22. SISTEME ROBUSTEacse.pub.ro/wp-content/uploads/2014/08/Cap22-Vol2.pdf22. SISTEME ROBUSTE Cristian...

22. SISTEME ROBUSTE

Cristian Oara

Acest capitol prezinta, ıntr-un cadru unitar, diferite rezultate referitoare la sistemelede reglare robusta. Capitolul este structurat ın doua mari parti: partea ıntai, formata dinprimele cinci sectiuni, cuprinde rezultate generale de Teoria sistemelor si teoria Riccatigeneralizata, si partea a doua cuprinde solutiile unor probleme specifice de reglare robusta.

Prima sectiune prezinta o scurta introducere a unor rezultate clasice din Teoria Sisteme-lor ce vor fi folosite extensiv pe parcursul capitolului, cu un accent special pe rezultate maiputin cunoscute: aplicatii intrare–iesire ın L2, operatori Toeplitz si Hankel, continuitateanormei H∞. Sectiunile de la 22.2 pana la 22.5 expun principalele rezultate ale teorieiRiccati generalizate sub ipoteze asupra coeficientilor matriciali ai ecuatiilor cat se poatede relaxate, incluzand cazurile nestandard cu signatura indefinita si singular. Abordareaconditiilor de existenta a solutiilor ecuatiei Riccati se face din trei perspective diferite:domeniul timp, domeniul frecvential si spatiul starilor, ceea ce conduce la caracterizariın termenii operatorului intrare–iesire, al matricei de transfer si respectiv al fascicululuisistem, toate asociate sistemului hamiltonian corespunzator. Sectiunea 22.2 introducecadrul general al abordarii teoriei Riccati generalizate. Notiunea centrala este tripletulPopov pentru care definim o relatie de echivalenta si cu care asociem cateva obiectematematice care vor juca un rol important mai departe: sistemul diferential hamiltonian,ecuatia Riccati, fasciculul hamiltonian extins, sistemul Kalman–Popov–Yakubovich. Sec-tiunea 22.3 prezinta principalele rezultate de existenta ale solutiei stabilizatoare ale ecuatieimatriciale algebrice Riccati, abordarea fiind succesiv ın domeniul timp si respectiv ın celfrecvential. Principalul rezultat ın domeniul timp afirma ca ecuatia algebrica Riccati areo solutie stabilizatoare daca si numai daca Toeplitzul asociat operatorului intrare–iesire alsistemului hamiltonian este inversabil. Acelasi rezultat transferat ın domeniul frecventialafirma ca ecuatia algebrica Riccati are o solutie stabilizatoare daca si numai daca functiaPopov este antianalitic factorizabila sau daca o anumita conditie de signatura frecventialaare loc. Sectiunea 22.4 se ocupa cu caracterizari pe spatiul starilor ale existentei solutieistabilizatoare ale ecuatiei si sistemului algebric Riccati, ın termenii fasciculului hamiltonianextins. Rezultatul central al sectiunii afirma ca ecuatia algebrica Riccati are o solutiestabilizatoare daca si numai daca fasciculul hamiltonian extins are un spatiu de deflatiestabil ce satisface o conditie de inversabilitate. Cand solutia stabilizatoare exista, furnizamformule de calcul numeric stabile si propunem ın sectiunea 22.5 algoritmi prototip eficientice pot fi aplicati pentru calculul acestor solutii ın conditiile cele mai generale posibile.

Partea a doua a capitolului cuprinde Sectiunile 22.6 – 22.10. In sectiunea 22.6 prezen-tam solutiile unor probleme clasice de Teoria Sistemelor sau ale unor extensii ample aleacestora: Lema de Real Marginire, convergenta familiilor de ecuatii Riccati, factorizaricoprime normalizate, Teorema Micii Amplificari, optimizare patratica cu constrangeredinamica si factorizarile spectrala si inner-outer ın cazul singular. Sectiunea 22.7 contineformularea si parametrizarea solutiilor problemei de aproximare Nehari de tip patru bloc,

Sisteme robuste 219

iar sectiunea 22.8 da solutia problemei de reglare optimala ın norma H2. Sectiunea 22.9este dedicata problemei de reglare optimale ın norma H∞. Criteriul de solvabilitate pebaza a doua ecuatii Riccati si parametrizarea clasei tuturor solutiilor sunt date pentrucazul cel mai general si se bazeaza esentialmente pe teoria Riccati generalizata prezentataın primele sectiuni. In final, sectiunea 22.10 contine solutiile a doua probleme de stabilizarerobusta cand incertitudinile sunt modelate ca actionand pe factori coprimi normalizati sauın mod multiplicativ.

22.1. Preliminarii

Aceasta sectiune este dedicata introducerii catorva concepte fundamentale din teoriasistemelor liniare, cu accent asupra notiunilor operatoriale ce nu au fost abordate anteriorın lucrare: evolutii dihotomice, norme intrare–iesire, continuitate, gramieni de controlabili-tate si observabilitate, transformari balansate, evolutii L2, operatori intrare–iesire, Hankelsi Toeplitz si diversele lor proprietati.

22.1.1. Sisteme liniare

In acest capitol facem presupunerea generala ca sistemele sunt liniare, finit dimensio-nale, invariante ın timp, cu timp continual. Cel mai uzual mod de descriere a dinamiciiunui sistem ce satisface toate aceste ipoteze este reprezentarea pe spatiul starilor descrisade ecuatiile

x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) +Du(t),

(22.1)

ın care t ∈ R este timpul, x(t) ∈ Cn este starea, u(t) ∈ Cm este intrarea, y(t) ∈ Cp esteiesirea sistemului si A, B, C, D sunt matrice constante de dimensiuni potrivite, avandelemente ın C. Matricea A este numita matricea de stare a sistemului. Uzual ne vomreferi la (22.1) indicand cvadruplul (A,B,C,D).

Comportarea intrare–iesire a sistemului (22.1) este descrisa convenabil de matricea detransfer care este matricea rationala proprie de dimensiune p×m, data explicit de

H(s) := C(sI − A)−1B +D =

[A BC D

]. (22.2)

H(s) este obtinuta luand transformata Laplace ın (22.1) si explicitand y(s) ca functie deu(s) ın forma

y(s) = H(s)u(s) (22.3)

(y(s) si u(s) sunt acum transformatele Laplace ale lui y(t) si u(t)). Plecand de la oreprezentare intrare–iesire (22.3), unde H(s) este o matrice rationala proprie (i.e., H(∞)este finita) data pe componente

H(s) = [hij(s)]p,mi,j=1,

putem ıntotdeauna ajunge la o reprezentare pe spatiul starilor (22.1) scriind o realizarestandard (A,B,C,D) a lui H(s) (v. § 5.3, vol. I al acestei lucrari). Desigur, putemıntotdeauna sa asiguram suplimentar ca realizarea este minimala. Daca H(s) este impro-

220 Cristian Oara

prie, atunci H(s) nu poate fi matricea de transfer a unui sistem pe spatiul starilor de tipul(22.1). Sintetizand discutia, oricarui sistem reprezentat pe spatiul starilor (22.1) ıi cores-punde o reprezentare intrare–iesire (22.3) unde H(s) este o matrice rationala proprie dataın (22.2), si oricarei reprezentari intrare–iesire (22.3), cu H(s) matrice rationala proprie ıicorespunde o reprezentare pe spatiul starilor (22.1). Ori de cate ori vom vorbi despreun sistem, vom subıntelege reprezentarea pe spatiul starilor (22.1) sau reprezentareaintrare–iesire (22.3). Pentru mai multe detalii v. cap. 20.

Sistemul (22.1) se numeste stabil (antistabil, dihotomic) daca toate valorile proprii alelui A sunt ın C− (C+,C\C0). Printr-un abuz de terminologie vom spune ca A este stabila,antistabila sau dihotomica daca este matricea de stare a unui sistem stabil, antistabil, saudihotomic.

Dupa o schimbare de coordonate de forma

x := Tx, (22.4)

ın care T este o matrice inversabila, vectorul de stare transformat x satisface

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),

y(t) = Cx(t) + Du(t),(22.5)

undeA := TAT−1, B := TB, C := CT−1, D := D. (22.6)

Formulele (22.6) implica faptul ca o schimbare de variabile (22.4) (numita si transformarede similaritate sau transformare de echivalenta nu afecteaza nici spectrul lui A nicimatricea de transfer asociata. Prin urmare, stabilitatea, antistabilitatea, dihotomia simatricea de transfer sunt invariante la schimbarea de coordonate. Printr-o transformarede similaritate T , un sistem dihotomic poate fi ıntotdeauna descompus ıntr-o parte stabilasi o parte antistabila ın urmatorul sens:

A = TAT−1 =

[A− 00 A+

]n−n+

, (22.7)

unde A− este patrata si stabila, iar A+ este patrata si antistabila. Cu o astfel detransformare, este convenabil sa scriem explicit celalalte matrice sistem ca

B = TB =

[B−B+

]n−n+

, C = CT−1 =[C− C+

].︸︷︷︸︸︷︷︸

n− n+

(22.8)

O astfel de transformare nu este unica. In orice caz, subspatiile

X−(A) := ImT−1

[In−

0

], X+(A) := ImT−1

[0In+

](22.9)

sunt independente de T si sunt numite subpatiul stabil si respectiv antistabil a lui A. Esteusor de vazut ca ele sunt subspatii invariante ale lui A ce sunt complementare, i.e.,

X−(A)⊕X+(A) = Rn,

Sisteme robuste 221

iar proiectiile pe aceste subspatii sunt date de formulele

Π− = T−1

[In− 00 0

]T , Π+ = T−1

[0 00 In+

]T . (22.10)

Introducem definitiile controlabilitatii si observabilitatii ın raport cu o multime.

Definitia 22.1. Fie M o multime ın C.Controlabilitatea Perechea ordonata de matrice (A,B), cu A ∈ Cn×n, B ∈ Cn×m, senumeste M–controlabila daca

rang[sIn − A −B

]= n, ∀s ∈ M.

Observabilitatea Perechea ordonata de matrice (C,A), cu A ∈ Cn×n, C ∈ Cp×n, senumeste M–observabila daca

rang

[sIn − A

C

]= n, ∀s ∈ M.

In particular, o pereche C–controlabila (pentru care M = C) este controlabila. DacaM = C+ ∪ C0 (or M = C−) perechea (A,B) se numeste stabilizabila (antistabilizabila).Similar se obtin notiunile de observabilitate, detectabilitate si antidetectabilitate.

Echivalent, un sistem este stabilizabil (sau antistabilizabil) daca si numai daca existaF ∈ Rm×n astfel ıncat A+BF este stabila (sau antistabila). In acest caz, matricea F estenumita matrice de reactie stabilizanta (antistabilizanta). Evident, o pereche de matricecontrolabila este simultan stabilizabila si antistabilizabila. Reciproc, daca o pereche dematrice este simultan stabilizabila si antistabilizabila atunci este automat controlabila.Notiuni si proprietati duale se definesc si rezulta pentru perechi observabile, detectabilesi antidetectabile.

22.1.2. Spatii de matrice rationale, norme si continuitate

Fie L∞(C0) spatiul Banach al functiilor cu valori matriciale complexe H(t) care sunt(esential) marginite pe C0, ın norma L∞(C0),

∥H∥∞ := supt∈C0

σ(H(t)) (22.11)

unde σ semnifica valoarea singulara maxima. Subspatiul rational al lui L∞(C0), notatRL∞

p×m, consta din toate matricele rationale p × m proprii si cu elemente marginite peaxa imaginara (fara poli pe axa imaginara). RH∞

+,p×m si RH∞−,p×m sunt spatiile de matrice

rationale proprii cu elemente analitice ın C+ ∪ C0, respectiv pe C− ∪ C0. Ori de cate oridimensiunile matricelor rezulta din context vom folosi notatia mai simpla RL∞, RH∞

+ ,sau RH∞

− . Daca o matrice rationala H(s) apartine uneia dintre aceste multimi de matricerationale si are o inversa care apartine aceleiasi multimi spunem ca H(s) este o unitateın acea multime.

Daca A este dihotomica, atunci matricea de transfer H(s) data de (22.2) este ın RL∞.Daca A este stabila, atunci H(s) este ın RH∞

+ . Daca A este antistabila, atunci H(s) esteın RH∞

− .

222 Cristian Oara

Un sistem care are matricea de transfer ın RH∞+ se numeste stabil intrare–iesire. Prin

urmare, clasa sistemelor stabile intrare–iesire coincide cu RH∞+ , si un sistem stabil (22.1)

(avand matricea A stabila) este ıntotdeauna stabil intrare–iesire. Reciproc, stabilitateaintrare–iesire nu implica ıntotdeauna stabilitatea sistemului (22.1). Pentru a face maipregnanta diferenta dintre aceste doua concepte de stabilitate folosim adesea termenulde intern stabil pentru a desemna stabilitatea sistemului (22.1). Stabilitatea interna esteechivalenta cu stabilitatea intrare–iesire sub ipoteza ca realizarea (22.2) este stabilizabilasi detectabila. Principala preocupare ın Automatica este stabilitatea interna pentru cagaranteaza ca la orice semnal de intrare avand energie marginita, injectat oriunde ınsistem, toate semnelele rezultante vor fi de asemenea de energie finita.

Aceeasi discutie se poate repeta ın raport cu dihotomia si antistabilitatea si spatiilecorespunzatoare RL∞ si RH∞

− . Astfel, un sistem (22.1) este dihotomic daca si numai dacaeste C0–controlabil, C0–observabil si matricea sa de transfer (22.2) este ın RL∞. Similar,un sistem (22.1) este antistabil daca si numai daca este antistabilizabil, antidetectabil simatricea sa de transfer (22.2) apartine lui RH∞

− .Relatia (22.11) poate fi scrisa echivalent pentru matricea rationala H(s) ca

∥H∥∞ = supω∈R

σ(H(jω)) = supω∈R∥H(jω)∥ (22.12)

unde ∥·∥ semnifica norma operatoriala indusa a matricei. Asa cum vom vedea ın Teorema22.9., ∥H∥∞ este norma indusa a operatorului intrare–iesire al sistemului (22.1). NormaH∞ este definita pentru matrice rationale H(s) ∈ RH∞

+ si are aceeasi expresie (22.12).Rezultatul urmator, ce va fi necesar ın dezvoltarile de mai tarziu, este datorat lui

Rellich.

Teorema 22.1. (Teorema lui Rellich) Fie matricea M(x) = M∗(x) de dimensiunen× n depinzand continuu de parametrul real x ce ia valori ın intervalul I. Atunci existafunctii reale si continue µ1, . . . ,µn definite pe I, astfel ıncat µn(x) ≤ . . . ≤ µ1(x), pentrufiecare x ın I, si Λ(M(x)) = µi(x) : i = 1, . . . , n.

Avem urmatoarea consecinta importanta.

Corolarul 22.1. Pentru H(s) ∈ RL∞p×m, σ(H(jω)) depinde continuu de ω ∈ R, este

marginita si ısi atinge maximul pentru ω ∈ [−∞,∞], unde prin definitie H(j∞) =H(−j∞) = D.

Rezultatul urmator relationeaza convergenta realizarii de stare cu conergenta matricelorde transfer asociate.

Teorema 22.2. Presupunem ca sirul de sisteme liniare

Hk(s) =

[Ak Bk

Ck Dk

], k ∈ N, (22.13)

este astfel ıncatAk → A,Bk → B,Ck → C Dk → D

cand k →∞, A si Ak sunt toate stabile si H(s) = C(sI − A)−1B +D ≡ 0. Atunci

limk→∞∥Hk∥∞ = 0.

Sisteme robuste 223

Interesant, acest rezultat se poate deduce rapid din varianta sa discreta, care ın schimbeste mult mai usor de demonstrat.

Adjunctul (sau conjugatul) unei matrice de transfer H a unui sistem cu timp continualse defineste ca

H∗(s) := HT (−s),

astfel ıncat pentru fiecare ω ∈ R,

H∗(jω) = HT (−jω) = [H(jω)]∗.

O realizare a lui H∗ este data de

H∗(s) =

[−AT −CT

BT DT

]. (22.14)

Fie L2(M) spatiul Hilbert al functiilor matriciale (vectoriale sau scalare) cu valori complexeH(t) pentru care ∫

MTrace [H∗(t)H(t)]dt <∞, (22.15)

unde M este alternativ Z, (−∞,∞), C0, sau ∂D. Daca multimea M rezulta din context, ovom omite si vom scrie simplu L2.

In particular, L2(C0) desemneaza spatiul Hilbert al functiilor matriciale (vectoriale sauscalare) cu valori complexe H(t) pentru care norma L2(C0)

∥H∥2 := 1

2π

∫ ∞

−∞Trace [H∗(jω)H(jω)]dω

12 (22.16)

este finita. Daca H(s) este o matrice rationala, atunci norma L2(C0) este finita doar dacaH(s) este strict proprie. Norma H2 este definita pentru matrice rationale H ∈ RH∞

+ siare aceeasi expresie (22.16).

22.1.3. Gramieni si valori singulare Hankel

Presupunem ca A este stabila. Atunci urmatoarele ecuatii Lyapunov

AP + PAT +BBT = 0 (22.17)

siATQ+QA+ CTC = 0 (22.18)

au solutie unica pozitiv semidefinita P si respectiv Q ın Rn×n. P este numit gramianul decontrolabilitate cauzal asociat cu perechea de matrice (A,B) si Q este numit gramianulde observabilitate cauzal asociat cu perechea de matrice (C,A). Aceasta terminologie estejustificata de faptul ca P > 0 daca si numai daca sistemul este controlabil, si similarQ > 0 daca si numai daca sistemul este observabil.

Se poate verifica imediat ca

P =

∫ ∞

0

eAtBBT eAT tdt , Q =

∫ ∞

0

eAT tCTCeAtdt. (22.19)

224 Cristian Oara

Fie Λ(PQ) = Λ(QP ) = σ21, . . . ,σ

2n. Cum P si Q sunt pozitiv semidefinite, obtinem ca

σi, (i = 1, . . . , n), sunt semipozitive. Acele valori σi care sunt diferite de zero depind doarde matricea de transfer H(s) si sunt numite valori singulare Hankel ale sistemului.

Dupa o transformare de coordonate x = Tx a sistemului (22.1), este usor de vazut cagramienii se schimba conform formulelor

P = TPT T , Q = T−TQT−1. (22.20)

Conform rezultatului urmator, exista o transformare de coordonate care face gramieniiegali si diagonali.

Teorema 22.3. Presupunem ca sistemul (22.1) este stabil. Atunci exista o schimbare decoordonate x = Tx astfel ıncat gramienii devin egali si diagonali,

P = Q =

σ1

. . .

σn

, (σ1 ≥ . . . ≥ σn).

O astfel de transformare de coordonate T se numeste transformare de balansare, iar unsistem (22.1) ın noul sistem de coordonate se numeste ın forma balansata. Fie (A, B, C,D)o realizare balansata pentru sistemul (22.1). Urmatorul rezultat este important ın reduce-rea dimensionala.

Teorema 22.4. Presupunem ca sistemul (22.1) este stabil, fie T o transformare de balan-

sare si fie A = TAT−1 matricea de stare a sistemului ın forma balansata. Daca exista unıntreg i astfel ıncat valorile singulare Hankel ale sistemului (22.1) satisfac σi > σi+1, siA1 si A2 sunt coltul i × i stanga–sus, respectiv coltul (n − i) × (n − i) dreapta–jos al lui

A, atunci A1 si A2 sunt ambele stabile.

In cazul ın care A este antistabila, introducem gramianul de controlabilitate anticauzal Pasociat cu perechea de matrice (A,B) si gramianul de observabilitate anticauzal Q asociatcu perechea de matrice (C,A) ca fiind unicele solutii ale ecuatiilor Lyapunov

AP + PAT −BBT = 0 (22.21)

si respectivAT Q+ QA− CTC = 0. (22.22)

Acestea se pot exprima ca

P =

∫ 0

−∞eAtBBT eA

T tdt , Q =

∫ 0

−∞eA

T tCTCeAtdt, (22.23)

si au proprietati similare cu variantele lor cauzale. De fapt, este usor de observat ca Peste gramianul de controlabilitate cauzal asociat cu perechea (−A,B), ın timp ce Q estegramianul de observabilitate asociat cu perechea (C,−A).

Presupunem ca D = 0. Daca A este stabila, norma L2(C0) a matricei de transfer H(s)poate fi calculata folosind formulele

∥H∥2 = [Trace (BTQB)]12 = [Trace (CPCT )]

12 . (22.24)

Similar, daca A este antistabila,

∥H∥2 = [Trace (BT QB)]12 = [Trace (CPCT )]

12 . (22.25)

Sisteme robuste 225

22.1.4. Evolutii L2

Introducem cateva solutii particulare importante ale sistemului diferential liniar

x = Ax+Bu, (22.26)

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, ın cazul ın care u este o functie ın L2,m(−∞,∞). AiciL2,m(−∞,∞) – sau, pe scurt, L2,m – semnifica spatiul Hilbert al functiilor de patratintegrabil pe (−∞, ∞), care iau valori ın Cm. Daca u ∈ L2,m atunci

∥u∥2 := (

∫ ∞

−∞∥u(t)∥2dt)

12 <∞

este norma L2 a lui u. Fie L2,m+ si L2,m

− subspatiile ınchise ale lui L2,m constand dinfunctiile cu suport ın [0, ∞) si respectiv (−∞, 0]. Evident, L2,m = L2,m

+ ⊕ L2,m− . Daca

dimensiunile sunt clare din context vom folosi notatia prescurtata L2 pentru L2,m. In celece urmeaza ne vom referi adesea la functii L2 care iau valori reale. Cea mai uzuala solutiea (22.26) este solutia cu valori initiale. Pentru un ξ arbitrar ın Rn si u ın L2,m

+ , notam cuxξ,u solutia sistemului (22.26) care satisface x(0) = ξ si care este data explicit de formulade variatie a constantelor

xξ,u(t) = eAtξ+

∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ, t ≥ 0. (22.27)

In afara de aceasta, vom studia si alte solutii ale sistemului (22.26) pe care le vom introduceın acest paragraf. In particular, vom da ori de cate ori este posibil o expresie operatorialapentru aceste solutii.

Vom considera succesiv cazurile ın care A este stabila, antistabila, dihotomica siarbitrara.

Cazul A stabila

Daca A este stabila, solutia ın conditii initiale xξ,u este ın L2,n+ pentru fiecare ξ ∈ Rn

si u ∈ L2,m+ . Introducem urmatorii operatori liniari:

Φ : Rn → L2,n+ , (Φξ)(t) := eAtξ, t ≥ 0, (22.28)

si

L : L2,m+ → L2,n

+ , (Lu)(t) :=∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ, t ≥ 0. (22.29)

Este usor de verificat ca Φ si L sunt operatori marginiti, rezultand

xξ,u = Φξ+ Lu. (22.30)

Consideram cazul unei intrari u ın L2,m (definita pe ıntreaga axa reala).

Teorema 22.5. Fie A stabila. Pentru orice u ın L2,m, ecuatia (22.26) are o solutie unicaxue ın L2,n, care este data de

xue (t) =

∫ t

−∞eA(t−τ)Bu(τ)dτ , t ∈ R. (22.31)

Mai mult, aceasta solutie este absolut continua.

226 Cristian Oara

Folosind aceasta teorema, rezulta ca putem defini operatorul liniar marginit Le din L2,m

ın L2,n, dat de

(Leu)(t) :=

∫ t

−∞eA(t−τ)Bu(τ)dτ , t ∈ R. (22.32)

Corespunzator, avem

xue = Leu (22.33)

si

∥Le∥ ≤ρ∥B∥σ

.

Daca notam cu P r±, proiectiile uzuale ortogonale ale lui L2,r pe L2,r

± , rezulta imediat ca

L = P n+LeP

m+ = LeP

m+ , (22.34)

unde L si Le sunt definite ın (22.29) si respectiv (22.32).

Cazul A antistabila

Urmatorul rezultat se poate obtine direct din Teorema 22.5. printr-o transformare dereversare a timpului.

Teorema 22.6. Fie A antistabila. Atunci pentru oricare u ın L2,m, ecuatia (22.26) areo unica solutie ın L2,n, care este data de

xue (t) = −

∫ ∞

t

eA(t−τ)Bu(τ)dτ , t ∈ R. (22.35)

Mai mult, aceasta solutie este absolut continua.

Analog putem defini ın acest caz operatorul liniar marginit Le de la L2,m la L2,n dat de

(Leu)(t) := −∫ ∞

t

eA(t−τ)Bu(τ)dτ , t ∈ R, (22.36)

astfel ıncat (22.33) continua sa ramana valid.

Pentru u ∈ L2,m+ introducem

xu(t) =

−∫∞t

eA(t−τ)Bu(τ)dτ, t ≥ 0,0, t < 0.

(22.37)

Daca introducem operatorul L ın acest caz prin relatia (22.37), obtinem

xu = Lu (22.38)

unde (22.34) se schimba ın

L = P n−LeP

m− . (22.39)

Sisteme robuste 227

Cazul A dihotomica

Combinand Teoremele 22.5. si 22.6., obtinem urmatorul rezultat.

Teorema 22.7. Fie A dihotomica. Atunci pentru oricare u ın L2,m, ecuatia (22.26) areo solutie unica ın L2,n, care este data de

xue (t) =

∫ t

−∞eA(t−τ)Π−Bu(τ)dτ −

∫ ∞

t

eA(t−τ)Π+Bu(τ)dτ , t ∈ R, (22.40)

unde Π− and Π+ sunt proiectiile (22.10) ale lui Rn pe subspatiile stabil si respectiv antistabilale lui A.

Exact ca ın precedentele doua cazuri, definim operatorul liniar marginit

Le : L2,m → L2,n, xu

e := Leu. (22.41)

Definim de asemeneaL : L2,m

+ → L2,n+ , L := P n

+LePm+ ,

sixu := Lu.

Cazul A arbitrara

In acest caz definim solutia ın conditii initiale xξ,u prin intermediul (22.27). In general,xξ,u nu este ın L2,n

+ . Este interesant de considerat atunci multimea acelor intrari u carefac solutia xξ,u de patrat integrabil. Aceste intrari pot fi vazute ca stabilizand sistemulın bucla deschisa. Introducem

Uξ := u : u ∈ L2,m+ a.i. xξ,u ∈ L2,n

+ . (22.42)

Daca A este stabila atunci Uξ = L2,m+ . In general, are loc urmatorul rezultat.

Lema 22.1. Presupunem (A,B) stabilizabila si F o reactie stabilizatoare. Fie ξ ∈ Rn siu ∈ L2,m

+ . Atunci u ∈ Uξ daca si numai daca u = Fxξ,vF + v, unde v este arbitrara ın L2,m

+

si xξ,vF este unica solutie ın L2,n

+ a sistemului

xF = (A+BF )xF +Bv , xF (0) = ξ.

In acelasi spirit, putem considera xu dat de (22.37) pentru acei u pentru care integralaconverge. Din nou, putem considera multimea intrarilor care fac ca xu sa fie o functie depatrat integrabil

U := u : u ∈ L2,m+ a.i. xu ∈ L2,n

+ . (22.43)

Aceasta multime este complet caracterizata de urmatorul rezultat.

Lema 22.2. Presupunem ca (A,B) este antistabilizabila si F este o reactie antistabiliza-

toare. Atunci u ∈ U daca si numai daca u = FxvF + v, unde v este arbitrara ın L2,m

+ sixvF este unica solutie ın L2,n

+ a lui

xF = (A+BF )xF +Bv.

228 Cristian Oara

Operatorul L2 intrare–iesire

Consideram sistemul liniar (22.1),

x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) +Du(t).

(22.44)

Presupunem ın ceea ce urmeaza ca A este dihotomica si u este arbitrara ın L2,m. Atuncidin (22.41) avem x = xu

e = Leu. Corespunzator avem y = (CLe +D)u, iar iesirea y esteın L2,p. In consecinta, sistemul (22.44) defineste un operator liniar marginit din L2,m ınL2,p, a carui expresie rezulta din (22.40) ca fiind

(Hu)(t) =∫ t

−∞CeA(t−τ)Π−Bu(τ)dτ −

∫ ∞

t

CeA(t−τ)Π+Bu(τ)dτ +Du(t). (22.45)

O expresie alternativa pentru H poate fi obtinuta aplicand o schimbare de coordonate pespatiul starilor T care realizeaza descompunerea (22.7), (22.8) ıntr-o parte stabila si unaantistabila. Cum o schimbare de coordonate nu afecteaza relatia dintre intrarea si iesireaunui sistem, putem scrie mai departe

(Hu)(t) =∫ t

−∞C−e

A−(t−τ)B−u(τ)dτ −∫ ∞

t

C+eA+(t−τ)B+u(τ)dτ +Du(t). (22.46)

Urmatorul rezultat da conditii suficiente de inversabilitate a operatorului intrare–iesire.

Teorema 22.8. Presupunem D inversabil si A−BD−1C este dihotomica. Atunci opera-torul intrare–iesire H este inversabil si inversa sa este operatorul intrare–iesire al sistemu-lui

x(t) = (A−BD−1C)x(t) + BD−1y(t),u(t) = −D−1Cx(t) + D−1y(t).

(22.47)

Cum A este dihotomica, matricea de transfer H(s) = C(sI − A)−1B + D a lui (22.44)apartine lui RL∞

p×m. Daca y ∈ L2,p si u ∈ L2,m sunt astfel ıncat

y = Hu,

atunci transformatele lor Fourier y si u sunt elemente ın L2(C0) si

y(jω) = H(jω)u(jω),

pentru aproape toti ω.

Teorema 22.9. Daca sistemul (22.44) este dihotomic, atunci norma operatorului sauintrare–iesire este egala cu norma L∞(C0) a matricei sale de transfer, i.e.,

∥H∥ = ∥H∥∞. (22.48)

Sisteme robuste 229

Operatori Hankel si Toeplitz

Cu un sistem dihotomic am asociat un operator liniar marginit H de la L2,m la L2,p.Introducem ın continuare alti doi operatori importanti ce actioneaza pe spatiile LebesgueL2− si L2

+ definite pe cele doua semiaxe.

Notam cu P r±, proiectiile uzuale ortogonale ale lui L2,r pe L2,r

± .

Definitia 22.2. Fie H un operator liniar marginit de la L2,m la L2,p. Definim:

1. Operatorul Hankel cauzal asociat cu H,

HH := P p+H|L2,m

−.

2. Operatorul Hankel anticauzal asociat cu H,

HH := P p−H|L2,m

+.

3. Operatorul Toeplitz cauzal asociat cu H,

TH := P p+H|L2,m

+.

4. Operatorul Toeplitz anticauzal asociat cu H,

TH := P p−H|L2,m

−.

Observatia 22.1. Cum ın general ne ocupam de operatori L2 definiti de sisteme liniare,restrictiile la L2

± care apar ın Definitia 22.2. cer specificarea unei valori initiale adecvate.Pentru simplitate, omitem conditiile initiale si facem un abuz folosind ın schimb urmatoare-le definitii modificate:

HH := P p+HPm

− , HH := P p−HPm

+ , TH := P p+HPm

+ , TH := P p−HPm

− .

Observatia 22.2. Fie Le si L operatorii introdusi ın Paragraful 22.1.4. Atunci (22.34) si(22.39) exprima faptul ca L este sau operatorul Toeplitz cauzal sau cel anticauzal asociatcu Le, i.e., L = TLe sau L = TLe .

In continuare, acesti operatori vor fi asociati cu operatorii intrare–iesire H ai sistemuluiliniar

x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) +Du(t).

(22.49)

In acest caz este convenabil sa numim matricea de transfer rationala asociata simboluloperatorului Toeplitz (Hankel). Vom indica uneori operatorul Toeplitz prin simbolul sau,ca de exemplu TH , ın loc sa folosim operatorul intrare–iesire corespunzator, ca de exempluTH.

Propozitia 22.1. Fie H un operator liniar marginit de la L2,m la L2,p. Atunci:

1. TH = HPm+ daca si numai daca HH = 0.

230 Cristian Oara

2. TH = HPm− daca si numai daca HH = 0.

Urmatorul rezultat face legatura ıntre stabilitate si anularea operatorului Hankel anticauzal.

Teorema 22.10. Presupunem sistemul (22.49) dihotomic si fie H operatorul L2 intrare-iesire. Daca A este stabila, atunci HH = 0.

