. in spaliul 93*(K), al polinoamelor de grad ( n, se consider5, sistemul de vectori,9: {1, l+r,l*r*12,...,1* r*--.***}, n'L

  • Spali'i uectoriale

    5" Sd se determine clirnensiunile sumei gi intersecliei subspaliilor generate cle sistemelede vectori:

    a)

    b)

    U: {ut: (2,3, *1), uz:(1.2,2),ll: {ut: (1.2. ll. ur- (1.f .-l).U : {ut- (1, 1,2,--1), u2 : (0. -1,1- : ii'i : Q.1.0 i). ,2: (-:.-1.

    u3 : (1,1, -3)i,

    u3: (1,3.3)) in R3;-1,2), u3 : (*1,2, 1, -3)),-1, -i), trl : (3,0,2,3)) in Ra

    S5 se verifice teoreura lui Grassni:rnn prin aceste aplica{ii.Solu{ie. a) \'ectorii'LLtj'!1,i, 't.r3 sunt }iniar clependenli: o baz5 in it/] poate fi {u1,u2},

    deci flrl - {atuila2u2la1,a2 iRi, dimilll - 2. \ectcriitrl, u2, u3 suntliniardependenlilqi fy] : {7tut+ llzuzifu,0: e R.}. dimitri : 2.

    Subspa{iul i[/l + [tz] este generat de reuniunea sistemelor U qi V. O baz5 in reunluneeste {u1, uz,ut}, deci dim(iUl+ ilr]) :3, adicb lU]+ [I/] : R3.

    Subspaliul fU] n [y] conline vectorii pentru care cv1u1 I a2u2 - gtltt * gzuz, adicl{'o' * az: 0r * {lzt ilol f 2a2:2JL * J:| -o' * 2n2 - J. - 13.,,

    :in sistetn cu irel cc'"xa{lt rii necunoscute princlpale at, c 2, []1, iar 6z: ], necuncscut5 secun-dar6. Obtrneln 01 :.\, az ==,\,6r:21 Qi astfel vom avea lI/]n [y] : {(B^,Si,,\)iA e lR.},iar dimilUl n iI,'l) : 1.

    Astfei se veri-fi.c5 teorema lui Grassmanrr:dimfu]+ dimfv] : dim([u]+ iyl) + dim([i/] n [y]).

    b) Anaiog.6. ln R.3, se consideri subspaliul vectorial lill. generat de el : (1, 1, 0) Qi e2 : (0, 1, 0).

    SX se determine toate subspaliile l4lz c R.3 astfel incAt R3: I4lr eWz.SoLuli.e.Wt:{(r,r*y,0)lr,yeR.}. ConsideritmW2:{(a,b,c'1)a,b,ce JR.}gicum

    dimeffi :2, ti'ebuie sd avem dimmWz : f. in consecin{5, se completeazl Wl p6n5 ia o^aDaza ln lK".

    7. Fie V qiW douX K-spatii vectoriale, cu dim V :n qi dimW: m. SX se determiledim(V xW).

    Soluli.e. Avem lz x W : {(*,y') lr e V,A W} gi operaliile:(tr, At) I (rr,Az) - (ut + r,2, lJt + A2);a(r,A) : (ar,ay), x)1,!1

    V, ?!t,Az W, Ya e I{.Consider5rn 81 :

    B : {("r,0), (0, /i)}, zdim(VxW):n*m.

    {"0}o--r,...,- qi ,B2 : {ft}*t,...,* baze in V, respectiv W. Atunci: l,...,fr, i : 1,...,n'1, este o baz5 in V x W. RezuitX

  • Pailea I, Capitolul 1

    8. S5, se determine dimensiunile subspaliilor S: {Alfr: A} +a: {AlAt: -A]-'ale spaliului matricelor M*{K)-

    Solu$i,e. dimM-(K) : n2, obazd fiind B : {E;i} cu i : 1,"',2, i : 1,"',n' unde.E;r' conline 1 la interseclia liniei 'i cu coloana j qi 0 in rest'

    n

    A:rf oo,or, :latt4t'i, *latiF,l *la;iEii: Ea;& +la4(Eti + fu;)'i,:1. j:L i:l ij 1J

    Sistermrl {E1i};:r, ,, i i5,-, + .[,,jir.; esre ]inial' i' -='-'---: - - --s:iluie un sistem rier,(n t- l)Eer)erafori pentrtis. R*zult-i,i ilnS:n*(rr- J' - --l: ,

    Analog, sistemui {8,, - Elii;

  • Spalii uectoriale

    DacE, r : f *r"* e V, fre ilk : o,k * zbr"' Atuncik:ln.