Reciproc, daca HH = 0 si ın plus (A,B) este controlabila si (C,A) este observabila,atunci A este stabila.

Observatia 22.3. Duala Teoremei 22.10. poate fi obtinuta schimband stabilitatea cuantistabilitatea si operatorul Hankel anticauzal cu cel cauzal.

Urmatoarea definitie este sugerata de Teorema 22.10..

Definitia 22.3. Un operator liniar marginit H de la L2,m la L2,p se numeste cauzal dacaHH = 0 si anticauzal daca HH = 0.

Spunem ca sistemul liniar (22.49) este (anti)cauzal daca operatorul lui intrare–iesireG este (anti)cauzal.

Conform cu Propozitia 22.1., cauzalitatea lui H este echivalenta cu

TH = HPm+ ,

ın timp ce anticauzalitatea este echivalenta cu

TH = HPm− .

Conform cu Teorema 22.10., un sistem stabil este cauzal, ın timp ce un sistem cauzal ceeste controlabil si observabil, este stabil.

Daca sistemul (22.49) este cauzal si u ∈ L2,m− , atunci deducem

(HHu)(t) = (P+Hu)(t) = CeAt

∫ 0

−∞e−AτBu(τ)dτ. (22.50)

Definim operatorul cauzal de controlabilitate Ψ : L2,m− → Rn ca

Ψu :=

∫ 0

−∞e−AτBu(τ)dτ , u ∈ L2,m

− , (22.51)

si operatorul cauzal de observabilitate Θ : Rn → L2,p+ ca

(Θx)(t) := CeAtx , t ≥ 0, x ∈ Rn. (22.52)

Cu aceste definitii, (22.50) poate fi scris ca

HH = ΘΨ. (22.53)

Similar, daca sistemul (22.49) este anticauzal, atunci scriem

HH = ΘΨ, (22.54)

Sisteme robuste 231

unde Ψ : L2,m+ → Rn este operatorul anticauzal de controlabilitate

Ψu := −∫ ∞

0

e−AτBu(τ)dτ , u ∈ L2,m+ , (22.55)

si Θ : Rn → L2,p− este operatorul anticauzal de observabilitate

(Θx)(t) := CeAtx , t ≤ 0, x ∈ Rn. (22.56)

Evident, operatorii Ψ, Θ, Ψ, Θ sunt de rang finit. Din formulele (22.53) si (22.54), rezultaca HH si HH sunt de asemenea operatori de rang finit.

Adjunctii acestor operatori sunt

(Ψ∗x)(t) = BT e−AT t , t ≤ 0 , x ∈ Rn, (22.57)

Θ∗y =

∫ ∞

0

eAT tCTy(t)dt , y ∈ L2,p

+ , (22.58)

si(Ψ∗x)(t) = −BT e−AT t , t ≥ 0, x ∈ Rn, (22.59)

Θ∗y =

∫ 0

−∞eA

T tCTy(t)dt , y ∈ L2,p− . (22.60)

Cu aceste expresii putem calcula

ΨΨ∗ =

∫ 0

−∞e−AτBBT e−AT τdτ =

∫ ∞

0

eAtBBT eAT tdt = P, (22.61)

Θ∗Θ =

∫ ∞

0

eAT tCTCeAtdt = Q, (22.62)

si

ΨΨ∗ =

∫ ∞

0

e−AtBBT e−AT tdt = P , (22.63)

Θ∗Θ =

∫ ∞

0

e−AT tCTCe−Atdt = Q, (22.64)

unde P , P , Q, si Q sunt gramienii cauzal, anticauzal, de controlabilitate, si respectiv deobservabilitate, asa cum rezulta din (22.19) si (22.23).

Propozitia 22.2. Fie H operatorul intrare–iesire al unui sistem liniar cauzal. Atunciσ > 0 este o valoare singulara Hankel a sistemului daca si numai daca este o valoaresingulara a lui HH.

O consecinta simpla a precedentului rezultat este data ın corolarul urmator.

Corolarul 22.2. Daca H este operatorul L2 intrare–iesire al unui sistem cauzal atunci

∥HH∥ = σ(PQ).

Corolarul 22.2. justifica urmatoarea definitie.

232 Cristian Oara

Definitia 22.4. Daca H este operatorul L2 intrare–iesire al unui sistem cauzal atunci∥HH∥ se numeste norma cauzala Hankel, notata cu ∥H∥H .

Atat Propozitia 22.2. cat si Corolarul 22.2. admit evident duale anticauzale. Corespunzator,putem defini ca ın Definitia 22.4., norma anticauzala Hankel pe care o vom nota cu ∥H∥H .

In final, prezentam cateva rezultate auxiliare pentru operatori generali Hankel siToeplitz. Primul dintre ele ne da adjunctii acestor operatori.

Propozitia 22.3. Fie H un operator liniar marginit de la L2,m la L2,p. Atunci adjunctiioperatorilor Hankel si Toeplitz sunt:

T∗H = TH∗ , T

∗H = TH∗ ,

H∗H = HH∗ , H

∗H = HH∗ .

Un rezultat simplu, dar important da operatorul Toeplitz al compunerii a doi operatori.

Propozitia 22.4. Fie H1 un operator liniar marginit de la L2,m la L2,p si fie H2 unoperator liniar marginit de la L2,n la L2,m. Atunci

TH1H2 = TH1TH2 + HH1HH2 . (22.65)

Doua consecinte imediate ale Propozitiei 22.4. vor fi folosite ın mod repetat.

Corolarul 22.3. Fie H1 un operator liniar marginit de la L2,m la L2,p si H2 un operatorliniar marginit de la L2,n la L2,m. Daca H1 este anticauzal, sau H2 este cauzal, atunciTH1H2 = TH1TH2.

Corolarul 22.4. Fie H un operator liniar marginit pe L2,m ce are un invers marginit.Daca H este cauzal sau anticauzal, atunci TH este inversabil si T−1

H = TH−1.

22.2. Triplete Popov

Notiunea de triplet Popov si diferitele obiecte asociate furnizeaza un cadru unitarpentru toate dezvoltarile teoretice atat ın studiul ecuatiei algebrice Riccati cat si ınexpunerea rezultatelor de reglare robusta ın general.

Introducem pentru ınceput notiunea de triplet Popov ımpreuna cu o relatie de echiva-lenta si discutam diversele ei semnificatii ın § 22.2.1. In § 22.2.2 asociem cu un tripletPopov mai multe obiecte matematice relevante ın studiul reglarii robuste a sistemelor sistudiem relatiile dintre aceste obiecte si dintre perechi de astfel de obiecte asociate cudoua triplete Popov echivalente: diferiti indici patratici; sistemul algebric Riccati careeste o extensie a ecuatiei algebrice Riccati; sistemul Kalman–Popov–Yakubovich care esteo alternativa extrem de utila de scriere a ecuatiei Riccati; sistemul hamiltonian; fascicululde transmisie si matricea de transfer intrare–iesire a sistemului hamiltonian, cunoscutesub numele de fasciculul hamiltonian extins si respectiv functia Popov. In § 22.2.3 damcateva exemple de triplete Popov importante ın reglarea robusta si optimala a sistemelor.

Sisteme robuste 233

22.2.1. Definitii, echivalenta si semnificatie

Incepem cu definitia generala.

Definitia 22.5. (Triplet Popov) Un triplet de matrice

Σ := (A,B;P ), P :=

[Q LLT R

]= P T ,

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, Q = QT ∈ Rn×n, L ∈ Rn×m, R = RT ∈ Rm×m siP ∈ R(n+m)×(n+m), se numeste triplet Popov. Alternativ si cel mai adesea vom folosireprezentarea explicita a unui triplet Popov sub forma

Σ = (A,B;Q,L,R).

Un triplet Popov poate fi vazut ca o reprezentare sintetica (sau abreviata) a unui cupluformat dintr-un sistem dinamic comandat

x = Ax+Bu (22.66)

si un indice de performanta asociat

J =

∫ t1

t0

wT (t)Pw(t)dt, w(t) :=

[x(t)u(t)

], (22.67)

unde x(t) si u(t) satisfac (22.66).Introducem o relatie de echivalenta pentru tripletele Popov.

Definitia 22.6. (Echivalenta tripletelor Popov) Doua triplete Popov

Σ = (A,B;Q,L,R),

Σ = (A, B; Q, L, R),

sunt numite (X,F )–echivalente (sau simplu, echivalente) daca exista F ∈ Rm×n siX= XT ∈ Rn×n a.ı.

A = A+BF,

B = B,

Q = Q+ LF + F TLT + F TRF + ATX +XA,

L = L+ F TR +XB,

R = R.

(22.68)

Spunem ca Σ este un feedback echivalent (sau F–echivalent) al lui Σ daca este(0, F )–echivalent pentru o matrice F .

Spunem ca Σ este un echivalent redus al lui Σ daca este (X, 0)–echivalent si, ın plus,

Q = 0.

Este usor de verificat ca relatia introdusa anterior este ıntr-adevar o relatie de echivalentacare satisface axiomele corespunzatoare. Calcule simple arata ca daca Σ si Σ sunt (X,F )–

echivalente, si Σ si˜Σ sunt (X, F )–echivalente, atunci Σ si

˜Σ sunt (

˜X,

˜F )–echivalente, unde˜

X := X + X si˜F := F + F .

234 Cristian Oara

Observatia 22.4. Din (22.68) observam ca daca Σ este un echivalent redus al lui Σ,atunci X satisface ecuatia Lyapunov

ATX +XA+Q = 0. (22.69)

Daca A este stabila, atunci ecuatia Lyapunov (22.69) are o solutie unica. Daca perechea

(A,B) este stabilizabila, este posibil sa determinam ıntai o reactie F a.ı. A = A + BFeste stabila si apoi sa rezolvam (22.69) pentru tripletul F–echivalent pentru a obtine unechivalent redus.

Vom numi ecuatia Lyapunov (22.69), ecuatia Lyapunov de reducere a lui Σ. In cazurileın care aceasta ecuatie are solutie unica Xr vom nota tripletul Popov (Xr, 0)–echivalentcu Σr = (A,B; 0, Lr, R), unde Lr = L+XrB.

Observatia 22.5. Relatia de echivalenta introdusa ın Definitia 22.6. este un caz particularal unei relatii introduse de Popov ın [44]. In fapt, este o transformare generala care lasaneschimbata valoarea indicelui patratic asociat cu tripletul Popov. Este usor de vazutcare este motivatia pentru echivalenta de tip feedback. Daca ın sistemul comandat (22.66)facem o schimbare a intrarii

u = Fx+ v (22.70)

– numita transformare feedback – si rescriem sistemul comandat (22.66) si indicele patratic(22.67) ın termenii noii intrari, este clar ca noul sistem comandat si noul indice patraticcorespund tripletului Popov F–echivalent cu Σ.

22.2.2. Obiecte asociate unui triplet Popov

Fixam un triplet Popov Σ = (A,B;Q,L,R), cu A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, asociem cu Σ

cateva obiecte matematice si studiem efectul pe care ıl are transformarea de echivalentaasupra lor.

Indice patratic

Indicele patratic asociat cu Σ este functionala

JΣ(ξ, u) :=

⟨[xξ,u

u

],

[Q LLT R

] [xξ,u

u

]⟩L2,n+ ×L2,m

+

, (22.71)

unde xξ,u este solutia ecuatiei (22.66) care satisface x(0) = ξ definit ın (22.27) si u ∈ L2,m+

este a.ı. xξ,u ∈ L2,n+ , i.e., u apartine multimii Uξ introduse ın (22.42). Daca A este stabila,

JΣ(ξ, u) este definita pentru toti ξ ∈ Rn si u ∈ L2,m+ .

In cazul ın care A este dihotomica, introducem indicele patratic extins asociat cu Σ cafiind

Je,Σ(u) :=

⟨[xue

u

],

[Q LLT R

] [xue

u

]⟩L2,n×L2,m

, (22.72)

unde xue este solutia L2 pe ıntreaga axa a (22.66) definita de (22.40).

Sisteme robuste 235

Limitand orizontul de timp ın indicele patratic extins (22.72) la semiaxa reala pozitivaintroducem indicele patratic restrans asociat cu Σ ca fiind functionala

JΣ(u) :=

⟨[xu

u

],

[Q LLT R

] [xu

u

]⟩L2,n+ ×L2,m

+

, (22.73)

unde xu este solutia ecuatiei (22.66) definita de (22.37), iar u este astfel ıncat xu are

patratul normei integrabil, i.e., u apartine multimii U introdusa ın (22.43). Daca A esteantistabila, JΣ(u) este definita pentru fiecare u ∈ L2,m

+ .Rezultatul urmator arata cum se transforma indicii patratici introdusi anterior sub

transformarea de echivalenta a tripletelor Popov asociate.

Propozitia 22.5. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete Popov(X,F )–echivalente Popov. Avem:

1. JΣ(ξ, u) = JΣ(ξ, u) + ξTXξ, (u ∈ Uξ), unde u = −Fxξ,u + u.

2. JΣ(u) = JΣ(u) + (xu(0))TXxu(0), (u ∈ U), unde u = −Fxu + u.

3. Daca A+BF este dihotomica, atunci Je,Σ(u) = Je,Σ(u), unde u = −Fxue + u.

Sistemul matricial algebric Riccati (SMAR)

Pentru o matrice simetrica X ∈ Rn×n, definim matricea de disipatie asociata cu Σ

DΣ(X) :=

[ATX +XA+Q L+XB

BTX + LT R

]. (22.74)

Sistemul de ecuatii

DΣ(X)

[IF

]= 0 (22.75)

ın necunoscutele F ∈ Rm×n, X ∈ Rn×n, se numeste sistemul matricial algebric Riccati(SMAR) asociat cu Σ, notat SMAR(Σ).

Definitia 22.7. O pereche (X,F ) satisfacand (22.75), cu X = XT si A+BF stabila, senumeste solutie stabilizatoare a SMAR(Σ).

Pentru solutia SMAR se poate arata urmatorul rezultat de unicitate.

Propozitia 22.6. Fie (X,F ) si (X, F ) doua solutii stabilizatoare ale SMAR(Σ) dat ın

(22.75). Atunci X = X.

Urmatorul rezultat da relatia ce exista ıntre solutiile stabilizatoare a doua SMAR asociatecu triplete Popov echivalente.

Propozitia 22.7. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete (X,F )–echivalente. Atunci (Xs, Fs) este o solutie (stabilizatoare) a SMAR(Σ) daca si numai daca

(Xs −X,Fs − F ) este o solutie (stabilizatoare) a SMAR(Σ).

236 Cristian Oara

Ecuatia matriciala algebrica Riccati (EMAR)

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu R nesingulara. Din (22.75) avem

F = −R−1(BTX + LT ) (22.76)

care substituit mai departe conduce la (pentru X = XT )

ATX +XA− (XB + L)R−1(BTX + LT ) +Q = 0. (22.77)

Aceasta este binecunoscuta ecuatie matriciala algebrica Riccati (EMAR) asociata cu Σ,notata EMAR(Σ).

Definitia 22.8. O solutie simetrica X a (22.77) se numeste solutie stabilizatoare (antista-bilizatoare) a EMAR(Σ) daca A+BF este stabila (antistabila) pentru F definit ın (22.76).Matricea F din (22.76) se numeste reactie Riccati stabilizatoare (antistabilizatoare),notata FRicc.

Din Propozitia 22.6. obtinem direct urmatorul rezultat.

Corolarul 22.5. Daca EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare atunci aceasta este unica.

O consecinta imediata a Propozitiei 22.7. este formulata sub forma urmatorului corolar.

Corolarul 22.6. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete Popov(X,F )–echivalente. Atunci Xs este solutia stabilizatoare a EMAR(Σ) daca si numai daca

Xs−X este solutia stabilizatoare a EMAR(Σ). Reactiile stabilizatoare Riccati sunt legateprin formula

FRicc = FRicc − F. (22.78)

Sistemul Kalman–Popov–Yakubovich (SKPY)

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu R inversabila. Fie J o matrice semn dedimensiune m×m. Sistemul neliniar ın necunoscutele X = XT , V si W , dat de

R = V TJV,L+XB = W TJV,

Q+ ATX +XA = W TJW,(22.79)

se numeste sistemul Kalman–Popov–Yakubovich (SKPY) asociat cu Σ si J si se noteazaSKPY(Σ, J). Cum R este presupusa inversabila, rezulta din prima ecuatie (22.79) ca douaconditii necesare de existenta a solutiei SKPY sunt inversabilitatea lui J , i.e., J trebuiesa aiba forma

J =

[−Im1

Im2

](22.80)

pentru m1 si m2 corespunzator alesi a.ı. m1+m2 = m, si sgn (R) = J . Vom utiliza ın totceea ce urmeaza numai SKPY definite pentru matrice de semn nesingulare J de forma(22.80).

Sisteme robuste 237

Definitia 22.9. Un triplet de matrice (X = XT , V,W ) satisfacand (22.79) astfel ıncatA+BF este stabila, pentru

F := −V −1W, (22.81)

se numeste solutie stabilizatoare a SKPY(Σ, J), iar F este reactia stabilizatoare.

Observatia 22.6. EMAR (22.77) si SKPY (22.79) asociate cu acelasi triplet Popov Σ

sunt de fapt doua scrieri echivalente ale aceluiasi concept. Daca (X = XT , V,W ) satisfaceSKPY(Σ, J), atunci X este o solutie simetrica a CTARE(Σ). Intr-adevar, din primaecuatie (22.79) rezulta ca V poate fi eliminat ımpreuna cu W din (22.79), si ajungem laCTARE(Σ). Reciproc, daca X este o solutie simetrica a (22.77), atunci alegem un V astfelıncat prima ecuatie din (22.79) este satisfacuta (daca sgn (R) = J). Atunci W poate fidefinit astfel ıncat sa satisfaca a doua ecuatie din (22.79) si rezulta imediat ca satisface sia treia ecuatie din (22.79). Prin urmare, tripletul (X, V,W ) este o solutie a SKPY(Σ, J).Este usor de verificat ca reactia Riccati (22.76) coincide ın acest caz cu reactia data de(22.81). Aceasta constructie stabileste o relatie ıntre solutiile EMAR si solutiile SKPY.SKPY(Σ, J) are o solutie (stabilizatoare) (X = XT , V,W ) daca si numai daca EMAR(Σ)are o solutie (stabilizatoare) X si sgn (R) = J .

Ca o consecinta simpla avem urmatorul rezultat.

Corolarul 22.7. Daca (X,V,W ) si (X, V , W ) sunt doua solutii stabilizatoare ale aceluiasi

SKPY(Σ, J), atunci X = X.

Observatia 22.7. Daca matricea de semn J este sau J = Im sau J = −Im, atunci(22.79) se reduce la

R = V TV,L+XB = W TV,

Q+ ATX +XA = W TW,(22.82)

respectiv laR = −V TV,

L+XB = −W TV,Q+ ATX +XA = −W TW.

(22.83)

SKPY (22.82) si (22.83) sunt cunoscute sub numele de SKPY ın forma de pozitivitateSKPY(Σ, I) si respectiv SKPY ın forma de megativitate SKPY(Σ,−I).

SKPY din (22.79) poate fi folosit pentru a scrie diferite reprezentari convenabile aleindicelui patratic asociat cu Σ (v. si notatia introdusa ın § 22.1.4.).

Propozitia 22.8. Fie Σ un triplet Popov si fie (X,V,W ) o solutie a SKPY(Σ, J) din(22.79) (nu neaparat stabilizatoare).

1. Pentru fiecare u ∈ Uξ avem

JΣ(ξ, u) =⟨V u+Wxξ,u, J(V u+Wxξ,u)

⟩L2,m+

+ ξTXξ. (22.84)

2. Pentru fiecare u ∈ U avem

JΣ(u) = ⟨V u+Wxu, J(V u+Wxu)⟩L2,m+

+ (xu(0))TXxu(0). (22.85)

3. Daca A este dihotomica, avem

Je,Σ(u) = ⟨V u+Wxue , J(V u+Wxu

e )⟩L2,m , u ∈ L2,m. (22.86)

238 Cristian Oara

Urmatorul rezultat da relatia dintre solutiile stabilizatoare ale SKPYS asociate cu tripletePopov echivalente.

Propozitia 22.9. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete Popov(X,F )–echivalente. Atunci (Xs, Vs,Ws) este o solutie (stabilizatoare) a SKPY(Σ, J) daca

si numai daca (Xs −X,Vs,Ws + VsF ) este o solutie (stabilizatoare) a SKPY(Σ, J).

Sistemul hamiltonian (SH)

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. Sistemul liniar de ecuatii diferentiale

x = Ax +Bu,

λ = −Qx − ATλ − Lu,v = LTx +BTλ +Ru,

(22.87)

se numeste sistemul hamiltonian (SH) asociat cu Σ, notat SH(Σ).Suntem ın particular interesati de acele triplete (u, x, λ) care anuleaza iesirea v a SH.

Avem urmatorul rezultat.

Propozitia 22.10. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete Popov(X,F )–echivalente. Atunci (u, x, λ) anuleaza iesirea SH(Σ) pe un anumit interval de timp

daca si numai daca (u−Fx, x, λ−Xx) anuleaza iesirea SH(Σ) pe acelasi interval de timp.

Fasciculul hamiltonian extins (FHE)

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. Fasciculul matricial sMΣ −NΣ, cu

MΣ :=

I O OO I OO O O

, NΣ :=

A O B−Q −AT −LLT BT R

, (22.88)

se numeste fasciculul hamiltonian extins (FHE) asociat cu Σ, notat FHE(Σ).FHE(Σ) poate fi interpretat ca fiind fasciculul (matricea) de transmisie a SH(Σ) din

(22.87). Cum suntem ın particular interesati de solutiile ce anuleaza iesirea SH, fascicululde transmisie va juca un rol semnificativ. Mai precis, daca luam v = 0 ın (22.87) si notam

z(t) :=

x(t)λ(t)u(t)

,

atunci putem rescrie (22.87) ın forma descriptor MΣz = NΣz.Rezultatul urmator arata legatura dintre doua FHE asociate cu triplete Popov echiva-

lente.

Propozitia 22.11. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete Popov

(X,F )–echivalente. Atunci FHE(Σ) si FHE(Σ) satisfac

sMΣ −NΣ = U(sMΣ−N

Σ)V, (22.89)

unde

U :=

I O OX I F T

O O I

, V :=

I O O−X I O−F O I

. (22.90)

Sisteme robuste 239

Functia Popov

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. Pentru s ∈ C \ Λ(A) ∪ Λ(−AT ) definimmatricea rationala

ΠΣ(s) := [BT (−sI − AT )−1 I]

[Q LLT R

] [(sI − A)−1B

I

], (22.91)

care se numeste functia Popov asociata cu Σ.Este usor de verificat ca

ΠΣ =

A O B−Q −AT −LLT BT R

, (22.92)

adica ΠΣ este exact matricea de transfer de la u la v a SH(Σ) din (22.87). Mai mult,FHE(Σ) este exact fasciculul de transmisie asociat cu realizarea (22.92) a functiei Popov.Rezultatul urmator arata legatura dintre doua functii Popov asociate cu doua tripletePopov echivalente.


(X,F )–echivalente. Atunci pentru s ∈ C \ Λ(A) ∪Λ(−AT ) ∪Λ(A) ∪Λ(−AT ) avem

ΠΣ(s) = S∗F (s)ΠΣ

(s)SF (s), (22.93)

unde

SF :=

[A B−F I

]. (22.94)

Mai mult, daca (Xs = XTs , Fs) este o solutie a EMAR(Σ) din (22.75), atunci

ΠΣ(s) = S∗Fs(s)RSFs(s) (22.95)

unde SFs este (22.94) scrisa pentru F = Fs. (Identitatea (22.95) este cunoscuta caidentitatea de factorizare spectrala si (22.94) este numit factor spectral).

Operatori asociati unui triplet Popov

In § 22.1.4 am dat diferite solutii ale sistemului liniar de ecuatii diferentiale

x = Ax+Bu (22.96)

exprimate ın forma operatoriala (ca de exemplu (22.30) si (22.38)). Daca ınlocuimaceste expresii ın indicii patratici asociati cu Σ, vom obtine expresii operatoriale pentruindicii patratici ce vor juca un rol central ın principalele rezultate ın domeniul robustetiisistemelor. Incepem cu cazul ın care A este dihotomica.

Cazul A dihotomica. Presupunem ca A este dihotomica si u ∈ L2,m. Inlocuindsolutia xu

e = Leu a ecuatiei (22.96) ın expresia indicelui patratic extins (22.72), obtinem

Je,Σ(u) =

⟨[xue

u

],

[Q LLT R

] [xue

u

]⟩=

⟨u,[L∗

e I] [ Q L

LT R

] [Le

I

]u

⟩= ⟨u,Re,Σu⟩ , (22.97)

240 Cristian Oara

undeRe,Σ := R + LTLe + L∗

eL+ L∗eQLe = R∗

e,Σ (22.98)

este operatorul liniar marginit de la L2,m ın L2,m. Rezultatul urmator stabileste legaturaıntre operatorii Re asociati cu doua triplete Popov echivalente.


(X,F )–echivalente. Daca A si A = A+BF sunt dihotomice, atunci

Re,Σ = N ∗FRe,ΣNF , (22.99)

unde NF este operatorul intrare–iesire al sistemului

x = Ax+Bu,v = −Fx+ u.

(22.100)

In particular, daca Σ este (X, 0)–echivalent cu Σ, atunci Re,Σ = Re,Σ.

Cazul A stabila. Presupunem acum ca A este stabila. Atunci indicele patraticJΣ(ξ, u) din (22.71) este bine definit pentru orice u ∈ L2,m

+ . Inlocuind ın (22.71) solutiaxξ,u = Φξ+ Lu a ecuatiei (22.96), pentru x(0) = ξ si u ∈ L2,m

+ , avem

JΣ(ξ, u) =

⟨[xξ,u

u

],

[Q LLT R

] [xξ,u

u

]⟩=

⟨[Φ LO I

] [ξ

u

],

[Q LLT R

] [Φ LO I

] [ξ

u

]⟩=

⟨[ξ

u

],

[Φ∗ OL∗ I

] [Q LLT R

] [Φ LO I

] [ξ

u

]⟩=

⟨[ξ

u

],

[Po,Σ PΣ

P∗Σ RΣ

] [ξ

u

]⟩, (22.101)

undePo,Σ : Rn → Rn, Po,Σ := Φ∗QΦ, (22.102)

PΣ : L2,m+ → Rn, PΣ := Φ∗(QL+ L), (22.103)

RΣ : L2,m+ → L2,m

+ , RΣ := R + LTL+ L∗L+ L∗QL = R∗Σ (22.104)

sunt toti operatori liniar marginiti.Operatorul adjunct al lui Φ este dat de

Φ∗x =

∫ ∞

0

eAT tx(t)dt, x ∈ L2,n

+ , (22.105)

si poate fi obtinut din formula (22.58) daca observam ca Φ este operatorul cauzal deobservabilitate ın cazul particular ın care C = In.

Scriind (22.102) explicit avem

Po,Σ =

∫ ∞

0

eAT tQeAtdt. (22.106)

Sisteme robuste 241

Din ultima expresie este usor de verificat ca Po,Σ este unica solutie a ecuatiei Lyapunovde reducere a lui Σ,

ATX +XA+Q = 0, (22.107)

de unde Po,Σ = Xr.Adjunctul lui L este

(L∗x)(t) =

∫ ∞

t

BT e−AT (t−τ)x(τ)dτ, ∀x ∈ L2,n+ , t ≥ 0. (22.108)

Cum A este stabila, operatorul Le este cauzal asa cum rezulta din Teorema 22.10. luandC = In, D = 0. Deoarece L este operatorul Toeplitz corespunzator lui Le si folosindCorolarul 22.3. ın relatia (22.98), deducem ca

RΣ = TRe,Σ, (22.109)

adica operatorul RΣ este un operator Toeplitz.Rezultatul urmator stabileste legatura ıntre operatorii introdusi anterior si asociati cu

doua triplete Popov echivalente.


(X,F )–echivalente. Daca A si A = A+BF sunt stabile, atunci

Po,Σ = X + Po,Σ − PΣFΦ− Φ∗F TP∗

Σ+ Φ∗F TR

ΣFΦ , (22.110)

PΣ = (PΣ− Φ∗F TR

Σ)TNF

, (22.111)

RΣ = T∗NFR

ΣTNF

, (22.112)

unde NF este operatorul intrare–iesire al sistemului (22.100).

In particular, daca Σ este (X, 0)–echivalent cu Σ, atunci Po,Σ = X + Po,Σ, PΣ = PΣ,

RΣ = RΣ.

Cazul A antistabila. Presupunem acum ca A este antistabila. Indicele patratic JΣ(u)din (22.73) este definit pentru fiecare u ∈ L2,m

+ . Substituind ın (22.73) solutia xu = Lu aecuatiei (22.96), pentru u ∈ L2,m

+ , avem

JΣ(u) = ⟨u,RΣu⟩ , (22.113)

unde RΣ : L2,m+ → L2,m

+ este operatorul liniar marginit

RΣ = R + LTL+ L∗L+ L∗QL = RΣ∗. (22.114)

Cu toate ca L este ın acest caz si operatorul Toeplitz corespunzator lui Le, acesta nu esteın general cazual si, prin urmare, RΣ nu este ın general un operator Toeplitz. OperatorulToeplitz al luiRe,Σ poate fi calculat din (22.98) folosind Propozitia 22.4.. Obtinem folosindsi Propozitia 22.3. ca TRe,Σ

= RΣ + HL∗eQHLe , i.e.,

RΣ = TRe,Σ− H

∗LeQHLe . (22.115)

242 Cristian Oara

Aceasta relatie este cunoscuta ca reprezentarea Toeplitz–Hankel a RΣ. O consecintaimportanta a acestei relatii este ca RΣ este operatorul Toeplitz daca Q = 0. In particular,daca Σr este echivalentul redus al lui Σ, atunci RΣr este un operator Toeplitz. Mai precis,

RΣr = TRe,Σr= TRe,Σ

. (22.116)

Aplicand (22.54) pentru cazul particular ın care C = In, D = 0, avem HLe = ΦΨ, unde

Ψ : L2,m+ → Rn este operatorul anticauzal de controlabilitate (22.55) al perechii (A,B) si

Φ : Rn → L2,n− este operatorul anticauzal de observabilitate (22.56) al perechii (In, A), i.e.,

(Φξ)(t) = eAtξ , t ≤ 0 , ξ ∈ Rn. Substituind ın (22.115), avem

RΣ = TRe,Σ− Ψ∗Φ∗QΦΨ. (22.117)

Dar

−Φ∗QΦ = −∫ 0

−∞eA

T tQeAtdt (22.118)

este solutia unica Xr a ecuatiei Lyapunov de reducere a tripletului Σ dat explicit ın(22.107). Operatorul RΣ poate fi din nou scris ca

RΣ = TRe,Σ+ Ψ∗XrΨ. (22.119)

Pentru operatorii R asociati cu doua triplete Popov echivalente avem urmatorul rezultat.

Propozitia 22.15. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) si Σ = (A, B; Q, L, R) doua triplete Popov(X,F )–echivalente. Daca A si A+BF sunt antistabile, atunci

RΣ = T∗NFR

ΣTNF

+ Ψ∗XΨ, (22.120)

unde NF este operatorul intrare–iesire al sistemului (22.100).

In particular, daca Σ este (X, 0)–echivalent cu Σ, atunci RΣ = RΣ+ Ψ∗XΨ.

Reducerea cazului A antistabila la cazul A stabila. Aratam ca operatorul RΣr

din (22.116) este un operator de tipul (22.104) asociat cu un triplet Popov potrivit alescu matricea A stabila. Introducem ıntai urmatoarea definitie.

Definitia 22.10. (Dualul unui triplet Popov) Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Po-pov cu A antistabila si fie Σr = (A,B;O,Lr = L +XrB,R) echivalentul redus, unde Xr

este solutia unica a ecuatiei Lyapunov de reducere ATX +XA+Q = 0. Atunci tripletulPopov Σd = (Ad, Bd; 0, Ld, Rd), unde

Ad = −AT , Bd = −Lr = −L−XrB, Ld = B, Rd = R, (22.121)

se numeste tripletul Popov dual al lui Σ.

Matricea Ad din (22.121) este stabila, pentru ca A este antistabila. Rezultatul urmatorarata cateva relatii interesante ıntre diversii operatori asociati cu tripletul original Σ sirespectiv cu dualul sau Σd.