    , : f rkek :Iro.^ + f Lrici,- : I uol'* n IAtl;,j. 1/;:1 ,k==1deci RI? genereazfl RV: rezultI cX dim(R7) : z2'

    Schirnb5ri de baze

    I -.r _ | !i .ti

    -

    I I1tl-2rllsi:-r I | 10 1\[,?:i, ]*t:{-i t ,iI \. 113/)

    )dec ,':(-i ; i) (;):(;)

    .\stfel cX, r --

    Ae\ + Le', + 2e ',. in baza B' '

    @ tU se determine expresia vectorului r : (1,2,3,' '', n') IR' in bazaB' : {et: (1,0,0,.'.,0), e'r:(7,1,0,"' ,0), eL- (1,1, 1,0,"''0)'

    e!* = (L,1, 1,..', 1)) din R.".

    tr{'

    B : {q - (1, 1, O), ez : (1,0,0), e3 : (1, 2,3)};B' : {e\ - (1,3, 3), eL: (2,2,3), e's: (6,7' 9)}.

    a) s5 se arate c5 B Ei B' sunt baze gi sH se g5seasc5, matricea de trecere de la B la B''u) sa," g5seasc5 expresia vectorului r : 2et * 5e2 a 7es in baza B''solu{i,e. a) vectorii din B (respectiv B') sunt liniar independenli qi fiind in numH'r de

    trei formeazx baz5. Pentru a determina matricea schimb5rii de baza, descompunem e! dupS'

    B:

    ($ t" spaliul iR.3, se considerS. urm5toarele sisteme de vectorl:

    l'u; *si+"i:1, I a .t

    :'r: sjl+s7e2*sie3sdu 1 si+isi:r +tltr1 : 3

    eL: slet* sle2* s|4 + s]:0, '3:1, sl :1'

    , t 2 -3^ ...I-r -2-o "?-'re3: sier * siez +s53 + sa: r. 13

    -

    L' Da - ')

    b) DacS X -

    (2 5 7)'(matrice coloanE). atunci componentele X'ale lui r in bazaB' se oblin din ecualia matriceall X = 5-f ' Calcuiim

    /-r -1 1

    s-t: I -s -2 3

    \ 2 t -1

  • Sotulie. Fie B: {"r: (1,0,0,...,0), ez: (0,1,0,...,0), ..., n: (0,0,0,...,0,1)}baza canonicd din lR.'. Matricea.g, de trecere de la B la B', este

    / t 1 1 1\lo 11 il,s:l o o 1 ... 11.1..,1

    \o oo- ,)ConsiderS,m X : (1 2 3 n)t. Atunci X' : S-LX. Calcul5m matricea S-' gi

    efectuS,m calculul X' : S-1 X, de unde oblinem X' : (-L -

    1 -l n)t, astfel ci

    r : -el - el2 - "' - e'--t * ne'..

    @ i" JR.3, se considerX sistemele de vectori

    Partea I, Capilolul 1

    ( el : (1, 2, 1) ( "i : (3, 1,4)

    s' : I el : (2,3,3) $ E' : I dU : (5,2,L)[ "i : (3,2, 1) [ 4 : (1,1, -6).

    Aritali cH. B' qi B" sunt baze, g5sili matricele S'gi S" de trecere a" U b*" canonic5 B d.inIR3 la bazele Bt qi Btt qi deduceli de aici Eatricea de trecere de La B' la 8".

    Solufii,e. Avem e/1 : et * 2ez * ez, eL : 2q * kz +3e3 qi e! : 3er * 7ez I ez, astfel cB

    ,': (i

    u:{u,:(l 3), *:(l l), ",:( 3 ? )},u' :{rr:( I Z), rt:( ; Z), rt: ( I ? )}

    ,;=zii,:i *,: (i i ?)*,:' :;li i -i )

    i I) si, aseminitor,*: (i i i )Tlecerea B, (\' g !\ 8,, vafi dat5 de 8,, : (S/)-r . 5,, . B, . Deci, ,S : (S/)-r . gz.