Sisteme robuste 243

Lema 22.3. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A antistabila si

Σr = (A,B;O,Lr = L+XrB,R), Σd = (Ad, Bd; 0, Ld, Rd),

tripletele Popov redus si respectiv dual ale lui Σ. Atunci

RΣd= RΣr , (22.122)

PΣd= −Ψ, (22.123)

unde Ψ este operatorul amticauzal de controlabilitate (22.55) asociat cu perechea (A,B),iar functiile Popov sunt legate prin

ΠΣ = ΠΣd. (22.124)

Re ca operator intrare–iesire al SH. Exista o relatie intima ıntre operatoriiintrodusi anterior si obiectele matematice asociate unui triplet Popov. Aceste legaturivor fi investigate ın detaliu ın § 22.3. Momentan retinem urmatorul rezultat.

Teorema 22.11. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. Daca A este dihotomica,atunci operatorul Re,Σ din (22.98) este operatorul L2 intrare–iesire al SH(Σ) din (22.87).

O consecinta imediata a acestei teoreme este faptul ca daca A este stabila atunci RΣ esteoperatorul Toeplitz avand ca simbol functia Popov ΠΣ. Intr-adevar, functia Popov estematricea de transfer a sistemului hamiltonian, iar RΣ este operatorul Toeplitz asociat cuoperatorul intrare–iesire al sistemului hamiltonian.

22.2.3. Cazuri particulare importante

Cateva triplete Popov particulare joaca un rol central ın reglarea sistemelor robuste.Fie sistemul

H =

[A BC D

]. (22.125)

Asociem tripletele Popov:

Σp = (A,B;CTC,CTD,DTD), (22.126)

Σn = (A,B;CTC,CTD, I +DTD), (22.127)

Σc = (A,B;CTC,CTD,−γ2I +DTD), (22.128)

pentru orice γ > 0. Acestea se numesc tripletele Popov de pozitivitate, normalizat sirespectiv γ–contractiv asociate cu sistemul (22.125). Daca D = 0, Σn devine

Σs = (A,B;CTC, 0, I), (22.129)

forma ın care se numeste tripletul Popov standard (de reglare) asociat cu sistemul strictpropriu

H =

[A BC O

]. (22.130)

244 Cristian Oara

Tripletul Σs poate fi obtinut din Σp daca urmatoarele conditii de ortogonalitate suntsatisfacute:

CTD = 0, DTD = I. (22.131)

Acest lucru se ıntampla de exemplu daca (22.125) are forma particulara

H =

A BC OO I

. (22.132)

Functiile Popov asociate cu (22.126), (22.127) si (22.128) sunt

ΠΣp(s) = H∗(s)H(s), (22.133)

ΠΣn(s) = I +H∗(s)H(s), (22.134)

ΠΣc(s) = −γ2I +H∗(s)H(s). (22.135)

Daca A este dihotomica atunci H(jω) este bine definita pentru toti ω ∈ R. Prin urmare,H∗(jω)H(jω) ≥ 0 pentru ∀ω ∈ R. Aceasta justifica atributul de pozitivitate dat luiΣp. Daca −γ2I +H∗(jω)H(jω) ≤ 0 pentru ∀ ω ∈ R, atunci ∥H∥∞ ≤ γ si atributul decontractiv pentru Σc apare ıntr-un mod natural. Terminologia adoptata pentru Σn va fijustificata mai tarziu ın conexiune cu factorizarile coprime normalizate.

Indicele patratic (22.71) asociat cu Σs este

JΣs(ξ, u) =

∫ ∞

0

(∥y∥2 + ∥u∥2)dt = ∥y∥22 + ∥u∥22, (22.136)

(aici y = Cx), si EMAR (22.77) asociata cu Σs este

ATX +XA−XBBTX + CTC = 0 (22.137)

forma ın care se recunoaste EMAR standard (de reglare) asociata cu problema liniarpatratica

minu∈Uξ

JΣs(ξ, u).

O importanta similara o are forma duala a lui (22.137),

AY + Y AT − Y CTCY +BBT = 0, (22.138)

cunoscuta si sub numele de EMAR standard de estimare asociata cu tripletul Popovstandard (de estimare) Σe = (AT , CT ;BBT , 0, I).

22.3. Teoria Riccati generalizata

In aceasta sectiune prezentam criterii de existenta pentru solutia stabilizatoare aEMAR ın domeniile timp si frecvential. Principalul rezultat ın domeniul timp este dat ın§ 22.3.1 si leaga existenta solutiei stabilizatoare a EMAR de inversabilitatea operatoruluiToeplitz asociat sistemului hamiltonian (SH) ın cazul ın care matricea de stare A estestabila. Acest rezultat contine cea mai mare parte a rezultatelor din controlul liniarpatratic pe care le prezentam ca simple particularizari. Relaxam ipoteza de stabilitate

Sisteme robuste 245

a matricei de stare ınlocuind-o cu ipoteza de stabilizabilitate a perechii (A,B) ın §22.3.2. Din nou acordam o atentie particulara rezultatelor clasice de pozitivitate. In§ 22.3.3 discutam cazul ın care matricea A este antistabila si obtinem un rezultat deexistenta pentru solutia stabilizatoare a EMAR pe care ıl aplicam mai departe pentru aobtine solutia problemei liniar patratice ın timp invers. Caracterizarea existentei solutieistabilizatoare a EMAR ın termenii inversabilitatii operatorului Toeplitz asociat SH dataın § 22.3.1 – cu toate ca foarte generala – este dificil de verificat. Un remediu la aceastadificultate este dat ın § 22.3.4 unde prezentam conditia de signatura care este o conditiesuficienta de inversabilitate a operatorului Toeplitz asociat SH. Conditia de signaturajoaca un rol important ın situatii de jocuri dinamice de tip maxmin, ın problema Nehari,problema de reglare H∞ si ın problema de stabilizare robusta. Ne reıntoarcem la punctulde vedere ingineresc ın spiritul celebrei monografii a lui Popov ın § 22.3.5 unde traducemın termeni frecventiali toate conditiile necesare si suficiente obtinute, folosind o simplaevaluare a functiei Popov de-a lungul axei imaginare.

22.3.1. Existenta solutiei stabilizatoare: cazul stabil

Dandu-se tripletul Popov Σ = (A,B;Q,L,R), A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, A stabila,prezentam conditii necesare si suficiente pentru existenta solutiei stabilizatoare a EMAR(Σ)

ATX +XA− (XB + L)R−1(BTX + LT ) +Q = 0, (22.139)

ın termenii inversabilitatii operatorului Toeplitz RΣ asociat SH si dat explicit de

RΣ : L2,m+ → L2,m

+ , RΣ := R + LTL+ L∗L+ L∗QL = R∗Σ, (22.140)

unde

L : L2,m+ → L2,n

+ , (Lu)(t) :=∫ t

0

eA(t−τ)Bu(τ)dτ, t ≥ 0. (22.141)

RΣ este operatorul Toeplitz asociat cu operatorul intrare–iesire

Re,Σ : L2,m → L2,m, Re,Σ := R + LTLe + L∗eL+ L∗

eQLe = R∗e,Σ (22.142)

al SH(Σ)x = Ax +Bu,

λ = −Qx − ATλ − Lu,v = LTx +BTλ +Ru,

(22.143)

unde

Le : L2,m → L2,n , (Leu)(t) :=

∫ t

−∞eA(t−τ)Bu(τ)dτ, t ∈ R. (22.144)

FieΦ : Rn → L2,n

+ , (Φξ)(t) := eAtξ, t ≥ 0, (22.145)

Po,Σ : Rn → Rn, Po,Σ := Φ∗QΦ, (22.146)

PΣ : L2,m+ → Rn, PΣ := Φ∗(QL+ L), (22.147)

operatori ce vor juca un rol important ın caracterizarile date ın continuare.Teorema urmatoare contine rezultatul central al teoriei Riccati generalizate.

246 Cristian Oara

Teorema 22.12. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A stabila. Urmatoareleafirma-tii sunt echivalente.

1. R este nesingulara si EMAR(Σ) data ın (22.139) are o (unica) solutie stabilizatoareX.

2. Operatorul Toeplitz RΣ dat ın (22.140) are o inversa marginita.

Demonstratia teoremei este relativ dificila si se bazeaza pe cateva rezultate auxiliare ceau importanta intrinseca.

Lema 22.4. Daca ξ ∈ Rn si u ∈ L2,m+ , atunci exista o unica traiectorie de stare (x, λ) ın

L2,n+ × L2,n

+ a SH(Σ) (22.143) astfel ıncat x(0) = ξ, notata (xξ,u, λξ,u)). Mai mult, iesireacorespunzatoare vξ,u ∈ L2,m

+ a SH(Σ) satisface

vξ,u = P∗Σξ+RΣu. (22.148)

Presupunem acum ca RΣ este inversabil. Atunci pentru fiecare ξ exista un unic u astfelıncat vξ,u = 0. Daca notam un astfel de u prin uξ, avem din (22.148) ca

uξ = −R−1Σ P

∗Σξ. (22.149)

Fie xξ := xξ,uξ

, λξ := λξ,uξ

, solutiile corespunzatoare ale SH(Σ) dat ın (22.143).Deoarece SH este invariant ın timp, daca ξ′ = xξ(τ), atunci uξ′(t) = uξ(t + τ) si

λξ′(t) = λξ(t+ τ).

Lema 22.5. Avemλξ = Xxξ, (22.150)

unde X este n× n matricea simetrica

X := Po,Σ − PΣR−1Σ P

∗Σ. (22.151)

De fapt, X introdusa ın (22.151) – numita formula de reprezentare – este solutiastabilizatoare a EMAR(Σ).

Lema 22.6. Functia uξ este absolut continua. Mai mult, matricea

F := −R−1(BTX + LT ), (22.152)

unde X este data de (22.151) satisface

uξ = Fxξ. (22.153)

Lema 22.7. Daca F este data de (22.152) si X este data de (22.151), atunci A+BF estestabila si X satisface EMAR(Σ) (22.139), i.e., X este solutia stabilizatoare a EMAR(Σ)si F = FRicc este reactia Riccati stabilizatoare.

In particular, obtinem urmatoarea formula pentru indicele patratic.

Corolarul 22.8. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A stabila. Presupunem caoperatorul Toeplitz RΣ din (22.140) are o inversa marginita si fie X solutia stabilizatoarea EMAR(Σ). Atunci avem

JΣ(ξ, uξ) =

⟨[xξ,uξ

u

],

[Q LLT R

] [xξ,uξ

u

]⟩L2,n+ ×L2,m

+

= ξTXξ (22.154)

pentru fiecare ξ ∈ Rn si uξ = −R−1Σ P∗

Σξ, cu PΣ dat ın (22.147).

Sisteme robuste 247

Cazul de pozitivitate

Bazandu-ne pe faptul evident ca un operator coercitiv este inversabil, Teorema 22.12.conduce la urmatorul rezultat ce face conexiunea cu problema de reglare liniar patratica.Ipoteza de baza aici este pozitivitatea matricei R (coeficientul termenului patratic).

Corolarul 22.9. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A stabila.1. Operatorul Re,Σ dat ın (22.142) este coercitiv daca si numai daca R > 0 si

EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare X.2. Daca operatorul Re,Σ este coercitiv atunci minimul indicelui patratic (22.71) este

minu∈L2,m

+

JΣ(ξ, u) = ξTXξ, ∀ξ ∈ Rn, (22.155)

si acest minim se atinge pentru u = uξ dat ın (22.149). In particular, uξ satisface(22.153).

3. Daca ın plus [Q LLT R

]≥ 0, (22.156)

si operatorul Re,Σ este coercitiv atunci X ≥ 0.

Daca relaxam conditia de coercitivitate de la punctul 1 al Corolarului 22.9. obtinemurmatorul rezultat.

Corolarul 22.10. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A stabila. Presupunemca R > 0 si ca perechea (A,B) este controlabila. Daca

Re,Σ ≥ 0, (22.157)

atunci exista o solutie simetrica X a EMAR(Σ), astfel ıncat pentru F definit de (22.152)avem Λ(A+BF ) ⊂ C− ∪ C0. (Numim X o solutie semistabilizatoare a EMAR).

22.3.2. Ridicarea ipotezei de stabilitate

Folosind o transformare de tip feedback este trivial sa relaxam ipoteza de stabilitatedin Teorema 22.12. la cea de stabilizabilitate a perechii (A,B). Cum EMAR(Σ) areo solutie stabilizatoare doar daca perechea (A,B) este stabilizabila, aceasta nu este ınconsecinta o ipoteza restrictiva.

Teorema 22.13. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu (A,B) stabilizabila. Atunciurmatoarele doua enunturi sunt echivalente:

1. R este nesingulara si EMAR(Σ) (22.139) are o (unica) solutie stabilizatoare.2. Exista F ∈ Rm×n astfel ıncat A+BF este stabila si astfel ıncat F–echivalentul lui

Σ, notat Σ = (A, B; Q, L, R), are un operator Toeplitz RΣinversabil.

Daca punctul 2 al Teoremei 22.13. are loc pentru o reactie F arbitrara, dar stabilizatoare,atunci are loc pentru oricare reactie F stabilizatoare.

Faptul ca existenta solutiei stabilizatoare, ın absenta stabilitatii matricei A, este decisaın termenii unui triplet Popov transformat folosit ın locul celui original nu este foartesatisfacator. Vom vedea ın § 22.3.3 ca aceasta situatie poate fi partial corectata ın cazulın care A este antistabila si ın cazul de pozitivitate ın care se poate folosi din nou tripletulPopov original.

248 Cristian Oara

Ecuatia Riccati standard de reglare

Urmatorul rezultat sintetizeaza cazul standard de pozitivitate ce apare ın reglareasistemelor folosind un indice de performanta patratic.

Corolarul 22.11. Fie Σs = (A,B;CTC, 0, I) tripletul standard de reglare si presupunemca perechile (A,B) si (C,A) sunt stabilizabila si respectiv detectabila. Atunci EMAR(Σs)


are o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinita.

22.3.3. Existenta solutiei stabilizatoare ın cazul antistabil

Principalele instrumente tehnice introduse ın sectiunea anterioara functioneaza evidentsi ın cazul ın care A este antistabila. In orice caz, cand A este antistabila putem obtineun rezultat interesant ce va fi util la rezolvarea problemei Nehari ın § 22.7.

Teorema 22.14. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A antistabila. Asociemcu Σ tripletul echivalent redus Σr = (A,B; 0, L + XrB,R) si tripletul Popov dual Σd =(−AT ,−L − XrB; 0, B,R), unde Xr este unica solutie a ecuatiei Lyapunov de reducereATX +XA+Q = 0. Urmatoarele enunturi sunt echivalente:

1. R este nesingulara si EMAR(Σd) are o solutie stabilizatoare Z.2. Operatorul Toeplitz RΣr este inversabil, unde RΣr este operatorul Toeplitz (22.140)

scris pentru tripletul Popov Σr.Daca punctul 1 are loc, atunci Z este dat de formula de reprezentare

Z = −ΨR−1ΣrΨ∗,

unde Ψ este operatorul de controlabilitate anticauzal (22.55) asociat cu perechea (A,B).

Teorema urmatoare contine rezultatul central al paragrafului.

Teorema 22.15. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A antistabila. Fie Σr =(A,B; 0, Lr, R) echivalentul redus al lui Σ unde Xr este unica solutie a ecuatiei Lyapunovde reducere ATX +XA+Q = 0. Atunci urmatoarele enunturi sunt echivalente.

1. R este inversabila si EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare X astfel ıncat X −Xr

este nesingulara.2. Operatorul Toeplitz RΣr este inversabil si ΨR−1

ΣrΨ∗ este inversabil.

Demonstratia acestui rezultat se face pe baza lemei urmatoare ce are un interes de sinestatator.

Lema 22.8. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A antistabila si R inversabila sifie Σr = (A,B; 0, Lr = L+XrB,R) si Σd = (Ad = −AT , Bd = −Lr = −L−XrB; 0, B,R)tripletele Popov echivalent redus si respectiv dual asociate cu Σ, unde Xr este solutia unicaa ecuatiei Lyapunov de reducere ATX + XA + Q = 0. Atunci EMAR(Σr) are o solutiestabilizatoare inversabila X daca si numai daca EMAR(Σd) are o solutie stabilizatoarenesingulara Z si ın acest caz

X = −Z−1.

Sisteme robuste 249

Cazul de pozitivitate

Prezentam ın continuare cazul de pozitivitate si aratam ca solutia stabilizatoare studiataın § 22.3.3 apare ıntr-o problema liniar patratica ın timp invers.

Corolarul 22.12. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A antistabila. Presupunemca:

a. Re,Σ este coercitiv.b. (A,B) este controlabila.Atunci:1. R > 0 si EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare X astfel ıncat X −Xr este pozitiv

definita.2. Avem

minΨu = ξ

u ∈ L2,m+

JΣ(u) = ξTXξ, (22.159)

unde

JΣ(u) =

⟨[xu

u

],

[Q LLT R

] [xu

u

]⟩L2,n+ ×L2,m

+

.

22.3.4. Conditia de signatura

Asa cum am vazut ın Teorema 22.12., existenta solutiei stabilizatoare a EMAR esteintim legata de existenta unei inverse marginite a operatorului Toeplitz RΣ. Cazul depozitivitate descris ın Corolarul 22.9. este cel mai simplu caz ın care inversabilitateaacestui operator poate fi garantata.

Dam ın continuare o conditie mai elaborata de inversabilitate a operatorului ToeplitzRΣ – numita conditia de signatura – care joaca un rol central ın rezolvarea problemelorcentrale din reglarea robusta si ın jocuri dinamice necooperative.

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, si A stabila. Fiepartitia

B = [B1 B2], Bi ∈ Rn×mi , i = 1, 2, m1 +m2 = m, (22.160)

si partitiile corespunzatoare

L = [L1 L2], R =

[R11 R12

RT12 R22

]. (22.161)

Solutia problemei ın conditii initiale date

x = Ax+B1u1 +B2u2 , x(0) = ξ, (22.162)

se poate scriexξ,u1,u2 = Φξ+ L1u1 + L2u2,

unde Li, i = 1, 2, sunt operatorii L din (22.141) corespunzatori perechilor (A,Bi). Folosind(22.140), operatorul RΣ poate fi partitionat conform ca

RΣ =

[R11 R12

R∗12 R22

]. (22.163)

250 Cristian Oara

Este usor de vazut ca R22 coincide cu operatorul Toeplitz RΣ2 asociat cu tripletul Popov

Σ2 = (A,B2;Q,L2, R22). (22.164)

Suntem ın pozitia de a enunta rezultatul central al sectiunii.

Teorema 22.16. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu elementele partitionate caın (22.160)–(22.161) si A stabila. Daca R22 >> 0 si

R×11 = R11 −R12R−1

22R∗12 << 0, (22.165)

(vezi (22.163)) atunci avem:1. EMAR(Σ2) are o solutie stabilizatoare X2, unde Σ2 = (A,B2;Q,L2, R22).2. EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare X astfel ıncat

X ≥ X2. (22.166)

Rezultatul urmator arata ca situatia considerata ın Teorema 22.16. este relationata cuo problema patratica de tip maxmin, sau, ın alta interpretare, o problema patratica deoptimizare ın bucla deschisa.

Teorema 22.17. Folosind aceleasi notatii si ipoteze ca ın Teorema 22.16., fie

JΣ(ξ, u1, u2) =

⟨ xξ,u1,u2

u1

u2

,

Q L1 L2

LT1 R11 R12

LT2 RT

12 R22

xξ,u1,u2

u1

u2

⟩

indicele patratic (22.71) pentru toti (ξ, u1, u2) ∈ Rn × L2,m1+ × L2,m2

+ . Atunci:

1. Pentru fiecare ξ ∈ Rn si fiecare u1 ∈ L2,m1+ , exista un unic u2 ın L2,m2

+ , notat uξ,u1

2 ,care minimizeaza JΣ(ξ, u1, u2), i.e.,

JΣ(ξ, u1, u2) ≥ JΣ(ξ, u1, uξ,u1

2 ) (22.167)

pentru toti u2 ∈ L2,m2+ .

2. Pentru fiecare ξ ın Rn, exista un unic u1, notat uξ1, care maximizeaza JΣ(ξ, u1, u

ξ,u1

2 ).

3. Fie uξ2 = u

ξ,uξ1

2 . AtunciJΣ(ξ, u

ξ1, u

ξ2) = ξTXξ (22.168)

pentru fiecare ξ ∈ Rn, unde X este solutia stabilizatoare a EMAR(Σ).Mai mult, daca xξ este solutia (22.162) corespunzatoare lui u1 = uξ

1 si u2 = uξ2, atunci

uξ =

[uξ1

uξ2

]= FRicc x

ξ, (22.169)

unde FRicc este reactia Riccati stabilizatoare.

Observatia 22.8. Concluziile Teoremei 22.17. pot fi exprimate sintetic ca

maxu1

minu2

JΣ(ξ, u1, u2) = ξTXξ. (22.170)

De asemenea solutia maxmin este disponibila ın forma “feedback” (22.169). Ecuatia(22.169) este o simpla repetitie a relatiei (22.153), pe cand (22.170) este o consecinta a(22.154).

Sisteme robuste 251

Observatia 22.9. Indicele patratic asociat cu tripletul Popov Σ2 este

JΣ2(ξ, u2) = JΣ(ξ, 0, u2).

Cum Corolarul 22.9. este aplicabil tripletului Popov Σ2, deducem ca

minu2

JΣ(ξ, 0, u2) = minu2

JΣ2(ξ, u2) = ξTX2ξ. (22.171)

Combinand aceasta cu (22.170), obtinem o demonstratie simpla a faptului ca X ≥ X2.Mai mult, observam ca ξTXξ = ξTX2ξ daca si numai daca uξ

1 = 0.

22.3.5. Conditii frecventiale

Am dat pana acum un set de conditii necesare si suficiente de existenta a solutieistabilizatoare a EMAR, conditii ce au fost exprimate ın domeniul timp ın termenii diver-silor operatori asociati cu sistemul dinamic hamiltonian. In aceasta sectiune vom exprimaaceste conditii ın domeniul frecvential. In mod traditional acesta a reprezentat un subiectfoarte important ın inginerie si totodata unul dintre punctele forte care au facut atat depopulara Teoria Pozitivitatii Popov [44]. Conditiile frecventiale au marele avantaj ca sunt“usor” de verificat si pot fi aplicate experimental.

Asa cum am vazut ın § 22.3.1, existenta solutiei stabilizatoare a EMAR (22.139) afost legata de existenta unei inverse marginite a operatorului Toeplitz RΣ. Exista unnumar important de rezultate teoretice ce fac legatura ıntre inversabilitatea operatoruluiToeplitz si anumite proprietati de factorizare ale simbolului acestui operator. Vom folosiun astfel de rezultat pentru a da complementul frecvential al Teoremelor 22.12. si 22.13..

Incepem cu cateva definitii ce permit o mai simpla formulare a rezultatului central.

Definitia 22.11. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov si fie ΠΣ functia Popov asociata,i.e.,

ΠΣ(s) =[BT (−sI − AT )−1 I

] [ Q LLT R

] [(sI − A)−1B

I

]. (22.172)

Daca A este stabila si exista Ξ si Ω, doua unitati ın RH∞+,m×m astfel ıncat

ΠΣ(s) = [Ξ(s)]∗Ω(s), (22.173)

atunci spunem ca ΠΣ este antianalitic factorizabila.Daca perechea (A,B) este stabilizabila, exista F astfel ıncat A + BF este stabila, si

functia Popov ΠΣeste antianalitic factorizabila, unde Σ este F–echivalentul lui Σ, atunci

spunem ca ΠΣ este antianalitic prefactorizabila.

O consecinta simpla a Propozitiei 22.12. este data ın continuare.

Propozitia 22.16. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu perechea (A,B) stabiliza-bila. Daca exista un F astfel ıncat A+BF este stabila si pentru care Π

Σeste antianalitic

factorizabila, unde Σ este F–echivalentul tripletului Popov Σ, atunci ΠΣeste antianalitic

factorizabila pentru oricare triplet F–echivalent Σ pentru care A+BF este stabila.

Cu aceste pregatiri putem enunta principalul rezultat ın domeniul frecvential.

252 Cristian Oara

Teorema 22.18. Fie Σ = (A,B;P ) un triplet Popov cu A stabila. Urmatoarele enunturisunt echivalente.

1. R este nesingulara si EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare.2. Functia Popov ΠΣ este antianalitic factorizabila.

Indepartand acum ipoteza de stabilitate ıntr-un mod similar celui din cazul Teoremei22.13., obtinem urmatorul rezultat.

Teorema 22.19. Fie Σ = (A,B;P ) un triplet Popov cu (A,B) stabilizabila. Urmatoareledoua enunturi sunt echivalente.

1. R este nesingular si EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare.2. Functia Popov ΠΣ este antianalitic prefactorizabila.

Cazul de pozitivitate: A stabila

In cazul de pozitivitate avem urmatorul rezultat care permite o formulare frecventialaa Corolarelor 22.9. si 22.10..

Corolarul 22.13. Fie Σ = (A,B;P ) un triplet Popov cu A stabila. Atunci avem:1. Exista un ρ > 0 astfel ıncat ΠΣ(jω) ≥ ρI pentru oricare ω ∈ R, daca si numai

daca Re,Σ este coercitiv.2. ΠΣ(jω) ≥ 0 ∀ω ∈ R, daca si numai daca Re,Σ ≥ 0.

Corolarul 22.14. Corolarele 22.9. si 22.10. au loc daca conditiile Re,Σ >> 0 si Re,Σ ≥ 0sunt ınlocuite de echivalentele lor frecventiale ΠΣ > 0 pe C0 si respectiv ΠΣ ≥ 0 pe C0.

Cazul de pozivitate: A arbitrar

Indepartand conditia de stabilitate obtinem urmatorul rezultat.

Corolarul 22.15. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. Presupunem ca:a. Perechea (A,B) este stabilizabila.b. Realizarea

ΠΣ =

A O B−Q −AT −L

LT BT R

, (22.174)

este C0–controlabila si C0–observabila.c. ΠΣ(jω) > 0, ∀ω ∈ R.Atunci:1. EMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare X.2. Avem

minu∈Uξ

JΣ(ξ, u) = ξTXξ

unde Uξ := u : u ∈ L2,m+ cu xξ,u ∈ L2,n

+ .3. Daca ın plus [

Q LLT R

]≥ 0, (22.175)

atunci X ≥ 0.

Sisteme robuste 253

Conditia de signatura ın domeniul frecvential

Dam o versiune frecventiala a Teoremei 22.16.. De fapt, vom prezenta un rezultat maiputernic pentru SKPY(Σ). Fie din nou tripletul Popov Σ = (A,B;Q,L,R) cu B, L si Rpartitionate

B =[B1 B2

], L =

[L1 L2

], R =

[R11 R12

RT12 R22

], (22.176)

(Bi ∈ Rn×mi , i = 1, 2,m = m1 + m2). Fie functia Popov ΠΣ partitionata conform cu Rdin (22.176), i.e.,

ΠΣ =

[Π11 Π12

Π∗12 Π22

]. (22.177)

Introducem matricea semn

J :=

[−Im1

Im2

](22.178)

si tripletul Popov Σ2 = (A,B2;Q,L2, R22). Evident Π22 = ΠΣ2 .

O conditie suficienta

Teorema 22.20. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A stabila si elementelepartitio-nate ca ın (22.176). Presupunem Π22 > 0 pe C0 (v. (22.177)). Daca exista unS ∈ RH∞

+,m2×m1astfel ıncat

[I S∗ ]

ΠΣ

[IS

]< 0 pe C0, (22.179)

atunci SKPY(Σ, J) are o solutie stabilizatoare

(X,V,W ) = (X,

[V11 OV21 V22

],

[W1

W2

]),

unde partitiile lui V si W sunt conforme cu J dat ın (22.178).

O conditie necesara si suficienta

Asa cum rezulta din Teorema 22.20., conditia (22.179) este doar o conditie suficientapentru a satisface (22.165), care ın schimb este o conditie suficienta pentru inversabilitatealuiRΣ (pentru caR22 >> 0). Cum stim ca existenta solutiei stabilizatoare este echivalentacu inversabilitatea luiRΣ, este desigur interesant sa determinam o situatie ın care existentaunei solutii stabilizatoare implica conditia (22.179). Acesta este scopul urmatoruluirezultat care este piatra de temelie a solutiilor catorva probleme de control robust prezenta-te in a doua parte a acestui capitol: problema Nehari, problemaH∞ si problema stabilizariirobuste.

Teorema 22.21. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu elementele partitionate caın (22.176). Presupunem ca:

a. A este stabila.b. Π22 > 0 pe C0.

254 Cristian Oara

c. [Q L2

LT2 R22

]≥ 0.

Atunci avem:I. Urmatoarele asertiuni sunt echivalente:1. Exista S ∈ RH∞

+,m2×m1care satisface inegalitatea de signatura[I S∗ ]

ΠΣ

[IS

]< 0 pe C0. (22.180)

2. SKPY(Σ, J) are o solutie stabilizatoare

(X,V,W ) = (X,

[V11 OV21 V22

],

[W1

W2

]),

cu X ≥ 0, si unde partitiile lui V si W sunt conforme cu J din (22.178).II. Daca 1 si 2 au loc, exista o matrice rationala

H =

[H1 H2

H3 H4

]partitionata conform cu ΠΣ din (22.177) astfel ıncat H si H4 sunt unitati ın RH∞

+ si

ΠΣ = H∗JH, (22.181)

(i.e., H este un factor J–spectral al lui ΠΣ). Clasa tuturor S pentru care (22.180) are loceste data de

S = S2S−11 ,

[S1

S2

]= H−1

[Iθ

], (22.182)

unde θ este un parametru liber ın RH∞+,m2×m1

cu ∥ θ∥∞ < 1.

Urmatorul rezultat este o consecinta simpla a conditiei de signatura ın context frecven-tial ce va juca un rol central ın solutia cu reactie dupa stare a problemei de reglare H∞.

Teorema 22.22. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu elementele partitionateca ın (22.176) (cu A nu neaparat stabila). Presupunem ca R22 > 0 si R11 < 0 si caSKPY(Σ, J) are o solutie stabilizatoare

(X,V,W ) = (X,

[V11 OV21 V22

],

[W1

W2

]),

cu X ≥ 0.Daca reactia stabilizatoare Riccati este partitionata conform cu R, i.e.,

FRicc =

[F1

F2

]atunci avem:

1. u2 = F2x stabilizeaza sistemul x = Ax+B1u1 +B2u2.2. Exista ρ > 0 astfel ıncat pentru u2 = F2x, are loc inegalitatea

Je,Σ(u) ≤ −ρ2∥u1∥22, ∀u1 ∈ L2,m1 , (22.183)

unde Je,Σ este indicele patratic extins (22.72) si u =

[u1

u2

].

Sisteme robuste 255

22.3.6. Inecuatii algebrice Riccati

Dam ın continuare un rezultat remarcabil despre inecuatiile algebrice Riccati. Intro-ducem ıntai urmatoarea notatie: pentru un triplet Popov fixat Σ = (A,B;Q,L,R) sipentru X = XT , fie

CRICOP(Σ, X) := ATX +XA− (XB + L)R−1(BTX + LT ) +Q.

Teorema 22.23. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu Q ≥ 0. Urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

1. A este stabila si ΠΣ < 0 pe C0.

2. R < 0 si exista X > 0 astfel ıncat CRICOP(Σ, X) < 0.

Observatia 22.10. Afirmatia 2 din Teorema 22.23. este echivalenta cu

DΣ(X) =

[ATX +XA+Q XB + L

LT +BTX R

]< 0

pentru X > 0.