    A t" spa{iul ,S2, al matricelor simetrice rea}e de ordin doi, se considerd sistemele de\-/.vectorr:

    S5, se arate c5 B qi B/ sunt baze, sH, se g5seasc5 matricea ,9 de trecere de la B la B' qiexpresia lui r : Er -f 2Ez

    -

    .E3 in baza B' .Solufii,e. B este baz5. Direct se verific5 faptul cH, Ej sunt liniar independenti qi orice

    matrice A: ( i I ) ^92 se descompune dup[ B'. Avem:\b 0/

    10

  • 11Spalri uectoriale

    cleci X' :,S-1 . X -+ r : -E'1 + EL+ 85.

    5. Aflali baza g' : {e'1,"'2,"'S} clin R3, in raport cu care vectorii u1 : (2,-1.-1),1,2 : (1,1,1), u3

    - (2,1,-1) au, respectiv, componentele (1,1'0), (0,0, 1), (1' -1,0)'

    Soluli,e. Avem e'1 * e', : (2, -1,'1, "L

    : (1,1,1) qi e/1 -

    e'z : (2,1, -1), din care

    cieducem e\: (2,0, -1), e'r: (0' -\, -2) gi e', : (1, 1, 1)'

    6. in spaliul de polinoame fa,(R), se considerS' bazele B : {1,r,fr2," ',r"} $iB' : U,r - a,,(r - o)',..., (, - a)"). Sd se determine coordonatele in baza B' ale polino-rrului P(r) : ao * a1t i "' * anrn.

    solu[ze. E, este bazdin ?

  • Spal'ii, uectorzale

    8. S5 se determine dimensiuniie surnei ;i intersecliei subspa{ii}or generate de sistemeiec1e vecrori u: {(1, 2,-1),(3,4, -2), (2,2'-|)i;i I" : {(0,1,1), (1'2'0)}'

    9. S5 se arate cX sistemul de funclii tl,,J,=i; i 9i(f-;i''t] )' l"(r) : cos?-Lrr este iiliarrndependent. Ce concluzie rezult5 pentru

  • IMG_20151023_0001IMG_20151023_0002IMG_20151023_0003IMG_20151023_0004IMG_20151023_0005IMG_20151023_0006IMG_20151023_0007IMG_20151023_0008IMG_20151023_0009IMG_20151023_0010IMG_20151023_0011IMG_20151023_0012IMG_20151023_0013IMG_20151023_0014

of 14/14
PARTEA r. ALGEBRX lrxtanX Capitolul 1 Spatii vectoriale 1 Exemple de spatii vectoriale. Subspa{ii vectoriale 1. Se consirler5 V gi tr4l clou5, spatii vectoriale peste acelagi corp K. S5. se arate cE '.- x\Y: {(r, A)l* e V, g I4l} este spaliu vectorial peste f,{ in raport cu operaliile: (e,i, Er) * (rz, Uz) - {rt * n2,y1 * g2'1; a(r,y) : (ar,*g), {,1,$2 e V, Ut,'1,/z e W, Ya e K. Soluli,e. Fali de prima operatie ,*" , V x trV este grup abelian cu elementul neutru ,ri',0w), opusul lui (r,y) fiind (-r,-y).Axiomele amplific5rii cu scalari: (a+ 0)@,u): a(r,y) + 0(.r,a); (o' 0)@,a) : [email protected],v)i; L(",a) : (r,A); al(rt,yt) * (,r2,az)): a(rt,yt) I a(r2,y2), .:zu1t5 din faptui cX lz qi W sunt spatii vectoriale peste acelagi corp. 2. Orice corp K este spatiu vectoriai peste el lnsugi in raport cu operatia de adunare --:, -I( qi in care amplificarea cu scalari este inmullirea din K. 3. K" : K x K x...x K este spa{iu vectorial peste K (numit spaliu ar"itmet'icsau .neri,c) in raport cu operatiile: (.rt,12,... ,xn) * ('at,yz,'..,?Jn): (r1 * 1)r,tz * tJ2,...,frn + y,); a(r1.12,...,rn): (cirr ,aiu2,. "., orr). -:olulie. Rezultadinexerciqiileprecedente. inparticulr,.,/-',.'.+.lti .-' -;.- ..'- - - / a' .- -ral. iar (C" - : ) este :pa(iul vcctoriai complex. 1
Embed Size (px)
Recommended