22.4. Ecuatii Riccati si fascicule matriciale

In aceasta sectiune prezentam o abordare numerica a ecuatiei matriciale algebriceRiccati bazate pe fascicule matriciale. Ca si ın sectiunile precedente, consideram ecuatiiRiccati sub ipoteze foarte generale asupra coeficientilor matriciali ce permit includereasituatiilor de jocuri dinamice si de tip reglare H∞ ın care coeficientul termenului patraticare semn indefinit. Cu toate acestea, ın aceasta sectiune restrangem prezentarea la cazulregulat ın care functia Popov asociata are valori de rang maxim, i.e., este inversabilaca matrice rationala, lasand pentru sectiunea urmatoare cazul general care este multmai tehnic. In § 22.4.1 dam o caracterizare a structurii de valori proprii a unui fasciculhamiltonian extins (FHE) regulat. Principalul rezultat este prezentat ın § 22.4.2 si constaın conditii necesare si suficiente ımpreuna cu formule de calcul pentru diferitele solutiiale ecuatiei matriciale algebrice Riccati exprimate ın termenii subspatiilor de deflatie alefasciculului hamiltonian extins. In § 22.4.3 dam anumite caracterizari interesante aleecuatiei Bernoulli care este un caz particular important al ecuatiei Riccati.

22.4.1. Structura de valori proprii generalizate a unui FHE regulat

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m. Asociem cu Σ

FHE(Σ)

sMΣ −NΣ := s

I O OO I OO O O

− A O B−Q −AT −LLT BT R

(22.184)

si functia Popov

ΠΣ(s) =


LT BT R

. (22.185)

256 Cristian Oara

Reamintim ca FHE(Σ) din (22.184) este fasciculul sistem asociat cu realizarea (22.185) afunctiei Popov ΠΣ. In particular, pentru un FHE regulat avem det(sMΣ −NΣ) ≡ 0.

Notam cu n−f , n

0f , si n

+f numarul de valori proprii generalizate finite din C−, C0, si

respectiv din C+ si prin n∞ numarul de valori proprii generalizate infinite ale lui sMΣ−NΣ.Fie π0 numarul de zerouri ale lui ΠΣ(s

−1) din zero sau, alternativ, numarul de zerouri alelui ΠΣ(s) de la ∞. Avem urmatorul rezultat.

Teorema 22.24. Pentru un FHE regulat au loc:

1. n−f = n+

f .

2. rangR(s)(sMΣ −NΣ) = 2n+m, rangR(s)ΠΣ(s) = m.

3. n∞ = m+ π0.

Definitia 22.12. Un FHE regulat se numeste dihotomic daca n0f = 0 si n∞ = m (sau,

echivalent, daca n0f = 0 si π0 = 0).

Deoarece sMΣ−NΣ este fasciculul sistem al functiei Popov ΠΣ(s), zerourile lui ΠΣ(s) suntprintre valorile proprii generalizate ale lui sMΣ −NΣ. Prin urmare, dihotomia implica caΠΣ(s) nu are zerouri pe axa imaginara inclusiv la infinit si R = ΠΣ(∞) este nesingulara.Prin urmare, toate multiplicitatile partiale ale valorii proprii generalizate de la∞ ale FHE(22.184) sunt egale cu 1.

Rezultatul urmator caracterizeaza dihotomia ın termenii spatiilor de deflatie.

Propozitia 22.17. Un FHE este dihotomic daca si numai daca are un spatiu de deflatiecu spectrul ın C− (sau ın C+) de dimensiune n.

In particular, rezultatul precedent implica ca FHE este dihotomic daca si numai daca

MΣV S = NΣV (22.186)

are loc, unde

V =

V1

V2

V3

nnm

(22.187)

este o matrice baza pentru spatiul de deflatie cu spectrul ın C− (sau ın C+) de dimensiunen si S este o n× n matrice stabila (sau antistabila).

Definitia 22.13. Un spatiu de deflatie V al unui FHE regulat se numeste disconjugatdaca are o matrice baza (22.187) cu V1 avand rang ıntreg pe coloane.

Disconjugarea este o proprietate independenta de alegerea particulara a matricei bazapentru V .

Definitia 22.14. Un FHE regulat se numeste stabil (antistabil) disconjugat daca estedihotomic si are un spatiu de deflatie cu spectrul ın C− (C+) de dimensiune n ce estedisconjugat.

Sisteme robuste 257

Un FHE dihotomic are un unic spatiu de deflatie cu spectrul ın C− (C+) de dimensiune(maxima) n. Prin urmare proprietatea de disconjugare a FHE este bine definita. Un FHEdihotomic are ıntotdeauna un spatiu de deflatie cu spectrul ın C− de dimensiune n si unspatiu de deflatie cu spectrul ın C+ de dimensiune n, fiecare dintre ele putand fi sau nudisconjugate.

Dam acum o proprietate esentiala a spatiilor de deflatie a unui FHE.

Propozitia 22.18. Daca V este o matrice baza (22.187) a unui spatiu de deflatie cuspectrul ın C− (sau C+) al unui FHE atunci

V T1 V2 = V T

2 V1. (22.188)

22.4.2. EMAR si FHE

Dam ın continuare conditii necesare si suficiente de existenta a solutiilor stabilizatoaresi antistabilizatoare ale EMAR

ATX +XA− (XB + L)R−1(LT +BTX) +Q = 0 (22.189)

asociata cu un triplet Popov dat Σ = (A,B;Q,L,R), unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m.Conditiile sunt exprimate ın termenii spatiilor de deflatie ale FHE

sMΣ −NΣ = s

I O OO I OO O O


, (22.190)

asociat cu Σ. Conditiile prezentate sugereaza un algoritm numeric stabil pentru verificareaexistentei si, daca este cazul, pentru calculul acestor solutii.

Teorema 22.25. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

1. Matricea R este inversabila si EMAR(Σ) din (22.189) are o solutie stabilizatoare(antistabilizatoare).

2. FHE(Σ) din (22.190) este regulat si stabil (antistabil) disconjugat.Mai mult, solutia stabilizatoare (antistabilizatoare) este data de

X = V2V−11 (22.191)

iar reactia stabilizatoare (antistabilizatoare) Riccati este data de

F = V3V−11 , (22.192)

unde V este o matrice baza partitionata ca ın (22.187) a spatiului de deflatie cu spectrulın C− (C+) de dimensiune n a FHE.

Daca R este inversabila, se obtine identitatea

Q(sMΣ −NΣ)Z = s

[I2n OO O

]−[HΣ OO Im

], (22.193)

258 Cristian Oara

unde

HΣ :=

[A−BR−1LT −BR−1BT

−Q+ LR−1LT −AT + LR−1BT

](22.194)

si

Q =

In O −BR−1

O In LR−1

O O Im

, Z =

In O OO In O

−R−1LT −R−1BT R−1

.

Matricea HΣ din (22.194) este o 2n× 2n matrice hamilton ce satisface conform definitiei

HTΣ J + JHΣ = 0, unde J :=

[O −InIn O

].

Avem urmatoarea consecinta imediata a Teoremei 22.25..

Corolarul 22.16. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu R inversabil. EMAR(22.189) are o solutie stabilizatoare (antistabilizatoare) daca si numai daca matriceahamilton HΣ data ın (22.194) are un subspatiu invariant cu spectrul ın C− (C+) dedimensiune n ce are o matrice baza

V =

[V1

V2

]︸︷︷︸

n

nn (22.195)

cu V1 inversabil. In acest caz, solutia stabilizatoare (antistabilizatoare) este data de

X = V2V−11

iar reactia stabilizatoare (antistabilizatoare) Riccati este data de

F = −R−1(BTX + LT ).

Corolarul precedent arata ca existenta solutiei stabilizatoare (antistabilizatoare) a EMARpoate fi verificata alternativ pe baza matricei hamilton sau pe baza FHE. Mai mult,solutiile pot fi calculate rezolvand problema de valori proprii pentru matricea hamiltoncare are dimensiunea 2n ın loc sa rezolvam problema mai complicata de valori propriigeneralizate pentru FHE care are dimensiunea 2n+m. Cu toate acestea, folosirea matriceihamilton ın locul FHE poate conduce la solutii inexacte daca matricea R este prostconditionata numeric ın raport cu inversarea. Este de preferat, ın acest din urma caz,folosirea FHE ın locul matricei hamilton. Pentru mai multe detalii numerice facem referirela sectiunea 22.5.

22.4.3. Ecuatia Bernoulli

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov. In cazul particular ın care Q = 0, L = 0 siR este nesingulara, EMAR este cunoscuta sub numele de ecuatia Bernoulli avand formaexplicita

ATX +XA−XBR−1BTX = 0. (22.196)

Din cauza formei sale particulare, ecuatia Bernoulli are cateva proprietati remarcabileın plus fata de ecuatia Riccati. Cateva dintre acestea sunt sintetizate ın rezultateleurmatoare.

Sisteme robuste 259

Propozitia 22.19. Fie Σ = (A,B;O,O,R) un triplet Popov cu R inversabila. Dacaecuatia Bernoulli (22.196) asociata cu Σ are o solutie stabilizatoare (antistabilizatoare)atunci A este dihotomica.

Propozitia 22.20. Fie Σ = (A,B;O,O,R) un triplet Popov cu R < 0. Daca ecuatiaBernoulli (22.196) asociata cu Σ are o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinita X atunciA este stabila.

Teorema 22.26. Fie Σ = (A,B;O,O,R) un triplet Popov cu A dihotomica, perechea(A,B) stabilizabila si R > 0. Atunci ecuatia Bernoulli (22.196) asociata cu Σ are osolutie stabilizatoare pozitiv semidefinita.

22.4.4. Structura Kronecker a unui FHE singular

Abordarea teoriei algebrice Riccati pe baza fasciculelor maatriceale din § 22.4.1 esteextinsa aici la cazul general ın care functia Popov nu ia neaparat valori de rang normalmaxim, i.e., nu este neaparat inversabila ca matrice rationala. In acest asa–numit cazsingular, fasciculul hamiltonian extins nu este regulat si ecuatiile Riccati ca atare ınceteazasa existe (din cauza singularitatii coeficientului patratic) trebuind sa fie ınlocuite cu maigeneralul sistem Riccati.

Investigam pentru ınceput ın § 22.4.4 structura Kronecker a FHE urmand ca ın §22.4.5 sa introducem conceptul de sistem Riccati generalizat ce contine drept cazuriparticulare sistemul algebric Riccati si ecuatia algebrica Riccati. Pentru acest sistemRiccati generalizat dam conditii necesare si suficiente de existenta a solutiilor stabilizatoaresi antistabilizatoare si formule explicite de calcul ın termenii subspatiilor proprii de deflatieale fasciculului hamiltonian extins.

Exact ca ın cazul regulat, structura de valori proprii generalizate (structura Kronecker)a FHE joaca un rol central ın caracterizarea solutiilor sistemelor algebrice Riccati.

Consideram un triplet Popov Σ = (A,B;Q,L,R), unde A ∈ Rn×n si B ∈ Rn×m siasociem FHE(Σ) dat explicit de

sMΣ −NΣ := s

I O OO I OO O O


(22.197)

si functia Popov

ΠΣ(s) =


LT BT R

. (22.198)

Reamintim ca FHE(Σ) dat ın (22.197) este de fapt fasciculul sistem asociat cu realizarea(22.198) a functiei Popov ΠΣ. In acest paragraf consideram cazul cel mai general ın careatat functia Popov ΠΣ cat si FHE(Σ) sunt singulare. O functie Popov singulara nu arerang normal ıntreg, iar pentru un FHE singular avem det(sMΣ − NΣ) ≡ 0. Structuramai complicata de valori proprii generalizate este pusa ın evidenta de forma canonicaKronecker, iar principalul instrument tehnic folosit ın caracterizari va fi spatiul propriude deflatie.

260 Cristian Oara

Fie n−f , n

0f , n

+f si n∞ numarul de valori proprii generalizate ale FHE situate ın C−, C0,

C+, si respectiv la ∞. Fie nr si nℓ sumele indicilor Kronecker la dreapta si respectiv lastanga ai FHE. Fie ρ = rangR(s)ΠΣ(s) si fie π0 numarul de zerouri ale ΠΣ(s

−1) localizateın origine (sau, alternativ, numarul de zerouri de la ∞ ale ΠΣ(s)). Rezultatul urmatorda principalul instrument tehnic de investigare a structurii de valori proprii generalizatea unui FHE singular.

Lema 22.9. FHE are un subspatiu propriu de deflatie la dreapta cu spectru ın C− dacasi numai daca are un subspatiu propriu de deflatie la stanga cu spectru ın C+ de aceeasidimensiune. Similar, are un subspatiu propriu de deflatie la dreapta cu spectru ın C+ dacasi numai daca are un subspatiu propriu de deflatie la stanga cu spectru ın C− de aceeasidimensiune.

Rezultatul urmator extinde la cazul singular caracterizarea structurii de valori propriigeneralizate a unui FHE data ın Teorema 22.24..

Teorema 22.27. Pentru un FHE au loc:

1. nr = nℓ.

2. n−f = n+

f .

3. rangR(s)(sMΣ −NΣ) = 2n+ ρ.

4. n∞ = ρ+ π0.

Rezultatul urmator arata ca un subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ın C− de dimen-siune n al unui FHE este maximal si exista daca si numai daca are loc un tip de dihotomiea FHE.

Teorema 22.28. Dimensiunea unui subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ın C− (C+)a unui FHE nu poate depasi n. Aceasta margine superioara este atinsa daca si numaidaca n0

f = 0 si n∞ = ρ.

Definitia 22.15. Un FHE se numeste dihotomic daca n0f = 0 si n∞ = ρ (sau, echivalent,

n0f = π0 = 0).

In particular, Teorema 22.28. implica ca FHE este dihotomic daca si numai daca

MΣV S = NΣV (22.199)

are loc cu MΣV de rang ıntreg pe coloane, unde

V =

V1

V2

V3

nnm

(22.200)

este o matrice baza a subspatiului propriu de deflatie cu spectrul ın C− (sau C+) dedimensiune n si S ∈ Rn×n este o matrice stabila (antistabila).

Notiunea de disconjugare ın cazul FHE singular are o caracterizare foarte asemanatoa-re cu cea din cazul regulat.

Sisteme robuste 261

Definitia 22.16. Un subpatiu de deflatie V al unui FHE se numeste disconjugat dacaare o matrice baza V partitionata ca ın (22.200), unde V1 are rang ıntreg pe coloane.

Remarcam faptul ca un subspatiu de deflatie disconjugat este automat propriu. Rezultatulurmator arata ca daca un subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ın C− (sau C+) maximaleste disconjugat atunci toate aceste subspatii sunt disconjugate.

Teorema 22.29. Daca FHE are un subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ın C− (sauC+) maximal ce este disconjugat, atunci orice subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ınC− (sau C+) maximal este disconjugat.

Rezultatul precedent justifica definitia urmatoare.

Definitia 22.17. Un FHE se numeste stabil (antistabil) disconjugat daca este dihotomicsi are un subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ın C− (sau C+) de dimensiune n ce estedisconjugat.

Prin urmare, disconjugarea unui FHE poate fi stabilita calculand orice subspatiu propriude deflatie cu spectrul potrivit de dimensiune maxima si verificandu-i disconjugarea.

Rezultatul urmator prezinta o proprietate a subspatiilor proprii de deflatie ce va fiutila ın stabilirea simetriei solutiilor unui sistem algebric Riccati.

Propozitia 22.21. Daca V este o matrice baza (22.187) a unui subspatiu propriu dedeflatie cu spectrul ın C− (sau C+) a unui FHE arbitrar atunci

V T1 V2 = V T

2 V1. (22.201)

22.4.5. Sistemul algebric Riccati generalizat si FHE

Introducem ın continuare sistemul algebric Riccati generalizat (SARG) – care includedrept cazuri particulare atat ecuatia matriciala algebrica Riccati (EMAR) cat si sistemulmatricial algebric Riccati (SMAR) – pentru care vom caracteriza existenta solutiilorstabilizatoare si antistabilizatoare ın termenii subspatiilor proprii de deflatie ale FHEasociat.

Definitia 22.18. Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov, unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m.Sistemul algebric Riccati generalizat (SARG) asociat cu Σ este[

ATX +XA+Q XB + LLT +BTX R

] [IF

]V = 0, (22.202)

unde X ∈ Rn×n, V ∈ Rn×r are rang ıntreg pe coloane cu r ≤ n, r nefixat si F a. ı.(A+BF )V = V S pentru o matrice potrivita S ∈ Rr×r.

Un cvadruplu (X,F, r, V ) pentru care (22.202) are loc si V TXV = V TXTV , senumeste o solutie V –simetrica. O solutie V –simetrica se numeste stabilizatoare (antistabi-lizatoare) daca ın plus S este stabila (antistabila).

262 Cristian Oara

Remarcam ca daca (X,F, r, V ) este o solutie stabilizatoare a SARG atunci V = ImV esteun subspatiu (A,B) invariant, F este a. ı. (A+BF )V ⊂ V si Λ(A+BF )|V ⊂ C−.

Daca V este inversabila, fara a restrange generalitatea putem presupune ca V = I si(22.202) se reduce la

ATX +XA+Q + (XB + L)F = 0,LT +BTX + RF = 0,

(22.203)

care este exact SMAR(Σ) dat explicit ın (22.75). In acest caz, o solutie stabilizatoare(antistabilizatoare) este o pereche (X,F ) satisfacand (22.203) cu X = XT si A + BFstabila (antistabila). Mai departe, pentru X = XT obtinem

ATX +XA+Q − F TRF = 0,LT +BTX + RF = 0,

sau, echivalent,

ATX +XA− (XB + L)R†(BTX + LT ) +Q = 0,KerR ⊂ Ker (XB + L),

(22.204)

care este cunoscuta ın literatura sub numele de ecuatia matriciala algebrica Riccati constran-sa si care se reduce, atunci cand R este inversabil, la

ATX +XA− (XB + L)R−1(LT +BTX) +Q = 0 (22.205)

care este exact EMAR(Σ).Avem urmatorul rezultat de unicitate a solutiei stabilizatoare (antistabilizatoare)

SARG.

Propozitia 22.22. Daca (X,F, r, V ) si (X, F , r, V ) sunt doua solutii V –simetrice stabiliza-toare (antistabilizatoare) ale SARG (22.202) atunci

V TXV = V T XV.

Teorema urmatoare contine rezultatul central al paragrafului.


1. SARG(Σ) din (22.202) are o solutie stabilizatoare (antistabilizatoare) (X,F, r, V ).2. FHE(Σ) din (22.197) are un subpatiu propriu de deflatie cu spectru ın C− (C+),

notat V, de dimensiune r.Daca afirmatia 2 este adevarata, fie V o matrice baza partitionata ca ın (22.200) a lui

V. Atunci o solutie stabilizatoare (antistabilizatoare) este (X,F, r, V1) unde

X = V2V†1 , F = V3V

†1 . (22.206)

Sisteme robuste 263

Din Teorema 22.30. obtinem imediat o caracterizare a solutiei stabilizatoare (antistabili-zatoare) a sistemului algebric Riccati.


1. Sistemul Riccati asociat cu Σ dat ın (22.203) are o solutie stabilizatoare (antistabili-zatoare) (X,F ).

2. FHE(Σ) dat ın (22.197) este dihotomic si stabil (antistabil) disconjugat.Daca afirmatia 2 este adevarata, fie V o matrice baza partitionata ca ın (22.200) a

unui subspatiu propriu de deflatie cu spectrul ın C− (C+) de dimensiune maximala n.Atunci o solutie stabilizatoare (antistabilizatoare) este (X,F ) unde

X = V2V−11 , F = V3V

−11 . (22.207)

Este important de observat ca neunicitatea subspatiului propriu de deflatie cu spectrulın C− (C+) de dimensiune maxima al FHE nu afecteaza procedurile de calcul al solutiilorsistemului algebric Riccati. Mai precis, solutia si reactia Riccati corespunzatoare pot ficalculate folosind formulele (22.207), unde V este o matrice baza a oricarui subspatiupropriu de deflatie maximal cu spectrul potrivit. Prin urmare, unicitatea lui X afirmataın Propozitia 22.6. este recuperata.

22.5. Algoritmi de calcul al solutiilor Riccati

In acesta sectiune prezentam un algoritm numeric stabil cu aplicabilitate generalapentru calculul spatiilor proprii de deflatie cu un spectru specificat ale unui fasciculmatricial general. Componetele cheie sunt calculul formei Schur generalizate ordonate aunui fascicul regulat si calculul formei cvasi–Kronecker a unui fascicul singular. Algoritmulpentru calculul subspatiilor de deflatie poate fi direct aplicat mai departe pentru calcululsolutiilor diferitelor ecuatii si sisteme Riccati.

22.5.1. Algoritmi fundamentali

Forma Schur a unei matrice

O alternativa a formei canonice Jordan care evidentiaza valorile proprii ale uneimatrice, dar nu si informatia detaliata despre indicii Jordan elementari este forma Schur.Aceasta poate fi obtinuta prin intermediul unei clase particulare de transformari desimilaritate U care au proprietatea ca U∗U = I, i.e., care sunt matrice unitare. Similarcazului formei canonice Jordan, obtinem forma Schur reala sau complexa prin restrangereatransformarii U la matrice cu elemente reale sau complexe. Mai precis, o matrice A ∈ Cn×n

poate fi ıntotdeauna redusa, prin transformari unitare, la o forma superior triunghiulara

U∗AU = AS :=

s1 · · · ⋆. . .

...0 sn

(22.208)

ın care elementele diagonale s1, . . . , sn sunt valorile proprii ale matricei A. Matricea AS senumeste forma Schur complexa a lui A. Alternativ, daca A ∈ Rn×n si U este restrictionata

264 Cristian Oara

sa aiba elemente reale, i.e., U este acum ortogonala UTU = I, obtinem forma Schur reala

UTAU = AS :=

A11 · · · A1k

. . ....

O Akk

(22.209)

unde blocurile diagonale A11, . . . , Akk au dimensiune 1× 1 sau 2× 2. Fiecare bloc 1 × 1contine o valoare proprie reala a lui A si fiecare bloc 2 × 2 contine o pereche de valoriproprii complex conjugate ale lui A. Mai mult, valorile proprii de pe diagonala din (22.208)sau (22.209) pot fi aranjate ın orice ordine. Formele Schur au avantajul, fata de formacanonica Jordan, de a putea fi obtinute prin intermediul unor algoritmi numeric stabili.Acest lucru este o consecinta a folosirii transformarilor de similaritate unitare pentru care∥U∥ = 1. Formele Schur sunt obtinute folosind o schema recursiva cunoscuta sub numelede iteratie Schur care are atat varianta reala cat si complexa. O forma Schur ordonatapoate fi obtinuta aducand ıntai matricea la forma Schur si apoi schimband doua catedoua valorile proprii de-a lungul diagonalei principale prin folosirea unor transformariortogonale (unitare) de actualizare.

Forma Schur generalizata a unui fascicul regulat

Intocmai ca ın cazul unei matrice, exista alternative numerice atractive pentru calcululvalorilor proprii generalizate ale unui fascicul regulat ce pot fi obtinute exclusiv pe bazatransformarilor unitare (ortogonale). Mai precis, un fascicul matricial regulat sM −N cuM,N ∈ Cn×n poate fi redus ıntotdeauna prin transformari de strict echivalenta Q,Z ∈Cn×n, la o forma superior triunghiulara

Q(sM −N)Z = sMS −NS := s

m1 · · · ⋆. . .

...0 mn

− n1 · · · ⋆

. . ....

0 nn

, (22.210)

ın care perechile diagonale (mi, ni), (i = 1, . . . , n), determina valorile proprii generalizateale lui sM − N precum urmeaza: si = ni/mi daca mi = 0 si si = ∞ daca mi = 0.Fasciculul sMS −NS se numeste forma Schur generalizata complexa a lui sM −N .

Alternativ, fasciculul sM − N , cu M,N ∈ Rn×n, poate fi ıntotdeauna redus printransformari de strict echivalenta ortogonale Q,Z ∈ Rn×n, la o forma bloc superiortriunghiulara

Q(sM −N)Z = sMS −NS := s

M11 · · · M1k

. . ....

O Mkk

− N11 · · · N1k

. . ....

O Nkk

(22.211)

ın care fasciculele diagonale sMii − Nii, (i = 1, . . . , k), au dimensiunea 1 × 1 sau 2 × 2,fiecare fascicul 1×1 contine sau o valoare proprie generalizata finita reala sau una infinitaa lui sM − N si fiecare fascicul 2 × 2 contine o pereche de valori proprii generalizatefinite complex conjugate ale lui sM − N . Mai mult, fiecare matrice Mii este superiortriunghiulara. Fasciculul sMS − NS se numeste forma Schur generalizata reala a luisM − N . Valorile proprii generalizate de pe diagonala ın (22.210) sau (22.211) pot fi

Sisteme robuste 265

aranjate ın orice ordine. Formele Schur generalizate se obtin folosind o schema recursivabazata pe algoritmul QZ care are atat varianta reala cat si complexa. O forma Schurgeneralizata ordonata se poate obtine aducand ıntai fasciculul la forma Schur generalizatasi apoi schimband doua cate doua valorile proprii generalizate de-a lungul diagonaleiprincipale prin folosirea unor transformari ortogonale (unitare) de actualizare.

Forma cvasi–Kronecker a unui fascicul general

Similar cazului unui fascicul regulat, ın loc de calculul formei canonice Kronecker careinevitabil are performante numerice slabe, este de preferat calculul asa-numitei formecvasi–Kronecker a unui fascicul arbitrar (posibil singular). Forma cvasi–Kronecker seobtine folosind exclusiv transformari unitare (ortogonale) si evidentiaza esentialmenteaceeasi informatie ca forma canonica Kronecker. Pentru mai multe detalii privind aceastaclasa de algoritmi v. cap. 20.

Mai precis, orice fascicul matricial sM−N cuM,N ∈ Cn×n, poate fi redus ıntotdeauna,folosind transformari unitare de strict echivalenta Q,Z ∈ Cn×n, la forma bloc superiortriunghiulara numita forma cvasi–Kronecker,

Q(sM −N)Z = sMK −NK :=

sMϵ −Nϵ ⋆ ⋆ ⋆

O sM∞ −N∞ ⋆ ⋆O O sMf −Nf ⋆O O O sMη −Nη

,

(22.212)ın care: 1. partea regulata a fasciculului este determinata de sMf −Nf si sM∞−N∞ caresunt ambele patrate si regulate si contin valorile proprii generalizate finite si respectivinfinite, Mf si N∞ sunt inversabile si M∞ este nilpotenta;

2. partea singulara a fasciculului este determinata de sMϵ − Nϵ care contine indiciiKronecker la dreapta si are rang ıntreg pe linii pentru orice s ∈ C, iar Mϵ are rang ıntregpe linii si de sMη − Nη care contine indicii Kronecker la stanga si are rang ıntreg pecoloane pentru orice s ∈ C, iar Mη are rang ıntreg pe coloane.

Principala etapa ın calculul formei cvasi–Kronecker a unui fascicul singular o constituieasa-numitul algoritm staircase. Acesta foloseste un sir de descompuneri de rang, alternativpe M si N , pentru a obtine matricele unitare (ortogonale) Q si Z astfel ıncat

Q(sM −N)Z =

[sMϵ∞ −Nϵ∞ ⋆

O sMfη −Nfη

]

=

−N11

O...OO︸︷︷︸µ1

sM12 −N12

−N22...OO︸︷︷︸µ2

· · ·· · ·. . .

· · ·· · ·

sM1,ℓ −N1,ℓ

sM2,ℓ −N2,ℓ...

−Nℓ,ℓ

O︸︷︷︸µℓ

sM1,ℓ+1 −N1,ℓ+1

sM2,ℓ+1 −N2,ℓ+1...

sMℓ,ℓ+1 −Nℓ,ℓ+1

sMℓ+1 −Nℓ+1

︸︷︷︸

nℓ+1

ν1

ν2

νℓ

mℓ+1

(22.213)

cu sMℓ+1 −Nℓ+1 := sMfη −Nfη si unde:1. sMϵ∞−Nϵ∞ contine numai indici Kronecker la dreapta si valori proprii generalizate

infinite si sMfη−Nfη contine doar indici Kronecker la stanga si valori proprii generalizatefinite;

266 Cristian Oara

2. Mℓ+1 are rang ıntreg pe coloane;3. blocurile matriciale Nii au rang ıntreg pe linii νi, (i = 1, · · · , ℓ);4. blocurile matriciale Mi−1,i au rang ıntreg pe coloane µi, (i = 2, · · · , ℓ).Punand µℓ+1 = 0 si definind

ei := µi − νi, (i = 1, · · · , ℓ),di := νi − µi+1, (i = 1, · · · , ℓ),

avem ın descompunerea (22.213)

0 ≤ rang (Mℓ+1) = nℓ+1 ≤ mℓ+1, ℓ ≥ 0,

µ1 ≥ ν1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µℓ ≥ νℓ ≥ νℓ+1 = 0.

Indicii ei si di determina complet indicii Kronecker la dreapta si structura de valori propriigeneralizate de la infinit precum urmeaza:

1. sunt di blocuri Jordan nilpotente de dimensiune i, (i = 1, · · · , ℓ) corespunzandvalorilor proprii generalizate infinite;

2. sunt ei blocuri Kronecker elementare la dreapta de dimensiune (i − 1) × i, (i =1, · · · , ℓ).

Algoritmul staircase poate fi folosit pentru obtinerea formei cvasi–Kronecker a unui fascicularbitrar (posibil singular) precum urmeaza. Introducem ıntai pentru o matrice A dedimensiune m× n pertranspusa care este prin definitie

AP := PnATPm,

unde pentru k ∈ N, Pk este o notatie pentru matricea k × k de permutare

Pk :=

0 0 · · · 0 10 0 · · · 1 0

...0 1 · · · 0 01 0 · · · 0 0

.

Pertranspusa satisface urmatoarele relatii:

1. (AP )P = A.

2. (AB)P = BPAP .

3.

[A11 A12

O A22

]P=

[AP

22 AP12

O AP11

].

Aratam ın continuare cum se poate obtine forma cvasi–Kronecker bazandu-ne pe algorit-mul staircase. Dandu-se fasciculul sM − N , aplicam ıntai algoritmul staircase pentrua-l aduce la forma (22.213). Mai departe, aplicam de doua ori algoritmul staircase pesubfasciculele diagonale pertranspuse din (22.213) sMP

ϵ∞ −NPϵ∞ si respectiv sMP

fη −NPfη

si pertranspunem ınapoi rezultatul pentru a obtine (22.212). O abordare mai eficientanumeric si ın acelasi timp mai stabila este folosirea unor algoritmi dedicati specializati caresa exploateze structura particulara a subfasciculelor diagonale din (22.213) (v. Bibliografie,cap. 22).

Sisteme robuste 267

Alocare de valori proprii generalizate prin reactie

Fie fasciculul regulat sM − N , unde M,N ∈ Rn×n si fie B ∈ Rn×m. Presupunem capentru tripletul (M,N,B) toate valorile proprii generalizate finite sunt controlabile, i.e.,

rang[sM −N B

]= n, ∀s ∈ C.

Atunci exista o matrice de reactie F ∈ Rm×n astfel ıncat valorile proprii generalizatefinite ale fasciculului sM − N − BF sa poata fi alocate ın orice locatie dorita, simultancu pastrarea neschimbata a valorilor proprii generalizate de la infinit.

Descriem ın continuare un algoritm numeric eficient care calculeaza matricea realade reactie F ıntr-o maniera recursiva astfel ıncat la fiecare pas o valoare proprie (sau opereche de valori proprii complex conjugate) aflate ıntr-o locatie “proasta” este mutataıntr-o noua locatie dezirabila, lasand restul de valori proprii generalizate pe loc. FieC = Cb ∪ Cg o partitie disjuncta a planului complex ın doua multimi simetrice (ın raportcu axa imaginara), una “proasta” si respectiv una “buna”. Prezentam simultan cazurilemutarii unei singure valori proprii generalizate reale cat si cazul mutarii unei perechide valori proprii generalizate complex conjugate prin simpla particularizare a lui k ınalgoritmul prototip urmator la k=1 si respectiv k=2.

Algoritmul 1

1. Folosind un algoritm QZ cu reordonare determinam Q si Z astfel ıncat

sM −N:= Q(sM −N)Z

= s

[M1 ⋆O M2

]−

[N1 ⋆O N2

]n∞

= s

M1 ⋆ ⋆O M21 ⋆O O M22

− N1 ⋆ ⋆

O N21 ⋆O O N22

n∞n1

n2

(22.214)

unde sM1 − N1 contine numai valori proprii generalizate infinite, iar fasciculelesM21 − N21 si sM22 − N22 contin doar valorile proprii generalizate finite localizateın Cg si respectiv Cb. Numarul de valori proprii generalizate care vor fi alocate estedeci n2. Actualizam

B ← QB =

[B1

B2

]=

B1

B21

B22

n∞n1

n2

. (22.215)

Din punct de vedere numeric, pentru obtinerea (22.214) o abordare mai buna estesepararea prealabila a valorilor proprii generalizate finite de cele infinite cu ajutorulalgoritmului staircase si aplicarea ulterioara a unui algoritm QZ doar subfascicululuisM2 − N2. Aceasta metoda are avantajul ca evita “calculul” prost conditionatnumeric al valorilor proprii generalizate multiple de la infinit pe baza algoritmuluiQZ. Fixam t = n∞ + n1, F = 0.

2. Daca t = n atunci STOP.

268 Cristian Oara

3. Consideram acum ın (22.214) si (22.215) ca n2 = k. Reamintim ca sau k = 1 sauk = 2, depinzand daca fasciculul sM22 −N22 contine o valoare proprie generalizatareala sau o pereche de valori proprii generalizate complex conjugate. Alegem omatrice potrivita de dimensiune k× k reala A avand cele k valori proprii ın locatiadorita din Cg. Calculam

f =[O B†

2(M2A−N2)]

unde B†2 este o inversa la dreapta a lui B2 care este bine definita ca urmare a ipotezei

de controlabilitate. Actualizam fasciculul si reactia

N ← N +Bf, F ← F + fZT .

4. Folosind un algoritm de interschimbare a doua valori proprii generalizate ın formaSchur generalizata, determinam doua matrice ortogonale Q1 si Z1 care muta ultimelek valori proprii generalizate ale lui sM −N ın pozitia t+ 1. Punem

sM −N ← Q1(sM −N)Z1, B ← Q1B,Z ← ZZ1, Q← Q1Q, t← t+ k

si ne ıntoarcem la Pasul 2.

5. END

Am obtinut

M =

[M1 ⋆O M2

], N =

[N1 ⋆O N2

]n∞n1 + n2

,

unde acum sM1−N1 are aceleasi valori proprii generalizate infinite ca si fasciculul originalsM−N si sM2−N2 este ın forma Schur generalizata si are numai valori proprii generalizatefinite localizate ın Cg.

Algoritmul 1 muta recursiv valorile proprii generalizate localizate ın Cb fara a le afectape cele deja localizate ın Cg. In cazul ın care M este inversabila, o varianta alternativa

de calcul este sa determinam pentru perechea controlabila (N , B) := (M−1N,M−1B) o

reactie F care plaseaza valorile proprii ale matricei N+BF ın Cg. Acest lucru se poate facecu orice algoritm standard de alocare. Cu toate acestea, chiar cand M este inversabila,Algoritmul 1 de alocare a valorilor proprii generalizate are cateva avantaje:

1. daca sM−N este deja adus ın forma Schur generalizata necesita mai putine calcule;

2. produce rezultate precise chiar dacaM este prost conditionata ın raport cu inversareanumerica.

22.5.2. Calculul spatiilor proprii de deflatie

FieC = Cg ∪ Cb (22.216)

o partitie disjuncta a planului complex ın doua multimi simetrice (ın raport cu axaimaginara). Pentru un fascicul arbitrar sM − N dam ın continuare un algoritm pentrucalculul spatiilor proprii de deflatie cu spectrul ın Cg (avand dimensiune maximala).

Algoritmul 2

Sisteme robuste 269

1. Aplicam algoritmul staircase fasciculului

sM −N := sMP −NP

pentru a obtine matricele ortogonale Q1 si Z1 astfel ıncat

Q1(sM −N)Z1 =


O sMηf −Nηf

]. (22.217)

Punem

sM −N ←[sMϵf −Nϵf ⋆

O sMη∞ −Nη∞

]:=


O sMηf −Nηf

]P . (22.218)

Fasciculul sMϵf − Nϵf contine indicii Kronecker dreapta si toate valorile propriigeneralizate finite, ın timp ce sMη∞−Nη∞ contine indicii Kronecker la stanga si toatevalorile proprii generalizate infinite. Structura din (22.218) rezulta din proprietatilepertranspusei. Pertranspunerea unui fascicul pastreaza valorile proprii generalizate(finite si infinite) si interschimba structurile Kronecker la stanga si dreapta. Punem

Q← ZP1 , Z ← QP

1 .

2. Aplicam algoritmul staircase subfasciculului sMϵf − Nϵf pentru a determina Q2 siZ2 astfel ıncat

Q2(sMϵf −Nϵf )Z2 =

[sMϵ −Nϵ ⋆

O sMf −Nf

]nr

nf. (22.219)

Calculam

Q←[Q2 OO I

]Q, Z ← Z

[Z2 OO I

]si punem

sM −N ←[Q2(sMϵf −Nϵf )Z2 ⋆

O sMη∞ −Nη∞

]. (22.220)

Fasciculul sMη∞ − Nη∞ este ın forma staircase duala (22.213), evidentiind indiciiKronecker la stanga si valorile proprii infinite, sMϵ −Nϵ este ın forma staircase cublocuri matriciale patrate pe a doua diagonala principala si sMf −Nf este regulatavand doar valori proprii generalizate finite si Mf superior triunghiulara.

3. Fie ng numarul de valori proprii generalizate din Cg ale fasciculului sMf − Nf .Dimensiunea maxima a unui subspatiu propriu de deflatie la dreapta cu spectrul ınCg al fasciculului sM−N este nr+ng. Folosind un algoritm pentru interschimbareavalorilor proprii generalizate determinam matricele Q3 si Z3 a. ı.

Q3(sMf −Nf )Z3 =

[sM1 −N1 ⋆

O sM2 −N2

]n1

n2(22.221)

270 Cristian Oara

si Λ(M1, N1) ⊂ Cg,Λ(M2, N2) ⊂ Cb. Setam

sM −N ←

sMϵ −Nϵ ⋆ ⋆ ⋆

O sM1 −N1 ⋆ ⋆O O sM2 −N2 ⋆O O O sMη∞ −Nη∞

si

Q←

I O OO Q3 OO O I

Q, Z ← Z

I O OO Z3 OO O I

.

4. Fasciculul sMϵ − Nϵ are rang ıntreg pe linii pentru orice s ∈ C. De fapt, atat Mϵ

cat si Nϵ au rang ıntreg pe linii si au ın plus forma particulara

sMϵ −Nϵ = s

O M12 · · · M1ℓ M1ℓ+1

O O · · · M2ℓ M2ℓ+1...

.... . .

......

O O · · · O Mℓℓ+1

−

N11 N12 · · · N1ℓ N1ℓ+1

O N22 · · · N2ℓ N2ℓ+1...

.... . .

......

O O · · · Nℓℓ Nℓℓ+1

(22.222)

ın care νℓ = 0 si Mi,i+1, i = 1, · · · , ℓ sunt patrate si nesingulare. Fasciculul din(22.222) are urmatoarea forma sMϵ−Nϵ = s

[O Mϵ2

]−[Nϵ1 Nϵ2

], unde Mϵ2

este patrata, bloc superior triunghiulara si nesingulara. Prin urmare, sMϵ2 − Nϵ2

este regulata si are numai valori proprii generalizate finite. Mai mult, perechea(M−1

ϵ2 Nϵ2,M−1ϵ2 Nϵ1) este controlabila. Prin urmare, exista o reactie F a. ı.

sMϵ2 −Nϵ2 −Nϵ1F (22.223)

este regulat si are valori proprii generalizate localizate exclusiv ın Cg. Reactia Fpoate fi calculata folosind o varianta simplificata a Algoritmului 1 (pentru n∞ =0). Efectul unei reactii asupra ıntregului fascicul sM − N este acela al unei strictechivalente. Punem

Z4 =

[I FO I

], Z ← Z

[Z4 OO I

],

sM −N ←

−Nϵ1 sMϵ2 −Nϵ1F −Nϵ2 ⋆ ⋆O O sM1 −N1 ⋆O O O ⋆O O O ⋆

.

Dupa o permutare adecvata de coloane, obtinem ın final

sM −N =

sMϵ2 −Nϵ1F −Nϵ2 sX1 −X2 −Nϵ1 ⋆

O sM1 −N1 O ⋆O O O ⋆O O O ⋆

.

Punem

Z5 =

[O II O

], Z ← Z

[Z5 OO I

].

Sisteme robuste 271

Notand primele ns := nr + ng coloane ale lui Z cu V concluzionam ca MV S = NVare loc cu MV de rang ıntreg de coloane,

S :=

[M−1

ϵ2 (Nϵ1F +Nϵ2) M−1ϵ2 (X2 −X1M

−11 N1)

O M−11 N1

],

Λ(S) ⊂ Cg. Prin urmare, V = ImV este un subspatiu propriu de deflatie cu spectrulın Cg de dimensiune maxima.

5. END

Matricele de transformare Q si Z produse de algoritmul precedent sunt, ın general,neortogonale doar datorita Pasului 4 la care rezolvam o problema de alocare. Estede remarcat faptul ca locatia finala a valorilor proprii generalizate nu este fixa si oalegere judicioasa ın domeniul de stabilitate poate evita reactii F de amplitudine maresi implicit proasta conditionare numerica a transformarii asociate aplicate fasciculului.Cand fasciculul este regulat, Pasii 2 si 4 nu sunt necesari si, prin urmare, ın acest cazsubspatiul propriu de deflatie poate fi calculat exclusiv pe baza transformarilor ortogonale.

In cazul regulat, Pasii 1 si 3 pot fi condensati ıntr-unul singur folosind direct algoritmulQZ ın conjunctie cu un algoritm pentru interschimbat valori proprii generalizate ce poatemanipula si valori proprii generalizate la infinit. O abordare mai buna din punct de vederenumeric este pastrarea Pasului 1 ın care se separa valorile proprii generalizate finite decele infinite cu ajutorul algoritmului staircase si aplicarea ulterioara a algoritmului QZ cureordonare numai asupra fasciculului sMf−Nf . Aceasta din urma solutie evita “calculul”prost conditionat numeric al valorilor proprii multiple de la infinit. Mai mult, aceastasolutie are avantajul ca discerne de la primul pas regularitatea versus singularitateafasciculului asociat evitand eventuala aplicare a algoritmului QZ asupra unui fasciculsingular care poate compromite irevocabil rezultatele.

O versiune duala a algoritmului precedent poate fi aplicata pentru calculul subspatiu-luipropriu de deflatie la stanga cu spectrul ın Cg avand dimensiune maximala.

22.5.3. Calculul solutiilor ecuatiilor si sistemelor Riccati

Prezentam ın continuare cum poate fi adaptat algoritmul general de calcul al subspatiilorproprii de deflatie pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuatii si sisteme algebrice Riccati.

Fie tripletul Popov Σ = (A,B;Q,L,R) caruia ıi asociem FHE(Σ), notat sMΣ − NΣ.Cazurile regulat si singular pot fi distinse prin inversabilitatea matricei R. Cu toateacestea, precizam ca o matrice R singulara poate genera un FHE(Σ) care este regulat, ınsaın acest caz sistemul Riccati asociat cu Σ nu are solutii stabilizatoare sau antistabilizatoarepentru ca FHE(Σ) nu este dihotomic. Dam ın continuare un algoritm prototip pentrucalculul solutiilor EMAR(Σ), SMAR(Σ) si SARG(Σ).

Algoritmul 3Definim Cg := C− si Cb = C \ Cg.

1. Aplicam Pasii 1–3 ai Algoritmului 2 fasciculului sMΣ−NΣ pentru a separa structurastanga si respectiv dreapta a fasciculului. La acest pas stabilim daca FHE(Σ) esteregulat verificand daca νr = 0.

272 Cristian Oara

2. Daca nr + n1 < n atunci nu exista solutie stabilizatoare (antistabilizatoare) pentrusistemul Riccati asociat (sau pentru EMAR ın cazul ın care νr = 0).

3. Daca nr = 0 am calculat deja la Pasii 1–3 o matrice baza V pentru subspatiulpropriu de deflatie cu spectrul ın Cg de dimensiune maximala si trecem la pasulurmator. Daca nr = 0, calculam o matrice baza V pentru subspatiul propriu dedeflatie cu spectrul ın Cg de dimensiune maximala folosind Pasul 4 al Algoritmului2.

4. Partitionam V ca ın (22.200). Daca V1 nu are rang ıntreg pe coloane (respectivnu este inversabil), nu exista solutie de dimensiune maxima a SARG (respectiv nuexista solutie a SMAR sau EMAR) si STOP.

5. Daca r := nr + ng = n solutia stabilizatoare a SMAR (sau a EMAR) este X =V2V

−11 si reactia stabilizatoare este F = V3V

−11 . Daca r < n o solutie stabilizatoare

maximala a SARG este (X,F, r, V1), unde acum X = V2V†1 si F = V3V

†1 .

6. END

Pentru solutia antistabilizatoare aplicam algoritmul precedent punand Cg := C+,Cb :=C \ Cg.

Rafinari numerice

Algoritmii Schur si QZ au o tendinta “naturala” sa separe valorile proprii ın ordine, dela cele mici ın amplitudine la cele mari. Anumite “trucuri” simple pot evita reordonareavalorilor proprii (generalizate) la Pasul 3 al Algoritmului 2 (necesara la Pasul 1 al Algorit-mului 3). De exemplu, pentru calculul solutiei stabilizatoare se poate folosi fascicululs(N +M) − (N −M) ın locul fasciculului original sM − N . Spatiul propriu de deflatieramane neschimbat si valorile proprii generalizate sunt transformate prin aplicatia biliniaraγ = s−1

s+1. O metoda similara functioneaza pentru solutia antistabilizatoare.

In cazul regulat, reactia F se calculeaza uzual folosind formula F = −R−1(BTX +LT ). Din cauza posibilitatii ca matricea R sa fie prost conditionata numeric ın raport cuinversarea, o metoda mai buna este calculul lui F folosind direct formula F = V3V

−11 ,

care suplimentar evita calculul matricei X cand aceasta nu este necesara.Ca o concluzie finala, remarcam ca algoritmul prototip de rezolvat ecuatii si sisteme

Riccati prezentat anterior abordeaza toate cazurile ıntr-un mod unitar, nefiind necesaratestarea prealabila a controlabilitatii, pozitivitatii, inversabilitatii, si fara a folosi vreoalta transformare preliminara. Principalii pasi ai acestui algoritm de rezolvat ecuatii sisisteme Riccati pot fi sumarizati precum urmeaza:

1. Se construieste fasciculul hamiltonian extins.

2. Se rezolva problema de valori proprii generalizate cu reordonare pentru acest fascicul.

3. Se decide daca solutia cautata corespunzatoare spectrului potrivit (stabil, antistabil)exista sau nu.

4. In caz ca exista, se calculeaza solutia.

Sisteme robuste 273

Algoritmul general de calcul al spatiilor proprii de deflatie are multe alte aplicatii, deexemplu ın calculul invariantilor structurali ai unui sistem.

22.6. Aplicatii ın Teoria Sistemelor

In aceasta sectiune aplicam teoria Riccati generalizata pentru a da cateva rezultateclasice din Teoria Sistemelor, rezultate ce vor fi folosite ın sectiunile ce urmeaza pentrua prezenta solutia principalelor probleme de reglare robusta: lema de real marginire,convergenta unei familii de ecuatii Riccati de pozitivitate, factorizari dublu coprime sicoprime normalizate, teorema micii amplificari, optimizare patratica cu dinamica constran-sa si problema de factorizare spectrala si inner–outer pentru o matrice de rang normalarbitrar.

22.6.1. Lema de real marginire

In acest paragraf prezentam o extensie a unui rezultat clasic, cunoscut ca lema de realmarginire, care da conditii necesare si suficiente ca un sistem sa aiba norma H∞ marginitade o valoare specificata γ > 0.

Lema 22.10. (Lema de real marginire generalizata) Fie γ > 0 si

H =

[A BC D

]. (22.224)

Fie Σc = (A,B;CTC,CTD,−γ2I +DTD) tripletul Popov de γ–contractivitate asociat cuH.

I. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:1. A este stabila si ∥H∥∞ < γ.2. Sistemul KPY(Σc,−I) dat de

−γ2I +DTD = −V TV,CTD +XB = −W TV,

CTC + ATX +XA = −W TW,(22.225)

are o solutie stabilizatoare (X,V,W ) cu X ≥ 0.II. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:1. A este dihotomica, perechea (A,B) este stabilizabila si ∥H∥∞ < γ.2. Sistemul KPY(Σc,−I) (22.225) are o solutie stabilizatoare (X,V,W ).Mai mult, daca 2. este adevarat, atunci avem urmatoarele relatii ıntre inertiile lui X

si A: δc(X) + πc(X) = νc(A); νc(X) = πc(A).

Corolarul 22.17. Fie γ > 0 si

H =

[A BC D

].

Urmatoarele doua afirmatii sunt echivalente:

274 Cristian Oara

1. A este stabila si ∥H∥∞ < γ.

2. −γ2I +DTD < 0 si exista X > 0 astfel ıncat[ATX +XA+ CTC XB + CTD

DTC +BTX −γ2I +DTD

]< 0.

Corolarul 22.17. este forma uzuala a lemei de strict real marginire.

22.6.2. Convergenta EMAR asociate cu tripletul Popov de pozitivitate

Dam ın continuare un rezultat ce arata convergenta unei familii de EMAR asociatecu triplete Popov de pozitivitate, rezultat ce va fi principalul instrument tehnic pentrurezolvarea problemei de stabilitate robusta cu incertitudini multiplicative din ultimasectiune a capitolului.

Propozitia 22.23. Fie

H =

[A BC D

]si Σp = (A,B;CTC,CTD,DTD) tripletul Popov de pozitivitate asociat cu H. Presupunemca:

a. Perechea (A,B) este stabilizabila.

b. D este de rang ıntreg pe coloane.

c.

[jωI − A −B

C D

]este de rang ıntreg pe coloane pentru orice ω ∈ R.

Atunci EMAR(Σp) are o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinita.

Rezultatul urmator da dependenta solutiei stabilizatoare a EMAR(Σε) de parametrulε, unde

Σε = (A,B,Q,L,Rε) = (A,B;CTC,CTD, ε2I +DTD). (22.226)

Tripletul Popov Σε este exact tripletul Popov de pozitivitate asociat cu sistemul

Hp,ε =

A BC DO εI

.

Teorema 22.32. Presupunem ca pentru sistemul stabilizabil si detectabil

H =

[A BC D

], (22.227)

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, si D ∈ Rp×m, are loc urmatoarea ipoteza:(H) Exista o matrice F ∈ Rm×n a. ı. A+BF este stabila si

THT∗H > 0 (22.228)

Sisteme robuste 275

unde TH este operatorul Toeplitz asociat cu operatorul liniar marginit H : L2,m → L2,p alsistemului stabil

H =

[A B

C D

]=

[A+BF BC +DF D

], (22.229)

unde A := A+BF si C = C+DF . Definim tripletul Popov (22.226). Atunci urmatoareleafirmatii sunt adevarate:

1. EMAR(Σε) are o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinita Xε, ∀ε > 0.

2. limε↓0Xε = 0.

Observatia 22.11. Daca (22.228) are loc pentru un F = F care face ca A + BF sa fie

stabila, atunci are loc pentru oricare alta reactie stabilizatoare F . Intr-adevar, fie un Farbitrar astfel ıncat A+BF este stabila si fie H operatorul intrare–iesire al sistemului

H =

[A+BF B

C +DF D

]. (22.230)

Este usor de verificat identitatea

H = HN , (22.231)

unde N este operatorul intrare–iesire al sistemului[A+BF B

F − F I

]. (22.232)

Cum H si N sunt operatori asociati cu sisteme cauzale, putem aplica Corolarul 22.3.pentru a concluziona

TH = THTN . (22.233)

Pe de alta parte, N este inversabil si inversa sa, care este operatorul intrare–iesire alsistemului [

A+BF B

F − F I

], (22.234)

este cauzal. Conform Corolarului 22.4., TN este inversabil cu inversa marginita. Prinurmare

THT∗H = THTNT∗

NT∗H > 0.

Observatia 22.12. Conditia de pozitivitate (22.228) este mai slaba decat conditia decoercitie THT∗

H ≥ coI, co > 0. De fapt, conditia (22.228) este echivalenta cu

Ker T∗H = 0

sau cu

ImTH = L2,p+ .

276 Cristian Oara

22.6.3. Factorizari coprime normalizate

Dam ın continuare formule explicite ın termenii realizarilor de stare pentru factorizarilecoprime normalizate ale unui sistem.

Teorema 22.33. Fie sistemul

H =

[A BC O

],

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, si perechea (A,B) este stabilizabila si perechea(C,A) este detectabila. Fie

ΣX = (A,B;CTC, 0, I), ΣY = (AT , CT ;BBT , 0, I)

tripletele Popov standard pentru reglare si respectiv pentru estimare, iar X si Y solutiilestabilizatoare ale EMAR(ΣX) si EMAR(ΣY ). Definim F := −BTX, K := −Y CT , AF :=A+BF , AK := A+KC, si

M =

[AF BF I

], N =

[AF BC O

],

U =

[AK B−F I

], W =

[AK KF O

],

M =

[AK KC I

], N =

[AK BC O

],

U =

[AF −KC I

], W =

[AF KF O

],

(22.235)

care sunt toate ın RH∞+ . Avem:

1. Are loc factorizarea dublu coprima[−W U

M N

][−N U

M W

]=

[I OO I

]. (22.236)

2. Perechea (N,M) defineste o factorizare coprima la dreapta normalizata a lui Hpeste RH∞

+ , i.e.,H = NM−1, N∗N +M∗M = I. (22.237)

3. Perechea (N ,M) defineste o factorizare coprima la stanga normalizata a lui Hpeste RH∞

+ , i.e.,

H = M−1N , NN∗ + MM∗ = I. (22.238)

22.6.4. Teorema micii amplificari

Teorema micii amplificari da o modalitate foarte utila de a caracteriza stabilitateainterna a unui sistem conectat ın bucla de reactie.

Teorema 22.34. (Teorema micii amplificari) Fie

Hi =

[Ai Bi

Ci Di

], yi = Hiui, i = 1, 2,

Sisteme robuste 277

doua sisteme cu Ai stabila, i = 1, 2, si matricele de transfer H1 si H2 de dimensiune p×msi respectiv m × p. Presupunem ca Sc := Im − D2D1 (sau, echivalent Sc := Ip − D1D2)este nesingulara. Daca ∥H1∥∞ < 1

γsi ∥H2∥∞ ≤ γ pentru un γ > 0, atunci sistemul ın

bucla ınchisa format din H1 si H2 este intern stabil.

22.6.5. Indice patratic cu dinamica constransa

Prezentam ın continuare o aplicatie importanta a SARG: problema de reglare optimalpatratica ın care sistemul optimizat are dinamica constransa.

Fie Σ = (A,B;Q,L,R) un triplet Popov cu care asociem:1. Sistemul liniar

x = Ax+Bu, x(0) = x0, (22.239)

si indicele patratic

JΣ(x0, u) =

∫ ∞

0

[xu

]T [Q LLT R

] [xu

]dt. (22.240)

2. SARG(Σ) data ın (22.202) si scrisa ın forma explicita pentru V = V1 ca

(ATX +XA+Q)V1 + (XB + L)FV1 = 0,(LT +BTX)V1 + RFV1 = 0.

(22.241)

Presupunem ca SARG(Σ) are o solutie stabilizatoare (X,F, r, V1) pentru care (22.241)este satisfacuta. Atunci

X1 := V T1 XV1 = V T

1 XTV1 = XT1 (22.242)

si(A+BF )V1 = V1S (22.243)

are loc cu S stabila. In particular, V1 = ImV1 este un spatiu stabil (A,B)–invariant dedimensiune r. Prin urmare, pentru orice conditie initiala x0 = V1ξ0 ∈ V1, ξ0 ∈ Rr, putemforta sistemul (22.239) sa aiba ıntreaga evolutie localizata ın V1, i.e.,

V1ξ = AV1ξ+Bu, ξ(0) = ξ0 ∈ Rr. (22.244)

Evaluam indicele patratic din (22.240) de-alungul traiectoriilor localizate ın V1 descrisede (22.244).

In acest scop definim

Q1 := V T1 QV1, L1 := V T

1 L, F1 := FV1. (22.245)

Cu (22.243) si (22.245), (22.241) devine

ATXV1 +XV1S +QV1 + LF1 = 0. (22.246)

Premultiplicand (22.246) cu V T1 si folosind (22.243) transpusa si (22.245) obtinem

STX1 − F T1 B

TXV1 +X1S +Q1 + L1F1 = 0. (22.247)

278 Cristian Oara

Din (22.241) avem de asemenea

F T1 B

TXV1 + F T1 L

T1 + F T

1 RF1 = 0. (22.248)

Folosind (22.248) ın (22.247) obtinem

STX1 +X1S +Q1 + L1F1 + F T1 L

T1 + F T

1 RF1 = 0. (22.249)

Cum V1 este nesingulara putem lua V1 = In ın (22.241). Atunci (22.249) devine

(A+BF )TX +X(A+BF ) +Q+ LF + F TLT + F TRF = 0 (22.250)

cu A+BF stabila, care este forma ın “bucla ınchisa” a ecuatiei algebrice Riccati.Principalul rezultat este prezentat sub forma unei teoreme.

Propozitia 22.24. Presupunem ca SARG(Σ) din (22.241) are o solutie stabilizatoare.Atunci indicele patratic (22.240) ia forma

JΣ(V1ξ0, u) = ξT0X1ξ0 +

∫ ∞

0

(u− F1ξ)TR(u− F1ξ)dt (22.251)

pentru orice pereche (ξ, u) care satisface (22.244), unde X1 := V T1 XV1 si F1 := FV1.

Daca ın plus R ≥ 0, atunci minimul lui JΣ(V1ξ0, u) peste clasa Uξ0 a tuturor legilor decomanda care aduc ξ0 ın origine este atins (neunic) pentru u = F1ξ.

22.6.6. Factorizarile spectrala si inner–outer: cazul de rang arbitrar

Dam ın continuare solutia problemelor de factorizare spectrala si inner–outer pentru unsistem avand matricea de transfer proprie si de rang constant (dar nu neaparat maximal)pe axa imaginara extinsa. Asa cum vom vedea, problemele de factorizare se reduc lacalculul solutiei stabilizatoare a unui sistem de tip Riccati. Incepem cu cateva definitii.

Definitia 22.19. Fie H(s) ∈ RH∞+,p×m fara zerouri pe axa imaginara extinsa, i.e.,

rang H(jω) = k (= rang R(s)H(s)), ∀ω ∈ R. (22.252)

1. O matrice de transfer Ho(s) ∈ RH∞+,k×m cu o inversa la dreapta ın RH∞

+,m×k astfelıncat

H∗(s)H(s) = H∗o (s)Ho(s) (22.253)

se numeste factor spectral al lui H.2. Fie Hi := HH†

o ∈ RH∞+,p×k unde H†

o este o inversa la dreapta a lui Ho ın RH∞+ .

Atunci Hi este interioara, i.e., este ın RH∞+ si satisface

H∗i (s)Hi(s) = I (22.254)

siH(s) = Hi(s)Ho(s). (22.255)

Relatia (22.255) defineste o factorizare inner–outer a lui H.

Sisteme robuste 279

Teorema urmatoare furnizeaza suportul teoretic pentru factorizarile spectrala si inner–outerın cazul general prin intermediul realizarilor de stare.

Teorema 22.35. Fie

H(s) =

[A BC D

], (22.256)

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, D ∈ Rp×m. Presupunem ca H(s) nu are zerouripe axa imaginara extinsa (i.e., satisface (22.252)) si realizarea (22.256) este stabilizabilasi C0–observabila. Definim tripletul Popov de pozitivitate Σ = (A,B;CTC,CTD,DTD).Atunci avem:

1. SMAR(Σ) are o solutie stabilizatoare (X,F ).2. Fie G o matrice de rang ıntreg pe linii astfel ıncat GTG = DTD. Definim

Ho(s) :=

[A B−GF G

],

Hi(s) :=

[A+BF BG†

C +DF DH†

],

(22.257)

unde G† este o inversa la dreapta a lui G. Atunci Ho(s) satisface (22.253), Hi(s) esteinner si ımpreuna satisfac (22.255). Daca ın plus A este stabila (i.e., H ∈ RH∞

+,p×m),atunci Ho(s) este factorul spectral si Hi(s) este factorul inner al lui H(s).

22.7. Problema de Aproximare Nehari

In aceasta sectiune dam solutia problemei de aproximare Nehari care consta ın aproxi-marea ın norma L∞ a unui sistem antistabil cu un sistem stabil. Consideram aici cazulcel mai general, ın care aproximantul actioneaza numai asupra unui colt al matricei detransfer a sistemului aproximat, cunoscut si sub numele de problema de tip patru bloc.Solutia prezentata consta ın reducerea problemei Nehari la o conditie (inegalitate) designatura ce poate fi rezolvata prin tehnicile generale din § 22.3.

In § 22.7.1 formulam problema de aproximare Nehari patru bloc. Dam solutia uneiprobleme particulare ın care sistemul aproximat este constant ın § 22.7.2. Conditiilenecesare si suficiente de existenta ımpreuna cu clasa tuturor solutiilor sunt date ın § 22.7.3ın termenii a doua sisteme KPY cuplate. In ultima sectiune rafinam conditiile de existentasi formulele clasei tuturor solutiilor aratand ca cele doua sisteme KPY cuplate suntechivalente cu doua sisteme KPY necuplate plus o conditie de signatura.

22.7.1. Problema Nehari si conditia de signatura

Consideram sistemul antistabil

x = Ax+B1u1 +B2u2,y1 = C1x+D11u1 +D12u2,y2 = C2x+D21u1 +D22u2,

(22.258)

avand matricea de transfer data de

H =

[A BC D

]=

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

=

[H11 H12

H21 H22

]∈ RH∞

−,p×m, (22.259)

280 Cristian Oara

unde A ∈ Rn×n este antistabila, Bi ∈ Rn×mi , Cj ∈ Rpj×n, Dij ∈ Rpi×mj (i, j = 1, 2,m = m1+m2, p = p1+p2). Vom spune ca problema este de tip unu bloc dacam2 = p2 = 0,doi bloc daca m2 = 0, p2 > 0, doi bloc duala daca m2 > 0, p2 = 0, si patru bloc dacam2 > 0, p2 > 0. Aceste nume provin de la numarul de blocuri nevide ale lui H din(22.259).

Definim un aproximant pentru sistemul H ca fiind sistemul stabil

xS = ASxS +BSuS,yS = CSxS +DSuS,

(22.260)


S =

[AS BS

CS DS

]∈ RH∞

+,p1×m1, (22.261)

unde AS este stabila.Dandu–se sistemul antistabil H si o valoare reala γ > 0, problema suboptimala Nehari

patru bloc (PN–4) consta ın gasirea tuturor aproximantilor stabili S, atunci cand exista,astfel ıncat ∥∥∥∥[ H11 + S H12

H21 H22

]∥∥∥∥∞

< γ. (22.262)

Problema optimala Nehari patru bloc consta ın gasirea tuturor aproximantilor stabili Sastfel ıncat

minS∈RH∞

+,p1×m1

∥∥∥∥[ H11 + S H12

H21 H22

]∥∥∥∥∞

=

∥∥∥∥[ H11 + S H12

H21 H22

]∥∥∥∥∞

= γmin (22.263)

care este echivalent cu gasirea lui γmin si a tuturor S stabili care satisfac (22.262) cuinegalitatea stricta relaxata la una nestricta si γ = γmin. Inegalitatea stricta din (22.262)evita dificultatile asociate cu cazul optimal. In cele ce urmeaza ne vom restrange doar laprezentarea solutiei problemei suboptimale.

Putem presupune, fara a restrange generalitatea, ca D11 = 0 si γ = 1. Intr-adevar,D11 = 0 este echivalent cu a sifta solutia S ın S −D11, ın timp ce γ = 1 implica o scalarepotrivita doar a luiH. Presupunem de aici ınainte ca aceste doua conditii sunt satisfacute.Nu presupunem nicio ipoteza suplimentara asupra realizarii pe spatiul starilor (22.259).

Pe scurt, solutia pe care o dam PN–4 consta ın reducerea ei la o conditie de signaturascrisa pentru o functie Popov potrivita, care poate fi rezolvata invocand rezultatul generaldin Teorema 22.21.. Intr-adevar, (22.262) este echivalenta cu o problema doi bloc∥∥∥∥[ H1 + S

H2

]∥∥∥∥∞

< 1 (22.264)

cu constrangerea de structura S =[S O

], unde

H1 :=[H11 H12

], H2 :=

[H21 H22

].

Mai mult, (22.264) este echivalenta cu

(H1 + S)∗(H1 + S) +H∗2H2 − I =

[H1

H2

]∗ [H1

H2

]+ S

∗H1 +H∗

1S − I

Sisteme robuste 281

= H∗H + S∗H1 +H∗

1S − I < 0, pe C0. (22.265)

Rescriind (22.265) ın mod compact rezulta conditia de signatura

[I S

∗ ]ΠΣ

[IS

]< 0, pe C0 (22.266)

pentru functia Popov

ΠΣ =

[Π11 Π12

Π∗12 I

]:=

[H∗H − Im H∗

1

H1 Ip1

]=

[H1 Ip1H2 O

]∗ [H1 Ip1H2 O

]−

[I OO O

](22.267)

asociata cu tripletul Popov

Σ = (A,B;Q,L,R)

:= (A,[B Op1

];CTC,

[CTD CT

1

],

[DTD − I DT

1

D1 Ip1

]), (22.268)

undeD1 :=[O D12

].O verificare directa arata caΠΣ definita de (22.267) este ıntr-adevar

functia Popov asociata cu Σ. Prin urmare, PN–4 are o solutie S daca si numai dacaconditia de signatura (22.266) are loc pentru S =

[S O

].

In orice caz, nu putem aplica direct rezultatul din Teorema 22.21. din doua motive.Intai, A din Σ este antistabila ın timp ce aceatsa teorema cere ca A sa fie stabila. In aldoilea rand, solutia S la inegalitatea (22.266) trebuie sa aiba o structura de zerouri carenu este automat furnizata de Teorema 22.21..

Pentru a rezolva prima dificultate vom transforma tripletul Popov antistabil Σ intr-unulstabil folosind tehnicile generale din § 22.3.. Mai precis, definim ıntai un triplet Popovechivalent particular al lui Σ, notat Σ = (A, B; Q, L, R), pentru care A este antistabila si

Q = 0. Mai departe, luam dualul, notat Σ = (A, B; Q, L, R), pentru care A este stabila

si Q = 0. Pentru a defini echivalentul potrivit Σ folosim solutia ecuatiei Riccati careexprima proprietatea de contractivitate∥∥∥∥[ H12

H22

]∥∥∥∥∞

< 1. (22.269)

In particular, (22.269) este o conditie necesara de solvabilitate pentru PN–4. Transformarea

tripletului Popov Σ ın Σ si dualizarea ın Σ are efectul de a transforma problema originalade rezolvare a conditiei de signatura (22.266) ın necunoscuta S ıntr-o problema echivalentade rezolvare ın necunoscuta S a conditiei de signatura pentru Π

Σ.

In final, solutiile conditiei de signatura pentru ΠΣvor fi obtinute dintr-o versiune

actualizata a Teoremei 22.21. care furnizeaza forma particulara a solutiei S, rezolvandın acest fel si a doua dificultate mentionata. Cheia solutiei consta ıntr-o factorizareJ–spectrala a Π

Σcu o structura de zerouri prescrisa. Formulam ın continuare acest

rezultat.

282 Cristian Oara

Teorema 22.36. Fie

Π :=

[Π11 Π12

Π∗12 Π22

]= Π∗, (22.270)

o (m + p1) × (m + p1) matrice rationala cu Π22 > 0 pe C0. Presupunem ca Π admite ofactorizare J–spectrala

Π = H∗JH, (22.271)

unde J := diag (−Im, Ip1) = diag (−Im1 ,−Im2 , Ip1), factorul spectral are structura particula-ra

H =

[H1 H2

H3 H4

]=

H11 O H13

H21 H22 H23

H31 O H33

, (22.272)

H este unitate ın RH∞+,(m+p1)×(m+p1)

si H4(= H33) este unitate ın RH∞+,p1×p1

.

Atunci clasa tuturor S ∈ RH∞+,p1×m, ( S =

[S Op1×m2

], S ∈ RH∞

+,p1×m1), care

satisfac conditia de signatura

[I S

∗ ]Π

[IS

]< 0, pe C0, (22.273)

este data de

S := S2S−1

1 ,

[S1

S2

]= H−1

[Imθ

], θ =

[θ O

], (22.274)

unde θ este un element arbitrar ın RH∞+,p1×m1

cu ∥θ∥∞ < 1.

Corolarul urmator da o parametrizare echivalenta a clasei solutiilor conditiei de signatu-ra (22.273).

Corolarul 22.18. Presupunem ca toate conditiile Teoremei 22.36. au loc. Atunci clasaS ∈ RH∞

+ pentru care S =[S O

]satisface (22.273) este data de una dintre formele

echivalente:1.

S = (H31 +H33θ)(H11 +H13 θ)−1,

ın care H ij, (i, j = 1, 2, 3) sunt elementele lui H := H−1.2.

S = −(H33 + θH13)−1(H31 + θH11).

3.S = TLFI(G, θ) = G11 +G12θ(I −G22θ)

−1G21,

unde coeficientii Gij ai transformarii liniar fractionare sunt dati de G11 := −H−133 H31,

G12 := H−133 , G21 := H11 −H13H

−133 H31, G22 := H13H

−133 .

22.7.2. Problema Parrott

In aceasta sectiune dam o solutie a unei probleme particulare PN–4 pentru cazul ıncare matricea de transfer este constanta. Acest caz particular are importanta de sinestatatoare si este cunoscut sub numele de problema Parrott. Incepem cu un rezultatauxiliar.

Sisteme robuste 283

Lema 22.11. Fie matricea simetrica R ∈ Rn×n, partitionata

R =

R11 R12 R13

RT12 R22 R23

RT13 RT

23 R33

, (22.275)

unde Rij ∈ Rni×nj , (i, j = 1, 2, 3), n1 + n2 + n3 = n. Presupunem ca(i) R22 < 0.(ii) R33 > 0.(iii) sgn (R) = J , unde J = diag (−In1 ,−In2 , In3).Atunci exista o J–factorizare a lui R ın forma

R = V TJV, (22.276)

ın care factorul V ∈ Rn×n are structura de zerouri

V =

V11 O OV21 V22 V23

V31 O V33

(22.277)

si Vij ∈ Rni×nj , (i, j = 1, 2, 3).

Teorema 22.37. (Problema Parrott) Fie D ∈ Rp×m partitionata ca

D =

[O D12

D21 D22

], (22.278)

unde Dij ∈ Rpi×mj , i, j = 1, 2. Atunci exista o matrice S ∈ Rp1×m1 astfel ıncat

∥[

S D12

D21 D22

]∥ < 1 (22.279)

daca si numai daca urmatoarele conditii au loc:a. ∥D2∥ < 1, unde D2 :=

[D21 D22

].

b. ∥D2∥ < 1, unde D2 :=

[D12

D22

].

Daca conditiile a sau b au loc, atunci

R :=

[DTD − I DT

1

D1 I

]=

DT21D21 − I DT

21D22 O

DT22D21 D

T

2D2 − I DT12

O D12 I

, (22.280)

are o J-factorizareR = V TJV, (22.281)

unde D1 :=[O D12

]si V poate fi aleasa de forma

V =

V11 O OV21 V22 V23

V31 O V33

. (22.282)

Clasa tuturor matricelor S care satisfac (22.279) este data de

S = −V −133 (V31 + θV11), ∀θ ∈ Rp1×m1 , cu ∥θ∥ < 1. (22.283)

284 Cristian Oara

22.7.3. Conditii necesare si suficiente de solvabilitate

Pentru a exprima conditiile de solvabilitate pentru PN–4 avem nevoie sa exprimamproprietatea de contractivitate a doua subsisteme asociate cu H ın termenii solutiilorstabilizatoare a doua sisteme KPY.

Lema 22.12. Fie H dat de (22.259). Definim tripletele Popov

Σ1 = (−A,−B2;CTC,CTD2, D

T

2D2 − I), D2 :=

[D12

D22

], (22.284)

si

Σ2 = (−AT ,−CT2 ;BBT , BDT

2 , D2DT2 − I), D2 :=

[D21 D22

]. (22.285)

I. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. ∥[H12

H22

]∥∞ < 1.

2. Sistemul KPY(Σ1,−I) dat de

DT

2D2 − I = −V TV,CTD2 −XB2 = −W TV,

CTC − ATX −XA = −W TW,

(22.286)

are o solutie stabilizatoare (X1, V1,W1), cu X1 ≥ 0.

II. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. ∥[H21 H22

]∥∞ < 1.

2. Sistemul KPY(Σ2,−I)

D2DT2 − I = −V TV,

BDT2 −XCT

2 = −W TV,BBT − AX −XAT = −W TW,

(22.287)

are o solutie stabilizatoare (X2, V2,W2), cu X2 ≥ 0.

Asa cum am explicat deja, folosim solutia stabilizatoare a sistemului KPY(Σ1,−I)pentru a defini tripletul Popov echivalent Σ = (A, B; Q, L, R) al lui Σ, dat explicit ın

(22.268). Mai precis, construim Σ ca tripletul Popov (−X1, F )–echivalent al lui Σ, unde

F :=

OF1

O

m1

p1=

[F 1

O

], (22.288)

si

F1 := −(DT

2D2 − I)−1(−BT2 X1 +D

T

2C) (22.289)

este reactia stabilizatoare a sistemului KPY(Σ1). Substitutind formulele (22.268) si(22.288) ın expresiile generale ce sunt satisfacute de doua triplete Popov (22.68) obtinem

Sisteme robuste 285

expresiile explicite:

A = A+[B O

] [ F 1

O

]= A+B2F1,

B =[B1 B2 O

],

L =[CTD CT

1

]+[F

T

1 O] [DTD − I DT

1

D1 I

]−X1

[B O

](22.288)=

[(CT

2 + F T1 D

T22)D21 −X1B1 O CT

1 + F T1 D

T12

],

R = R =

[DTD − I DT

1

D1 I

]=

DT21D21 − I DT

21D22 O

DT22D21 D

T

2D2 − I DT12

O D12 I

,

Q = −ATX1 −X1A+ F TRF + LF + F TLT+Q

= −(A+B2F1)TX1 −X1(A+B2F1) + F T

1 (DT

2D2 − I)F1 + CTD2F1

+F T1 D

T

2C + CTC = 0,

(22.290)

ın care ultima egalitate este o simpla rescriere a EMAR(Σ1) unde X1 este solutia eistabilizatoare si F1 este reactia stabilizatoare.

Fie Σ := (A, B; Q, L, R) tripletul Popov dual al lui Σ. Cum Q = 0 si A este antistabila

ecuatia Lyapunov de reducere ATX +XA+ Q = 0 are o solutie unica Xr = 0 si obtinemtripletul Popov dual Σ dat de expresiile explicite (v. (22.121)):

A := −AT = −(A+B2F1)T ,

B := −L = −[(CT

2 + F1DT22)D21 −X1B1 O CT

1 + F T1 D

T12

]=:

[B1 O B3

],

Q := Q = 0,

L := B =[B1 B2 O

],

R := R =

[DTD − I DT

1

D1 I

].

(22.291)

Inegalitatile de signatura pentru functiile Popov asociate cu Σ si Σ sunt legate ıntre eleasa cum este indicat ın urmatorul rezultat.

Lema 22.13. Fie Σ si Σ tripletele Popov definite de (22.268) si (22.291). Conditia designatura [

I S∗ ]

ΠΣ

[IS

]< 0, pe C0 (22.292)

are loc pentru S =[S O

]daca si numai daca conditia de signatura[I S

∗ ]Π

Σ

[IS

]< 0, pe C0 (22.293)

are loc pentru acelasi S.

De fapt, rezultatul precedent arata ca PN–4 are o solutie S daca si numai daca conditiade signatura (22.293) scrisa pentru functia Popov Π

Σare loc pentru S =

[S O

].

Rezultatul final este cuprins ın urmatoarea teorema.

286 Cristian Oara

Teorema 22.38. Fie H dat de (22.259) si fie Σ1 si Σ tripletele Popov definite ın (22.284)si respectiv (22.291). Atunci PN–4 (22.262) (cu γ = 1) are o solutie S daca si numaidaca urmatoarele doua conditii sunt ındeplinite:

a. Sistemul KPY(Σ1,−I) din (22.286) are o solutie stabilizatoare (X1, V1,W1) siX1 ≥ 0.

b. Sistemul KPY(Σ, J)

R = V TJV,

L+ XB = W TJV,

Q+ ATX +XA = W TJW,

(22.294)

cuJ = diag (−Im1 ,−Im2 , Ip1), (22.295)

are o solutie stabilizatoare (X, V,W ) si X ≥ 0.Daca a si b au loc, atunci functia Popov Π

Σare o J–factorizare spectrala

ΠΣ= H∗JH, (22.296)

unde factorul J spectral are forma

H =

H11 O H12

H21 H22 H23

H31 O H33

(22.297)

si satisface toate conditiile din Teorema 22.36. scrise pentru ΠΣ. Mai mult, clasa tuturor

solutiilor PN–4 este data de oricare dintre expresiile echivalente 1–3 din Corolarul 22.18..

Rezultatul urmator da clasa tuturor solutiilor ıntr-o forma explicita.

Corolarul 22.19. Clasa tuturor solutiilor PN–4 este data de oricare dintre expresiileechivalente 1–3 din Corolarul 22.18., unde o realizare pe spatiul starilor a coeficientilorce intervin este data de[

H11 H13

H31 H33

]:=

[H11 H13

H31 H33

]=

A B1 B3

W1 V11 OW3 V31 V33

,

[H11 H13

H31 H33

]:=

[H11 H13

H31 H33

]−1

=

A+ BF B1V 11 + B3V 31 B3V 33

F1 V 11 O

F3 V 31 V 33

,

unde F := −V −1W =[F T1 F T

2 F T3

]Ta fost partitionata corespunzator.

Urmatorul rezultat rafineaza conditiile necesare si suficiente de solvabilitate ale PN–4aratand ca aceasta are solutie daca si numai daca cele doua sisteme KPY din Lema 22.12.au solutii stabilizatoare sau, echivalent, ca ecuatiile Riccati corespunzatoare au solutiistabilizatoare si o conditie de cuplare are loc.

Sisteme robuste 287

Teorema 22.39. Fie H data de (22.259) si fie Σ1, Σ2, si Σ tripletele Popov definite ın(22.284), (22.285) si respectiv (22.291).

I. PN–4 suboptimala (22.262) (cu γ = 1) are o solutie S daca si numai daca urmatoareletrei conditii au loc:

a. Sistemul KPY(Σ1,−I) din (22.286) are o solutie stabilizatoare (X1, V1,W1), cuX1 ≥ 0.

b. Sistemul KPY(Σ2,−I) din (22.287) are o solutie stabilizatoare (X2, V2,W2), cuX2 ≥ 0.

c. ρ(X1X2) < 1.

II. Daca conditiile a, b si c au loc, atunci sistemul KPY(Σ, J) din (22.294) are o

solutie stabilizatoare (X, V,W ), cu X ≥ 0 satisfacand X = X2(I −X1X2)−1.

Clasa tuturor solutiilor PN–4 data ın Corolarul 22.19. se poate exprima ın termeniisolutiilor X1 si X2 corespunzatoare sistemelor KPY(Σ1,−I) si KPYS(Σ2,−I), ai carorcoeficienti sunt dati ın termenii realizarii pe spatiul starilor (22.259) a sistemului originalH.

22.8. Problema de reglare optimala H2

In aceasta sectiune formulam si dam solutia problemei de reglare optimala ın normaH2. Aceasta consta ın gasirea unui regulator Hc, pentru un sistem generalizat dat T , carestabilizeaza configuratia ın bucla ınchisa si minimizeaza norma H2 intrare–iesire.

Consideram sistemul generalizat

x = Ax+B1u1 +B2u2,y1 = C1x+D12u2,y2 = C2x+D21u1,

(22.298)

avand matricea de transfer

H =

[A BC D

]=

A B1 B2

C1 O D12

C2 D21 O

=

[H11 H12

H21 H22

], (22.299)

unde A ∈ Rn×n, Bi ∈ Rn×mi , Cj ∈ Rpj×n, Dij ∈ Rpi×mj , (i, j = 1, 2, m = m1 + m2,p = p1 + p2), u si y reprezinta intrarea si iesirea lui H si sunt partitionate conform cu Ha.ı.

y =

[y1y2

]= Hu =

[H11 H12

H21 H22

] [u1

u2

]. (22.300)

Vectorul u1 este vectorul intrarilor externe (perturbatii, zgomote ale senzorilor, semnalede referinta etc), y1 este vectorul iesirilor reglate, reprezentand ın general semnale de tiperoare, u2 este vectorul intrarilor reglate si y2 este vectorul iesirilor masurate.

A regla sistemul (22.298) ınseamna folosirea semnalului masurat y2 pentru a gasicomanda potrivita u2 a.ı raspunsul y1 al sistemului la intrarile externe u1 sa aiba anumiteproprietati dezirabile. In linii mari, preocuparea centrala ın aceasta sectiune este gasireaintrarii u2, ca iesire a unui regulator avand ca intrare y2, astfel ıncat raspunsul rezultaty1 sa aiba energie (norma L2) cat mai mica atunci cand la intrare (semnalul u1) se aplicaun impuls Dirac.

288 Cristian Oara

Pentru sistemul generalizat (22.298) consideram regulatorul

xK = AKxK +BKuK ,yK = CKxK ,

(22.301)


HK =

[A

KB

K

CK

O

], (22.302)

unde AK∈ Rn

K×n

K , BK∈ Rn

K×p2 , C

K∈ Rm2×n

K , si uK

si yK

sunt intrarea si respectiviesirea lui HK .

Sistemul ın bucla ınchisa din figura 22.1 este obtinut conectand regulatorul (22.302)la sistemul generalizat (22.299) a.ı. u2 ≡ y

Ksi u

K≡ y2.

Hc

T-

-

-

u1

u2

yK

y1

y2

uK

u2 ≡ yK uK ≡ y2

Fig. 22.1. Hy1u1 : Sistemul ın bucla ınchisa prin conectarea lui H si K.

Sistemul rezultant ın bucla ınchisa avand intrarea u1 si iesirea y1 este bine definit sieste dat de

y1 = Hy1u1u1, Hy1u1 = TLFI(H,HK) = H11 +H12HK(I −H22HK)−1H21,

Hy1u1 =

[A

RB

R

CR

O

]=

A B2CKB1

BKC2 A

KB

KD21

C1 D12CKO

.

(22.303)Dandu-se sistemul generalizat H, problema de reglare optimala H2 consta ın gasirea unuiregulator propriu HK pentru care sistemul ın bucla ınchisa Hy1u1 este intern stabil, i.e.,

Λ(AR) ⊂ C− (22.304)

si are norma H2 intrare–iesire minima, i.e., ∥Hy1u1∥2 ısi atinge minimul peste clasa tuturorsistemelor K= HK : HK strict proprie si Hy1u1 intern stabil. Un regulator care satisfaceconditia (22.304) – notata (S) – se numeste stabilizator, iar un regulator pentru careminimul este atins se numeste optimal.

Sisteme robuste 289

Observatia 22.13. In formularea precedenta am presupus implicit urmatoarele ipoteze:(i) H11(∞) = D11 = 0; (ii) H22(∞) = D22 = 0; (iii) HK(∞) = D

K= 0. Ipotezele (i) si

(iii) asigura ca Hy1u1(∞) = DR= 0 care este o conditie necesara pentru ca norma H2

a sistemului ın bucla ınchisa sa fie finita. In particular, ipoteza (iii) asigura automat casistemul ın bucla ınchisa este bine definit. Ipoteza (ii) este introdusa pentru simplificareaformulelor si nu restrange cu nimic generalitatea. Intr-adevar, daca HK este o solutie aproblemei cu D22 = 0, atunci HK(I +D22HK)

−1 este o solutie a problemei originale (cuD22 oarecare). In orice caz, trebuie precizat ca nici ipoteza (i) nici (iii) nu sunt necesarepentru existenta solutiei problemei de reglare optimala H2 si ambele pot fi relaxate ıntr-ooarecare masura.

22.8.1. O evaluare alternativa a normei H2

Dam ın continuare o evaluare utila a normei H2 (pentru un sistem stabil) ın termeniiiesirii sistemului cand la intrare se aplica un semnal de tip impuls Dirac. Acest rezultatprofund arata ca optimizarea (minimizarea) normei H2 a unui sistem este echivalenta cuoptimizarea (minimizarea) energiei semnalului de iesire atunci cand la intrare se aplicaun impuls Dirac si explica ın fapt de ce acest tip de optimizare este utilizata atuncicand este cunoscuta clasa de semnale exogene: modelul exogenului se include ın sistemulpropriu-zis si se minimizeaza energia semnalului eroare (iesirea sistemului) atunci candmodelul exogenului este excitat de un impuls Dirac.

Fie

H =

[A BC O

], y = Hu, (22.305)

un sistem arbitrar cu A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n si A stabila. Norma H2 a lui H sedefineste ca

∥H∥2 :=

1

2π

∫ ∞

−∞Trace [H∗(jω)H(jω)]dω

12

. (22.306)

Fie ui := δei, (i = 1, . . . ,m), unde δ este distributia Dirac si e1, . . . , em este baza euclidianastandard ın Rm. Notam yi iesirea (22.305) pentru u = ui, (i = 1, . . . ,m). Din stabilitatealui A rezulta ca yi ∈ L2,p

+ avand forma explicita yi(t) = 0, pentru t < 0, si yi(t) = CeAtBei,pentru t ≥ 0. Fie T (t) := 0, pentru t < 0, si T (t) = CeAtB, pentru t ≥ 0, matricea deraspuns cauzal la impuls a lui (22.305). Cu acestea, avem succesiv

m∑i=1

∥yi∥22 =m∑i=1

∫ ∞

0

eTi T T (t)T (t)eidt =∫ ∞

0

[m∑i=1

eTi T T (t)T (t)ei]dt

=

∫ ∞

0

Trace [T T (t)T (t)]dt = 1

2π

∫ ∞

−∞Trace [H∗(jω)H(jω)]dω(22.307)

unde ultima egalitate rezulta din teorema (formula) Parseval. Prin urmare, cu (22.306)si (22.307) concluzionam

∥H∥22 =m∑i=1

∥yi∥22. (22.308)

290 Cristian Oara

22.8.2. Solutia optimala

Incepem prin a formula rezultatul central de optimizare H2.

Teorema 22.40. Fie sistemul H dat de (22.299) caruia ıi asociem doua triplete Popov

Σ12 = (A,B2;CT1 C1, C

T1 D12, D

T12D12), (22.309)

Σ21 = (AT , CT2 ;B1B

T1 , B1D

T21, D21D

T21). (22.310)

Presupunem urmatoarele ipoteze satisfacute:

(H1) Perechea (A,B2) este stabilizabila, D12 are rang ıntreg pe coloane si

rang

[A− jωI B2

C1 D12

]= n+m2, ∀ ω ∈ R.

(H2) Perechea (C2, A) este detectabila, D21 are rang ıntreg pe linii si

rang

[A− jωI B1

C2 D21

]= n+ p2, ∀ ω ∈ R.

Atunci EMAR(Σ12)

ATX +XA− (XB2 + CT1 D12)(D

T12D12)

−1(BT2 X +DT

12C1) + CT1 C1 = 0 (22.311)

are o solutie stabilizatoare Xs ≥ 0 si EMAR(Σ21)

AY + Y AT − (Y CT2 +B1D

T21)(D21D

T21)

−1(C2Y +D21BT1 ) +B1B

T1 = 0 (22.312)

are o solutie stabilizatoare Ys ≥ 0. Mai mult, exista un regulator strict propriu

HK =

[A+B2Fs +KT

s C2 KTs

−Fs O

](22.313)

care rezolva problema optimala H2, unde

Fs := −(DT12D12)

−1(BT2 Xs +DT

12C1), (22.314)

Ks := −(D21DT21)

−1(C2Ys +D21BT1 ), (22.315)

sunt reactiile stabilizatoare ale celor doua ecuatii algebrice Riccati. Mai mult, valoareaoptima (minimala) a normei H2 este

minHK∈K

∥Hy1u1∥2 = [Trace (BT1 XsB1) + Trace (C1YsC

T1 )]

12 . (22.316)

Observatia 22.14. Ipotezele (A,B2) stabilizabila si (C2, A) detectabila sunt necesare pen-tru ındeplinirea conditiei (S) din enuntul problemei de reglare optimala H2. Celelalteipoteze sunt necesare pentru existenta solutiilor stabilizatoare ale celor doua ecuatii Riccati,dar nu sunt ın general necesare pentru existenta unei solutii a problemei de reglare H2. Incazul ın care oricare dintre aceste ipoteze de regularitate nu are loc, se obtine o asa-numitaproblema singulara de reglare H2 a carei solutie implica argumente mult mai complicatedin zona factorizarilor necanonice.

Sisteme robuste 291

22.9. Problema de reglare H∞ suboptimala

In acesta sectiune dam solutia problemei de reglare H∞ suboptimala (cunoscuta sisub numele de problema de atenuare a perturbatiei) care consta ın gasirea clasei tuturorregulatoarelor, pentru un sistem generalizat dat, care stabilizeaza sistemul rezultant ınbucla de reactie si care face norma H∞ a matricei de transfer intrare–iesire marginita deun γ > 0 prescris.

In § 22.9.1 formulam problema. Indicam si explicitam ın detaliu ipotezele sub carelucram ın § 22.9.2. O generalizare a teoremei lui Redheffer este data ın § 22.9.3. Rezultatulcentral este prezentat ın § 22.9.4. Incheiem sectiunea cu doua cazuri particulare importantece apar ın multe situatii practice si ce simplifica considerabil formulele regulatoarelor:cazul ın care sunt satisfacute ipotezele de normalizare si cazul ın care starea este disponibilapentru masurare ın § 22.9.5 si respectiv 22.9.6.

22.9.1. Formularea problemei

Cadrul general este similar celui din cazul problemei de reglare H2 optimale.

Consideram un sistem generalizat

x = Ax+B1u1 +B2u2,y1 = C1x+D11u1 +D12u2,y2 = C2x+D21u1 +D22u2,

(22.317)


H =

[A BC D

]=

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 D22

=

[H11 H12

H21 H22

], (22.318)

unde A ∈ Rn×n, Bi ∈ Rn×mi , Cj ∈ Rpj×n, Dij ∈ Rpi×mj , (i, j = 1, 2, m = m1 + m2, p =p1+p2), u si y semnifica intrarea si respectiv iesirea sistemului (22.317), fiind partitionateconform cu H astfel ıncat

y =

[y1y2

]= Hu =

[H11 H12

H21 H22

] [u1

u2

]. (22.319)

Vectorul u1 este vectorul intrarilor exogene (perturbatii, zgomote ale senzorilor si semnalede referinta, y1 este vectorul iesirilor reglate, reprezentand ın general semnale eroare, u2

este vectorul intrarilor comandate si y2 este vectorul iesirilor masurate.

Reglarea sistemului generalizat (22.317) ınseamna folosirea informatiei masurate y2pentru a gasi o comanda potrivita u2 astfel ıncat iesirea y1 a sistemului la intrarea exogenau1 sa aiba anumite caracteristici dezirabile. In limbaj de automatica reglarea ınseamnagasirea unei comenzi u2 generate de un regulator cu intrarea y2, astfel ıncat raspunsulsistemului y1 sa aiba energie (norma L2) cat mai mica cu putinta la cel mai defavorabilsemmal de intrare u1 de energie unitara (semnal avand norma L2 egala cu 1 ales astfelıncat sa maximizeze y1). Cum u1 este adesea un semnal perturbator, aceasta conditiepoate fi interpretata ca una de atenuare a perturbatiei.

292 Cristian Oara

Pentru sistemul generalizat (22.317), un regulator este un sistem liniar descris de

xK = AKxK +BKuK ,yK = CKxK +DKuK ,

(22.320)


HK =

[A

KB

K

CK

DK

], (22.321)

unde AK∈ Rn

K×n

K , BK∈ Rn

K×p2 , C

K∈ Rm2×n

K , DK∈ Rm2×p2 , si u

Ksi y

Ksunt intrarea

si respectiv iesirea lui (22.320). Sistemul ın bucla ınchisa din figura 22.2

HK

H-

-

-

u1

u2

yK

y1

y2

uK

u2 ≡ yK uK ≡ y2

Fig. 22.2. Conexiunea ın bucla de reactie a lui H cu HK .

obtinut prin conectarea regulatorului (22.320) la sistemul generalizat (22.317) astfel ıncatu2 ≡ y

Ksi u

K≡ y2 este bine definit ın sens strict (v. cap. 10 din Automatica, vol. I)

daca matricea [Ip2 D22

DK Im2

](22.322)

este nesingulara. Buna definire ın sens strict poate fi exprimata echivalent prin conditia camatricea S = Ip2 −D22DK sa fie nesingulara sau ca S := Im2 −DKD22 sa fie nesingulara.

Daca sistemul ın bucla ınchisa este bine definit, atunci sistemul rezultant cu intrareau1 si iesirea y1 este dat de

Hy1u1 = TLFI(H,HK) = H11 +H12HK(I −H22HK)−1H21,

Hy1u1 =

[A

RB

R

CR

DR

]

=

A+B2S−1DKC2 B2S

−1CK B1 +B2S−1DKD21

BKS−1C2 AK +BKS

−1D22CK BKS−1D21

C1 +D12DKS−1C2 D12S

−1CK D11 +D12DKS−1D21

.

(22.323)

Cu aceste preliminarii, formulam problema de reglare H∞. Incepem cu varianta subopti-mala.

Sisteme robuste 293

Dandu-se un sistem H si un numar real γ > 0, problema de reglare H∞ γ–suboptimalaconsta ın gasirea tuturor regulatoarelor HK pentru care sistemul ın bucla ınchisa Hy1u1

este bine definit ın sens strict (I −D22DK este inversabila), intern stabil, i.e.,

Λ(AR) ⊂ C−, (22.324)

si marginit ın norma H∞ de γ, i.e.,

∥Hy1u1∥∞ < γ. (22.325)

Cum ∥Hy1u1∥∞ = sup∥u1∥2=1 ∥y1∥2, rezulta ca (22.325) de fapt impune o margine superioaraasupra normei L2 a sistemului ın bucla ınchisa la o intrare externa arbitrara de normaL2 unitara. Din acest motiv, o problema de reglare H∞ γ–suboptimala se numestealternativ problema de γ atenuare (γ–PAP). Un regulator care satisface (22.324) senumeste stabilizator, iar un regulator care satisface (22.325) se numeste γ–contractiv.Daca relaxam inegalitatea stricta din (22.325) la una nestricta obtinem asa-numita proble-ma γ–PAP nestricta. Daca γ = 1, vom vorbi despre un regulator contractiv si problemacorespunzatoare γ–PAP se va numi simplu PAP.

Observatia 22.15. Din capitolul 10 [Automatica, vol. I] rezulta ca realizarile lui (I −H22HK)

−1,Hy2u1 := (I−H22HK)−1H21 siHu2u1 = HK(I−H22HK)

−1H21, scrise ın termeniirealizarilor (22.318), (22.321), au aceeasi matrice de stare care este exact AR, i.e.,

(I −H22HK)−1 =

[AR ⋆⋆ ⋆

], Hy2u1 =

[AR ⋆⋆ ⋆

], Hu2u1 =

[AR ⋆⋆ ⋆

].

Daca regulatorul HK stabilizeaza H, i.e., bucla ınchisa este intern stabila, atunci sistemulrezultant este automat stabil intrare–iesire, i.e., Hy1u1 ∈ RH∞

+,p1×m1si de asemenea (I −

H22HK)−1 ∈ RH∞

+,p2×p2, Hy2u1 ∈ RH∞

+,p2×m1si Hu2u1 ∈ RH∞

+,m2×m1. Aceasta ınseamna

ca o intrare de patrat integrabil u1 va genera semnale de patrat integrabil y1, y2 si u2, ınsistemul ın bucla ınchisa din figura 22.2.

O ıntrebare naturala ın acest context este determinarea infimumulului γmin – numitcea mai mica toleranta admisibila – a lui ∥Hy1u1∥∞, peste clasa tuturor regulatoarelorstabilizatoare si scrierea formulei pentru toate regulatoarele HK care ating acest minim(optim). Aceasta problema numita problema de reglare H∞ optimala (sau problema deatenuare optimala a perturbatiei) este extrem de dificila si pentru ea nu exista o solutiecompleta si fezabila din punct de vedere numeric. In particular, problema de reglare H∞

optimala este echivalenta cu problema γ–PAP nestricta pentru γ = γmin.Vom prezenta ın continuare solutia γ–PAP care poate asigura un nivel de toleranta

oricat de mic (dar strict pozitiv) ϵ := γ− γmin > 0.

22.9.2. Ipoteze de baza

Solutia problemei γ–PAP va fi prezentata sub anumite ipoteze asupra sistemuluigeneralizat, ipoteze ce au sau rolul de a simplifica expunerea fara a restrange generalitateasau sunt de natura tehnica intrinseca. Aceste ipoteze sunt prezentate ın continuare,ımpreuna cu comentarii asupra satisfacerii lor de catre sistemele reale si vor fi valabile ıntot restul sectiunii.

294 Cristian Oara

(H1) γ = 1

Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca γ = 1. Intr–adevar, aceastaipoteza se poate ındeplini ıntotdeauna printr-o scalare adecvata a sistemului reglat (v.Observatia 22.16. care urmeaza).

(H2) D22 = 0

Aceasta ipoteza nu restrange generalitatea intrucat daca HK este o solutie a problemeiın cazul ın care D22 = 0, atunci HK(I + D22HK)

−1 este o solutie a problemei originale.Indeplinirea acestei ipoteze simplifica semnificativ restrictiile impuse de buna definire ınsens strict a conexiunii ın bucla ınchisa ıntrucat implica ca matricea (22.322) este automatinversabila. De asemenea, conduce la formule mult simplificate pentru clasa solutiilor.

(H3) Perechea (A,B2) este stabilizabila si perechea (C2, A) este detectabila

Aceste presupuneri sunt necesare pentru existenta unui regulator stabilizator. Intr-ade-var, putem scrie matricea de stare AR a sistemului rezultant ın bucla ınchisa din (22.323)ca

AR =

[A+B2S

−1DKC2 B2S−1CK

BKS−1C2 AK +BKS

−1D22CK

](22.326)

=

[A OO AK

]+

[B2 OO BK

] [S−1DK S−1

S−1 S−1D22

] [C2 OO CK

].

Daca AR este stabila, deducem ca perechea matriciala

(

[A OO AK

],

[B2 OO BK

])

este stabilizabila si perechea matriciala

(

[C2 OO CK

],

[A OO AK

])

este detectabila, de unde rezulta ca perechea (A,B2) este stabilizabila si perechea (C2, A)este detectabila. In particular, rezulta si ca (AK , BK) este stabilizabila si (CK , AK) estedetectabila.

(H4) Regularitate

Facem doua presupuneri de regularitate (R1) si (R2) ce sunt reminiscente de laproblema de reglare H2 optimala.

(R1) Fasciculul sistem al lui H12, dat explicit de[sI − A −B2

−C1 −D12

],

Sisteme robuste 295

are rang ıntreg pe coloane pentru toti s ∈ C0. Aceasta conditie este echivalenta cuurmatoarele doua conditii de rang:

rangD12 = m2, rang

[jωI − A −B2

−C1 −D12

]= n+m2, ∀ω ∈ R.

In particular, rezulta ca p1 ≥ m2, i.e., sunt mai multe iesiri reglate decat intrari comandatesi H12 nu are zerouri pe C0.(R2) Fasciculul sistem al lui H21 dat de[

sI − A −B1

−C2 −D21

]are rang ıntreg pe linii pentru toti s ∈ C0. Aceasta conditie este echivalenta cu urmatoareledoua conditii de rang:

rangD21 = m2, rang

[jωI − A −B1

−C2 −D21

]= n+m2, ∀ω ∈ R.

In particular, rezulta m1 ≥ p2, i.e., sunt mai multe intrari exogene decat iesiri masuratesi H21 nu are zerouri pe C0.

O problema ce satisface aceste doua ipoteze se numeste regulata, ın caz contrar numin-du-se singulara.

Facem precizarea ca aceste doua ipoteze de regularitate nu sunt sub nicio formanecesare pentru existenta solutiei γ–PAP si sunt esentialmente facute din motive tehnice.Problemele singulare sunt foarte dificil de tratat si solutia lor completa ınca lipseste.

22.9.3. Teorema Redheffer

Teorema Redheffer este un ingredient central al oricarei scheme de obtinere a claseisolutiilor γ−DAP , fiind de fapt un caz special de atenuare a perturbatiei ın bucla ınchisa.

Incepem cu cateva definitii. Un sistem avand matricea de transfer H ∈ RL∞ senumeste izometric daca H∗H = I si se numeste inner daca este izometric si H ∈ RH∞

+ .Presupunem ca H este dat de realizarea

H =

[A BC D

]. (22.327)

Daca A este dihotomica (stabila), DTD = I si exista X = XT astfel ıncat

CTD +XB = 0,CTC + ATX +XA = 0,

(22.328)

atunci spunem ca realizarea (22.327) este izometrica (inner). Este usor de verificat cadaca un sistem H are o realizare izometrica (inner) atunci este izometric (inner), i.e.,H∗H = I si H ∈ RL∞ ( H ∈ RH∞

+ ). Cu toate acestea, nu orice realizare a unui sistemizometric (inner) H este izometrica (inner). Cum ın aceasta sectiune lucram exclusiv cusisteme date de realizari de stare, vom face abuzul de limbaj de a numi izometric (inner)un sistem dat de realizarea sa de stare izometrica (inner).

296 Cristian Oara

Teorema 22.41. (Teorema Redheffer generalizata) Presupunem ca sistemul H din(22.317)–(22.318) este izometric, p2 = m1, D21 este nesingulara si A − B1D

−121 C2 este

dihotomica si fie HK dat ın (22.320) un regulator pentru H. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

1. Sistemul ın bucla ınchisa Hy1u1 dat ın (22.323) este bine definit ın sens strict siregulatorul HK este stabilizant si contractiv pentru H.

2. H este inner, AK este stabila si ∥HK∥∞ < 1.

22.9.4. Solutia

Sub ipotezele facute ın sectiunea precedenta, putem formula rezultatul central care dao parametrizare a clasei solutiilor γ–PAP. Acest rezultat are doua aspecte. Pe de o parte,este vorba de un criteriu de a decide solvabilitatea, dat sub forma unor conditii necesaresi suficiente de existenta a unei solutii a γ–PAP, conditii ce pot fi usor verificate numeric.Pe de alta parte, este vorba despre o formula explicita care genereaza toate solutiile,daca exista macar una. Atat criteriul de solvabilitate cat si parametrizarea solutiilorsunt exprimate ın termenii solutiilor stabilizatoare a doua sisteme KPY. Asa cum vomvedea, aceasta formulare este mai potrivita si mai simpla decat formularea traditionalaprin intermediul a doua ecuatii Riccati.

Teorema 22.42. Presupunem ca sistemul H este dat de (22.317)–(22.318) si satisfaceipotezele (H2), (H3) si (H4). Asociem cu H urmatoarele doua triplete Popov:

Σc = (A,[B1 B2

];Qc, Lc, Rc),

siΣo = (AT ,

[CT

1 CT2

];Qo, Lo, Ro),

unde

Qc = CT1 C1,

Lc = CT1

[D11 D12

], (22.329)

Rc =

[DT

11

DT12

] [D11 D12

]−

[Im1 OO O

],

si

Qo = B1BT1 ,

Lo = B1

[DT

11 DT21

], (22.330)

Ro =

[D11

D21

] [DT

11 DT21

]−

[Ip1 OO O

].

Notam

Jc =

[−Im1 OO Im2

], Jo =

[−Ip1 OO Ip2

].

Atunci avem:(I) PAP are o solutie daca si numai daca urmatoarele conditii sunt ındeplinite:

Sisteme robuste 297

(C1) Sistemul KPY(Σc, Jc) are o solutie stabilizatoare

(X, Vc,Wc) = (X,

[Vc11 OVc21 Vc22

],

[Wc1

Wc2

]),

cu X ≥ 0.(C2) Sistemul KPY(Σo, Jo) are o solutie stabilizatoare

(Y, Vo,Wo) = (Y,

[Vo11 OVo21 Vo22

],

[Wo1

Wo2

]),

cu Y ≥ 0.(C3) Raza spectrala a matricei XY este strict subunitara, i.e.,

ρ(XY ) < 1.

(II) Presupunem ca (C1) este satisfacuta, fie

J× =

[−Im2 OO Ip2

],

si definim tripletul Popov

Σ× = (AT + F T1 B

T1 ,

[−F T

2 VTc22 CT

2 + F T1 D

T21

];Q×, L×, R×),

unde

[F1

F2

]este reactia stabilizatoare corespunzatoare sistemului KPY(Σc, Jc) si

Q× := B1(VTc11Vc11)

−1BT1 ,

L× := B1(VTc11Vc11)

−1[V Tc21 DT

21

], (22.331)

R× :=

[Vc21

D21

](V T

c11Vc11)−1

[V Tc21 DT

21

]−[Im2 OO O

].

Atunci PAP are o solutie daca si numai daca (C1) are loc si urmatoarea conditie esteadevarata:

(C4) Sistemul KPY(Σ×, J×) are o solutie stabilizatoare

(Z, V×,W×) = (Z,

[V×11 OV×21 V×22

],

[W×1

W×2

]),

cu Z ≥ 0.Mai mult, are loc urmatoarea relatie ıntre solutiile celor trei sisteme KPY:

Z := Y (I −XY )−1. (22.332)

(III) Presupunem ca (C1) si (C4) au loc si fie C2F1 := C2+D21F1, Sc := (V Tc11Vc11)

−1,si S× := (V T

×11V×11)−1. Clasa solutiilor PAP poate fi exprimata ca HK = TLFI(HKg, Q),

unde Q ∈ RH∞+,m2×p2

este un parametru arbitrar cu ∥Q∥∞ < 1 si

HKg =

Ag Bg1 Bg2

Cg1 Dg11 Dg12

Cg2 Dg21 Dg22

=

[HKg11 HKg12

HKg21 HKg22

], (22.333)

298 Cristian Oara

unde

Ag = A+B1F1 +B2F2 +Bg1C2F1 ,

Bg1 = −B1ScDT21(D21ScD

T21)

−1 −B2Dg11 − ZCTg2Dg21,

Bg2 = −B1Sc[(DT12D12)

−1DT12D11 +Dg11D21]

T (DT12D12)

12S

12×

−B2Dg12 − ZCTg1(D

T12D12)

12S

12×,

Cg1 = −F2 +Dg11C2F1,

Cg2 = (D21ScDT21)

− 12C2F1,

Dg11 = −(DT12D12)

−1DT12D11ScD

T21(D21ScD

T21)

−1,

Dg12 = (DT12D12)

− 12S

− 12

× ,

Dg21 = (D21ScDT21)

− 12 ,

Dg22 = 0.

22.9.5. Solutia ın conditii de normalizare

Daca urmatoarele ipoteze – cunoscute sub numele de ipoteze de normalizare – suntsatisfacute

D11 = 0, DT12

[C1 D12

]=

[O I

],

[B1

D21

]DT

21 =

[OI

], (22.334)

rezulta

Σc = (A,[B1 B2

];CT

1 C1, 0,

[−Im1

Im2

]), (22.335)

si

Σo = (AT ,[CT

1 CT2

];B1B

T1 , 0,

[−Ip1

Ip2

]). (22.336)

Atunci EMAR(Σc) este

ATX +XA−X(B2BT2 −B1B

T1 )X + CT

1 C1 = 0 (22.337)

si EMAR(Σo) este

AY + Y AT − Y (CT2 C2 − CT

1 C1)Y +B1BT1 = 0, (22.338)

iar Teorema 22.42. poate fi formulata echivalent ın termenii solutiei stabilizatoare a acestorecuatii Riccati. Intr–adevar, este usor de vazut ca

Vc22 = I, Vc21 = 0, Vc11 = I, Wc1 = −BT1 X, Wc2 = BT

2 X. (22.339)

Prin urmareF1 = BT

1 X,F2 = −BT2 X. (22.340)

Cu (22.339) si (22.340), tripletul Popov Σ× devine

Σ× = (AT +XB1BT1 ,

[XB2 CT

2

];B1B

T1 ,

[O O

],

[−Im2 OO Ip2

]). (22.341)

Sisteme robuste 299

EMAR(Σ×) poate fi scrisa explicit ca

(A+B1BT1 X)Z + Z(A+B1B

T1 X)T − Z(CT

2 C2 −XB2BT2 X)Z +B1B

T1 = 0. (22.342)

In sfarsit, realizarea pentru HKg devine

Ag = A+B1BT1 X −B2B

T2 X − ZCT

2 C2,Bg1 = −ZCT

2 ,Bg2 = −B2 − [Z(−XB2)] = −(I + ZX)B2 = −(I − Y X)−1B2,Cg1 = BT

2 X,Cg2 = C2,Dg11 = 0,Dg12 = Im2 ,Dg21 = Ip2 ,Dg22 = 0.

(22.343)

Daca luam parametrul Q = 0 obtinem regulatorul central. Daca conditiile de normalizare(22.334) sunt satisfacute, atunci regulatorul central are realizarea

HK =

[A+B1B

T1 X −B2B

T2 X − (I − Y X)−1Y CT

2 C2 −(I − Y X)−1Y CT2

BT2 X O

].

(22.344)

Observatia 22.16. Conversia unei γ–PAP cu un γ > 0 arbitrar ıntr-o PAP (cu γ = 1)se poate obtine prin urmatoarele transformari de scalare asupra problemei initiale

Hscalat =

A γ−1/2B1 γ1/2B2

γ−1/2C1 γ−1D11 D12

γ1/2C2 D21 γD22

. (22.345)

SolutiaHKscalat a PAP (cu γ = 1) formulata pentru (22.345) poate fi exprimata ın termeniisolutiei (22.333) a γ–PAP originale ca

HKg,scalat =

Ag γ−1/2Bg1 γ1/2Bg2

γ−1/2Cg1 γ−1Dg11 Dg12

γ1/2Cg2 Dg21 γDg22

. (22.346)

Expresiile precedente pentru scalare se pot obtine din

Hy1u1,scalat := γ−1Hy1u1 = γ−1H11 +H12γ−1HK(I − γH22γ

−1HK)H21

siHKscalat = γ−1HK = γ−1HKg,11 +HKg,12Qscalat(I − γHKg,22Qscalat)HKg,21

unde Qscalat = γ−1Q cu ∥Q∥∞ < γ si ∥Qscalat∥∞ < 1. Solutiile sistemelor KPY ce intervinın Teorema 22.42., scrise pentru datele originale si scalate, sunt legate prin

(X,

[Vc11 OVc21 Vc22

],

[Wc1

Wc2

])scaled = (γ−1X,

[γ−1Vc11 Oγ−1Vc21 Vc22

],

[γ− 1

2Wc1

γ− 12Wc2

]),

300 Cristian Oara

(Y,

[Vo11 OVo21 Vo22

],

[Wo1

Wo2

])scaled = (γ−1Y,

[γ−1Vo11 Oγ−1Vo21 Vo22

],

[γ− 1

2Wo1

γ− 12Wo2

]),

(Z,

[V×11 OV×21 V×22

],

[W×1

W×2

])scaled = (γ−1Z,

[γ−1V×11 Oγ−1V×21 V×22

],

[γ− 1

2W×1

γ− 12W×2

]).

Formulele anterioare permit o conversie comoda ıntre γ–PAP si PAP (cu γ = 1).

22.9.6. Solutia cu reactie dupa stare

Cand starea este accesibila pentru masurare, solutia γ–PAP poate fi exprimata ınforma unei reactii dupa stare. In acest caz, sistemul (22.317) se reduce la

x = Ax+B1u1 +B2u2,y1 = C1x+D11u1 +D12u2,

(22.347)

sau, echivalent, (22.318) se reduce la

H =

[A BC1 D

]=

[A B1 B2

C1 D11 D12

]=

[H11 H12

]. (22.348)

γ–PAP consta, ın acest caz, ın gasirea unei reactii F2 ∈ Rm2×n astfel ıncat reactia dupastare

u2 = F2x (22.349)

sa stabilizeze sistemul (22.347), ceea ce ınseamna ca sistemul rezultant ın bucla ınchisa

x = (A+B2F2)x+B1u1,y1 = (C1 +D12F2)x+D11u1,

(22.350)

este stabil, i.e.,Λ(A+B2F2) ⊂ C− (22.351)

si matricea de transfer satisface∥Hy1u1∥∞ < γ.

La fel ca mai ınainte, putem reduce problema la cazul ın care γ = 1, si vom numi F cerezolva γ–PAP stabilizatoare si contractiva.

Presupunem ın continuare ca ipoteza de regularitate (R1) are loc. Obtinem urmatoareateorema.

Teorema 22.43. Exista o reactie stabilizatoare si contractiva daca si numai daca

DT11D11 < Im1 (22.352)

si (C1) din Teorema 22.42. este adevarata.Mai mult, ın acest caz, daca

F =

[F1

F2

]este reactia stabilizatoare a sistemului KPY(Σc, Jc), atunci F2 este o reactie stabilizatoaresi contractiva.

Sisteme robuste 301

Incheiem sectiunea cu urmatorul rezultat.

Propozitia 22.25. Sistemul ın bucla ınchisa obtinut prin aplicarea u2 = F2x sistemului

H =

[A B1 B2

C1 D11 D12

]coincide cu sistemul ın bucla ınchisa obtinut prin aplicarea u2 = (F2 − F2)x sistemului

H =

[A+B2F2 B1 B2

C1 +D12F2 D11 D12

].

22.10. Stabilizare robusta

In aceasta sectiune dam solutia problemei de stabilizare robusta pentru diferite modelede incertitudini. Argumentul cheie al abordarii folosite este ca un sistem cu incertitudinimodelate aditiv, multiplicativ sau pe factori coprimi este echivalent cu o problema H∞

suboptimala (de atenuare a perturbatiei) formulata pentru un sistem generalizat potrivitales.

In § 22.10.1 introducem diferite modele de incertitudini si explicam ın detaliu echivalen-ta mentionata anterior. Dam o evaluare a tolerantei minime admisibile (optimale) γmin

pentru o problema H∞–optimala particulara si construim solutia acesteia prin tehnici depertubatii singulare ın § 22.10.2. Scopul principal al acestui paragraf este introducereaunei serii de rezultate preliminare pentru § 22.10.3 ın care rezolvam problema de stabilizarerobusta pentru incertitudini modelate prin factori coprimi normalizati, problema carenu este decat un caz particular al problemei H∞–optimale rezolvate anterior. Metodafolosita permite prezentarea unei solutii optimale (si nu suboptimale) care este pretabilaalgoritmilor numerici datorita ordinului (gradului McMillan) redus al solutiei obtinut prinsimplificarea perechilor poli–zerouri ce tind spre infinit atunci cand solutia suboptimala seapropie de cea optimala, evitand astfel calculul prost conditionat numeric din apropiereaoptimului. Problema de stabilizare robusta cu incertitduni modelate multiplicativ este deasemenea o problema singulara de atenuare a pertubatiei a carei solutie este prezentataın § 22.10.4 printr-o analiza de perturbatii singulare.

22.10.1. Formularea problemei

Fie sistemul H, y = Hu, de dimensiune p×m, si fie (N , M) o factorizare coprima la

stanga peste RH∞+ (v. § 22.6.3.) a.ı. H = M−1N . Definim un regulator stabilizator

pentru H ca fiind un m × p sistem HK pentru care conexiunea ın bucla de reactie a luiH cu HK este intern stabila (v. § 10.1.3 din Automatica, vol. I).

Pentru un δ > 0 fixat, introducem urmatoarele clase de sisteme

Daδ := Ha

∆ : Ha∆ = H +∆,∆ ∈ RH∞

+,p×m si ∥∆∥∞ < δ, (22.353)

Dmδ := Hm

∆ : Hm∆ = (I +∆)H,∆ ∈ RH∞

+,p×p si ∥∆∥∞ < δ, (22.354)

Dcfδ := Hcf

∆ : Hcf∆ = (M+∆M)−1(N+∆N),

∆ =[∆N −∆M

]∈ RH∞

+,p×(p+m) si ∥∆∥∞ < δ. (22.355)

302 Cristian Oara

Fiecare clasa Daδ , Dm

δ si Dcfδ reprezinta o clasa de sisteme perturbate (incerte) obtinute

din H prin perturbatii de tip aditiv, multiplicativ si pe factori coprimi. Notam cu Dδ

oricare dintre cele trei clase de sisteme introduse anterior si cu H∆ un element generic allui Dδ.

Cel mai mare δ(= δmax) pentru care exista un unic regulator stabilizator pentru toatesistemele din Dδmax se numeste margine (maxima) de stabilitate pentru clasa respectivade sisteme.

Dandu-se un sistem nominal H, o margine δ si o clasa de sisteme Dδ, unde δ < δmax,problema de stabilizare robusta suboptimala consta ın constructia unui unic regulatorstabilizator HK , u = HKy, pentru toate sistemele H∆ ∈ Dδ (fig. 22.3).

HK

H∆-

Fig. 22.3. Regulator stabilizator robust HK pentru sistemeleH∆ ∈ Dδ.

Regulatorul HK este un regulator stabilizator robust. Problema de stabilizare robustaoptimala consta ın constructia unui singur regulator stabilizatorHK pentru toate sistemeledin Dδmax .

Problema de stabilizare robusta poate fi convertita ıntr-o problema de atenuare apertubatiei (PAP). Fiecare clasa de sisteme incerteDδ poate fi reprezentata ca transformareliniar fractionara superioara (TLFS) a unui sistem generalizat si a unei perturbatii ∆.Intr-adevar, fie sistemele generalizate

Ha =

[Ha

11 Ha12

Ha21 Ha

22

]=

[O ImIp H

], (22.356)

Hm =

[Hm

11 Hm12

Hm21 Hm

22

]=

[O H

Ip H

], (22.357)

Hcf =

[Hcf

11 Hcf12

Hcf21 Hcf

22

]=

O ImM−1 H

M−1 H

. (22.358)

Un calcul simplu arata ca

TLFS(Ha,∆) = H +∆ = Ha∆, (22.359)

TLFS(Hm,∆) = (I +∆)H = Hm∆ , (22.360)

TLFS(Hcf ,∆) = (M +∆M)−1(N +∆N) = Hcf∆ , ∆ =

[∆N −∆M

]. (22.361)

Comparand (22.359), (22.360) si (22.361) cu (22.353), (22.354) si respectiv (22.355),observam ca respectivele clase de sisteme incerte pot fi descrise, ın fiecare caz, ca TLFS(H,∆)asa cum este aratat ın figura 22.4.

Sisteme robuste 303

H

∆

-

- -

Fig. 22.4. Modelul sistemelor incerte H∆ = TLFS(H,∆).

Prin urmare, obtinem configuratia echivalenta din figura 22.5 ın care Hy1u1 si ∆ suntstabile si Hy1u1 = TLFI(H,HK), unde H este dat de (22.356), (22.357) sau (22.358).

H

∆

HK

-

-

Hy1u1 := TLFI(H,HK)

Fig. 22.5. Modelul sistemelor incerte cu regulator pe reactie inversa.

Intorcandu-ne la problema initiala de a converti problema de stabilizare robusta ıntr-oproblema de atenuare a pertubatiei, avem urmatorul rezultat.

Teorema 22.44. Un regulator HK este o solutie a problemei de stabilizare robusta ınraport cu oricare dintre clasele de sisteme incerte Dδ, δ ≤ δmax, date explicit ın (22.353),(22.354), sau (22.355), daca si numai daca HK este o solutie a problemei corespunzatoarede 1

δ–PAP pentru H dat de (22.356), (22.357), sau respectiv (22.358).

304 Cristian Oara

22.10.2. Solutia optimala

Dam ın continuare o evaluare a tolerantei γmin pentru care problema de atenuare aperturbatiei de tipul celei ce apare ın stabilizarea robusta are o solutie optimala, ımpreunacu o constructie a solutiei optimale ın anumite ipoteze. Mai departe, ın § 22.10.3 vomvedea ca aceste ipoteze sunt ıntotdeauna satisfacute ın cazul PAP ce apare ın stabilizarearobusta cu incertitudini modelate pe factori coprimi normalizati si vom da o solutie pentruaceasta din urma.

Fie sistemul generalizat

H =

[A BC D

]=

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 O

=

[H11 H12

H21 H22

],

[y1y2

]= H

[u1

u2

],

(22.362)

unde A ∈ Rn×n, Bi ∈ Rn×mi , Cj ∈ Rpj×n, Dij ∈ Rpi×mj , (i, j = 1, 2, m = m1 + m2,p = p1 + p2).

Presupunem urmatoarele ipoteze satisfacute:

(A1) D21 este patrata si inversabila.

(A2) A−B1D−121 C2 este stabila.

(A3) (A,B2) este stabilizabila.

(A4) rang

[jωI − A −B2

C1 D12

]= n+m2, ∀ω ∈ R, rangD12 = m2.

Ipotezele (A1)–(A4) sunt cazuri particulare ale ipotezelor generale facute pentru problemade atenuare a pertubatiei din § 22.9.2.. Urmatorul rezultat este un caz particular alTeoremei 22.42. (v. Observatia 22.16.).

Teorema 22.45. Fie sistemul H dat ın (22.362) si presupunem ca satisface conditiile(A1)–(A4). Fie Jc := diag (−Im1 , Im2) si tripletul Popov Σc = (A,B;Qc, Lc, Rc) unde

Qc := CT1 C1,

Lc =[Lc1 Lc2

]:= CT

1

[D11 D12

],

Rc =

[Rc11 Rc12

RTc12 Rc22

]:=

[DT

11

DT12

] [D11 D12

]−

[γ2Im1 OO O

].

(22.363)

Problema de γ atenuare a perturbatiei pentru H are o solutie daca si numai daca sistemulKPY(Σc, Jc) are o solutie stabilizatoare

(X,Vc,Wc) = (X,

[Vc11 OVc21 Vc22

],

[Wc1

Wc2

]), X ≥ 0. (22.364)

Folosind acest rezultat, dam ın continuare o evaluare a tolerantei minime γmin.

Sisteme robuste 305

O evaluare a lui γmin

Fie sistemul generalizat (22.362) satisfacand ipotezele (A1)–(A4) si tripletul PopovΣc = (A,B;Qc, Lc, Rc) dat de (22.363). Inainte de a enunta principalul rezultat, avemnevoie de cateva preliminarii.

Cum ipotezele (A3) si (A4) au loc, din Propozitia 22.23. rezulta ca sistemulKPY(Σc2, Im2), unde Σc2 = (A,B2;Qc, Lc2, Rc22), are o solutie stabilizatoare (X2, V2,W2),

cu X2 ≥ 0. Fie Σc = (A, B; Qc, Lc, Rc) tripletul Popov

[O

F2

]–echivalent al lui Σc, unde

F2 este reactia stabilizatoare asociata cu sistemul KPY(Σc2, Im2) dat explicit de

A := A+B2F2,

Qc := CT1 C1,

Lc := C1

[D11 D12

],

(22.365)

si C1 := C1 +D12F2. Functia Popov asociata cu Σc este data de

ΠΣc

=

[Π

Σc,11Π

Σc,12

Π∗Σc,12

ΠΣc,22

]=

[H∗

11

H∗12

] [H11 H12

]−[γ2I OO O

](22.366)

unde [H11 H12

]=

[A B1 B2

C1 D11 D12

]. (22.367)

Teorema 22.46. Fie sistemul H din (22.362) si presupunem ca satisface conditiile (A1)–(A4). Fie

RΣc

=

[R11 R12

R∗12 R22

](22.368)

operatorul cauzal Toeplitz avand simbolul ΠΣc

(partitia este ın conformitate cu ΠΣc

dat ın(22.366)) si fie

R×11 := R11 −R12R−1

22R∗12 (22.369)

complementul Schur al lui R22 din (22.368). Atunci avem:1. Problema suboptimala de γ-PAP pentru H are o solutie daca si numai daca

R×11 << 0. (22.370)

2. Valoarea optima γ = γmin este data de

γmin = ρ12 (HH∗

11H12H∗H∗

11H12+ T(H∗

11H⊥12)(H

∗11H

⊥12)

∗), (22.371)

unde H⊥12 ∈ RL∞

p1×(p1−m2)este o completare ortogonala a matricei de transfer inner

H12 = H12V−12 (22.372)

a.ı. Ha12 :=

[H12 H⊥

12

]este de tip trece–tot, i.e., (Ha

12)∗(Ha

12) = (Ha12)(H

a12)

∗ = I.

306 Cristian Oara

O solutie optimala

Construim ın continuare o solutie optimala a problemei de atenuare a pertubatieipentru un sistem particular H folosind tehnici de perturbatii singulare. Scopul finaleste obtinerea ın § 22.10.3 a solutiei problemei de stabilizare robusta pentru incertitudinimodelate pe factori coprimi. In acest scop, luam γ > γmin pentru care problema γ–PAPare o solutie, notata HKγ, pe care stim cum s-o construim din § 22.9. Mai departe,investigam comportarea realizarii pe stare a lui HKγ cand γ ↓ γmin, si gasim limita care

este un sistem pe stare notat HKγmin. In final, demonstram ca HKγmin

este un regulatorstabilizator si optimal pentru problema de atenuare a perturbatiei studiind comportareasistemului ın bucla ınchisa TLFI(H,HKγ) cand γ ↓ γmin.

Introducem pentru ınceput cateva notatii si facem anumite ipoteze suplimentare care,asa cum vom vedea, sunt ıntotdeauna satisfacute ın problema de stabilizare robusta cuincertitudini modelate pe factori coprimi normalizati.

Fie sistemul generalizat (22.362) satisfacand ipotezele (A1)–(A4). Introducem catevaipoteze suplimentare notate (A5)–(A8).

(A5) DT12

[C1 D11 D12

]=

[O O Im2

].

Fie tripletul Popov Σc = (A,B;Qc, Lc, Rc) dat de (22.363). Deoarece (A5) esteadevarata, obtinem urmatoarele expresii simplificate

Qc = CT1 C1, Lc =

[CT

1 D11 O], Rc =

[−γ2I +DT

11D11 OO I

]. (22.373)

Fie γ > γmin a.ı. din Teorema 22.46. rezulta ca sistemul KPY(Σc, Jc) are o solutiestabilizatoare (X, Vc,Wc) si γ–PAP are o solutie suboptimala

HK =

[AK BK

CK DK

]=

[A−B1D

−121 C2 −B2B

T2 Xγ B1D

−121

−BT2 Xγ O

], u2 = HKy2. (22.374)

Expresia explicita pentru realizarea luiHK s-a obtinut luand ın formule regulatorul central(Q = 0), ındepartand scalarea γ = 1 si notand X = Xγ pentru a pune ın evidentadependenta de γ. Fie

ϵ := γ2 − γ2min, (22.375)

si presupunem ca H satisface urmatoarele ipoteze aditionale:

(A6) γmin > σ(D11).

(A7) Exista r ∈ 1, . . . , n a.ı.

Xγ =

[ϵ−1X1

X2

](22.376)

unde

ϵ−1X1 = diag (ν1, . . . ,νr), X2 = diag (νr+1, . . . ,νn),

X1 si X2 depind continuu de ϵ si exista limitele (finite)

limϵ↓0

Xi = X i, cu X1 > 0.

Sisteme robuste 307

(A8) B21BT21 > 0 unde B21 este definita prin partitionarea lui (22.362) conform cu

partitia Xγ din (22.376), i.e.,

H =

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 O

=

A11 A12 B11 B21

A21 A22 B12 B22

C11 C12 D11 D12

C21 C22 D21 O

. (22.377)

Investigam ın continuare comportarea luiHK si a sistemului ın bucla ınchisa TLFI(H,HK)cand ϵ ↓ 0.

Comportarea regulatorului cand ϵ ↓ 0

Folosind (22.376) si (22.377) obtinem pentru realizarea regulatorului HK din (22.374)expresiile

AK = A−B1D−121 C2 −

[ϵ−1B21B

T21X1 B21B

T22X2

ϵ−1B22BT21X1 B22B

T22X2

]=:

[Ao

11 − ϵ−1M11 Ao12

Ao21 − ϵ−1M21 Ao

22

],

BK =

[B11

B12

]D−1

21 =:

[BK1

BK2

],

CK =[−ϵ−1BT

21X1 −BT22X2

]=:

[ϵ−1CK1 CK2

],

DK = 0.(22.378)

Daca xK =

[xK1

xK2

]este starea regulatorului partitionata corespunzator, fie

ξK =

[ξK1

ξK2

]:=

[ϵ−1xK1

xK2

]. (22.379)

Cu (22.379), (22.378) conduce la sistemul cu doua scale de timp

ϵξK1 = (ϵAo11 −M11)ξK1 + Ao

12ξK2 +BK1y2,

ξK2 = (ϵAo21 −M21)ξK1 + Ao

22ξK2 +BK2y2,u2 = CK1ξK1 + CK2ξK2.

(22.380)

Facand ϵ ↓ 0 ın (22.380) obtinem

0 = −M11ξK1 + Ao

12ξK2 +BK1y2,

ξK2 = −M21ξK1 + Ao

22ξK2 +BK2y2,u2 = CK1ξK1 + CK2ξK2,

(22.381)

unde M11, Ao

12, M21, Ao

22, CK1, CK2 sunt limitele pentru respectivele elemente cand ϵ ↓ 0.Deoarece M11 = B21B

T21X1 este nesingulara datorita (A7) si (A8), putem elimina ξK1 din

(22.381) si obtine

ξK2 = (Ao

22 −M21M−1

11 Ao

12)ξK2 + (BK2 −M21M−1

11 BK1)y2,

u2 = (CK2 + CK1M−1

11 Ao

12)ξK2 + CK1M−1

11 BK1y2,

308 Cristian Oara

care sunt ecuatiile de stare pentru regulatorul de ordin redus

HK =

[AK BK

CK DK

]=

[A

o

22 −M21M−1

11 Ao

12 BK2 −M21M−1

11 BK1

CK2 + CK1M−1

11 Ao

12 CK1M−1

11 BK1

],

u2 = HKy2.

(22.382)

Teorema urmatoare contine rezultatul central al sectiunii.

Teorema 22.47. Presupunem ca sistemul generalizat H dat ın (22.377) satisface ipotezele(A1)–(A8). Atunci regulatorul HK dat ın (22.382), de ordin redus n− r, este o solutie aproblemei optimale de atenuare a pertubatiei formulate pentru H.

Comportarea sistemului ın bucla ınchisa cand ϵ ↓ 0

Fie γ > γmin. Sistemul rezultant ın bucla ınchisa al lui H cu HK are realizarea

Hy1u1 = TLFI(H,HK) =

A −B2BT2 Xγ B1

B1D−121 C2 A−B1D

−121 C2 −B2B

T2 Xγ B1

C1 −D12BT2 Xγ D11

(22.383)

unde am folosit (22.374). Dupa o transformare de similaritate si eliminarea partii necontrola-bile stabile obtinem

Hy1u1 =

[A−B2B

T2 Xγ B1

C1 −D12BT2 Xγ D11

]=:

[AR BR

CR DR

]. (22.384)

Evident AR este stabila si ∥Hy1u1∥∞ < γ deoarece HK este o solutie a γ–PAP. Consideramtripletul Popov de γ–contractivitate a lui Hy1u1 dat explicit de

ΣR = (AR, BR;CTRCR, C

TRDR,−γ2I +DT

RDR)

= (A−B2BT2 Xγ, B1;C

T1 C1 +XγB2B

T2 Xγ, C

T1 D11,−γ2I +DT

11D11) (22.385)

unde pentru ultima egalitate am folosit (A5). Aplicand Lema 22.10., rezulta ca sistemulKPY(ΣR,−I), i.e.,

−γ2I +DTRDR = −V T

R VR,CT

RDR +XRBR = −W TRVR,

CTRCR + AT

RXR +XRAR = −W TRWR,

(22.386)

are o solutie stabilizatoare (XR, VR,WR), cu XR ≥ 0.Rezultatul urmator leagaXR deXγ fiind crucial pentru ıntelegerea comportarii sistemului

ın bucla ınchisa Hy1u1 .

Propozitia 22.26. Presupunem ca sistemul generalizat H dat de (22.362) satisface (A1)–(A5), fie γ > γmin si HK regulatorul central (22.374) care rezolva γ–PAP pentru H. Areloc urmatoarea egalitate:

Xγ = XR. (22.387)

Sisteme robuste 309

In final ne uitam la comportarea sistemului ın bucla ınchisa cand ϵ ↓ 0. Folosind(22.376) si (22.377) din (22.384) obtinem

AR =

[A11 − ϵ−1B21B

T21X1 A12 −B21B

T22X2

A21 − ϵ−1B22BT21X1 A22 −B22B

T22X2

],

BR =

[B11

B12

],

CR =[C11 −D12B

T21ϵ

−1X1 C12 −D12BT22X2

], (22.388)

DR = D11.

Daca xR =

[xR1

xR2

]este starea sistemului ın bucla ınchisa partitionata corespunzator, fie

ξR =

[ξR1

ξR2

]:=

[ϵ−1xR1

xR2

]. (22.389)

Cu (22.389), (22.388) conduce la sistemul cu doua scale de timp

ϵξR1 = (ϵA11 −B21BT21X1)ξR1 + (A12 −B21B

T22X2)ξR2 +B11u1,

ξR2 = (ϵA21 −B22BT21X1)ξR1 + (A22 −B22B

T22X2)ξR2 +B12u1, (22.390)

y1 = (ϵC11 −D12BT21X1)ξR1 + (C12 −D12B

T22X2)ξR2 +D11u1.

Facand ϵ ↓ 0 ın (22.390) obtinem

0 = −B21BT21X1ξR1 + (A12 −B21B

T22X2)ξR2 +B11u1,

ξR2 = −B22BT21X1ξR1 + (A22 −B22B

T22X2)ξR2 +B12u1, (22.391)

y1 = −D12BT21X1ξR1 + (C12 −D12B

T22X2)ξR2 +D11u1.

Folosind (A8), ξR1 poate fi eliminat si (22.391) genereaza sistemul redus

Hy1u1 =

[AR BR

CR DR

]

unde

AR := A22 −B22BT22X2 −B22B

T21(B21B

T21)

−1(A12 −B21BT22X2), (22.392)

BR := B12 −B22BT21(B21B

T21)

−1B11,

CR := C12 −D12BT22X2 −D12B

T21(B21B

T21)

−1(A12 −B21BT22X2),

DR := D11 −D12BT21(B21B

T21)

−1B11,

Pentru sistemul (22.391) putem demonstra urmatorul rezultat.

Teorema 22.48. 1. Sistemul (22.391) este intern stabil, i.e.,

Λ(−B21BT21X1) ⊂ C−, Λ(AR) ⊂ C−.

2. ∥Hy1u1∥∞ = γmin.

310 Cristian Oara

22.10.3. Stabilizare robusta pentru incertitudini modelate pe factori coprimi

Fie sistemul

H =

[A BC O

], y = Hu, (22.393)

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, perechea (A,B) este stabilizabila si perechea (C,A)

este detectabila. Fie (N , M) o factorizare coprima la stanga normalizata peste RH∞+ (v.

§ 22.6.3.) a.ı. H = M−1N . Pentru un δ > 0, introducem clasa sistemelor

Dcfδ := Hcf

∆ : Hcf∆ = (M +∆M)−1(N +∆N),

∆ =[∆N −∆M

]∈ RH∞

+,p×(p+m), ∥∆∥∞ < δ. (22.394)

Scopul principal al acestui paragraf este evaluarea marginii maxime de stabilitate δ = δmax

pentru care exista un singur regulator stabilizator HK pentru toate sistemele din clasaDcf

δmaxsi constructia unui astfel de regulator optimal HK .

Fie EMAR standard de reglare


si EMAR standard de estimare

AY + Y AT − Y CTCY +BBT = 0, (22.396)

ambele asociate cu sistemul (22.393). Fie X, Y solutiile lor stabilizatoare pozitiv semidefi-nite care exista conform Corolarului 22.11.. Fie F := −BTX si K := −Y CT .

Asa cum am vazut ın § 22.10.1, problema de stabilizare robusta pentru clasa sistemelor(22.394) este echivalenta cu o problema de atenuare a perturbatiei formulate pentrusistemul generalizat Hcf dat ın (22.358). In cazul particular ın care factorii coprimi

M si N sunt normalizati, folosim formulele date ın Teorema 22.33. si obtinem o realizareexplicita de forma

Hcf =

A B1 B2

C1 D11 D12

C2 D21 O

=

A −K BO O IC I O

C I O

. (22.397)

Este usor de verificat folosind (22.397) ca (A1)–(A5) sunt ındeplinite, iar tripletul PopovΣc dat ın (22.363) ia forma particulara

Σc = (A,[−K B

];CTC,

[CT O

],

[(1− γ2)Ip O

O Im

]). (22.398)

Rezolvam ın continuare problema de stabilizare robusta prin aplicarea rezultatelor din §22.10.2 pentru cazul particular al lui Hcf .

O evaluare a marginii maxime de stabilitate

Principalul rezultat este dat ın teorema urmatoare.

Sisteme robuste 311

Teorema 22.49. Marginea maxima de stabilitate pentru problema de stabilizare robustacu incertitudini modelate pe factori coprimi normalizati formulata pentru sistemul stabiliza-bil si detectabil (22.393) este data de

δmax = (1 + ρ(XY ))−12 (22.399)

unde X si Y sunt unicele solutii stabilizatoare ale EMAR date ın (22.395) si respectiv(22.396).

Un regulator stabilizator robust optimal

Pentru a gasi un regulator stabilizator robust optimal aplicam Teorema 22.47. ın cazulparticular al sistemului generalizat Hcf . Verificam ıntai satisfacerea ipotezelor (A1)–(A8)pentru Hcf . Ipotezele (A1)–(A5) sunt satisfacute ın mod evident, iar (A6) rezulta din(22.399) si (22.397). Pentru a verifica (A7) avem ıntai nevoie de urmatorul rezultat.

Propozitia 22.27. Fie γ > γmin si Σc tripletul Popov dat ın (22.398). Atunci EMAR(Σc)are o solutie stabilizatoare Xγ ≥ 0 data de

Xγ = −γ2X[(1− γ2)I + Y X]−1 (22.400)

unde X ≥ 0 si Y ≥ 0 sunt solutiile stabilizatoare ale EMAR (22.395) si respectiv (22.396).

Reıntorcandu-ne la verificarea ipotezei (A7), presupunem ca realizarea lui H este a.ı.ambele EMAR (22.395) si (22.396) sunt deja ın forma balansata,

X = Y =

[σIr OO diag (σr+1, . . . ,σn)

], (22.401)

ın care σ > σr+1 ≥ . . . ≥ σn, iar r este multiplicitatea valorii singulare maxime σ. O astfelde realizare balansata a lui H se poate obtine ca ın Teorema 22.3. unde ın loc de gramieniide controlabilitate si observabilitate folosim solutiile X si Y ale EMAR standard (22.395)si respectiv (22.396). Avem ρ(XY ) = σ2 si (22.399) devine

γ2min = 1 + σ2 (22.402)

de undeγ2 = ϵ+ 1 + σ2. (22.403)

Cu (22.401) substituita ın (22.400), Xγ ia forma (22.376) ın care

X1 := (ϵ+ 1 + σ2)σIr, X2 := diag

(ϵ+ 1 + σ2

σ2 − σ2i + ϵ

σi

)n

i=r+1

(22.404)

si

X1 := (1 + σ2)σIr > 0, X2 := diag

(1 + σ2

σ2 − σ2i

σi

)n

i=r+1

.

Aici X i este limita cand ϵ ↓ 0 a lui Xi, pentru i = 1, 2. Prin urmare, ipoteza (A7) areloc. Fie acum

A =

[A11 A12

A21 A22

], B =

[B21

B22

], K =

[K11

K12

], C =

[C11 C12

], (22.405)

partitionata conform cu X = Y din (22.401).

312 Cristian Oara

Teorema 22.50. Daca (A8) si (A9) au loc pentru Hcf si H din (22.393) este ın formabalansata ın raport cu EMAR standard (22.395) si (22.396) atunci

HK =

[AK BK

CK DK

],

unde

AK=A22 +K12C12 −B22BT22X2 −B22B

T21(B21B

T21)

−1(A12 +K11C12 −B21BT22X2),

BK=−K12 +B22BT21(B21B

T21)

−1K11,CK=−BT

22X2 −BT21(B21B

T21)

−1(A12 +K11C12 −B21BT22X2),

DK=BT21(B21B

T21)

−1K11,(22.406)

este un regulator stabilizator robust optimal de ordin redus n−r pentru H, pentru incertitu-dinile modelate pe factori coprimi normalizati. Mai mult, marginea maxima de stabilitateeste data de

δmax = (1 + σ2)−12 . (22.407)

Cum ın mod generic r = 1, (A8) se reduce la conditia ca prima linie a lui B sa fie nenula.

22.10.4. Stabilizare robusta pentru incertitudini modelatemultiplicativ

Consideram ın continuare problema de stabilizare robusta suboptimala pentru cazulın care incertitudinile actioneaza multiplicativ. Fie sistemul

H =

[A BC D

], (22.408)

unde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n, perechea (A,B) este stabilizabila si perechea (C,A)este detectabila. Pentru un δ > 0, introducem clasa de sisteme

Dmδ := Hm

∆ : Hm∆ = (I +∆)H,∆ ∈ RH∞

+,p×p, ∥∆∥∞ < δ. (22.409)

Evaluam marginea maxima de stabilitate δ = δmax pentru care exista un singur regulatorstabilizatorHK pentru toate sistemele din clasaDm

δmaxsi construim un regulator stabilizator

robust HK ın cazul suboptimal ın care δ < δmax.Sa observam pentru ınceput ca daca H ∈ RH∞

+,p×m, atunci H∆ ∈ RH∞+,p×m pentru

toti ∆ ∈ RH∞+,p×p, si deci nu este nevoie sa stabilizam sistemul. Prin urmare, acest caz

este trivial si problema interesanta este cand H ∈ RH∞+,p×m.

Problema de stabilizare robusta pentru clasa de sisteme incerte (22.409) este echivalentacu o γ–PAP pentru sistemul generalizat Hm dat ın (22.357). O realizare a sistemuluigeneralizat din (22.357) este data de

Hm =

A O BC O DC I O

=:

[A B

C D

],

[y1y2

]= H

[u1

u2

] (22.410)

Sisteme robuste 313

si luam γ > γmin := 1δmax

.

Pentru a rezolva aceasta γ–PAP folosim Teorema 22.42.. In acest scop, consideramtripletele Popov Σc = (A, B;Qc, Lc, Rc) si Σo = (AT , CT ;Qo, Lo, Ro) introduse ın (22.329)si respectiv (22.330). Pentru datele curente aceste triplete sunt date explicit de

Qc := CTC,Lc :=

[O CTD

],

Rc =

[Rc11 Rc12

RTc12 Rc22

]:=

[−γ2Ip OO DTD

],

(22.411)

siQo := 0,Lo :=

[O O

],

Ro =

[Ro11 Ro12

RTo12 Ro22

]=

[−γ2Ip OO I

].

(22.412)

Exprimand sistemele KPY(Σc, Jc) si KPY(Σo, Jo) din Teorema 22.42. ın termenii EMARcorespunzatoare plus constrangeri adecvate de signatura obtinem ca γ–PAP pentru Hm

are o solutie daca urmatoarele conditii (C1)–(C3) au loc.(C1) EMAR(Σc) data explicit de

ATX +XA− (Lc +XB)R−1c (BTX + LT

c ) +Qc = 0 (22.413)

are o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinita X si urmatoarele doua constrangeri designatura

Rc22 > 0,

sgnRc = Jc :=

[−Ip OO Im

],

(22.414)

sunt ındeplinite.(C2) EMAR(Σo) data de

AY + Y AT − (Lo + Y CT )R−1o (CY + LT

o ) +Qo = 0 (22.415)

are o solutie stabilizatoare semipozitiv definita Y si urmatoarele doua constrangeri designatura

Ro22 > 0,

sgn (Ro) = Jo :=

[−Ip OO Ip

],

(22.416)

sunt ındeplinite.(C3) Solutiile X si Y satisfac

ρ(XY ) < γ2. (22.417)

Deoarece Qo = 0 si Lo = 0, EMAR (22.415) este de fapt o ecuatie Bernoulli de forma

AY + Y A− Y CR−1o CY = 0, (22.418)

iar constrangerile de signatura (22.416) sunt automat ındeplinite pentru orice γ > 0. Inceea ce priveste (C1), daca D nu are rang ıntreg pe coloane, atunci Rc este singular si

314 Cristian Oara

EMAR (22.413) nu are sens. Pentru a ınlatura acest neajuns vom folosi o tehnica deperturbatii singulare descrisa ın continuare.

Introducem o noua iesire reglata ın (22.410) si obtinem un sistem generalizat extinsHm

ϵ de forma

Hmϵ =

A O BC O D

O O ϵImC I O

,

y1y1ϵy2

= Hmϵ

[u1

u2

],

(22.419)

ın care y1ϵ = ϵu2. Daca HK este o solutie a γ–PAP pentru Hmϵ atunci HK este o solutie

a γ–PAP pentru Hm. Intr-adevar, acest lucru rezulta din

TLFI(Hmϵ , HK) =

[TLFI(Hm, HK)

ϵHmu2u1

],

unde Hmu2u1

este matricea de transfer ın bucla ınchisa de la u1 la u2 pentru TLFI(Hm, HK).Investigam ındeplinirea conditiilor (C1)–(C3) pentru Hm

ϵ . Scriind tripletele Popov Σϵc

si Σϵo, observam ca respectivele constrangeri de semn (22.414) si (22.416) sunt automat

ındeplinite si EMAR (22.413) si (22.415) exprimate ın datele originale sunt

ATXϵ +XϵA− (CTD +XϵB)(ϵ2I +DTD)−1(BTXϵ +DTC) + CTC = 0 (22.420)

siAY + Y AT − (1− γ−2)Y CTCY = 0. (22.421)

Fie γ ∈ (0, 1) si presupunem ca (22.421) are o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinitaY . Cum 1 − γ−2 < 0 rezulta din Propozitia 22.20. ca A este stabila, si asa cum ammentionat mai devreme acest caz este trivial. Prin urmare, luam γ > 1 si presupunemca A este dihotomica. Din Propozitia 22.19. vedem ca aceasta presupunere este necesarapentru existenta solutiei stabilizatoare a (22.421) si, prin urmare, pentru existenta solutieiproblemei curente. Cum 1 − γ−2 > 0 si perechea (C,A) este detectabila, rezulta dinTeorema 22.26. ca (22.421) are o solutie stabilizatoare semipozitiv definita Y .

Ne concentram ın continuare pe ecuatia Riccati (22.420). Cum perechea (A,B)este stabilizatoare si perechea (C,A) este detectabila, Propozitia 22.23. arata ca ecuatia(22.420) are ıntotdeauna o solutie stabilizatoare pozitiv semidefinita Xϵ. Presupunem caH are o inversa stabila la dreapta (nu neaparat proprie). Combinand 2. din Teorema22.32. cu Observatia 22.11. rezulta ca

limϵ↓0

Xϵ = 0. (22.422)

Prin urmare, luand ϵ suficient de mic, conditia (22.417), scrisa explicit

ρ(XϵY ) < γ2,

poate fi obtinuta. Asadar, concluzionam ca toate cele trei conditii mentionate la ınceputulparagrafului sunt ındeplinite pentru ϵ suficient de mic.

Sisteme robuste 315

Teorema 22.51. Presupunem ca pentru sistemul H dat ın (22.408) perechea (A,B) estestabilizabila, perechea (C,A) este detectabila, A este dihotomica si H are o inversa stabilala dreapta. Avem:

1. Pentru oricare δ ∈ (0, 1)

HK =

[A+BFϵ − ZϵC

TC ZϵCT

Fϵ O

](22.423)

este un regulator stabilizator robust suboptimal pentru H ın raport cu incertitudinilemodelate multiplicativ, unde

Zϵ := Y (I − δ2XϵY )−1, Fϵ := −(ϵ2I +DTD)−1(BTXϵ +DTC),

cu Xϵ si Y solutiile stabilizatoare ale EMAR (22.420) si respectiv (22.421) si ϵ ales a.ı.ρ(XϵY ) < 1

δ2.

2. Raza maxima de stabilitate pentru problema de stabilizare robusta cu incertitudinilemodelate multiplicativ este δmax = 1.

22.11. Note si referinte

Cea mai cuprinzatoare referinta despre sisteme liniare multivariabile este [34]. Rezultatede baza privitoare la solutii ın sens L2 pentru sisteme de ecuatii diferentiale pot fi gasiteın [13, 45]. Spatiile Hardy (H2 si H∞) si teoria operatorilor Toeplitz sunt tratate ın[2]. O carte ce introduce punctul de vedere operatorial ın Teroia Sistemelor este [8].Notiunea de triplet Popov ısi are originea ın [44]. Fasciculul hamiltonian extins a fostintrodus si studiat ın [48]. Atat ın [44] cat si ın [48] atentia a fost restrictionata lacazul de pozitivitate. Toate obiectele matematice asociate cu un triplet Popov ın formalor generala cu signatura indefinita au fost studiate ıntr-o serie de lucrari mai recente,[18, 19, 24, 26]. Punctul de vedere operatorial ın studiul ecuatiei Riccati provine din [31]si a fost studiat extensiv ın [29, 30, 32, 33]. In toate aceste lucrari, atentia este ındreptataspre cazul de pozitivitate. Extensii la cazurile cu signatura indefinita sub ipotezele celemai relaxate cu putinta se gasesc ın [12, 13, 26, 39, 40, 42]. Conexiunea dintre rezolvareaecuatiei Riccati algebrice si problema de valori proprii este cunoscuta de peste 100 de ani.Ideea de a folosi spatii invariante ale matricei hamilton pentru calculul solutiilor Riccati afost aplicata prima data ın [35]. Extensia la cazul fasciculelor sub conditii de pozitivitateeste prezentata ın [48]. Generalizarile ample la cazurile cu semn indefinit si singulareprezentate ın acest capitol s-au facut ın [18, 19, 24, 25, 39, 41]. Referinte excelente pentrualgoritmii numerici asociati sunt [1, 11, 38, 43, 47]. Lema de real marginire este un rezultatclasic care poate fi gasit ıntr-o varianta particulara ın [51]. Rezultatul de convergenta afamiliilor de ecuatii Riccati a fost obtinut ın [27]. Factorizarile coprime si dublu coprime aufost introduse ın Teoria Sistemelor ın [49]. Solutiile problemelor de factorizare spectralasi inner-outer pentru cazul singular au fost obtinute ın [20]. Optimizari patratice cudinamica constransa au fost studiate ın [18, 19, 39]. Problema Nehari a fost formulatasi rezolvata ın contextul analizei complexe ın [37]. Solutii sistemice elegante au fost dateın [7, 9, 10]. Continutul sectiunii despre problema Nehari din acest capitol este bazatesentialmente pe [16, 17, 21, 22, 39]. Solutia problemei H2 optimale sub ipoteze mairestrictive decat cele prezentate ın acest capitol a aparut ın [5]. Prezentarea din acest

316 Cristian Oara

capitol urmeaza [14]. Ideea de a proiecta un regulator pentru a reduce sensibilitateabuclei ınchise la variatii de model este datorata lui Zames [50]. Sinteze foarte bune aletopicilor clasice ın domeniu pot fi gasite ın [4, 8]. Contributii remarcabile la solutia pespatiul starilor pentru problema de reglare H∞ sunt [5, 8]. In acest capitol este prezentatacea mai generala solutie disponibila pentru problema reglarii H∞, asa cum apare ın [28].Problema de stabilizare robusta cu incertitudini multiplicative a fost investigata ın [3, 46].O solutie completa pentru cazul incertitudinilor pe factori coprimi normalizati a fost dataın [6, 36]. Regulatorul optimal de ordin redus pentru acest caz a fost obtinut ın [15].Prezentarea din acest capitol este bazata pe [28].

BIBLIOGRAFIE

1. BEELEN T., VAN DOOREN P. (1988) An improved algorithm for the computation of Kronecker’scanonical form of a singular pencil. Lin. Alg. Appl. 105: 9–65.

2. DOUGLAS R. G. (1972) Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Academic Press, New York.

3. DOYLE J., STEIN G. (1981) Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis.IEEE Trans. Auto. Control 26: 4–16.

4. FRANCIS B., DOYLE J. (1987) Linear control theory with an H∞ optimality criterion. SIAM J.Contr. Optim. 25(4): 815–844.

5. DOYLE J., GLOVER K., KHARGONEKAR P., FRANCIS B. (1989) State–space solutions tostandard H2 and H∞ control problems. IEEE Trans. Auto. Control 34(8): 831–847.

6. GLOVER K., MCFARLANE D. (1989) Robust stabilization of normalized coprime factor plantdescriptions with H∞–bounded uncertainty. IEEE Trans. Auto. Control 34: 821–830.

7. FEINTUCH A., FRANCIS B. (1985) Uniformly optimal control of linear feedback systems. Automatica21(5): 563–574.

8. FRANCIS B. (1987) A Course in H∞ Control Theory, volume 88 of Lect. Notes Contr. Inform. Sci.Springer Verlag, Berlin.

9. GLOVER K., LIMEBEER D., DOYLE J., KASENALLY E., SAFONOV M. (1991) A characterizationof all solutions to the four block general distance problem. SIAM J. Contr. Optim. 29: 283–324.

10. GLOVER K. (1984) All optimal Hankel–norm approximations of linear multivariable systems andtheir L∞–error bounds. Int. J. Control 39(6): 1115–1193.

11. GOLUB G., VAN LOAN C. (1989) Matrix Computations. John Hopkins University Press, Baltimoreand London.

12. HALANAY A., IONESCU V. (1993) Generalized discrete–time Popov–Yakubovich theory. Syst.Contr. Lett. 20: 1–6.

13. HALANAY A., IONESCU V. (1994) Time–Varying Discrete Linear Systems. Input–OutputOperators. Riccati Equations. Disturbance Attenuation, volume 68 of Oper. Th: Advances Appl.Birkhauser Verlag, Basel.

14. IONESCU V., WEISS M. (1992) The ℓ2–control problem for time–varying discrete systems. Syst.Contr. Lett. 18: 371–381.

15. IONESCU V., OARA C. (1994) A discrete–time reduced order controller for robust stabilization ofplant in the normalized coprime-factor plant description. IMA J. Math. Contr. Inform. 11: 231–252.

16. IONESCU V., OARA C. (1996) The 4 block Nehari problem: A Popov function approach. IMA J.Math. Contr. Inform. 13(2): 173–194.

17. IONESCU V., OARA C. (1996) The class of suboptimal and optimal solutions to the discrete Nehariproblem: Characterization and computation. Int. J. Control 64(3): 483–509.

18. IONESCU V., OARA C. (1996) Generalized continuous–time Riccati theory. Lin. Alg. Appl. 232:111–131.

19. IONESCU V., OARA C. (1996) Generalized discrete–time Riccati theory. SIAM J. Contr. Optim.34(2): 601–619.

20. IONESCU V., OARA C. (1996) Spectral and inner–outer factorizations for discrete–time systems.IEEE Trans. Auto. Control 41: 840–845.

Sisteme robuste 317

21. IONESCU V., OARA C. (1996) The time–varying discrete 4 block Nehari problem: APopov–Yakubovich type approach. Integr. Equat. Oper. Th. 26: 404–431.

22. IONESCU V., OARA C. (1998) The extended generalized distance problem in discrete–time. Int. J.Robust Nonlinear Contr. 8: 523–534.

23. IONESCU V., OARA C. (1998) The extended Hankel norm approximation problem for discrete–timedescriptor systems. In Proc. IEEE Conf. Decision Contr. Tampa, Florida.

24. IONESCU V., OARA C., WEISS M. (1997) General matrix pencil techniques for the solution of thealgebraic Riccati equations. IEEE Trans. Auto. Control 42: 1085–1097.

25. IONESCU V., WEISS M. (1992) On computing the stabilizing solution to the discrete–time Riccatiequation. Lin. Alg. Appl. 174: 229–238.

26. IONESCU V., WEISS M. (1993) Continuous and discrete–time Riccati theory: A Popov functionapproach. Lin. Alg. Appl. 193: 173–209.

27. IONESCU V. (1997) Robust controller for multiplicative uncertainty: the time–varying case. Int. J.Control 65: 1–14.

28. IONESCU V., OARA C., WEISS M., Generalized Riccati Theory and Robust Control: A PopovFunction Approach, John Wiley & Sons, New York, 1999.

29. JUANG J., JONCKHEERE E. (1988) On computing the spectral radius of Hankel plus Toeplitzoperator. IEEE Trans. Auto. Control 33: 1053–1059.

30. JONCKHEERE E., JUANG J., SILVERMAN L. (1989) Spectral theory of the linear–quadratic andH∞ problems. Lin. Alg. Appl. 122-124: 273–300.

31. JONCKHEERE E., SILVERMAN L. (1978) Spectral theory of the linear quadratic optimal controlproblem: Discrete time single input case. IEEE Trans. Circuits Syst. 25: 810–825.

32. JONCKHEERE E., SILVERMAN L. (1981) Spectral theory of the linear–quadratic optimal controlproblem: analytic factorization of rational matrix valued functions. SIAM J. Contr. Optim. 19:262–281.

33. JONCKHEERE E., VERMA M. (1986) A spectral characterization of H∞–optimal feedbackperformance – the multivariable case. Syst. Contr. Lett. 8: 277–302.

34. KAILATH T. (1980) Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

35. LAUB A. (1979) A Schur method for solving algebraic Riccati equations. IEEE Trans. Auto. Control24: 913–921.

36. MCFARLANE D., GLOVER K. (1990) Robust Controller Design Using Normalized Coprime FactorPlant Descriptions, volume 138 of Lect. Notes Contr. Inform. Sci. Springer Verlag, Berlin.

37. NEHARI Z. (1957) On bounded bilinear forms. Anal. Math. 65: 153–162.

38. OARA C. (1994) Proper deflating subspaces: properties, algorithms and applications. Numer. Alg. 7:355–373.

39. OARA C. (1995) Generalized Riccati Theory: A Popov Function Approach. PhD thesis, PolytechnicUniversity Bucharest, Faculty of Automatic Control and Computers.

40. OARA C. (1996) The signature condition: a necessary and sufficient frequency domain existencecondition for the stabilizing solution to the algebraic Riccati equation. In Proc. Benelux Meeting Syst.Contr., pages 229–230. Mierlo, The Netherlands.

41. OARA C. (1996) Stabilizing solution to the reverse discrete–time Riccati equation. Lin. Alg. Appl.246: 113–130.

42. OARA C. (1998) Minimal factorization of rational matrices: the general case. In Proc. Symp. Math.Theory Network Syst. Padova, Italy.

43. OARA C., VAN DOOREN P. (1997) An improved algorithm for the computation of structuralinvariants of a system pencil and related geometric aspects. Syst. Contr. Lett. 30: 39–48.

44. V.M. POPOV. Hiperstabilitatea Sistemelor Automate. Ed. Academiei, 1966.

45. TADMOR G., VERMA M. (1992) Factorization and the Nehari theorem in time–varying systems.Math. Contr. Signal Syst. 5: 419–452.

46. STOORVOGEL A. (1996) Robust stabilization of systems with multiplicative perturbations. In Proc.IEEE Conf. Decision Contr. Kobe, Japan.

47. VAN DOOREN P. (1979) The computation of Kronecker’s canonical form of a singular pencil. Lin.Alg. Appl. 27: 103–141.

318 Cristian Oara

48. VAN DOOREN P. (1981) A generalized eigenvalue approach for solving Riccati equations. SIAM J.Sci. St. Comp. 2(2): 121–135.

49. VIDYASAGAR M. (1985) Control System Synthesis: A Coprime Factorization Approach. MIT Press.

50. ZAMES G. (1981) Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicativeseminorms, and approximate inverses. IEEE Trans. Auto. Control 26: 301–320.

51. ZHOU K., DOYLE J., GLOVER K. (1995) Robust and Optimal Control. Prentice Hall, EnglewoodCliffs, NJ.

Date post:	26-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	1 times

22. SISTEME ROBUSTEacse.pub.ro/wp-content/uploads/2014/08/Cap22-Vol2.pdf22. SISTEME ROBUSTE Cristian...

Documents